Основные функции - Квадратные функции и их графики

'(1)\\[\n\egin{aligned}\ny^{\\prime} & =-3 x^{2}+12 x-9 \\\\\n& =-3\\left(x^{2}-4 x+3\\right) \\\\\n& =-3(x-1)(x-3)\n\\end{aligned}\n\\]\nКогда \ y^{\\prime}=0 \, \ x=1,3 \\nТаблица для увеличения и уменьшения \ y \ показана справа. Поэтому график такой, как показано на рисунке(1)\n\n(2) \\( y^{\\prime}=x^{2}+2 x+1=(x+1)^{2} \\)Когда \ y^{\\prime}=0 \, \ x=-1 \Таблица для увеличения и уменьшения \ y \ показана справа. Поэтому он всегда монотонно увеличивается. Поэтому график такой, как показано на рисунке(2)\n\n\\n\egin{\overlineray}{c||c|c|c|c|c}\n\\hline x & \\cdots & 1 & \\cdots & 3 & \\cdots \\\\\n\\hline y^{\\prime} & - & 0 & + & 0 & - \\\\\n\\hline y & \\searrow & \\text{мин -2} & \\nearrow & \\text{макс 2} & \\searrow \n\\hline\n\\end{\overlineray}\n\'

'Постройте область, представленную неравенством y > x^{2}-3 x.'

''

"Каково условие для f(x)=6x^2-6x+3a, где f'(x)=6x^2-6x+3a, чтобы иметь два различных действительных числовых решения?"

'Для квадратичной функции x найдите все квадратичные функции, которые пересекают график y=x^2 в двух точках ортогонально. Графики считаются ортогональными в точке, если они имеют общую точку и их касательные перпендикулярны друг другу.'

'x^{2}+y^{2}=10\n(1) y=-x+2\nx^{2}-2 x-3=0\n(x+1)(x-3)=0\nСледовательно, когда x=-1 или x=3, y=3 или y=-1\nСледовательно, окружность (A) и прямая (1) пересекаются в двух точках (-1,3),(3,-1).'

'54 (1) f(x) = t^2 + at + b - 1'

'Когда точка P(x, y) движется по единичной окружности, найдите максимальное значение 15x^2+10xy-9y^2 и координаты точки P, придающие максимальное значение.'

'Максимальное значение при x=1,4 равно \\frac{4}{3}; минимальное значение при x=0 равно -\\frac{16}{3}'

'Давайте вспомним о максимальных и минимальных значениях квадратичной функции, а также уравнениях, содержащих тригонометрические функции! Давайте вспомним пример 72 в математике! Вспомним, как мы находили максимальные и минимальные значения квадратичной функции. Сначала завершим квадрат и построим график. Для построения графика квадратичной функции y=4t^{2}+4t+6 завершим квадрат справа, чтобы привести его к стандартному виду.'

'Для двух парабол y=x^{2} (1) y=-x^{2}+x-a (2) ответьте на следующие вопросы.'

'Давайте вспомним уравнения, включающие квадратичные функции, максимумы, минимумы и тригонометрические функции!'

"(2) Если y' = 12x - 3x^2 = -3x(x-4) и y' = 0, то таблица увеличения и уменьшения y при x = 0,4 будет следующей. Следовательно, при x = 4 он достигает максимального значения 32, а при x = 0 минимального значения 0."

'Найдите среднюю скорость изменения при изменении значения x следующим образом в функции f(x)=x^{2}+2x-1.'

'Область, представленная неравенством y>x^{2}, находится выше параболы y=x^{2}. Используя это как ссылку, проиллюстрируйте области, представленные следующими неравенствами:'

'Постройте область, представленную следующими неравенствами. (1) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x-3 y-9<0 \\\\ 2 x+3 y-6>0\\end{\overlineray}\\right. (2) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}+y^{2} \\leqq 9 \\\\ x-y<2\\end{\overlineray}\\right. (3) $1<x^{2}+y^{2} \\leqq 4$'

'Найдите уравнение касательной к графику функции y=x^{2}-x, проведенной из точки C(1,-1).'

'Найдите площадь, ограниченную следующими параболами и осью x.\n(1) y=1-x^{2}\n(2) y=x^{2}+x-2\n(3) y=2x^{2}+x-1'

'График кубической функции и их точки пересечения с осью x'

'Найдите уравнения двух касательных в точках (-1,1) и (2,4) на параболе y=x^{2} и вычислите площадь, заключенную этой параболой.'

''

'Найдите уравнение касательной к окружности в точке (-1,0).'

'Найти максимум и минимум кубической функции'

'Найдите уравнение касательной к точке P(1, -2) на окружности x^2 + y^2 = 5.'

'Пусть r>0. Найдите диапазон значений r, когда парабола y=x^{2}-1 и окружность x^{2}+y^{2}=r^{2} имеют 4 общие точки.'

'Каково уравнение касательной на параболе C: y=x^{2}+1 в точке (t, t^{2}+1)? Существует две касательные к C, каковы их уравнения?'

'При x = 3 максимальное значение равно 648, при x = 1 минимальное значение равно 72.'

'При x = -1 есть локальный максимум 5, при x = 3 есть локальный минимум -27. При x = 4 есть локальный максимум 32, при x = 0 есть локальный минимум 0. Нет экстремума, нет экстремума.'

'Какие стратегии сдачи экзамена? Предоставьте конкретные предложения, пожалуйста.'

'Когда точка \\((x, y)\\) движется в наборе, определенном как \\((x^{2}+y^{2})^{2}-\\left(3 x^{2}-y^{2}\\right) y=0, x \\geqq 0, y \\geqq 0\\) в координатной плоскости, найдите максимальное значение \x^{2}+y^{2}\ и значения \x, y\, при которых оно достигается максимума. [Университет Чиба]'

'Пусть парабола y² = 4x будет C. \n(1) Найдите уравнение нормали к параболе C с уклоном m. \n(2) Сколько нормалей можно провести из точки (a, 0) на оси х до параболы C? При условии, что a ≠ 0.'

'Ответьте, какой тип конического сечения представлен следующими квадратичными уравнениями:'

''

'График квадратичной функции и x'

'Найдите максимальное и минимальное значения функции. (3) y=x^2-4x+2 (-2 < x ≤ 4)'

'Постройте графики следующих функций:'

'Найдите квадратичную функцию, проходящую через заданные три точки.'

'Определите количество точек пересечения между параболой y=x^{2}-2x+2k-4 и осью x, рассматривая различные случаи в зависимости от значения k.'

'Как пара́бола y=-x^{2}+3x-1 была сдвинута параллельно, чтобы получить параболу y=-x^{2}-5x+2.'

'Найдите уравнение параболы, которая перекрывается с параболой y=-2x^2+3 при сдвиге на 2 единицы вдоль оси x и -1 единицу вдоль оси y.'

'Докажите, что график функции $y = mx^2 - 4(m+1)x + m+3$ всегда имеет точку пересечения с осью x независимо от значения константы $m$.'

'Найдите максимальное и минимальное значения функции f(x) = -x^2 + 2ax (0 ≤ x ≤ 4), где a - константа.'

'Найдите максимальное и минимальное значения функции. (2) y=2x^2-4x+3 (x ≥ 2)'

'Учитывая отрезки длиной a и b, постройте отрезок с положительным корнем в качестве длины, удовлетворяющий квадратному уравнению x^2 - ax - b^2 = 0.'

'Точки пересечения параболы и прямой'

'Для функции f(x)=x^{2}-2 a x-a+6 найдите диапазон значений константы a, при которых всегда f(x) ≥ 0 для -1 ≤ x ≤ 1.'

'Определите значения констант a и b так, чтобы график квадратичной функции y = ax^{2} + bx - 1 проходил через точки (1, 0) и (-2, -15).'

'Когда у функции f(x)=ax^{2}-2ax+a+b максимальное значение 3, а минимальное значение -5, найдите значения констант a и b.'

''

'Базовый Пример 86 Точки Пересечения Параболы и Прямой\nСуществует парабола y=x^{2}-3 x+3 и прямая y=2 x-a.\n(1) Найдите координаты точек пересечения двух графиков, когда a=1.\n(2) Определите значение постоянной a так, чтобы у двух графиков была только одна точка пересечения.\n(3) Определите диапазон значений постоянной a так, чтобы у двух графиков не было точек пересечения.'

'Найдите уравнения парабол, удовлетворяющие следующим условиям.'

''

'Найдите квадратичную функцию с вершиной в точке (2,-3) и отрезком длиной 6, отрезанным от оси x.'

''

'Компания A продает шоколад. Количество проданных шоколадок, обозначенное как y (где y - целое число больше или равное 1), связано с ценой продажи p йен за шоколадку следующим образом:\ny = 10 - p\n(1) Найдите значения цены продажи p и количества проданных шоколадок y, которые максимизируют доходы компании A. Доходы определяются как произведение цены продажи и количества продаж.\n(2) Общая стоимость c(y) продажи y шоколадок составляет c(y) = y^2. Определите значения цены продажи p и количества проданных шоколадок y, которые максимизируют прибыль компании A (доходы минус общая стоимость).\n(3) В (2) если общая стоимость c(y) изменится на c(y) = y^2 + 20y - 20, найдите значения цены продажи p и количества проданных шоколадок y, которые максимизируют прибыль компании A.'

'Выберите две функции из следующих (1)~(4), которые имеют максимальное значение при x = 2, и найдите максимальное и минимальное значения этих функций.'

'Определение квадратичных функций (2)'

'Для графика C квадратичной функции y = x^2 - 4x + 3 и точки A(0, -1), найдите следующее: (1) Переместите график C параллельно оси x, чтобы он проходил через точку A'

'Определите значение постоянной a так, чтобы парабола y=x^{2}-a x+a+1 касалась оси x. Кроме того, найдите координаты точки касания.'

'Постройте график квадратичной функции y=ax^{2}+bx+c, используя программное обеспечение для построения графиков на компьютере. В этом программном обеспечении, введение значений коэффициентов a, b и c в поля A, B, C на экране приведет к отображению соответствующего графика для этих значений.'

'Найдите квадратичную функцию, которая удовлетворяет следующим условиям для ее графика:'

'Переведите параболу y=x^{2}-3x-1 путем параллельного сдвига, чтобы она проходила через точки (1,-1), (2,0), найдите вершину параболы.'

'График квадратичной функции с модулем'

'Определите значение константы c так, чтобы максимальное значение функции было равно 7. Также найдите минимальное значение в этой точке.'

''

'Это задача на поиск максимума и минимума квадратичной функции. Пожалуйста, найдите вершину квадратичной функции, указанной ниже, и определите максимум или минимум на основе этого значения.'

'Квадратичные функции и графики\n\nГрафик квадратичных функций\nГрафик $\\ Delta y=a(x-p)^{2}+q(a \\ neq 0)$: Вершина $(p, q)$, ось - это прямая $x=p$\nЕсли $a>0$, то парабола выпуклая вниз; Если $a<0$, то парабола выпуклая вверх\n\nГрафик $D y=a x^{2}+b x+c(a \\ neq 0)$: Дополнение квадрата\n\\[ y=a\\left(x+\\frac{b}{2 a}\\right)^{2}-\\frac{b^{2}-4 a c}{4 a} \\]\nВершина $\\left(-\\frac{b}{2 a},-\\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}\\right)$, ось - это прямая $x=-\\frac{b}{2 a}$\nЕсли $a>0$, то парабола выпуклая вниз; Если $a<0$, то парабола выпуклая вверх'

'Найдите длину сегмента, отсеченного графиком следующих квадратичных функций от оси x.'

'Найдите диапазон значений константы $a$ так, чтобы уравнение 2-й степени $x^{2}-2(a-1)x+(a-2)^{2}=0$ имело два различных вещественных решения $\\alpha, \eta$, удовлетворяющих $0<\\alpha<1<\eta<2$.'

'Найдите квадратичные функции, удовлетворяющие следующим условиям: (1) Вершина графика находится в точке (1,3) и проходит через точку (-1,4). (2) Ось графика является линией x=4 и проходит через точки (2,1) и (5,-2). (3) Эта функция достигает максимума 10 в точке x=3 и в точке x=-1 значение y=-6.'

'Объясните способ переместить параболу y=-2x^2+3 параллельно оси x на -2 единицы и параллельно оси y на 1 единицу, и найдите уравнение полученной параболы.'

'Парабола y=2 x^{2}+a x+b перенесена на 2 единицы вдоль оси x и -3 единицы вдоль оси y, совпав с параболой y=2 x^{2}. Найдите значения констант a и b.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'60 (1) При \ x= \\pm 2 \ имеет максимальное значение 8, минимальное значение -4 при \ x=0 \\n(2) При \ x=2 \ минимальное значение составляет 3, максимального значения нет\n(3) При \ x=2 \ минимальное значение составляет -2, максимального значения нет\n(4) При \ x=0 \ максимальное значение составляет 1, минимального значения нет'

'При 64 (1) \ a<2 \, при \ x=4 \ максимальное значение \ -24 a+53 \; при \ a=2 \, при \ x=0,4 \ максимальное значение 5; при \ a>2 \, при \ x=0 \ максимальное значение 5; (2) при \ a<0 \, при \ x=0 \ минимальное значение 5; для \ 0 \\leqq a \\leqq 4 \, при \ x=a \ минимальное значение \ -3 a^{2}+5 \; при \ a>4 \, при \ x=4 \ минимальное значение \ -24 a+53 \'

'Найдите уравнение параболы, полученное параллельным переносом параболы y=x^2-4x на 2 единицы вдоль оси x и на -1 единицу вдоль оси y.'

'Существуют три формы квадратичной функции: стандартная форма, общая форма и факторизованная форма. Пожалуйста, объясните особенности и ситуации, в которых следует использовать каждую форму.'

'Найдите диапазон значений постоянной $a$, чтобы два различных вещественных корня уравнения $a x^{2}+(a+7) x+2 a-7=0$ находились в пределах интервала $-3<x<3$.'

'Найдите количество точек пересечения графиков двух следующих квадратичных функций с осью x.'

'Найдите максимальное и минимальное значения следующей функции: (4) y=-x^2-6x+1 (0 ≤ x < 2)'

'Найдите максимальное и минимальное значение функции. (1) y=3x^2-4 (-2 ≤ x ≤ 2)'

'Постройте графики следующих квадратичных функций. Также найдите их вершины и оси.'

'Максимум и минимум квадратичной функции'

'Глава 4 Квадратичные функции: Решение 132 квадратичных функций'

'Когда парабола y=x^{2}-(k+2)x+2k пересекает ось x и образует отрезок длиной 3, найдите значение постоянной k.'

'Глава 4 Квадратичные функции: График функции 112-ой степени'

'Постройте график квадратичной функции y=ax^2+bx+c, используя метод полного квадрата.'

'Найдите значение константы a, когда вершина параболы y=x^{2}+a x-2 лежит на прямой y=2 x-1.'

'Когда мяч запускается вверх от земли, и высота через t секунд составляет y метров, y становится квадратичной функцией от t. Если высота мяча достигает максимума 176,4 метра через 6 секунд, каким образом можно выразить y как функцию от t?'

'Найдите значение константы a, когда вершина параболы y=x^2+ax-2 лежит на прямой y=2x-1.'

'Найдите максимальное и минимальное значения 2x^{2}+3y^{2}, когда x^{2}+2(y-2)^{2}=18. Также определите значения x и y в этот момент.'

'Найдите максимальное и минимальное значения для следующих квадратичных функций:'

'Вычислите количество точек пересечения между графиком следующих квадратичных функций и осью х.'

'Для случаев, когда a является постоянной, найдите максимальное и минимальное значения функции f(x)=3 x^{2}-6 a x+2 в диапазоне 0 ≤ x ≤ 2.'

'Определите, является ли следующий пример функцией: "Для квадратного корня из x, x = 16, поэтому y = 4 и y = -4, поэтому y не является функцией x"'

'Предположим, что график квадратичной функции $y=-2x^{2}+ax+b$ проходит через точку $(3,-8)$. Найдите значение константы $a$, когда график касается оси $x$.'

'Найдите уравнение параболы, полученной путем симметричного движения параболы y=-2x^{2}+4x-4 относительно оси x, а затем параллельного движения на 8 единиц в направлении оси x и 4 единицы в направлении оси y.'

'Как определить квадратичную функцию, удовлетворяющую данным условиям'

'Найдите максимальные и минимальные значения, если они есть, следующих квадратичных функций.'

'Найдите координаты точек пересечения следующих парабол и прямых.'

'Максимум и минимум квадратичной функции'

'При условии x^{2}+y^{2}=4, найдите максимальное и минимальное значения для 2 y+x^{2}. Также определите значения x и y в данное время.'

'Для графика квадратичной функции $y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3$ ответьте на следующий вопрос: (1) Найдите диапазон значений постоянной $k$, когда у нее нет общих точек с осью x.'

'Постройте графики следующих уравнений: (1) y=2x^2-4x-1 (2) y=-x^2-2x+4 (3) y=-x^2+4x-3'

'Найдите квадратичную функцию, где коэффициент квадратичного члена равен -1, график проходит через точку (1,1), а вершина лежит на прямой y=x.'

'Найдите максимальное и минимальное значение для следующих функций:'

'Найдите координаты точек, в которых график квадратичной функции y = x^2 - 6x + 6 пересекает ось x.'

'Постройте график следующей квадратичной функции.'

'График квадратичной функции y = mx^2 + 3x + m всегда выше оси x'

'Объясните отношение между графиком следующих функций и осью X.'

'Найдите квадратичную функцию, удовлетворяющую следующим условиям.'

'Относительно графика квадратичной функции y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3, ответьте на следующие вопросы:'

'Максимумы и минимумы квадратичной функции...... позиция оси является ключевой. При повторном рассмотрении решения примера 83 можно увидеть, что есть разные случаи для рассмотрения, но ключевой момент заключается в том, где находится ось (вершина) относительно области значений. Например, для вогнутого вниз графика квадратичной функции это можно разделить следующим образом: 1. Ось (вершина) находится в пределах области значений. 2. Ось (вершина) находится за пределами области значений. В случае выпуклого графика это будет так. Правильно. Магнитуда будет перевернута. Независимо от того, выпуклый график или вогнутый, существуют различные случаи, в зависимости от того, находится ли ось (вершина) внутри или снаружи области значений, и находится ли ось (вершина) слева или справа от средней позиции области. В примере 83, хотя одновременно рассматриваются как максимальные, так и минимальные значения, что произойдет, если рассмотреть максимальные и минимальные значения отдельно?'

'Постройте графики следующих двух квадратичных функций и найдите их вершину и ось.'

'(1) y=-(x-1)^{2}+1, \\quad y=-(x-2)^{2}+2 \\\\ \\left[y=-x^{2}+2 x, \\quad y=-x^{2}+4 x-2\\right]'

'(1) Поскольку ось является прямой x=4, квадратичная функция, которую необходимо найти, может быть выражена как y=a(x-4)^{2}+q. Поскольку график проходит через точки (2,1),(5,-2), у нас есть 1=a(2-4)^{2}+q, -2=a(5-4)^{2}+q. Упорядочив эти уравнения, мы получаем 4a + q = 1 и a + q = -2. Решите эти системы уравнений, чтобы найти квадратичную функцию.'

'(1) Покажите, что парабола y = x ^ 2 + ax + a-4 всегда имеет две различные точки пересечения с осью x, независимо от значения константы a.'

'Найдите квадратичную функцию, которая принимает максимальное значение 1 при x=3 и y=-1 при x=5.'

'Определите диапазон значений константы a таким образом, чтобы парабола y=x^{2}-8ax-8a+24 пересекала положительную часть оси x в двух различных точках.'

'Найдите максимальное и минимальное значение следующих квадратичных функций.'

'Для изучения отношения между графиком квадратичной функции и осью x необходимо понять следующее. Поскольку y-координата точек пересечения между графиком квадратичной функции и осью x всегда равна 0, x-координата точек пересечения, где y = 0, является значением x. Другими словами, решение следующих проблем крайне важно.\n1. Найдите x-координату точки пересечения между графиком квадратичной функции y=ax^2+bx+c и осью x.\n2. Как называется термин для единственной точки пересечения? Что это за точка?'

'Найдите количество точек пересечения графиков следующих квадратичных функций с осью х.'

'Когда мяч бросается вертикально вверх с земли и высота через t секунд составляет y метров, y становится квадратичной функцией от t. Если через 6 секунд после броска высота мяча достигает максимума 176.4 метра, как y выражается в виде функции t?'

'Преобразуйте квадратичную функцию y=ax^{2}+bx+c в форму максимума и минимума y=a(x-p)^{2}+q (полное квадратное уравнение). Когда a>0, минимальное значение достигается при x=p, которое равно q. Когда a<0, максимальное значение достигается при x=p, которое равно q.'

'Давайте попробуем нарисовать параболу!'

'Построить графики следующих функций.'

'Найдите квадратичные функции для следующих парабол: (1) Парабола с вершиной в точке (2, -3), проходящая через точку (3, -1) (2) Парабола с осью на прямой x=4, проходящая через точки (2,1) и (5,-2)'

'Нарисуйте график квадратичной функции y=ax^2+bx+c (2)'

'Пожалуйста, найдите максимальное значение следующей квадратичной функции: f(x) = -2x^2 + 4x'

'Максимальное значение 21 при x=-4, а минимальное значение -3 при x=0'

'Переформулируйте следующие условия (а), (б), (в) так, чтобы все они стали эквивалентными условию (г).'

'Пусть а и b будут константами, а F - график квадратичной функции y=x^{2}+ax+b. Выберите два правильных утверждения о F из следующих (1) по (6).'

'Переводя параболу (2) параллельно оси x на -3 и оси y на -6, а затем отражая ее относительно начала координат, мы возвращаемся к параболе ①. При этом перемещении вершина (2, -3) двигается параллельно до точки (2-3, -3-6) , что является точкой (-1, -9), и затем отразив ее относительно начала координат получим точку (1, 9). Следовательно, уравнение (1) y=(x-1)^{2}+9 что эквивалентно y=x^{2}-2x+10, следовательно a=-2, b=10.'

''

'Каково уравнение параболы, полученной путем симметричного движения параболы y=-2x^2+4x-4 относительно оси x, а затем параллельного переноса на 8 единиц по направлению x и 4 единицы по направлению y?'

'Постройте график следующей квадратичной функции и найдите её вершину и ось. (1) y=5 x^{2}+3 x+4'

'Найдите квадратичную функцию, удовлетворяющую следующим условиям.'

''

'Найдите квадратичную функцию, проходящую через следующие 3 точки.'

'Найдите квадратичную функцию, проходящую через следующие 3 точки:\n(1) (-1,7),(0,-2),(1,-5)\n(2) (-1,0),(3,0),(1,8)'

'Пусть P будет вершиной параболы y=x^{2}+2 x-1. Ответьте на следующие вопросы: (1) Найдите координаты точки Q, которая является симметричной точке P относительно оси x. (2) Найдите уравнение параболы, которая симметрична этой параболе относительно оси x.'

'(1) y=2(x-2)^2-3[y=2x^2-8x+5] (2) y=(x-4)^2-3[y=x^2-8x+13]'

'Шаги определения квадратичной функции'

'Пока точка P движется на параболе y=x², к перпендикулярным линиям PQ и PR, которые проведены к линиям y=x-1, y=5x-7 соответственно. Найдите минимальное значение произведения PQ・PR. Кроме того, определите координаты точки P в этот момент.'

'Проходя через точку А(-1,0), пусть ℓ - прямая с уклоном а. Парабола у = 1/2 x^2 пересекает прямую ℓ в двух различных точках P и Q.'

'Найдите уравнение касательной, проведенной на графике функции y=x^{2}-x, проходящей через точку C(1,-1).'

'Пусть 99a будет константой. Для параболы y=x^{2}+ax+3-a, когда a изменяется по всем реальным значениям, найдите траекторию вершины.'

'Найдите площадь, ограниченную касательными к кривой y=-x²+1 в точке (0,0) и точке (2,-2).'

'Имея параболу y=x^{2} и окружность x^{2}+(y-4)^{2}=r^{2}(r>0), найдите диапазон r, при котором парабола и окружность имеют 4 точки пересечения.'

'Рассчитайте среднюю скорость изменения для заданных базовых проблем 169'

'Когда положительные действительные числа x и y удовлетворяют условию 9x^2 + 16y^2 = 144, найдите максимальное значение xy.'

'Найдите уравнение касательной линии с наклоном -1 на параболе y=x^{2}-5 x+4.'

'Найдите максимальное значение функции y=-x^{2}+2x+3 и соответствующее значение x.'

''

'Поиск максимальной и минимальной площади'

'После заполнения третьей строки таблицы увеличения-уменьшения нарисуйте график. После заполнения значения y, соответствующего значению x в первой строке, нарисуйте график в соответствии с содержанием. В этом случае при построении графика квадратичной функции рекомендуется сначала найти вершину так, чтобы y было максимальным или минимальным значением. Также найдите координаты пересечения с осью y (выразите x=0 в формуле для y).'

'Найдите уравнение прямой, проходящей через точку (2, -4) и касательной к кривой y=x^{2}-2 x.'

'Пусть a>0, рассмотрим касательную m в точке (a, a^{2}) на параболе E: y=x^{2}. Найдите площадь, ограниченную E, m и осью y, выраженную через a.'

'Из точки (3,4) найдите уравнение касательной, проведенной к кривой y=-x^{2}+4x-3.'

'Найдите минимальное значение для следующего:\n31. (1) x=4 с минимальным значением 8\n(2) x=2 с минимальным значением 3'

'(1) При x=-\\frac{1}{2}, минимальное значение -\\frac{3}{16}. При x=0, максимальное значение 0. При x=2, минимальное значение -8. (2) При x=1, минимальное значение 0'

''

'Давайте внимательнее рассмотрим содержание базового примера 214. Следует отметить, что в реальном ответе расчеты должны выполняться как в примере, не используя следующее в качестве формулы.'

'Координаты x точек пересечения кривой y=-2x^{2}+4x+6 с осью x получаются путем решения уравнения -2x^{2}+4x+6=0, то есть x^{2}-2x-3=0, что приводит к (x+1)(x-3)=0, поэтому -1 ≤ x ≤ 3 и y ≥ 0, таким образом, требуемая площадь S равна'

'Есть две квадратичные функции f(x)=-\\frac{1}{2}x^2+\\frac{3}{2} и g(x)=x^2+ax+3.'

"Когда квадратичная функция $f(x)$ удовлетворяет условиям $f'(0)=1, f'(1)=2$, найдите значение $f'(2)$."

'Найдите уравнение прямой, проходящей через окружность x^2 + y^2 = 8 и перпендикулярной к прямой 7x + y = 0.'

'На точке P(a, a^2) на параболе C: y = x^2, где a > 0, найдите касательную l1. Если касательная l2 в точке Q на C, отличной от точки P, перпендикулярна l1, найдите уравнение l2.'

"Вторая строка заполняется с использованием графика y'"

'Пусть a будет постоянной, и рассмотрим функцию f(x)=-2x^{2}+6x+1 на интервале a ≤ x ≤ a+1. Ответьте на следующие вопросы.'

'Найдите квадратичную функцию, когда график практики удовлетворяет следующим условиям:'

'Найдите максимум и минимум квадратичной функции y=ax^{2}+bx+c.'

'Найти минимальное значение.'

'Найдите значение константы a, когда парабола y=x^{2}+3x+a и прямая y=x+4 касаются.'

'Найдите квадратичную функцию, проходящую через точки (1,0), (3,0) и (4,2).'

'Найдите квадратичную функцию, которая удовлетворяет следующим условиям: Проходя через точки (1,8), (-2,2), (-3,4).'

'Определите диапазон постоянной m так, чтобы график квадратичной функции y=-x^{2}+(m-10)x-m-14 удовлетворял следующим условиям: (1) Пересекается с положительной и отрицательной частями оси x. (2) Обменивается точками только с отрицательной частью оси x.'

'Объясните, как решать проблемы максимума и минимума квадратичной функции и опишите её особенности.'

'Как изменяется количество точек пересечения между графиком квадратичной функции y=x^{2}-2x+2k-4 и осью x при различных значениях константы k?'

'Найдите квадратичную функцию, которая удовлетворяет следующим условиям: проходит через точки (-1,16), (4,-14), (5,-8).'

''

'Найдите уравнение квадратичной функции y = ax^2 + bx + c. График проходит через точки (-1, 22), (5, 22) и (1, -2).'

'Для следующих квадратичных функций, если существуют максимальные или минимальные значения, пожалуйста, найдите их. (1) y=x^{2}-2 x-3 (2) y=-2 x^{2}+3 x-5 (3) y=-2 x^{2}+6 x+1 (4) y=3 x^{2}-5 x+8'

'Пусть а будет постоянной, а f(x) = x^2 - 2ax + a + 2. Найдите диапазон значений a, при которых f(x) > 0 верно для всех значений x в диапазоне 0 ≤ x ≤ 3.'

'Найдите диапазон значений a, когда график функции y=ax^2+4x+2 имеет 2 различные точки пересечения с осью x. Также определите значение a, когда график пересекает ось x только в одной точке.'

'Определите количество точек пересечения между графиком квадратичной функции y=-x^{2} и прямой y=-2x+k. Где k - постоянная.'

''

'Используйте графическое программное обеспечение на компьютере, чтобы отобразить график квадратичной функции y=ax^{2}+bx+c. В этом программном обеспечении введите значения коэффициентов a, b и c в позициях A, AB и C на экране, и график, соответствующий этим значениям, будет отображен. Теперь, после ввода значений в A, B и C, был отображен график, похожий на тот, что справа. (1) Выберите подходящее сочетание из 11 по 8 в таблице справа в качестве входных значений в позициях A, B и C. (2) Чтобы отобразить кривую, симметричную началу координат текущего графика, какие значения следует ввести в A, B и C? Выберите подходящее сочетание из 1 по 8 в таблице (1).'

'Пожалуйста, объясните, как эффективно использовать графики и анализ для решения примерных проблем.'

'Найдите значения констант a и b, когда квадратичная функция y=3x^2-(3a-6)x+b принимает минимальное значение -2 при x=1.'

'Найдите квадратичную функцию, когда выполняются следующие условия.'

'Преобразуйте график квадратичной функции y = ax^{2} + bx + c в форму a(x-p)^{2} + q, завершив квадрат.'

'Определите диапазон значений константы m таким образом, чтобы график квадратичной функции y=-x^{2}+(m-10)x-m-14 удовлетворял следующим условиям: (1) Пересекает положительную и отрицательную части оси x. (2) Общается только с отрицательной частью оси x.'

'Обычно, когда две параболы имеют две общие точки, найдите уравнение прямой, проходящей через них.'

'Используя программу графического представления, вы можете наблюдать, как меняется график в зависимости от значения a.'

'Глава 3: Квадратичные функции\nРаздел 8: Функции и графики\nЗадача\nПостройте графики следующих функций:\n(a) $y = x^2$\n(b) $y = -x^2$'

'Найдите длину отрезка, отрезанного графиком квадратичной функции y=-3x^{2}-4x+2 от оси x.'

'Определите диапазон константы m так, чтобы график квадратичной функции y=x^{2}-m x+m^{2}-3 m удовлетворял следующим условиям:'

'Найдите квадратичную функцию, проходящую через точки (1,1), (3,5) и (4,4).'

'Искомое решение находится в объединенном диапазоне \ -1<x<-1+2 \\sqrt{3} \\n(2) \\( x^{2}-6 x-7=(x+1)(x-7) \\) поэтому\n\ x^{2}-6 x-7 \\geqq 0 \ решение - \ x \\leqq-1,7 \\leqq x \\n\ x^{2}-6 x-7<0 \ решение - \ \\quad-1<x<7 \'

'Математика II\n(1) Определите значение константы a так, чтобы график функции y=x^{2}+ax+a касался прямой y=x+1. Найдите координаты точки касания.\n(2) Пусть k - константа. Исследуйте количество точек пересечения между графиком функции y=x^{2}-2kx и прямой y=2x-k^{2}.'

''

'Как изменяется количество точек пересечения между графиком квадратичной функции y=x^{2}-2 x+2 k-4 и осью x в зависимости от значения постоянной k?'

'Для квадратичной функции y=ax^2+bx+c, проходящей через точки (-1,0) и (3,8) и касающейся прямой y=2x+6, каковы значения a, b и c?'

'Имеют ли эти две параболы точки пересечения? Если да, найдите их координаты.'

'Диапазон существования решений уравнения'

'Давайте рассмотрим положение точек пересечения между параболой и осью x. Нарисуйте параболический график, который удовлетворяет следующим условиям.\n\nУсловия:\n1. График пересекает положительную часть оси x в двух разных точках.\n2. Положение оси положительно.\n3. f(0) > 0.\n\nОбъясните, какие характеристики будет иметь график, который удовлетворяет этим условиям.'

'Практика: На следующем графике квадратичных функций, на сколько были сдвинуты графики в пределах квадратных скобок? Кроме того, нарисуйте каждый график, и найдите их оси и вершины.'

'Каким образом был сдвинут график квадратичной функции y=2x^{2}+6x+7, чтобы получить график квадратичной функции y=2x^{2}-4x+1?'

'Форма графика функции f(x) меняется в зависимости от значения a, но объясните, при каких значениях a f(x) не имеет максимального значения.'

'Найдите значение константы k, когда длина отрезка, отсеченного параболой y=x^{2}-(k+2)x+2k от оси x, равна 4.'

'Для [5], [6], [7], y минимально при x=2.'

'Математика I\nИмеют ли следующие параболы и прямые общие точки? Если да, найдите координаты.\n(1) \\ left\\ { \\ begin {\overlineray} {l} y=x^{2}-2 x+3\\ y=x+6 \\ end {\overlineray} \\ right. \n(2) \\ left\\ { \\ begin {\overlineray} {l} y=x^{2}-4 x\\ y=2 x-9 \\ end {\overlineray} \\ right. \n(3) \\ left\\ { \\ begin {\overlineray} {l} y=-x^{2}+4 x-3\\ y=2 x \\ end {\overlineray} \\ right. '

'При поиске координат точек A и B получаем следующее.'

'График квадратичной функции y=x^{2}+ax-a+3 имеет точки пересечения с осью х, но не имеет точек пересечения с прямой y=4x-5. Здесь, a-константа.\n(1) Определите диапазон значений для a.\n(2) Пусть m будет минимальным значением квадратичной функции y=x^{2}+ax-a+3, найдите диапазон значений для m. [Хоккайдо Информационный Университет]'

'Найдите значения a, b и c для квадратичной функции y=a x^{2}+b x+c, проходящей через точки (-1,0) и (3,8) и касающейся прямой y=2 x+6.'

'Пересекаются ли графики этих двух квадратичных функций с осью x? Если да, найдите координаты точек пересечения.'

'Практика: Найдите максимальное и минимальное значения следующих функций.'

'Найдите x-координаты точек пересечения графика функции y=x^{2}-2ax+a^{2}-3 и оси x.'

'Найдите координаты точек пересечения следующих квадратичных функций с осью x.'

'Найдите значения констант a, b, когда квадратичная функция y=x^{2}+ax+b принимает максимальное значение 1 в диапазоне 0 ≤ x ≤ 3 и максимальное значение 9 в диапазоне 0 ≤ x ≤ 6.'

'Определите знак (положительный, 0, отрицательный) следующих значений для графика квадратичной функции, как показано справа:'

'Найдите условия для графика квадратичной функции y = ax^2 + bx - 1, проходящего через точки (1,0) и (-2,-15).'

'Найдите количество точек пересечения графиков функций y = x^2 - 4 и y = a(x + 1)^2.'

'Найдите квадратичную функцию, представленную графиками (1) и (2) графика C функции y=x^{2}-4 x+3 и точки A(0,-1), где (1) - это график, полученный параллельным перемещением C вдоль оси x, проходящим через точку A, а (2) - график, полученный параллельным перемещением C вдоль оси y, проходящим через точку A.'

'Глава 3 Квадратичные функции\n[1] $a+\\frac{1}{2}<5$ то есть когда $a<\\frac{9}{2}$\nИз рисунка [1] видно, что максимум достигается при $x=a$.\nМаксимальное значение равно $f(a)=a^{2}-9 a$\n[2] $a+\\frac{1}{2}=5$ что означает $a=\\frac{9}{2}$\n[1] $x=a+\\frac{1}{2}$\nИз рисунка [2] видно, что максимум достигается при $x=\\frac{9}{2}, \\frac{11}{2}$.\nМаксимальное значение равно $f\\left(\\frac{9}{2}\\right)=f\\left(\\frac{11}{2}\\right)=-\\frac{81}{4}$\n[3] $5<a+\\frac{1}{2}$ что означает $\\frac{9}{2}<a$\nИз рисунка [3] видно, что максимум достигается при $x=a+1$. Максимальное значение равно\n$f(a+1) =(a+1)^{2}-10(a+1)+a =a^{2}-7 a-9$'

''

'Найдите максимальные и минимальные значения следующих квадратичных функций:'

'Найдите значения констант a и b, когда квадратичная функция y = x^2 + a x + b принимает максимальное значение 1 в диапазоне 0 ≤ x ≤ 3 и максимальное значение 9 в диапазоне 0 ≤ x ≤ 6.'

'Максимальное и минимальное значения квадратичной функции f(x)=-x^{2}+2x для a ≤ x ≤ a+2 являются функциями от a, обозначаемые соответственно F(a) и G(a). Постройте графики функций F(a) и G(a).'

'Учитывая, что x и y удовлетворяют уравнению x^2 + 2y^2 = 1, найти максимальное и минимальное значения выражения 2x + 3y^2.'

'График квадратичной функции представляет собой параболу, и значения a, b, c определяют его направленность вниз или вверх, степень открытости, положение оси и вершины и т. д. Здесь давайте подумаем о том, как меняется график при изменении значений a, b и c.'

'Найдите квадратичную функцию, проходящую через следующие три точки.'

'Найдите квадратичную функцию, которая удовлетворяет следующим условиям: (1) Вершина находится в точке (1,3), и проходит через точку (0,5).'

'Найдите квадратичную функцию, проходящую через точки (-1,7), (0,-2), (1,-5).'

''

'Используя график квадратичной функции и её отношение к оси x, найдите действительные решения следующего уравнения.'

'Глава 3 Квадратичные функции'

'При $5 < \\alpha$ из рисунка [6] можно увидеть, что $x=a$ обеспечивает минимальное значение. Минимальное значение равно $ f(a)=a^{2}-9 a'

'Найдите квадратичную функцию, удовлетворяющую следующим условиям: (2) Ось графика - это прямая x=4, и она проходит через точки (2,1) и (5,-2).'

'Базовый пример 84: Найдите количество точек пересечения между параболой y=x^{2}-2 x+2 k-4 и осью x, рассмотрев различные случаи для константы k.'

'Найдите квадратичную функцию с вершиной в точке (2, -3) и длиной 6 для отрезка, отрезанного от оси x.'

'Моменты, на которые следует обратить внимание при завершении квадрата'

'Определите значение константы a так, чтобы парабола y=x^{2}-ax+a+1 была касательной к оси x. Также найдите координаты точки касания.'

'Для -4 <= x <= 0, из рисунка (1) видно, что максимальное значение достигается при x=-1 с f(-1)=3, а минимальное значение достигается при x=-4 с f(-4)=-15.'

'Найдите максимальное и минимальное значения следующих квадратичных функций:\n(1) y=2 x^{2}+4 x+1\n(2) y=-x^{2}+2 x+3'

'Найдите квадратичную функцию, которая удовлетворяет следующим условиям: (2) Ось графика является линией x=-1 и проходит через точки (-2,9), (1,3).'

'Найдите максимальное и минимальное значения следующих квадратичных функций: (1) y=x^{2}-2 x-3 (2) y=-2 x^{2}+x (3) y=3 x^{2}+4 x-1 (4) y=-2 x^{2}+3 x-5'

'Докажите, что длина отрезка линии, отрезанной от оси x графиком квадратичной функции y=x^{2}-2ax+a^{2}-3, постоянна независимо от значения постоянной a.'

'Опишите график следующих квадратичных функций.'

'Найдите квадратичную функцию, которая удовлетворяет следующим условиям: При x=-3 она принимает минимальное значение -1, а при x=1, y=31.'

'Найдите длину отрезка, который пересекает график квадратичной функции y=-x^{2}+3x+3 относительно оси x.'

'Глава 3 Квадратичные функции\n(2) Поскольку вершина параболы, которую следует определить, лежит на прямой y=-x+2, координаты вершины можно представить как (p,-p+2). Следовательно, требуемое уравнение имеет вид y=\\frac{1}{2}(x-p)^{2}-p+2. Поскольку парабола проходит через точку (1,5), мы имеем 5=\\frac{1}{2}(1-p)^{2}-p+2, что упрощается до p^{2}-4 p-5=0. Следовательно, (p+1)(p-5)=0, откуда p=-1,5. Когда p=-1, (1) принимает вид y=\\frac{1}{2}(x+1)^{2}+3 (или y=\\frac{1}{2} x^{2}+x+\\frac{7}{2}). Когда p=5, (1) принимает вид y=\\frac{1}{2}(x-5)^{2}-3 (или y=\\frac{1}{2} x^{2}-5 x+\\frac{19}{2}).'

'Пусть x, y будут вещественными числами. Найдите минимальное значение 6 x^{2}+6 x y+3 y^{2}-6 x-4 y+3 и соответствующие значения x, y.'

'Найдите квадратичную функцию, проходящую через следующие 3 точки.'

'Как нужно сдвинуть параболу y = 3x^2-6x+5, чтобы она совпала с параболой y = 3x^2+9x?'

'Определите количество точек пересечения графика следующих квадратичных функций с осью х.'

'Найдите уравнение параболы, которая перекрывается с параболой y=-2 x^{2}+3 после того, как была перемещена на 2 единицы вдоль оси x и на -1 единицу вдоль оси y.'

'Постройте графики следующих двух квадратичных функций и найдите их оси и вершины. (1) y=x^{2}+4 x+3 (2) y=-2 x^{2}+6 x-1'

'Найдите квадратичную функцию, удовлетворяющую следующим условиям: Достигает максимального значения 10 при x=3, и y=-6 при x=-1.'

'На какое расстояние необходимо сдвинуть параболу y=-x^2+3x-1, чтобы получить параболу y=-x^2-5x+2.'

'Найдите координаты двух точек пересечения парабол y = x^2 - x + 1 и y = -x^2 - x + 3.'

''

'Базовый пример графика функции 832 и точки пересечения с осью х'

'Определите максимум и минимум квадратичной функции'

'Пусть график G уравнения y=2x^{2}-4x+5 сдвигается параллельно оси y на k для получения графика H. Когда график H пересекает ось x в двух различных точках, и пересекает в двух различных точках в пределах 2≦ x≦6, интервал возможных значений для k так, что график пересекается с осью x в двух разных точках, это ≦ k< .'

'Найдите уравнение параболы после сдвига параболы y = -x^2 + x - 2 параллельно оси x на -3 и параллельно оси y на 1.'

'Сдвигая параболу y=x^2-3x-1 параллельно через точки (1,-1) и (2,0), найдите вершину параболы.'

'Найти квадратичную функцию, проходящую через следующие 3 точки.'

'Парабола y=2x^2-4x+1 была параллельно сдвинута на две единицы от параболы y=2x^2+6x+7.'

'Найдите квадратичную функцию, которая удовлетворяет следующим условиям: (1) Вершина графика находится в точке (1,3), и проходит через точку (-1,4).'

'Найдите длину отрезка, отсеченного графиком следующих квадратичных функций от оси x. (1) y=4 x^{2}-7 x-11 (2) y=-4 x^{2}+4 a x-a^{2}+9'

"Относительно 'a', знак и абсолютное значение коэффициента 'a' зависят от того, является ли парабола вогнутой вниз или вверх, а также степени открытости параболы."

''

'Предположим, что PR - это постоянная. Для функции f(x)=3 x^{2}-6 a x+5 (0 ≤ x ≤ 4) найдите:\n(1) Максимальное значение.\n(2) Минимальное значение.\nf(x)=3 x^{2}-6 a x+5=3(x-a)^{2}-3 a^{2}+5\nГрафик этой функции представляет собой вогнутое параболическое сечение, ось которого является прямой x=a.'

'Когда x и y удовлетворяют условию 2x^{2}+y^{2}-4y-5=0, найдите максимальное и минимальное значения x^{2}+2y.'

'Найдите максимальное и минимальное значения функции f(x) при следующих условиях.\n(2) -2<x≤1\n(3) 0≤x≤3\nНайдите оптимальное значение x на основе диаграммы и каждого условия.'

'Пусть a будет постоянной. Найдите минимальное значение функции f(x) = x^2 - 2x + 2 в диапазоне a ≤ x ≤ a + 2.'

'Исследуйте количество и характер решений функции f(x) при следующих условиях:'

'Найдите максимальное и минимальное значения функции f(x)=-x^2+2ax+a+b.'

'(1) После ввода 1 в A и значений в B и C, был отображен график, аналогичный рисунку 1. Какая из следующих комбинаций значений b и c наиболее подходящая?'

'Фигура, представляемая ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0'

'Найдите уравнение касательной, проведенной из данной точки в следующую параболу.'

'Координаты точек пересечения квадратичной кривой и прямой линии'

'Найдите уравнение касательной на эллипсе $\\frac{(x+4)^{2}}{25}+\\frac{(y+3)^{2}}{16}=1$ в точке $(-1, \\frac{1}{5})$.'

'32 Кривые и Области'

'(2) Из $\\sin ^{2} \\theta+\\cos ^{2} \\theta=1$ имеем $\\sin ^{2} \\theta=1-\\cos ^{2} \\theta$'

'Найдите уравнения следующих конических секций. Предположим, что p≠0, a>0, b>0. (1) Парабола, полученная транслляцией параболы y^{2}=4 p x, с директрисой как линией x=-1 и фокусом в точке (3,4). (2) Гипербола, полученная трансляцией гиперболы x^{2}/a^{2}-y^{2}/b^{2}=1, с асимптотами как линиями y=x+1 и y=-x+1 и проходящая через точку (3,3).'

'Найдите x-координату точки пересечения параболы C₁ с осью x.'

'Уравнение, проходящее через пересечение двух кривых'

'Когда дана функция \\( f(x)=x^{2}-2 a|x|+a^{2}-1 \\), найдите площадь \ S \, ограниченную графиком \\( y=f(x) \\) и осью x. Здесь \ a \ - положительная постоянная.'

'Если f(x) = x^{2} - 2a|x| + a^{2} - 1, найдите площадь S, ограниченную графиком y = f(x) и осью x. Здесь a - положительная константа.'

'Найдите вершину параболы y=x^{2}+px+p(|p| ≠ 2).'

'Найдите траекторию вершины параболы y = x^{2}+px+p(p ≠ 2).'

'Учитывая, что y=(x^{2}+x-1)(-2x-1)+5x+8, когда x=(-1 \\pm \\sqrt{5})/2, y^{\\prime}=0. Следовательно, из x^{2}+x-1=0 мы можем доказать, что когда x=(-1-\\sqrt{5})/2, то y=(11-5 \\sqrt{5})/2. Аналогично, покажите, что когда x=(-1+\\sqrt{5})/2, то y=5(-1+\\sqrt{5})/2+8.'

'Расстояние между точкой P на параболе y = -x^2 + x + 2 и точкой на прямой y = -2x + 6 принимает минимальное значение, когда координаты P равны α.'

'Пусть вершина параболы $y=x^{2}+(2 t-10) x-4 t+16$ будет $P$. Найдите траекторию вершины $P$ при изменении $t$ на неотрицательные значения.'

"(1) y'=4x+1\n(2) y'=3x^2-5\n(3) y'=-24x^2+24x-6\n(4) y'=6x^5-16x^3+8x\n(5) y'=27x^2+6x-8"

'Когда парабола и окружность имеют четыре различные общие точки, это означает, что квадратное уравнение (1) имеет два различных вещественных решения в диапазоне 1<y<3. Следовательно, необходимо определить диапазон значений a, удовлетворяющий одновременно условиям [1] по [3]. Пусть f(y)=2y^{2}-7y-a+6.\n[1] Пусть D будет дискриминантом уравнения (1), требуется, чтобы D>0, что означает 8a+1>0, что приводит к a>-−1/8.\n[2] Относительно оси всегда выполняется условие 1<\\frac{7}{4}<3.\n[3] Из f(3)=3-a>0 следует, что a<3, а из f(1)=1-a>0 следует, что a<1. Общий диапазон (3) по (5) определяется как -\\frac{1}{8}<\\alpha<1.'

'При x = \\frac{-1+\\sqrt{5}}{2}, максимальное значение составляет \\frac{11+5 \\sqrt{5}}{2}, а при x = 2 минимальное значение равно -7.'

'Пусть a и b - действительные числа. Иллюстрируйте область точек (a, b), таких что кривая y = ax^2 + bx + 1 не имеет точек пересечения с положительной частью оси x.'

''

'74 Параболическая y=3 x ^{2}+\\frac{2}{3}'

'Пусть m будет константой. Парабола y=f(x) проходит через начало координат, и угол наклона касательной в точке (x, f(x)) равен 2x + m. Пусть S - это площадь области, ограниченной параболами y=f(x) и y=-x^{2}+4x+5. Найдите минимальное значение S.'

'В обоих случаях x = 0 является минимумом.'

'Найдите x-координату точек пересечения между кривой C и осью x. Также найдите x-координату точек пересечения между кривой C и кривой y=-x^{2}+2x.'

'Найдите часть параболы y=2x^{2}-3x, где x<0 и 2<x'

''

'Пусть D - область, которую представляет система неравенств x²+(y-4)²≥4 и y≥-2/3x². Найдите прямую с пересечением в y между 0 и 2, которая содержится в D и имеет максимальный угловой коэффициент.'

''

'110 (2) Парабола y=3x^2-6x+2'

'101 (2) \ y=-x \\pm \\sqrt{2} \'

'Постройте область, представленную следующими неравенствами.'

'Когда вещественные числа x, y удовлетворяют уравнению x²+y²=2, найдите максимальное и минимальное значение 2x+y. Также определите значения x и y в этом случае.'

'Пожалуйста, проверьте симметрию следующей функции: f(x) = x^2 + 3x + 2'

'(2) Пусть m - постоянная. Найдите количество точек пересечения между параболой y^2=-8x и прямой x+my=2.'

'Угол наклона нормали к параболе C в точке (x₁, y₁) на C (x₁ ≠ 0, y₁ ≠ 0) равен -1 / (2 / y₁) = -y₁ / 2. Если y₁ / 2 = m, то y₁² = 4x₁. Таким образом, x₁ = m². Следовательно, уравнение требуемой нормали - y = mx - m³ - 2m.'

'Обозначим параболу $y^{2}=4 x$ как кривую C.\n(1) Найдите уравнение нормали к кривой $C$ с углом наклона $m$.\n(2) Сколько нормалей можно провести из точки $(a, 0)$ на оси x к кривой $C$? При условии, что $a \neq 0$.'

'(3) имеет локальный минимум при x=-2 равный -1/3 и локальный максимум при x=0 равный 1'

'(3) Область определения 1-4 x^{2} \\geqq 0 с \\quad-\\frac{1}{2} \\leqq x \\leqq \\frac{1}{2}'

'(1) x=-a ± √(a²+1)'

'Проверьте, имеют ли следующие пары квадратичных кривых и прямых какие-либо точки пересечения. Если они пересекаются, определите, является ли это точкой пересечения или касания, и найдите координаты этой точки.'

'Для f(x) = 2 sqrt{x} и интервала [1,4] найдите значение c, которое удовлетворяет условиям теоремы о среднем значении.'

'Найдите уравнение касательной линии, проведенной из данной точки к следующему квадратичному кривому: (a) \ x^{2}-4y^{2}=4 \, точка \\( (2,3) \\)'

'Когда действительные числа x, y удовлетворяют двум неравенствам x^2 + 9y^2 ≤ 9 и y ≥ x, найдите максимальное и минимальное значение x + 3y.'

'Определите кривую, нарисованную вершиной параболы.'

'Функции f(x) и g(x) непрерывны на интервале [a, b], при этом максимальное значение f(x) больше максимального значения g(x), а минимальное значение f(x) меньше минимального значения g(x). Докажите, что уравнение f(x) = g(x) имеет решение в диапазоне a ≤ x ≤ b.'

'Используя формулы базовых концепций с предыдущей страницы, найдите уравнение касательной к данной точке на следующих квадратичных кривых.'

''

'Найдите значения констант a и b, когда диапазон функции y = √(2x + 4) (a ≤ x ≤ b) составляет 1 ≤ y ≤ 3.'

'Максимальное значение 18, когда x=4, y=0'

None

'Найдите уравнения прямых, касающихся обоих кривых y=-x^{2}, y=\\frac{1}{x}.'

'Найти площадь кривой, заданной уравнениями x=2t+t^2, y=t+2t^2 (-2 ≤ t ≤ 0) и ограниченной осью y, с помощью параметра t.'

'Найдите уравнение касательной линии, проведенной из точки A(1,4) к гиперболе 4 x^{2}-y^{2}=4. Также найдите координаты точки касания.'

''

"Глава 4 Применение дифференциации\n117\nПоскольку 2x^2+x+1=2(x+\\frac{1}{4})^2+\\frac{7}{8)>0, пусть y'=0, тогда x=1\nТаблица увеличения и уменьшения y выглядит следующим образом.\n\nВопрос: Найдите точку, в которой y принимает максимальное значение 1."

'Максимальное значение 1 при x=0, минимальное значение 17/9 при x=4'

''

'Касательная к Кривой Второй Степени\nУравнение касательной в точке \\( \\left(\oldsymbol{x}_{1}, \oldsymbol{y}_{1}\\right) \\) на кривой \ p \\neq 0, a>0, \\quad b>0 \\n1 Парабола\n\\[ \egin{array}{lll} y^{2}=4 p x \\\\ x^{2}=4 p y \\end{array} \\quad \\longrightarrow \\quad \egin{array}{l} y_{1} y=2 p\\left(x+x_{1}\\right) \\\\ x_{1} x=2 p\\left(y+y_{1}\\right) \\end{array} \\]\n2 Эллипс \ \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\quad \\longrightarrow \\quad \\frac{x_{1} x}{a^{2}}+\\frac{y_{1} y}{b^{2}}=1 \\n3 Гипербола \ \\quad \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}= \\pm 1 \\quad \\longrightarrow \\quad \\frac{x_{1} x}{a^{2}}-\\frac{y_{1} y}{b^{2}}= \\pm 1 \ (тот же порядок знаков)'

'Объясните определение и свойства параболы.'

'Найдите количество точек пересечения между следующими 2 кривыми и прямой.'

'Найдите уравнение касательной линии, когда точка (x₁, y₁) лежит на кривой параболы y²=4px.'

'Кривая второй степени и эксцентриситет e\nЭллипсы, гиперболы и параболы также можно определить как локус точек, где отношение расстояния от фиксированной точки F и фиксированной линии ℓ постоянно, так же, как и в случае параболы. Иными словами, когда опущена перпендикуляр PH из точки P на линию ℓ, так, что PF:PH = e:1 (e - положительная константа), локус точек P, удовлетворяющих этому условию, - это кривая второй степени с F в качестве одного из фокусов, ℓ в качестве директрисы и e в качестве эксцентриситета. В этом случае кривая второй степени классифицируется в зависимости от значения e следующим образом.\nКогда 0<e<1 Эллипс Когда e=1 Парабола Когда e>1 Гипербола'

'Найдите уравнение касательных линий, проведенных из заданных точек к следующим квадратичным кривым.'

'Решить, обратив внимание на геометрический смысл уравнения'

'Найдите уравнение касательной к данной точке на следующих кривых.'

'Какую форму представляет следующее уравнение?'

'Рассмотрим следующее уравнение:\n2. Уравнение: y^2 + x - 4y + 8 = 0'

'Построить графики следующих двух квадратичных функций и найти их оси и вершины.'

'Определите значение константы a, при котором график квадратичной функции y=x^{2}+a x+a касается прямой y=x+1. Также найдите координаты точки касания.'

'Парабола y=4x^{2}+ax+b проходит через точку (1,1) и касается оси x. Найдите все комбинации a и b, удовлетворяющие этому условию.'

''

'Найдите максимальное и минимальное значения следующих квадратичных функций.'

'Имеют ли графики этих двух квадратичных функций какие-либо точки пересечения? Если да, найдите координаты этих точек.'

'Определите значение постоянной c так, чтобы минимальное значение функции y=-x^2+6x+c (1≤x≤4) было равно 1. Также найдите максимальное значение в этой точке.'

'В математике, упражнение 87, книга 66, страница 143, пусть f(x) = x^2-ax+a+8. Минимальное значение f(x) для 0 ≤ x ≤ 5 должно быть больше или равно 0. Преобразуя f(x), получим'

'Учитывая выше, когда a<-\\frac{2}{3}, m(a)=2 a^{2}+3 a+2; когда -\\frac{2}{3} \\leqq a \\leqq \\frac{2}{3}, m(a)=-\\frac{a^{2}}{4}+1; когда \\frac{2}{3}<a, m(a)=2 a^{2}-3 a+2'

'Найдите квадратичную функцию, удовлетворяющую следующим условиям: (1) Вершина находится на оси x и проходит через точки (0,4), (-4,36). (2) Это параллельный перенос параболы y=2x^2, проходящий через точку (2,3) и с вершиной на прямой y=6x-5.'

'Когда квадратное уравнение $x^{2}-ax+2a=0$ имеет два различных действительных решения, и только одно из них находится в пределах $-1<x<1$, найдите диапазон значений константы $a$.'

'Пожалуйста, найдите максимальное и минимальное значения графика квадратичной функции из упражнений по квадратичным функциям в главе 3.'

'Важный пример 93 Коэффициент - это тригонометрическое уравнение (2) Квадратное уравнение в \ x \ \\( x^{2}-(\\cos \\theta) x+\\cos \\theta=0\\left(0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}\\right) \\) имеет два различных действительных решения, диапазон значений \ \\theta \ такой, что оба решения содержатся в интервале \ -1<x<2 \. [Университет Акита] <Пример 75'

'Найдите квадратичные функции, у которых кривые имеют симметричные движения относительно следующего: (1) ось x (2) ось y (3) начало координат.'

'Из графика видно, что при x=1 минимальное значение уравнения y=3(x-1)^{2}+2 равно 2, а максимального значения нет.'

''

'Найдите параболу y=2(x-p)^{2}-p+3.'

'Данная функция является квадратичной функцией, поэтому a ≠ 0.'

'Рассмотрим круг с диаметром AC, пусть радиус будет x, тогда можно сделать следующие выводы.'

'Ответьте на вопрос 45.'

'Пример 46 Длина сегмента, который парабола отсекает от оси x, является постоянной k. Предположим, что парабола y=x^{2}-kx-18 отсекает от оси x сегмент длиной l.'

'Найдите квадратичную функцию y=a(x-p)^2+1.'

'(1) График функции y=2x^2+3.\\n(2) График функции y=2(x-1)^2.\\n(3) График функции y=2(x+1)^2-4.'

'Симметрично перемещая точку P(x, y) на параболе C_{1} относительно линии y=1 в новую точку P^{\\prime}(x^{\\prime}, y^{\\prime}), где x^{\\prime}=x и \\frac{y+y^{\\prime}}{2}=1. Таким образом, x=x^{\\prime}, y=2-y^{\\prime}, подставив это в y=ax^{2}+bx+4, получаем 2-y^{\\prime}=ax^{\\prime 2}+bx^{\\prime}+4, поэтому уравнение параболы C_{2} будет 2-y=ax^{2}+bx+4. Аналогично, находим уравнение параболы C_{3} как 2-y=a(2-x)^{2}+b(2-x)+4. Поскольку C_{2} и C_{3} проходят через точки (-2,-10) и (3,-2) соответственно, получается система уравнений для a и b, и ее решение дает значения a и b.'

'Найдите координаты точек пересечения следующей параболы и линии.'

'Когда ось x = a находится в пределах 0 ≤ x ≤ 2, то есть 0 ≤ a ≤ 2, из правого графика очевидно, что x = a дает минимальное значение. Минимальное значение\n \\[ f(a) = -a^{2} - 4a\\]'

'Найдите максимальное и минимальное значения x^{2}+y^{2}-6x, а также соответствующие значения x и y, когда вещественные числа x, y удовлетворяют условию 2x^{2}+y^{2}=8.'

'Каким образом графики этих двух квадратичных функций сдвигаются от функции y=2x^{2}?'

'Найдите квадратичную функцию, которая удовлетворяет следующим условиям.'

'Когда вещественные числа x, y удовлетворяют уравнению x^2 + (y-1)^2 = 5, найдите максимальное и минимальное значения выражения 2x-y, и значения x, y в этот момент.'

'Найдите координаты вершины для уравнения y=x^{2}-3x+6 [y=(x-3/2)^{2}+15/4].'

'Проверьте, имеют ли следующие параболы и прямые точки пересечения. Если да, найдите их координаты.'

'Найдите точку пересечения следующей системы уравнений.'

'Определите значение константы c, удовлетворяющей следующим условиям: (1) Максимальное значение функции y=x^{2}-10x+c (3 ≤ x ≤ 8) равно 10. (2) Минимальное значение функции y=-x^{2}+4x+c (-1 ≤ x ≤ 1) равно -10. Сначала завершите квадрат и преобразуйте в стандартную форму. Хотя точная графика не нарисована, она должна быть описана так, чтобы показать расположение оси и отношение с концами интервала.'

'Найдите уравнение параболы, полученной движением параболы y=x^{2}-4 x на 2 единицы в направлении оси x и на -1 единицу в направлении оси y.'

'Найдите квадратичную функцию, которая удовлетворяет следующим условиям.'

'Пример: 1. Найдите координаты вершины и оси следующей квадратичной функции: y = 2x^2 - 4x + 1 2. Найдите максимальное и минимальное значения следующей квадратичной функции: y = -3x^2 + 6x - 2'

'Чему равно уравнение параболы, полученной сдвигом параболы y=-2 x^{2}+4 x-4 в направлении x на -3 и в направлении y на 1?'

Для графика квадратичной функции $y=x^{2}-2 k x+k^{2}-k+3$ ответьте на следующий вопрос: (2) Когда он касается оси $x$, найдите значение константы $k$ и координаты точки касания.

График проходит через точки (1,3), (2,5), (3,9). Искомая квадратная функция $y = a x^{2} + b x + c$。

Базовый 76 | Определение квадратичной функции по условиям максимума и минимума

Рассмотрим параболу $y = x^{2} + 2x - 1 \cdots \cdots$ (1) с вершиной в точке $\mathrm{P}$. Ответьте на следующие вопросы: (1) Найдите координаты точки $\mathrm{Q}$, которая симметрична точке $\mathrm{P}$ относительно оси $x$. (2) Найдите уравнение параболы, которая симметрична данной параболе относительно оси $x$.

Постройте график квадратичной функции oldsymbol{y}=a x^{2}+b x+c (2)

Для графика квадратичной функции \( y=x^{2}+2(k-1)x+k^{2}-3 \) ответьте на следующий вопрос: (2) Когда он касается оси x, найдите значение постоянной $k$ и координаты точки касания.

Найдите квадратичную функцию, проходящую через точки (1,3), (2,5) и (3,9).

Мы изучили график квадратичной функции $y=a x^{2}$. Теперь мы будем изучать график $y=a x^{2}+b x+c$, который связан с $y=a x^{2}$. Для этого важно понимать график квадратичной функции вида \( y=a(x-p)^{2}+q \), поэтому давайте рассмотрим его подробнее.

Найдите квадратичные функции, удовлетворяющие следующим условиям. (1) Кривая, полученная путем параллельного переноса параболы $y=-x^{2}-2x$, проходящая через точки (-1, -2, 2, 1). (2) При параллельном переносе на 2 единицы в направлении $x$ и -3 единицы в направлении $y$ она проходит через точки (1, 2), (2, -2) и (3, -4).

Связь между графиком квадратной функции и осью x Основные 90 Количество точек пересечения графика квадратной функции с осью

Найдите координаты точек пересечения графика квадратичной функции $y=x^{2}-6x+6$ с осью x.

Пусть a и b – действительные числа. Найдите значения постоянных a и b, когда вершины парабол, заданных квадратными функциями y=4x^{2}-8x+5 и y=-2(x+a)^{2}+b, совпадают.

Нарисуйте график квадратичной функции $y=ax^{2}+bx+c$ (1)

Найдите квадратичные функции, которые удовлетворяют следующим условиям: (1) Кривая, полученная путем параллельного переноса параболы $y=-2 x^{2}$, такая, что ее вершина находится в точке (-3,1). (2) Кривая, полученная путем параллельного переноса параболы $y=x^{2}+2 x-3$, такая, что она проходит через точки \( (-1,6),(3,2) \).

Найдите квадратичные функции, которые удовлетворяют следующим условиям. (1) Принимает максимальное значение 1 при $x=3$, и $y=-1$ при $x=5$. (2) Принимает минимальное значение при $x=-2$, и график проходит через точки \( (-1,2) \) и \( (0,11) \).

Стандарт 73 | Определить коэффициенты по максимальному значению квадратичной функции

Основной 72 | Максимальные и минимальные значения квадратичной функции (2)

Найдите квадратичную функцию, которая имеет минимум при oldsymbol{x}=1 и проходит через точки \( (0,3) \) и \( (3,6) \).

Нарисуйте график квадратичной функции \( oldsymbol{y}=a(x-p)^{2}+q \)

Квадратичная функция y=α(x-p)²+q максимальные и минимальные значения ① Когда область определения не ограничена (область определения - это весь набор действительных чисел) Существует два случая в зависимости от знака a. Когда a>0 Минимальное значение q достигается при x=p Максимальное значение отсутствует Когда a<0 Максимальное значение q достигается при x=p Минимальное значение отсутствует

Найдите количество точек пересечения графиков следующих квадратичных функций с осью $x$. (1) $y=3 x^{2}+x-2$ (2) $y=-5 x^{2}+3 x-1$ (3) $y=2 x^{2}-16 x+32$

Определите значение константы $c$, чтобы максимальное значение функции \( f(x) = x^2 - 10x + c (3 \leqq x \leqq 8) \) было равно 10.

Если вершина параболы $y = x^{2} + a x - 2$ лежит на прямой $y = 2 x - 1$, найдите значение константы $a$.

Для квадратной функции \( y=(x-3)^{2}+1 \) 1) $1 \leqq x \leqq 4$ 2) $2 \leqq x \leqq 5$ 3) $4 \leqq x \leqq 5$ 4) $2 \leqq x$

Найдите квадратичную функцию, вершина которой находится в точке (2,1) и которая проходит через точку (4,9).

Найдите координаты точек пересечения графика каждого квадратного уравнения с осью x. (1) y=x^2-6x-4 (2) y=-4x^2+4x-1

Давайте систематизируем шаги для построения графика квадратичной функции $y=ax^{2}+bx+c$. Следуйте этим шагам: (1) Завершите квадрат. (2) Запишите в виде \( y=a(x-p)^{2}+q \). (3) Прочитайте особенности графика. (4) Если $a > 0$, он выпуклый вниз (открывается вверх), если $a < 0$, он выпуклый вверх (открывается вниз). (5) Определите координаты вершины \( (p,q) \). (6) Ось симметрии — прямая $x=p$. (7) Нарисуйте фактический график $y=x^{2}-6x+10$.

График квадратичной функции и его отношение к оси x Основы 91 Условия для графика квадратичной функции иметь общие точки с осью

Определите максимальные и минимальные значения, если они существуют, для следующих квадратичных функций: (1) $y=x^{2}-6 x+3$ (2) $y=-2 x^{2}+8 x-3$

Основы 71 | Максимальные и минимальные значения квадратичных функций (1)

Для функции $y=x^{2}+2 x-1$ найдите максимальные и минимальные значения (если они существуют) в следующих диапазонах. (1) $-3 \leqq x \leqq 0$ (2) $-2<x<1$ (3) $0 \leqq x \leqq 2$

Найдите максимальные и минимальные значения следующих функций, если они существуют. (1) \( y=x^{2}-2x-3(-4 \leqq x \leqq 0) \) (2) \( y=2x^{2}-4x-6 \quad(0 \leqq x \leqq 3) \) (3) \( y=-x^{2}-4x+1(0 \leqq x \leqq 2) \) (4) \( y=x^{2}-4x+3(0<x<3) \)

Постройте графики следующих квадратичных функций и найдите их вершины и оси симметрии. (1) \( y=3(x+1)^{2}-2 \) (2) \( y=-rac{1}{2}(x-1)^{2}+2 \)

Найдите количество точек пересечения графиков следующих квадратных функций с осью x. (1) $y=x^{2}-x-3$ (2) $y=4 x^{2}+12 x+9$ (3) $y=-x^{2}+2 x-3$

Найдите квадратную функцию, проходящую через следующие точки: (1) (-1,7),(0,-2),(1,-5) (2) (-1,0),(3,0),(1,8)

Найдите максимальные и минимальные значения функции \( f(x)=(x-2)^{2} \) на области определения $0 \leqq x \leqq a$. Предположим, что $a$ — это положительная константа. (1) $0<a<2$ (2) $2 \leqq a<4$ (3) $a=4$ (4) $4<a$

Для квадратичной функции \( f(x) = -x^2 + 6x - 7 \) максимальное значение на интервале $a \leq x \leq a+1$ равно \( M(a) \).

Найдите максимальные и минимальные значения функции \( f(x)=-(x-3)^{2} \) на области определения $1 \leqq x \leqq a$ для следующих случаев. Здесь $a$ является постоянной, удовлетворяющей условию $a>1$. (1) $1<a<3$ (2) $3 \leqq a<5$ (3) $a=5$ (4) $5<a$

Определить квадратичную функцию по условиям прохождения через 3 точки

Развитие 81 | Максимумы и минимумы квадратных функций и текстовые задачи (2)

Основы 75 | Определение квадратичных функций по условиям, таким как вершины

4. График квадратичной функции $y=6 x^{2}+11 x-10$ параллельно смещается на $a$ единиц вдоль оси $x$ и на $b$ единиц вдоль оси $y$, чтобы получить график $F$. Когда $F$ проходит через начало координат (0,0), ответьте на следующие вопросы: (1) Выразите $b$ через $a$. (2) Когда квадратичная функция \( f(x) \), представляющая $F$, принимает одно и то же значение при $x=-2$ и $x=3$, найдите значение $a$ и максимальное и минимальное значения \( f(x) \) в интервале $-2 \leqq x \leqq 3$.

Относительно графика квадратичной функции \( y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3 \) ответьте на следующие вопросы. (1) Когда она не пересекается с осью $x$, найдите диапазон значения константы $k$.

Найдите квадратичную функцию, чтобы ее график представлял собой параболу следующим образом. (1) Парабола с вершиной в точке (-1,3) и проходящая через точку (1,7) (2) Парабола, ось которой — прямая $x=1$ и проходящая через точки (3,-6) и (0,-3)

Найдите координаты точек пересечения графика следующих квадратных функций и оси x. (1) y=x^2+7x-18 (2) y=3x^2+8x+2 (3) y=x^2-6x+2 (4) y=-6x^2-5x+6 (5) y=9x^2-24x+16

Найдите уравнение касательной к параболе $y^{2}=8 x$ в точке \( (2,4) \).

Найдите уравнение касательной в точке \( (\sqrt{2}, 1) \) на эллипсе rac{x^{2}}{4}+rac{y^{2}}{2}=1 .

111 x=p t^{2}, y=2 p t \quad(p ≠ 0)

Выразите координаты вершины параболы $y=x^{2}-2tx+2$ (A) через t.

109 Парабола $y=x^{2}-5 x+3$

Пример 1. График уравнения $9 x^{2}+4 y^{2}+54 x-16 y+61=0$.

Полярное уравнение конического сечения (1)

Найдите уравнение параболы, которая удовлетворяет следующим условиям: (1) Вершина в начале координат, фокус на оси y, и директриса проходит через точку (3,2) (2) Вершина в начале координат, фокус на оси x, и парабола проходит через точку (-2, √6)

Полярное уравнение конического сечения (2)

Найдите уравнение касательной в точке \( \left(-1, rac{1}{5} ight) \) на эллипсе \( rac{(x+4)^{2}}{25}+rac{(y+3)^{2}}{16}=1 \).

Уравнение касательной в точке на квадратической кривой

Найдите уравнения парабол, которые удовлетворяют следующим условиям. (1) Вершина в начале координат, фокус на оси y и директриса проходит через точку (3,2). (2) Вершина в начале координат, фокус на оси x и проходит через точку (-2, √6).

Давайте подробно рассмотрим, какую фигуру представляет уравнение $a x^{2}+b y^{2}+c x+d y+e=0$.