Плоская геометрия - Площадь и периметр плоских фигур

'Найдите площадь, ограниченную кривой y=|x^{2}-1| и прямой y=3.'

'Найдите площадь S, ограниченную параболой y = -2x^2 + 1 и отрезком AB.'

'Пусть 139 а будет постоянной, удовлетворяющей условию 0 ≤ a ≤ 1. Пусть парабола y = 1/2 x^2 + 1/2 будет обозначена как C1, а парабола y = 1/4 x^2 будет обозначена как C2. Для вещественного числа a область, ограниченная линиями x = a, x = a+1, и C1, C2, обозначается как D, а квадрат с вершинами (a,0), (a+1,0), (a+1,1), и (a,1) обозначается как R.\n1. Вычислите площадь S области D.\n2. Вычислите площадь T пересечения квадрата R и области D.\n3. Найдите значение a, которое максимизирует T.\n[Источник: Центральный тест] Базовый пример 204, Расширенный пример 216'

'Найдите длину дуги и площадь следующих секторов.'

'Найти площадь, ограниченную следующими кривыми или линиями.'

'Найдите площадь S, ограниченную параболой и осью x.'

'Найдите сумму площадей двух фигур, ограниченных кривыми y=x^{3}-4x и y=3x^{2}.'

'Найдите площадь треугольника OAB с вершинами O(0,0), A(2,6), B(4,3).'

'Найдите площадь треугольника, образованного линиями x-y=0 (1), 2x+y=9 (2), x-4y=0 (3).'

'Найдите площадь \ S \ фигуры, ограниченной следующими кривыми и линиями: \ y = x^{2} - 2x, \\quad y = x^{2} + 2x - 3, \\quad x = -1, \\quad x = 0 \'

'Площадь плоской фигуры с одной длиной, площадь (2) ромба составляет 3 × 3 × 3.14 × 840 ÷ 360=21 × 3.14=65.94(см²). Более того, общая площадь 8 равносторонних треугольников равна 3.9 × 8=31.2(см²), поэтому площадь, ограниченная толстыми линиями, равна 65.94+31.2= 97.14(см²).'

'Какова общая площадь покрашенной части в 2019-м ряду в квадратных сантиметрах?'

'(2) Площадь треугольника MBP равна 6 ✕ (6+12) ÷ 2 = 54 (см²) Таким образом, объем пирамиды F-MBP равен 54 ✕ ÷ 3 = 18 ✕ см³). Кроме того, площадь треугольника MAQ равна 4 ✕ 12 ÷ 2 = 24 (см²), а высота пирамиды R-MAQ равна ✕'

'(1) Нижняя поверхность как показано на правой иллюстрации. Если площадь ромба ABCD принимается за 1, то площади четырех треугольников ABD, CDB, DAC, BCA, все становятся 1/2. Таким образом, площадь треугольника AKN составляет 1/8, площадь треугольника CML - 1/18, площади треугольников DNM и BLK - 1/6 каждая, поэтому площадь четырехугольника KLMN оказывается равной 35/72. Следовательно, когда высота призмы ABCD-EFGH принимается за 1, объем призмы ABCD-EFGH составляет 1×1=1, а объем усеченной пирамиды O-KLMN равен 35/72×1/3=35/216, а объем усеченной пирамиды O-KLMN на 35/216 больше объема призмы ABCD-EFGH. O-KLMN также разделена на половину высоты. Поэтому поперечное сечение становится в полтора раза меньше размера четырехугольника KLMN, так что площадь поперечного сечения равна 1/4 площади четырехугольника KLMN, таким образом площадь поперечного сечения составляет 35/72×1/4=35/288, поэтому площадь поперечного сечения в 35/288 раз больше площади ромба ABCD.'

'(4) Чтобы найти площадь нижней стороны (заполненной трапециевидной части) построенного в (2) графика. Используя полученное значение в (3) для расчета, расстояние, пройденное за 60 секунд, составляет 20 × 60 ÷ 2 = 600 метров, от 60 секунд до 120 секунд - 20 × (120-60) = 1200 метров, а от 120 секунд до остановки на 150 секундах 20 × (150-120) ÷ 2 = 300 метров. Следовательно, необходимое общее расстояние составляет 600 + 1200 + 300 = 2100 метров.'

'Угол B треугольника ABC и угол C треугольника ACD прямые, а углы, обозначенные •, равны. Точка E - пересечение продолжения сторон BC и AD. Длина стороны AB составляет 2 см, а длина стороны BC - 1 см. (1) Какова площадь треугольника ACD в квадратных сантиметрах?'

'Ответьте на следующие 4 вопроса. Однако имейте в виду, что диаграмма может быть неточной.\n(1) Нарисуйте два квадрата с AC как одной стороной для треугольника ABC и с BC как одной стороной для квадрата, как показано в диаграмме 1, и соедините две точки D и E линией. В этом случае, какова площадь треугольника CDE в квадратных сантиметрах?'

'В 1950 году, согласно Таблице 2, можно заметить, что к 2020 году Шибуйская образовательная академия Макухари имеет меньшую площадь по сравнению с префектурой Кагава, но ее площадь увеличилась. Кроме того, значительный рост площади можно наблюдать в префектуре Чиба, Токио, Канагава, Айти и других. Пожалуйста, объясните причины увеличения площади этих регионов на листе ответов. Однако обратите внимание, что изменения в границах префектур или обнаружение необитаемых островов не учитываются.'

'Вычислите площадь между двумя кривыми.'

'Найдите площадь следующего параллелограмма: AB = 2, CD = 2, BC = 5, ∠B = 120°'

'Вокруг круглого пруда радиусом 4м должна быть построена клумба такой же ширины. Чтобы гарантировать, что площадь цветочной клумбы будет от 9π квадратных метров до 33π квадратных метров, какой должна быть ширина цветочной клумбы?'

'Найдите площадь треугольника с заданными условиями и примените это к телесной геометрии.'

''

''

'Найдите площадь четырехугольника ABCD. Длины сторон AB=5, BC=6, CD=5, DA=3, а угол ∠ADC=120°.'

'В треугольнике ABC найдите следующее. Где, пусть площадь треугольника ABC будет обозначена как S. (1) Когда A=120 градусов, c=8, S=14√3, найдите a и b. (2) Когда b=3, c=2, 0<A<90 градусов, S=√5, найдите синус A и a. (3) Когда a=13, b=14, c=15, и длина перпендикуляра из вершины A к стороне BC равна h, найдите S и h.'

'Формула Герона (Расширенные темы)'

'Практика 5: Сравнение площади и периметра треугольников'

'Пример 135: Площадь многоугольника\nЧтобы найти площадь сложного многоугольника, разделите его на простые треугольники или четырехугольники, вычислите площадь каждого из них и сложите их.'

'Площадь треугольника ABC обозначается через S.'

''

'Найти площадь, ограниченную кривой PR, прямой и осью x.'

'Найти площадь (3) \ -x^{2} + 2x - 2 \.'

'Пусть A(1,0). Пока точка P перемещается по части параболы y=x^2, где -1 ≤ x ≤ 1, найдите площадь фигуры, образованной отрезком AP, проходящим через нее.'

'Выразите площадь S фигуры, ограниченной C и ℓ, через m при движении m в пределах, указанных в (1).'

'Найдите площадь, ограниченную графиками двух функций y=-x^{2}+x+2 и y=|x|-1.'

'Путем математики, площадь S, полученная из правой фигуры равна S = S1 + S2 + S3 = 1/2 * 2 * 1 + 1/2 * 2 (sqrt(3) - 1) + ∫[-1, sqrt(3)] ([-x^2 + x + 2] - [ (2 - sqrt(3)) x + 2 - sqrt(3)]) dx = 1 + sqrt(3) - 1 - ∫[-1, sqrt(3)] (x + 1)(x - sqrt(3)) dx = sqrt(3) - (-1/6)[sqrt(3) - (-1)]^3 = sqrt(3) + 1/6 (10 + 6 sqrt(3)) = 5/3 + 2 sqrt(3)'

''

'Если S1, S2, S3 взяты как показано на рисунке, то площадь S, которую нужно найти, равна: S = S1 - (2 S2 - S3) + S3 = S1 - 2 S2 + 2 S3 = ∫[0, 3] { 3x - (3x^2 - 6x) } dx - 2 ∫[0, 2] { - (3x^2 - 6x) } dx + 2 ∫[0, 1] { (-3x^2 + 6x) - 3x } dx = -3 ∫[0, 3] x(x-3) dx + 6 ∫[0, 2] x(x-2) dx - 6 ∫[0, 1] x(x-1) dx = -3 * (-1/6) (3 - 0)^3 + 6 * (-1/6) (2 - 0)^3 - 6 * (-1/6) (1 - 0)^3 = 27/2 - 8 + 1 = 13/2'

'Найдите площадь следующей фигуры: (1) a=10, B=30°, C=105° для △ABC'

'Найдите площадь треугольника ABC. (1) a=3, c=2√2, B=45 градусов (2) a=6, b=5, c=4'

'Практикуйтесь в нахождении площади S следующего четырехугольника ABCD (O - пересечение AC и BD).'

'Найдите площадь S следующего параллелограмма ABCD (O - точка пересечения AC и BD).'

'Поскольку r>0 и x>0, у нас есть x=(\\sqrt{2}-1) r. Площадь четырехугольника AMON равна 2 \\triangle \\mathrm{AMO}=x r=(\\sqrt{2}-1) r^{2}. Следовательно, площадь восьмиугольника, которую мы ищем, равна 8(\\sqrt{2}-1) r^{2}.'

'Найдите площадь следующей фигуры: (3) Четырехугольник ABCD, вписанный в окружность, AB=6, BC=CD=3, ∠B=120°'

'Найдите площадь четырехугольника ABCD.'

'Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.'

'Как можно сделать так, чтобы площадь прямоугольника с периметром 20 см была от 9 см² до 21 см²?'

'Площадь треугольника'

'Если площадь треугольника ABC равна 20√3, найдите длину самой длинной стороны треугольника ABC.'

'Найдите площадь следующих фигур.'

'Когда даны длины трех сторон, чтобы найти площадь S треугольника ABC, следует выполнить следующие шаги:\n(1) Используйте косинусное правило, чтобы найти cos A.\n(2) Из sin ^ 2 A + cos ^ 2 A = 1 найдите sin A.\n(3) Подставьте в формулу площади S = 1/2bc sin A.\nПлощадь S, выраженная в терминах длин трех сторон a, b, c, известна как формула Герона.\nПлощадь S треугольника ABC по формуле Герона равна\nКогда 2s = a + b + c,\nS = √(s(s-a)(s-b)(s-c))'

'Как можно рассчитать площадь четырехугольника ABCD?'

'Озерная проблема 139 Представление переменных и площадь (1)\nНайдите площадь $S$ области, ограниченной кривой \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x=2 \\cos t \\\\ y=\\sin 2 t\\end{\overlineray}\\left(0 \\leqq t \\leqq \\frac{\\pi}{2}\\right)\\right. и осью $x$.'

'(1) На плоскости, когда центр окружности радиусом r (r ≤ 1) делает один оборот вдоль стороны квадрата со стороной 4, найдите площадь S(r) части окружности, которая проходит через.'

'Найдите площадь S(a) треугольника ABC и минимальное значение S(a) при движении a по всем действительным числам в данной задаче.'

'Следовательно, так как t=\\frac{1}{2}, общая форма кривой как показано на правой фигуре. Таким образом, площадь, которую необходимо определить, равна'

''

'Найдите площадь S фигуры, окруженной следующими кривыми, линиями и осью x.'

'В регионе на плоскости xy, где x^{2}+y^{2} ≤ 2,|x| ≤ 1, найдите площадь S части над кривой C: y=x^{3}+x^{2}-x.'

''

'Найдите значение постоянной а, когда площадь, заключенная между параболой y=-x(x-2) и осью x, делится линией y=ax пополам. При условии, что 0<a<2.'

''

'Моменты, на которые следует обратить внимание при расчете площади'

''

'Найдите площадь, ограниченную касательными в точке $(0,0)$ и в точке $(2,-2)$ параболы $y=-x^{2}+x$. стр. 412 пример 155'

'Найдите площадь, ограниченную кривой $x=y^{2}$, осью у и линией $y=2$.'

'Найдите площадь \ S \ кривой, заданной параметрическими уравнениями \\( x=2 t+t^{2}, y=t+2 t^{2}(-2 \\leqq t \\leqq 0) \\) и ограниченной осью y.'

'Решите следующую задачу. Найдите площадь \ S \ кривой, представленной уравнениями \\( x = 2t + t^2, y = t + 2t^2 (-2 ≤ t ≤ 0) \\) и фигуры, заключенной осью \ y \.'

'Следовательно, обозначим площадь \ \\triangle ABC \ как \ S \, тогда\nS = S_{1} + S_{2} - S_{3} = 6\\sqrt{3} + (\\sqrt{6} + \\sqrt{2}) - \\frac{3(\\sqrt{6} - \\sqrt{2})}{2} = \\frac{5\\sqrt{2} + 12\\sqrt{3} - \\sqrt{6}}{2}\n\nПредставляя 3 точки \ A, B, C \ в декартовых координатах,\nA(3, 3\\sqrt{3}), B(-2, 2\\sqrt{3}), C(-\\sqrt{2}, -\\sqrt{2})\n\n\\overrightarrow{AB} = (-5, -\\sqrt{3}), \\quad \\overrightarrow{AC} = (-\\sqrt{2} - 3, -\\sqrt{2} - 3\\sqrt{3})\nS = \\frac{1}{2}| -5(-\\sqrt{2} - 3\\sqrt{3}) - (-\\sqrt{3})(-\\sqrt{2} - 3) | = \\frac{5\\sqrt{2} + 12\\sqrt{3} - \\sqrt{6}}{2}'

'Найдите площадь S, ограниченную следующим кривой или линией. где постоянная a в (2) удовлетворяет 0 < a < 1.'

'Из уравнения, данного формулой (3), 2x ^ 2-2xy + y ^ 2 = 4, можем вывести y ^ 2-2xy + 2x ^ 2-4 = 0. Следовательно, y = x ±√(4-x ^ 2) (-2≤x≤2). Из диаграммы площадь рассчитывается как S =∫_(-2)^ 2{ x +√(4-x ^ 2)} = 2∫_(-2)^ 2√(4-x ^ 2)dx = 2 *π * 2 ^ 2 = 4π'

'Найти площадь, ограниченную кривой, представленной уравнениями x=cos(2t) и y=t*sin(t) в декартовой системе координат с использованием параметра t (0≤t≤2π).'

'Используя формулу площади, данную в примере, найдите площадь области, ограниченной кривой $C$, представленной полярным уравнением $r=1+\\sin \\frac{\\theta}{2}(0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi)$ и осью x.'

'Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой y² = (x + 3)x²'

'Найдите площадь S, окруженную следующей кривой и линиями.'

'Найдите максимальную площадь S трапеции ABCD. Где AD // BC, AB=AD=CD=a, и BC>a.'

''

'Вычислите площадь треугольника, образованного точками P = (1, 1), Q = (4, 5) и R = (7, 2).'

'Найдите площадь S, ограниченную следующим кривым и прямыми линиями: y=√x, ось x, x=1, x=2.'

'Древние греки использовали геометрию для расчёта площадей и объёмов.'

'Найдите площадь треугольника OAB.'

'Пожалуйста, вычислите площадь равнобедренного треугольника со стороной 10 см и другой стороной 15 см.'

'Вероятность втиснуть 100-иеновую монету в плитку При бросании 100-иеновой монеты (диаметр 2,2 см) на большой пол, покрытый квадратными плитками со стороной 3 см, давайте рассмотрим вероятность того, что она полностью поместится на одной плитке.'

'Когда точки P, Q, R на плоскости не коллинеарны, площадь треугольника с ними в качестве 3 вершин обозначается ∆PQR. Также, если P, Q, R коллинеарны, то площадь также определяется как ∆PQR=0. Пусть A, B, C будут 3 точками на плоскости, при этом ∆ABC=1. Найдите площадь диапазона возможного движения точки X на плоскости, удовлетворяя условиям 2 ≤ ∆ABX + ∆BCX + ∆CAX ≤ 3. [Токийский университет]'

'Найдите площадь четырехугольника, вписанного в окружность с радиусом 106 (2)\nВ четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность с радиусом 106, если AB=5, BC=4, CD=4, DA=2, найдите площадь S четырехугольника ABCD.'

'Площадь трапеции DFGE составляет 479'

''

Найдите площадь $S$ треугольника $riangle \mathrm{OAB}$ в каждом из следующих случаев. (2) Когда вершины заданы тремя точками \( \mathrm{O}(0,0), \mathrm{A}(1,-3), \mathrm{B}(2,2) \), пусть \overrightarrow{\mathrm{OA}}=ec{a} и \overrightarrow{\mathrm{OB}}=ec{b} .