Álgebra Avançada - Números Complexos e o Plano Complexo

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'Se uma equação de grau n com coeficientes racionais tem p+q√r como solução, explique outra solução e demonstre suas propriedades.'

'Encontre o número complexo z tal que ao elevar z ao quadrado seja igual a 3+4i.'

'Não é possível determinar se a pontuação média geral dos alunos do ensino médio difere da pontuação média do condado'

'Ao dividir x^{2025} por x^{2}+1, seja o quociente Q(x) e o resto a x + b (a, b são números reais); então, x^{2025} = (x^{2}+1) Q(x) + a x + b. Substituindo x=i em ambos os lados, obtemos i^{2025} = a i + b. Aqui, i^{2025} = (i^{2})^{1012} * i = (-1)^{1012} * i = i. Portanto, i = a i + b. Como a e b são números reais, a=1, b=0. Assim, o resto necessário é x.'

'Por favor, forneça os números de página para os termos relacionados com números complexos.'

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'Encontre o valor da seguinte expressão.'

'Quando a < 1 / 4, M = -3a + b + 1, quando 1 / 4 ≤ a < 1, M = 2a√a + b, quando a ≥ 1, M = 3a + b - 1'

'Os números inteiros a, b satisfazem a equação (a+bi)^{3}=-16+16i. Aqui, i é a unidade imaginária.\n(2) Encontre o valor de i/(a+bi)- (1+5i)/4.'

'Encontre as condições para a função ter valores extremos e o intervalo de valores para a função não ter valores extremos'

'Exemplo 19 | Discriminante de equações de segundo grau (2)'

'Existem 3 moedas de 100 ienes cada e 3 moedas de 50 ienes cada, totalizando 6 moedas, e um dado. Quando essas 6 moedas e 1 dado são jogados simultaneamente, o prêmio é obtido multiplicando o valor absoluto do produto do montante total das moedas mostrando caras e o resultado n do dado menos 2. Por exemplo, se todas as 6 moedas mostrarem caras e o dado mostrar 6, o montante total das moedas mostrando caras é de 450 ienes multiplicado por 4, resultando em 1800 ienes como prêmio.'

'Encontre o valor da equação dada quando \ x=1+\\sqrt{2} i \: \\[ P(x)=x^{4}-4 x^{3}+2 x^{2}+6 x-7 \\]'

'Expresse os seguintes cálculos na forma de a+bi.\n(1) 1/i, 1/i^2, 1/i^3\n(2) \\\frac{5i}{3+i}\\n(3) \\\frac{9+2i}{1-2i}\\n(4) \\\frac{2-i}{3+i}-\\frac{5+10i}{1-3i}\'

'Para um número complexo z, encontre todos os números complexos z de forma que z^2 = i.'

'Defina a sequência {a_n} como {a_1=3, a_{n+1}=(a_n^2-1)/(n+1) (n=1,2,3, ...)}'

'Básico 35: Divisão de números complexos'

'Defina a sequência {a_n} da seguinte forma. Seja a_1 = 2. Para qualquer número natural n, a coordenada x do ponto de interseção da linha que passa por (0,1), (a_n,0) e a linha y = x é denominada a_{n+1}.'

'(1) Encontre os valores dos números reais \ x, y \ que satisfazem a equação \\( (3+i) x+(1-i) y=5+3 i \\).'

'Dado os valores de 26 x como -1/2 e 2/3, resolva'

'Exemplo 1 Prova da Desigualdade'

'Em matemática, os números reais x, y, z satisfazem o sistema de equações {x+y+z=-1, x^2+y^2+z^2=7, x^3+y^3+z^3=-1} 1). Neste caso, xy+yz+zx=⧁, xyz=1. Portanto, o sistema de equações (1) tem ⧁ conjuntos de soluções, entre os quais satisfazem x<y<z é (x, y, z)=1.'

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'Básico 34: Números complexos conjugados e sua soma/produto'

'Encontre o termo geral da sequência {an} determinada pelas seguintes condições.'

'Determine o intervalo de valores para a constante k que satisfaça as seguintes condições: (1) A função f(x)=x^{3}+6 k x^{2}+24 x+32 possui pontos críticos. (2) A função f(x)=2 x^{3}+k x^{2}+k x+1 não possui pontos críticos.'

'Encontre a soma e o produto de cada um dos seguintes números e seu número complexo conjugado.'

'Encontre os números complexos que representam o ponto que divide o segmento de linha que conecta dois pontos A (α) e B (β) internamente na proporção m:n e externamente.'

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'Quando um número complexo z satisfaz z+1/z=√2, encontre o valor de z^20+1/z^20.'

'(1) No plano complexo, suponha que α seja um número complexo não real e β seja um número real positivo. Seja C o lugar geométrico dos números complexos z que satisfazem a relação α*conj(ze conj(α)*z = |z|^2. Mostre que C é um círculo passando pelo origen.'

'As raízes primitivas 6 de 1. Por exemplo, no caso de n=6, buscamos as soluções de z^6 = 1 que se tornam raízes primitivas 6. As soluções de z^6 = 1 são os seis valores z_0, z_1, ..., z_5 conforme dado na resposta ao exemplo básico 105 na página 528.'

'Considere a sequência de números complexos \ \\left\\{z_{n}\\right\\} \.'

'Traduza a pergunta dada para os seguintes idiomas.'

'A transformação de z para w representada pela equação seguinte é chamada de transformação fracionária de primeira ordem (ou transformação de Möbius).'

'No nosso dia a dia, a eletricidade de corrente alternada é amplamente utilizada. No cálculo de circuitos de corrente alternada, às vezes são utilizados números complexos e equações diferenciais, então vamos dar uma olhada nisso. Por favor, note que o conteúdo a seguir inclui tópicos de nível universitário, portanto, uma compreensão geral é suficiente.'

'Resolva a equação z^6=1 usando a forma polar.'

'Para a sequência {a_{n}}, onde a_{1}=3 e a_{n+1}=\\frac{3 a_{n}-4}{a_{n}-1}.'

'No plano complexo, existem 4 pontos A(2+4i), B(z), C(conjugado de z), D(2z). Encontre o valor do número complexo z quando o quadrilátero ABCD é um paralelogramo.'

'No plano complexo, para os 3 pontos A(1+i), B(3+4i), C, quando o triângulo ABC é equilátero, encontre o número complexo z que representa o ponto C.'

'Seja z um número complexo. Prove que |z|=1 quando z+1/z é um número real. Além disso, encontre todos os números complexos z que fazem com que z+1/z seja um número natural.'

'Quando as duas equações quadráticas $x^{2}-(m+1) x-m^{2}=0$ e $x^{2}-2 m x-m=0$ têm apenas uma solução comum, o valor de $m$ é $\\qquad$, e a solução comum é $x=$ $\\square$.'

'Existem 12 bilhetes de lotaria, entre os quais estão n bilhetes premiados (0 ≤ n ≤ 12). Quando ^3161 bilhetes são sorteados destes bilhetes, os bilhetes premiados marcam 3 pontos e os bilhetes não premiados marcam -1 ponto. Encontre a faixa de valores de n para a qual a pontuação esperada é maior ou igual a 1.'

'Determine o valor da constante c de forma que o valor mínimo da função f(x) = -x^2 + 4x + c seja -50 no intervalo (-4 ≤ x ≤ 4).'

'Para um número complexo \\\alpha=a+bi\ e seu conjugado complexo \\\overline{\\alpha}=a-bi\, as seguintes propriedades valem.'

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'A sequência {an} é definida por a1=2, an+1=3an-n²+2n. Ao considerar uma função quadrática g(n) para que a sequência {an}-g(n) seja uma progressão geométrica com uma razão comum de 3, expresse an em termos de n.'

'Encontre o intervalo de valores para c de modo que a equação x^3-6x+c=0 tenha duas soluções positivas distintas e uma solução negativa.'

'Seja i a unidade imaginária, x = \\sqrt{3} + \\sqrt{7}i. Seja y o conjugado de x. Encontre os seguintes valores.'

'Seja Sn a soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica com uma razão comum positiva. Se S2n=2 e S4n=164, encontre o valor de Sn.'

'A sequência {an} é definida como a1=2 e a fórmula de recorrência an+1=2-an/(2an-1).'

'Seja i a unidade imaginária, e seja x=√3+√7i. Seja y o conjugado complexo de x. Encontre os seguintes valores.'

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'Encontre as duas soluções porque a proporção das duas soluções é 3:2.'

'Encontre o intervalo de números reais a para os quais pelo menos uma das equações possui raízes complexas'

'Existem exatamente dois números complexos z=x+yi (x, y são números reais) tais que elevar z ao quadrado seja igual a i. Encontre esses z.'

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'Em relação às escalas logarítmicas (1), (2), ao focar nas escalas opostas a e c, assim como b e d, a relação a/c = b/d sempre se mantém, mostrando que a proporção das escalas opostas é constante. Além disso, ao analisar a escala logarítmica (3), a relação cf = de sempre se mantém.'

'Encontre as condições sob as quais três tangentes distintas podem ser desenhadas a partir do ponto \\((a, b)\\) para a curva \y=x^{3}-x\, e ilustre a gama de pontos \\((a, b)\\) que satisfazem essa condição. [Universidade de Kansai]'

'A fórmula de recorrência a_{n+1}=2a_{n}-n da página anterior não parece se encaixar em nenhum dos 3 padrões principais conforme está. Mesmo que substituamos a_{n+1} e a_{n} por α e consideremos a equação característica α=2α-n, ainda acabamos com α=n, incapazes de prosseguir como no Exemplo Básico 30. Portanto, vamos analisar cuidadosamente a resposta à esquerda.'

'Encontre o termo geral da sequência \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ determinada pelas seguintes condições.'

'a<\\alpha<b<\eta<c'

'Por favor, encontre a solução para x = (-(-√2) ± √((-√2)^2 - 4 * 1 * (-4))) / (2 * 1).'

'Qual é a equação da parábola obtida ao transladar a parábola y = 1/2 x^2 de tal forma que passe pelo ponto (1,5) e seu vértice esteja na reta y = -x+2?'

'Quando um ponto z se move ao longo do círculo com centro na origem O e raio 2, que tipo de forma o ponto w = \\frac{2z-i}{z+i} desenha?'

'Explique como lidar com o vetor de posição correspondente à adição de números complexos α + β no plano complexo.'

'Encontre o número complexo que representa o ponto obtido ao girar o ponto 2+2i em torno do ponto i para os seguintes ângulos.'

'Gostaria de resumir que tipo de movimento geométrico os cálculos de números complexos representam.'

'Plano complexo'

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'Resolver a equação z^6=1.'

'Para os pontos A(-1+i) e B(3+4i), encontre (2) o ponto médio M do segmento de reta AB.'

'Exemplo 90 | Forma de um triângulo (3)'

'Encontre a soma e a diferença dos números complexos α=3+4i e β=1+2i, e trace os pontos que eles representam no plano complexo.'

'Quando um número complexo z satisfaz |z-1|≤|z-4|≤2|z-1|, ilustre o intervalo de movimento do ponto z no plano complexo.'

'Quando (*) tem duas soluções imaginárias que são conjugadas entre si, representadas como $z=\\gamma, \\overline{\\gamma}(\\gamma$ é imaginário)$,$ podemos determinar a partir da relação entre as soluções e os coeficientes que $\\gamma+\\overline{\\gamma}=-a$ e $\\gamma \\overline{\\gamma}=b$, o que implica que $a=-(\\gamma+\\overline{\\gamma}), \\quad b=|\\gamma|^{2}$. Neste caso, $D=a^{2}-4b=(\\gamma-\\overline{\\gamma})^{2}$, e uma vez que $\\gamma-\\overline{\\gamma}$ é puramente imaginário, sempre temos que $D=(\\gamma-\\overline{\\gamma})^{2}<0$. Ao combinar $|a| \\leqq 1,|b| \\leqq 1$, obtemos $|\\gamma+\\overline{\\gamma}| \\leqq 1,|\\gamma|^{2} \\leqq 1$, ou equivalentemente, $\\left.\\left\\lvert\\,(Parte real de$\\gamma)$\\right\\rvert\\leqq \\frac{1}{2}\\right|\\gamma\\right.\\right\\rvert\\leqq 1$. Portanto, o intervalo de valores possíveis para a solução imaginária z de (*) é $\\left.\\left\\lvert\\,(Parte real de$z)$\\right\\rvert\\leqq \\frac{1}{2}\\right|z\\right.\\right\\rvert\\leqq 1$.'

'Quando um ponto z no plano complexo se move ao longo da circunferência excluindo o ponto -1 do círculo unitário, que tipo de forma o ponto w representado por w=\\frac{2z+1}{z+1} desenha?'

'Neste capítulo, aprendemos sobre a adição, subtração, multiplicação e divisão de números complexos. Em seguida, vamos representar números complexos como pontos no plano de coordenadas e pensar sobre o significado geométrico dos números complexos. Especificamente, consideraremos a interpretação geométrica da soma, diferença, valor absoluto e conjugado de números complexos, além de aprender sobre a forma polar para lidar com o produto e quociente de números complexos, e explorar diversas figuras no plano complexo.'

'A partir do resultado de (1), a condição para a existência de um número complexo z que satisfaça (2) é α≤-2, -1≤α. Assim, |α|≤2 implica α=-2, -1≤α≤2.'

'Aqui, todos os caracteres são considerados números complexos. A transformação de z representada na equação para w é chamada de conversão de fração de primeira ordem.'

'Expressar os seguintes números complexos na forma polar. O argumento 𝜃 deve satisfazer 0 ≤ 𝜃 < 2π.'

'Para um número complexo z diferente de -1, quando o número complexo w é definido por w= z/z+1, encontre a forma traçada por w à medida que z se move ao longo do eixo imaginário. Além disso, encontre a forma traçada por w à medida que z se move no círculo |z-1|=1 no plano complexo.'

'Quando os pontos O(0), A(3+4i), B(1+2i) não são colineares, e o resultado da adição é denotado como C(α+β), como será o quadrilátero OACB?'

'No plano dos números complexos, se o ponto P(z) e o ponto Q(w) forem simétricos em relação à linha que passa pelo origem O e o ponto A(α) (α ≠ 0), então expresse w em termos de α e z.'

'(2) Para um número complexo $z$ que não é um número real, prove que $\\alpha \\overline{z}-\\overline{\\alpha} z$ é um número puramente imaginário.'

'Prove que, para qualquer número complexo z, a expressão z \ar{z}+α \ar{z}+\ar{α} z é um número real.'

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'Expresse o conjugado de um número complexo z na forma polar.'

'Para a função f(x)=(x+1)/(x^2+2x+a), encontre o intervalo de valores para a constante a que satisfaça as seguintes condições:'

'Seja \ z \ um número complexo não nulo. 85 (1) Se representarmos \ z \ com um valor absoluto \ r \ e um argumento \\( \\theta(0 \\leqq \\theta<2 \\pi) \\), determine os valores de \ r \ e \ \\theta \ para que \ \\frac{z}{4}+\\frac{4}{z} \ seja um número real.'

'Multiplicação de números complexos e rotação (2)'

'O problema 12 diz respeito à validade do método de Newton para encontrar as soluções reais (valores aproximados) da equação f(x)=0 quando f(x) é uma função convexa.'

'(2) No plano complexo, para os pontos \\alpha, \eta, mostre os seguintes pontos: (a) \\alpha+\eta (b) \\alpha-\eta (c) 2\\alpha+\eta (d) -(2\\alpha+\eta)'

'Expresse o número complexo z=a+bi na forma polar.'

'Multiplicação de números complexos e rotação (2)\n(1) Para dois pontos z=3+i, w=2-i, encontre o número complexo que representa o ponto obtido ao girar z em torno do centro de w por π/6.'

'(1) Suponha que um número complexo z seja dado na forma z=r(cosθ+isinθ), onde r é um número real positivo e θ é um número real. Prove as condições necessárias e suficientes para que as sequências {xn} e {yn} converjam para 0 simultaneamente.'

'Supondo que a equação (1) tenha uma solução complexa com um valor absoluto de 1, z=\\cos \\theta+i \\sin \\theta, então a partir da eq. (2), obtemos'

'Para os pontos A(-1+i) e B(3+4i), encontre o número complexo que representa o seguinte ponto: (1) Ponto P que divide o segmento de linha AB na proporção 2:1'

'Para o triângulo ABC com vértices nos pontos A(α), B(β) e C(γ) no plano complexo, se a equação 903α^2+β^2+γ^2+βγ=3αβ+3γα for verdadeira, que tipo de triângulo é ABC?'

'Mostre as condições quando um número complexo z ou z1, z2, z3, z4 está sobre o círculo unitário.'

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'Explique o significado geométrico do produto de números complexos.'

'(3) \\( z_{n} = \\left(\\frac{1+\\sqrt{3} i}{2}\\right)^{n} \\cdot (-\\sqrt{3} i) + 1+\\sqrt{3} i \\)'

'No plano complexo, os números complexos que representam os vértices do triângulo são 0, α, β para O, A, B, respetivamente.'

'No plano complexo, encontre o ponto representado pelo número complexo α=3+4i e encontre o ponto representado pelo número complexo obtido ao multiplicá-lo por -2.'

'Neste capítulo》 Em Matemática I, aprendemos sobre a adição, subtração, multiplicação e divisão de números complexos. Neste capítulo, vamos aprender como os números complexos são representados como pontos no plano complexo e os significados geométricos da soma, diferença, valor absoluto e números complexos conjugados. Além disso, para considerar o produto e o quociente de números complexos, aprenderemos sobre a representação geométrica de números complexos no plano complexo em forma polar e estudaremos várias formas no plano complexo.'

'Multiplicação de Números Complexos e Rotação (2)\n(1) Para dois pontos z=3+i e w=2-i, encontre o número complexo que representa o ponto z após ser rotacionado no sentido horário por π/6 ao redor do centro do ponto w.\n(2) Quando o número complexo representando o ponto 3-2i após ser rotacionado ao redor do centro de 1+i por um ângulo θ (0 ≤ θ < 2π) é (4+3√3)/2 + (-1+2√3)i/2, encontre o valor de θ.'

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'Em que caso um número complexo z tem um argumento indeterminado?'

'Portanto $\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left|x_{n}-\\alpha\\right|=0$, assim $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n}=\\alpha$'

'Calcule as seguintes expressões.'

'Expresse os seguintes números complexos z na forma polar. Note que o argumento θ é 0≤θ<2π.'

'Para o triângulo ABC com vértices em 3 pontos A(α), B(β) e C(γ) no plano complexo, que tipo de triângulo é o triângulo ABC quando as seguintes equações são verdadeiras?\n(1) β-α=(1+√3i)(γ-α)\n(2) α+iβ=(1+i)γ'

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'Se n for um número natural maior ou igual a 2, e i for a unidade imaginária.'

'Encontre o quociente do número complexo \\\frac{c+d i}{a+b i}\.'

'Número complexo'

'Prove que quando uma equação de grau n com coeficientes racionais tem uma solução de p+q√r, a outra solução é p-q√r.'

'Por favor, realize operações aritméticas com números complexos e calcule a raiz quadrada dos números negativos.'

'Capítulo 2 Números Complexos e Equações Referência Encontrando as soluções de equações quadráticas com coeficientes de números complexos'

'Seja k uma constante real, i=√-1 a unidade imaginária. Encontre o valor de k quando a equação (1+i)x^{2}+(k+i)x+3-3ki=0 possui raízes puramente imaginárias.'

'Prática\nSeja k uma constante real, i a unidade imaginária √(-1). Encontre o valor de k quando a equação quadrática de x, (1+i) x^2 + (k+i) x + 3-3k i = 0, tem raízes puramente imaginárias.'

'Se ω for uma das soluções da equação x^2+x+1=0 e α for a outra solução, com base na relação entre as soluções e os coeficientes, temos ω+α=-1...(1) e ω*α=1.'

'Encontre o valor máximo e mínimo de BC² sob as seguintes condições: Condições: quando \ \\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\pi \, então \ \\cos \\theta < 0 \'

'Encontre o valor de x^5 + x^4 - 2x^3 + x^2 - 3x + 1 quando x = (1 - √3i)/2.'

'Existe uma série geométrica infinita com números reais como seu primeiro termo e razão comum, e a soma é 3. Além disso, há uma série geométrica infinita onde cada termo é o cubo do termo correspondente na primeira série, e a soma é 6. Encontre a razão comum da primeira série.'

'Resolva a equação z^6=1 usando a forma polar.'

'No plano complexo, deixe os vértices do triângulo O, A, B serem representados pelos números complexos 0, α e β'

None

'No plano complexo, deixe o ponto A representar 6, o ponto B representar 7+7i. Além disso, para um número real positivo t, deixe o ponto P representar \\(\\frac{14(t-3)}{(1-i)t-7)\\.'

'Raízes n-ésimas de 1\nAs raízes n-ésimas de 1 (ou seja, as soluções para a equação z^n=1) são os seguintes n números complexos.\nzk=cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n) (k=0,1,2, ..., n-1)'

'Considere a função de um número complexo z, f(z)=z+1/z. Quando z satisfaz 1/3<=|z|<=2 e 0<=arg z<=π/4, encontre os valores máximos e mínimos da parte real de f(z).'

'Para o número complexo z = cos(2/7π) + i sin(2/7π), encontre o valor de (4) (1) (7) z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6. Encontre também o valor de (1) 1/(1-z) + 1/(1-z^6). Se t=(z^2+1)/z, então prove que t é um número real e mostre que t é uma raiz da equação cúbica t^3+⏋⎹t^2-1␍t-ウ␍.'

'Para três pontos A(α), B(β), C(γ) no plano complexo\n(1) Quando α=2, β=1+i, γ=(3+√3)i, encontre o tamanho de ∠ABC.\n(2) Quando α=1+i, β=3+4i, γ=a*i (a é um número real), se a=⬜, então os pontos A, B, C estão colineares; se a=1⬜, então AB⊥AC.'

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'Pratique calcular as seguintes expressões.'

'Mostre o cálculo de expressar o número complexo z na forma polar usando o Teorema de De Moivre no plano complexo.'

'Expresse os seguintes números complexos na forma polar. Assuma que o argumento θ satisfaz 0 ≤ θ < 2π. (1) 2 - 2i (2) -3 (3) cos(2/3π) - isin(2/3π)'

'Prática'

'Se α for um número complexo com valor absoluto 1. Em que condições em z (α+z)/(1+αz) será um número real?'

'Dois números complexos podem ser representados como \ \\alpha=\\cos \\theta_{1}+i \\sin \\theta_{1}, \eta=\\cos \\theta_{2}+i \\sin \\theta_{2} \, onde os argumentos são apresentados de forma que \ 0<\\theta_{1}<\\pi<\\theta_{2}<2 \\pi \. (1) Expresse \ \\alpha+1 \ em forma polar, onde o argumento \ \\theta \ satisfaz \ 0 \\leqq \\theta<2 \\pi \. (2) Mostre que \ \eta=-\\alpha \ é verdadeiro quando a parte real de \ \\frac{\\alpha+1}{\eta+1} \ é igual a 0.'

'Expresse os seguintes números complexos na forma polar. Suponha que o argumento theta está entre 0 e 2π.'

'(A) Expressar α e β na forma polar: α = cos(θ1) + i sin(θ1), β = cos(θ2) + i sin(θ2), onde 0 < θ1 < π < θ2 < 2π.'

'Encontre o valor de z quando o número complexo z satisfaz arg z = π/4 e |(z+i)/(1+2i)| = 1.'

'Um problema relacionado com a equação de um círculo no plano complexo. Para a equação que representa um círculo |z-α|=r, ao elevar ao quadrado obtemos |z-α|^{2}=r^{2}, que quando expandido nos leva a z \ar{z}- \ar{α} z- α \ar{z}+|α|^{2}-r^{2}=0. Esta equação envolve números reais, daí a necessidade de considerar uma representação geométrica.\nA seguir, utilizando números reais a, c e um número complexo β, exploramos que forma a equação a z \ar{z}+ \ar{β} z+ β \ar{z}+c=0 representa.\nCaso 1: Quando α ≠ 0, |β|^{2}>a c, e a ≠ 0, esta equação representa um círculo com centro em -β/a e raio |β|^{2}-a c|a.\nCaso 2: Quando a = 0, e \ar{β} z+ β \ar{z}+c=0, a equação representa a equação de uma linha A x + B y + c = 0 (interpretando o número complexo β como p + qi). A linha B é perpendicular à linha que conecta os dois pontos (0, β) (consultar a linha 261).'

'Quando três pontos distintos A(α), B(β), C(γ) satisfazem as seguintes condições, encontre as medidas dos três ângulos do triângulo ABC.'

'Suponha que existam três números complexos distintos α, β, γ, de modo que a equação α^3 - 3α^2β + 3αβ^2 - β^3 = 8(β^3 - 3β^2γ + 3βγ^2 - γ^3) seja válida.'

'No plano complexo, para os 3 pontos A(1+i), B(3+4i) e C, se AB = AC e ∠BAC = π/3, encontre o número complexo que representa o ponto C.'

'Encontre o número complexo z que representa o vértice C de um triângulo equilátero ABC com o segmento AB como um lado no plano complexo com os pontos A(-1+i) e B(√3-1+2i).'

'Encontre o número complexo que representa o centróide do triângulo ABC com vértices A(α), B(β), e C(γ).'

'Encontre o número complexo z que representa o vértice C de um triângulo equilátero ABC com o segmento AB como um lado, onde A(-1+i) e B(√3-1+2i) são dois pontos no plano complexo.'

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'Prove que todas as soluções para a equação zⁿ = α podem ser dadas como α₀, ωα₀, ω²α₀, ..., ωⁿ⁻¹α₀.'

'Suponha que entre três números complexos distintos α, β, γ, a equação α³ - 3α²β + 3αβ² - β³ = 8(β³ - 3β²γ + 3βγ² - γ³) seja válida.'

'Expresse os seguintes números complexos em forma polar. Assuma que o argumento θ satisfaz 0 ≤ θ < 2π.'

'Para os pontos A(-1+4i), B(2-i), C(4+3i), encontre os números complexos que representam os seguintes pontos:\n(1) Ponto P que divide o segmento de linha AB na proporção 3:2\n(2) Ponto Q que divide o segmento de linha AC externamente na proporção 2:1\n(3) Ponto médio M do segmento de linha AC\n(4) Vértice D do paralelogramo ABCD\n(5) Centroide G do triângulo ABC'

'No plano complexo, existem três pontos O(0), A(-1+3i) e B. Quando △OAB é um triângulo retângulo e isósceles, encontre o número complexo z que representa o ponto B.'

'Valor absoluto'

'Calcule as seguintes expressões.'

'Para um número complexo não nulo d, que tipo de forma a equação dz(𝞍⁻+1)=𝞍⁻dz(z+1) representa no plano complexo?'

'Prática'

'Seja a um número real positivo, w=a(cos(π/36) + i sin(π/36)). Defina uma sequência de números complexos {z_n}, z_1 = w, z_(n+1) = z_nw^(2n+1) (n=1,2,...). (1) Encontre o argumento de z_n.'

'Quando um número complexo z satisfaz z - 3\x08ar{z} = 2 + 20i, use as propriedades dos números complexos conjugados para encontrar z.'

'Sejam α e β números complexos. (1) Quando |α|=|β|=1 e α-β+1=0, encontre os valores de αβ e α/β+β/α. (2) Quando |α|=|β|=|α-β|=1, encontre o valor de |2β-α|.'

'Calcule as seguintes expressões.'

'No plano complexo, o número complexo α = a + bi corresponde ao ponto (a, b) no plano de coordenadas. Este plano é chamado de plano complexo. Então, a qual ponto no plano complexo o número complexo α = 3 + 4i corresponde?'

'Quando um número complexo z satisfaz a equação 3z + 2\x08ar{z} = 10 - 3i, encontre z usando as propriedades dos números complexos conjugados.'

'Considere a sequência de números complexos definida pela seguinte relação de recorrência: z1 = 1, z_n+1 = (1 + √3 i)/2 z_n + 1 (n=1,2, ...). Aqui, i é a unidade imaginária. (1) Encontre z_2, z_3. (2) Expresse a relação de recorrência acima como z_n+1 - α = ((1+√3 i)/2)(z_n - α) e encontre o número complexo α. (3) Encontre o termo geral z_n. (4) Encontre todos os números naturais n para os quais z_n = -(1 - √3 i)/2 é verdadeiro.'

'Encontre o produto αβ e o quociente α/β dos seguintes números complexos.'

'No plano complexo, 2 pontos A(α), B(β) são conectados por um segmento de linha AB que divide na proporção m:n. O ponto que divide internamente na proporção m:n é C(γ) e externamente é D(δ).'

'Multiplique o número complexo com valor absoluto de 2 e argumento de π/3 por z.'

'Encontre o número complexo w2 obtido girando o ponto z = 4 - 2i em π/3 radianos no sentido anti-horário ao redor da origem e escalando a distância da origem por um fator de 1/2.'

'Encontre o número complexo z que satisfaz |z|=5 e |z+5|=2√5, então calcule os seguintes valores. 31 (1) z bar{z} (2) z+bar{z} (3) z'

'Neste capítulo, aprendemos sobre os números complexos sendo representados como pontos no plano complexo, bem como o significado geométrico da adição, subtração, valor absoluto e números complexos conjugados. Além disso, aprendemos sobre a forma polar, a representação geométrica dos números complexos, e estudamos várias formas no plano complexo.'

'Quando o número complexo z satisfaz |z-3-4i|=2, encontre o valor máximo de |z| e o valor correspondente de z.'

'Prove que para qualquer número natural \ n \, a desigualdade \ 2 \\sqrt{n+1}-2<1+\\frac{1}{\\sqrt{2}}+\\frac{1}{\\sqrt{3}}+\\cdots +\\frac{1}{\\sqrt{n}} \\leqq 2 \\sqrt{n}-1 \ é válida.'

'Prove que para duas linhas distintas l e m no plano complexo que não passam pela origem, os pontos na linha l sempre satisfazem a equação α z + ᾱ z = |α|².'

'Suponha que o ponto z no plano complexo está na circunferência unitária. Mostre que z pode ser representado como z = e^(iθ).'

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'Prove que, para o número complexo z, onde z^3 não é um número real, z^3 - (conjugado de z)^3 é puramente imaginário.'

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'Prove que a desigualdade |(α-β)/(1-αβ)|<1 vale para números complexos α, β com valor absoluto menor que 1.'

'No plano complexo, representando os pontos como -1+2i, 3+i. Se considerarmos o segmento AB como um lado, encontre a representação de números complexos dos vértices C, D do quadrado ABCD.'

'Prove que se a equação de 4º grau ax^4+bx^2+c=0 tem uma solução complexa α, então o conjugado de α também é uma solução dessa equação.'

'Seja i a unidade imaginária e k um número real. Dado que α=-1+i, o ponto z se move no plano complexo ao longo do círculo unitário com a origem como centro.'

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'Expressar o seguinte número complexo em forma polar, onde o argumento θ satisfaz 0 ≤ θ < 2π. 1 + cos α + i sin α (0 ≤ α < π).'

'Problema de prática: No plano complexo, permita que os números complexos a, b, c representem os pontos A, B, C respectivamente, onde os pontos não são colineares. Considere α, β, γ como constantes, expresse β/α e γ/α em termos dos números complexos a, b, c e seus conjugados a, b, c quando o número complexo z satisfaz a equação αz+βz+γ=0, representando as seguintes figuras: (1) Linha AB (2) Linha que passa pelo ponto C e é perpendicular à linha AB'

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'Questão básica 106 Forma de um triângulo (1) Para o triângulo ABC com vértices A(α), B(β) e C(γ) no plano complexo, se a equação β-α=(1+√3i)(γ-α) for verdadeira, encontre os tamanhos dos três ângulos interiores do triângulo ABC.'

'Seja α um número complexo com valor absoluto 1. Para que tipo de número complexo z a expressão (α+z)/(1+αz) se torna um número real?'

'No plano complexo com origem O, deixe os pontos representando os números complexos α, β serem A, B respectivamente. Onde α ≠ 0, β ≠ 0. Escolha duas das seguintes equações que garantem que o triângulo △OAB é sempre um triângulo retângulo isósceles.'

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'Encontre o cubo do número complexo z = 1 + i e expresse-o na forma polar.'

'Para um número complexo z diferente de -1, definimos o número complexo w como w=z/(z+1). Quando o ponto z se move ao longo do círculo com raio 1 centrado na origem, encontre a forma formada pelo ponto w.'

'Considere a sequência {an} determinada pelas condições (i)(ii).'

'Exemplo 89 Aplicação de Figuras Rotacionadas'

'Para os pontos A(-2-2i), B(5-3i), C(2+6i), encontre os números complexos que representam os seguintes pontos.'

'Considere os quatro pontos A(α), B(β), C(γ), D(δ) no plano complexo formando um quadrilátero ABCD. Suponha que o quadrilátero ABCD seja um quadrilátero convexo com todos os ângulos internos menores que 180 graus. Além disso, suponha que os vértices do quadrilátero ABCD estejam dispostos em ordem anti-horária como A, B, C, D. Construa triângulos retângulos isósceles APB, BQC, CRD, DSA com os lados AB, BC, CD, DA como suas hipotenusas no exterior do quadrilátero ABCD. (1) Encontre o número complexo que representa o ponto P. (2) A condição necessária e suficiente para o quadrilátero PQRS ser um paralelogramo está em função do tipo de quadrilátero ABCD? (3) Se o quadrilátero PQRS é um paralelogramo, prove que o quadrilátero PQRS é um quadrado.'

'Dado α=2+i e β=4+5 i. Encontre o número complexo γ que representa o ponto obtido pela rotação de β em torno de α por π/4.'

'Explique a adição de números complexos α e β como α+β usando vetores de posição e ilustre usando um paralelogramo.'

'Exemplo importante 77 | Uso de raízes de grau n'

'Plano dos números complexos\nSeja w = (1 + α)z + 1 + α. Quando as linhas OW e OZ são perpendiculares, responda às seguintes perguntas:\n(1) Encontre o valor de |z-α|.\n(2) Encontre o número complexo z para que △OAZ forme um triângulo retângulo.\n[Tipo: Universidade de Yamagata]'

'Encontre o termo geral da sequência de números complexos {zn} que satisfaz a seguinte relação de recorrência.'

'Prove que a desigualdade |1+z| ≥ (1+|z|)/√2 é válida quando o número complexo z=x+yi(x, y são números reais) com x≥0. Além disso, determine quando a igualdade é válida.'

'Usando a forma polar z=r(cosθ+isinθ)'

'Por favor, explique a relação entre números complexos e vetores no plano, e prove que é uma correspondência um a um.'

'Encontre o número complexo que representa os pontos A(-1+i) e B(3+4i).'

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'Sejam a, b números reais e suponha que a equação cúbica x^{3}+ax^{2}+bx+1=0 tenha uma raiz imaginária α. Prove que o número complexo conjugado de α também é raiz desta equação. Além disso, exprima a terceira raiz β e os coeficientes a, b usando α e o conjugado de α.'

'Resolver a relação de recorrência de números complexos\n\ z_{1}=3 \ e a relação de recorrência \\( z_{n+1}=(1+i) z_{n}+i(n \\geqq 1) \\) que define uma sequência de números complexos \ \\left\\{z_{n}\\right\\} \, e responder às seguintes perguntas:\n(1) Encontrar \ z_{n} \.\n(2) Encontrar \ z_{21} \.'

'Se 𝛼 = -2 + 2𝑖, 𝛽 = -3 - 3√3 𝑖. Onde o argumento é 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋. (1) Expresse 𝛼𝛽 e 𝛼 / 𝛽 em forma polar respectivamente. (2) Encontre 𝑎𝑟𝑔 𝛼³ e |𝛼³ / 𝛽|.'

'A condição para que três pontos, incluindo a origem O, sejam colineares é (1) ○○○) α=3+(2 x-1) i, β=x+2-i. Encontre o valor do número real x quando os pontos A(α), B(β) e a origem O são colineares.'

'Expresse os números complexos 1+i e sqrt(3)+i na forma polar e calcule os valores de cos(5/12π) e sin(5/12π) para cada um deles.'

'Compreendendo formas geométricas usando números complexos'

'Capítulo 3 Plano de Números Complexos 417\nSolução Alternativa 2 A(3 i), B(-3), P(z) Seja |z-3 i|=2|z+3| assim AP=2BP logo AP:BP=2:1 O segmento AB é dividido internamente no ponto C(α) na proporção 2:1 e externamente no ponto D(β), então o conjunto de pontos P é um círculo com C e D como diâmetro. α=(1⋅3 i+2(-3))/(2+1)=-2+i β=(-1⋅3 i+2(-3))/(2-1)=-6-3 i Portanto, o conjunto de pontos z é um círculo com -2+i e -6-3 i como diâmetro. |z-3 i| representa a distância entre os pontos A e P, e |z+3| representa a distância entre os pontos B e P. Capítulo 3'

'O ponto obtido girando o ponto z em torno da origem por um ângulo θ é (cos θ + i sin θ) z'

'O número complexo \ \\alpha \ satisfaz \ \\alpha^{5}=1, \\alpha \\neq 1 \.'

'Investigue a convergência e divergência das seguintes séries infinitas e encontre a soma delas, caso convergentes.'

'A relação entre números complexos e vetores na geometria'

'Dado os números reais x, y, z que satisfazem x+y+z=√5+2, xy+yz+zx=2√5+1, xyz=2, encontre os valores das seguintes expressões: (1) 1/x+1/y+1/z (2) x^2+y^2+z^2 (3) x^3+y^3+z^3 (4) x^4+y^4+z^4'

'Para a equação f(x)=0 ter duas raízes negativas distintas, o gráfico de y=f(x) deve se interceptar com a parte negativa do eixo x em dois pontos diferentes. Portanto, tudo o que se segue deve ser verdadeiro simultaneamente.'

'Exemplos de Números de Catalão 3... Formas de Dividir um Polígono em Triângulos'

'Encontre a solução para a seguinte equação:'

Avançado 40 Desembrulhar $\sqrt{A^{2}}$ Avançado 41 Racionalização do Denominador (2) Avançado 42 Problemas com Partes Inteiras e Decimais Avançado 43 Remoção de Radicais Duplos Avançado 44 Resolver Inequações com Valores Absolutos através de Análise de Casos Avançado 45 Inequação com Dois Sinais de Valor Absoluto Avançado 46 Condições para que Sistemas de Inequações tenham Soluções

Calcule as seguintes expressões. 1. (cos π/60 + i sin π/60)^{20} 2. (√3 + i)^{-12} 3. (1 + i)^{17}

Por favor, explique a representação de números complexos na forma polar.

TREINAMENTO Prática 3 Existem 6 pontos \( \mathrm{A}\left(z_{1} ight), \mathrm{B}\left(z_{2} ight), \mathrm{C}\left(z_{3} ight), \mathrm{D}\left(z_{4} ight), \mathrm{E}\left(z_{5} ight) \), \( \mathrm{F}\left(z_{6} ight) \) no plano complexo. Quando o hexágono $\mathrm{ABCDEF}$ é um hexágono regular como mostrado na figura: egin{\overlineray}{l} z_{3}=\square ア \ z_{2}=\square ext { ウ } z_{1}+\square ext { イ } z_{5}, \ z_{6}=\square ext { オ } z_{1}+\square ext { カ } z_{5}, \end{\overlineray} \( \mathrm{D}\left(z_{4} ight) \) é ア $\square$ Selecione o grupo de resposta correspondente (você pode selecionar a mesma opção várias vezes): (0) rac{3+\sqrt{3} i}{3} (1) rac{1+\sqrt{3} i}{2} (2) rac{\sqrt{3}}{3} i (3) rac{1-\sqrt{3} i}{2} (4) rac{3-\sqrt{3} i}{6} (5) rac{3+\sqrt{3} i}{6}

Encontre o centro (em coordenadas polares) e o raio dos círculos representados pelas seguintes equações polares. 1. $r^{2}-4 r \cos heta+3=0$ 2. \( r^{2}-r(\cos heta-\sqrt{3} \sin heta)-8=0 \)

Calcule as seguintes expressões. (1) \( \left(\cos rac{\pi}{12} + i \sin rac{\pi}{12} ight)^{6} \) (2) \( \left(rac{1+i}{2} ight)^{15} \) (3) \( (\sqrt{6} - \sqrt{2} i)^{-6} \) (4) \( \left(rac{1+\sqrt{3} i}{1+i} ight)^{12} \) (5) \( (\sqrt{3} + i)^{10} + (\sqrt{3} - i)^{10} \)

Capítulo 3 Plano Complexo 13 Plano Complexo 14 Forma Polar dos Números Complexos 15 Teorema de De Moivre 16 Números Complexos e Figuras

TREINAMENTO 74 Dado α=2(cos 11/12π + i sin 11/12π) e β=3(cos π/4 + i sin π/4), encontre αβ e α/β.

Dado que o número complexo $z$ satisfaz $z + \frac{1}{z} = \sqrt{2}$, encontre o valor de $z^{15} + \frac{1}{z^{15}}$.

Encontre o valor de z^{15}+rac{1}{z^{15}} quando o número complexo z satisfaz z+rac{1}{z}=\sqrt{2}.

O que o ponto \( (-1+i) z \) representa como a localização do ponto $z$ após ter sido movido. Suponha que o intervalo do ângulo de rotação $heta$ seja $0 \leqq heta<2 \pi$.

Múltiplos reais de números complexos Para um número real $k$ e um número complexo $\alpha = a + b i$, como mostrado no diagrama a seguir, quando $\alpha \neq 0$, o ponto $k \alpha$ está na linha $\ell$ que passa pelos dois pontos $0$ e $\alpha$. Ao contrário, os pontos nesta linha $\ell$ representam múltiplos reais do número complexo $\alpha$. Considere os seguintes casos: 1. $\alpha = 1 + i$, $k = 2$ 2. $\alpha = -1 + 2i$, $k = -3$ Para cada caso, encontre $k \alpha$ e descreva sua posição em relação ao zero no plano complexo.

Dado que o ponto lpha é rotacionado por rac{\pi}{3} em torno da origem para obter o ponto eta, onde eta = 2 + 2i, encontre o número complexo que representa o ponto lpha.

Dado três pontos distintos O(0), A(α), B(β) no plano complexo, onde α e β satisfazem as seguintes equações. Que tipo de triângulo é △OAB? (1) α^{2}+β^{2}=0 (2) 3α^{2}+β^{2}=0

(1) Plote os pontos representando os seguintes números complexos no plano complexo. (a) $5-2 i$ (b) $-1+3 i$ (c) -2 (d) 1 (e) $-3 i$ (f) $2 i$ (2) Responda os números complexos correspondentes aos seguintes pontos no plano de coordenadas. (a) \( (-3,1) \) (b) \( (4,0) \) (c) \( (0,-2) \)

Dado lpha=2+3i, eta=-6+xi . Se os dois pontos \( \mathrm{A}(lpha), \mathrm{B}(eta) \) e a origem $\mathrm{O}$ estão colineares, encontre o valor do número real $x$.

Expressa os seguintes números complexos na forma polar. O intervalo do argumento θ é 0 ≤ θ < 2π. (1) $-1+\sqrt{3} i$ (2) $5 i$

Dado que lpha = e^{i\pi/6} e eta = e^{-i\pi/4} , encontre $m$ e $n$. (1) $m=6, n=12$

Dado três números complexos distintos lpha, eta, \gamma tal que a equação \( \sqrt{3} \gamma-i eta=(\sqrt{3}-i) lpha \) se mantém, responda às seguintes perguntas. (1) Calcule rac{\gamma-lpha}{eta-lpha} . (2) Determine os ângulos ngle \mathrm{A}, ngle \mathrm{B}, ngle \mathrm{C} do triângulo $riangle \mathrm{ABC}$ com vértices nos pontos lpha, eta, \gamma .

Matemática C EX Quando o ponto \( \mathrm{P}(z) \) no plano complexo se move em um círculo centrado no ponto $2 i$ com um raio de 1, determine a figura desenhada pelo ponto \( \mathrm{Q}(w) \) que satisfaz \( w=(1+i)(z-1) \) 27.

Quando o ponto rac{z}{z-2} no plano complexo se encontra no eixo imaginário, que tipo de curva o ponto $z$ traça ao se mover?

Dado que os números complexos lpha, eta satisfazem a equação rac{eta}{lpha}=rac{1+\sqrt{3} i}{2} , determine os ângulos do triângulo $riangle \mathrm{OAB}$ com vértices nos pontos \( \mathrm{O}(0) \), \( \mathrm{A}(lpha) \) e \( \mathrm{B}(eta) \) no plano complexo.

Calcule as seguintes expressões. (1) \( \left(\cos rac{\pi}{12}+i \sin rac{\pi}{12} ight)^{6} \) (2) \( \left(rac{1+i}{2} ight)^{15} \) (3) \( (\sqrt{6}-\sqrt{2} i)^{-6} \) (4) \( \left(rac{1+\sqrt{3} i}{1+i} ight)^{12} \) (5) \( (\sqrt{3}+i)^{10}+(\sqrt{3}-i)^{10} \)

Exemplo 73: α=4(cos 5/12π + i sin 5/12π), β=2(cos π/4 + i sin π/4), encontre α β e α/β.

Para os números naturais $n$ que satisfazem $1 \leqq n \leqq 100$, quantos $n$ existem tal que para o número imaginário lpha=rac{\sqrt{3}+i}{2} , a equação lpha^{n}+rac{1}{lpha^{n}}=-2 é satisfeita?

Seja $z=2 \sqrt{2}+\sqrt{2} i$. Encontre o número complexo $w$ que representa o ponto $z$ girado em torno da origem por -rac{\pi}{4} .

Mostre que para um número complexo $z$ , se $|z|=\sqrt{2}$ , então z+rac{2}{z} é um número real.

Dado que os números complexos lpha, eta, \gamma, \delta satisfazem lpha + eta + \gamma + \delta = 0 e |lpha| = |eta| = |\gamma| = |\delta| = 1 , encontre o valor de |lpha - eta|^{2} + |lpha - \gamma|^{2} + |lpha - \delta|^{2} .

Prove as seguintes afirmações sobre os números complexos z, lpha . (1) Se $k$ é um número positivo e $|z|=k$, então z+rac{k^{2}}{z} é um número real. (2) z \overline{z}+lpha \overline{z}+\overline{lpha} z é um número real.

Encontre o número complexo que representa o ponto obtido ao girar o ponto 2+2i em torno do ponto i pelos seguintes ângulos: (1) π/6 (2) π/4 (3) π/2 (4) -π/2

Dados três pontos distintos no plano complexo O(0), A(α), B(β), onde α e β satisfazem as seguintes equações. Que tipo de triângulo é ΔOAB? (1) α² + β² = 0 (2) 3α² + β² = 0

Represente geometricamente o produto dos números complexos $z_1 \cdot z_2$ e explique-o. Como exemplo, calcule especificamente o produto \( z_1 = 2(\cos heta + i \sin heta) \), \( z_2 = 3(\cos \phi + i \sin \phi) \).

Por favor, explique as propriedades dos conjugados complexos no plano complexo.

No plano complexo, quando o ponto z está se movendo no círculo com centro em O e raio 1, que tipo de figura o ponto w, representado pelas seguintes equações, irá descrever? (1) w=rac{z+2}{z-1} (onde z eq 1) (2) w=rac{z+1}{2z-1}

No plano complexo, o ponto A representa o número complexo $z = a + bi$. (1) O ponto B representa seu número complexo conjugado $\overline{z} = a - bi$. Encontre as coordenadas do ponto B. (2) Encontre a distância entre os pontos A e B.

No plano complexo, há três pontos \( \mathrm{O}(0), \mathrm{A}(3-2 i), \mathrm{B} \). Se $\triangle \mathrm{OAB}$ é um triângulo isósceles retângulo, encontre o número complexo $z$ que representa o ponto $\mathrm{B}$.

Encontre os valores de lpha e eta para 34. lpha=rac{1}{2}+rac{\sqrt{3}}{2} i, \quad eta=-i

(1) Plote os pontos representando os seguintes números complexos no plano complexo. (a) $4+2 i$ (b) $-2-3 i$ (c) 3 (d) -4 (e) $4 i$ (f) $-i$ (2) Responda os números complexos correspondentes aos seguintes pontos no plano de coordenadas. (a) \( (5,-2) \) (b) \( (-1,0) \) (c) \( (0,3) \)

Dado que z=r(\cos heta+i \sin heta), expressa o valor absoluto e o argumento dos seguintes números complexos usando r e heta. Assuma r>0. (1) 2 z (2) -z (3) ar{z} (4) rac{1}{z} (5) z^{2} (6) -2 ar{z}

Usando o número complexo $\sqrt{3}+i$, calcule o seguinte. (5) Encontre \( (\sqrt{3}+i)^{10} + (\sqrt{3}-i)^{10} \).

Sejam $\alpha$ e eta números complexos, tais que tanto a parte real quanto a parte imaginária de $\alpha$ sejam positivas, e |\alpha|=|eta|=1 . Dado que os três pontos i \alpha, \frac{i}{\alpha}, eta formam um triângulo equilátero no plano complexo, encontre $\alpha$ e eta . [Universidade de Shizuoka]

73 (1) 2( cos 5/3π + i sin 5/3π ) (2) √2/3 ( cos 3/4π + i sin 3/4π ) (3) 2√2( cos 4/3π + i sin 4/3π ) (4) 3( cos 3/2π + i sin 3/2π )