Tutor de IA | O Aplicativo Gratuito Nº 1 para Concluir a Lição de Casa

'Por favor, mostre as fórmulas de soma e produto.'

'Por favor, calcule a multiplicação dos seguintes números complexos:\n(a + bi) * (c + di)\nonde a, b, c e d são números reais.'

'Encontre o termo geral das sequências {a_{n}}, {b_{n}} definidas pelas seguintes condições.'

'Por favor, resolva o seguinte problema.'

'Calcule a expressão da sequência a_n de acordo com as seguintes regras: condição inicial a_1=5, se for par então a_n/2, se for ímpar então a_n+1.'

'Por favor, calcule a seguinte expressão: (6)[\x0crac{x+11}{2 x^{2}+7 x+3}-\x0crac{x-10}{2 x^{2}-3 x-2}] = ?'

'Descreva as propriedades de uma equação identidade.'

'Usando a relação entre raízes e coeficientes, encontre os seguintes valores.'

'Encontre o termo geral das sequências {a_{n}}, {b_{n}} determinadas pelas seguintes condições.'

'(8) \\frac{\\sqrt[3]{a^{4}}}{\\sqrt{b}} \\times \\frac{\\sqrt[3]{b}}{\\sqrt[3]{a^{2}}} \\times \\sqrt[3]{a \\sqrt{b}}=a^{\\frac{4}{3}} b^{-\\frac{1}{2}} \\times a^{-\\frac{2}{3}} b^{\\frac{1}{3}} \\times a^{\\frac{1}{3}} b^{\\frac{1}{6}}'

'Por favor, calcule a seguinte expressão: (4) [(x+y)/(x-y)-(y)/(x-y)+(2x-y)/(y-x)] = ?'

'(7)\n\\[\egin{aligned}\n\\sqrt[3]{54}+\\sqrt[3]{-250}-\\sqrt[3]{-16} & =\\sqrt[3]{54}-\\sqrt[3]{250}-(-\\sqrt[3]{16}) \n& =\\sqrt[3]{3^{3} \\cdot 2}-\\sqrt[3]{5^{3} \\cdot 2}+\\sqrt[3]{2^{3} \\cdot 2} \n& =3 \\sqrt[3]{2}-5 \\sqrt[3]{2}+2 \\sqrt[3]{2}=(3-5+2) \\sqrt[3]{2} \n& =0\n\\end{aligned}\\]'

'Prática: Se o resto da divisão de um polinômio P(x) por (x+1)^2 é 18x+9, e o resto da divisão por x-2 é 30 com um resto de 9, encontre o resto quando P(x) é dividido por (x+1)^2(x-2).'

'Encontre o termo geral da sequência {a_{n}}, {b_{n}} determinada pelas seguintes condições.'

'Simplifique as seguintes expressões.'

'Demonstrar operações básicas com frações.'

'Exercício Abrangente'

'Calcule as seguintes expressões.'

''

'Traduza o texto dado para várias línguas.'

'Realize o cálculo a seguir usando a aritmética de números complexos: (3 + 4i) + (1 - 2i).'

'Prática (1) Seja n um número natural. Encontre o resto da divisão de x^n-3^n por (x-3)^2. Além disso, encontre o resto da divisão de 31x^n-3^n por x^2-5x+6. Em (2), encontre o resto da divisão de 3x^100+2x^97+1 por x^2+1.'

''

'Encontre a soma e o produto do número complexo dado e seu conjugado para cada um.'

'Encontre o termo geral das sequências \ \\left\\{a_{n}\\right\\},\\left\\{b_{n}\\right\\} \ definidas pelas seguintes condições.\\n\\n\\\na_{1}=1, \\quad b_{1}=-1, \\quad a_{n+1}=5 a_{n}-4 b_{n}, b_{n+1}=a_{n}+b_{n}\\n\'

'Mostre o quociente e o resto da divisão polinomial.'

'A sequência {p a_{n}+q b_{n}} é uma progressão aritmética, sendo o primeiro termo p a_{1}+q b_{1}=p a+q b, e a diferença comum sendo p d+q e'

'Encontre o termo geral da sequência \ \\left\\{a_{n}\\right\\},\\left\\{b_{n}\\right\\} \ definida pelas seguintes condições.'

'Encontre o quinto termo da sequência {a_n} definida pelas seguintes condições:'

'Encontre a soma dos primeiros 30 termos de uma sequência aritmética com termo inicial de 100 e diferença comum de -8.'

'Encontre o termo geral da sequência $b_{n+1}=-a_{n}+b_{n}$.'

'Encontre a soma S dos termos de 15 a 30 de uma sequência aritmética com uma diferença comum de 1, onde o décimo termo é 1 e o décimo sexto termo é 5.'

'Encontre o resto da equação dada substituindo o polinômio em x = i.'

'Usando divisão longa, encontre o quociente e o resto quando as seguintes equações são divididas pela equação de 1º grau dentro de [ ].'

'Calcular as seguintes expressões:'

'Encontre o quociente Q(x) e o resto ax + b ao dividir x^{2020} + x^{2021} por x^2 + x + 1'

'Prática 29: Resolver o seguinte problema. Dado um polinômio $P(x)$, quando dividido por $(x-1)(2x+1)$, o quociente é $Q(x)$ e o resto é $ax+b$. A equação a seguir é válida: $P(x)=(x-1)(2x+1)Q(x)+ax+b$.'

'(2) \\n\\\\[\\\egin{aligned} \\n a^{2} \\times\\left(a^{-1}\\right)^{3} \\div a^{-2} & =a^{2} \\times a^{(-1) \\times 3} \\div a^{-2} \\n & =a^{2-3-(-2)}=a \\n\\\\end{aligned}\\\\]'

'Ao adicionar c a ambos os lados da equação a>b obtemos a+c>b+c, ao adicionar b a ambos os lados da equação c>d obtemos b+c>b+d, logo a+c > b+d'

'Por favor, calcule a adição dos seguintes números complexos:\n(a + bi) + (c + di)\nonde a, b, c e d são números reais.'

'\\( (x+y)^{2}-(x-y)^{2} = 4xy \\)'

'Traduza o texto dado para vários idiomas.'

'Por favor, calcule a subtração dos seguintes números complexos.\n(a + bi) - (c + di)\nonde a, b, c, d são números reais.'

'Encontre o resto da divisão dos seguintes polinômios pela expressão linear em [ ].'

'Expresse os tamanhos relativos dos seguintes conjuntos de números usando símbolos de desigualdade. \ 1.5, \\log _{2} 5, \\log _{4} 9 \'

'Praticar livro 104 p.208\n(1) \ t=\\sin \\theta-\\cos \\theta \ Ao elevar ambos os lados ao quadrado, obtemos \ t^{2}=\\sin ^{2} \\theta-2 \\sin \\theta \\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta \ Portanto, \ t^{2}=1-\\sin 2 \\theta \ e assim \ \\sin 2 \\theta=-t^{2}+1 \ Desta forma, \\( f(\\theta)=\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\left(-t^{2}+1\\right)-t=-\\frac{\\sqrt{2}}{2} t^{2}-t+\\frac{\\sqrt{2}}{2} \\)'

'Encontre a soma de 22: 4 * 1 + 8 * 3 + 12 * 3^2 + ... + 4n * 3^(n-1)'

'Encontre o termo geral da sequência {an} determinada pelas seguintes condições.'

'Expresse a ordem de cada conjunto de números usando símbolos de desigualdade.'

'Relação de quadrados'

'Calcular as seguintes expressões.'

'Propriedades da raiz cúbica de 63'

'Calcule as seguintes expressões.'

'Para duas sequências {an}, {bn} e uma constante p'

'Encontre um termo a partir de um termo geral'

'No exemplo 108, A resolveu o problema estabelecendo x+y=k. É impossível calcular os valores máximos e mínimos de x+y para todos os pares (x, y) contidos na região D. Portanto... ao estabelecer x+y=k e tratando (x, y) como pontos na linha y=-x+k. Consequentemente, quando a linha y=-x+k passa por pontos na região D (= quando compartilha pontos com a região D), é suficiente considerar os valores máximos e mínimos da interseção y k. Agora, sob as mesmas condições, vamos considerar os valores máximos e mínimos de 2x+y. Estabelecendo 2x+y=k e examinando o movimento da linha y=-2x+k, descobrimos que o valor mínimo de k é, de maneira semelhante a A, quando a linha (2) passa pelo ponto de origem O. No entanto, o valor máximo de k não é quando a linha (2) passa pelo ponto (2,2), mas sim quando passa pelo ponto (10/3, 0).'

'Encontre o dígito das dezenas de B(134)(20+1)^{100}.'

'Usando métodos de prova disponíveis, prove que a seguinte equação é verdadeira.'

'Divisão de polinômios'

'Explique o método para a divisão de números complexos.'

'Relação entre solução e coeficientes'

'Encontre os seguintes valores.'

'Calcule as seguintes expressões.'

'Dado que 106^4 * \\log_{10} 2 = 0.3010, e \\log_{10} 3 = 0.4771. Quantos dígitos tem o número 2011? Além disso, encontre o dígito principal de 2^{2011}.'

'Encontre o resto da divisão do polinômio P(x)=2 x^{3}-3 x+1 pelas seguintes expressões lineares: (a) x-1 (b) 2 x+1'

'Média Harmônica'

'Expoentes de números racionais\nPara \ a>0, m, n \ como inteiros positivos, e \ r \ como um número racional positivo, então \\( a^{\\frac{1}{n}}=\\sqrt[n]{a}, \\quad a^{\\frac{m}{n}}=(\\sqrt[n]{a})^{m}=\\sqrt[n]{a^{m}}, \\quad a^{-r}=\\frac{1}{a^{r}} \\)'

''

'Dado que o resto é 17 quando o polinômio P(x)=\\frac{1}{2}x^{3}+ax+a^{2}-20 é dividido por x-4, encontre o valor da constante a.'

'As linhas retas do problema podem ser desenhadas como 2 linhas mostradas na figura, portanto, o ângulo entre a linha reta e a direção positiva do eixo x é \ \\frac{\\pi}{6}+\\frac{\\pi}{4} \\text { ou } \\frac{\\pi}{6}-\\frac{\\pi}{4} \'

'Traduzir o texto fornecido para vários idiomas.'

'Prove que a equação a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0 é verdadeira quando a+b+c=0.'

'Encontre o resto da divisão do polinômio $P(x)=x^{3}-2 x^{2}+x+2$ por $x-2$.'

'Determinar um polinômio usando uma equação de divisão'

'Encontre o termo geral da sequência que representa a soma do primeiro termo até o termo n-ésimo como Sn'

'Encontre o termo geral da sequência {an} determinada pelas seguintes condições. a1=1, an+1=an+n^2'

'Para x=3+2i e y=3-2i, encontre os valores de x+y, xy, e x^2+y^2, respectivamente.'

'Demonstrar os métodos gerais de adição, subtração e multiplicação de números complexos.'

'Encontre o valor da raiz enésima.'

'Expresse as seguintes expressões na forma de r*sin(θ+α), onde r>0, -π<α≤π.'

'Encontre a soma S de uma série aritmética com o primeiro termo 3, diferença comum -5, até o 11º termo.'

'Quando o polinômio P(x)=3x^{3}-ax+b é dividido por x-2, o resto é 24, e quando dividido por x+2, o resto é -16. Encontre os valores das constantes a, b.'

'Domine a divisão de polinômios e conquiste o exemplo 7!'

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'Encontre o termo geral da sequência {an} determinada pelas seguintes condições. (1) a1=-1, an+1=an+4 n-1 (2) a1=1, an+1=an+n^{2} (3) a1=4, an+1=an+5^{n}'

'Encontre os valores dos números reais x e y que satisfazem as equações.'

'Usando a divisão longa, encontre o quociente e o resto quando o seguinte polinômio A é dividido pela equação linear B.'

'Encontre os valores dos números reais x e y que satisfazem a equação (2+i)(x+yi)=3-2i.'

'Adição e subtração de frações'

'Calcule as seguintes expressões.'

'Quando o polinômio P(x)=x^{3}-x^{2}+ax-4 é dividido por x+1 com um resto de -2, encontre o valor da constante a.'

'Encontre o quociente Q e o resto R quando o polinômio A é dividido por B. Além disso, expresse o resultado na forma A=BQ+R. \n(1) A=4x^{3}-3x-9, B=2x+3 \n(2) A=1+2x^{2}+2x^{3}, B=1+2x'

'Encontre a soma \\( \\sum_{k=1}^{n} k\\left(k^{2}-1\\right) \\).'

'A inclinação da reta 2x+5y=3 é -2/5. Encontre a inclinação de uma reta perpendicular a esta reta, e derive sua equação.'

'Padrão 56: Determinando o resto da divisão polinomial'

'(4) Adição e subtração\nAo somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, é necessário convertê-las para terem o mesmo denominador antes de realizar o cálculo.\nO processo de igualar os denominadores de duas ou mais frações é chamado de encontrar um denominador comum.\nExemplos:\n\\[\egin{array}{l}\\frac{x+2}{x+3}+\\frac{x+5}{x+3}=\\frac{(x+2)+(x+5)}{x+3}=\\frac{2x+7}{x+3}\\\\\\frac{2}{3}+\\frac{5}{3}=\\frac{2+5}{3}=\\frac{7}{3}\\\\\\frac{x+3}{x+5}-\\frac{1}{x+4}=\\frac{(x+3)(x+4)-1 \\cdot(x+5)}{(x+5)(x+4)}=\\frac{x^{2}+6x+7}{(x+5)(x+4)}\\quad\\frac{3}{5}-\\frac{1}{4}=\\frac{3 \\cdot 4-1 \\cdot 5}{5 \\cdot 4}=\\frac{7}{20}\\\\\\end{array}\\]'

'Prove que a desigualdade é válida.'

'Expresse as seguintes expressões usando a notação ∑.'

'Liçāo 33: Adição, Subtração e Multiplicação de Números Complexos'

'(1) Encontre o resto da divisão do polinômio P(x) = 2x^3 - 3x + 1 pelas seguintes expressões lineares:\n(A) x-1\n(B) 2x+1\n(2) Se o resto for 17 quando o polinômio P(x) = 1/2x^3 + ax + a^2 - 20 é dividido por x-4, encontre o valor da constante a.\n(3) Dado que o resto é -5 quando o polinômio P(x) = x^3 + ax^2 + x + b é dividido por x+2, e o resto é 20 quando dividido por x-3, encontre os valores das constantes a e b.'

'7 pontos x 3'

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'Escolha a resposta correta entre as seguintes opções.'

'172 (1) \\( \\pi\\left(-r^{2} \\cos r+2 r \\sin r+2 \\cos r-2\\right) \\)\n(2) \ \\frac{1}{\\pi r^{2} \\sin r} \'

'No plano complexo, há um triângulo OAB com três pontos O, A e B como vértices. Aqui, O é a origem. Seja P o centro do círculo circunscrito ao triângulo OAB. Se os números complexos representados pelos pontos A, B e P forem respectivamente α, β e z e for dado que αβ=z, então determine as condições que α deve satisfazer e ilustre a forma descrita pelo ponto A(α) no plano complexo.'

'Expresse as seguintes expressões usando z e seu conjugado z-barra: (1) a (2) b (3) a-b (4) a^2-b^2'

'(1) \\ 2 \\ sqrt{2} \\ times\\left(cos \\ frac{7}{4} \\ pi+i \\ sin \\ frac{7}{4} \\ pi\\right)'

'Sejam z e w números complexos tais que |z|=2,|w|=5. Se a parte real de z \x08ar{w} for 3, encontre o valor de |z-w|.'

'Encontre o termo geral do seguinte sistema de equações de recorrência linear: \\( \\left\\{ \egin{array}{l}a_{n+1}=p a_{n}+q b_{n} \\\\ b_{n+1}=r a_{n}+s b_{n}\\end{array} \\quad(prs \\neq 0) \\)'

'(1) \\ 2 \\cos \\frac{5}{12}\\pi\\left(\\cos \\frac{7}{12}\\pi+i\\sin \\frac{7}{12}\\pi\\right)'

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'Para os vetores dados $\\ vec{a} = (11,23)$ e $\\ vec{b} = (-2,-3)$, qual o valor do número real t que minimiza $| \\ vec{a} + t \\ vec{b} |$? Além disso, encontre o valor mínimo de $10| \\ vec{a} + t \\ vec{b} |$.'

'Um vetor é um segmento de reta direcionado que vai do ponto A ao ponto B. Um vetor é uma quantidade definida apenas por sua direção e magnitude, denotada como a = AB. Responda às seguintes perguntas: 1. Encontre o comprimento do segmento de reta direcionado que representa a magnitude do vetor a, |a| a. 2. Descreva a direção de ka quando k > 0. 3. Explique as propriedades do vetor zero 0.'

'Transforme as seguintes expressões em formas que não incluam raiz quadrada.'

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'(1) Encontre o valor das seguintes expressões quando \ 0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}, \\sin \\theta+\\cos \\theta=\\frac{1}{2} \:\\n(1) \ \\sin \\theta \\cos \\theta \\\n(2) \ \\sin ^{3} \\theta+\\cos ^{3} \\theta \\\n(3) \ \\sin \\theta-\\cos \\theta \\\n[Universidade de Osaka] Básico 25,113'

'Adição e subtração de polinômios'

'Adição e subtração de polinômios'

'3\n\\[\n\egin{aligned}\n& \\text { (1) } A+B \\\n= \\left(5 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4\\right)+\\left(3 x^{3}-5 x^{2}+3\\right) \\\n= (5+3) x^{3}+(-2-5) x^{2}+3 x+(4+3) \\\n= 8 x^{3}-7 x^{2}+3 x+7\n\\end{aligned}\n\\]\n(2)\n\\[\n\egin{aligned}\n& A-B \\\n= \\left(5 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4\\right)-\\left(3 x^{3}-5 x^{2}+3\\right) \\\n= 5 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4-3 x^{3}+5 x^{2}-3 \\\n= (5-3) x^{3}+(-2+5) x^{2}+3 x+(4-3) \\\n= 2 x^{3}+3 x^{2}+3 x+1\n\\end{aligned}\n\\]'

'(A) \\\\ 3 \\\\sqrt{2} \\\\'

'(1) \\( \\left(-2 x^{2} y\\right)^{2}(2 x-3 y) \\)'

'Na corrida de curtas distâncias no atletismo, o tempo que leva para correr 100 metros (doravante referido como tempo) está relacionado com a distância percorrida por passo (doravante referida como passada) e o número de passos por segundo (doravante referido como passada). Passada e passada são determinadas pelas seguintes equações.'

'Usando a lei dos produtos'

'Ao adicionar em vez de subtrair a expressão -2x^{2}+5x-3 de um determinado polinômio, a resposta resultou em -4x^{2}+13x-6. Encontre a resposta correta.'

'Encontre o número total de maneiras de arranjar os números quando há 68 números, com 1 aparecendo 3 vezes, 2 aparecendo 3 vezes e 3 aparecendo 2 vezes.'

'Permutação de números (com base na condição de ordenação dos números)'

'Considere o número de maneiras de dividir um grupo de pessoas em grupos, garantindo que cada grupo tenha pelo menos uma pessoa.'

'Utilização do conceito de (todo) - (não)'

'\ 114 S=\\frac{1}{2} p q \\sin \\theta \'

'Calcule as seguintes expressões.'

'Em vez de subtrair de um polinômio (-2x^2+5x-3), erroneamente o termo foi adicionado, resultando em -4x^2+13x-6. Encontre a resposta correta.'

'Encontre a expressão para subtrair de (2) e obter 8x^2-5xy+5y^2.'

''

'Mostre a propriedade comutativa na adição.'

'Número de quadriláteros e combinações'

'116 4-√7/3'

'Combine termos semelhantes no polinômio dado. Identifique o grau e o termo constante ao focar nos caracteres dentro [ ].'

'Após aprender sobre lidar com expressões envolvendo valores absolutos, condições necessárias e suficientes, por favor, tente o problema seguinte.'

'\ 141 \\sqrt{7} a \'

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'Realize os seguintes cálculos de polinômios de acordo com as regras de adição, subtração e multiplicação de polinômios:'

'Quantas maneiras existem de dividir 8 maçãs em quatro sacos rotulados como A, B, C e D, com a possibilidade de alguns sacos ficarem vazios?'

'Questões envolvendo a adição, subtração e multiplicação de polinômios frequentemente surgem, onde nos é requerido somar, subtrair, ou encontrar o produto de diferentes polinômios. Vamos aprofundar nosso entendimento através de um exemplo.'

'Determine os coeficientes e graus dos seguintes monômios. Além disso, analise o significado das letras dentro dos colchetes.'

'Traduza o texto dado para várias línguas.'

'Calcular as seguintes expressões quando A=2x^{3} +3x^{2}+5, B=x^{3}+3x+3, C=-x^{3} -15x^{2} + 7x. (1) 4A + 3(A - 3B - C) - 2(A - 2C) (2) 4A - 2{B - 2(C - A)}'

'Simplifique a seguinte expressão. Onde n é um número natural. (1) 2(-a b)^{n}+3(-1)^{n+1} a^{n} b^{n}+a^{n}(-b)^{n}'

'Calcule as seguintes 18 expressões.'

'Aprenda a completar o quadrado'

'Capítulo 2 Números reais, Desigualdades lineares: Cálculos envolvendo expressões com raízes quadradas de 5'

'Calcular a soma e a diferença dos polinômios A e B.'

'Combine os termos semelhantes de (2x + 3x) para obter 5x.'

'Diga o grau e o coeficiente dos seguintes monômios. Além disso, ao se concentrar na letra dentro dos colchetes, informe o grau e o coeficiente dessa letra.'

'Encontre a soma A + B e a diferença A - B dos polinômios A e B.'

'Padrão 5: Adição e subtração de polinômios (2)'

'Capítulo 1: Cálculo de Equações - Adição e Subtração de Polinômios 1'

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'Explique as propriedades básicas dos conjuntos A e B e demonstre a Lei de De Morgan.'

'Quando $A=2 x+y+z, B=x+2 y+2 z, C=x-2 y-3 z$, calcule as seguintes expressões. (1) $3 A-2 C$ (2) $A-2(B-C)-3 C$'

'Usando a lei da soma.'

'(4) Multiplique cada lado de -1<y<3 por -2 para obter -1*(-2)>y*(-2)>3*(-2)'

'Realize a multiplicação de monômios. Use a lei dos expoentes.'

'Calcule a soma e a diferença dos polinômios dados A e B.'

'Calcule a seguinte expressão: (8)(√6 + 2)(√3 - √2)'

'Usando as seguintes regras de multiplicação, corrija as declarações incorretas na tabela.'

"Se cinco fragrâncias forem diferenciadas sequencialmente como tendo as mesmas marcas para o 1.º e o 4.º, e para o 2.º, 3.º e 5.º, é representado no padrão à direita. Esse padrão é chamado 'Suma'. Existem um total de 52 padrões representando a distinção das cinco fragrâncias. Cada um deles está associado aos nomes dos capítulos de O Conto de Genji, excluindo 'Kiritsubo' e 'Yumeutsutsu'. Esses são conhecidos como padrões de incenso de Genji. Por favor, considere quantos padrões existem quando há dois tipos de fragrâncias. Quantos padrões existem quando as 5 fragrâncias são divididas em 3 e 2, respectivamente? Além disso, considere o cenário de dividi-las em 4 e 1."

'Explique brevemente o conceito de valor absoluto.'

'Calcule as seguintes expressões:'

'(2x^2-7xy+3y^2)-(3x^2+2xy-y^2)'

'A prática leva à perfeição'

'Calcule a seguinte expressão: (2) 2√50 - 5√18 + 3√32'

'Calcule as seguintes expressões.'

'1) De quantas maneiras diferentes é possível dividir 8 sucos diferentes entre A e B, garantindo que cada um receba pelo menos 1 suco? \n2) De quantas maneiras é possível dividir 8 sucos diferentes em 2 grupos?'

'Calcule a seguinte expressão: (7)(√20 + √3)(√5 - √27)'

'Calcular expressões contendo raízes quadradas. Calcular a seguinte expressão: \ \\sqrt{4} + \\sqrt{9} \'

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'Realize a adição e subtração de polinômios. Por exemplo, calcule o seguinte problema.'

'Calcule as expressões seguintes.'

'Utilizando a lei dos produtos.'

'Calcule a seguinte expressão: (3)√2(√3 + √50) - √3(1 - √75)'

'Simplifique a expressão usando as leis dos índices.'

'Ao lançar três dados de tamanhos diferentes simultaneamente, de quantas maneiras é possível obter números ímpares em todos os dados?'

'Calcule as seguintes equações em formato vertical.'

'Avalie as seguintes expressões.'

'(1) Quantas maneiras existem de colocar 10 pessoas em 2 quartos, A ou B? Permitir que todos fiquem em um único quarto também é aceitável.\n(2) Quantas maneiras existem de dividir 10 pessoas em 2 grupos, A e B?\n(3) Quantas maneiras existem de dividir 10 pessoas em 2 grupos?'

'Calcule a expressão a seguir: (1) 3√3 - 6√3 + 5√3'

'Explique o cálculo da seguinte expressão: 500x z^3 vezes \\frac{1}{4} x^2 y^4 vezes \\frac{8}{125} x^3 z^3'

'Considerando 3 mulheres como um grupo, o número total de permutações circulares de 10 homens e um grupo de mulheres é de (11-1)!=10! maneiras. Em qualquer caso, a disposição das 3 mulheres tem 3! maneiras. Portanto, a probabilidade requerida é (10!×3!)/(12!)=3×2×1 / 12×11=1/22.'

'Há 1 jade vermelho, 2 jades azuis, 2 jades amarelos e 2 jades brancos.\n(1) Quantas formas existem para arranjar os 7 jades em forma circular?\n(2) Quando passar todos os 7 jades por fio e fazer pulseiras, quantas pulseiras diferentes podem ser criadas?'

'Calcule as seguintes expressões.'

'Comparação de potências e raízes de potência: Compare a magnitude das seguintes potências e raízes de potência.'

'Encontre S_n quando n é par e ímpar: S_{n}=\x0crac{1}{2} n(n+2) quando n é par, S_{n}=-\x0crac{1}{2}(n+1)^{2} quando n é ímpar'

'Para uma sequência geométrica \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ com uma razão comum de 2 e termo inicial de 1, encontre a soma \ \\frac{1}{a_{1}}+\\frac{1}{a_{2}}+\\frac{1}{a_{3}}+\\cdots \\cdots+\\frac{1}{a_{n}} \.'

'Para a solução (II), diminuir os graus como feito na solução (IV) também é um bom método.'

'(4)\n\\[\n\egin{aligned}\n\oldsymbol{y}^{\\prime} & =-\\left(x^{3}\\right)^{\\prime}+5\\left(x^{2}\\right)^{\\prime}-4(x)^{\\prime}+(1)^{\\prime} \\\\\n& =-1 \\cdot 3 x^{2}+5 \\cdot 2 x-4 \\cdot 1 \\\\\n& =-3 x^{2}+10 x-4\n\\end{aligned}\n\\]'

'Calcule as seguintes expressões. (1) \ \\frac{x^{2}+4 x+5}{x+3}-\\frac{x^{2}+5 x+6}{x+4} \ (2) \ \\frac{x+2}{x}-\\frac{x+3}{x+1}-\\frac{x-5}{x-3}+\\frac{x-6}{x-4} \'

"(2) $y'=3\\left(x^{2}\\right)'-6(x)'(2)'=3 \\cdot 2 x-6 \\cdot 1$"

'(1) Realize os seguintes cálculos:\n\nAqui, $\\frac{1}{(x-3)(x-1)}+\\frac{1}{(x-1)(x+1)}+\\frac{1}{(x+1)(x+3)}$\n\n(2) Realize o seguinte cálculo:\n$\\frac{1}{a^{2}-a}+\\frac{1}{a^{2}+a}+\\frac{1}{a^{2}+3a+2}$'

'Determine os valores das constantes a, b, c, d, e para que a primeira expressão seja divisível pela segunda expressão.'

'Calcule as seguintes expressões:'

'Simplifique as seguintes expressões.'

'(4) Calcular $\\left(a^{-\\frac{1}{3}} b^{\\frac{1}{2}}\\right)^{2} \\times a^{\\frac{5}{3}}$'

'Encontre o termo geral da sequência {an} determinada pelas seguintes condições.\n(1) a1=6, an+1=3an-8'

'Calcule as seguintes expressões e encontre as soluções:\n13. (1) 1\n(2) \x0crac{x+4}{x+1}\n(3) 2 a-3\n(4) 1'

'Encontre o quociente e o resto'

'Encontre o valor das seguintes expressões:\n15. (1) \\frac{2 x}{1+x^{2}}\n(2) -x+2'

'Provar: (1) Provar que quando a: b=c: d, a equação (a+c)(d+f)=(a+c+e)(b+d+f) é verdadeira. (2) Provar que quando a/b=c/d=e/f, a equação (a+c)/(b+d)=(a+c+e)/(b+d+f) é verdadeira.'

'Encontre o número que, ao ser elevado ao quadrado, resulta em 8i.'

'\\\frac{x+1}{3 x^{2}-2 x-1}+\\frac{2 x+1}{3 x^{2}+4 x+1}\'

'Calcular as seguintes expressões.'

'O que devo fazer? Hanako: Uma vez que o resto da divisão de P(x) por (x-1)^{2} é 2x+3, podemos expressá-lo como s x^{2}+t x+u=□. (i) Escolha uma expressão que se encaixe no espaço em branco das seguintes opções. (0) s x^{2}+5 (1) s x^{2}+2 s x+3 (2) s(x-1)^{2} (3) s(x-1)^{2}+5 (4) s(x-1)^{2}+2 x+3 (5) s\\left(x^{2}+2 x+3\\right) (ii) Determine os valores de s, t, u, de modo que s=□, t=□, u=□. Preencha com os números corretos.'

'Calcular as seguintes expressões.'

'Encontre o resto da divisão do polinômio dado pela equação linear especificada. (1) $x^{3}+2 x-1 \\quad[x-3]$ (2) $2 x^{3}-x^{2}+3 x+1 \\quad[x+1]$ (3) $2 x^{4}+3 x^{3}-3 x^{2}-2 x+3 \\quad[x-1]$ (4) $x^{3}-5 x^{2}+4 \\quad[2 x-1]$'

"Se a < 0, b < 0, vamos supor a = -a', b = -b', onde a'> 0, b'> 0, então"

'Expresse as seguintes expressões na forma de r\\sin (\\theta+\\alpha), onde r>0, -\\pi<\\alpha\\leq\\pi.'

'Calcular os seguintes cálculos. Note que a>0, b>0.'

'Encontre os valores de b_n, c_n e a_n usando a seguinte série de etapas: (1) $b_{n+1}=\x0crac{n+2}{n} b_{n}$ (2) $c_{n}=\x0crac{1}{2}$ (3) $a_{n}=\x0crac{1}{4} n^{2}+\x0crac{1}{4} n+\x0crac{1}{2}$'

'Encontre a soma de uma série geométrica com termo inicial 1 e razão comum 2, expressa como log₂(a₁) + log₂(a₂) + ... + log₂(aₙ).'

'Quando um polinômio A é dividido pelo polinômio 2x^{2}-1, e o quociente é 2x-1 com um resto de x-2, encontre A.'

'(3) Usando a lei distributiva $(a+b i)(c+d i)=a c+(a d+b c) i+b d i^{2}$'

'Quando o polinômio $x^{3}+a x^{2}+b x-a$ é dividido por $x^{2}+x+1$ e o resto é $-x+3$, encontre os valores das constantes $a, b$.'

'Encontre o quociente e o resto ao dividir o polinômio $x^3-2x^2-45x-40$ pelo polinômio $x-8$.'

'Determine se a seguinte equação é uma identidade.'

''

'\\frac{2 a^{2}-a-3}{3 a-1} \\div \\frac{3 a^{2}+2 a-1}{9 a^{2}-6 a+1}'

'Consideremos dois números reais a, b positivos. Além disso, i é a unidade imaginária.'

'Simplifique as seguintes expressões.'

'Prova de uma equação com condições'

'Simplifique as seguintes expressões.'

''

'Escolha a opção de 0 a 3 que corresponde a A.'

'Redefina os seguintes ângulos em termos de radianos e vice-versa.'

'Calcular a seguinte expressão: (x+2)/(x^2+7x+12) - (x+4)/(x^2+5x+6) - (x^2+3x)/((x+2)(x^2+7x+12))'

'O lucro máximo nesse momento é a · 50 + 3 · 20 = 50a + 60 (milhão de ienes)'

'Lance uma moeda uma vez, obtendo 1 ponto para cara e 2 pontos para coroa. Repita este experimento n vezes, divida a soma dos pontos por 3, a probabilidade do resto ser 0 é a_{n}, a probabilidade do resto ser 1 é b_{n}, e a probabilidade do resto ser 2 é c_{n}. (1) Encontre a_{1}, b_{1}, c_{1}. (2) Expresse a_{n+1} em termos de b_{n} e c_{n}. (3) Expresse a_{n+1} em termos de a_{n}. (4) Expresse a_{n} em termos de n.'

'Ao lançar simultaneamente 2 moedas de 50 ienes, 4 moedas de 100 ienes e 1 moeda de 500 ienes, calcule o valor esperado e o desvio padrão do valor total das moedas que caem com a face para cima.'

'Prove que a sequência onde o termo n-ésimo é 5n+1 é uma sequência aritmética, e encontre seu primeiro termo e diferença comum.'

'Exemplo básico 19: Identidade de equações fracionárias (decomposição em frações parciais)'

'Exemplo Básico 55 Avaliar o valor de um polinômio de grau superior (reduzindo o grau usando divisão)\nPara P(x)=x^{3}+3 x^{2}+x+2, responda às seguintes perguntas:\n(1) Prove que x=-1+i satisfaz x^{2}+2 x+2=0.\n(2) Encontre o quociente e o resto ao dividir P(x) por x^{2}+2 x+2.\n(3) Encontre o valor de P(-1+i).'

'Qual é o resto da divisão do polinômio P(x) pela expressão linear ax+b?'

'Encontre o quociente e o resto ao dividir o polinômio A pelo polinômio B para os seguintes valores de x:'

'Prove que a equação a³(b-c) + b³(c-a) + c³(a-b) = 0 é verdadeira quando a+b+c=0.'

'Para esta divisão, a seguinte equação é válida.'

'Expresse os tamanhos relativos dos seguintes conjuntos de números usando símbolos de desigualdade.'

'Mostre a adição e subtração do número complexo z = a + bi.'

'Escolha 3 cartas entre as 9 cartas com números de 1 a 9 escritos nelas e arranje-os para formar um número de 3 dígitos.'

'(2) Relação entre tamanho e sinal da diferença 5. a>b ⇔ a-b>0 6. a<b ⇔ a-b<0'

None

'Encontre o termo geral da sequência {a_n} determinada pelas seguintes condições.'

''

'Por favor, resolva o problema usando a seguinte regra de expoente: Regra de expoente: a^{r} a^{s}=a^{r+s} Especificamente, quando a é 3, r é 2, e s é 4, encontre o valor de a^{r+s}.'

'Simplifique as seguintes frações e expresse-as na forma mais simples.'

'A empresa X, que opera um sistema de compartilhamento de bicicletas, planeja estabelecer dois locais, A e B, em uma cidade. Cada local terá um grande número de bicicletas para alugar, e os usuários podem pegar emprestado e devolver para qualquer local. Todos os dias, todas as bicicletas nos locais A e B são alugadas apenas uma vez e devolvidas para qualquer local no mesmo dia. Assume-se que a proporção de bicicletas devolvidas para cada local permanece constante. Especificamente, 70% das bicicletas emprestadas de A são devolvidas para A, e 30% são devolvidas para B. Para as bicicletas emprestadas de B, 20% são devolvidas para A, e 80% são devolvidas para B. Sejam an e bn as proporções do número de bicicletas nos locais A e B, respectivamente, para o número total de bicicletas após o final do dia n. Se as proporções iniciais de bicicletas em A e B forem de 20% e 80%, respectivamente, responda à seguinte pergunta: (1) Encontre an.'

'\\(\\frac{(a+1)^{2}}{a^{2}-1} \\times \\frac{a^{3}-1}{a^{3}+1} \\div \\frac{a^{2}+a+1}{a^{2}-a+1}\\)'

'Calcular a seguinte expressão:'

'Encontre o valor da seguinte expressão: \\(\\frac{1}{2}(\\sqrt{2 n+1}-1) \\)'

'Transforme o lado direito dado para'

"Se a < 0, b > 0, vamos supor a = -a' onde a' > 0, então"

'Atribua 4 e 14 a a, respectivamente.'

'Expresse os tamanhos relativos de cada conjunto de números usando desigualdades.'

'Usando a divisão longa, encontre o quociente e o resto quando o polinômio A é dividido pelo polinômio B. (1) A=x^{3}+2 x^{2}-x-3, B=x+3 (2) A=2 x^{3}+x^{2}+x-2, B=2 x-1'

'Organize os termos semelhantes nos seguintes polinômios e determine os graus e termos constantes das letras dentro dos colchetes nos polinômios (2) e (3).'

'Simplifique as seguintes expressões removendo a dupla raiz quadrada.'

'Calcule as seguintes expressões.'

'Seja 12 um número real e b uma constante positiva. Encontre o valor mínimo m da função f(x) = x^{2} + 2(ax + b|x|). Além disso, plot um gráfico de m com a no eixo horizontal e m no eixo vertical à medida que o valor de a muda.'

'Questões básicas\n3 raízes quadradas\n(1) O número cujo quadrado é igual a a é chamado de raiz quadrada de a.\n(2) Propriedades 1. Quando a ≥ 0, (√a)² = a, (-√a)² = a, √a ≥ 0\n2. Quando a ≥ 0, √(a²) = a; quando a < 0, √(a²) = -a, ou seja, √(a²) = |a|\n(3) Fórmulas Quando a > 0, b > 0, k > 0\n3. √a * √b = √(a * b); 4. (√a) / (√b) = √(a / b); 5. √(k² * a) = k * √a\n\nRacionalizando o denominador Transformar uma expressão que contenha uma raiz no denominador em uma que não contenha raiz é chamado de racionalizar o denominador.'

'Por favor, calcule os seguintes exemplos usando as leis dos expoentes.'

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'Por favor, forneça um exemplo de adição e subtração de polinômios.'

'Encontre o valor das seguintes expressões.'

'Encontre o valor das seguintes expressões.'

'Regras básicas para cálculos polinomiais'

'Simplifique as seguintes expressões removendo as raízes quadradas duplas.'

'Calcule as seguintes expressões.'

'Remova as raízes quadradas na seguinte expressão e simplifique: $\\sqrt{x^{2}+4 x+4}-\\sqrt{16 x^{2}-24 x+9}$ (onde $-2<x<\\frac{3}{4}$).'

'Seja a = b = c números reais e defina A, B, C como A = a + b + c, B = a^{2} + b^{2} + c^{2}, C = a^{3} + b^{3} + c^{3}. Expresse abc em termos de A, B, C.'

'(1) \ \\frac{3 \\sqrt{2}}{2 \\sqrt{3}}-\\frac{\\sqrt{3}}{3 \\sqrt{2}}+\\frac{1}{2 \\sqrt{6}} \'

'Calcule as seguintes expressões matemáticas.'

'A partir do teorema do seno, $\\frac{C}{\\sin C}=2 R$, então\n\ \egin{aligned} c & =2 R \\sin C=2 \\cdot 4 \\sin 120^{\\circ} \\\\ & =2 \\cdot 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}=4 \\sqrt{3} \\end{aligned} \\]\nA partir do teorema do seno\n\\[ \\frac{a}{\\sin A}=\\frac{b}{\\sin B}=2 R \\]\nPortanto\n\\[ \egin{aligned} b & =\\sin B \\cdot \\frac{a}{\\sin A} \\\\ & =\\sin 60^{\\circ} \\cdot \\frac{2}{\\sin 45^{\\circ}} \\\\ & =\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{2}{\\frac{1}{\\sqrt{2}}} \\\\ & =\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{2}=\\sqrt{6} \\\\ R & =\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{a}{\\sin A}=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2}{\\sin 45^{\\circ}}=\\sqrt{2} \\end{aligned} \'

'Encontre a equação de uma parábola que é obtida ao transladar 2 unidades na direção do eixo x e -1 unidade na direção do eixo y, de forma que se sobreponha com a parábola y=-2 x^{2}+3.'

'Encontre o valor de PR(2) sen 160° cos 70° + cos 20° sen 70°.'

'Adição, subtração e multiplicação de polinômios'

'Simplifique as seguintes equações removendo as raízes quadradas.'

''

'Na parte (1) do Exemplo Básico 13, pense em como consolidar e substituir expressões comuns.'

'Liste as leis básicas de adição e multiplicação de polinômios.'

'Usando (3)(2), Taro decidiu determinar o preço de uma okonomiyaki para maximizar o lucro. Encontre o valor de x que maximiza o lucro e calcule o lucro nesse ponto.'

'Adição e subtração de polinômios\nA soma A+B é obtida somando todos os termos de A e B, e se houver termos semelhantes, eles são combinados e simplificados.\nA diferença A-B é considerada como A+(-B), onde o sinal de cada termo em B é alterado e adicionado a A.\nCálculo vertical\nComo mostrado à direita, também é aceitável alinhar termos semelhantes e realizar cálculos verticais. Nesse caso, deixe espaço para os termos de grau faltantes.'

'Nos exemplos básicos 6 e 12, é introduzido um método de combinar expressões comuns e depois prosseguir com cálculos. Por favor, explique o método que você usaria para avançar na solução.'

'Calcular expressões envolvendo raízes quadradas'

'(1) Mostre as expressões para substituir x por x+1 e y por y-2. (2) Para a função f(x) = -2x^2 + 1, mostre a função resultante.'

'Encontre o próximo valor de |x+2|+|x-2|.'

'Calcule as seguintes expressões.'

'O seguinte cálculo está incorreto. Liste todas as igualdades incorretas e explique a razão pela qual considerou-as incorretas.'

'Subtraindo -2x^2 + 5x - 3 de um polinômio específico, mas por engano adicionando essa expressão resultou em -4x^2 + 13x - 6. Encontre a resposta correta.'

'(1) Quando $x=3$, $f(3)=-2 \\cdot 3+1=-6+1=-5$. (2) Quando $x=0$, $f(0)=-2 \\cdot 0+1=1$'

'Por favor, explique a soma, diferença, produto e quociente de dois números racionais.'

'É possível criar fatores comuns através da manipulação de termos.'

'Dado x=\\\sqrt{2}+\\sqrt{3}\, encontrar os valores de x^{2}+\\frac{1}{x^{2}}, x^{4}+\\frac{1}{x^{4}}, x^{6}+\\frac{1}{x^{6}}. [Universidade Rikkyo]Dado que x=\\\sqrt{2}+\\sqrt{3}\\n\\[\egin{aligned} \\frac{1}{x} &=\\frac{1}{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}=\\frac{1}{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}{(\\sqrt{3}+\\sqrt{2})(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})} \n&=\\sqrt{3}-\\sqrt{2} \\text{e} \\, x+\\frac{1}{x}=(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})+(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})=2 \\sqrt{3} \\end{aligned}\\]\nPortanto, x+\\frac{1}{x}=(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})+(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})=2 \\sqrt{3} logo x^{2}+\\frac{1}{x^{2}}=\\left(x+\\frac{1}{x}\\right)^{2}-2\\ n\\[\egin{aligned}\n& =(2 \\sqrt{3})^{2}-2=10 \\ x^{4}+\\frac{1}{x^{4}} &=\\left(x^{2}+\\frac{1}{x^{2}}\\right)^{2}-2 \n&=10^{2}-2=98\n\\end{aligned}\\]'

'Encontre a soma de A + B.'

'Realize os seguintes cálculos:\n(1) A+B\n(2) A-B\nonde A=5x^3-2x^2+3x+4, B=3x^3-5x^2+3'

'Quando os valores de dois números a e b estão no intervalo -2 ≤ a ≤ 1 e 0 < b < 3, encontre o intervalo de valores possíveis para 1/2a - 3b.'

'Encontre o vetor x que satisfaz as seguintes equações e expresse-o em termos do vetor a:\n(1) 4x - a = 3x + 2b\n(2) 2(x - 3a) + 3(x - 2b) = 0'

'Três pontos A, B e C são colineares se e somente se AC=kAB, onde k é um número real.'

'Dado três números complexos distintos \ \\alpha, \eta, \\gamma \, se a equação \\( \\sqrt{3} \\gamma-i \eta=(\\sqrt{3}-i) \\alpha \\) for verdadeira, responda às seguintes perguntas.'

'(2) Se os números complexos $\\alpha, \eta, \\gamma, \\delta$ satisfazem $\\alpha+\eta+\\gamma+\\delta=0$ e $|\\alpha|=|\eta|=|\\gamma|=|\\delta|=1$, encontre o valor de $|\\alpha-\eta|^2+|\\alpha-\\gamma|^2+|\\alpha-\\delta|^2$.'

'(g∘f)(x) = g(f(x)) = 2f(x) - 1 = 2(x + 2) - 1 = 2x + 3 (f∘g)(x) = f(g(x)) = g(x) + 2 = (2x - 1) + 2 = 2x + 1'

'1622 \\pi^{2} a'

'Solução do problema de exercício 60 (1) \\log \eta-\\log \\alpha-\\frac{2(\eta-\\alpha)}{\\alpha+\eta}'

'Encontre a solução para (1): Calcular (g∘f)(x), (f∘g)(x).\nProvar (2): (h∘(g∘f))(x)=((h∘g)∘f)(x).\nf(x)=x+2, g(x)=2x-1, h(x)=-x^{2}.'

'(2) - (1) multiplicado por 3 resulta em (3), (4) resulta em z = \\frac{-x+1}{3}, z=-y+1'

'Questão 6'

'Condições para que três pontos A, B e C sejam colineares e condições perpendiculares\nSeja c uma constante real. Represente os pontos A, B e C como α = 1+i, β = -i, γ = -2+ci.\n(1) Determine o valor de c para que os pontos A, B e C sejam colineares.\n(2) Determine o valor de c para que as retas AB e AC sejam perpendiculares.'

'Traduzir o texto dado para vários idiomas.'

'Resposta do problema de exercício 60 (2) t = \\sqrt{\\alpha \eta}'

'Traduzir o texto dado para várias línguas.'

'90 (2) \\((0, 1-a), (0, -1-a)\\)'

'Seja P(z) um ponto na reta que passa por dois pontos distintos A(α) e B(β) no círculo unitário. Prove a equação z+αβ𝑧¯=α+β.'

'Expresse a prática z = sinα + i cosα (onde 0 ≤ α < 2π) na forma polar.'

'Adição e subtração de matrizes, multiplicação por escalar'

'Prática'

'Resposta do exercício 63 (1) f(x)=x^{2}+\x0crac{1}{2} x, g(x)=\x0crac{1}{4} x^{2}-\x0crac{3}{2} x+4'

'156\\left(8\\sqrt{2}-\\frac{32}{3}\\right)r^{3}'

'(1) \ \\frac{2}{3} a \\n(2) \ 3 a \\n(3) \ \\sqrt{3} a^{2} + \\frac{2}{3} \\pi a^{2} \'

'161 (4) L=\\frac{1}{2} \\log 3'

'O que é CHART?'

'Dado \n\ \eta=a+b\\ i, z=x+y\\ i \, ao substituir em \n\ \\overline{\eta} z+\eta \\overline{z}+c=0 \, obtemos\n\\[\n\egin{array}{l}\n(a-b\\ i)(x+y\\ i) \\\\\n(a+b\\ i)(x-y\\ i)+c=0 \\end{array} \n\\]\nSimplificando, obtemos a seguinte equação:\n\\n2 a x+2 b y+c=0 \n\'

'Adição, subtração e multiplicação escalar de matrizes'

'(2) \ z + \\frac{1}{z} = -\\sqrt{2} \ Multiplicando ambos os lados por \ z \ e simplificando, obtemos\n\ z^{2} + \\sqrt{2} z + 1 = 0 \\nResolvendo para \ z \, obtemos \\( z = \\frac{-\\sqrt{2} \\pm \\sqrt{(\\sqrt{2})^{2} - 4 \\cdot 1 \\cdot 1}}{2 \\cdot 1} = \\frac{-\\sqrt{2} \\pm \\sqrt{2} i}{2} \\)\n\n\\( z^{12} + \\frac{1}{z^{12}} = (\\cos \\theta + i \\sin \\theta)^{12} + (\\cos \\theta + i \\sin \\theta)^{-12} \\)\n\\( = (\\cos 12 \\theta + i \\sin 12 \\theta) + \\{\\cos (-12 \\theta) + i \\sin (-12 \\theta)\\} \\)\n\\( = 2 \\cos 12 \\theta = 2 \\cos \\left\\{12 \\times ( \\pm \\frac{3}{4} \\pi) \\right\\} = 2 \\cos ( \\pm 9 \\pi) \\)\n\\( = 2 \\cos 9 \\pi = 2 \\times (-1) = -2 \\)'

'Para as matrizes A=\\left(\egin{\overlineray}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 6\\end{\overlineray}\\right) e B=\\left(\egin{\overlineray}{ll}6 & x \\\\ y & z\\end{\overlineray}\\right), determine os valores de $x, y, z$ para satisfazer $AB=BA=O$.'

'Quando $\\ vec {a} = (-2,1)$ e $\\ vec {b} = (3,-2)$, expresse o vetor $5 \\ vec {a} + 3 \\ vec {b}$ em componentes. Além disso, encontre a sua magnitude.'

'(Solução Alternativa)\n\nQuando z é um número real, baseado na equação quadrática (x + 1/x) ^ 2 = x^2 + 1 + 2 e (x + 1/x) ^ 3 = x^3 + 1/x^3 + 3(x + 1/x).\nConsiderando z como um número real: (-√2) ^ 3 + 3√2 = 0.\nPortanto: √2.\n\nAssim, a equação de z^6 + 1/z^6 é igual a (z^3 + 1/z^3)^2 - 2 = √2 - 2 = 0.\nLogo, z^12 + 1/z^12 é igual a (z^6 + 1/z^6)^2 - 2 = 0^2 - 2 = -2.'

'Considerando a curva alpha z + beta, quando o ponto z se move no círculo com centro na origem O e raio 1, representado por w = (1-i)z - 2i. Que tipo de forma o ponto w desenhará?'

'Para $k=0,1,2$, vamos assumir que $z$ seja $z_{0}$, $z_{1}$, $z_{2}$'

'Seja k um número natural'

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'Resposta do problema do exercício 64 (1) a=e-\x0crac{1}{2}, b=e-\x0crac{3}{2}'

'Prática (2) Seja \\( \\vec{a}=(2,3), \\vec{b}=(1,-1), \\vec{p}=\\vec{a}+k \\vec{b} \\). Encontre os valores máximo e mínimo de \ |\\vec{p}| \ quando \ -2 \\leqq k \\leqq 2 \.'

''

'Matemática C'

'Resolver em ordem.'

''

'Dado que x = 1 + √2i, encontre o valor da seguinte equação.'

"Para um polinômio f(x) em termos de x, se f(3) = 2 e f'(3) = 1, encontre o resto quando f(x) é dividido por \\\\underline{201}(x-3)^{2}."

'Vamos verificar a divisão de polinômios.'

'Divida o polinômio P(x) por x-1 para obter um resto de 5, e por x-2 para obter um resto de 7. Encontre o resto ao dividir P(x) por x^2-3x+2.'

'Encontre o quociente e o resto ao dividir o polinômio A pelo polinômio B.'

'Divisão de 2 polinômios'

'Considerando a reta l: y=-2x, onde o ponto A(a, b) tem um ponto simétrico B. Encontre as coordenadas do ponto B em termos de a, b. Além disso, determine a equação do caminho percorrido pelo ponto B à medida que o ponto A se move ao longo da reta y=x.'

''

'Encontre o resto ao dividir o polinômio P(x) pela expressão quadrática x^2+3x+2.'

'Seja n um número natural maior ou igual a 2, e i a unidade imaginária. Quando α=1+√3i, β=1-√3i, encontre o valor de (√(β^{2}-4 β+8))/(α^{n+2}-α^{n+1}+2 α^{n}+4 α^{n-1}+α^{3}-2 α^{2}+5 α-2)^{3}.'

'(2) Deixe o polinômio P(x) ser dividido por x-3 e (x+2)(x-1)(x-3) com restos a e R(x) respectivamente. Dado que o coeficiente de x^2 em R(x) é 2. Além disso, quando P(x) é dividido por (x+2)(x-1) o resto é 4x-5. Encontre o valor de a. [Similar à Universidade de Hosei]'

'Prove que para quaisquer números reais a, b, c, que satisfaçam a+b+c≠0 e abc≠0, a equação 1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c) é verdadeira. Neste caso, prove que para qualquer número ímpar n, a equação 1/a^n+1/b^n+1/c^n=1/(a+b+c)^n também é verdadeira.'

'Quando o polinômio P(x) é dividido por x^2-1, o resto é 4x-3, e quando dividido por x^2-4, o resto é 3x+5. Encontre o resto quando P(x) é dividido por x^2+3x+2.'

'170 (ウ) \a-b\'

'Prática (1) Divida o polinômio $2x^{3} + ax^{2} + x + 1$ pelo polinômio $x^{2} + x + 1$ para obter um quociente de $bx - 1$ e um resto de $R$. Encontre os valores das constantes $a, b$ e $R$. Note que $R$ é um polinômio ou uma constante em termos de $x.'

'Quando o polinômio P(x) é dividido por x^{2}+5 x+4, o resto é 2 x+4 e quando dividido por x^{2}+x-2, o resto é -x+2. Neste caso, encontre o resto quando P(x) é dividido por x^{2}+6 x+8.'

'Calcule as seguintes expressões:\n(1) \ \\frac{x^{2}+2 x+3}{x}-\\frac{x^{2}+3 x+5}{x+1} \\n(2) \ \\frac{x+1}{x+2}-\\frac{x+2}{x+3}-\\frac{x+3}{x+4}+\\frac{x+4}{x+5} \'

'Encontre o resto da divisão de P(x) por (x-1)(x+2).'

'(3) Formulário longo 10 multiplicação, divisão de frações'

''

'Divisão e identidade de Tatsumoto 18'

'Encontre o resto quando um polinômio linear P(x) é dividido por um fator linear (x-a).'

'Encontre o quociente e o resto do polinômio A dividido pelo polinômio B.'

''

'(1) Encontre os seguintes valores.'

'Encontre os valores das constantes a e b para a função f(x)=ax^{n+1}+bx^n+1 de modo que a função seja divisível por (x-1)^2.'

'Divisão de polinômios e determinação de polinômios'

'Determine o intervalo de valores reais para os quais a sequência {\\left(\\frac{2 x}{x^{2}+1}\\right)^{n}} converge. Além disso, encontre o limite da sequência para esses valores de x.'

'Seja z ≠ 0. No plano complexo, quando o ponto z e o ponto z^5 são simétricos em relação à origem O, encontre o valor de z. Além disso, no plano complexo, encontre a área do polígono com o vértice correspondente ao valor calculado de z.'

'Quando o ponto P(x, y) faz uma revolução no sentido anti-horário ao redor do círculo com raio 1 centrado na origem, quantas revoluções os pontos Q1(-y, x) e Q2(x^2 + y^2, 0) fazem em torno da origem no sentido anti-horário, respectivamente?'

'Defina as funções f(n) e g(n) que tomam valores inteiros n da seguinte forma: f(n)=1/2 n(n+1), g(n)=(-1)^{n}, defina a função composta h(n)=g(f(n)). Além disso, jogue um dado de seis lados 4 vezes, denote os resultados como j, k, l, m e deixe a=h(j), b=h(k), c=h(l), d=h(m), considere a função P(x)=a x^{3}-3 b x^{2}+3 c x-d.'

'Solução alternativa 1. Vamos assumir que z=x+yi(x, y) é um número real'

'A matemática está correta'

'(1) \\( \\sqrt{2}\\left(\\cos \\frac{5}{4} \\pi+i \\sin \\frac{5}{4} \\pi\\right) \\)\n(1) \\( \\cos \\left(\\frac{\\pi}{2}-\\alpha\\right)+i \\sin \\left(\\frac{\\pi}{2}-\\alpha\\right) \\)\n(2) \ z=1+i \'

'(3) A partir do resultado de (2), temos aₙ₊₁ - 2/3 = -1/2 (aₙ - 2/3). Portanto, a sequência {aₙ - 2/3} com termo inicial a₁ - 2/3 = 1 - 2/3 = 1/3 e razão comum -1/2 é uma sequência geométrica. Assim, aₙ - 2/3 = 1/3 (-1/2)⁽ⁿ⁻¹⁾, portanto aₙ = 1/3 (-1/2)⁽ⁿ⁻¹⁾ + 2/3. Portanto, limₙ→∞ aₙ = limₙ→∞ {1/3 (-1/2)⁽ⁿ⁻¹⁾ + 2/3} = 2/3'

'(1) \\frac{2 t+1}{6 t^{2}} (2) -2 \\sqrt{1-t^{2}} (3) -\\frac{3 \\cos \\theta}{2 \\sin \\theta} (4) -\\frac{2}{3} \\tan \\theta'

'Traduza o texto dado para várias línguas.'

'Se g(x)=a x^{n+1}+b x^{n}+1 for divisível por (x-1)^{2}, expressar a e b em termos de n, onde a e b são independentes de x.'

'Encontre o valor das seguintes expressões:\n(1) (-√3 + i)^6\n(2) (1 + i) / 2)^{-14}'

'Note que α ≠ π'

'Encontre a soma da seguinte série infinita.'

'Deixe {a_{n}} e {b_{n}} serem sequências que satisfazem a seguinte relação.'

'Quais dos seguintes números complexos são reais e quais são puramente imaginários? Assuma que αβ̅ não é um número real.'

''

'Sejam PR α, β números complexos. (1) Se α= |β|=1, α-β+1=0, encontre os valores de α β e α/β+β/α. (2) Se |α|=|β|=|α-β|=1, encontre o valor de |2 β-α|.'

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'\\( { }_{2} \\mathbf{e}=(1,0,0), \\vec{e}=(0,1,0), \\vec{e}=(0,0,1)\\) e \\( \\vec{a}=\\left(0, \\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}\\right), \\vec{b}=\\left(\\frac{1}{2}, ０, \\frac{1}{2}\\right), \\vec{c}=\\left(\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}, ０\\right) \\) quando \ \\vec{e}, \\vec{e}, \\vec{e} \\vec{e}_{3} \ são expressos usando respectivamente \ \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \. Além disso, expresse \\( \\vec{d}=(3,4,5) \\) usando \ \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \.\\n[Universidade de Kinki]\\n(Segunda metade) Expresse \ \\vec{d} \ usando \ \\overrightarrow{e_{1}}, \\overrightarrow{e_{2}}, \\overrightarrow{e_{3}} \ e substitua os resultados da primeira metade.'

'Condição de paralelismo de vetores: Quando os vetores 𝐚≠0 ,𝐛≠0 , então 𝐚 // 𝐛⟺𝐛=k𝐚 onde 𝑘 é um número real.'

'Quando dois vetores não paralelos \ \\vec{a}, \\vec{b} \ (onde \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \) satisfazem \\( s(\\vec{a}+3 \\vec{b})+t(-2 \\vec{a}+\\vec{b})=-5 \\vec{a}-\\vec{b} \\), encontre os valores dos números reais \ s, t \.'

'Resolva as seguintes equações usando a forma polar: (1) $z^{6}=1$ (2) $z^{8}=1$'

'Encontre os valores das constantes a, b e c quando a função composta (g∘f)(x) = x é satisfeita.'

'Considere a seguinte sequência de números complexos.'

'(3) \\ frac{1}{2}+\\log \\frac{3}{4}'

'Expresse os seguintes números complexos em forma polar. Onde o intervalo do argumento 𝜃 é 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋. (1) 2(sin(𝜋/3) + cos(𝜋/3)) (2) 𝑧 = cos(12/7)𝜋 + i sin(12/7)𝜋 então -3𝑧'

'(2) \\ (2(cos(π/10)+i sin(π/10)) \\)^{5}'

'Expressando 1+i e √3+i na forma polar, encontre os valores de cos(5/12π) e sin(5/12π) respectivamente.'

'Vamos denotar c = a + tb para dois vetores a = (11, -2) e b = (-4, 3). O número real t varia.'

'Dado que α=2+i e β=4+5i, encontre o número complexo γ que representa o ponto β após rodar π/4 unidades em torno do ponto α.'

''

'(1) Prove que para qualquer número complexo z, z\ar{z}+\\alpha\ar{z}+\ar{\\alpha}z é um número real.\n(2) Mostre que para números complexos z não reais onde \\\overline{\\alpha} z\ não é real, \\\alpha\\overline{z}-\\overline{\\alpha}z\ é um número imaginário puro.'

'Quando \ \\vec{x}=3 \\vec{a}-\\vec{b}+2 \\vec{c}, \\vec{y}=2 \\vec{a}+5 \\vec{b}-\\vec{c} \, expressar \\( 7(2 \\vec{x}-3 \\vec{y})-5(3 \\vec{x}-5 \\vec{y}) \\) em termos de \ \\vec{a} \, \ \\vec{b} \, \ \\vec{c} \.'

'(1) \\( \\frac{3 x+2}{3 \\sqrt[3]{x(x+1)^{2}}} \\)\n(2) \ 2 x^{\\log x-1} \\log x \'

'Dado quatro pontos distintos O, A, B e C que não estão no mesmo plano, e para dois pontos P, Q, se ⃗OP=⃗OA-⃗OB e ⃗OQ=-5⃗OC, encontre os valores dos números reais k, l de forma que k⃗OP+⃗OQ=-3⃗OA+3⃗OB+l⃗OC seja verdadeiro.'