Fundamentos de Probabilidade - Distribuições de Probabilidade (Discreta, Contínua)

'Em um determinado país, diz-se que a distribuição de tipos sanguíneos entre seus cidadãos é de 30% para o tipo O, 35% para o tipo A, 25% para o tipo B e 10% para o tipo AB. Agora, ao selecionar aleatoriamente 400 pessoas, encontrar a probabilidade de o número de indivíduos do tipo AB estar entre 37 e 49.'

'Encontre a distribuição de probabilidade, valor esperado E(X), variância V(X) e desvio padrão σ(X) do número de caras X ao lançar duas moedas.'

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'A variável aleatória X pode assumir qualquer valor no intervalo [0,10], e sua função de densidade de probabilidade é dada por f(x)=kx(10-x) (onde k é uma constante). Neste caso, k='

'Explique o erro do Tipo I e o erro do Tipo II.'

'Distribuição da média da amostra\nQuando uma amostra aleatória de tamanho n é retirada de uma população com uma média populacional m e desvio padrão populacional σ, a média da amostra X̅ segue aproximadamente uma distribuição normal N(m, σ^2/n).'

'Quando uma variável aleatória X segue uma distribuição normal N(m, σ^2), encontre P(|X-m| ≥ σ/4). Arredonde a resposta para a quarta casa decimal.'

'Prove que o número de vezes que o evento A ocorre, X, em n tentativas onde a probabilidade do evento A ocorrer é p, segue uma distribuição binomial. Além disso, calcule a média, a variância e o desvio padrão.'

'Quando a proporção de elementos em uma população com uma certa característica A (proporção da população) é p, que distribuição pode-se considerar que a proporção da amostra R segue?'

'Vamos aprofundar nosso entendimento da distribuição binomial.'

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'Quando a variável aleatória X segue a distribuição normal N(m, σ^2), mostre a fórmula de transformação para obter a distribuição normal padrão Z.'

'(1) Quando a variável aleatória Z segue a distribuição normal padrão N(0,1), encontre a probabilidade P(-1.98 ≤ Z ≤ -0.5).\n(2) Quando a variável aleatória X segue a distribuição normal N(30,4²), encontre a probabilidade P(22 ≤ X ≤ 32).'

'Usando a tabela de distribuição normal, resolva o seguinte problema: Encontre a probabilidade quando u = 0.4 e z = 0.73.'

'A taxa de defeitos de um determinado produto é de aproximadamente 7%. Quantos produtos precisam ser amostrados para garantir que a largura do intervalo de confiança para a taxa de defeitos, com um nível de confiança de 95%, seja menor ou igual a 4% e 2%, respectivamente?'

'Por favor, calcule a porcentagem (%) de valores de desvio y maiores que 65. Dado que o valor médio de y é 50 e o desvio padrão é 10, se z=(y-50)/10, então z segue a distribuição normal padrão N(0,1).'

'Distribuição de assentos nas eleições'

'Dado que o tamanho da amostra n é 400, o intervalo de confiança de 95% para a média populacional m é 51.0-1.96*(9.5 / sqrt(400)) <= m <= 51.0 + 1.96*(9.5 / sqrt(400)), portanto 50.069 <= m <= 51.931'

'Distribuição de probabilidade, distribuição binomial'

'Quando dois dados são lançados simultaneamente, encontre a distribuição de probabilidade da variável aleatória X. Se os dois dados tiverem o mesmo número, esse número será considerado como X.'

'Quando a função de densidade de probabilidade f(x) da variável aleatória X é dada pela seguinte equação, encontre as probabilidades especificadas.'

'Vamos rever a distribuição binomial!'

'Prepare 3 cartas com o número 1, 3 cartas com o número 2 e 3 cartas com o número 3, totalizando 9 cartas. Ao selecionar aleatoriamente 3 cartas destas, qual é a probabilidade de que a soma dos números nas cartas seja um múltiplo de 3?'

"Por favor, demonstre que os eventos A e B se tornam mutuamente exclusivos quando o evento B é alterado para 'bola (3) aparece'."

"O evento de 'pelo menos 2 meninas de pé consecutivamente' é o evento complementar de 'meninas não estarem uma ao lado da outra'. Meninas não estarem uma ao lado da outra ocorre quando 3 meninas estão entre 10 meninos. O número total de permutações circulares de 10 meninos é (10-1)!=9! (formas). Para cada um desses casos, existem 10P3 maneiras para 3 meninas ficarem em 3 de 10 posições. Portanto, o número de formas para as meninas não estarem uma ao lado da outra é 9! × 10P3 (formas). Portanto, a probabilidade requerida é P(̅A) = 1 - P(A) = 1 - (9!×10P3/12!) = 1 - 10×9×8/12×11×10 = 5/11."

'Assumindo que existe um dado enviesado com probabilidades de sair 1, 2, 3, 4, 5, 6 de 1/6, 1/6, 1/4, 1/4, 1/12, 1/12 respectivamente. Calcular a probabilidade de obter uma soma de 6 ao lançar o dado três vezes seguidas. [Universidade de Tóquio Denki]'

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'526'

'Suponha que 4 pessoas a, b, c, d da distribuição de probabilidade A sejam divididas em dois grupos {a, b} e {c, d}, e cada pessoa deve escolher alguém do outro grupo com igual probabilidade. Suponha que a escolha de cada pessoa é independente. Seja X o número de pares que se escolhem mutuamente. Encontre: (1) A distribuição da variável aleatória X. (2) Encontre o valor esperado de X.'

'Exemplo Básico 62 Média e Variância da Distribuição Binomial\nDe um saco contendo 6 bolas vermelhas e 4 bolas brancas, uma bola é retirada e depois devolvida. Repetir esse processo 6 vezes, deixando X ser o número de vezes que uma bola vermelha aparece, calcular o valor esperado E(X), variância V(X) e desvio padrão σ(X) de X.'

'Supondo que as notas seguem uma distribuição normal com m = 62, σ = 20, que nota receberá um aluno que obteve 85?'

'Item: Inferência Estatística\nTópico: Distribuição de Probabilidade\nNúmero da Questão: 6\nConteúdo da Questão: Explique sobre distribuição de probabilidade.'

'Considere todos os alunos de uma escola secundária como a população, com uma proporção populacional de alunos que nunca leem livros sendo 0.5 e um tamanho de amostra aleatório de 100. Quando a variável aleatória X segue uma distribuição binomial B(100, 0.5), calcule a média (valor esperado) e o desvio padrão de X. Além disso, assumindo uma proporção populacional de 0.5 para alunos que nunca leem livros, mostre a probabilidade quando X segue aproximadamente uma distribuição normal.'

'Lance dois dados simultaneamente, considere o menor resultado como X e determine a distribuição de probabilidade de X. Além disso, calcule P(X ≤ 3).'

'A probabilidade de sair um 1 ao lançar um dado é de 1/6.'

'Seja X uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial com média 6 e variância 2. Seja Pk a probabilidade quando X = k. Encontre o valor de P4/P3.'

'Encontre o valor da constante positiva a quando a função de densidade de probabilidade da variável aleatória X é dada por f(x).'

'Exemplo Básico 68 Uso da Distribuição Normal\nSeja X a altura dos estudantes do sexo masculino em uma determinada escola secundária, seguindo uma distribuição normal com média de 170,9 cm e desvio padrão de 5,4 cm. Responda às seguintes perguntas. Arredonde para uma casa decimal.\n(1) Qual a porcentagem de estudantes têm uma altura de 175 cm ou mais?\n(2) Qual altura é necessária para ser mais alta do que aproximadamente 4% dos estudantes?'

'Se um novo medicamento foi usado em 400 pacientes e 8 deles apresentaram efeitos colaterais, podemos dizer que a taxa de efeitos colaterais deste novo medicamento não é de 4%, assumindo que a taxa de efeitos colaterais do medicamento tradicionalmente usado é de 4%? Realize um teste de hipótese com um nível de significância de 5%. Além disso, como seria em um nível de significância de 1%? Suponha que os 400 pacientes foram selecionados aleatoriamente.'

'Quando a variável aleatória X segue uma distribuição normal N(15,3^2), encontre as seguintes probabilidades:\n(1) P(X ≤ 18)\n(2) P(6 ≤ X ≤ 21)'

'Na universidade A, 64% de todos os estudantes apoiaram a questão X. Em outra universidade B, de 400 estudantes selecionados aleatoriamente, 274 estudantes apoiaram X. Pode-se dizer que há diferença na taxa de apoio para X entre os estudantes da B e os da A? Teste a um nível de significância de 5%.'

'Explique como encontrar uma variável aleatória Z que siga uma distribuição normal padrão.'

'Assumindo que a distribuição das notas do exame segue uma distribuição normal com média de 58,4 e desvio padrão de 25. Por favor, calcule a probabilidade de que a média de 100 indivíduos selecionados aleatoriamente que fazem o teste seja de pelo menos 62 pontos.'

'Calcular a distribuição de probabilidade'