Álgebra Fundamental - Operações Algébricas (Aritmética, Expoentes, Raízes)

'Por favor, mostre as fórmulas de soma e produto.'

'Por favor, calcule a multiplicação dos seguintes números complexos:\n(a + bi) * (c + di)\nonde a, b, c e d são números reais.'

'Encontre o termo geral das sequências {a_{n}}, {b_{n}} definidas pelas seguintes condições.'

'Por favor, resolva o seguinte problema.'

'Calcule a expressão da sequência a_n de acordo com as seguintes regras: condição inicial a_1=5, se for par então a_n/2, se for ímpar então a_n+1.'

'Por favor, calcule a seguinte expressão: (6)[\x0crac{x+11}{2 x^{2}+7 x+3}-\x0crac{x-10}{2 x^{2}-3 x-2}] = ?'

'Descreva as propriedades de uma equação identidade.'

'Usando a relação entre raízes e coeficientes, encontre os seguintes valores.'

'Encontre o termo geral das sequências {a_{n}}, {b_{n}} determinadas pelas seguintes condições.'

'(8) \\frac{\\sqrt[3]{a^{4}}}{\\sqrt{b}} \\times \\frac{\\sqrt[3]{b}}{\\sqrt[3]{a^{2}}} \\times \\sqrt[3]{a \\sqrt{b}}=a^{\\frac{4}{3}} b^{-\\frac{1}{2}} \\times a^{-\\frac{2}{3}} b^{\\frac{1}{3}} \\times a^{\\frac{1}{3}} b^{\\frac{1}{6}}'

'Por favor, calcule a seguinte expressão: (4) [(x+y)/(x-y)-(y)/(x-y)+(2x-y)/(y-x)] = ?'

'(7)\n\\[\egin{aligned}\n\\sqrt[3]{54}+\\sqrt[3]{-250}-\\sqrt[3]{-16} & =\\sqrt[3]{54}-\\sqrt[3]{250}-(-\\sqrt[3]{16}) \n& =\\sqrt[3]{3^{3} \\cdot 2}-\\sqrt[3]{5^{3} \\cdot 2}+\\sqrt[3]{2^{3} \\cdot 2} \n& =3 \\sqrt[3]{2}-5 \\sqrt[3]{2}+2 \\sqrt[3]{2}=(3-5+2) \\sqrt[3]{2} \n& =0\n\\end{aligned}\\]'

'Prática: Se o resto da divisão de um polinômio P(x) por (x+1)^2 é 18x+9, e o resto da divisão por x-2 é 30 com um resto de 9, encontre o resto quando P(x) é dividido por (x+1)^2(x-2).'

'Encontre o termo geral da sequência {a_{n}}, {b_{n}} determinada pelas seguintes condições.'

'Simplifique as seguintes expressões.'

'Demonstrar operações básicas com frações.'

'Exercício Abrangente'

'Calcule as seguintes expressões.'

''

'Traduza o texto dado para várias línguas.'

'Realize o cálculo a seguir usando a aritmética de números complexos: (3 + 4i) + (1 - 2i).'

'Prática (1) Seja n um número natural. Encontre o resto da divisão de x^n-3^n por (x-3)^2. Além disso, encontre o resto da divisão de 31x^n-3^n por x^2-5x+6. Em (2), encontre o resto da divisão de 3x^100+2x^97+1 por x^2+1.'

''

'Encontre a soma e o produto do número complexo dado e seu conjugado para cada um.'

'Encontre o termo geral das sequências \ \\left\\{a_{n}\\right\\},\\left\\{b_{n}\\right\\} \ definidas pelas seguintes condições.\\n\\n\\\na_{1}=1, \\quad b_{1}=-1, \\quad a_{n+1}=5 a_{n}-4 b_{n}, b_{n+1}=a_{n}+b_{n}\\n\'

'Mostre o quociente e o resto da divisão polinomial.'

'A sequência {p a_{n}+q b_{n}} é uma progressão aritmética, sendo o primeiro termo p a_{1}+q b_{1}=p a+q b, e a diferença comum sendo p d+q e'

'Encontre o termo geral da sequência \ \\left\\{a_{n}\\right\\},\\left\\{b_{n}\\right\\} \ definida pelas seguintes condições.'

'Encontre o quinto termo da sequência {a_n} definida pelas seguintes condições:'

'Encontre a soma dos primeiros 30 termos de uma sequência aritmética com termo inicial de 100 e diferença comum de -8.'

'Encontre o termo geral da sequência $b_{n+1}=-a_{n}+b_{n}$.'

'Encontre a soma S dos termos de 15 a 30 de uma sequência aritmética com uma diferença comum de 1, onde o décimo termo é 1 e o décimo sexto termo é 5.'

'Encontre o resto da equação dada substituindo o polinômio em x = i.'

'Usando divisão longa, encontre o quociente e o resto quando as seguintes equações são divididas pela equação de 1º grau dentro de [ ].'

'Calcular as seguintes expressões:'

'Encontre o quociente Q(x) e o resto ax + b ao dividir x^{2020} + x^{2021} por x^2 + x + 1'

'Prática 29: Resolver o seguinte problema. Dado um polinômio $P(x)$, quando dividido por $(x-1)(2x+1)$, o quociente é $Q(x)$ e o resto é $ax+b$. A equação a seguir é válida: $P(x)=(x-1)(2x+1)Q(x)+ax+b$.'

'(2) \\n\\\\[\\\egin{aligned} \\n a^{2} \\times\\left(a^{-1}\\right)^{3} \\div a^{-2} & =a^{2} \\times a^{(-1) \\times 3} \\div a^{-2} \\n & =a^{2-3-(-2)}=a \\n\\\\end{aligned}\\\\]'

'Ao adicionar c a ambos os lados da equação a>b obtemos a+c>b+c, ao adicionar b a ambos os lados da equação c>d obtemos b+c>b+d, logo a+c > b+d'

'Por favor, calcule a adição dos seguintes números complexos:\n(a + bi) + (c + di)\nonde a, b, c e d são números reais.'

'\\( (x+y)^{2}-(x-y)^{2} = 4xy \\)'

'Traduza o texto dado para vários idiomas.'

'Por favor, calcule a subtração dos seguintes números complexos.\n(a + bi) - (c + di)\nonde a, b, c, d são números reais.'

'Encontre o resto da divisão dos seguintes polinômios pela expressão linear em [ ].'

'Expresse os tamanhos relativos dos seguintes conjuntos de números usando símbolos de desigualdade. \ 1.5, \\log _{2} 5, \\log _{4} 9 \'

'Praticar livro 104 p.208\n(1) \ t=\\sin \\theta-\\cos \\theta \ Ao elevar ambos os lados ao quadrado, obtemos \ t^{2}=\\sin ^{2} \\theta-2 \\sin \\theta \\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta \ Portanto, \ t^{2}=1-\\sin 2 \\theta \ e assim \ \\sin 2 \\theta=-t^{2}+1 \ Desta forma, \\( f(\\theta)=\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\left(-t^{2}+1\\right)-t=-\\frac{\\sqrt{2}}{2} t^{2}-t+\\frac{\\sqrt{2}}{2} \\)'

'Encontre a soma de 22: 4 * 1 + 8 * 3 + 12 * 3^2 + ... + 4n * 3^(n-1)'

'Encontre o termo geral da sequência {an} determinada pelas seguintes condições.'

'Expresse a ordem de cada conjunto de números usando símbolos de desigualdade.'

'Relação de quadrados'

'Calcular as seguintes expressões.'

'Propriedades da raiz cúbica de 63'

'Calcule as seguintes expressões.'

'Para duas sequências {an}, {bn} e uma constante p'

'Encontre um termo a partir de um termo geral'

'No exemplo 108, A resolveu o problema estabelecendo x+y=k. É impossível calcular os valores máximos e mínimos de x+y para todos os pares (x, y) contidos na região D. Portanto... ao estabelecer x+y=k e tratando (x, y) como pontos na linha y=-x+k. Consequentemente, quando a linha y=-x+k passa por pontos na região D (= quando compartilha pontos com a região D), é suficiente considerar os valores máximos e mínimos da interseção y k. Agora, sob as mesmas condições, vamos considerar os valores máximos e mínimos de 2x+y. Estabelecendo 2x+y=k e examinando o movimento da linha y=-2x+k, descobrimos que o valor mínimo de k é, de maneira semelhante a A, quando a linha (2) passa pelo ponto de origem O. No entanto, o valor máximo de k não é quando a linha (2) passa pelo ponto (2,2), mas sim quando passa pelo ponto (10/3, 0).'

'Encontre o dígito das dezenas de B(134)(20+1)^{100}.'

'Usando métodos de prova disponíveis, prove que a seguinte equação é verdadeira.'

'Divisão de polinômios'

'Explique o método para a divisão de números complexos.'

'Relação entre solução e coeficientes'

'Encontre os seguintes valores.'

'Calcule as seguintes expressões.'

'Dado que 106^4 * \\log_{10} 2 = 0.3010, e \\log_{10} 3 = 0.4771. Quantos dígitos tem o número 2011? Além disso, encontre o dígito principal de 2^{2011}.'

'Encontre o resto da divisão do polinômio P(x)=2 x^{3}-3 x+1 pelas seguintes expressões lineares: (a) x-1 (b) 2 x+1'

'Média Harmônica'

'Expoentes de números racionais\nPara \ a>0, m, n \ como inteiros positivos, e \ r \ como um número racional positivo, então \\( a^{\\frac{1}{n}}=\\sqrt[n]{a}, \\quad a^{\\frac{m}{n}}=(\\sqrt[n]{a})^{m}=\\sqrt[n]{a^{m}}, \\quad a^{-r}=\\frac{1}{a^{r}} \\)'

''

'Dado que o resto é 17 quando o polinômio P(x)=\\frac{1}{2}x^{3}+ax+a^{2}-20 é dividido por x-4, encontre o valor da constante a.'

'As linhas retas do problema podem ser desenhadas como 2 linhas mostradas na figura, portanto, o ângulo entre a linha reta e a direção positiva do eixo x é \ \\frac{\\pi}{6}+\\frac{\\pi}{4} \\text { ou } \\frac{\\pi}{6}-\\frac{\\pi}{4} \'

'Traduzir o texto fornecido para vários idiomas.'

'Prove que a equação a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0 é verdadeira quando a+b+c=0.'

'Encontre o resto da divisão do polinômio $P(x)=x^{3}-2 x^{2}+x+2$ por $x-2$.'

'Determinar um polinômio usando uma equação de divisão'

'Encontre o termo geral da sequência que representa a soma do primeiro termo até o termo n-ésimo como Sn'

'Encontre o termo geral da sequência {an} determinada pelas seguintes condições. a1=1, an+1=an+n^2'

'Para x=3+2i e y=3-2i, encontre os valores de x+y, xy, e x^2+y^2, respectivamente.'

'Demonstrar os métodos gerais de adição, subtração e multiplicação de números complexos.'

'Encontre o valor da raiz enésima.'

'Expresse as seguintes expressões na forma de r*sin(θ+α), onde r>0, -π<α≤π.'

'Encontre a soma S de uma série aritmética com o primeiro termo 3, diferença comum -5, até o 11º termo.'

'Quando o polinômio P(x)=3x^{3}-ax+b é dividido por x-2, o resto é 24, e quando dividido por x+2, o resto é -16. Encontre os valores das constantes a, b.'

'Domine a divisão de polinômios e conquiste o exemplo 7!'

''

'Encontre o termo geral da sequência {an} determinada pelas seguintes condições. (1) a1=-1, an+1=an+4 n-1 (2) a1=1, an+1=an+n^{2} (3) a1=4, an+1=an+5^{n}'

'Encontre os valores dos números reais x e y que satisfazem as equações.'

'Usando a divisão longa, encontre o quociente e o resto quando o seguinte polinômio A é dividido pela equação linear B.'

'Encontre os valores dos números reais x e y que satisfazem a equação (2+i)(x+yi)=3-2i.'

'Adição e subtração de frações'

'Calcule as seguintes expressões.'

'Quando o polinômio P(x)=x^{3}-x^{2}+ax-4 é dividido por x+1 com um resto de -2, encontre o valor da constante a.'

'Encontre o quociente Q e o resto R quando o polinômio A é dividido por B. Além disso, expresse o resultado na forma A=BQ+R. \n(1) A=4x^{3}-3x-9, B=2x+3 \n(2) A=1+2x^{2}+2x^{3}, B=1+2x'

'Encontre a soma \\( \\sum_{k=1}^{n} k\\left(k^{2}-1\\right) \\).'

'A inclinação da reta 2x+5y=3 é -2/5. Encontre a inclinação de uma reta perpendicular a esta reta, e derive sua equação.'

'Padrão 56: Determinando o resto da divisão polinomial'

'(4) Adição e subtração\nAo somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, é necessário convertê-las para terem o mesmo denominador antes de realizar o cálculo.\nO processo de igualar os denominadores de duas ou mais frações é chamado de encontrar um denominador comum.\nExemplos:\n\\[\egin{array}{l}\\frac{x+2}{x+3}+\\frac{x+5}{x+3}=\\frac{(x+2)+(x+5)}{x+3}=\\frac{2x+7}{x+3}\\\\\\frac{2}{3}+\\frac{5}{3}=\\frac{2+5}{3}=\\frac{7}{3}\\\\\\frac{x+3}{x+5}-\\frac{1}{x+4}=\\frac{(x+3)(x+4)-1 \\cdot(x+5)}{(x+5)(x+4)}=\\frac{x^{2}+6x+7}{(x+5)(x+4)}\\quad\\frac{3}{5}-\\frac{1}{4}=\\frac{3 \\cdot 4-1 \\cdot 5}{5 \\cdot 4}=\\frac{7}{20}\\\\\\end{array}\\]'

'Prove que a desigualdade é válida.'

'Expresse as seguintes expressões usando a notação ∑.'

'Liçāo 33: Adição, Subtração e Multiplicação de Números Complexos'

'(1) Encontre o resto da divisão do polinômio P(x) = 2x^3 - 3x + 1 pelas seguintes expressões lineares:\n(A) x-1\n(B) 2x+1\n(2) Se o resto for 17 quando o polinômio P(x) = 1/2x^3 + ax + a^2 - 20 é dividido por x-4, encontre o valor da constante a.\n(3) Dado que o resto é -5 quando o polinômio P(x) = x^3 + ax^2 + x + b é dividido por x+2, e o resto é 20 quando dividido por x-3, encontre os valores das constantes a e b.'

'7 pontos x 3'

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'Escolha a resposta correta entre as seguintes opções.'

'172 (1) \\( \\pi\\left(-r^{2} \\cos r+2 r \\sin r+2 \\cos r-2\\right) \\)\n(2) \ \\frac{1}{\\pi r^{2} \\sin r} \'

'No plano complexo, há um triângulo OAB com três pontos O, A e B como vértices. Aqui, O é a origem. Seja P o centro do círculo circunscrito ao triângulo OAB. Se os números complexos representados pelos pontos A, B e P forem respectivamente α, β e z e for dado que αβ=z, então determine as condições que α deve satisfazer e ilustre a forma descrita pelo ponto A(α) no plano complexo.'

'Expresse as seguintes expressões usando z e seu conjugado z-barra: (1) a (2) b (3) a-b (4) a^2-b^2'

'(1) \\ 2 \\ sqrt{2} \\ times\\left(cos \\ frac{7}{4} \\ pi+i \\ sin \\ frac{7}{4} \\ pi\\right)'

'Sejam z e w números complexos tais que |z|=2,|w|=5. Se a parte real de z \x08ar{w} for 3, encontre o valor de |z-w|.'

'Encontre o termo geral do seguinte sistema de equações de recorrência linear: \\( \\left\\{ \egin{array}{l}a_{n+1}=p a_{n}+q b_{n} \\\\ b_{n+1}=r a_{n}+s b_{n}\\end{array} \\quad(prs \\neq 0) \\)'

'(1) \\ 2 \\cos \\frac{5}{12}\\pi\\left(\\cos \\frac{7}{12}\\pi+i\\sin \\frac{7}{12}\\pi\\right)'

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'Para os vetores dados $\\ vec{a} = (11,23)$ e $\\ vec{b} = (-2,-3)$, qual o valor do número real t que minimiza $| \\ vec{a} + t \\ vec{b} |$? Além disso, encontre o valor mínimo de $10| \\ vec{a} + t \\ vec{b} |$.'

'Um vetor é um segmento de reta direcionado que vai do ponto A ao ponto B. Um vetor é uma quantidade definida apenas por sua direção e magnitude, denotada como a = AB. Responda às seguintes perguntas: 1. Encontre o comprimento do segmento de reta direcionado que representa a magnitude do vetor a, |a| a. 2. Descreva a direção de ka quando k > 0. 3. Explique as propriedades do vetor zero 0.'

'Transforme as seguintes expressões em formas que não incluam raiz quadrada.'

''

'(1) Encontre o valor das seguintes expressões quando \ 0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}, \\sin \\theta+\\cos \\theta=\\frac{1}{2} \:\\n(1) \ \\sin \\theta \\cos \\theta \\\n(2) \ \\sin ^{3} \\theta+\\cos ^{3} \\theta \\\n(3) \ \\sin \\theta-\\cos \\theta \\\n[Universidade de Osaka] Básico 25,113'

'Adição e subtração de polinômios'

'Adição e subtração de polinômios'

'3\n\\[\n\egin{aligned}\n& \\text { (1) } A+B \\\n= \\left(5 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4\\right)+\\left(3 x^{3}-5 x^{2}+3\\right) \\\n= (5+3) x^{3}+(-2-5) x^{2}+3 x+(4+3) \\\n= 8 x^{3}-7 x^{2}+3 x+7\n\\end{aligned}\n\\]\n(2)\n\\[\n\egin{aligned}\n& A-B \\\n= \\left(5 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4\\right)-\\left(3 x^{3}-5 x^{2}+3\\right) \\\n= 5 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4-3 x^{3}+5 x^{2}-3 \\\n= (5-3) x^{3}+(-2+5) x^{2}+3 x+(4-3) \\\n= 2 x^{3}+3 x^{2}+3 x+1\n\\end{aligned}\n\\]'

'(A) \\\\ 3 \\\\sqrt{2} \\\\'

'(1) \\( \\left(-2 x^{2} y\\right)^{2}(2 x-3 y) \\)'

'Na corrida de curtas distâncias no atletismo, o tempo que leva para correr 100 metros (doravante referido como tempo) está relacionado com a distância percorrida por passo (doravante referida como passada) e o número de passos por segundo (doravante referido como passada). Passada e passada são determinadas pelas seguintes equações.'

'Usando a lei dos produtos'

'Ao adicionar em vez de subtrair a expressão -2x^{2}+5x-3 de um determinado polinômio, a resposta resultou em -4x^{2}+13x-6. Encontre a resposta correta.'

'Encontre o número total de maneiras de arranjar os números quando há 68 números, com 1 aparecendo 3 vezes, 2 aparecendo 3 vezes e 3 aparecendo 2 vezes.'

'Permutação de números (com base na condição de ordenação dos números)'

'Considere o número de maneiras de dividir um grupo de pessoas em grupos, garantindo que cada grupo tenha pelo menos uma pessoa.'

'Utilização do conceito de (todo) - (não)'

'\ 114 S=\\frac{1}{2} p q \\sin \\theta \'

'Calcule as seguintes expressões.'

'Em vez de subtrair de um polinômio (-2x^2+5x-3), erroneamente o termo foi adicionado, resultando em -4x^2+13x-6. Encontre a resposta correta.'

'Encontre a expressão para subtrair de (2) e obter 8x^2-5xy+5y^2.'

''

'Mostre a propriedade comutativa na adição.'

'Número de quadriláteros e combinações'

'116 4-√7/3'

'Combine termos semelhantes no polinômio dado. Identifique o grau e o termo constante ao focar nos caracteres dentro [ ].'

'Após aprender sobre lidar com expressões envolvendo valores absolutos, condições necessárias e suficientes, por favor, tente o problema seguinte.'

'\ 141 \\sqrt{7} a \'

''

'Realize os seguintes cálculos de polinômios de acordo com as regras de adição, subtração e multiplicação de polinômios:'

'Quantas maneiras existem de dividir 8 maçãs em quatro sacos rotulados como A, B, C e D, com a possibilidade de alguns sacos ficarem vazios?'

'Questões envolvendo a adição, subtração e multiplicação de polinômios frequentemente surgem, onde nos é requerido somar, subtrair, ou encontrar o produto de diferentes polinômios. Vamos aprofundar nosso entendimento através de um exemplo.'

'Determine os coeficientes e graus dos seguintes monômios. Além disso, analise o significado das letras dentro dos colchetes.'

'Traduza o texto dado para várias línguas.'

'Calcular as seguintes expressões quando A=2x^{3} +3x^{2}+5, B=x^{3}+3x+3, C=-x^{3} -15x^{2} + 7x. (1) 4A + 3(A - 3B - C) - 2(A - 2C) (2) 4A - 2{B - 2(C - A)}'

'Simplifique a seguinte expressão. Onde n é um número natural. (1) 2(-a b)^{n}+3(-1)^{n+1} a^{n} b^{n}+a^{n}(-b)^{n}'

'Calcule as seguintes 18 expressões.'

'Aprenda a completar o quadrado'

'Capítulo 2 Números reais, Desigualdades lineares: Cálculos envolvendo expressões com raízes quadradas de 5'

'Calcular a soma e a diferença dos polinômios A e B.'

'Combine os termos semelhantes de (2x + 3x) para obter 5x.'

'Diga o grau e o coeficiente dos seguintes monômios. Além disso, ao se concentrar na letra dentro dos colchetes, informe o grau e o coeficiente dessa letra.'

'Encontre a soma A + B e a diferença A - B dos polinômios A e B.'

'Padrão 5: Adição e subtração de polinômios (2)'

'Capítulo 1: Cálculo de Equações - Adição e Subtração de Polinômios 1'

''

'Explique as propriedades básicas dos conjuntos A e B e demonstre a Lei de De Morgan.'

'Quando $A=2 x+y+z, B=x+2 y+2 z, C=x-2 y-3 z$, calcule as seguintes expressões. (1) $3 A-2 C$ (2) $A-2(B-C)-3 C$'

'Usando a lei da soma.'

'(4) Multiplique cada lado de -1<y<3 por -2 para obter -1*(-2)>y*(-2)>3*(-2)'

'Realize a multiplicação de monômios. Use a lei dos expoentes.'

'Calcule a soma e a diferença dos polinômios dados A e B.'

'Calcule a seguinte expressão: (8)(√6 + 2)(√3 - √2)'

'Usando as seguintes regras de multiplicação, corrija as declarações incorretas na tabela.'

"Se cinco fragrâncias forem diferenciadas sequencialmente como tendo as mesmas marcas para o 1.º e o 4.º, e para o 2.º, 3.º e 5.º, é representado no padrão à direita. Esse padrão é chamado 'Suma'. Existem um total de 52 padrões representando a distinção das cinco fragrâncias. Cada um deles está associado aos nomes dos capítulos de O Conto de Genji, excluindo 'Kiritsubo' e 'Yumeutsutsu'. Esses são conhecidos como padrões de incenso de Genji. Por favor, considere quantos padrões existem quando há dois tipos de fragrâncias. Quantos padrões existem quando as 5 fragrâncias são divididas em 3 e 2, respectivamente? Além disso, considere o cenário de dividi-las em 4 e 1."

'Explique brevemente o conceito de valor absoluto.'

'Calcule as seguintes expressões:'

'(2x^2-7xy+3y^2)-(3x^2+2xy-y^2)'

'A prática leva à perfeição'

'Calcule a seguinte expressão: (2) 2√50 - 5√18 + 3√32'

'Calcule as seguintes expressões.'

'1) De quantas maneiras diferentes é possível dividir 8 sucos diferentes entre A e B, garantindo que cada um receba pelo menos 1 suco? \n2) De quantas maneiras é possível dividir 8 sucos diferentes em 2 grupos?'

'Calcule a seguinte expressão: (7)(√20 + √3)(√5 - √27)'

'Calcular expressões contendo raízes quadradas. Calcular a seguinte expressão: \ \\sqrt{4} + \\sqrt{9} \'

''

'Realize a adição e subtração de polinômios. Por exemplo, calcule o seguinte problema.'

'Calcule as expressões seguintes.'

'Utilizando a lei dos produtos.'

'Calcule a seguinte expressão: (3)√2(√3 + √50) - √3(1 - √75)'

'Simplifique a expressão usando as leis dos índices.'

'Ao lançar três dados de tamanhos diferentes simultaneamente, de quantas maneiras é possível obter números ímpares em todos os dados?'

'Calcule as seguintes equações em formato vertical.'

'Avalie as seguintes expressões.'

'(1) Quantas maneiras existem de colocar 10 pessoas em 2 quartos, A ou B? Permitir que todos fiquem em um único quarto também é aceitável.\n(2) Quantas maneiras existem de dividir 10 pessoas em 2 grupos, A e B?\n(3) Quantas maneiras existem de dividir 10 pessoas em 2 grupos?'

'Calcule a expressão a seguir: (1) 3√3 - 6√3 + 5√3'

'Explique o cálculo da seguinte expressão: 500x z^3 vezes \\frac{1}{4} x^2 y^4 vezes \\frac{8}{125} x^3 z^3'

'Considerando 3 mulheres como um grupo, o número total de permutações circulares de 10 homens e um grupo de mulheres é de (11-1)!=10! maneiras. Em qualquer caso, a disposição das 3 mulheres tem 3! maneiras. Portanto, a probabilidade requerida é (10!×3!)/(12!)=3×2×1 / 12×11=1/22.'

'Há 1 jade vermelho, 2 jades azuis, 2 jades amarelos e 2 jades brancos.\n(1) Quantas formas existem para arranjar os 7 jades em forma circular?\n(2) Quando passar todos os 7 jades por fio e fazer pulseiras, quantas pulseiras diferentes podem ser criadas?'

'Calcule as seguintes expressões.'

'Comparação de potências e raízes de potência: Compare a magnitude das seguintes potências e raízes de potência.'

'Encontre S_n quando n é par e ímpar: S_{n}=\x0crac{1}{2} n(n+2) quando n é par, S_{n}=-\x0crac{1}{2}(n+1)^{2} quando n é ímpar'

'Para uma sequência geométrica \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ com uma razão comum de 2 e termo inicial de 1, encontre a soma \ \\frac{1}{a_{1}}+\\frac{1}{a_{2}}+\\frac{1}{a_{3}}+\\cdots \\cdots+\\frac{1}{a_{n}} \.'

'Para a solução (II), diminuir os graus como feito na solução (IV) também é um bom método.'

'(4)\n\\[\n\egin{aligned}\n\oldsymbol{y}^{\\prime} & =-\\left(x^{3}\\right)^{\\prime}+5\\left(x^{2}\\right)^{\\prime}-4(x)^{\\prime}+(1)^{\\prime} \\\\\n& =-1 \\cdot 3 x^{2}+5 \\cdot 2 x-4 \\cdot 1 \\\\\n& =-3 x^{2}+10 x-4\n\\end{aligned}\n\\]'

'Calcule as seguintes expressões. (1) \ \\frac{x^{2}+4 x+5}{x+3}-\\frac{x^{2}+5 x+6}{x+4} \ (2) \ \\frac{x+2}{x}-\\frac{x+3}{x+1}-\\frac{x-5}{x-3}+\\frac{x-6}{x-4} \'

"(2) $y'=3\\left(x^{2}\\right)'-6(x)'(2)'=3 \\cdot 2 x-6 \\cdot 1$"

'(1) Realize os seguintes cálculos:\n\nAqui, $\\frac{1}{(x-3)(x-1)}+\\frac{1}{(x-1)(x+1)}+\\frac{1}{(x+1)(x+3)}$\n\n(2) Realize o seguinte cálculo:\n$\\frac{1}{a^{2}-a}+\\frac{1}{a^{2}+a}+\\frac{1}{a^{2}+3a+2}$'

'Determine os valores das constantes a, b, c, d, e para que a primeira expressão seja divisível pela segunda expressão.'

'Calcule as seguintes expressões:'

'Simplifique as seguintes expressões.'

'(4) Calcular $\\left(a^{-\\frac{1}{3}} b^{\\frac{1}{2}}\\right)^{2} \\times a^{\\frac{5}{3}}$'

'Encontre o termo geral da sequência {an} determinada pelas seguintes condições.\n(1) a1=6, an+1=3an-8'

'Calcule as seguintes expressões e encontre as soluções:\n13. (1) 1\n(2) \x0crac{x+4}{x+1}\n(3) 2 a-3\n(4) 1'

'Encontre o quociente e o resto'

'Encontre o valor das seguintes expressões:\n15. (1) \\frac{2 x}{1+x^{2}}\n(2) -x+2'

'Provar: (1) Provar que quando a: b=c: d, a equação (a+c)(d+f)=(a+c+e)(b+d+f) é verdadeira. (2) Provar que quando a/b=c/d=e/f, a equação (a+c)/(b+d)=(a+c+e)/(b+d+f) é verdadeira.'

'Encontre o número que, ao ser elevado ao quadrado, resulta em 8i.'

'\\\frac{x+1}{3 x^{2}-2 x-1}+\\frac{2 x+1}{3 x^{2}+4 x+1}\'

'Calcular as seguintes expressões.'

'O que devo fazer? Hanako: Uma vez que o resto da divisão de P(x) por (x-1)^{2} é 2x+3, podemos expressá-lo como s x^{2}+t x+u=. (i) Escolha uma expressão que se encaixe no espaço em branco das seguintes opções. (0) s x^{2}+5 (1) s x^{2}+2 s x+3 (2) s(x-1)^{2} (3) s(x-1)^{2}+5 (4) s(x-1)^{2}+2 x+3 (5) s\\left(x^{2}+2 x+3\\right) (ii) Determine os valores de s, t, u, de modo que s=, t=, u=. Preencha com os números corretos.'

'Calcular as seguintes expressões.'

'Encontre o resto da divisão do polinômio dado pela equação linear especificada. (1) $x^{3}+2 x-1 \\quad[x-3]$ (2) $2 x^{3}-x^{2}+3 x+1 \\quad[x+1]$ (3) $2 x^{4}+3 x^{3}-3 x^{2}-2 x+3 \\quad[x-1]$ (4) $x^{3}-5 x^{2}+4 \\quad[2 x-1]$'

"Se a < 0, b < 0, vamos supor a = -a', b = -b', onde a'> 0, b'> 0, então"

'Expresse as seguintes expressões na forma de r\\sin (\\theta+\\alpha), onde r>0, -\\pi<\\alpha\\leq\\pi.'

'Calcular os seguintes cálculos. Note que a>0, b>0.'

'Encontre os valores de b_n, c_n e a_n usando a seguinte série de etapas: (1) $b_{n+1}=\x0crac{n+2}{n} b_{n}$ (2) $c_{n}=\x0crac{1}{2}$ (3) $a_{n}=\x0crac{1}{4} n^{2}+\x0crac{1}{4} n+\x0crac{1}{2}$'

'Encontre a soma de uma série geométrica com termo inicial 1 e razão comum 2, expressa como log₂(a₁) + log₂(a₂) + ... + log₂(aₙ).'

'Quando um polinômio A é dividido pelo polinômio 2x^{2}-1, e o quociente é 2x-1 com um resto de x-2, encontre A.'

'(3) Usando a lei distributiva $(a+b i)(c+d i)=a c+(a d+b c) i+b d i^{2}$'

'Quando o polinômio $x^{3}+a x^{2}+b x-a$ é dividido por $x^{2}+x+1$ e o resto é $-x+3$, encontre os valores das constantes $a, b$.'

'Encontre o quociente e o resto ao dividir o polinômio $x^3-2x^2-45x-40$ pelo polinômio $x-8$.'

'Determine se a seguinte equação é uma identidade.'

''

'\\frac{2 a^{2}-a-3}{3 a-1} \\div \\frac{3 a^{2}+2 a-1}{9 a^{2}-6 a+1}'

'Consideremos dois números reais a, b positivos. Além disso, i é a unidade imaginária.'

'Simplifique as seguintes expressões.'

'Prova de uma equação com condições'

'Simplifique as seguintes expressões.'

''

'Escolha a opção de 0 a 3 que corresponde a A.'

'Redefina os seguintes ângulos em termos de radianos e vice-versa.'

'Calcular a seguinte expressão: (x+2)/(x^2+7x+12) - (x+4)/(x^2+5x+6) - (x^2+3x)/((x+2)(x^2+7x+12))'

'O lucro máximo nesse momento é a · 50 + 3 · 20 = 50a + 60 (milhão de ienes)'

'Lance uma moeda uma vez, obtendo 1 ponto para cara e 2 pontos para coroa. Repita este experimento n vezes, divida a soma dos pontos por 3, a probabilidade do resto ser 0 é a_{n}, a probabilidade do resto ser 1 é b_{n}, e a probabilidade do resto ser 2 é c_{n}. (1) Encontre a_{1}, b_{1}, c_{1}. (2) Expresse a_{n+1} em termos de b_{n} e c_{n}. (3) Expresse a_{n+1} em termos de a_{n}. (4) Expresse a_{n} em termos de n.'

'Ao lançar simultaneamente 2 moedas de 50 ienes, 4 moedas de 100 ienes e 1 moeda de 500 ienes, calcule o valor esperado e o desvio padrão do valor total das moedas que caem com a face para cima.'

'Prove que a sequência onde o termo n-ésimo é 5n+1 é uma sequência aritmética, e encontre seu primeiro termo e diferença comum.'

'Exemplo básico 19: Identidade de equações fracionárias (decomposição em frações parciais)'

'Exemplo Básico 55 Avaliar o valor de um polinômio de grau superior (reduzindo o grau usando divisão)\nPara P(x)=x^{3}+3 x^{2}+x+2, responda às seguintes perguntas:\n(1) Prove que x=-1+i satisfaz x^{2}+2 x+2=0.\n(2) Encontre o quociente e o resto ao dividir P(x) por x^{2}+2 x+2.\n(3) Encontre o valor de P(-1+i).'

'Qual é o resto da divisão do polinômio P(x) pela expressão linear ax+b?'

'Encontre o quociente e o resto ao dividir o polinômio A pelo polinômio B para os seguintes valores de x:'

'Prove que a equação a³(b-c) + b³(c-a) + c³(a-b) = 0 é verdadeira quando a+b+c=0.'

'Para esta divisão, a seguinte equação é válida.'

'Expresse os tamanhos relativos dos seguintes conjuntos de números usando símbolos de desigualdade.'

'Mostre a adição e subtração do número complexo z = a + bi.'

'Escolha 3 cartas entre as 9 cartas com números de 1 a 9 escritos nelas e arranje-os para formar um número de 3 dígitos.'

'(2) Relação entre tamanho e sinal da diferença 5. a>b ⇔ a-b>0 6. a<b ⇔ a-b<0'

None

'Encontre o termo geral da sequência {a_n} determinada pelas seguintes condições.'

''

'Por favor, resolva o problema usando a seguinte regra de expoente: Regra de expoente: a^{r} a^{s}=a^{r+s} Especificamente, quando a é 3, r é 2, e s é 4, encontre o valor de a^{r+s}.'

'Simplifique as seguintes frações e expresse-as na forma mais simples.'

'A empresa X, que opera um sistema de compartilhamento de bicicletas, planeja estabelecer dois locais, A e B, em uma cidade. Cada local terá um grande número de bicicletas para alugar, e os usuários podem pegar emprestado e devolver para qualquer local. Todos os dias, todas as bicicletas nos locais A e B são alugadas apenas uma vez e devolvidas para qualquer local no mesmo dia. Assume-se que a proporção de bicicletas devolvidas para cada local permanece constante. Especificamente, 70% das bicicletas emprestadas de A são devolvidas para A, e 30% são devolvidas para B. Para as bicicletas emprestadas de B, 20% são devolvidas para A, e 80% são devolvidas para B. Sejam an e bn as proporções do número de bicicletas nos locais A e B, respectivamente, para o número total de bicicletas após o final do dia n. Se as proporções iniciais de bicicletas em A e B forem de 20% e 80%, respectivamente, responda à seguinte pergunta: (1) Encontre an.'

'\\(\\frac{(a+1)^{2}}{a^{2}-1} \\times \\frac{a^{3}-1}{a^{3}+1} \\div \\frac{a^{2}+a+1}{a^{2}-a+1}\\)'

'Calcular a seguinte expressão:'

'Encontre o valor da seguinte expressão: \\(\\frac{1}{2}(\\sqrt{2 n+1}-1) \\)'

'Transforme o lado direito dado para'

"Se a < 0, b > 0, vamos supor a = -a' onde a' > 0, então"

'Atribua 4 e 14 a a, respectivamente.'

'Expresse os tamanhos relativos de cada conjunto de números usando desigualdades.'

'Usando a divisão longa, encontre o quociente e o resto quando o polinômio A é dividido pelo polinômio B. (1) A=x^{3}+2 x^{2}-x-3, B=x+3 (2) A=2 x^{3}+x^{2}+x-2, B=2 x-1'

'Organize os termos semelhantes nos seguintes polinômios e determine os graus e termos constantes das letras dentro dos colchetes nos polinômios (2) e (3).'

'Simplifique as seguintes expressões removendo a dupla raiz quadrada.'

'Calcule as seguintes expressões.'

'Seja 12 um número real e b uma constante positiva. Encontre o valor mínimo m da função f(x) = x^{2} + 2(ax + b|x|). Além disso, plot um gráfico de m com a no eixo horizontal e m no eixo vertical à medida que o valor de a muda.'

'Questões básicas\n3 raízes quadradas\n(1) O número cujo quadrado é igual a a é chamado de raiz quadrada de a.\n(2) Propriedades 1. Quando a ≥ 0, (√a)² = a, (-√a)² = a, √a ≥ 0\n2. Quando a ≥ 0, √(a²) = a; quando a < 0, √(a²) = -a, ou seja, √(a²) = |a|\n(3) Fórmulas Quando a > 0, b > 0, k > 0\n3. √a * √b = √(a * b); 4. (√a) / (√b) = √(a / b); 5. √(k² * a) = k * √a\n\nRacionalizando o denominador Transformar uma expressão que contenha uma raiz no denominador em uma que não contenha raiz é chamado de racionalizar o denominador.'

'Por favor, calcule os seguintes exemplos usando as leis dos expoentes.'

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'Por favor, forneça um exemplo de adição e subtração de polinômios.'

'Encontre o valor das seguintes expressões.'

'Encontre o valor das seguintes expressões.'

'Regras básicas para cálculos polinomiais'

'Simplifique as seguintes expressões removendo as raízes quadradas duplas.'

'Calcule as seguintes expressões.'

'Remova as raízes quadradas na seguinte expressão e simplifique: $\\sqrt{x^{2}+4 x+4}-\\sqrt{16 x^{2}-24 x+9}$ (onde $-2<x<\\frac{3}{4}$).'

'Seja a = b = c números reais e defina A, B, C como A = a + b + c, B = a^{2} + b^{2} + c^{2}, C = a^{3} + b^{3} + c^{3}. Expresse abc em termos de A, B, C.'

'(1) \ \\frac{3 \\sqrt{2}}{2 \\sqrt{3}}-\\frac{\\sqrt{3}}{3 \\sqrt{2}}+\\frac{1}{2 \\sqrt{6}} \'

'Calcule as seguintes expressões matemáticas.'

'A partir do teorema do seno, $\\frac{C}{\\sin C}=2 R$, então\n\ \egin{aligned} c & =2 R \\sin C=2 \\cdot 4 \\sin 120^{\\circ} \\\\ & =2 \\cdot 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}=4 \\sqrt{3} \\end{aligned} \\]\nA partir do teorema do seno\n\\[ \\frac{a}{\\sin A}=\\frac{b}{\\sin B}=2 R \\]\nPortanto\n\\[ \egin{aligned} b & =\\sin B \\cdot \\frac{a}{\\sin A} \\\\ & =\\sin 60^{\\circ} \\cdot \\frac{2}{\\sin 45^{\\circ}} \\\\ & =\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{2}{\\frac{1}{\\sqrt{2}}} \\\\ & =\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{2}=\\sqrt{6} \\\\ R & =\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{a}{\\sin A}=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2}{\\sin 45^{\\circ}}=\\sqrt{2} \\end{aligned} \'

'Encontre a equação de uma parábola que é obtida ao transladar 2 unidades na direção do eixo x e -1 unidade na direção do eixo y, de forma que se sobreponha com a parábola y=-2 x^{2}+3.'

'Encontre o valor de PR(2) sen 160° cos 70° + cos 20° sen 70°.'

'Adição, subtração e multiplicação de polinômios'

'Simplifique as seguintes equações removendo as raízes quadradas.'

''

'Na parte (1) do Exemplo Básico 13, pense em como consolidar e substituir expressões comuns.'

'Liste as leis básicas de adição e multiplicação de polinômios.'

'Usando (3)(2), Taro decidiu determinar o preço de uma okonomiyaki para maximizar o lucro. Encontre o valor de x que maximiza o lucro e calcule o lucro nesse ponto.'

'Adição e subtração de polinômios\nA soma A+B é obtida somando todos os termos de A e B, e se houver termos semelhantes, eles são combinados e simplificados.\nA diferença A-B é considerada como A+(-B), onde o sinal de cada termo em B é alterado e adicionado a A.\nCálculo vertical\nComo mostrado à direita, também é aceitável alinhar termos semelhantes e realizar cálculos verticais. Nesse caso, deixe espaço para os termos de grau faltantes.'

'Nos exemplos básicos 6 e 12, é introduzido um método de combinar expressões comuns e depois prosseguir com cálculos. Por favor, explique o método que você usaria para avançar na solução.'

'Calcular expressões envolvendo raízes quadradas'

'(1) Mostre as expressões para substituir x por x+1 e y por y-2. (2) Para a função f(x) = -2x^2 + 1, mostre a função resultante.'

'Encontre o próximo valor de |x+2|+|x-2|.'

'Calcule as seguintes expressões.'

'O seguinte cálculo está incorreto. Liste todas as igualdades incorretas e explique a razão pela qual considerou-as incorretas.'

'Subtraindo -2x^2 + 5x - 3 de um polinômio específico, mas por engano adicionando essa expressão resultou em -4x^2 + 13x - 6. Encontre a resposta correta.'

'(1) Quando $x=3$, $f(3)=-2 \\cdot 3+1=-6+1=-5$. (2) Quando $x=0$, $f(0)=-2 \\cdot 0+1=1$'

'Por favor, explique a soma, diferença, produto e quociente de dois números racionais.'

'É possível criar fatores comuns através da manipulação de termos.'

'Dado x=\\\sqrt{2}+\\sqrt{3}\, encontrar os valores de x^{2}+\\frac{1}{x^{2}}, x^{4}+\\frac{1}{x^{4}}, x^{6}+\\frac{1}{x^{6}}. [Universidade Rikkyo]Dado que x=\\\sqrt{2}+\\sqrt{3}\\n\\[\egin{aligned} \\frac{1}{x} &=\\frac{1}{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}=\\frac{1}{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}{(\\sqrt{3}+\\sqrt{2})(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})} \n&=\\sqrt{3}-\\sqrt{2} \\text{e} \\, x+\\frac{1}{x}=(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})+(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})=2 \\sqrt{3} \\end{aligned}\\]\nPortanto, x+\\frac{1}{x}=(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})+(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})=2 \\sqrt{3} logo x^{2}+\\frac{1}{x^{2}}=\\left(x+\\frac{1}{x}\\right)^{2}-2\\ n\\[\egin{aligned}\n& =(2 \\sqrt{3})^{2}-2=10 \\ x^{4}+\\frac{1}{x^{4}} &=\\left(x^{2}+\\frac{1}{x^{2}}\\right)^{2}-2 \n&=10^{2}-2=98\n\\end{aligned}\\]'

'Encontre a soma de A + B.'

'Realize os seguintes cálculos:\n(1) A+B\n(2) A-B\nonde A=5x^3-2x^2+3x+4, B=3x^3-5x^2+3'

'Quando os valores de dois números a e b estão no intervalo -2 ≤ a ≤ 1 e 0 < b < 3, encontre o intervalo de valores possíveis para 1/2a - 3b.'

'Encontre o vetor x que satisfaz as seguintes equações e expresse-o em termos do vetor a:\n(1) 4x - a = 3x + 2b\n(2) 2(x - 3a) + 3(x - 2b) = 0'

'Três pontos A, B e C são colineares se e somente se AC=kAB, onde k é um número real.'

'Dado três números complexos distintos \ \\alpha, \eta, \\gamma \, se a equação \\( \\sqrt{3} \\gamma-i \eta=(\\sqrt{3}-i) \\alpha \\) for verdadeira, responda às seguintes perguntas.'

'(2) Se os números complexos $\\alpha, \eta, \\gamma, \\delta$ satisfazem $\\alpha+\eta+\\gamma+\\delta=0$ e $|\\alpha|=|\eta|=|\\gamma|=|\\delta|=1$, encontre o valor de $|\\alpha-\eta|^2+|\\alpha-\\gamma|^2+|\\alpha-\\delta|^2$.'

'(g∘f)(x) = g(f(x)) = 2f(x) - 1 = 2(x + 2) - 1 = 2x + 3 (f∘g)(x) = f(g(x)) = g(x) + 2 = (2x - 1) + 2 = 2x + 1'

'1622 \\pi^{2} a'

'Solução do problema de exercício 60 (1) \\log \eta-\\log \\alpha-\\frac{2(\eta-\\alpha)}{\\alpha+\eta}'

'Encontre a solução para (1): Calcular (g∘f)(x), (f∘g)(x).\nProvar (2): (h∘(g∘f))(x)=((h∘g)∘f)(x).\nf(x)=x+2, g(x)=2x-1, h(x)=-x^{2}.'

'(2) - (1) multiplicado por 3 resulta em (3), (4) resulta em z = \\frac{-x+1}{3}, z=-y+1'

'Questão 6'

'Condições para que três pontos A, B e C sejam colineares e condições perpendiculares\nSeja c uma constante real. Represente os pontos A, B e C como α = 1+i, β = -i, γ = -2+ci.\n(1) Determine o valor de c para que os pontos A, B e C sejam colineares.\n(2) Determine o valor de c para que as retas AB e AC sejam perpendiculares.'

'Traduzir o texto dado para vários idiomas.'

'Resposta do problema de exercício 60 (2) t = \\sqrt{\\alpha \eta}'

'Traduzir o texto dado para várias línguas.'

'90 (2) \\((0, 1-a), (0, -1-a)\\)'

'Seja P(z) um ponto na reta que passa por dois pontos distintos A(α) e B(β) no círculo unitário. Prove a equação z+αβ𝑧¯=α+β.'

'Expresse a prática z = sinα + i cosα (onde 0 ≤ α < 2π) na forma polar.'

'Adição e subtração de matrizes, multiplicação por escalar'

'Prática'

'Resposta do exercício 63 (1) f(x)=x^{2}+\x0crac{1}{2} x, g(x)=\x0crac{1}{4} x^{2}-\x0crac{3}{2} x+4'

'156\\left(8\\sqrt{2}-\\frac{32}{3}\\right)r^{3}'

'(1) \ \\frac{2}{3} a \\n(2) \ 3 a \\n(3) \ \\sqrt{3} a^{2} + \\frac{2}{3} \\pi a^{2} \'

'161 (4) L=\\frac{1}{2} \\log 3'

'O que é CHART?'

'Dado \n\ \eta=a+b\\ i, z=x+y\\ i \, ao substituir em \n\ \\overline{\eta} z+\eta \\overline{z}+c=0 \, obtemos\n\\[\n\egin{array}{l}\n(a-b\\ i)(x+y\\ i) \\\\\n(a+b\\ i)(x-y\\ i)+c=0 \\end{array} \n\\]\nSimplificando, obtemos a seguinte equação:\n\\n2 a x+2 b y+c=0 \n\'

'Adição, subtração e multiplicação escalar de matrizes'

'(2) \ z + \\frac{1}{z} = -\\sqrt{2} \ Multiplicando ambos os lados por \ z \ e simplificando, obtemos\n\ z^{2} + \\sqrt{2} z + 1 = 0 \\nResolvendo para \ z \, obtemos \\( z = \\frac{-\\sqrt{2} \\pm \\sqrt{(\\sqrt{2})^{2} - 4 \\cdot 1 \\cdot 1}}{2 \\cdot 1} = \\frac{-\\sqrt{2} \\pm \\sqrt{2} i}{2} \\)\n\n\\( z^{12} + \\frac{1}{z^{12}} = (\\cos \\theta + i \\sin \\theta)^{12} + (\\cos \\theta + i \\sin \\theta)^{-12} \\)\n\\( = (\\cos 12 \\theta + i \\sin 12 \\theta) + \\{\\cos (-12 \\theta) + i \\sin (-12 \\theta)\\} \\)\n\\( = 2 \\cos 12 \\theta = 2 \\cos \\left\\{12 \\times ( \\pm \\frac{3}{4} \\pi) \\right\\} = 2 \\cos ( \\pm 9 \\pi) \\)\n\\( = 2 \\cos 9 \\pi = 2 \\times (-1) = -2 \\)'

'Para as matrizes A=\\left(\egin{\overlineray}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 6\\end{\overlineray}\\right) e B=\\left(\egin{\overlineray}{ll}6 & x \\\\ y & z\\end{\overlineray}\\right), determine os valores de $x, y, z$ para satisfazer $AB=BA=O$.'

'Quando $\\ vec {a} = (-2,1)$ e $\\ vec {b} = (3,-2)$, expresse o vetor $5 \\ vec {a} + 3 \\ vec {b}$ em componentes. Além disso, encontre a sua magnitude.'

'(Solução Alternativa)\n\nQuando z é um número real, baseado na equação quadrática (x + 1/x) ^ 2 = x^2 + 1 + 2 e (x + 1/x) ^ 3 = x^3 + 1/x^3 + 3(x + 1/x).\nConsiderando z como um número real: (-√2) ^ 3 + 3√2 = 0.\nPortanto: √2.\n\nAssim, a equação de z^6 + 1/z^6 é igual a (z^3 + 1/z^3)^2 - 2 = √2 - 2 = 0.\nLogo, z^12 + 1/z^12 é igual a (z^6 + 1/z^6)^2 - 2 = 0^2 - 2 = -2.'

'Considerando a curva alpha z + beta, quando o ponto z se move no círculo com centro na origem O e raio 1, representado por w = (1-i)z - 2i. Que tipo de forma o ponto w desenhará?'

'Para $k=0,1,2$, vamos assumir que $z$ seja $z_{0}$, $z_{1}$, $z_{2}$'

'Seja k um número natural'

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'Resposta do problema do exercício 64 (1) a=e-\x0crac{1}{2}, b=e-\x0crac{3}{2}'

'Prática (2) Seja \\( \\vec{a}=(2,3), \\vec{b}=(1,-1), \\vec{p}=\\vec{a}+k \\vec{b} \\). Encontre os valores máximo e mínimo de \ |\\vec{p}| \ quando \ -2 \\leqq k \\leqq 2 \.'

''

'Matemática C'

'Resolver em ordem.'

''

'Dado que x = 1 + √2i, encontre o valor da seguinte equação.'

"Para um polinômio f(x) em termos de x, se f(3) = 2 e f'(3) = 1, encontre o resto quando f(x) é dividido por \\\\underline{201}(x-3)^{2}."

'Vamos verificar a divisão de polinômios.'

'Divida o polinômio P(x) por x-1 para obter um resto de 5, e por x-2 para obter um resto de 7. Encontre o resto ao dividir P(x) por x^2-3x+2.'

'Encontre o quociente e o resto ao dividir o polinômio A pelo polinômio B.'

'Divisão de 2 polinômios'

'Considerando a reta l: y=-2x, onde o ponto A(a, b) tem um ponto simétrico B. Encontre as coordenadas do ponto B em termos de a, b. Além disso, determine a equação do caminho percorrido pelo ponto B à medida que o ponto A se move ao longo da reta y=x.'

''

'Encontre o resto ao dividir o polinômio P(x) pela expressão quadrática x^2+3x+2.'

'Seja n um número natural maior ou igual a 2, e i a unidade imaginária. Quando α=1+√3i, β=1-√3i, encontre o valor de (√(β^{2}-4 β+8))/(α^{n+2}-α^{n+1}+2 α^{n}+4 α^{n-1}+α^{3}-2 α^{2}+5 α-2)^{3}.'

'(2) Deixe o polinômio P(x) ser dividido por x-3 e (x+2)(x-1)(x-3) com restos a e R(x) respectivamente. Dado que o coeficiente de x^2 em R(x) é 2. Além disso, quando P(x) é dividido por (x+2)(x-1) o resto é 4x-5. Encontre o valor de a. [Similar à Universidade de Hosei]'

'Prove que para quaisquer números reais a, b, c, que satisfaçam a+b+c≠0 e abc≠0, a equação 1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c) é verdadeira. Neste caso, prove que para qualquer número ímpar n, a equação 1/a^n+1/b^n+1/c^n=1/(a+b+c)^n também é verdadeira.'

'Quando o polinômio P(x) é dividido por x^2-1, o resto é 4x-3, e quando dividido por x^2-4, o resto é 3x+5. Encontre o resto quando P(x) é dividido por x^2+3x+2.'

'170 (ウ) \a-b\'

'Prática (1) Divida o polinômio $2x^{3} + ax^{2} + x + 1$ pelo polinômio $x^{2} + x + 1$ para obter um quociente de $bx - 1$ e um resto de $R$. Encontre os valores das constantes $a, b$ e $R$. Note que $R$ é um polinômio ou uma constante em termos de $x.'

'Quando o polinômio P(x) é dividido por x^{2}+5 x+4, o resto é 2 x+4 e quando dividido por x^{2}+x-2, o resto é -x+2. Neste caso, encontre o resto quando P(x) é dividido por x^{2}+6 x+8.'

'Calcule as seguintes expressões:\n(1) \ \\frac{x^{2}+2 x+3}{x}-\\frac{x^{2}+3 x+5}{x+1} \\n(2) \ \\frac{x+1}{x+2}-\\frac{x+2}{x+3}-\\frac{x+3}{x+4}+\\frac{x+4}{x+5} \'

'Encontre o resto da divisão de P(x) por (x-1)(x+2).'

'(3) Formulário longo 10 multiplicação, divisão de frações'

''

'Divisão e identidade de Tatsumoto 18'

'Encontre o resto quando um polinômio linear P(x) é dividido por um fator linear (x-a).'

'Encontre o quociente e o resto do polinômio A dividido pelo polinômio B.'

''

'(1) Encontre os seguintes valores.'

'Encontre os valores das constantes a e b para a função f(x)=ax^{n+1}+bx^n+1 de modo que a função seja divisível por (x-1)^2.'

'Divisão de polinômios e determinação de polinômios'

'Determine o intervalo de valores reais para os quais a sequência {\\left(\\frac{2 x}{x^{2}+1}\\right)^{n}} converge. Além disso, encontre o limite da sequência para esses valores de x.'

'Seja z ≠ 0. No plano complexo, quando o ponto z e o ponto z^5 são simétricos em relação à origem O, encontre o valor de z. Além disso, no plano complexo, encontre a área do polígono com o vértice correspondente ao valor calculado de z.'

'Quando o ponto P(x, y) faz uma revolução no sentido anti-horário ao redor do círculo com raio 1 centrado na origem, quantas revoluções os pontos Q1(-y, x) e Q2(x^2 + y^2, 0) fazem em torno da origem no sentido anti-horário, respectivamente?'

'Defina as funções f(n) e g(n) que tomam valores inteiros n da seguinte forma: f(n)=1/2 n(n+1), g(n)=(-1)^{n}, defina a função composta h(n)=g(f(n)). Além disso, jogue um dado de seis lados 4 vezes, denote os resultados como j, k, l, m e deixe a=h(j), b=h(k), c=h(l), d=h(m), considere a função P(x)=a x^{3}-3 b x^{2}+3 c x-d.'

'Solução alternativa 1. Vamos assumir que z=x+yi(x, y) é um número real'

'A matemática está correta'

'(1) \\( \\sqrt{2}\\left(\\cos \\frac{5}{4} \\pi+i \\sin \\frac{5}{4} \\pi\\right) \\)\n(1) \\( \\cos \\left(\\frac{\\pi}{2}-\\alpha\\right)+i \\sin \\left(\\frac{\\pi}{2}-\\alpha\\right) \\)\n(2) \ z=1+i \'

'(3) A partir do resultado de (2), temos aₙ₊₁ - 2/3 = -1/2 (aₙ - 2/3). Portanto, a sequência {aₙ - 2/3} com termo inicial a₁ - 2/3 = 1 - 2/3 = 1/3 e razão comum -1/2 é uma sequência geométrica. Assim, aₙ - 2/3 = 1/3 (-1/2)⁽ⁿ⁻¹⁾, portanto aₙ = 1/3 (-1/2)⁽ⁿ⁻¹⁾ + 2/3. Portanto, limₙ→∞ aₙ = limₙ→∞ {1/3 (-1/2)⁽ⁿ⁻¹⁾ + 2/3} = 2/3'

'(1) \\frac{2 t+1}{6 t^{2}} (2) -2 \\sqrt{1-t^{2}} (3) -\\frac{3 \\cos \\theta}{2 \\sin \\theta} (4) -\\frac{2}{3} \\tan \\theta'

'Traduza o texto dado para várias línguas.'

'Se g(x)=a x^{n+1}+b x^{n}+1 for divisível por (x-1)^{2}, expressar a e b em termos de n, onde a e b são independentes de x.'

'Encontre o valor das seguintes expressões:\n(1) (-√3 + i)^6\n(2) (1 + i) / 2)^{-14}'

'Note que α ≠ π'

'Encontre a soma da seguinte série infinita.'

'Deixe {a_{n}} e {b_{n}} serem sequências que satisfazem a seguinte relação.'

'Quais dos seguintes números complexos são reais e quais são puramente imaginários? Assuma que αβ̅ não é um número real.'

''

'Sejam PR α, β números complexos. (1) Se α= |β|=1, α-β+1=0, encontre os valores de α β e α/β+β/α. (2) Se |α|=|β|=|α-β|=1, encontre o valor de |2 β-α|.'

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'\\( { }_{2} \\mathbf{e}=(1,0,0), \\vec{e}=(0,1,0), \\vec{e}=(0,0,1)\\) e \\( \\vec{a}=\\left(0, \\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}\\right), \\vec{b}=\\left(\\frac{1}{2}, ０, \\frac{1}{2}\\right), \\vec{c}=\\left(\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}, ０\\right) \\) quando \ \\vec{e}, \\vec{e}, \\vec{e} \\vec{e}_{3} \ são expressos usando respectivamente \ \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \. Além disso, expresse \\( \\vec{d}=(3,4,5) \\) usando \ \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \.\\n[Universidade de Kinki]\\n(Segunda metade) Expresse \ \\vec{d} \ usando \ \\overrightarrow{e_{1}}, \\overrightarrow{e_{2}}, \\overrightarrow{e_{3}} \ e substitua os resultados da primeira metade.'

'Condição de paralelismo de vetores: Quando os vetores 𝐚≠0 ,𝐛≠0 , então 𝐚 // 𝐛⟺𝐛=k𝐚 onde 𝑘 é um número real.'

'Quando dois vetores não paralelos \ \\vec{a}, \\vec{b} \ (onde \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \) satisfazem \\( s(\\vec{a}+3 \\vec{b})+t(-2 \\vec{a}+\\vec{b})=-5 \\vec{a}-\\vec{b} \\), encontre os valores dos números reais \ s, t \.'

'Resolva as seguintes equações usando a forma polar: (1) $z^{6}=1$ (2) $z^{8}=1$'

'Encontre os valores das constantes a, b e c quando a função composta (g∘f)(x) = x é satisfeita.'

'Considere a seguinte sequência de números complexos.'

'(3) \\ frac{1}{2}+\\log \\frac{3}{4}'

'Expresse os seguintes números complexos em forma polar. Onde o intervalo do argumento 𝜃 é 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋. (1) 2(sin(𝜋/3) + cos(𝜋/3)) (2) 𝑧 = cos(12/7)𝜋 + i sin(12/7)𝜋 então -3𝑧'

'(2) \\ (2(cos(π/10)+i sin(π/10)) \\)^{5}'

'Expressando 1+i e √3+i na forma polar, encontre os valores de cos(5/12π) e sin(5/12π) respectivamente.'

'Vamos denotar c = a + tb para dois vetores a = (11, -2) e b = (-4, 3). O número real t varia.'

'Dado que α=2+i e β=4+5i, encontre o número complexo γ que representa o ponto β após rodar π/4 unidades em torno do ponto α.'

''

'(1) Prove que para qualquer número complexo z, z\ar{z}+\\alpha\ar{z}+\ar{\\alpha}z é um número real.\n(2) Mostre que para números complexos z não reais onde \\\overline{\\alpha} z\ não é real, \\\alpha\\overline{z}-\\overline{\\alpha}z\ é um número imaginário puro.'

'Quando \ \\vec{x}=3 \\vec{a}-\\vec{b}+2 \\vec{c}, \\vec{y}=2 \\vec{a}+5 \\vec{b}-\\vec{c} \, expressar \\( 7(2 \\vec{x}-3 \\vec{y})-5(3 \\vec{x}-5 \\vec{y}) \\) em termos de \ \\vec{a} \, \ \\vec{b} \, \ \\vec{c} \.'

'(1) \\( \\frac{3 x+2}{3 \\sqrt[3]{x(x+1)^{2}}} \\)\n(2) \ 2 x^{\\log x-1} \\log x \'

'Dado quatro pontos distintos O, A, B e C que não estão no mesmo plano, e para dois pontos P, Q, se ⃗OP=⃗OA-⃗OB e ⃗OQ=-5⃗OC, encontre os valores dos números reais k, l de forma que k⃗OP+⃗OQ=-3⃗OA+3⃗OB+l⃗OC seja verdadeiro.'

'Suponha que a probabilidade de o evento \ A \ ocorrer em 231 tentativas seja \\( p(0<p<1) \\). Se este experimento for realizado \ n \ vezes, a probabilidade de \ A \ ocorrer um número ímpar de vezes é denominada \ a_{n} \.'

'Expresse os seguintes números complexos na forma polar. Onde o argumento θ satisfaz 0 ≤ θ < 2π. (1) z = -cosα + i sinα (0 ≤ α < π) (2) z = sinα - i cosα (0 ≤ α < π/2)'

'Traduza o texto dado para várias línguas.'

''

'13'

'Transforme a função racional dada y=(6x+5)/(2x-1) na forma padrão y=k/(x-p)+q.'

'(3) -\\frac{(b-a)^{11}}{2772}'

'Para os números complexos z e w que satisfazem |z|=|w|=1 e zw≠1, prove que (z-w)/(1-zw) é um número real.'

'Quando p = 1, a_{n}=2 n, quando p ≠ 1, a_{n}=\\frac{2\\left(p^{n}-1\\right)}{p-1}; -1<p<1'

'Seja z = x + y, onde x e y são números reais, tratado como uma equação de números reais. A maior vantagem deste enfoque é que permite estratégias de cálculo mais fáceis, já que pode ser pensado em números reais familiares. No entanto, os cálculos muitas vezes se tornam mais complexos. (Exemplo 101, solução 1) No exemplo 100, z = x+y com x e y como números reais, as soluções (1), (2), (4) também podem ser obtidas, mas em comparação com o método 1, a quantidade de cálculos é maior.'

'Seja a soma parcial do primeiro termo até o termo n S_n'

'(1) \\frac{28 \\sqrt{2}}{3}-\\frac{32}{3}'

'Encontre a função composta (f ∘ g)(x) de duas funções f(x) e g(x). (1) Dadas f(x)=\\frac{x-1}{2x+3}, g(x)=\\frac{-x}{x+1}, encontre (f ∘ g)(x). (2) Seja a, b números reais, e f(x)=\\frac{x+1}{ax+b}. Encontre os valores de a, b que satisfazem (f ∘ f)(x)=x. (3) Seja a um número real onde a ≠ 0, e f(x)=\\frac{ax+1}{-ax}. Encontre o valor de a que satisfa (f ∘(f ∘ f))(x)=x. Aqui, (f ∘(f ∘ f))(x) significa f((f ∘ f)(x)). [Yamaguchi Hiroshi] Exemplo 11'

'(2) 1-2 \\log 2'

'Encontre o valor de P = (-1 + √3 i) / 2)^n + ((-1 - √3 i) / 2)^n. Onde n é um número inteiro positivo.'

'Encontre a soma e a diferença dos números complexos α = a + bi, β = c + di.'

'Traduza o texto dado para múltiplos idiomas.'

'Sejam a, b constantes tal que 100<a<b. Definimos x_{n}= (a^{n}/b + b^{n}/a)^{1/n}(n=1,2,3, ...).'

'Que tipo de forma o ponto w traça com as seguintes equações:'

'13\n(3) \\( y^{\\prime}=-\\frac{(5 x+3)^{\\prime}}{(5 x+3)^{2}}=-\\frac{5}{(5 x+3)^{2}} \\)'

'Divida a circunferência em 6 partes iguais, marcando-as no sentido horário como A, B, C, D, E, F, e coloque uma pedra no ponto A como ponto de partida. Jogue um dado, se sair um número par, mova a pedra 2 pontos no sentido horário, se sair um número ímpar, mova a pedra 1 ponto no sentido horário, continue este jogo até que a pedra retorne exatamente ao ponto A, o que é considerado como alcançar o objetivo.'

'Calcule o número total de permutações ao selecionar 3 de 5 números para criar um número par.'

'Calcule a soma A+B e a diferença A-B dos seguintes polinômios:\n(1) A=7x-5y+17, B=6x+13y-5\n(2) A=7x^3-3x^2-16, B=7x^2+4x-3x^3\n(3) A=3a^2-ab+2b^2, B=-2a^2-ab+7b^2'

'Por favor, resolva o seguinte problema de matemática.'

'Converter para a forma padrão. Mova o coeficiente de \ x^{2} \ que é \ \\frac{1}{3} \ para fora do símbolo de valor absoluto.'

'Traduzir o texto dado em vários idiomas.'

'Calcule as seguintes expressões.'

'Calcule o número total de permutações ao selecionar 3 números de 5 números para criar um múltiplo de 4.'

'Some as seguintes expressões: (1) 13x + 8y + 12 e x - 18y + 22'

'(2) Uma vez que $\\sin ^{2} \\theta+ \\cos ^{2} \\theta=1$, temos que $\\sin ^{2} \\theta=1- \\cos ^{2} \\theta=1-\\left(\\frac{4}{5}\\right)^{2}=\\frac{9}{25}$. Como $\\theta$ é um ângulo agudo, então $\\sin \\theta>0$, logo $\\sin \\theta=\\sqrt{\\frac{9}{25}}=\\frac{3}{5}$. Além disso, $\\tan \\theta=\\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}=\\frac{3}{5} \\div \\frac{4}{5}=\\frac{3}{4}$.'

'(1) 5+√3'

'(1) \\[\egin{aligned} \\sqrt{\\frac{x}{y}} &= \\sqrt{\\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{7} - \\sqrt{5}}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{(\\sqrt{7} - \\sqrt{5})(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{7 - 5}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{2}} = \\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{2}} = \\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5}) \\sqrt{2}}{(\\sqrt{2})^{2}} = \\frac{\\sqrt{14} + \\sqrt{10}}{2} \\end{aligned}\\]'

'Por favor, demonstre as seguintes regras para a adição, subtração e multiplicação de expressões algébricas.'

'(1) \2 a-2\'

'Por favor, resolva um problema relacionado ao cálculo da raiz quadrada dos exercícios do Capítulo 1 sobre números e expressões.'

'Prove que se k ≠ l, então r(k) ≠ r(l).'

"Por favor, calcule as seguintes expressões através de adição e subtração:\n(1) A+B = (3a^2-ab+2b^2) + (-2a^2-ab+7b^2)\n(2) A-B = (3a^2-ab+2b^2) - (-2a^2-ab+7b^2)\nEsta função é referida como 'CHECK 3'."

''

'Indique o oposto, o contrário, e o inverso das seguintes proposições.'

"Existem 5 maneiras de mostrar a mão, com 3 possibilidades 'Pedra, Papel, Tesoura' por pessoa, assim totalizando 3 elevado a 5 maneiras. (1) Considere quem vai ganhar e como eles vão ganhar, calcule a probabilidade. (2) Considere quais 2 pessoas vão ganhar e como eles vão ganhar, calcule a probabilidade. (3) Calcule a probabilidade de um empate, o que significa que a partida não resulta em uma vitória ou derrota."

'Calcule as seguintes expressões.'

''

Calcule as seguintes expressões. (1) 6√2 - 8√2 + 3√2 (2) √48 - √27 + √8 - √2 (3) (√5 + √2)² (4) (3√2 + 2√3)(3√2 - 2√3)

Seja a parte inteira de 3+\sqrt{2} igual a a e a parte decimal igual a b. O valor de a^{2}+2 a b+4 b^{2} é \square.

Resolva os seguintes cálculos.\n(1) \( 2 a imes\left(a^{3} ight)^{2} \)\n(2) \( 3 a^{2} b imes\left(-5 a b^{3} ight) \)\n(3) \( \left(-2 x^{2} y ight)^{2} imes\left(-3 x^{3} y^{2} ight)^{3} \)

Avalie as seguintes expressões. (3) $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}+\frac{1}{2 \sqrt{6}}$ (4) $\frac{8}{3-\sqrt{5}}-\frac{2}{2+\sqrt{5}}$ (5) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+1}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ (6) $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

Dado o conjunto universal U e os conjuntos de elementos que satisfazem as condições p e q são P e Q respectivamente, como é representado o conjunto de elementos que satisfazem a condição 'p e q'?

Resolva os seguintes cálculos. (1) $x^{2} imes x^{5}$ (2) \( \left(x^{5} ight)^{2} \) (3) \( \left(-x^{2} y z ight)^{4} \) (4) \( \left(-2 a b^{2} x^{3} ight)^{3} imes\left(-3 a^{2} b ight)^{2} \) (5) \( \left(-x y^{2} ight)^{2} imes\left(-2 x^{3} y ight) imes 3 x y \)

Exemplo de Questão Exemplo Básico 27 Explicação de $40 \sqrt{A^{2}}$. Dado que $a$ é um número real, simplifique $\sqrt{9 a^{2}-6 a+1}+|a+2|$. Os resultados são os seguintes: quando $a>\frac{1}{3}$, é $\square$; quando $-2 \leqq a \leqq \frac{1}{3}$, é 1 $\qquadj$; e quando $a<-2$, é $\qquadj$ \. [Exemplo do Exame de Centro]\& GUIA $A \geqq 0$ significa $\sqrt{A^{2}}=A$, e $A<0$ significa $\sqrt{A^{2}}=-A$; portanto, $\sqrt{A^{2}}=|A|$ é verdadeiro. $\square$ $\qquadj$. Usando isso, expresse $\sqrt{9 a^{2}-6 a+1}+|a+2|$ em termos de notação de valor absoluto.

Calcule as seguintes expressões. (1) \( \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} (2) \( \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} )

Calcule as seguintes expressões. (1) -\frac{1}{4} x^2 y^2 \times(2xy^3)^3 (2) 500xz^3 \times(-\frac{1}{2} xy^2)^2 \times(\frac{2}{5} xz)^3 (3) (a + b)^2 + (a - b)^2 (4) (a + b)^2 - (a - b)^2 (5) (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2

Encontre os valores da função \( f(x)=2x+1 \) para $x=-1, 0, 1$.

Represente o conjunto de todos os elementos que satisfazem a condição 'p e q'.

Por favor, explique as quatro operações aritméticas básicas.

Calcule as seguintes expressões. (1) 3√3 - 6√3 + 5√3 (2) 2√50 - 5√18 + 3√32 (3) √2(√3 + √50) - √3(1 - √75) (4) (√3 + √5)² (5) (3√2 - √3)² (6) (4 + 2√3)(4 - 2√3) (7) (√20 + √3)(√5 - √27) (8) (√6 + 2)(√3 - √2)

Representação da Soma de Números Complexos A soma de dois números complexos \alpha = a + bi, eta = c + di é \[ \alpha + eta = (a + c) + (b + d)i \] Ao plotar no plano complexo, os seguintes pontos-chave podem ser observados. 1. Movendo o ponto $\alpha$ para uma posição paralela ao ponto eta a partir da origem, o ponto resultante é a soma. Por favor, calcule as seguintes somas e plote-as no plano complexo. 1. $\alpha = 1 + 2i$, eta = 3 + 4i 2. $\alpha = -1 + i$, eta = 2 - 3i

Dado f(x)=-2x+3 e g(x)=2x²-4x+3, encontre os seguintes valores. (1) f(0), f(3), f(-2), f(a-2) (2) g(√2), g(-3), g(1/2), g(1-a)

Realize as seguintes conversões em ordem de módulo e argumento. (1) $2r, heta$ (2) $r, heta+\pi$ (3) $r,- heta$ (4) rac{1}{r},- heta (5) $r^{2}, 2 heta$ (6) $2r, \pi- heta$

(2) O ponto G divide o segmento AF internamente na razão 1:2, então \[ egin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{AG}}=rac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AF}}=rac{1}{30} ec{b}+rac{1}{5} ec{c}+rac{1}{10} ec{d} \ ext { Portanto } \overrightarrow{\mathrm{DG}}=\overrightarrow{\mathrm{AG}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\left(rac{1}{30} ec{b}+rac{1}{5} ec{c}+rac{1}{10} ec{d} ight)-ec{d} \ =rac{1}{30} ec{b}+rac{1}{5} ec{c}-rac{9}{10} ec{d} \ \end{array} \] Como os pontos D, G e H são colineares, existe um número real $k$ tal que $\overrightarrow{\mathrm{DH}}=k \overrightarrow{\mathrm{DG}}$.

(3) De (1), \alpha=\frac{3 \pm \sqrt{3} i}{3} eta , portanto \[ egin{aligned} |3 \alpha-2 eta| & =|(3 \pm \sqrt{3} i) eta-2 eta|=|(1 \pm \sqrt{3} i) eta| & =|1 \pm \sqrt{3} i||eta|=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}|eta|=2|eta| \end{aligned} \]

Dado \( z=r(\cos heta+i \sin heta) \), expressar o valor absoluto e o argumento dos seguintes números complexos usando $r, heta$, respectivamente, cada um com 1 ponto 20. Suponha $r>0$. (1) $2z$ (2) $-z$ (3) \overline{z} (4) rac{1}{z} (5) $z^{2}$ (6) -2\overline{z}

Existem três pontos \( \mathrm{O}(0), \mathrm{A}(3-2 i), \mathrm{B} \) no plano complexo. Quando $riangle \mathrm{OAB}$ é um triângulo retângulo isósceles, encontre o número complexo $z$ que representa o ponto $\mathrm{B}$.

Para completar a tabela a seguir, por favor calcule o quadrado (n^2), o cubo (n^3), a raiz quadrada (√n) e dez vezes a raiz quadrada (√10n).

Dado α=2(cos 11/12 π + i sin 11/12 π) e β=3(cos π/4 + i sin π/4), encontre αβ e α/β.