Álgebra Avançada - Matrizes e Operações de Matrizes

'Encontre o termo geral da sequência \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ determinada pelas seguintes condições'

"Quais são os principais conteúdos de 'Álgebra Linear'?"

'A sequência {a_{n}} é definida por a_{1}=3, a_{n+1}=2a_{n}-n^{2}+n. Determine a função quadrática f(n) para que a sequência {a_{n}-f(n)} forme uma progressão geométrica com uma razão comum de 2 e expresse a_{n} em termos de n.'

'32'

'Exercício 40: Resolva as fórmulas de recorrência (1) a_{n+1} = 2a_{n} + b_{n} e (2) b_{n+1} = a_{n} + 2b_{n}. Dadas as condições iniciais a_{1} + b_{1} = 4 e a_{1} - b_{1} = 2, encontre a_{n} e b_{n}.'

''

'A desigualdade mantém-se quando 4\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right)\\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\\right) \\geqq(a x+b y+c z)^{2} com igualdade se \ a y=b x,\\quad b z=c y ,\\quad c x=a z\'

'Exemplo 37 Relação de Recorrência entre 3 Termos Adjacentes (1)\nEncontre o termo geral da sequência \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ determinada pelas condições a seguir.\n(1) \ a_{1}=0, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+6 a_{n} \\n(2) \ a_{1}=1, \\quad a_{2}=4, \\quad a_{n+2}+a_{n+1}-2 a_{n}=0 \'

'Para uma sequência geométrica com uma razão comum positiva, a soma dos primeiros 3 termos é 21, e a soma dos próximos 6 termos é 1512. Encontre o primeiro termo e a soma dos primeiros 5 termos desta sequência.'

'Exemplo 51 | Prova de Desigualdade'

'Se a soma do primeiro termo até o enésimo termo de uma sequência {an} é representada por Sn = 3n(n+5), encontre o termo geral an.'

'Quando m=6, x=-2; quando m=10, x=-8,0; quando m=-6, x=4; quando m=-10, x=2,10'

'Encontre o termo geral da sequência (1).'

'Defina uma sequência {a_n} da seguinte maneira.'

'Encontre o primeiro termo a e a diferença comum d de uma sequência aritmética onde a soma dos primeiros 5 termos é 20 e a soma dos primeiros 20 termos é 140.'

'Encontre o termo geral para a sequência {an} determinada pelas seguintes condições: a1=-1, an+1=an+4n-1'

'Se a soma dos primeiros n termos de uma sequência {a_n} satisfaz 3 S_n = a_n + 2n - 1, responda as seguintes perguntas:'

'Encontre o primeiro termo e a razão comum de uma sequência geométrica onde a soma dos três primeiros termos é 6 e a soma dos termos de segundo a quarto é -12.'

'Encontre os componentes de dois vetores. Para os dois vetores \\( \\vec{a}=(2,1) \\) e \\( \\vec{b}=(4,-3) \\), determine os componentes dos vetores \ \\vec{x} \ e \ \\vec{y} \ que satisfaçam as condições \ \\vec{x}+2\\vec{y}=\\vec{a} \ e \ 2\\vec{x}-\\vec{y}=\\vec{b} \.'

'No tetraedro PABC, seja H o pé da perpendicular do ponto A ao plano PBC, e seja PA=a, PB=b, PC=c.'

''

'Numa festa com 5 participantes, onde cada pessoa prepara um presente e depois sorteia para compartilhá-los, de quantas formas apenas dois indivíduos específicos, A e B, recebem os presentes que prepararam, enquanto os três restantes recebem presentes diferentes dos que prepararam?'

'Encontre o termo geral da sequência {an} determinada pelas seguintes condições.'

'Dadas duas sequências {a_n} e {b_n} definidas da seguinte maneira, responda às seguintes perguntas. a_1=4, b_1=1, a_{n+1}=3a_n+b_n, (1), b_{n+1}=a_n+3b_n. (1) Encontre o termo geral para as sequências {a_n+b_n} e {a_n-b_n}. (2) Encontre o termo geral para as sequências {a_n} e {b_n}.'

'Assumindo que o lucro por 1kg dos produtos P e Q seja um milhão de ienes e 3 milhões de ienes, respectivamente. Agora, vamos considerar o lucro diário. Aqui, assume-se que a é um número positivo. (i) Quando a = 1, os valores de x, y que maximizam o lucro são (x, y) = (ノハ, ヒフ). (ii) Quando a assume que valor, produzindo apenas o produto Q sem produzir o produto P pode maximizar o lucro, e o lucro máximo nesse momento é de 厼 milhão de ienes. (iii) A condição suficiente e necessária para x, y maximizarem o lucro serem apenas (x, y) = (テト, ナニ) é ム.'

'Capítulo 1 Sequências- 327'

'(1) Encontre o termo geral da sequência \ \\left\\{a_{n+1}-\\alpha a_{n}\\right\\} \ e o termo geral da sequência \ \\left\\{a_{n+1}-\eta a_{n}\\right\\} \, onde \ \\alpha \\neq \\ beta \ [Referência do Exemplo Importante 41].'

'Derive três equações de diferença simultâneas: $a_{n+1}=p a_{n}+q b_{n}, b_{n+1}=r a_{n}+s b_{n}$ (consulte o exemplo importante 43), obtendo equações da forma $a_{n+1}+\\alpha_{1} b_{n+1}=\eta_{1}(a_{n}+\\alpha_{1} b_{n}), a_{n+1}+\\alpha_{2} b_{n+1}=\eta_{2}(a_{n}+\\alpha_{2} b_{n})$, ou derivando relações de recorrência envolvendo apenas $a_{n}$ ou $b_{n}$ (relações de recorrência entre termos adjacente 3).'

'A soma dos primeiros aos termos n-ésimos da sequência {an} é expressa como Sn=3/4 n(n+3)(n=1,2,3,...). (1) Encontre an. (2) Prove que ∑(k=1)^(n) k ak é um múltiplo de 3.'

'Vamos considerar o seguinte [problema]. Por favor, encontre o termo geral da sequência \\\left\\{a_{n}\\right\\}\ determinada por cada condição.'

'Resolver os seguintes sistemas de equações lineares.'

'Uma parábola y = 2x^{2} + ax + b foi deslocada paralelamente 2 unidades ao longo do eixo x e -3 unidades ao longo do eixo y, e se sobrepôs com a parábola y = 2x^{2}. Encontre os valores das constantes a e b.'

'Taro, um corredor de velocidade na corrida de 100m, decidiu focar na questão (1) e pensar sobre o melhor passo e passada para melhorar seu tempo.'

'Dado que \ \\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b}+u \\vec{c} \, as seguintes equações são obtidas: \ 2 s+u=1 \ (1), \ -s+3 t=3 \ (2), \ s+2 t+u=2 \. Encontre os valores de s, t, u, e expresse \ \\vec{p} \.'

''

'Para a matriz A=\\left[ \egin{array}{ll}a & b \\\\ c & d \\end{array} \\right], encontre sua matriz inversa.'

'Entre essas matrizes, quais são do mesmo tipo? Além disso, quais são iguais?'

'Explique a definição da matriz inversa.'

'Para as matrizes A, B, C, D, responda às perguntas (1) a (3).'

'Este é um problema de encontrar a matriz inversa.'

'Em geral, na multiplicação de matrizes, a lei comutativa não se aplica (AB ≠ BA). Portanto, não é possível manipular livremente expressões como polinômios. O que pode ser utilizado incondicionalmente são a lei associativa (AB)C = A(BC) e a lei distributiva (A+B)C = AC + BC, C(A+B) = CA + CB, que podem ser usadas para manipular expressões. Para matrizes A, B onde AB=BA (ou seja, comutativa), cálculos podem ser realizados como em expressões ordinárias.'

'Soma de séries infinitas usando relações de recorrência'

'Existe uma matriz inversa para as matrizes dadas. Se sim, encontre-a.'

'Matriz inversa\nCondições para a existência de uma matriz inversa e seus componentes'

'Considere a sequência {a_{n}} determinada pelas condições (i)(ii).'

'(1) $s(\\vec{c} \\cdot \\vec{a})+t(\\vec{c} \\cdot \\vec{b})=\\vec{c} \\cdot(s \\vec{a}+t \\vec{b})=\\vec{c} \\cdot \\vec{c}=|\\vec{c}|^{2} \\geqq 0$ Portanto, $s(\\vec{c} \\cdot \\vec{a})+t(\\vec{c} \\cdot \\vec{b}) \\geqq 0$ Referência: A igualdade ocorre quando $\\vec{c}=\\overrightarrow{0}$.'

'Quando A = \\left(\egin{array}{lll}1 & 2 & 4 \\\\ 3 & 1 & 2\\end{array}\\right), B = \\left(\egin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1\\end{array}\\right), C = \\left(\egin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 1 \\\\ 4 & 2\\end{array}\\right), escolha duas matrizes diferentes para multiplicação e calcule o resultado.'

'Quando as matrizes A e B satisfazem AB=BA, diz-se que A e B são comutativas.'

'Calcular as seguintes expressões.'

'Verifique se existe uma matriz inversa para as seguintes matrizes. Se existir, encontre-a.'

'Liste três propriedades básicas da matriz inversa.'

'Prove que Δ(AB) = Δ(A)Δ(B) para as matrizes A e B.'

'Prática'

'O valor máximo é 9/4 quando x=y=3√3; O valor mínimo é -4 quando x=81, y=1/3'

'Seja 28n um número inteiro positivo. Seja f(n) o número de pontos de grade P(x, y, z) no espaço xyz que satisfazem o seguinte sistema de desigualdades onde x, y, z são todos inteiros, à medida que n se aproxima do infinito. Encontre o limite de lim_{n -> ∞} f(n)/n^3. O sistema de desigualdades é o seguinte: { x + y - z <= n, x - y - z <= n, -x - y + z <= n }.'

'Com base nas matrizes fornecidas, calcule a matriz X.'

'Para o triângulo ABC, vamos denotar os produtos escalares dos vetores AB, BC e CA como AB·BC=x, BC·CA=y e 320CA·AB=z. Expressar a área do triângulo ABC em termos de x, y e z.'

'Questão 1, Livro p. 609\n(1) A: uma matriz 2x2\nB: uma matriz 2x3\nC: uma matriz 3x2\nD: uma matriz 3x3\n(2) O vetor da terceira linha é (1, -3), o vetor da segunda coluna é \\(\\left(\egin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ -3\\end{array}\\right)\\)\n(3) a_{12} = 5, \\quad a_{32} = -3, \\quad a_{33} = 2'

'Em vetores \ \\vec{x}, \\vec{y} \, quando \\( \\vec{x}+2 \\vec{y}=(-2,-4), 2 \\vec{x}+\\vec{y}=(5,-2) \\), encontre \ \\vec{x} \ e \ \\vec{y} \.'

'Expresse a função hiperbólica que passa pelos pontos (-2,3) e (1,6), com a linha x=-3 como assíntota, na forma y=(ax+b)/(cx+d).'

''

'Matemática C\n(2) $\\vec{x} + 2\\vec{y} = \\vec{a}$\n(1), $\\vec{x} - 3\\vec{y} = \\vec{b}$\nSeja (2)\nDe (1) $\\times 3 +$ (2) $\\times 2$ obtemos $5\\vec{x} = 3\\vec{a} + 2\\vec{b}$\nPortanto\n$\\vec{x} = \\frac{1}{5}(3\\vec{a} + 2\\vec{b}) = \\frac{1}{5}\\{3(1,1) + 2(1,3)\\} = (1, \\frac{9}{5})$\nAlém disso, de (1)-(2) temos $5\\vec{y} = \\vec{a} - \\vec{b}$\nLogo\n$\\vec{y} = \\frac{1}{5}(\\vec{a} - \\vec{b}) = \\frac{1}{5}\\{(1,1) - (1,3)\\} = (0, -\\frac{2}{5})$\nResolvendo o sistema de equações\n$x, y$\n\\left\\{\egin{\overlineray}{l}\nx + 2y = a \\\nx - 3y = b\n\\end{\overlineray}\\right.\n'

'Expresse x e y em termos de a e b, satisfazendo 2x+5y=a, 3x-2y=b.'

'Questão 5: Por favor, resolva a seguinte equação de matriz.'

'Encontre o ângulo \ \\theta \ entre \ \\vec{a} \ e \ \\vec{b} \ quando \ \\vec{a}-\\frac{2}{5} \\vec{b} \ e \ \\vec{a}+\\vec{b} \ são ortogonais, e \ \\vec{a} \ e \ \\vec{a}-\\vec{b} \ são ortogonais.'

''

''

'(2) \\( \egin{array}{l}\\\\left(P^{-1} A P\\right)^{n}=\\left(\egin{array}{ll}3 & 0 \\\\ 0 & 5\\end{array}\\right)^{n} \\\\ \\\\ \\text { Portanto, } \\\\ A^{n}=P\\left(\egin{array}{cc}3^{n} & 0 \\\\ 0 & 5^{n}\\end{array}\\right) P^{-1}\\end{array} \\) Portanto \\( \\quad P^{-1} A^{n} P=\\left(\egin{array}{cc}3^{n} & 0 \\\\ 0 & 5^{n}\\end{array}\\right) \\quad \\angle\\left(P^{-1} A P\\right)^{n}=P^{-1} A^{n} P \\)'

'Utilizando equação de recorrência para encontrar o número de casos.'

'Para cada um dos seguintes casos, determine se existe uma estratégia vencedora para o jogador A ou B.'

'Resolver o seguinte sistema de equações.'

Realize os seguintes cálculos. (1) 3 ec{a}+2 ec{a} (2) \( 5 ec{b}-2(-6 ec{b}) \) (3) \( -2(3 ec{a}-2 ec{b})+4(ec{a}-ec{b}) \) (4) \( rac{1}{2}(ec{a}+2 ec{b})+rac{3}{2}(ec{a}-2 ec{b}) \) (5) \( rac{2}{3}(2 ec{a}-3 ec{b})+rac{1}{2}(-ec{a}+5 ec{b}) \)

Dado \(ec{a}=(2,3,1), ec{b}=(2,5,0), ec{c}=(3,1,1)\), expressa \(ec{p}=(5,10,-1)\) na forma s ec{a}+t ec{b}+u ec{c} usando números reais apropriados $s, t, u$.