Álgebra Fundamental - Resolução de Desigualdades

'Pratique a demonstração de que, para quaisquer números reais positivos $a, b, x, y, z$, as seguintes desigualdades são verdadeiras e determine as condições para a igualdade ocorrer.'

'Resolver a desigualdade log_{x} y+2・\\frac{1}{log_{x} y}<3. Vamos supor que log_{x} y=t. Assim, obtemos \\frac{t^{2}-3t+2}{t}<0. Em seguida, \\frac{(t-1)(t-2)}{t}<0, e resolveremos os casos t>0 e t<0.'

'A partir da desigualdade dada'

'Prove a seguinte desigualdade.'

'Encontre o intervalo de valores para a constante k de modo que para quaisquer números reais x, y que satisfaçam as desigualdades x^{2}+y^{2}-2x-2y ≤ 0 e x-2y+1 ≤ 0, a desigualdade y-kx-k-1 ≤ 0 seja sempre satisfeita.'

'Prove as seguintes desigualdades:'

'Encontre o intervalo de valores para a constante a, de modo que a desigualdade 3a^2x-x^3≤16 sempre seja verdadeira para x≥0.'

'Quando x é 29. Em outras palavras, só precisamos encontrar as condições que fazem a desigualdade (2) ser verdadeira. Portanto, a partir de (2), temos a=c e b=d. Exercício 9|II| => Livro principal p.52'

'Resolver as seguintes desigualdades: (1) 2sinθ - √2 ≥ 0 (2) 2cosθ - 1 < 0 (3) √3tanθ - 1 < 0'

'Prove as seguintes desigualdades. Também, explique quando a igualdade ocorre.'

'Resolver a desigualdade $x^{2}+y^{2}<x+y$, plotar a região e garantir que ela satisfaça a outra restrição $0 < x + y < 2$.'

'Encontre o intervalo de números reais a tal que a desigualdade 4t^2+at+1-a>0 sempre seja verdadeira quando t>0.'

'Prova de Desigualdade (2)'

'Exemplo importante 118 Região representada por desigualdade logarítmica'

'Prova de desigualdades multivariáveis relacionadas a sequências'

'Prove 4x + 2/y ≥ 2√(2x/y).'

'Encontre a região representada pela desigualdade: (1) A linha de fronteira é uma linha reta'

'Encontre a região representada pelo sistema de desigualdades.'

'Quando os três desigualdades x-y ≥ -2, x-4y ≤ 1, 2x+y ≤ 5 são satisfeitas simultaneamente, encontre o intervalo de valores possíveis para x+y.'

'Região representada pela desigualdade'

'Prove que as seguintes desigualdades são verdadeiras quando a>0, b>0, c>0, d>0. Além disso, determine as condições para a igualdade ser verdadeira.'

'Prove a seguinte desigualdade e determine quando a igualdade ocorre.'

'Quando x>1, encontre o valor mínimo de x+1/(x-1).'

'Prova de desigualdade (3)... usando (números reais)^2 ≥ 0 [Parte 2]'

'Encontre a região representada pela desigualdade: (2) A linha limite é um círculo'

'Para 0 ≤ x < 2π, encontre o intervalo de valores para x que satisfaça a seguinte desigualdade.'

'Prova de desigualdade (4)... usando a relação entre quadrados'

'Prove que a desigualdade $x^{3}+5>3 x^{2}$ é verdadeira.'

'Encontre o intervalo de valores para x + y quando x e y satisfazem as três desigualdades x - y ≥ -2, x - 4y ≤ 1, 2x + y ≤ 5 simultaneamente.'

'Encontre os valores máximo e mínimo de x+y quando a desigualdade 0≤y≤-1/2|x|+3 é satisfeita, e os valores correspondentes de x e y.'

'Prova de desigualdade (5)...desigualdade envolvendo valor absoluto'

'Prove que as seguintes desigualdades são verdadeiras quando a > 0, b > 0. Além disso, determine os casos em que a igualdade é verdadeira. (1) a+9/a ≥ 6 (2) 6b/a + 2a/3b ≥ 4'

'Prove que a desigualdade a+\\frac{1}{4a} \\geqq 1 é verdadeira quando a>0. Além disso, determine as condições em que a igualdade é verdadeira.'

'Por favor, resolva a seguinte desigualdade: a+8 > \\frac{3 a}{a+1}'

'Resolver o sistema de equações dado'

'Resolva as seguintes equações e encontre o intervalo de valores para a.'

'Prove que a desigualdade e^x > 1 + x é verdadeira, onde x não é igual a 0.'

'Resolver a desigualdade |x-2|>4.'

'Resolver as seguintes desigualdades: (1) 4 x + 5 > 3 x - 2 (2) 9 - x ≤ 2 x - 3 (3) \\frac{4 - x}{2} > 7 + 2 x'

'De que cor é o seu chapéu? - O uso da redução ao absurdo -'

'Desigualdades quadráticas contendo parâmetros'

'Condições para a desigualdade ser sempre verdadeira'

'Solução para Desigualdades Quadráticas (1)'

'Resolver a seguinte desigualdade: 0.2x - 7.1 > -0.5(x+3)'

'Qual é a solução da desigualdade |3x-6|<b? Se o gráfico de y=b estiver acima do gráfico de y=|3x-6|, qual será o intervalo de valores de x que ele cobrirá? Por favor, explique para o caso em que b>0.'

'Já aprendi que quando α<β, a solução para (x−α)(x−β)<0 é que α<x<β. Agora estamos procurando o cenário reverso.'

'Resolver as seguintes equações e desigualdades.'

'Resolver as seguintes desigualdades.'

'Qual é a solução da desigualdade |3x-6|<ax? Se o gráfico de y=ax estiver acima do gráfico de y=|3x-6|, a que intervalo de valores de x corresponde?'

'Resolver as seguintes equações e desigualdades: (1) |2x-3|=5 (2) |x-3|>2 (3) 3|1-x|≤2'

'Resolver estas duas desigualdades quadráticas.'

'Determine os valores das constantes a e b para que a solução da desigualdade quadrática ax^2+9x+2b>0 seja 4<x<5.'

'Determinação de coeficientes a partir das soluções de uma desigualdade quadrática'

'Desigualdades e problemas de palavras'

'Resolver as seguintes desigualdades. (1) { 4 x + 1 < 3 x - 1 \\ 2 x - 1 ≥ 5 x + 6 } (2) { 2 x + 3 > x + 2 \\ 3 x > 4 x + 2 } (3) 2(x - 3) + 5 < 5 x - 6 ≤ \\frac{3 x + 4}{3}'

'Representação de texto da solução de uma desigualdade quadrática'

'Solução de desigualdades de segundo grau (2)'

'Resolver as seguintes desigualdades quadráticas.'

'Resolver as seguintes duas desigualdades. (2) 6 x^{2}-5 x+1>0'

'Transformou a desigualdade (A) nas seguintes (1), (2) em equações (1), (2), (3) sequencialmente, e derivou (3) como a solução de (A). Determine se a solução (3) está correta ou incorreta. Se estiver incorreta, indique qual transformação (A)→(1), (1)→(2), (2)→(3) está incorreta. Aqui, a é um número real constante. (1) (A): \\sqrt{2} x+3＞2 x+1 、 (1): (\\sqrt{2}-2) x＞-2 、 (2): x＞\\frac{-2}{\\sqrt{2}-2} 、 (3): x＞\\sqrt{2}+2 (2) (A): a^{2}|x|-1＜a^{2}-|x| 、 (1): (a^{2}+1)|x|＜a^{2}+1 、 (2): |x|＜1 、 (3): -1＜x＜1'

'Resolver a desigualdade: (4) \ -\\frac{2 x+1}{6}<\\frac{x+1}{2} \.'

'Resolver x(x-1)<0.'

'Investigue se as seguintes duas desigualdades são verdadeiras para todos os números reais x:\n(1) 2x^2-3x+1 < 0\n(2) 2x^2-4x+2 ≥ 0\n(3) 2x^2-5x+4 ≤ 0\n(4) 2x^2-6x+4 > 0'

'Aplicação de duas desigualdades (soluções:)'

'Resolver as seguintes desigualdades:\n(1) \\\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}>1+x \\\\ x\\leqq 15-6 x^{2}\\end{\overlineray}\\right.\\n(2) \2\\leqq x^{2}-x\\leqq 4 x-4\\n(3) \\\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}+3 x+2\\leqq 0 \\\\ x^{2}-x-2<0\\end{\overlineray}\\right.\'

'Na classe da Hanako, ela pensou na desigualdade |3x-6| <ax+b em sua aula de matemática, onde a, b são constantes. Vamos primeiro encontrar a solução para a desigualdade (1) quando a = 2, b = 1.'

'Aplicações de Sistemas de Desigualdades (Quadráticas)'

'Resolver a seguinte desigualdade: (4) - (2x+1)/6 < (x+1)/2 < (1/4)x + 1/3'

'Resolva a equação x^{2}-x-6 \\geqq 0.'

'Resolver a desigualdade: 5(x-3) < 3(2x-5)'

'Resolver as seguintes equações:\n(1) |3x+8|=5x\n(2) |x+1|+|x-1|=2x+8'

'Resolva as seguintes desigualdades.'

'Resolver a desigualdade (5) |5x-9| ≤ 3 e encontrar o intervalo de x.'

'Solução: O valor de x é [2, 12/5]'

'Resolver as seguintes equações e desigualdades.'

'Examine a relação entre os seguintes 2 números e expresse-os como desigualdades.'

'Extrair informações das soluções de duas desigualdades.'

'Resolver as seguintes desigualdades.'

'Examine a veracidade das seguintes proposições. Use conjuntos para investigar (2), (3).\n(2) Para números reais x, se |x|>2 então x>2.\n(3) Para números reais x, se |x+2|<1 então |x|<3.'

'Quando a = 4, b = 6, encontre o intervalo de x que satisfaz a desigualdade (1) |3x - 6| < 4x + 6.'

''

'Resolver a desigualdade \ \\frac{x+1}{2}<\\frac{1}{4} x+\\frac{1}{3} \.'

'Resolver as seguintes desigualdades. (3) 3(x+4)/3 - (x-2)/2 > x - 1/6, -2(x-2) < x-5'

'Resolver a seguinte desigualdade: (3) -x^{2}-x+2 \\geqq 0'

'Prova da proposição usando Contrapositivo'

''

'Domine as propriedades das desigualdades e conquiste o exemplo 34!'

'Vamos revisar os conceitos básicos das desigualdades simultâneas e das desigualdades quadráticas!'

'Capítulo 2 Números reais, desigualdades de primeiro grau: 61 desigualdades'

'Vamos revisar o básico das desigualdades quadráticas!'

'Resumo dos métodos de solução para duas desigualdades'

'Desigualdade absoluta'

'Explique as propriedades de uma desigualdade linear.'

'Resolver a seguinte desigualdade.'

'Resolver as seguintes 2 desigualdades quadráticas:'

''

'Considere a desigualdade |2x-6|<x'

'Explique as propriedades básicas das desigualdades lineares.'

'Domine as propriedades das desigualdades e conquiste o Exemplo 34!'

'Prática 3: Aplicação de Desigualdades Simultâneas de Segunda Ordem'

'Discriminante, vamos rever o básico das inequações quadráticas!'

'Resolver as seguintes desigualdades quadráticas. (1) x^2 + 2x + 1 > 0 (2) x^2 + 4x + 4 ≥ 0 (3) 1/4 x^2 - x + 1 < 0 (4) -9x^2 + 12x - 4 ≥ 0'

'(2) $\\left|x^{2}-6 x-7\\right| \\geqq 2 x+2$'

'Encontre o intervalo de valores para a constante m, de modo que as duas desigualdades dadas sejam sempre válidas.'

'Resumo da resolução de duas desigualdades'

'Resolver a desigualdade 3|x+1|≥x+5.'

'Encontre o intervalo de valores para a constante a para que a desigualdade sempre seja verdadeira dentro de um certo intervalo'

'A solução da desigualdade (1) é y = |2x-6| - x...o intervalo de valores de x para os quais y < 0 no gráfico de (2). (Use o gráfico de (2) para encontrar a solução para (1).\n(i) Resolver 2x-6 ≥ 0 dá x ≥ , resolver 2x-6 < 0 dá x < , portanto, quando x ≥ , (2) é y = .\nQuando x < , (2) é y = .'

'Seja TR(x) um número real. Usando conjuntos, determine o valor de verdade das seguintes proposições.'

'Resolva as seguintes desigualdades quadráticas.'

'Resolver o sistema de desigualdades { |x+1|<\\frac{3}{2}, x^{2}-2 x-3>0 }.'

'Resolver as seguintes desigualdades:'

'Prática 1: Desigualdade com valor absoluto e gráfico'

'Resolver as seguintes desigualdades quadráticas.'

'Determine os valores das constantes a e b de modo que:\n(1) A solução da desigualdade quadrática x^2 + ax + b < 0 seja -\x0crac{1}{2} < x < 3.\n(2) A solução da desigualdade quadrática ax^2 + x + b ≤ 0 seja x ≤ -1, 2 ≤ x.'

'Resolver a desigualdade 3|x+1| ≥ x+5.'

'Desigualdade absoluta'

'Resolver a desigualdade |2x|+|x-5|≥8.'

'Resolver as seguintes desigualdades: (1) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}4 x-1<3 x+5 \\\\ 5-3 x<1-x\\end{\overlineray}\\right.'

'Resumo dos métodos para resolver desigualdades quadráticas'

'Encontre a solução para o sistema de inequações \\(\\left\\{\egin{array}{l}x>3a+1\\\\2x-1>6(x-2)\\end{array}\\right.\\) e determine o intervalo da constante \a\ que satisfaz as seguintes condições.\\n1. Não há solução.\\n2. A solução contém 2.\\n3. A solução contém apenas 3 inteiros.'

'Resolver a desigualdade p x ≥ 2 x-3 para uma constante p.'

'Resolver as seguintes desigualdades.'

'Resolver as seguintes desigualdades quadráticas.'

'Encontre o intervalo de valores para a constante $a$ que satisfaz as seguintes condições para a solução do sistema de desigualdades \\left\\{\egin{\overlineray}{l}3 x-7 \\leqq 5 x-3 \\\\ 2 x-6<3 a-x\\end{\overlineray}\\right.: (1) O sistema tem uma solução. (2) A solução contém exatamente 3 inteiros.'

'Encontre todos os valores do inteiro x que satisfaçam o sistema de desigualdades {2(x+1) ≥ 5x-2, -5x < -3x+4}.'

'Prove a desigualdade A < B ≤ C.'

'Resolver as seguintes desigualdades.'

'Resolva as duas desigualdades usando um gráfico.'

'TREINAMENTO: 35 (2)'

'(1) y ≥ 0\n(2) y ≤ 0\n(3) 0 ≤ y ≤ 6\n(4) -1 ≤ y < 1'

'Prove que 3x+1>x+3 quando x>1. (2) Prove a desigualdade a^2-2ab+3b^2 ≥ 0 e determine as condições para a igualdade.'

'Resolver a desigualdade \\\log _{2} x-6 \\log _{x} 2 \\geqq 1 \.'

'(1) Prove que se x+y>0 e x-y>0, então 2x+y>0.'

'Prove que as seguintes desigualdades são verdadeiras.'

'Represente graficamente a região representada pela seguinte desigualdade.'

'Prove a seguinte desigualdade.'

'Prove as seguintes desigualdades:'

'Prove que a desigualdade se mantém'

'Resolver a desigualdade $2 \\log _{3} x-4 \\log _{x} 27 \\leqq 5$.'

'Que desigualdade representa a área sombreada à direita da região A? Suponha que não inclui as linhas de limite.'

'Solução de desigualdades exponenciais: Resolva a seguinte desigualdade exponencial.'

''

'Resolver a desigualdade 2log₃x - 4logₓ27 ≤ 5.'

''

'Prove as seguintes desigualdades e determine quando a igualdade é verdadeira.'

'Solução de desigualdades logarítmicas (2): Resolva a seguinte desigualdade logarítmica.'

'Encontre os valores máximo e mínimo de x-4 y quando as desigualdades x >= 0, y >= 0, x-2 y+8 >= 0, 3 x+y-18 <= 0 são satisfeitas.'

'Prove a desigualdade $\\frac{3}{10}<\\log_{10} 2<\\frac{4}{13}$ sem usar $\\log_{10} 2=0.3010 \\cdots \\cdots$. Considerando que $2^{10}=1024,2^{13}=8192$, então $10^{3}<2^{10}, 2^{13}<10^{4 }$. Tomando o logaritmo comum de ambos os lados dessas desigualdades.'

'Resolver a desigualdade: \9^x < 27^{5-x} < 81^{2x+1}\'

'Encontre o valor mínimo de a de modo que a desigualdade a sin ^{2} x+6 sin x+1 seja sempre verdadeira.'

'Quando PR (x, y) satisfaz as 4 desigualdades x≥0, y≥0, x-2y+8≥0, 3x+y-18≤0, encontre o valor máximo e mínimo de x-4y tomado.'

'Tratou de questões que não são abordadas no livro didático STEP UP, especialmente aquelas que requerem atenção especial.'

'Prove que as seguintes desigualdades são válidas quando a ≥ 0 e b ≥ 0 em PR. Também determine as condições em que a igualdade é válida.'

'Solução de desigualdades logarítmicas (1): Resolva a seguinte desigualdade logarítmica.'

'Negação de condições'

'Resolver as seguintes equações e desigualdades.'

'Encontre o intervalo de valores para desigualdades absolutas'

'Resolva as seguintes equações:\n(1) $|x-2|=3x$\n(2) $|x-1|+|x-2|=x$'

'Resolver a desigualdade a(x+1) > x + a^{2}, onde a é uma constante.'

'Encontre o intervalo de constantes m para o qual a desigualdade x^2 - 2mx + m + 6 > 0 vale para todos os valores de x no intervalo 0 ≤ x ≤ 8.'

'Encontre o intervalo de valores para a constante a tal que a desigualdade a(x^2+x-1) < x^2+x seja verdadeira para todos os números reais x.'

'Método para resolver desigualdades com valores absolutos'

'[1] Quando \ x \\leqq-1,7 \\leqq x \, a desigualdade é\n\\nx^{2}-6 x-7 \\geqq 2 x+2\n\\nPortanto, \ \\quad x^{2}-8 x-9 \\geqq 0 \, logo \\( (x+1)(x-9) \\geqq 0 \\)\nPortanto, \ \\quad x \\leqq-1,9 \\leqq x \'

'Resolver as seguintes desigualdades.'

'Para a>0 e D>0, se as duas soluções reais distintas da equação quadrática ax^2 + bx + c = 0 forem α e β (α<β), então as soluções são x < α ou β < x para a x^2 + b x + c > 0. As soluções são α < x < β para a x^2 + b x + c < 0. As soluções são x ≤ α ou β ≤ x para a x^2 + b x + c ≥ 0. As soluções são α ≤ x ≤ β para a x^2 + b x + c ≤ 0.'

'Resolver as duas desigualdades $a(x-3a)(x-a^2)<0$. onde $a$ é uma constante não nula.'

'Resolver duas desigualdades (2) quando α<β, se houver um sinal de igual, ele será incluído na solução'

'Encontre todos os valores do número natural x que satisfazem 5x - 7 < 2x + 5.'

'x ≤ 3 e y > 2'

'Encontre o intervalo da desigualdade x^2-4x+1=t.'

'Propriedades das desigualdades lineares: Se a < b, então a + c < b + c, a - c < b - c. Se a < b e c > 0, então ac < bc, a/c < b/c. Se a < b e c < 0, então ac > bc, a/c > b/c. Se a < b e b < c, então a < c.'

'Resolva os seguintes sistemas de desigualdades: (1) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}2(1-x)>-6-x \\\\ 2 x-3>-9\\end{\overlineray}\\right. (2) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}3(x-4) \\leqq x-3 \\\\ 6 x-2(x+1)<10\\end{\overlineray}\\right. (3) Resolver a desigualdade $x+9 \\leqq 3-5 x \\leqq 2(x-2)$.'

'Em equações ou desigualdades que envolvem valores absolutos, remova o valor absoluto e resolva a equação ou desigualdade considerando a expressão dentro do valor absoluto como um ponto de quebra.'

'Resolver as seguintes desigualdades lineares.'

'Resolver as seguintes equações e desigualdades:'

''

'Mostrar |x-4|>3x como (*)'

'Encontre o intervalo de valores para a constante a onde existem exatamente 3 inteiros x que simultaneamente satisfazem as desigualdades x²-(a+1)x+a≤0 e 3x²+2x-1≥0.'

'Encontre o intervalo de constantes a para as quais a desigualdade ax^2 + y^2 + az^2 - xy - yz - zx ≥ 0 é válida para quaisquer números reais x, y, z. A desigualdade dada é rearranjada em termos de y como y^2 - (z + x)y + a(z^2 + x^2) - zx ≥ 0.'

'Pratique declarar a negação das seguintes proposições e determinar o valor de verdade das proposições originais e suas negações.'

'Desigualdade linear com valor absoluto (usando método gráfico)'

'Pratique resolver as seguintes desigualdades.'

'Resolver a desigualdade \ \\left|x^{2}-2 x-3\\right| \\geqq 3-x \.'

'Pratique indicar as negações das seguintes proposições.'

'[1] Quando \ x \\leqq-1, \\frac{5}{2} \\leqq x \, a desigualdade é \ 2 x^{2}-3 x-5<x+1 \. Simplificando obtemos \ \\quad x^{2}-2 x-3<0 \, logo \\( \\quad(x+1)(x-3)<0 \\). Portanto, \ \\quad-1<x<3 \. A faixa comum com \ x \\leqq-1, \\quad \\frac{5}{2} \\leqq x \ é \ \\quad \\frac{5}{2} \\leqq x<3 \'

'Resolver a desigualdade ax > 3x - b.'

'Quando a=-1, y é uma constante no intervalo -1 ≤ x ≤ 2.'

'Prove |x-4|<3x.'

'Resolver as seguintes desigualdades.'

'Resolver as seguintes desigualdades.'

'Resolver a desigualdade |2x-3| ≤ |3x+2|.'

'Sejam a, b, c e p números reais. Assuma que o conjunto de números reais x que satisfazem as desigualdades ax^2+bx+c>0, bx^2+cx+a>0 e cx^2+ax+b>0 é igual ao conjunto de números reais x que satisfazem x>p.'

'Encontre o intervalo de valores'

'Para todos os números reais x, y, se 9x²-12xy+4y²>0'

'Pratique resolver as seguintes desigualdades quadráticas.'

'Resolver as seguintes desigualdades:'

'(2) x>12'

''

'Pratique resolver o seguinte sistema de desigualdades lineares.'

'Resolva as seguintes equações e desigualdades:\n(1) |x-3| + |2x-3| = 9\n(2) ||x-2|-4| = 3x\n(3) |2x-3| ≤ |3x+2|\n(4) 2|x+2| + |x-4| < 15'

'Por favor, explique as propriedades básicas das desigualdades lineares.'

'Resolver a desigualdade 2x^4-11x^2+5>0.'

'Resolva as seguintes desigualdades lineares:\n(1) 4x - 5 > 3x + 2\n(2) -2x + 7 ≤ 5'

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'Métodos para resolver desigualdades envolvendo razões trigonométricas'

'Resolver as seguintes desigualdades quadráticas.'

'Suponha a desigualdade A < B e prove as seguintes desigualdades:\n1. A + C < B + C\n2. A - C < B - C\n3. A * C < B * C (onde C > 0)\n4. A / C < B / C (onde C > 0)'

'Soluções:\n(1) x > 2\n(2) x > -23\n(3) 11/5 < x < 3\n(4) -2 < x < 0\n(5) -6/5 <= x <= 3\n(6) x < -2 ou x > 6'

'Resolva as seguintes desigualdades:\n(1) x+3<2\n(2) 2x ≥ 5\n(3) -3x ≤ 4'

'Resolver a desigualdade \|x^{2}-4| \\leqq x+2\.'

'Problema de desigualdade absoluta.'

'Resolver a seguinte desigualdade quadrática. (6) 2 x-3>-x^{2}'

'A solução da inequação (5) é x > 0?'

'Resolver a seguinte desigualdade quadrática: (5) 4 x^{2}-5 x-3<0'

'Resolva a desigualdade que contém um valor absoluto.'

'Resolver as seguintes equações ou desigualdades.'

'Quando o irmão mais velho dá 3 lápis para o irmão mais novo, o irmão mais novo acaba com mais'

'Resolver as seguintes desigualdades.'

'Encontre as condições para os números reais a e b de modo que ax^2 + 2bx + 1 > 0 seja válido para todos os números reais x.'

'Resolver o seguinte sistema de desigualdades.'

'Resolver a desigualdade 2x^{2} - 3x - 5 > 0.'

'(4) ≤'

'(4) Resolver a desigualdade x^{2}-2 x-2 \\leqq 0'

'Seja a e b constantes, e seja x^{2}-5 x+6 ≤ 0 (1), x^{2}+a x+b < 0 (2). Dado que não existem valores de x que satisfaçam simultaneamente (1) e (2), e o intervalo de valores de x que satisfaça (1) ou (2) é 2 ≤ x < 5. Encontre os valores de a e b.'

'Resolver a desigualdade | x ^ {2} -2x | > 2-x que inclui o valor absoluto.'

''

'Resolva as duas desigualdades a seguir:\n(2) 6 x^{2}-5 x+1>0'

'Resolver as seguintes duas desigualdades quadráticas.'

'Resolva as seguintes duas desigualdades quadráticas:\n(3) -x^{2}-x+2 \\geqq 0'

'Resolver as seguintes equações ou desigualdades.'

'Resolva o seguinte sistema de inequações.'

'Quando $a+1<5$, ou seja, $a<4$, a partir da figura [4], pode-se ver que $x=a+1$ é minimizado. O valor mínimo é $f(a+1)=a^{2}-7 a-9$'

'Resolver a desigualdade: x(x-1) < 0'

'Resolver as seguintes desigualdades.'

'Encontre as condições sob as quais uma desigualdade sempre se mantém em uma determinada faixa de variáveis.'

'(2) Universidade de Ciências de Chiba) \\ r \\ \\ n Resolver as seguintes desigualdades. \\ r \\ n1. \ \\ left \\ {\\ begin \\ {\overlineray} {l} x ^ {2}> 1 + x \\\\ x \\ leqq 15-6 x ^ {2} \\ fim \\ right. \ \\ r \\ n2. \\ (2 \\ leqq x ^ {2} -x \\ leqq 4 x-4 \\) \\ r \\ n3. \ \\ left \\ {\\ begin \\ {\overlineray} {l} x ^ {2} + 3 x + 2 \\ leqq 0 \\\\ x ^ {2} -x-2 <0 \\ end \\ right. \'

'Resolva as seguintes desigualdades.'

'Determine a condição sobre a constante a de forma que haja exatamente um valor inteiro de x que satisfaça a desigualdade 2x^{2} - 3x - 5 > 0 e x^{2}+(a-3)x-2a+2<0 simultaneamente.'

'Indique a negação das seguintes condições.'

'4 1 desigualdade'

'Resolver as seguintes desigualdades.'

'Resolver a desigualdade dada $2 x^{4}-11 x^{2}+5>0$.'

'Traduzir o texto dado para múltiplos idiomas.'

'Resolver as seguintes desigualdades.'

'Resolver as seguintes desigualdades.'

'Prove que para todos os números positivos x e y, a desigualdade x(logx - logy) ≥ x - y é verdadeira. Prove também que a igualdade só ocorre quando x = y.'

''

''

'Como resolver a desigualdade \ 2 x^{2}+x-6 \\geq 0 \?'

'Prove as seguintes desigualdades usando a desigualdade $|a+b| \\leqq |a|+|b|$:'

'Resolva as seguintes desigualdades.'

'Explique o significado da seguinte expressão: \ p < q \\Leftrightarrow a^p > a^q \, onde \ 0 < a < 1 \.'

'Resolver as seguintes desigualdades para 0 ≤ θ < 2π.'

'Prova de desigualdade'

'Resolver a seguinte desigualdade. Onde a é uma constante positiva. \\[x^{3}-(a+1) x^{2}+(a-2) x+2 a \\leqq 0\\]'

'Prova de 27 desigualdades [usando A-B>0, etc.]'

'Prove e encontre quando a igualdade é válida'

'Graficando desigualdades logarítmicas e regiões'

'Solução para desigualdades exponenciais'

'Resolver as seguintes desigualdades.'

'Resolver a desigualdade \ \\log _{4} x^{2}-\\log _{x} 64 \\leqq 1 \.'

'(1) a^{2}-3 b>0'

'Manuseio de desigualdades envolvendo valores absolutos'

'Pratique resolver as seguintes desigualdades.'

'Extensão da prova da desigualdade da Chuva 31'

'Região representada por uma desigualdade'

'Expresse os tamanhos dos seguintes conjuntos de números usando símbolos de desigualdade.'

'Resolver a desigualdade $\\log_{4}x^{2}-\\log_{x}64 \\leqq 1$.'

'Encontre a área da região representada pelo sistema de desigualdades y≥x², y≤10-3x, y≤x+6.'

'Trace a região representada pelas seguintes desigualdades.'

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'Prove que a desigualdade é verdadeira. Quando é que a igualdade é verdadeira?'

'Encontre a região representada pelas seguintes desigualdades: quando x<0, 2x ≤ y ≤ 1; quando 0 ≤ x < 1/2, 2x ≤ y ≤ x²+1; quando 1/2 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ x²+1; quando x > 1, 1 ≤ y ≤ 2x.'

'Exercício 6\nPara uma constante positiva a, encontre o intervalo de valores de a para que a desigualdade a^x >= x seja verdadeira para todos os números reais positivos x.'

'Seja K a região definida pela desigualdade -sin x ≤ y ≤ cos 2x, 0 ≤ x ≤ π/2. (1) Encontre a área de K. (2) Encontre o volume do sólido obtido ao rotacionar K em torno do eixo x. [Universidade de Kobe]'

'Prova da desigualdade f(x)>g(x)'

'Encontre o intervalo de valores do número real positivo x que satisfaz a desigualdade $x^{2}>2^{x}$.'

'Quando dois números reais x, y satisfazem as duas desigualdades y≤x+1 e x²+4y²≤4, encontre os valores máximo e mínimo de y-2x.'

'Prove a seguinte desigualdade.'

'Prove a desigualdade |S_{n}-\\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x} d x| \\leqq \\frac{1}{n+1}.'

'Quando os números reais x, y satisfazem as desigualdades y≤2x+1 e x²+2y²≤22, encontre os valores máximos e mínimos de x+y.'

'Prove a desigualdade \ \\frac{1}{n}+\\log n \\leqq \\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{k} \\leqq 1+\\log n \.'

'Resolver as seguintes desigualdades.'

'Encontre o intervalo de valores de a que fazem com que a desigualdade a^x >= x seja verdadeira para todos os números reais positivos x.'

'Resolver a desigualdade $\\sqrt{4-x}>x-2$.'

'Prove a desigualdade $\\left|\\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}-\\sqrt{y^{2}+(x+1)^{2}}\\right| \\leqq \\sqrt{2}|x-y|$.'

'Encontre o intervalo de valores para a constante $a$ quando as desigualdades $x^{2}-10 x-24>0,(x+1)(x-a^{2}+a)<0$ são cumpridas simultaneamente e não existe um $x$ existente.'

'Investigue o valor de verdade das seguintes proposições e suas negações.\n(1) Para todos os números reais x, 2 x^{2}+1>0\n(2) Para quaisquer números reais x, y, x^{2}-4 x y+4 y^{2}>0\n(3) Existe um número natural x tal que x^{2}-3 x-10=0'

'Determine se as seguintes declarações são proposições.'

'Resolver as seguintes equações e desigualdades.'

'Encontre o intervalo da desigualdade 3x - 5x < 4 + 8.'

'Multiplique ambos os lados da desigualdade por -1 e resolva 2x^2 + 3x + 7 ≤ 0. Seja D o discriminante da equação quadrática 2x^2 + 3x + 7 = 0, então D = 3^2 - 4 * 2 * 7 = -47 < 0. Portanto, não há soluções para a desigualdade dada. Como uma solução alternativa, complete o quadrado e verifique a falta de soluções.'

'86 - Matemática I'

'Resolver 3(x-1) \\geqq x+3 e encontrar o intervalo da solução.'

'Se o número de itens a comprar for 10 ou menos, então a loja A é mais barata que a loja B, então deixe a quantidade necessária ser x, então x > 10.'

None

'Encontre o intervalo de números reais x que satisfazem a seguinte desigualdade quadrática: a x^2 - 3x + b > 0'

'Seja a uma constante. Encontre o intervalo de valores de a para os quais existem inteiros que satisfazem simultaneamente as seguintes duas desigualdades, e esses inteiros estão limitados a números naturais.'

'Seja a uma constante. Resolva as seguintes desigualdades para x.'

'Prove a desigualdade |x+2|-|x-1| <= 3.'

'Prática 69 Livro p.146 (1) Inequação 2(x-1/2)(x-(a+1))<0 [1] 1/2<a+1 ou seja, a>-1/2, quando esta condição é atendida, a solução da inequação é 1/2<x<a+1. A condição para haver apenas um número inteiro x que satisfaça esta inequação é 1<a+1 ≤ 2, logo 0<a≤ 1 [2] 1/2=a+1 ou seja a=-1/2, neste caso a inequação torna-se 2(x-1/2)^{2}<0, e nenhum número inteiro x satisfaz esta condição. [3] a+1<1/2 ou seja a<-1/2, neste caso a solução da inequação é a+1<x<1/2. A condição para haver apenas um número inteiro x que satisfaça esta inequação é -1 ≤ a+1 <0, portanto -2≤ a<-1. Assim, o intervalo dos valores requeridos para a é -2 ≤ a<-1, 0<a ≤ 1'

'Sejam a, b, c e p números reais. É dado que o conjunto de todos os números reais x que satisfazem as desigualdades ax^2+bx+c>0, bx^2+cx+a>0 e 7cx^2+ax+b>0 é igual ao conjunto de números reais x que satisfazem x>p.'

''

'Quando x = 1, a desigualdade se torna 0 > 0, o que não é uma solução.'

'Encontre o intervalo comum das seguintes desigualdades.\n(A): 6x+5≥2x-3 e x+13 > 7x-5\n(B): 2x+8 > x+7 e 3x-3 > 4x-1'

''

'Resolver as seguintes equações e desigualdades.'

'Responda às seguintes perguntas sobre as duas desigualdades ||x-9|-1|≤2 (1), |x-4|≤k (2), onde k é uma constante positiva.'

'(1) Como x^2 >= 0, temos 2x^2 + 1 > 0. Dado △ A ∩ B ⊂ A e 2 ∈ A, consideramos o caso em que 7 ∈ A. Com 2 ∈ B e 7 ∉ B. (2) Para mostrar A = B, precisamos demonstrar A ⊂ B e B ⊂ A.'

'[3] -a/2 > 1 isto é, quando a < -2'

'Resolver as seguintes desigualdades.'

'Lado 17 | Método para resolver desigualdades simultâneas\n(1) Resolver as seguintes desigualdades simultâneas.\n(a) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}6 x+5 \\geqq 2 x-3 \\\\ x+13>7 x-5\\end{\overlineray}\\right. \n(b) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}2 x+8>x+7 \\\\ 3 x-3>4 x-1\\end{\overlineray}\\right. \n(2) Resolver a desigualdade $9-7 x<3-5 x<2(x-2)$.'

'Resolver -2 x < 3 x - 4 < 2 x, o que é equivalente a |3 x-4| < 2 x, para encontrar a solução.'

'Indique a negação das seguintes proposições.'

'Resolver a seguinte desigualdade: |x-1|+2|x| <= 3'

Resolva as seguintes desigualdades quadráticas. (1) $x^{2}-8x+16>0$ (2) $x^{2}-8x+16<0$ (3) $x^{2}-8x+16 \geqq 0$ (4) $x^{2}-8x+16 \leqq 0$

Resolva as seguintes desigualdades quadráticas. (1) $x^{2}+4 x+6>0$ (2) $x^{2}+4 x+6<0$ (3) $x^{2}+4 x+6 \geqq 0$ (4) $x^{2}+4 x+6 \leqq 0$

Desigualdade Quadrática Básica 93 Resolução de Desigualdades Quadráticas (1)

Resolva as seguintes desigualdades quadráticas. (1) $2 x^{2}-5 x+2<0$ (2) $-4 x^{2}+4 x+1 \leqq 0$

Básico 32 Utilização das Propriedades das Inequações (1) Padrão 33 Utilização das Propriedades das Inequações (2) Básico 34 Resolução de Inequações Lineares Básico 35 Resolução de Sistemas de Inequações Padrão 36 Soluções Inteiras de Inequações Padrão 37 Problemas Verbais de Inequações Básico 38 Equações e Inequações Envolvendo Valores Absolutos…Básico Padrão 39 Solucionar Equações Envolvendo Valores Absolutos por Análise de Casos

Resolva as seguintes equações e desigualdades. (1) \( |(\sqrt{14}-2) x+2|=4 \) (2) $3|x-1| \leqq 4$ (3) $x+|3 x-2|=3$

Encontre o intervalo de valores para a constante $a$ que satisfaça as seguintes condições para a solução do sistema de desigualdades \( \left\{egin{array}{l}x>3a+1 \ 2x-1>6(x-2)\end{array} ight. \): (1) Não existem soluções. (2) A solução inclui o número 2. (3) A solução contém exatamente 3 números inteiros.

Exercício 93 - Resolva a seguinte desigualdade quadrática. (6) $x^{2}+x \leqq 6$

Exercício 93 - Resolva a seguinte desigualdade quadrática. (4) $x^{2}+6x+8 \geqq 0$

Determine o valor de verdade das proposições. Seja $x$ um número real e $n$ um número inteiro. Use conjuntos para investigar a veracidade das seguintes proposições. (1) $x<-3 \Longrightarrow 2 x+4 \leqq 0$ (2) $n$ é um divisor positivo de 18 $\Longrightarrow n$ é um divisor positivo de 24

Resolva a seguinte inequação quadrática. (3) $x^{2}-3 x-10 \leqq 0$

Resolva as seguintes desigualdades quadráticas. (1) $x^{2}-4 x+5<0$ (2) $2 x^{2}-8 x+13>0$ (3) $3 x^{2}-6 x+6 \leqq 0$ (4) $x^{2}+3 \geqq 0$

Encontre todos os valores inteiros de $x$ que satisfaçam o sistema de desigualdades \( \left\\{egin{array}{l}2(x+1) \\geqq 5x-2 \\ -5x<-3x+4\end{array}\right\\} \).

Encontre o intervalo de valores para a constante $a$ que satisfaçam as seguintes condições para a solução do sistema de desigualdades: (1) Tem solução. (2) A solução contém exatamente 3 inteiros. \left\{egin{\overlineray}{l}3 x-7 \leqq 5 x-3 \\ 2 x-6 < 3 a-x\end{\overlineray}\right.

Problema de Prática 93 - Resolva a seguinte desigualdade quadrática. (3) $x^{2}-2x < 0$

Resolva as seguintes desigualdades. (1) $8 x+13>5 x-8$ (2) \( 3(x-3) \geqq 5(x+1) \) (3) rac{4-x}{2}<7+2 x (4) \( rac{1}{2}(1-3 x) \geqq rac{2}{3}(x+7)-5 \) (5) \( 0.2 x-7.1 \leqq-0.5(x+3) \)

Resolva as seguintes desigualdades. (1) $4x + 5 > 2x - 3$ (2) \( 3(x - 2) \geq 2(2x + 1) \) (3) rac{1}{2}x > rac{4}{5}x - 3 (4) $0.1x + 0.06 < 0.02x + 0.1$

Dado que \mathbf{4 3}^{\Perp}-rac{5}{2} \leqq x \leqq 2 , encontre o valor máximo da função \( f(x)=(1-x)|x+2| \).

Para o sistema de desigualdades dado \left\{egin{\overlineray}{l}x<6 \\ 2 x+3 \geqq x+a\end{\overlineray}\right. , encontre o intervalo de valores para a constante $a$ que satisfaça as seguintes condições: (1) O sistema tem uma solução. (2) A solução inclui exatamente 2 inteiros.

Seja $x$ um número real. Use conjuntos para determinar o valor de verdade das seguintes proposições. (1) $-1<x<1 \Longrightarrow 2 x-2<0$ (2) $|x|>2 \Longrightarrow 3 x+1 \leqq 0$

Exercício 93 - Resolva a seguinte desigualdade quadrática. (5) $x^{2} > 9$

Vamos organizar o método de resolução de desigualdades quadráticas na forma de um fluxograma. Nos exemplos básicos 93 a 96, resolvemos vários tipos de desigualdades quadráticas. Agora, vamos organizá-los. Considere $ax^{2} + bx + c$. Primeiro, verifique se pode ser fatorado. Se puder, será na forma de \( a(x-lpha)(x-eta) \) ou \( a(x-lpha)^{2} \). Em seguida, desenhe o gráfico $y = ax^{2} + bx + c$, assumindo que $a > 0$. A seguir, está resumido na tabela: egin{\overlineray}{c} Tipo de Desigualdade & Intervalo de Soluções \\hline \( a x^{2}+b x+c>0 & x<lpha, eta<x \\hline $a x^{2}+b x+c \geqq 0$ & x \leqq lpha, \quad eta \leqq x \\hline $a x^{2}+b x+c<0$ & lpha<x<eta \\hline $a x^{2}+b x+c \leqq 0$ & lpha \leqq x \leqq eta \\hline\end{array}\) É importante entender a razão das soluções e não simplesmente memorizar esta tabela.

Inequação Quadrática Básica 94 Solução da Inequação Quadrática (2)

Exercício 93 - Resolva a seguinte desigualdade quadrática. (2) \( (2x+1)(3x-5) > 0 \)

Resolva a desigualdade 2|x+4|<x+10 considerando diferentes casos.

Resolva as seguintes desigualdades quadráticas. (1) $3 x^{2}+10 x-8>0$ (2) $6 x^{2}+x-12 \leqq 0$ (3) $5 x^{2}+6 x-1 \geqq 0$ (4) \( 2(x+2)(x-2) \leqq(x+1)^{2} \) (5) $-x^{2}+3 x+2>0$

Resolva a desigualdade $x^2-4x+3<0$.

Exercício 93 - Resolver a seguinte desigualdade quadrática. (1) \( (x+2)(x+3) < 0 \)

Quando todos os termos da desigualdade são movidos para o lado esquerdo e simplificados, como $a x^{2}+b x+c>0$ e $a x^{2}+b x+c \leqq 0$ (onde $a, b, c$ são constantes e a eq 0 ）, o lado esquerdo se torna uma expressão quadrática em \( x , que é chamada de desigualdade quadrática em $x$. Então, o valor de $x$ que satisfaz a desigualdade quadrática é chamado de solução da desigualdade, e encontrar todas as soluções é chamado de resolver a desigualdade quadrática. Nesta seção, vamos aprender a resolver desigualdades quadráticas usando os gráficos das funções quadráticas. Usaremos ativamente a relação entre o gráfico da função quadrática e o eixo $x$ que aprendemos na seção anterior. ■ Soluções das Desigualdades Quadráticas e Gráficos das Funções Quadráticas Nota: Nas discussões a seguir, não é inconveniente proceder supondo que o sinal do coeficiente $a$ de $x^{2}$ seja positivo. Isso porque quando o sinal de $a$ é negativo, podemos simplesmente multiplicar ambos os lados por -1 para tornar o coeficiente de $x^{2}$ positivo e então resolver. Para encontrar as soluções da desigualdade quadrática \( a x^{2}+b x+c>0 (a>0) \), deixar $y=a x^{2}+b x+c$, então encontrar o intervalo de valores de $x$ para os quais $y>0$ significa encontrar o intervalo de valores de $x$ onde o gráfico de $y=a x^{2}+b x+c$ está acima do eixo $x$. Como exemplo concreto, vamos explicar a desigualdade quadrática $x^{2}-4 x+3>0$(1).

Resolva a seguinte inequação quadrática. (2) \( (x+1)(x-2) < 0 \)

Resolva a desigualdade 3|x+1| $\geqq x+5$.

Resolva as seguintes desigualdades quadráticas. (1) $x^{2}+2 x+1>0$ (2) $x^{2}+4 x+4 \geqq 0$ (3) rac{1}{4} x^{2}-x+1<0 (4) $-9 x^{2}+12 x-4 \geqq 0$

Expresse 'O número obtido subtraindo três vezes um número x de 10 é maior que -5' como uma desigualdade.

Resolva a desigualdade $|2 x|+|x-5| \geqq 8$.

Resolva a desigualdade $x^2 - 4x + 3 > 0$.

Resolva as seguintes desigualdades. (1) \left\{egin{\overlineray}{l}4 x-1<3 x+5 \ 5-3 x<1-x\end{\overlineray} ight. (2) \left\{egin{\overlineray}{l}3 x-5<1 \ rac{3 x}{2}-rac{x-4}{3} \leqq rac{1}{6}\end{\overlineray} ight. (3) rac{2 x+5}{4}<x+2 \leqq 17-2 x

Resolva as seguintes equações e desigualdades. (1) $|2 x-1|=7$ (2) $|2 x+5| \leqq 2$ (3) $|3-x|>4$

Resolva a desigualdade 2x-5<9.