Продвинутые функции - Основы дифференцирования и интегрирования

"Какова цель курса университета первого года по 'Интегралам и дифференцированию'?"

'Середина отрезка равна среднему значению 2 точек, центр тяжести равен среднему значению 3 точек. Точку S можно рассматривать как точку, делящую отрезок AB в соотношении 1:2.'

'Упражнение 82\nНайдите функции p(x) и q(x), удовлетворяющие следующим условиям.\n- Производная от p(x) равна 3\n- p(0) = 3\n- Производная от q(x) равна 4x + k\n- q(0) = 2\nКроме того, найдите функции f(x) и g(x), которые удовлетворяют условиям q(x) = f(x)g(x) в виде квадратичной функции, и p(x) = f(x) + g(x) в виде линейной функции. Определите значение соответствующего k.'

''

'[2] Учитывая, что $2-x<x<2+x$, то есть, когда $x>1$,'

'Для двух многочленов f(x) и g(x), удовлетворяющих условиям f(0)=1, g(0)=2, пусть p(x)=f(x)+g(x), q(x)=f(x)g(x).'

'Исследуйте экстремумы функции. Определите максимальное или минимальное значение согласно следующим определениям: 1. Если f(x) достигает максимального значения около x=a, и 2. Если f(x) достигает минимального значения около x=a.'

'Найдите значение следующего выражения.'

"(2) Из y = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 мы получаем y' = 3 x^{2} - 4 x - 1. Когда x = 1, y' = -2. Следовательно, уравнение касательной l равно y = -2(x - 1). Учитывая x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 = -2(x - 1), мы имеем x(x - 1)^{2}=0, следовательно x=0,1"

'Найдите максимальные и минимальные значения функции $f(x)=\\int_{0}^{1}\\left|t^{2}-x^{2}\\right| d t$ для $0 \\leqq x \\leqq 2$.'

'Выразите определенный интеграл \\( \\int_{-1}^{1}\\left(9 x t^{2}+2 x^{2} t-x^{3}\\right) d t \\) через x.'

'Найдите первую производную функции h(x) = 2x^2 - x + 3.'

'Определенный интеграл и объем\nПусть V - объем тела, заключенного между двумя параллельными плоскостями \\\alpha, \eta\. Возьмем линию, перпендикулярную к \\\alpha, \eta\, как ось \x\, с координатами пересечения с \\\alpha, \eta\, отмеченных соответственно \a, b\. Также рассмотрим \a \\leqq x \\leqq b\, и когда это тело разрезается плоскостью, перпендикулярной к оси \x\ и имеющей точку пересечения с осью \x\ в координате \x\, площадь поперечного сечения обозначается как \\(S(x)\\). Затем объем \V\ задается следующим определенным интегралом.\n\n\\[ V=\\int_{a}^{b} S(x) d x \\quad \\text{где} a < b \\]'

'Есть сферический резиновый шар, радиус r которого увеличивается со скоростью 0,1 см в секунду. Начиная с радиуса 1 см, найдите скорость изменения объема V шара по отношению ко времени t, когда радиус достигает 3 см.'

'Определение функции по условиям экстремальных значений'

'Упражнение 85 | II | \ \\Rightarrow \ Книга \ с .340 \'

'Найдите скорость изменения площади поверхности сферы. Пусть радиус сферы через t минут будет r см. Из условия, r=t+10, поэтому S=4πr^2=4π(t+10)^2. Следовательно, dS/dt=4π×2(t+10)×1=8π(t+10)'

'(2) $f(x)=2 x+\\int_{0}^{1}(x+t) f(t) d t$'

''

''

'Увеличивая или уменьшая функции или используя графики, мы можем найти максимальные и минимальные значения или определить количество вещественных решений уравнений.'

'Найдите функцию $f(x)$ и значение константы $a$ , которые удовлетворяют уравнению $\\int_{a}^{x} f(t) d t=3 x^{2}-2 x-1$.'

''

''

'Пусть a и b будут постоянными. Докажите следующее неравенство:\n\n\\[\n\\int_{0}^{1}(ax+b)^{2}dx \\geqq\\left\\{\\int_{0}^{1}(ax+b)dx\\right\\}^{2}\n\\]'

'Дифференцируйте следующие функции по предоставленным переменным.'

'Пример: Найдите максимальное и минимальное значение x + y, а также значения x, y, удовлетворяющие четырём неравенствам x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 6, 3x + 2y ≤ 10 одновременно.'

'Обучение развитию Развитие 187 Экстремум и График функции четвертой степени'

''

''

'Дифференцируйте следующие функции относительно переменных, указанных в []'

'Давайте углубим наше понимание математического ожидания, дисперсии и стандартного отклонения.'

'Дифференциальное исчисление'

'Найдите производную функции f(x)=x^{2}-6 x+7 в точке x=a, используя определение. Кроме того, определите значение a такое, что производная равна 2.'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Найдите функцию \\( f(x) \\) и значение постоянной \ a \, удовлетворяющие уравнению \\( \\int_{a}^{x} f(t) d t=3 x^{2}-2 x-1 \\).'

'Найдите производные следующих функций. (1) y=(2 x^{2}-3)(x+5) (2) y=(x+2)^{3}'

'Найдите квадратичную функцию f(x), которая удовлетворяет следующим условиям.'

'Найдите следующие неопределенные интегралы. В (3) α - это константа.'

'Уравнение касательной: Найдите уравнение касательной. Какое уравнение касательной к точке A(a, f(a)) на кривой y=f(x)?'

'Согласно определению, найдите производные следующих функций. (1) f(x)=-5x (2) f(x)=2x^{2}+5 (3) f(x)=x^{3}-x'

'Найдите производную следующих функций и найдите производную в точке x=2.'

'Определение коэффициентов кубической функции на основе условий максимальных и минимальных значений'

"Четко резюмирует, как различать и использовать теоремы, формулы и т. д. в зависимости от типа проблемы в 'ШАГ в сортировку'. Может использоваться для подтверждения и организации формул."

"Подробно объясняет подход к решению проблем, требующий больше мыслительной мощности, называемый 'Zoom UP'."

''

'Определите функцию S(t) как S(t)=\\int_{0}^{1}\\left|x^{2}-t^{2}\\right| d x. Найдите максимальное и минимальное значения S(t) для 0 ≤ t ≤ 1, а также соответствующие значения t.'

'Найдите следующие определенные интегралы.'

'Метод интегрирования'

'Развивающееся обучение Развитие 185 Касательная графика квадратичной функции'

'Пусть V - объем конуса с радиусом r и высотой h. Рассматривая V как функцию от h, найдите производную при h=3.'

'Дифференцируйте следующие функции по отношению к указанным переменным в [ ].'

'После решения простых и стандартных примеров проблем, как углубить понимание?'

"Пусть многочлен f(x) удовлетворяет уравнению f(x)f'(x)=∫[0,x]f(t)dt+49⋯⋯(1). Ответьте на следующие вопросы."

'Дифференциация функций и их вычисление базовые 173 дифференцируются с переменными, отличными от x'

'Изучение развития Развитие 188 Условия наличия экстремальных значений у кубической функции'

'Найдите функцию f(x), удовлетворяющую уравнению f(x)=1+2 \\int_{0}^{1}(x t+1) f(t) d t.'

''

'Рассчитайте площадь между двумя кривыми.'

'Найдите следующие определенные интегралы.'

''

"Пусть F(x) будет первообразной функцией f(x). Следующие условия [1], [2] справедливы. Найдите f'(x) и f(x) при условии x > 0. [1] F(x) = x f(x) - 1/x [2] F(1/√2) = √2"

'Область определения и анализ увеличения и уменьшения функции'

''

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

"Функция f(x) имеет непрерывную вторую производную f''(x) для x > -2. Кроме того, при x > 0, выполняется условие f(x) > 0 и f'(x) > 0, и для любого положительного числа t, x-координата точки P пересечения между касательной в точке (t, f(t)) кривой y=f(x) и x-осью равна -∫0^t f(x) dx."

'Определите коэффициенты функции по площади.'

'Вычислите следующие неопределенные интегралы.'

'Укажите определение того, что функция f(x) дифференцируема в точке x=a.'

"Пусть f(x) = x^(1/3) (x>0). Найдем производную f'(x) с помощью следующих двух методов."

"Когда функция f(x) удовлетворяет условиям f(0)=0, f'(x)=x cos x, ответьте на следующие вопросы: (1) Найдите f(x). (2) Найдите максимальное значение f(x) для 0 <= x <= π."

'Найдите максимальное и минимальное значения функции f(x)=∫₀ˣ (1-t²)eᵗ dt в диапазоне -2≤x≤2 и определите соответствующие значения x.'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.\\n(1) \ \\int \\frac{x^{3}+x}{x^{2}-1} d x \\\n(2) \ \\int \\frac{x+5}{x^{2}+x-2} d x \\\n(3) \\( \\int \\frac{x}{(2 x-1)^{4}} d x \\)'

"(1) Докажите методом от противного, что для всех действительных чисел x, f(x)>0. (2) Покажите, что для всех действительных чисел x, f'(x)=f(x) f'(0). (3) Выразите f(x) с использованием k, когда f'(0) = k."

'Найдите общий член следующего рекуррентного соотношения.'

''

'Для решения неравенства двух переменных a, b можно рассмотреть следующие методы.'

'Найдите производную функции y=x/√(4+3x^2). [Университет Миядзаки]'

'В конусе с объемом √2/3 найдите минимальную боковую площадь конуса. Также определите радиус круглого основания и высоту конуса в этом минимуме.'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Выразите координату x точки P, движущейся вдоль прямой, как функцию времени t, x = f(t). Затем ответьте на следующие вопросы:'

''

''

'Вычислите объем тела вращения в координатном пространстве (1).'

'Для функции y=f(x), которая является дифференцируемой в определенном интервале, когда значение x увеличивается, если угол наклона касательной линии увеличивается, кривая y=f(x) в этом интервале определяется как вогнутая вниз; когда угол наклона касательной линии уменьшается, кривая y=f(x) в этом интервале определяется как вогнутая вверх; однако фактическое определение таково: функция f(x) является вогнутой вниз, если для любой пары различных действительных чисел x_{1}, x_{2}, содержащихся в определенном интервале, и для любой пары действительных чисел s, t, где s+t=1, s ≥ 0, t ≥ 0, неравенство f(s x_{1}+t x_{2}) ≤ s f(x_{1})+t f(x_{2}) соблюдается, и функция f(x) вогнутая вверх, если неравенство f(s x_{1}+t x_{2}) ≥ s f(x_{1})+t f(x_{2}) соблюдается. Функция, которая является вогнутой вниз в своей области определения, называется выпуклой функцией, а функция, которая является вогнутой вверх, называется вогнутой функцией.'

'Вычислите объем и интеграл сброса воды.'

'Найдите производную следующей функции. (1) y = (x ^ 2 + 1) ^ 3'

'Объясните метод вычисления производных по определению.'

'Пожалуйста, объясните правила произведения и частного дифференцирования.'

'Используя метод интегрирования по частям, найдите определенный интеграл ниже.'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'(1) ∫ 1/√(x^2+1) dx'

'Найдите касательную кривой и объем тела вращения.'

''

'Найдите производные следующих функций.'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

"Докажите, что f'(x) делится на x=1, когда f(x)=(x-1)^2 Q(x), где Q(x) — полином."

"Объясните определение и характеристики производных. Кроме того, укажите формулу производной f'(x) функции f(x)."

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Дифференцируйте следующие функции в соответствии с определением производных. (Дополнительный вопрос)'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Для действительных чисел x и y найдите минимальное значение выражения x^{2}-4 x y+7 y^{2}-4 y+3 и определите значения x и y в этот момент.'

'Циркулярные перестановки и перестановки с повторением того же элемента'

'Определите значение постоянной a так, чтобы парабола y=x^{2}-ax+a+1 касалась оси x. Кроме того, найдите координаты точки касания.'

'Обзор необходимых и достаточных условий'

'Как нужно передвинуть параболу y=3x^2-6x+5, чтобы она совпала с параболой y=3x^2+9x?'

'Максимум и минимум функции при движении графика'

'Каковы максимальное и минимальное значения функции, когда рассматривается весь домен?'

'Максимум и минимум двухпеременной функции'

'Максимальное значение при x=0 равно 0, минимальное значение при x=2 равно 8(a+1)'

'Положив a постоянным, найдите минимальное значение m(a) функции f(x)=(1+2a)(1-x)+(2-a)x.'

'[3] График проходит через 3 точки (1,3), (2,5), (3,9)\nОбозначим уравнение второй степени как y=ax^{2}+bx+c\nПоскольку оно проходит через (1,3), имеем 3=a*1^{2}+b*1+c\nПоскольку оно проходит через (2,5), имеем 5=a*2^{2}+b*2+c\nПоскольку оно проходит через (3,9), имеем 9=a*3^{2}+b*3+c\nРешив эту систему уравнений, можно найти значения a, b, c и определить уравнение второй степени.'

"Объясните отношения между утверждением, его обратным, инверсией и контрапозитивом, и найдите обратное, инверсное и контрапозитивное утверждение следующего утверждения S: Утверждение S: 'Если x - четное число, то x делится на 2.'"

'Найдите экстремальные значения следующих функций.'

"(2) Пусть y' = -4x - 8 = -4(x + 2), y' = 0, тогда при x = -2 таблица увеличения и уменьшения y будет как показано справа. Следовательно, y принимает максимальное значение -4 при x = -2."

'Для функции $f(x)=x^{3}+\x0crac{3}{2} x^{2}-6 x$, ответьте на следующие вопросы.'

'Диапазон значений константы k, когда f(x)=x^{4}-8 x^{3}+18 k x^{2} не имеет максимального значения.'

'Пусть f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 1. Докажите, что кривая y = f(x) симметрична относительно точки A(2,3) на кривой.'

'Найдите значение константы a так, чтобы площади, окруженные кривой y=x^{3}+x^{2} и линией y=a^{2}(x+1), были равными. При этом задано, что 0<a<1.'

''

"(2) y'=3 x^2+2 x-1=(x+1)(3x-1) y'=0 когда x=-1, 1/3, таблица возрастания и убывания y следующая. Поэтому y достигает максимума при x=-1 и минимума при x=1/3."

''

'Найдите уравнение окружности, проходящей через точки (4, -1), (6, 3), (-3, 0).'

'Куб со стороной 1 см увеличивается со скоростью 1 мм в секунду. Найдите скорости изменения его площади поверхности и объема через 10 секунд (см²/с, см³/с).'

'Координата x точек пересечения кривой у = 2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2 с осью x является решениями уравнения 2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2 = 0. Пусть P(x) = 2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2; таким образом, P(1) = 2-5 + 1 + 2 = 0. Следовательно, P(x) = (x-1)(2x ^ 2-3x-2) = (x-1)(x-2)(2x + 1). Решения для P(x) = 0 - x = 1, 2, -1/2; следовательно, кривая выглядит как показано на правой диаграмме, и площадь S для нахождения равна S = ∫(-1/2 до 1)(2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2) dx + ∫(1 до 2)(-(2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2)) dx = [x ^ 4/2 - 5/3 x ^ 3 + x ^ 2/2 + 2x](-1/2 до 1) - [x ^ 4/2 - 5/3 x ^ 3 + x ^ 2/2 + 2x](1 до 2) = 2(1/2 - 5/3 + 1/2 + 2) - (2 ^ 4/2 - 5/3 * 2 ^ 3 + 2 ^ 2/2 + 2 * 2) - (1/2(-1/2) ^ 4 - 5/3(-1/2) ^ 3 + 1/2(-1/2) ^ 2 + 2 * (-1/2)) = 8/3 - 2/3 - (- 61/96) = 253/96'

''

'Математика II'

'Найдите экстремальные значения данной функции. Также постройте её график. (1) y=x^{4}-2 x^{3}-2 x^{2}'

'65\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\text { (1) } \oldsymbol{y}^{\\prime}=2(x)^{\\prime}+(1)^{\\prime}=2 \\cdot 1=2 \\\\\n\oldsymbol{y}^{\\prime}=3\\left(x^{2}\\right)^{\\prime}-6(x)^{\\prime}+(2)^{\\prime}=3 \\cdot 2 x-6 \\cdot 1 \\\\\n=6 \oldsymbol{x}-6\n\\end{array}\n\\]'

'Найдите диапазон возможных значений функции f(x)=∫(t^2-2t-3)dt при -3≤x≤3.'

'Найдите касательные прямые кривой y=x^{3}-4x с уклоном -1.'

'Для примера задачи 190, включающей движение одного конца интервала, предположим, что a > 0. Для функции y=-x³+3x² при 0≤x≤a, найдите:\n(1) Максимальное значение.\n(2) Минимальное значение.'

'В заданной функции определите значение h, при котором среднее отношение изменения равно 4 при изменении x от 1 до 1+h в функции f(x)=x^3-x^2.'

"Дополнительный пример 178: Вычислить производные (2)\nИспользуя формулу на странице 278, найдите производные следующих функций:\n(1) y=(2x-1)(x+1)\n(2) y=(x^2+2x+3)(x-1)\n(3) y=(2x-1)^3\n(4) y=(x-2)^2(x-3)\nСтраница 278 'STEP UP'"

'Используя формулу на странице 278, продифференцируйте следующие функции.'

'Найдите диапазон значений, которые может принимать функция f(x) = ∫[−3, x](t^2−2t−3)dt, когда x находится в интервале [-3, 3].'

'Найдите производные следующих функций и рассчитайте производную при x=0,1 для каждой.(1) y=5 x^{2}-6 x+4 (2) y=x^{3}-3 x^{2}-1 (3) y=x^{2}(2 x+1) (4) y=(x-1)(x^{2}+x+1)'

'Дана последовательность {an}, где a1=2 и an+1=3an-n^2+2n. Рассмотрим квадратичную функцию g(n), такую что последовательность {an}-g(n) образует геометрическую прогрессию с общим отношением 3, найдите выражение для an в терминах n.'

'Определите значения констант a, b, c так, чтобы функция f(x) = ax^2 + bx + c удовлетворяла следующим 3 условиям.'

'Найти функцию f(n), удовлетворяющую следующему условию: b_{n+1}+f(n+1)=-2(b_{n}+f(n))'

'297 Базовый пример 189 Определите коэффициенты по максимальным и минимальным значениям'

None

'Проблема поиска общих решений'

'Найдите минимальное значение функции f(x, y) = x^2 - 4xy + 5y^2 + 2y + 2 при x ≥ 0, y ≥ 0. Также определите значения x и y в этой точке.'

'Найдите следующий неопределенный интеграл: \\[\\int (x-\\sin x) \\cos x \\,dx\\]'

'Вычислите следующий определенный интеграл:\n\n\\[\n\\int_{\\frac{a}{2}}^{a} \\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)} d x \n\\]\nПоложим x = a - t, тогда -d x = d t. Соответствие между x и t выглядит следующим образом:\n \ x \\frac{a}{2} \\longrightarrow a \\n \ t \\frac{a}{2} \\longrightarrow 0 \\n Следовательно,\n\\[ I = \\int_{\\frac{a}{2}}^{a} \\frac{f(a-t)}{f(a-t)+f(t)} (-1) d t = \\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\frac{f(a-t)}{f(t)+f(a-t)} d t = \\int_{0}^{\\frac{a}{2}}\\left\\{1 - \\frac{f(t)}{f(t)+f(a-t)}\\right\\} d t = [t]_{0}^{\\frac{a}{2}} - \\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\frac{f(t)}{f(t)+f(a-t)} d t = \\frac{a}{2} - b \\]'

''

'Найдите максимум и минимум функции, представленной определенным интегралом (1)\n Для действительных чисел a, b найдите минимальное значение определенного интеграла $\\int_{-\\pi}^{\\pi} (x-a \\sin x - b \\cos x)^{2} dx$. Также определите значения a и b в этот момент.\n[Шинсю университет]'

'Практика 101 ⇒ Книга стр.452 (1) ∫ 1 / (√(x + 2) - √(x)) dx = ∫ (√(x + 2) + √(x)) / (x + 2 - x) dx (2) ∫ 2x / (√(x^2 + 1) + x) dx = ∫ 2x (√(x^2 + 1) - x) / ((x^2 + 1) - x^2) dx'

'Найдите экстремальные значения следующих функций.'

'Что узнаем в этой главе》 В общем, функции, не выраженные полиномами, часто не так легко интегрировать, хотя их можно дифференцировать. В этой главе мы узнаем больше о методах интегрирования для более широкого спектра функций на основе формул дифференцирования из главы 3. В методах интегрирования даже неопределенные интегралы рациональных функций могут выходить за рамки школьной математики, поэтому не все функции всегда могут быть проинтегрированы. Однако диапазон интегрируемых функций гораздо шире, чем в математике II.'

'Вычислите следующий неопределенный интеграл.'

'Дифференцируйте следующие функции.'

'\\[\egin{array}{l}\\int \\sqrt{x^{2}+1} d x=x \\sqrt{x^{2}+1}-\\left(\\int \\sqrt{x^{2}+1} d x-\\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x\\right) \\\\\\text { Следовательно, } \\quad 2 \\int \\sqrt{x^{2}+1} d x=x \\sqrt{x^{2}+1}+\\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x\\end{array}\\]'

'Вычислите следующие неопределенные интегралы.'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'(2) Вычислите \\int_{0}^{1} \\frac{x^{2}}{1+x^{2}} dx = \\int_{0}^{1}(1-\\frac{1}{1+x^{2}}) dx = \\int_{0}^{1} dx - \\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x^{2}} dx = 1 - \\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x^{2}} dx \\quad \\cdots \\cdots \\text{ (3) } \egin{\overlineray}{rl||l}x & 0 \\longrightarrow 1 \\hline\\=\\tan \\theta \\text{ Предположим} \\\\dx & =\\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} d \\theta \\quad 0 \\longrightarrow \\frac{\\pi}{4}\\end{\overlineray} \\text{ Следовательно } \\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x^{2}} dx = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\frac{1}{1+\\tan ^{2} \\theta} \\cdot \\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} d \\theta = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\cos ^{2} \\theta \\cdot \\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} d \\theta = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} d \\theta = \\frac{\\pi}{4}.'

'Неравенство Шварца'

"(x - переменная, не связанная с t) ∫_(h(x))^(g(x)) f(t) dt = f(g(x)) g'(x) - f(h(x)) h'(x)"

'Глава 4 Применения Дифференцирования\n19 Скорость и Ускорение, Приближение\nИзучение/Разложение Маклорена, Формула Эйлера\nУпражнения'

''

'Найдите следующий неопределенный интеграл.'

'Предположим, что точка P движется вдоль числовой оси, а её скорость в момент времени t равна 12-6t. Вычислите расстояние, пройденное точкой P от t=0 до t=5.'

'Практика дифференциации следующих функций.'

''

'Вычислите определенные интегралы в столбце 40'

"Прирост и Убывание Функций\nВ математике II мы интуитивно рассматриваем кривую y=f(x), приближая ее касательной. В математике II мы можем теоретически это доказать, используя теорему о среднем значении.\nФункция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b] и дифференцируема на открытом интервале (a, b).\n1. Если f'(x) > 0 для всех x в открытом интервале (a, b), то f(x) монотонно возрастает на замкнутом интервале [a, b].\n2. Если f'(x) < 0 для всех x в открытом интервале (a, b), то f(x) монотонно убывает на замкнутом интервале [a, b].\n3. Если f'(x) = 0 для всех x в открытом интервале (a, b), то f(x) является постоянной на замкнутом интервале [a, b]."

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Объясните, как найти производную функции, представленной параметрическими переменными.'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Глава 6: Применение интеграла'

'Найдите следующий неопределенный интеграл'

"Когда координаты (x, y) точки P даны в виде функции времени t, проводя перпендикулярные линии PQ и PR из P на соответственно оси x и y, скорость Q в момент времени t равна dx/dt=f'(t), а скорость R равна dy/dt=g'(t). Вектор v, составленный из этих скоростей, называется скоростью или вектором скорости точки P в момент времени t. Величина v, |v|, называется скоростью."

"Поскольку кубическая функция f(x) имеет локальные экстремумы при x=1 и x=2, её можно выразить в виде f'(x)=a(x-1)(x-2)(a≠0). Также, если дана функция g(x)=3x/(2√(x^2+1))+1, то мы получаем g'(x)=3/2 * ((x^2+1)-x^2) / ((x^2+1)√(x^2+1)) = 3 / (2(x^2+1)√(x^2+1)). Условие для кривых y=f(x) и y=g(x) иметь общую касательную в точке (0,1) - это f'(0)=g'(0)."

'Найдите определённый интеграл функции f(x), которая удовлетворяет следующим условиям:\n\n1. f(x) - это нечётная функция y, где f(-x)=-f(x) всегда выполняется.\n2. Диапазон определённого интеграла [-a, a].'

'( )'

'Вычислите следующий определенный интеграл. \\[ \\int_{0}^{1} x^{2}(x-1)^{2} e^{2 x} \\,dx \\]'

'Упражнение 38 ↠ Эта книга стр.341 Пусть h(x)=f(x)-g(x). Рассмотрим непрерывные функции f(x), g(x) на интервале [a, b]. Например, предположим, что f(x) максимально при x=x и минимально при x=x^2, а g(x) максимально при x=x^3 и минимально при x=x^4.'

'Найдите значение следующего определенного интеграла \\ (2) \\\ \\int_ {0} ^ {9} \\ frac {1} {\\ sqrt {x +16} + \\ sqrt {x}} dx \'

'Математика II\n\n[Вопрос 1]\nПусть I = ∫[0, π] sin(mx) cos(nx) dx.\n(1) Когда m - n ≠ 0, т. е. m ≠ n\n\nРешите проблему, преобразовав sin(mx)cos(nx):\n\nВычислите I = ∫[0, π] (1/2) {sin((m+n)x) + sin((m-n)x)} dx.\n\nЧему равно I, когда m+n - четное?\nЧему равно I, когда m+n - нечетное?\n\n(2) Когда m - n = 0, т. е. m = n\n\nЧему равно I в этом случае?'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Рассмотрим преобразование переменных x, y и покажем следующее уравнение: \\( \\left(\\frac{d x}{d \\theta}\\right)^{2} + \\left(\\frac{d y}{d \\theta}\\right)^{2} \\)'

'Учитывая \\( y=(x-1)^{2}(x-2)^{3}(x-3)^{-5} \\), мы имеем\n\\[\n\egin{aligned}\ny^{\\prime}= & 2(x-1)(x-2)^{3}(x-3)^{-5}+(x-1)^{2} \\cdot 3(x-2)^{2}(x-3)^{-5} \\\\\n& +(x-1)^{2}(x-2)^{3} \\cdot(-5)(x-3)^{-6} \\\\\n= & (x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{-6} \\\\\n& \\times\\{2(x-2)(x-3)+3(x-1)(x-3)-5(x-1)(x-2)\\} \\\\\n= & (x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{-6}(-7 x+11)\n\\end{aligned}\n\\]'

'Исследуйте выпуклость кривой y=\\frac{4x}{x^{2}+1} и найдите точки перегиба.'

'(2) \ \\int \\sin \\theta \\cos \\theta d \\theta = \\int \\frac{1}{2} \\sin 2 \\theta d \\theta\'

''

'Пусть V(t) - объем тела, полученного в результате вращения области, представленной системой неравенств {0 ≤ y ≤ sin x, 0 ≤ x ≤ t - y} вокруг оси x при 660<t<3. Найдите значение t, при котором dV(t)/dt=π/4, и соответствующее значение V(t).'

'Найдите следующий интеграл.'

'Теорема Тейлора'

'Используя формулу (5), найдите следующий интеграл.'

'Математика I'

'Практика книга 65 стр.394'

'Найдите следующие определенные интегралы.'

'Вычислить площадь, ограниченную кривой нормального распределения (гауссов интеграл)'

''

'Вычислите следующие неопределенные интегралы. Здесь a - это постоянная.'

'Найдите следующие неопределенные интегралы. Обратите внимание, что x в (4) не зависит от t.'

''

'В интервале c ≤ y ≤ d, функция f(y) всегда больше или равна 0.'

'Найдите диапазон значений константы a так, чтобы функция f(x)=x^{3}+a x^{2}+(3 a-6) x+5 имела экстремальные значения.'

'Найдите экстремальные значения следующих функций и нарисуйте общий вид их графиков. (1) y=3 x^{4}-16 x^{3}+18 x^{2}+5 (2) y=x^{4}-8 x^{3}+18 x^{2}-11'

'Найдите значения констант $\\alpha, \eta(\\alpha<\eta)$ для которых уравнение $\\int_{0}^{1} f(x) dx=\\frac{1}{2}\\{f(\\alpha)+f(\eta)\\}$ выполняется для любой квадратичной функции $f(x)$.'

'Неравенство Шварца'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Расскажите об увеличении и уменьшении функции, а также о понятии максимума и минимума.'

'Пусть а - положительная константа. Докажите, что площадь, заключенная между касательной в любой точке P на параболе y=x^{2}+a и параболой y=x^{2}, постоянна независимо от положения точки P, и найдите это значение.'

''

'Найдите экстремумы следующих функций и нарисуйте их графики.'

'Начиная с математического уравнения \ \\Pi \, у нас есть (2) \\( \\int_{x}^{a} f(t) d t=-x^{3}+2 x-1 \\), что дает нам \\[ \\int_{a}^{x} f(t) d t=x^{3}-2 x+1 \\], и дифференцируя обе стороны (2) по отношению к \ x \ дает нам \\( f(x)=3 x^{2}-2 \\). Кроме того, при установке \ x=a \ в (2), левая сторона становится равной 0, поэтому \ 0=a^{3}-2 a+1 \, следовательно \\( (a-1)\\left(a^{2}+a-1\\right)=0 \\), так что \ a=1, \\frac{-1 \\pm \\sqrt{5}}{2} \, значит \\( f(x)=3 x^{2}-2 ; a=1, \\frac{-1 \\pm \\sqrt{5}}{2} \\) . \\[ \egin{array}{l}\\leftarrow \\int_{x}^{a} f(t) d t=-\\int_{a}^{x} f(t) d t \\leftarrow \\frac{d}{d x} \\int_{a}^{x} f(t) d t=f(x) \\leftarrow \\int_{a}^{a} f(t) d t=0\\end{array} \\] \ \\leftarrow \ Используя теорему о делении многочленов.'

''

'Найдите функцию f(x) и значение константы a, удовлетворяющие следующим уравнениям: (1) ∫_{a}^{x} f(t) d t=2 x^{2}-9 x+4 (2) ∫_{x}^{a} f(t) d t=-x^{3}+2 x-1'

'Найдите функцию f(x), удовлетворяющую следующим уравнениям:'

'Найдите максимальные и минимальные значения следующих функций. Также найдите соответствующие значения x.'

'Объясните свойства неопределенных интегралов, используя константы k и l.'

'Определение неопределенных коэффициентов в наборе 16 (2) [Численный метод подстановки]'

'Объясните, как найти экстремальные значения.'

'Найдите производную функции y=2x^{3}-3x^{2}-12x+5 при x=1.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Неопределенный интеграл 2x^n это ∫ x^n dx= (1/(n+1)) x^(n+1) + C (где n это 0 или положительное целое число)'

'Найти площадь между кривыми y = x^2 и y = 2x.'

'Следовательно, когда прямая (2) проходит через точку (10, 50), значение углового коэффициента l/3 прямой (2) будет максимальным. В этой точке и l будет максимальным. Поэтому прибыль x+3y будет максимальной при (x, y) = (10, 50).'

'Найдите f(x) и g(x), удовлетворяющие данным функциям f(x) и g(x)'

'Найдите следующие определенные интегралы.'

''

'Найдите экстремальные значения следующих функций и нарисуйте график.'

"Найдите кубическую функцию f(x), удовлетворяющую следующим условиям: f'(1)=f'(-1)=1, f(1)=0, f(-1)=2."

''

'Пусть a - ненулевая константа, где A = ∫_{0}^{π} e^{-a x} sin 2x dx и B = ∫_{0}^{π} e^{-a x} cos 2x dx. Найдите значения A и B.'

'Докажите неравенство и предел (используя теорему о сжатии)'

'Интегрирование подстановкой и интегрирование по частям для неопределенных интегралов'

'Найдите дифференцируемую функцию f(x) такую, что наклон касательной кривой в точке (x, y) на кривой, проходящей через (1,0), равен x√x.'

'Для функции y от x, определенной следующим уравнением, выразите dy/dx и d^2y/dx^2 в терминах x и y соответственно.'

'Пусть a и b будут действительными числами. Найдите минимальное значение интеграла ∫{0}{1}{cosπx-(ax+b)2}dx при изменении значений a и b и определите значения a и b в этот момент.'

'Найдите производные следующих функций.'

'Объясните следующие приближенные формулы:'

'(2) Пусть Iₙ=∫0π/4 tanⁿxdx (где n - натуральное число). Выразите Iₙ для n >= 3 через n и Iₙ-2. Также найдите значения I₃, I₄. [Похоже на Национальный университет Йокогамы]'

'(3) Решить, используя формулу суммы произведений: $\\int \\sin 3x \\sin 2x dx = -\\frac{1}{2} \\int (\\cos 5x - \\cos x) dx$.'

'Найдите точки экстремума следующих функций.'

'Найдите вторую производную и третью производную следующих функций.'

'Найдите неопределенный интеграл f(ax+b).'

'Найдите антипроизводную базовых функций'

'Найдите производные следующих функций.'

'Пожалуйста, вычислите производную.'

''

'Найдите неопределенные интегралы следующих функций.'

''

"Пусть обратная функция функции f(x) будет g(x). Когда f(1)=2, f'(1)=2, f''(1)=3, найдите значение g''(2)."

'Исследуйте увеличение и уменьшение функции. (2) $$ y=\\frac{x^{3}}{x-2} $$'

'Найдите производную функции y=x^{3}sqrt{1+x^{2}}.'

'Найдите производные следующих функций.'

"Из математики (4) (1) у нас есть f(x+y)-f(x)=f(y)+8xy. Следовательно, f'(x)=lim _{y \\rightarrow 0} \\frac{f(x+y)-f(x)}{y}=lim _{y \\rightarrow 0} \\frac{f(y)+ 8xy}{y}=lim _{y \\rightarrow 0}\\left\\{\\frac{f(y)}{y}+8 x\\right\\}=3+8 x"

'Найдите точки перегиба кривой y=x^{3}+3 x^{2}-24 x+1.'

'Определите производную функции.'

'Используя приведенный пример, рассчитайте следующие определенные интегралы:\n1. \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{6} x \\cos^{3} x d x \\n2. \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{5} x \\cos^{7} x d x \'

'Используя метод интегрирования по частям, вычислите следующий определенный интеграл. \\\int_{0}^{1} x^n e^{-x} dx\ (где n - целое неотрицательное число)'

'Найдите определенный интеграл \ \\int_{0}^{1} \\frac{1}{x^{3}+1} dx \.'

'Найдите неопределенные интегралы.'

'Для четной функции $f(x)$ найти $\\int_{-a}^{a} f(x) dx$. Здесь четная функция - это функция, которая удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$.'

'Объясните формулу второго порядка приближения.'

'Дифференцируйте следующие функции согласно определению производных: (1) y=\\frac{1}{x^{2}} (2) y=\\sqrt{4 x+3} (3) y=\\sqrt[4]{x}'

'Уравнения касательной и нормали\nВ точке \\( \\mathrm{A}(a, f(a)) \\) на кривой \\( y=f(x) \\)\n[1] Уравнение касательной: \\( y-f(a)=f^{\\prime}(a)(x-a) \\)\n[2] Уравнение нормали: когда \\( f^{\\prime}(a) \\neq 0 \\)\n\\[ y-f(a)=-\\frac{1}{f^{\\prime}(a)}(x-a) \\]'

'Используя математическую индукцию, докажите, что последовательность $a_{n}$ удовлетворяет условию $0<a_{n}<2 (n=1,2,3, \\cdots \\cdots)$.'

'Найдите производные следующих функций.'

'Вычислите `∫_{0}^{π} e^{-x} sin x dx`.'

''

'Теорема о среднем значении'

'Найдите производную следующих функций.'

'Найдите производную следующих функций.'

'Найдите максимальное значение функции f(x) = ∫₀ˣ eˣᶜᵒˢᵗ dt (0 ≤ x ≤ 2π) и соответствующее значение x.'

'Пожалуйста, сравните скорости роста функций \ x^{p} \ и \\( x^{q}(0<p<q) \\).'

'Используя определенный интеграл и рекуррентное соотношение, найдите следующий определенный интеграл.'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Для кривой с уравнением F(x, y) = 0 или параметризованной как x = f(t), y = g(t), уравнение касательной на точке (x1, y1) на кривой будет y - y1 = m(x - x1), где m - это угловой коэффициент, полученный подставлением x = x1, y = y1 в производную dy/dx.'

'(3) \\( V = \\pi \\int_{1}^{4}\\left(x+\\frac{1}{\\sqrt{x}}\\right)^{2} d x \\)'

"Докажите, что если функция f(x) непрерывна на интервале [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), то существует вещественное число c, такое что [f(b) - f(a)] / (b - a) = f'(c) с условием a < c < b."

'Найдите следующий определенный интеграл. (2) \ \\int_{0}^{2} \\frac{d x}{\\sqrt{16-x^{2}}} \'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Объясните, как найти интегралы, используя правила дифференциации.'

'Движение точек на плоскости'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Найдите производную следующих функций. В этом вопросе, (6), где a - постоянная.'

'Найдите неопределенный интеграл \ \\int e^{x} \\sin x \\, d x \.'

'Докажите, что когда непрерывная функция f(x) удовлетворяет f(π-x)=f(x) для всех действительных чисел x, то определенный интеграл от 0 до π (x-π/2)f(x)dx=0. Также, используя это, найдите определенный интеграл ∫₀ᵠ xsin³x / 4-cos²x dx.'

'Найдите вторую производную следующей функции: (1) y=x^3−3x^2+2x−1'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Используйте метод замены для решения следующих интегралов.'

'Для натурального числа n, пусть S_n=∫[0,1] (1-(-x)^n)/(1+x) dx, T_n=Σ[k=1,n] (-1)^(k-1)/k(k+1).'

'Найдите площадь, ограниченную кривой y=f(x) и y=g(x) между линиями x=a и x=b.'

'(1) Решить, используя половинный угол формула $\\int \\cos^{2} 2x dx=\\int \\frac{1+\\cos 4x}{2} dx$.'

'Исследуйте увеличение и уменьшение следующей функции:'

'Предположим, что каждый год треть жителей, проживающих за пределами Токио, переезжают в Токио, а треть жителей Токио переезжают за его пределы. Пусть an будет численность населения за пределами Токио, bn - численность населения в Токио в n-году, найдите lim(n→∞)an/bn. Предполагается, что общая численность населения Токио внутри и снаружи постоянна, независимо от года.'

'(2) Найдите определенный интеграл \\( \\int_{0}^{1}\\{x(1-x)\\}^{\\frac{3}{2}} d x \\).'

'(2) \ \\int \\sin^{3} x dx=\\int \\frac{3 \\sin x-\\sin 3x}{4} dx \ Решить, используя тройное угловое тождество.'

'Найдите y^{\\prime \\prime}(0), когда функция y(x) имеет вторую производную y^{\\prime \\prime}(x) и удовлетворяет уравнению x^{3}+(x+1)\\{y(x)\\}^{3}=1.'

'(4) $\\int_{1}^{e} \\frac{\\log x}{x} d x$'

'Дифференцируйте следующие функции согласно определению производных.'

'Дифференцируйте функцию y=x^3√(1+x^2).'

'Практика: Найдите объем V тела, полученного путем вращения области, заключенной между следующими кривыми или линиями вокруг оси y.'

'Условие, чтобы обратная функция была равна исходной функции, - это $f^{-1}(x)=f(x)$'

'Вычислите следующие определенные интегралы.'

'Найдите вторую производную следующей функции. (1) y=√[3]{x}'

'Составная функция \\( f(x) \\) удовлетворяет условию \\( f(x+y)+f(x) f(y)=f(x)+f(y) \\) для любых вещественных чисел \ x, y \ и является дифференцируемой в точке \ x=0 \ с \\( f^{\\prime}(0)=1 \\).'

'Математика (2) ∫ 1 / (x^2 - 4) dx = 1 / 4 ∫ [ 1 / (x - 2) - 1 / (x + 2) ] dx Когда знаменатели сокращаются таким образом...'

'Найдите экстремальные значения следующих функций.'

'Найдите определенный интеграл \ \\int_{0}^{1} \\frac{x^2+2}{x+2} dx \.'

'Докажите следующее уравнение: \ \\int_{-1}^{0} \\frac{x^{2}}{1+e^{x}} d x=\\int_{0}^{1} \\frac{x^{2}}{1+e^{-x}} d x \'

'Найдите экстремальные значения функции f(x) = ∫₀ˣ(1-t²) eˣᵗ dt. [Токийский университет торгового флота]'

'Найдите определенный интеграл \\( \\int_{0}^{1} \\frac{2 x+1}{(x+1)^{2}(x-2)} d x \\).'

"Пусть F'(t) = 1/(t²+1),"

'Пусть функция f(x) непрерывна на интервале [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).'

'Кто открыл дифференциальное исчисление?'

''

'Давайте попробуем вычислить объем, разрезая его плоскостью, перпендикулярной к оси у. Возьмем точку Q на оси у, где OQ=y, пусть площадь поперечного сечения будет S(y), а затем вычислим V= \\int_{0}^{a} S(y) dy.'

'Найдите производные следующих функций в соответствии с данными определениями.'

'Найдите экстремальные значения следующих функций.'

'(2) Рассматривая полученный результат в (1) как функцию от x и дифференцируя её, найдите сумму 1+2x+3x^2+...+nx^(n-1), когда x не равно 1.'

'Найти неопределенный интеграл f(ax+b).'

'Как найти обратную функцию?'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'(1) Используя (1), найдите следующий определенный интеграл.\n(а) \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{7} x dx \'

''

''

''

'Найдите производную следующих функций в соответствии с определением.'

''

'Найдите неопределенный интеграл: \ \\int_{0}^{1} \\frac{dx}{2+3e^x+e^{2x}} \'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

''

'Найдите производную следующих функций. Где a - постоянная.'

"Найдите определенный интеграл ∫[a,b] f(g(x)) g'(x) dx, используя метод замены переменной для интегралов."

"Базовый пример 53 Производные и Тождества\nПусть f(x) - полином степени 2 или выше.\n(1) Выразите остаток от деления f(x) на (x-a)^2 через a, f(a), f'(a).\n(2) Найдите условие деления f(x) на (x-a)^2."

'Найдите следующий определенный интеграл: \ \\int_{-1}^{1} \\frac{x^{2}}{1+e^{x}} d x \'

'13 \\n(1)\\n\\\y^{\\prime} =3 \\cdot 4 x^{3}+2 \\cdot 3 x^{2}-1 \\\\ =12 x^{3}+6 x^{2}-1\\\'

'Найдите производную следующих функций.'

'Найдите производную композиционной функции h(x) = f(g(x)).'

'Найдите экстремальные значения следующих функций. (1), (3) Японский женский университет'

"Начните с 'желаемого себя' и идите в обратном направлении."

'Вогнутые и выпуклые кривые, Точки перегиба'

'(1) Найдите определенный интеграл \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}\\left|\\cos x-\\frac{1}{2}\\right| dx \.'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Используя (1), найдите следующий определенный интеграл.'

'Вычислить следующие определенные интегралы.'

'Найдите экстремальные значения следующих функций.'

''

'Найдите следующий неопределенный интеграл.'

'Найдите вещественное число \ k \, минимизирующее значение интеграла \\( \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}(\\sin x-k x)^{2} d x \\) и значение интеграла в этой точке.'

'Вычислите dy/dx, используя метод параметрического дифференцирования.'

''

'Найдите производные следующих функций.'

"Для констант a, b, c положим f(x)=(a x^{2}+b x+c) e^{-x}. Найдите значения a, b, c, когда f'(x)=f(x)+x e^{-x} выполняется для всех действительных чисел x."

'Когда бесконечный ряд сходится, пусть его сумма будет обозначена как f(x). Постройте график функции y=f(x) и изучите ее непрерывность.'

'Если положить 1+x^{2}=u, тогда 2 x d x=d u, отсюда ∫ x cos(1+x^{2}) d x=1/2 ∫ cos u d u=1/2 sin u+C=1/2 sin(1+x^{2})+C'

'Найдите производные следующих функций.'

'Почему дифференциальное и интегральное исчисление не было открыто в древней Греции?'

'Используя вторую производную, найдите экстремальные значения следующих функций.'

'Докажите, что когда y=cos x, n-я производная y равна cos(x+nπ/2).'

'При поиске неопределенного интеграла рациональной функции, как мы должны продолжать, если степень числителя выше степени знаменателя или если знаменатель имеет вид произведения нескольких сомножителей?'

'Дифференцируйте следующие функции.'

'Найдите производную следующей функции. (1) y=\\sqrt[3]{x^{2}(x+1)}'

'Используя правила дифференцирования, вычислите производные следующих функций.'

'Решите следующую задачу: Найдите определенный интеграл абсолютного значения t^3 на интервале от 0 до 2.'

'Найдите производные следующих функций.'

'Найдите следующий неопределенный интеграл: \n\ \\int_{1}^{4} \\frac{d x}{\\sqrt{3-\\sqrt{x}}} \'

'Последовательности {an},{bn} сходятся, при этом lim{n→∞} an=α, lim{n→∞} bn=β. Объясните следующие свойства: 1) Постоянное кратное lim{n→∞} k an=k α, где k - константа 2) Сумма lim{n→∞}(an+bn)=α+β; Разность lim{n→∞}(an-bn)=α-β 3) lim{n→∞}(k an+l bn)=k α+l β, где k, l - константы 4) Произведение lim{n→∞} αn bn=α β 5) Частное lim{n→∞} an/bn=α/β, где β ≠ 0.'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Найдите производную следующих функций.\n(1) y=\\left(x^{2}-2\\right)^{3}\n(2) y=(1+x)^{3}(3-2 x)^{4}\n(3) y=\\sqrt{\\frac{x+1}{x-3}}\n(4) y=\\frac{\\sqrt{x+1}-\\sqrt{x-1}}{\\sqrt{x+1}+\\sqrt{x-1}}'

'Вычислите пример 134 определенного интеграла (с использованием уравнений)'

'Составьте приближение первого порядка для следующих функций.'

'Объясните условия наличия экстремума для функции.'

'Дифференцируйте следующие функции по отношению к x:'

'Найдите производную следующих функций.'

'Найдите определенный интеграл.'

'Определенный интеграл четной или нечетной функции f(x) равен'

'Найдите производную следующих функций.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

None

'Найдите значение c, при котором выполняются условия теоремы о среднем значении для заданной функции f(x) и интервала.'

'Найдите производные следующих функций.'

'Найдите следующие определенные интегралы.'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Изучите выпуклость следующих кривых и найдите точки перегиба.'

'Перечислите упражнения применения метода интеграции в Главе 6 в следующем порядке: 28 Площадь 29 Объем 30 Длина кривой 31 Скорость и расстояние 32 Продвинутые дифференциальные уравнения Используйте гауссовскую интеграцию для нахождения площади, ограниченной кривой нормального распределения.'

'Пусть a - вещественное число. Определите диапазон значений a так, чтобы функция f(x)=ax+cosx+12sin2x не имела никаких экстремумов.'

'Используя вторую производную, найдите экстремумы функции y=x^{3}-3 x+1.'

'Найдите третью производную следующих функций:\n(1) y = sin 2x\n(2) y = sqrt(x)\n(3) y = e^(3x)'

'Как можно использовать образовательные видео?'

'Найдите следующий неопределенный интеграл.'

'Определите значения констант a, b и c, когда обратной функцией к f(x)=a+\\frac{b}{2x-1} является g(x)=c+\\frac{2}{x-1}.'

'(1) Используя (1), найдите следующий определенный интеграл. (И) \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{3} x \\cos^{2} x dx \'

'Найдите экстремумы следующих функций.'

'Вычислите следующий неопределенный интеграл. \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin 2x}{3+\\cos^2 x} dx \'

'Выразите \ \\frac{d^{2} y}{d x^{2}} \ через \ x \ и \ y \, когда \ x^{2}-y^{2}=a^{2} \. Здесь \ a \ - постоянная.'

'Найдите следующий неопределенный интеграл.'

'Какие существуют полезные способы мышления при решении сложных задач? Как это помогает в обучении?'

Утверждение «Жить в Токио $\Longrightarrow$ Жить в Японии» истинно, но в этом случае, как можно выразить отношение между «Жить в Токио» и «Жить в Японии» в терминах достаточных и необходимых условий?

Продвинутый 85 | Условный максимум и минимум (1)

При условиях $x \geqq 0, y \geqq 0, 3x + 2y = 1$, найдите максимальное и минимальное значения $3x^2 + 4y^2$.

Когда параболу $y=3 x^{2}+6 x+2$ перемещают на 2 единицы по оси $x$ и на -1 единицу по оси $y$, выразите уравнение перемещённой параболы в форме $y=a x^{2}+b x+c$.

Стандартный пример: Задачи, требующие определенных прикладных навыков, таких как использование нескольких знаний.