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Números e Álgebra
Álgebra Avançada - Matrizes e Operações de Matrizes
Q.01
'Encontre o termo geral da sequência \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ determinada pelas seguintes condições'
A. ...
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"Quais são os principais conteúdos de 'Álgebra Linear'?"
A. ...
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'A sequência {a_{n}} é definida por a_{1}=3, a_{n+1}=2a_{n}-n^{2}+n. Determine a função quadrática f(n) para que a sequência {a_{n}-f(n)} forme uma progressão geométrica com uma razão comum de 2 e expresse a_{n} em termos de n.'
A. ...
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'Exercício 40: Resolva as fórmulas de recorrência (1) a_{n+1} = 2a_{n} + b_{n} e (2) b_{n+1} = a_{n} + 2b_{n}. Dadas as condições iniciais a_{1} + b_{1} = 4 e a_{1} - b_{1} = 2, encontre a_{n} e b_{n}.'
A. ...
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'A desigualdade mantém-se quando 4\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right)\\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\\right) \\geqq(a x+b y+c z)^{2} com igualdade se \ a y=b x,\\quad b z=c y ,\\quad c x=a z\'
A. ...
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'Exemplo 37 Relação de Recorrência entre 3 Termos Adjacentes (1)\nEncontre o termo geral da sequência \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ determinada pelas condições a seguir.\n(1) \ a_{1}=0, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+6 a_{n} \\n(2) \ a_{1}=1, \\quad a_{2}=4, \\quad a_{n+2}+a_{n+1}-2 a_{n}=0 \'
A. ...
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'Para uma sequência geométrica com uma razão comum positiva, a soma dos primeiros 3 termos é 21, e a soma dos próximos 6 termos é 1512. Encontre o primeiro termo e a soma dos primeiros 5 termos desta sequência.'
A. ...
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'Se a soma do primeiro termo até o enésimo termo de uma sequência {an} é representada por Sn = 3n(n+5), encontre o termo geral an.'
A. ...
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'Quando m=6, x=-2; quando m=10, x=-8,0; quando m=-6, x=4; quando m=-10, x=2,10'
A. ...
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'Encontre o primeiro termo a e a diferença comum d de uma sequência aritmética onde a soma dos primeiros 5 termos é 20 e a soma dos primeiros 20 termos é 140.'
A. ...
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'Encontre o termo geral para a sequência {an} determinada pelas seguintes condições: a1=-1, an+1=an+4n-1'
A. ...
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'Se a soma dos primeiros n termos de uma sequência {a_n} satisfaz 3 S_n = a_n + 2n - 1, responda as seguintes perguntas:'
A. ...
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'Encontre o primeiro termo e a razão comum de uma sequência geométrica onde a soma dos três primeiros termos é 6 e a soma dos termos de segundo a quarto é -12.'
A. ...
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'Encontre os componentes de dois vetores. Para os dois vetores \\( \\vec{a}=(2,1) \\) e \\( \\vec{b}=(4,-3) \\), determine os componentes dos vetores \ \\vec{x} \ e \ \\vec{y} \ que satisfaçam as condições \ \\vec{x}+2\\vec{y}=\\vec{a} \ e \ 2\\vec{x}-\\vec{y}=\\vec{b} \.'
A. ...
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'No tetraedro PABC, seja H o pé da perpendicular do ponto A ao plano PBC, e seja PA=a, PB=b, PC=c.'
A. ...
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'Numa festa com 5 participantes, onde cada pessoa prepara um presente e depois sorteia para compartilhá-los, de quantas formas apenas dois indivíduos específicos, A e B, recebem os presentes que prepararam, enquanto os três restantes recebem presentes diferentes dos que prepararam?'
A. ...
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'Encontre o termo geral da sequência {an} determinada pelas seguintes condições.'
A. ...
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'Dadas duas sequências {a_n} e {b_n} definidas da seguinte maneira, responda às seguintes perguntas. a_1=4, b_1=1, a_{n+1}=3a_n+b_n, (1), b_{n+1}=a_n+3b_n. (1) Encontre o termo geral para as sequências {a_n+b_n} e {a_n-b_n}. (2) Encontre o termo geral para as sequências {a_n} e {b_n}.'
A. ...
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'Assumindo que o lucro por 1kg dos produtos P e Q seja um milhão de ienes e 3 milhões de ienes, respectivamente. Agora, vamos considerar o lucro diário. Aqui, assume-se que a é um número positivo. (i) Quando a = 1, os valores de x, y que maximizam o lucro são (x, y) = (ノハ, ヒフ). (ii) Quando a assume que valor, produzindo apenas o produto Q sem produzir o produto P pode maximizar o lucro, e o lucro máximo nesse momento é de 厼 milhão de ienes. (iii) A condição suficiente e necessária para x, y maximizarem o lucro serem apenas (x, y) = (□テト, ナニ) é ム.'
A. ...
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'(1) Encontre o termo geral da sequência \ \\left\\{a_{n+1}-\\alpha a_{n}\\right\\} \ e o termo geral da sequência \ \\left\\{a_{n+1}-\eta a_{n}\\right\\} \, onde \ \\alpha \\neq \\ beta \ [Referência do Exemplo Importante 41].'
A. ...
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'Derive três equações de diferença simultâneas: (consulte o exemplo importante 43), obtendo equações da forma , ou derivando relações de recorrência envolvendo apenas ou (relações de recorrência entre termos adjacente 3).'
A. ...
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'A soma dos primeiros aos termos n-ésimos da sequência {an} é expressa como Sn=3/4 n(n+3)(n=1,2,3,...). (1) Encontre an. (2) Prove que ∑(k=1)^(n) k ak é um múltiplo de 3.'
A. ...
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'Vamos considerar o seguinte [problema]. Por favor, encontre o termo geral da sequência \\\left\\{a_{n}\\right\\}\ determinada por cada condição.'
A. ...
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'Resolver os seguintes sistemas de equações lineares.'
A. ...
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'Uma parábola y = 2x^{2} + ax + b foi deslocada paralelamente 2 unidades ao longo do eixo x e -3 unidades ao longo do eixo y, e se sobrepôs com a parábola y = 2x^{2}. Encontre os valores das constantes a e b.'
A. ...
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'Taro, um corredor de velocidade na corrida de 100m, decidiu focar na questão (1) e pensar sobre o melhor passo e passada para melhorar seu tempo.'
A. ...
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'Dado que \ \\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b}+u \\vec{c} \, as seguintes equações são obtidas: \ 2 s+u=1 \ (1), \ -s+3 t=3 \ (2), \ s+2 t+u=2 \. Encontre os valores de s, t, u, e expresse \ \\vec{p} \.'
A. ...
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'Para a matriz A=\\left[ \egin{array}{ll}a & b \\\\ c & d \\end{array} \\right], encontre sua matriz inversa.'
A. ...
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'Entre essas matrizes, quais são do mesmo tipo? Além disso, quais são iguais?'
A. ...
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'Para as matrizes A, B, C, D, responda às perguntas (1) a (3).'
A. ...
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'Este é um problema de encontrar a matriz inversa.'
A. ...
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'Em geral, na multiplicação de matrizes, a lei comutativa não se aplica (AB ≠ BA). Portanto, não é possível manipular livremente expressões como polinômios. O que pode ser utilizado incondicionalmente são a lei associativa (AB)C = A(BC) e a lei distributiva (A+B)C = AC + BC, C(A+B) = CA + CB, que podem ser usadas para manipular expressões. Para matrizes A, B onde AB=BA (ou seja, comutativa), cálculos podem ser realizados como em expressões ordinárias.'
A. ...
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'Soma de séries infinitas usando relações de recorrência'
A. ...
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'Existe uma matriz inversa para as matrizes dadas. Se sim, encontre-a.'
A. ...
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'Matriz inversa\nCondições para a existência de uma matriz inversa e seus componentes'
A. ...
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'Considere a sequência {a_{n}} determinada pelas condições (i)(ii).'
A. ...
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'(1) Portanto, Referência: A igualdade ocorre quando .'
A. ...
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'Quando A = \\left(\egin{array}{lll}1 & 2 & 4 \\\\ 3 & 1 & 2\\end{array}\\right), B = \\left(\egin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1\\end{array}\\right), C = \\left(\egin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 1 \\\\ 4 & 2\\end{array}\\right), escolha duas matrizes diferentes para multiplicação e calcule o resultado.'
A. ...
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'Quando as matrizes A e B satisfazem AB=BA, diz-se que A e B são comutativas.'
A. ...
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'Verifique se existe uma matriz inversa para as seguintes matrizes. Se existir, encontre-a.'
A. ...
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'Liste três propriedades básicas da matriz inversa.'
A. ...
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'Prove que Δ(AB) = Δ(A)Δ(B) para as matrizes A e B.'
A. ...
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'O valor máximo é 9/4 quando x=y=3√3; O valor mínimo é -4 quando x=81, y=1/3'
A. ...
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'Seja 28n um número inteiro positivo. Seja f(n) o número de pontos de grade P(x, y, z) no espaço xyz que satisfazem o seguinte sistema de desigualdades onde x, y, z são todos inteiros, à medida que n se aproxima do infinito. Encontre o limite de lim_{n -> ∞} f(n)/n^3. O sistema de desigualdades é o seguinte: { x + y - z <= n, x - y - z <= n, -x - y + z <= n }.'
A. ...
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'Com base nas matrizes fornecidas, calcule a matriz X.'
A. ...
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'Para o triângulo ABC, vamos denotar os produtos escalares dos vetores AB, BC e CA como AB·BC=x, BC·CA=y e 320CA·AB=z. Expressar a área do triângulo ABC em termos de x, y e z.'
A. ...
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'Questão 1, Livro p. 609\n(1) A: uma matriz 2x2\nB: uma matriz 2x3\nC: uma matriz 3x2\nD: uma matriz 3x3\n(2) O vetor da terceira linha é (1, -3), o vetor da segunda coluna é \\(\\left(\egin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ -3\\end{array}\\right)\\)\n(3) a_{12} = 5, \\quad a_{32} = -3, \\quad a_{33} = 2'
A. ...
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'Em vetores \ \\vec{x}, \\vec{y} \, quando \\( \\vec{x}+2 \\vec{y}=(-2,-4), 2 \\vec{x}+\\vec{y}=(5,-2) \\), encontre \ \\vec{x} \ e \ \\vec{y} \.'
A. ...
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'Expresse a função hiperbólica que passa pelos pontos (-2,3) e (1,6), com a linha x=-3 como assíntota, na forma y=(ax+b)/(cx+d).'
A. ...
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'Matemática C\n(2) \n(1), \nSeja (2)\nDe (1) (2) obtemos \nPortanto\n\nAlém disso, de (1)-(2) temos \nLogo\n\nResolvendo o sistema de equações\n\n\\left\\{\egin{\overlineray}{l}\nx + 2y = a \\\nx - 3y = b\n\\end{\overlineray}\\right.\n'
A. ...
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'Expresse x e y em termos de a e b, satisfazendo 2x+5y=a, 3x-2y=b.'
A. ...
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'Questão 5: Por favor, resolva a seguinte equação de matriz.'
A. ...
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'Encontre o ângulo \ \\theta \ entre \ \\vec{a} \ e \ \\vec{b} \ quando \ \\vec{a}-\\frac{2}{5} \\vec{b} \ e \ \\vec{a}+\\vec{b} \ são ortogonais, e \ \\vec{a} \ e \ \\vec{a}-\\vec{b} \ são ortogonais.'
A. ...
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'(2) \\( \egin{array}{l}\\\\left(P^{-1} A P\\right)^{n}=\\left(\egin{array}{ll}3 & 0 \\\\ 0 & 5\\end{array}\\right)^{n} \\\\ \\\\ \\text { Portanto, } \\\\ A^{n}=P\\left(\egin{array}{cc}3^{n} & 0 \\\\ 0 & 5^{n}\\end{array}\\right) P^{-1}\\end{array} \\) Portanto \\( \\quad P^{-1} A^{n} P=\\left(\egin{array}{cc}3^{n} & 0 \\\\ 0 & 5^{n}\\end{array}\\right) \\quad \\angle\\left(P^{-1} A P\\right)^{n}=P^{-1} A^{n} P \\)'
A. ...
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Join our DiscordQ.69
'Utilizando equação de recorrência para encontrar o número de casos.'
A. ...
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Join our DiscordQ.70
'Para cada um dos seguintes casos, determine se existe uma estratégia vencedora para o jogador A ou B.'
A. ...
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Realize os seguintes cálculos.
(1) 3 ec{a}+2 ec{a}
(2) \( 5 ec{b}-2(-6 ec{b}) \)
(3) \( -2(3 ec{a}-2 ec{b})+4(ec{a}-ec{b}) \)
(4) \( rac{1}{2}(ec{a}+2 ec{b})+rac{3}{2}(ec{a}-2 ec{b}) \)
(5) \( rac{2}{3}(2 ec{a}-3 ec{b})+rac{1}{2}(-ec{a}+5 ec{b}) \)
A. ...
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Dado \(ec{a}=(2,3,1), ec{b}=(2,5,0), ec{c}=(3,1,1)\), expressa \(ec{p}=(5,10,-1)\) na forma s ec{a}+t ec{b}+u ec{c} usando números reais apropriados .