Основные функции - Линейные функции и их графики

'Если график y = f(x) на странице 278 книги 146 симметричен относительно точки (2,1), найдите уравнение графика после параллельного смещения его на -2 в направлении x и -1 в направлении y.'

'Таблица изменений: таблица, показывающая увеличение или уменьшение переменных.'

'(3) (1) Доказательство опущено, условие для справедливости уравнения - x=y'

'Решите следующие задачи.'

'Когда точка (x, y) движется на 79, найдите область, представленную системой неравенств y ≤ 1/2x + 3, y ≤ -5x + 25, x ≥ 0, y ≥ 0. Найдите максимальное и минимальное значения следующих выражений:\n(1) x²+y²\n(2) x²+y²-2(x+6y)\n[Токийский университет наук]'

'Условие параллельности прямых (2) и (3) заключается в том, что'

'Постройте график рекуррентного соотношения an+1=ran и объясните его характеристики.'

'(1) Для прямой y=2x+3, найдите координаты точки P(3,4) и её симметричной точки.'

"Уравнение касательной в точке (a, a²) на C₁ - y' = 2a, что приводит к y - a² = 2a(x - a), следовательно y = 2ax - a². Уравнение касательной в точке (b, 4b² + 12b) на C₂ - y' = 8x + 12, что приводит к y - (4b² + 12b) = (8b + 12)(x - b), следовательно y = (8b + 12)x - 4b². Линия l совпадает, когда (1) и (2) равны, поэтому 2a = 8b + 12, -a² = -4b², что дает a = 4b + 6, b² + 4b + 3 = 0, решив для b мы получаем b = -1, -3, так как угол наклона линии l положителен, 8b + 12 > 0, следовательно b = -1, a = 2. Таким образом, уравнение линии l - y = 4x - 4."

'Найдите область значений функции y=-2x+3 (-3 ≤ x ≤ 2).'

'Найдите уравнение следующих прямых:'

'Выведите уравнение прямой.'

'Постройте уравнение рекуррентности an+1=an+d на графике и опишите его характеристики.'

'Найти уравнение следующих прямых.'

'Прямая y = mx (m > 0) делит площадь фигуры T пополам. Найдите значение m.'

'Когда m = -4, это 3,5; когда m = 4, это -5, -3 (2) Когда m = -2√5, это √5, 3√5; когда m = 2√5, это -√5, -3√5'

'Найдите уравнение прямой, симметричной прямой y=2x+3 относительно прямой 3x+y-1=0.'

'Найдите уравнение прямой, проходящей через точку (x_1, y_1) с угловым коэффициентом m.'

'Найдите уравнение прямой, проходящей через следующие две точки: (1) (2,-3),(-1,1) (2) (3,4),(3,1) (3) (a, 0),(0, b) Уравнение прямой, проходящей через разные точки (x1, y1),(x2, y2) y-y1=\x0crac{y2-y1}{x2-x1}(x-x1) когда x координаты двух точек отличаются x1≠x2 когда x координаты двух точек совпадают x1=x2 уравнение прямой x=x1'

'Пусть а и b - действительные числа, когда а + b = 2 и а ≠ b, определите порядок чисел 1, ab и (a² + b²) / 2.'

'Какая система неравенств представляет заштрихованную область справа? Обратите внимание, что граничные линии не включены в регион.'

'Найдите определенные интегралы. (1) $\\int_{0}^{3}|x-2| dx$ (2) $\\int_{-2}^{3}\\left|x^{2}-2x\\right| dx$'

''

'Найдите уравнения следующих прямых:\n(1) Угловой коэффициент -2, y-пересечение 3.\n(2) Проходит через точку (4,2) с угловым коэффициентом 3.\n(3) Проходит через точку (-3,0) с угловым коэффициентом -5.\n(4) Проходит через точку (2,-1) с угловым коэффициентом 1/2.\n(5) Проходит через точку (-2,7) и перпендикулярна оси x.\n(6) Проходит через точку (3,2) и параллельна оси x.'

'Обзор арифметической и геометрической прогрессий'

'Увеличивается, когда x ≤ 2, уменьшается, когда 2 ≤ x. Всегда увеличивается. Уменьшается, когда x ≤ -2/√3 или 2/√3 ≤ x, увеличивается, когда -2/√3 ≤ x ≤ 2/√3.'

'Если скорость изменяется, как показано на рисунке 3, сколько расстояния будет пройдено за 5 часов?'

'При еще более сокращении временных интервалов графика на рисунке 5, на какой части графика окажется пройденное расстояние за 5 часов?'

'Вопрос 2: В контексте жизни, воображаемой как линия, начинающейся с рождения и заканчивающейся смертью, где вы себя видите в данный момент?'

'Что такое нормальный вектор?'

'Выразите уравнение прямой, проходящей через точки (-3,2) и (2,-4), используя параметр t.'

'(1) \ y = x - 2\\sqrt{x} \'

'Выразите уравнение прямой, проходящей через точки (-3,2) и (2,-4), используя параметр t.'

'Найти область значений заданных функций. Также определить максимальное и минимальное значения, если они существуют.'

'Область значений функции y=ax+b (1≤x≤2) равна 3≤y≤4.'

''

'Пожалуйста, объясните, как использовать список примеров.'

'В общем, справедливо следующее. При преобразовании переменной x в y=ax+b (a, b - константы), среднее: ȳ=ax̄+b, дисперсия: s_y^2=a^2s_x^2, стандартное отклонение: s_y=|a|s_x'

'Исследуйте функции F(a) и G(a) в следующей области:'

'Чему равны максимум и минимум функции, когда один конец области определения движется?'

'Найдите область значений следующих функций. Также определите максимальное и минимальное значения.'

'При x + 3y = k минимальное значение x^2 + y^2 равно 4. Найдите значение константы k.'

"Пожалуйста, укажите страницу 'линейной функции'."

'Что такое CHART (チャарт)?'

'Найдите область значений следующих функций. Также определите максимальное и минимальное значения функций.'

'(1) Найдите максимальное значение xy, когда x + y = 4.'

'Когда область определения линейной функции y=ax+b равна -3 ≤ x ≤ 1, область значений равна -1 ≤ y ≤ 3. Здесь a>0.'

'Найдите область значений функции y=x-3 (1 ≤ x < 5).'

'При x=0 минимальное значение -1, а максимальное не определено.'

'Точки пересечения графика и оси x и действительные решения уравнения'

'Покажите общий вид линейной функции и квадратичной функции: где a, b, c - константы.'

'Минимальное значение -1 при x=2, и максимального значения не существует.'

'Постройте график следующих функций и определите их область значений.'

'При x ≥ 0, y ≥ 0 и 3x + 2y = 1, найдите максимальное и минимальное значения 3x^2 + 4y^2.'

'64 (1) Диапазон -5 ≤ y ≤ 4, максимальное значение 4 при x=-1, минимальное значение -5 при x=2'

'Найдите область значений следующих функций. Также найдите максимальное и минимальное значение функций.'

'Определите значения констант a и b так, чтобы диапазон линейной функции y=ax+b (-2 ≤ x ≤ 1) был -1 ≤ y ≤ 5. При этом a<0.'

'Найдите область значений следующих функций. Также найдите максимальное и минимальное значения функций. (1) y=-3 x+1 (-1 ≤ x ≤ 2)(2) y=\\frac{1}{2} x+2 (-2<x ≤ 4)(3) y=-2 x^{2} (-1<x<1)'

'64 (2) Диапазон 1 < y ≤ 4, максимальное значение 4, когда x=4, минимальное значение не задано'

'Найдите минимальное значение x^2 + y^2, если 2x + y = 3.'

'В выражении x+y=k, где мы пытаемся найти максимальное и минимальное значения, мы предполагаем x+y=k и решаем его, как показано в примере 106. Идея заключается в следующем: Для всех значений (x, y), включенных в область D, вычисление значения x+y и нахождение максимального и минимального значений для x+y невозможно. Поэтому...'

'Базовый пример 73\nПересечение 2 прямых и решения системы линейных уравнений\nНайдите условия для системы уравнений ax+3y-1=0,3x-2y+c=0, чтобы она имела следующее:\n(1) Уникальное решение\n(2) Нет решения\n(3) Бесконечные решения'

'(2) Если f(x) - это функция первой степени от x и \\int_{0}^{1} f(x) d x = 1, то \\int_{0}^{1}\\{f(x)\\}^{2} d x > 1.'

''

'(1) $y = - \\frac{1}{2a} x - \\frac{1}{16 a^{2}}$\\n(2) Минимальное значение равно $\\frac{1}{12}$ при $a = \\frac{1}{2}$'

''

'Постройте области, представленные следующими неравенствами на плоскости xy.'

'В математике задача найти уравнение прямой PQ, проходящей через точки касания P, Q двух касательных.'

"(1) y'= -2x+4= -2(x-2) Когда y'=0, x=2 таблица увеличения и уменьшения у следующая справа. Следовательно, увеличивается при x<=2 и уменьшается при 2<=x."

''

'Какой самый лучший способ решать примеры во втором шаге?'

''

''

'На плоскости xy пусть D - область, определенная системой неравенств x ≥ 0, y ≥ 0, x+2y ≤ 30, 5x+2y ≤ 66. Найдите максимальное значение kx+y при движении точки (x, y) в пределах области D, где k - действительное число, удовлетворяющее 1 ≤ k ≤ 3.'

'Найдите уравнение прямой параллельной прямой ℓ: 2x+3y=4 и проходящей через точку (1,2). Также найдите уравнение прямой перпендикулярной прямой ℓ и проходящей через точку (2,3).'

'В одном заводе есть два вида продукции, X и Y. Для производства 1кг X требуется 1кг сырья A и 3кг сырья B, в то время как для 1кг Y требуется 2кг сырья A и 1кг сырья B. Максимальные пределы доступных сырьевых материалов составляют 10кг для сырья A и 15кг для сырья B. Если прибыль за 1кг составляет 50 тысяч иен для X и 40 тысяч иен для Y, сколько килограммов X и Y следует произвести, чтобы максимизировать прибыль?'

'Найдите уравнение прямой, проходящей через две разные точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$.'

'При t = 1 максимальное значение 2/3, при t = 1/2 минимальное значение 1/4'

'(2) Из $x-y=\\sqrt{2}$ следует, что $y=x-\\sqrt{2}$. Подставляя это в $x^{2}+y^{2}=1$, получаем \\[ x^{2}+(x-\\sqrt{2})^{2}=1 \\] Упрощая, получаем $2x^{2}-2\\sqrt{2}x+1=0$. Обозначим дискриминант этого квадратного уравнения как $D$, тогда \\[ \\frac{D}{4}=(-\\sqrt{2})^{2}-2 \\cdot 1=0 \\] Поскольку $D=0$, имеется 1 точка пересечения (касание).'

"(1) Учитывая, что y' = 6x -4 = 2(3x - 2), y'=0, когда x=2/3, таблица для увеличения и уменьшения y такая, как показано справа. Следовательно, y достигает минимального значения -1/3 при x=2/3."

'Решите неравенство 2|x+1|-|x-1|>x+2, используя графические методы.'

'Найдите значения констант a и b так, чтобы область значений функции y = ax + b (-2 ≤ x < 1) была 1 < y ≤ 7.'

''

'Найдите значения констант a и b так, чтобы область значений функции y = ax + b (2≤x≤5) была -1≤y≤5.'

'Дополнение множества \ \\overline{A}=\\{x \\mid x \\in U \ и \ x \\notin A\\} \, законы Де Моргана утверждают, что \ \\overline{A \\cup B}=\\overline{A} \\cap \\overline{B} \\quad \\overline{A {cap B}=\\overline{A} \\cup \\overline{B} \'

'Когда максимальное значение функции y = -x + 1 (a ≤ x ≤ b) равно 2, а минимальное значение равно -2, найдите значения констант a и b.'

'На графике линейной функции y=ax+b, он наклоняется вверх направо, если a положительный или отрицательный?'

'Найдите диапазон следующих функций. Также, если возможно, найдите максимальное и минимальное значения.'

'Найдите значения констант a и b так, чтобы область значений функции y = ax + b (1 ≤ x ≤ 2) была 3 ≤ y ≤ 5.'

'Пожалуйста, опишите особенности графика функции y = b.'

'Когда максимальное значение функции y = -x + 1 (a ≤ x ≤ b) равно 2, а минимальное значение равно -2, найдите значения констант a и b. Известно, что a < b.'

'Определение коэффициентов линейной функции на основе условий области определения'

'Практикуйте построение графиков следующих функций.'

'График абсолютного значения линейной функции (2)'

'Пожалуйста, опишите общую форму линейной функции и её форму на графике.'

'Какие условия выполняются, когда утверждение p → q истинно?'

'Пусть x - переменная, данные которой состоят из n вещественных чисел x_1, x_2, ..., x_n. Пусть x̄ будет средним значением x_1, x_2, ..., x_n, а s_x - стандартным отклонением. Когда новая переменная y и ее данные y_1, y_2, ..., y_n определяются выражением y=4x-2, выразите среднее 𝑦̄ и стандартное отклонение s_y для y_1, y_2, ..., y_n, используя x̄ и s_x.'

'Найдите значения констант a и b так, чтобы область значений функции y = ax + b (2 ≤ x ≤ 5) была -1 ≤ y ≤ 5.'

'Функция, которая включает значение модуля, рассматривает случай, когда выражение внутри модуля становится 0 как точку разделения, и рассматривает удаление символа модуля. В таких случаях точек деления, было изучено в примере 67 математики I, что график функции будет изогнут. Здесь мы рассмотрим, как изменяются графики таких функций при включении абсолютных значений и символьных констант.'

'График абсолютной функции первой степени (1)'

'При a=1 график становится линией с наклоном 0 при x ≤ 1 и x ≥ 2.'

'Пусть x - это переменная со средним значением x̄ и стандартным отклонением s_x. Когда новая переменная u получается по формуле u=ax+b (где a и b - константы), и у данных переменной u стандартное отклонение s_u, то s_u=|a|s_x.'

'Пусть θ (0° < θ < 180°) будет углом, который нужно найти. (1) Поскольку угол наклона линии равен -1, найдите θ. (2) Поскольку угол наклона линии равен √3, найдите θ. (3) Поскольку угол наклона линии равен -1/√3, найдите θ.'

'Определите значения констант a и b, чтобы удовлетворить следующим условиям: (1) Для линейной функции f(x)=ax+b, f(0)=-1 и f(2)=0. (2) График линейной функции y=ax+b проходит через точки (-1,2) и (3,6). (3) Когда область определения функции y=ax+b равна -3≤x≤1, область значений равна 1≤y≤3. Здесь a>0.'

'Очки X рассчитываются на основе расстояния D.'

''

'Связь между графиками и неравенствами\nКак правило, если \\( f(x) > g(x) \\), это означает, что график функции \\( y = f(x) \\) находится выше графика функции \\( y = g(x) \\). Например, в неравенстве \ x+2 > |2x+1| \, необходимо определить диапазон значений \ x \, при которых график функции \ y = x+2 \ находится выше графика функции \ y = |2x+1| \. На правой диаграмме красным цветом выделенный участок представляет этот диапазон, поэтому решением неравенства является \ -1 < x < 1 \. Этот метод может быть эффективен в случаях, требующих сложного анализа.'

'Найдите острый угол θ, образованный следующими двумя линиями.'

'На координатной плоскости точка P начинает движение из начала координат O и движется вдоль оси x до точки (6,0) со скоростью 1 единицу в секунду, в то время как точка Q одновременно начинает движение из точки (0,-6) и движется к началу координат O со скоростью 1 единицу в секунду. Когда после отправления расстояние между точкой P и точкой Q будет минимальным? Кроме того, определите минимальное расстояние.'

'Найдите линейную функцию с областью \-2 \\leqq x \\leqq 2\ и областью определения \-2 \\leqq y \\leqq 4\.'

'Попробуйте построить график функции y=x-[x](-2≤x≤3).'

'Линия регрессии'

'Определите значения констант a и b так, чтобы область значений функции y = ax + b (2 ≤ x ≤ 5) была -1 ≤ y ≤ 5. При этом a < 0.'

'Для функции f(x)=-2x+1 найдите следующие значения.'

'В следующей таблице суммирована связь между ценой за штуку оникори А и объемом продаж в компании, производящей и продающей готовые блюда.'

'Какая часть этой книги является основной?'

'Какую форму представляет собой множество всех точек, удовлетворяющих уравнению |z+2|=2|z-1|?'

'Найдите две точки пересечения между прямой (1) и эллипсом (2).'

''

''

'(1) (А) f(x)=k x ( где k - постоянная )'

"Что означает обратная разработка от 'самого себя, которым вы хотите стать'?"

'Найдите диапазон \ x \.'

'Найдите угол θ между следующими двумя плоскостями. Пусть 0° ≤ θ ≤ 90°.'

'Найдите решения для следующего уравнения:\n(1) Дано y1 = 2p (x+x1), найти y = -y1/(2p)(x-x1) + y1\n(2) Дано y = 2/√3 x -1/√3, y = -√3/2 x + 2√3'

'Обратное Отображение\nДля отображения f: A -> B, если f(A) = B и для каждого b в B существует единственное a в A такое, что f(a) = b, тогда можно определить отображение f^{-1}(b) = a из B в A. Иными словами, f(a) = b тогда и только тогда, когда a = f^{-1}(b). f^{-1} известно как обратное отображение f. Когда область и кодомен равны числам (подмножества вещественных чисел), отображение называется функцией. Другими словами, отображение является обобщением функции.'

'Пример 9 | Составные функции и определение функций'

'Найдите уравнения касательной и нормальной линий.'

'(2) y = (6-x)/(x-2) = -1 + 4/(x-2) (1) y = (1/2)x + 1 Диапазон значений x, где график функции (1) выше линии (2), или где график функции (1) пересекается с линией (2), это x ≤ -1 - √17, 2 < x ≤ -1 + √17'

'Вопрос 92 Общая скорость изменения объема Есть емкость в форме перевернутой усеченной пирамиды, как показано справа. На высоте 4 см горизонтальное поперечное сечение является квадратом со стороной 3 см. Когда в контейнер аккуратно добавляют воду со скоростью 9 см³ в секунду, в тот момент, когда глубина воды составляет 2 см, с какой скоростью поверхность воды поднимается в сантиметрах в секунду? [Джичи медицинский университет]'

'Найдите уравнение касательной к данной точке на следующей кривой.'

'Пожалуйста, докажите следующее уравнение: \n\\[\\alpha \ar{z}-\ar{\\alpha} z =(a+b i)(x-y i)-(a-b i)(x+y i) =2(b x-a y) i\\]\nВ частности, обратите внимание, что \\(\ar{\\alpha} z=(a x+b y)+(a y-b x) i\\) не является вещественным числом, поэтому, учитывая что \ a y-b x \\neq 0 \, покажите, что \ \\alpha \\overline{z}-\\overline{\\\\alpha} z \ является чисто мнимым.'

'Рассмотрим сферу S с конечными точками диаметра в двух точках A(0,3,0) и B(0,-3,0) в координатном пространстве. Найдите максимальное значение 3x + 4y + 5z при движении точки P(x, y, z) на сфере S. Также определите координаты P в этой точке.'

''

'Найдите площадь области, представленной системой неравенств 2y-x^2≥0, 5x-4y+7≥0, x+y-4≤0.'

'Постройте область, представленную следующими неравенствами.'

'Найдите условия для констант a, b так, чтобы f(x) <= 1 выполнялось для всех вещественных чисел x, и постройте диапазон точек (a, b), удовлетворяющих этим условиям.'

'Найти условия для вещественных чисел a, b так, чтобы прямая y = ax + b имела общую точку с отрезком прямой, соединяющим 2 точки A(-3,2) и B(2,-3), и представить ее как область на плоскости ab.'

'Найдите область значений функции y = -2x + 1 (-1 ≤ x ≤ 2).'

"Учитывая функции f(x), g(x), и их производные f'(x), g'(x), удовлетворяющие f(x)+g(x)=-2 x+5, f'(x)-g'(x)=-4 x+4, f(0)=5. Определите f(x) и g(x) в этом случае."

'Выведите уравнение прямой с уклоном m и угловым коэффициентом n, заданной уравнением y = mx + n.'

'Прямые (a-1)x-4y+2=0 и x+(a-5)y+3=0 пересекаются перпендикулярно при a=〇 и параллельны при 80a=〇.'

''

'Подставив (1) в $y = x + 2$ в (3) и упростив, получаем $x^2 + x - 6 = 0$ Следовательно, $(x - 2)(x + 3) = 0$ откуда $x = 2, -3$ Из (3) получаем $x = 2$ при $y = 4$, и $x = -3$ при $y = -1$ Таким образом, координаты двух точек будут $(2, 4), (-3, -1)$'

'Пример (13) Уравнение прямой'

'Уравнение прямой, отношение между 2 прямыми'

'Предположим, что функция y=f(x) непрерывна, а является вещественной константой. Для всех вещественных чисел x, если неравенство |f(x)-f(a)|≤2/3|x-a| соблюдается, докажите, используя теорему о среднем значении, что кривая y=f(x) обязательно пересекает прямую y=x.'

'Найдите предел последовательности {an}, определенной следующими условиями.'

'Какой вид кривой представляет точка P(x, y) в следующих уравнениях?'

''

"На странице 'Сводка' кратко излагаются различные темы, изученные в разных местах, на одной странице для удобства восприятия."

'Пожалуйста, предоставьте уравнение окружности с центром α и радиусом r.'

'Найдите координаты точек пересечения графиков прямой y = 8x-2 и функции y = √(16x-1).'

'Найдите все линейные функции g(x), которые удовлетворяют условиям.'

'(1) Максимальное значение 3/2 при x=-3, минимальное значение -1/2 при x=1'

'1-я независимая и 1-я зависимая'

'Найдите значение $x$ в Упражнении 9 Главы 1 - Функции.'

'Для функций f(x)=1-2x, g(x)=1/(1-x), h(x)=x(1-x) найдите следующие составные функции.'

'График представительной функции'

'(1) Покажите, что f(0)=1.'

'Найдите максимальные и минимальные значения 3x+2y, когда действительные числа x и y удовлетворяют двум неравенствам y ≤ 2x + 1, 9x² + 4y² ≤ 72.'

'Как рисовать график'

'Как можно использовать список примеров, предоставленных в каждой главе?'

'Практика (1) Когда линия x-4=y-3=\\frac{z+2}{4} пересекает плоскость 2x+2y+z-2=0, пусть угол, образованный между ними, будет меньшим θ, найдите значение cosθ.'

'Найдите область определения и область значений задачи 1 в главе 1 Функций.'

''

''

'45 (1) \\ (4 \\cdot y=2 \\cdot 2(x+2) \\) то есть \\ (y=x+2 \\) (2) \\ (\\frac{1 \\cdot x}{3}+\\frac{2 \\cdot y}{6}=1\\) то есть \\ (x+y-3=0 \\) (3) \\ ( 2 \\cdot \\sqrt{2} \\cdot x-(-\\sqrt{3}) \\cdot y=1 \\) то есть \\ (2 \\sqrt{2} x+\\sqrt{3} y-1=0 \\)'

'Найдите значения a, b и c в Главе 1 Функции - УПРАЖНЕНИЯ, задача 2.'

'Решая y=-2 x+3 для x, получаем x=-\\frac{1}{2} y+\\frac{3}{2}, обменяв x и y, обратная функция равна y=-\\frac{1}{2} x+\\frac{3}{2}'

'Отображение называется функцией, когда как область, так и область значений являются числами (подмножествами вещественных чисел). Другими словами, отображение является обобщением функции.'

'68 (1) \\( y=\\frac{\\sqrt{2}}{4} x+\\frac{\\sqrt{2}}{2},(2, \\sqrt{2}) \\)'

'Что в основном указывает CHART & THINKING?'

'Определение коэффициентов по диапазону'

'Пожалуйста, перечислите основные функции, включенные в линейку учебных материалов от Suken Shuppan.'

'Значения функций'

'Когда x=\\frac{5}{4}, y=-\\frac{1}{4}, максимальное значение \\frac{9}{8}; Когда x=0, y=1, минимальное значение -2'

'Пусть [a] обозначает наибольшее целое число, которое не превышает вещественное число a. Постройте график следующих функций: (1) y=-[x] (-3 ≤ x ≤ 2) (2) y=[2 x-1] (0 ≤ x ≤ 2)'

'Когда переменные x, y удовлетворяют условию x+2y=1, найдите следующее: (1) Минимальное значение x^2+y^2. (2) Максимальное значение x^2+y^2 при x≥0, y≥0'

'Представьте наибольшее целое число, которое не превышает вещественное число a, как [a]. Нарисуйте график следующих функций: (1) y=2[x] (-2 ≤ x ≤ 1) (2) y=[2 x] (-2 ≤ x ≤ 1)'

''

'Что такое график функции y = f(x)?'

'Когда линия x=a находится в диапазоне x<0, то есть, когда a<0, она достигает минимума в точке x=0 на правом графике. Минимальное значение равно f(0)=-4a'

'\\[\egin{array}{c}f(x)=2 x \\\\ f(x) \\text{из графика} \\\\ 0 \\leqq f(x)<\\frac{1}{2} \\\\\n\\text{Следовательно, } \\\\\nf(f(x))=2 f(x)=2 \\cdot 2 x\\end{array}\\]\nСледовательно\n• — это график (1).\nЛиния—ниже уравнения \ y=\\frac{1}{2} \ удваивает части ниже нее, а части выше (или на линии) удваиваются, а затем вычитаются 1.'

'Найдите максимальное и минимальное значения P, когда x находится между 0 и 3, а y находится между 0 и 3.'

'Найдите точки пересечения графика функции с модулем и прямой линии.'

'Упражнение 35→Книга стр. 92\nПусть f(x)=1/2 x-|x-|x-1||. Уравнение f(x)=a имеет три различных решения, когда график y=f(x) и прямая y=a имеют три различных точки пересечения. Пусть g(x)=|x-|x-1||.\n[1] Когда x>=1, g(x)=|x-(x-1)|=1, поэтому f(x)=1/2 x-g(x)=1/2 x-1.\n[2] Когда x<1, g(x)=|x+(x-1)|=|2x-1|\n(i) Когда x<1/2, g(x)=-2x+1, поэтому f(x)=1/2 x-g(x)=1/2 x-(-2x+1)=5/2 x-1.\n(ii) Когда 1/2 <= x < 1, g(x)=2x-1, значит f(x)=1/2 x-g(x)=1/2 x-(2x-1)=-3/2 x+1.\nТаким образом, график y=f(x) как показано на правой диаграмме. Диапазон значений a, при которых график и линия y=a имеют три различные точки пересечения, равен -1/2<a<1/4.'

'Когда x = 1, y = 0, максимальное значение равно 2; когда x = -1, y = 0, минимальное значение равно -2'

'Когда a=1, (0,1), когда a=5, (-2,-1)'

'Найдите диапазон и максимальные и минимальные значения'

'Постройте график функции y=|x+1|+|x-3|.'

Определите область значений следующих функций. Также найдите максимальные и минимальные значения функций. (1) y=-3x+1 \quad (-1 \leqq x \leqq 2) (2) y=\frac{1}{2}x+2 \quad (-2<x \leqq 4) (3) y=-2x^{2} \quad (-1<x<1)

При условии $x \geq 0, y \geq 0, x + y = 2$, найдите максимальное и минимальное значения $x^2 + y^2$.

Развитие 78 | График линейной функции с абсолютным значением

Максимум и минимум с условиями (1) При $x \geqq 1, y \geqq -1, 2 x + y = 5$ найдите максимальное и минимальное значения $x y$.

Для линейной функции \( f(x)=a x+b \), если \( f(1)=2 \) и \( f(3)=8 \), найдите значения констант $a$ и $b$.

Стандарт 65 | Определение коэффициентов линейной функции на основе условий, таких как диапазон

Когда вы покупаете товары стоимостью 100 иен каждый, общая стоимость зависит от количества покупок. Аналогично, когда автомобиль движется со скоростью 60 км/ч, время в пути определяет общее расстояние. Давайте изучим такие отношения, когда 'одно количество определяет другое количество'. Определение функции: Например, когда вы покупаете x товаров по 100 иен каждый, общая стоимость y в иенах может быть выражена как y=100x. В таком случае, когда есть две переменные x и y, если определение одного значения x однозначно определяет значение y, мы говорим, что y является функцией x. Функция как фабрика, которая принимает количество на входе x, обрабатывает его 'умножением x на 100' и выводит результат y.

Найдите область значений функции y=x−3 \quad(1 \leqq x<5).

Найдите минимальное значение $x^{2} + y^{2}$, когда $2x + y = 3$.

(2) Для линейной функции $y=ax+b$ с областью определения $-3 \leqq x \leqq 1$ диапазон значений равен $-1 \leqq y \leqq 3$. Предполагается, что $a>0$.

Когда область определения функции \( y=f(x) \) равна $1 \leqq x \leqq 5$, это представляется следующим образом. \[ y=f(x) \quad(1 \leqq x \leqq 5) \] В этом случае, каков диапазон значений функции?

Определите значения констант $a$ и $b$ так, чтобы диапазон линейной функции $y = ax + b$ составлял $-1 \leqq y \leqq 5$. Предположим, что $a < 0$.

Есть прямоугольник с периметром 20 см. Если длина прямоугольника x см, а площадь y см², то y является функцией от x. Ответьте на следующие вопросы. (1) Выразите y через x и укажите область определения этой функции. (2) Когда эта функция f(x), найдите f(3), f(1/2) и f(a+1).

Найдите координаты середины и длину отрезка, отрезанного эллипсом (x-2)^2 + 4(y-4)^2 = 4 от прямой x+2y=11.

Когда координатная плоскость рассматривается как плоскость комплексных чисел, точки на плоскости соответствуют комплексным числам. Кроме того, различные вычисления между комплексными числами могут быть проиллюстрированы на плоскости. Поэтому среди задач, связанных с плоскими фигурами, некоторые могут быть решены более просто и понятно с использованием свойств или вычислений комплексных чисел. Здесь мы суммируем основы использования комплексных чисел в задачах, связанных с плоскими фигурами. Внутренние и внешние деления отрезка Пусть α = x1 + y1i, β = x2 + y2i, z = x + yi, и если точка P(z) делит отрезок AB в отношении m:n, то (x - x1) : (x2 - x) = (y - y1) : (y2 - y) = m:n Следовательно, x = (nx1 + mx2) / (m + n), y = (ny1 + my2) / (m + n) Таким образом, z = x + yi = (nx1 + mx2) / (m + n) + (ny1 + my2) / (m + n)i = (n(x1 + y1i) + m(x2 + y2i)) / (m + n) = (nα + mβ) / (m + n) Аналогично можно рассматривать и внешнее деление. Следовательно, выполняется следующее: если точка C(γ) делит отрезок AB в отношении m:n, а точка D(δ) делит его извне в отношении m:n, то Точка внутреннего деления γ = (nα + mβ) / (m + n) Точка внешнего деления δ = (-nα + mβ) / (m - n) В частности, комплексное число, представляющее середину отрезка AB, равно (α + β) / 2.

Допустим, что прямая $y=2x+k$ пересекает гиперболу $x^{2}-y^{2}=1$ в двух различных точках $P$ и $Q$. (1) Найдите диапазон возможных значений для константы $k$. (2) Когда $k$ изменяется в пределах диапазона, найденного в (1), определите место среднего $M$ отрезка $PQ$.