Álgebra Avançada - Funções Exponenciais e Logarítmicas

'Resolver a equação a seguir:'

'Matemática II'

'(3) (2) de $M_{n}=\\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} c_{k}=\\frac{1}{n} \\cdot \\frac{n}{2}(2 \\log _{2} a+\\frac{n-1}{2} \\log _{2} r)$\n\n$=\\log _{2} a+\\frac{n-1}{4} \\log _{2} r=\\log _{2} a r^{\\frac{n-1}{4}}$\n\nPortanto, a partir de $d_{n}=2^{M_{n}}$ obtemos d_{n}=2^{\\log _{2} a r^{\\frac{n-1}{4}}}=\\operatorname{\overline} \\frac{n-1}{4}\nAssim, $\\frac{d_{n+1}}{d_{n}}=\\frac{a r^{\\frac{n}{4}}}{a r^{\\frac{n-1}{4}}}=r^{\\frac{1}{4}}$ (constante).\nPortanto, a sequência $\\left\\{d_{n}\\right\\}$ é uma progressão geométrica com primeiro termo $d_{1}=a$ e razão comum $r^{\\frac{1}{4}}$.'

'Quais foram as conquistas de John Napier (1550-1617)?'

'(1) Seja $\\log _{2} a=\\log _{3} b=k$, então $a>1, b>1$\n\\[\egin{array}{l}\nk>0 \\quad \\text { e } a=2^{k}, b=3^{k} \\\\\n\\text { Agora } \\quad\\left(a^{\\frac{1}{2}}\\right)^{6}-\\left(b^{\\frac{1}{3}}\\right)^{6}=a^{3}-b^{2}=\\left(2^{k}\\right)^{3}-\\left(3^{k}\\right)^{2}=8^{k}-9^{k}<0 \\\\\n\\text { Portanto } \\quad\\left(a^{\\frac{1}{2}}\\right)^{6}<\\left(b^{\\frac{1}{3}}\\right)^{6} \\\\\na>1, \\quad b>1 \\text { então } \\quad a^{\\frac{1}{2}}<b^{\\frac{1}{3}} \\\\\n\\end{array}\\]'

'Tabela de Logaritmos Comuns: Tabela de logaritmos com base 10.'

'Encontre a soma da seguinte série. Dado n≧2:\n(1) 1•2^{3} + 2•2^{4} + 3•2^{5} + ... + n•2^{n+2}'

'Dado que a soma dos primeiros 8 termos de uma progressão geométrica é 54, e a soma dos primeiros 16 termos é 63, encontre a soma dos termos 17 a 24 desta progressão geométrica.'

'65 (1) 1.5 < \\log _{4} 9 < \\log _{2} 5\n(2) \\log _{4} 2 < \\log _{3} 4 < \\log _{2} 3'

'Problema de prática: Seja log_{2} x=t, onde 1≤x≤8 corresponde a 0≤t≤3. Além disso, log_{1/2} x=-log_{2} x=-t. Defina y=t^{2}-2 t+3 como uma função de t. Encontre os valores máximo e mínimo de y dentro do intervalo 0≤t≤3.'

'Capítulo 7 Funções Exponenciais e Logarítmicas-147'

'Se \ \\log_{3} 2=a, \\log_{5} 4=b \, expressa \ \\log_{15} 8 \ em termos de \ a \ e \ b \.'

'Função exponencial e função logarítmica'

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'Função exponencial'

'Encontre o valor do logaritmo.'

'Prove que se 16^4 * x + y + z = 1 / x + 1 / y + 1 / z = 1, então pelo menos um dos valores de x, y ou z deve ser 1.'

'Confirmação das condições para equações logarítmicas e números reais'

'Encontre os seguintes valores.'

'Encontre o termo geral da relação de recorrência $a_{n+1}=3a_n+2n-1$.'

'Se você depositar 1 milhão de ienes com uma taxa de juros anual de 1% capitalizada anualmente, em quantos anos o montante total excederá pela primeira vez 1,1 milhão de ienes? É permitido usar a tabela de logaritmos comuns.'

'Aqui estão dois exemplos em que uma série geométrica infinita é usada: 1. Trisseção de um quadrado Divida um papel quadrado com área 1 em quatro partes iguais em forma de cruz e distribua uma para cada um para A, B e C. Divida o restante em quatro partes iguais novamente e distribua uma para cada um para A, B e C. Repita este processo infinitamente, a área total do papel recebida por A, B e C pode ser expressa como a seguinte série geométrica infinita ∑(1/4)^n (de n=1 a ∞). Encontre a soma desta série geométrica infinita.'

'Para que a sequência $\\left\\{\\left(\\frac{5x}{x^{2}+6}\\right)^{n}\\right\\}$ convirja, determine o intervalo de valores reais de $x$. Além disso, encontre o limite da sequência nesse momento.'

'(1) Elimine A, B da equação y=A \\sin x + B \\cos x -1 para obter a equação diferencial ③ 213.'

'Para uma bola lançada diretamente para cima a uma certa velocidade, seja h metros a altura acima do solo x segundos após o lançamento. Quando o valor de h é dado por h=-5x²+40x, em que intervalo de valores de x a bola está a uma altura entre 35m e 65m do solo?'

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'Para uma sequência \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \, assume-se que a soma do termo inicial \ p a_{1} \ até o enésimo termo \ p^{n} a_{n} \ da sequência \ \\left\\{p^{n} a_{n}\\right\\} \ é igual a \ q^{n} \. Onde, \ p \\neq 0 \. \n(1) Encontre \ a_{n} \. \n(2) Encontre \ S_{n}=a_{1}+a_{2}+\\cdots+a_{n} \.'

"(3) Seja y=x^{3}+4 x^{2}+6 x-1, então y'=3 x^{2}+8 x+6=3(x+4/3)^{2}+2/3 é maior que 0 para todos os números reais, o que significa que y está aumentando. Portanto, a equação x^{3}+4 x^{2}+6 x-1=0 possui 1 raiz real."

'(2) Se \ \\log _{3} 7=a, \\log _{4} 7=b \ , encontre \ \\log _{12} 7 \ em termos de \a, b\.'

'Prove as seguintes equações:'

'Resolva as seguintes equações e desigualdades, onde a é uma constante positiva diferente de 1.'

'Resolver as seguintes desigualdades.'

'Quando 1 < a < b < a^{2}, ordene: log_{a} b, log_{b} a, log_{a}(\\frac{a}{b}), log_{b}(\\frac{b}{a}), 0, \\frac{1}{2}, 1 em ordem crescente.'

'Responda às seguintes perguntas sobre as propriedades das funções logarítmicas.'

'Para o número complexo z, a função e^z é definida substituindo 11 por x na expressão'

"Exercício 67 |II| Livro p.558 (1) f'(x) = (1 + x/√(1+x^2)) / (x + √(1+x^2)) = 1/√(1+x^2) (2) A equação polar r=θ(θ≧0) dá x=r cosθ = θ cosθ, y=r sinθ = θ sinθ onde dx/dθ = cosθ − θ sinθ, dy/dθ = sinθ + θ cosθ Portanto, a tabela de valores crescentes e decrescentes de x, y em relação a θ é a seguinte. θ = 0 ... α ... β ... π dx/dθ + 0 - - - x ↗ máximo local ↘ ↘ dy/dθ + + + 0 - y ↗ ↗ máximo local ↘ No entanto, \\cos α−α sin α=0 é a condição de verificação \\sin β+β\\cos β=0"

'Portanto, encontre as coordenadas do ponto Q.'

'Usando o teorema do valor intermédio\n(1) Prova que a equação \\( 3^{x}=2(x+1) \\) tem pelo menos uma solução real no intervalo \ 1<x<2 \.\n(2) Deixe \\( f(x), g(x) \\) serem funções contínuas no intervalo \ [a, b] \. Se \\( f(a)>g(a) \\) e \\( f(b)<g(b) \\), mostre que a equação \\( f(x)=g(x) \\) possui pelo menos uma solução real no intervalo \ a<x<b \.'

'Por favor, traduza o texto dado para vários idiomas.'

'No Capítulo 2, consideremos constantes a, b tais que 100<a<b. Definimos x_n=( (a^n/b + b^n/a)^(1/n) ) (n=1,2,3,...). Encontre (1) Prove a desigualdade b^n < a(x_n)^n < 2b^n. (2) Encontre o limite lim n->∞ x_n.'

'Equação fornecida 120(3) \\( \\left(\\log _{2} \\frac{x}{a}\\right)\\left(\\log _{2} \\frac{x}{b}\\right) \\left(ab=8, \\quad a=3, x=0\\right)\\)'

'Expresse o tamanho de cada conjunto de números usando símbolos de desigualdade.'

'Simplifique as seguintes expressões.'

'31 Funções Logarítmicas'

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'Valores de expressões envolvendo funções exponenciais e logarítmicas'

'Logaritmo comum usado no dia a dia'

'Limites de Sequências (5) ... usando o teorema do aperto e o teorema binomial'

'Seja fn(x) = (log x)^n (onde n é um inteiro maior ou igual a 3). Aqui, log x é o logaritmo natural. Quando a curva y = fn(x) tem um ponto de inflexão (x_0, 8), encontre os valores de n e x_0, e esboce a forma geral da curva (incluindo a concavidade). [Universidade de Desenvolvimento de Carreiras]'

'Prove que a equação 3^x=2(x+1) tem pelo menos uma solução real no intervalo de 1<x<2.'

'Pratique deixe n ser um número natural maior ou igual a 2.'

'(2) Divergir'

'Seja n um número natural. Mostre que a n-ésima derivada f^{(n)}(x) da função f(x)=x^{2} e^{x} pode ser expressa como f^{(n)}(x)=x^{2} e^{x}+2 n x e^{x}+a_{n} e^{x}, onde a_{n} é uma constante, e encontre o valor de a_{n}.'

'Encontre os valores das constantes a e b de modo que y=e^{3x}(a \\sin 2x+b \\cos 2x) e y^{\\prime}=e^{3x} \\sin 2x sejam verdadeiros.'

'Lance n bolas em 2n caixas. Assuma que cada bola será colocada em uma das caixas com igual probabilidade. Seja p_{n} a probabilidade de que cada caixa contenha no máximo 1 bola. Encontre o limite \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log p_{n}}{n} \.'

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None

'Calcule o número de dígitos de 3^n para um número natural n e encontre seu limite.'

'Dadas as constantes \ a, b \ onde \ 0 < a < b \. Seja \\( x_{n}=\\left(\\frac{a^{n}}{b}+\\frac{b^{n}}{a}\\right)^{\\frac{1}{n}} \\), provar (1) a desigualdade \\( b^{n} < a\\left(x_{n}\\right)^{n} < 2b^{n} \\). (2) Encontrar \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n} \.'

'Traduza o texto fornecido do problema 309 em matemática do japonês para o português'

'102 (ウ) \ \\log \\frac{2}{\\sqrt{3}} \'

'21 (1) \\( b_n = -(-3)^{n-1} \\)\n(2) \\( a_n=\\frac{3(-3)^{n-1}+1}{(-3)^{n-1}+1}, \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=3 \\)\n'

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'(3) log 2'

'(1) Deixe a ser uma constante não nula. Para x≥0, encontre f(x)=lim(n→∞) (x^(2n+1)+(a-1)x^n-1)/(x^(2n)-ax^n-1).'

'Investigue a convergência e a divergência das seguintes séries geométricas infinitas, e encontre a soma se convergir.'

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'91 raiz quadrada de 3 vezes pi'

'(3) \\frac{1}{2} \\log \\frac{4 e(e+2)}{3(e+1)^{2}}'

'(4) \\log \\frac{9}{8}'

'Sobre o número e'

'16\n(3)\n\\[\n\egin{array}{l} \ny^{\\prime} = e^{3 x} \\cdot(3 x)^{\\prime} = 3 e^{3 x} \\\\\ny^{\\prime \\prime} = 3 e^{3 x} \\cdot(3 x)^{\\prime} = 9 e^{3 x} \\\\\n\\text { Portanto } \\quad y^{\\prime \\prime \\prime} = 9 e^{3 x} \\cdot(3 x)^{\\prime} = 27 e^{3 x}\n\\end{array}\n\\]'

'Prove que a equação 3^x = 2(x+1) tem pelo menos uma solução real no intervalo 1<x<2.'

'(2) \ \\log \\frac{3}{2} \'

'Criar um recipiente PR. Verta água suavemente neste recipiente a uma taxa de a por unidade de tempo. Deixe V representar o volume de água quando a altura da água é h, o raio da água é r, a área da água é S e o volume da água é V após um tempo t desde que o despejo começou. (1) Expresse V. (2) Expresse as taxas de alteração dh/dt, dr/dt, dS/dt de h, r, S em relação ao tempo t usando a e h.'