Teoria Básica dos Números - Números Racionais e Irracionais

'Questão de exercício 13 O dígito principal\n505\nPara um número real não negativo a, onde 0 ≤ r < 1, e a-r é um número inteiro, o número real r é denotado por {a}. Em outras palavras, {a} representa a parte decimal de a. (1) Encontre um número inteiro positivo n que faz com que a parte decimal de {n log_10 2} seja menor que 0.02. (2) Encontre um número inteiro positivo n em que o dígito principal de 2^n na representação decimal é 7. É dado que 0.3010 < log_10 2 < 0.3011 e 0.8450 < log_10 7 < 0.8451. [Universidade de Quioto]'

'Traduza o texto dado para vários idiomas.'

'A tangente de 1 grau é um número racional?'

'60 (1) x = 8/7 (2) x = 3 (3) x = 1/3, y = 3'

'Quando x=π, y=π/12, o valor máximo é 25/12 π; quando x=0, y=5/12 π, o valor mínimo é 5/12 π'

'Polinômio com coeficientes racionais'

'x = (3 ± √21) / 3'

'Quando 1 ≤ a < (3 + √6) / 3, M(a) = a³ - 6a² + 9a'

'(-1 + √3)/2 ≤ k ≤ 1'

'Encontre a raiz quadrada de um número negativo. Suponha que a seja um número real positivo.'

'Encontre a soma da seguinte série.'

'(1) Vamos supor que exista um número racional x que satisfaça 3^{x}=5. Como 3^{x}=5>1, isso implica que x>0. Portanto, x pode ser expresso como x=\x0crac{m}{n} onde m e n são inteiros positivos. Quando ambos os lados são elevados por n, obtemos 3^{m}=5^{n} (1). O lado esquerdo é um múltiplo de 3, mas o lado direito não é um múltiplo de 3, levando a uma contradição. Portanto, x que satisfaz 3^{x}=5 não é um número racional.'

'(1) Se a > 0 e x > 0, então a^{1/2x} > 0, a^{-1/2x} > 0'

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'Calcule.'

'(1) k = -4 ± √15\n(2) k = 40/√41 (40√41/41)'

'Prove que a solução para a equação $3^{x}=5$ não é um número racional.'

'A tangente de 1 grau é um número racional?'

'Raízes quadradas de números negativos'

'(2) \\( \\left(0, \\frac{4}{5}\\right) \\)'

'Investigar Sequências Aritméticas e Geométricas'

'Calcule a seguinte soma: \\( \\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}+\\frac{1}{(2n+3)(2n+5)}+\\frac{1}{(2n+5)(2n+7)} \\)。'

''

'Expressar os seguintes conjuntos de números em termos de desigualdade.\n(1) \ \\log_{3} 5,2,2 \\log_{3} 2 \'

'Encontre a raiz quadrada de (1) a (3). Além disso, calcule (4) a (6).'

'Expresse os seguintes conjuntos de números em termos de desigualdade.'

'Encontre as seguintes quatro somas.'

'Resolver as seguintes desigualdades: (1) $\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{x}<\\frac{1}{81}$ (2) $5^{x+3}>\\frac{1}{25}$ (3) $2\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{x^{2}}\\geqq\\left(\\frac{1}{128}\\right)^{x-1}$'

'Quando x=√10, y=10, o valor máximo é 1/2'

'Encontre o valor correspondente ao número 5.67 na tabela abaixo.'

'Encontre a raiz quadrada de (1) a (3). Realize os cálculos de (4) a (6).'

''

'Expressar as dimensões relativas dos seguintes conjuntos de números usando símbolos de desigualdade.'

'(8) Na Figura 6, há uma diferença de 0.05 mm entre o comprimento do incremento de 2 mm da escala principal e o incremento mínimo de 1 mm da escala do nônio, que é 2 - 1.95 = 0.05 (mm). Portanto, quando as linhas de escala da escala principal e da escala do nônio estão alinhadas e há um desalinhamento de um incremento na escala do nônio, ocorre uma diferença de 0.05 mm no comprimento medido (valor da medição). Como resultado, o comprimento que pode ser lido com o paquímetro na Figura 6 é em incrementos de 0.05 mm.'

'(1) Valor máximo \\\sqrt{2}\, valor mínimo \-\\sqrt{2}\\\n(2) Valor máximo 5, valor mínimo -5'

'Quando o número complexo z satisfaz |z-1|≤|z-4|≤2|z-1|, ilustre a faixa na qual o ponto z se move no plano complexo.'

'O que é o número natural?'

'Seja α e z números complexos, com |α|>1. Compare as magnitudes de |z-α| e |αz-1|.'

'Encontre o argumento \ \\theta \ do número complexo \ \\frac{5-2 i}{7+3 i} \. Certifique-se de que \ 0 \\leqq \\theta<2 \\pi \.'

'Encontre os valores das constantes a e b de forma que o intervalo da função y=√(2x+4) seja 1≤y≤3.'

"A proposição 'Seja n um número inteiro. Se n^2 for um múltiplo de 7, então n é um múltiplo de 7' é verdadeira. Use esta proposição para provar que √7 é irracional."

'Exemplo básico 23 Racionalize o denominador Simplifique as seguintes expressões racionalizando o denominador.'

'Ao dividir 3 pessoas em 3 grupos de 3 cada, se eliminarmos a distinção entre A, B e C, então cada conjunto pode ser organizado de 3! maneiras, então, qual é o número total de maneiras de dividi-los?'

'Dado x=(√2+√3)/(√2-√3), y=(√2-√3)/(√2+√3), encontre os valores das seguintes expressões.'

'Se a parte inteira de 1+√10 for a, e a parte decimal for b. Encontre os seguintes valores: (1) a, b; (2) b + 1/b, b² + 1/b²'

'(2) \ \\frac{\\sqrt{21}}{6} \'

'Prove que quando a fração a = m / n (onde m, n são inteiros e n>0) se torna um decimal infinito, a é um decimal recorrente.'

'(1) \ \\frac{\\sqrt{10}}{2} \'

'(2) Provar que $\\sqrt{5}$ é irracional.'

'√3 é um número irracional. Encontre os valores dos números racionais a, b que satisfazem 7+a√3/2+√3=b+9√3.'

'(1) Em ordem \ \\frac{\\sqrt{15}}{4}, -\\frac{1}{4}, -\\sqrt{15} \'

'57 (A) 20/3'

'Em uma cidade com 6 estradas norte-sul e 4 estradas leste-oeste, considere o caminho mais curto de Ponto P para o Ponto Q. Durante esta jornada, jogue uma moeda: se sair cara, mova-se para leste por 1 bloco, se sair coroa, mova-se para norte por 1 bloco. A probabilidade de sair cara ou coroa é igual, ambas sendo 1/2. Além disso, antes de chegar ao ponto Q, se a moeda cair cara no cruzamento mais oriental ou coroa no cruzamento mais setentrional, você não pode continuar e deve permanecer nesse cruzamento.'

'PRÁTICA 23'

'A soma, diferença, produto e quociente de dois números reais a e b são sempre números reais. Por exemplo, mesmo ao somar números racionais, o resultado é sempre um número racional. Explique que operações aritméticas são sempre possíveis dentro do intervalo de números racionais e reais. No entanto, a divisão não considera a divisão por 0.'

'Prove que a soma de um número racional e um número irracional é irracional.'

'(1) Simplifique \ \\frac{1}{1+\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}+\\frac{1}{1+\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}-\\frac{1}{1-\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}-\\frac{1}{1-\\sqrt{2}-\\sqrt{3}} \.'

'(1) \ \\frac{\\sqrt{5}-1}{4} \'

'Prove que √5 é irracional.'

'Volume \ \\frac{4}{3} \, Distância \ \\frac{2 \\sqrt{14}}{7} \'

'Determine o intervalo da constante a e encontre as coordenadas dos pontos de interseção.'

'(1) \ \\frac{2}{5} \'

'86 x= \\sqrt{5}, \\quad -\\frac{1}{\\sqrt{2}}<x<\\frac{1}{\\sqrt{2}}, \\quad \\sqrt{5}<x'

'Prove que a soma de um número racional e um número irracional é irracional.'

'Em um jogo em que uma moeda é lançada repetidamente, e um prêmio é ganho quando ela cai com o rosto para cima 3 vezes, com um máximo de 5 lançamentos permitidos e sem mais lançamentos após o terceiro rosto para cima, quantas sequências possíveis existem para ganhar o prêmio se o primeiro lançamento resultar em coroa?'

'Investigue a verdade das seguintes proposições. No entanto, use conjuntos para investigar (2) e (3).\n(1) Para números reais a, b, se o quadrado de a for igual ao quadrado de b, então a é igual a b\n(2) Para números reais x, se |x|<3, então x<3\n(3) Para números reais x, se x<1, então |x|<1'

'Exemplo 98: Determine o intervalo de existência de soluções para uma equação quadrática com soluções nos intervalos 0 < x < 1 e 1 < x < 2.'

'(A) \ \\frac{1}{7} \'

'Explique as propriedades das raízes quadradas.'

'A raiz quadrada de um número positivo a tem dois resultados, que têm o mesmo valor absoluto, mas com sinais diferentes. A raiz quadrada de zero é zero. Por exemplo, a raiz quadrada de 5 é sqrt{5} e -sqrt{5}. Exemplos de cálculos com raízes quadradas incluem: sqrt{3} × sqrt{7} = sqrt{21}. sqrt{5} / sqrt{2} = sqrt{5/2}.'

''

'(1) \\frac{4(\\sqrt{7}-1)}{3} (2) -4 (3) \\frac{110-32 \\sqrt{7}}{9}'

'Racionalize os denominadores das seguintes expressões.'

'Quando x=(2+√3)/(2-√3) e y=(2-√3)/(2+√3), encontre os valores das seguintes equações.'

'Prove que a raiz quadrada de 3 é um número irracional. Assumimos que a raiz quadrada de 3 é um número racional, ou seja, existem dois números naturais m e n sem divisores comuns exceto 1, tal que a raiz quadrada de 3 = m/n. Portanto, m = raiz quadrada de 3 * n. Ao elevar ambos os lados ao quadrado, obtemos m^2 = 3n^2, o que significa que m é um múltiplo de 3. Assim, existe um número natural k tal que m = 3k. Substituindo isso, obtemos 9k^2 = 3n^2, que se simplifica para n^2 = 3k^2, implicando que n é um múltiplo de 3, levando a uma contradição. Portanto, a raiz quadrada de 3 é um número irracional.'

'Use a prova por contradição para provar a seguinte proposição: Pelo menos um dos x ao quadrado e x ao cubo é irracional.'

'(1) Seja a, b, c e d números racionais e √l um número irracional. Prove que b=d quando a+b√l=c+d√l. Além disso, prove que a=c neste caso. (2) Encontre os valores dos números racionais x e y que satisfaçam (1+3√2)x + (3+2√2)y = -5-√2.'

'Racionalize os denominadores das seguintes expressões.'

''

'(1) Para um certo número natural n, √n é um número racional, verdadeiro. (2) Para todos os números reais x, x^2 ≠ x + 2, falso.'

'Remova as raízes quadradas duplas nas seguintes expressões:'

'Expresse os decimais recorrentes 0.2, 1.21, 0.13 como frações.'

'Responda à seguinte pergunta. 127 (1) Encontre os comprimentos dos outros lados de um triângulo com comprimento b=2√7.'

'Explique a condição p e sua negação.'

'Usando o fato de que √3 é irracional, prove que 1+2√3 também é irracional.'

''

''

'Explique a definição de números irracionais e liste duas de suas características.'

'O que é uma raiz quadrada? Por favor, explique com exemplos específicos.'

'Prove que √3 é um número irracional. Assumimos que √3 é racional e pode ser representado como √3 = p/q, onde p e q são inteiros primos entre si. Elevando ambos os lados ao quadrado, temos 3 = p^2/q^2, rearranjando, obtemos 3q^2 = p^2. Portanto, p^2 é um múltiplo de 3, de acordo com a suposição, p é um múltiplo de 3, então pode ser escrito como p = 3m. Substituindo de volta, temos 3q^2 = 9m^2, dividindo por 3 temos q^2 = 3m^2, o que significa que q também é um múltiplo de 3. Isso contradiz o fato de que p e q são primos entre si, então a suposição está incorreta e √3 é irracional.'

'Remova as raízes quadradas duplas nas seguintes expressões.'

'Encontre o termo geral da sequência 1/6, 1/9, 1/14, 1/21, 1/30.'

'Calcule cada expressão.'

'139\n(1) \ \\frac{\\sqrt{3}-1}{4} \'

'117\nEncontre os valores de a e b, onde a = (6 ± √14)/2 e b = (6 ∓ √14)/2\n(os sinais são iguais em ambos os casos)'

'Seja a e b números reais não nulos. As igualdades a seguir são válidas quando a>0 e b>0, mas e nos outros casos? Por favor, investigue os seguintes cenários: [1] a>0, b<0 [2] a<0, b>0 [3] a = √(a/b) (2) √(a) / √(b) = √(a/b) (3) √(a) √(b) = √(ab)'

'Sobre a sequência 1/1, 1/2, 3/2, 1/3, 3/3, 5/3, 1/4, 3/4, 5/4, 7/4, 1/5, ...'

'562 cm ou (1+√3) cm'

'(1) \ a_{2}=\\frac{4}{3}, a_{3}=\\frac{6}{5}, a_{4}=\\frac{8}{7} \,\\n\ a_{n}=\\frac{2 n}{2 n-1} \\\n(2) Resumo'

'Encontre os seguintes valores:\n14. (1) \x0crac{x}{(x+1)(x-1)}\n(2) 1'

'(2) \ x=1,2 \\pm \\sqrt{3} \'

'Seja a uma constante positiva diferente de 1. Se a^x=8 e a^y=25, expressa log_{10} 500 em termos de x e y.'

"Em problemas em que os coeficientes de uma equação de grau elevado devem ser determinados, os seguintes [1], [2] são a base para a resolução do problema. Primeiro, vamos entender este ponto mais importante. x=α é uma solução para a equação f(x)=0 se e somente se f(α)=0 (é válido quando substituído) ⇐[1]⇔ f(x) tem x−α como um fator ⇐[2] O método de solução mais básico é a estratégia de [1] que é 'substituir a solução'. Em problemas de exemplo 61, 62, mostramos primeiro as respostas usando essa estratégia. No entanto, quando a solução é imaginária, como no exemplo 62, os cálculos após a substituição podem tornar-se um pouco complicados."

'Calcule as seguintes expressões. (5) (sqrt{3}+sqrt{-1})(1-sqrt{-3})'

'130\n(1) \\( (\\sqrt{3}, 5) \\)'

'(1) \ \\frac{9}{2} \'

'Pergunta 95 sqrt{15} dividido por 2 < r < 4'

'Calcule as seguintes expressões. Assuma que a>0, b>0.'

'Encontre a soma da sequência do primeiro termo até o enésimo termo.'

"(2) Indique a conversa, a contrapositiva e a inversa de 'Se xy é irracional, então pelo menos um de x, y é irracional', e determine seus valores de verdade."

'Usando o fato de que √3 é irracional, prove que 1/√2 + 1/√6 é irracional.'

''

'Usando a prova por contrapositiva da Proposição 61, prove que \ \\sqrt{7} \ é irracional e então prove que \ \\sqrt{5}+\\sqrt{7} \ é irracional. Princípio básico 2. É difícil mostrar diretamente que um número é irracional (ou seja, não é racional). Portanto, assumimos que a proposição a ser provada é falsa, derivamos uma contradição e provamos que a proposição é verdadeira.'

'Em △ABC, onde a=1+√3, b=2, e C=60°. Encontre o seguinte:\n(1) Comprimento do lado AB\n(2) Medida do ∠B\n(3) Área do △ABC\n(4) Raio da circunferência circunscrita\n(5) Raio do círculo inscrito\n[Seminário semelhante à Universidade de Educação de Nara]\np. 285 EX118,119'

'Sobre o valor de √2'

'(2) \\frac{5 \\sqrt{3}}{11}'

'Para as seguintes proposições, forneça a contrapositiva e a contrapositiva inversa e determine se são verdadeiras ou falsas.'

'Utilize a racionalização de denominadores.'

'Encontre o valor de (3) (1+√3)^3.'

'No exemplo 28, ao racionalizar o denominador de x obtemos x=5-2√6, e ao racionalizar o denominador de y obtemos y=5+2√6.'

'Prove cada parte do seguinte problema. (2) Assumindo que √n e √(n+1) são ambos números racionais. Prove que √n e √(n+1) são ambos inteiros positivos. (3) Assumindo que √(n+1) - √n é um número racional. Mostre as propriedades de √n e √(n+1). Resolva o seguinte problema. Derive a x + y de (a x + y)/(1 - a) = a e resolva a equação.'

'(1) $\\frac{\\sqrt{3}}{4}$\n (2) $\\sqrt{21}$'

'Simplifique as seguintes expressões racionalizando os denominadores.'

'Forneça um contraexemplo para as seguintes proposições.'

'Pratique simplificar as seguintes expressões racionalizando os denominadores.'

'Explique as propriedades dos números reais e das raízes quadradas.'

'Seja A o conjunto dos números racionais e B o conjunto dos números irracionais em 33®. Deixe ∅ representar o conjunto vazio. Escolha o símbolo apropriado ∈, ∋, ⊆, ⊇, ∪, ∩ para preencher os espaços em branco abaixo.'

'Prove que \ \\sqrt{2}+\\sqrt{3} \ é um número irracional. É assumido que \ \\sqrt{2}, \\sqrt{3} \ são conhecidos como irracionais.'

'Prove que para os números racionais a, b, c, d e um número irracional x, se a+bx=c+dx, então a=c e b=d.'

'Exemplo básico 27 Parte inteira e decimal'

'\ \\frac{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}{2 \\sqrt{3}-\\sqrt{2}} \'

'A partir das condições dadas, AC=BC=\\frac{6}{\\sqrt{2}}=3 \\sqrt{2}. Tomando os pontos D, E, F, G conforme mostrado na figura, seja x o comprimento do lado vertical do retângulo, então DE=AE=AC-CE=3 \\sqrt{2}-2 x, FG=AG=AC-GC=3 \\sqrt{2}-x. Além disso, como 0<CE<AC, temos que 0<2 x<3 \\sqrt{2}, ou seja, 0<x<\\frac{3 \\sqrt{2}}{2}. Seja y a soma das áreas dos dois retângulos, então y =x(3 \\sqrt{2}-2 x)+x(3 \\sqrt{2}-x) = -3 x^{2}+6 \\sqrt{2} x = -3(x-\\sqrt{2})^{2}+6. O valor máximo de y é 6 quando x=\\sqrt{2}. Portanto, o valor máximo da soma das áreas dos dois retângulos é 6.'

'Prove usando prova por contradição'

'Racionalize os denominadores e simplifique as seguintes expressões:'

'Prove que a soma de um número racional e um número irracional é um número irracional.'

'Prove que PR√2+√3 é irracional. Assumindo que √2 e √3 são ambos irracionais.'

'Prove que a soma de um número racional e um número irracional é irracional.'

'(5) \\( \egin{aligned} (\\sqrt{10}-2 \\sqrt{5})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}) &= (\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{5}-\\sqrt{2} \\sqrt{10})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}) \\\\ &= \\sqrt{2}(\\sqrt{5}-\\sqrt{10})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}) \\\\ &= \\sqrt{2}(5-10)=-5 \\sqrt{2} \\end{aligned} \\)'

'Simplifique a seguinte expressão.'

'Dado x = \\frac{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}, y = \\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}, encontre os valores das seguintes expressões.'

'Número de soluções quando 84 a > -1 / 8, número de soluções quando a = -1 / 8, número de soluções quando a < -1 / 8'

'Quando x=\\frac{1-\\sqrt{2}}{1+\\sqrt{2}}, y=\\frac{1+\\sqrt{2}}{1-\\sqrt{2}}, encontre os valores das seguintes expressões.\\n(1) x+y, x y\\n(2) 3 x^{2}-5 x y+3 y^{2}'

'Prove usando a prova por contradição que √3 é irracional.'

'79 (1) Dado z=√3+i, -√3-i (2) Dado z=2i, -√3-i, √3-i'

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'(2) O ponto z satisfaz a equação |z-(1-√3 i)|=1 w=(2+2 √3 i) z, ou seja, w=2(1+√3 i) z De z =w/(2(1+√3 i))=w(1-√3 i)/(2(1+√3 i)(1-√3 i)) =w(1-√3 i)/8, substitua em (1) para obter |w(1-√3 i)/8-(1-√3 i)|=1, ou seja, |(1-√3 i)/8||w-8|=1|(1-√3 i)/8|=2/8=1/4, então |w-8|=4 Portanto, o ponto w desenha um círculo centrado no ponto 8 com um raio de 4. Referência 2+2 √3 i=4(cos(π/3)+i sin(π/3)) Portanto, o ponto (2+2 √3 i) z é o ponto obtido ao girar o ponto z em torno da origem por π/3 e multiplicar por 4. Portanto, o ponto central 1-√3 i do círculo |z-(1-√3 i)|=1 move-se para o ponto 8, e o raio do círculo é 4. Portanto, o ponto w desenha um círculo centrado no ponto 8 com um raio de 4.'

"Por favor, explique os seguintes termos: limitado, valor definido finito, segmento de linha direcionado, cônica focal, função racional, função positiva, soma de quadrados, ângulo excêntrico, excentricidade, volume de um sólido, limaçon, divisor de zero, matriz zero, vetor zero, lemniscata, contínuo, série de Leibniz, regra de L'Hôpital, teorema de Rolle"

'Para um número complexo \ \\alpha=a+b i \, em que \ \\overline{\\alpha}=a-b i \ é o conjugado de \ \\alpha \, prove o seguinte:\n\n(1) Se \ \\alpha \ for um número real, então \ \\overline{\\alpha}=\\alpha \. Se \ \\alpha \ for um número imaginário puro com \ \\alpha \\neq 0 \, então \ \\overline{\\alpha}=-\\alpha \.\n(2) Prove que \ \\alpha+\\overline{\\alpha} \ é um número real.\n(3) Prove que \ \\overline{\\alpha+\eta}=\\overline{\\alpha}+\\overline{\eta} \.\n(4) Prove que \ \\overline{\\alpha\eta}=\\overline{\\alpha}\\overline{\eta} \.'

'(1) s^2 - t^2/a^2 = 1\nDe (1), s^2/b^2 + t^2 = 1\nSubstituindo em (2) obtemos t^2 = 1 - s^2/b^2\nAssim, temos s^2 - (1/a^2)(1 - s^2/b^2) = 1\nSimplificando, temos s^2 = b^2(a^2 + 1)/(a^2 b^2 + 1)\ns > 0, b > 0, logo s = b sqrt((a^2 + 1)/(a^2 b^2 + 1))\nA partir de (2), (3) obtemos t^2 = 1 - (1/b^2) * b^2(a^2 + 1)/(a^2 b^2 + 1) = a^2(b^2 - 1)/(a^2 b^2 + 1)\nt > 0, entao a > 0, b > 1, logo t = a sqrt((b^2 - 1)/(a^2 b^2 + 1))'

'A resposta para o problema de exercício é t=\\frac{\\pi}{6}+\\frac{1}{2}, V(t)=\\frac{\\pi}{24}(2 \\pi-3 \\sqrt{3}+1)'

'Prática 44\\n(1) (Solução 1) x=1/(y^2-2y) A partir disso, temos y^2-2y-1/x=0 Seja o discriminante desta equação quadrática D\\nD/4=(-1)^2-1(-1/x)=1/x+1\\nD/4 >= 0 implica 1/x+1 >= 0 Logo, x<=-1,0<x Assim, quando x<=-1,0<x temos y=1±√(1+1/x)'

'Resposta da questão de exercício 62 (1) a= \\ frac{9}{8}'

'Condições para a desigualdade ser verdadeira'

'Solução do problema de exercício 58 (3) \\frac{\\sqrt{3}}{12}'

'Encontre a raiz n-ésima de 1 e explique a que posição no círculo unitário cada valor corresponde.'

'Encontre os valores máximo e mínimo dos seguintes problemas.'

'(1) \ z \ é todos os números reais exceto 0, 1 e -1'

'Leia a seguinte prova para mostrar que e é irracional.'

'(1)\\\ \\frac{1+i}{2} \\alpha + \\frac{1-i}{2} \eta \'

'Prove a desigualdade e^{x}>1+\\sum_{k=1}^{n} \\frac{x^{k}}{k!} (x>0)'

'Exercício 41 III: Prove a desigualdade \ t \\geqq \\tan t - \\frac{\\tan^{3} t}{3} \.'

'(1) Omitido\n(2) \ \\frac{2}{63} \'

'(1) \ z_2 = \\frac{3+\\sqrt{3} i}{2}, \\quad z_3 = 1+\\sqrt{3} i \'

"Por favor, explique a prova de que 'e é irracional'. Mostre o procedimento para provar que e é irracional usando o método de prova por contradição e séries infinitas."

'Quando α=√3+i e β=2-2i, expresse αβ e α/β em forma polar, em que o argumento θ está no intervalo 0≤θ<2π.'

'Sejam a, b números reais não negativos. As seguintes equações são válidas quando a > 0, b > 0, mas o que acontece em outros casos? Investigue nos seguintes casos.'

'Calcule as seguintes expressões matemáticas.'

'(1) Seja a = 1/4, b = 3/4, e 2ab = 3/8, a^2 + b^2 = 5/8,\n\nÉ esperado que a<2ab<1/2<a^2 + b^2 < b.'

'Responda às seguintes perguntas. Assuma que $\\sqrt{3}$ é irracional.\n(1) Prove que $\\log_{3} 4$ é irracional.\n(2) Encontre um par de números reais $(a, b)$, onde $a$ e $b$ são irracionais e $a^{b}$ é racional.'

'100 (3) \ \\frac{5+\\sqrt{5}}{8} \'

'Encontre os valores de θ para os quais 21θ está entre 210° e π/2. Embora cos θ não seja um número racional, encontre os valores de θ onde tanto cos 2θ quanto cos 3θ são números racionais.'

'Determinando o número de dígitos e o primeiro lugar decimal usando logaritmos comuns'

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'Encontre os números racionais x, y que satisfazem a equação 20^x = 10^(y+1).'

'Traduza o texto dado para várias línguas.'

'22 \\\frac{a+2}{a+1}\, \\\sqrt{2}\, \\\frac{a}{2}+\\frac{1}{a}\'

'Questão 24'

'148 k \\leqq-5,-1+\\sqrt{7} \\leqq k'

'Encontre o número complexo z que satisfaz a equação z^2=2+2sqrt(3)i.'

'32 Logaritmos Comuns\n33 Problemas Avançados Relacionados EXERCÍCIOS'

'Determinando o número de dígitos usando logaritmos comuns e a posição do primeiro dígito não zero no decimal'

'O valor máximo é (9 + 4√3) / 9 e o valor mínimo é (9 - 4√3) / 9'

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'Exprese os seguintes conjuntos de números em ordem usando sinais de desigualdade.'

'95 não é um número racional.'

'Seja a um número real positivo no plano complexo, w=a(cosπ/36+isinπ/36). Defina a sequência de números complexos {zn} como z1=w, zn+1=znw^(2n+1) (n=1,2,…). (1) Encontre o argumento de zn. (2) No plano complexo, com a origem como O e representando zn como ponto Pn. Encontre os valores de n e a para os quais △OPnPn+1 é um triângulo retângulo isósceles para 1≤n≤17.'

'(3) x = √5/10 tem um valor máximo de √5/2 em x = -1/2 e um valor mínimo de -1/2'

'Por favor, explique o método de utilizar o conceito de série geométrica infinita para expressar um decimal periódico como uma fração.'

'(2) \ \\frac{3}{2} \'

'(2) Represente a parte inteira de um número real a (k ≤ a < k+1 e k é um inteiro) como [a]. Encontre o número de itens distintos entre [f(1)], [f(2)], [f(3)], ..., [f(1000)]. Calcule conforme necessário usando log 10 = 2.3026.'

'Traduzir o texto dado para vários idiomas.'

'Prática ⊕ 31'

'Quando uma bola cai no chão, ela quica até 3/5 da altura da queda.'

'Calcule a seguinte expressão.'

'129 a=\\frac{\\sqrt{2}-3}{4}, b=3'

'Prove que a equação α^{2}+β^{2}+γ^{2}-αβ-βγ-γα=0 é verdadeira quando o triângulo ABC com vértices A(-1), B(1), C(√3i) é equilátero e o triângulo PQR com vértices P(α), Q(β), R(γ) também é equilátero.'

'Gráfico e intervalo de funções irracionais\nGráfico e pontos de interseção de números irracionais, desigualdades irracionais'

'(1) Quando |x| é suficientemente pequeno, encontre as aproximações de primeira e segunda ordem das seguintes funções.'

'Seja α e z números complexos, com |α|>1. Compare as magnitudes de |z-α| e |α z-1|.'

'Expresse os seguintes números complexos na forma polar. O argumento 𝜃 deve satisfazer 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋.'

'(1) 1/(x+3) ≥ 1/(3-x) (2) 3/(1+2/x) ≥ x^2. Assumindo que (1) é y=1/(x+3) e (2) é y=1/(3-x). Resolver isso nos dá x=0. A solução requerida para a desigualdade é o intervalo de valores de x onde o gráfico de (1) está acima do gráfico de (2) ou onde eles têm pontos em comum. Portanto, a partir da figura, o intervalo de valores de x que estamos procurando é -3 < x ≤ 0, 3 < x.'

'Quando a=-\\frac{24}{\\pi^{2}} e b=\\frac{12}{\\pi^{2}}, o valor mínimo é -\\frac{48}{\\pi^{4}}+\\frac{1}{2}'

'Encontre os valores máximo e mínimo de |z+√3| quando um número complexo z satisfaz |z-i|=1, e determine os valores correspondentes de z.'

'Quando a= \\frac{2}{e+1}, o valor mínimo é \\( (e+1) \\log \\frac{2}{e+1}+e \\)'

'Como dividir um quadrado em três partes iguais'

'Propriedades da raiz enésima de 1'

'\ \\frac{4}{\\sqrt{3}} a \'

'Há um tipo de crescimento que não pode ser expresso em números.'

'Suponha que um número complexo z satisfaça |z| ≤ 1. Sobre o número complexo w = z-√2, responda às seguintes perguntas: (1) Que tipo de forma o ponto w traça no plano complexo? Ilustre. (2) Se representarmos o valor absoluto de w^2 como r e o argumento como θ, encontre o intervalo de r e θ. Note que 0 ≤ θ < 2π.'

'432 Exemplo Básico 85 Produto e Quociente de Números Complexos\nSeja α=1-i, β=√3+i. Onde, o argumento é 0 ≤ θ < 2π.\n(1) Expresse αβ e α/β em forma polar respectivamente.\n(2) Encontre arg(β^4), |α/β^4|.\n(3) Consulte p.429 Básico 1 1, 2'

'\ \\frac{3 \\sqrt{3}}{2} \'

'Organize os valores da seguinte função em ordem decrescente: (11^1/10, 13^1/12, 15^1/14)'

'Prove a desigualdade \ \\frac{1}{n}+\\log n \\leqq \\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{k} \\leqq 1+\\log n \.'

'Encontre o valor mínimo quando t = 2/3.'

'Seja \ a \ uma constante positiva. Encontre o intervalo de valores de \ a \ para os quais a desigualdade \ a^{x} \\geqq x \ vale para todos os números reais positivos \ x \.'

'Se um número complexo z satisfaz |z|=1, então o valor máximo de |z^3-1/z^3| é a.'

'Expressando 1+√3i e 1+i na forma polar, encontre os valores de cos(π/12) e sin(π/12) respectivamente.'

'9 dividido por 8'

'42 (1) 10√3\n(2) 1:3'

'Quando z = \ \\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{3}{2} i \, o valor máximo é 3. Quando z = -\\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{1}{2} i \\), o valor mínimo é 1.'

'Descreva as propriedades da raiz n de 1.'

'Diferença de velocidade divergente para o infinito'

'34 (1) \ \\frac{\\sqrt{2}}{12} \\\n(2) \ \\frac{\\sqrt{2}}{324} \\\n(3) \ \\frac{9 \\sqrt{2}}{104} \'

'144'

'Exemplo 11 Decimais recorrentes'

'Expressa o seguinte decimal recorrente como uma fração.'

'Prove que não existe um número natural n tal que tanto √n quanto √(n+1) sejam números racionais.'

'Exercício 4 | II --> Livro p.59\n(2)\n4/(1+√2+√3)\n= 4(1+√2-√3)/{((1+√2)+(√3))((1+√2)-(√3))}\n= 4(1+√2-√3)/(3+2√2-3)= 4(1+√2-√3)/(2√2)\n= 2(1+√2-√3)/√2= 2(1+√2-√3)√2/(√2)^2= 2(1+√2-√3)√2/2\n= √2+2-√6'

'No Exemplo 31, a pedra tem uma probabilidade de 1/2 de se mover do ponto A para B e C, respectivamente. Da mesma forma, tem uma probabilidade de 1/2 de se mover do ponto B para C e D. Observando as pedras que chegam a cada ponto de A e B para C, de B e C para D, de C e D para E, e assim por diante. Portanto, pode-se concluir que quando a pedra se move do ponto P, Q para o ponto R, as probabilidades de chegar aos pontos P, Q, R são p, q, r, respectivamente, então r=1/2 p+1/2 q. Usando isso, as probabilidades de chegar a cada ponto podem ser calculadas sucessivamente.'

'Por favor, leia a explicação sobre os números reais e suas propriedades e responda às seguintes perguntas:\n1. Como você classifica os números reais?\n2. Como você representa o ponto P correspondente à coordenada a na reta numérica?\n3. Por favor, forneça a definição de valor absoluto.\n4. Defina raiz quadrada e explique a diferença entre raiz quadrada positiva e negativa.'

'(2) 11/17'

'(4) \ \\sqrt{\\sqrt{7}-2} \'

'Por favor, forneça um exemplo de como os números irracionais aparecem em problemas matemáticos específicos.'

'Do número 128 em Matemática I (3), considerando a desigualdade \ \\sqrt{3} \\tan \\theta-1 \\geqq 0 \\], obtemos \\[ \\tan \\theta \\geqq \\frac{1}{\\sqrt{3}} \. Resolvendo a equação \ \\tan \\theta=\\frac{1}{\\sqrt{3}} \ obtemos \ \\theta=30^{\\circ} \. Como a solução está na linha \ x=1 \ com uma coordenada \ y \ maior ou igual a \ \\frac{1}{\\sqrt{3}} \, o intervalo de soluções é \ 30^{\\circ} \\leqq \\theta<90^{\\circ} \'

'Pratique a demonstração do seguinte usando a unicidade da fatorização em números primos.'

'Prove que a raiz quadrada de 3 é um número irracional.'

'Seja x um número positivo. Um retângulo com ambos os lados sendo números racionais pode ser preenchido com um tipo de quadrado. Ou seja, para um retângulo com comprimentos de lado 1 e x, se x for um número racional, pode ser preenchido com um tipo de quadrado. Se não puder ser preenchido com um tipo de quadrado, então o outro comprimento do retângulo é irracional. Usando esse fato, prove que √10 é irracional.'

'Encontre o domínio da função y = \\frac{8x+4}{x^{2}-2x+5}.'

'42 √7 ou 1+√6'

Racionalize o denominador das seguintes expressões. (1) rac{10}{\sqrt{5}} (2) rac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} (3) rac{1}{\sqrt{2}+1} (4) rac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}

27^3 x é um número irracional. Prove a seguinte proposição usando o método de redução ao absurdo. Pelo menos um de x^2 ou x^3 é irracional.

Encontre os valores das expressões dadas as definições de x e y: x=rac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}, y=rac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}. (1) x+y, xy (2) x^{2}+y^{2} (3) x^{4} y^{2}+x^{2} y^{4} (4) x^{3}+y^{3}

TREINAMENTO 27 (1) A partir dos seguintes (1) a (4), escolha todas as afirmações corretas. (1) $\sqrt{0.25}= \pm 0.5$. (2) $\sqrt{0.25}=0.5$. (3) A raiz quadrada de rac{49}{64} é \pm rac{7}{8} . (4) A raiz quadrada de rac{49}{64} é apenas rac{7}{8} . (2) Encontre os valores de \( (\sqrt{3})^{2},\left(-\sqrt{rac{3}{2}} ight)^{2}, \sqrt{(-7)^{2}},-\sqrt{(-9)^{2}} \) respectivamente.

Considere o polinômio P = 3x^3 - 3xy^2 + x^2 - y^2 + ax + by em termos de x e y, onde a e b são constantes racionais. (1) Quando x = 1/(2-√3) e y = 1/(2+√3), encontre os valores de x + y e x - y. (2) Para os valores de x e y em (1), se P = 4, encontre os valores de a e b.

Dado 5 $a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$, encontre os valores das seguintes expressões. (1) $a^{2}-a-1$ (2) $a^{6}$

Dado x=rac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}, y=rac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}, encontre os valores das seguintes expressões: (1) x+y, xy (2) x^{2}+y^{2} (3) x^{4} y^{3} + x^{3} y^{4} (4) x^{3} + y^{3}

Sobre o produto x y, para x e y, já que o denominador de x e o numerador de y são os mesmos, e o numerador de x e o denominador de y são os mesmos, podemos calcular x y=1 sem racionalizar o denominador. Relação recíproca: \frac{A}{B}, \frac{B}{A}

Prova por Contradição (2) (1) Prove que $\sqrt{2}$ é um número irracional usando prova por contradição. Assuma, para contradição, que $\sqrt{2}$ é um número racional. Então existem dois inteiros $p$ e $q$ sem fatores comuns tal que \sqrt{2} = rac{p}{q}. Elevando ao quadrado ambos os lados obtemos 2 = rac{p^2}{q^2}, ou seja, 2q^2 = p^2. Dado que p^2 é par, $p$ também deve ser par. Assim, seja $p=2k$ para algum inteiro $k$. Substituindo obtemos 2q^2 = (2k)^2, ou seja, 2q^2 = 4k^2. Simplificando obtemos q^2 = 2k^2, então q também deve ser par. Isso significa que p e q compartilham um fator comum de 2, contradizendo a suposição de que p e q não têm fatores comuns. Portanto, $\sqrt{2}$ é irracional.

Prove que o TRAINING 59 (3) $\sqrt{3}$ é um número irracional. Você pode usar o fato de que se o quadrado de um número inteiro $n$ é múltiplo de 3, então $n$ é múltiplo de 3.

Como se chama um número que pode ser expresso como uma fração rac{m}{n} utilizando um inteiro $m$ e um inteiro não nulo $n$?

Quando rac{30}{7} é expresso como decimal, encontre o dígito na casa decimal 100.

Racionalize os denominadores das seguintes expressões. (1) rac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} (2) rac{2}{\sqrt{12}} (3) rac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} (4) rac{\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}

(1) Suponha que $a, b, c, d$ são números racionais e $\sqrt{l}$ é um número irracional. Prove que $b = d$ quando $a + b \sqrt{l} = c + d \sqrt{l}$. Além disso, prove que $a = c$ nesse caso. (2) Encontre os valores racionais de $x$ e $y$ que satisfaçam \( (1 + 3 \sqrt{2}) x + (3 + 2 \sqrt{2}) y = -5 - \sqrt{2} \).

Como é chamado um número decimal que termina em uma determinada casa decimal?

Usando o fato de que √6 é um número irracional, prove que os seguintes números são irracionais: (1) 1-√24 (2) √2+√3

Como se chama o decimal onde a mesma sequência de dígitos se repete abaixo de um certo lugar?

Remova os radicais duplos das seguintes expressões. (1) $\sqrt{4+2 \sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{9-2 \sqrt{20}}$ (3) $\sqrt{11+4 \sqrt{6}}$ (4) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

(1) Escolha todos os corretos dos seguintes 1〜(4). (1) A raiz quadrada de 7 é $\pm \sqrt{7}$ (3) \sqrt{rac{9}{16}}= \pm rac{3}{4} (2) A raiz quadrada de 7 é apenas $\sqrt{7}$ (4) \sqrt{rac{9}{16}}=rac{3}{4} (2) Encontre os valores de \( (\sqrt{13})^{2},(-\sqrt{13})^{2}, \sqrt{5^{2}}, \sqrt{(-5)^{2}} \)

Expressa os números decimais periódicos $1 . \dot{5}, 0 . \dot{6} \dot{3}$ como frações.

TREINAMENTO 42 Se a parte inteira de \sqrt{6}+3 é a e a parte fracionária é b, o valor de a^{2}+b^{2} é \square.

Usando o fato de que √3 é um número irracional, prove que 1+2√3 é um número irracional.

Como se chama um decimal onde os dígitos após o ponto decimal continuam indefinidamente?

O ponto \( (-\sqrt{6}-\sqrt{2} i) z \) é como o ponto $z$ é movido. O intervalo do ângulo de rotação $heta$ é $-\pi< heta \leqq \pi$.

Como o ponto rac{z}{z-2} está no eixo imaginário, a parte real de rac{z}{z-2} é 0.

Valor Absoluto de um Número Complexo Para um número complexo $z=a+bi$, a distância entre o ponto $z$ e a origem $O$ dada por $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ é chamada de valor absoluto do número complexo $z=a+bi$, e é representada por $|z|$. Ou seja, o valor absoluto de um número complexo é um número real. Encontre o valor absoluto dos seguintes números complexos $z$: 1. $z = 3 + 4i$ 2. $z = -1 + i$ 3. $z = 2 - 2i$

Propriedades dos Números Complexos Conjugados: Em relação aos números complexos α e β, o seguinte é válido.

5 (1) $\frac{1}{\sqrt{5}}$ (2) 5 (3) Valor mínimo $2 \sqrt{5}$ em $t=-1$

76 (1) 1/2+√3/2i (2) 1/4096 (3) 256+256i

Calcule os seguintes números complexos: (1) $i$ (2) rac{1}{256}-rac{1}{256} i (3) -rac{1}{512} (4) -64 (5) 1024

Calcule o argumento dos seguintes números complexos. (1) rac{1}{\sqrt{3}} i (2) Na ordem rac{\pi}{2}, rac{\pi}{6}, rac{\pi}{3}

A parte imaginária do número complexo $z$ é positiva, e os três pontos \( A(z), B(z^2), C(z^3) \) são vértices de um triângulo isósceles retângulo. Encontre $z$.

Para um número complexo $z$, mostre que |z|=|-\overline{z}| .

78 1, 1/√2 + 1/√2i, i, -1/√2 + 1/√2i, -1, -1/√2 - 1/√2i, -i, 1/√2 - 1/√2i

18 (2) (1) $\sqrt{5}+2$ (u) 2

53 (2) $\frac{\sqrt{19}}{10}$

39 ± rac{\sqrt{3}}{2}

Seja lpha um número complexo com parte real e imaginária positivas. Além disso, |lpha|=|eta|=1 . Se os números complexos i lpha, rac{i}{lpha}, eta representam três pontos no plano complexo que formam os vértices de um triângulo equilátero, encontre lpha e eta .