Teoria Básica dos Números - Números Primos e Fatoração

'Explique o Teorema do Fator.'

'Prove usando o teorema binomial que a seguinte equação é verdadeira: { }_{n} C_{0}+{ }_{n} C_{1}+{ }_{n} C_{2}+⋯+{ }_{n} C_{n}=2^n'

'Máximo divisor comum (polinômios): Um polinômio que divide uniformemente todos os polinômios dados, de dois ou mais polinômios.'

'(1) Prove que se m for um número primo, então d_{m}=m.\n(2) Prove por indução matemática que para todos os números naturais k, k^m-k é divisível por d_{m}.'

'Prove que, para todos os números naturais n, a expressão 4^{2n+1} + 3^{n+2} é um múltiplo de 13.'

'Matemática II\n(1) De (α-2)(α+3)=0, obtemos α=2,-3\n(2) De α=2, k=8 e de α=-3, k=-27\nPortanto k=8,-27'

'Prática (1) Prove que quando n é um número natural, 4^(2n+1) + 3^(n+2) é múltiplo de 13.'

'(1) Ao dividir $k ^ 3$ por $n$ e obter um quociente $q$ e um resto $r$, então $k ^ 3 = qn + r (0≤r≤n-1)$ Quando $n$ e $k$ são coprimos, $n$ e $k ^ 3$ também são coprimos. Portanto, $r≠0$, então $1≤r≤n-1$ Dividindo ambos os lados de (1) por $n$ obtemos $\\frac{k ^ 3}{n} = q + \\frac{r}{n}$ De $1≤r≤n-1$, sabemos que $\\frac{1}{n}≤\\frac{r}{n}≤1-\\frac{1}{n}$ Portanto, 0 < $\\frac{r}{n}$ < 1, assim $\\left[\\frac{k ^ 3}{n}\\right] = \\left[q + \\frac{r}{n}\\right] = q$'

'(2) Prove que para todos os k, k^m - k é divisível por d_m. [1] Quando k=1, 1^m - 1 = 0 e d_m ≠ 0, então 0 é divisível por d_m. Portanto, (1) é válido. [2] Supondo que (1) é válido para k=l, ou seja, l^m - l é divisível por d_m. Ao considerar k=l+1, (l+1)^m - (l+1) ={m C_0 l^m + m C_1 l^(m-1) + m C_2 l^(m-2) + ... + m C_m - (l+1)} = {l^m - l} + {m C_1 l^(m-1) + m C_2 l^(m-2) + ... + m C_m-1 l} A partir da suposição, l^m - l é divisível por d_m. Além disso, d_m é o máximo divisor comum de {m C_1, m C_2, ..., m C_(m-1)}, portanto esses termos também são divisíveis por d_m. Portanto, (l+1)^m - (l+1) é divisível por d_m. Portanto, quando k=l+1, (1) também é válido. A partir de [1], [2], pode-se concluir que (1) é válido para todos os números naturais k.'

'Prove o seguinte quando p é um número primo:\n(1) Para números naturais k que satisfazem 1 ≤ k ≤ p-1, p_kC_k é múltiplo de p.\n(2) 2^p-2 é múltiplo de força.\n[Universidade de Tohoku Gakuin]'

"Vamos definir uma palavra de comprimento n como três letras (a, b, c) dispostas horizontalmente n vezes. Aqui, n=1,2,3, … etc. Por exemplo, abbaca e caab são ambas palavras diferentes de comprimento 4. Entre essas palavras de comprimento n, vamos considerar aquelas que contêm um número ímpar de a's como xn, e as restantes como yn. Encontre os valores de xn e yn."

'No exercício 55 (1) [1], quando m=2, d_2 é o maior número natural que divide o coeficiente binomial {2 C_1} = 2, então d_2=2, e d_m=m é verdadeiro. [2] Quando m é um número primo maior ou igual a 3, {m C_1} = m, portanto é suficiente mostrar que {m C_2, m C_3, ..., m C_m - 1} são múltiplos de m. Para k=2,3,…,m-1, {m C_k} = (m!) / (k!(m-k)!) = (m/k) * ((m-1)! / (k-1)!(m-k)!) = (m/k) * {m-1 C_k-1}, assim, k * {m C_k} = m * {m-1 C_k-1}. Como m é um número primo maior ou igual a 3, e 2 ≤ k ≤ m-1, k e m são primos entre si. Portanto, {m C_k} é um múltiplo de m. Portanto, d_m=m é verdadeiro. A partir de [1], [2], se m é um número primo, então d_m=m.'

'Exercício Integrado'

'(3) \ m, n \ são números naturais, e \ p \ é um número primo, então, \ m, n, p \ são números reais não nulos. Portanto, a partir de (1), temos \ \\frac{1}{m} + \\frac{1}{n} = \\frac{1}{p} \. Além disso, na equação \ a^{m} = b^{n} \, onde \ 1 < a < b \, temos\ a^{m} = b^{n} > a^{n} \\text { o que implica } a^{m} > a^{n} \\\\\\\A base \ a \ é maior que 1, então \ m > n \. Assim, a partir de (2), obtemos \ m = p^{2} + p, n = p + 1 \, e portanto\\[ a^{p^{2} + p} = b^{p + 1} = (a b)^{p} \\]\\\\'

'Seja α, β as soluções de (1), e seja f(x)=x^2+2ax+a-1. A condição para α, β estarem entre as duas soluções de (2) é que, sob as condições de (3), f(α)<0 e f(β)<0.'

'Quando os números reais não nulos $x, y, z$ satisfazem $3^{x}=2^{y}=5^{z}=(\x0crac{6}{5})^{7}$, encontre o valor de $\x0crac{1}{x}+\x0crac{1}{y}-\x0crac{1}{z}$.'

'Suponha que os inteiros a e b não são múltiplos de 3, e seja f(x) = 2x^3 + a^2x^2 + 2b^2x + 1. Prove que não existe um inteiro x que satisfaça f(x) = 0.'

'Dado que $4^{x}=6^{y}=24$, encontre o valor de $\\frac{1}{x}+\\frac{1}{y}$.'

'Vamos refletir sobre as raízes repetidas! Em matemática, raízes repetidas referem-se ao caso em que b^2-4ac=0 na equação quadrática ax^2+bx+c=0. Na fórmula para encontrar as raízes de uma equação quadrática, x=-b±√(b^2-4ac)/(2a), quando b^2-4ac=0, tanto √(b^2-4ac) quanto -√(b^2-4ac) são 0, resultando na raiz x=-b/(2a).'

'Mais de 10723 peças'

'Seja n um número natural maior ou igual a 3, prove a desigualdade 4^{n}>8 n+1 (A).'

'Qual dos seguintes é um fator do polinômio 2x^3+5x^2-23x+10?'

'A condição necessária e suficiente para a existência de números reais x, y que satisfazem as equações x² - xy + y² = k e x + y = 1 é k ≥ 0.'

'Como encontrar os valores de k para os quais P(k) = 0'

'Básico 57: Encontrar coeficientes a partir de condições de divisibilidade'

'Expresse o tamanho dos seguintes conjuntos de números em ordem usando símbolos de desigualdade.'

'Se você depositar 1 milhão de ienes com uma taxa de juros anual de 1% com juros compostos anualmente, em quantos anos o valor total do principal e dos juros excederá pela primeira vez 1,1 milhão de ienes? Você pode usar uma tabela de logaritmos comuns.'

'Exame de Matemática da Escola Secundária Makuhari do Instituto de Educação de Shibuya de 2020'

'Organize inteiros maiores que 1 que não são números quadrados nem números cúbicos em ordem crescente. 2,3,5,6,7,10,11, \\cdots \\cdots Qual é o 2020º inteiro quando contado a partir do menor?'

'(4) Quando o comprimento do lado do quadrado preto está entre 1 cm e 100 cm, o número de quadrados brancos é no mínimo 8 ((1+1) x 4 = 8) e no máximo 404 ((100+1) x 4 = 404). Um número que não pode ser expresso como a soma de inteiros consecutivos, além de 1, é um inteiro que não possui divisores ímpares. Esse tipo de número pode ser expresso como um produto de primos, como 2 x ・・・ x 2. Portanto, dentro do intervalo mencionado, existem 8 (peças), 16 (peças), 32 (peças), 64 (peças), 128 (peças) e 256 (peças), com os comprimentos laterais correspondentes dos quadrados pretos sendo 1 cm, 3 cm, 7 cm, 15 cm, 31 cm e 63 cm, respectivamente.'

"Qual o significado de '百八の煩脳'?"

'O embaixador é bem recebido todas as vezes que visitou o primeiro-ministro.'

'cada 6 pontos × 2'

'(2) Quando 3240 é expresso como um produto de números primos, 3240 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5.'

'Organize os inteiros maiores que 1 que não são quadrados perfeitos em ordem crescente, como 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, ... Qual é o 300º inteiro ao contar do menor?'

None

'(1) Prove que a desigualdade $2^{n}>\x0crac{1}{6} n^{3}$ é verdadeira usando o teorema do binômio. (2) Encontre o valor de $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{n^{2}}{2^{n}}$.'

'Linha de referência linha composta'

'Prove que para dois inteiros a e b, se a+b e ab são coprimos, então a e b também são coprimos.'

'Encontre o número de números naturais menores ou iguais a 56 que são primos entre si em relação a 56.'

'Sejam a e b números naturais, onde a + b = p + 4 e ab^{2} = q. Encontre os números primos p e q que satisfaçam essas condições.'

'Prove que entre quaisquer 26 inteiros distintos escolhidos de 1 a 50, deve haver um par de números cuja soma seja 51.'

'Prove que n^{2}+1 é múltiplo de 5 se e somente se o resto da divisão de n por 5 for 2 ou 3.'

'Sobre os divisores positivos de PR 3500'

'Um número primo é um número natural maior que 1, não tendo divisores positivos além de 1 e ele mesmo, enquanto um número que não é primo é chamado de número composto. Por exemplo, 2, 3, 5, 7, 11, etc., são números primos, enquanto 4, 6, 8, 9, etc., são números compostos.'

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'Sob as condições dadas, quando p=3k+2, o número natural p que faz com que p, 2p+1 e 4p+1 sejam todos números primos é p=3. Para números primos p maiores ou iguais a 5, é evidente que ou 2p+1 ou 4p+1 será um múltiplo de 3.'

'Determine a verdade ou falsidade das seguintes proposições:\n(2) Os divisores positivos de 28 são 1, 2, 4, 7, 14 e 28, totalizando 6 divisores. Portanto, esta é uma proposição verdadeira.\n(3) Quando n=36, n é múltiplo de 4 e 6, mas não de 24. Portanto, esta é uma proposição falsa (com n=36 como contraexemplo).'

'Utilizando as propriedades dos números primos'

'Prova sobre números primos relativos'

'Prove que o produto de inteiros consecutivos é um múltiplo de 2.'

'Estou confuso sobre como abordar problemas de números primos. A definição de números primos, "Inteiros maiores que 2 que não possuem divisores positivos além de 1 e eles mesmos", é simples. A chave está em como usar essa definição de forma eficaz. Primeiramente, vamos entender as seguintes propriedades (1) e (2): (1) Os divisores de um número primo p são ±1 e ±p (há 2 divisores positivos: 1 e p), (2) Números primos são maiores que 2, e o único número primo par é 2. Além disso, todos os números primos maiores que 3 são ímpares. Ao usar a propriedade que "os divisores do número primo p são ±1 e ±p", podemos considerar quatro casos (A) a (D) quando (n-3)(n-9) é um número primo p. Preste atenção na relação n-9<n-3 e 1<p,-p<-1, onde apenas (B) n-9=1 e (C) n-3=-1 são possíveis. Especialmente, tenha cuidado com erros como n-9=-1 em casos negativos.'

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'Encontre o menor inteiro positivo cujo número de divisores positivos é 28.'

'(1) {2,4,5,7,9}\n(2) {2,3,5}'

'Número de números naturais coprimos'

'Encontre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de 72 e 120.\nDivida pelos fatores primos comuns entre os 12 números.\nPor exemplo, continue dividindo por 2.\n2) 72 \t 120\n2) 36 \t 60\n2) 18 \t 30\nCalcule o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum.'

'Encontre todos os números naturais p, de modo que os três números p, 2p+1, 4p+1 sejam todos primos.'

'Sejam p e q números primos com p<q. Além disso, sejam m e n inteiros positivos de modo que m≥3 e n≥2. Suponha que entre os inteiros de 1 a p^m * q^n, o número de inteiros que são múltiplos de p ou q é 240. Encontre o conjunto de (p, q, m, n) que satisfaça essas condições.'

'Exemplo Básico 106 Número de Divisores Positivos\n(1) Encontre o número de divisores positivos de 630.\n(2) Se um número natural N é decomposto em fatores primos, onde os fatores primos incluem p e 7, e não há outros fatores primos. Além disso, N tem 6 divisores positivos, e a soma dos divisores positivos é 104. Encontre os valores do fator primo p e do número natural N.'

'Números perfeitos e números primos'

'(2) Suponha que a seja um inteiro positivo, e que p = a^2 + 1 seja um número primo. Então, n^2 + 1 é múltiplo de p se e somente se o resto da divisão de n por p for a ou p - a.'

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'Prove que para dois inteiros primos entre si a e b, a+b e ab também são primos entre si.'

'Encontre o maior divisor comum e o menor múltiplo comum de 2 inteiros ou 3 inteiros usando a fatorização em números primos.\n(1) 168, 378\n(2) 65,156,234'

None

'Encontre o número de números naturais menores que 432 que são coprimos de 432.'

'(2) Prove que se um número natural P não é divisível por 2 ou 3, então P^2-1 é divisível por 24.'

'Encontre o número de números naturais menores que 735 que são primos entre si.'

'Para encontrar o resto quando 13 elevado à 15 é dividido por 5.'

'Seja a e b números naturais. Prove que se ab é um múltiplo de 3, então ou a ou b é um múltiplo de 3.'

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'Pinte na ordem de D → A → B → C → E. Existem 6 maneiras de pintar D → A → B (3!). Para cada uma dessas, há 1 maneira de pintar C e 1 maneira de pintar E. Portanto, o número total de maneiras de pintar é 6 × 1 × 1 = 6.'

'Encontre o número de divisores positivos do inteiro positivo 756.'

'O problema (2) decompõe o número natural N em fatores primos, onde os fatores primos são p e 5, e não existem outros fatores primos. Além disso, N tem 8 divisores positivos, e a soma dos divisores positivos é 90. Encontre os valores do fator primo p e do número natural N.'

'Condição para os três números serem primos'

'Quando a fatoração em números primos de um número natural N é N=p^a * q^b * r^c ......, o número de divisores positivos de N é (a+1)(b+1)(c+1) ......'

'Há um enigma para adivinhar a idade: Minha idade tem resto 1 ao ser dividida por 3, resto 4 ao ser dividida por 5 e resto 1 ao ser dividida por 7. Por favor, adivinhe minha idade. É inferior a 105 anos.'

'Prove que o produto de quatro inteiros consecutivos n(n+1)(n+2)(n+3) é um múltiplo de 24.'

'Permutação'

'Prove que 2n-1 e 2n+1 são primos entre si para qualquer número natural n.'

'Prove que quando um número natural P não é divisível por 2 ou 3, então P^2-1 é divisível por 24.'

'73 omissão'

'Prove a condição para que os três números sejam primos'

'Princípio dos pombos (método de designação de quartos)'

'Seja n um número natural. Encontre todos os valores de n que façam com que as seguintes expressões sejam primas:\n(A) n^2 - 2n - 24\n(B) n^2 - 16n + 28'

'Quais são os desafios em descobrir números primos grandes?'

'Encontre o menor número natural n tal que √(378n) se torne um número natural.'

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'Quando um inteiro pode ser expresso como o produto de vários inteiros, cada inteiro no produto é chamado de fator do inteiro original. Fatores que são números primos são chamados de fatores primos, e expressar um número natural na forma de um produto contendo apenas números primos é chamado de fatoração prima.'

'Números primos gêmeos e triplos'

'Encontre o menor número inteiro positivo para o qual o número de divisores positivos é 28.'

'Como encontrar números primos (Crisântemo de Eratóstenes)\nSe um número natural n não é divisível por todos os números primos menores ou iguais à sua raiz quadrada, então n é um número primo.\nUsando essa regra, considere um método para encontrar todos os números primos menores ou iguais a 50.'

'Número de divisores e soma'

'Fatorização'

'Vamos revisar o básico da fatoração!'

'Fundamentos 11: Fatoração pela extração de fatores comuns'

'(1) Prove que o produto de dois inteiros consecutivos é um múltiplo de 2.'

'Quando dois inteiros a e b não têm fatores primos em comum, o máximo divisor comum deles é 1. Se o máximo divisor comum de dois inteiros a e b for 1, então a e b são considerados primos entre si.'

'14 (1) 144 maneiras\n(2) 720 maneiras\n(3) 1440 maneiras'

'Vamos resumir as etapas básicas da fatoração em números primos. Para aplicar as fórmulas para fatoração em números primos:'

'Ao lançar um dado duas vezes, de quantas maneiras diferentes o produto dos resultados pode ser um múltiplo de 12?'

'A partir de a≥1 e b≥1, temos que a+b>a+b-1≥1. Além disso, como a+b-1 é um número primo, temos a+b-1=1. Portanto, a+b=p. Como a≥1 e b≥1, temos a=1 e b=1. Assim, a partir de (2), obtemos p=2, que é um número primo. Portanto, os valores de a e b que tornam p um número primo são a=1 e b=1.'

'Qual é o resultado do cálculo de 60!, quantas vezes no máximo pode ser dividido por 3? 98\nAo calcular 50!, quantos zeros consecutivos aparecerão no final?'

'(1) Prova: Assumindo que o inteiro n não é um múltiplo de 3, então n pode ser representado como 3k±1 (k é um inteiro). Assim, n^2-1 = (3k±1)^2-1 = 9k^2±6k+1-1 = 9k^2±6k = 3(3k^2±2k), que deve ser um múltiplo de 3.'

'Agrupe os fatores comuns e faça a fatoração.'

'95 (1) n=21 (2) n=30,270'

'Encontre o máximo divisor comum dos seguintes pares de inteiros usando o algoritmo euclidiano: (1) 221, 91 (2) 418, 247 (3) 1501, 899'

'Encontre todos os valores de p para os quais 51, 2p+1 e 4p+1 são números primos. Verifique se 2p+1 e 4p+1 são primos quando p é um número primo.'

'Prove que para dois números naturais a e b, se a e b são coprimos, então a+b e ab também são coprimos.'

'Prove que para quaisquer números naturais a e k, a e ka+1 são primos entre si.'

None

'Que tipo de problemas são bons para resolver após resolver exemplos básicos e padrão?'

'Por favor, responda às seguintes perguntas: (1) Calcule o resultado de 60!, e determine quantas vezes ele pode ser dividido por 3. (2) Calcule 50!, e determine quantos zeros consecutivos aparecem no final.'

'Prove o seguinte para números naturais a, b:\n(1) Se a e b são primos entre si, então a^2 e b^2 são primos entre si.\n(2) Se a+b e ab são primos entre si, então a e b são primos entre si.'

'Prove que, para qualquer número natural n maior ou igual a 2, n^4+4 não é um número primo.'

'Use os símbolos $\\subset ,=$ para descrever a relação entre os dois conjuntos $A, B$. A=\\{n \\mid n é um número primo menor ou igual a 7 \\}, \\quad B=\\{2n-1 \\mid n=2,3,4\\}'

'Para as seguintes perguntas matemáticas: (1) Usando o quociente de dividir 10 por 2, dividir 4 por 2 e dividir 2 por 2, com o método de contar o número de múltiplos de 2, qual é o número máximo de vezes que 10! pode ser dividido por 2? (2) Usando o quociente de dividir 10 por 5, calcule 10! e determine quantos zeros consecutivos aparecem no final?'

'(1) Encontre o número de divisores positivos de 720.\n\n(2) Decomponha um número natural N em fatores primos, onde os fatores primos são 2 e 3, sem nenhum outro fator primo. Além disso, sabe-se que N tem exatamente 10 divisores positivos. Encontre todos os números naturais N que atendam a essas condições.'

'Um número primo é um número natural maior do que 1 que não tem divisores positivos além de 1 e ele mesmo. Um número composto é um número natural maior do que 2 que não é um número primo.'

'Quantas strings podem ser formadas usando todas as 8 letras de TANABATA?'

'Questão A (2) Encontre dois números naturais representados como 6m e 6n, onde m e n são números naturais primos entre si. Como 6m>6 e 6n>6, temos que m>1 e n>1. Dado que 4536=6m·6n, obtemos mn=126. Como mn não é um quadrado perfeito, m não pode ser igual a n, assim 1<m<n. Ao resolver pares de m e n que satisfazem essa condição, obtemos (m, n) = (2,63), (3,42), (6,21), (7,18), (9,14). Entre esses pares, os primos entre si são (2,63), (7,18), (9,14). Portanto, os dois números naturais requeridos são 12,378 ou 42,108 ou 54,84.'

'Como converter o número binário 101 para decimal?'

"Quando as 8 letras da palavra 'adicion' são dispostas horizontalmente em uma única linha, quantas maneiras possíveis existem para organizá-las?"

'Domine o método de determinar múltiplos e conquiste o exemplo 85!'

'Encontre o menor número natural que tenha 8 divisores positivos.'

'TREINAMENTO 99 (1) Seja n um número natural. Encontre todos os valores de n para os quais as seguintes expressões resultam em um número primo. (a) n^{2}+6 n-27 (b) n^{2}-16 n+39 (2) Sejam a, b números naturais, e seja p=a^{2}-a+2 a b+b^{2}-b. Encontre todos os valores de a, b para os quais p é um número primo.'

'(1) Quantos números naturais N existem que possuem 3 dígitos quando representados na base-5?'

'Encontre o menor número natural com 4 divisores positivos.'

'Resposta: Seção de matemática 50 omitida 51 (1) {1,2,3,4,5,6,7,9,12,18} (2) {1,2,3,6}'

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'Encontre todos os valores de p para os quais p, 2p+1 e 4p+1 são todos números primos.'

'Permutação com ordem determinada. Permutação padrão de 20 com ordem determinada.'

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'Prove que a e k a+1 são primos entre si quando a e k são números naturais.'

'Quando dividimos o Exemplo 83 em valores máximos e mínimos, obtemos os seguintes resultados.'

'Problema de encontrar soluções inteiras para uma equação diofantina linear (3) (usando o algoritmo de Euclides).'

'Vamos rever como encontrar soluções inteiras para equações diofantinas lineares! Quando não são facilmente encontradas soluções inteiras, é possível usar o método das divisões sucessivas. Ao retroceder os cálculos do método de divisões sucessivas em ordem inversa, é possível encontrar soluções inteiras.'

'Supondo que a e b não são primos entre si, ou seja, a e b têm um fator primo comum p, então a=pk, b=pl (k, l são números naturais).'

'Ao lançar dois dados ao mesmo tempo, de quantas maneiras o número 1 não pode aparecer em nenhum dos dados?'

'Existe um ponto P no eixo x. Quando um dado de seis lados é lançado e aparece um múltiplo de 6, P avança 1 unidade na direção positiva do eixo x, e quando não é um múltiplo de 6, P avança 2 unidades na direção negativa do eixo x. Quando o dado é lançado 4 vezes, a probabilidade de o ponto P, partindo da origem, estar no ponto x=-2 é A, e a probabilidade de estar na origem é B.'

'Encontre o número de divisores positivos e a soma deles de 648.'

'Encontre o maior número natural de três dígitos que deixa um resto de 5 quando dividido por 14 e um resto de 7 quando dividido por 9.'

'Encontre o valor máximo de n para as crianças de EX e os valores correspondentes de a, b'

'O método de fatoração'

'Algoritmo de Euclides\nPara números naturais a e b, se a for dividido por b e o resto for r, o máximo divisor comum de a e b é igual ao máximo divisor comum entre b e r.\nAo utilizar este método repetidamente, podemos encontrar o máximo divisor comum de dois números naturais. Este método é conhecido como o algoritmo de Euclides ou simplesmente algoritmo de divisão.\nPor exemplo, para encontrar o máximo divisor comum entre 319 e 143\nObservando a divisão de 319 por 143 resultando na equação 319=143*2+33, de acordo com o teorema, ao invés de encontrar o máximo divisor comum entre 319 e 143, podemos encontrar o máximo divisor comum entre o divisor 143 e o resto 33. Continuando esta operação, os restos diminuirão. Além disso, como o resto é maior ou igual a 0, eventualmente o resto se tornará 0. Quando o resto se torna 0, o divisor nessa etapa é o máximo divisor comum desejado.'

'Matemática A\nTR\n(1) Usando equações de congruência, encontre o seguinte:\nEncontre o resto da divisão de 12^{1000} por 11\nEncontre o dígito da unidade de 13^{81}\n(2) Prove usando equações de congruência que se os inteiros a, b, c satisfazem a^2+b^2=c^2, então pelo menos um de a e b é múltiplo de 3.'

'Divida 5390 por um número natural n de modo que o resto seja 0 e o quociente seja o quadrado de um número natural. Encontre o valor mínimo de n que satisfaça essa condição.'

'Usando congruências, encontre o seguinte:'

'Encontre o menor número natural que tem 8 divisores positivos.'

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'Fatorize o número natural N, onde os fatores primos são 3 e 5, e não existem outros fatores primos. Além disso, N tem exatamente 6 divisores positivos. Encontre todos os números naturais N que satisfaçam essas condições.'

'Explique o método de contraposição para a demonstração e prove a seguinte proposição T usando a contrapositiva:'

'Encontre o número de divisores de 10000.'

'Encontre o número de divisores de 10000.'

'Seja a e b números naturais. Prove o seguinte: (1) Se a e b são primos entre si, então a^{2} e b^{2} são primos entre si. (2) Se a+b e ab são primos entre si, então a e b são primos entre si.'

'Prove que para qualquer número natural a, a e a+1 são primos entre si.'

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'Multiplique 150 por um número natural de dois dígitos n para que seja o quadrado de um certo número natural. Encontre o valor máximo de n que satisfa esta condição.'

'Ao lançar três dados ao mesmo tempo, quantas formas existem para que todos os três dados mostrem números ímpares?'

'(1) \\\\\\ (72^{\\circ} \\\\\\\\\n(2) \\\\\\\n(\\frac{\\sqrt{5}-1}{2} \\\\\\\\\n(3) \\\\\\\n(\\frac{\\sqrt{5}+1}{4}'

'Encontre o número de elementos nos seguintes conjuntos dentro dos números naturais menores que 500:\n(1) Conjunto de números divisíveis por 3\n(2) Conjunto de números divisíveis por 3, 5 e 7\n(3) Conjunto de números divisíveis por 3 mas não por 5\n(4) Conjunto de números não divisíveis por 3 nem por 5\n(5) Conjunto de números divisíveis por 3 mas não por 5 ou 7'

'(1) Encontre o número de divisores positivos de 1800.\n\n(2) Quando um número natural N é decomposto em fatores primos, seus fatores primos são 3 e 5, sem outros fatores primos. Além disso, N tem exatamente 6 divisores positivos. Encontre todos os números naturais N.'

'Quando os números reais não nulos x, y, z satisfazem 2^{x}=5^{y}=10^{\x0crac{z}{2}}, encontre o valor de \x0crac{1}{x}+\x0crac{1}{y}-\x0crac{2}{z}.'

'Determine o número de soluções reais distintas da equação x^3-3x^2-9x+k=0.'

'Seja \ \\omega \ uma das soluções imaginárias da equação \ x^{3}=1 \. Então, \ \\frac{1}{\\omega}+\\frac{1}{\\omega^{2}}+1=\\square, \\omega^{100}+\\omega^{50}=\\square \.'

'Encontre o termo geral da sequência 1, 17, 35, 57, 87, 133, 211, ...'

'Se os números reais não nulos x, y, z satisfizerem 2^{x}=5^{y}=10^{\x0crac{z}{2}}, encontre o valor de \x0crac{1}{x}+\x0crac{1}{y}-\x0crac{2}{z}.'

'Encontre o valor de p quando a soma de frações irredutíveis com números primos como denominadores entre 1 e 10 é 198.'

'Usando o teorema binomial, encontre os seguintes valores:'

'3. \ { }_{n} \\mathrm{C}_{0}+{ }_{n} \\mathrm{C}_{1}+{ }_{n} \\mathrm{C}_{2}+\\cdots \\cdots+{ }_{n} \\mathrm{C}_{n}=2^{n} \'

'Considere todos os números inteiros de 1 a 300.'

'Considere a sequência $a_{1}=1, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$, encontre o termo geral desta sequência.'

''

'Existem exatamente dois números complexos z=x+yi (onde x, y são números reais) tais que o quadrado de z é igual a 8i. Encontre esses z.'

'Supondo que é uma progressão geométrica, a razão comum é \\frac{6}{3}=2. Se o enésimo termo for 1500, então 3* 2^{n-1}=1500. Portanto, 2^{n-1}=500, 500=2^{2}* 5^{3}, logo não existe um número natural n que satisfaça esta equação. Assim, não pode ser uma progressão geométrica.'

'Prove que para todos os inteiros positivos n, 3^(3n-2)+5^(3n-1) é um múltiplo de 7.'

'Prove que, para todos os inteiros positivos n, 3^{3n-2} + 5^{3n-1} é múltiplo de 7.'

''

'Seja k um inteiro positivo. Encontre todos os valores de k para os quais há exatamente um inteiro n satisfazendo 5n^{2}-2kn+1<0.'

'Selecione as opções corretas de A a E abaixo.'

'Para as duas equações $x^{2}-x+a=0, x^{2}+2ax-3a+4=0$, determine o intervalo de valores para a constante $a$ de forma que as seguintes condições sejam atendidas:\n(1) Ambas as equações possuam soluções reais\n(2) Pelo menos uma delas não possua soluções reais\n(3) Apenas uma delas possua soluções reais'

'Expressar os símbolos e formas de representação do conjunto 44.'

'130 (1) (2) (2) (4) (6) (7) (9) (3) (10) (12)'

'Encontre os valores máximo e mínimo de 2x+y quando os números reais x e y satisfazem x²+y²=2. Além disso, determine os valores de x e y nesse momento.'

'Símbolo gaussiano e gráfico (símbolo gaussiano)'

'180 (1), (3)'

'Encontre o intervalo de valores para a constante k para que a equação quadrática x² + (2k-1)x + (k-1)(k+3) = 0 tenha raízes reais.'

'Entre três números naturais consecutivos, o quadrado do menor número é igual à soma dos outros dois números. Encontre esses três números.'

'(1) Como o significado de "grande" não está claro, não é possível determinar se é verdadeiro ou falso. Portanto, não é uma proposição.'

'Encontre o intervalo de valores para a constante $a$ de modo que a equação quadrática $x^{2}+(a-3)x-a+6=0$ não tenha soluções reais.'

'Encontre o número de pontos de interseção entre a parábola y = 2x^2 + 3x - a + 1 e o eixo x usando a constante a.'

'Fatoração de 2'

''

'Encontre as soluções para as desigualdades quadráticas fatoradas. Encontre as soluções para as seguintes desigualdades.'

'Por favor, prove que a expressão $(a-b)(b-c)(c-a)$ tem fatores.'

'Encontre uma condição para ter uma solução maior que p e uma solução menor que p.'

'(1) {2,4,5,7,9}\n(2) {2,3,5}'

'Tradução de 17 (3) 1'

'11 (3) 0'

'Quando $k=-\x0crac{1}{2}$'

'Soma de séries infinitas usando a relação de recorrência'

'Prove que \\((k+1)!\\)^{2} = \\((k+1) \\cdot k!\\)^{2} = (k+1)^{2} \\cdot (k!)^{2} \\geqq (k+1)^{2}(k+1)^{k-1} = (k+1)^{k+1} \\).'

'Em ordem, é 10 (1) 2 (2);'

'(2) Seja l e k números naturais coprimos. Prove que os números complexos z^l, z^2l, z^3l, ..., z^kl são todos distintos.'

''

'Matemática'

'Derivando da condição de que C ganhe a competição, obtemos $\\frac{2 p^{2}}{p^{2}-p+2} \\geqq \\frac{1}{3}$. Uma vez que $p^{2}-p+2=\\left(p-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\frac{7}{4}>0$, simplificando o denominador chegamos a $5 p^{2}+p-2 \\geqq 0$. Resolvendo essa desigualdade, obtemos $p \\leqq \\frac{-1-\\sqrt{41}}{10}, \\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq p$. Observamos que $\\frac{-1-\\sqrt{41}}{10}<0$, e como $6<\\sqrt{41}<7$ implica que $\\frac{1}{2}<\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10}<\\frac{3}{5}$. Portanto, com $0<p<1$, temos $\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq p<1$. Em seguida, encontramos o número natural $n$ que satisfaz a condição $\\frac{n-1}{100}<\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq \\frac{n}{100} \\cdots$ (1). Resolvendo, obtemos $54<-10+\\sqrt{4100}<55$. Como $n$ aumenta monotonamente, o menor $n$ que satisfaz (1) é $55$. Portanto, o valor mínimo do $N$ requerido é 55.'

'No caso de polinômios, também podemos usar a fatorização para encontrar o maior divisor comum e o menor múltiplo comum, similar ao caso dos inteiros.'

'Quando dedilhada, uma corda com metade do comprimento produz um som uma oitava acima. Aqui, a relação de comprimentos de cordas entre o Dó e o Dó da oitava superior é dividida em 12 partes iguais, formando assim a escala temperada de 12 tons. Esta é uma escala comumente usada.'

'Encontre o resto da divisão de 29^51 por 900.'

'Quando os números reais positivos x, y satisfazem 9x ^2 + 16y ^2 = 144, o valor máximo de xy é √.'

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'Encontre o polinômio x de modo que ao dividir por x^2+1, o resto seja 3x+2, e ao dividir por x^2+x+1, o resto seja 2x+3, com o grau mínimo de x sendo 48.'

'Encontre todos os números inteiros positivos n para os quais n^{n}+1 é divisível por 3.'

'Determine os valores das constantes a e b de forma que f(x)=a x^{n+1}+b x^{n}+1 seja divisível por (x-1)^{2}, onde n é um número natural.'

'91 (1) 4 peças'

'Teorema do Resto e Teorema do Fator'

'169 (3) 2'

''

'Seja \ p \ um número primo, e seja um inteiro \ r \ que satisfaz \ 1 \\leqq r \\leqq p-1 \. Mostre que \ p_r \ é divisível por \ p \.'

'Se a, b são números primos e a equação quadrática 3 x^{2}-12 a x+a b=0 tem duas soluções inteiras, encontre os valores de a, b e as soluções inteiras.'

'(2) \ \\sqrt{d}=\\sqrt{a b^{2} c^{3}}=b c \\sqrt{a c} \ A condição para \ \\sqrt{d} \ ser um número inteiro é que o produto de \a c\ deve ser um quadrado perfeito. Entre os números naturais \\(a, c(a>c>1)\\) mais pequenos temos \ a=2^{3}, c=2 \ Escolhendo \b=3\ temos \d=2^{3} \\cdot 3^{2} \\cdot 2^{3}=576\.'

'Se o resto da divisão de P(x) por (x-1)^{2} for uma constante, encontre o resto ao dividir P(x) por (x-1)^{2}(x+1).'

'1042'

'Em um quadrado no plano complexo, se um par de vértices adjacentes são o ponto 1 e o ponto 3+3i, encontre os números complexos que representam os outros dois vértices.'

''

'119 (1) 3'

''

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

None

'Prove que para todos os números naturais n, 2^n > n.'

'Condições reais e imaginárias puras do número complexo z\nSeja z=a+bi (a, b são números reais)\n• z é real ⇔ z=̄z\nComo ̄z=z é verdadeiro, a-bi=a+bi, o que implica -b=b, então b=0, assim z=a, e z é real.\nConsiderando isso no plano complexo, o ponto z e o ponto ̄z são dois pontos simétricos em relação ao eixo real, esses dois pontos coincidem apenas no eixo real, portanto z é real.\n• z é imaginário puro ⇔ ̄z=-z e z≠0\nComo ̄z=-z e z≠0 é verdadeiro, a-bi=-a-bi, implicando a=-a, então a=0, assim z=bi, e como z≠0, então b≠0, assim z é imaginário puro.\nConsiderando isso no plano complexo, o ponto ̄z e o ponto -z são dois pontos simétricos em relação ao eixo imaginário, esses dois pontos coincidem apenas no eixo imaginário, exceto a origem O, todos os outros pontos são imaginários puros, assim z é imaginário puro.'

'81 \\sqrt{5}-1'

''

'101 (2) 4'

''

'Prove que, para números naturais n, k satisfazendo 2 ≤ k ≤ n-2, o coeficiente binomial C(n, k) > n.'

'Usando a peneira de Eratóstenes, prove que existem mais de 750 inteiros não primos abaixo de 1000.'

''

'O valor máximo de n é obtido calculando a quantidade de zeros no final de 50!, que é igual ao número de fator primo 5 quando 50! é fatorado. Entre os números naturais de 1 a 50, a quantidade de múltiplos de 5 é 10 (a quantidade de múltiplos de 5^2 é 2, pois 50 dividido por 5^2 é 2). Como não há múltiplos de 5^n (n ≥ 3), o número de fator primo 5 é 10 + 2 = 12. Portanto, o valor máximo de n a ser encontrado é 12.'

'Prove que, para qualquer número natural n, f(n) = 5^{3n} + 5^{2n} + 5^n + 1. Quando n não é um múltiplo de 4, f(n) é um múltiplo de 13.'

'Descreva os passos do algoritmo de Euclides e forneça um exemplo específico, por favor.'

'Se a e b são primos entre si, e a k é múltiplo de b, então k é também um múltiplo de b.'

'Para um número primo p, encontrar o valor mínimo de p de forma que n = p^14 e n ≥ 1900.'

'Prove que, para qualquer número natural n, n^5 - n é um múltiplo de 15.'

'Sobre o produto de inteiros consecutivos.'

'Exercício 6 III-> Livro p .59 \\[ x = \\sqrt{12 + 2 \\sqrt{35}} = \\sqrt{(7 + 5) + 2 \\sqrt{7 \\cdot 5}} = \\sqrt{7} + \\sqrt{5} \\\\\\ y = \\sqrt{12 - 2 \\sqrt{35}} = \\sqrt{(7 + 5) - 2 \\sqrt{7 \\cdot 5}} = \\sqrt{7} - \\sqrt{5} \\\\\\ \\sqrt{\\frac{x}{y}} = \\sqrt{\\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{7} - \\sqrt{5}}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{(\\sqrt{7} - \\sqrt{5})(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{7 - 5}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{2}} = \\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{2}} = \\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5}) \\sqrt{2}}{(\\sqrt{2})^{2}} = \\frac{\\sqrt{14} + \\sqrt{10}}{2} \\]'

'Os números naturais maiores que 2 podem ser decompostos em fatores primos.'

'Exemplo 75 | Uso da fatorização de números primos'

'Seja p um número primo. Encontre todos os pares de números naturais (n, k) que satisfaçam k ≤ n e tal que o coeficiente binomial C(n, k) = p.'

'Encontre todos os trios de números primos (a, b, c) onde 40-a-8 e b-c-8 são primos.'

'Números maiores que 125 e múltiplos de 5 incluem 150, 155, 160, 165, 130, etc. Ao decompor 165! em fatores primos, quantas vezes o fator primo 5 aparece?'

'Quantos números naturais de 1 a 100 são divisíveis por 2, 3 e 5? Quantos números naturais são divisíveis por 2, 3 ou 5? Quantos números são divisíveis por 2 mas não por 3 ou 5?'

'(2) Provar que existem números não primos entre os valores de a, b, c.'

'Por favor, resolva o problema sobre a notação gaussiana e as desigualdades quadráticas.'

'Encontre os valores do número natural n para os quais tanto n quanto n^{2}+2 são números primos.'

"Forneça exemplos de números compostos para os quais a afirmação inversa do Pequeno Teorema de Fermat 'Se o inteiro coprimo a não satisfaz a^{p-1} ≡ 1 (mod p), então p não é um primo (mas sim um composto)' seja verdadeira: 9, 35."

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'Encontre os divisores dos seguintes números. (1) 36 (2) 14 (3) 12345 é múltiplo de 3 ou 9? (4) 91 e 144 são primos entre si?'

'Encontre todos os números ímpares a maiores que 423 e menores que 9999 para os quais (a^2 - a) é divisível por 10000.'

'Prove que números compostos sempre têm números primos como fatores.'

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'Em (3) (2), se removermos a distinção entre A, B e C, então as mesmas coisas podem ser combinadas de 3! maneiras cada, então 1680 ÷ 3! = 1680 ÷ 6 = 280 (formas)'

'Um número primo p satisfaz a condição: m² - n² = p. Prove que existe um par único de números naturais (m, n) que satisfazem essa condição.'

'Prove que p é um número primo maior que 3.'

'Verifique se 91 e 144 são primos entre si.'

'Encontre os divisores de 36.'

'Suponha que p é um número primo maior que 3 e que p + 4 também é um número primo.'

'Assuma que a, b e c não são múltiplos de 5.'

'Prove a fórmula para encontrar o enésimo número de Catalão (número de Catalão Cn). Além disso, encontre o número de Catalão quando n=4.'

'Prove a seguinte proposição: Se um inteiro n não é múltiplo de 3, então n² também não é múltiplo de 3.'

'Desafio aceite. A solução também contém =.'

'Exemplo 49 | Classificação de Inteiros por Resto\nProve o seguinte:\n(1) Para qualquer inteiro n, n^{4}+5 n^{2} é um múltiplo de 3.\n(2) O resto nunca é 3 ao elevar um inteiro ao quadrado e dividir por 5.'

'Encontre o número de elementos nos seguintes conjuntos entre os números naturais menores que 500.'

'Encontre todos os fatores dos números dados 25 e 36.'

'(1) Calcular o resultado de 20 fatorial, quantas vezes pode ser dividido por 2.\n(2) Calcular 25 fatorial, quantos zeros consecutivos aparecerão no final.'

'Seja $n=2^{m-1}\\left(2^{m}-1\\right)(m=2,3,4, \\cdots \\cdots)$. Demonstre que $T(n)=n$ quando $2^{m}-1$ é um número primo, e utilize $1+2+\\cdots \\cdots+2^{m-1}=2^{m}-1$.'

'Se ab é um múltiplo do número primo p, então a ou b é um múltiplo de p.'

'Problema de divisores e múltiplos: Encontre o número de divisores positivos de um número natural N. Quando a fatoração prima de um número natural N é N=p^a q^b r^c ... ..., o número de divisores positivos de N é'

'Prove as condições para a existência de soluções inteiras para a equação indeterminada 99 1 1'

'Uma vez que (3k + 1)(3k + 2) é o produto de dois inteiros consecutivos, é um múltiplo de 2. Portanto, pode ser expresso como (3k + 1)(3k + 2) = 2l, e (p + 1)(p + 2)(p + 3) = 24l(2k + 1). Uma vez que p, p + 1, p + 2, p + 3, p + 4 são cinco inteiros consecutivos, um deles é um múltiplo de 5. Se assumirmos p = 5, então p + 4 = 9, o que não é um número primo, levando a que p + 4 não seja primo, portanto p > 5, então p, p + 4 são números primos maiores que 5, portanto não são múltiplos de 5. Portanto, um de p + 1, p + 2, p + 3 é um múltiplo de 5. Portanto, (p + 1)(p + 2)(p + 3) é um múltiplo de 5. Pelos pontos 2 e 3, podemos concluir que (p + 1)(p + 2)(p + 3) é um múltiplo de 24, portanto, um múltiplo de 120.'

'Entre os números naturais menores que 30, existem 15 múltiplos de 2, 7 múltiplos de 2^2, 3 múltiplos de 2^3 e 1 múltiplo de 2^4. Portanto, o número de fatores primos 2 na fatoração prima de 30! é'

'Exercício 15 III (→ Livro p.84)'

'Encontre todos os números primos $k$ de forma que $k^{2}+2$ seja um número primo, e prove que não existem outros casos.'

'(1) Encontre o menor número inteiro positivo n tal que n! / 1024 seja um inteiro.'

'Quando existem dois pares de dados com apenas duas faces iguais cada, o único caso em que o produto de dois números diferentes entre 1 e 6 se torna um quadrado perfeito é 2^2=1×4, então os conjuntos que satisfazem essa condição são {1,2,2} e {1,1,4},{2,2,4} e {1,4,4}, neste caso k=4,16, levando a k=4,10,15,16,40,90,120'

'Entre os números naturais abaixo de 125, existem 25 múltiplos de 5, 5 múltiplos de 5^2 e 1 múltiplo de 5^3. Portanto, o número de fatores primos 5 na fatoração primária de 125! é'

'Prove que se dois números naturais a e b são primos entre si, então a+b e a*b também são primos entre si.'

'Encontre todas as combinações de números de 0 a 5 onde a soma de seus dígitos é um múltiplo de 3.'

'Exemplo Importante 82 | Prova de Irracionalidade'

'Prove que se 49 é um número primo, então $p^{4}+14$ não é um número primo.'

'A fatorização em números primos de um número composto é única, exceto pela ordem dos fatores. Vamos provar a unicidade da fatorização em números primos usando o teorema acima. Prova: Suponhamos que a fatorização em números primos do número composto a seja representada de duas maneiras diferentes.'

'Explique o método para determinar se um número inteiro N é um número primo. Por exemplo, verifique se 257 é um número primo.'

'Para qualquer número natural n maior que 2, seja T(n) a soma de todos os divisores positivos de n (excluindo n próprio). Encontre o valor de T(120).'

'Problema de números primos\nSeja n um número natural. Prove que o único caso em que n, n+2 e n+4 são todos números primos é quando n=3.'

'Exemplo-chave 87 | Problema de demonstração sobre a equação a^2+b^2=c^2\n\nSeja a, b, c números naturais que não têm nenhum fator comum exceto 1. Quando a, b, c satisfazem a equação a^2+b^2=c^2, prove o seguinte:\n(1) Um dos números a, b é par e o outro é ímpar.\n(2) Se a é ímpar, então b é um múltiplo de 4.\n(3) Pelo menos um dos números a, b é um múltiplo de 3.'

'Exemplo importante 83 Número de números naturais relativamente primos'

Prove a seguinte proposição. (2) Se $m n$ é ímpar, então tanto $m$ quanto $n$ são ímpares.

Para os seguintes casos (1) a (5), encontre os valores máximo e mínimo da função quadrática $y = x^2 - 2ax + a$ no intervalo $1 \leqq x \leqq 2$, assumindo que a é uma constante. (1) a < 1 (2) 1 \leqq a < \frac{3}{2} (3) a = \frac{3}{2} (4) \frac{3}{2} < a \leqq 2 (5) a > 2

1. Seja $m$ o valor mínimo da função quadrática $y=x^{2}+2 b x+6+2 b$ na equação cúbica $41^{3} x$. (1) Expresse $m$ em termos de $b$. (2) Determine o valor máximo de $m$ e o valor correspondente de $b$ quando $b$ varia.

Exercício Básico 76 Seja z=1+i. (2) Encontre o menor número natural n tal que z^n seja um número puramente imaginário.