Анализ - Одномерное дифференциальное исчисление

'Важный пример 79 | Максимум и минимум в области (3)\nНайдите максимальное и минимальное значения x²+(y-3)², когда вещественные числа x, y удовлетворяют трем неравенствам y ≥ 2x-5, y ≤ x-1, y ≥ 0.\n[Токийский Университет Экономики]\nПример 76'

'Метод дифференциации'

'Вычислите определенный интеграл следующего выражения.'

'Практика нахождения следующих определенных интегралов.\\n(1) \\( \\int_{-1}^{2}(x+1)(x-2) d x \\)\\n(2) \\( \\int_{-\\frac{1}{2}}^{3}(2 x+1)(x-3) d x \\)\\n(3) \\( \\int_{2-\\sqrt{7}}^{2+\\sqrt{7}}\\left(x^{2}-4 x-3\\right) d x \\)'

'Точно так же, рассмотрите минимальное значение. Найдите это минимальное значение.'

'Найдите следующие определенные интегралы.'

'Найдите площадь между параболой и осью x. (1) Основной'

'Найдите значение следующих определенных интегралов.'

'Вычислите производную, используя пределы'

'Найдите следующие определенные интегралы. (1) \\( \\int_{1}^{2}(2 x-1) d x \\) (2) \\( \\int_{0}^{-1}\\left(3 x^{2}+6 x+1\\right) d x \\) (3) \\( \\int_{-1}^{3}(x+1)(x-3) d x \\) (4) \\( \\int_{-1}^{2}\\left(x^{3}-6 x-4\\right) d x \\) (5) \\( \\int_{-2}^{1}(2 t+1)^{2} d t+\\int_{-2}^{1} 2(t-1)^{2} d t \\)'

'ТРЕНИРОВКА 197 (1) Найдите следующий определенный интеграл. (1) \\( \\int_{-1}^{2}\\left(2 x^{2}-x+3\\right) d x \\)'

'Найдите определенный интеграл \\( \\int_{-3}^{3}(x+1)(2 x-3) d x \\).'

'Вычислите следующие определенные интегралы.'

'Найдите определенный интеграл \\( \\int_{-3}^{3}(x+1)(2 x-3) d x \\).'

'Найдите минимальное значение S(m), сумму площадей, ограниченных кривой y=x^2 и линией y=mx для 0<m<1, где 0 ≤ x ≤ 1.'

'Вычислите следующие определенные интегралы.'

'Найдите площадь S между кривой y = f(x) и осью x.'

'Используя свойства определённых интегралов, найдите результаты следующих определённых интегралов:'

'Найдите следующие определенные интегралы.'

'Освойте свойства определенных интегралов, чтобы покорить пример 198!'

'Определенный интеграл и дифференцирование'

'Что делать, если базовые примеры не ясны?'

None

'Найдите неопределенный интеграл ∫ 1/x dx.'

'Найдите следующие определенные интегралы. В (4) \ a, b \ являются константами. (1) \ \\int_{0}^{\\frac{1}{3}} x e^{3 x} d x \ (2) \ \\int_{1}^{e} x^{2} \\log x d x \ (3) \\( \\int_{1}^{e}(\\log x)^{2} d x \\) (4) \\( \\int_{a}^{b}(x-a)^{2}(x-b) d x \\) (5) \ \\int_{0}^{2 \\pi}\\left|x \\cos \\frac{x}{3}\\right| d x \'

'Найдите следующие определенные интегралы. (1) \ \\int_{0}^{2} \\frac{2x+1}{\\sqrt{x^2+4}} dx \(2) \ \\int_{\\frac{1}{2} a}^{\\frac{\\sqrt{3}}{2} a} \\frac{ \\sqrt{a^2-x^2 }}{x} dx \ (a > 0)'

None

'Этот термин включает в себя объяснения понятий, доказательства теорем и формул, что облегчает понимание даже тех тем, которые не рассматриваются в учебниках.'

'Определите необходимые и достаточные условия и объясните на примере.'

'Найдите площадь, ограниченную следующими кривыми, линией и осью x.\n(1) y=x^{2}-x-2\n(2) y=-x^{2}+3 x\n(-1 ≤ x ≤ 2),\nx=-1, x=2'

'Найдите следующие определенные интегралы.\n(1) \\( \\int_{-1}^{1}\\left(2 x^{3}-4 x^{2}+7 x+5\\right) d x \\)\n(2) \\( \\int_{-2}^{2}(x-1)\\left(2 x^{2}-3 x+1\\right) d x \\)'

'Доказать следующее о решениях α, β квадратного уравнения\nax^2 + bx + c = 0\n1. Условие наличия двух различных действительных числовых решений.\n2. Когда неравенство at^2 + 2bt + c > 0 выполняется для всех действительных чисел t, это означает наличие только положительных решений.'

'Вычислите следующие определенные интегралы.'

'Найдите площадь, ограниченную данными кривыми и линиями.'

'Найдите следующие определенные интегралы.'

"Производная Определение производной функции f(x) f'(x) это f'(x)=lim_{h→0}frac{f(x+h)-f(x)}{h}"

'Вычислите следующие определенные интегралы, используя формулы.'

'Вычислите $\\int_{2}^{2}(x+1)(x-3)dx$.'

"Таким образом, для всех действительных чисел x, y'>0, поэтому данная функция всегда возрастает"

'Докажите следующее условие. Пусть значения переменной x будут x1, x2, ..., xn. Для определенного значения t рассмотрим сумму квадратов отклонений каждого значения от t, t-xk (k=1, 2, ..., n), как y. То есть, y=(t-x1)^2+(t-x2)^2+...+(t-xn)^2. Докажите, что y минимизируется, когда t=𝑥¯ (среднее значение x).'

'Пожалуйста, объясните, что такое необходимые и достаточные условия.'

'Объясните сходства и различия между примерами с 3 по 8 и примерами с 9 по 12.'

'Уравнение и кривая'

'Объясните выпуклость и точки перегиба графика функции.'

'(2) $\\int t \\sqrt[4]{t^{3}} d t=\\int t^{\\frac{7}{4}} d t=\\frac{t^{\\frac{7}{4}+1}}{\\frac{7}{4}+1}+C=\\frac{4}{11} t^{\\frac{11}{4}}+C=\\frac{4}{11} t^{2} \\sqrt[4]{t^{3}}+C$'

'(2)\\\\n\\\\[\\\egin{array}{l}\\\\n0 \\leqq|\\cos x| \\leqq 1, e^{-x}>0 \\text { поэтому } \\quad e^{-x} \\geqq e^{-x}|\\cos x| \\\\\\\\n\\text { Следовательно } \\quad a_{1}=\\int_{0}^{\\\\pi}\\left(e^{-x}-e^{-x}|\\cos x|\\right) d x \\\\\\\\n=\\left[-e^{-x}\\right]_{0}^{\\\\pi}-\\int_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{2}} e^{-x} \\cos x d x+\\int_{\\\\frac{\\\\pi}{2}}^{\\\\pi} e^{-x} \\cos x d x \\\\\\\\n=1-e^{-\\\\pi}-\\\\frac{1}{2}\\left[e^{-x}(\\\\sin x-\\\\cos x)\\right]_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{2}} \\\\\\\\n\\quad+\\\\frac{1}{2}\\left[e^{-x}(\\\\sin x-\\\\cos x)\\right]_{\\\\frac{\\\\pi}{2}}^{\\\\pi} \\\\\\\\n=\\\\frac{1}{2}\\left(1-2 e^{-\\\\frac{\\\\pi}{2}}-e^{-\\\\pi}\\right)\n\\end{array}\\\\]'

'169 (2) (А) x y^{′}-2 y=0'

'Сформулируйте теорему Ролля и докажите'

'теорема Гамильтона-Кэли'

'Что такое Теорема о среднем значении?'

'Практикуйте нахождение следующего определенного интеграла.'

''

'Исследуйте поведение возрастания и убывания дифференцируемой функции f(x) и найдите ее экстремальные значения.'

'Используя вторую производную, найдите экстремальные значения следующей функции.'

'Пусть функция y=f(x) непрерывна.\n(1) Пусть а будет вещественной константой. Для всех вещественных чисел x, если неравенство |f(x)-f(a)| ≤ 2/3|x-a| выполняется, докажите использованием промежуточной теоремы о значении, что кривая y=f(x) пересекает линию y=x. \n(2) Кроме того, если для всех вещественных чисел x1, x2 неравенство |f(x1)-f(x2)| ≤ 2/3|x1-x2| выполняется, докажите, что для (1) существует только одна точка пересечения.'

'Изучение решения задач по нахождению площади и объема фигур, длине кривых и решения простых дифференциальных уравнений.'

'Найдите следующий определенный интеграл.\\( \\int_{-1-\\sqrt{5}}^{-1+\\sqrt{5}}\\left(2 x^{2}+4 x-8\\right) d x \\)'

'Найдите следующий определенный интеграл.\n(3) \\( \\int_{1}^{2}(x-1)^{3}(x-2) d x \\)'

'Найдите следующие определенные интегралы.'

''

'Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y=x^{3}-5 x^{2}+2 x+6 и касательной к этой кривой в точке (3,-6).'

'(2) Вычислите следующий определенный интеграл:\n(а) \\( \\int_{2}^{3}(x-2)(x-3) d x \\)'

'Сначала давайте рассмотрим метод использования дифференциального исчисления для определения количества действительных решений уравнения.'

'Найдите следующие определенные интегралы.'

'Практика нахождения следующих определенных интегралов.'

'Определите производную функции f(x) в точке x=a.'

'Найдите определенный интеграл \ \\int_{1}^{n} x \\log x d x \.'

'Найдите значение следующего определенного интеграла.'

'Найдите следующие определенные интегралы.'

'Вычислите площадь между двумя кривыми.'

'Пусть площадь, ограниченная кривыми C1, C2 и линией x=π/2, обозначается как T. Выразите условия для T=2S через a и b.'

'Пусть f(x) и g(x) - непрерывные функции на интервале [a, b]. Если f(a)>g(a) и f(b)<g(b), то докажите, что у уравнения f(x)=g(x) есть хотя бы одно вещественное решение в диапазоне a<x<b.'

'(1) Найдите значение c, которое удовлетворяет условиям теоремы о среднем значении для функций f(x) и интервалов: (а) f(x)=\\log x [1, e] (б) f(x)=e^{-x} [0,1]'

'(208 Функция f(x) непрерывна на отрезке a ≤ x ≤ b(a < b)\nкогда int_{a}^{b} f(x) dx = (b-a) f(c), где a < c < b\nдоказать, что существует c. (теорема о среднем значении для интегралов)'

"Когда функция y от x представлена как промежуточные переменные t, θ, найдите производную dy/dx как функцию от t, θ по следующему уравнению. Здесь 'a' в (2) - это положительная константа. (1) {x=t^3+2, y=t^2-1}, (2) {x=a(θ- sin θ), y=a(1- cos θ)}"

'Найти функцию f(x), удовлетворяющую уравнению (1).'

'Максимум и минимум функции'

'Глава 8: Приложения интеграции'

'(1) Рассмотрим точку P, движущуюся на числовой прямой со скоростью v как функцию времени v=f(t). Также пусть координата P в момент времени a равна k.\n[1] Координата x точки P в момент времени b равна x=k+∫[a,b] f(t) dt\n[2] Изменение положения P с момента времени a до момента времени b равно s=∫[a,b] f(t) dt\n[3] Пройденное расстояние P с момента времени a до момента времени b равно l=∫[a,b]|f(t)| dt'

'Найдите площадь, ограниченную кривой y = f(x) и осью x между линиями x = a и x = b.'

'(1) Для непрерывной функции f(x) докажите уравнение \\( \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} f(\\sin x) d x = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} f(\\cos x) d x \\). \n(2) Найдите определенный интеграл \ I=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin x}{\\sin x + \\cos x} d x \.'

'Теорема о максимуме и минимуме'

'Выразите площадь S области, заключенной между кривыми \ C_{1}, C_{2} \ и осью y, через a и b.'

'Вычислите объем между кривой y=f(x) и осью x'

"С использованием определённого интегрирования, мы рисуем контур кривой C в форме 'y как функция от x', как указано в (1)."

'Найдите следующие определенные интегралы.'

"Для величины f(t), которая меняется со временем (например, объем расширяющегося твердого тела), скорость изменения этой величины в момент времени t представлена f'(t), аналогично скорости 1."

'Практика: Найдите следующие определенные интегралы.'

'Докажите, что когда функция $f(x)$ непрерывна на интервале $a \\leqq x \\leqq b(a<b)$, мы получаем $\\int_{a}^{b} f(x) d x=(b-a) f(c)$, где $a<c<b$, согласно Теореме о среднем значении для интегралов.'

'Используйте теорему о среднем значении, чтобы доказать неравенство. Например, рассмотрите применение теоремы о среднем значении для функции f(x) = x^3 - 3x + 2 на интервале [0,1].'

'\nОпределенный интеграл и предел суммы (метод разбиения)\\( f(x) \\) непрерывен на интервале \ [a, b] \, разбивая этот интервал на \ n \ частей с конечными точками и точками раздела как \ a=x_{0}, x_{1}, x_{2}, … x_{n}=b \ и \ \\frac{b-a}{n}=\\Delta x \\n'

'Найдите следующие определенные интегралы. В пункте (2) \ a \ является постоянной.'

'Касательная и нормаль основы'

'Найдите длину следующих кривых.'

''

'Докажите, что если \\( f(x) \\) дифференцируем в точке \ x=a \, то она также непрерывна. Однако объясните, почему обратное утверждение (непрерывные функции необязательно дифференцируемы) неверно.'

'В координатном пространстве есть начало O и точки A(1,-2,3), B(2,0,4), C(3,-1,5). Найдите минимальное значение величины вектора OA+x*AB+y*AC и значения действительных чисел x и y в этот момент.'

'Формула интегрирования по частям'

'Найдите следующие определенные интегралы: (1) $\\int_{-1}^{\\sqrt{3}} \\frac{d x}{x^{2}+1}$ (2) $\\int_{0}^{1} \\frac{d x}{x^{2}+x+1}$'

'Вычислите определенный интеграл \\( \\int_{1}^{3} \\frac{\\left(x^{2}-1\\right)^{2}}{x^{4}} dx \\).'

'Вычислите следующие определенные интегралы.'

'Содействовал структурированию математического анализа через понятия, такие как непрерывность вещественных чисел.'

'Найдите следующие определенные интегралы:\n(1) \\( \\int_{1}^{3} \\frac{\\left(x^{2}-1\\right)^{2}}{x^{4}} d x \\)\n(2) \ \\int_{1}^{3} \\frac{d x}{x^{2}-4 x} \\n(3) \ \\int_{0}^{1} \\frac{x^{2}+2}{x+2} d x \\n(4) \\( \\int_{0}^{1}\\left(e^{2 x}-e^{-x}\\right)^{2} d x \\)\n(5) \ \\int_{0}^{2 \\pi} \\cos ^{4} x d x \\n(6) \ \\int_{\\frac{\\pi}{6}}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin x \\sin 3 x d x \'

'Вычислить следующие определенные интегралы.'

'Доказать y^(n)=a^(n-1)(n+ax)e^(ax), используя математическую индукцию.'

'Уравнение сферы задается при условии, что координаты центра равны (0, b, 0), а радиус равен r (r>0)'

'Доказательство теоремы о среднем значении'

'Пожалуйста, решите задачу вычисления определенных интегралов.'

'Определите диапазон значений константы a, чтобы кривая y=(x^2+ax+3)e^x имела точки перегиба. Кроме того, сколько точек перегиба может быть создано в тот момент.'

'Пусть f(x) и g(x) - непрерывные функции на интервале [a, b]. Если f(a) > g(a) и f(b) < g(b), докажите, что у уравнения f(x) = g(x) есть хотя бы одно действительное решение в диапазоне a < x < b.'

"Длина Кривой\nДлина кривой \\( x = f(t), y = g(t) (\\alpha \\leqq t \\leqq \eta) \\) равна\n\\[\\int_{\\alpha}^{\eta} \\sqrt{\\left(\\frac{dx}{dt}\\right)^{2} + \\left(\\frac{dy}{dt}\\right)^{2}} dt = \\int_{\\alpha}^{\eta} \\sqrt{\\left\\{f'(t)\\right\\}^{2} + \\left\\{g'(t)\\right\\}^{2}} dt\\n\\]"

'Предел тригонометрических функций\nВ центре находится точка O, а точка P движется по окружности круга с диаметром AB длиной 2r. Пусть площадь △ABP равна S1, а площадь сектора OPB равна S2. Ответьте на следующие вопросы.\n(1) Когда ∠PAB=θ (0<θ<π/2), найдите S1 и S2.\n(2) При приближении P к B, найдите предел S1/S2.'

'Найдите следующие определенные интегралы.'

'Найдите значение c, которое удовлетворяет условиям теоремы о среднем значении для следующих функций и интервалов: (1) f(x)=2 x^{2}-3 [a, b] (2) f(x)=e^{-x} [0,1] (3) f(x)=\\frac{1}{x} [2,4] (4) f(x)=\\sin x [0,2 \\pi]'

''

'Пусть a, b - константы, m, n - неотрицательные целые числа, \\( I(m, n)=\\int_{a}^{b}(x-a)^{m}(x-b)^{n} d x \\) определено.'

'Поскольку 17 \ \\frac{d x}{d t}=1, \\frac{d y}{d t}=2 t-2 \, то\\n\\\frac{d \oldsymbol{y}}{d x}=\\frac{\\frac{d y}{d t}}{\\frac{d x}{d t}}=\\frac{2 t-2}{1}=2 t-2\'

'Найдите значение следующих определенных интегралов. (1) \\int_{0}^{1} \\frac{x}{\\sqrt{2-x^{2}}} dx (2) \\int_{1}^{e} 5^{\\log x} dx (3) \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin 2 x}{3+\\cos^2 x} dx (4) \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^2 x \\cos^3 x dx'

'Найдите следующие определенные интегралы.'

''

'Найдите следующий определённый интеграл: \n\\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} x^{2} \\cos ^{2} x d x \'

'Максимальная и минимальная площадь'

'Вычислите следующий определенный интеграл:\n∫_0^1 sqrt(1 - x^2) dx'

'Вычислите определенный интеграл из \\( \\int_{0}^{2} (x^3 + 2x^2 + x + 1) \\,dx \\)'

'Объясните разницу между необходимыми и достаточными условиями.'

'Найдите количество действительных решений функции f(x), определенной следующим образом. f(0)=-1/2, f(1/3)=1/2, f(1/2)=1/3, f(2/3)=3/4, f(3/4)=4/5, f(1)=5/6, когда f(x) непрерывна, сколько действительных решений имеет f(x)-x=0 по крайней мере для 0 ≤ x ≤ 1.'

'Вычислите площадь между кривой y = x^2 и x = 1.'

"В теореме о среднем значении (1), поскольку c находится между a и b, мы имеемb-a=h, определяя (c-a)/(b-a)=θ,мы получим b=a+h, c=a+θh. Следовательно, теорему о среднем значении (1) можно также выразить следующим образом. Теорема о среднем значении (2): Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a, a+h] и дифференцируема на промежутке (a, a+h), то существует действительное число θ, удовлетворяющее 0<θ<1, такое что f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh)."

''

'Найдите следующий определенный интеграл. (3) $\\int_{-\\sqrt{2}}^{\\sqrt{2}}\\left(x^{5}-4 x^{3}+3 x^{2}-x+2\\right) d x$'

'Как найти объем тела, используя площадь поперечного сечения. Когда площадь поперечного сечения при разрезе плоскостью, перпендикулярной оси x, представлена функцией S(x) относительно x, найдите объем V. Рассмотрите диапазон от a до b.'

'Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой C и осями x и y.'