Основные функции - Полиномиальные функции

''

'Исследуйте скорость изменения следующих функций и найдите экстремум. (1) $y=\x0crac{1}{3} x^{3}-9 x$ (2) $y=-x^{3}+x^{2}-x+1$'

'Найдите уравнение касательной, проведенной из точки (0,4) к кривой y=x^3+2.'

''

''

'Для кривой C: y=x^{3}+3 x^{2}+x, когда существует 3 касательные, проходящие через точку A(1, a), найдите диапазон постоянной a.'

'(2) 2-c ≤ 2 ≤ 2+c (1) есть. Следовательно\n \\[ \egin{aligned} P(2-c ≤ X ≤ 2+c) & =\\int_{2-c}^{2+c} f(x) d x \\ & =\\int_{2-c}^{2}(x-1) d x-\\int_{2}^{2+c}(x-3) d x \\ & =\\left[\\frac{(x-1)^{2}}{2}\\right]_{2-c}^{2}-\\left[\\frac{(x-3)^{2}}{2}\\right]_{2}^{2+c} \\ & =-(c-1)^{2}+1 \\end{aligned} \\] \n Следовательно, когда P(2-c ≤ X ≤ 2+c)=0.5\n \\[ -(c-1)^{2}+1=0.5 \\text{ то есть } \\quad(c-1)^{2}=\\frac{1}{2} \\] \n Решая это, c-1= \\pm \\frac{1}{\\sqrt{2}} что приводит к \\quad c=\\frac{2 \\pm \\sqrt{2}}{2} \n Когда c=\\frac{2+\\sqrt{2}}{2}, (1) становится, 1-\\frac{\\sqrt{2}}{2} ≤ X ≤ 3+\\frac{\\sqrt{2}}{2}, противореча 1 ≤ X ≤ 3. Когда c=\\frac{2-\\sqrt{2}}{2}, (1) становится, 1+\\frac{\\sqrt{2}}{2} ≤ X ≤ 3-\\frac{\\sqrt{2}}{2}, удовлетворяя 1 ≤ X ≤ 3. Поэтому \\quad c=\\frac{2-\\sqrt{2}}{2}'

''

"Пример 74\n(1) Из условия f(x) = ∫(2x^2 - 3x) dx = (2/3)x^3 - (3/2)x^2 + C\nУчитывая f(0) = 2, получаем С = 2\nСледовательно, f(x) = (2/3)x^3 - (3/2)x^2 + 2\n(2) Угловой коэффициент касательной на кривой y = f(x) в точке (x, f(x)) равен f'(x)\nТаким образом, f'(x) = x^2 - 1\nСледовательно, f(x) = ∫(x^2 - 1) dx = (1/3)x^3 - x + C\n(С - постоянная интегрирования)\nКривая y = f(x) проходит через точку (1,0), поэтому f(1) = 0\nТаким образом, (1/3) - 1 + C = 0\nСледовательно, C = 2/3\nСледовательно, f(x) = (1/3)x^3 - x + (2/3)"

"Решите уравнение f(x)=0, чтобы получить действительные решения x=-1 и x>2, таким образом, имеется 1 положительное решение и 1 отрицательное решение. Наклон 72, см. эту книгу стр.293. Перегруппируйте уравнение f(x)=-2x^3+6x, чтобы получить -2x^3+6x=a, f'(x)=-6x^2+6=-6(x+1)(x-1). Решение f'(x)=0 дает x=±1, и таблица возрастания и убывания f(x) показана в таблице ниже. Таким образом, график y=f(x) выглядит как показано справа. Количество действительных решений уравнения f(x)=a определяется количеством точек пересечения между графиком y=f(x) и линией y=a, что приводит к 1 решению, когда a<-4 или a>4, 2 решениям, когда a=-4 или a=4, и 0 решениям, когда -4<a<4. Точка (-1,0) является точкой касания графика и оси x. Значение a, когда линия y=a проходит через максимальные и минимальные точки функции, является граничным для количества действительных решений. Пример"

'Упражнение 175 → этот рабочий лист стр. 324\n(1) Когда кривая y=f(x) и прямая y=mx+n касаются в двух точках x=a, b(a<b), выполняется следующее тождество.'

'Практика, где a, b - константы, 0<a<1. Найдите значения a и b, чтобы функция f(x)=x^{3}+3 a x^{2}+b (-2 ≤ x ≤ 1) имела максимальное значение 153 и минимальное значение -5.'

'Математика II'

'Постройте графики следующих функций, пожалуйста.'

'Решите уравнение $x+2 \\underset{2^{\x0crac{1}{2}} x^{-\x0crac{1}{2}}}{\\hookrightarrow 1} + x^{-1}=5'

'Пусть 72a будет действительным числом. Две прямые с уклоном m касаются кривой y=x^{3}-3 a x^{2} в точках A и B соответственно.'

'−8 − 6√2 ≤ x²y + xy² − x² − 2xy − y² + x + y ≤ 3'

'Математика II'

'Создать таблицу возрастающих и убывающих интервалов для f(x) = x^{4} - 6 x^{2} - 8 x - 3 и определить количество действительных решений.'

'Общий член разложения'

'Координаты x точек пересечения кривой y=f(x) и параболы y=h(x) получаются путем решения уравнения x^4 - 2x^2 + 4x = -x^2 + 4x, упрощая его до x^4 - x^2 = 0, таким образом получаем x = 0, ±1.'

'Найдите экстремальные значения функции f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x.'

'Найдите максимальное и минимальное значение функции g(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2.'

'Пусть действительные числа α, β и γ удовлетворяют условию α+β+γ=3, пусть p=αβ+βγ+γα, q=αβγ. Доказать: (1) Когда p=q+2, по меньшей мере одно из α, β и γ равно 1. (2) Когда p=3, доказать, что α, β и γ все равны 1.'

'Найдите следующие определенные интегралы. (1) $\\int_{0}^{2}\\left|x^{2}-4 x+3\\right| d x$(2) $\\int_{0}^{\\frac{\\sqrt{5}-1}{2}}\\left(x^{2}+x-1\\right) d x$'

'Упражнение 74 \ \\triangle OPQ = \\frac{1}{2}|\\cos \\theta \\cdot 3 \\sin 2 \\theta - \\sin \\theta \\cdot 1|\ \\( \egin{aligned} &=\\frac{1}{2}|\\cos \\theta \\cdot 6 \\sin \\theta \\cos \\theta - \\sin \\theta| &=\\frac{1}{2}\\left|6 \\sin \\theta\\left(1-\\sin ^{2} \\theta\\right)-\\sin \\theta\\right| &=\\frac{1}{2}\\left|-6 \\sin ^{3} \\theta + 5 \\sin \\theta\\right| \\end{aligned} \\) Положим \ \\sin \\theta = t \, тогда, для \ 0 \\leq \\theta < 2 \\pi \ получим \ \\left|-3 t^{3} + \\frac{5}{2} t\\right| \ Пусть \\( f(t) = -3 t^{3} + \\frac{5}{2} t \\) Тогда для \ -1 \\leqq t \\leqq 1 \ таблица приращения функции \\( f(t) \\) будет следующей.'

'Найдите абсциссу точки касания, где угол наклона касательной к кривой y = x^{3} - 3x^{2} равен 9.'

'Найдите количество вещественных решений f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x-5.'

'Практика: Два различных точки P, Q на кривой C: y=x^{3}-mx находятся на кривой относительно начала O. Если касательная в точке Q на C параллельна линии OP, то: (1) Если x-координата P равна a, выразите x-координату Q с использованием a. (2) Найдите диапазон значений m, при которых угол POQ будет прямым углом. [Университет Шиманэ] => стр. 300 Упражнения 69'

'Пусть a - постоянная, где a>1. Для функции y=2x^3-9x^2+12x при 1 ≤ x ≤ a найдите следующие значения: (1) минимальное значение (2) максимальное значение'

'Когда 0<a<2, из графика справа, максимальное значение f(a)=-a^{3}+3a^{2} достигается при x=a. Когда 2 ≤ a, из графика справа, максимальное значение f(2)=4 достигается при x=2. Когда 0<a<2, максимальное значение достигается при x=a для -a^{3}+3a^{2}, а когда 2 ≤ a, максимальное значение 4 достигается при x=2.'

'(3) \\( (x+2 y-4)\\left(x^{2}+y^{2}-2 x-8\\right)<0 \\)'

'Найдите значение константы $a$, когда кривые $y=x^{3}-2 x+1$ и $y=x^{2}+2 a x+1$ касаются. Также определите уравнение общей касательной в точке касания.'

'Найдите значение константы a, когда разница между максимальным и минимальным значениями функции f(x)=x^{3}-3 x^{2}+3 a x-2 составляет 32.'

'Найдите диапазон постоянной $k$, при котором уравнение $x^{3}+5 x^{2}+3 x+k=0$ имеет один положительный корень и два различных отрицательных корня.'

'Практическая задача 8 Найдите площадь между графиками двух кубических функций'

'Формула произведения и суммы'

'Из базового примера 190, из выбора максимального и минимального значения, a, b являются постоянными, и a>0. Для функции f(x) = a x^{3} - 9 a x^{2} + b (1) определите максимальное и минимальное значение в интервале -1 ≤ x ≤ 3 в терминах a, b. (2) Определите значения a, b таким образом, чтобы максимальное значение в (1) было равно 10, а минимальное значение было равно -44.'

'Для кривой TR y=x^{2}-3 x+2 найдите уравнения следующих касательных:\n(1) Касательная в точке (3,2) на кривой\n(2) Касательная с уклоном -1'

'Пусть l - это прямая 2x+y+2=0, а P - точка на параболе y=x^2. Найдите координаты P, когда расстояние между P и l минимизируется. Также, рассчитайте расстояние от Pl в этот момент.'

'Максимум и минимум кубической функции, содержащей 189 символов'

'103(x, y)=(8,16),(16,8)'

'Найдите максимальные и минимальные значения заданных функций.'

'Найдите угловой коэффициент линии, образующей угол π/4 с линией x - √3 y = 0.'

'Нарисуйте область, представленную следующими неравенствами: (1) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x-3 y-9<0 \\\\ 2 x+3 y-6>0\\end{\overlineray}\\right. (2) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}+y^{2} \\leqq 9 \\\\ x-y<2\\end{\overlineray}\\right. (3) $1<x^{2}+y^{2} \\leqq 4$'

'37 Рост функций и уменьшение · Применение графиков Стандарт 183 Число действительных решений кубических уравнений (2) f(x) = постоянная'

'Приведите пример кривой, проходящей через точку (0,1).'

'Определите диапазон значений постоянной a так, чтобы функция f(x)=x^{3}+ax^{2}+(3a-6)x+5 имела максимальные и минимальные значения.'

'Учитывая, что 189 является постоянной и a>0. Найдите максимальное значение функции f(x)=-x^{3}+3ax(0 ≤ x ≤ 1).'

'Стандарт 64: Определение коэффициентов высших уравнений (1) - Условия для действительных решений'

'Докажите следующие неравенства'

''

'Найдите следующий определенный интеграл. (1) $\\int_{-1}^{2}\\left(2 x^{2}-x+3\\right) d x$'

'Если x+y+z=1/x+1/y+1/z=1, докажите, что по крайней мере одно из x, y, z равно 1.'

'Пусть a будет константой, где a>0. Для функции f(x)=x^{3}-3 a^{2} x (0 ≤ x ≤ 1):\n(1) Найдите минимальное значение.\n(2) Найдите максимальное значение.'

'Основа 3: Общий член арифметической последовательности'

'Кубическая функция f(x)=a x^{3}+b x+3 имеет локальный минимум 1 при x=-1. Определите значения констант a и b. Также найдите максимальное значение.'

''

'Докажите, что уравнение (a+b)(b+c)(c+a)+abc=0 выполняется при (2) a+b+c=0.'

'Определение коэффициентов кубической функции из условий экстремумов'

'Найдите сумму площадей двух фигур, ограниченных кривыми y=x^3-4x и y=3x^2.'

'Пусть a - постоянная, где a>0. Найдите максимальное значение функции f(x)=-x^{3}+3ax(0 ≤ x ≤ 1).'

"Вопрос 8: Контраст между тусклым освещением дома из досок днём и розой, сверкающей яркими цветами, а также темнота ночи в Цудзидо в сравнении с лунным светом на песчаной почве, излучает выразительную красоту, что делает вариант Е наилучшим выбором. Опять же, завялая роза не символизирует оставшуюся жизнь сестры, поэтому не подходит. Сосредоточиться на внешности - это действие, противоположное 'отсутствию мотивации', поэтому неверно. Причина, по которой отец смело ступил в глубокую лужу после выговора, заключается в том, что он показал свою любовь. Намерение выразить 'жалкость Сеничи после потери человеческого достоинства' из этого не видно. Упоминание прохождения по пути через кладбище также не уместно."

'(6) Яркость звезды зависит не только от различий в цвете, даже у холодных и красных звезд, если они большие по размеру, будут казаться яркими.'

'Если действительные числа x, y удовлетворяют уравнению 2x^{2}+3y^{2}=1, найдите максимальное и минимальное значения x^{2}-y^{2}+xy.'

''

'Постройте график следующей функции и определите её область значений.'

'Количество действительных решений уравнения'

'Движущаяся точка P на кривой xy = 4, когда проведена перпендикулярная линия PQ к оси y, точка Q движется вдоль положительного направления оси y со скоростью 2 единицы в секунду. Найдите скорость и ускорение, когда точка P проходит через точку (2,2).'

'Рассчитайте площадь кривой, представленной полярным уравнением.'

'Определенные интегралы четных и нечетных функций'

'Докажите непрерывность функции f(x)=\\left\\{\egin{\overlineray}{ll}x^{2} & (x \\neq 0) \\\\ 1 & (x=0)\\end{\overlineray}\\right.'

'Найдите композиционную функцию f(g(x)) для f(x)=x^{2}+x+2 и g(x)=x-1.'

'Выразите a и b через n, когда g(x)=a x^(n+1)+b x^n+1 (где n - натуральное число больше или равное 2) делится на (x-1)^2.'

'Шар с постоянной скоростью увеличения площади поверхности 4πсм^2/с. Определите следующее, когда радиус становится 10см:'

'Как нарисовать сложенный график'

'Постройте график следующих функций для практики 101 раз. (1) y=x^{2}-3|x|+2 (2) y=|2 x^{2}-4 x-6| (3) y=|x+1|(x-2)'

'Постройте график следующих функций: (1) y=x^{2}-4|x|+2 (2) y=|x^{2}-4|'

'Трансляция и Симметричное преобразование'

'Найдите максимальное и минимальное значения функции y=(x^2-2x)(6-x^2+2x) при -1 ≤ x ≤ 3.'

'Положительное целое число, представленное в десятичной системе счисления, преобразуется в кватернион, что дает 3-значное число abc; преобразование его в шестеричное дает 3-значное число pqr. Предположим, a + b + c = p + q + r. Напишите это число в десятичной системе счисления.'

'Максимум и минимум четвертой степени функции'

'Найдите максимальное и минимальное значения функции y=x^4-8x^2+1.'

'Когда а равно 1, f(x) достигает минимума при x=1. Следовательно, f(1)=-3а+7≥0, что означает, что a≤7/3. Общий диапазон между 1<a и 1<a≤7/3 это 1<a≤7/3.'

'Понимать область значений функции и покорять Пример 64!'

'Постройте графики следующих функций и определите их области значений.'

'Объясните, почему в Лекциях [1] и [3] выводится одно и то же относительное выражение.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Решим эти два квадратных неравенства с помощью графиков. Здесь мы имеем дело с неравенствами в терминах m, а не x, поэтому график будет на оси m.'

'Когда 59(a, b) = (9,8), (12,6), максимальное значение равно 72'

''

'Пусть $0 \\leq t \\leq 1$. Найдите значения $t$, которые максимизируют и минимизируют определенный интеграл $\\int_{0}^{1}\\left|x^{2}-t^{2}\\right|dx$.'

'Точка пересечения графика функции и ее касательной\n(1)\nНа кривой C: y=x^{3}-x есть точка A с координатой x равной 1. Найдите координату x другой точки, в которой касательная в точке A пересекается с C.'

''

'Когда у уравнения $f(x)=a$ есть три различных действительных решения, кривая $y=f(x)$ и прямая $y=a$ имеют три различные точки пересечения.'

'Найдите диапазон значений константы m, при которых функция f(x)=x^3-3mx^2+6mx имеет крайние значения.'

'Найдите экстремальные значения следующих функций и постройте их графики. (1) y=x^{3}-3 x (2) y=x^{3}+3 x^{2}+3 x+3'

'Найдите диапазон значений константы $a$, таких что функция $f(x)=x^{3}+ax^{2}+(3a-6)x+5$ имеет критические точки.'

''

'Найдите минимальное значение 4x^2 + 1/((x + 1)(x - 1)) при x > 1.'

'Исследуйте поведение возрастания и убывания функции f(x)=|x|(x^2-5x+3) и нарисуйте общую форму графика y=f(x).'

'(1) Графически изобразите регион, описанный системой неравенств {x^2 + y^2 - 2x + 2y - 7 ≥ 0, x ≥ y}. (2) Учитывая r > 0. Найдите максимальное значение r, для которого выполняются условия (x-4)^2 + (y-2)^2 ≤ r^2.'

'Рассмотрим прямую lt, проходящую через точку P: y = 2tx + t^2. Найдите уравнение траектории точки Р. Кроме того, когда t изменяется по всем реальным значениям, изобразите множество всех точек (x, y), через которые проходит прямая lt.'

'Найдите среднюю скорость изменения, когда x изменяется в пределах [ ]. (а) f(x)=-3 x^{2}+2 x от -2 до b (б) f(x)=x^{3}-x от a до a+h'

'Найдите количество касательных, проведенных из точки (0, k) на кривую C: y=-x^3+3x^2.'

'Найдите общий член последовательности, определенной следующим образом: \ a_{1}=3, a_{n+1}=2 a_{n}-n \'

'Доказательство уравнений и неравенств Основные принципы 1. Доказательство уравнения A=B 1. Преобразовать одно из A или B для вывода другого. Преобразование более сложного выражения - это принцип. 2. Преобразовать A, B соответственно, чтобы вывести то же самое выражение. 3. Преобразовать A-B, чтобы показать, что оно становится равным 0. A=B ⇔ A-B=0'

'Пусть a, b - действительные числа. Третья степень функции f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x имеет максимум в точке x=α и минимум в точке x=β. Здесь α<β.'

'Докажите, что для действительных чисел x и y, если x^{2}+y^{2}<1, то x^{2}+y^{2}<2 x+3.'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Когда график кубической функции y=ax^3+bx^2+cx+d выглядит как показано справа, определите знаки a, b, c и d.'

'Найдите уравнение касательной к кривой y=x^{3}, проведенной из точки (1,0).'

'Когда a < 0, g(a) = 2a^3 - 3a^2 + 3\nКогда 0 ≤ a < 1, g(a) = 3\nКогда 1 ≤ a < (6+√6)/6, g(a) = 2a^3 - 9a^2 + 12a - 2\nКогда (6+√6)/6 ≤ a, g(a) = 2a^3 - 3a^2 + 3'

'Минимальное значение определенного интеграла'

'Таким образом, график функции (1) представлен справа, с 3 точками пересечения с осью x. Следовательно, у уравнения x^{3}-3 x^{2}+1=0 есть 3 вещественных решения.'

'Проходя через точку (6,3)'

'Вычислите площадь, ограниченную кривыми $y=x^{3}-4 x$ и $y=3 x^{2}$.'

'Найдите площадь, ограниченную следующими кривыми, линиями и осью x.'

'Найдите максимальные и минимальные значения данной функции.'

'Докажите следующее неравенство'

'Найдите минимальное значение функции P=x^{2}+3y^{2}+4x-6y+2 для x и y.'

'Ответьте на следующие вопросы о графике функции y=|x^2-2mx|-m. Здесь m - это действительное число.'

'Найдите максимальные и минимальные значения следующих функций.'

''

'При определении функции f(x) (0 ≤ x < 1) построить график следующих функций. (1) y=f(x) (2) y=f(f(x))'

'Функции, изменяющиеся в зависимости от области определения'

'(2) \ \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}-y^{2}+x+y=0 \\\\ x^{2}-3 x+2 y^{2}+3 y=9\\end{\overlineray}\\right. \'

'Для функции f(x)=x^2-2x-3 ответьте на следующие вопросы.'

'Найдите максимальное и минимальное значение функции f(x) = |x^2 - 1| - x для -1 ≤ x ≤ 2.'

'Найти максимальное и минимальное значения функции y = (x ^ 2 - 2x - 1) ^ 2 - 6(x ^ 2 - 2x - 1) + 5 для -1 ≤ x ≤ 2.'

'Определите, имеет ли функция f(x) максимальное значение для заданного диапазона a.'

'В функции y=f(x), какова будет запись функции, если область определения a ≤ x ≤ b?'

'Постройте график следующих функций. (1) y=x^{2}-4|x|+2 (2) y=\\left|x^{2}-4\\right|'

'Постройте график функции y = |x^{2} - x - 2| - 2x.'

'Постройте графики следующих функций и найдите их области значений.'

'Математика I'

'Вычислите f(1-a).'

'Доказательство утверждений с использованием противоположности'

'Как нарисовать график, согнув'

'Рассмотрите необходимые и достаточные условия.'

'Найдите максимальное и минимальное значения функции y=x^{4}-8x^{2}+1.'

'Когда \ 1 < a \, функция \\( f(x) \\) достигает минимума при \ x = 1 \. Следовательно, \\( \\quad f(1) = -3a + 7 \\geqq 0 \\), что означает, что \ a \\leqq \\frac{7}{3} \'

'Найдите максимальное и минимальное значения функции y = (x² - 6x)² + 12(x² - 6x) + 30 при 1 ≤ x ≤ 5.'

'Пожалуйста, объясните область определения и область значений функции y = f(x).'

'Выберите две функции из следующих (1) по (4), которые имеют максимальные значения при x=2, и найдите максимальное и минимальное значения этих функций.'

'Преобразуйте полярное уравнение в прямоугольные координаты:\nИз полярного уравнения $r=\\frac{3}{1+2 \\cos \\theta}$ мы имеем $r+2r \\cos \\theta=3$\nПоскольку $r \\cos \\theta=x$, то $r+2x=3$\nСледовательно, $r=3-2x$, что означает $r^{2}=(3-2x)^{2}$\nТак как $r^{2}=x^{2}+y^{2}$, получаем $x^{2}+y^{2}=(3-2x)^{2}$\nРешая это уравнение, получаем $3x^{2}-12x-y^{2}+9=0$\nТаким образом, $3(x-2)^{2}-y^{2}=3$'

'Найдите полярные координаты центра и радиуса окружности, представленной следующими полярными уравнениями:'

'Когда функция \ f \ отображает множество \ A \ в множество \ B \, мы называем множество \ A \ областью определения.'

'Используя математическую индукцию, докажите, что это уравнение справедливо для всех натуральных чисел n.'

'Пусть P - движущаяся точка на кривой xy=4. Из P проведена перпендикулярная линия PQ на ось y таким образом, что Q движется вдоль оси y со скоростью 2 единицы в секунду. Найдите скорость и ускорение P, когда она проходит через точку (2,2).'

'Обратная функция функции, f^{-1}(x) = f(x)'

'(1) Резюме\n(1) S(a)=\\frac{1}{2}\\sqrt{5a^{2}+6a+90}=\\frac{1}{2}\\sqrt{5\\left(a+\\frac{3}{5}\\right)^{2}+\\frac{441}{5}}\nСледовательно, S(a) принимает минимальное значение \\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{441}{5}}=\\frac{21\\sqrt{5}}{10} при a=-\\frac{3}{5}.'

'Найдите уравнения касательных и нормалей в точке P на следующей кривой.'

''

'\\n(1)\\\ y^{\\prime}=4 x^{3}-2 \\cdot 3 x^{2}+3 \\cdot 1-0=4 x^{3}-6 x^{2}+3 \'

'Найдите следующий определенный интеграл. \\[ \\int_{a}^{b}(x-a)^{2}(x-b)^{2} \\,dx \\]'

'Найдите площадь, ограниченную следующей кривой.'

'График функции y=√(1+x^2) проходит через две точки A(0,1) и B(1,√2). Уравнение прямой AB: y=(√2-1)x+1. В диапазоне 0≤x≤1 всегда выполняется неравенство 1≤√(1+x^2)≤(√2-1)x+1, и обычно равенство не выполняется.'

'Функции f(x) и g(x) непрерывны на интервале [a, b], причем максимальное значение f(x) больше максимального значения g(x), а минимальное значение f(x) меньше минимального значения g(x). Покажите, что уравнение f(x)=g(x) имеет действительное числовое решение в диапазоне a ≤ x ≤ b.'

'Найдите касательные и нормальные линии на кривой y^2=4px.'

'Сложная функция и область значений'

'Общие точки на графиках функции и ее обратной функции'

'Практика: Найдите значение константы a, когда сумма локального максимума и локального минимума функции f(x)=2x^3+ax^2+(a-4)x+2 составляет 6.'

'Постройте график следующих функций.'

"Используйте a, f(a) и f'(a), чтобы выразить остаток при делении многочлена f(x) на (x-a)^{2}."

'Найдите максимальные и минимальные значения функции y = x^3 - 3x + 1.'

'Определите значения констант a и b, чтобы удовлетворить следующие условия:'

'Дифференциальное исчисление'

'Завершите таблицу, чтобы показать увеличение и уменьшение функции y=-x^3+9x, и найдите экстремум и его точки'

'Дана кривая C: y = x^{3} + 3x^{2} + x и точка A(1, a). Если существует 3 касательные, которые можно провести через A и касаются C, найдите диапазон значений для постоянной a.'

'Найдите значения констант a и b для функции f(x)=x^{3}-a x^{2}+b таким образом, чтобы максимальное значение было 5, а минимальное - 1.'

'Пусть a будет действительным числом, а кривая C равна y=x^3+(a-4)x^2+(-4a+2)x-2.'

'Деление многочленов'

'Для параболы y = 2x^2 + a и окружности x^2 + (y - 2) ^2 = 1 вычислите следующее: (1) Значение константы a, когда парабола и окружность касаются (2) Диапазон значений константы a, при которых есть четыре различные точки пересечения'

'Когда интервал равен $-\\frac{1}{2} \\leqq t \\leqq 2$, найдите максимальное и минимальное значения $F(t)=\\int_{0}^{1} x|x-t| d x$.'

'Докажите, что середина M отрезка, соединяющего точки (α, f(α)) и (β, f(β)), лежит на кривой y=f(x), где функция y=f(x) имеет максимум при x=α и минимум при x=β.'

'Найдите максимальное и минимальное значения данной функции. Также определите соответствующие значения x.'

'Поставленная проблема состоит в поиске условий и иллюстрации области, в которой существуют точки, удовлетворяющие этим условиям.'

'Попрактикуйтесь в нахождении следующих определённых интегралов.'

'Найдите значения констант a, b и c, когда кривые y=x^{3}+a x и y=b x^{2}+c проходят через точку (-1,0) и имеют общий касательный в этой точке. Также определите уравнение общей касательной в этой точке.'

'Доказательство опущено, когда x=y=z; a=3'

'Советы по построению графика кубической функции'

'Покажите условие, при котором уравнения g(x)=0 и h(x)=0 имеют два различных вещественных решения каждое и не имеют общего решения. Здесь g(x)=f(x)-x=a x^{2}-x-b, h(x)=a f(x)+a x+1=a^{2} x^{2}+a x-a b+1, и когда f(f(x))-x=0, то g(x) h(x)=0 имеет четыре различных вещественных решения.'

'Когда функция $f(x)=4x^3-3(2a+1)x^2+6ax$ имеет локальные максимумы и минимумы, найдите условие, которому должна удовлетворять константа $a$.'

'Рассмотрим Базовое упражнение 120. Исследуйте изменения знака следующих многочленов $f(x, y)$ и определите знаки в каждом районе.'

'Какой китайский перевод данного текста?'

'Найдите следующие определенные интегралы.'

'Симметрия графика кубической функции'

'Практика: Нарисуйте график функции y=| -x^3 + 9x |.'

''

'Когда точка P(x, y) движется вдоль единичной окружности в плоскости, найдите максимальное значение 15x^2 + 10xy - 9y^2 и координаты точки P, которые дают максимальное значение.'

'Пусть а - положительная константа. Найдите минимальное значение функции f(x) на интервале 0 ≤ x ≤ 2. Где: f(x) = -\\frac{x^{3}}{3} + \\frac{3}{2}ax^{2} - 2a^{2}x + a^{3}'

'Моменты, на которые следует обратить внимание при построении графика кубической функции'

'Попрактикуйтесь в построении графика следующих функций.'

'Найдите все функции f(x), которые принимают крайние значения при x = 1 и x = 3, для функции f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d. Также укажите максимальные и минимальные значения.'

'Найдите значение постоянной a, когда кривые y=x^{3}-x^{2}-12 x-1, y=-x^{3}+2 x^{2}+a касаются. Также найдите уравнение касательной линии в этой точке.'

''

'Найдите максимальные и минимальные значения функции. Также определите соответствующие значения x. (219 (1) y=-x^{3}+12x+15 (-3 ≤ x ≤ 5))'

'Кубическая функция и экстремальные значения'

'Количество действительных решений уравнения f(t)=b определяется количеством пересечений графика y=f(t) и прямой y=b: 1 пересечение, когда b<2a и b>e^{a}-e^{-a}; 2 пересечения, когда b=2a или b=e^{a}-e^{-a}; 3 пересечения, когда 2a<b<e^{a}-e^{-a}'

'Перевести данный текст на несколько языков.'

'Используя функции f(x)=x^{2}+1 и g(x)=2x-1, найдите композитную функцию (g ∘ f)(x).'

'Выразите окружность (1) в полярных координатах.'

'Постройте графики следующих функций и найдите их области значений:\n(1) y=\\sqrt{3 x-4}\n(2) y=\\sqrt{-2 x+4}(-2 \\leqq x \\leqq 1)\n(3) y=\\sqrt{2-x}-1'

'Определите значения констант a и b так, чтобы функция y = √(4-x) принимала значения между 1 и 2 для a ≤ x ≤ b.'

'Пожалуйста, нарисуйте график функции $y$, определяемой уравнением $y^{2}=x^{2}(8-x^{2})$ относительно $x$.'

'Функцию f(x) называют непрерывной, когда она непрерывна для всех значений x в своей области определения. Функции, представленные полиномами, дробями, иррациональными функциями, тригонометрическими функциями, экспоненциальными функциями и логарифмическими функциями, все они являются непрерывными функциями.\nПожалуйста, докажите, что функция f(x)=√x непрерывна в своей области определения.'

"Докажите, что квадратичная функция g(x), удовлетворяющая условиям f(a)=g(a), f'(a)=g'(a), f''(a)=g''(a), имеет вид g(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(f''(a)/2)(x-a)^2 (1)."

''

'1) Минимальное значение при t=2 равно -\\frac{512 \\sqrt{2}}{15}'

''

''

'Пожалуйста, исследуйте функцию y = x sqrt(x + 1), где x > -1.'

'Для вещественного числа x, [x] представляет целое число n, удовлетворяющее условию n ≤ x < n+1, определите значения констант a и b так, чтобы функция f(x) = ([x]+a)(b x-[x]) была непрерывной при x = 1 и x = 2.'

'(1) Представьте I в виде функции от a. (2) Найдите минимальное значение I и соответствующее значение a.'

''

'Найдите максимальное и минимальное значения x^2 - y^2 + xy, когда вещественные числа x и y удовлетворяют условию 2x^2 + 3y^2 = 1.'

'(6) При x=-4/5, максимальное значение равно 12√[3]{10}/25, при x=0, минимальное значение равно 0'

'(2) x=1 приводит к максимальному значению 1'

'Найдите минимальное расстояние между точкой $P$ на эллипсе $\\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ и фиксированной точкой $A(a, 0)$. Здесь $a$ - это вещественная константа.'

''

'Когда точка (x, y) на координатной плоскости движется по множеству, заданному выражением (x^2 + y^2)^2 - (3x^2 - y^2)y = 0, x ≥ 0, y ≥ 0, найдите максимальное значение x^2 + y^2 и значения x, y, при которых достигается это максимальное значение.'

'Найдите область x для главы 1 Функции - ПРАКТИКА, задача 4.'

'Найдите площадь между y = x^2 и y = x.'

'Пожалуйста, нарисуйте примерный график функции x, определяемой уравнением y^2 = x^2(x+1) (вогнутость/выпуклость не нужно учитывать).'

'Найдите точку Упражнения 11 в Главе 1 - Функции.'

'Найдите следующий неопределенный интеграл.'

'Вопрос 66\n(1) Найдите решение уравнения (x-3)² + y² + (z-2)² = 13.\n(2) Найдите решение уравнения (x-2)² + (y-4)² + (z+1)² = 27.\n(3) Найдите решение уравнения (x-2)² + (y+3)² + (z-1)² = 9.'

'(2) Точка B - это точка, полученная путем вращения точки A вокруг начала O на угол π/4 или -π/4 и увеличения расстояния от начала в √2 раза.'

''

'Положение x точки P, двигающейся вдоль линии в момент времени t, задается x=-2t^3+3t^2+8(t≥0). Найдите скорость и ускорение P, когда оно наиболее отдалено от начала координат O в положительном направлении.'

'Постройте графики следующих функций. Также найдите их области определения и значений.'

'Исследуйте, непрерывна ли функция f(x) при x=0 или разрывна. Где [x] обозначает наибольшее целое число, не превышающее действительное число x.'

'Даны множества A и B, когда элемент множества A определен, соответствующий элемент множества B также определен как один. Это соответствие называется отображением из A в B. Отображения обозначаются символами, такими как f, g. Обозначается как f: A→B, чтобы представить отображение из A в B. Для отображения f из A в B, элемент B, соответствующий элементу a множества A, называется образом a в f, обозначается как f(a). Например, возьмем A={a, b, c, d}, B={1, 2, 3, 4}. Если f(a)=f(b)=1, f(c)=3, f(d)=2, то f является отображением из A в B.'

'Используя вращение для нахождения площади'

'Найти уравнение касательной к данной точке на следующих эллипсах и гиперболах.'

'Рассчитать площадь с использованием преобразования поворота'

'Нарисуйте контур графика функции y, определенной следующими уравнениями (также исследуйте выпуклость и вогнутость):'

'На момент времени t=2 необходимо определить ускорение P, α, где α = dv/dt = 6t.'

'Пожалуйста, решите задачу, связанную с функциональными уравнениями.'

'Пожалуйста, найдите количество общих точек на графиках двух функций.'

''

'Найдите минимальное значение функции y=x^4-6x^2+10.'

'\\[f(f(x))=2 f(x)-1=2 \\cdot(2 x-1)-1=4 x-3\\]\nСледовательно, график \\( y=f(f(x)) \\) показан на рисунке (2).'

'Для всех вещественных чисел x1 и x2, удовлетворяющих 0 ≤ x ≤ 4, условие f(x1) < g(x2) выполнено, если максимальное значение f(x) меньше минимального значения g(x) для 0 ≤ x ≤ 4. Следовательно, -a^2 + 8 < -3a - 10. Упрощая, мы получаем a^2 - 3a - 18 > 0. Таким образом, (a + 3)(a - 6) > 0. Следовательно, a < -3, 6 < a.'

'Постройте график следующих функций: (1) y=x^{2}-4|x-1| (2) y=\\left|\\frac{1}{3} x^{2}+2 x-9\\right|'

'Для некоторых вещественных чисел x1, x2, удовлетворяющих условию 0 ≤ x ≤ 4, условие f(x1) < g(x2) выполняется тогда и только тогда, когда минимальное значение f(x) < максимального значения g(x) при 0 ≤ x ≤ 4. Следовательно, -a^2 - 1 < -3a - 1 можно упростить до a^2 - 3a > 0.'

(2) Постройте график функции \( y=M(a) \).

Найдите уравнение гиперболы 100-й степени. (1) rac{x^{2}}{9}-rac{y^{2}}{9}=1 (2) rac{x^{2}}{8}-rac{y^{2}}{18}=-1

Для координат \( (x, y) точки на кривой $C$, выраженных с использованием переменной $t$ как \( \left\{egin{array}{ll}x=t \\ y=t^{2}\end{array} \cdots \cdots \cdots(A)\right. \), исследуйте значения $x$ и $y$, соответствующие значению $t$, нанесите точки на координатную плоскость и соедините их плавной линией. Какую кривую мы получим?

Уравнение x, y и полярное уравнение

Какая фигура представлена всеми точками $z$, удовлетворяющими следующим уравнениям. (1) $|2 z-1+2 i|=6$ (2) $|z+3 i|=|z+1|$

Когда точка EX точка \( \mathrm{P}(x, y) \) перемещается по эллипсу rac{x^{2}}{4}+y^{2}=1 , найдите максимальное и минимальное значения $3 x^{2}-16 x y-12 y^{2}$.[Ссылка: Медицинский университет Фукусима]

Когда точка \( \mathrm{P}(x, y) \) движется по эллипсу $\frac{x^2}{4}+y^2=1$, найдите максимальные и минимальные значения $3x^2-16xy-12y^2$.

Представьте кривые, заданные следующими уравнениями, в полярных координатах. (a) 2x^2 + y^2 = 3 (б) y = x (в) x^2 + (y - 1)^2 = 1