Álgebra Fundamental - Expansão e Fatoração de Expressões

'O termo geral da expansão é\n\\[\\frac{6!}{p!q!r!} \\cdot a^{p} \\cdot(2 b)^{q} \\cdot(3 c)^{r}=\\frac{6!}{p!q!r!} \\cdot 2^{q} \\cdot 3^{r} \\cdot a^{p} b^{q} c^{r}\\]\nonde \ \\quad p+q+r=6, p \\geqq 0, q \\geqq 0, r \\geqq 0 \\n(a) O coeficiente do termo \ a^{3} b^{2} c \ é, quando \ p=3, q=2, r=1 \,\n\\\frac{6!}{3!2!1!} \\cdot 2^{2} \\cdot 3^{1}=720\\n(b) O coeficiente do termo \ a^{4} c^{2} \ é, quando \ p=4, q=0, r=2 \,\n\\\frac{6!}{4!0!2!} \\cdot 2^{0} \\cdot 3^{2}=135\'

'Encontre o coeficiente do termo especificado nas seguintes expressões de expansão.(1) (2x-y-3z)^6 [xy^3 z^2] (2) (1+x+x^2)^10 [x^4] (3) (x+1/x^2+1)^5 [termo constante]'

'Encontre o termo geral e o coeficiente dos termos específicos para as seguintes expressões:'

'(1) \\((x+2-i)(x+2+i)\\)(2) \\((3 x-17)(2 x-9)\\)'

'Resolver as seguintes equações:'

'O termo geral da expansão \\( (a+b+c)^{n} \\) é\n\\\frac{n!}{p!q!r!} \\alpha^{p} b^{q} c^{r}\\nonde \ p+q+r=n \'

'(2) (Solução 1) α^{3}+β^{3}+γ^{3}=(α+β+γ){α^{2}+β^{2}+γ^{2}-(αβ+βγ+γα)}+3αβγ =2 \\cdot(4-0)+3\\cdot4=20'

'(2) O termo geral da expansão é $\\frac{10!}{p!q!r!} \\cdot 1^{p} \\cdot x^{q} \\cdot\\left(x^{2}\\right)^{r}=\\frac{10!}{p!q!r!} \\cdot x^{q+2 r}$ onde $p+q+r=10 \\quad\\cdots\\cdots (1), p \\geqq 0, q \\geqq 0, r \\geqq 0$.\nO termo com $x^{4}$ ocorre quando $q+2 r=4$, ou seja, quando $q=4-2r$.'

'Encontre o termo geral da seguinte sequência \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \.'

'Expandir os seguintes polinômios.'

'Símbolo de soma \ \\Sigma \, Propriedades de \ \\Sigma \\nSímbolo de soma \ \\Sigma \\n\\n\\sum_{k=1}^{n} a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\\cdots \\cdots+a_{n}\n\\nAs constantes \ p, q \ nesta propriedade são independentes de \ k \.\n\\[\n\\sum_{k=1}^{n}\\left(p a_{k}+q b_{k}\\right)=p \\sum_{k=1}^{n} a_{k}+q \\sum_{k=1}^{n} b_{k}\n\\]\nAs constantes \ c, r \ nas fórmulas para somas de sequências são independentes de \ n \.\n\\[\n\egin{aligned}\n\\sum_{k=1}^{n} c & =n c \\\\ \nEspecialmente \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} 1=n \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} k & =\\frac{1}{2} n(n+1) \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} k^{2} & =\\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1) \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} k^{3} & =\\left\\{\\frac{1}{2} n(n+1)\\right\\}^{2} \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} r^{k-1} & =\\frac{1-r^{n}}{1-r} \\\\( r \\neq 1) \n\\end{aligned}\\]\n'

'Problemas de aplicação do teorema binomial'

'(A + B)(A - B)'

'(1) 6x² + 3 (2) −x⁸ + 3x³ − 1 (3) 2(x² + 1)'

'Traduzir o texto dado para vários idiomas.'

'(A + B)^2 + (A - B)^2'

'Simplifique a seguinte fração contínua:\n\\n\\frac{1}{1+\\frac{1}{1+\\frac{1}{x+1}}}\n\'

'Expandindo e simplificando a equação obtida em (3) (2) temos: x^2 - mx + y^2 - (m^2 + 2)y = 0. Substituindo y = x^2 temos x^2 - mx + x^4 - (m^2 + 2)x^2 = 0, que se simplifica para x(x + m)(x^2 - mx - 1) = 0. Portanto, x = 0, -m, α, β. Assim, a condição necessária e suficiente para a parábola y = x^2 e o círculo obtido em (2) A, B, O não terem outros pontos em comum é o x = -m ser uma raiz da equação x(x^2 - mx - 1) = 0.'

'Fatorize as seguintes equações quadráticas no intervalo de números complexos:\n1. x^{2}+4 x+5\n2. 6 x^{2}-61 x+153'

'(2) 1 + 3x + 5x^{2} + ... + (2n - 1)x^{n - 1}'

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'(1) $(x-2)(x^{2}+x+2)$\n(2) $(x+1)(x+2)(x-3)$\n(3) $(x-1)^{2}(x^{2}+2x+3)$\n(4) $(x+1)(x-3)(x^{2}+2)$\n(5) $(3x+1)(4x^{2}-3x+1)$\n(6) $(x-1)(2x+1)(x^{2}+x-1)$'

'Encontre o resto de P(x) = x³-4x²+x-7 quando x = -2'

'(1) Uma vez que as soluções são \ \\alpha, \eta \, temos'

'Divida P(x) por (x+1)^{2}(x-2), sendo o quociente Q(x) e o resto R(x), então a seguinte equação é válida.'

'Determine os valores das constantes a, b, c e d para que a equação (x + a y - 3)(2 x - 3 y + b) = 2 x^{2} + c x y - 6 y^{2} - 4 x + d y - 6 se torne uma identidade em termos de x e y.'

'\\[ 3(a x+2 b y)-(a+2 b)(x+2 y) \\]\n\\[=3 a x+6 b y-(a x+2 a y+2 b x+4 b y) \\]\n\\[=2(a x-a y-b x+b y) \\]\n\\[=2\\{ a(x-y)-b(x-y) \\} \\]\n\\[=2(a-b)(x-y) \\]\n\ a>b, x>y assim, a-b>0, x-y>0 \\n\\[2(a-b)(x-y)>0 \\]\n\Portanto \\n\\[(a+2 b)(x+2 y)<3(a x+2 b y) \\]'

'Além disso, x^{3/2} + x^{-3/2} = (x^{1/2} + x^{-1/2})^3 - 3x^{1/2}x^{-1/2}(x^{1/2} + x^{-1/2})'

'(A - B)(A^2 + AB + B^2)'

'Encontre o coeficiente do termo especificado nas seguintes expressões expandidas.(1) (2 x+3 y)^{4} [x^{2} y^{2}] (2) (3 a-2 b)^{5} [a^{2} b^{3}]'

'Encontre o termo geral da expansão.'

'Dado que $f(y)=y^{2}+y-a-9$, pode-se observar que $-3<-\x0crac{1}{2}<3$ em relação ao eixo. A partir de $f(3)>0$, temos $a<3$ e a partir de $f(-3)>0$, temos $a<-3$. Portanto, podemos concluir que $-\x0crac{37}{4}<a<-3$.'

'Problema de prática: Encontre os coeficientes de x₁^p, x₂^p, ..., xᵣ^p na expansão de (x₁+x₂+...+xᵣ)^p.'

'Expandir (a+b)ⁿ usando o teorema binomial.'

'Matemática I\n267\n\\[\egin{aligned} y_{1}+y_{2} &= \\triangle \\mathrm{OAP} - \\int_{0}^{1}(-3x^{2}+3)dx + 2y_{1} \\\\ &= \\frac{1}{2} \\cdot 1 \\cdot 3p + 3 \\int_{0}^{1}(x^{2}-1)dx + 2 \\cdot \\frac{1}{2}(2-p)^{3} \\\\ &= \\frac{3}{2}p + 3\\left[\\frac{x^{3}}{3}-x\\right]_{0}^{1} + (2-p)^{3} \\\\ &= \\frac{3}{2}p - 2 + (2-p)^{3} \\\\ &= -p^{3} + 6p^{2} - \\frac{21}{2}p + 6 \\end{aligned}\\]'

'(2) As soluções da equação dada são \ \\alpha, \eta \, portanto'

'Exercício 79 volume 302 p.302 y=a x^(3)-2 x O quadrado da distância entre o ponto (t, a t^(3)-2 t) no ponto e a origem é t^(2)+(a t^(3)-2 t)^(2)=a^(2) t^(6)-4 a t^(4)+5 t^(2)'

'Mostre as condições sob as quais a equação acima é igual a 0.'

'Para um número real t, considere dois pontos P(t, t^{2}) e Q(t+1, (t+1)^{2}).'

'(2) De f(a)=f(a+1) nós obtemos a^{3}-3 a=(a+1)^{3}-3(a+1)'

'Encontre o coeficiente do termo especificado na expansão dada. (1) (x^2+2y)^5 [x^4 y^3] (2) (x^2-2/x)^6 [x^6, termo constante]'

'Uma equação cúbica Q(x) com um coeficiente de 1 para 19x^{3} dá um resto de -1 ao ser dividida por x-1 e um resto de 8 ao ser dividida por x-2.'

'Para a sequência \ \\{a_{n}\\} \ onde a soma dos termos do primeiro termo até o n-ésimo termo é dada por \ S_{n}=2 n^{2}-n \, responda às seguintes perguntas:\n1. Encontre o termo geral \ a_{n} \.\n2. Encontre a soma \ a_{1}+a_{3}+a_{5}+ \\ldots \\ldots+a_{2 n-1} \.'

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'Resolver as seguintes equações.'

'Verifique se as seguintes equações são identidades:\n(1) (x-1)^{2}=x^{2}+1\n(2) (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})\n(3) \\frac{2 x+1}{2 x-1} \\times \\frac{4 x^{2}-1}{(2 x+1)^{2}}=1\n(4) \\frac{1}{3}\\left(\\frac{1}{x+1}-\\frac{1}{x+3}\\right)=\\frac{1}{(x+1)(x+3)}'

''

'Expandir cada termo do lado esquerdo da equação complexa para mostrar que ele se simplifica para a equação simples no lado direito.\n(2), (3) Como ambos os lados esquerdo e direito são igualmente complexos, transforme-os respectivamente para mostrar que se tornam a mesma expressão.'

'Fatorize x⁴+2x²-8 como (x²+4)(x²-2)'

'Em matemática, ou seja, (α-1)(β-1)(γ-1) = 0, assim, pelo menos um dos α, β, γ é 1.'

'Encontre o resto da divisão do polinômio x^2020 + x^2021 pelo polinômio x^2 + x + 1.'

'(2) Considerando t=x+1/x, prove por indução matemática que x^n+1/x^n se tornará uma equação de n-ésimo grau de t.'

'Calcular os índices dados'

'Seja k um número real. Para a equação cúbica f(x)=x^{3}-kx^{2}-1, sejam as três raízes da equação f(x)=0 α, β, γ. Seja g(x) uma equação cúbica com um coeficiente de 1 para x^{3}, e sejam as três raízes da equação g(x)=0 αβ, βγ, γα.\n(1) Expressar g(x) em termos de α, β, γ.\n(2) Encontrar os valores de k para os quais as duas equações f(x)=0 e g(x)=0 têm uma solução em comum.'

'No livro de prática 8 (página 35), se o coeficiente do termo cúbico de P for denotado como a, e b, c como constantes, então P = (x+1)^2(ax+b), P-4 = (x-1)^2(ax+c).'

'Traduzir o texto fornecido para vários idiomas.'

'300'

'Prática 56 (1) (Primeira metade) P_1=α+β=(1+√2)+(1-√2)=2 Além disso αβ=(1+√2)(1-√2)=-1 Portanto P_2=α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=2^2-2(-1)=6 (Segunda metade) [1] Quando n=1, P_1=2, quando n=2, P_2=6 Portanto, para n=1,2, P_n é um número par que não é múltiplo de 4. [2] Supondo n=k, k+1, quando n=k, k+1, P_n é um número par que não é múltiplo de 4.'

'Seja o primeiro termo a, a diferença comum d e seja a soma do primeiro termo até o n-ésimo termo S_{n}. Sabe-se que S_{5}=125 e S_{10}=500, então 1/2・5{2a+(5-1)d}=125 e 1/2・10{2a+(10-1)d}=500. Portanto, temos a+2d=25 ... (1), 2a+9d=100 ... (2). A solução das equações (1) e (2) simultaneamente dá a=5, d=10'

'Para o polinômio f(x)=x^{4}-x^{2}+1, responda as seguintes perguntas.'

'Determine o valor do número real x para que (1 + xi)(3 - i) se torne (1) um número real ou (2) um número puramente imaginário.'

'(3u-v)(-u³+3u-v) < 0'

'(1) O termo geral da expansão de $\\left(x^{2}+2 y\\right)^{5}$ é $_{5} \\mathrm{C}_{r}\\left(x^{2}\\right)^{5-r}(2 y)^{r}={ }_{5} \\mathrm{C}_{r} \\cdot 2^{r} x^{10-2 r} y^{r}$. O termo $x^{4} y^{3}$ ocorre quando $r=3$, e seu coeficiente é'

'Expandir as seguintes expressões: (a+b)³ e (a-b)³'

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'Determine os valores das constantes a, b e c, para que a equação seja uma identidade em relação a x.'

'Encontre os coeficientes dos termos a^{3} b^{2} c e a^{4} c^{2} na expansão de (a+2b+3c)^{6}.'

'A sequência {P_{n}} é definida da seguinte forma.'

'Por favor, liste três funções básicas da versão digital dos livros de referência no estilo de gráfico.'

'Prova de progressão aritmética'

'Pratique, fatorize as seguintes expressões.'

'Para que P possa ser fatorado como um produto de equações lineares em x e y, α e β não devem ser equações lineares em y?'

'Expandir as seguintes expressões. (1) (a+2 b)^{7} (2) (2 x-y)^{6} (3) (2 m+n/3)^{6}'

'Usando o teorema binomial, prove a seguinte equação.'

'Considerando o caso quando em matemática B 329 n=k+2'

'Por favor, prove a identidade da função.'

'Transformação de Relações de Recorrência, Transformação Matemática da Recorrência das Relações\n- Termos adjacentes 2 \\( a_{n+1} = p a_{n} + q \\(p \\neq 1) \\) Para \ \\alpha \ que satisfaz \ \\alpha = p \\alpha + q \\n\\[\na_{n+1} - \\alpha = p\\left(a_{n} - \\alpha\\right) \n\\]\n- Termos adjacentes 3 \ p a_{n+2} + q a_{n+1} + r a_{n} = 0 \ \ p x^{2} + q x + r = 0 \ com soluções \ \\alpha, \eta \ então\n\\[\na_{n+2} - \\alpha a_{n+1} = \eta\\left(a_{n+1} - \\alpha a_{n}\\right)\n\\]\nIndução Matemática\nO procedimento para demostrar a proposição \ P \ referente ao número natural \ n \ que vale para todos os números naturais é o seguinte\n[1] Provar que \ P \ é verdadeiro quando \ n=1 \.\n[2] Assumindo que \ P \ é verdadeiro para \ n=k \, provar que também é verdadeiro para \ n=k+1 \.'

'(3) Assuma que existam números reais p, q, r, s, t, u que satisfaçam a equação x^{2}+y^{2}-5=(p x+q y+r)(s x+t y+u). Ao expandir o lado direito, o coeficiente de x^{2 é p s, então comparando os coeficientes de x^{2 em ambos os lados temos p s=1. Portanto, deve ser o caso de que p não é igual a 0 e s não é igual a 0.'

'Seja a uma constante real e considere dois círculos C1: x^{2}+y^{2}=4 e C2: x^{2}-6x+y^{2}-2ay+4a+4=0'

'Fatorize a seguinte expressão.'

'Encontre o resto da divisão do polinômio $P(x)=4 x^{3}-2 x^{2}-5 x+3$ pelas seguintes expressões lineares: (a) $x+1$ (b) $2 x-1$'

'Utilize o teorema do fator para fatorar as seguintes equações.'

'Por favor, encontre os coeficientes da seguinte expressão.(6) x^6-12x^5+60x^4-160x^3+240x^2-192x+64'

'Expansão 51: Fatoração de uma expressão quadrática de 2 termos (usando a fórmula para raízes)'

'Divisão Sintética\nConsidere o polinômio cúbico $P(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ dividido pelo polinômio linear $x-k$ resultando em um quociente $Q(x)=l x^{2}+m x+n$ e um resto $R$.\nOs coeficientes $l, m, n$ deste quociente e o resto $R$ também podem ser obtidos por um método chamado divisão sintética.\n\nProva Uma vez que a equação de divisão $P(x)=(x-k) Q(x)+R$ é verdadeira\n\\[\na x^{3}+b x^{2}+c x+d=(x-k)\\left(l x^{2}+m x+n\\right)+R\n\\]\nEsta equação é uma identidade em relação a $x$.\nExpandindo e simplificando o lado direito\n\\[\na x^{3}+b x^{2}+c x+d=l x^{3}+(m-l k) x^{2}+(n-m k) x+(R-n k)\n\\]\nComparando coeficientes em ambos os lados\n\\na=l, \\quad b=m-l k, c=n-m k, d=R-n k\n\\]\nPortanto\n\\[\nl=a, \\quad m=b+l k, \\quad n=c+m k, \\quad R=d+n k\n\'

'Encontre o coeficiente de um termo com uma expansão'

'Verifique se as seguintes equações são identidades.'

'Seja k uma constante. Encontre o valor de k quando o coeficiente do termo a^{2}bc^{2} na expansão de (a+kb+c)^{5} for 60. Além disso, encontre o coeficiente do termo ac^{4} nesse ponto.'

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'Fatorize a seguinte expressão.'

'Determinação de coeficientes de identidade (1)...Método de comparação de coeficientes'

'[7!/(3!2!2!)]'

'Expanda (a+b)^{4} usando o teorema binomial e encontre os coeficientes de cada termo.'

'Seja {a_{n}} a sequência: 1, 3, 8, 19, 42, 89, e seja {b_{n}} suas diferenças. Se as diferenças da sequência {b_{n}} formarem uma sequência geométrica,\n(1) Encontre o termo geral da sequência {b_{n}}.\n(2) Encontre o termo geral da sequência {a_{n}}. Exemplo Básico 19'

'Usando o teorema do binômio, encontre a forma expandida das seguintes expressões.'

'Encontre o coeficiente do termo [x^{3} y^{2} z] na expansão da seguinte expressão.'

'Para que a equação $x^{3}-1=a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)$ seja uma identidade para todo $x$, determine os valores das constantes $a, b, c$.'

'Determine os valores das constantes a e b para que os seguintes polinômios sejam divisíveis pelas expressões dadas:'

'\ 30 \\quad \\frac{7}{3} x^{2}-x-\\frac{1}{3} \'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Decomposição em frações parciais'

'Lição 61: Resolução de Equações de Grau Superior (1) - Utilizando a Fatorização'

'Encontre o coeficiente do termo dentro de [ ] na expressão expandida.'

'Na fatoração de polinômios de grau superior, encontramos o inteiro k que satisfaz P(k) = 0 e então usamos o teorema do fator. Aqui vamos nos concentrar em como encontrar o inteiro k que satisfaz P(k) = 0.'

'Qual é o coeficiente da expansão de (a+b+c)^{n}?'

'Encontre o coeficiente do termo [ ] na expressão expandida.'

'Encontre os polinômios A e B que satisfaçam as seguintes condições:'

'Básico 45: Fatorizando uma equação quadrática no domínio dos números complexos'

'Encontre o coeficiente de [a b^{2} c^{2}] na forma expandida de (a+b+c)^{5}.'

'Teorema do binômio'

'Verifique se as seguintes equações são identidades.'

'Em Matemática I, aprendemos sobre a fatorização e como usá-la para resolver equações quadráticas. Aqui, vamos considerar métodos para resolver equações de grau 3 ou superior usando o teorema do fator.'

'Se as duas soluções da equação quadrática $(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)=0$ forem $\\alpha$ e $\eta$, encontre os valores das seguintes expressões. (1) $\\alpha\eta$ (2) $(1-\\alpha)(1-\eta)$ (3) $(\\alpha-2)(\eta-2)$'

'Transforme x^2+1/(x^2-1) em 4(x^2-1)+1/(x^2-1)+4 e considere isso.'

'Expanda (a+b)^4 usando o teorema binomial.'

'Determine os valores das constantes a, b e c para tornar as seguintes equações identidades em relação a x: (1) \\frac{4 x+5}{(x+2)(x-1)}=\\frac{a}{x+2}+\\frac{b}{x-1} (2) \\frac{3 x+2}{x^{2}(x+1)}=\\frac{a}{x}+\\frac{b}{x^{2}}+\\frac{c}{x+1}'

'Dado que B = x^2 + x - 3, Q = 4x - 1, R = 13x - 5, encontre A.'

'(2) \\( (x-1)(x+1)(x-2)(x-3) \\)'

'Expandir as seguintes expressões.'

'A coordenada x dos pontos de interseção entre a curva C e a reta l é dada pela equação x^{3}+2 x^{2}-4 x-8=0. O lado esquerdo pode ser fatorado como x+2, então fatorando-o obtemos (x+2)^{2}(x-2)=0, o que resulta em x=2,-2. Portanto, uma das coordenadas x dos pontos onde a curva C intersecta a reta l, excluindo os pontos de tangência, é 2.'

'Considere a sequência {a_n} do primeiro termo ao quinto termo, para n=1,2,3,4, temos a_{n+1}=a_{n}+A×10^{n}.... para todos os números naturais n que satisfazem (1). Neste caso, a_{n+2}=a_{n}+B×10^{n}....(2) é válido. a_{1}=11, a_{2}=101, de (2), quando n é E, a_{n} é múltiplo de 11 e quando a_{n} é múltiplo de 11, n é F.'

'Dado A, Q, e R, como encontrar B?'

'Expandir a seguinte expressão.'

'Fatorize as seguintes equações quadráticas no intervalo de números complexos:\n(1) \x^{2}-3 x-3 \\n(2) \ 2 x^{2}+4 x-1 \\n(3) \ 2 x^{2}-3 x+2 \'

'Seja {a_{n}} uma sequência, defina b_{n}=\\frac{a_{1}+a_{2}+\\cdots \\cdots+a_{n}}{n}'

'(3) \\( (2 x+1)\\left(3 x^{2}-x+2\\right) \\)'

'Encontre o coeficiente do termo [ ] na expressão expandida. 6 (1) (x+y+z)^{8}[x^{2} y^{3} z^{3}] (2) (x-y-2 z)^{7} [x^{3} y^{2} z^{2}]'

'Prove que a equação a^{2}-bc=b^{2}-ca é válida quando a+b+c=0.'

'(1) (x-1)(x+1)(x+3)'

'Utilizando as fórmulas de soma e produto'

'Em Matemática I, lidamos com expressões quadráticas. Em Matemática II, lidaremos com expressões de grau superior como equações cúbicas. Portanto, vamos primeiro aprender sobre a expansão e a fatorização de expressões cúbicas.'

'Encontre o coeficiente do termo x^4 na expansão.'

''

'Expandir e fatorar um polinômio de terceiro grau'

'Se as duas soluções da equação quadrática 2x²-3x+5=0 são α e β, então qual é a equação quadrática com soluções α² e β²?'

'Fatorize a equação quadrática de 512 ienes usando a fórmula para soluções.'

'Determine os valores das constantes a e b para que a seguinte equação seja uma identidade em termos de x:'

'Usando o teorema do binômio, encontre a expansão das seguintes expressões.'

'Fatorize a seguinte equação: \\(x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)\\).'

'Qual é o coeficiente de [x^3] na expansão das seguintes expressões?'

'Como encontrar o termo geral a partir de uma relação de recorrência.\\nResolva as seguintes relações de recorrência para encontrar o termo geral da sequência:\\n\\n1. Tipo de sequência aritmética\\n\ a_{n+1}=a_{n}+d \\\n\ [d \ é uma constante \\]）\\n\\n2. Tipo de sequência geométrica\\n\ a_{n+1}=r a_{n} \\\n\ [r \ é uma constante \\]）\\n\\n3. Tipo de sequência de diferença\\n\\( a_{n+1}=a_{n}+f(n) \\)\\n\\( [ f(n) é o termo geral da sequência de diferença \\]）\\n\\nAlém disso,\\n\ a_{n+1}=p a_{n}+q\\\n\ p \ e \ q \ são constantes, onde \\( p \\neq 1, q \\neq 0 \\）\\nna forma de uma relação de recorrência, e encontrar o termo geral da sequência.'

'Básico 59: Fatoração de polinômios de alto grau'

'Encontre a soma dos coeficientes dos termos de x^2, x^4 e x^6 na forma expandida de (1+x)(1-2x)^5.'

'Encontre o coeficiente de x^{11} na expansão de 15^4(1+x+x^2)^{8}.'

'Fatorize a seguinte expressão.'

'Encontre o quociente e o restante quando A for dividido por B em cada um dos seguintes casos:'

'Determine os fatores das expressões a seguir.'

'Seja \ \\left\\{a_{n}\\right\\}: 1,3,8,19,42,89, \\cdots \\cdots \ uma sequência. Seja \ \\left\\{b_{n}\\right\\} \ sua sequência de diferenças. Quando a sequência de diferenças de \ \\left\\{b_{n}\\right\\} \ é uma progressão geométrica: (1) Encontre o termo geral da sequência \ \\left\\{b_{n}\\right\\} \. (2) Encontre o termo geral da sequência \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \.'

'Encontrar a forma expandida'

'Expandir e fatorar a expressão fornecida'

'Quando a=2, (x-2y+1)(x+y+1), quando a=-5/2, (x-2y-2)(x+y-1/2)'

'TREINAMENTO 13 Encontre a soma das seguintes sequências geométricas. (1) Primeiro termo 4, razão comum 1/2, número de termos 7 (2) Sequência 3, -3, 3, -3, ..., número de termos n (3) Sequência 18, -6, 2, ..., número de termos n'

'Encontre o termo geral da sequência harmônica {an}, onde o 2º termo é 1 e o 5º termo é 1/13.'

'Vamos encontrar as soluções para a equação x^4 + 8x^3 + 20x^2 + 16x - 12 = 0.'

'Além de mexer, nomeie dois métodos para aumentar a velocidade de dissolução de um sólido em água sem alterar a quantidade de água e sólido.'

'A 【Figura 1】 mostra um gráfico de assentos de uma sala de aula. Existem um total de 9 assentos, e todos os alunos sentam-se virados para o quadro negro. Para evitar que os alunos se sentem lado a lado na frente, atrás, esquerda e direita, os assentos são atribuídos de acordo. Por exemplo, ao numerar os assentos, se um aluno se sentar no Assento 1, os outros alunos não podem sentar nos Assentos 2 e 4. Responda às seguintes perguntas: (1) Quando A, B, C, D, E, 5 alunos se sentam, quantas formas de atribuição de assentos existem? (2) Quando A, B, C, D, 4 alunos se sentam, quantas formas de atribuição de assentos existem? (3) Quando A, B, C, 3 alunos se sentam, quantas formas de atribuição de assentos existem?'

'Encontre a soma de 1+x+x^2+⋯+x^n.'

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

"Engenharia reversa a partir do 'eu que desejo ser'."

'Para a sequência {an}, responda às seguintes perguntas: (1) Encontre o termo geral da sequência {an^2 + bn^2}. Também encontre lim_{n -> ∞} (an^2 + bn^2). (2) Prove que lim_{n -> ∞} an = lim_{n -> ∞} bn = 0. Além disso, encontre ∑_{n=1}^{∞} an, ∑_{n=1}^{∞} bn.'

'Valor aproximado e expressão aproximada'

''

'Encontre o número de permutações que podem ser formadas ao escolher qualquer combinação de 4 letras da palavra matemática.'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Em todas as permutações dos 8 caracteres do PR NAGOYAJO, quantas permutações contêm tanto AA como OO, e quantas permutações não têm os mesmos caracteres adjacentes?'

'Factorize as seguintes equações:'

'Calcule a seguinte expressão.'

'2 x^{2}-6 x+4'

'O número de formas de escolher 3 alunos para colocar em A é C_9^3'

'Complete o quadrado para 3x^2 - 5x + 1.'

'19 (1) \\((x+y-1)\\left(x^{2}-x y+y^{2}+x+y+1\\right)\\ (2) \\((x-2 y-z)\\left(x^{2}+4 y^{2}+z^{2}+2 x y-2 y z+z x\\right)'

'Simplifique os termos semelhantes dos polinômios dados. Além disso, identifique o grau e termo constante ao focar nos caracteres dentro de [ ].'

'Expandir a expressão a seguir.'

'Expandir as seguintes expressões.'

'(1) \\( 3(a+b)(b+c)(c+a) \\)\\n(2) \\( (a b+a+b-1)(a b-a-b-1) \\)'

'Determine os fatores da seguinte expressão: $2x^{2}+5xy+2y^{2}-3y-2$'

'Expandir as seguintes expressões.'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Fatorize (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.'

'Fatorize a seguinte expressão.'

'Portanto, o número de permutações necessárias é\n\\[\n\egin{aligned}\n10080- & 24 \\times(30+30+30+20) \\\\\n& =10080-24 \\times 110=10080-2640 \\\\\n& =7440 \\text { (formas) }\n\\end{aligned}\n\\]'

'10\n(1)\\((x-3)(3 x-1)\\)\n(2)\\((x+1)(3 x+2)\\)\n(3)\\((a+2)(3 a-1)\\)\n(4)\\((a-3)(4 a+5)\\)\n(5)\\((2 p+3 q)(3 p-q)\\)\n(6)\\((a x-b)(b x+a)\\)'

'Fatorialize a seguinte expressão.\n(1) x^{3}+3xy+y^{3}-1'

'Simplificar polinômio'

'Calcule a seguinte expressão.'

'Responda às seguintes perguntas sobre subconjuntos de números reais.'

'Fatorize a seguinte expressão: $2x^{2}-3xy+y^{2}+7x-5y+6$'

'Fatorize as seguintes expressões. (1) (x+y)^{2}-4(x+y)+3 (2) 9 a^{2}-b^{2}-4 b c-4 c^{2} (3) (x+y+z)(x+3 y+z)-8 y^{2} (4) (x-y)^{3}+(y-z)^{3}'

'Simplifique as seguintes expressões em ordem decrescente de potências de x.'

'Expandir a seguinte expressão.'

'Fatorize as seguintes expressões:\n(1) 2 x^{3}+16 y^{3}\n(2) (x+1)^{3}-27'

'Expanda a seguinte expressão: (4)((3 a-b)(9 a^{2}+3 a b+b^{2})).'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Expandir a expressão (2x + 3y + z)(x + 2y + 3z)(3x + y + 2z) e encontrar o coeficiente de xyz.'

'Qual é o número total de permutações para a string dada?'

'76 \\quad y=\\frac{1}{3}(x+1)(x-5)\n\\( \\left(y=\\frac{1}{3} x^{2}-\\frac{4}{3} x-\\frac{5}{3}\\right) \\)'

'10 \u3000 809 11 (1) \\\\ ( 2(x+2 y)(x^{2}-2 x y+4 y^{2}) \\) (2) \\\\ (x-2)(x^{2}+5 x+13) \\)'

'Por favor complete o quadrado para {1}/{3}x^{2}+2x+1.'

'Fórmulas de expansão'

'Expandindo a expressão (a+b+c+d)(p+q+r)(x+y), quantos termos são formados?'

'Calcule a seguinte expressão.'

'Expandir o produto de polinômios pode sempre ser feito repetindo o uso da propriedade distributiva, mesmo para expressões complexas. No entanto, a fatoração muitas vezes pode levar a becos sem saída se os cálculos forem realizados sem considerar as etapas. Aqui, compilamos uma lista de como priorizar a descoberta dos passos para a fatoração. É aconselhável pensar na fatoração tendo em mente esses pontos.'

'Dado A=5x³ -2x² +3x +4 e B=3x³ -5x² +3, calcule o seguinte: (1) A+B (2) A-B'

'Por favor complete o quadrado para -2 x^{2}+10 x-7.'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Fatorize a seguinte equação: $x^{2}+3xy+2y^{2}+2x+3y+1$'

'(3) \\((3 x+x^{3}-1)\\left(2 x^{2}-x-6\\right)\\)'

'Simplifique a seguinte expressão matemática.'

'Interseção e união de 3 conjuntos\nA interseção A∩B∩C é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A, B e C.\nA união A∪B∪C é o conjunto de todos os elementos que pertencem pelo menos a um dos conjuntos A, B e C.\nPropriedades dos 3 conjuntos\n(1)\n\\[\n\egin{aligned}\nn(A∪B∪C)= & n(A)+n(B)+n(C) \\\\\n& -n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)\n\\end{aligned}\n\\]\n(Extensão do Princípio de Inclusão-Exclusão)\n(2) \\\overline{A∪B∪C}=\\overline{A} \\cap \\overline{B} \\cap \\overline{C}, \\overline{A∩B∩C}=\\overline{A} \\cup \\overline{B} \\cup \\overline{C} \\n(Extensão das Leis de De Morgan)'

''

'Expanda a expressão (2x+3y+z)(x+2y+3z)(3x+y+2z) e encontre o coeficiente de xyz.'

'(Exemplo) Para a equação x^2 - 2 xy + 2 y^2 = 13 (x > 0, y > 0)'

'Fatorize a seguinte expressão:\n\nx^3 - 8y^3 - z^3 - 6xyz'

''

'Expandir as seguintes expressões.'

'Simplifique a expressão dada.'

'(5) Expandir a seguinte expressão: (x+y+z)(x-y-z)'

'Expandir as seguintes expressões.'

'Teorema do binômio'

'Expressão simétrica'

'Expandir as seguintes expressões.'

'Transforme as seguintes equações na forma y=a(x-p)^{2}+q (complete o quadrado).'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Fatorize as seguintes equações.'

'12 (1) \\( (x-y)(2x+y-1) \\) (2) \\( (x+y-3)(3x+y+2) \\) (3) \\( (x+2y-1)(3x-y+2) \\) (4) \\( (x+y-z)(x-2y+z) \\)'

'Um retângulo cercado por 4 linhas é formado por uma combinação de 2 linhas verticais e 2 horizontais, então o número necessário é ${}_5 C_2 \\times {}_5 C_2={\\left(\\frac{5 \\cdot 4}{2 \\cdot 1}\\right)}^2=10^2=100 \\text{(unidades)}'

'Quantos números inteiros positivos de até 4 dígitos podem ser formados usando 6 números diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5)? O uso repetido do mesmo número é permitido.'

'Entre a cidade A e a cidade B existem 5 rotas de ônibus separadas. Nos seguintes casos, quantas maneiras existem de fazer uma viagem de ida e volta da cidade A para a cidade B.'

'Supondo que haja 4 contas brancas, 3 contas pretas e 1 conta vermelha. Existem \ \\square \ maneiras de organizá-las em uma fileira, \ \\square \ maneiras de organizá-las em um círculo. Além disso, existem \ \\square \ maneiras de enfiar essas contas e criar um laço.'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Fatorialize as seguintes expressões:'

'Resposta ao Exercício 1 (1) \ -x^{2}+5 x-1 \ (2) \ -3 x^{2}+3 x y-4 y^{2} \'

'Fatorize $-3x^{3} + (9y + z)x^{2} - 3y(z + 2y)x + 2y^{2}z$ o máximo possível.'

'Calcule a seguinte expressão.'

'(2) 2 x^{2}-4 x+2=2(x^{2}-2 x+1)'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Fatorialize as seguintes expressões.'

'Qual é o termo para números, letras e expressões que são multiplicadas juntas?'

'Fórmulas de expansão para expressões quadráticas'

''

'Expandir as seguintes expressões.'

'Expandir a seguinte expressão.'

''

'Organize as seguintes equações em ordem decrescente de potências com relação a x para (1), (2), e com relação a a para (3).'

'Simplifique as seguintes expressões em termos de x em ordem decrescente de potências.'

'Complete o quadrado para as seguintes equações quadráticas.'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Dado o polinômio P=3x^3-3xy^2+x^2-y^2+ax+by.'

'A fórmula de expansão é (a^2) - (b^2)'

'Calcule as seguintes expressões.'

'Expandir as seguintes expressões usando as fórmulas de fatorização.'

'A fórmula de expansão de (a-b)^{2} é a^{2}-2ab+b^{2}'

''

'Fatorize as seguintes expressões.'

"Na Seção 2, 'Multiplicação de Polinômios', aprendemos como expandir expressões na forma de produtos de polinômios e representá-las como um polinômio único. Agora, vamos aprender o processo reverso de expressar um polinômio como um monômio ou um produto de polinômios."

'Expandir as seguintes expressões.'

'(1) \7 x^{2} + 4 x - 17\ (2) \\(x^{2}-(2 a-b) x-a\\) (3) \\(-a^{2}-2(7 b-2) a+2 b^{2}+2 b-5\\)'

'Expandir a seguinte expressão: x(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)'

'A função que representa o gráfico quando movido simetricamente em relação à origem da função y=f(x) é y=-f(-x). Se a e b são números reais, e m é o valor mínimo da função f(x)=x^{2}+ax+b para 0 <= x <= 1, então expresse m em termos de a e b.'

'(7) \ 4 x^{4}-13 x^{2} y^{2}+9 y^{4} \'

'Transforme a equação dada y=-x^{2}+2 x'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Expandir a seguinte expressão: \n(x+2y)^2(x^2+4y^2)^2(x-2y)^2'

'Por favor, calcule o seguinte polinômio por multiplicação: (x + 2)(x - 3)'

'Por favor, fatorize os seguintes polinômios.'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Determine o grau e o coeficiente do monômio dado. Além disso, identifique o grau e o coeficiente das letras dentro dos colchetes.'

'Complete o quadrado para as seguintes equações quadráticas'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Calcule a seguinte expressão: (4) (√3 + √5)²'

'Quantas maneiras existem de selecionar um presidente, um vice-presidente e um tesoureiro entre 7 membros do clube? Note que não é permitido ocupar mais de um cargo simultaneamente.'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Expandir as seguintes expressões.'

'Ao contrário do que acontecia antes, vamos considerar as permutações em que o mesmo item pode ser repetido. Por exemplo, se pegarmos 3 caracteres de 2 tipos de caracteres A e B permitindo duplicatas, o número total de formas de arranjá-los em uma linha é 2^{3}.'

'Encontre o valor das seguintes expressões.'

''

'Fatorize as seguintes expressões.'

''

'(1) Expandir as seguintes expressões.(2) (3 x-1)^{3}(3) (3 x^{2}-a)(9 x^{4}+3 a x^{2}+a^{2})(4) (x-1)(x+1)(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)(5) (x+2)(x+4)(x-3)(x-5)(6) (x+1)^{3}(x-1)^{3}'

'Fatorize as seguintes expressões.'

''

'Fatorize as seguintes expressões: (1) 8x³+1 (2) 64a³-125b³'

''

'(A) -x^{2}+8x\n(1) -x^{2}+16\n(B) 2\n(I) 24'

'Fatorize as seguintes expressões. (1) x^3 + 2x^2y - x^2z + xy^2 - 2xyz - y^2z (2) x^3 + 3x^2y + zx^2 + 2xy^2 + 3xyz + 2zy^2'

'Transforme as expressões dadas e encontre os valores máximo e mínimo: (1) Transforme 3x^2 + 4y^2 e substitua. (2) Encontre os valores máximo e mínimo com base no intervalo de x e y. (3) Quando x é um número real, transforme y = (x^2 + 2x)^2 + 8(x^2 + 2x) + 10 e deixe t = x^2 + 2x. Encontre os valores máximo e mínimo.'

'Na expressão expandida, o coeficiente de x^5 é A e o coeficiente de x^3 é B.'

'Divida 10 alunos em vários grupos. Neste caso, quantas maneiras existem de dividi-los em (1) 3 grupos de 2, 3 e 5 alunos cada. (2) 3 grupos de 3, 3 e 4 alunos cada. (3) 4 grupos de 2, 2, 3 e 3 alunos cada.'

''

'A equação da parábola y=x^{2}+a x+b movida simetricamente sobre a origem é obtida substituindo x e y por -x e -y respectivamente, resultando em -y=(-x)^{2}+a(-x)+b, que simplifica para y=-x^{2}+a x-b. Movendo a parábola y=-x^{2}+a x-b horizontalmente por 3 unidades e verticalmente por 6 unidades, obtemos a equação y-6=-(x-3)^{2}+a(x-3)-b, que se resume a y=-x^{2}+(a+6) x-3a-b-3. Como isso coincide com y=-x^{2}+4 x-7, temos a+6=4 e -3a-b-3=-7, resolvendo para a=-2, b=10.'

'Expandir as seguintes expressões.'

'Permutação com os mesmos itens'

'Fatorize a seguinte expressão: (3)(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 3'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'(9) Fatorize a seguinte expressão: $(a-b) x^{2}+(b-a) x y$'

'Fatorize as seguintes equações.'

'Ao expandir (a+b+c)(x+y)(p+q), quantos termos serão produzidos?'

'Quando a parábola y=ax^{2}+bx+c é movida paralelamente ao eixo x por 2 unidades e paralelamente ao eixo y por -1 unidade, ela se torna a parábola 33y=-2x^{2}+3. Encontre os valores dos coeficientes a, b e c.'

'A fórmula de expansão de (a+b)^{2} é: a^{2} + 2ab + b^{2}'

'Expandir as seguintes expressões.'

'Fatorize as seguintes expressões: (1) 6x^{2}+13x+6 (2) 3a^{2}-11a+6 (3) 12x^{2}+5x-2 (4) 6x^{2}-5x-4 (5) 4x^{2}-4x-15 (6) 6a^{2}+17ab+12b^{2} (7) 6x^{2}+5xy-21y^{2} (8) 12x^{2}-8xy-15y^{2} (9) 4x^{2}-3xy-27y^{2}'

'De entre 4 alunos, quantas formas existem de selecionar um presidente e um vice-presidente? Não é permitido que o presidente e o vice-presidente ocupem ambos os cargos.'

'Expandir a seguinte expressão: (x+1)(x+2)(x-1)(x-2)'

'(1) Expandir a expressão (x-2y+1)(x-2y-2)'

'Se houver 3 candidatos e 10 pessoas votarem anonimamente, quantas formas os votos podem ser divididos?'

''

'1. (1) Grau 3, coeficiente $2$; $a$: Grau 1, coeficiente $2x^{2}$\n2. Grau 17, coeficiente $-\x0crac{1}{3}$; $y$: Grau 7, coeficiente $-\x0crac{1}{3}ab^{7}x^{2}$; $a$ e $b$: Grau 8, coeficiente $-\x0crac{1}{3}x^{2}y^{7}$'

'(3) x^{3}+2 x^{2}-9 x-18\nx^{3}+2 x^{2}-9 x-18=(x^{3}+2 x^{2})-(9 x+18)=x^{2}(x+2)-9(x+2)=(x+2)…'

'Expandir as seguintes expressões.'

'Por favor, calcular o número de padrões para um tipo, três tipos e quatro tipos de incenso, e determinar as possibilidades para cada cenário.'

'De quantas formas é possível dividir 12 pessoas da seguinte maneira?'

'Calcular a seguinte equação: (6)(4 + 2√3)(4 - 2√3)'

'Expandir a seguinte expressão.'

'(9) \\ ((x+y)^{4}+(x+y)^{2}-2)'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Fatorize as seguintes equações:'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Explique o cálculo da seguinte expressão: (a+b)^2 + (a-b)^2'

'Calcule a seguinte expressão: (5) (3√2 - √3)²'

'Qual é a fatorização de (4)(a-b)^{2}+c(b-a)?'

'Mova simetricamente a parábola y=x^{2}+a x+b em relação à origem, então mova paralelamente 3 unidades na direção do eixo x e 6 unidades na direção do eixo y, resultando na parábola y=-x^{2}+4 x-7. Encontre os valores de a e b nesse caso.'

'Complete o quadrado para as seguintes equações quadráticas.'

'Quantas formas existem de dividir 12 pessoas da seguinte maneira:'

'Matemática I'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Complete o quadrado para as seguintes equações quadráticas.'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Ao expandir (a+b+c)(x+y)(p+q), quantos termos são criados?'

'Expandir as seguintes expressões.'

'Expandir as seguintes expressões.'

'Simplifique o polinômio e faça a adição e subtração.'

'Fatorize a seguinte equação.'

'Mostre a fórmula de expansão de (ax+b)(cx+d).'

'Encontre as coordenadas do vértice da parábola y=x^{2}-4 a x+4 a^{2}-4 a-3 b+9. Além disso, encontre os números naturais a, b de modo que a parábola não tenha nenhum ponto em comum com o eixo x.'

'Exemplo básico 9, 10\nExpandir a seguinte expressão:\n(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)'

'Expandir as seguintes expressões.'

'O produto de monômios é calculado usando a lei dos expoentes. Por exemplo, 2 a b \\times 3 a^{2} b'

'Problema de agrupamento com distinção e sem distinção'

'(1) $y=(x-1)^{2}-2[y=x^{2}-2 x-1]$\\n(2) $y=-(x-1)^{2}+2[y=-x^{2}+2 x+1]$'

'Expandir a seguinte expressão: (a+b+c)^2(a+b-c)^2'

'Expandir as seguintes expressões.'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'(5) x^{3}+x^{2}+3 x y-27 y^{3}+9 y^{2}\nx^{3}-27 y^{3}+{x²+3 x y+9 y²}=(x-3 y)[x²+x⋅3 y+(3 y)²]+x²+…'

'(1) \ x^{2}+x+\\frac{1}{4} \'

'Fatorialize as seguintes expressões.'

'Dado que o coeficiente de 3^{3} x^{2} é -1, o gráfico passa pelo ponto (1,1), e o vértice está na linha y=x, encontre a função quadrática.'

'Expandir as seguintes expressões.'

''

'(2) \\( x^{3}-3 x^{2}+7=a(x-2)^{3}+b(x-2)^{2}+c(x-2)+d \\)'

''

'Quando a expressão A é dividida por x+2, o quociente é B e o resto é -5. Dividindo o quociente B por x+2, o quociente é 38x^2-4 e o resto é 2. Encontre o resto quando a expressão A é dividida por (x+2)^2. De acordo com as condições da Universidade de Kanagawa: A=(x+2)B-5, B=(x+2)(x^2-4)+2. Substituindo (2) em (1) obtemos: A=(x+2){(x+2)(x^2-4)+2}-5=(x+2)^2(x^2-4)+2(x+2)-5=(x+2)^2(x^2-4)+2x-1. Portanto, quando A é dividido pela expressão quadrática (x+2)^2, o resto é uma equação linear ou uma constante, assim o resto necessário é 2x-1.'

'Encontre o termo geral a_n da sequência {a_n} de forma que a soma S_n do primeiro termo até o n-ésimo termo satisfaça a seguinte relação:'

''

'Seja a soma dos primeiros n termos desta progressão aritmética {an} igual a Sn. A partir de (1), a1 até a16 são números positivos, e a partir de a17 são números negativos; portanto, Sn é máximo em n=16.'

'Expandir as seguintes expressões.'

'Encontrar a soma: \\(\\sum_{l=5}^{9}(2+l^{2})\\)'

'Fatorize as seguintes expressões: (1) $a^{3} b^{3}-b^{3} c^{3}$; (2) $(x+y)^{3}-(y+z)^{3}$; (3) $8 a^{3}-36 a^{2}+54 a-27$'

'Prove a seguinte equação.'

'Fatorize as seguintes expressões quadráticas no intervalo de números complexos. (1) x^2 - 20x + 91 (2) x^2 - 4x - 3 (3) 3x^2 - 2x + 3'

'(2) \ x^{4}-16 x^{2}+16 \'

'\\(\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right)\\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\\right)=(a x+b y+c z)^{2} \\)+(a y-b x)^{2}+(b z-c y)^{2}+(c x-a z)^{2} \\)'

'Dado que o polinômio f(x) dividido por (x-1)^2 resulta no quociente g(x) e no restante 3x-1, e quando f(x) é dividido por 352(x-2) o restante é 6. Encontre o restante quando g(x) é dividido por x-2, e o quociente de f(x) dividido por (x-1)(x-2) é quanto x-U?'

'Quando o polinômio A é dividido por x+2, o quociente é B e o resto é -5. Quando o quociente B é dividido por x+2, o quociente é x^2-4 e o resto é 2. Encontre o resto quando o polinômio A é dividido por (x+2)^2.'

'Usando a fórmula de expansão (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}, fatorize x^{3}-6x^{2}y+12xy^{2}-8y^{3}.'

'Expandindo (x + 1)^6 usando o teorema do binômio, temos'

'Encontre as seguintes somas.'

'Problema: Encontrar o termo geral da sequência(1):\\egin{\overlineray}{l}a_{1}=1 \\\\a_{2}=3 a_{1}-1=3 \\cdot 1-1=2 \\\\a_{3}=3 a_{2}-1=3 \\cdot 2-1=5 \\\\a_{4}=3 a_{3}-1=3 \\cdot 5-1=14 \\\\a_{5}=3 a_{4}-1=3 \\cdot 14-1=41 \\end{\overlineray}\'

'O Teorema Binomial é uma fórmula em álgebra que é usada para expandir polinômios da forma (a+b)^n. A expansão refere-se ao processo de multiplicar e somar os termos do polinômio para obter o resultado.'

'Encontre o valor dentro dos colchetes na expansão das seguintes expressões.'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Qual é a condição para a expressão linear x-k ser um fator do polinômio P(x)?'

'(1) Como P(-2)=-3, temos que P(x)=(x-1)(x+2)Q_{3}(x)+a(x+2)-3. (2) Como P(1)=4, temos que 3a-3=4, portanto a=\\frac{7}{3}. Logo, o resto necessário é \\frac{7}{3}(x+2)-3=\\frac{7}{3}x+\\frac{5}{3}.'

'(a) Fatorize as seguintes equações no intervalo dos números racionais:\n1) $x^{4}+2 x^{2}-15$\n2) $8 x^{3}-27$\n(b) Fatorize as seguintes equações no intervalo dos números reais:\n1) $x^{4}+2 x^{2}-15$\n2) $8 x^{3}-27$\n(c) Fatorize as seguintes equações no intervalo dos números complexos:\n1) $x^{4}+2 x^{2}-15$\n2) $8 x^{3}-27$\n'

'(3) \\( P(x)=\\{x(x+3)\\}\\{(x+1)(x+2)\\}-24 \\)'

'Fatorize as seguintes expressões nos intervalos de (a) números racionais, (b) números reais e (c) números complexos:\n(1) x^{4}+2 x^{2}-15\n(2) 8 x^{3}-27'

'[Encontre o coeficiente do termo especificado na expressão expandida]'

'Substituindo x=-1 em x^{3}-x^{2}-5x-3 resulta em (-1)^{3}-(-1)^{2}-5\\cdot(-1)-3=0 \\nPortanto, x^{3}-x^{2}-5x-3 possui um fator de x+1, significando x^{3}-x^{2}-5x-3=(x+1)(x^{2}-2x-3) =(x+1)^{2}(x-3)'

'Encontre o coeficiente de x^3 na expansão de PR \\left(x^{2}-3 x+1\\right)^{10}.'

'Encontre o termo geral da seguinte sequência: -3, 2, 19, 52, 105, 182, 287, ...'

'Determinar o coeficiente dos termos especificados na expressão expandida'

'(x+y)^{3} expande para x^3+3x^2y+3xy^2+y^3.'

"Assumindo que PR seja uma constante. Para a parábola $y=x^{2}+a x+3-a$, encontre o caminho do vértice à medida que 'a' varia para todos os valores reais. Ao transformar a equação da parábola, obtemos $y=\\left(x+\\frac{a}{2}\\right)^{2}-\\frac{a^{2}}{4}-a+3$. Supondo que o vértice da parábola seja P(x, y). Então $x=-\\frac{a}{2}$(1) e $y=-\\frac{a^{2}}{4}-a+3$(1). A partir de (1), temos $a=-2 x$. Substituindo isso em (2), obtemos $y=-\\frac{1}{4}(-2 x)^{2}-(-2 x)+3=-x^{2}+2 x+3$. Portanto, o caminho necessário é a parábola $y=-x^{2}+2 x+3$ com as coordenadas do vértice correspondentes $\\left(-\\frac{a}{2},-\\frac{a^{2}}{4}-a+3\\right)$."

'Usando a propriedade de que os números complexos conjugados também são soluções, quando a equação f(x)=0 tem uma solução imaginária p+q i, então p-q i também é uma solução.'

'Prove que pelo menos um de x+y, y+z, z+x é 0'

'Fatorize as seguintes equações quadráticas no intervalo de números complexos:\n(1) $15 x^{2}+14 x-8$\n(2) $x^{2}-2 x-2$\n(3) $x^{2}+2 x+3$'

'Encontre os coeficientes dos termos na expressão expandida'

'\\( x^{4}-16 =\\left(x^{2}-4\\right)\\left(x^{2}+4\\right) =(x+2)(x-2)\\left(x^{2}+4\\right) \\)\\nPortanto, a equação é\\n\\[(x+2)(x-2)\\left(x^{2}+4\\right)=0\\]\\nAssim,\ x+2=0 \ ou \ x-2=0 \ ou \ x^{2}+4=0 \ logo\ x= \\pm 2, \\pm 2 i \'

'Encontre o coeficiente do termo a^2 b^3 c^2 na expansão da seguinte expressão: (a+b-2c)^7'

'Quando S(x) é dividido por (x+1)^{2}(x-3), o quociente é representado por Q_{1}(x).'

'(1) Encontre o coeficiente de [x^9] na expansão de (2x^3 - 3x)^5'

'Quando a constante é k, encontre o valor de k quando a equação quadrática $x^{2}+3xy+2y^{2}-3x-5y+k$ pode ser fatorada no produto de equações lineares em $x,y$. Além disso, encontre o resultado da forma fatorada.'

'Sequência \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ é uma sequência aritmética com primeiro termo 1 e diferença comum 3. Denotaremos \ S_{n} \ como a soma dos produtos de dois termos distintos dos primeiros \ n \ termos da sequência \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \. Por exemplo, \ S_{3}=a_{1} a_{2}+a_{1} a_{3}+a_{2} a_{3} \. Encontre \ S_{10} \.'

'Encontre os coeficientes dos termos especificados nas seguintes expansões.'

'Encontre a solução para a equação (x + 1)(x + 3) = x(9 - 2x).'

'Existem 5 cartões com números de 1 a 5 escritos neles. Ao extrair 2 cartões ao mesmo tempo, encontre o valor esperado dos números nos cartões extraídos (E(5 X^{2}+3)) e a variância (V(3 X + 1)).'

'Expandir (a + b)^n usando o teorema binomial.'

'(1) Sejam a, b constantes. Suponha que o polinômio em x, x^{3}+ax+b é divisível por (x+1)^{2}. Encontre os valores de a e b. (2) Seja n um número natural maior que 2. Determine os valores das constantes a, b quando o polinômio x^{n}+ax+b é divisível por (x-1)^{2}.'

'Fatorize o seguinte polinômio: x^3 - 6x^2 + 11x - 6.'

''

'(1) (Equação) \\( = \\frac{x^{2}-1}{x+1} = \\frac{(x+1)(x-1)}{x+1} \\)\ = x-1 \ (2) E Equação \=\\frac{x^{2}}{x^{2}-1}-\\frac{2 x}{x^{2}-1}+\\frac{1}{x^{2}-1} \\\(=\\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-1}=\\frac{(x-1)^{2}}{(x+1)(x-1)}=\\frac{x-1}{x+1} \\)'

'Encontre o coeficiente de x³ na expansão de (1) [Instituto de Tecnologia de Aichi]'

'Qual é a condição para a expressão linear ax+b ser um fator do polinômio P(x)?'

'Para garantir que a primeira expressão seja divisível pela segunda expressão, determine os valores das constantes a, b, c, d, e.'

'Na fórmula $S_n = \\frac{a\\left(r^n-1\\right)}{r-1}$, com $a=-1, r=2, n=10$, a soma é\n\\[ \\frac{-1 \\cdot\\left(2^{10}-1\\right)}{2-1} = -(1024-1) = -1023 \\]\nNa fórmula $S_n = na$, com $n=10, a=3$, a soma é\n\ 10 \\cdot 3 = 30 \'

'Expandir as seguintes expressões.'

'A equação dada é a seguinte:'

'Encontre os valores de s, t, p, q para os quais a função f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d satisfaz \\[\\int_{-3}^{3} f(x) d x=s \\cdot f(p)+t \\cdot f(q)\\]. Além disso, garanta que p ≤ q.'

'Expandir as seguintes equações cúbicas e fatorar: (a+b)^{3}, (a-b)^{3}, (a+b)(a^{2}-ab+b^{2}), (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})'

'Fatorize as seguintes expressões:\n2. (1) (a) Produto: (3 x-y)(9 x^{2}+3 x y+y^{2})\n(b) Produto: 9(a+2 b)(a^{2}-2 a b+4 b^{2})\n(c) Produto: (2 x-y z)(4 x^{2}+2 x y z+y^{2} z^{2})\n(2) (x+4)^{3}'

'Prove que as seguintes equações são verdadeiras.'

'(1) \\((x-7)(x-13)\\)\n(2) \\((x-2-\\sqrt{7})(x-2+\\sqrt{7})\\)\n(3) \\(3\\left(x-\\frac{1+2 \\sqrt{2} i}{3}\\right)\\left(x-\\frac{1-2 \\sqrt{2} i}{3}\\right)\\)'

'Seja a uma constante negativa. Encontre os valores máximo e mínimo da função f(x)=2x³-3(a+1)x²+6a x no intervalo -2 ≤ x ≤ 2.'

'Preencha o espaço em branco para que a equação seja válida: (x-1)^{3}-7(x-1)^{2}+17(x-1)-9 = 314'

'Encontre a_n usando os seguintes passos: (1) a_{n}=2+\\frac{3}{n+2} (2) a_{n}=\\frac{3 \\cdot 5^{n}+1}{5^{n}-1}'

'Calcule as seguintes expressões: (1) \\( \\frac{1}{(x-3)(x-1)}+\\frac{1}{(x-1)(x+1)}+\\frac{1}{(x+1)(x+3)} \\) (2) \ \\frac{1}{a^{2}-a}+\\frac{1}{a^{2}+a}+\\frac{1}{a^{2}+3 a+2} \'

'Quando k é uma constante, encontre o valor de k de modo que a equação quadrática x^2+3xy+2y^2-3x-5y+k possa ser fatorada no produto de equações lineares em x e y. Além disso, encontre o resultado dessa fatoração nesse caso.'

'(1) \ a_{n}=5^{n+1}-20 \\cdot 3^{n-1} \'

'Determine os valores das constantes a, b, c para que a seguinte equação seja verdadeira para x e y: (1) x^2 + a x y + b y^2 = (c x + y)(x - 4 y)'

'Coeficiente do termo x y^2 z em (2)(2x-\\frac{1}{2}y+z)^4'

''

'(1) \\( (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3} \\) (2) \\( (a-1)(a^{2}+a+1)=a^{3}-1^{3}=a^{3}-1 \\)'

'Encontre a soma da sequência aritmética: \\( \\sum_{k=5}^{14}(2k-9) \\)'

'Fatorize as seguintes expressões.'

''

'Para a forma B_{n+1}, concentre-se na coluna mais à direita. Como mostrado na Figura 1, quando os azulejos são colocados verticalmente na parte saliente, a parte restante coincide com a forma A_{n+1}. Neste caso, existem a_{n+1} maneiras de azulejar. Por outro lado, como mostrado na Figura 2, ao colocar os azulejos horizontalmente na parte saliente, existem 3 maneiras de fazê-lo, e a parte restante coincide com a forma B_{n}. Neste caso, existem b_{n} maneiras de azulejar. Portanto, b_{n+1} = a_{n+1} + b_{n}, então b_{2} = a_{2} + b_{1} = 11 + 4 = 15'

'Encontre os coeficientes das seguintes expressões:\n1. (1) x^{3}-x^{2}+\x0crac{1}{3} x-\x0crac{1}{27}\n(2) -8 s^{3}+12 s^{2} t-6 s t^{2}+t^{3}\n(3) 27 x^{3}+8 y^{3}\n(4) -a^{3}+27 b^{3}\n(5) 64 x^{6}-48 x^{4} y^{2}+12 x^{2} y^{4}-y^{6}'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Redefina o lado direito como'

'Se g(x) = (x^3 - 2x^2 - 45x - 40) / (x - 8), encontre a parte decimal de g(2020). Aqui, a parte decimal de um número real a é definida como a - n, onde n é o maior inteiro menor ou igual a a.'

'Encontre o termo geral das seguintes sequências aritméticas.\n(a) 1, -\\frac{1}{2}, -2, -\\frac{7}{2},\n(b) p+1, 4, -p+7, -2p+10,\n(2) Em uma progressão aritmética em que o nono termo é 26 e o décimo oitavo termo é 53, que termo é 134 na sequência? Além disso, qual termo é o primeiro a ultrapassar 1000?'

'Encontre o termo geral de uma sequência aritmética. Vamos considerar que o primeiro termo seja a e a diferença comum seja d.'

'Por favor, fatorize as seguintes expressões. (1) $2(x-1)^{2}-11(x-1)+15$ (2) $x^{2}-y^{2}+4y-4$ (3) $x^{4}-10x^{2}+9$ (4) $(x^{2}+3x)^{2}-2(x^{2}+3x)-8$'

'Expandir a seguinte expressão.'

'Expandir a seguinte expressão.'

'A expressão dada (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 fatora em (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6)'

'Expandir (x+y+1)(x^{2}-xy+y^{2}-x-y+1).'

'(2) \\[\egin{aligned}(x-1)(x-2)(x+1)(x+2) & =(x-1)(x+1) \\times(x-2)(x+2) =(x^{2}-1) \\times(x^{2}-4) =(x^{2})^{2}-5 x^{2}+4 =x^{4}-5 x^{2}+4 \\]'

'Traduza o texto dado para vários idiomas.'

'\\[ (4) \\left(-2 a x^{3} y\\right)^{2}\\left(-3 a b^{2} x y^{3}\\right) =(-2)^{2} a^{2}\\left(x^{3}\\right)^{2} y^{2} \\times(-3) a b^{2} x y^{3} =4 a^{2} x^{6} y^{2} \\times(-3) a b^{2} x y^{3} =4 \\cdot(-3) a^{2+1} b^{2} x^{6+1} y^{2+3} =-12 a^{3} b^{2} x^{7} y^{5} \\]'

'Expandir as seguintes expressões.'

'Para números reais x e y que satisfazem |2x+y|+|2x-y|=4, o intervalo possível de 2x^2+xy-y^2 é 11 ≤ 2x^2+xy-y^2 ≤ 9.'

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Fatorize a seguinte equação.'

'Seja a um número real e b uma constante positiva. Encontre o valor mínimo m da função f(x)=x^{2}+2(a x+b|x|). Além disso, conforme o valor de a muda, trace um gráfico de a versus m para m.'

''

'Fatorize as seguintes expressões.'

'(1) Fatorize o lado esquerdo como'

'(1) Usando a identidade a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3 a b(a+b), fatorize a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c.'

'(3a-2b)^{2}'

'Fatorize as seguintes expressões:\n(1) 3 x^{2}+10 x+3\n(2) 2 x^{2}-9 x+4\n(3) 6 x^{2}+x-1\n(4) 8 x^{2}-2 x y-3 y^{2}\n(5) 6 a^{2}-a b-12 b^{2}\n(6) 10 p^{2}-19 p q+6 q^{2}'

'Qual é o valor de (4) (2√6+√3)(√6-4√3)?'

'Expandir a seguinte expressão.'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Fatorize a seguinte expressão (1) x^{2}-2 x y+y^{2}-x+y'

'Fatorialize a expressão dada.'

'Ao usar o método da multiplicação cruzada para fatorar com a fórmula $a c x^{2}+(a d+b c) x+b d=(a x+b)(c x+d)$, é possível encontrar os coeficientes $a, b, c, d$, o que é muito útil.'

'Fatorize a seguinte expressão.'

'Começando pelo ombro direito'

'(3) \\ [(x-3 y+2 z)(x+3 y-2 z) = \\{x-(3 y-2 z)\\}\\{x+(3 y-2 z)\\} = x^{2}-(3 y-2 z)^{2} =x^{2}-9 y^{2}-4 z^{2}+12 y z]'

'Identifique o grau e termo constante ao focar na parte dentro dos [ ] nos seguintes polinômios:'

'Fatorize a seguinte expressão. (1) x^{6}-1'

'Começando pela diagonal direita, 6 a^{2}-a b-12 b^{2} =(2 a-3 b)(3 a+4 b)'

'Encontre o valor de (5) (1-√7+√3)(1+√7+√3).'

'Expandir as seguintes expressões: (1) (a+2)^{2} (2) (3 x-4 y)^{2} (3) (2 a+b)(2 a-b) (4) (x+3)(x-5) (5) (2 x+3)(3 x+4) (6) (4 x+y)(7 y-3 x)'

'A expansão da expressão (2a-5b)^{3} é: 8a^{3}-60a^{2}b+150ab^{2}-125b^{3}'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Expandir a seguinte expressão.'

'Do ombro direito pendurado'

'(3) Encontre a expressão cuja soma com 3x^2-2x+1 é x^2-x.\n(2) Por engano, em vez de adicionar a^3+2a^2b-5ab^2+5b^3 a um polinômio específico, subtraiu-se resultando em -a^3-4a^2b+10ab^2-9b^3. Encontre a resposta correta.'

''

'Expandir as seguintes expressões.'

'Expandir as seguintes expressões.'

'Expandir a expressão a seguir: (x^2-2xy+4y^2)(x^2+2xy+4y^2)'

'Regras de adição, subtração e multiplicação de polinômios Seja A, B, C polinômios. Propriedade comutativa A+B=B+A, AB=BA Propriedade associativa (A+B)+C=A+(B+C) (AB)C=A(BC) Propriedade distributiva A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC Propriedade exponencial Sejam m, n inteiros positivos. 1. a^m a^n = a^(m+n) 2. (a^m)^n = a^(mn) (Referência) a^0 = 1 3. (ab)^n = a^n b^n Fórmulas de expansão, fatoração: 1. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3 (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 2. (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 3. (x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab 4. (ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd (Referência) 5. (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3 6. (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3'

'Fatorize as seguintes expressões.'

'Calcule (x+b)(x+c)(b-c) + (x+c)(x+a)(c-a) + (x+a)(x+b)(a-b).'

'Prática: Fatorize as seguintes expressões.'

'\\[ (3) \\left(-2 a^{2} b\\right)^{3}\\left(3 a^{3} b^{2}\\right)^{2} =(-2)^{3}\\left(a^{2}\\right)^{3} b^{3} \\times 3^{2}\\left(a^{3}\\right)^{2}\\left(b^{2}\\right)^{2} =-8 a^{2 \\times 3} b^{3} \\times 9 a^{3 \\times 2} b^{2 \\times 2} =-8 a^{6} b^{3} \\times 9 a^{6} b^{4} =(-8) \\cdot 9 a^{6+6} b^{3+4} =-72 a^{12} b^{7} \\]'

''

'Fatorize a seguinte expressão: (x+y+1)^{4}-(x+y)^{4}'

'Expandir as seguintes expressões.'

'(3 x-4 y)(5 y+4 x)'

'Quando a = \\frac{1+\\sqrt{5}}{2}, encontre o valor das seguintes expressões.\n(1) a^{2}-a-1\n(2) a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1'

'(2)(2p-q)(4p^{2}+2pq+q^{2})'

'Fatorize as seguintes expressões:'

'Do cinto direito'

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'Encontre o valor de (6).'