Álgebra Fundamental - Equações Algébricas (Linear, Quadrática)

'Resolver as seguintes equações:'

'Determinando coeficientes a partir das soluções imaginárias de uma equação'

'Seja x o valor a ser pago no final de cada ano, encontre o valor de x de forma que o saldo no final de cada ano seja zero.'

'Encontre a equação cúbica com raízes 1, 2 e 3.'

'Encontre as equações das seguintes linhas:\n(1) Uma linha que passa pelo ponto (6,-4) e é paralela à linha 3x + y - 7 = 0\n(2) Uma linha que passa pelo ponto (-1,3) e é perpendicular à linha x - 5y + 2 = 0'

'Portanto, o valor da expressão dada é'

'12 \\times 3 \\cdot 2^{k-1}=3 \\cdot 2^{k}'

'Determine os tipos de soluções para as seguintes equações quadráticas. Onde a é uma constante. (1) 3x^2-5x+3=0 (2) 2x^2-(a+2)x+a-1=0 (3) x^2-(a-2)x+(9-2a)=0'

'Para a equação $x^{2}-2(k-3) x+4 k=0$, determine o intervalo da constante $k$ para que a equação tenha as seguintes raízes:'

'Resolver o seguinte sistema de equações simultâneas.'

'Determine os tipos de soluções para as seguintes equações quadráticas.'

'Pratique resolver as seguintes equações e desigualdades.'

'Encontre os valores da constante $m$ para os quais a equação quadrática $x^2 - mx + 3m = 0$ tem apenas soluções inteiras e determine todas essas soluções inteiras correspondentes.'

'Encontre a soma e o produto das duas soluções das seguintes equações quadráticas.'

'Resolva o seguinte problema de prática: Encontre as soluções para a equação quadrática.'

'Exemplo Importante 23 | Soluções de Equações Quadráticas e o Valor das Equações Sejam as duas soluções da equação quadrática $x^{2}+n x+p=0$ como $a, b$, e as duas soluções de $x^{2}+n x+q=0$ como $c, d$. Aqui, $p, q$ são inteiros, e $n$ é um número real. (1) Expressar $(c-a)(c-b)$ em termos de $p, q$. (2) Provar que $(a-c)(b-d)(a-d)(b-c)$ é um quadrado perfeito (pode ser expresso como o quadrado de um inteiro).'

'Calcule a probabilidade p_{n+2} após (n+2) segundos usando p_n e p_{n+1}.'

'(1) Seja D o discriminante da equação quadrática x^2-k x+3 k-4=0 (1), então D=(-k)^2-4(3 k-4)=k^2-12 k+16. Para que a equação quadrática (1) tenha soluções complexas, a condição é D<0, então k^2-12 k+16<0.'

'Dadas as três retas, onde a e b são constantes: x-y+1=0, x-3y+5=0, ax+by=1. Prove que quando essas três retas passam pelo mesmo ponto, os três pontos (-1,1), (3,-1), (a, b) são colineares.'

''

'Resolver equações trigonométricas usando fórmulas de soma e produto.'

'(1) Resolver a equação: $6x^{2}-61x+153=0$.'

'Em sequência, 4x + 3y - 17 = 0, 3x - 4y + 6 = 0'

'Com base nas seguintes condições, resolva o problema.'

'Encontre a equação da reta que passa pelo ponto \\( (x_{1}, y_{1}) \\) e é perpendicular ao eixo \ x \.'

'Quando uma equação cúbica com coeficientes reais ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 tem uma solução imaginária α, explique sobre os números complexos conjugados e demonstre suas propriedades.'

'(1) Sejam $\\alpha$ e $\eta$ as duas soluções da equação quadrática $x^{2}+3x-6=0$. Determine uma nova equação quadrática com soluções $2\\alpha+\eta$ e $\\alpha+2\eta$. (2) Se $\\alpha$ e $\eta$ são as soluções da equação quadrática $x^{2}+px+q=0$, e uma das equações quadráticas com soluções $\\alpha^{2}$ e $\eta^{2}$ é $x^{2}-4x+36=0$, encontre os valores das constantes reais $p$ e $q$.'

'Encontre os valores de α, β, γ que satisfazem as seguintes equações: \ \egin{\overlineray}{l} \\alpha^{3}=2 \\alpha^{2}+4, \eta^{3}=2 \eta^{2}+4, \\gamma^{3}=2 \\gamma^{2}+4 \\end{\overlineray} \'

'Encontre todos os valores inteiros de $m$ para os quais a equação quadrática $x^{2} + (2m + 5)x + m + 3 = 0$ tem soluções inteiras.'

'Prática: Começando a partir da origem O na reta numérica, lance uma moeda, movendo 2 unidades na direção positiva se sair cara, e 481 unidades na direção positiva se sair coroa. Deixe a probabilidade de chegar ao ponto n ser denotada como pn. Aqui, n é um número natural.\n(1) Determine a relação entre pn, pn-1 e pn-2 para n maior ou igual a 3.\n(2) Encontre o valor de pn.'

'Traduza o texto dado para vários idiomas.'

'(1) (6, 4) (2) Em ordem (4x + 3y -17 = 0, 3x - 4y + 6 = 0)'

'Matemática II'

'Ao tomar o recíproco de ambos os lados da relação de recorrência, obtemos \\ \\frac{1}{a_{n+1}}=4+\\frac{3}{a_{n}} \\ Se deixarmos \\ \\frac{1}{a_{n}}=b_{n}, então temos \\ b_{n+1}=4 + 3 b_{n} Rearranjando isso, obtemos \\ b_{n+1} + 2=3 (b_{n}+2) Além disso, \\ b_{1}+2 = \\frac{1}{a_{1}} + 2 = \\frac{1}{\\frac{2}{3}} + 2 = 3 Portanto, a sequência \\ \\{b_{n}+2\\} forma uma sequência geométrica com o primeiro termo 3 e a razão comum 3, onde \\ b_{n}+2 = 3 \\cdot 3^{n-1} o que implica \\ b_{n} = 3^{n} - 2 Assim, \\ a_{n} = \\frac{1}{b_{n}} = \\frac{1}{3^{n} - 2}'

'Quando a equação de um círculo é transformada, \\((x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2\\), logo, o centro do círculo C está no ponto (2,1), e o raio é \\\sqrt{2}\.'

'Seja 14k um número real, considere a equação quadrática em x, x^{2}-kx+3k-4=0.'

'Considere as seguintes condições para os inteiros a, b, c (*). ∫(x²+bx)dx = ∫(x²+ax)dx ao integrar de a para c e de b para c. (1) Expresse c² em termos de a, b quando os inteiros a, b, c satisfazem (*) e a≠b. (2) Encontre todos os pares de inteiros (a, b) que satisfazem (*) e a<b quando c=3. (3) Mostre que quando os inteiros a, b, c satisfazem (*) e a≠b, c é um múltiplo de 3.'

'Encontre o termo geral da sequência {an} definida pelas seguintes condições.'

'Pratique 2 curvas y = 2x^{3} + 2x^{2} + a, y = x^{3} + 2x^{2} + 3x + b são tangentes com a reta tangente que passa pelo ponto (2,15), encontre os valores das constantes a, b e a equação da reta tangente.'

'Exercício 39: x² = x + 3, ou seja, x² - x - 3 = 0 tem duas soluções α, β (α < β), e pela relação entre as soluções e coeficientes temos α + β = 1, αβ = -3. Prove isso. Além disso, prove que a fórmula de recorrência é a_{n+2} - (α + β)a_{n+1} + αβa_{n} = 0. Por fim, encontre a_{n}.'

''

'Por favor, demonstre que uma equação com coeficientes reais de grau ímpar tem pelo menos uma solução real.'

'Um conjunto de problemas de matemática 62'

'Encontre o valor da seguinte expressão.'

'(3) A partir da soma de dois números α+β=-4 e do produto αβ=13, encontre a equação quadrática e suas soluções.'

'Classifique o número de soluções da equação \\( \\sin ^{2} \\theta-\\cos \\theta+a=0(0 ≤θ<2π) \\) com base no valor da constante a.'

'Seja a o primeiro termo e d a diferença comum, então o décimo termo é 1 e o décimo sexto termo é 5, portanto a+9d=1, a+15d=5. Resolvendo essas equações, encontramos a=-5, d=2/3. Seja Sn a soma dos termos do primeiro termo até o enésimo termo. Portanto, S30=1/2*30{2*(-5)+(30-1)*2/3}=140, e S14=1/2*14{2*(-5)+(14-1)*2/3}=-28/3. Logo, S=S30-S14=140-(-28/3)=448/3'

'Prática 38: Transforme a relação de recorrência em a_{n+2} + 4a_{n+1} = -4(a_{n+1} + 4a_{n}). Portanto, a sequência {a_{n+1} + 4a_{n}} tem um termo inicial de a_{2} + 4a_{1} = 9, uma razão comum de -4, prove que é uma sequência geométrica. Além disso, demonstre que a_{n+1} + 4a_{n} = 9·(-4)^{n-1}. Por fim, encontre o valor de a_{n}.'

'Para a equação quadrática $a x^{2}+b x+c=0$ com duas soluções $\\alpha, \eta$, temos $\\alpha+\eta=-\\frac{b}{a}$ e $\\alpha \eta=\\frac{c}{a}$.'

'Sejam $D_{1}$, $D_{2}$ e $D_{3}$ os discriminantes das três equações, respectivamente. Determine o intervalo de valores para a que fazem com que cada discriminante tenha raízes complexas. Use os resultados dos discriminantes com base nas equações.'

'Três números reais a, b, c formam uma progressão aritmética na ordem a, b, c e uma progressão geométrica na ordem b, c, a. Quando o produto de a, b e c é 125, encontre os valores de a, b e c.'

'A partir da equação C2, temos (x-3)^2 + (y-a)^2 = a^2 - 4a + 5. Encontre as condições para que esta equação intersecte a reta y=x+1 em dois pontos distintos.'

'Livro de Exercícios de Matemática II página 61'

'x^{2}+y^{2}=10\n(3) y=2 x-8\n5 x^{2}-32 x+54=0\nSeja D o discriminante desta equação quadrática\nfrac{D}{4}=(-16)^{2}-5 cdot 54=-14\nComo D<0, esta equação quadrática não tem soluções reais. Portanto, o Círculo (A) e a Reta (3) não possuem pontos de interseção.'

'y = bx - a² / 4'

'Quando a = 1, a equação para C₂ é x^2-6x+y^2-2y+8=0. Agora, deixe k ser uma constante e considere a seguinte equação: k(x^2+y^2-4)+x^2-6x+y^2-2y+8=0. Encontre as condições para isso formar uma linha.'

'A condição para ambas as soluções serem maiores que 4 é D>0 e (α-4)+ (β-4)>0 e (α-4)(β-4)>0'

'Uma vez que o ponto médio do segmento de linha PQ é (3+p)/2, (4+q)/2 está na linha ℓ, portanto'

'Uma equação cúbica com raízes repetidas'

'Resolver a seguinte equação de 4º grau: x^{4}=4'

'Prove que pelo menos um dos \ a, b, c \ é 1 quando \ a+b+c=1, \\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c}=1 \.'

'Por favor, explique as soluções da equação (x-3)^{2}(x+2)=0 e sua raiz repetida.'

'Seja $Q(x)$ um polinômio quadrático. O polinômio $P(x)$ não pode dividir $Q(x)$, mas {$P(x)$}^2 pode ser dividido por $Q(x)$. Prove que a equação quadrática $Q(x)=0$ possui uma raiz duplicada.'

'Uma vez que o número real é positivo, temos que $x-2>0$ e $3-x>0$. Logo, $2<x<3$. E como $2\\log_{4}(3-x)=\\log_{2^{2}}(3-x)^{2}=\\log_{2}(3-x)$.'

'Interprete isso como resolvendo para b na equação de segundo grau'

'Usando a relação entre as raízes e os coeficientes, encontre o valor a seguir.'

'Exemplo importante 27 | Soluções de duas equações'

'Para o vegetal A, cada um contém 8g do nutriente x₁, 4g do nutriente x₂, e 2g do nutriente x₃, enquanto que para o vegetal B, cada um contém 4g do nutriente x₁, 6g do nutriente x₂, e 6g do nutriente x₃. Selecionando alguns de cada um destes dois tipos de vegetais para misturar e fazer sumo de vegetais. O objetivo é ter pelo menos 42g do nutriente x₁, pelo menos 48g do nutriente x₂, e pelo menos 30g do nutriente x₃ nos vegetais selecionados. Ao fazer sumo com o menor número possível de vegetais do tipo A e B, a combinação do número de vegetais A, a, e vegetais B, b, é'

'Para todos os números naturais n, derive cn + 1 utilizando an + bn + cn = 1.'

'Lago 37 livro p. 119 Encontrar a equação do círculo na forma x^2+y^2+lx+my+n=0. O círculo passa pelo ponto A(8,5), logo 8^2+5^2+8l+5m+n=0; passa pelo ponto B(1,-2), logo 1^2+(-2)^2+l-2m+n=0; passa pelo ponto C(9,2), logo 9^2+2^2+9l+2m+n=0. Simplificando, obtemos 8l+5m+n=-89, l-2m+n=-5, 9l+2m+n=-85. Resolvendo essas equações obtemos l=-8, m=-4, n=-5. Portanto, a equação procurada é x^2+y^2-8x-4y-5=0. Outra abordagem é que o circuncentro do triângulo ABC é o centro do círculo desejado. A equação do bissetor perpendicular de AB é y-3/2=-1(x-9/2), então y=-x+6. Também pode ser verificado substituindo x=y=0 em 4(x+5)^2+(y-4)^2=r^2. De (1)-(2) ÷ 7 obtemos l+m=-12, de (1)-(3) obtemos l-3m=-4, assim 4m=-16, etc.'

'Exemplo 4 | Três números formando uma progressão aritmética\nExistem três números que formam uma progressão aritmética, com uma soma de 18 e um produto de 162. Encontre esses três números.'

'Se o volume de um paralelepípedo retangular for denotado por V, onde V = x y z é derivado das equações (2), (3), (4), x, y, z são as raízes da equação cúbica t^3 - 5 t^2 + 8 t - V = 0. A condição para a existência de números positivos x, y, z é que a equação (5) tenha três raízes positivas.'

'Exemplo 42 | Equação de uma Reta que Passa por um Ponto Fixo\nSeja k uma constante. A reta (2k+1)x+(k-4)y-7k+1=0 passa por um ponto fixo independentemente do valor de k. As coordenadas desse ponto fixo são designadas por A. Além disso, quando a inclinação desta reta é 1/3, o valor de k é representado por B.\n[Universidade de Fukuoka]'

'a³ - a² - b = 0 ou 9a + 27b - 1 = 0 onde a ≠ 1/3'

'A base é um número positivo que não é igual a 1.'

'Encontre a condição para que uma das equações tenha raízes complexas.'

'Exercício Integrado'

'Encontre a equação quadrática usando a soma e o produto de dois números.'

'Exemplo 18 O valor da equação simétrica (2)\nPara as duas raízes $\\alpha, \eta$ da equação do 2º grau $2 x^{2}+4 x+3=0$, encontre os valores das seguintes expressões.\n(1) $\\alpha^{5}+\eta^{5}$\n(2) $(\\alpha-1)^{4}+(\eta-1)^{4}$'

'Exemplo 38 Relação de Recorrência Entre 3 Elementos Adjacentes (2)'

'Mostre as soluções e o discriminante da equação quadrática ax² + bx + c = 0 com coeficientes reais.'

'Encontre a equação quando a reta que passa pelos pontos de interseção de 2x - y - 1 = 0 e x + 5y - 17 = 0 se torna paralela a 4x + 3y - 6 = 0.'

'(1) Encontre a equação quadrática a partir da soma de dois números α+β=7 e do produto αβ=3, e resolva as raízes.'

'Resolver o seguinte problema.'

'(1) Encontre as raízes de uma equação quadrática usando a soma e o produto de dois números.'

'Exemplo 17 | Valor de Expressões Simétricas (1)\nEquação de segundo grau x^{2}+3x+4=0\n(1) \\alpha^{2}\eta+\\alpha\eta^{2}\n(4) \\alpha^{3}+\eta^{3}\nSe as duas soluções da equação forem \\alpha, \eta, então encontre os valores das seguintes expressões.\n(2) \\alpha^{2}+\eta^{2}\n(3) (\\alpha-\eta)^{2}\n(5) \\frac{\eta}{\\alpha}+\\frac{\\alpha}{\eta}\n(6) \\frac{\eta}{\\alpha-1}+\\frac{\\alpha}{\eta-1}'

'Em (2), a relação entre as raízes e os coeficientes é α+β=-p e αβ=q. Em x²+qx+p=0, a relação entre as raízes e os coeficientes é α(β-2)+β(α-2)=-q, α(β-2)+β(α-2)=p e 2αβ-2(α+β)=-q. Portanto, 2q+2p=-q, o que implica 2p+3q=0. De (2), temos αβ+αβ-2(α+β)+4=p e de (1), temos q(q+2p+4)=p, logo p=-3/2q. Substituindo (6) em (5) e simplificando, obtemos 4q²-11q=0, o que leva a q(4q-11)=0. Resolvendo isso, obtemos q=0 e 11/4. Quando q=0, a partir de (6) encontramos p=0. Nesse caso, α=0 e β=0, o que contradiz a suposição de que α e β não são iguais. Quando q=11/4, a partir de (6) encontramos p=-33/8.'

'Sejam D1 e D2 os discriminantes das equações (1) e (2), respetivamente.'

'Simplifique a equação para'

'Uma vez que o ponto (1,2) está na reta (3), temos a+2b=1'

'Encontre o intervalo de valores possíveis para y para satisfazer y=-2x+3 para x dentro do intervalo -3 ≤ x ≤ 2.'

'Prove a seguinte equação:\n\na^3 + b^3 + c^3 = -3(a + b)(b + c)(c + a) \nonde a + b + c = 0.'

'Mostre a relação entre as soluções de uma equação cúbica e os coeficientes.'

'Determine o valor da constante k que satisfaz as seguintes condições:\n(1) Uma solução é o dobro da outra solução\n(2) Uma solução é o quadrado da outra solução'

'Para números reais a, b, vamos definir f(x) = x^3 - 3 a x + b. Vamos chamar o valor máximo de |f(x)| para -1≤x≤1 de M.'

'Sejam as coordenadas do ponto P (a, b). A coordenada x dos pontos onde a linha com inclinação m passando pelo ponto P intersecta a curva C é a solução real da equação x^3 - x = m(x-a) + b. Quando esta equação tem três soluções reais distintas, a linha ℓ intersecciona a curva C em três pontos distintos.'

'Prática'

'Encontre o valor de k que satisfaça as seguintes condições.'

'Encontre a equação da reta que passa por dois pontos distintos \\( (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) \\).'

'Assumindo que a sequência dada é uma progressão aritmética com o primeiro termo como 5 e diferença comum como -7. Se o termo n desta progressão aritmética for -1010, então 5+(n-1)×(-7)=-1010. Resolvendo essa equação, obtemos 7n=1022, o que significa que n=146 (um número natural). Portanto, a sequência dada pode ser uma progressão aritmética. Além disso, -1010 é o termo 146.'

'Texto matemático dado convertido para vários idiomas.'

'Exercício 39⇒Este livro p.91\\ Da relação entre as soluções e coeficientes de uma equação cúbica \\ α+β+γ=2, \\αβ+βγ+γα=0, αβγ=4\\'

'Quando a equação $x^{2}+y^{2}-4 k x+(6 k-2) y+14 k^{2}-8 k+1=0$ representa um círculo\n(1) Encontre o intervalo de valores para a constante $k$.\n(2) Quando $k$ varia dentro deste intervalo, encontre a trajetória do centro do círculo.'

'Para todos os valores de x, y e z que satisfaçam x-2y+z=4 e 2x+y-3z=-7, é necessário determinar as constantes a, b e c de forma que ax^2+2by^2+3cz^2=18 seja verdadeiro.'

'Encontre os valores das constantes a, b e c que satisfazem as equações x - 2y + z = 4 e 2x + y - 3z = -7 para todos os valores de x, y e z que satisfazem essas equações.'

'Determine os valores das constantes a, b, c para que a equação 3x^2-2x-1=a(x+1)^2+b(x+1)+c seja uma identidade em termos de x.'

'Encontre o número de soluções reais distintas para as seguintes equações cúbicas.'

'Confirmar equações logarítmicas e condições de expoentes'

'Quando a equação cúbica $x^{3}-(a+2) x+2(a-2)=0$ tem uma raiz dupla, encontre o valor da constante $a$.'

'Encontre as equações das seguintes linhas.'

'Encontre os dois números que têm a soma e o produto da seguinte forma:'

'Desenvolvimento 52: Problema de prova sobre as soluções de uma equação quadrática'

'Determine os tipos de soluções para as seguintes equações quadráticas. Note que k em (4) é uma constante.'

'Encontre as condições sob as quais o polinômio dado P(x) = 5x^3 - 4x^2 + ax - 2 é divisível por x = 2 e x = -1.'

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'Quando a equação quadrática $x^{2}+2(a+3) x-a+3=0$ tem duas soluções diferentes ambas maiores que 1, encontre a faixa de valores para a constante $a$.'

'Para a equação quadrática $ax^2 + bx + c = 0$ com duas soluções $\\alpha, \eta$ e discriminante $D$:\n1. $\\alpha, \eta$ são duas soluções positivas distintas $\\Longleftrightarrow D > 0$ e $\\alpha + \eta > 0$ e $\\alpha \eta > 0$\n2. $\\alpha, \eta$ são duas soluções negativas distintas $\\Longleftrightarrow D > 0$ e $\\alpha + \eta < 0$ e $\\alpha \eta > 0$\n3. $\\alpha, \eta$ são soluções com sinais opostos $\\quad \\Longleftrightarrow \\alpha \eta < 0$'

'Considere os sinais das diferenças \\\alpha-k, \eta-k\ das raízes reais \\\alpha, \eta\ de uma equação quadrática e um número real \k\\n\nConcentre-se nos sinais da soma \\( (\\alpha-k)+(\eta-k) \\) e do produto \\( (\\alpha-k)(\eta-k) \\)'

'Encontre o número de soluções reais distintas para as seguintes equações cúbicas.'

'Determine o intervalo de valores para a constante $m$ de modo que a equação quadrática $x^{2}+2mx+6-m=0$ tenha duas raízes reais distintas ambas maiores que 1.'

'Determine o intervalo de valores para a constante m para que a equação quadrática $x^2 + 2(m-1)x + 2m^2 - 5m - 3 = 0$ satisfaça as seguintes condições: (1) Possui duas raízes positivas. (2) Possui duas raízes negativas diferentes. (3) Possui raízes com sinais opostos.'

'Seja a, b constantes. Encontre os valores de a e b quando o polinômio x^3-x^2+ax+b é divisível pelo polinômio x^2+x+1.'

'Encontre o primeiro termo e a razão comum de uma série geométrica de modo que a soma dos três primeiros termos seja -7 e a soma dos termos do terceiro ao quinto seja -63.'

'Equação de grau superior: Encontre o valor da constante $a$ e a outra raiz da equação $x^3-ax^2+(3a-1)x-24=0$, sabendo que uma das raízes é $x=2$.'

'Identidade com Condição'

'Para a equação quadrática $4 x^{2}+4(m+2) x+9 m=0$, responda às seguintes questões.\n(1) Determine o intervalo de valores para a constante $m$ quando a equação tem duas soluções complexas.\n(2) Encontre os valores da constante $m$ e a raiz repetida quando a equação tem uma raiz repetida.'

'Seja α e β as duas soluções da equação quadrática x^{2}-3x+4=0. Encontre os valores das seguintes expressões:'

'Mostre a fórmula para resolver a equação do segundo grau ax^2 + bx + c = 0 e encontre suas raízes.'

'Resolver as seguintes equações para 0 ≤ θ < 2π: (1) 2cos²θ - √3sinθ + 1 = 0 (2) 2sin²θ + cosθ - 2 = 0'

'Determine os valores das constantes a, b e c de modo que a equação x^2+2x-1=a(x+3)^2+b(x+3)+c seja verdadeira como uma identidade em relação a x.'

'Se as três soluções da equação cúbica $x^{3}+x^{2}+x+3=0$ forem denotadas como $α, β, γ$, encontre os valores de $α^{2}+β^{2}+γ^{2}$ e $α^{3}+β^{3}+γ^{3}$.'

'Quando a equação cúbica $x^{3} + (a+1)x^{2} - a = 0$ possui uma raiz repetida, encontre o valor da constante $a$.'

'Encontre a soma e o produto das duas soluções das seguintes equações quadráticas.\n(1) $x^{2}-4 x-3=0$\n(2) $2 x^{2}-3 x+6=0$\n(3) $3 x^{2}=5-4 x$'

'Encontre as equações das seguintes retas:'

'Básico 62: Resolvendo Equações de Grau Superior (2) - Utilizando o Teorema do Fator'

'Solução: Usando a fórmula x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, onde a = 1, b = -3, c = -3. Resposta: x = 3 ou x = -1.'

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'Determine os tipos de soluções para as seguintes equações quadráticas. Aqui, k na equação (4) é uma constante.'

'Encontre a solução e a resposta para 2x^{2}+4x-1=0.'

'176 (1) y = 4x - 9 (2) y = -2x, y = 6x - 16'

'Mostre a relação entre as soluções de uma equação quadrática e seus coeficientes. Se as soluções da equação quadrática forem α e β para ax^2+bx+c=0, então usando a fórmula das soluções, demonstre as seguintes relações:\n\n1. Soma das soluções α+β\n2. Produto das soluções αβ'

'Encontre o termo geral da sequência definida pela relação de recorrência $a_{1}=1, a_{n+1}=2a_n+3^n$.'

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'Se as duas soluções da equação quadrática x^2 + 2x - 4 = 0 são α e β, qual é a equação quadrática com soluções α + 2 e β + 2?'

'Encontre os valores de x e y quando a identidade (k-1) x + (3-2k) y + 4k-7 = 0 é válida para todos os valores de k.'

'Encontre o intervalo de valores para a constante $a$ quando a equação quadrática $x^{2}-a x+4=0$ tem duas soluções distintas, ambas menores que 3.'

'Extensão 53: Soluções inteiras de equações quadráticas (usando a relação entre soluções e coeficientes)'

'Resolver a equação de alto grau x^{3}-4 x^{2}+2 x+4=0.'

'Exemplo Básico 62 Determinar os Coeficientes de um Polinômio de Grau 64 (1) ... Condições para Soluções Reais A equação do 3º grau $x^{3}+ax^{2}-17x+b=0$ tem -1 e -3 como soluções. (1) Encontrar os valores das constantes $a$ e $b$. (2) Encontrar as outras soluções desta equação.'

'Quando a equação quadrática $x^{2}-2 a x+3 a-2=0$ tem duas soluções positivas distintas, encontre o intervalo de valores para a constante $a$.'

'Considere o polinômio P(x)=x^{3}-2 x^{2}+qx+2r. Quando as soluções da equação cúbica P(x)=0 são -2 e dois números naturais α, β(α<β), encontre os valores de α, β, q e r.'

'Quando a equação quadrática x^2+2mx+15=0 tem as seguintes raízes, encontre o valor da constante m e as duas raízes.'

'Encontre a fórmula para as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.'

'Encontre o valor da constante $m$ e as duas soluções quando as duas soluções da equação quadrática $3 x^{2}+6 x+m=0$ satisfazem as seguintes condições:'

'Encontre o termo geral da sequência {an} determinada pelas 25 condições. (1) a1=1, an+1=2an-3 (2) a1=1, 2an+1-an+2=0'

'Considere a equação cúbica $x^{3}+(a-5)x^{2}+(a+8)x-6a-4=0$.'

"Encontre informações sobre 'equações de alto grau' com base na tabela a seguir."

'\ 67 a=1,10 \'

'Resolver as seguintes equações quadráticas.'

'Encontre o valor da constante m e as duas soluções da equação quadrática $3x^{2}+6x+m=0$ de modo que satisfaça as seguintes condições: (1) Uma solução é três vezes a outra. (2) A razão entre as duas soluções é 2:3.'

'Solução para uma equação quadrática'

'Encontre a equação de um círculo que passa por três pontos.'

'Desenvolvimento 69: Solução de Equações de Ordem Superior (3)'

'(5) \ x= \\pm 2, \\pm \\frac{1}{2} i\'

'Provando a equação A=B de 3 maneiras\n\nA equação A=B pode ter condições anexadas a ela, mas basicamente é uma identidade. Existem três estilos de provar a equação da seguinte maneira:\n\n(1) Comparando ambos os lados, transformando o lado mais complexo para derivar o lado mais simples.\n\nA=⋯⋯ Transformação ⋯⋯ = B\n(ou B =⋯⋯ Transformação ⋯⋯ = A)\n\nPortanto A = B\n\n(2) Transformando ambos os lados separadamente para obter a mesma expressão C.\n\nA=⋯⋯ Transformação ⋯⋯ = C\n\nB =⋯⋯ Transformação ⋯⋯ = C\n\nPortanto A = B\n\n(3) Transformando A - B para mostrar A - B = 0.\n\nA - B =⋯⋯ Transformação ⋯⋯ = 0\n\nPortanto A = B'

'Seja TR números reais, e seja a equação x ^ {3}-2 x ^ {2} + ax + b = 0 tem x = 2 + i como raiz. Encontre os valores de a, b e todas as raízes da equação.'

'Encontre o intervalo de valores para a constante $a$ quando a equação $a\\left(x^{2}-x+1\\right)=1+2 x-2 x^{2}$ tem soluções reais.'

'Encontre as equações das seguintes linhas:\n(1) Passando pelo ponto (3, 0) com uma inclinação de 2\n(2) Passando pelo ponto (-1, 4) com uma inclinação de -3\n(3) Passando pelo ponto (3, 2) e perpendicular ao eixo x\n(4) Passando pelo ponto (1, -2) e paralelo ao eixo x'

'A função $y=4^{x}+4^{-x}-2^{x+1}-2^{1-x}$ assume o valor mínimo $b$ em $x=a$. Encontre o valor de $|a+b|$.'

'46 (1) 6x^2 + x - 12 = 0 (2) 4x^2 - 12x + 7 = 0 (3) 3x^2 - 4x + 3 = 0'

'Determine os valores das constantes a, b e c de modo que a seguinte equação seja uma identidade em x: (1) (a+b-3) x^{2} + (2a-b) x + 3b - c = 0'

'Investigar as condições para uma equação cúbica ter raízes repetidas'

'Substitua a terceira equação na primeira equação para obter a seguinte equação: a^{2} + (-7a + 25)^{2} = 25. Simplificando, obtemos a seguinte equação quadrática: a^{2} - 7a + 12 = 0. Portanto, obtemos as seguintes soluções: (a - 3)(a - 4) = 0, então a = 3, 4. Substituindo esses valores na terceira equação, obtemos o seguinte: quando a = 3, b = 4; quando a = 4, b = -3. Assim, as equações das tangentes são as seguintes: 3x + 4y = 25, 4x - 3y = 25'

'Básico 43: Valor de duas soluções de uma equação simétrica'

'Quando o valor máximo da função f(x) = a x^3 + 3 a x^2 + b(-1 ≤ x ≤ 2) é 10, e o valor mínimo é -10, encontre os valores das constantes a, b.'

'Quando S_{2}=2 S_{1}, \\frac{1}{6}(m+3)^{3}=9, ou seja (m+3)^{3}=54. Como m é um número real, m=-3+3 \\sqrt[3]{2}'

'Quando k=0, há uma solução real; quando k=-1, há uma raiz repetida; quando -1<k<0, 0<k, há duas soluções reais distintas; quando k<-1, há duas raízes imaginárias distintas.'

'Básico 42: Soma e produto das duas soluções de uma equação quadrática'

'Seja k uma constante. Determine os tipos de soluções da equação kx^2 + 4x - 4 = 0.'

'Encontre os valores de m para que as linhas l1 e l2 sejam paralelas ou perpendiculares.'

'Encontre o número de soluções reais distintas para as seguintes equações cúbicas:\n(1) -x^{3}+3x^{2}-1=0\n(2) x^{3}-3x^{2}+3x+1=0'

'Encontre os valores de x e y de modo que (k+2)x-(1-k)y-k-5=0 seja verdadeiro para qualquer valor de k.'

'Resolver as seguintes equações e desigualdades.'

'A condição para ter apenas soluções imaginárias é'

'Encontre as soluções da equação quadrática x^2=k. Aqui, k é qualquer número real.'

'Considerando uma progressão geométrica com a razão r, e o primeiro termo sendo a, com o segundo termo igual a 4 e a soma dos termos do primeiro ao terceiro sendo 21. Portanto, temos a= e razão r=.'

'Considerando q, r como números reais, vamos analisar o polinômio P(x)=x^{3}-2 x^{2}+q x+2 r. Se as soluções da equação 333 P(x)=0 são -2 e dois números naturais \\( \\alpha, \eta(\\alpha<\eta) \\), encontre \ \\alpha, \eta \ e \ q, r \. [Similar ao teste central]'

'Resolver as seguintes equações e desigualdades.'

'A solução do exemplo 3x^2+3x+1=0 é'

'Desenvolvimento 54: Intervalo de existência de soluções de uma equação quadrática (2)'

'Resolver as seguintes equações:'

'A e B resolveram a mesma equação quadrática em termos de x. A obteve erroneamente o coeficiente de x² como 26-2/3, com uma solução de 1. B obteve erroneamente o termo constante como -1/3, com uma solução de 1/2. Encontre as soluções para a equação quadrática correta original.'

'Encontre o intervalo de valores para a constante $a$ quando a equação cúbica $x^{3}-3 a^{2} x+4 a=0$ tem três raízes reais distintas.'

'Considere a equação quadrática $x^{2} + (m+1)x+m-1=0$.'

'Padrão 65: Determinando coeficientes de equações de ordem superior (2) - Condições para soluções imaginárias'

'Encontre o valor da constante $a$ quando a equação cúbica $x^{3}-(a+2) x+2(a-2)=0$ possui uma raiz dupla.'

'Padrão 49: Intervalo de existência de soluções de uma equação quadrática (1)'

'Encontre o primeiro termo e a razão comum de uma sequência geométrica de tal forma que a soma do 3º ao 5º termo seja -63 e a soma do 1º ao 3º termo seja -7.'

'Básico 41: Condições para que uma equação quadrática tenha raízes complexas, raízes repetidas'

'Se as três soluções da equação cúbica $x^{3}-2 x+1=0$ forem $\\alpha, \eta, \\gamma$, encontre o valor das seguintes expressões.'

'Estudo de Extensão - Desenvolvimento 192 A quantidade de soluções reais de uma equação cúbica (3) Utilizando valores extremos'

'58 dividido por, em ordem de restos (1) x^2+2x-6, -10 (2) x^2-5x+4, 3'

'Encontre o termo geral da sequência \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ que representa a soma \ S_{n} \ do primeiro termo até o termo n.'

"Quando a função f(x) representada por um polinômio satisfaz f'(x)-f(x)=x²+1, f(x) é uma função de grau e f(x) = ."

'Padrão 40: Discriminação de tipos de soluções de equações quadráticas (2)'

'Reorganizando a equação x-2y+6=0, podemos expressá-la como y=\\frac{1}{2}x+3, representando assim uma linha com uma inclinação de \\frac{1}{2} e intercepção em y de 3.'

"Determine o intervalo da constante 'm' para que a equação quadrática $x^{2}+2(m-1)x+2m^{2}-5m-3=0$ satisfaça as seguintes condições: (1) tenha duas raízes positivas, (2) tenha duas raízes negativas distintas, (3) tenha raízes de sinais diferentes."

'Expansão 66: Relação entre as soluções de uma equação cúbica e seus coeficientes'

'Capítulo 3 Equações de Alto Grau - 49\nEX Deixe a, b, c, d serem constantes reais. O polinômio P(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d deixa um resto de 29 quando dividido por x^{2}-1 e um resto de 3x + 4 quando dividido por x^{2}+1. Neste caso, a=->, b=-1, c=d=√. [Universidade de Shonan]\nDeixe Q(x) ser o quociente quando P(x) é dividido por x^{2}-1, e deixe R(x) ser o quociente quando P(x) é dividido por x^{2}+1. Então, as seguintes equações valem.\n\nP(x) = (x+1)(x-1)Q(x) + x+2\nP(x) = (x^{2}+1)R(x) + 3x+4\nP(1) = 3, P(-1) = 1, P(i) = 4+3i'

'Capítulo 7 Funções Exponenciais e Logarítmicas'

'Encontre a equação da reta que passa por dois pontos diferentes (x1, y1) e (x2, y2).'

'Encontre a soma e o produto das duas raízes das seguintes equações quadráticas.'

''

'Encontre dois números cuja soma é 2 e o produto é -4.'

'Encontre o intervalo de valores para a constante $a$ quando a equação cúbica $x^{3}-3a^{2}x+4a=0$ possui três raízes reais distintas.'

'Desenvolvimento 68: Condições para uma equação cúbica ter três raízes reais distintas'

'Prove que a equação a^{2}+b^{2}=c^{2}-2 a b é verdadeira quando a+b+c=0.'

''

'Em relação à parte sublinhada g, o Ministério da Terra, Infraestrutura, Transporte e Turismo também realizou no ano passado uma solicitação de subsídio com o objetivo de promover a adoção de veículos de próxima geração. Escolha a combinação correta das seguintes declarações X・Y sobre veículos de próxima geração como verdadeira ou falsa.'

'Escolha a expressão apropriada para representar a distância movida pelo bloco A em relação ao bloco C, e forneça o símbolo.'

'1 (1) \y=mx-2m+2 \\n(2) \u=\\frac{m-1}{m}, v=1-m \\n(3) \y=\\frac{1}{x-1}+1 \, Figura omitida'

'Prove que as seguintes equações têm pelo menos uma solução de número real no intervalo dado.'

'Assumindo que a seja um número real, encontre o número de soluções reais da equação f(g(x))+f(x)-|f(g(x))-f(x)|=a.'

'Por favor, remova o denominador e resolva a seguinte equação:\n(2x-3)(x^{2}-3x+1)=0'

'Encontre um polinômio de quinto grau f(x) que satisfaça simultaneamente as condições (A) e (B).'

'Sejam a, b números reais e suponha que a equação cúbica x^3+ax^2+bx+1=0 tenha uma raiz imaginária α. Mostre que o número complexo conjugado de α, que é representado por α¯, também é uma raiz desta equação. Expresse a terceira raiz β e os coeficientes a, b em termos de α e α¯.'

'Encontre a velocidade, aceleração, posição e distância percorrida (movimento linear).'

'Prove que quando a > 1, as duas soluções da equação a x^2 - 2 x + a = 0 (1) são designadas como α e β, e as duas soluções da equação x^2 - 2 a x + 1 = 0 (2) são designadas como γ e δ. Se A(α), B(β), C(γ), D(δ), prove que os quatro pontos A, B, C, D estão em um círculo comum.'

'Fundamentos 8: Soluções algébricas para equações e desigualdades irracionais'

'Para um ponto $(a, b)$ na hipérbole $x^{2}-4 y^{2}=4$ com uma reta tangente tendo uma inclinação $m$, responda às seguintes perguntas. Suponha que $b \neq 0$.\n(1) Encontre a relação entre $a, b, m$.\n(2) Vamos denotar como $d$ a distância entre um ponto nesta hipérbole e a reta $y=2x$. Encontre o valor mínimo de $d$. Além disso, determine as coordenadas do ponto na curva que fornece o valor mínimo de $d$.[Universidade de Kanagawa]'

'Que forma geométrica é formada pelo conjunto de pontos que satisfazem as seguintes equações?'

'Resolva a equação \ \\frac{1}{x} + \\frac{1}{x-1} + \\frac{1}{x-2} + \\frac{1}{x-3} = 0 \.'

'20 (1) \ |\\alpha|^{2} \\n(2) Omitido (3) Valor máximo quando \ a=b \ é \ \\frac{1}{2} ; a=1, \\quad b=3 \ e valor mínimo é \ \\frac{3}{10} \'

'Resolva as seguintes equações e desigualdades.'

'Suponha que dois números complexos w e z (z ≠ 2) satisfaçam w = iz/(z-2).\n[Universidade de Hirosaki]\n(1) Quando o ponto z se move na circunferência de um círculo com raio 2 centrado na origem, que forma o ponto w traça?\n(2) Quando o ponto z se move no eixo imaginário, que forma o ponto w traça?\n(3) Quando o ponto w se move no eixo real, que forma o ponto z traça?'

'Substâncias radioativas como o rádio diminuem em massa a uma taxa proporcional à massa em cada instante. Expresse a massa x como função do tempo t com a constante de proporcionalidade k (k>0) e a massa inicial A. Além disso, para o rádio, leva 1600 anos para a massa reduzir pela metade. Aproximadamente que percentual da quantidade inicial resta depois de 800 anos? Arredonde para o número inteiro mais próximo.'

''

'Resolva a desigualdade \ \\log _{2} 256 x > 3 \\log _{2 x} x\. Assumindo \\\log _{2} x = a \.'

'Número de soluções reais de uma equação'

'Considere números complexos z que satisfaçam as condições (A) e (B) simultaneamente. (A) z + i/z é real (B) A parte imaginária de z é positiva. (1) Suponha |z|=r, expresse z em termos de r. (2) Encontre o z para o qual a parte imaginária de z é máxima.'

'Dado a ≠ 0. Para a função f(x) = 2ax - 5a^2, encontrar o valor da constante a de forma que f^{-1}(x) e f(x) sejam iguais.'

'Supondo a existência de uma sequência {a_{n}} e sua soma do primeiro termo ao termo n-ésimo'

'Resolver as seguintes equações quadráticas:\n(1) $x^{2}-3 x+2=0$\n(2) $2 x^{2}-3 x-35=0$\n(3) $12 x^{2}+16 x-3=0$\n(4) $14 x^{2}-19 x-3=0$\n(5) $5 x^{2}-3=0$\n(6) $(2 x+1)^{2}-9=0$'

'Prove a relação entre as raízes e os coeficientes da seguinte equação quadrática. Para a equação quadrática ax² + bx + c = 0, sendo α e β as duas raízes. Então, α + β = -b/a e αβ = c/a.'

'Como um corredor de sprint de 100m, Tarou decidiu focar em (1) e encontrar a melhor passada e velocidade para melhorar seu tempo.'

'Resolver as seguintes equações quadráticas.'

'Encontre o intervalo de valores para a constante a que satisfaça as condições dadas para as duas equações quadráticas $x^{2}-x+a=0$ e $x^{2}+2ax-3a+4=0$.'

'Para determinar o intervalo no qual as soluções de uma equação quadrática existem, vamos considerar o gráfico que satisfaça as seguintes condições:'

'Seja a e p constantes. Encontre as soluções reais das seguintes equações em x.'

'Resolver o seguinte sistema de equações simultâneas.'

'Quantas maneiras existem para dividir 12 livros diferentes da seguinte maneira?'

''

'Se as duas soluções reais distintas da equação quadrática $x^{2}-a^{2}x-4a+2=0$ forem denotadas como $\\alpha$ e $\eta$, e satisfizerem $1<\\alpha<2<\eta$, determine o intervalo de valores da constante $a$.'

'Quando a equação $ax^{2}+bx+1=0$ tem duas soluções $-2,3$, encontre os valores das constantes $a, b$.'

'Para a equação quadrática \ x^{2}-a^{2} x-4 a+2=0 \ com duas soluções reais distintas \ \\alpha, \eta \ onde \ 1 < \\alpha < 2 < \eta \, determine o intervalo de valores para a constante \ a \.'

'Determine o número de soluções reais da equação quadrática $2 x^{2}+3 x+k=0$.'

'Resolver o seguinte sistema de equações simultâneas.'

'Capítulo 1\nNúmeros e Expressões\n23\nExemplo\n(1) Encontre a expressão que, ao ser somada com 2x^2-3x+1, resulta em x^2+2x.'

'Qual é o intervalo da constante a quando uma solução real da equação quadrática 2x^{2}-3ax+a+1=0 está no intervalo 0<x<1 e a outra solução real está no intervalo 4<x<6?'

'Resolver as seguintes equações quadráticas.'

'Qual é o intervalo de existência das raízes de uma equação quadrática?'

'Determine o número de soluções reais para as seguintes equações quadráticas.'

'Dado os segmentos de linha de comprimento a e b, encontre a solução positiva da equação quadrática x^{2}-a x-b^{2}=0 e desenhe um segmento de linha com esse comprimento.'

'Encontre o intervalo de valores para a constante $a$ de modo que a equação quadrática $x^{2}+a x-a^{2}+a-1=0$ tenha duas soluções reais distintas dentro do intervalo $-3<x<3$.'

'Determinar o intervalo de valores para a constante $a$ quando a equação quadrática $x^{2}-2 a x+a+6=0$ satisfaz as seguintes condições: (1) Tem raízes positivas e negativas. (2) Tem duas raízes negativas distintas.'

'Em todas as permutações formadas pelas 8 letras de YOKOHAMA, encontre o número de permutações que contenham pelo menos uma das sequências AO ou OA.'

'Transforme a expressão matemática dada em uma forma diferente.'

'Capítulo 2 Conjuntos e Proposições\n(2) Resolver a seguinte equação\n\\[(p q+6)+(3 p+q) \\sqrt{2}=8+7 \\sqrt{2}\\]\nonde p e q são números racionais.'

'Quantas maneiras existem para 4 homens e 5 mulheres se alinharem em uma fila com as seguintes condições? (1) Todos os 4 homens são adjacentes (2) Homens não são adjacentes entre si'

'Por favor, mencione a conversa, a contra-proposição e a inversão da proposição.'

'Determinar coeficientes a partir de valores máximos e mínimos (3)'

''

'54 (2), (3); (2) máximo em x=2 é 7, mínimo em x=0 é 3; (3) máximo em x=2 é 5, mínimo em x=-1,5 é -13'

'Qual é o intervalo de valores para $k$ em que as equações quadráticas $x^{2}+x+k=0$, $x^{2}+k x+1=0$ têm soluções em número real?'

'Dado x ≥ 0, y ≥ 0 e 2x+y=8, encontre os valores máximo e mínimo de xy.'

'Use a fórmula quadrática para resolver as seguintes equações de segundo grau.'

'Encontre a função linear com base nas seguintes condições para maximizar o lucro.\n\n(1) Quando x é 250, y é 300.\n(2) Quando x é 300, y é 250.\n(3) Também se mantém quando x = 350, y = 200.\n\nAlém disso, usando a receita xy e despesas 120y + 5000, deixe z ser o lucro e encontre o valor de x que maximiza z e o lucro máximo nesse momento.'

'Determinar os valores de verdade das seguintes proposições.'

'Resolver as seguintes equações.'

'Se uma das soluções da equação quadrática $x^{2}+(a+4) x+a-3=0$ é $a$, encontre a outra solução.'

''

'Resolver a seguinte desigualdade em termos de x. Onde a é uma constante. \\[ x^{2}-\\left(a^{2}+a\\right) x+a^{3} \\leqq 0 \\]'

'Resolver o seguinte sistema de equações simultâneas.'

'Aplicações de Equações Quadráticas'

'Em uma determinada escola, decidiu-se drenar completamente a água da piscina para limpeza. No entanto, assume-se que uma quantidade constante é drenada por minuto com uma bomba. Deixe o volume restante de água na piscina após t minutos de drenagem ser V m³.'

'Resolver as seguintes equações.'

'Resolver o seguinte sistema de equações simultâneas.'

'Exemplo Básico 30 Número de Soluções Inteiras (Usando Combinações com Repetição)'

'Encontre o intervalo de existência de soluções para uma equação quadrática com x < 2 e x > 2.'

'61 a=2, b=-5 ou a=-2, b=3'

'Resolver a desigualdade para x. Aqui, a é uma constante. \ x^{2}-3 a x+2 a^{2}+a-1>0 \'

"Por favor forneça 'Equações Diofantinas Lineares' e a página correspondente."

'Encontre as coordenadas dos dois pontos de interseção das duas parábolas y=x^2-x+1 e y=-x^2-x+3.'

'31 (1) \ x=6,-2 \\n(2) \ x \\leqq-5, \\quad \\frac{1}{5} \\leqq x \'

'Encontre o maior número natural de 4 dígitos que deixa resto 2 ao ser dividido por 11 e resto 5 ao ser dividido por 6.'

'Resolver equações e desigualdades que envolvem valor absoluto: (1) $|x|=c$, (2) $|x|<c$, (3) $|x|>c$'

'Considere a proposição p⇒q (onde p é a hipótese e q é a conclusão). Seja P o conjunto de todos os elementos que satisfazem a condição p, e seja Q o conjunto de todos os elementos que satisfazem a condição q. A proposição p⇒q ser verdadeira é equivalente a P ⊆ Q. Por favor, determine o valor de verdade desta proposição.'

''

'Para a função $f(x)=x^{2}+2x-a^{2}+5$, encontre o intervalo de valores de $a$ que satisfazem as seguintes condições:'

''

'Quando a equação quadrática $x^2 - 2mx + 2(m + 4) = 0$ tem raízes iguais, encontre o valor da constante $m$ e as raízes iguais nesse momento.'

'Resolver as seguintes equações e desigualdades.'

'Para x=3/2, o valor mínimo é 3/2, e não há valor máximo.'

'Use a fórmula para resolver uma equação quadrática ax^{2}+bx+c=0 para resolver a equação.'

'Encontre o valor da constante k quando a parábola y = x ^ 2 + (2k-3) x-6k corta um segmento de comprimento 5 do eixo x.'

'Há uma loteria onde três dados são lançados de uma só vez. Existem vários locais para a loteria, cada um com condições de vitória diferentes.'

'Encontre o intervalo de valores para a constante m quando a equação quadrática x^2 + 3x + m - 1 = 0 não tem soluções reais.'

'Para a equação quadrática $x^{2}+mx+9=0$, encontre o intervalo de valores para a constante $m$ quando apresenta o seguinte:'

'Por exemplo, há muitas soluções inteiras para a equação x+y=10. Encontre qualquer três soluções inteiras para esta equação.'

'Resolver a equação $x^{2}+3x-5=0$.'

'Quando as soluções da equação quadrática $x^{2}+2 m x-m+2=0$ são as seguintes, encontre a faixa do constante $m$. (1) Tendo duas soluções reais distintas. (2) Tendo soluções reais. (3) Não tendo soluções reais.'

'Capítulo 5 Equações Quadráticas e Desigualdades Quadráticas\nSeja h metros a altura acima do solo de uma bola lançada diretamente para cima a uma certa velocidade x segundos após o lançamento. Quando o valor de h é dado por h=-5x^2+40x, em que faixa de valores de x a altura da bola está entre 35 metros acima do solo e 65 metros acima do solo?'

'Encontre os valores de \ a, b \ de forma que \ P=4 \ para o ponto \ x, y \ com valores \\( (2, 1) \\).'

'Resolva as seguintes equações. 1. Fundamento 86 - Resolver equações quadráticas usando fatoração. 2. Fundamento 87 - Resolver equações quadráticas usando a fórmula das raízes. 3. Fundamento 88 - Condições para ter soluções reais (1)'

'Resolver a equação x^2+3x-4=0.'

'Determine o intervalo de valores para a constante $a$ para que a equação quadrática $x^{2}-(a-4)x+a-1=0$ satisfaça as seguintes condições: (1) tem duas raízes negativas distintas. (2) tem uma raiz positiva e uma raiz negativa.'

'24 (1) Inverso: Se pelo menos um dos x, y for um número negativo, então x+y=-3, Falsa Contra: Se x≥0 e y≥0, então x+y≠-3, Contrapositivo: Se x+y≠-3, então x≥0 e y≥0.'

'2 (1) 5 expressões(2)(ア)2 expressões, termo constante 2 y^{2} + 5 y - 12(1)2 expressões, termo constante 6 x^{2} - 6 x - 12(ら)2 expressões, termo constante -12'

'Quando as raízes da equação quadrática $x^{2}+m x+9=0$ têm as seguintes características, encontre o intervalo de valores para a constante $m$.'

'A condição para um gráfico estar sempre acima do eixo x é que o gráfico seja uma parábola côncava para baixo e não tenha pontos de interseção com o eixo x. Portanto, o discriminante da equação quadrática mx^2 + 3x + m = 0 é denotado como D.'

'Resolva as seguintes equações e desigualdades. (1) |(√14-2)x+2|=4 (2) 3|x-1|≤4 (3) x+|3x-2|=3'

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'Encontre o valor da constante $m$ e a raiz repetida da equação quadrática $x^{2}-2mx+2(m+4)=0$ quando esta tem raízes repetidas.'

'Quando a equação quadrática $x^{2}+5x+7-m=0$ tem duas raízes reais distintas, encontre o intervalo de valores para a constante $m$.'

'Para a função f(x) = x ^ 2 - 2ax - a + 6 em matemática I TR, o intervalo de valores da constante a para a qual f(x) > 0 para todos os números reais x é de A a T. Além disso, o intervalo de valores de a para o qual f(x) ≥ 0 sempre vale para -1 ≤ x ≤ 1 é de ウ a エ.'

'Em duas desigualdades, primeiro substitua > por = e depois resolva a equação quadrática. Para resolver a desigualdade quadrática x^2-6x+3>0, primeiro resolva a equação x^2-6x+3=0. Usando a fórmula das raízes, x=(-(-3) ± √((-3)^2-1*3))/1=3 ± √6.\n\nA solução para x^2-6x+3>0 é encontrar o intervalo de valores de x no gráfico de y=x^2-6x+3 onde y>0, que é x<3-√6, 3+√6<x.'

'(2) As duas desigualdades $x^{2}+mx+m+2<0$ têm soluções'

'Quando x=-1, o valor máximo de 71(2) é 5, não há valor mínimo.'

'(1) Resolver a equação 2 x^{2}+x-1=0 \\\\\\\n(2) Resolver para x=-1, \\ \\frac{1}{2} \\\\\\\n(3) Dado \\theta=60^{\\circ}, \\ 180^{\\circ} \\\\\\\n'

'A classificação das soluções de uma equação quadrática pode ser determinada examinando o sinal do discriminante $D = b^{2} - 4ac$.'

'Encontre o intervalo de constantes a que satisfaça as seguintes condições para as equações x^2+ax+a+3=0 (1) e x^2-2ax+8a=0 (2):'

'Encontre o ponto de interseção das duas retas 2x + 3y = 7 (1) e 4x + 11y = 19 (2), e a equação da reta que passa pelo ponto (5,4).'

'Encontre os valores de $a, b, c$ quando a função de terceiro grau $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ satisfaz $(x-2)f^{prime}(x)=3 f(x)$.'

'Resolver as seguintes equações quadráticas.'

'(1) Encontre as soluções da equação 2x^2 - 2√6x + 3 = 0.'

'Capítulo 1 Sequências'

'Determine o número de soluções da equação 4cos²x-2cosx-1=a dentro do intervalo -π < x ≤ π.'

'Encontre o valor de a que satisfaz as equações dadas.'

'Prove que a equação $ax+by+cz=0$ é verdadeira quando (2) $\\frac{x}{b-c}=\\frac{y}{c-a}=\\frac{z}{a-b}$.'

''

'As soluções para a equação cúbica $x^{3}+a x^{2}-21 x+b=0$ são $1,3, c$. Encontre os valores das constantes $a$, $b, c$.'

'Encontre o valor de a que satisfaz a seguinte equação. a=2'

'Em relação às retas l: 2x - y + 3 = 0, m: 3x - 2y - 1 = 0, responda às seguintes perguntas.'

'Determine o intervalo da constante a para que as duas equações quadráticas 9x^{2}+6ax+4=0 (1) e x^{2}+2ax+3a=0 (2) satisfaçam as seguintes condições. (1) Ambas têm raízes complexas (2) Pelo menos uma tem raízes complexas (3) Apenas (1) tem raízes complexas'

'Quando a = -1, x = 2, -1\nQuando a = 0, x = 0, 2\nQuando a = 8, x = -4, 2'

'Quando a equação $x^{2}+y^{2}-6 k x+(12 k-2) y+46 k^{2}-16 k+1=0$ representa um círculo,'

'Encontre o intervalo de valores para c de modo que a equação x^3-6x+c=0 tenha duas raízes positivas distintas e uma raiz negativa.'

'Determine o seguinte para a sequência {\ \\left\\{a_{n}\\right\\} \} onde a soma dos primeiros \ n \ termos, denotada como {\ S_{n} \}, satisfaz a relação {\ S_{n}=-2 a_{n}+4 n \}:\n(1) Encontre o primeiro termo {\ a_{1} \}.\n(2) Encontre a relação entre {\ a_{n} \} e {\ a_{n+1} \}.\n(3) Encontre o termo geral da sequência {\ \\left\\{a_{n}\\right\\} \}.'

'Encontre todos os números reais $a$ de modo que a equação cúbica $x^{3}+(a+2)x^{2}-4a=0$ tenha exatamente 2 raízes reais.'

'Use a fórmula para resolver a equação quadrática ax^2 + bx + c = 0 para encontrar as soluções.'

'Depois de ler a conversa entre Hanako e Taro sobre o problema, responda à seguinte pergunta.'

'Determine os valores das constantes a e b que satisfazem as seguintes condições:\n(1) Quando x-1 é um fator de x^3-3x^2+a, o resto é 2.\n(2) Quando 2x+1 é um fator de 2x^3-3x^2+ax+6, ele é dividido uniformemente.\n(3) Quando x+2 divide x^3+ax^2-5x+b, o resto é 8, e quando x+1 é um fator.'

'Transformar o texto dado em vários idiomas.'

'Determine o valor do número real k para que a equação (1 + i)x^{2} + (k + i)x + 3 + 3ki = 0 tenha soluções reais. Encontre essas soluções reais.'

'Os dois números que somam a -2 e multiplicam a 3 são as soluções para a equação quadrática x^2 + 2x + 3 = 0.'

'Encontre o valor da constante a de modo que a equação 2x^3-(3a+1)x^2+2ax+4 tenha duas raízes reais distintas.'

'Resolver o seguinte sistema de equações.'

'Capítulo 2\nNúmeros complexos e equações\nDemonstre que para as duas soluções α, β da equação quadrática 2x^2 + 4x + 3 = 0, valem as seguintes afirmações:\n1. (α-1)(β-1)=9/2\n2. (α-1)^3 + (β-1)^3 = -10'

'Se a equação quadrática $x^{2}+4 a x+8 a^{2}-20 a+25=0$ tem raízes reais, então $a=\\{ \\text{constante} \\}$ e as soluções são $x=\\{ \\text{constante} \\}$.'

'Crie uma equação quadrática com a soma como \ p \ e o produto como \ q \.'

'Encontre os valores dos números reais x, y que satisfazem o seguinte sistema de equações.'

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'Crie uma equação quadrática com as raízes α e β.'

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'Quando a equação $x^{4}-x^{3}+a x^{2}+b x+6=0$ tem raízes em $x=-1,3$, encontre os valores das constantes $a, b$. Além disso, encontre as outras raízes neste caso.'

'A soma e o produto das duas raízes da equação quadrática $x^{2}+a x+b=0$ são as raízes da equação quadrática $x^{2}+b x+a=0$. Determine os valores das constantes $a, b$.'

'O lucro por dia é de (a x + 3 y) 10.000 ienes. Se deixarmos ax + 3 y = l ....5), então (5) representa uma reta com uma inclinação de -a/3 e uma interseção y de l/3.'

'Vamos considerar os valores máximo e mínimo de -3x+y sob as mesmas condições que A (vamos chamar isso de C). Se expressarmos -3x+y=k, então y=3x+k。'

'Seja A um polinômio. Quando x^6 - 6x^3 + 5x^2 - 4x + 10 é dividido por A, o quociente é A e o resto é 5x^2 - 4x + 1. Encontre o polinômio A.'

'Determine os valores das constantes a, b, c e d para que as seguintes equações sejam verdadeiras para x:'

'Encontre o intervalo de valores para a constante p de modo que a equação x^3-3p^2x+8p=0 tenha três soluções reais distintas.'

'Para a equação quadrática em termos de x, 8x^2-4x-a=0, com duas soluções sendo sin θ e cos θ, encontre o valor da constante a e as 2 soluções da equação. [Similar à Universidade de Keio] Da relação entre as soluções da equação quadrática e os coeficientes, sin θ+cos θ=-\\frac{-4}{8}=\\frac{1}{2}, sin θ cos θ=-\\frac{a}{8}. Ao elevar ao quadrado ambos os lados de (1), obtemos sin^2 θ+2sin θ cos θ+cos^2 θ=\\frac{1}{4}, então 1+2sin θ cos θ=\\frac{1}{4}, o que implica que sin θ cos θ=-\\frac{3}{8}. Substituindo isso em (2), obtemos -\\frac{a}{8}=-\\frac{3}{8}, assim a=3. Portanto, a equação quadrática dada é 8x^2-4x-3=0. Ao resolver essa equação, as duas soluções são x=(1±√7)/4.'

'Pergunta Básica de Coluna 18 Determinando os Coeficientes de uma Identidade'

'Use a relação de recorrência para encontrar o termo geral da sequência.'

'Dada a equação quadrática $3 x^{2}-2 x-4=0$ com duas raízes $\\alpha, \eta$, encontre o valor das seguintes expressões.'

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'Quando (x + y) / 2 = (y + z) / 5 = (z + x) / 7 (não igual a 0), encontre o valor de (xy + yz + zx) / (x^2 + y^2 + z^2).'

'A equação quártica x^4+ax^3+7x^2+bx+26=0 tem duas raízes comuns com a equação quadrática x^2+2x+2=0 e a soma das raízes comuns é 37. [Universidade Tokushima Bunri] (1) Encontre os valores das constantes reais a, b. (2) Encontre as raízes restantes da equação quártica.'

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'Encontre o intervalo de valores possíveis para x, dado que x, y, z são números reais que satisfazem x+y+z=0 e x^2-x-1=yz. Determine os valores máximo e mínimo de x^3+y^3+z^3 e os valores correspondentes de x.'

'（3）Para uma sequência geométrica onde o primeiro termo a e a razão comum r são ambos números reais, se a soma do primeiro termo até o enésimo termo é Sn e quando Sn=3 e Sn=27. Encontre os valores de a, r.'

'Na matemática, \ \\mathbb{I} \ EX\\nAs duas soluções da equação quadrática \\( 2 x^{2}-2(2 a-1) x-a=0 \\) são \ \\sin \\theta, \\cos \\theta \. Encontre a constante positiva \ a \ e os valores de \ \\sin \\theta, \\cos \\theta \. Dado que \ 0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi \.'

'(1) $x^{2}-14 x+45=0$'

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'Independentemente da constante a, o círculo C1 passa pelo ponto fixo A. Encontre as coordenadas deste ponto fixo A.'