Análise Vetorial Geometria de Curvas e Superfícies - Produto Escalar e Produto Vetorial

'Encontre o produto escalar e o ângulo \ \\theta \ entre dois vetores \\( \\vec{a}=(\\sqrt{3}, 1), \\vec{b}=(-1,-\\sqrt{3}) \\).'

'Para mostrar a condição dos pontos \ \\mathrm{O}, \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ estarem colineares, demonstre a seguinte propriedade:'

'Seja $\\mathrm{ABCD}$ a base de uma pirâmide quadrangular $\\mathrm{OABCD}$ tal que $\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OD}}$. Para quatro números reais não nulos $p, q, r, s$, sejam os pontos $\\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S}$ definidos por $\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=p \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}$, $\\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}=q \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}$, $\\overrightarrow{\\mathrm{OR}}=r \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}$, $\\overrightarrow{\\mathrm{OS}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OD}}$. Mostre que se os quatro pontos $\\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S}$ estão no mesmo plano, então $\\frac{1}{p}+\\frac{1}{r}=\\frac{1}{q}+\\frac{1}{s}$.'

'No tetraedro OABC, seja L o ponto que divide o lado AB na proporção 1:3, M o ponto que divide o lado OC na proporção 3:1, N o ponto que divide o segmento CL na proporção 3:2 e P a interseção dos segmentos LM e ON. Se OA=a, OB=b, OC=c, expresse ON e OP em termos de a, b e c.'

''

'Os vetores a e b no plano de coordenadas não são paralelos. Vamos considerar a e b como vetores de posição correspondentes aos pontos A e B, respectivamente. Além disso, para os números reais positivos x e y, vamos considerar x a e y b como vetores de posição correspondentes aos pontos P e Q. Quando o segmento de reta PQ divide o segmento de reta AB na proporção 2:1, encontrar o valor mínimo de xy. Todos os vetores de posição são considerados em relação à origem O.'

'A equação vetorial de uma reta perpendicular ao vetor n (que não é igual a zero) e que passa pelo ponto A(vetor a) é n·(p-a)=0'

'Definição do produto cruzado'

'Definição do produto escalar, Produto escalar e componentes \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \ .\nDefinição do produto escalar\nSe o ângulo entre \ \\vec{a} \ e \ \\vec{b} \ for \\( \\theta\\left(0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}\\right) \\) , então\n\\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=|\\vec{a}||\\vec{b}| \\cos \\theta\\nProduto escalar e componentes\nSe \\( \\vec{a}=\\left(a_{1}, a_{2}\\right), \\vec{b}=\\left(b_{1}, b_{2}\\right) \\) , então\n\\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}\\nAlém disso, se o ângulo entre \ \\vec{a} \ e \ \\vec{b} \ for \ \\theta \ , então\n\\\cos \\theta=\\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}||\\vec{b}|}=\\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}}{\\sqrt{a_{1}{ }^{2}+a_{2}{ }^{2}} \\sqrt{b_{1}{ }^{2}+b_{2}{ }^{2}}}\'

'Problema de prova sobre movimento circular uniforme\nO ponto P move-se numa trajetória circular com raio r centrada na origem O, começando a partir do ponto fixo P₀, de forma que OP roda a uma taxa de ω radianos por segundo.\n(1) Encontre a magnitude v da velocidade de P.\n(2) Mostre que o vetor velocidade de P e o vetor aceleração são perpendiculares.'

'Dado que os vetores a e b satisfazem |a|=5,|b|=3,|a-2 b|=7. Se o ângulo entre a-2 b e 2 a+b for θ, encontre o valor de cos θ.'

'Encontre o produto escalar e o ângulo $\\theta$ entre os dois vetores $\\vec{a}=(-2,1,2)$ e $\\vec{b}=(-1,1,0)$.'

''

'Para vetores não nulos a e b, tais que a+2b e a-2b são ortogonais, e |a+2b|=2|b|.'

'Descreva as condições para que os vetores a e b sejam perpendiculares.'

'Dentro do \\triangle \\mathrm{ABC} há um ponto \\mathrm{P} tal que 2 \\overrightarrow{PA} + 3 \\overrightarrow{PB} + 5 \\overrightarrow{PC} = \\overrightarrow{0}. (1) Onde está localizado o ponto \\mathrm{P}? (2) Encontre a proporção das áreas de \\triangle \\mathrm{PBC} : \\triangle \\mathrm{PCA} : \\triangle \\mathrm{PAB}.'

'Num quadrado ABCD com lado de comprimento 2, encontre os seguintes produtos pontuais.'

'Prove usando vetores que a equação 2(AB^2+BC^2)=AC^2+BD^2 é válida no paralelogramo ABCD.'

'Dado 4 pontos A(2,1,2), B(-2,2,1), C(-3,-4,2), D(a, b, 5).'

'Exemplo básico 22 Exemplo padrão 33'

'No tetraedro OABC, seja P o ponto médio do lado OA, Q o ponto médio do lado BC, R o ponto que divide o segmento PQ na razão 1:2, e S o ponto de interseção da reta OR e do plano ABC. Se OA=vetor a, OB=vetor b, OC=vetor c, então expresse OS em termos de vetor a, vetor b e vetor c.'

'No \ \\triangle \\mathrm{OAB} \, dado que \ \\mathrm{OA}=2, \\mathrm{OB}=3, \\mathrm{AB}=\\sqrt{7} \ e o ortocentro seja denotado como H. Defina \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\vec{a} \ e \ \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\vec{b} \, então responda às seguintes perguntas:'

'Encontre o produto escalar e o ângulo $\\theta$ entre os vetores $\\vec{a}$ e $\\vec{b}$.(1) $\\vec{a}=(3,4), \\vec{b}=(7,1)$(2) $\\vec{a}=(1, \\sqrt{3}), \\vec{b}=(-\\sqrt{3},-1)$(3) $\\vec{a}=(\\sqrt{2},-2), \\vec{b}=(-1, \\sqrt{2})$(4) $\\vec{a}=(-1,2), \\vec{b}=(6,3)$'

'No triângulo retângulo ABC, com vetores AB = a, AC = b e BC = c, encontre os produtos escalar a⋅b, b⋅c e c⋅a.'

'Encontre o valor de $x$ que torna $\\ vec {a} = (x + 2,1)$ e $\\ vec {b} = (1, -6)$ perpendiculares.'

''

'\\( 4 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} = \\frac{1}{p^{2} - p + 1}\\{(1 - p) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} + p \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\\} \\)'

'Independência e dependência uma vez'

'O ponto P move-se ao longo do lado OA, logo pode ser representado como OP = sOA (0 ≤ s ≤ 1). Além disso, o ponto Q move-se ao longo do lado BC, podendo ser representado como OQ = (1-t)OB + tOC (0 ≤ t ≤ 1). Encontre o valor mínimo do quadrado de PQ neste momento.'

'No espaço de coordenadas com a origem como centro, seja A(5,4,-2). Que tipo de figura o conjunto de pontos P(x, y, z) que satisfazem $|\\overrightarrow{OP}|^{2}-2\\overrightarrow{OA} \\cdot \\overrightarrow{OP}+36=0$ representa? Além disso, expresse a equação em termos de x, y, z.'

'Resolva o seguinte problema de vetores. \ a \\overrightarrow{\\mathrm{PA}}+b \\overrightarrow{\\mathrm{PB}}+c \\overrightarrow{\\mathrm{PC}}=\\overrightarrow{0} \ leva a \\(-a \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}+b(\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AP}})+c(\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AP}})=\\overrightarrow{0}\\)'

'Dado que \ \\overrightarrow{AB} \\perp \\overrightarrow{PH} \, temos que \ \\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{PH} = 0 \, o que implica \\( 2(2k-9) + 1 \\times (k-6) - 1 \\times (-k) = 0 \\). Logo, \ k = 4 \'

'Encontre o ângulo θ entre os vetores a e b de modo que a-(2/5)b seja perpendicular a a+b, e a seja perpendicular a a-b.'

'(1) Provar:'

'Exemplo 10 Cálculo do produto interno (definição)'

'No tetraedro ABCD, seja M o ponto médio da aresta AB e N o ponto médio da aresta CD.\n(1) Existe um ponto P que satisfaz a equação PA + PB = PC + PD? Forneça uma prova e responda.'

'Equações do produto interno em problemas de forma de triângulo'

'Explique o método de cálculo do produto escalar de vetores e faça o cálculo usando um exemplo específico.'

'Exemplo 18 Encontre o vetor de posição do ortocentro de um triângulo\nNo triângulo OAB, com OA=5, OB=6, AB=7, e ortocentro H. Deixe o vetor OA ser a e o vetor OB ser b, responda às seguintes perguntas:\n1. Encontre o produto escalar a·b.\n2. Expresse o vetor OH em termos de a e b.'

'No tetraedro OABC, seja ⃗a=⇀OA, ⃗b=⇀OB, ⃗c=⇀OC. Os pontos médios dos segmentos OA, OB, OC, BC, CA, AB são denotados como L, M, N, P, Q, R, respectivamente, e seja ⃗p=⇀LP, ⃗q=⇀MQ, ⃗r=⇀NR.'

'A equação vetorial de uma reta que passa pelo ponto A (um vetor a) e é perpendicular a n (diferente do vetor nulo) é: n·(p - a) = 0.'

'Calcule o produto escalar de vetores e explique seu significado geométrico.'

'Prove a desigualdade do décimo vetor'

'(1) Uma vez que \ \\mathrm{AB} \\parallel \\mathrm{DE} \, então \ \\overrightarrow{\\mathrm{DE}}=k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \. Encontre o número real \ k \ e determine os valores de \ a \ e \ b \ quando \\( \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=(-3,0,4) \\) e \\( \\overrightarrow{\\mathrm{DE}}=(6, a+1, b+3) \\).'

'Defina o produto escalar e os componentes onde \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\quad \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \.\nO ângulo entre \ \\vec{a} \ e \ \\vec{b} \ é denotado por \\( \\theta (0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}) \\).\nEntão, o produto escalar de \ \\vec{a} \ e \ \\vec{b} \ é dado por \\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=|\\vec{a}||\\vec{b}| \\cos \\theta\\nPara \\( \\vec{a} = (a_1, a_2), \\vec{b} = (b_1, b_2) \\), o produto escalar dos vetores é \\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2\\nAlém disso, o cosseno do ângulo \ \\theta \ é dado por \\( \\cos \\theta = \\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}||\\vec{b}|} = \\frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}\\]'

'Dado P(0, s, 0), Q(t+1, t+3, -t). Calcular PQ^2 = (t+1)^2 + (t+3-s)^2 + (-t)^2 = s^2 - 2st + 3t^2 - 6s + 8t + 10 = s^2 - 2(t+3)s + 3t^2 + 8t + 10 = {s-(t+3)}^2 - (t+3)^2 + 3t^2 + 8t + 10 = (s-t-3)^2 + 2t^2 + 2t + 1 = (s-t-3)^2 + 2(t+1/2)^2 + 1/2. Quando s-t-3=0 e t+1/2=0, ou seja, s=5/2, t=-1/2, o valor mínimo é 1/2. Portanto, PQ alcança um valor mínimo de 1/sqrt(2) quando s=5/2, t=-1/2. Em outras palavras, quando P(0,5/2,0), Q(1/2,5/2,1/2), o valor mínimo é 1/sqrt(2).'

'Prove que para quatro pontos O, A, B, C no espaço que não estão no mesmo plano, se o vetor OA=a, o vetor OB=b, e o vetor OC=c, então qualquer vetor p pode ser unicamente expresso na forma p=s*a+t*b+u*c (onde s, t, u são números reais).'

'|𝛼 + t𝛽| é maior ou igual a 0, portanto, quando |𝛼 + t𝛽|^2 é minimizado, |𝛼 + t𝛽| também é minimizado. Assim, |𝛼 + t𝛽| atinge o valor mínimo de √26 em t=-1. Outra solução é considerar o ponto O como origem, 𝛼 = OA, e 𝛽 = OB. O ponto C determinado por 𝛼 + t𝛽 = OC passa pelo ponto A e está em uma linha paralela a OB. Portanto, para que |𝛼 + t𝛽| seja minimizado, (𝛼 + t𝛽) deve ser perpendicular a 𝛽. Nesse caso, temos (𝛼 + t𝛽)·𝛽 = 0, o que leva a resolver (2 + t) * 1 + (-4 - t) * (-1) + (-3 + t) * 1 = 0, resultando em 3t + 3 = 0, logo t = -1. Nesse ponto, |𝛼 + t𝛽| = |𝛼 - 𝛽| = √(1^2 + (-3)^2 + (-4)^2) = √26. Portanto, |𝛼 + t𝛽| alcança o valor mínimo de √26 em t=-1.'

'Referência Adicional\nReferência: Encontre o produto cruz \\vec{u} de \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} e \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}\n\n\\vec{u} = (1 \\cdot 0-(-2)\\cdot 4, (-2)\\cdot 3-2 \\cdot 0, 2 \\cdot 4-1\\cdot 3) = (8, -6, 5)'

'1. Valor máximo e mínimo do produto escalar de vetores\n2. Vetores com trajetória, região\n3. Volume máximo do tetraedro\n4. Tratamento de equações vetoriais\n5. Figuras geométricas no espaço (superfície esférica)\n6. Limite de um ponto se movendo no plano complexo\n7. Intervalo de existência de pontos no plano complexo\n8. Problemas de fusão de propriedades de números complexos e inteiros\n9. Representação paramétrica e trajetória\n10. Problemas de fusão de plano complexo, equações e curvas'

'Exemplo 11 | Cálculo do Produto Escalar (Componentes)'

'(2) continuação'

'Num tetraedro regular ABCD com comprimento da aresta 2, encontre o produto escalar do vetor AB e do vetor AC.'

'(2) $\\ vec{a} \\ cdot \\ vec{b} = 2 \\ times (-2+ \\ sqrt{3})+(-1) \\ times(1+2 \\ sqrt{3})=-5$ \\ n \\ also $| \\ vec{a}| = \\ sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}= \\ sqrt{5}$, \\ n \\ [ | \\ vec{b} | = \\ sqrt{(-2+ \\ sqrt{3})^{2}+(1+2 \\ sqrt{3})^{2}}= \\ sqrt{20}=2 \\ sqrt{5} $\\ n \\ therefore$ \\ cos \\ theta= \\ frac{\\ vec{a} \\ cdot \\ vec{b}}{| \\ vec{a}| | | \\ vec{b}|}= \\ frac{-5}{ \\ sqrt{5} \\ times 2 \\ sqrt{5}}=- \\ frac{1}{2} $\\ n$ 0 ^ { \\ circ} \\ leqq \\ theta \\ leqq 180 ^ { \\ circ} $so$ \\ theta=120 ^ { \\ circ} $'

'Dadas as coordenadas A(r1,θ1) e B(r2,θ2) [r1 > 0, r2 > 0]. Usando o teorema dos cossenos, encontre a distância AB entre o ponto A e o ponto B.'

'Como você expressa que os vetores a e b são iguais quando têm a mesma magnitude e direção?'

'Em geral, os vetores no espaço \ \\overrightarrow{u_{1}}, \\overrightarrow{u_{2}}, \\overrightarrow{u_{3}} \ satisfazem as seguintes condições: \\( \\overrightarrow{u_{i}} \\cdot \\overrightarrow{u_{j}}=\\left\\{\egin{array}{ll}1 & (i=j) \\\\ 0 & (i \\neq j) \\end{array}\\right. \\)'

'Segmento de linha AB e ponto P. Quando a seguinte equação é verdadeira, qual é a posição do ponto P.'

'No espaço de coordenadas com o ponto O como origem, que tipo de figura representa o conjunto de pontos P(x, y, z) que satisfazem as seguintes condições? Além disso, expressar as equações em x, y, z:\n(1) Quando A(3,-6,2), o ponto P satisfaz |→OP|^{2}+2→OP⋅→OA+45=0.\n(2) Quando A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3), o ponto P satisfaz →AP⋅(→BP+2→CP)=0.'

'Questão 31 | Equação Vetorial de um Círculo\nPara o triângulo OAB no plano e qualquer ponto P, as seguintes equações vetoriais representam um círculo. Que tipo de círculo é este?\n(1) |3 →PA+2 →PB|=5\n(2) →OP⋅(→OP-→AB)=→OA⋅→OB'

'|2 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-2 \\overrightarrow{\\mathrm{BP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{CP}}| &=|2 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-2(\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AB}})- (\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AC}})| &=| -\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}|'

'Para os pontos O(0,0,0), A(2,1,-2), B(3,4,0), encontrar um vetor perpendicular tanto ao vetor OA quanto ao vetor OB com uma magnitude de √5.'

'Mostre o seguinte.'

'(1) Que tipo de forma a equação vetorial |3→OA+2→OB-5→OP|=5 representa para dois pontos distintos A, B e qualquer ponto P no plano? (2) Existem pontos P e um triângulo ABC no plano. Encontre o conjunto de pontos P que satisfazem a condição 2→PA⋅→PB=3→PA⋅→PC.'

'Prove que em um plano, para quatro pontos distintos A, B, C, D e um ponto O que não está na linha AB, onde OA=a, OB=b. E se OC=3a-2b, OD=-3a+4b, então AB∥CD.'

'Dado o quadrilátero ABCD e o ponto O, com OA = a, OB = b, OC = c, OD = d. Se a + c = b + d e a · c = b · d, determine a forma deste quadrilátero.'

'Encontre o valor máximo do produto ponto $\\overrightarrow{OA} \\cdot \\overrightarrow{OB}$ quando o ponto A se move na elipse $\\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$. Aqui, A(x, y) e B(x, y^{2}-2 y, 2 x+y^{3}), com O sendo a origem.'

'Prove a equação \ \\left|\\frac{1}{2} \\vec{a}-\\frac{1}{3} \\vec{b}\\right|^{2}+\\left|\\frac{1}{2} \\vec{a}+\\frac{1}{3} \\vec{b}\\right|^{2}=\\frac{1}{2}|\\vec{a}|^{2}+\\frac{2}{9}|\\vec{b}|^{2} \'

'Utilização de vetores de projeção ortogonais'

'Prática(2) Encontre o ângulo \ \\theta \ formado por dois vetores não nulos \ \\vec{a} \ e \ \\vec{b} \ quando existe um número real único \ t \ de modo que \ \\vec{a}+t \\vec{b} \ e \ \\vec{a}+3 t \\vec{b} \ sejam perpendiculares.'

'Dado os vetores OA e OB. Encontre a área do triângulo QBC se o ponto Q satisfizer a condição 256 vetor AQ + 3 vetor BQ + 2 vetor CQ = vetor 0.'

'Encontre um vetor \\\vec{p}\ que seja perpendicular a ambos os vetores \\(\\vec{a}=(2,1,-2)\\) e \\(\\vec{b}=(3,4,0)\\) e tenha uma magnitude de \\\sqrt{5}\.'

'Ortogonalidade e Produto Escalar de Vetores'

'Prove que quando \\( (2 \\vec{a}+3 \\vec{b}) / /(\\vec{a}-4 \\vec{b}) \\), então \ \\vec{a} / / \\vec{b} \.'

'A equação vetorial de uma reta que passa pelo ponto A(𝑎) e é paralela a 𝑑(≠0) é 𝑝=𝑎+𝑡𝑑. Noções básicas 1, p.343.'

'No triângulo OAB, seja vec{a} = \\overrightarrow{OA} e vec{b} = \\overrightarrow{OB}, com |\\vec{a}|=3, |\\vec{b}|=5, e \\cos \\angle AOB = \\frac{3}{5}. Encontre o vetor de posição que parte de O, onde o bissetriz do ângulo \\angle AOB intersepta o círculo com centro em B e raio \\sqrt{10}, usando vec{a} e vec{b}.'

'Dado o segmento de linha AB e o ponto P. Quando a seguinte equação é verdadeira, onde está localizado o ponto P? (2) AP-3BP+4BA=0'

'Prove que quando A e B são vetores com a origem como ponto de partida, a equação do vetor do bissetor do ângulo formado pelos vetores OA=a e OB=b é dada por p = t(a/|a| + b/|b|), onde t é uma variável.'

'Vetores paralelos e produto escalar'

'Resolver o Exemplo 20 (2) na página 54 usando as informações fornecidas'

'Encontre o valor de t quando o ângulo entre dois vetores \\( \\vec{a} = (1, t) \\) e \\( \\vec{b} = \\left(1, \\frac{t}{3}\\right) \\) é de \ 30^{\\circ} \. Assumindo que t > 0.'

'(1) A condição para $\\vec{a} \\perp \\vec{b}$ é $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 0$. Aqui, $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 3 \\times x + 2 \\times 6 = 3x + 12$. Assim, $3x + 12 = 0$. Portanto, $x = -4$. (2) A condição para $\\vec{a} \\perp \\vec{b}$ é $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 0$. Aqui, $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 3 \\times(-1) + x \\times \\sqrt{3} = \\sqrt{3}x - 3$. Assim, $\\sqrt{3}x - 3 = 0$. Portanto, $x = \\sqrt{3}$.'

'Prática Dado o segmento de linha AB e o ponto P. Quando a seguinte equação é verdadeira, onde está o ponto P localizado? (1) 3 vetor AP + 4 vetor BP = 2 vetor AB'

'Quando dois vetores a, b satisfazem (1) |a + b| = 4 e (2) |a - b| = 3, encontre o valor de a·b.'

'No plano, a partir de (1), é dado que o ângulo ACB = ângulo CAD e ângulo BFC = ângulo DFA. Isso implica a forma dos vetores BC // AD.'

'Pratique mostrando o seguinte no caso em que \ \\vec{a}, \\vec{b} \ são vetores de espaço não nulos, \ s, t \ são números reais não negativos e \ \\vec{c}=s \\vec{a}+t \\vec{b} \.'

'Produto escalar de vetores: \\( \\vec {a} = (a_1, a_2, a_3), \\ vec {b} = (b_1, b_2, b_3) \\) é dado por'

'A equação vetorial do plano alfa passando pelo ponto A (vetor a) e perpendicular ao vetor não nulo n é n·(p-vetor a)=0 (como discutido na seção 1, página 387).'

'Prove as seguintes desigualdades.'

'Dado um quadrilátero ABCD e um ponto O, onde o vetor OA é a, o vetor OB é b, o vetor OC é c e o vetor OD é d. Se a + c = b + d e a · c = b · d, determine a forma deste quadrilátero.'

'Dado |a| = 3, |b| = 2, |a-2b| = sqrt{17}, encontre o valor do número real t para o qual a+b e a+tb são perpendiculares.'

'Traduza o texto dado para várias línguas.'

'Encontre a equação polar da reta que passa pelo ponto \\( A(a, \\alpha) \\) e é perpendicular a OA.'

'Produto escalar de vetores'

'Dado o plano ABC determinado por três pontos A(1,1,0), B(3,4,5) e C(1,3,6) no espaço tridimensional, se existe um ponto P(4,5,z) no plano, encontre o valor de z.'

No triângulo retângulo $\mathrm{ABC}$ mostrado na figura à direita, seja \overrightarrow{\mathrm{AB}}=ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=ec{b}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}=ec{c} . Encontre os produtos internos ec{a} \cdot ec{b}, ec{b} \cdot ec{c}, ec{c} \cdot ec{a} respectivamente. Dado que |ec{a}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=2,|ec{b}|=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=2 \sqrt{3},|ec{c}|=|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=4 , e que o ângulo entre ec{a} e ec{b} é $90^{\circ}$.

TREINAMENTO 19 (3) Sejam |ec{a}|=1,|ec{b}|=2 . Responda às seguintes perguntas: (1) Quando ec{a} \cdot ec{b}=-1 , encontre o valor de |ec{a}-ec{b}| . (2) Quando |ec{a}+ec{b}|=1 , encontre os valores de ec{a} \cdot ec{b} e |2 ec{a}-3 ec{b}| .

Encontre o produto escalar e o ângulo $heta$ entre os dois vetores ec{a}, ec{b} . \[ ec{a} = (1,0,-1), ec{b} = (-1,2,2) \]

Prove que as seguintes equações são verdadeiras. (1) \( 3 ec{a} \cdot(3 ec{a}-2 ec{b})=9|ec{a}|^{2}-6 ec{a} \cdot ec{b} \) (2) |4 ec{a}-ec{b}|^{2}=16|ec{a}|^{2}-8 ec{a} \cdot ec{b}+|ec{b}|^{2}

Encontre os produtos internos $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$.

O produto escalar de vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ e o ângulo $\theta$ entre eles: \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \] \[ \cos \theta =\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} =\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}}{\sqrt{a_{1}{ }^{2}+a_{2}{ }^{2}+a_{3}{ }^{2}} \sqrt{b_{1}{ }^{2}+b_{2}{ }^{2}+b_{3}{ }^{2}}

Propriedades do Produto Escalar Calcule o produto escalar dos seguintes vetores e verifique as propriedades do produto escalar. ec{a}=\left(2, 3 ight), ec{b}=\left(4, -1 ight) O produto escalar é 0 Propriedades do Produto Escalar As seguintes propriedades 1 a 5 valem para o produto escalar de vetores. 1 ec{a} \cdot ec{a}=|ec{a}|^{2} 2 ec{a} \cdot ec{b}=ec{b} \cdot ec{a} 3 (ec{a}+ec{b}) \cdot ec{c}=ec{a} \cdot ec{c}+ec{b} \cdot ec{c} 4 ec{a} \cdot(ec{b}+ec{c})=ec{a} \cdot ec{b}+ec{a} \cdot ec{c} 5 (k ec{a}) \cdot ec{b}=ec{a} \cdot(k ec{b})=k(ec{a} \cdot ec{b}) onde k é um número real. Prova ec{a}=\left(a_{1}, a_{2} ight), ec{b}=\left(b_{1}, b_{2} ight), ec{c}=\left(c_{1}, c_{2} ight)。

(1) De $|2 \vec{a}-3 \vec{b}|=10$, obtemos $\quad|2 \vec{a}-3 \vec{b}|^{2}=100$ Portanto, \( \quad(2 \vec{a}-3 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}-3 \vec{b})=100 \) Logo, $\quad 4|\vec{a}|^{2}-12 \vec{a} \cdot \vec{b}+9|\vec{b}|^{2}=100$ Dado $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2 \sqrt{2}$, temos \( \quad 4 \times 1^{2}-12 \vec{a} \cdot \vec{b}+9(2 \sqrt{2})^{2}=100 \) Ou seja, $4-12 \vec{a} \cdot \vec{b}+72=100$, portanto $\vec{a} \cdot \vec{b}=-2$ ! Portanto $\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-2}{1 \times 2 \sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ Como $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$, então $\quad \theta=135^{\circ}$

Seja $k$ uma constante real. Existe um ponto $\mathrm{P}$ e um triângulo $\mathrm{ABC}$ em um plano determinado, e a seguinte equação é satisfeita. $3 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=k \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ (1) Quando o ponto $\mathrm{P}$ está na linha $\mathrm{AB}$, $k=\square$. (2) Quando o ponto $\mathrm{P}$ está dentro do triângulo $\mathrm{ABC}$, $<k<\square$ se mantém. No entanto, assuma que o ponto $\mathrm{P}$ não está no perímetro do triângulo $\mathrm{ABC}$.

Encontre o ângulo $heta$ formado pelo produto escalar dos vetores ec{a} e ec{b} .\[ ec{a} = (1,0,1), ec{b} = (2,2,1) \]

Encontre o valor de $x$ quando o ângulo entre os dois vetores \( \vec{a}=(1,2,-1), \vec{b}=(-1, x, 0) \) é $45^{\circ}$.

Produto interno de vetores Ângulo formado pelo produto interno de vetores (espaço)

Encontre o produto escalar $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ dos vetores $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ e $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$. Considere três pontos $\mathrm{O}, \mathrm{A}, \mathrm{B}$ e deixe o ângulo entre $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ e $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ ser $heta$.

Encontre os valores de $s$ e $t$ quando os dois vetores \( \vec{a}=(s, 3s-1, s-1) \) e \( \vec{b}=(t-1, 4, t-3) \) são paralelos.

Dado os vetores \( \vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \) onde $a_{1} \neq 0, b_{1} \neq 0$、prove o seguinte: $\vec{a} / / \vec{b} \Longleftrightarrow a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}=a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1}=0$

Encontre o valor de $x$ quando o ângulo entre os dois vetores \( ec{a}=(2,1,1) \) e \( ec{b}=(x, 1,-2) \) é $60^{\circ}$.

A relação entre o produto escalar e o trabalho

Prove que os vetores são perpendiculares usando o produto escalar.

A condição para 13 pontos estarem em uma linha reta [Condição de Colinearidade] [=Exemplo 25]. Quando os pontos A e B são distintos, o ponto C está na linha AB ⇔ existe um número real k tal que $\overrightarrow{\mathrm{AC}} = k \overrightarrow{\mathrm{AB}}$. Quando o ponto C está na linha AB que passa pelos pontos distintos A e B, $\overrightarrow{\mathrm{AB}} / / \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ou $\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{0}$.

Em um cubo $\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}$ com comprimento de lado 1, encontre os seguintes produtos internos. (1) $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HG}}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}$ (3) $\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}}$

Produto escalar de vetores Formas e produto escalar de vetores (espaço) (1)

TREINAMENTO Prática 1 (4) Seja $k$ uma constante real. Há um ponto $\mathrm{P}$ e um triângulo $\mathrm{ABC}$ em um determinado plano, e eles satisfazem a seguinte equação. 3 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=k \overrightarrow{\mathrm{BC}} (1) Quando o ponto $\mathrm{P}$ está na linha $\mathrm{AB}$, $k=\square$. (2) Quando o ponto $\mathrm{P}$ está dentro do triângulo $\mathrm{ABC}$, $<k<\square$. Presume-se que o ponto $\mathrm{P}$ não esteja na borda do triângulo $\mathrm{ABC}$.

Determine o valor de $x$ que torna os dois vetores $\vec{a}, \vec{b}$ paralelos. (1) \( \vec{a}=(x,-2), \vec{b}=(2,1) \) (2) \( \vec{a}=(-9, x), \vec{b}=(x,-1) \)

Encontre a área S do triângulo OAB nos seguintes casos. (1) Quando |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{2},|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{3}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=2

Calcular os componentes do produto escalar de vetores (espaço)

(2) Como \( (\vec{a}-3 \vec{b}) \perp(2 \vec{a}+\vec{b}) \), temos \( \quad(\vec{a}-3 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}+\vec{b})=0 \) Portanto \( \quad \vec{a} \cdot(2 \vec{a}+\vec{b})-3 \vec{b} \cdot(2 \vec{a}+\vec{b})=0 \) Assim, $\quad 2|\vec{a}|^{2}-5 \vec{a} \cdot \vec{b}-3|\vec{b}|^{2}=0$ Dado que $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=1$, portanto, $\quad 2 \cdot 2^{2}-5 \vec{a} \cdot \vec{b}-3 \cdot 1^{2}=0$ (1) Portanto, $\vec{a} \cdot \vec{b}=1$, portanto $\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{1}{2 \times 1}=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow|\vec{p}|$ é tratado como $|\vec{p}|^{2}$. Como $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$, portanto $\quad \theta=60^{\circ}$

Encontre os seguintes produtos escalares. (1) \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ED}}, (2) \overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BG}}, (3) \overrightarrow{\mathrm{BH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}

Portanto, seja $heta$ o ângulo entre $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ e $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$, então \[ \cos \theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MN}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OC}}||\overrightarrow{\mathrm{MN}}|}=\frac{1}{2} \div\left(1 \times \frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\] Visto que $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$, $\quad \theta=45^{\circ}$ 〔 Seja $\theta$ o ângulo entre os vetores não-nulos $\vec{p}$ e $\vec{q}$, então $\cos \theta=\frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{|\vec{p}||\vec{q}|}$.

Por favor, calcule o produto escalar dos seguintes vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$:\n\n $\vec{a} = \overrightarrow{OA}, \vec{b} = \overrightarrow{OB}$, com o ângulo $\theta = 60^{\circ}$ entre os vetores, e | $\vec{a}$ | = 5, | $\vec{b}$ | = 3

(1) Encontre o valor de $x$ tal que \( \vec{a}=(5,1) \) e \( \vec{b}=(2, x) \) sejam perpendiculares. (2) Encontre o vetor unitário $\vec{e}$ que é perpendicular a \( \vec{c}=(\sqrt{3}, 1) \).

Dado os vetores \( ec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3} ight) \) e \( ec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3} ight) \) onde $a_{1} eq 0, b_{1} eq 0$, prove que o seguinte é verdadeiro: ec{a} / / ec{b} \Longleftrightarrow a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = a_{1} b_{3} - a_{3} b_{1} = 0

Por favor, calcule o produto escalar dos seguintes dois vetores: Vetor \(\vec{a} = (3, 4)\) e Vetor \(\vec{b} = (1, 2)\)

Para os vetores mostrados na figura à direita, liste todos os pares de números de vetores da seguinte forma. (1) Vetores com magnitude igual (2) Vetores com a mesma direção (3) Vetores iguais (4) Vetores opostos

No triângulo $riangle \mathrm{ABC}$ com vértices nos pontos \( \mathrm{A}(4, 3, -3), \mathrm{B}(3, 1, 0), \mathrm{C}(5, -2, 1) \), encontre o produto interno $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ e a medida do ângulo $\mathrm{ABC}$ denotada por $heta$.

Ângulo entre vetores e condição de perpendicularidade Encontre o ângulo entre os vetores ec{a}=\left(1, 0 ight), ec{b}=\left(0, 1 ight) e prove que esses vetores são perpendiculares. Seja $heta$ o ângulo entre dois vetores não nulos ec{a}=\left(a_{1}, a_{2} ight), ec{b}=\left(b_{1}, b_{2} ight). Então, \cos heta=rac{ec{a} \cdot ec{b}}{|ec{a}||ec{b}|}=rac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}} onde $0^{\circ} \leqq heta \leqq 180^{\circ}$