Продвинутые функции - Экспоненциальные и логарифмические функции

'Для многочлена f(x) верно тождество f(f(x))={f(x)}^{2}. Найдите все f(x), удовлетворяющие этому условию, где f(x) всегда ненулевое.'

'(3) Пусть первый член будет $a$, а общее отношение будет $r(r>0)$. Согласно условиям\n\\n\egin{\overlineray}{l}\na+a r+a r^{2}=21 \\\\ \\cdots \\\\ \\cdots \\\\ a r^{3}+a r^{4}+a r^{5}+a r^{6}+a r^{7}+a r^{8}=1512\n\\end{\overlineray}\n\\nИз (2) мы имеем $\\left(a+a r+a r^{2}\\right)r^{3}+\\left(a+a r+a r^{2}\\right)r^{6}=1512$\nПодставляя (1), получаем $21 r^{3}+21 r^{6}=1512$\n\nСледовательно\n\\nr^{6}+r^{3}-72=0\n\\n\nРазложение на множители дает $\\left(r^{3}+9\\right)\\left(r^{3}-8\\right)=0$\n\nИтак, $r^{3}+9=0, r^{3}-8=0$\n\nПоскольку $r>0$, мы имеем $r^{3}=8$, поэтому $r=2$\nПодставляя $r=2$ в (1), получаем $7 a=21$, следовательно $a=3$\nСледовательно, первый член равен 3, а сумма первых 5 членов равна $\\frac{3\\left(2^{5}-1\\right)}{2-1}=93$'

'Определите особенности графика логарифмической функции y=log_a x.'

'Уравнение касательной к точке (2, -2) имеет вид y - (-2) = -3(x - 2), что упрощается до y = -3x + 4. Координата x пересечения прямых (1) и (2) равна x = 1 в результате x = -3x + 4, следовательно, площадь S, которую необходимо найти, обозначается как S, где S = ∫_{0}^{1}(x - (-x² + x)) dx + ∫_{1}^{2}((-3x + 4) - (-x² + x)) dx = ∫_{0}^{1} x³ / 3 + ∫_{1}^{2}(x - 2)³ / 3 = [x³/3]_{0}^{1} + [(x-2)³/3]_{1}^{2} = 1/3 + 1/3 = 2/3.'

'Функция принимает максимальное значение 2a√a + b при x = -√a и минимальное значение -2a√a + b при x = √a.'

''

''

'x-координата точки пересечения 2 кривых является решением уравнения x^3-3x^2+2x=ax(x-2). Поскольку x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2), мы имеем x(x-1)(x-2)=ax(x-2). Следовательно x(x-2)(x-1-a)=0. Итак x= 0,2, a+1. Поскольку a>1, общая форма двух кривых такова, как показано на правой фигуре, и условие равенства двух площадей S1, S2 состоит в том, что S1=S2, что означает S1-S2=0. Следовательно'

'Найдите минимальное значение функции y=log _{3} x+3 log _{x} 3(x>1).'

'Решите логарифмическое уравнение \ \\log_{a} x = b \. Здесь \ a \ и \ b \ - константы, а \ x \ - переменная.'

'Рассмотрим функцию четвертой степени от x, f(x)=x^{4}-a x^{2}+b x, где a и b - действительные числа.'

'Найдите максимальное и минимальное значения функции y = (log_2(x/4))^2 - log_2(x^2) + 6 для 2 ≤ x ≤ 16, и соответствующие значения x.'

'Пример 152 Максимум и минимум различных функций (используя дифференцирование 2) (1) Найдите минимальное значение функции f(x)=2^{3x}-3*2^{x} и соответствующее значение x. (2) Найдите максимальное значение функции f(x)=log_{2} x+2 log_{2}(6-x) и соответствующее значение x.'

'Расчет сложных процентов\nПредполагая годовую процентную ставку r, используя расчет сложных процентов каждый год, найдите следующее:\n(1) Основной T йен, чтобы получить общую сумму после n лет S иен\n(2) Сохраните P иен в начале каждого года, и общая сумма основной суммы после n лет Sn иен'

'Найдите минимальное значение функции f(x).'

'Пример 31 | Рекуррентное соотношение, включающее произведение и степени (с использованием логарифмов)'

'Постройте графики следующих функций. Кроме того, опишите отношение между функциями и \ y=\\log _{4} x \.'

"(1) f'(x)=x^2-s^2=(x+s)(x-s) f'(x)=0 когда x=-s, s [1] s>0 таблица прироста и убытка f(x) следующая справа. (i) когда 0<s<2 f'(x) = + 0 - 0 + f(x) = возрастающий максимум & убывающий минимум & возрастающий f(x) минимальное значение в x=s поэтому g(s)=f(s)=s^3 / 3-s^2 * s+2 s^2=-2 / 3 s^3+2 s^2 (ii) когда s ≥ 2 f(x) минимальное значение в x=2 поэтому g(s)=f(2)=2^3 / 3-s^2 * 2+2 s^2=8 / 3 [2] когда s=0 f(x)=x^3 / 3, f'(x)=x^2 ≥ 0 поэтому 0 ≤ x ≤ 2 f(x) минимальное значение в x=0 поэтому g(0)=f(0)=0"

'Выразите относительный размер каждого набора чисел, используя неравенства.'

'Решите уравнение (1), 2(log_{2}x)^{2}+3log_{2}4x=8'

'Решите следующие уравнения и неравенства.'

'Формула преобразования основания'

'Свойства логарифмических функций\nСвойства и график логарифмической функции \ y=\\log _{a} x \ где \ a>0, a \\neq 1 \ \n(1) Область определения - все положительные числа, область значений - все вещественные числа\n(2) Проходит через точки \\( (1,0),(a, 1) \\), при этом ось \ y \ - его асимптота\n(3) Когда \ a>1 \, при увеличении \ x \, увеличивается также и \ y \\n\\n0<p<q \\Longleftrightarrow \\log _{a} p<\\log _{a} q\n\\nКогда \ 0<a<1 \, с увеличением \ x \, \ y \ уменьшается\n\\n0<p<q \\Longleftrightarrow \\log _{a} p>\\log _{a} q\n\'

'Упростите следующие выражения.'

'Упростите следующие выражения:\n1. \ \\log_{4} 8 + \\log_{4} 2 \\n2. \ \\log_{5} 75 - \\log_{5} 15 \\n3. \ \\log_{8} 64^{3} \\n4. \ \\log_{3} \\sqrt[4]{3^{5}} \\n5. \ \\log_{\\sqrt{3}} 27 \\n6. \ \\log_{2} 8 + \\log_{3} \\frac{1}{81} \'

'Найдите максимальные и минимальные значения функции y = 9^x - 2 \\ cdot 3^{x+1} + 81 (-3≤x≤3).'

'Укажите определение общего логарифма.'

'Упростите следующие выражения.'

'Упростите следующие выражения.'

'Экспоненциальная функция\nСвойства и график экспоненциальной функции \ y=a^{x} \\nПусть \ a>0, a \\neq 1 \.\n(1) Область определения - все действительные числа, область значений - все положительные числа.\n(2) Проходит через точки \\( (0,1),(1, a) \\) и ось x является её асимптотой.\n(3) При \ a>1 \, при увеличении \ x \, увеличивается также и \ y \.\n\\np<q \\Longleftrightarrow a^{p}<a^{q}\n\\nПри \ 0<a<1 \, при увеличении \ x \, \ y \ уменьшается.\n\\np<q \\Longleftrightarrow a^{p}>a^{q}\n\'

'Решите следующие уравнения и неравенства.'

'Упростите следующие выражения.'

'Найдите функцию f(x), удовлетворяющую уравнению f(x)=1+2 \\int\\_{0}\\^{1}(x t+1) f(t) d t. Перегруппировав правую часть, мы получим f(x)=1+2 x \\int\\_{0}\\^{1} t f(t) d t+2 \\int\\_{0}\\^{1} f(t) d t \\int\\_{0}\\^{1} t f(t) d t=a. Если считать a и b постоянными, то a=\\int\\_{0}\\^{1} t(x)=2 a x+2 b+1 =\\left[\\frac{2}{3} a t\\^{3}+\\frac{2 b+1}{2} t\\^{2}\\right]\\_{0}\\^{1}=\\frac{2}{3} a+\\frac{2 b+1}{2}. Следовательно, a=\\int\\_{0}\\^{1} t(2 a t+2 b+1) d t=\\int\\_{0}\\^{1}\\left\\{2 a t\\^{2}+(2 b+1) t\\right\\} d t подразумевает 2 a-6 b-3=0. С другой стороны, b=\\int\\_{0}\\^{1}(2 a t+2 b+1) d t=\\left[a t\\^{2}+(2 b+1) t\\right]\\_{0}\\^{1} =a+2 b+1, поэтому a+b+1=0 (1), решение системы уравнений дает a=-\\frac{3}{8}, b=-\\frac{5}{8}, следовательно f(x)=2\\left(-\\frac{3}{8}\\right) x+2\\left(-\\frac{5}{8}\\right)+1=-\\frac{3}{4} x-\\frac{1}{4} x может рассматриваться как константа.'

'Пожалуйста, опишите область определения и область значений экспоненциальной функции y=a^{x}.'

'Логарифмическая функция'

'Найдите следующие значения.'

'Найдите максимальное и минимальное значения следующих функций.'

'Исследуйте отношения между базовым графиком y=a^x и графиками y=3^x и y=3^{-x}.'

'Упростите следующие выражения.'

'Логарифмы и их свойства\nОпределение логарифмов\n\ a>0, \\quad a \\neq 1, \\quad M>0 \\text { являются даннными значениями. } \\n\ M=a^{p} \\Longleftrightarrow \\log _{a} M=p \'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Рассмотрим кривые C1: y=a e^{x}, C2: y=e^{-x}. Когда константа a варьируется в диапазоне 1≤a≤4, пусть D1 будет областью, заключенной между C1, C2 и осью y, а D2 - областью, заключенной между C1, C2 и линией x=log 1/2. (1) Найдите значение a, когда площадь D1 равна 1. (2) Найдите минимальное значение суммы площадей D1 и D2 и соответствующее значение a.'

'Докажите неравенство (1) с использованием дифференциации (основы)'

"Для функции f(x)=A e^x cos x + B e^x sin x (где A, B - константы) ответьте на следующие вопросы: (1) Найдите f'(x). (2) Выразите f''(x) через f(x) и f'(x). (3) Найдите ∫ f(x) dx."

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Известная функция и связанный с ней предел\nПредел функции \ y=\\frac{\\log x}{x} \ равен \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log x}{x}=0 \.'

'Найдите следующие неопределенные интегралы. (3) 136\n(1) \ \\int x^{2} \\cos x d x \\n(2) \ \\int x^{2} e^{-x} d x \\n(3) \ \\int x \\tan ^{2} x d x \'

'Докажите, что неравенство b log (a/b) ≤ a - b ≤ a log (a/b) выполняется при a > 0, b > 0.'

'Пусть \\( f(x)=-e^{x} \\) и пусть \ b \ будет действительным числом. Найдите количество касательных к кривой \\( y=f(x) \\), проходящих через точку \\( (0, b) \\). Можно использовать \ \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} x e^{x}=0 \.'

'Найдите следующий определенный интеграл. $$ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} dx $$'

'Для вещественных чисел a, b, c, пусть F(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + a x + 1, f(x) = x^2 + c x + 1. Кроме того, пусть T - множество, полученное удалением точек 1 и -1 из единичной окружности в комплексной плоскости.'

'Для постоянной k определите количество действительных решений уравнения log(sin x+2)-k=0 для 0<x<2π.'

'Как нарисовать график отражения Функциональные выражения в задаче построения графика с использованием дифференциальных методов были в следующих 3 шаблонах:'

'Найдите обратную функцию и площадь.'

'Пусть n - произвольное положительное целое число, и пусть две функции f(x), g(x) обе дифференцируемы n раз. [Довольно большой] (1) Найдите четвертую производную произведения f(x)g(x) d^4/dx^4{f(x)g(x)}. (2) Предположите коэффициент f^(n-r)(x)g^(r)(x) в n-й производной d^n/dx^n{f(x)g(x)} произведения f(x)g(x) и докажите, что это предположение верно, используя метод математической индукции. Здесь r - неотрицательное целое число, не превышающее n, и f^(0)(x)=f(x), g^(0)(x)=g(x). (3) Найдите n-ю производную h^(n)(x) функции h(x)=x^3e^x, где n≥4.'

'Пусть a > 0, b > 0, и f(x) = log ((x + a) / (b - x)). Докажите, что кривая y = f(x) симметрична относительно ее точки перегиба.'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Найдите обратные функции следующих функций. Также постройте их графики.'

''

'Изменение значений функции, максимум и минимум, график функции'

'Пусть n - целое число. Докажите истинность следующих уравнений: где, \ \\cos ^{0} x = 1 \, (4) \\( 138(\\log x)^{0} = 1 \\).\n (1) \\( \\int \\cos ^{n} x dx = \\frac{1}{n}\\{ \\sin x \\cos ^{n-1} x + (n-1) \\int \\cos ^{n-2} x dx \\} (n \\geqq 2) \\)\n (2) \\( \\int(\\log x)^{n} dx = x(\\log x)^{n} - n \\int(\\log x)^{n-1} dx \\) (n \\geqq 1)\n (3) \ \\int x^{n} \\sin x dx = -x^{n} \\cos x + n \\int x^{n-1} \\cos x dx \ (n \\geqq 1)'

'Как мы можем решить неловкий вопрос \ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x \ различными способами? Важным примером 141 (1) было то, что мы решили, предположив, что \ x+\\sqrt{x^{2}+1}=t \, но существует и множество других методов. Сначала давайте посмотрим на метод замены \ x=\\tan \\theta \ как указано на предыдущей странице.'

''

'Пусть \ a \ - ненулевая константа, а \ A = \\int_{0}^{\\pi} e^{-a x} \\sin 2 x d x, B = \\int_{0}^{\\pi} e^{-a x} \\cos 2 x d x \. Найдите значения \ A, B \.'

'Даны константы a, b, где ab ≠ 1. Найдите условие, при котором обратная функция y = (bx + 1) / (x + a) совпадает с исходной функцией.'

'Основа 11: Условие для обратной функции, чтобы быть равной исходной функции'

'Пусть n - натуральное число, большее или равное 2. Докажите следующее неравенство:'

'Найти неопределенный интеграл \\\int e^{2x+e^x} dx\.'

'Докажите, что существует последовательность точек Pₙ(xₙ, yₙ), удовлетворяющая P₁(1,1), xₙ₊₁=1/4 xₙ + 4/5 yₙ, yₙ₊₁=3/4 xₙ + 1/5 yₙ (n=1,2, ...) на плоскости, и последовательность P₁, P₂, ... стремится к некоторой фиксированной точке бесконечно близко.'

'Докажите неравенство \\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t<x-\\frac{x^{3}}{3}+\\frac{x^{5}}{10} для x>0.'

'Интегрирование путем замены и интегрирование по частям'

''

''

'Найдите диапазон постоянной a, когда с x-оси можно провести касательную к графику функции y=\\frac{x+3}{\\sqrt{x+1}}.'

'Найдите интеграл функции f(x)=3 cos 2x+7 cos x на интервале [0, π] в виде \\( \\int_{0}^{\\pi}|f(x)| dx \\).'

'Найдите уравнения прямых и парабол, полученные перемещением следующей прямой и параболы параллельно оси x на -3 и параллельно оси y на 1.'

'Общая стоимость продажи y шоколадок, обозначенная как c(y), дана как c(y)=y^{2}. Найдите значения цены продажи p и количества y, при которых прибыль Компании A (разница между выручкой и общей стоимостью) максимальна.'

''

'Преобразование переменных'

'Расширение 159 с использованием преобразования переменных'

'В примере 30 мы рационализируем знаменатели каждого члена перед выполнением вычислений. Однако в примере 31 (1) мы продолжаем вычисления без рационализации знаменателей. Давайте подумаем о причине такого подхода.'

None

'Пусть S(a) - площадь, ограниченная прямой, проходящей через точку (1,2) с углом наклона a, и параболой y=x^2. Найдите значение a, минимизирующее S(a), при изменении a в диапазоне 0 ≤ a ≤ 6.'

'Постройте графики следующих функций и опишите их пространственные отношения с функцией y=3^x.'

'Решите следующие уравнения:'

'Нарисуйте графики следующих функций и опишите их пространственное взаимоотношение с функцией y=log_{2} x.'

'Упростите следующие выражения.'

'Максимум и минимум логарифмической функции (1): Найдите максимум и минимум следующей логарифмической функции.'

''

'О вычислениях логарифмов'

'Найдите максимальное значение, минимальное значение и соответствующие значения x для функции y = log_2(x/2)log_2(x/8)(1/2 ≤ x ≤ 8).'

'Учитывая, что f(x) = a x^{2}(x-3) + b(a≠0) имеет максимальное значение 5 и минимальное значение -7 в интервале -1 ≤ x ≤ 1, определите значения констант a и b.'

'Рассчитайте общий логарифм числа 1,95 по данным 1.'

'Решите следующие уравнения.'

'Докажите, что значение \\[P(m-kσ ≤ X ≤ m+kσ)\\] становится функцией только k, независимо от значений m и σ, когда случайная переменная X следует нормальному распределению N(m, σ^2).'

'Опишите график и свойства следующих логарифмических функций.'

'Рассмотрим функцию y = -2(log₃(3x))³ + 3(log₃(x+1))² + 1, определенную для 1550 1/3 ≤ x ≤ 3. Найдите максимальное и минимальное значение функции y, а также соответствующие значения x.'

'Опишите свойства логарифмической функции.'

'Для графика функции y = x ^ 2 (x > 0) используйте логарифмические шкалы как для горизонтальной, так и для вертикальной оси.'

'Формула преобразования основания: Преобразуйте основания следующих логарифмов.'

'Найдите площадь, ограниченную двумя параболами, обозначенную как S(a). Пусть x-координата точек пересечения двух парабол будет α и β (α < β), тогда изображения справа:\n\nS(a) = ∫_{α}^{β} { -2(x - a)^2 + 3a - x^2 } dx\n\n= -3 ∫_{α}^{β} (x - α)(x - β) dx\n\n= -3・( -(1/6) ) (β - α)^3\n\n= (1/2)(β - α)^3\n\nРешения квадратного уравнения (1) такие: x = (2a ± √(-2a^2 + 9a))/3. Поскольку α и β являются решениями (1),\nβ - α = (2a + √(-2a^2 + 9a))/3 - (2a - √(-2a^2 + 9a))/3\n= (2/3) √(-2a^2 + 9a)\nТаким образом, S(a) = (1/2)((2/3)√(-2a^2 + 9a))^3 = (4/27)(-2a^2 + 9a)^(3/2)\n\nПоскольку -2a^2 + 9a = -2(a - (9/4))^2 + (81/8), в диапазоне 0 < a < 9/2, -2a^2 + 9a максимально при a = 9/4, и в этой точке S(a) также максимально.\nТаким образом, S(a) максимальна при a = 9/4\nS(9/4) = (4/27)((81/8))^(3/2) = (4/27) ・ (81/8) √(81/8) = 27√2/8.'

'Ответьте на следующие вопросы о основных понятиях логарифмов. Вычислите логарифм на основе указанных уравнений.'

'Постройте графики следующих функций и опишите их отношение к функции y=log_{2} x.'

'Условия существования решений логарифмических уравнений: Определите условия для существования решений следующего логарифмического уравнения.'

'Количество различных действительных решений n уравнения f(x)=0 равно количеству точек пересечения кривой y=f(x) с осью x. Из (1) следует, что при a≤0, n=1, а из (2), что при a>0 минимальное значение -4√2a3/2+16 зависит от значения a и может быть положительным, 0 или отрицательным, следовательно, n=1,2,3. Следовательно, подводя итог (1) и (2), если n=1, то a<0, a=0, a>0 все возможны; если n=2, то возможно только a>0; если n=3, то возможно только a>0.'

'Почему в синей диаграмме так много задач?'

'Как вы можете углубить свои знания, используя цифровой контент?'

'Ответ на упражнение 67 (2) \\frac{\\pi \\sqrt{1+\\pi^{2}}+\\log \\left(\\pi+\\sqrt{1+\\pi^{2}}\\right)}{2}'

'Найдите неопределенные интегралы. В (3), (4), где (a≠0, b≠0). (1) ∫e^{-x}cosxdx (2) ∫sin(logx)dx (3) ∫e^{ax}sinbxdx (4) ∫e^{ax}cosbxdx'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Найдите неопределенный интеграл \ \\int e^{x} \\cos x dx \.'

'Пусть y = \\log_{ \\frac{1}{2} }(x).'

'Рассмотрим функцию 47 f(x)=2 \\log(1+e^{x})-x-\\log 2. (1) Пусть f(x) обозначает вторую производную f(x), покажите, что уравнение \\log f^{\\prime \\prime}(x)=-f(x) выполняется. (2) Найдите определенный интеграл \\int_{0}^{\\log 2}(x-\\log 2) e^{-f(x)} d x.'

'Исследуйте возрастающее и убывающее поведение функции f(x)=x-1-log x и докажите неравенство log x ≤ x-1 для x>0.'

"f'(x) = 1/ log x^3 (x^3 )' - 1/ log x^2 (x^2 )' = 1/(3 log x) * 3 x^2 - 1/(2 log x) * 2 x = ( x^2 - x ) / log x"

'Используя указанные выше формулы [4] [6], давайте попробуем найти следующий определенный интеграл.'

'Найдите следующие неопределенные интегралы. (1) \ \\int x \\cos 2 x \\, dx \ (2) \\( \\int(x+1)^{2} \\log x \\, dx \\) (3) \ \\int e^{\\sqrt{x}} \\, dx \'

'(8) \\( y^{\\prime}=\\frac{(\\log x)^{\\prime} \\cdot x-\\log x \\cdot(x)^{\\prime}}{x^{2}}=\\frac{\\frac{1}{x} \\cdot x-\\log x \\cdot 1}{x^{2}} \\)\\n\\\n=\\frac{1-\\log x}{x^{2}}\\n\'

'Важный пример 165) Количество и интегрирование Вращая часть кривой у = e^x вокруг оси у от 0 ≤ x ≤ 2 создается контейнер, в который вливается вода со скоростью а (положительная константа) за единицу времени. Пусть V будет объемом воды, когда глубина равна h, а S - площадью поверхности воды. (1) Найдите ∫(log y)^{2} dy. (2) Выразите V через S. (3) Найдите скорость расширения поверхности воды, когда S становится равным π. [Институт технологии Шибаура] Руководство (3) Скорость расширения поверхности воды - dS/dt, но кажется сложным выразить S через t. Поэтому, используя подсказку (2), используйте dV/dt = dV/dS * dS/dt для нахождения решения.'

''

'Найдите следующий неопределенный интеграл.'

'(1) Найдите производную функции $F(x)=\\frac{1}{2}\\left\\{x \\sqrt{x^{2}+1}+\\log \\left(x+\\sqrt{x^{2}+1}\\right)\\right\\}, x>0$. (2) На плоскости $x y$ точка $P$ находится на кривой $C$, представленной уравнением $x^{2}-y^{2}=1$ и находится в первом квадранте. Если площадь, ограниченная отрезком прямой $OP$ соединяющим начало координат $O$ и точку $P$, осью $x$ и кривой $C$, равна $\\frac{s}{2}$, выразите координаты точки $P$ через $s$.'

'(2)\n\\[\egin{aligned}\n\\frac{\\cos x+\\sin 2 x}{\\sin ^{2} x}= & \\frac{\\cos x+2 \\sin x \\cos x}{\\sin ^{2} x}=\\frac{1+2 \\sin x}{\\sin ^{2} x} \\cdot \\cos x \\\\\n\\sin x=t \\text { и } & \\cos x d x=d t \\\\\n\\int \\frac{\\cos x+\\sin 2 x}{\\sin ^{2} x} d x & =\\int \\frac{1+2 \\sin x}{\\sin ^{2} x} \\cdot \\cos x d x=\\int \\frac{1+2 t}{t^{2}} d t \\\\\n& =\\int\\left(\\frac{1}{t^{2}}+\\frac{2}{t}\\right) d t=-\\frac{1}{t}+2 \\log |t|+C \\\\\n& =-\\frac{1}{\\sin x}+2 \\log |\\sin x|+C\n\\end{aligned}\\]'

'Как найти обратную функцию?'

'Докажите, что неравенство выполняется, когда x > 0.'

'Используйте уравнение (1) из упражнения 152 на странице 530, где (1) представляет собой V=2π∫₀πx{cosx-(-1)}dx.'

'(2) \\\\ Пусть \ e^{x}+1=t \, тогда \ e^{x}=t-1, e^{x} dx = dt \\\\n\\[ \\int \\frac{e^{2x}}{(e^{x} + 1)^2} \\, dx = \\int \\frac{e^{x}}{(e^{x} + 1)^2} \\, e^{x} \\, dx= \\int \\frac{t-1}{t^2} \\, dt \\\\)\n\\ = \\int \\left( \\frac{1}{t} - \\frac{1}{t^2} \\right) \\, dt \\\\)\n\\ = \\log |t| + \\frac{1}{t} + C \\\\)\n\\ = \\log (e^{x}+1) + \\frac{1}{e^{x}+1} + C \\]'

'Используя формулу интегрирования подстановки (2), найдите следующий интеграл.'

'(2) Последовательность \ \\left\\{I_{n}\\right\\} \ определяется как \\( I_{n}=\\int_{0}^{n} f_{n}(x) d x \\). Используя тот факт, что \ 0 \\leqq x \\leqq 1 \ означает, что \\( \\log (1+x) \\leqq \\log 2 \\), доказать сходимость последовательности \ \\left\\{I_{n}\\right\\} \ и найти ее предел. Можно использовать факт, что \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log x}{x}=0 \.'

'Следовательно \\[ \\int_{0}^{1} t f(t) d t = \\int_{0}^{1}(t \\sin \\pi t + a t) d t \\]\n\\[ = \\int_{0}^{1} t\\left(-\\frac{\\cos \\pi t}{\\pi}\\right)^{\\prime} d t + a \\int_{0}^{1} t d t \\]\n\ =\\left[-\\frac{t \\cos \\pi t}{\\pi}\\right]_{0}^{1} + \\int_{0}^{1} \\frac{\\cos \\pi t}{\\pi} d t + a\\left[\\frac{t^{2}}{2}\\right]_{0}^{1} \\]\n\\[ = \\frac{1}{\\pi} + \\left[\\frac{\\sin \\pi t}{\\pi^{2}}\\right]_{0}^{1} + \\frac{a}{2} = \\frac{1}{\\pi} + \\frac{a}{2} \\]\nСледовательно \\[ \\frac{1}{\\pi} + \\frac{a}{2} = a \\] Решая это получим \\[ a = \\frac{2}{\\pi} \\nСледовательно \\[ f(x) = \\sin \\pi x + \\frac{2}{\\pi} \\]'

'Докажите следующее неравенство.'

'Важный вопрос 115 Обратные функции и Определенный интеграл\nПусть обратная функция функции y=e^{x}+e^{-x}, определенной для x≥0, будет y=g(x). Найдите ∫_{2}^{4} g(x) dx.'

'Упражнение 102 \\Rightarrow Страница 453\n(1) \ x+\\sqrt{x^{2}+1}=t \ Пусть \\( \\left(1+\\frac{x}{\\sqrt{x^{2}+1}}\\right) d x=d t \\)\nСледовательно \ \\quad \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}+x}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = d t \\nСледовательно \ \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = \\frac{1}{t} d t \\nСледовательно \ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = \\int \\frac{1}{t} d t=\\log |t|+C \\n\\[ =\\log \\left( x+\\sqrt{x^{2}+1} \\right)+C \\]'

'Поскольку (2) (-x) e^((-x)^2) = -x e^(x^2), следовательно, x e^(x^2) - это нечетная функция.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Определите диапазон действительных чисел, для которого последовательность {((x^2+2x-5)/(x^2-x+2))^n} сходится. Также найдите предельное значение в этой точке.'

'Поскольку эта линия проходит через точку (0, Y(a)), то Y(a) = (a^2 + 1)e^(-a^2/2)'

'Найдите вектора v и α.'

'Упражнение 163'

''

'(1) Найдите объем $V$ тела, образованного вращением области, ограниченной кривыми $y=x^{2}, y=\\sqrt{x}$ вокруг оси $y$.\n(2) Пусть кривая $y=\\log 3x$ будет обозначена как $C$. Найдите объем $V$ тела, образованного вращением области, ограниченной $C$, касательной, проходящей через начало координат $O$, и осью $x$ вокруг оси $y$.'

'Математика II\n407\n[2] При \ p>2 \\n\\[\\frac{d S}{d p}=p \\log p+\\frac{p}{2}=\\frac{p}{2}(2 \\log p+1)>0\\]\nИз [1], [2], таблица, показывающая изменение в S, имеет следующий вид.\nСледовательно, \ S \ минимальна при \ p=\\frac{4}{3} \, и её минимальное значение\n\egin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c}\n\\hline\ p \ & 1 & \ \\cdots \ & \ \\frac{4}{3} \ & \ \\cdots \ & 2 & \ \\cdots \ \\\\\n\\hline\ \\frac{d S}{d p} \ & & - & 0 & + & & + \\\\\n\\hline\ S \ & & \ \\searrow \ & Локальный минимум & \ \\nearrow \ & 1 & \ \\nearrow \ \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\egin{\overlineray}{l}\n\\text { p= } \\frac{4}{3} \\text { когда } \\\\\na=\\frac{16}{9} \\log \\frac{4}{3}\n\\end{\overlineray}\\n\\[\egin{aligned}\n& \\frac{8}{3} \\log \\frac{4}{3}-\\frac{16}{3} \\log \\frac{4}{3}+\\frac{8}{3}+2 \\log 2-3 \\\\\n= & \\frac{1}{3}(8 \\log 3-10 \\log 2-1)\n\\end{aligned}\\]'

'Найдите производную следующих функций.'

'(5) Пусть \ \\log x=t \, тогда \ \\quad x=e^{t}, d x=e^{t} d t \'

'Найдите следующие определенные интегралы.'

'Пример 143 Определение коэффициентов по площади'

'Найдите функцию, которая удовлетворяет следующим условиям.'

'Используя теорему о среднем значении, докажите следующие утверждения:'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Используйте формулу (4) для вычисления следующего интеграла.'

'Найдите экстремальное значение функции при x=1/√e.\n(1) При x=1/√e функция имеет минимальное значение -1/(2e)\n(2) При x=-4/3 функция имеет максимальное значение 4√6/9, а при x=0 функция имеет минимальное значение 0'

'Пример 163 Точка на кривой с постоянной скоростью\n547\nНа координатной плоскости движется точка P. Точка P начинает движение из (0,1) и движется вдоль кривой y=(e^x+e^{-x})/2 (x≥0) со скоростью 1 единица в секунду. Пусть координаты точки P через t секунд будут (f(t), g(t)). Найдите f(t), g(t).\n[Шинкей]\nРассмотрим два способа выражения расстояния l от 0 секунд до t секунд.\n[1] Поскольку двигается со скоростью 1 единица в секунду, l=t\n[2] Поскольку движется на кривой y=(e^x+e^{-x})/2 (x≥0), пусть x-координата точки P через t секунд будет p, тогда\nl=∫_{0}^{p}√(1+(dy/dx)^2)dx'

'166 (2) y=x e^{1-x}'

"В случае x>0, если f'(x)=0, то x+π/4=kπ, что значит x=kπ-π/4 (k=1,2,3, ...). Из f''(x)=√2 e^(-x){sin(x+π/4)-cos(x+π/4)}"

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Найдите производную логарифмической функции log_a x по отношению к любому основанию a.'

''

'Решите следующий интеграл.'

'Найдите необходимое и достаточное условие, которому должно удовлетворять q, чтобы прямая y = px + q не имела общих точек с графиком функции y = log x.'

'Найдите обратные функции следующих функций.'

'(2) \ \\int 3^{1-2 x} d x=-\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3^{1-2 x}}{\\log 3}+C = -\\frac{3^{1-2 x}}{2 \\log 3}+C \'

'Упражнение 97 \\Rightarrow Книга стр.447\n (3) \\(\\int \\log(x+3) d x\\)'

'Интеграл \ \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{-x^{2}} d x \ известен как гауссов интеграл и равен \ \\sqrt{\\pi} \.'

'170 (2) (У) f(x)=-e^{-x}+1'

'Докажите, используя математическую индукцию, n-ую производную и формулу рекуррентного соотношения для f(x) = 1 / (1 + x^2).'

'Практика (1) Найдите координату x пересечения двух кривых y=logx и y=a/x^{2} (a>0), обозначенную p, выразите a через 144p.'

'(7)\\\\n\\\\[\\\\n\\\egin{aligned}\\\\n y^{\\\\prime} & =\\\\left(e^{x}\\\\right)^{\\\\prime} \\\\sin x+e^{x}(\\\\sin x)^{\\\\prime}=e^{x} \\\\sin x+e^{x} \\\\cos x \\\\n\\\\ & =e^{x}(\\\\sin x+\\\\cos x)\\\\n\\\\end{aligned}\\\\n\\\\]'

'Данное выражение в математике \ \\mathbb{I} \\\n(4) \\( y^{\\prime}=\\frac{1-\\sin x}{1+\\sin x} \\cdot \\frac{\\cos x(1-\\sin x)-(1+\\sin x)(-\\cos x)}{(1-\\sin x)^{2}} \\)\\n\\[\\n=\\frac{2 \\cos x}{(1+\\sin x)(1-\\sin x)}=\\frac{2 \\cos x}{\\cos ^{2} x}=\\frac{2}{\\cos x}\\n\\]\\nДругое решение - \\( y=\\log (1+\\sin x)-\\log (1-\\sin x) \\), поэтому\\n\\[\\n y^{\\prime}=\\frac{\\cos x}{1+\\sin x}-\\frac{-\\cos x}{1-\\sin x}=\\frac{2 \\cos x}{(1+\\sin x)(1-\\sin x)}=\\frac{2}{\\cos x}\\n\\]'

'(3) Докажите неравенство \\( \\sqrt{\\pi\\left(1-e^{-a^{2}}\\right)} \\leqq \\int_{-a}^{a} e^{-x^{2}} d x \\).'

'Найдите максимальное и минимальное значение следующих функций:'

'На оси х движутся две точки P и Q. В момент времени t=0 эти две точки находятся в начале координат O, а скорости P и Q в момент времени t соответственно v_P(t)=a t (0 ≤ t) и v_Q(t)= {0 (0 ≤ t < 1), t log t (1 ≤ t). (1) Докажите, что Q обязательно обгонит P. (2) Найдите момент времени, когда Q догоняет P, и максимальное расстояние между P и Q за это время.'

'Данный текст переводится на несколько языков.'

'Пусть n будет произвольным положительным целым числом, и пусть две функции f(x) и g(x) будут функциями, обе дифференцируемые n раз.'

'Для любых неотрицательных целых чисел m и n, пусть Iₘ,ₙ = ∫₀^(π/2) sin^m x cos^n x dx.'

'(1) $8\\log 2-1$ (2) $\\frac{1}{\\log 2}$ (3) $\\sqrt{3}-1-\\frac{\\pi}{12}$ (4) $\\frac{4\\sqrt{2}-2}{3}$ (5) $2\\sqrt{3}-\\frac{\\pi}{3}$'

''

"(1) Найдите производную f'(x) функции f(x) = log(x+√(1+x^2)), определенной для x ≥ 0. (2) Найдите длину части кривой, определенной полюсным уравнением r=θ(θ ≥ 0) для 0 ≤ θ ≤ π."

''

'143 (1) x=0, π/2 для максимального значения 1; x=π, 3π/2 для минимального значения -1\n(2) x=log_{2} (дробь) √5 ± 1/2 для минимального значения 1-10 √5'

'Иллюстрируйте диапазон точек $(x, y)$, которые удовлетворяют неравенству $\\log _{x} y+2 \\log _{y} x-3>0$.'

"Найдите значения констант a, b и c так, чтобы кубическая функция f(x)=2x^{3} + a x^{2} + b x + c удовлетворяла условию 6 f(x) = (2 x - 1) f'(x) + 6."

'Максимум и минимум логарифмической функции'

'Упростите следующие выражения.'

'Количество решений логарифмического уравнения'

'Максимум и минимум показательных функций'

'Найдите максимальные и минимальные значения следующих функций. (1) y=4^{x}-2^{x+2}(-1 \\leqq x \\leqq 3) (2) Пусть a>0, a \\neq 1. Для функции y=a^{2 x}+a^{-2 x}-2\\left(a^{x}+a^{-x}\\right)+2, пусть a^{x}+a^{-x}=t. Выразите y через t и найдите минимальное значение y. (3) y=\\left(\\frac{3}{4}\\right)^{x}(-1 \\leqq x \\leqq 2)'

'Найдите функции f(x) и g(x), которые удовлетворяют данным условиям.'

'Найдите максимальное значение функции y = log_4(x+2) + log_2(1-x) и соответствующее значение x.'

'Вопрос 2: Логарифмическая функция'

'Учитывая, что F(x) принимает максимальное значение 5 при x=1 и минимальное значение 4 при x=2, найдите значения f(t) и α, где α - это вещественная константа, а f(t) - функция 2-й степени.'

'Найдите значения следующих логарифмов.'

''

'(1) Найдите минимальное значение x^{2} + y^{2}, когда \\log _{2} x + \\log _{2} y = 3.\n(2) Для положительных вещественных чисел x, y, удовлетворяющих уравнению xy=100, найдите минимальное значение (\\log _{10} x)^{3} + (\\log _{10} y)^{3}, а также значения x и y при этом минимуме.\n(3) Пусть f(x) = (\\log _{2} \\frac{x}{a})(\\log _{2} \\frac{x}{b}) (где ab=8, a>b>0). Если минимальное значение f(x) равно -1, найдите значение a^{2}. [Университет Васэда]'

'Упростите следующие выражения.'

'Пусть a, b будут постоянными. Докажите следующее неравенство.'

'Пусть a>0, a≠1, b>0. Изобразите все точки (a, b) в координатной плоскости, где квадратное уравнение 4x²+4xlogₐb+1=0 имеет единственное решение в диапазоне 0<x<1/2.'

'Решите следующие уравнения, системы уравнений. В пункте (3) предполагается, что 0<x<1, 0<y<1.'

None

'Обратная функция и её график'

"Исходя из условия g(x), исследуйте знак g(x) или f'(x) и создайте таблицу приращения и убывания f(x)."

'Два дифференцируемых на всем множестве действительных чисел функции f(x) и g(x) удовлетворяют следующим условиям.'

'Пусть n - положительное целое число, и определим I_{n} = \\int_{2}^{3} \\frac{(x-3)^{n}}{n x^{n}} dx. (1) Найдите I_{1}. (2) Найдите диапазон значений \\left|\\frac{x-3}{x}\\right| для 2 \\leqq x \\leqq 3. Также найдите \\lim _{n \\rightarrow \\infty} I_{n}. (3) Выразите I_{n+1} через I_{n}. (4) Найдите \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n(n+1)}\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{n}. 〔Университет Квансай Гакуин〕'

'Практика Пусть \ n \ будет целым числом. Докажите следующие равенства. Где, \ \\cos ^{0} x=1 \, \\( 203(\\log x)^{0}=1 \\).\n(1) \\( \\int \\cos ^{n} x d x=\\frac{1}{n}\\left\\{\\sin x \\cos ^{n-1} x+(n-1) \\int \\cos ^{n-2} x d x\\right\\}(n \\geqq 2) \\)\n(2) \\( \\int(\\log x)^{n} d x=x(\\log x)^{n}-n \\int(\\log x)^{n-1} d x \\quad(n \\geqq 1) \\)\n(3) \\( \\int x^{n} \\sin x d x=-x^{n} \\cos x+n \\int x^{n-1} \\cos x d x(n \\geqq 1) \\)'

'Найдите диапазон значений константы a, при котором из точки (a, 0) можно провести касательную к графику y=e^{-x^{2}}.'

'(6) \ \\frac{7^{2 x-3}}{2 \\log 7}+C \'

'Найдите объем тела, полученного вращением области, ограниченной параболой y = 2 x - x^{2} и осью x вокруг оси y один раз.'

'Найдите обратные функции следующих функций. Также постройте их графики.'

"Пусть обратная функция функции f(x) будет g(x). Когда f(1)=2 и f'(1)=2, найдите значения g(2) и g'(2) соответственно."

'Докажите, что \\( \\int x^{n} e^{-x} d x=-\\left(\\sum_{k=0}^{n} n \\mathrm{P}_{k} x^{n-k}\\right) e^{-x}+C(n - натуральное число, C - постоянная интегрирования ) \\).'

"Когда f(x) - функция, которую можно дважды дифференцировать, выразите \\frac{d^{2}}{d x^{2}} f(\\tan x) через f'(\\tan x) и f''(\\tan x)."

'Практикуйтесь с функцией f(x)=e^(kx)/(x^2+1) (k - постоянная): (1) Найдите значение k, когда f(x) имеет локальный экстремум при x=-2. (2) Определите диапазон возможных значений k, при которых f(x) имеет локальный экстремум.'

'Найдите производные следующих функций. В (6) a - это константа.'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

''

'Найдите диапазон значений постоянной a, чтобы касательная могла быть проведена из точки (a, 0) к кривой y=xe^x.'

'Найти неопределенный интеграл \ \\int e^{2 x+e^{x}} d x \。'

'Практика для n как натурального числа. Найдите n-ую производную следующих функций.'

'Практикуйте доказательство следующих неравенств:\n(1) \\(\\sqrt{1+x} < 1 + \\frac{x}{2} (x>0)\\)\n(2) \\(e^{x} < 1 + x + \\frac{e}{2} x^{2} (0<x<1)\\)\n(3) \\(e^{x} > x^{2} (x>0)\\)\n(4) \\(\\sin x > x - \\frac{x^{3}}{6} \\quad(x>0)\\)'

'Используя натуральное число n, найдите n-ую производную y^{(n)} функции y=(1-7x)^{-1}.'

'Найдите часть f(x), равную 3/1x3 + 2log|x|.'

'Пусть \n$n$ - натуральное число, большее или равное 2. Рассмотрим функции $y=e^{x}$\n(1) и $y=e^{nx}-1$\n(2).\n(1) Покажите, что графики (1) и (2) имеют ровно одну точку пересечения в первом квадранте.\n(2) Пусть координаты точки пересечения, полученной в (1), будут $(a_{n}, b_{n})$. Найдите $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}$ и $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} na_{n}$.\n(3) Пусть площадь, ограниченная графиками (1) и (2) в первом квадранте и осью $y$, будет $S_{n}$. Найдите $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} n S_{n}$.'

'(2) \\( \\frac{1}{4}(3 x+2) \\sqrt[3]{3 x+2}+C \\)'

''

'Для функции f(x)=e^(kx)/(x²+1) (где k - постоянная), ответьте на следующие вопросы.'

'Докажите, что функция f(x) = ax + xcosx - 2sinx имеет только один экстремум между π/2 и π. Где -1 < a < 1.'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Пусть n будет натуральным числом. Найдите n-ю производную функции y=\\frac{1}{1-7x}.'

"Рассмотрим дифференцируемую функцию $f(x)$, удовлетворяющую отношению $f(x)+\\int_{0}^{x} f(t) e^{x-t} d t=\\sin x$. Найдем производную $f'(x)$ от $f(x)$, тогда $f'(x)= \\square$. Также, так как $f(0)=1$, получаем $f(x)= \\square$."

'(1) На числовой прямой есть точка P, двигающаяся со скоростью $v=t(t-1)(t-2)$ после t секунд, начиная с точки 1. Позиция P через 3 секунды после старта - A, а расстояние, пройденное P, - B.\n\n(2) Пусть g - ускорение вследствие гравитации. Ракета с ускорением $\x0crac{1}{1+t}$ через t секунд после запуска вертикально с начальной скоростью $v_{0}$. Найдите скорость и высоту ракеты через t секунд.'

'Нарисуйте общий вид графика функции y=(-x+1) e^{-x+1}. При условии, что lim _{x → ∞} x e^{-x}=0.'

'Найдите значение параметра а и координаты точки касания для случая, когда прямая y=x является касательной к кривой y=a^x. Здесь a>0 и a не равно 1.'

'Докажите следующие неравенства, где n - натуральное число. [Университет Тохоку]'

'(2) Повторив те же действия, что и в (1)'

'Производные экспоненциальных и логарифмических функций\nПусть \a>0, a \\neq 1\.\n\\[ \egin{array}{l}\n\\cdot \\lim _{h \\rightarrow 0}(1+h)^{\\frac{1}{h}}=\\lim _{x \\rightarrow \\pm \\infty}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^{x}=e \\quad(e=2.71828 \\cdots \\cdots) \\\\\n\\cdot\\left(e^{x}\\right)^{\\prime}=e^{x}, \\quad\\left(a^{x}\\right)^{\\prime}=a^{x} \\log a \\\\\n(\\log |x|)^{\\prime}=\\frac{1}{x}, \\quad\\left(\\log _{a}|x|\\right)^{\\prime}=\\frac{1}{x \\log a}\n\\end{array} \\]'

'Докажите следующее неравенство'

''

''

'Найдите производную следующих функций.'

'Упражнение (2) Для любого натурального числа n докажите, что (2nlogn)^{n}<e^{2nlogn} верно.'

'Найдите значение постоянной a, когда кривые y = x^2 - 2x и y = log x + a касаются. Также найдите уравнение касательной линии в точке касания.'

''

'Преобразуйте пример (1), рационализируя знаменатель, а затем проинтегрируйте.'

'(3) \x \\tan x+\\log|\\cos x|-\\frac{x^{2}}{2}+C\'

'\ I_{n} = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin ^{n} x d x, J_{n} = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\cos ^{n} x d x \\left(n\\right. \ является целым числом больше или равным 0). Доказать, что \\( I_{n}=J_{n} (n \\geqq 0) \\). Где \ \\sin ^{0} x = \\cos ^{0} x = 1 \.'

'Дана функция y=f(x), определенная на всех вещественных числах, дважды дифференцируемая и всегда удовлетворяющая условию f’’(x)=-2 f’(x)-2 f(x), ответьте на следующие вопросы: (1) Определив функцию F(x) как F(x)=e^x f(x), покажите, что F’’(x)=-F(x). (2) Покажите, что функция F(x), удовлетворяющая F’’(x)=-F(x), приведет к {F’(x)}^{2}+{F(x)}^{2} являющимся постоянной, и найдите lim_{x -> ∞} f(x). [Женский университет Кочи]'

'Докажите уравнение \\( \\left(\\cos \\frac{t}{2}\\right)\\left(\\cos \\frac{t}{4}\\right)\\left(\\cos \\frac{t}{8}\\right)=\\frac{\\sin t}{8 \\sin \\frac{t}{8}} \\).'

'Если каждая сторона куба с длиной ребра а увеличивается со скоростью b в секунду, тогда пусть V будет объемом куба после t секунд, где V=(a+bt)^3. Какова скорость изменения объема куба через t секунд после начала увеличения?'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

'Найдите уравнение касательной линии, проведенной из заданной точки P к следующим кривым, и определите координаты точки касания.'

None

'Пожалуйста, сравните скорость роста функций \\( x^{q}(q>0) \\) и \ e^{x} \.'

''

'Найдите производную обратной функции.'

'Найдите экстремальные значения функции f(x) = x e^{-2x} и координаты точек перегиба кривой y=f(x).'

'Исследуйте возрастание и убывание следующей функции.'

'Две дифференцируемые функции $f(x), g(x)$, определенные на всем множестве вещественных чисел, удовлетворяют следующим условиям:'

'Пусть a>0, b>0 и f(x)=log((x+a)/(b-x)). Докажите, что кривая y=f(x) симметрична относительно своей точки перегиба.'

''

"Пусть F(x) является первообразной функцией f(x), выполняются следующие условия [1], [2]. Найти производную f'(x) и вычислить 175f(x). При условии, что x > 0. \n[1] F(x) = xf(x) - 1/x \n[2] F(1/sqrt{2}) = sqrt{2}"

'Пожалуйста, сравните темп прироста функций \ \\log x \ и \\( x^{p}(p>0) \\).'

'Вычислите f(x) на основе следующих условий'

'Когда вещественные числа a, b удовлетворяют условию 0 < a < b < 1, сравните значения 2^a - 2a/(a-1) и 2^b - 2b/(b-1).'

'Область D - это область, закрашенная красным на диаграмме справа, поэтому V1 = π∫1e a²(log x)² dx дает [детальный расчет опущен] π(e-2)a². Кроме того, из y= a log x мы имеем log x = y/a, следовательно x = e^(y/a), отсюда V2 = πe²a - π∫0a (e^(y/a))² dy = πe²a - π[(a/2)e^(2y/a)]0a = πe²a - π/2 a(e²-1) = π/2 a{2e²-(e²-1)} = π/2 (e²+1)a. Объединяя все расчеты, в итоге получаем π(e-2) a² = π(e²+1)/2 a, поскольку a > 0, то 2(e-2)a = e²+1, отсюда a = (e²+1)/2(e-2)'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Ответ на вопрос (2):'

'Найдите площадь S, ограниченную следующей кривой и линейными отрезками:'

'Практика - Найдите максимальные и минимальные значения в следующих функциях: (1) \ y=\\frac{x^{2}-3 x}{x^{2}+3} \ [Аналогично Кансайскому университету] (2) \ y=e^{-x}+x-1 \ [Аналогично Нагойскому городскому университету]'

''

'Для кривой C: x=\\frac{e^{t}+3 e^{-t}}{2}, y=e^{t}-2 e^{-t},\n(1) Уравнение кривой C равно x^{2}+1 x y- y^{2}=25.\n(2) Выразите \\frac{d y}{d x} через x и y.\n(3) В точке на кривой C, соответствующей t= , \\frac{d y}{d x}=-2.'

'Доказать, что для любого действительного числа x неравенство e^(-x^2) ≤ 1 / (1+x^2) справедливо.'

'(1) Найдите неопределенный интеграл \ \\int e^{2 x+e^{x}} d x \.'

'y = (x^2−1)e^x'

'Из g′(x)=d/dx g(x)=dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/f′(y) f(1)=2 мы получаем g(2)=1 из (1) и g′(2)=1/f′(1)=1/2'

'Опишите характеристики гипербол и их общую форму.'

'Найдите все линейные функции g(x), удовлетворяющие условию g(f(x)) = f(g(x)) для кубической функции f(x) = x³+bx+c.'

'Для постоянных $a>0, b$ рассмотрим уравнение относительно вещественного числа $t$'

'Найдите обратные функции.'

'Используя теорему среднего значения, докажите следующее:\n\\nДля e^{-2}<a<b<1, \\quad a-b<b \\log b-a \\log a<b-a\n\'

'Рассмотрим определенный интеграл и рекуррентное соотношение 122'

'Пусть e - это постоянная, а кривая 2x^{2}+y^{2}+8x+ey+6=0 обозначается C. Какие из следующих утверждений о кривой C при изменении значения e верны?'

'Найдите следующий неопределенный интеграл.'

None

'Найдите следующие неопределенные интегралы:'

'Найдите следующие неопределенные интегралы. (1) $\\int \\frac{\\log x}{x(\\log x+1)^{2}} dx$ (2) $\\int \\frac{e^{3 x}}{(e^{x}+1)^{2}} dx$'

'Найдите обратные функции следующих функций и построить их графики.'

'Найдите производные следующих функций.'

'Найдите следующие неопределённые интегралы.'

'Найдите следующие определенные интегралы.'

''

'Исследуйте, непрерывная ли функция f(x) или разрывная. Где [x] представляет собой наибольшее целое число, не превышающее действительное число x.'

'Докажите, что следующие уравнения верны, когда PR n является целым числом, большим или равным 2. Где, \ \\cos ^{0} x=1, \\tan ^{0} x=1 \.'

'Докажите, что при функции y=log x, n-ая производная y равна (-1)^(n-1) * (n-1)! / x^n.'

'Вопрос 99\n(1) x=e приводит к максимальному значению e^{1/e}'

'(2) \ \\log \\left|\\frac{x}{x+1}\\right| - \\frac{1}{x} + C \'

'Переведите данный текст на несколько языков.'

''

'Найдите уравнение касательной к кривой y=log(log x) в точке x=e^{2}.'

'Используя теорему Тейлора, покажите третье разложение Тейлора для функции f(x) = e^x вокруг x = 0.'

'Найдите производную функции f(x)=1/x log(1+x).'

'\\( \\frac{x\\left(x^{2}+3 x+3\\right)}{3} \\log x - \\frac{x^{3}}{9} - \\frac{x^{2}}{2} - x + C \\)'

'Найдите площадь S, ограниченную кривой y=(3-x)e^{x} и осью x, а также линиями x=0, x=2.'

'Найдите следующий неопределенный интеграл: \n\\( \\int_{e}^{e^e} \\frac{\\log (\\log x)}{x \\log x} dx \\)'

'Найдите производную следующих функций.'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Когда вещественные числа a, b, c и d удовлетворяют условию ad-bc≠0, для функции f(x)=\\frac{a x+b}{c x+d}, ответьте на следующие вопросы. (1) Найдите обратную функцию f^{-1}(x) для f(x). (2) Найдите отношение между a, b, c и d, которое удовлетворяет условиям f^{-1}(x)=f(x) и f(x)≠x.'

''

"В интервале $0<x<2\\pi$, когда $y'=0$, у нас есть $x=\\frac{\\pi}{2}$ из $\\sin x-1=0$; и $x=\\frac{7}{6}\\pi, \\frac{11}{6}\\pi$ из $2\\sin x+1=0$. Следовательно, таблица повышения и понижения $y$ выглядит следующим образом."

'Найдите неопределенный интеграл \ \\int \\log \\frac{1}{1+x} dx \.'

'Найдите производную для следующей функции.'

'(4) \\( f(x)=e^{(x+1)^{2}}-e^{x^{2}+1} \\)'

'Найдите обратную функцию данной функции и проверьте условия для существования обратной функции. Например, найдите обратную функцию для функции y=\x0crac{a x+b}{c x+d}. Проверьте условие a d-b c \neq 0.'

'Найдите диапазон действительных чисел x, при котором последовательность {[(x^2-3x-1)/(x^2+x+1)]^n} сходится. Также найдите предельное значение в этой точке.'

'Докажите, что график функции f(x)=log((x+a)/(3a-x)) (a>0) симметричен относительно точек перегиба.'

'Докажите, что следующие уравнения верны, когда n является целым числом больше или равным 2. Где cos^0x=1, а tan^0x=1.'

'Когда непрерывная функция f(x) удовлетворяет соотношению f(x)=e^{x} \\int_{0}^{1} \\frac{1}{e^{t}+1} d t+\\int_{0}^{1} \\frac{f(t)}{e^{t}+1} d t, найдите f(x).'

'1) Найдите значение определенного интеграла $\\int_{0}^{\\frac{1}{\\sqrt{2}}} \\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}} d x$.'

''

'Найдите следующий неопределенный интеграл.'

'96 \\( \\frac{1}{a^{2}+1} e^{a x}(\\sin x + a \\cos x) + C \\)'

'Докажите, что неравенство a^b > b^a справедливо, если e<a<b.'

'Найдите определенный интеграл \ \\int_{0}^{\\pi}|\\sin x-\\sqrt{3} \\cos x| d x \.'

'15\n(1) \\( y^{\\prime}=2(\\log x)^{\\prime}=\\frac{2}{x} \\)'

'-\\ frac {\\ pi} {2} \\ leqq \\ theta \\ leqq \\ frac {\\ pi} {3}, \\ cos \\ theta \\ geqq 0, поэтому'

'Найдите экстремальные значения функции f(x)=x^{1/x}(x>0).'

'(6) Известные функции и пределы'

'(4) \ y^{\\prime}=2^{x} \\log2 \'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

'Для натурального числа n рассмотрим S_{n}(x)=x+x ⋅ (1-3x)/(1-2x) + x ⋅ ((1-3x)/(1-2x))^2 + … + x ⋅ ((1-3x)/(1-2x))^(n-1).'

"(1) y' = 3^x * log3 + 1\nПоскольку 3^x > 0 и log 3 > 0, y' всегда больше 0\nТаким образом, она увеличивается на всем множестве вещественных чисел."

'Найдите следующие определенные интегралы.'

'Докажите, что e^3 > 3^e.'

'Следовательно, (1) y=√[5]{(x+3)/(x+1)³} имеет y′=-{2(x+4)}/{5(x+1)(x+3)}=-{2(x+4)}/{5(x+1)√[5]{(x+1)³(x+3)⁴}}, а (2) y=x^{x+1}(x>0) имеет y′=(log x + {1}/{x} + 1)x^{x+1}'

'Найдите производные следующих функций.'

'Для положительного вещественного числа a, пусть кривая будет y=e^{ax} и обозначается как C. Прямая, проходящая через начало координат и касательная к кривой C в точке P. Пусть D будет областью, ограниченной C, прямой и осью y.'

'О известных функциях и пределах'

'Найдите обратные функции следующих двух функций. Также постройте их графики.\n(1) y=-2x+3\n(2) y=log_{2}x\n(3) y=log_{\x0crac{1}{2}}x'

'Для экспоненциальной функции y=a^{x} и логарифмической функции y=\\log_{a} x пределы могут быть поняты по графику следующим образом.'

'Найти неопределенный интеграл.'

'Найдите обратную функцию для заданных функций.'

'Почему в современном потребительском обществе готовые изделия выбирают значительно чаще, чем индивидуальные заказы?'

'Вычислите неопределенный интеграл иррациональной функции (2) (специальный заменяющий интеграл)'

'Точка P движется на координатной плоскости с координатами (x, y), заданными x = 6e^{t}, y = e^{3t} + 3e^{-t}, где t - любое вещественное число.\n1. Исключите t из данных уравнений и получите уравнение y = f(x), которые удовлетворяют x и y.\n2. Изобразите траекторию точки P.\n3. Найдите скорость v точки P в момент времени t.\n4. Определите расстояние, пройденное точкой P от t = 0 до t = 3.'

'Для функции f(x)=(ax+b)/(cx+d) (c≠0, ad-bc≠0) ответьте на следующие вопросы.'

'Пусть N - натуральное число, и определена функция f(x) как f(x)=\\sum_{k=1}^{N} \\cos (2 k \\pi x). (1) Для целых чисел m, n найдите \\int_{0}^{2 \\pi} \\cos (m x) \\cos (n x) d x. (2) Найдите \\int_{0}^{1} \\cos (4 \\pi x) f(x) d x.'

'Найдите диапазон действительных чисел x, для которых заданные последовательности сходятся. Также определите предельное значение в этот момент.'

'Интеграл (1)-(1+x)\\log(1+x)+x+C'

'95 (3) \ -x - \\sin x - \\frac{1}{\\tan x} - \\frac{1}{\\sin x} + C \'

'Найдите следующие неопределенные интегралы:\n(1) \ \\int x \\cos 3 x d x \\n(2) \\( \\int \\log (x+2) d x \\)'

'Найдите следующие неопределенные интегралы.'

''

'По неравенству треугольника'

'Пример 121 Неопределенный интеграл методом интегрирования по частям (3) (встречается одна и та же форма)'

'Найдите следующие определенные интегралы:\n1. $\\int_{2}^{4} \\sqrt{x} d x$\n2. $\\int_{-1}^{1} e^{x} d x$\n3. $\\int_{1}^{3} \\frac{d x}{x}$\n4. $\\int_{0}^{\\pi} \\cos t d t$\n5. $\\int_{0}^{2 \\pi} \\sin 2 x d x$'

Стандарт 70 | Параллельный перенос параболы (2)

Как параболу $y=x^{2}+4x+5$ можно перенести, чтобы она совпала с параболой $y=x^{2}-6x+8$?

Найдите уравнение параболы, полученной отражением параболы $y=-2 x^{2}+4 x-4$ относительно оси $x$, а затем перенесенной на 8 единиц по оси $x$ и на 4 единицы по оси $y$.