Анализ - Основы дифференциальных уравнений

'Найдите следующие определенные интегралы.'

''

'Доказательство свойств определенных интегралов (A), (B), (C)'

''

'Координата x пересечения двух парабол - это решение уравнения x^{2}+x+2=x^{2}-7x+10. Таким образом, x=1'

'Доказать предложение о условии и множестве.'

'Докажите, что дифференциальное уравнение может быть преобразовано в следующую форму и найдите решение. Полагая y = uv, получим du/dx * v + u * dv/dx - uv/x = x'

''

'Докажите следующую теорему: Для всех натуральных чисел n, если существуют n-ые производные функций f^{(n)}(x) и g^{(n)}(x) для f(x) и g(x), то n-я производная произведения f(x) g(x) может быть выражена как указано в теореме Лейбница.'

'Доказательство неравенства с использованием теоремы среднего значения для интегралов'

"Вторая производная и экстремумы: Когда $f'(a)=0$, если существует $f''(a)$, её можно использовать для определения экстремумов."

'Докажите с помощью математической индукции, что уравнение (1) выполняется для всех натуральных чисел n.'

'Производная в точке x=a функции y=f(x) определяется следующим образом.'

''

'Подстановка и Интегрирование по частям для неопределенных интегралов'

'Доказательство (среднее арифметическое) ≥ (среднее геометрическое) с помощью геометрических фигур'

'Определенный интеграл и объем'

'Есть проблема с доказательством определенного интеграла Iₙ в математике (1).'

''

'Найти площадь $S$, ограниченную кривой \\left\\{\egin{\overlineray}{l} x=t-\\sin t \\\\ y=1-\\cos t \\end{\overlineray} (0 \\leq t \\leq \\pi)\\right., осью $x$ и линией $x=\\pi$.'

'Используйте интегрирование по частям, чтобы найти следующий интеграл.'

"Найдите f(x), когда дифференцируемая функция f(x) (x>0) удовлетворяет уравнению f(x)=x log x + ∫1^e t f'(t) dt."

'Предположим, что $\\frac{dy}{dx}=-2$, из (*) получаем $-\\frac{8x+y}{x-3y}=-2$, следовательно $6x+7y=0$. Подставив $x=\\frac{e^{t}+3e^{-t}}{2}$ и $y=e^{t}-2e^{-t}$ в уравнение (6) и упростив, получаем $2e^{t}-e^{-t}=0$. Следовательно, $e^{-t}(2e^{2t}-1)=0$, и так как $e^{-t}>0$, мы имеем $e^{2t}=\\frac{1}{2}$, что приводит к $2t=-\\log 2$. Следовательно, $t=-\\frac{1}{2}\\log 2$.'

'(1) Важная пример 220, где Jₙ=∫0π/2 cosⁿxdx (где n - неотрицательное целое число), докажите, что Iₙ=Jₙ при n больше или равно 0.'

'Найдите следующие определенные интегралы.'

'Теорема о среднем значении'

'Найдите функцию f(x), удовлетворяющую следующему уравнению: (3) f(x)=1/2 x+∫[0, x](t-x) sin t d t'

'Пожалуйста, объясните определенные интегралы и пределы сумм.'

'Найдите следующий неопределенный интеграл.'

'Применение интеграции'

'Найдите определенный интеграл: \\\int_{0}^{1} \\frac{1}{x^{3}+8} d x\'

"Решите следующее дифференциальное уравнение и найдите максимальное значение. Учитывая что f'(x)=0, тогда x / sqrt(4-x²)=1. Следовательно, sqrt(4-x²)=x. Возводя обе стороны в квадрат, получаем 4-x²=x². Таким образом x²=2, следовательно x=±sqrt(2). Среди них, x>0 поэтому x=sqrt(2). Далее, f''(sqrt(2))=-4/(2*sqrt(2))=-sqrt(2)<0 поэтому x=sqrt(2) имеет максимальное значение. Следовательно, максимальное значение равно f(sqrt(2))=sqrt(2)-2+sqrt(4-2)=2(sqrt(2)-1)."

Проверьте следующее равенство для подмножеств $A, B$ универсального множества $U$, используя диаграмму: \( \overline{(ar{A} \cap B)}=A \cup ar{B} \)