Fundamentos de Probabilidade - Variáveis Aleatórias

'Uma vez que a frequência relativa R segue a mesma distribuição que a proporção da amostra, R é aproximadamente normal com N(1/6, 1/6(1-1/6) * 1/n) ou seja, N(1/6, 5/36n). Portanto, se definirmos Z=(R-1/6)/(1/6 * sqrt(5/n)), Z é aproximadamente distribuído como N(0,1). Assim, \\[P(|R-1/6| ≤ 1/60)=P(1/6 sqrt(5/n)|Z| ≤ 1/60) \\]\n\\[\egin{array}{l}=P(|Z| ≤ 1/10 sqrt(n/5))=P(-1/10 sqrt(n/5) ≤ Z ≤ 1/10 sqrt(n/5))\\end{array} \\]\nPortanto, os valores requeridos são quando n=500\n\\[P(-1 ≤ Z ≤ 1)=2 p(1)=2 * 0.3413=0.6826 \\]n=2000\n\\[P(-2 ≤ Z ≤ 2)=2 p(2)=2 * 0.4772=0.9544 \\]n=4500\n\\[P(-3 ≤ Z ≤ 3)=2 p(3)=2 * 0.49865=0.9973'

'Por favor, crie uma tabela descrevendo a distribuição de probabilidade da variável aleatória X.'

'Amostragem de uma população selecionando um item de cada vez com reposição a cada vez é conhecida como amostragem com reposição. Em contraste, continuar a amostrar sem reposição após a seleção é conhecido como amostragem sem reposição. Selecionar aleatoriamente uma amostra de tamanho n a partir de uma população, e atribuir os valores das variáveis nesses n elementos como X₁, X₂, ..., Xₙ. Ao amostrar com reposição, pode ser considerado como um experimento repetido de selecionar aleatoriamente uma amostra de tamanho 1 n vezes. Portanto, X₁, X₂, ..., Xₙ são variáveis aleatórias independentes que seguem cada uma a distribuição da população.'

'Encontre o ponto correspondente para z = 5.93 com base na tabela fornecida.'

'Qual é a distribuição de probabilidade do número de bilhetes vencedores sorteados antes de retirar dois bilhetes perdedores em uma loteria onde há n (n é um inteiro maior ou igual a 3) bilhetes, dos quais 582 são bilhetes perdedores?'

'Qual é a probabilidade p_{n+1} de que duas partículas estejam no mesmo ponto após (n+1) segundos?'

'Quando duas variáveis aleatórias X e Y, o produto XY também é uma variável aleatória, e X e Y são independentes entre si, o seguinte teorema é verdadeiro. E(XY) = E(X)E(Y)。'

'Use símbolos para expressar a probabilidade de que a variável aleatória X assuma um valor maior ou igual a a e menor ou igual a b.'

'Exemplo 67 Proporção da Amostra e Distribuição Normal'

'Capítulo 2 Inferência Estatística 8. Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade 9. Transformação de Variáveis Aleatórias 10. Soma de Variáveis Aleatórias e Expectativa 11. Distribuição Binomial 12. Distribuição Normal 13. População e Amostra, Média da Amostra e sua Distribuição 14. Estimação 15. Teste de Hipóteses'

'Ao lançar um dado n vezes, seja R a frequência relativa de obter um 1. Encontre o valor de P(|R-\\frac{1}{6}| \\leqq \\frac{1}{60}) para n=500, 2000 e 4500.'

'O que é uma variável aleatória contínua?'

'Transformação de variáveis aleatórias\nX é uma variável aleatória, a e b são constantes.\nQuando Y=aX+b\nE(Y)=aE(X)+b\nV(Y)=a^{2}V(X)\\sigma(Y)=|a|\\sigma(X)'

'Suponha que a distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias X e Y seja dada da seguinte forma:'

'Para duas variáveis aleatórias X, Y, se X e Y são independentes entre si, então V(X+Y) = V(X) + V(Y).'

'Escolha uma das duas definições da distribuição binomial negativa e calcule a probabilidade do número de tentativas X até que o evento A ocorra k vezes, ou o número de falhas Y.'

'Ao tomar uma amostra aleatória de tamanho 100 de uma população que segue uma distribuição normal com uma média populacional de 58 e um desvio padrão populacional de 12, calcule as seguintes probabilidades.'

'Uma vez que o tamanho da amostra n é 900, o intervalo de confiança de 95% para a média populacional m é X - 1.96*(9.8 / sqrt(900)) <= m <= X + 1.96*(9.8 / sqrt(900))'

'Calcular o intervalo de confiança de 95% para a média populacional m.'

'O intervalo da variável aleatória X é 0 ≤ X ≤ 1 e a sua função de densidade de probabilidade é f(x)=a(2-x). Onde a é uma constante positiva.\n(1) Encontre o valor de a.\n(2) Encontre o valor esperado E(X) e a variância V(X) da variável aleatória X.'

'No intervalo de confiança A <= m <= B, qual será o efeito do intervalo de confiança de 99% E <= m <= F para a média da população m obtida da mesma amostra em relação a A <= m <= B? Por favor, selecione uma das seguintes opções:'

'Quando dois dados são lançados simultaneamente, considere o menor número como X. Encontre o seguinte: Se sair o mesmo número, tome esse número como X.'

'Lance três dados de tamanhos grande, médio e pequeno simultaneamente. Use os números nos dados grande, médio e pequeno como os dígitos das centenas, dezenas e unidades, respectivamente, para criar um número de três dígitos. Encontre os seguintes valores esperados:\n(1) Valor esperado da soma dos dígitos\n(2) Valor esperado do número de três dígitos'

'Seja n um número natural maior ou igual a 8. De 1, 2, ..., n, selecione aleatoriamente 6 números diferentes e organize-os em ordem crescente como X_{1}<X_{2}<X_{3}<X_{4}<X_{5}<X_{6}.\n(1) Encontre a probabilidade p_{n} de que X_3=5.\n(2) Encontre o número natural n que maximiza p_n.'

'Julgamento por teste de hipóteses (2)'

'O ponto P está inicialmente no ponto O na reta numérica e, cada vez que um dado é lançado, se sair um número par, move-se 3 unidades na direção positiva, e se sair um número ímpar, move-se 2 unidades na direção negativa. Quando o dado é lançado 10 vezes, a probabilidade de o ponto P estar no ponto O é A. Além disso, quando o dado é lançado 10 vezes, a probabilidade de que a coordenada do ponto P seja menor ou igual a 19 é B.'

'A probabilidade de obter exatamente 5 caras em 6 lançamentos é ${}_6 C_5 (\\frac{1}{2})^5 (1-\\frac{1}{2})^{6-5}=6 \\times (\\frac{1}{2})^5 \\times \\frac{1}{2}=\\frac{6}{64}$. A probabilidade de obter todas as caras em 6 lançamentos é $(\\frac{1}{2})^6=\\frac{1}{64}$. A soma dessas probabilidades é $\\frac{15}{64}+\\frac{6}{64}+\\frac{1}{64}=\\frac{22}{64}=\\frac{11}{32}$.'

'Alguém deseja investigar a eficácia de um medicamento administrado para uma determinada doença. Supondo que a proporção de indivíduos considerados eficazes após a administração do medicamento seja de 33% a 63%. Selecionando n indivíduos aleatoriamente de pacientes com a doença, definindo uma variável aleatória X_i como 1 se a eficácia do medicamento for observada no i-ésimo paciente e 0 caso contrário.\n(1) Determinar a média e a variância da média da amostra \ \\overline{X}=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} X_{i} \ .\n(2) Selecionando aleatoriamente 400 indivíduos entre os pacientes com a doença, 320 indivíduos foram observados tendo a eficácia do medicamento. Determine o intervalo de confiança de 95% para a proporção da população, arredondando para a terceira casa decimal. Suponha que o tamanho da amostra de 400 é grande o suficiente. [Universidade de Kyushu]'

'A taxa de aprovação do partido A entre os eleitores de uma determinada cidade é de 64%. Quando 100 pessoas são selecionadas aleatoriamente dos eleitores desta cidade, vamos definir uma variável aleatória X_k que atribui um valor de 1 se a k-ésima pessoa selecionada apoia o partido A e 0 se não.'

'Ao extrair amostras de tamanho 2 da população {A, B, C, D}, liste todas as amostras possíveis em cada caso. (1) Com reposição (2) Sem reposição - [1] retirado consecutivamente [2] retirado simultaneamente (3) 1!'

'Em um saco, há 1 bola branca, 2 bolas vermelhas e 3 bolas azuis. Quando são retiradas 2 bolas do saco sem reposição, seja X o número de bolas vermelhas retiradas e Y o número de bolas azuis retiradas. Encontre a distribuição conjunta de X e Y.'

'Dadas as distribuições de probabilidade das variáveis aleatórias X e Y na tabela a seguir, encontre Var(3X+2Y) e Var(6X-4Y). Assumindo que X e Y são independentes.'

'Considerando todos os alunos da Universidade P como a população, com uma proporção de mães de 0.2 para indivíduos do condado A e um tamanho de amostra aleatório de 400, a variável aleatória X segue uma distribuição binomial B(400,0.2). Portanto, o valor esperado E(X) e o desvio padrão σ(X) de X são E(X)=400⋅0.2=80 σ(𝐗)=√(400⋅0.2⋅(1−0.2))=√(8^2)=8'

'Encontre P(190 ≤ X ≤ 220).'

'Entre todos os estudantes da Universidade P, 20% são da província de A. Seja X o número de residentes da província de A entre 400 estudantes selecionados aleatoriamente da Universidade P. Encontre o valor esperado e o desvio padrão de X.'

'Quando um dado de seis lados é lançado 360 vezes, seja X o número de vezes que o 6 aparece. Determine a probabilidade de X cair dentro dos seguintes intervalos. Suponha que √2 = 1.41.\n(1) 50 ≤ X ≤ 60\n(2) |X/360 - 1/6| ≤ 0.05'

'Suponha uma população de estudantes onde a proporção de estudantes que nunca leram um livro é de 0,5. Neste caso, seja X a variável aleatória que representa o número de estudantes que nunca leram um livro em uma amostra aleatória de 100 estudantes. Que distribuição segue X? Além disso, qual é a média (valor esperado) e o desvio padrão de X?'

'Deseja investigar a eficácia de um medicamento administrado para uma certa doença. Vamos supor que a proporção de pacientes julgados como tendo um efeito após receber o medicamento seja p. Selecionar n pacientes com a doença aleatoriamente, se o efeito do medicamento for observado no paciente i, então é 1, caso contrário 0, definindo a variável aleatória Xi.'

'Sabe-se que a proporção de meninos recém-nascidos para meninas na cidade A é igual. Em um determinado ano, quando n indivíduos são amostrados aleatoriamente dentre os recém-nascidos na cidade A, seja Xk a variável aleatória que atribui um valor de 1 se o k-ésimo recém-nascido for menino e 0 se menina.'

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'Considere um jogo onde um dado é lançado, ganhando 0 pontos ao rolar 1 ou 2, 1 ponto ao rolar 3, 4 ou 5 e 100 pontos ao rolar 6. Seja X o resto da divisão da pontuação total de 80 jogadas por 100. Calcule a probabilidade de X ser menor ou igual a 46. Dado que √5 = 2.24.'

'Existe uma correlação positiva'

'A tabela à direita resume as notas de dois testes de matemática e inglês realizados duas vezes em uma pequena turma de 10 alunos, totalizando 100 pontos.'

"No gráfico de dispersão à direita, 198 Exercício de Matemática 187 são testes de 100 pontos em caracteres zh-CNs e palavras em inglês em uma turma de 30 pessoas. （1）Com base neste gráfico de dispersão, determine se há uma correlação entre as notas de caracteres zh-CNs e palavras em inglês. Se houver uma correlação, indique se é positiva ou negativa. （2）Com base neste gráfico de dispersão, crie uma tabela de distribuição de frequência para as palavras em inglês. No entanto, as classes são '40 ou mais, mas menos de 50', ..., '90 ou mais, mas menos de 100'. Os pontos no gráfico de dispersão estão distribuídos para cima e para a direita como um todo. Conte com base nas linhas horizontais incrementando por 10 pontos de palavras em inglês."

'O salto de esqui é um esporte onde os atletas competem com base na distância do seu salto e na beleza da sua postura no ar. Os competidores deslizam por uma rampa e depois se lançam no ar a partir da borda da rampa. A distância do salto (medida em metros) determina a pontuação X, enquanto a postura no ar determina a pontuação Y. Vamos considerar 58 saltos em uma competição específica.\n(1) Com base nos três gráficos de dispersão na Figura 1, selecione as afirmações corretas:\n1. Existe uma correlação positiva entre X e Y.\n2. O salto com a maior velocidade V também tem o maior X.\n3. O salto com a maior velocidade V também tem o maior Y.\n4. O salto com o menor Y não necessariamente tem o menor X.\n5. Todos os saltos com X maior ou igual a 80 têm uma velocidade V de 93 ou mais.\n6. Não há saltos com Y maior ou igual a 55 e V maior ou igual a 94.'

'Configuração de variáveis aleatórias'

'Exemplo 1. Em um experimento de lançar um dado uma vez, o evento A: obter um número ímpar, o evento B: obter um número 4 ou mais alto, então A={1,3,5}, B={4,5,6}, assim A ∩ B={5} é ímpar e 4 ou mais alto. A ∪ B={1,3,4,5,6} é ímpar ou 4 ou mais alto.'