Анализ - Пределы и непрерывность

'(1) Найти \\(\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+2 h)-f(a-h)}{h}\\).\n(2) Пусть x-a=h, тогда x=a+h, при x \\longrightarrow a, h \\longrightarrow 0. Найдите следующее выражение:\n\\[\egin{aligned}\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{x^{2} f(a)-a^{2} f(x)}{x^{2}-a^{2}}\\end{aligned}\\]'

'Найдите следующие пределы.'

''

'Найдите следующие пределы. Обратите внимание, что \ a \ в (3) является постоянной.'

'Найдите следующие пределы, где (a) является постоянной.'

'Объясните способы доказательства уравнений и неравенств.'

'Производная и ее вычисление: Объясните определение для нахождения производной.'

'(20) Определение коэффициентов последовательности из условий предельных значений\nОпределите коэффициенты последовательности из условий предельных значений.\nПример: Для того, чтобы последовательность {an} сходилась, необходимо заранее определить определенный коэффициент а. Найдите этот коэффициент.'

'Найдите следующий предел.'

'Известная функция и связанный с ней предел'

'Найдите следующий предел.'

'Найдите следующие пределы.'

'Практика: Обозначим кривую y=√(4-x) как C. Для t (2≤t≤3) рассмотрим точки (t,√(4-t)) на кривой C, начало координат и точку (t,0), чтобы образовать треугольник с площадью, обозначенную как S(t). Разделим интервал [2,3] на n равных частей, где конечные точки и точки деления обозначаются в порядке возрастания как t₀=2, t₁, t₂, ⋯, tₙ₋₁, tₙ=3, затем найдем предельное значение limₙ→∞(1/n ∑ₖ=1ⁿ S(tₖ)).'

'Давайте узнаем о определенных интегралах и пределах сумм, а также неравенствах.'

'Найдите следующие пределы: (1) $\\lim _{x \\rightarrow \\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\cos x}{2 x-\\pi}$ (2) $\\lim _{x \\rightarrow \\infty} x \\sin \\frac{1}{x}$ (3) $\\lim _{x \\rightarrow 0} x^{2} \\sin \\frac{1}{x}$'

'Когда последовательность {an}(n=1,2,3,⋯⋯) удовлетворяет lim_{n→∞}((3n-1)an)=-6, тогда lim_{n→∞}nan= \\ квадрат.'

'Предел функции: Найдите функцию f(x) при следующих условиях:\n1. \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f(x)-2 x^{3}+3}{x^{2}}=4 \\).\n2. \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{f(x)-5}{x}=3 \\).'

''

'Найдите следующие пределы:\n(1) \\(\\lim_{n \\to \\infty}\\frac{3+7+11+\\cdots+(4n-1)}{3+5+7+\\cdots+(2n+1)}\\)\n(2) \\(\\lim_{n \\to \\infty}\\left\\{\\log_{3}\\left(1^{2}+2^{2}+\\cdots+n^{2}\\right)-\\log_{3}n^{3}\\right\\}\\)\n(2) Токийский университет Дэнки'

'Найти следующий предел.'

'Рассмотрим последовательность {an(x)}, где an(x)=sin^{2n+1} x/sin^{2n} x+cos^{2n} x (0≤x≤π).'

'Найти предел последовательностей (2)...иррациональные выражения и т. д.'

''

'Предел функции \ y=x e^{-x} \ это \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x e^{-x}=0 \'

'Найти предел, связанный с площадью.'

'Найдите предел последовательности {an}.'

'Пусть { an(x)} - последовательность, определенная как an(x)=sin ^{2 n+1} x / (sin ^{2 n} x +cos ^{2 n} x) (0 ≤ x ≤π).'

'Найдите предел \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log \\left(1^{1} \\cdot 2^{2} \\cdot 3^{3} \\cdots \\cdots \\cdot n^{n}\\right)}{n^{2} \\log n} \\).'

'Объясните непрерывность и дифференцируемость функций.'

'Найдите следующие пределы.'

'Найдите пределы последовательности {an}'

'Если существует дифференциальный коэффициент, то \\( f(x) \\) дифференцируема в точке \ x=a \'

'Исследуйте предел последовательности 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ...'

'Найдите пределы следующей последовательности:\n\nДля последовательности { n^k } найдите пределы, когда k - положительное целое число, положительная рациональная дробь и положительное иррациональное число, соответственно.'

'Найдите предел последовательности, представленной n-м членом.'

'Найдите предел последовательности, представленной следующими выражениями для n-го члена.'

'Найдите следующие пределы.'

'Найти следующий предел.'

'Найдите предел \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\cos n \\pi}{n} \.'

'Найдите предел последовательности, представленной n-ым членом, с помощью следующих выражений.'

'Пожалуйста, решите задачу нахождения предела: \\( \\lim_{{x \\to a}} f(x) = \\alpha \\)'

''

'Найдите предел последовательности, представленной следующими выражениями для n-го члена.'

'Найдите следующий предел.'

'Найти следующие пределы.'

'Найти предел следующих последовательностей:'

'Найдите следующие пределы.'

'(2) Пусть $S_n = \\frac{1}{\\sqrt{n}} \\sum_{k=n+1}^{2n} \\frac{1}{\\sqrt{k}}$, тогда $S_n = \\sum_{k=n+1}^{2n} \\frac{1}{\\sqrt{\\frac{k}{n}}} \\cdot \\frac{1}{n}$. Поскольку $S_n$ представляет собой сумму площадей прямоугольников, имеем $S = \\lim_{n \\to \\infty} S_n = \\int_{1}^{2} \\frac{dx}{\\sqrt{x}} = [2 \\sqrt{x}]_{1}^{2} = 2(\\sqrt{2}-1)$. Альтернативное решение: $S = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{\\sqrt{1+\\frac{k}{n}}} = \\int_{0}^{1} \\frac{dx}{\\sqrt{1+x}} = [2 \\sqrt{1+x}]_{0}^{1} = 2(\\sqrt{2}-1)$.'

'(2) Пусть {an} - последовательность положительных целых чисел с n цифрами. Найдите предел lim(n→∞) (log10an)/n. [Университет города Хиросима]'

'Пожалуйста, проверьте сходимость данной последовательности {n^k} (k>0).'

'Предел с одной стороны функции'

'Каким образом красные диаграммы помогают закрепить математические навыки?'

'Найти предел 62.'

'64\n\\[\n\\text { (1) } \egin{array}{ll}\nf^{\\prime}(x)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\\\\n= & \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{\\{2(x+h)-3\\}-(2 x-3)}{h} \\\\\n=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{2 h}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} 2=2\n\\end{array}\n\\]'

"Производные и производные функции\nПроизводные\nD Средняя скорость изменения ( f(b)-f(a) / b-a )(a ≠ b)\nD Производная (Скорость изменения)\nf'(a)=lim(b → a) (f(b)-f(a))/(b-a)=lim(h → 0) (f(a+h)-f(a))/h"

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'(4) Разрешено использовать $\\lim _{x \\rightarrow+0} x \\log x(\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log x}{x}=0)$.'

'Объясните определение непрерывности функции.'

'Повторяя, мы получаем $a_{n}=1-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2 n-1}$. Следовательно, $\\lim_{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=1$.'

'Найдите предел функций, представленных определенными интегралами'

''

'Когда последовательности {a_n} и {b_n} сходятся, выполняются следующие условия:'

"Найдите следующие пределы. Где 'a' - константа."

'Найдите пределы следующих последовательностей: (1) {2^{n} / n} (2) {n^{2} / 3^{n}'

'Пусть асимптота представлена прямой y=ax+b, тогда предел f(x)/x при x стремится к положительной или отрицательной бесконечности равен a, и предел f(x)-ax равен b.'

'Найдите следующие пределы.'

'Докажите следующие свойства сходящихся последовательностей {an},{bn}, где lim(n→∞)an=α и lim(n→∞)bn=β:\n1. Константное умножение lim(n→∞)k an=kα\n2. Сумма - Разность lim(n→∞)(an+bn)=α+β, lim(n→∞)(an-bn)=α-β'

'Докажите следующее уравнение. \\[ \\lim_{b \\to a} \\frac{c-a}{b-a} = \\lim_{b \\to a} \\frac{b+2a}{\\sqrt{3}(\\sqrt{a^2+ab+b^2} + \\sqrt{3}a)} = \\frac{1}{2} \\]'

'Докажите, что предел последовательности {r^{n} / n^{k}},{n^{k} / r^{n} } при r>1, lim _{n へ ∞} r^{n} / n^{2}=∞。'

'Математика III\n251\n\\\lim _{\\frac{\\pi}{n} \\rightarrow 0} \\frac{\\sin \\frac{\\pi}{n}}{\\frac{\\pi}{n}}=1, \\quad \\lim _{\\frac{\\pi}{n} \\rightarrow 0} \\frac{1}{\\cos \\frac{\\pi}{n}}=1\\n\nТаким образом, при \ n \\longrightarrow \\infty \, сходимость к ненулевому значению для \\( n^{k}\\left(b_{n}-a_{n}\\right) \\) происходит, когда \ k-2=0 \ то есть, когда \ k=2 \ и \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n^{2}\\left(b_{n}-a_{n}\\right)=\\pi \\)'

'Математика III'

'Пример 329 | Односторонние пределы и существование пределов'

'\n(2)\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\lim _{h \\rightarrow+0} \\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow+0} \\frac{\\sin h-0}{h}=\\lim _{h \\rightarrow+0} \\frac{\\sin h}{h}=1 \\\\\n\\lim _{h \\rightarrow-0} \\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow-0} \\frac{\\left(h^{2}+h\\right)-0}{h}=\\lim _{h \\rightarrow-0}(h+1)=1\n\\end{array}\n\\]\nКогда \h \\longrightarrow+0\ и \h \\longrightarrow-0\, пределы совпадают, а \\(f^{\\prime}(0)=1\\), что означает, что \\(f(x)\\) дифференцируем в точке \x=0\.\nСледовательно, \\(f(x)\\) непрерывна в точке \x=0\.'

'Используя правило Лопиталя, найдите следующие пределы.'

'Когда последовательности {a_{n}}, {b_{n}} сходятся, выполняется следующее:'

'Найдите следующие пределы.'

'Поскольку $\\lim _{x \\rightarrow \\infty} y=\\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(\\sqrt{x^{2}+1}-x\\right)=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}+x}=0$, то прямая $y=0$ является асимптотой.'

'Пример 19 | Рекуррентная формула и предел (3)'

'n-ый член a_{n} равен a_{n} = \\frac{3n-2}{n+1}, Следовательно, \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n} = \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3n-2}{n+1} = \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3-\\frac{2}{n}}{1+\\frac{1}{n}} = 3 \\neq 0, Таким образом, данное бесконечное ряд расходится.'

'Рассмотрим последовательность {an}, где n-ый член an является n-значным положительным целым числом. Найдите предел lim (n→∞) (log10 an)/n.'

'Найдите lim_{n → ∞} Σ_{k=1}^{2n} (1 + k/n)^p * 1/n и lim_{n → ∞} Σ_{k=1}^{2n} (k/n)^p * 1/n.'

'Найдите следующие пределы.'

'Найти предел последовательности {r^n}.'

'Докажите, что если у кривой не более 1 точки перегиба, то у кривой нет куспиды.'

'Найдите следующий предел. (а) lim_{x \\rightarrow -\\infty} \\frac{4^x}{3^x - 2^x}'

'Комплексное упражнение'

'Докажите, что когда номер элемента n бесконечной последовательности {an} стремится к бесконечности, если a_n приближается к постоянному значению α, то lim{n -> ∞} a_n=α, или по мере того, как n стремится к бесконечности, a_n приближается к α, и обозначается α как предельное значение последовательности {an}. Докажите это утверждение.'

'Найдите пределы последовательностей {r^n / n^k}, {n^k / r^n}.'

'Если функция f(x) непрерывна для всех значений x в своей области определения, как это выражается?'

'Когда x > 1, неравенство 0 < log x < x справедливо. Используя это неравенство, найдите предел lim _{x \\rightarrow ∞} \\\frac{\\log x}{x}\. Здесь log x - это натуральный логарифм с основанием e = 2.71828....'

'Найдите следующие пределы.'

''

'Найти следующий предел.'

'Исследуйте, являются ли следующие функции непрерывными и дифференцируемыми в x = 0:'

'Найдите предел (3) lim _{x \\rightarrow 0} x^{2} \\sin \\frac{1}{x}'

'Упражнение 22 Докажите формулу Уаллиса, формулу Стирлинга'

'(1) Рассчитайте $\\lim_{x \\to -\\infty} \\frac{3^{x}+5^{x}}{3^{x}-5^{x}}$'

'Для действительного числа x пусть [x] будет целым числом m, удовлетворяющим условию m ≤ x < m+1. Найдите предел при n стремящемся к бесконечности [10^(2n)π] / 10^(2n).'

'Найдите пределы следующих последовательностей. (А) \ -2 n^{2}+3 n+1 \ (Б) \ \\frac{-5 n+3}{3 n^{2}-1} \ (В) \ \\frac{2 n^{2}-3 n}{4 n^{2}+2} \'

'Объясните о пределе с одной стороны функции.'

'Найдите следующий предел.'

'Найдите следующие пределы.'

'Найдите следующие пределы. Где α - постоянная.'

'Найдите данный предел.'

'(1) Найдите значения констант \ a, b \, удовлетворяющие уравнению \ \\lim _{x \\rightarrow 3} \\frac{a x^{2}+b x+3}{x^{2}-2 x-3}=\\frac{5}{4} \.\n(2) Выразите \\( \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+2 h)-f(a-h)}{h} \\) через \\( f^{\\prime}(a) \\).'

''

'Найдите следующие пределы.'

'Найдите следующие пределы.'

'Найдите следующие пределы.'

'Найдите следующие пределы.'

'Практика по нахождению следующих пределов.'

'Найти следующие пределы.'

'Докажите неравенство суммы ряда и найдите предел (1) Для натуральных чисел n больше или равных 2, докажите следующее неравенство.'

'Для общего члена an и суммы Sn от первого члена до n-го члена:'

'Найдите следующий предел.'

'(4) Предел справа равен 0, слева равен 1; предел не существует'

'Для действительного числа x пусть [x] обозначает целое число m, удовлетворяющее m≤x<m+1. Найдите значение lim n→∞ [10^2nπ]/10^2n по мере приближения n к бесконечности.'

'(3) (А) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{2^{x}a-2^{-x}}{2^{x+1}-2^{-x-1}} =\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{a-\\frac{1}{2^{2 x}}}{2-\\frac{1}{2^{2 x+1}}} =\\frac{a}{2} \ Следовательно \ \\quad \\frac{a}{2} =\\frac{3}{4} \ следовательно \ \\quad a=\\frac{3}{2} \'

'Найдите \\( f(x) \\), когда функция \\( f(x) \\) удовлетворяет \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f(x)-2 x^{3}+3}{x^{2}}=4, \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{f(x)-5}{x}=3 \\).'

'Найдите следующие пределы. Где a - постоянная.'

'Найдите значение \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log \\left(1^{1} \\cdot 2^{2} \\cdot 3^{3} \\cdots \\cdots \\cdot n^{n}\\right)}{n^{2} \\log n} \\).'

'Найдите следующий предел. $\\ lim _ {n \\ к \\ infty} \\ frac {1} {n ^ {2}} \\ left(e ^ { \\ frac {1} {n}} + 2 e ^ { \\ frac {2} {n}} + 3 e ^ { \\ frac {3} {n}} + \\ cdots \\ cdots + n e ^ { \\ frac {n} {n}} \\ right)$'

'Найдите предел \ S_{n} \ при \ n \ стремящемся к бесконечности.'

'Найдите максимальные и минимальные значения следующих функций. При необходимости, вы можете использовать \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x e^{-x}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} x^{2} e^{-x}=0 \ в (2).'

'Найдите следующие пределы.'

'Найдите следующий предел.'

'Следовательно, $\\quad a_{n+1}-a_{n}=2\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}$, $\\quad a_{n+1}-\\frac{1}{4} a_{n}=\\frac{11}{4}$ Вычитая два уравнения, получаем $a_{n}=\\frac{11}{3}-\\frac{8}{3}\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}$, устраняя $a_{n+1}$. Итак, $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left\\{\\frac{11}{3}-\\frac{8}{3}\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}\\right\\}=\\frac{11}{3}-0=\\frac{11}{3}$'

''

'Найдите следующие пределы.'

'Найдите следующие пределы. (2) где \ p>0 \.\n(1) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n}\\left\\{\\left(\\frac{1}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{2}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{3}{n}\\right)^{2}+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{3 n}{n}\\right)^{2}\\right\\} \\)\n(2) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(n+1)^{p}+(n+2)^{p}+\\cdots \\cdots+(n+2 n)^{p}}{1^{p}+2^{p}+\\cdots \\cdots+(2 n)^{p}} \\)'

'Найти предел.'

''

'Определите значение постоянной a, чтобы уравнение $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}-(a x+1)}{x}=3$ было верным.'

'Найдите следующие пределы.'

'Найдите следующий предел (1) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{\\pi}{n} \\sin ^{2} \\frac{k \\pi}{n} \'

'Решите следующую проблему:'

'(1) Пусть \\( \\left\\{a_{n}\\right\\}(n=1,2,3, \\cdots \\cdots) \\) такая последовательность, что \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}(3 n-1) a_{n}=-6 \\), тогда\n\ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n a_{n}=\\square \\text{ это } \'

'(1) Вычислите $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n}\\left\\{\\left(\\frac{1}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{2}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{3}{n}\\right)^{2}+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{3 n}{n}\\right)^{2}\\right\\}$'

''

'Объясните отношения между дифференцируемостью и непрерывностью.'

'Исследуйте, непрерывна ли и дифференцируема функция в точке x=0. (2) f(x)=\\left\\{\egin{array}{ll}0 & (x=0) \\\\ \\frac{x}{1+2^{\\frac{1}{x}}} & (x \\neq 0)\\end{array}\\right\\}'

'Определите значения констант a и b, чтобы уравнение было верным. \\\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{a \\sqrt{x+1}-b}{x-1}=\\sqrt{2}\'

'Определите значения констант a и b, чтобы следующие уравнения были истинными.'

'Объясните концепции сходимости и расходимости в пределах, и опишите основные свойства поведения последовательностей.'

'Найдите следующие пределы.'

'Найдите функцию f(x), когда она удовлетворяет условиям lim_{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f(x)-2 x^{3}+3}{x^{2}}=4, lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{f(x)-5}{x}=3.'

'Предел функции'

'Пределы тригонометрических функций\nКогда единица угла в радианах \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin x}{x}=1, \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{x}{\\sin x}=1 \'

'(1) Предел существует как справа, так и слева;'

'Найдите предел последовательности, представленной n-м членом.'

'Объясните, что означает x, стремящееся к a+0 и x, стремящееся к a-0 в функции f(x), и существует ли предел функции, когда они одинаковы или различны.'

'Объясните связь между последовательностями {a_n} и {b_n}, когда они сходятся, и их пределы при n стремящемся к бесконечности равны a_n = α, b_n = β.'

'Используя правило Лопиталя, найдите следующие пределы.'

'Найдите следующий предел. (4): $\\lim_{x \\to \\infty} (\\sqrt{x^{2} + 2x} - x)$'

'Вычислить следующий предел.'

'Пусть \\( \\left\\{a_{n}(x)\\right\\} \\) - последовательность, определенная как \\( a_{n}(x)=\\frac{\\sin ^{2 n+1} x}{\\sin ^{2 n} x+\\cos ^{2 n} x}(0 \\leqq x \\leqq \\pi) \\). (1) Найдите предел \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) этой последовательности. (2) Пусть предел \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) обозначен как \\( A(x) \\), постройте график функции \\( y=A(x) \\).'

'Для непрерывной функции на замкнутом интервале справедлива теорема о промежуточном значении. Иными словами, для непрерывной функции f(x) на замкнутом интервале [a, b], для любого значения k между f(a) и f(b) существует c такое, что f(c) = k. Когда это условие не выполняется, рассмотрим функцию f(x) = sin(1/x), предположим, что она непрерывна на интервале (0, 1], и объясним ситуацию, когда не существует c такого, что f(c) = k для определенного k.'

''

'Предполагая, что в будущем каждый год треть людей, проживающих за пределами Токио, переезжает в город, а треть живущих в городе переезжает за его пределы. Пусть население людей за городом в n-м году будет an, а в городе bn. Найдите lim n→∞ an/bn. Предполагается, что общее население как внутри, так и за пределами города остается постоянным независимо от года.'

'Если S определено как следующий предел, найдите значение S.'

'102 a=4, b=-1, предел -\\frac{15}{8}'

'Исходя из следующих условий, найдите координаты и траекторию скорости точки Q. Когда точка P движется вдоль оси x от начала координат (0,0) к (π,0) со скоростью π в секунду, найдите скорость v(t) точки Q через t секунд.'

'Найти следующие пределы.'

'Упражнения на пределе главы 4'

'Непрерывность функции'

'Докажите, что для бесконечной последовательности {an} (n=1,2,⋯⋯), предел 1/n^k при приближении n к бесконечности равен 0.'

'Исследуйте предел последовательности \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \, заданный формулой \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{2}+a_{4}+\\cdots \\cdots+a_{2 n}}{a_{1}+a_{2}+\\cdots \\cdots+a_{n}} \.'

'Найдите следующий предел.'

'Математика \nОчищая знаменатель, мы имеем (c^{2}-1)(x+1)=c^{2}(x-1) следовательно 2 c^{2}=x+1 следовательно c^{2}=\\frac{x+1}{2} \nx>1, c>1 поэтому c=\\sqrt{\\frac{x+1}{2}} \n\\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{c-1}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{\\sqrt{\\frac{x+1}{2}}-1}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{\\frac{x+1}{2}-1}{(x-1)\\left(\\sqrt{\\frac{x+1}{2}}+1\\right)} =\\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{1}{2\\left(\\sqrt{\\frac{x+1}{2}}+1\\right)}=\\frac{1}{2(\\sqrt{1}+1)}=\\frac{1}{4} \n\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{c-1}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\sqrt{\\frac{x+1}{2}}-1}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\sqrt{\\frac{1}{2}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)}-\\frac{1}{\\sqrt{x}}}{\\sqrt{x}-\\frac{1}{\\sqrt{x}}}=0'

'Найдите предел последовательности, представленной n-ым членом.'

'Чтобы предел \\(\\lim_ {x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{9-8 x+7 \\cos 2 x}-(a+b x)}{x^{2}}\\) имел конечное значение, определите значения констант \a, \\quad b\ и найдите значение предела.'

'Найдите следующий предел.'

''

'Найдите предел последовательности, представленной n-м членом.'

'Комплексное упражнение'

'Найти \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1}{x^{3}}\\left\\{\\sqrt{1+2 x}-\\left(1+x-\\frac{x^{2}}{2}\\right)\\right\\} \\).'

'Найдите следующие пределы.\n\n(1) lim_{n→∞} \\frac{1}{n^{2}} \\left\\{ \\sqrt{(2 n)^{2}-1^{2}}+\\sqrt{(2 n)^{2}-2^{2}}+\\cdots \\cdots+\\sqrt{(2 n)^{2}-(2 n-1)^{2}} \\right\\} \n(2) lim_{n→∞} sum_{k=1}^{2 n} \\frac{n}{2 n^{2}+3 n k+k^{2}}\n\n〔(1) Университет Ямагучи, (2) Институт технологий Сибаура〕'

'Последовательность \\( \\left\\{a_{n}(x)\\right\\} \\) определена как \\( a_{n}(x)=\\frac{\\sin ^{2 n+1} x}{\\sin ^{2 n} x+\\cos ^{2 n} x}(0 \\leqq x \\leqq \\pi) \\).\n(1) Найдите предел этой последовательности, \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\).\n(2) Пусть \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) обозначается как \\( A(x) \\). Постройте график функции \\( y=A(x) \\).\n〔Университет Меидзо〕'

'Найдите значение константы \ a \, при котором уравнение \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}-(a x+1)}{x}=3 \\) выполняется.'

'Исследуйте предел последовательности 1/2, 2/3, 3/4, 4/5.'

'Найдите следующие пределы.'

'Найти следующий предел.'

'Найдите следующие пределы. (1) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{\\cos 5 x}-\\sqrt{\\cos 3 x}}{x^{2}}$(2) $\\lim _{x \\rightarrow \\frac{1}{4}} \\frac{\\tan \\pi x-1}{4 x-1}$'

'Предел последовательности'

'Найдите предел \\lim _{n \\rightarrow \\infty} T_{n}.'

'Следующие утверждения о пределах могут показаться неоднозначными, но на самом деле все они ложные. Давайте выясним, когда они не действуют, изучив противоположные примеры.'

'(1) При \ x \\rightarrow \\infty \, \\( \\{ \\log _{\\frac{3}{2}}(2 x)-\\log _{\\frac{3}{2}}(3 x+2) \\} =\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\log _{\\frac{3}{2}} \\frac{2 x}{3 x+2} \\) = \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\log \\frac{3}{2} \\frac{2}{3+\\frac{2}{x}}=\\log _{\\frac{3}{2}} \\frac{2}{3}=\\log _{\\frac{3}{2}}(\\frac{3}{2})^{-1}=-1 \\) \ \\leftarrow \ Разделите числитель и знаменатель на \ 2^{x} \.'

'Найдите следующие пределы.'

'(2) \ \\quad( \ И выражение \\()=\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left\\{\\log _{2} \\frac{1}{4} n^{2}(n+1)^{2}-\\log _{2}\\left(n^{4}+1\\right)\\right\\} \\)'

'Коэффициент дифференцирования'

'(2) Предел справа равен \ \\infty \, слева равен \ -\\infty \; предел не существует'

'Найдите значения 3 пределов. где $a$ - постоянная.\n(1) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{a^{x}-1}{x}(a>1)$\n(2) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\log (a+x)-\\log a}{x}(a>0)$\n(3) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\log (1+a x)}{x}$\n(4) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos 2 x}{x \\log (1+x)}$'

'Найдите пределы следующих последовательностей. (А) 1, \\frac{1}{2^{2}}, \\frac{1}{3^{2}}, \\frac{1}{4^{2}}, (Б) \\sqrt{2}, \\sqrt{5}, \\sqrt{8}, \\sqrt{11}, \\cdots \\cdots'

'Практика поиска предела следующих последовательностей.'

'Найдите следующие пределы. Обратите внимание, что a и b - константы. (1) Университет Отару, (2) Токийский электротехнический университет'

'(2) Рассчитать \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\left[ \\sqrt{x+x^{2}} \\right] - \\sqrt{x}}{x} \.'

'Найдите предел $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n} \\sin \\frac{n \\pi}{4}$.'

'Для данной последовательности {a_n} найдите предел \\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{2}+a_{4}+\\cdots \\cdots+a_{2 n}}{a_{1}+a_{2}+\\cdots \\cdots+a_{n}} \。'

'Вычислите следующее предельное значение для S.'

'(1) Для последовательности {an}, удовлетворяющей данному отношению, найдите lim(n→∞)an и lim(n→∞)nan. 30(а): lim(n→∞)(2n-1)an=1'

'Найдите следующие пределы.'

'Докажите, что функция f(x) не дифференцируема в точке x=π/2.'

'Решите следующую задачу:'

'Найдите предел уравнения \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1}{x^{3}}\\left\\{\\sqrt{1+2 x}-\\left(1+x-\\frac{x^{2}}{2}\\right)\\right\\} \\).'

'Найдите следующие пределы.'

'Найдите следующие пределы.'

'Найти предел.'

'(1) Непрерывное, но не дифференцируемое\n(2) Непрерывное и дифференцируемое'

'\\[f(x)=\\tan (\\pi x) \\text { тогда } \\lim _{x \\rightarrow \\frac{1}{4}} \\frac{\\tan (\\pi x)-1}{4 x-1}=\\lim _{x-\\frac{1}{4}} \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{f(x)-f\\left(\\frac{1}{4}\\right)}{x-\\frac{1}{4}}=\\frac{1}{4} f^{\\prime}\\left(\\frac{1}{4}\\right) f^{\\prime}(x)=\\frac{\\pi}{\\cos ^{2}(\\pi x)} \\text { поэтому } \\quad f^{\\prime}\\left(\\frac{1}{4}\\right)=\\frac{\\pi}{\\cos ^{2} \\frac{\\pi}{4}}=2 \\pi \\text { следовательно } \\quad \\lim _{x \\rightarrow \\frac{1}{4}} \\frac{\\tan (\\pi x)-1}{4 x-1}=\\frac{1}{4} \\cdot 2 \\pi=\\frac{\\pi}{2}\\]'

'Изучите пределы при приближении x к 1-0, к 1+0 и к 1 соответственно.'

'Пример 16 | Пределы функций (2)'

'Найдите предел. \\( \\lim _{x \\rightarrow-\\infty}(\\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x) \\)'

'Пример (41) Пределы и производные'

'Относительно предела последовательности \ \\left\\{n^{k}\\right\\} \ следующее верно.'

'Пример [2] $\\ lim_{n \\rightarrow \\infty}(\\sqrt{n^{2}+2 n-1}-n)=lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(\\sqrt{n^{2}+2 n-1}-n)(\\sqrt{n^{2}+2 n-1}+n)}{\\sqrt{n^{2}+2 n-1}+n}$'

'Найдите предел. Без использования указанной формулы (1). (2) \ \\lim _{x \\rightarrow \\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin ^{2} x-1}{\\cos x} \'

''

'Как найти предел функции'

'Найти следующие пределы. [(1) Университет Киото, (2) Токийский институт технологий] (1) \ \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{\\sqrt[3]{x}-1}{x-1} \ (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{x^{2}-x+1}-1}{\\sqrt{1+x}-\\sqrt{1-x}} \'

'Найдите следующие пределы.'

'Используя определение \ e \ для вычисления пределов\n\\( \\lim _{h \\rightarrow 0}(1+h)^{\\frac{1}{h}}=e \\), найдите следующие пределы:\n(1) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0}(1+2 x)^{\\frac{1}{x}} \\)\n(2) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0}(1-2 x)^{\\frac{1}{x}} \\)\n(3) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(1+\\frac{4}{x}\\right)^{x} \\)'

'Найдите следующие пределы. (1) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin 3 x}{x} \ (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan x^{\\circ}}{x} \ (3) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin ^{2} 2 x}{1-\\cos x} \'

'Определите номер страницы, связанный с пределами тригонометрических функций, из данной таблицы.'

'Найти следующий предел. (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos 2 x}{x \\tan \\frac{x}{2}} \[Осакинский институт технологии]'

'\ \\lim_ {n \\rightarrow \\infty} \\ frac {1} {\\ sqrt {n}} = 0 \ так что \\[ \\lim_ {n \\rightarrow \\infty} \\ frac {(-1) ^ {n}} {\\ sqrt {n}} = 0 \\]'

'Ответьте на следующие вопросы.'

'(1) Поскольку основание \\\sqrt{2}>1\,\n\\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty}(\\sqrt{2})^{x}=\\infty \\]\n(2) Поскольку основание \0<\\frac{2}{3}<1\,\n\\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{x}=0 \\]'

'Найдите предел lim (n→∞) (r^n)/(2+r^(n+1)) при r>-1.'

'Найдите следующий предел:\n\ \n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n+1} \\cos \\frac{n \\pi}{3} \n\'

'Пример 15 | Предел функции (1)'

'Максимум и минимум функции\nДля непрерывной функции f(x) на интервале [a, b] максимум и минимум определяются по\n[1] Максимуму и минимуму f(x) при a ≤ x ≤ b\n[2] Сравнивая значения в концах интервала, f(a) и f(b)\nПримечание: Чтобы найти максимум и минимум f(x) на интервале (a, b), необходимо сравнить экстремумы f(x) и значения lim x→a+0 f(x) и lim x→b-0 f(x). Кроме того, в случае интервала (a, ∞) требуется сравнение с lim x→∞ f(x).\nСледует отметить, что в случае открытых интервалов максимум и минимум могут не существовать.'

'Исследуйте, являются ли следующие функции непрерывными и дифференцируемыми при x=0:\n(1) f(x)=√|x|\n(2) f(x)={sin x (x ≥ 0), x^{2}+x (x<0)}'

'Найдите предел следующих последовательностей. 17 (1) {2^n / n} (2) {n^2 / 3^n}'

None

'Докажите следующее, используя биномиальную теорему: \n\\(\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(1+h)^{n}}{n}=\\infty \\)'

''

'Какие ключевые моменты в преобразовании выражений в пределах?'

'Используя теорему о среднем значении, найдите следующие пределы.'

'Определение предела последовательности'

'Решить задачи, связанные с пределом последовательности (с использованием неравенств).'

'Глава 2 Предел 69 Альтернативное решение'

'Исследуйте предел в следующих случаях.'

'Используя правило Лопиталя, найдите следующий предел.'

'Найдите предел последовательности, представленной n-м членом.\n(1) n²-n\n(2) (n+1)/(3n²-2)\n(3) 5n²/(-2n²+1)'

'Предел последовательности'

'Пример 15 | Принцип ножниц (2) (2) Пусть {a_{n}} - последовательность, где n-й член a_{n} является n-значным положительным целым числом. Найдите предел lim _{n → ∞} log _{10} a_{n} / n.'

'Глава 6 Применение интеграла'

'Определите значения констант a, b, чтобы уравнение было верным.'

'Пример 17 Покажите, что lim_{n→∞} (r^n / n^2) = ∞ для последовательности {r^n / n^k}, {n^k / r^n} при r > 1.'

'Найдите следующие пределы.'

'Объясните, что означает предел с одной стороны функции, и символически представьте правосторонний предел f(x), когда x стремится к a из диапазона x > a.'

'Докажите, что (1), (2) верны.'

'(1) Когда последовательность {an} (n=1,2,3,⋯⋯) удовлетворяет lim_{n→∞}(2n-1)an=1, найдите lim_{n→∞}an и 13lim_{n→∞}nan.\n(2) Найдите значения констант a, b, когда lim_{n→∞}1/(an+b-√{3n^2+2n})=5.'

'Применения дифференциального исчисления'

'Найдите предел, не используя данную формулу (1).'

'Найдите следующий предел:\n\\(\n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} n\\left(\\sqrt{4+\\frac{1}{n}}-2\\right)\n\\)'

'Пусть f(x)=-log x. Для вещественного числа a найдите количество касательных прямых кривой y=f(x), проходящих через точку (a, 0). Можно использовать lim_{x→+0} x log x=0.'

'Пример 35 | Текстовая задача о пределе тригонометрических функций'

'Это задача нахождения предела функции. Пожалуйста, определите предельное значение функции f(x) при приближении x к a. В частности, рассмотрите правосторонний предел \\lim _{x \\rightarrow a+0} f(x) и левосторонний предел \\lim _{x \\rightarrow a-0} f(x).'

'Найдите следующие пределы.'

''

'Найдите \ \\lim _{x \\rightarrow 0} x^{3} \\sin \\frac{1}{x} \.'

'Исследуйте предел асимптот, параллельных оси y (x=a).'

'Найдите следующий предел:\n\\(\n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\{(n+2)-(n-2)\\}(\\sqrt{n+1}+\\sqrt{n-1})}{\\{(n+1)-(n-1)\\}(\\sqrt{n+2}+\\sqrt{n-2})} \n\\)'

''

'Решить задачи, связанные с пределами последовательностей (многочлены и дроби).'

'Найдите предел.\\n(2) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\pi}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\cos \\frac{k \\pi}{2 n} \'

'(1) Найти \\( \\lim_{n \\to -2} (-2)\\). \n(2) Найти \ \\lim_{n \\to \\infty} n^2\'

'Найдите следующие пределы.'

'(3) О действительных числах'

'Давайте подведем итоги ключевых моментов методов, которые мы изучили до сих пор для вычисления пределов последовательностей. Способы нахождения предела последовательности'

'Найдите предел.'

'Найдите следующий предел.'

"Если f(x) - дифференцируемая функция в точке x=a, то следующие значения можно выразить, используя a, f(a), f'(a) и т. д .:\n(1) lim₍ ₕ → 0₎ ( f(a + 3h) - f(a + h) ) / h \n(2) lim₍ ₓ → a₎ 1 / (x² - a²) { f(a) / x - f(x) / a }"

'Найдите следующие пределы. (1) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\frac{\\pi}{2}} \\frac{1-\\sin x}{(2 x-\\pi)^{2}} \\) (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{\\sin \\pi x}{x-1} \ (3) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x \\sin \\frac{1}{x} \'

'Пусть f(x) - функция, которая дифференцируема для всех действительных чисел x и удовлетворяет следующим двум условиям.'

'Найдите следующий предел'

'Найдите предельное значение следующих последовательностей'

'(1) Найдите следующие пределы: (a) $\\lim _{x \\to-\\infty} \\frac{4^{x}}{3^{x}-2^{x}}$ (b) $\\lim _{x \\to \\infty}(3^{x}+2^{x})^{\\frac{1}{x}}$ (c) $\\lim _{x \\to \\infty}\\left\\{\\frac{1}{2} \\log _{3} x+\\log _{3}(\\sqrt{2 x+1}-\\sqrt{2 x-1})\\right\\}$ (2) Для $x>1$, неравенство $0<\\log x<x$ справедливо. Используя это неравенство, найдите предел $\\lim _{x \\to \\infty}\\frac{\\log x}{x}$. где $\\log x$ - логарифм по основанию $e=2.71828 ....$.'

'Найдите следующие пределы.'

'Для ряда положительных членов $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}$, если $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=k$, то если $k<1$, то ряд $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}$ сходится, а если $k>1$, то ряд $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}$ расходится.'

'Найдите следующие пределы.'

'Решите проблемы, связанные с пределом иррациональных выражений.'

'Используя правило Лопиталя, найдите следующие пределы.'

'Условия существования предела'

'Найдите следующие пределы.'

'Найдите следующие пределы:'

'Найдите предел последовательности, представленной следующими выражениями.'

'Найти предел следующих последовательностей'

'Найдите следующие пределы.'

''

'Найдите следующие пределы.'

'(2) Вычислите \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{3 x^{2}}{\\sin ^{2} x}=\\lim _{x \\rightarrow 0} 3\\left(\\frac{x}{\\sin x}\\right)^{2} \n\\[=3 \\lim _{x \\rightarrow 0}\\left(\\frac{x}{\\sin x}\\right)^{2}=3 \\cdot 1^{2}=3\\]'

'Внутри круга C с радиусом 1, с центром в O, есть уникальная точка A, которая не находится в центре. Пусть точка пересечения полураспространенной OA и C будет P0, а P0 будет отправной точкой для деления окружности C на n равных частей против часовой стрелки в порядке как P0, P1, P2, ..., Pn=P0. Определим расстояние между A и Pk как APk. Найдите предел, когда n стремится к бесконечности, 1/n * Σ(k=1 по n)(APk^2)^2. При условии, что OA=a. [Университет Гунма]'

'Найдите предел последовательности {r^n / n^k}.'

'Найдите следующий предел.'

'Пусть {an} - бесконечная последовательность. Сходящееся значение α сходится (не сходится) к бесконечности \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\alpha_{n}=\\infty \ или отрицательной бесконечности \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\alpha_{n}=-\\infty \, колеблется. Когда предел последовательности равен \ \\infty \ или \ -\\infty \, это не называется предельным значением.'

'(3) Найдите \\( \\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin \\left(x^{2}\\right)}{1-\\cos x} \\).'

'Когда r является вещественным числом, найдите предел lim(n→∞) (r^(2n+1))/(2+r^(2n)).'

'Найдите предел последовательности { r^n }.'

''

'(1) Докажите, что $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n}\\left(\\sum_{k=n+1}^{2 n} \\log k-n \\log n\\right)=\\int_{1}^{2} \\log x dx$. (2) Найдите предел $\\lim_{n \\to \\infty}\\left\\{\\frac{(2 n)!}{n!n^{n}}\\right\\}^{\\frac{1}{n}}$.'

'Найдите следующий предел.'

'Найдите следующий предел. (3) $\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{1}{n^{2}+1^{2}}+\\frac{2}{n^{2}+2^{2}}+\\frac{3}{n^{2}+3^{2}}+\\cdots \\cdots+\\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\\right)$'

'Найти предел выражения для n-го члена.'

'Рассмотрим последовательности {an}, {bn}, является ли истинным следующее утверждение? Докажите его, если оно верно, или предоставьте контрпример, если оно ложно. Где α, β - константы.'

'Если a_{n}=∫_{n}^{n+1} 1/x dx, то lim_{n→∞} e^{n a_{n}} = .'

"Пусть a будет постоянной, и функция f(x) будет дифференцируемой в точке x=a. Выразите следующие пределы, используя a и f'(a)."

'(3) При \ x \\longrightarrow \\infty \, \ \\frac{1}{x} \\longrightarrow 0 \, поэтому \\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\tan \\frac{1}{x}=0\'

'Найти следующий предел PR.'

'Найдите следующие пределы.\n1) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{n}{k^{2}+n^{2}} \\n2) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\pi}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\cos ^{2} \\frac{k \\pi}{6 n} \\n3) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{n^{2}}{(k+n)^{2}(k+2 n)} \\)\n4) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=n+1}^{2 n} \\frac{n}{k^{2}+3 k n+2 n^{2}} \'

'Найдите следующий предел: \\(\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\sqrt{n^{2}+2 n+2}-\\sqrt{n^{2}-n}\\right)\\)'

'Найдите предел тригонометрической функции sin(x)/x при приближении x к 0.'

'Когда r>-1, найдите предел lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}. (2) Когда r является действительным числом, найдите предел lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{2 n+1}}{2+r^{2 n}}. ПОДСКАЗКА (2) Когда r=-1, r^{2 n}=(-1)^{2 n}=\\left\\{(-1)^{2}\\right\\}^{n}=1^{n}=1. (1) Когда |r|<1, lim_{n \\rightarrow \\infty} r^{n}=0, lim_{n \\rightarrow \\infty} r^{n+1}=0, поэтому lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}=\\frac{0}{2+0}=0. Когда r=1, r^{n}=r^{n+1}=1, поэтому lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}=\\frac{1}{2+1}=\\frac{1}{3}. Когда r>1, \\left|\\frac{1}{r}\\right|<1, поэтому lim_{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{1}{r}\\right)^{n+1}=0, поэтому lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}=lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\frac{1}{r}}{2\\left(\\frac{1}{r}\\right)^{n+1}+1}=\\frac{\\frac{1}{r}}{2 \\cdot 0+1}=\\frac{1}{r}'

'Найдите предел последовательности, представленной следующими выражениями:'

'Предел последовательности {r ^ n}'

'Найдите предел данного базового примера 35 (3).'

'Глава 2\nПредел\nEX Последовательность \ \\{a_{n}\\} \ удовлетворяет \\( a_{n}>0(n=1,2, \\cdots) \\), \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{-5a_{n}+3}{2a_{n}+1}=-1 \, найдите \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} a_{n} \'

'Найдите следующий предел. \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{1-\\cos x}}{x} \'

'Пожалуйста, предоставьте доказательство, используя метод бесконечного спуска.'