Анализ - Последовательности и ряды

'Найдите последовательность p_n из вышеприведенного результата.'

'Когда k-й член последовательности a_k может быть выражен как a_k=f(k+1)-f(k), найдите формулу для \\sum_{k=1}^{n} a_k, используя уравнение (*) ниже, и объясните логику этого.'

'Путем вывода только (2) и (4), из того факта, что общий член разностной последовательности последовательности {pn} равен (-1/2)^(n+1), найдите общий член pn, или, выведя только (1) и (3), решите рекуррентное соотношение между соседними членами (3).'

'Практика: Найдите общий член последовательности {an}, определенной следующими условиями. (1) a1=1, an+1=3an+2n-1 (2) a1=-30,9an+1=an+43n'

'Пожалуйста, объясните, как решать систему симультанных рекуррентных уравнений.'

'Найдите сумму S_{n} арифметической последовательности {a_{n}} с первым членом a, общей разностью d и количеством членов n.'

'Следовательно, последовательность {a_{n}+20} является геометрической прогрессией с начальным членом 2 и общим отношением 5/4.'

'Найдите общий член последовательности $\\left\\{a_{n}\\right\\}$, определенной следующими условиями.'

'Найдите общий член последовательности, используя формулу суммы'

'Пример номер Практический 2 Рекуррентное соотношение'

'Учитывая сумму Sn ряда от первого члена до n-го члена, укажите формулу для нахождения общего члена.'

'Как найти общий член'

'Как найти общий член из рекуррентного соотношения'

'Пример вопроса номер Практика 1 Арифметическая последовательность, геометрическая последовательность'

'Объясните арифметическую прогрессию и общий член, и найдите общий член на основе примера.'

'Найдите сумму первых n членов данной последовательности.'

'Найдите предельное значение последовательности {an}, определенной следующими условиями. a1=0, a2=1, an+2=1/4(an+1+3an)'

'Найдите предел последовательности \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \, определенной следующими условиями.'

'Найдите бесконечный ряд, связанный с площадью.'

'Найти сумму следующих бесконечных рядов.\n(1) Пусть \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ - геометрическая прогрессия с первым членом 2 и общим отношением 2. Найти \ \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{a_{n} a_{n+1}} \ (подобно Институту технологии Айти)\n(2) Пусть \ \\pi \ - константа, представляющая отношение окружности к диаметру круга. Оцените \ 1+\\frac{2}{\\pi}+\\frac{3}{\\pi^{2}}+\\frac{4}{\\pi^{3}}+\\cdots \\cdots+\\frac{n+1}{\\pi^{n}}+\\cdots \\dots \\nВы можете использовать факт, что \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n x^{n}=0(|x|<1) \\), если это необходимо.\n(Похож на Университет Кейо) \ \\rightarrow 33,35 \'

'Найти предел последовательности, определенной следующими условиями:'

'Найдите сумму ряда $S_{n} = \\sum_{k=1}^{n} k\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{k-1}$.'

'Принцип создания кредита'

'Рассмотрите следующий бесконечный ряд.'

'Используя результат из приведенного выше примера, докажите, что бесконечный ряд $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{n}}$ расходится.'

'Для сходящихся рядов $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}$, где $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}=S, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}=T$, тогда и ряд $\\sum_{n=1}^{\\infty}(k a_{n}+l b_{n})$ также будет сходиться и $\\sum_{n=1}^{\\infty}(k a_{n}+l b_{n})=k S+l T$ (где $k, l$ - постоянные)'

'Пожалуйста, решите задачу, связанную с суммированием бесконечного ряда.'

'Пожалуйста, убедитесь в сходимости последовательности {1/n^k} при k>0.'

'Практика доказательства расходимости следующих бесконечных рядов.'

'Количество фигур и комбинаций.'

'Найдите сумму следующего ряда.'

'Укажите условия для того, чтобы последовательность была арифметической прогрессией.'

'Докажите по математической индукции, что общая формула, предполагаемая в (2) (1), верна.'

'Найдите сумму ряда: \\(\\sum_{k=1}^n(k^2+3k+1)\\)'

'Найдите сумму от первого элемента до n-го элемента последовательности.'

'Найдите общий член последовательности: $c_{n+1}=-2c_{n}-18$'

''

'Найдите следующую сумму.'

'Докажите, что если ряды $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}$ сходятся, где $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}=S, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}=T$, то и ряд $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\left(k a_{n}+l b_{n}\\right)$ также сходится и найдите его сумму. Здесь $k, l$ - постоянные.'

'Покажите условие сходимости бесконечной геометрической прогрессии.'

'Объясните и докажите сходимость и расходимость бесконечной геометрической последовательности. Определите условия, при которых бесконечный ряд, созданный из бесконечной геометрической последовательности {ar^n-1} с начальным элементом a и общим коэффициентом r \ \\sum_{n=1}^{\\infty} \overline^{n-1}=a+\overline+\overline^{2}+\\cdots \\cdots+\overline^{n-1}+\\cdots \\cdots \ сходится, найдите его сумму, и укажите условия, при которых он расходится.'

'Найдите сумму ряда \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n} \\sin \\frac{n \\pi}{2} \\).'

'Исследуйте сходимость и расходимость бесконечной геометрической прогрессии, и если она сходится, найдите её сумму.'

'Для бесконечного ряда $x+\\frac{x}{1+x}+\\frac{x}{(1+x)^{2}}+\\cdots \\cdots+\\frac{x}{(1+x)^{n-1}}+\\cdots \\cdots$,\n(1) Определите диапазон значений $x$, при которых этот бесконечный ряд сходится.\n(2) Пусть $f(x)$ будет суммой этого бесконечного ряда, когда $x$ находится в диапазоне, определенном в (1). Постройте график функции $y=f(x)$ и исследуйте ее непрерывность.'

'Докажите, что бесконечный ряд Σ(1 / n) расходится.'

'Комплексное упражнение'

'Исследуйте предел бесконечной геометрической прогрессии {r^n}.'

'Пример 126 Бесконечные ряды и пределы (2)'

'Пример 11 | Сходимость и расходимость бесконечных рядов'

'Исследуйте сходимость или расходимость следующего бесконечного ряда, и если он сходится, найдите его сумму. \n\\[\n\\left(2-\\frac{1}{2}\\right)+\\left(\\frac{2}{3}+\\frac{1}{2^{2}}\\right)+\\left(\\frac{2}{3^{2}}-\\frac{1}{2^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{2}{3^{n-1}}+\\frac{(-1)^{n}}{2^{n}}\\right)+\\cdots \\cdots\n\\]'

'Исследуйте сходимость и расходимость следующих последовательностей: (а) { -n^{3} + 1 } (б) { -\\frac{1}{n^{3}} + 2 } (в) { \\frac{3}{n+2} } (г) { \\frac{(-2)^{n}}{3} - 1 }'

'Сходимость и расходимость бесконечных рядов и предела членов'

'Докажите следующие неравенства интегралов.'

'Упражнение 14 |II| → Буклет стр.343\n(1) Предположим, что последовательность {xn} сходится, и её предельное значение α\nlim_{n→∞} xn = lim_{n→∞} xn+1 = α\nСледовательно, при n → ∞, xn+1 = √(a + xn)\nα = √(a + α)\nВозведя в квадрат и переставив обе стороны, получим α² - α - a = 0\nПоскольку α > 0, то α = (1 + √(1 + 4a)) / 2'

'Найдите сумму бесконечного ряда ∑ от n=0 до бесконечности (1/2)^n cos(nπ/6).'

'Доказать 22-е уравнение длинной книги'

'Использование промежуточной теоремы о значении для решения суммы бесконечного ряда и определенного интеграла'

'Объясните предел бесконечной геометрической прогрессии и укажите при каких условиях она сходится.'

'Для последовательности, определенной как $b_{n}=(-1)^{n-1} \\log _{2} \\frac{n+2}{n}(n=1,2,3, \\ldots \\cdots)$, пусть $S_{n}=b_{1}+b_{2}+\\cdots \\cdots+b_{n}$. Найдите $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} S_{n}$ .'

'Бесконечный ряд'

'Докажите, что последовательность точек Pn(x_{n}, y_{n}), удовлетворяющая линейной системе уравнений P1(1, 1), x_{n+1}=\x0crac{1}{4} x_{n}+\x0crac{4}{5} y_{n}, y_{n+1}=\x0crac{3}{4} x_{n}+\x0crac{1}{5} y_{n}(n=1,2, ...) на плоскости, приближается бесконечно близко к некоторой фиксированной точке P1, P2, ... 〔Похоже на Университет Синсю〕'

'Докажите, что для двух сходящихся рядов $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}$, сходящихся к $S, T$ соответственно, для постоянных $k, l$, ряд $\\sum_{n=1}^{\\infty}(k a_{n}+l b_{n})$ также сходится и $\\sum_{n=1}^{\\infty}(k a_{n}+l b_{n})=k S+l T$.'

'Найдите определенный интеграл \ \\int_{0}^{1} x^{2} d x \. Сначала разделите интервал \ [0, 1] \ на \ n \ равных частей, и пусть площадь каждого прямоугольника с синим оттенком будет \\( \\left(\\frac{1}{n}\\right) \\cdot\\left(\\frac{k}{n}\\right)^{2} \\ (k=0,1, \\cdots, n-1) \\), тогда сумма\n\\[S_{n} = \\sum_{k=0}^{n-1} \\frac{1}{n} \\cdot\\left(\\frac{k}{n}\\right)^{2} = \\frac{1}{n^{3}} \\sum_{k=1}^{n-1} k^{2} = \\frac{1}{6}\\left(1 - \\frac{1}{n}\\right)\\left(2 - \\frac{1}{n}\\right)'

'Найдите предельное значение последовательности \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \, определяемое следующими условиями.'

'(2) $\\sum_{n=2}^{\\infty} \\frac{1}{n^{2}-1}$'

'Найдите предельное значение последовательности {an}, определенной следующими условиями.'

'Предел бесконечной геометрической прогрессии { r^n }'

'Исследуйте сходимость и расходимость следующего бесконечного ряда и найдите сумму, если он сходится.'

'Исследуйте сходимость или расходимость бесконечного ряда \ \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^{n-1} \ и найдите сумму, если он сходится. Можно использовать \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n x^{n}=0(|x|<1) \\).'

None

'Докажите, что ряд 1+\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}+\\cdots расходится.'

'Найдите сумму этого бесконечного ряда: 1-1/3+1/5-1/7+⋯⋯'

'Практикуйтесь в исследовании сходимости и расходимости следующего бесконечного ряда, и найдите сумму, если он сходится.'

'Куб с отметкой на одной грани расположен на горизонтальной плоскости. Одна из четырех сторон основания куба выбирается случайным образом с равной вероятностью, и куб наклоняется боковым краем вокруг этой стороны n раз. Пусть вероятность того, что отмеченная грань обращена вверх, равна aₙ, а обращена вниз - bₙ. Предположим, что изначально отмеченная грань обращена вверх. (1) Найдите a₂. (2) Выразите aₙ₊₁ через aₙ. (3) Найдите limₙ→∞ aₙ.'

'Используя результат из (2), найдите сумму бесконечного ряда Σ_(n=1)^∞ n/2^n. Можно использовать факт, что lim (n→∞)(n/2^n)=0.'

'Для бесконечного ряда $x+\\frac{x}{1+x}+\\frac{x}{(1+x)^{2}}+\\cdots \\cdots+\\frac{x}{(1+x)^{n-1}}+\\cdots \\cdots$ найдите (1) диапазон значений $x$, при которых этот бесконечный ряд сходится. (2) Пусть $f(x)$ обозначает сумму этого бесконечного ряда, когда $x$ находится в диапазоне, найденном в (1). Постройте график функции $y=f(x)$ и исследуйте ее непрерывность.'

'Найдите предельное значение последовательности $\\{a_ {n} \\}$ , определенной следующими условиями.'

'Найдите сумму бесконечного ряда \\(\\left(1-\\frac{1}{2}\\right)+\\left(\\frac{1}{3}-\\frac{1}{2^{2}}\\right)+\\left(\\frac{1}{3^{2}}-\\frac{1}{2^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots \\).'

'Глава 3\nДифференциальное исчисление - 105\nКогда n ≥ 2\n\\[\egin{aligned}b_{n} & =b_{1}+\\sum_{k=1}^{n-1} 6 k=0+6 \\cdot \\frac{1}{2}(n-1) n \\& =3 n(n-1)\\end{aligned}\\]\nЭто верно даже когда n=1.\n\\[\\text{Следовательно,} \\quad b_{n}=3 n(n-1)\\]\n\\( \\sum_{k=1}^{n} k=\\frac{1}{2} n(n+1) \\)\nГлава 3\nПример'

'Найдите сумму следующего бесконечного ряда.\n(1) \\(\\left(1+\\frac{2}{3}\\right)+\\left(\\frac{1}{3}+\\frac{2^{2}}{3^{2}}\\right)+\\left(\\frac{1}{3^{2}}+\\frac{2^{3}}{3^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots \\)\n(2) \\\frac{3^{2}-2}{4}+\\frac{3^{3}-2^{2}}{4^{2}}+\\frac{3^{4}-2^{3}}{4^{3}}+\\cdots \\cdots \'

'Докажите, что ряд ∑(1/n) расходится.'

'Найдите предел следующих последовательностей.'

'Найдите сумму следующего бесконечного ряда.'

'Докажите, что следующий бесконечный ряд расходится. (1) 1+\\frac{2}{3}+\\frac{3}{5}+\\frac{4}{7}+\\cdots \\cdots (2) \\sin \\frac{\\pi}{2}+\\sin \\frac{3}{2} \\pi+\\sin \\frac{5}{2} \\pi+\\cdots \\cdots'

'Найдите диапазон действительных чисел, при котором бесконечный ряд сходится.'

'Исследуйте сходимость и расходимость следующего бесконечного ряда и найдите сумму, если он сходится.'

'Исследуйте пределы следующих последовательностей.'

'Докажите, что следующий бесконечный ряд расходится.'

'Найдите предел последовательности, определенной следующими условиями.'

'Найдите предел последовательности {an}, определенный следующими условиями.'

'Найдите сумму следующего бесконечного ряда.'

'Найдите длину следующих кривых \ L \. (1) \ \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x=e^{t} \\cos t \\y=e^{t} \\sin t\\end{\overlineray}\\right(0 \\leqq t \\leqq \\frac{\\pi}{2}\\\right.'

'Найдите диапазон действительных чисел х, при которых следующие последовательности сходятся. Кроме того, найдите предельное значение в тот момент.'

'Бесконечная геометрическая прогрессия'

'Найдите сумму бесконечного ряда ∑_{n=0}^{∞}(1/2)^{n} cos (n π / 6).'

'Используя формулу частичной суммы, найдите условие сходимости и сумму бесконечного геометрического ряда a+\overline+\overline^{2}+\overline^{3}+\\cdots+\overline^{n-1}+\\cdots.'

'(1) Бесконечный ряд \ \\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n} \ сходится \ \\Longrightarrow \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=0 \'

''

'Найдите предел последовательности, определенный следующими условиями: \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ .\a_{1}=1, \\quad a_{n+1}=\\frac{2}{3} a_{n}+1\'

''