Основные функции - Рациональные функции и неравенства

'Практикуйте построение области, представленной следующим неравенством.'

'Найдите минимальное значение x+\\frac{9}{x} при x>0.'

'Изменяя положения источников звука, мы измерили разницу во времени, когда звук был услышан в точках A и B, и обнаружили, что в это время есть максимум.'

'Постройте графики функций (1) $y=\\frac{1}{2x}$, (2) $y=\\frac{3}{x}-1$, и (3) $y=\\frac{-2}{x-1}$.'

'Определение коэффициентов функции по максимальным и минимальным значениям (2)'

'Основное 1: График рациональной функции, асимптоты и область значений'

'Пусть C1 - кривая, симметричная относительно прямой y=x кривой y=2/(x+1), а C2 - кривая, симметричная относительно прямой y=-1 кривой y=2/(x+1). Найдите все координаты точек пересечения между асимптотой кривой C2 и кривой C1.'

'Исследуя наличие действительных решений уравнения $f(x)=g(x)$,\nи изучая изменения значения функции $F(x)=f(x)-g(x)$, используется теорема о промежуточном значении.\n(1) Если $F(x)$ непрерывна на замкнутом интервале $[a, b]$, и $F(a)F(b)<0$ [$F(a)$ и $F(b)$ имеют противоположные знаки], то по крайней мере одно действительное решение для уравнения $F(x)=0$ будет на открытом интервале $(a, b)$.\n(2) В (1), в частности, если $F(x)$ монотонно возрастает [$F^{\\prime}(x)>0$] или монотонно убывает [$F^{\\prime}(x)<0$], то действительное решение единственно.'

'Пожалуйста, нарисуйте график функции y=(1-log x)/x^2. Важно отметить, что lim(x→∞) от log x/x^2 равен 0.'

''

'Основы 3: Пересечение графиков дробной функции и линии, неравенства с дробями'

'Как график функции y =\\ frac {-6 x +21} {2 x-5} сдвинут параллельно к графику функции y =\\ frac {8 x +2} {2 x-1}?'

'График функции y = (ax + b) / (x + 2) (b ≠ 2a) проходит через точку (1,1), и обратная функция этой функции совпадает с исходной функцией. Найдите значения констант a, b.'

'Пусть z - ненулевое комплексное число. Когда неравенство 2 ≤ z + 16/z ≤ 10 выполняется, постройте область, где находится точка z на комплексной плоскости.'

'(3) r является необходимым условием для (p или q)'

'Понимайте область значений функции и покорите пример 64!'

'Объясните вычисление выражений, содержащих квадратные корни.'

'Когда x=\\frac{6}{5}, y=\\frac{3}{5}, минимальное значение равно \\frac{9}{5}.'

'Объясните обратное, контрапозитивное и инверсное утверждение.'

'Найдите минимальное значение x+\\frac{16}{x}, когда x>0.'

'Докажите, что для положительных чисел a, b, x, y, где a+b=1, √(ax+by) ≥ a√(x)+b√(y). Также, определите, когда выполняется равенство.'

'Объясните отношение между множествами и необходимыми и достаточными условиями.'

'Докажите, что утверждение истинно.'

'Пожалуйста, объясните множества и связанные термины (подмножество, равное, пересечение, объединение, дополнение).'

'(4) Выберите одно из следующих чисел от 0 до 7, предполагая, что графики y=|3x-6| и y=2x+1 представлены на одной координатной плоскости, какой из них наиболее подходит для точек пересечения.'

'Выражение функции можно преобразовать к форме y=k/(x-2)+1, и так как график проходит через точку (1,2), из 2=-k+1 получаем k=-1'

'Найдите значение следующего определенного интеграла.\ \\int_{0}^{1} \\frac{1}{x^{2}+x+1} d x \'

'Если функции f(x) и g(x) непрерывны при значении α в их области определения, докажите, что следующие функции также непрерывны при x=α: 1. k f(x) + l g(x) (где k, l - константы) 2. f(x) g(x) 3. f(x)/g(x) (где g(α) ≠ 0)'

'164 (1) u = \\frac{V}{2 \\pi} \\cdot \\frac{1-2 h+\\sqrt{1-4 h}}{h^{2}}'

'Графики, области определения и области значений для 3 иррациональных функций'

'Рассмотрим g(1/2) = α, g(1/3) = β, и докажем, что α + β = π/4.'

'Найдите значения констант $a, b, c$, когда функция $f(x)=\\frac{a x+b}{x+c}$ удовлетворяет следующим условиям (A), (B).\n(A) Кривая $y=f(x)$ пересекается с прямой $y=x+1$ в двух точках, и абсолютные значения координат $x$ этих двух точек пересечения равны.\n(B) Кривая $y=f(x)$ и пересечения с осью $x$ и осью $y$ находятся на прямой $y=\\frac{3}{2} x+\\frac{11}{2}$.\n[Кейо Университет]'

'Постройте график функции y = \\frac{9x - 10}{6x - 4} и найдите асимптоты.'

'Сложная функция f_{n}(x)'

'y = \\frac{9x-10}{6x-4} = \\frac{9x-10}{2(3x-2)} = \\frac{3(3x-2)-4}{2(3x-2)} = \\frac{3}{2} - \\frac{2}{3x-2}. Следовательно, график, который мы ищем, получается путем сдвига графика y = \\frac{-2/3}{x} на 2/3 по x и 3/2 по y вправо. График показан на правой диаграмме. Асимптотические линии - две линии x=2/3, y=3/2.'

'Упражнение 12: Докажите следующие неравенства.'

'Пример 36: Формулы приближения и приблизительные значения\n(1) Создайте формулу первого и второго порядка f(x)=\\frac{1}{1+x} при достаточно малых |x|.\n(2) Используя формулу первого порядка для \\cos(a+h), найдите приближенное значение \\cos 61 градус. Примите \\sqrt{3}=1.732, \\pi=3.142 и рассчитайте до третьего десятичного знака.'

'Дана дробная функция f(x) = \\frac{a x-b}{x-2}, где b \\neq 2 a. Для всех значений x, удовлетворяющих условию 0 \\leqq x \\leqq 1, требуется 0 \\leqq f(x) \\leqq 1 и f(f(x))=x. Найдите значения констант a, b.'

'Определенный интеграл и неравенство'

'Математика II'

'График, асимптота и область определения рациональной функции.'

'Приблизьте следующие функции.\n(1) Вычислите 1/(1+x) ≈ 1-x, 1/(1+x) ≈ 1-x+x^2 последовательно\n(2) 0.485'

'Упростите следующие выражения.'

'Найдите диапазон постоянного a, когда от точки (a, 0) можно провести касательную к графику функции y=(x+3)/(√(x+1)).'

'(1) Как график функции y = \\frac{3 x+17}{x+4} связан с графиком функции y = \\frac{x+8}{x+3} после параллельного сдвига? (2) Определите значения констант a, b, c, когда график функции y = \\frac{a x+b}{x+c} имеет асимптоты x = 3 и y = 1 и проходит через точку (2, 2).'

'Для вещественного числа x, [x] представляет целое число n, удовлетворяющее n ≤ x < n+1, определите значения констант a и b так, чтобы функция f(x)=( [x] + a)( b x - [x] ) была непрерывной при x=1 и x=2.'

''

'Найдите уравнение асимптот для у = \\frac{x^{3}}{x^{2}-4}.'

'Постройте графики следующих функций и определите их асимптоты.'

'Построить графики следующих функций и найти их асимптоты. (а) y=(3x+5)/(x+1) (б) y=(-2x+5)/(x-3) (в) y=(x-2)/(2x+1) (2) Найдите диапазон значений для функций (а) и (б), когда область определения равна 2 ≤ x ≤ 4.'

'Исследуйте непрерывность следующих функций и укажите их области определения.'

'Далее исследуем количество действительных решений уравнения на основе пересечений графика y=f(x) и прямой y=k.'

'(1) y=\\frac{4x-3}{x-2} y=5x-6 Из уравнений (1) и (2) получаем \\frac{4x-3}{x-2}=5x-6 Умножая обе стороны на x-2, получаем 4x-3=(5x-6)(x-2) Упрощая, получаем x^2-4x+3=0 Следовательно (x-1)(x-3)=0 Следовательно x=1,3 Подставляя в (2), мы получаем y=-1 при x=1 и y=9 при x=3 Следовательно, координаты точек пересечения - (1, -1), (3, 9)'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Найдите координаты точек пересечения графика функции f(x) = 1/6x³ + 1/2x + 1/3 с графиком её обратной функции f^{-1}(x).'

'Найдите уравнения асимптот для (1) y=\\frac{2 x^{2}+3}{x-1} (2) y=x-\\sqrt{x^{2}-9}'

'Когда функция y=(2x+c)/(ax+b), проходит через точку (-2, 9/5), и имеет асимптоты x=-1/3, y=2/3, найдите значения констант a, b, c.'

'Пусть C: y = 1/x (x > 0) - это кривая. Рассмотрим касательную к точке P(t, 1/t) на кривой C как линию lt. Кроме того, пусть α, β - постоянные, удовлетворяющие условию 0 < α < β, и пусть D - область, ограниченная двумя касательными линиями lα, lβ и кривой C. (1) Найдите площадь D. (2) Для α < t < β найдите значение t, которое минимизирует площадь S(t) над касательной lt в D.'

'Исследуйте, являются ли следующие функции непрерывными и дифференцируемыми в указанных точках в пределах [ ].'

'В диапазоне \ 0 \\leqq x \\leqq 2 \\pi \ функция \\( f(x) \\) определяется как \\( f(x)=\\frac{2 a(\\sin x+\\cos x)}{2+2 \\sin x \\cos x-a(\\sin x+\\cos x)} \\). Здесь \ a \ - постоянная, удовлетворяющая условию \ 0<a<2 \.'

''

'Для интервала \ [a, b] \, где \ a < b \, если \\( f(x) \\neq g(x) \\) и \\( f(x) \\geqq g(x) \\) для всех \ x \, то \\( \\int_{a}^{b} f(x) dx > \\int_{a}^{b} g(x) dx \\)'

'Постройте график дробной функции и асимптотической линии, а также решите базовый пример 73 (1) функцию y = 3x / (x-2). Также найдите асимптотическую линию. (2) В (1), когда область определения составляет 4 ≤ x ≤ 8, найдите область значений.'

'Найдите площадь S, ограниченную графиками y=1/x, y=ax, y=bx на плоскости xy. Здесь x>0, a>b>0.'

'Определение функции дроби'

'Исследуйте возрастание и убывание функции y=(x²-x+2)/(x+1), выпуклость графика, асимптоты и нарисуйте примерный набросок графика.'

'Когда действительные числа a, b, c, d удовлетворяют ad-bc≠0, ответьте на следующие вопросы относительно функции f(x)=\\frac{ax+b}{cx+d}:'

'Исследуйте возрастание и убывание, выпуклость и вогнутость, асимптотические линии функции y=(x+1)^{3}/x^{2} и нарисуйте контур графика.'

'Исходя из условий асимптот, искомая функция может быть выражена как $y = \\frac{k}{x+3} + q (k \\neq 0)$. Поскольку график проходит через точки $(-2,3)$ и $(1,6)$, у нас есть уравнения $3=k+q, 6=\\frac{k}{4}+q$. Решив их, получаем $k=-4, q=7$. Подставив эти значения, получаем $y=\\frac{-4}{x+3}+7$, которое упрощается до $y=\\frac{7x+17}{x+3}$. Асимптоты графика функции $y=\\frac{k}{x-p}+q$ - две прямые $x=p, y=q$.'

'Гипербола x^2-y^2/4=1, за исключением точки (-1,0)'

'Асимптотические линии, не параллельные обоим осям (y = ax + b)'

'Докажите, что функция f(x)=\\frac{x}{1+2^{\\frac{1}{x}}} при A 46^{\\ominus} x \\neq 0 и f(x)=0 при x=0 непрерывна в точке x=0, но не дифференцируема.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

''

'Постройте графики следующих функций.'

'Постройте графики следующих функций и найдите их области определения и значения.'

'Исследуйте функцию на возрастание и убывание, выпуклость графика, асимптоты и нарисуйте общую форму графика.'

'Площадь между линией и кривой'

'Найдите значение константы a так, чтобы обратная функция функции y=(a x-a+3)/(x+2) совпадала с исходной функцией (a не равно 1)'

'Определите значения констант p, q, чтобы функция f(x) = (px + q)/(x^2 + 3x) достигла локального максимума -9 при x = -1/3.'

'Какую кривую представляет данное параметрическое представление?'

'Определите, являются ли следующие функции f(x) непрерывными или разрывными. Где [x] обозначает наибольшее целое число, которое не превышает действительное число x.'

'Объясните отношение между обратной функцией g(y) и исходной функцией f(x).'

'Найдите уравнение касательной, когда точка (x₁, y₁) лежит на кривой эллипса $\\frac{x²}{a²} + \\frac{y²}{b²} = 1$.'

'График рациональной функции, асимптоты и область значений'

'Область определения функции (1) - x ≠ -2, область значений - y ≠ a, следовательно, область функции, обратной (1), - x ≠ a, для того чтобы совпадали функция (1) и ее обратная функция\na=-2\nВ этом случае обратная функция (1) - y = \\frac{-2x+5}{x+2} совпадает с функцией (1). Следовательно, искомое значение константы a - a=-2'

''

'Найдите область определения следующих функций.'

'Постройте график функции y=(9x-10)/(6x-4) и найдите асимптоты.'

'Докажите, что функция $f(x)=\\frac{x}{1+2^{\\frac{1}{x}}}$ при $x \\neq 0$ и $f(x)=0$ при $x=0$ непрерывна в точке $x=0$, но не дифференцируема.'

'Найдите область определения следующих функций.'

'Определите значения констант a, b так, чтобы функция f(x)=\\frac{a x+b}{x^{2}+1} достигала максимального значения \\frac{1}{2} при x=\\sqrt{3}.'

'Упражнение пример 4 Уравнение функции'

Основы 64 | Область значений функций, максимальные и минимальные значения функций (Основы)

Пожалуйста, объясните свойства следующей гиперболы: x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)