Продвинутые функции - Тригонометрические функции и их применение

'Упражнение 8 III (2)'

'\ \\sin \\theta=x \ и \ -1 \\leqq x \\leqq 1 \, уравнение имеет вид \ 1-2 x^{2}+2 k x+k-5=0 \ или \ 2 x^{2}-2 k x-k+4=0 \ Требуемое условие заключается в том, что квадратное уравнение \\( (*) \\) имеет как минимум одно реальное число в интервале \ -1 \\leqq x \\leqq 1 \. Пусть \\( f(x)=2 x^{2}-2 k x-k+4 \\), и пусть дискриминант \\( f(x)=0 \\) равен \ D \. 1] Условие, что обе решения находятся в интервале \ -1<x<1 \, заключается в том, что график \\( y=f(x) \\) пересекается (включая случай касания) с частью оси \ x \ между \ -1<x<1 \, и следующие условия (i)---(iv) выполняются одновременно. (i) \ D \\geqq 0 \ (ii) \\( f(-1)>0 \\) (iii)\\( f(1)>0 \\) (iv) \ -1< \ ось \ <1 \'

'Условия существования решений тригонометрических уравнений'

'Найдите период функции y = \\sin k \\theta.'

'ПРОВЕРИТЬ 39 ⇒ Стр. 187 в этой книге. (1) \\sin 105^\\circ=\\sin \\left(60^\\circ+45^\\circ\\right)=\\sin 60^\\circ \\cos 45^\\circ+\\cos 60^\\circ \\sin 45^\\circ=\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}+\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}\\cos 105^\\circ=\\cos \\left(60^\\circ+45^\\circ\\right)=\\cos 60^\\circ \\cos 45^\\circ-\\sin 60^\\circ \\sin 45^\\circ=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{6}}{4}\\tan 105^\\circ=\\tan \\left(60^\\circ+45^\\circ\\right)=\\frac{\\tan 60^\\circ+\\tan 45^\\circ}{1-\\tan 60^\\circ \\tan 45^\\circ}=\\frac{\\sqrt{3}+1}{1-\\sqrt{3} \\cdot 1}=\\frac{(\\sqrt{3}+1)^{2}}{1-3}=-2-\\sqrt{3}'

'Найдите максимальное и минимальное значение следующих функций. Обратите внимание, что диапазон θ составляет 0≤θ≤π. (1) y=sin 2θ+√3 cos 2θ (2) y=-4 sinθ+3 cosθ'

'Выразите y = 4sin²θ - 4cosθ + 1 в терминах cosθ.'

'(2) \\\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta=1 \ поэтому, из \ 1-\\cos ^{2} \\theta=\\cos \\theta \, получаем \\\sin ^{2} \\theta=\\cos \\theta\. \\[ \egin{array}{l} \\frac{\\sin ^{4} \\theta+\\cos ^{3} \\theta}{2 \\cos \\theta}=\\frac{(\\sin ^{2} \\theta)^{2}+\\cos ^{3} \\theta}{2 \\cos \\theta}=\\frac{\\cos ^{2} \\theta+\\cos ^{3} \\theta}{2 \\cos \\theta} \\\\=\\frac{\\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta}{2}=\\frac{1}{2} \\end{array} \\]'

'Пусть f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x и g(x)=a x(x-2) (где a>1).'

'(1) Найдите все значения $x$, удовлетворяющие уравнению $\\sin 3 x=-\\sin x$.'

'Найдите количество действительных решений функции f(x)=x^{3}-3 x+1.'

'Пример упражнения 10 Тригонометрические функции и многочлены Чебышева'

'106 4 sin^4 α'

'Предположим, что функция f удовлетворяет f((x+y)/2) ≤ (1/2){ f(x)+f(y)} для вещественных чисел x, y. Докажите, что функция f удовлетворяет f((x1+x2+...+xn)/n) ≤ (1/n){ f(x1)+f(x2)+...+f(xn)} для n вещественных чисел x1, x2, ..., xn.'

'Используя измерение в радианах, преобразуйте следующие углы в радианы.'

'Найдите период функции y = tan kθ.'

'(2) 1 + tan^2 θ = 1/cos^2 θ приводит к cos^2 θ = 1/(1+2^2) = 1/5 следовательно cos θ = ±1/√5'

'Вычислите тригонометрические функции на основе следующих условий. (1) π<θ<2π, следовательно sin θ<0, отсюда sin^2 θ+cos^2 θ=1, так что sin θ=-√(1-cos^2 θ)=-√(1-(12/13)^2)=-5/13 также, tan θ=sin θ/cos θ=(-5/13)÷(12/13)=-5/12'

'(1) Исходя из sin3x = -sinx, у нас получается 3sinx - 4sin^3x = -sinx, что упрощается до 4sinx(1+sinx)(1-sinx) = 0. Следовательно, sinx = 0, ±1. Учитывая, что 0 ≤ x ≤ 2π, мы получаем x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π.'

'Вопрос 2: \\\sin x+ \\sin 2 x+\\sin 3 x+\\sin 4 x = \\text{Что}\'

'Используя радианы, преобразуйте следующие радианы в градусы.'

'Радианы и Тригонометрические функции\nНайдите длину дуги и площадь сектора с радиусом r и центральным углом θ радиан.\nДлина дуги: rθ\nПлощадь: 12r^{2}θ'

'Докажите свойства определенного интеграла для нечётных и чётных функций:'

'Пример 47 | Графики тригонометрических функций (1)\\nПостройте графики следующих функций.\\n(1) y=sin(θ-π/2)\\n(2) y=sinθ+1\\n(3) y=tan(θ+π/2)'

'Пример 98 | Тригонометрические уравнения и неравенства (4)'

'Используя формулу сложения, найдите следующие значения.'

'Определите тригонометрические функции sin θ, cos θ, tan θ общего угла θ на координатной плоскости.'

'Пример упражнения 3 10 Тригонометрические функции и полиномы Чебышева (продолжение)'

'Пример 55 | Формула сложения тангенсов трех углов'

'Решите проблемы, связанные с тригонометрическими уравнениями, тригонометрическими неравенствами и нахождением максимальных и минимальных значений тригонометрических функций.'

'Пример 54 | Значения тригонометрических функций (Теорема сложения)'

'Мне пришла в голову идея использовать координаты для представления форм на плоскости.'

'Найдите максимальное и минимальное значение y=2sin ^{2}θ+3sinθcosθ+6cos ^{2}θ при 0≤θ<2π.'

'Что такое равномерное круговое движение?'

'Пример упражнения 10 Тригонометрические функции и многочлены Чебышева (продолжение) чтобы найти полином 5-ой степени cos 5θ'

'Пример 97 | Тригонометрическое уравнение (используя формулы суммы и произведения)'

'Докажите следующее тригонометрическое тождество:\n\n(4) \\\cos 20^\\circ \\cos 40^\\circ \\cos 80^\\circ\'

'Я рассмотрел использование бесконечного числа тригонометрических функций для представления периодической функции.'

'(1) Для любого угла θ постройте область в плоскости xy, состоящую из точек (x, y), которые удовлетворяют -2≤xcosθ+ysinθ≤y+1, и определите ее площадь. (2) Для любых углов α , β постройте область в плоскости xy, состоящую из точек (x, y), которые удовлетворяют -1≤x²cosα+ysinβ≤1, и определите ее площадь. [Университет Хитоцубаши]'

'Исследуйте максимумы и минимумы тригонометрических функций в данном уравнении и решите проблемы, включая их применение к геометрии.'

'Тригонометрические функции и многочлены Чебышёва'

'(3) Из уравнения $\\sin \\theta +\\sin ^{2} \\theta=1$ имеем $1-\\sin ^{2} \\theta=\\sin \\theta$, следовательно $\\cos ^{2} \\theta=\\sin \\theta$. Подставим в уравнение $\\cos ^{2} \\theta+2 \\cos ^{4} \\theta=\\cos ^{2} \\theta+2(\\cos ^{2} \\theta)^{2}=\\sin \\theta+2 \\sin ^{2} \\theta=\\sin \\theta+2(1-\\sin \\theta)=2-\\sin \\theta \\ldots 1$. Из уравнения $\\sin \\theta +\\sin ^{2} \\theta=1$ получим $\\sin ^{2} \\theta+\\sin \\theta-1=0$, решив которое получим $\\sin \\theta=\\frac{-1 \\pm \\sqrt{5}}{2}$. Учитывая, что $-1 \\leq \\sin \\theta \\leq 1$, получим $\\sin \\theta=\\frac{-1+\\sqrt{5}}{2}$ (1), подставив, найдем $\\cos ^{2} \\theta+2 \\cos ^{4} \\theta=2-\\frac{-1+\\sqrt{5}}{2}=\\frac{5-\\sqrt{5}}{2}$.'

None

'(2) \\sin 15 ^ {\\circ} = \\sin \\left(60 ^ {\\circ} -45 ^ {\\circ} \\right) = \\sin 60 ^ {\\circ} \\cos 45 ^ {\\circ} - \\cos 60 ^ {\\circ} \\sin 45 ^ {\\circ} = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} - \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{2}}{4} \\cos 15 ^ {\\circ} = \\cos \\left(60 ^ {\\circ} -45 ^ {\\circ} \\right) = \\cos 60 ^ {\\circ} \\cos 45 ^ {\\circ} + \\sin 60 ^ {\\circ} \\sin 45 ^ {\\circ} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4} \\tan 15 ^ {\\circ} = \\tan \\left(60 ^ {\\circ} -45 ^ {\\circ} \\right) = \\frac{\\tan 60 ^ {\\circ} - \\tan 45 ^ {\\circ}}{1+\\tan 60 ^ {\\circ} \\tan 45 ^ {\\circ}} = \\frac{\\sqrt{3}-1}{1+\\sqrt{3} \\cdot 1} = \\frac{(\\sqrt{3}-1)^{2}}{\\sqrt{3}+1)(\\sqrt{3}-1)} = \\frac{3-2\\sqrt{3}+1}{3-1} = 2-\\sqrt{3}'

'Пример упражнения 10 Тригонометрические функции и многочлены Чебышева (продолжение)'

'Пример 50 => Страница 180\n(1) - это график y=cosθ, симметрично перенесенный относительно оси θ. График показан справа. Кроме того, период равен 2π.'

'Из условия, tan𝛼+tan𝛽+tan𝛾=tan𝛼tan𝛽tan𝛾'

'Пусть углы между двумя прямыми и положительным направлением оси x будут обозначены как α и β. Искомый острый угол θ при условии, что tanα=√3/2, tanβ=-3√3, равен tanθ=tan(β-α)=(-3√3-√3/2)÷{1+(-3√3)∙√3/2}=√3, где 0<θ<π/2, поэтому θ=π/3'

'124\n—Математика II\n(2) Левая сторона = \\frac {\\cos \\ theta(1- \\sin \\ theta) + \\cos \\ theta(1+ \\sin \\ theta)}{(1+ \\sin \\ theta)(1- \\sin \\ theta)}= \\frac {2\\cos \\ theta}{1- \\sin ^{2} \\theta} \\frac {2\\cos \\ theta}{\\cos ^{2} \\theta}= \\frac {2}{ \\cos \\ theta} Следовательно, \\frac {\\cos \\theta}{1+ \\sin \\theta}+ \\frac {\\cos \\theta}{1- \\sin \\theta}= \\frac {2}{\\cos \\theta}'

'(1) f(θ)=\\frac{1}{2} \\sin θ=\\frac{1}{2} \\sin (θ+2 \\pi)=f(θ+2 \\pi)\nСледовательно, основной период равен 2 \\pi\n(2) f(θ)=\\cos (-2 θ)=\\cos (-2 θ-2 \\pi)=\\cos \\{-2(θ+ \\pi)\\}=f(θ+\\pi)\nСледовательно, основной период равен \\pi'

'(4) \\[ \egin{aligned} \\sin x+\\sin 2 x+\\sin 3 x & =(\\sin 3 x+\\sin x)+\\sin 2 x \\\\ & =2 \\sin 2 x \\cos x+\\sin 2 x \\\\ & =\\sin 2 x(2 \\cos x+1) \\\\ \\cos x+\\cos 2 x+\\cos 3 x & =(\\cos 3 x+\\cos x)+\\cos 2 x \\\\ & =2 \\cos 2 x \\cos x+\\cos 2 x \\\\ & =\\cos 2 x(2 \\cos x+1) \\end{aligned} \\]'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Вопрос 145 Условия существования экстремума функции в заданном диапазоне'

'Учитывая уравнение \\[ \egin{array}{l} 2 \\cdot 2 \\sin \\theta \\cos \\theta-2 \\sin \\theta+2 \\sqrt{3} \\cos \\theta-\\sqrt{3}=0 \\\\ 2 \\sin \\theta(2 \\cos \\theta-1)+\\sqrt{3}(2 \\cos \\theta-1)=0 \\end{array} \\] Следовательно, \\( (2 \\sin \\theta+\\sqrt{3})(2 \\cos \\theta-1)=0 \\) что означает \ \\sin \\theta=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\cos \\theta=\\frac{1}{2} \ Учитывая \ 0 \\leqq \\theta<2 \\pi \, из \ \\sin \\theta=-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \ мы получаем \ \\theta=\\frac{4}{3} \\pi, \\frac{5}{3} \\pi \ а из \ \\cos \\theta=\\frac{1}{2} \ мы получаем \ \\theta=\\frac{\\pi}{3}, \\frac{5}{3} \\pi \\] Следовательно, решениями являются \\[ \\theta=\\frac{\\pi}{3}, \\frac{4}{3} \\pi, \\frac{5}{3} \\pi \'

'Решите следующие уравнения и неравенства.'

'Неравенство, которое включает тригонометрические функции, называется тригонометрическим неравенством, и решение тригонометрического неравенства заключается в поиске диапазона углов (решения), удовлетворяющих этому неравенству.'

'График представляет собой вертикальное сжатие вдвое функции y=tanθ. График справа - это сжатая версия. Период равен π, а асимптота - линия θ=π/2+nπ (n - целое число).'

'Отношения тригонометрических функций'

'Используя формулы суммы и удвоения угла, докажите следующие уравнения (формула утроенного угла).'

'Найдите значения θ, которые удовлетворяют следующим уравнениям для 0≤θ<2π.'

'Решите следующие уравнения и неравенства для \0 \\leqq \\theta<2 \\ pi\.'

'Объясните определения тригонометрических функций sin, cos и tan.'

'Докажите следующие тригонометрические отношения, основываясь на определении -sin(θ): (i) tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) (ii) sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1 (iii) 1 + tan^2(θ) = 1 / cos^2(θ)'

'Рассмотрим функцию y=sin x-cos 2 x(0 ≤ x <2π).'

'Как запомнить формулу сложения, удвоенного угла и половинного угла'

'Овладейте тригонометрическими уравнениями и покорите пример 123!'

'(1) \ \\cos \\theta=\\frac{12}{13} \\quad \ [четвертый квадрант \ ] \\n(2) \ \\tan \\theta=2 \\sqrt{2} \\quad \ [третий квадрант]'

'Пример 5: Практическое максимальное и минимальное значение тригонометрических функций'

'Учитывая, что α - угол во второй четверти, где sinα=3/5, и β - угол в третьей четверти, где cosβ=-4/5, найдите значения sin(α-β) и cos(α-β).'

'Докажите уравнение \\\frac{\\sin \\alpha+\\sin 2 \\alpha}{1+\\cos \\alpha+\\cos 2 \\alpha}=\\tan \\alpha\.'

'Освойте принцип сложения и покорите пример 130!'

'\2\\sin x=t\, подставим это, тогда \0 \\leq x<2 \\pi\, поэтому \-1 \\leq t \\leq 1\. Кроме того, из уравнения (1) у нас есть\\n\\ny = 2 t^2 + t - 1 = 2 (t^2 + \\frac{1}{2}t) - 1 = 2 (t + \\frac{1}{4})^2 - 2 (\\frac{1}{4})^2 - 1 = 2 (t + \\frac{1}{4})^2 - \\frac{9}{8}\\n\ =t\. Обратите внимание на изменение \t\. Преобразуйте квадратное уравнение к основной форме. Поэтому, \y\ принимает максимальное значение 2 при \t=1\ и минимальное значение -\\frac{9}{8} при \t=-\\frac{1}{4}\.'

'Решите следующие уравнения и неравенства для 0≤θ<2π. (1) sin(2θ-π/3) = √3/2 (2) sin(2θ-π/3) < √3/2'

'Уравнения, верные для тригонометрических функций, где n - целое число.'

'Найдите максимальное и минимальное значения следующих функций.'

'Максимум и минимум тригонометрических функций (используя t=sinθ+cosθ)'

'Решите следующие уравнения и неравенства для 0 ≤ θ < 2π.'

'Найдите максимальные и минимальные значения функций и соответствующие значения θ. (1) y=sin ^{2}θ+cosθ+1 (0≤θ<2π) (2) y=3sin^{2}θ-4sinθcosθ-1/cos^{2}θ (0≤θ≤π/3)'

'График тригонометрических функций (3) ... Масштабирование и смещение'

'Найдите максимальное значение, минимальное значение и соответствующие значения θ функции y=7sin^2θ-4sinθcosθ+3cos^2θ(0 ≤ θ ≤ π/2).'

'Уравнения и неравенства, содержащие тригонометрические функции (подстановка)'

'Объясните расширение тригонометрических отношений до тригонометрических функций и предоставьте определения синусаθ, косинусаθ, тангенсаθ для общего угла θ.'

'Найдите угол, образованный двумя линиями, используя формулу сложения тангенса (tan)'

'На указанной выше диаграмме показаны графики функций (1) y=a sin bθ и (2) y=a cos bθ. Найдите значения констант a и b. Обратите внимание, что a>0, b>0.'

'Взаимосвязь тригонометрических функций'

'Формулы удвоенного и половинного угла вместе со значением тригонометрии'

'Найдите максимальные и минимальные значения функции y = 3sinθ-2sin³θ (0 ≤ θ ≤ 7/6π), и соответствующие значения θ.'

'Найдите значения угла, удовлетворяющие следующим уравнениям.'

'Найдите значения θ, удовлетворяющие следующим уравнениям для 0 ≤ θ < 2π.'

'Уравнения и неравенства, включающие тригонометрические функции (с использованием композиции)'

'Используя три формулы сложения с β=α: (1) Вычислите следующее, используя формулы: (a) sin 2α (b) Предоставьте другое выражение для cos 2α: cos^2α - sin^2α, 2 cos^2α - 1, 1 - 2 sin^2α (c) tan 2α (2) Замените все значения на θ/2 и вычислите: (a) sin^2(θ/2) (b) cos^2(θ/2) (c) tan^2(θ/2)'

'Найдите максимальное и минимальное значения функции y=√3sinθ-cosθ (0≤θ<2π) и их соответствующие значения θ. Также постройте график функции.'

'Максимум и минимум тригонометрических функций (использование композиции)'

'Уравнение, включающее тригонометрические функции (с использованием sin^2θ + cos^2θ = 1)'

'Значения углов тригонометрических функций, изученных до настоящего момента, таких как \ \\sin \\theta, \\cos \\theta \, обычно выражают в градусах, например, \ 30^{\\circ}, 360^{\\circ} \. Это известно как градусная система, где 1 градус равен \ \\frac{1}{90} \ прямого угла.'

'В тригонометрии есть формулы для преобразования произведения синуса и косинуса в сумму и разность, а также наоборот.'

'Система неравенств, включающая тригонометрические функции'

'Выведите выражение после деления 3 sin² θ - 4 sin θ cos θ - 1 на cos² θ, и найдите максимальное и минимальное значения в диапазоне 0 ≤ θ ≤ π/3.'

'Для функции f(x) = sin(2x) − 2 sin(x) − 2 cos(x) + 1 (0 ≤ x ≤ π)'

'Когда x > 1, поскольку 4(x²-1) > 0 и 1/(x²-1) > 0, мы можем заключить следующее неравенство на основе того, что арифметическое среднее больше или равно геометрическому среднему. 4(x²-1)+1/(x²-1)+4 ≥ 2√(4(x²-1)・1/(x²-1))+4 = 8. Следовательно, 4x² +1/((x+1)(x-1)) ≥ 8, при этом равенство достигается, когда 4(x²-1)=1/(x²-1). В этом случае (x²-1)²=1/4. Поскольку x > 1, то x²-1=1/2, что означает x²=3/2, поэтому x=√(3/2)=√6/2. Таким образом, минимальное значение выражения 4x² + 1/((x+1)(x-1)) равно 8, при этом x равен 2√(3/2) = √(6)/2.'

'Решите следующие неравенства для 0 ≤ θ < 2π.'

'Базовый пример 124 Решите следующее уравнение для 0 ≤ θ < 2π: 2sin²θ + cosθ - 1 = 0'

'Докажите следующие уравнения.'

'Используя формулу сложения, найдите следующие значения.'

'Если функция $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ имеет максимальное значение 0 при $x=1$, и график кривой $y=f(x)$ выглядит как на правой картинке,'

'(1) \\( \\cos \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{4}\\right)=-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\)\\n(2) \2 \\sin 2 \\theta>\\sqrt{3} \'

'График тригонометрических функций и параллельного смещения / масштабирования'

'Решите следующие тригонометрические уравнения.'

'Докажите следующее уравнение.'

'Тригонометрические функции вокруг вас'

'Найдите максимальные и минимальные значения следующих функций и соответствующие значения θ.'

'Найдите следующие значения.'

'Система неравенств, включающая тригонометрические функции'

'Какой из следующих графиков не соответствует графику !ν в пределах от 0 до π? Варианты ответа: (0) y = sin(2θ + π/2) (1) y = sin(2θ - π/2) (2) y = cos{2(θ + π)} (3) y = cos{2(θ - π)}'

'Преобразование тригонометрических выражений'

'Максимум и минимум тригонометрических функций (сведение к квадратичным функциям)'

'Основы радианов, длина дуги и площадь сектора'

'Найдите максимальное и минимальное значения функции y=3sinθ+4cosθ.'

'График тригонометрической функции (1) - Увеличить/Уменьшить'

'Когда 0 ≤ θ ≤ π и sinθ+cosθ=√3/2, найдите значение следующего выражения.'

'Неравенство, включающее тригонометрические функции (используя sin^2θ + cos^2θ = 1)'

'Докажите двойные угловые формулы.'

'Вычислите площадь, ограниченную кривой y=|x^2-1| и прямой y=3.'

'Докажите, что \ \\sin 3 \\alpha = 3 \\sin \\alpha - 4 \\sin ^{3} \\alpha \.'

'Говорят, что чувство радости от учебы важно, но почему такое мнение влияет на память?'

'Объясните разницу между физическим изменением и химическим изменением.'

'Найдите значение sin(45 градусов).'

'(1) В приведенном выше примере вычислите величину ускорения точки P.'

'Найдите полярное уравнение кривой \\( \\left(x^{2}+y^{2}\\right)^{3}=4 x^{2} y^{2} \\). Кроме того, нарисуйте общую форму этой кривой, считая начало координат \ \\mathrm{O} \ полюсом, а положительную часть оси \ x \ начальной линией.'

'Пожалуйста, опишите характеристики графика y=√(ax) (где a ≠ 0).'

'Точки, которые следует учитывать при наброске контура графика функции'

'\\[\\left(\\sin ^{-1} x\\right)^{\\prime}=\\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}}(-1<x<1)\\]'

'Пусть a>0, функция задана как f(x)=\\sqrt{a x-2}-1 (x \\geqq \\frac{2}{a}) . Найдите диапазон значений a, когда график функции y=f(x) и её обратная функция y=f^{-1}(x) имеют две различные точки.'

'Ключевые моменты в методе замены определенного интегрирования'

'Найдите уравнение кривой C2, полученной путем вращения кривой C1: 3x^2+2\\sqrt{3}xy+5y^2=24 против часовой стрелки на π/6 радиан вокруг начала координат.'

'Рассмотрим изменение значений функции, максимум и минимум, кривую C: {x=sin(θ) cos(θ), y=sin^3(θ) + cos^3(θ)} (-π / 4 ≤ θ ≤ π / 4).'

'Почему можно успешно вычислить определенные интегралы $\\int_{0}^{\\sqrt{2}} \\frac{d x}{x^{2}+2}$ и $\\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\sqrt{a^{2}-x^{2}} d x$ путем substituting $x=\\sqrt{2} \\tan \\theta$ и $x=a \\sin \\theta?'

'Найдите асимптоты функции y = x + 1 + 1 / (x - 1).'

'Найдите объем V тела, полученного путем вращения области, ограниченной кривой x=tanθ, y=cos2θ (-π/2<θ<π/2), и осью x вокруг оси x один раз.'

'Используя формулу Эйлера, выразите тригонометрические функции как экспоненциальные функции и выведите следующие уравнения.'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Выразите кривые, представленные следующими полярными уравнениями, в прямоугольных координатах.'

'\\(\\left(\\cos ^{-1} x\\right)^{\\prime}=-\\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}}(-1<x<1)\\)'

'Базовый 2: Перенос и Определение Функций С Дробями'

'Когда график функции $y=\x0crac{2 x+c}{a x+b}$ проходит через точку $(-2, \x0crac{9}{5})$ и имеет две прямые $x=-\x0crac{1}{3}$, $y=\x0crac{2}{3}$ в качестве асимптот, найдите значения констант $a, b, c$.'

'Докажите, что для точки P(x, y), движущейся по окружности эллипса A x^{2}+B y^{2}=1 (A>0, B>0) со скоростью 1, выполняются следующие утверждения.'

'Когда координаты точки P, движущейся в координатной плоскости в момент t, задаются следующими выражениями, найдите величину скорости и ускорения точки P.'

'Когда координаты (x, y) двигающейся точки P на координатной плоскости в момент t представлены как {x=sin t y=12 cos 2 t}, найдите максимальное значение величины скорости P.'

'Докажите, что неравенство \ b \\sin \\frac{a}{2}>a \\sin \\frac{b}{2} \ выполняется при \ 0<a<b<2\\pi \.'

'Когда точка P движется вдоль числовой прямой, ее координата x как функция времени t задается как x=2cos(πt+π/6), найдите скорость v и ускорение α при t=2/3.'

'На координатной плоскости с началом O рассмотрим кривую $C: \\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$, где взята точка P(1, $\\frac{\\sqrt{3}}{2}$).'

'Докажите, что у уравнения f(x)=x^{2} есть как минимум 2 вещественных решения в диапазоне 0<x<2, когда функция f(x) непрерывна и f(0)=-1, f(1)=2, f(2)=3.'

'(1) \ \\sin 175^{\\circ} < \\sin 35^{\\circ} < \\sin 140^{\\circ} \'

'Пусть 0°≤θ≤180°. Решите следующее уравнение.'

''

'Пусть 0° ≤ θ ≤ 180°. Решите следующее уравнение.'

''

'Найдите синус, косинус и тангенс следующих углов.'

'Используя таблицу тригонометрических функций в конце, найдите следующие значения θ.'

''

'В треугольнике ABC, если sin A: sin B: sin C = 5: 16: 19, найдите меру наибольшего угла в этом треугольнике.'

''

'Найдите квадратичные функции, представленные следующими графиками.'

'Выразите следующие тригонометрические функции в терминах углов между 0 градусов и 90 градусов. Также найдите их значения, используя тригонометрическую таблицу в конце.'

'Используя теорему косинусов, мы находим значение a.'

''

'В треугольнике ABC, если sinA: sinB: sinC = 3: 5: 7, найдите отношение cosA: cosB: cosC. (Университет Тохоку Гакуин)'

'Вычислите тригонометрические функции и покажите результаты.'

'(1) \\sin 111^{\\circ}\\n(2) \\cos 155^{\\circ}\\n(3) \\tan 173^{\\circ}'

'Для 0° ≤ θ ≤ 180° найдите диапазон θ, который удовлетворяет следующим неравенствам.'

'В треугольнике ABC, если sin A: sin B: sin C = 5: 7: 8, то cos C = __.'

'От рисунка (1) до P(-1, 1)'

'От 2sinθ = sqrt(2) до sinθ = 1 / sqrt(2). Точки P и Q на полукруге с радиусом 1, где координата y равна 1 / sqrt(2), являются точками для рассмотрения. Требуемый угол θ - это ∠AOP и ∠AOQ.'

'Расширение тригонометрических функций: Найдите тригонометрические функции, когда угол находится в диапазоне от 0° до 360°.'

'(4) Решите уравнение. Учитывая 0 ≤ θ ≤ 180°. Решите уравнение: √2 sinθ = tanθ'

'В треугольнике ABC, если sin A:sin B:sin C = 3:5:7, найдите соотношение cos A:cos B:cos C.'

'Объясните определение и отношения тригонометрических функций. (1) Определение тригонометрических функций (2) Отношения тригонометрических функций (3) Тригонометрические функции в специальных углах'

'Когда следует использовать страницу Расширенные примеры и Упражнения?'

'Преобразование переменных'

'В примерах анализа движения графиков функций и геометрических фигур, какой цифровой контент можно использовать для соединения визуальных изображений с математическими уравнениями для обучения?'

'Обзор тригонометрических функций'

'Синус или косинус?'

'Давайте вспомним синусовое и косинусовое правила!'

'По порядку, \\\\( \\cos 20^{\\circ}, \\\\ \\sin 10^{\\circ}, \\\\ \\frac{1}{\\tan 35^{\\circ}} \\\\\\\n'

'Объясните отношения между необходимыми и достаточными условиями.'

'Применение треугольников'

'Дополнение для синуса, косинуса и тангенса 0°, 90° и 180°\n\nПри θ=0°, в формуле определения тригонометрических отношений при r=1 и точке P₀ с координатами (1,0),\nсинус 0°=0, \nкосинус 0°=1, \nтангенс 0°=0\n\nПри θ=90°, в формуле определения тригонометрических отношений при r=1 и точке P₁ с координатами (0,1),\nсинус 90°=1, \nкосинус 90°=0\n\nПри θ=180°, в формуле определения тригонометрических отношений при r=1 и точке P₂ с координатами (-1,0),\nсинус 180°=0, \nкосинус 180°=-1, \nтангенс 180°=0'

'Использование таблиц тригонометрических функций для нахождения углов'

'Найдите sin θ треугольника AED.'

'θ - это взаимосвязь тригонометрических отношений от 0° до 180°'

'Решить математическую задачу'

'Найдите значение косинуса из формулы отношения синуса'

'Искомое решение заключается в том, что поскольку график функции y=|x^2-6x-7| либо пересекает, либо полностью находится выше графика y=2x+2,'

'Используя закон Де Моргана, пожалуйста, предоставьте конкретный пример с множествами A, B и C.'

'(6) Тригонометрические функции-117'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'В треугольнике ABC, если sinA/sqrt(3)=sinB/sqrt(7)=sinC верно, найдите меру наибольшего угла.'

'Значение тождества тригонометрической симметрии'

'Тригонометрические пропорции 15 градусов'

'(1) Используя таблицу тригонометрических функций, найдите значения синуса, косинуса и тангенса для 128°.\n(2) Пусть sin 27° = a. Выразите косинус 117° через a.'

'θ (тригонометрическое уравнение), удовлетворяющее тригонометрическому тождеству'

'Докажите, что для треугольника ABC с углами A, B и C, обозначенными как A, B и C, следующие уравнения верны.'

'Правило синуса или правило косинуса?'

'Тригонометрические отношения при θ является острым углом'

'Следующие два уравнения также верны. \ \egin{\overlineray}{l} b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \\cos B \\\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \\cos C \\ \\end{\overlineray} \\] Суммируя это как правило косинусов: \\[ \egin{\overlineray}{l} a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \\cos A \\\\ b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \\cos B \\\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \\cos C \\ \\end{\overlineray} \\] Докажите следующие равенства в треугольнике ABC из правила косинусов. \\[ \\cos A = \\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} , \\quad \\cos B = \\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2 c a}, \\quad \\cosC = \\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b} \'

'Докажите, что для внутренних углов A, B, C треугольника ABC справедливы следующие уравнения:'

'Давайте вспомним теорему синусов и теорему косинусов!'

'Найти значения тригонометрических функций для тупых углов'

'Решите уравнения: sin aθ = sin bθ, sin aθ = cos bθ'

'Объясните, как использовать книгу для поиска решений.'

'Поскольку $\\ frac { \\ pi} {6} <1 < \\ frac { \\ pi} {3}, \\ frac { \\ pi} {2} <2 < \\ frac {2} {3} \\ pi, \\ frac {5} {6} \\ pi <3 < \\ pi$, то $\\ frac {1} {2} < \\ sin 1 < \\ frac {\\ sqrt {3}} {2}, \\ frac {\\ sqrt {3}} {2} < \\ sin 2 <1,0 < \\ sin 3 < \\ frac {1} {2}$. Следовательно, минимальное положительное значение в $\\ sin 1, \\ sin 2, \\ sin 3, \\ sin 4$ равно $\\ sin 3$, а максимальное значение равно $\\ sin 2$.'

'Найдите следующие значения.'

''

'Давайте рассмотрим отношение между движением (траекторией) чашек с кофе в парке аттракционов и тригонометрическими функциями. Когда диск 1 завершает один полный круг по часовой стрелке, в то время как диск 2 с радиусом в половину завершает два круга против часовой стрелки, какую траекторию описывает точка C на диске 2?'

'Решите следующие уравнения и неравенства для 0 ≤ θ < 2π. (1) cos 2θ = √3 cosθ + 2 (2) sin 2θ < sinθ'

'Как нарисовать график кубической функции - создание таблицы возрастания и убывания'

'Максимум и минимум тригонометрических функций (1)'

''

'Докажите уравнение 1 + sin θ - cos θ / 1 + sin θ + cos θ = tan(θ/2).'

'Значение тригонометрической функции (1)'

'Используя формулу сложения, найдите следующие значения.'

'Глава 4 Тригонометрические функции 195'

'Пример 128 Используя теорему сложения'

'Найдите максимальное и минимальное значения однородного уравнения 1372 𝑓(𝜃)=sin^{2}𝜃+sin𝜃cos𝜃+2cos^{2}𝜃 (0≤𝜃≤𝜋/2).'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Найдите диапазон постоянной k, при которой кривая y=x^3-2x+1 и прямая y=x+k имеют 3 различные точки пересечения.'

''

'Сумма и разность двух углов α и β, представленные в терминах тригонометрических функций α и β, известны как тригонометрическая формула сложения.'

'Решите следующее уравнение или неравенство при 0 ≤ θ < 2π. 2) sin 2θ + sin θ - cos θ > 1/2'

'Найдите значения $a$ и $b$ так, чтобы максимальное значение функции $f(\\theta)=a \\cos ^{2} \\theta+(a-b) \\sin \\theta \\cos \\theta+b \\sin ^{2} \\theta$ было равно $3+\\sqrt{7}$, а минимальное значение было равно $3-\\sqrt{7}$.'

None

'\ \\sin 15^{\\circ} \'

'Период тригонометрических функций'

'Почему график y=sinθ в Примере 118(3) не уменьшается вдвое в направлении оси θ?'

'Вычислите значения следующих тригонометрических функций.'

'Для функции \ y=\\sin 2 \\theta+\\sin \\theta+\\cos \\theta \:'

''

'Ниже приведены графики функций (1) и (2). Рассчитайте значения от A до H. (1) y=sin θ (2) y=cos θ'

'Докажите следующие уравнения.'

'Постройте графики следующих функций и определите их периоды:'

'График тригонометрических функций (1)'

'Среди sin 1, sin 2, sin 3, sin 4 отрицательное значение является A. Минимальное значение положительных значений - B, а максимальное значение - C.'

'Взаимосвязи тригонометрических функций'

'(1) \\sin \\frac{13}{4} \\pi'

''

'Пусть a>1 будет углом практики 190°. Для функции y=2x^{3}-9x^{2}+12x, где 1≤x≤a, (1) найдите минимальное значение. (2) найдите максимальное значение.'

''

'На плоскости $x y$, кривая $y=f(x)$ всегда проходит через две постоянные точки независимо от значения $a$. Каковы координаты этих двух постоянных точек? Определите диапазон значений $a$, для которых $f(x)$ не имеет экстремумов.'

'Пожалуйста, объясните периодичность тригонометрических функций.'

'Для внутренних углов A, B и C треугольника ABC с углами 120 градусов, ответьте на следующие вопросы:'

'Найдите значения синуса, косинуса и тангенса угла 195 градусов.'

'Найдите общий член последовательности {an}, определенной следующими условиями, используя подстановки в скобках.'

'Вычислите значения следующих тригонометрических функций.'

'Докажите формулы произведения в сумму и суммы в произведение'

'Найдите максимальные и минимальные значения функции y=2sinθ+2cos²θ-1 (-π/2 ≤ θ ≤ π/2) и значения θ, при которых достигаются максимальные и минимальные значения.'

''

'Найти максимальные и минимальные значения данных функций. Также определить значения θ в этот момент.'

'Используя формулу половинного угла, найдите следующие значения. (1) $\\sin \\frac{3}{8} \\pi$ (2) $\\cos \\frac{3}{8} \\pi$ (3) $\\tan \\frac{3}{8} \\pi$'

'Давайте подумаем о методе решения тригонометрических уравнений и неравенств (квадратных уравнений). Существует способ решить тригонометрические уравнения и неравенства, которые включают в себя несколько тригонометрических функций, как в основном примере 124.'

'Решите следующие уравнения и неравенства для 0 ≤ θ < 2π. (1) cos 2θ - 3cosθ + 2 = 0 (2) sin 2θ > cosθ'

'(2) \ \\sin \\theta=\\frac{\\sqrt{6} \\pm \\sqrt{2}}{4} \,\\n\ \\cos \\theta=\\frac{-\\sqrt{6} \\pm \\sqrt{2}}{4} \ (комплексно сопряженное в том же порядке)'

'Графики тригонометрических функций (2)'

'Выразите данные значения в терминах тригонометрических функций углов от 0 до $\\ frac {\\ pi} {4}$. (1) $\\ sin \\ frac {5} {9} \\ pi$ (2) $\\ cos \\ \\ frac {7} {5} \\ pi$ (3) $\\ tan \\ left(- \\ frac {10} {7} \\ pi \\ right)$'

'Пусть f(x)=3x^3+ax^2+(3a+4)x. (1) На плоскости xy кривая y=f(x) всегда проходит через две фиксированные точки. Найдите координаты этих двух фиксированных точек. (2) Определите диапазон значений a, при которых f(x) не принимает экстремумов.'

'Докажите следующие тригонометрические тождества.'

'140 \\quad \\n¥( \\theta=\\frac{\\pi}{4}, \\frac{\\pi}{3}, \\frac{3}{4} \\pi, \\frac{5}{4} \\pi, \\frac{5}{3} \\pi, \\frac{7}{4} \\pi )'

'Формулы сложения'

'Выразите следующие выражения в форме $r \\sin(\\theta+\\alpha)$. Учитывая, что $r>0,-\\pi<\\alpha \\leqq \\pi$.\n(1) $\\cos \\theta-\\sqrt{3} \\sin \\theta$\n(2) $3 \\sin \\theta+2 \\cos \\theta$'

"Пусть OB'=r, и пусть α - это угол между OB' и положительным направлением оси x."

'Докажите, что следующие уравнения справедливы, когда t = tan(θ/2) (t ≠ ±1).'

'Доказательство тригонометрических тождеств'

'Преобразуйте заданные углы в радианы.'

'Пожалуйста, предоставьте подробное описание важных моментов, которые следует учитывать при работе над важными кейс-исследованиями.'

'Выберите подходящий вариант ответа для каждой из следующих групп ответов: Н и С. Порядок вариантов не имеет значения.'

'Давайте построим кривую вашего роста.'

'Выразите следующие тригонометрические отношения в терминах углов менее 45°.'

'На рисунке (а) найдите значения \ \\sin \\theta, \\cos \\theta, \\tan \\theta \.'

'Найдите диапазон значений для θ, который удовлетворяет следующим неравенствам при 0° ≤ θ ≤ 180°.'

'(1) \ \\sin \\theta = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\\nНа полукруге с радиусом 1 точки P и Q - это точки, в которых координата y равна \ \\frac{\\sqrt{3}}{2} \, как показано на правой диаграмме. Углы, которые необходимо определить, - \ \\angle AOP \\text { и } \\angle AOQ\\\nСледовательно\\n\ \\theta = 60^{\\circ}, 120^{\\circ} \'

'Пусть θ будет острым углом. Когда sin θ = 12/13, найдите значения cos θ и tan θ.'

'Используя диаграмму справа, найдите значения sin 15°, cos 15°, tan 15°.'

'Пусть 0°<θ<180°. Когда 4cosθ+2sinθ=√2, найдите значение tanθ.'

'Возьмем 0°≤θ≤180°. Когда одно из sinθ, cosθ, tanθ принимает определенное значение, найдите два других значения.'

'Отношения между тригонометрическими функциями (1)'

'Пусть θ находится между 0° и 180°. Найдите диапазон значений θ, при которых уравнение второй степени x^2-(cosθ)x+cosθ=0 имеет два различных вещественных корня, оба из которых находятся в диапазоне -1<x<2.'

'Пусть θ будет острым углом. Найдите значение выражения (sinθ+cosθ)², когда tanθ=√7.'

'Постройте график следующих функций.'

'Каково значение sin 140 градусов + cos 130 градусов + tan 120 градусов?'

'Тригонометрия - это метод, разработанный для измерения таких вещей, как расстояние до далеких объектов и высот, которые нельзя измерить непосредственно, его история уходит в глубокую древность. Здесь мы обсудим метод вычисления высоты горы с использованием тригонометрии.'

'Найдите диапазон значений θ, удовлетворяющий следующим неравенствам при 0° ≤ θ ≤ 180°: (1) sin θ > 1/2 (2) cos θ ≤ 1/√2 (3) tan θ < √3'

'При 0° < θ < 90°, y = 2 tan^2(θ) - 4 tan(θ) + 3'

'Найдите значение выражения cos²20°+cos²35°+cos²45°+cos²55°+cos²70°.'

'\\Следовательно\\cos ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 45^{\\circ}+\\cos ^{2} 55^{\\circ}+\\cos ^{2} 70^{\\circ} \\ = \\cos ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 45^{\\circ}+\\sin ^{2} 35^{\\circ}+\\sin ^{2} 20^{\\circ} \\ = \\left(\\sin ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 20^{\\circ}\\right)+\\left(\\sin ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}\\right)+\\cos ^{2} 45^{\\circ} \\ = 1+1+\\left(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^{2}=\\frac{5}{2}'

''

'Найдите максимальное и минимальное значения следующей функции, а также соответствующие значения θ.'

''

'По закону косинусов'

'Обратитесь к таблице тригонометрии и ответьте на следующий вопрос. Когда θ = 37°, найдите значения sin θ, cos θ, tan θ.'

'Используя диаграмму справа, найдите значения sin 22.5 градусов, cos 22.5 градусов и tan 22.5 градусов.'

'Найдите значение θ, удовлетворяющее следующему уравнению при 0° ≤ θ ≤ 180°: (6) √3 tanθ + 1 = 0'

'Найдите максимальное и минимальное значения y = sin^2θ + cosθ - 1 для 0° ≤ θ ≤ 180°. Также определите значения θ в этих точках.'

'В предложении "если p, то q", пусть множество элементов, удовлетворяющих условию p, обозначается как P, а множество элементов, удовлетворяющих условию q, как Q. Когда предложение "если q, то p" истинно, по отношению к его контрпозитиву, ∎ верно. Выберите правильный вариант для заполнения пустого места.'

'Найдите следующие тригонометрические отношения.'

'Значение симметричной тригонометрической функции'

''

'Значения и преобразования тригонометрических функций для тупых углов'

'Для PR 0° ≤ θ ≤ 180° найдите значения θ, удовлетворяющие следующему уравнению: (6)√3 tan θ + 1 = 0'

'Основные тригонометрические соотношения 108 Пусть θ будет острым углом. (1) Когда sin θ = 2/√13, найдите значения cos θ и tan θ. (2) Когда tan θ = √5/2, найдите значения sin θ и cos θ.'

'Тригонометрические функции специальных углов'

'Применение тригонометрии'

'Выразите следующие тригонометрические отношения как тригонометрические отношения углов от 0° до 90° и найдите их значения, используя таблицу тригонометрических функций. (1) sin 111° (2) cos 155° (3) tan 173°'

'Вопрос 5 (2) Найдите тангенс второго по величине угла в треугольнике ABC.'

'Тригонометрические отношения (0° <= θ <= 180°)'

'Создать функцию примера 57'

'Тригонометрические тождества и значения'

'Когда θ равен 75°, найдите значение tan θ.'

'В треугольнике ABC, если sin A: sin B: sin C = 5:16:19, найдите размер наибольшего угла в этом треугольнике.'

'Вопрос 10'

'Найдите синус, косинус и тангенс следующих углов. (1) 135 градусов (2) 150 градусов (3) 1'

'В треугольнике ABC, если ∠A=α, ∠B=β, ∠C=90 градусов, докажите, что выполняются следующие неравенства: (1) sinα+sinβ>1 (2) cosα+cosβ>1'

'Решение тригонометрических уравнений'

'Докажите взаимосвязи следующих тригонометрических тождеств: $\\sin^2 \\theta + \\cos^2 \\theta = 1, \\tan \\theta = \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}, 1 + \\tan^2 \\theta = \\frac{1}{\\cos^2 \\theta}$.'

'Выберите два варианта, равные sin 44°, среди следующих вариантов. (1) sin 46° (2) cos 46° (3) sin 136° (4) cos 136°'

'Найдите значения θ, удовлетворяющие следующему уравнению при 0° ≤ θ ≤ 180°: 2sinθ = √2'

''

'Докажите неравенство sin 29 градусов < tan 29 градусов < cos 29 градусов.'

'Пусть 0° ≤ θ ≤ 180°. Если sinθ+cosθ = 1/√5, найдите значения следующих выражений: (1) tan^3θ+1/tan^3θ (2) sin^3θ-cos^3θ'

'Пожалуйста, объясните, как преобразовать тригонометрические соотношения тупых углов в острые углы, используя формулы.'

'Найдите синус, косинус и тангенс указанных углов.\n1. 25°\n2. 45°\n3. 75°\n4. 89°'

'Какая кривая представляет данное параметрическое представление?'

''

"Обратное проектирование от 'себя, которым вы хотите стать'."

'Найдите кривую уравнения x = t + \\frac{1}{t}, y = t^{2} + \\frac{1}{t^{2}}, t > 0.'

'Глава 4 Уравнения и Кривые\n17 Параболы\n18 Эллипсы\n19 Гиперболы\n20 Параллельное перемещение квадратичных кривых\n21 Квадратичные кривые и прямые\n22 Параметрическое представление кривых\n23 Полярные координаты и полярные уравнения'

'На что стоит обратить внимание после решения основных и стандартных примеров?'

''

"Зачем нужна математика в обществе? Способы, которыми математика 'полезна', также изменились со временем. В прошлом, когда обсуждали применение математики, часто упоминалось ключевое слово 'передовые науки и технологии'. Значение передовых наук и технологий в обществе не вызывает сомнений, однако это не было чем-то привычным в нашей повседневной жизни. В последние годы ситуация изменилась. Это связано с тем, что математика начала проникать в различные аспекты нашей повседневной жизни."

'(1) Поскольку cos(-x) = cos x и (-x)^2 sin(-x) = -x^2 sin x, cos x является четной функцией, а x^2 sin x - нечетной функцией. Следовательно, ∫_(-π/3)^(π/3) ( cos x + x^2 sin x ) dx = 2 ∫_0^(π/3) cos x dx = 2 [ sin x ]_0^(π/3) = √3'

'Опишите кривые, представленные следующими полярными уравнениями в прямоугольных координатах.'

'(50)(2) Если n нечетное, то $\\int_{-1}^{1} T_{n}(x) d x=0$, а если n четное, то $\\int_{-1}^{1} T_{n}(x) d x=\\frac{1}{n+1}-\\frac{1}{n-1}$'

'В (1), если область значений функции равна 1 ≤ y < 3/2, найти область допустимых значений.'

'Для положительного числа a рассмотрим точку A(a, a^{2}) на параболе y=x^{2}, и пусть l будет линией, повернутой вокруг точки A на -30 градусов. Пусть B будет точкой пересечения линии l и параболы y=x^{2}, которая не является A. Кроме того, пусть (a, 0) будет C, а начало O. Найдите уравнение линии l. Кроме того, пусть S(a) будет площадью, ограниченной линейными сегментами OC и CA и параболой y=x^{2}, а T(a) - площадью, ограниченной линейными отрезками AB и CA и параболой y=x^{2}. Найдите c = lim_{a→∞} T(a)/S(a).'

'Для действительных чисел θ, удовлетворяющих условию (3) 0 ≤ θ < 2π, пусть z = cosθ + i sinθ. Докажите, что уравнение |1 - z| = 2 sin (θ/2) верно.'

'Покажите выпуклость и вогнутость функции, удовлетворяющей следующим условиям.'

'4 (cos^2 x)’ = 2 cos x (cos x)’ = -2 sin x cos x'

'Важный пример\nМаксимум и минимум 13|ux + vy|\nКогда действительные числа x, y, u, v удовлетворяют уравнениям x^2 + y^2 = 1 и (u-2)^2 + (v-2√3)^2 = 1, найдите максимальное и минимальное значения ux + vy.'

''

'Найдите точку перегиба функции при следующих значениях x.'

'\\( 134\\left\\{\egin{array}{l}x=(a+b) \\cos \\theta-b \\cos \\frac{a+b}{b} \\theta \\\\ y=(a+b) \\sin \\theta-b \\sin \\frac{a+b}{b} \\theta\\end{array}\\right. \\)'

'Пусть кривая, представленная параметрическими переменными \\( x=\\sin t, y=\\cos \\left(t-\\frac{\\pi}{6}\\right) \\sin t(0 \\leqq t \\leqq \\pi) \\), обозначается как \ C \.'

'Для уравнения r=\\frac{1}{1+a \\cos θ}, (1) докажите, что при a= ±1 оно представляет собой параболу, а при |a|<1 - эллипс. (2) Докажите, что кривая, представленная указанным уравнением, пересекает ось y в y= ±1 независимо от значения a. (3) При |a|<1 пусть D будет областью первой четверти эллипса, ограниченной x-осью и y-осью. Найдите объем тела, полученного в результате вращения фигуры D вокруг x-оси.'

'(2) Продолжение (1): Итак, пусть угол между \\overrightarrow{AB} и \\overrightarrow{AC} будет обозначен как θ. Тогда, \\cos \\theta=\\frac{\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC}}{\\left|\\overrightarrow{AB}\\right|\\left|\\overrightarrow{AC}\\right|}=\\frac{-2a+6}{3\\sqrt{a^{2}-2a+14}}. Поскольку \\sin \\theta>0, мы имеем \\sin \\theta=\\sqrt{1-\\cos ^{2} \\theta}=\\sqrt{1-\\frac{(-2a+6)^{2}}{9(a^{2}-2a+14)}}=\\frac{1}{3}\\sqrt{\\frac{5a^{2}+6a+90}{a^{2}-2a+14}}'

'В случае 0<θ<π/2, если dL/dθ=0, то cosθ=1/√3. Пусть α будет θ, удовлетворяющим этому условию, тогда tanα=√(1/cos²α-1)=√2. Из (3-√7)/√2<2/√2<(3+√7)/√2 получаем, что tanθ₁<tanα<tanθ₂. Таким образом, θ₁<α<θ₂. Поэтому таблица увеличения и уменьшения L такова, как показано справа для θ₁<θ<θ₂. Следовательно, L достигает своего максимального значения при θ=α. Поскольку sinα=√(1-cos²α)=√6/3, желаемое максимальное значение равно 2sinα-√2/(3cosα)=√6/3. В этом случае, cosθ=1/√3.'

"Задача 94 Реагирование на малые изменения\n(1) На сколько увеличится площадь S треугольника ΔABC?\n(2) На сколько увеличится длина y стороны CA?\nИспользуя следующую формулу.\nФормула для малых изменений Δy≒y'Δx\nОтвет: Когда угол B увеличивается на 1 градус\nНачиная с S≒√3sin(x)."

'Найдите координаты точки, полученной отражением относительно действительной оси и поворотом на -π/2 относительно начала координат.'

'Пример 41 | Вычисление определенных интегралов (2)\nНайдите определенный интеграл ∫_{0}^{π} sin(mx)cos(nx)dx. Здесь m и n - натуральные числа.'

''

'Обратные тригонометрические функции'

'Практика свойств функции f(x) = x sin(1/x) (x > 0) 134'

'Докажите, что для обратной функции y=g(x) к y=tan x (-π/2<x<π/2), выполняется g(1/2)+g(1/3)=π/4.'

'Проверьте возрастание и убывание функции $y=f(x)$ по таблице ниже и найдите экстремумы.'

'Найти следующий неопределенный интеграл.'

'Найдите условия, при которых кривая y=x^4+ax^3+bx^2+cx+d имеет кратную касательную.'

None

'Вычислите значение sin(π/5) sin(2π/5) sin(3π/5) sin(4π/5).'

'Нахождение суммы бесконечной серии с помощью рекуррентного соотношения'

'С чем сравнивается решение математической задачи?'

'То, что вы изучаете в этой главе, строится на том, что вы изучили до этого момента. Используя этот материал, необходимо более глубоко проанализировать геометрию форм. В этой главе мы применим методы аналитической геометрии для изучения свойств форм, которые ранее не рассматривались, в основном сосредотачиваясь на характеристиках конических сечений, таких как эллипсы, гиперболы и параболы. Кроме того, мы кратко коснемся методов представления кривых уравнениями, включая параметрическое представление и полярные координаты, а также полярные уравнения.'

'(1) Координаты точки Q на кривой C задаются параметрическими уравнениями, где параметр t варьируется от -π/2 до 0, как (√2/cos t, √2 tan t). Уравнение касательной l в точке Q имеет вид [√2/cos t x-√2 tan t y=2], что эквивалентно [x-sin t y=√2 cos t]'

'Найдите максимальное значение, минимальное значение и соответствующее значение x для данной функции.'

'По мере того как точка на кривой удаляется до бесконечности, кривая приближается к определенной прямой линии, которая называется асимптотой кривой.'

'При $x$, стремящемся к бесконечности, к какому значению приближается $y$?'

'Когда S=4, \2 \\sqrt{k^{2}+1}=4\ приводит к \k=\\sqrt{3}\. Следовательно, \\\cos \\alpha=\\frac{1}{2}, \\sin \\alpha=\\frac{\\sqrt{3}}{2}\. Поскольку \0<\\alpha<\\frac{\\pi}{2}\, мы имеем \\\alpha=\\frac{\\pi}{3}\. Следовательно, \\eta=\\frac{4}{3} \\pi\. В диапазоне, где \\\frac{\\pi}{3} \\leqq x \\leqq \\theta\, площадь, ограниченная кривыми \y=\\sin x\, \y=\\sqrt{3} \\cos x\ и линией \x=\\theta\ обозначается как \T\. Для выполнения условия \T<4\, необходимо, чтобы \\\frac{\\pi}{3}<\\theta<\\frac{4}{3} \\pi\.'

'Преобразуем данную бессмысленную функцию в форму функции квадратного корня.'

'Пример 35 | Движение точки на плоскости'

'Объясните, почему функция f(x) не является непрерывной: f(x)={ x^2 + 1 (x ≠ 0), 0 (x = 0) }'

'Производные тригонометрических функций выглядят следующим образом. Обратите внимание, что углы заданы в радианах.'

'Найдите все касательные прямые кривой y = x cos x, проходящие через начало координат.'

'n-й элемент a_{n} равен a_{n} = \\cos n \\pi Пусть k - натуральное число. Когда n=2k-1, \\cos n \\pi = \\cos (2k-1) \\pi = \\cos (-\\pi) = -1 Когда n=2k, \\cos n \\pi = \\cos 2k \\pi = 1 Поэтому последовательность \\{a_{n}\\} осциллирует. Следовательно, n-й элемент последовательности \\{a_{n}\\} равен a_{n}=(-1)^{n}, который не сходится к 0, поэтому эта бесконечная серия расходится.'

'На плоскости XY, с началом координат в качестве полярной оси и положительной частью оси X в качестве стартовой линии в полярных координатах, пусть кривая, представленная полярным уравнением r = 2 + cosθ(0 ≤ θ ≤ π), будет обозначена как C. Найдите объем тела, полученного вращением области, ограниченной C и осью X, вокруг оси X на один полный оборот.'

'Практика Какого рода кривую представляют следующие полярные уравнения? Ответьте в декартовых координатах.'

'Решите составную тригонометрическую функцию. Когда 42sin(x-π/6)-1=0 (0≤x≤π), решениями являются x=π/3, π'

'Область, заданная системой неравенств, такова, что x-координата точек пересечения кривой y=sin x и прямой y=t-x обозначается α, где sin α=t-α и 0<α<t. В этом случае V(t)=π ∫_{0}^{α} sin^2 x dx+1/3 π sin^2 α·(t-α). Из (1) получаем V(t)=π ∫_{0}^{α} sin^2 x dx + 1/3 π sin^3 α।'

'Пусть 33θ - это вещественное число, а n - целое число. Если z=sinθ+i*cosθ, выразите действительную и мнимую части комплексного числа zn в терминах cos(nθ) и sin(nθ).'

'(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = 12 - 3 ⋅ (-1)^2 = 9, поэтому (f ∘ g)(x) = \egin{cases} -3x^2 + 12x & (x ≥ 0) \\\\ 9 & (x < 0) \\end{cases}'

'Из cos 2θ = cos^2 θ − sin^2 θ, выразите уравнение r^2 (cos^2 θ − sin^2 θ) = r sin θ(1 − r sin θ) + 1, используя x = r cos θ, y = r sin θ'

'(1) f′(t)=−e^(−t)sin(t)+e^(−t)cos(t)=−e^(−t)(sin(t)−cos(t)) = −√2 e^(−t)sin(t−π/4) Если f′(t)=0, то sin(t−π/4)=0. Поскольку t−π/4>−π/4, то t=π/4+(n−1)π (n=1,2, ...)'

'Когда функция y представлена с использованием параметра θ как x=1-cosθ, y=θ-sinθ'

'Когда 0 ≤ θ ≤ π, тогда cos(θ/2) ≥ 0. Когда 0 ≤ θ ≤ π/2, тогда cos(θ) ≥ 0. Когда π/2 ≤ θ ≤ π, тогда cos(θ) ≤ 0. Также, cos(θ) * cos(θ/2) = 1/2 * (cos(3/2 * θ) + cos(θ/2)).'

'Тригонометрические функции'

'Найдите следующие значения.'

'Решите следующее уравнение для 0 ≤ θ < 2π. Также найдите его общее решение. (1) sin θ = √3/2'

'Докажите, что выполняются следующие условия, и найдите значение cos 36 градусов: (1) Когда θ = 36 градусов, sin 3θ = sin 2θ'

'Докажите следующее утверждение.'

'Комплексное упражнение Часть 2 Математика II Глава 4 Тригонометрические функции'

'Найдите максимальное и минимальное значения в [ ] и соответствующие значения x.'

'Найдите максимальные и минимальные значения заданных функций. Также определите значения θ в этих точках. Учитывайте 1620 ≤ θ ≤ π. (1) y=sinθ−√3 cosθ (2) y=sin(θ−π/3)+sinθ'

''

'Докажите уравнение \ \\frac{\\cos \\theta}{1+\\sin \\theta}+\\tan \\theta=\\frac{1}{\\cos \\theta} \.'

''

'Определите значение постоянной a так, чтобы абсолютное значение минимума функции y=2sin3x+cos2x-2sinx+a было равно максимуму.'

'Используя формулу сложения, найдите следующие значения.'

'(1) \ \\sin 2 \\theta=\\cos 3 \\theta \ [Упражнение \\( 156(2) \\) ] Общее решение'

'(1) \ \\sqrt{3} \\cos \\theta-\\sin \\theta \'

''

'(1) Функция y=f(x) принимает максимальное значение при x=α и минимальное значение при x=β. Покажите, что середина M отрезка прямой, соединяющего точки (α, f(α)) и (β, f(β)), лежит на кривой y=f(x).'

'Как запомнить теорему сложения и формулы удвоения углов/половинного угла?'

'Практикуйтесь в построении графиков следующих функций и нахождении их периодов.'

'Докажите, что значение $\\tan \\alpha \\tan \eta+\\tan \eta \\tan \\gamma+\\tan \\gamma \\tan \\alpha$ является постоянным, когда положительные вещественные числа $\\alpha, \eta, \\gamma$ удовлетворяют условие $\\alpha+\eta+\\gamma=\\frac{\\pi}{2}$.'

'Решение уравнений sin aθ=sin bθ, sin aθ=cos bθ'

'1. Формула сложения синусов: \\( \\sin (\\alpha \\pm \eta)=\\sin \\alpha \\cos \eta \\pm \\cos \\alpha \\sin \eta \\)\n2. Формула сложения косинусов: \\( \\cos (\\alpha \\pm \eta)=\\cos \\alpha \\cos \eta \\mp \\sin \\alpha \\sin \eta \\)\n3. Формула сложения тангенсов: \\( \\tan (\\alpha \\pm \eta)=\\frac{\\tan \\alpha \\pm \\tan \eta}{1 \\mp \\tan \\alpha \\tan β} \\)'

'(2) Если \ \\tan \\frac{\\theta}{2}=\\frac{1}{2} \, найдите значения \ \\cos \\theta, \\tan \\theta, \\tan 2 \\theta \.'

'Найдите тригонометрические функции угла $\\theta$.'

'Вычислите следующее выражение.'

'Используя теорему сложения, найдите следующие значения.'

'Решение уравнения sin aθ=sin bθ, sin aθ=cos bθ'

'Найдите значения sin θ, cos θ, tan θ, когда θ принимает следующие значения.'

'(3) Докажите, что значение $\\tan \\alpha \\tan \eta + \\tan \eta \\tan \\gamma + \\tan \\gamma \\tan \\alpha$ является постоянным, когда положительные действительные числа $\\alpha, \eta, \\gamma$ удовлетворяют $\\alpha+\eta+\\gamma=\\frac{\\pi}{2}$.'

'Мера в радианах и тригонометрические функции Радианы'

'Практика поиска следующих значений.'

'Решите следующее уравнение для 0 ≤ θ < 2π. Также найдите его общее решение.'

'Когда n - натуральное число, а θ - действительное число, ответьте на следующий вопрос. (1) Докажите, что cos(n+2)θ-2cosθcos(n+1)θ+cosnθ=0.'

'Объясните свойства определенных интегралов четных и нечетных функций.'

'27 Сложные тригонометрические функции'

'Периодическая функция с периодом 4\nДля функции \\( f(x) \\), если существует ненулевая константа \ p \ такая, что уравнение \\( f(x+p)=f(x) \\) выполняется для всех значений \ x \, то \\( f(x) \\) называется периодической функцией с периодом \ p \. В этом случае, так как \\( f(x+2p)=f(x+3p)=\\cdots =f(x) \\), периоды \ 2p, 3p, \\cdots \ также являются допустимыми периодами, и для периодической функции существует бесконечное количество периодов.\n\nПроблема: Вычислить период функции \\( y = \\cos(5\\theta) \\).'

'Решите следующие уравнения и неравенства.'

'Задача на нахождение решения неравенства треугольника'

'Решите следующее уравнение. Также найдите его общее решение. (4) sinθ=-1'

'Свойства и графики тригонометрических функций'

''

'Практикуйтесь в построении графиков следующих функций. Также определите их периоды.'

'(4) Из уравнения $2 \\sin \\theta \\cdot \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}=-3$ получаем $2 \\sin ^{2} \\theta=-3 \\cos \\theta \\quad$, и $\\cos \\theta \\neq 0$. Следовательно, $2\\left(1-\\cos ^{2} \\theta\\right)=-3 \\cos \\theta$, что упрощается до $2 \\cos ^{2} \\theta-3 \\cos \\theta-2=0$. Это дает нам $(\\cos \\theta-2)(2 \\cos \\theta+1)=0$. Поскольку $-1 \\leqq \\cos \\theta \\leqq 1$, у нас всегда $\\cos \\theta-2<0$. Таким образом, $2 \\cos \\theta+1=0$, значит $\\cos \\theta=-\\frac{1}{2}$. Так как $0 \\leqq \\theta<2 \\pi$, у нас $\\theta=\\frac{2}{3} \\pi, \\frac{4}{3} \\pi$'

'Найдите значение константы m так, чтобы площади двух фигур, ограниченных кривой y=x^{3}-6x^{2}+9x и прямой y=mx, были равны. Здесь, 0<m<9.'

'[Максимальное и минимальное значение]'

'Рефлексия... горизонтально объясняет характеристики решений, изученных в нескольких примерах. Понимая ключевые моменты для оценки решений, можно углубить свое понимание.'

'Когда \ \\theta=\\frac{\\pi}{6}, \\frac{5}{6} \\pi \, максимальное значение \ \\frac{1}{4} \; когда \ \\theta=\\frac{3}{2} \\pi \, минимальное значение -2'

'Выразите максимальное значение ¥( y=cos ^{2} θ+a sin θ(−π/3 ≤ θ ≤ π/4 )) ¥ в терминах ¥( a) ¥.'

'Найдите максимальное и минимальное значения функции y=2\\tan^{2}\\theta+4\\tan\\theta+1 (-\\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\frac{\\pi}{2}). Также найдите значение θ в тот момент.'

'Сохраняя l постоянной, изменяйте θ. Предположим, что tan θ = t, выразите выражение r / (1 + cos 2θ) в виде функции от t и найдите его максимальное значение.'

'Максимальное значение \\frac{5}{3} при x=-1, а минимальное значение -9 при x=3'

''

'Графики различных тригонометрических функций\nВ тригонометрических функциях рассматривается соотношение между базовыми формами y=sinθ, y=cosθ, y=tanθ.\n\nВопрос: Объясните, как график функции y=2sin(3θ) растягивается или сжимается вдоль оси θ и преобразуется вдоль оси y.'

'Основные вопросы\n1. Графики тригонометрических функций\n(1) График y=sin θ\n(2) График y=cos θ\nθ - это вещественное число, -1 ≤ y ≤ 1\n\n(3) График y=tan θ\nθ ≠ π/2+nπ (n - целое число), y принимает все вещественные значения. Линия θ=π/2+nπ (n - целое число) является асимптотой.\n\nКак известно на уроке 216, рассмотрим точку P(x, y) на окружности единичного круга и точку пересечения прямой x=1 и прямой OP как T(1, m). Пусть угол, обозначающий радиус OP, будет θ\n\nsin θ=y, cos θ=x, tan θ=m\n\nИспользуя это, можно построить графики функций y=sin θ, y=cos θ, y=tan θ. Графики функций y=sin θ и y=cos θ называются синусоидами, а график функции y=tan θ называется тангенсальной кривой. Кроме того, относительно вертикальной оси (ось y), в графике y=f(θ), горизонтальную ось называют осью θ. Также, когда кривая приближается к прямой линии, эта линия называется асимптотой кривой.'

''

'Пример 164 y=\\sqrt{3} \\sin \\theta \\cos \\theta + \\cos ^{2} \\theta \\rightarrow y=\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sin 2\\theta}{2} + \\frac{1+\\cos 2\\theta}{2} = \\frac{1}{2} \\left(\\sqrt{3} \\sin 2 \\theta + \\cos 2 \\theta\\right)+\\frac{1}{2}'

'Вычислите следующее выражение.'

'Найдите максимальное значение, минимальное значение и соответствующие значения x для функции y = 2sin² xcosx - cosx cos2x + 6cosx при 0 ≤ x ≤ 3/4π.'

''

'(2) (а) P = 3sin2θ + 4cos2θ + 3'

'Найдите минимальное значение tan(x + y) + tan(x - y). [Условия] [0 < x < π/2, 0 < y < π/2].'

'Пример 159 \\sin 2 \\theta+\\sin 3 \\θ \\theta=0 \\rightarrow 2 \\sin 3 \\θ+\\sin 3 \\theta=0 \\rightarrow \\sin 3 \\theta \\left(2 \\cos \\theta+1 \\right)=0'

''

'Найдите конкретные значения решений уравнения f(x) = cos 2x (0 ≤ x ≤ π)'

'Докажите следующее уравнение, следуя тем же шагам.'

''

''

'Практика (1) Найдите уравнение касательной линии, проведенной из точки (3,4) к параболе y=-x^{2}+4x-3.'

'Когда наклон касательной в точке (a, b) на гиперболе x^2-4y^2=4 равен m, ответьте на следующие вопросы. Предполагаем, что b ≠ 0.'

''

'Найдите первую и вторую производные обратной функции g(x) для (2) y=cos(x)(π<x<2π).'

'Найдите величину скорости и ускорения точки P, у которой координаты в момент времени t на координатной плоскости заданы следующими уравнениями: x=3sin(t)+4cos(t), y=4sin(t)-3cos(t)'

'Определите значение постоянной a так, чтобы максимальное значение функции f(x)=\\frac{a \\sin x}{\\cos x+2}(0 \\leqq x \\leqq \\pi) было равно \\sqrt{3}.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'