Teoria Básica dos Números - Inteiros, Frações, Decimais

'Encontre o número de pares inteiros $(p, q)$ que satisfazem $p^{2}-q^{2}=250$.'

'[4] A partir de (1/y) + (1/z) = (1/3) e (1/z) ≤ (1/y), temos (1/3) ≤ (2/y), portanto y ≤ 6. Ao combinar isso com y ≥ 6, obtemos y = 6.\nSubstituindo y = 6 em (1/z) = (1/3) - (1/6) = (1/6) para resolver z, resultando em z = 6.'

'Problemas de prova relacionados com múltiplos de 85'

'A soma dos números naturais, quadrados, e cubos de 1 a n é representada da seguinte forma: (1) 1+2+3+...+n = \\frac{1}{2} n(n+1) (2) 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2} = \\frac{1}{6} n(n+1)(2n+1) (3) 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3} = \\left\\{\\frac{1}{2} n(n+1)\\right\\}^{2}'

'Dígito líder'

'Mostre as propriedades dos números reais.'

'Prove que as seguintes desigualdades valem para o número natural n.'

"Qual é o 'começo' da matemática? O que deve ser considerado como o começo da matemática?"

'Do acima, o menor valor de k é'

'Encontre o discriminante D da seguinte equação quadrática e determine o tipo de suas raízes:'

None

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'Encontre a soma dos termos de 10 a 20 de uma sequência aritmética com o 8° termo como 37 e o 24° termo como 117.'

'Encontre o termo geral da relação de recorrência dada.'

'(2) \ \\frac{1}{1-\\frac{1}{1-\\frac{1}{1+a}}} \'

'a = 1 ou (a ≠ 1 e b = 4a² − 4a)'

'Considere uma sequência de números naturais {an}.'

'Exercício 20 Contagem de Pontos na Malha\n(1) Seja k um inteiro não negativo. O número de pares de inteiros não negativos \\( (x, y) \\) que satisfazem \ \\frac{x}{3} + \\frac{y}{2} \\leqq k \ é denotado por \ a_{k} \. Expresse \ a_{k} \ em termos de k.\n(2) Seja n um inteiro não negativo. O número de trios de inteiros não negativos \\( (x, y, z) \\) que satisfazem \ \\frac{x}{3} + \\frac{y}{2} + z \\leqq n \ é denotado por \ b_{n} \. Expresse \ b_{n} \ em termos de n.\n[Universidade Nacional de Yokohama]'

'17 (1) multiplicado por 10, produto 29 (2) multiplicado por 0, produto 2 (3) multiplicado por -4, produto 4'

'Encontre a soma da sequência dada de frações decompondo-as em frações parciais para simplificar o cálculo. Use transformações como \\( \\frac{1}{k(k+1)} = \\frac{1}{k} - \\frac{1}{k+1} \\) por exemplo.'

''

'Qual é o primeiro número ímpar no grupo n?'

'Quando a>0, b>0, compare os tamanhos de (a+b)/2, √(ab), 2ab/(a+b) e √((a²+b²)/2).'

'169 (1) \ \\frac{110}{3} \ (2) \ \\frac{37}{12} \ (3) \ \\frac{9}{8} \ (4) \ \\frac{14 \\sqrt{14}}{3} \'

'Traduzir o texto dado para vários idiomas.'

''

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'Matemática II'

'45 \ \\frac{1}{\\tan \\frac{\\pi}{24}}-\\sqrt{2}-\\sqrt{3}-\\sqrt{6} \ é um número inteiro. Encontre o seu valor.'

''

'Qual termo se torna negativo pela primeira vez?'

'Seja {a_{n}} uma sequência com o termo inicial {a_{1}} até o termo n-ésimo {a_{n}} e a soma denotada como {S_{n}}. Se {S_{n}+a_{n}=4 n+2}, então {a_{1}=} A {, a_{2}=} B. Expressando {a_{n+1}} em termos de {a_{n}} temos {a_{n+1}=C {a_{n}+} D}. Portanto, o termo geral desta sequência é {a_{n}=E}.'

'Encontre a soma S da sequência aritmética do primeiro até o 100º termo, com o primeiro termo sendo 1 e a diferença comum sendo -2.'

'Símbolo gaussiano e soma de séries, relação de recorrência'

'A sequência {an} satisfaz a1=1, e para todos os números naturais m, a2m=a2m-1+1, a2m+1=2a2m.'

'Considere a seguinte sequência.'

'Encontre a soma S da sequência aritmética 2, 17/6, 11/3, 9/2, ⋯⋯, 12.'

'Traçar n cordas em um círculo, onde qualquer duas cordas se cruzam dentro do círculo e nenhuma três cordas passam pelo mesmo ponto. O número de partes divididas por essas cordas é denotado como D_{n}. Neste caso, D_{3}=口の, D_{4}=1, e D_{n}=ウ. Além disso, a quantidade de partes que formam polígonos entre as D_{n} partes é denotada como d_{n}. Quando n é maior ou igual a 4, d_{n}=エ.'

'Prove por indução matemática que, para qualquer número natural m, a_{3m} é um múltiplo de 5.'

'(2) \ n=87 \'

'Prove que para uma sequência {an} (onde {an} é maior que 0), se a relação (∑an)^2 = a1^3 + a2^3 + ... + an^3 for verdadeira, então an = n.'

'Um exercício de matemática B 60'

'Problema de matemática'

'Exercício 81 (1) |x| ≥ 1, então |t| ≥ 1. A inclinação da reta OA é 1/t, as coordenadas do ponto médio da reta OA são (t/2, 1/2), portanto, a equação do bissectriz perpendicular da reta OA é y-1/2=-t(x-t/2), ou seja, y=-tx+(t^2+1)/2 (|t| ≥ 1). (2) y=-tx+(t^2+1)/2 resulta em t^2-2xt-2y+1=0. Seja f(t)=t^2-2xt-2y+1, a condição necessária é {sobre os números reais t que fazem o discriminante D de f(t)=0 satisfazer (1)}, então D/4=x^2+2y-1 ≥ 0, portanto y ≥ -x^2/2+1/2. Os números reais t que satisfazem (1) estão todos em -1<t<1, ou seja, satisfazem {D ≥ 0 f(-1) > 0 f(1) > 0 -1 <x <1}, ou seja {y ≥ -x^2/2+1/2 y < x+1 y < -x+1 -1 <x <1}. Considere excluir o caso de |t|<1 de todas as soluções de números reais que satisfazem a condição 1.'

'P ≥ 2√(a * 1/a) + 2√(b * 1/b) + 2√(c * 1/c) + 2√(abc * 1/abc) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 Portanto (a + 1/b)(b + 1/c)(c + 1/a) ≥ 8'

'Encontre a fórmula geral do sequência {a_n} determinada pelas seguintes condições.'

'O primeiro termo é 96, a razão comum é -1/2, então a soma dos primeiros 7 termos é 96{1-(-1/2)^7}/(1-(-1/2))=96/(3/2)(1+1/128)=64*129/128=129/2'

'Qual das seguintes sequências é uma progressão geométrica?'

'Ao lançar vários dados ao mesmo tempo, qual é o número mínimo de dados necessários para que a probabilidade do produto dos números lançados ser par seja de pelo menos 0,994? Onde log_{10} 2=0,3010, log_{10} 3=0,4771.'

'23\\ n \\ 1,2,3 | 4,5,6,7,8 | 9,10,11,12,13,14,15 \\ mid 16, \\ cdots \\ cdots \\ n(1) \\ Encontre o primeiro e o último número no grupo \ n \. \\ n(2) \\ Encontre a soma de todos os números do grupo \ n \. \\ n(3) \\ Em qual grupo e em qual posição está o número 2014?'

'M ≥ 1 / 4'

'A seguir, quando 4^{10} é expresso na base 9, deixe o número de dígitos ser denotado como n'

'Um dos (a>0, a=0, a<0) é verdadeiro.'

'Matemática \ \\Pi \ 63 Portanto, \\( \\quad P(-1)=-a+b, P(1)=a+b \\) De (1), (2) obtemos \ -a+b=5, a+b=7 \ Resolvendo simultaneamente obtemos \ \\quad a=1, b=6 \ Portanto, o resto que procuramos é \ \\quad x+6 \'

'(2) \\( \\alpha=\eta=\\gamma=1 \\Leftrightarrow \\alpha-1=\eta-1=\\gamma-1=0 \\Leftrightarrow(\\alpha-1)^{2}+(\eta-1)^{2}+(\\gamma-1)^{2}=0 \\)'

'Sejam os inteiros a, b que não são múltiplos de 3, e seja f(x)=2 x^{3}+a^{2} x^{2}+2 b^{2} x+1. Encontre os restos ao dividir f(1) e f(2) por 3.'

'(4) \\sqrt[4]{16}=\\sqrt[4]{2^{4}}= 2, \\quad \\sqrt[4]{625}=\\sqrt[4]{5^{4}}= 5 ,'

'Compreensivo'

'Encontre a soma dos números que satisfazem as seguintes condições entre os números naturais de dois dígitos: (1) Números que deixam resto 3 ao dividir por 5. (2) Números ímpares ou múltiplos de 3.'

'Problemas de inteiros e indução matemática'

'Encontre o termo geral de uma sequência geométrica onde o 3º termo é 12 e o 6º termo é -96. Assuma que a razão comum é um número real.'

'(1) Visto que $\\frac{y}{x} > 0, \\frac{x}{y} > 0$, pela desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica, temos $\\frac{y}{x} + \\frac{x}{y} \\geq 2 \\sqrt{\\frac{y}{x} \\cdot \\frac{x}{y}} = 2$.'

'Matemática B\n287\nA partir do (1) temos que a = 6\nSubstituindo isso no (2) obtemos 6(36-d^{2})=162\nPortanto d^{2}=9\nPortanto d =±3\nAssim, os 3 números que procuramos são 3,6,9 ou 9,6,3\nEm outras palavras\n3,6,9\nComo a ordem dos 3 números não é especificada, a resposta pode ser de uma maneira.\nOutra solução é considerar que a sequência de 3 números formando uma sequência aritmética é denominada como a, b, c. Com base nas condições\n2b=a+c\na+b+c=18\nabc=162\nSubstituindo (1) em (2) obtemos 3b=18, portanto b=6\nNeste ponto, a partir de (1) e (3) obtemos a+c=12, ac=27\nPortanto, a, c são duas soluções da equação x^{2}-12x+27=0. Resolvendo (x-3)(x-9)=0 obtemos x=3,9\nEm outras palavras\n(a, c)=(3,9),(9,3)\nPortanto, os 3 números que procuramos são 3,6,9'

'O número total de termos do 1º ao 11º grupo é 66. Portanto, o 77º termo da sequência {an} é o número do 12º grupo, que é (77-66=11). Assim, com base em (1), o 77º termo da sequência {an} é 12*11^2=1452.'

'Existem 2 livros vermelhos e n livros azuis. Coloque esses n+2 livros aleatoriamente na prateleira. Seja X o número de livros azuis entre os dois livros vermelhos.'

'(1) 2/3 (2) 30 (3) 16/3'

'Em sequência (1) 1, 2 (2) 1, 0 (3) 2, 1 (4) 1, 1'

'Traduza o texto fornecido para várias línguas.'

'(1) Quando n ≥ 2, o número de números do primeiro grupo até o grupo (n-1) é ∑_{k=1}^{n-1}(2 k+1)=2 ⋅ \\frac{1}{2}(n-1) n+(n-1)=n^{2}-1, portanto, o primeiro número do n-ésimo grupo é o {n^{2}-1+1}=n^{2} (termo) de uma sequência de números naturais, e isso também é verdade para n=1. Assim, o primeiro número do n-ésimo grupo é n^{2}, e o último número do n-ésimo grupo corresponde ao número de termos na sequência de números naturais incluídos até o n-ésimo grupo ∑_{k=1}^{n}(2 k+1)=2 ⋅ \\frac{1}{2} n(n+1)+n=n^{2}+2 n'

'Termo geral e soma de progressões aritméticas\nTermo geral $a_{n}$ Se o primeiro termo for $a$ e a diferença comum for $d$\n\\[\na_{n}=a+(n-1) d\n\\]\nMédia aritmética\nA sequência $a, b, c$ é uma progressão aritmética $\\Leftrightarrow 2 b=a+c$\nSoma de uma progressão aritmética Soma do primeiro até o termo $n$-ésimo $S_{n}$\n(1) Primeiro termo $a$, termo $n$-ésimo (último termo) $l$\n\\[\nS_{n}=\\frac{1}{2} n(a+l)\n\\]\n(2) Primeiro termo $a$, diferença comum $d$\n\\[\nS_{n}=\\frac{1}{2} n\\{2 a+(n-1) d\\}\n\\]\nSoma dos números naturais, soma dos números ímpares positivos\n\\[\n\egin{array}{l}\n1+2+3+\\cdots \\cdots+n=\\frac{1}{2} n(n+1) \n1+3+5+\\cdots \\cdots+(2 n-1)=n^{2}\n\\end{array}\n\\]'

'A sequência a, b, c forma uma sequência aritmética, então 2b=a+c. A sequência b, c, a forma uma sequência geométrica, então c^2=ab. Uma vez que o produto de a, b, c é 125, então abc=125. Substituindo (2) em (3) obtemos c^3=125. Como c é um número real, c=5. Substituindo em (1), (2) obtemos 2b=a+5, ab=25. Eliminando b obtemos a(a+5)=50, então a^2+5a-50=0. Portanto, a=5, -10. De ab=25, obtemos b=25/a. Exemplo: \\triangleleft 36-d^2=27. Utilizando a forma média aritmética de uma série 2b=a+c. Dois números com soma p e produto q são as duas soluções da equação quadrática x^2-px+q=0 (Mat II). 4 (razão comum)=(2º termo)/(1º termo). 4 a_n=2*(-3)^n está incorreto. 4*(-1)^{可效}=-1. É permitido considerar r^3=-8 dividindo (2) por (1). 4 a_n=ar^{n-1}. Forma média aritmética de uma sequência aritmética. Forma média aritmética de uma sequência geométrica. Substituindo ab=c^2 em (3). A primeira equação. Substituindo (segunda equação) multiplicada por 2.'

'(3) Em ordem 7, 15, 14, 12'

'A sequência {a_n} é uma sequência geométrica com o primeiro termo {a_1} = \\frac{1}{4}-\\frac{1}{3}=-\\frac{1}{12} e razão comum -\\frac{1}{8}, portanto encontre o termo geral da sequência {a_n}.'

'\\( \\frac{1}{9} n(5 n+13) \\pi \\)'

"Em matemática A, aprendi sobre o conceito de 'permutações e combinações'. Ao organizar números de 1 a n em uma fileira, se o k-ésimo número da esquerda não for k, é chamado de permutação perfeita. Além disso, o número de permutações perfeitas de n itens é denotado como W(n), conhecido como o número de Monge-Montel, onde W(1)=0, W(2)=1, W(n)=(n-1){W(n-1)+W(n-2)} (n ≥ 3) é válido (para mais detalhes, consulte Matemática de Gráfico I+A p. 264). Aqui, vamos considerar expressar W(n) em termos de n com base na fórmula de recorrência. Note que, para simplicidade, consideraremos a fórmula de recorrência reescrita da seguinte maneira."

'Assumindo que o l-ésimo termo da sequência {a_n} é igual ao m-ésimo termo da sequência {b_n} e dado a equação 15l-2=7・2^{m-1}, resolva as variáveis l e m.'

'Matemática II'

'Razão comum: Termo matemático que se refere a razões e proporções.'

'Usando o número natural n, compare o tamanho de n! e 3^n.'

'(2) 0 quando n é par; 15 quando n é ímpar'

"Na rodada (1), o número de assentos dos partidos B e C foi um total de 5 assentos, mas como na rodada (2), formando o partido E por meio de fusão e assumindo que o total de votos permanece o mesmo que antes da fusão, sem alterações nos votos de outros partidos, o número de assentos tornou-se 6. Portanto, é possível que o número de assentos mude quando os partidos se fundem, mas as seguintes propriedades são conhecidas em relação à distribuição proporcional de D'Hondt."

'(3) 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^n = 2^{n+1} - 1, então an = 2^{n+1} - 1. 2008 = 4 * 502, portanto, a partir do (2), o resto ao dividir 2^{2008} - 1 por 17 é 0. Assim, 2^{2008} = 17k + 1 (onde k é um número inteiro). Logo, an = 2^{2011} - 1 = 2^{2008} * 8 - 1 = (17k + 1) * 8 - 1 = 17 * 8k + 7. Portanto, o resto ao dividir an por 17 é 7, e como 2012 = 4 * 503, então an = 2^{4 * 503} - 1, então, pelo (2), a_{2012} = 2^{2014} - 1.'

'\\(\\frac{1}{b-a}\\left(\\frac{1}{x+a}-\\frac{1}{x+b}\\right) = \\frac{1}{b-a} \\cdot \\frac{(x+b)-(x+a)}{(x+a)(x+b)} = \\frac{1}{b-a} \\cdot \\frac{b-a}{(x+a)(x+b)} = \\frac{1}{(x+a)(x+b)}\\)'

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'Entre os números naturais de dois dígitos, os números que são divisíveis por 55 com resto 3 são 5·2+3,5·3+3, ... , 5·19+3. Isso forma uma progressão aritmética com o primeiro termo como 13, o último termo como 98, e um total de 18 termos, portanto, a soma é 1/2·18(13+98)=999'

'Calcule o montante total do principal e dos juros após depositar 200.000 ienes com uma taxa de juros anual de 5% por 7 anos.'

'Assumindo que os votos para o Partido 1, Partido 2 e Partido 3 são 300.000, 300.000 e 100.000, respectivamente.'

'(2) 20=2^{2} \\cdot 5,10=2 \\cdot 5, portanto, 20^{x}=10^{y+1}, assim 2^{2 x-y-1}=5^{y+1-x} (1). Supondo y+1-x \\neq 0, então a partir de (1) obtemos 2^{\\frac{2 x-y-1}{y+1-x}}=5 \\cdots\\cdots\\cdot(2). Quando x, y são números racionais, 2 x-y-1, y+1-x também são números racionais, e \\frac{2 x-y-1}{y+1-x} também é um número racional. Além disso, a partir de (2) temos 2^{\\frac{2 x-y-1}{y+1-x}}>1, então \\frac{2 x-y-1}{y+1-x}>0, portanto \\frac{2 x-y-1}{y+1-x}=\\frac{m}{n}(m, n são inteiros positivos), que pode ser expresso como 2^{\\frac{m}{n}}=5. Multiplicando ambos os lados por n, obtemos 2^{m}=5^{n}, o lado esquerdo é um múltiplo de 2, enquanto o lado direito não é um múltiplo de 2, resultando em uma contradição. Portanto y+1-x=0. Neste caso, a partir de (1) obtemos 2^{2 x-y-1}=1, portanto 2 x-y-1=0 (4), (5). Resolver o sistema de equações nos dá x=0, y=-1'

'Quando (1) é verdade, encontre o valor de $\\frac{x y+y z+z x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$.'

'Qual é a fórmula para encontrar o termo geral de uma sequência aritmética?'

'Exercício 19 Símbolo de Gauss e soma de sequências, fórmula de recorrência'

"Método de distribuição proporcional de lugares (1)..... Método D'Hondt Introdução à distribuição de lugares nas eleições nacionais do Japão usando o método de representação proporcional. Nas eleições de representação proporcional, o número de lugares que cada partido ganha é determinado usando um método de cálculo conhecido como o método D'Hondt com base no número de votos recebidos por cada partido. Vamos explicar o que é este 'método D'Hondt' e fornecer exemplos específicos. *O 'método D'Hondt' é um método concebido pelo matemático belga Victor D'Hondt (1841-1902)."

'(1) 23 / 3 (2) 19 / 24 (3) -32 + 20√5 / 3'

'Dado que $0 \\leqq x \\leqq \\pi$, temos $-\\frac{\\pi}{4} \\leqq \\frac{1}{2}\\left(5 x-\\frac{\\pi}{2}\\right) \\leqq \\frac{9}{4}\\pi$ e $\\frac{\\pi}{4} \\leqq \\frac{1}{2}\\left(x+\\frac{\\pi}{2}\\right) \\leqq \\frac{3}{4}\\pi$. Isto implica que $\\frac{1}{2}\\left(5 x-\\frac{\\pi}{2}\\right)=0, \\pi, 2\\pi$ ou $\\frac{1}{2}\\left(x+\\frac{\\pi}{2}\\right)=\\frac{\\pi}{2}$. Ao resolver essas equações, obtemos $5 x-\\frac{\\pi}{2}=0, 2\\pi, 4\\pi$ ou $x+\\frac{\\pi}{2}=\\pi$. Portanto, $x=\\frac{1}{5} \\cdot \\frac{\\pi}{2}, \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{5}{2}\\pi, \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{9}{2}\\pi$ ou $x=\\frac{\\pi}{2}$. Portanto, concluímos que $x=\\frac{\\pi}{10}, \\frac{\\pi}{2}, \\frac{9}{10}\\pi$.'

''

'Portanto, quando n=k+1, (1) é válido.'

'Dada uma sequência aritmética {a_{n}}, onde o primeiro termo é a e a diferença comum é d, cada termo é representado da seguinte forma: \na, a+d, a+2d, a+3d, ..., a+(n-1)d. Encontre o enésimo termo a_{n} desta sequência.'

'Usando um número natural n, compare os tamanhos de n² e 4^(n-2).'

'Encontre o número de soluções reais da equação f(x)=x^{3}+3 x^{2}-9 x-9.'

'As coordenadas do ponto R vão de (-2+6)/2, (5-3)/2) para (2,1)'

'Encontre o número de combinações b_n de inteiros x, y, z que satisfazem as restrições x≥0, y≥0, z≥0, e (x/3)+(y/2)+z≤n.'

'O resultado de 5√10 / 18 é 5√10 / 18'

'944 \\sqrt{2}-4'

'(3) (a, b)=(-1,-1),(1,-1),(-1,1), (1,1)'

'Encontre a soma dos números entre 100 e 200 que satisfazem as seguintes condições: (1) Números que deixam um resto de 2 quando divididos por 7. (2) Múltiplos de 4 ou 6.'

'Explique as seguintes propriedades do Triângulo de Pascal:\n1. Os números nas duas extremidades de cada linha.\n2. Propriedades de cada número, exceto os das extremidades.\n3. Arranjo de números.'

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'Seja p, q números reais que satisfazem |p|≤1, |q|≤1, |p-q|≤1. Defina o máximo entre 0, p, q como M e o mínimo como m. Prove as seguintes desigualdades.'

'Duas partículas estão localizadas no vértice A do triângulo ABC no tempo 0. Essas partículas se movem de forma independente, movendo-se para um vértice adjacente com igual probabilidade a cada 1 segundo. Seja n um número natural, e a probabilidade de que essas duas partículas estejam no mesmo ponto após n segundos seja pn.'

'(1) 5 (2) 4 (3) 7/3'

'A partir da relação de recorrência dada, para qualquer número natural n, existe um número natural a_{n} tal que a_{n}<a_{n+1}. Portanto, quando n \\geqq 2, a_{1}, ... a_{n-1} não são múltiplos de a_{n}, mas a_{n} é um múltiplo de a_{n}. Em seguida, para n \\geqq 2, usando a indução matemática em m, pode-se mostrar que para qualquer número natural m, a_{n+m}-a_{m} é um múltiplo de a_{n}.'

'Derive as partes real e imaginária dos seguintes números complexos.'

'Mostre que as três desigualdades a(1-b)>1/4, b(1-c)>1/4, c(1-a)>1/4 não podem ser mantidas simultaneamente quando a, b, c são todos números positivos menores que 1.'

'Exercício integrador 369 Dado que 2^{4n}-1 ≡ (-1)^n-1 (mod 17), quando n é par, 2^{4n}-1 ≡ 0 (mod 17) e quando n é ímpar, 2^{4n}-1 ≡ -2 ≡ 15 (mod 17) Portanto, o resto necessário é 0 quando n é par e 15 quando n é ímpar (3) 2008=4 × 502, assim a partir de (2) temos 2^{2008}-1 ≡ 0 (mod 17), significando que 2^{2008} ≡ 1 (mod 17) Logo, 2^{2011} ≡ 2^3 · 1 ≡ 8 (mod 17) 2^{2012} ≡ 2 · 8 ≡ 16 (mod 17) 2^{2013} ≡ 2 · 16 ≡ 32 ≡ 15 (mod 17) 2^{2014} ≡ 2 · 15 ≡ 30 ≡ 13 (mod 17) Assim, a_{2010} ≡ 2^{2011}-1 ≡ 7 (mod 17) a_{2011} ≡ 2^{2012}-1 ≡ 15 (mod 17) a_{2012} ≡ 2^{2013}-1 ≡ 14 (mod 17) a_{2013} ≡ 2^{2014}-1 ≡ 12 (mod 17)'

'Uma vez que \\(\\sum_{k=1}^{n}\\left(a_{k}-k\\right)^{2} \\geqq 0\\), a expressão \1 \\cdot a_{1}+2 a_{2}+\\cdots \\cdots+n a_{n}\ é máxima quando \\(\\sum_{k=1}^{n}\\left(a_{k}-k\\right)^{2}=0\\), o que significa que \\(a_{k}=k (k=1,2, \\cdots \\cdots, n)\\). Portanto, a sequência requerida é \1,2,3, \\cdots \\cdots, n\.'

'O quociente obtido dividindo o número de votos de cada partido político por 1, 2, 3, ... é como mostrado na tabela seguinte.'

'Até que termo a soma deve ser feita a partir do termo inicial para maximizar a soma? Também, encontre a soma nesse ponto.'

'Exercício (1) Prove a desigualdade |x+y+z| ≤ |x|+|y|+|z|.'

'Calcule as seguintes expressões usando tabelas de logaritmos comuns e arredonde as respostas para duas casas decimais: (1) 2.37 × 3.79 (2) 7.67 ÷ 2.86'

'O valor máximo de 102 é 16, as coordenadas do ponto P são (5 / sqrt(26), 1 / sqrt(26)) ou (-5 / sqrt(26), -1 / sqrt(26))'

'62\n(1) (A) 3\n(B) \ -\\frac{5}{2} \\n(2) \ \\frac{13}{4} \'

'Encontre o primeiro termo a e a diferença comum d de uma sequência aritmética, onde a soma dos primeiros 5 termos é 125 e a soma dos primeiros 10 termos é 500.'

'Organize os números naturais conforme mostrado no diagrama à direita.'

'Prove o Teorema do Resto.'

'Prove que quando |x|<1 e |y|<1, |left|\\frac{x+y}{1+xy}|right|<1'

'Sejam a e d inteiros. Defina a sequência {an} como uma sequência aritmética com primeiro termo a e diferença comum d. A soma dos primeiros n termos da sequência {an} será denotada por Sn.'

'Dado que o primeiro termo é 2 e a diferença comum é 17/6-2=5/6, e se o 12º termo for considerado como o termo n, então 2+(n-1)・5/6=12, portanto n=13. Assim, a soma da série aritmética é calculada como S=1/2・13(2+12)=91'

'Considere a sequência {Fn} determinada pelas seguintes condições.'

'Como 1 e 3 são soluções'

'Para um número real x, deixe [x] denotar o maior inteiro que não excede x. Defina a sequência {a_{k}} como a_{k}=2^[\\sqrt{k}] (k=1,2,3,......). Para um inteiro positivo n, encontre b_{n}=\\sum_{k=1}^{n^{2}} a_{k}.'

'Prova de 3 Desigualdades (2)'

'Página 394'

'Prove que para todos os números naturais (n), 2^{n+1}+3^{2n-1} é um múltiplo de 7.'

'Exemplo 59 | Comparação de potências e raízes'

'Encontre a soma da seguinte sequência.'

''

''

'Quando k = 0, x = -1, 0, 4; quando k = 12, x = -2, 2, 3'

'Uma vez que $\\left(\\frac{1}{r}\\right)^{0}=1$ e $\\left(\\frac{1}{r}\\right)^{-1}=r$, a partir de (1), conjectura-se que a fórmula geral $a_{n}=n-1+\\sum_{k=1}^{n}\\left(\\frac{1}{r}\\right)^{k-2}$ é válida. Agora, vamos provar isso usando indução matemática.'

'Encontre a soma da progressão geométrica (1) do primeiro termo da sequência geométrica até o termo n Sn.'

'Se a sequência {a_{n}+b_{n}} tem termo inicial {a_{1}+b_{1}=2} e razão comum 2 como uma progressão geométrica, encontre o termo geral.'

'170 multiplicado por 9 dividido por 2'

'174 dividido por 4 é igual a 27'

'−11 ≤ P ≤ 401 / 9'

'O valor máximo de 180 é $9^{2 \times 0}$'

'Seja {an} uma sequência geométrica com uma razão comum não nula e termo inicial de 1. Além disso, seja {bn} uma sequência aritmética que satisfaça b1=a3, b2=a4, b3=a2.'

'Encontre as seguintes somas:\n(1) Soma da sequência aritmética 2, 8, 14, ..., 98\n(2) Soma da sequência aritmética com termo inicial 100 e diferença comum -8 do primeiro ao 30º termo\n(3) Soma da sequência aritmética com o 8º termo como 37 e o 24º termo como 117 do 10º ao 20º termo'

'Portanto, os valores máximo e mínimo desejados são os seguintes:'

'Propriedades usadas na prova de desigualdades'

'Para a sequência aritmética {an} com primeiro termo 77 e diferença comum -3, responda às seguintes perguntas: 1. Encontre o termo geral an. 2. Em que termo se torna negativo pela primeira vez? 3. Em qual termo a partir do primeiro a soma se torna máxima e qual é essa soma.'

''

'Encontre o 5º termo da sequência (1).'

'Encontre os cinco primeiros termos da sequência representada pelas fórmulas a seguir.'

'Encontre a soma dos números inteiros de 1 a 100 que não são múltiplos de 3 nem de 5.'

'36 (1) x=2, y=-1 (2) x=4/5, y=-7/5'

'Encontre a soma dos inteiros de 1 a 100 que não são múltiplos de 3 nem de 5.'

'Prova da Equação (2)... com condições'

'TREINAMENTO 26\nDeixe \ n \ ser um número natural. Usando o método de indução matemática, prove a seguinte equação:\n\\[\n1 \\cdot 4+2 \\cdot 5+3 \\cdot 6+\\cdots \\cdots+n(n+3)=\\frac{1}{3} n(n+1)(n+5)\n\\]'

'Através de cálculos matemáticos, podemos concluir que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica, obtendo assim $\\frac{ab}{4}+\\frac{9}{ab}+\\frac{13}{4} \\ge 2 \\sqrt{\\frac{ab}{4} \\cdot \\frac{9}{ab}}+\\frac{13}{4}=2 \\cdot \\frac{3}{2}+\\frac{13}{4}=\\frac{25}{4}$, logo $\\left(\\frac{a}{4}+\\frac{1}{b}\\right)\\left(\\frac{9}{a}+b\\right) \\ge \\frac{25}{4}$. A igualdade ocorre quando $ab>0$ e $\\frac{ab}{4}=\\frac{9}{ab}$, o que significa que $ab=6$.'

'Simplifique as frações em (1) e (2). Calcule as expressões de (3) a (5).'

'Seja n um inteiro maior ou igual a 2. Usando o teorema binomial, prove o seguinte:'

'Distribuição de assentos na eleição da Porta da Matemática'

'No exemplo 1, o número de votos do partido B é de 7000, e do partido C é de 6000. No exemplo 2, o que acontecerá no caso em que o número de votos para o partido E for de 13000?'

'Qual é a pontuação mínima para os estudantes que ocupam as primeiras 64000 posições no teste do ano passado? Escolha entre as seguintes opções 0-5.'

'Vamos listar alguns exemplos típicos de cálculos de frações.\n(1) Simplificação\n......A simplificação consiste em dividir o numerador e o denominador de uma fração pelo seu fator comum. Uma fração que não pode ser mais simplificada é chamada de fração irredutível.\nExemplo:\n\\(\\frac{x^{2}+7x+12}{x^{2}+8x+15}=\\frac{(x+3)(x+4)}{(x+3)(x+5)}=\\frac{x+4}{x+5}\\)\n\\\frac{12}{15}=\\frac{3 \\cdot 4}{3 \\cdot 5}=\\frac{4}{5}\'

'Dividir cada lado por 3 resulta no seguinte.'

'Encontre o primeiro termo e a razão comum da sequência geométrica. A razão comum é um número real.'

'186 k=-4,0'

'Seja {b_{k}} uma sequência geométrica com primeiro termo 1 e razão comum 3. Para cada número natural n, deixe c_{n} ser o maior b_{k} que satisfaça b_{k}≤n. Calcular Σ_{k=1}^{30} c_{k}.'

'A equação de terceiro grau x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0, onde os coeficientes a e b são inteiros, tem 2 soluções complexas e 1 solução inteira negativa. O número de pares de inteiros (a, b) que satisfazem essa condição é .'

'Encontre o termo geral e a soma de uma série geométrica. Vamos considerar o primeiro termo como a e a razão comum como r.'

'39 (ア) -3'

'Encontre o valor mínimo de x + 16/x quando x > 0.'

'(4) \ x= \\pm 1, \\pm \\sqrt{2} \'

'106606 dígitos, 2'

''

'Em uma progressão aritmética com um primeiro termo de -83 e uma diferença comum de 4, até qual termo a soma a partir do primeiro termo será a menor? Além disso, determine a soma nesse ponto.'

'52 (1) 11/3 (2) 2/3 (3) -1/3'

'Na ordem da soma e produto, os valores são (1) 4, -3 (2) 3/2, 3 (3) -4/3, -5/3'

'\ 68 a<-2,2<a \'

'Resolver as seguintes equações.'

'(2)(1/2)^{n} <0.001 Ao tirar o logaritmo comum de ambos os lados, obtemos n log_{10} 2>-3 Portanto, n>3/ \\log_{10} 2=9.96... O menor número natural n que satisfaz esta desigualdade é n=10'

'Existe uma sequência aritmética {an} com o primeiro termo 7 e uma diferença comum de 3, e também uma sequência aritmética {bn} com o primeiro termo 8 e uma diferença comum de 5. Seja {cn} a sequência formada ao ordenar em ordem crescente os termos comuns dessas duas sequências. Encontre o termo geral da sequência {cn}.'

'Prove que as seguintes desigualdades são verdadeiras quando a>0, b>0.'

'Ao depositar 200.000 ienes no início de cada ano com uma taxa de juros composta anual de 1%, calcule o total de capital e juros no final do décimo ano (ou seja, o montante total de capital e juros no início de cada ano). Use 1.01 elevado à potência de 10 que é igual a 1.105 para o cálculo.'

'Dada uma taxa de juros anual r, poupando anualmente um iene em juros compostos por n anos, encontre o montante total de poupança no final de n anos.'

''

'Quando os três pontos A(1,1), B(2,4), C(a,0) são os vértices do triângulo ABC e formam um triângulo retângulo, encontre o valor da constante a.'

'Encontre os seguintes valores. (1) \ \\sqrt[4]{16} \ (2) \ -\\sqrt[3]{64} \'

'Sequência de Fibonacci'

'Encontre o resto da divisão do polinômio $x^{1010} + x^{101} + x^{10} + x$ por $x^3-x$.'

'Prove que as seguintes desigualdades são verdadeiras.'

'Quando as desigualdades 4x+y≤9, x+2y≥4 e 2x-3y≥-6 são simultaneamente satisfeitas, encontre os valores máximos e mínimos de x^2+y^2.'

'Encontre dois números que satisfaçam as seguintes condições.'

'A sequência {a_n} é definida pelo primeiro termo $a_1=1$ e pela fórmula recursiva $a_{n+1} = \\frac{3(n+1)}{n}a_{n}$.'

'Prove a desigualdade 2^{n}>4 n+1 quando n é um inteiro maior ou igual a 5.'

'(1) \ \\frac{a+2}{a-\\frac{2}{a+1}} \'

'item 21, e -903'

'Determine se as seguintes sequências são sequências aritméticas ou sequências geométricas.\n1. Sequência 4, 7, 10, 13\n2. Sequência 3, 6, 12, 24'

'Vamos rever a soma dos números naturais e a soma das sequências aritméticas!'

'Encontre o termo geral da sequência $\\ left \\ {a_ {n} \\ right \\}$ definida por $a_ {1} = 1, a_ {n + 1} = 2a_ {n} + 3 ^ {n}$.'

'O aluno A, que vai para a escola de bicicleta, foi para a escola a uma velocidade de 12 km/h em um dia e, ao retornar, caminhou com seu amigo a uma velocidade de 6 km/h enquanto empurrava a bicicleta. Agora, qual foi a velocidade média que o aluno A percorreu neste dia?'

'Encontre o número de termos n e a diferença comum d de uma sequência aritmética onde o primeiro termo é 2, o último termo é 38 e a soma é 200.'

'Para a sequência {an} em que a soma do termo inicial até o termo n-ésimo é dada por Sn=-n^2+24n (n=1,2,3,...), encontre o intervalo de números naturais n para os quais an<0, e calcule ∑_(k=1)^40|ak|.'

'Encontre o termo geral de uma sequência geométrica {an} com termo inicial a e razão comum r.'

'Usando valores logarítmicos comuns.'

'Encontre os números de uma sequência aritmética com um primeiro termo de 3 e uma diferença comum de 4, até o quinto termo.'

'\\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1)'

'(4) \ \\\\sqrt[3]{54} \\\\times 2 \\\\sqrt[3]{2} \\\\times \\\\sqrt[3]{16} \'

'Encontre o termo n das seguintes sequências:\n1. Sequência aritmética com primeiro termo 3 e diferença comum 2\n2. Sequência geométrica com primeiro termo 2 e razão comum 3'

"Encontre o número de termos 'n' e a diferença comum 'd' de uma sequência aritmética com termo inicial -10, termo final 200 e soma 2945."

'48 (A) 3 (B) 2 (C) 11 (I) 25'

'Encontre a soma de uma série aritmética com o primeiro termo 25, último termo -10 e 16 termos.'

'Para uma sequência aritmética com o termo inicial -0.2 e o termo final 0.6, se houver n termos entre o termo inicial e final, a soma é 405.'

'Usar indução matemática para provar a seguinte equação'

'(2) $\\frac{1}{x+\\frac{1}{x-\\frac{1}{x}}}$'

'(1) Encontre o termo geral a_{n} de uma sequência geométrica com primeiro termo 7 e razão comum 1/2. (2) Encontre a razão comum e o termo geral a_{n} das seguintes sequências geométricas. (a) 3, -3, 3, -3, ... (b) -16/27, 4/9, -1/3, 1/4, ...'

'\ 65 a=-3, \\quad b=10 \, solução \ x=-2,2 \\pm i \'

'Crie o padrão mostrado na Figura 1 usando o triângulo de Pascal, onde os números pares são representados por ○ e os números ímpares são representados por ●. Seguindo as quatro regras com base nas propriedades do triângulo de Pascal, marque as posições com ○ e ●.'

'Qual termo se torna negativo pela primeira vez?'

'Prove a desigualdade (A>B) criando a diferença (A-B). Use os seguintes métodos:'

'Encontre os valores de x e y na sequência aritmética.'

'Padrão 47: Determinação de dois números dados a sua soma e produto'

'A estrela Vega (Estrela da Donzela Tecelã) é uma estrela de magnitude zero'

'Determine em qual coluna da esquerda o segundo dígito de 2020 está localizado.'

'61 (1) \x=-1, \\frac{1 \\pm \\sqrt{3} i}{2}\'

'Encontre a soma dos seguintes números para inteiros de 1 a 200: (1) Múltiplos de 4 (2) Números que não são múltiplos de 4.'

'Encontre o primeiro termo e a razão comum de uma sequência geométrica. A razão comum é um número real. (1) O terceiro termo é 18 e o quinto termo é 162. (2) O segundo termo é 4 e o quinto termo é -32'

'Nas mesmas eleições do exemplo 1, os partidos B e C fundiram-se para formar um novo partido E, mantendo o mesmo número total de votos antes e depois da fusão. Pressupondo que os votos dos outros partidos permanecem iguais, os votos do partido A são 10000, do partido D são 4000 e do partido E são 15300. (A parte decimal na tabela foi arredondada)'

'Compreenda a fórmula para a soma de uma série geométrica e conquiste o Exemplo 13!'

'Encontre os seguintes valores.'

'Encontre o 4º número da esquerda na linha 10.'

'Se TR for \ \\log _{10} 2=0.3010 \, encontre o valor de um número natural \ n \ que satisfaça as seguintes condições.'

'Encontre o primeiro termo da sequência (1).'

'Encontre o primeiro termo e a razão comum de uma sequência geométrica. A razão comum é um número real. (1) O terceiro termo é -18, o sexto termo é 486 (2) O sexto termo é 4, o décimo termo é 16'

'Usando a sequência de diferença de segunda ordem, encontre o termo geral da seguinte sequência {a_{n}} (1) 20, 18, 14, 8, 0, ...'

'Cálculo de frações complexas'

'Encontre a soma S de uma sequência aritmética com primeiro termo 25, último termo -10 e 16 termos.'

'Divida a sequência de números naturais de forma que cada grupo contenha 2n números da seguinte forma: 1,2|3,4,5,6| 7,8,9,10,11,12 | 13,14, …… (1) Encontre o primeiro número no grupo n-ésimo. (2) Encontre a soma de todos os números no grupo n-ésimo.'

'Encontre o termo geral da sequência {an}: 5,11,23,41,65,95, ...'

'Para dois números reais distintos a, b, se a, 2, b formarem uma sequência geométrica nessa ordem e 1/2, 1/b, 1/a formarem uma sequência aritmética nessa ordem, então a=, b=.'

'1338'

'Exemplo Básico 3 Determinação da 4ª série (1)...Uma progressão aritmética em que o 5º termo é 3 e o 10º termo é 18.'

'Explique o que é uma progressão aritmética e encontre o décimo termo de uma progressão aritmética com termo inicial 5 e diferença comum 2.'

'(4) Um ponto (x, y) no plano de coordenadas é chamado de ponto de grade quando ambas as coordenadas são números inteiros. Neste problema, "dentro da região" se refere a incluir o interior e a linha de fronteira dessa região.'

'Seja a uma constante positiva. Determine o intervalo de valores de a de forma que 2x^{2}+y^{2}-1=0, x^{2}+y^2-4x-4y+8-a=0 tenham pontos em comum.'

'Encontre a soma das seguintes progressões geométricas.'

'Encontre o padrão nas sequências a seguir e expresse o termo geral em termos de n que segue o padrão.'

'Encontre o termo geral da sequência {an} definida por a1=3, an+1 = an/(2an + 4).'

'Encontre o décimo termo de uma sequência aritmética com o primeiro termo de 5 e uma diferença comum de 3.'

'Básico 58: Use a divisão longa para encontrar o quociente e o resto de uma divisão.'

'Encontre a soma dos inteiros de 1 a 100 que são múltiplos de 6 e os que não são múltiplos de 6'

'Existem muitas placas de vidro da mesma qualidade. Quando 10 placas de vidro são empilhadas e a luz passa por elas, a intensidade da luz se torna 2/5 da original. Quantas placas de vidro adicionais devem ser empilhadas para reduzir a intensidade da luz transmitida para abaixo de 1/8 da original? Dado que log10 2 = 0.3010 e log10 5 = 0.6990.'

'Encontre o 5º termo de uma sequência geométrica com primeiro termo 5 e razão comum 2.'

'(2) Encontre o 100º termo.'

'Usando a sequência de diferenças de segunda ordem, encontre o termo geral da sequência {an}. (2) 10,10,9,7,4, ...'

''

'Básico 5: Três números formando uma progressão aritmética'

'63 (1) 3'

'Equação fracionária'

'Como reescrever 183-5<a<27'

''

'Prova da Equação (3)... a condição é uma proporcionalidade'

'Encontre o termo geral e a soma de uma progressão aritmética.'

'Prove que a desigualdade |1+ab| > |a+b| é verdadeira quando |a| < 1, |b| < 1.'

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'Para as frases X e Y referentes à parte sublinhada f da questão 6, escolha a combinação correta de verdadeiro ou falso.'

'(2) Responda às seguintes perguntas fornecendo valores apropriados como números inteiros.'

'Quando o lado do quadrado preto mede 9 cm, em que faixa de inteiros eles devem ser colocados na grade do quadrado branco? Por favor, liste todas as opções possíveis.'

'Para as frases X e Y referentes à parte sublinhada b na pergunta 2, escolha a combinação correta de verdadeiro ou falso abaixo.'

'Para reagir completamente 11,2 mL de hidrogênio, são necessários pelo menos 5,6 mL de oxigênio. O volume de ar contendo 5,6 mL de oxigênio pode ser determinado a partir da proporção de ar na Tabela 1, que é 5,6 ÷ 0,21 = 26,66, arredondado para 26,7 mL.'

'A pessoa A sai da escola entre 0 e 60 minutos depois, chega à estação K entre 12 e 72 minutos depois, e chega à estação M entre 14 e 74 minutos depois. Além disso, o trem parte da estação K em momentos divisíveis por 8, e o trem parte da estação M em momentos divisíveis por 5, como mostrado no diagrama 1. No entanto, não é possível determinar a diferença no tempo de espera a partir do diagrama 1, razão pela qual é criado o diagrama 2 ao deslocar o diagrama da estação M 2 minutos para a direita para alinhar os horários de chegada à estação. A partir do diagrama 2, é possível perceber que os tempos de espera são iguais ao chegar à estação na seção da linha em negrito. Neste caso, se a pessoa A determinar a hora de sair da escola na estação M, pode-se deduzir de 45-14=31 minutos depois até 50-14=36 minutos depois (A é 45-2=43 minutos depois). Se determinado na estação K, o tempo decorrido pode ser reduzido de 43-12=31 minutos depois para o tempo visto na figura.'

'Há um baralho de 144 cartas com números de 1 a 144 colocadas uma sobre a outra como um monte com uma caixa ao lado.'

"Responda às perguntas sobre os Dados 2, 'Gráfico de mudanças de pressão atmosférica'.(1) Selecione palavras ou símbolos apropriados para preencher os [ ] e coloque um círculo em volta deles.\nAo redor de um furacão, quanto mais perto do seu centro, menor é a pressão atmosférica. Portanto, entende-se que o gráfico criado a partir dos dados de observação da nossa escola é [(I) [ (baixa) ]. Além disso, a partir do gráfico no Data 2, podemos determinar o momento em que o centro do furacão se aproximou de cada ponto de observação. Ao comparar Tóquio e Choshi no gráfico, fica claro que o gráfico de Tóquio mostrou [(III) [ (baixa) ] como o primeiro a se aproximar do centro do furacão, enquanto o gráfico de Choshi mostrou [(V) [ (alta) ] como o primeiro."

'Sobre a Definição 5'

'(5) A taxa de sedimentação da seção de Chiba é de 2 metros a cada mil anos, então o tempo necessário para acumular da camada de cinzas vulcânicas formada há 773.000 anos até a camada 1,6 metros acima é de 1000×1,6/2=800 (anos). Portanto, de 773.000-800=772.200 anos atrás, o campo magnético da Terra mudou para sua orientação atual.'

'Ao comparar os números no mesmo índice das colunas A e B, qual número possui a maior diferença? Liste todas as respostas possíveis.'

'(6) O trem que segue da estação de Makuhari para a estação de Makuharihongo percorre 600m nos primeiros 60 segundos e, em seguida, 20 x 17.5 = 350m nos restantes 17.5 segundos. Portanto, a posição em que os trens passam um pelo outro é a 950m da estação de Makuhari.'

'Eventos ocorreram em 1428, 1392 e 1489, então, em ordem cronológica, deveria ser I-II.'

"Os valores médios de temperatura e outros dados anunciados pela Agência Meteorológica do Japão são calculados pela média dos números dos anos em que o último dígito do ano é '1' e continuando por 30 anos. Desde 19 de maio de 2021, os dados de 1991 a 2020 substituíram os dados anteriores de 1981 a 2010."

'Quando o lado de um quadrado preto mede 14 cm, a quantidade de quadrados brancos é (14 + 1) x 4 = 60. Assim, 60 pode ser representado como o produto de dois inteiros: 60 = 1 x 60, 2 x 30, 3 x 20, 4 x 15, 5 x 12, 6 x 10.'

'Por favor, preencha adequadamente os espaços em branco. O valor do eixo vertical do ponto (2) representa o número de indivíduos da geração (A) e o valor do eixo vertical do ponto (3) representa o número de indivíduos da geração (B).'

'(1) Uma vez que a área da secção transversal dentro do tubo de plástico é de 0.25 cm^2, o volume de nitrogênio a 20°C é 0.25 x 14.0 = 3.5 (cm^3) e o volume de oxigênio é 0.25 x 30.0 = 7.5 (cm^3).'

'Encontrar o número de casos\n(1) Primeiro, encontrar o vigésimo número do Senhor A. Como mostrado na Figura 1, quando o dígito no lugar dos milhares é 1, existem 4 possibilidades para o lugar das centenas, 3 possibilidades para o lugar das dezenas, e 2 possibilidades para o lugar das unidades, então para um número de quatro dígitos, descobrimos que o 24º número da esquerda é 1976. A partir daqui, desenhando um diagrama de árvore do maior para o menor conforme mostrado na Figura 2, podemos determinar que o 20º número do menor é 1947. Além disso, o número do cartão do Senhor A é 2938.'

'(7) (1)~(3) Para acumular camadas da mesma espessura de 1 metro, levaria 500 anos em Chiba, enquanto na Itália levaria 5000 anos. Portanto, a velocidade de acumulação de camadas em Chiba é 10 vezes maior, calculada como 1/500 ÷ 1/5000 = 10.'

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'Disponha os quadrados brancos com um lado de 1 cm ao redor de um quadrado preto com um lado de 1 cm. O diagrama abaixo mostra quadrados brancos dispostos ao redor de quadrados pretos com lados de 1 cm, 2 cm, 3 cm e assim por diante da esquerda para a direita. Dentro das grades dos quadrados brancos, o inteiro A é usado A vezes, e dois ou mais inteiros consecutivos diferentes são dispostos a partir de um certo inteiro. Por exemplo, como mostrado no lado esquerdo da figura 1, quando o lado do quadrado preto é 2 cm, usando 3 de 3, 4 de 4 e 5 de 5 pode ser disposto com precisão. No entanto, como mostrado no lado direito da figura 1, não é possível dispor com precisão 4 de 4, 5 de 5 e 6 de 6. Além disso, como mostrado na figura 2, quando o lado do quadrado preto é 8 cm, os inteiros de 1 a 8 e de 11 a 13 podem ser dispostos com precisão.'

'Prova de Matemática da Escola Secundária Junior do Instituto Educacional de Shibuya Makuhari de 2020\n1 (3) Qual carta sobra na montanha no final da operação?'

'Em certo momento, 12 luzes estavam acesas. Quantos horários possíveis existem?'

'Em relação à parte c da pergunta 3, o antigo campo de batalha da Batalha de Yashima está localizado na atual Prefeitura de Kagawa. A Prefeitura de Kagawa é o local de nascimento do ex-Primeiro Ministro Masayoshi Ohira. Escolha a combinação correta das declarações A a D sobre os eventos da década de 1970, quando Masayoshi Ohira serviu como Ministro das Relações Exteriores e Primeiro Ministro, nas opções abaixo e responda por número.'

'Para as frases X e Y relativas à parte sublinhada d na pergunta 5, escolha a combinação correta de verdadeiro ou falso como resposta.'

'As camadas de cinzas vulcânicas servem como pistas para comparar camadas distantes. Escolha a opção apropriada entre colchetes para explicar as razões e circule-a com um círculo.'

'(3) Definição de Unidade\nA unidade padrão de "massa" começou a ser o "protótipo de quilograma" no final do século XIX. A razão é que a massa de "1000 cm^3 de água" varia dependendo das condições da água. O "protótipo de quilograma" é um metal sólido, portanto, sua massa não varia com as condições. Pense em uma condição que mudaria a massa de "1000 cm^3 de água" e escreva-a.'

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'Reaja 11,2 mL de gás 3 com ar. Forneça o volume mínimo de ar necessário para garantir que o gás 3 não permaneça, arredondado para o primeiro decimal.'

'Se o líquido continuar sendo despejado na mesma taxa após a figura 3, descubra o tempo que leva para os contentores A e B se encherem respectivamente, e responda qual contentor será preenchido primeiro.'

'2020 Academia de Educação Shiba Makuhari Middle School 2º (2)\n(2) Quantos minutos após a partida os navios P e Q se encontraram no ponto D?'

'(2) A iluminância a uma distância de 100 cm da lâmpada é 120 lux, e a uma distância de 50 cm, é de 500 lux. Portanto, 120 dividido por 500 é igual a 0,24, então, a iluminância a uma distância de 100 cm é aproximadamente um quarto da iluminância a uma distância de 50 cm.'

'Hara Takashi organizou o Rikken Seiyukai como seu presidente e formou o primeiro gabinete partidário completo em 1918, o que corresponde ao 7º ano de Taisho.'

'Pergunta 5'

"No Japão, a transmissão de televisão começou em 1953, seguida pelo início de um período de alto crescimento econômico no final da década de 1950. Durante esse tempo, os eletrodomésticos começaram a se espalhar pelos lares de todo o país, com televisões em preto e branco, máquinas de lavar elétricas e geladeiras elétricas sendo popularmente conhecidas como os 'Três Tesouros Sagrados'. O ar condicionado e os automóveis, juntamente com a televisão a cores, eram referidos como '3C' e tornaram-se comuns na segunda metade do período de elevado crescimento econômico. A Lei de Eleições Públicas e a Lei de Manutenção da Ordem Pública foram promulgadas no final da era Taisho em 1925, o mesmo ano em que começou a transmissão de rádio."

'Em relação à parte sublinhada B na questão 3, escolha a combinação correta de verdadeiro ou falso para as seguintes frases X e Y'

'Existem 33 tipos de velas A, B, C. Quando você acende 3 velas, elas queimarão a uma taxa específica. Após acender A, acenda B após 10 minutos, depois C mais 5 minutos depois. A vela C queimou primeiro, seguida pelas velas A e B queimando simultaneamente. O gráfico abaixo mostra o tempo que leva para todas as velas queimarem após acender a vela A, bem como a relação entre os comprimentos das velas mais longa e mais curta. O comprimento de uma vela queimada é considerado 0 cm. Responda às seguintes perguntas.'

'Para as frases X e Y relacionadas com a parte sublinhada b na questão 3, escolha uma das seguintes combinações e responda com o número que está correto.'

'Para a frase X e Y referente à parte c sublinhada na pergunta 3, selecione a combinação correta de verdadeiro ou falso e, em seguida, escolha um número nas opções abaixo para responder. X A cidade de Yokohama foi uma das primeiras cidades designadas por ordem governamental no Japão, juntamente com a cidade de Nagoya, a cidade de Osaka, a cidade de Quioto e a cidade de Kobe. Por razões históricas, Y na cidade de Yokohama, indústrias de tingimento como lenços de seda e cachecóis tornaram-se indústrias locais.\n\egin{tabular}{|llllllllll|}\n\\hline 1 & \ \\mathrm{X} \ & Verdadeiro & \ \\mathrm{Y} \ & Verdadeiro & 2 & \ \\mathrm{X} \ & Verdadeiro & \ \\mathrm{Y} \ & Falso \\\\\n3 & \ \\mathrm{X} \ & Falso & \ \\mathrm{Y} \ & Verdadeiro & 4 & \ \\mathrm{X} \ & Falso & \ \\mathrm{Y} \ & Falso \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}'

'Encontre o resultado de 5 + 3.'

'Devido à sua cor verde original, a mudança de cor da solução de repolho roxo é considerada vermelha. Esta mudança de cor indica que o pH da solução A é inferior a 2,5. Uma solução ácida que neutraliza exatamente os 5 mL da solução B tem um pH de 3,5, calculado como 7-(10,5-7)=3,5. Assumindo que a solução A tem um pH de 2,5, em comparação com a solução ácida com um pH de 3,5, o nível de acidez é 10 vezes mais forte, indicando que o volume da solução A necessário para neutralizar a solução B é de 1/10 do volume da solução B. Se o pH da solução A for inferior a 2,5, o volume da solução A necessário para a neutralização será ainda menor.'

'Lendo as marcações nesta escala, P’ é 4mm, Q é 26mm. Portanto, o comprimento de P’Q é encontrado como 26 - 4 = 22mm.'

'Problema de matemática (1) na Escola Secundária Makuhari da Academia Shibuya em 2021'

'Para as sentenças X e Y seguintes referentes à parte sublinhada c da questão 3, escolha uma combinação correta de verdadeiro ou falso na tabela abaixo e responda com o número correspondente.'

'3 Velocidade e Proporção'

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'Shinichi caminha de sua casa até a casa de seu amigo ao longo de uma estrada reta. Inicialmente, ele estava correndo em direção à casa do amigo, mas ficou cansado, então começou a andar a partir do ponto médio entre sua casa e a do amigo. Como resultado, ele chegou 20 minutos mais tarde do que se tivesse corrido todo o caminho. Na volta, sua mãe vem buscá-lo de carro. Shinichi caminha até a casa de seu amigo, enquanto sua mãe dirige de casa, ambos saindo ao mesmo tempo. Eles se encontram no caminho de volta, onde Shinichi entra no carro, e devem voltar para casa juntos. No entanto, Shinichi saiu da casa de seu amigo 10 minutos mais tarde do que o planejado. Sua mãe, que saiu conforme o planejado, continua dirigindo até encontrá-lo, o pega, mas demora mais do que o previsto. A velocidade de caminhada de Shinichi é x, a velocidade de corrida é 2x e a velocidade do carro é 5x.'

'Forneça valores apropriados para os espaços em branco seguintes.'

'Desta forma, definimos que o lugar das dezenas de A é 9 e o lugar das dezenas de B também é 9. Assim, a diferença entre as cartas restantes é 2-1 = 8-7 = 1, então a maior diferença está nos pares (6491, 4392) e (6497, 4398) (ambas as diferenças são 2099). Em seguida, consideramos os casos em que A se torna 6491 ou 6497. Segundo os pontos (1) e (2), sabemos que existem 24 inteiros com uma unidade de milhar de 1 ou 4. Além disso, existem 6 inteiros com uma unidade de milhar de 6 e uma centena de 1. Ao ordenar inteiros com uma unidade de milhar de 6 e uma centena de 4 em ordem crescente, obtemos {6417, 6419, 6471, 6479, 6491, 6497}, o que nos permite concluir que 6491 é o 59º número e 6497 é o 60º número.'

'Pese o peso de 12 sementes e encontre o peso da água perdida das 12 sementes.'

'Se o trem A estiver rodando 0.2 km/h mais devagar do que a velocidade real, ele chegou à estação K 18 minutos atrasado em relação ao horário programado.'

'(1) "Metros por segundo" é uma unidade que representa a distância percorrida em um segundo, portanto, é uma unidade de velocidade.'

"Na pergunta 1, os espaços em branco de A a O serão preenchidos com 'baixo' ou 'alto'. Escolha a combinação correta de símbolos que representam o espaço em branco preenchido com 'alto' a partir das opções abaixo e responda com o número correspondente."

'A questão 1 vale 3 pontos cada × 4, as questões 2 a 5 valem 4 pontos cada × 4, a questão 6 vale 6 pontos, a questão 7 vale 4 pontos, a questão 8 vale 10 pontos, a questão 9 vale 3 pontos cada × 2'

'A questão 7 refere-se à parte sublinhada f, a Província de Owari era um país localizado na parte ocidental da atual Província de Aichi. A capital da província de Aichi é Nagoya, mas a figura à direita, Figura 5, representa a situação da agitação do arroz que eclodiu em Nagoya. Ao observar esta Figura 5, escolha a combinação correta das seguintes afirmações A～D referentes à agitação do arroz.'

'Qual dos seguintes é sólido à temperatura ambiente? (1) Hidróxido de sódio (2) Alumínio (3) Óleo de salada (4) Álcool desinfetante (5) Dióxido de carbono (6) Oxigênio'

'Pergunta (3) (2) da segunda vez da Academia de Educação de Shibuya em Makuhari em 2021: Demora 12 minutos para percorrer a distância a uma velocidade de 1 km por minuto, logo, a distância entre as estações M e K é de 1 * 12 = 12 km.'

'O terceiro gabinete de Abe foi um gabinete de coalizão do Partido Liberal Democrata (PLD) e Komeito, com ministros escolhidos também do Komeito. O primeiro-ministro Shinzo Abe renunciou em 16 de setembro de 2020, com um tempo total de mandato de 3188 dias, ultrapassando os 2886 dias de Taro Katsura para se tornar o primeiro-ministro mais tempo em serviço da história. Além disso, desde a formação do segundo gabinete em 26 de dezembro de 2012, o período contínuo no cargo foi de 2822 dias, ultrapassando os 2798 dias de Eisaku Sato, tornando-o também o mais longo da história. Portanto, a afirmação está correta.'

'Pergunta 1 Em relação à parte sublinhada a, durante o período Jomon, havia o costume de enterrar os falecidos conforme mostrado na imagem à direita. Como é chamado esse tipo de sepultamento? Responda em kanji.'

'Quando vários grupos foram divididos para realizar os experimentos 1 e 2, alguns grupos descobriram que a solução mista não entrava vigorosamente no balão de fundo redondo. Selecione todas as razões aplicáveis das opções a seguir e forneça os símbolos correspondentes.'

'2021 Academia de Educação de Shibuya Makuhari Middle School 2º (2)'

'2 (2) ÷ C = 15 com um resto de 15, então, B = C × 15 + 15 = 15 × (C + 1), então B é um múltiplo de 15. Da mesma forma, B ÷ D = 17 com um resto de 17, B = D × 17 + 17 = 17 × (D + 1), então B é um múltiplo de 17. Assim, B é um múltiplo comum de 15 e 17, sendo o mínimo múltiplo comum de 15 e 17 igual a 15 × 17 = 255, então B é um múltiplo de 255. Além disso, C é maior ou igual a 16, e D é maior ou igual a 18, portanto, B é pelo menos 17 × (18 + 1) = 323. Assim, quando 999 é dividido por 255 com um resto de 234, o maior inteiro de 3 dígitos é calculado como 255 × 3 = 765.'

'As frações que não podem ser simplificadas estão em ordem ascendente de menor para maior {1/2021, 2/2021, 3/2021, ...} e em ordem descendente de maior para menor {2020/2021, 2019/2021, 2018/2021, ...}. Ao somá-las em pares, a soma de cada par é 1/2021+2020/2021=2/2021+2019/2021=3/2021+2018/2021=1. Além disso, como existem 2020-88=1932 frações que não podem ser simplificadas, o número de pares é 1932÷2=966. Portanto, a soma delas é 1×966=966.'

'Os 73 vermes-do-mar comidos por maçaricos A comeram o dobro da matéria orgânica de 2,19 x 2 = 4,38 gramas em dois dias, 15 e 16.'

'Selecione a opção correta em relação à parte sublinhada a nas seguintes frases X e Y.'

"(3) A densidade da água (peso por unidade de volume) é maior a 4°C e diminui a temperaturas superiores ou inferiores a 4°C. Em outras palavras, a massa de '1000 cm^3 de água' varia com a temperatura, tornando-a inadequada como padrão de peso."

''

'Na foto da Figura 6, a escala principal e a escala vernier estão alinhadas na marca 3.5 da escala vernier. Qual é o diâmetro do botão em milímetros? Por favor responda com duas casas decimais.'

'Como mostrado no diagrama, há uma pilha de 144 cartas numeradas de 1 a 144, colocadas uma sobre a outra, e ao lado há uma caixa.'

'Para a frase X・Y relativa à parte sublinhada j na pergunta 10, qual combinação de correto e incorreto é a correta?'

'Com 1 km = 1000 m e 1 hora = 60 minutos = 3600 segundos, 72 km/h é igual a 72 × 1000 ÷ 3600 = 20 (m/s).'

'Qual é o intervalo de tempo máximo entre ouvir o som de A e ouvir o som de B (arredondado para uma casa decimal)?'

'As pedras brancas e pretas são organizadas em uma única linha da esquerda para a direita sem que as pedras da mesma cor apareçam consecutivamente mais de 3 numa linha. O diagrama à direita foi desenhado para considerar as formas pelas quais 4 pedras podem ser dispostas usando pedras brancas e pretas combinadas. (1) Quantas formas existem para dispor as pedras usando um total de 6 pedras brancas e pretas?'

'Questão 5 a O Salão Fênix Byodo-in é um salão construído por Fujiwara no Yorimichi em 1053, na segunda metade do século XI. b Em 784, no final do século VIII, o Imperador Kanmu mudou a capital da forte influência budista de Heian-kyo para Nagaoka-kyo em Kyoto.'

'Responda às questões sobre o calor libertado durante a combustão do metano, propano e butano.\n(1) Realize os seguintes cálculos:\n a) A quantidade de calor libertada quando 0,7 g de metano combustível\n b) O peso de 1L de propano e o calor que liberta\n c) O peso de 1L de butano e o calor que liberta'

'Pergunta 9'

'Escolha o conteúdo apropriado nos seguintes [], e marque com um ○.'

'Calcule a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura do gelo de -20°C para 0°C.'

'As Nações Unidas, fundadas em outubro de 1945 com 51 países membros fundadores após o término da Segunda Guerra Mundial, têm sua sede na cidade de Nova Iorque, na costa leste dos Estados Unidos. No final de 2021, 193 países são membros da organização. As despesas necessárias para as atividades da ONU são principalmente cobertas por contribuições dos países membros. Essas contribuições são alocadas a cada três anos com base em fatores como o poder econômico de cada país, e são decididas pela Assembleia Geral. A participação do Japão nas contribuições manteve-se em segundo lugar depois dos Estados Unidos por muitos anos, mas nos últimos anos caiu para o terceiro lugar, depois dos Estados Unidos e da China.'

'Estes são iguais a 6 vezes K ou N-número ou 3N. Identifique um deles.'

'Qual dos seguintes é o mesmo que o gás ou precipitado obtido através das operações a e b? Por favor, responda com símbolos.'

'Ao contar a escala secundária entre PQ, você pode determinar o comprimento entre PQ. Qual é o comprimento de PQ em milímetros? Por favor, responda com duas casas decimais.'

'Em 607 d.C., Ono no Imoko foi enviado como enviado a Sui (China) durante o reinado da Imperatriz Suiko. Em 804 d.C., Kukai cruzou para Tang como monge estudioso em um navio de missão, aprendeu o Budismo Esotérico, retornou ao Japão e se tornou o fundador da seita Shingon no Japão construindo Kongobuji no Monte Koya (Prefeitura de Wakayama).'

'O evento I ocorreu em 1936, o II em 1925, o III em 1914, o IV em 1918. A era Taisho durou até dezembro de 1926, após o que começou a era Showa, então deveria ser II-III-I-III.'

'Qual é a distância entre as menores linhas de graduação na escala em milímetros? Por favor, responda até duas casas decimais.'

'(5) À medida que a temperatura sobe 1 grau Celsius, o querosene aumenta em 0,14% do padrão, e o gás nitrogênio aumenta em 0,36%. Portanto, 0,36 ÷ 0,14 = 2,57..., que é aproximadamente 2,6 vezes.'

'No segundo exame de 2020, você marcou 203 pontos. Isso significa que você alcançou a nota de aprovação?'

'Usando a questão 2021 da Academia de Educação Shibuya Makuhari Middle School (2ª rodada) (26), calcule a resposta até a terceira casa decimal.'

'Questão 6. Escolha a combinação correta de verdadeiro ou falso para as seguintes frases X e Y em relação à parte sublinhada e.'

'Pode-se concluir que muitas instalações escolares foram construídas por volta de 1978, com base no fato de que a maioria dessas instalações tem mais de 40 anos. Após o final da Segunda Guerra Mundial no final da década de 1940, houve um boom de bebês e, no início da década de 1970, quando essa geração se tornou pais, ocorreu um segundo boom de bebês. Prevê-se que no momento em que as crianças nascidas nessa época forem à escola, haverá falta de instalações escolares, como salas de aula e edifícios escolares, levando muitos governos locais a realizar novas construções ou renovações.'

'Ao atribuir equipes a um bracket de torneio, a organização onde os confrontos na primeira rodada são todos iguais e os possíveis confrontos na segunda rodada também são todos iguais é considerada a mesma. Por exemplo, as atribuições nas Figuras 2, 3, 4 e 5 são consideradas iguais, enquanto as atribuições nas Figuras 2 e 6 são consideradas diferentes.'

'Na cadeia alimentar da zona intertidal, considere as aves migratórias que utilizam matéria orgânica. Observando uma amostra de Soldadinho (doravante, Soldadinho) que visita a zona intertidal, foi determinada a quantidade de matéria orgânica consumida por eles. Calcular os valores numéricos apropriados (até duas casas decimais) para as seguintes frases.'

'2020 Escola de Educação de Shibuya Middle School de Makuhari 第1次 (24) (3) Para a figura 2, responda os números adequados para os seguintes parênteses.'

'(2) Existem 6 combinações possíveis de 4 assentos. Em cada caso, existem 24 maneiras de 4 pessoas se sentarem (4 × 3 × 2 × 1), portanto, o total é 24 × 6 = 144 maneiras.'

'Para as frases X e Y referentes à parte sublinhada b na pergunta 2, escolha a combinação correta de verdadeiro ou falso nas opções abaixo e responda com o número correspondente.'

'Problema sobre a velocidade e transmissão do som'

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'A partir de (5) e (4), o comprimento de D pode ser calculado como 4 + 0,55 = 4,55 (mm).'

"Pergunta 1: Para a frase X e Y sobre a parte sublinhada 'a', escolha uma combinação correta de verdadeiro ou falso nas opções abaixo."

'Para a pergunta 2, escolha a combinação correta de afirmações verdadeiras ou falsas em relação à parte b sublinhada em relação às seguintes explicações X・Y.\nX Foi aprovada uma revisão da Lei das Eleições para Cargos Públicos, incluindo um aumento de 6 lugares, para eliminar a disparidade de votos nas eleições para o Senado.\nY Foi feita uma revisão à Lei da Casa Imperial para permitir a abdicação do Imperador apenas uma vez.\n1. X - Verdadeiro, Y - Verdadeiro\n2. X - Verdadeiro, Y - Falso\n3. X - Falso, Y - Verdadeiro\n4. X - Falso, Y - Falso'

'[Matemática] 100 pontos (pontuação estimada) 8 pontos cada para 1 e 2 × 6, 7 pontos cada para 3 e 4 × 4 caixas 5 × 8 pontos cada para 3'

'Pergunta 56 pontos pergunta 6 a pergunta 8 cada 4 pontos (3 perguntas)'

'No aglomerado estelar das Plêiades, podemos ver dois tipos de estrelas de cor vermelha. Estrelas vermelhas brilhantes e estrelas vermelhas escuras. Como as estrelas vermelhas brilhantes podem ser percebidas de forma diferente das estrelas vermelhas escuras? Preencha o parêntese para completar a frase.'

'Pergunta 9. Escolha uma combinação correta a partir das opções a seguir em relação à explicação sobre a parte sublinhada h (X) e Y.'

'(3) Ao dividir os arranjos de assentos para 3 lugares em 5 casos, cada caso tem 6 maneiras para 3 pessoas se sentarem (devido a permutações). Portanto, o número total de combinações é calculado como 22x6=132.'

'O navio Q chegou a A após 36 ÷ 2 = 18 minutos de partida. Neste momento, o navio P já havia se movido 6 minutos a partir de B, então a distância entre os dois navios quando Q chegou a A era 36 - 1 × 6 = 30. Portanto, os dois navios se encontraram em D depois de o navio Q ter retornado de A, o que ocorreu 30 ÷ (4+1) = 6 minutos depois. Isso ocorreu 24 minutos após a partida.'

'3 vezes 2 pontos vezes 9'

'Encontre a proporção da profundidade da água quando a mesma quantidade de água é despejada em A e B.'

'Do <Experimento 2>, calcule o peso de 12 grãos de sementes para cada grupo e o peso da água perdida quando os 12 grãos de sementes se transformam em pipoca, arredondando para o primeiro decimal.'

'Você tem quatro luzes que podem iluminar vermelho, azul, amarelo e verde, dispostas em fila. Cada vez que pressiona o interruptor, as cores dessas quatro luzes mudam de acordo com uma regra específica. Começando pelo estado inicial, quantas regras diferentes podem fazer com que as quatro luzes iluminem cores diferentes?'

'Escolha uma combinação correta das declarações X e Y sobre o tempo em que a obra em questão 3, parte c, foi concluída.'

'Na condição 4, 11,2mL de hidrogênio e 22,4mL de oxigênio (33,6 - 11,2 = 22,4) são misturados, então 5,6mL de oxigênio são usados na reação, restando 16,8mL.'

'Questão 9 1) Tanto os governadores estaduais quanto os membros do conselho local têm um mandato de 4 anos. 2) O direito de se candidatar a senadores e governadores estaduais é concedido a pessoas com 30 anos ou mais, enquanto o direito para representantes, prefeitos e membros do conselho local é concedido a pessoas com 25 anos ou mais. 3) Em 2015, uma emenda à Lei de Eleições para Cargos Públicos reduziu a idade para o sufrágio de 20 para 18 anos para parlamentares nacionais, prefeitos e membros do conselho local. 4) Os governadores estaduais têm autoridade para dissolver a assembleia estadual, mas não têm autoridade para dissolver os conselhos municipais (de bairro) e das cidades/vilas.'

'Para um inteiro não nulo c, calcule 8 △ c. Encontre o maior valor possível de 8 △ c.'

'Pergunta 12 (Exemplo) Parte que estipula que o número necessário para convocar uma sessão extraordinária é pelo menos um quarto do total de membros de qualquer uma das casas legislativas.'

'Escolha uma opção da lista abaixo e responda com um número.'

'Para a afirmação X e Y em relação à política na parte sublinhada da questão 5, escolha uma opção correta como a combinação correta e incorreta da tabela abaixo.'

'Se A sair do ensino médio S entre as 14h e as 15h, haverá menos tempo de espera para o trem na estação para ir à estação K do que para ir à estação M. Quantos minutos no total A passa de sair do ensino médio S às 14h até 15h?'

''

'Leia a frase entre parênteses (), use o texto explicativo e os valores numéricos na tabela para encontrar o inteiro que se encaixa em ().'

'Como o barco P levou 12 minutos para viajar de A para B, a velocidade de descida do barco P é de 1800 dividido por 12, resultando em 150 metros por minuto. Além disso, a proporção entre a velocidade de descida do barco P e a velocidade do fluxo do rio é de 3:1, assim a velocidade do fluxo do rio é de 150 multiplicado por 1/3, resultando em 50 metros por minuto. Convertendo isso para velocidade por hora, temos 50 multiplicado por 60 dividido por 1000, resultando em 3 quilômetros.'

'Em 2019, na Escola de Educação Shibuya Makuhari, foi conduzido o seguinte experimento: foram tomados 5 mL de soluções aquosas das substâncias A a F comumente usadas no dia a dia em tubos de ensaio e suas cores foram observadas. A era limpador de banheiro, B era água com macarrão shirataki (konjac), C era água com gás, D era alvejante para roupas, E era vinagre de arroz, F era mirin. A era verde, enquanto B a F eram quase incolores e transparentes, com D a F ligeiramente amarelos. Também foi descoberto que a cor verde de A não muda com a acidez ou alcalinidade. Em seguida, quantidades iguais de solução de repolho roxo foram adicionadas às soluções aquosas de A a F, resultando nas seguintes mudanças de cor. Questão 1. (2): Quais das soluções aquosas de A a F são alcalinas? Selecione todas e forneça os símbolos.'

'Quando o número total de pedras pretas é 1000, quantas voltas no máximo a primeira pedra branca pode ser cercada por pedras pretas?'

'(5) A definição de um metro é baseada na velocidade da luz, que é de 299.792.458 metros por segundo. A velocidade da luz foi medida pela primeira vez em 1676 através de observações das luas de Júpiter.'

'Deseja definir o comprimento legível com um intervalo de 0,02mm. Você precisa alterar o comprimento da subescala para 49mm. Em quantas partes você deve dividir 49mm?'

'As gerações de 1 a 3 aumentam para 10→99→690. Então, continuando o mesmo processo a partir do ponto 3, à medida que as gerações progridem, o número de indivíduos flutua e eventualmente se aproxima de um número fixo (a interseção do gráfico de número de indivíduos e da linha L é 570). Além disso, a amplitude dessas flutuações diminui gradualmente. Portanto, () e (セ) são opções a escolher.'

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'Ao dividir 60 por 9, o quociente e o resto são ambos 6, que são iguais. Além disso, ao dividir 60 por 11, o quociente e o resto são ambos 5, que são iguais.'

'[Matemática] 100 pontos (pontuação estimada)\n1 (1) 2 pontos cada × 3\n(2),\n(3) 7 pontos cada × 2<(3) é uma resposta completa > '

"A questão 9 tem a palavra 'imposto nacional' logo após a parte sublinhada. Além disso, são os viajantes que suportam o imposto de 1000 ienes, mas o imposto é cobrado pela companhia aérea ou de navegação, adicionando-o ao preço do bilhete 'como regra geral', assim, é a companhia aérea ou a companhia de navegação que paga impostos ao país, o que é um imposto indireto onde o ônus e o pagador do imposto são diferentes. O imposto de renda em 1 é um imposto direto como imposto nacional, o imposto dos residentes em 2 é um imposto direto como imposto municipal, o imposto sobre bebidas em 3 é um imposto indireto como imposto nacional e o imposto local sobre o consumo em 4 é um imposto indireto como imposto municipal, assim, o 3 é escolhido."

'Resolva os seguintes cálculos.'

'Problema de encontrar times que têm potencial para se tornarem vice-campeões'

''

'Escolha a combinação correta das frases X e Y referentes aos eventos de 1960 a 1965 relacionados à parte sublinhada k e responda com o número correto abaixo.'

'Quando o aluno A retorna para casa a partir da escola secundária S, ele pode optar por utilizar a estação K na Ferrovia da Praia ou a estação M na Ferrovia Wakaba. A estação K está localizada ao sul da escola secundária S e leva 12 minutos para caminhar desde a escola secundária S. Além disso, a estação M está localizada ao norte da escola secundária S e leva 14 minutos para caminhar desde a escola secundária S. Na estação K, os trens partem a cada 8 minutos após as 14h e, na estação M, os trens partem a cada 5 minutos após as 14h. Responda às seguintes perguntas.'

'Compare o número de luzes acesas em um determinado momento com o número de luzes acesas um minuto depois. A que horas o número de luzes acesas aumenta mais um minuto depois. Liste todas as horas possíveis.'

'Questão 1 vale 3 pontos cada para um total de 4 perguntas; Questão 2 vale 9 pontos; Questão 3 e 4 valem 5 pontos cada para 2 perguntas; Questão 5 vale 11 pontos; Questão 6 e 7 valem 3 pontos cada para um total de 4 perguntas.'

'Para a frase X e Y sobre a parte sublinhada f na questão 8, escolha a combinação correta de verdadeiro ou falso das opções abaixo.'

'Propriedades do inteiro 1'

'Disponha pedras brancas e pretas em uma linha sem ter mais de três pedras da mesma cor seguidas. O diagrama à direita mostra as disposições possíveis usando um total de 4 pedras brancas e pretas.'

'(5) O trem da estação de Makuhari para a estação de Makuharihongo percorre 600m em 60 segundos, e o trem da estação de Makuharihongo para Makuhari percorre, de acordo com a figura 7, em 60 segundos, a distância de 20 × 40 ÷ 2 + 20 ×(60-40) = 400 + 400 = 800(m). Portanto, neste momento, a distância entre os dois trens é de 2100 - (600+800) = 700 metros. Esses 700 metros são percorridos a uma velocidade de 20 m/s por ambos os trens em direções opostas, então, 700 ÷(20+20) = 17.5 (segundos) após eles se encontrarem. Assim, o tempo decorrido desde a partida dos dois trens até se cruzarem é de 60 + 17.5 = 77.5 segundos.'

'À solução de B com pH 10,5, foram adicionados 5 ml de solução de A. Quantos mililitros são necessários para a neutralização exata? Encircule a resposta apropriada nos colchetes a seguir.'

"Em 2021, a área da seção transversal dentro do tubo de plástico cheio de gás é de 0,25 cm^2. O volume do gás pode ser calculado com a seguinte fórmula. Volume do gás (cm^3) = Comprimento do gás (cm) x Área da seção transversal 0,25 (cm^2) Tabela 1 Temperatura (^C) e 'Comprimento do gás' (cm)"

'Resolva o seguinte problema sobre uma sequência e um padrão.'

"No livro histórico chinês 'Registros dos Três Reinos', é mencionado que no início do século III, em 239 d.C., a Rainha Himiko do Reino de Yamatai enviou enviados para Wei (China) e foi agraciada pelo imperador com o título de 'Rainha Leal a Wei' e um espelho de bronze."

'Ao duplicar a quantidade de água em A a meio caminho, encontre a profundidade da água em 32.5 minutos e a hora naquele momento.'

'À temperatura ambiente, foi adicionada uma pequena quantidade das seguintes substâncias à água e agitado com uma haste de vidro. Selecione todas as substâncias que não se dissolvem em água e escreva seus símbolos.'

'Está correta a descrição do cadastramento (Taiko Kenchi) iniciado por Toyotomi Hideyoshi em 1582?'

'Qual dos recipientes, A ou B, dobrou a quantidade por minuto? Por favor, forneça o horário também.'

'Primeira Prova de Matemática de 2020 da Escola Secundária Shibuya Gakuen Makuhari\n1 (1) Manipule cartas de 1 a 144 usando operações P e Q. Qual é o cartão a ser colocado na caixa na 42ª posição?'

'Entre os gases produzidos nas partes sublinhadas (1) a (6), há apenas um tipo de gás que é diferente. Escolha entre (1) a (6) e forneça também o nome do gás produzido.'

'Problema sobre velocidade e distância'

'De (3) mais que (2), sabe-se que a distância entre AD é de 4 × 6 = 24. Além disso, a distância entre AC é 36 × 3/(3+2) = 21.6, então a distância entre CD é 24-21.6 = 2.4. Isso corresponde a 120 m, então a distância de 1 é 120 ÷ 2.4 = 50 m, e a distância entre AB é 50 × 36 = 1800 m, que é calculada como 1800 ÷ 1000 = 1.8 km.'

"Outro exemplo de uma 'unidade de montagem' é [metros por segundo], que é obtida dividindo a distância pelo tempo. Que quantidade física é medida em metros por segundo?"

'(1) \\ n=3'

'No Exemplo Básico 40, estamos lidando com uma sequência que começa a partir do termo 0.'

'Defina um quadrado S_n e um círculo C_n (n=1,2,⋯⋯) da seguinte forma. C_n está inscrito em S_n e S_{n+1} está inscrito em C_n. Se o comprimento do lado de S_1 for a, encontre a circunferência total.'

'Prove que a desigualdade √(ab) < (b-a)/(log b-log a) < (a+b)/2 é válida quando 0 < a < b.'

'Suponha que α, β sejam as duas soluções da equação x^2-2px-1=0, com |α|>1.'

'Dados os pontos A(1,3), B(3,-2), C(4,1).'

'Se a desigualdade -4 ≤ x ≤ a for válida, e o valor máximo de y=√(9-4x)+b for 6, enquanto o valor mínimo for 4. Neste caso, quais são os valores de a e b?'

"Explique o que significa o termo 'termo inicial', forneça sua definição."

'Resolva a desigualdade $\\frac{ax+b}{2x+1}>x-2$ quando a função $y=\\frac{ax+b}{2x+1}$ assume o valor encontrado em (1).'

'Das duas tangentes desenhadas a partir do ponto (2,1) para a parábola y=\\frac{2}{3}x^{2}-1, seja \\ell aquela com a menor inclinação.'

'Sejam a, b números naturais. Prove que se ab é um múltiplo de 3, então a ou b é um múltiplo de 3.'

'símbolo de Gauss'

'(1) \ \\frac{4}{5}<x<4 \ (2) \ x \\leqq-2, \\quad 1 \\leqq x \ (3) \ 1<x<4 \'

'Método para determinar múltiplos'

'Quando a=4, b=6, o maior inteiro x que não satisfaz a desigualdade (1) é x= ◻.'

'Entre 0, 1, 2, 3, 4, existem 2 maneiras de escolher 3 números cuja soma é um múltiplo de 3: [1] {0,1,2}, {0,2,4} [2] {1,2,3}, {2,3,4}. [1] Como a centena não é 0, para cada grupo, existem 4 números inteiros de 3 dígitos diferentes.'

'Explique como calcular o valor esperado das pontuações e encontrar o valor esperado.'

'Matemática I\nD =a^{2}-4 \\cdot 1 \\cdot\\left(-a^{2}+a-1\\right)=5 a^{2}-4 a+4 \\\n=5\\left(a-\\frac{2}{5}\\right)^{2}+\\frac{16}{5}>0\n\nPortanto, D>0 sempre é verdadeiro.\n-3<-\x0crac{a}{2}<3 implica -6<a<6\nf(-3)=-a^{2}-2 a+8 f(-3)>0 implica\n a^{2}+2 a-8<0\nResolvendo, -4<a<2\nf(3)=-a^{2}+4 a+8 f(3)>0 implica\n a^{2}-4 a-8<0\nAs raízes de a^{2}-4 a-8=0 são a=2 \\pm 2 \\sqrt{3}\nAssim 2-2 \\sqrt{3}<x<2+2 \\sqrt{3}\n\n(a+4)(a-2)<0\nquando a= -(-2)\\pm \\sqrt{(-2)^{2}-1 \\cdot(-8)}\n\nEncontrar o intervalo comum de (1), (2), (3)\n2-\\sqrt{3}<a<2'

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'Ao usar os números 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3 para formar um inteiro de 8 dígitos, quantos inteiros podem ser formados?'

'Encontre a quantidade de números naturais de dois dígitos que satisfazem a desigualdade 6x + 8(6 - x) > 7.'

'Uma solução aquosa a 30% pode dissolver até 30g'

'Encontre todas as soluções inteiras para o seguinte sistema de equações.'

'Seja x, y, z inteiros.'

'Problema básico 39 Determinando os Elementos de um Conjunto'

'A e B trabalham juntos a tempo parcial durante 4 dias por semana. Mostre que há pelo menos um dia por semana em que A e B trabalham juntos.'

'Encontre a fração mais pequena que, quando multiplicada por 34/5, 51/10 e 85/8, resulta em um produto de número natural.'

'Seja a um número natural. Se a+5 é múltiplo de 4 e a+3 é múltiplo de 6, prove que a+9 é múltiplo de 12.'

'Sejam p, q, r três números ímpares consecutivos (p<q<r). Prove que pqr + pq + qr + rp + p + q + r + 1 é divisível por 48.'

'Encontre o valor não negativo de k para o qual a equação em x, k x^{2}-2(k+3) x+k+10=0, possui soluções reais.'

'Prove que m^3 n - m n^3 é um múltiplo de 6 quando m e n são inteiros.'

'Encontre os seguintes valores.'

'Encontre o número de pares de inteiros (a, b, c, d) que satisfazem as seguintes condições:'

'No caso em que x < A na parte (a), assim como no caso em que x≥A, está-se procurando o intervalo de valores de x que satisfaz (2). Se definirmos o intervalo de valores de x como (4), escolha dois conteúdos apropriados para * a partir dos seguintes 0-ろ.'

'Determinação de coeficientes a partir do máximo e mínimo (2)'

'Dos 7 números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, quantos números pares de 5 dígitos diferentes podem ser criados sem repetir nenhum dígito?'

'Encontre o maior número natural de três dígitos que deixa um resto de 1 quando dividido por 12 e um resto de 4 quando dividido por 7.'

'Escolha 3 números diferentes dos 7 números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 para formar um número de 3 dígitos. Quantos inteiros podem ser criados que satisfaçam as seguintes condições? (1) é um número de 3 dígitos (2) é um múltiplo de 3 (3) é um múltiplo de 9'

'Encontre o intervalo de valores da constante $a$ para os quais a equação quadrática $x^{2}+a x-a^{2}+a-1=0$ possui duas raízes reais distintas no intervalo $-3 < x < 3$. Seja $f(x)=x^{2}+a x-a^{2}+a-1$ a função, e o gráfico de $y=f(x)$ é uma parábola que se abre para baixo com seu eixo como a linha $x=-\\frac{a}{2}$. A condição para a equação $f(x)=0$ ter duas raízes reais distintas no intervalo $-3 < x < 3$ é quando o gráfico de $y=f(x)$ intersecta o eixo $x$ em dois pontos diferentes dentro do intervalo $-3 < x < 3$. Assim, se o discriminante de $f(x)=0$ for $D$, as seguintes condições devem ser satisfeitas simultaneamente. [1] $D > 0$ [2] O eixo está dentro do intervalo $-3 < x < 3$ [3] $f(-3)>0$ [4] $f(3)>0$'

'(1) Quantos números naturais existem que se tornam em três dígitos quando representados em decimal e também em quinário?\n(2) Prove que não existem números naturais que se tornam em quatro dígitos nas representações decimal e quinária.\n[Semelhante à Universidade de Mulheres de Tóquio]'

'Ao viajar do ponto A para o ponto B, separados por 5 km, iniciando caminhando a uma velocidade de 5 km por hora e depois mudando para correr a uma velocidade de 10 km por hora, que distância se deve correr a uma velocidade de 10 km por hora ou mais para chegar ao ponto B em 42 minutos ou menos?'

'No exemplo 27, ao tentar encontrar a parte inteira e a parte decimal, foi-me dito que a resposta estava incorreta. Qual é o erro?'

'O valor máximo quando \ x=2 \ é \ \\sqrt{3} \'

'Produto de inteiros consecutivos'

'Ao lançar três dados indistinguíveis do mesmo tamanho, de quantas maneiras é possível o somatório dos números ser múltiplo de 7?'

'Três homens: Matsuo, Takeo e Baio, e três mulheres: Yukimi, Tsukimi e Hanami, um total de 6 pessoas de mãos dadas formando um círculo. De quantas maneiras o círculo pode ser formado da seguinte forma:\n1. Matsuo e Yukimi de mãos dadas.\n2. Homens e mulheres de mãos dadas alternadamente.\n3. Três homens e três mulheres de mãos dadas em sequência.'

'Usando os números 0, 1, 2, 3, 4, crie inteiros maiores ou iguais a 1 e os organize em ordem crescente.'

'Uma expressão na qual apenas os sinais mudam ao trocar dois caracteres é chamada de expressão alternante.'

'Encontre o maior número natural de três dígitos tal que, ao dividir por 11, o resto é 9 e, ao dividir por 5, o resto é 2.'

'20 (1) (A) \ \\frac{7}{9} \ (B) \ \\frac{41}{11} \ (C) \ \\frac{45}{37} \ (2) 5'

'Declare a inversa e a contrapositiva da seguinte proposição sobre os inteiros a, b, c, e discuta seus valores de verdade. Se 240 ulcorner a^{2}+b^{2}+c^{2}► é ímpar, então pelo menos um dos a, b, c é ímpar. Inversa: Se pelo menos um dos a, b, c é ímpar, então a^{2}+b^{2}+c^{2} é ímpar. A inversa é falsa (Contraexemplo: a=1, b=1, c=0) Contrapositiva: Se a, b, c são todos pares, então a^{2}+b^{2}+c^{2} é par. A contrapositiva é verdadeira (Prova) Se a, b, c são todos pares, então os inteiros k, l, m podem ser usados para representar a=2k, b=2l, c=2m, e assim a^{2}+b^{2}+c^{2}=(2k)^{2}+(2l)^{2}+(2m)^{2}=2(2k^{2}+2l^{2}+2m^{2})'

'Encontre o maior número natural de três dígitos que deixa resto 9 quando dividido por 11 e resto 2 quando dividido por 5.'

'Quando 103 a > 2, x < a+1, e 2a-1 < x'

'Princípio da multiplicação (aplica-se a três ou mais itens também). Se houver a maneiras em que o evento A pode ocorrer, e para cada um desses casos o evento B pode ocorrer de b maneiras, então há a x b maneiras em que ambos A e B podem ocorrer.'

'Seja D o conjunto de todos os inteiros divisíveis por 3. (4) Seja C = {x+y | x ∈ A, y ∈ B}. Mostre que C é igual ao conjunto de todos os inteiros divisíveis por 3.'

'28 58 ou mais'

'Calcule as seguintes raízes quadradas.'

'Permutação, Permutação Circular, Permutação com Repetição'

'Exemplo 97(1): Determinar o intervalo de existência de soluções para uma equação quadrática com x > 2.'

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'Número de elementos em um conjunto, conceitos básicos 1) Número de elementos em um conjunto Teorema do número Consideremos A, B como conjuntos finitos (conjuntos com um número finito de elementos). Além disso, n(P) denota o número de elementos no conjunto finito P. (1) Número de elementos na união de conjuntos 1 n(A ∪ B)=n(A)+n(B)-n(A ∩ B) 2 Se A ∩ B=∅, então n(A ∪ B)=n(A)+n(B) (2) Número de elementos no conjunto complementar n(A^)=n(U)-n(A) onde U é o conjunto universal Neste livro, o acima (1) e (2) são chamados de teorema do número. Para conjuntos, consulte Matemática I páginas 68, 69.'

'Para os divisores positivos de 6400: Encontre a soma de todos aqueles que são múltiplos de 5.'

'Encontre o resto quando 13 elevado à potência de 30 é dividido por 17.'

'Resolver as seguintes desigualdades.'

'Seja n um inteiro positivo. Prove o seguinte: (1) n² + 1 é um múltiplo de 5 se e somente se o resto da divisão de n por 5 for 2 ou 3.'

'\ 139 \\frac{2 \\sqrt{6}}{3} \'

'Quando dois dados são lançados simultaneamente, seja o número menor X e o número maior Y (ou o número se forem iguais). Se uma constante a for um inteiro de 1 a 6, encontre as seguintes probabilidades.'

'Encontre o valor de x^2 + 4xy + 3y^2 + z^2 quando x=199, y=-98, z=102.'

'Numa determinada escola secundária, 140 alunos foram pesquisados sobre a sua proficiência em Japonês, Matemática e Inglês, numa escala de (3)10. Os resultados mostraram que 86 alunos eram proficientes em Japonês, 40 alunos eram proficientes em Matemática. Além disso, 18 alunos eram proficientes tanto em Japonês como em Matemática, 15 alunos eram proficientes tanto em Japonês como em Inglês, 101 alunos eram proficientes em Japonês ou Inglês, e 55 alunos eram proficientes em Matemática ou Inglês. Adicionalmente, havia 20 alunos que não eram proficientes em nenhuma das três disciplinas. Neste momento, o número de alunos proficientes em todas as três disciplinas é representado por A, e o número de alunos proficientes em apenas uma disciplina é representado por B.'

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'Combinações, permutações com os mesmos elementos'

'(1) Escolha 3 números de 1, 2, 3 permitindo duplicatas. Encontre todas as combinações onde a soma dos números selecionados é um múltiplo de 3.\n(2) Prepare 3 cartas com o número 1, 3 cartas com o número 2 e 3 cartas com o número 3, totalizando 9 cartas. Ao selecionar aleatoriamente 3 cartas dessas, calcule a probabilidade de que a soma dos números nas cartas seja um múltiplo de 3.'

'Um computador consiste em interruptores que representam dois estados: ligado e desligado. Ao considerar ligado como 1 e desligado como 0, o binário se torna a base da estrutura. Um bit é a menor unidade que representa a quantidade de informação. Com n bits, é possível representar 2^n informações diferentes.'

'Número de inteiros (2 conjuntos)'

'(101-5, \\frac{1}{5})'

'Realizar cálculos de combinação'

'Responda à seguinte questão sobre subconjuntos de números reais.'

'Calcule o número total de permutações circulares de 7 pessoas, e então considere o número total de maneiras de organizá-las para que as mulheres não sejam adjacentes.'

'Usando as leis de De Morgan A∪B = A∩B, A∩B = A∪B, vamos encontrar o número de elementos na interseção dos conjuntos A e B onde o inteiro não é divisível por 53 ou 8. O número de elementos do conjunto complementar pode ser obtido subtraindo do número total de elementos no conjunto universal.'

'(1) $2 \\sqrt {6}$ (2) $\\frac{2 \\sqrt {3}+3 \\sqrt {2}-\\sqrt {30}}{12}$'

'Com 4 moedas de 10 ienes, 6 moedas de 100 ienes e 2 moedas de 500 ienes, quantas formas diferentes de montantes totais podem ser feitas? Note que não é possível fazer um pagamento se todas as quantidades de moedas forem 0.'

'Dados os conjuntos A = {8, 12}, B = {4n | 1 ≤ n ≤ 6, n é um número inteiro}, expresse o conjunto B listando seus elementos.'

'Para dois inteiros a e b, se existir um inteiro k tal que a=bk, então b é chamado de divisor de a, e a é um múltiplo de b. Uma vez que a=bk, também pode ser escrito como a=(-b)⋅(-k), portanto se b é um divisor de a, então -b também é um divisor de a.'

'Seja n um número inteiro. Prove que se n^2 é um múltiplo de 5, então n também é um múltiplo de 5.'

'(1) $8 x-3 y=1 \\cdots \\cdots$ (1) \\n$x=2, y=5$ é uma das soluções inteiras de (1). \\ Assim, $8 \\cdot 2-3 \\cdot 5=1$ De (1)-(2) obtemos \\[ 8(x-2)-3(y-5)=0 \\] O que significa que $8(x-2)=3(y-5)$. Como 8 e 3 são primos entre si, $x-2$ é um múltiplo de 3. Portanto, para um inteiro $k$, pode ser expresso como $x-2=3k$. Substituindo isso em(3) obtém-se $y-5=8k$. Portanto, todas as soluções inteiras de (1) são dadas por \\[ x=3k+2, y=8k+5 \\quad (k \\text{ é um inteiro})$'

'Ao ir do ponto A ao ponto B, que estão a 5 km de distância, começa-se a andar a uma velocidade de 5 km por hora e depois passa-se a correr a uma velocidade de 10 km por hora. Para chegar ao ponto B em 42 minutos ou menos, quantos quilômetros deve-se correr a uma velocidade de 10 km por hora?'

'Sejam a, b inteiros. Quando a é dividido por 7, o resto é 3, e quando b é dividido por 7, o resto é 6. Encontre o resto quando os seguintes números são divididos por 7.'

'Quantos números naturais abaixo de 1000\n(1) são divisíveis por 2 ou por 7?\n(2) não são divisíveis por 2?\n(3) não são divisíveis por 2 ou por 7?'

'Problema de conjuntos e condição necessária e suficiente 4) Conjuntos e condições necessárias e suficientes O conjunto de todos aqueles que satisfazem as condições p e q é denotado por P, Q respectivamente, o seguinte se aplica.'

'Encontre a soma de todos os inteiros de 4 dígitos que podem ser formados usando 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.'

'Outra solução: Existem três casos em que o produto de três números é um múltiplo de 4. 1. Quando um número é 4 e os outros dois são ímpares, existem 3 possibilidades para o dado com o 4, 3 tamanhos de dado (1 x 3 x 3) x 3 = 27 possibilidades. 2. Quando dois números são pares e um é ímpar, existem 3 possibilidades para o tamanho ímpar do dado, três tamanhos de dado (3 x 3 x 3) x 3 = 81 possibilidades. 3. Quando os três números são todos pares, 3 x 3 x 3 = 27 possibilidades. Portanto, de acordo com a regra da soma, o número total de casos é 27 + 81 + 27 = 135 possibilidades.'

'Equação de congruência'

'Por favor, explique como especificar k ao classificar um inteiro n como um inteiro não negativo ou um número natural n.'

'Multiplicando um número natural de dois dígitos B por 9 e adicionando 72, se o digito das centenas for 6 e o das unidades for 5, encontrar o valor de B.'

'O peso da caixa A é de 95 g, e o peso da caixa B é de 100 g. Existem 20 bolas com peso de 12 g cada. Quando essas bolas são divididas nas caixas A e B, a caixa A fica mais pesada. Então, quando uma bola é movida da caixa A para a caixa B, a caixa B fica mais pesada. Quantas bolas foram inicialmente colocadas na caixa A?'

'(4) O número de casos em que Y=a é igual ao número de casos em que Y ≤ a menos o número de casos em que Y ≤ a-1. O número de casos em que Y ≤ a é o número de permutações de tomar 2 de um total de a números de 1 a a com duplicatas permitidas, que é a^2. Quando 2 ≤ a ≤ 6, o número de casos em que Y ≤ a-1 é o número de permutações de tomar 2 dos números de 1 a a-2 com duplicatas permitidas, que é (a-1)^2. Portanto, o número de casos em que Y=a é a^2-(a-1)^2. Quando a=1, há apenas 1 caso em que Y=1, que também atende a esta fórmula. Portanto, a probabilidade requerida é (a^2-(a-1)^2)/36 = a/18 - 1/36'

'(1) Existe um número natural A de 4 dígitos em que a centena é 3 e a dezena é 8. Descubra o valor de A se ele for múltiplo de 5 e 3 ao mesmo tempo. (2) Descubra um número natural B de 2 dígitos que, quando multiplicado por 9 e somado 72, tiver a centena 6 e a unidade 5.'

'Encontre todas as sequências de três números naturais (a, b, c) que satisfaçam as condições a < b < c e 1/a + 1/b + 1/c < 1/3 e determine as sequências em que c é o menor.'

'A média de 11 anos dos dados de vieira é de 296.332 t, com a adição da quantidade de captura de 235.952 t em 2017, qual é a média para 12 anos?'