Tutor de IA | O Aplicativo Gratuito Nº 1 para Concluir a Lição de Casa

'Prática (1) Encontre as coordenadas do ponto Q obtidas ao girar o ponto P(-2,3) em torno da origem por 5/6π.'

'Cálculo Diferencial 186 Condições para Duas Curvas Serem Tangentes'

'Ilustre o raio dos seguintes ângulos e indique em qual quadrante cada ângulo está.'

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'Encontre a distância entre dois pontos.'

"Aprendi sobre as propriedades dos vetores no plano e no espaço. Vamos resumir e comparar tudo, exceto pela 'reflexão' de D.470."

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'No espaço são tomados 4 pontos A(0,1,1), B(0,2,3), C(1,3,0), D(0,1,2). A reta que passa pelos pontos A e B é ℓ, e a reta que passa pelos pontos C e D é m.'

'(3) Linha que passa por um ponto fixo A (vetor a) e perpendicular a um vetor não nulo n'

'O que é um vetor vertical?'

'(1) A reta paralela ao vetor d que não é zero e passa pelo ponto fixo A(vetor a) é representada como p=a+td, onde d é o vetor direção da reta'

'Encontre os vetores de posição das 26 interseções.'

'Vários métodos de encontrar o vetor de posição de um ponto de interseção'

'Encontre o intervalo de existência da extremidade de um vetor. (4)'

'Igualdade e magnitude de vetores'

'Explique três regras básicas de operações vetoriais.'

'Encontre a equação de uma reta que passe pelo ponto (1,2,-3) e seja paralela ao vetor d=(3,-1,2).'

'(1) Num plano existem 4 pontos diferentes A, B, C, D e um ponto O que não está na linha AB. Se OA=a, OB=b, OC=3a-2b e OD=-3a+4b, então prove que AB é paralelo a CD.'

'No paralelogramo ABCD, se 2 vezes o vetor BP for igual ao vetor BC, e 2 vezes o vetor AQ mais o vetor AB for igual ao vetor AC, qual é a forma do quadrilátero ABPQ?'

'Em um triângulo equilátero ABC com lado de comprimento 2, sejam L, M e N os pontos médios dos lados AB, BC e CA, respectivamente. Encontre todos os seguintes vetores representados pelos 6 pontos A, B, C, L, M, N:'

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'Operações de vetores'

'Quando \ \\vec{x}=2\\vec{a}-3\\vec{b}-\\vec{c}, \\vec{y}=-4\\vec{a}+5\\vec{b}-3\\vec{c} \, expressar \ \\vec{x}-\\vec{y} \ em termos de \ \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \.'

'No espaço, encontre o vetor unitário t que é ortogonal ao eixo x, forma um ângulo de 45 graus com o eixo z positivo e tem um componente y positivo.'

'Quando um ponto P se move no plano e suas coordenadas (x, y) são funções do tempo t, responda às seguintes perguntas:\n1. Derive a equação vetorial que representa a velocidade.\n2. Derive a equação vetorial que representa a aceleração.'

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'Encontre o vetor de posição do ponto de interseção das retas.'

'Condição de colinearidade\nQuando dois pontos A, B são diferentes\nQuando o ponto P está no segmento de reta AB\n\ \\Leftrightarrow \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ para algum número real k'

'Dado três pontos A(6, π/3), B(4, 2π/3), C(2, -3π/4), encontre o seguinte:'

'Sejam as coordenadas polares do ponto A (r₁, θ₁) e as coordenadas polares do ponto B (r₂, θ₂). Encontre a distância AB entre o ponto A e o ponto B.'

'Explique as condições para vetores serem paralelos.'

'(2) Sejam D, E, F pontos nos segmentos de linha OA, OB e OC, respetivamente, tal que OD = 1/2 · OA, OE = 2/3 · OB e OF = 1/3 · OC. Se o plano que contém os três pontos D, E, F intercepta a linha OQ no ponto R, então expresse o vetor OR em termos dos vetores a, b e c.'

'Sejam os pontos médios dos lados AB, BC, CD, DA do quadrilátero ABCD K, L, M, N respectivamente, e os pontos médios das diagonais AC, BD S, T respectivamente. (1) Se os vetores de posição dos vértices A, B, C, D são a, b, c, d respectivamente, expressar o vetor de posição do ponto médio do segmento KM usando a, b, c, d. (2) Ao expressar os vetores de posição dos pontos médios dos segmentos LN, ST usando a, b, c, d, provar que os três segmentos KM, LN, ST se interceptam em um único ponto.'

'(1) \ \\overrightarrow{DG}=\\frac{1}{2 t} \\overrightarrow{DA}+\\frac{1}{2 t} \\overrightarrow{DB}+\\frac{t-2}{2 t} \\overrightarrow{DC} \'

'Condições para ser colinear, coincidente\n(1) Condições colineares\nQuando dois pontos diferentes A, B, se um ponto P está na reta AB, então existe um número real k tal que o vetor AP = k vetor AB.'

'Equações vetoriais'

'No cubo OAPB-CRSQ, seja 𝑝=⃗OP, 𝑞=⃗OQ, 𝑟=⃗OR. Expressar ⃗OA em termos de 𝑝, 𝑞, 𝑟.'

'No paralelepípedo ABCD-EFGH, seja P o ponto médio da diagonal AG, e seja o vetor AB igual a a, o vetor AD igual a b, e o vetor AE igual a c. Expresse os vetores AC, AG, BH e CP em termos de a, b e c.'

'Encontre os vetores de posição dos 26 pontos de interseção'

'Dado que \ \\mathrm{AB}=3, \\mathrm{AD}=4 \, há um retângulo \ \\mathrm{ABCD} \. Se \ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\vec{b}, \\overrightarrow{\\mathrm{AD}}=\\vec{d} \, expresse o vetor unitário paralelo a \ \\overrightarrow{\\mathrm{BD}} \ em termos de \ \\vec{b}, \\vec{d} \.'

'Explique os conceitos fundamentais. Em particular, forneça uma explicação detalhada dos vetores de posição, pontos médios de segmentos de linha e centróides de triângulos.'

'Seja z um número complexo. Encontre o intervalo de pontos para z que formam um triângulo agudo no plano complexo com os pontos A(1), B(z) e C(z^2), e ilustre-o.'

'(1) Explique as seguintes operações vetoriais em relação aos conceitos básicos de vetores espaciais.\n\n- Igualdade\n- Adição\n- Subtração\n- Vetor inverso\n- Vetor nulo\n- Multiplicação por escalar'

'Explique a diferença de vetores e sua representação.'

'Conceitos Básicos\n3. Vetor de posição do centróide de um triângulo\nSejam os pontos A(𝑎⃗), B(𝑏⃗), C(𝑐⃗) os vértices do triângulo ABC e seja G o vetor posição do centróide. Então\n𝑔⃗=1/3(𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗)'

'(2) Reta que passa por dois pontos diferentes A(𝐚) e B(𝐛)'

'Exercício 1 Encontre todos os seguintes vetores representados usando os 6 vértices do hexágono regular ABCDEF com um comprimento de lado de 1 e o ponto de interseção O das diagonais AD e BE.'

'Para o triângulo OAB, seja OP = sOA + tOB. Determine o intervalo de existência do ponto P quando os números reais s, t satisfazem as seguintes condições.'

'Qual é a relação entre esses dois vetores?'

"No triângulo ABC com vértices A(a), B(b), C(c), seja D o ponto que divide o lado BC na razão 2:3, e E o ponto que divide o lado BC externamente na razão 1:2. Seja G o centróide do triângulo ABC e G' o centróide do triângulo AED. Expresse os seguintes vetores em termos de a, b e c.\n(1) Vetores de posição dos pontos D, E, G'\n(2) GG'"

'Quando |𝑎|=3, encontra um vetor unitário paralelo a 𝑎.'

'Por favor, explique a decomposição de vetores.'

'Intervalo de existência do ponto final de um vetor'

'Encontre a distância entre a origem O e o ponto P(2,3,1).'

'69 (2) é -2 na direção do eixo x e -3 na direção do eixo y'

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'(1) Mova 4 unidades ao longo do eixo x e -7 unidades ao longo do eixo y\n(2) Mova -5/2 unidades ao longo do eixo x e -35/4 unidades ao longo do eixo y'

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"Desenhe os pontos P(z), A(α), P'(-z), B(z+α), C(z-α) no plano complexo, onde z=3+2i e α=1-i."

'Para os pontos A(1,2,3), B(-3,2,-1) e C(-4,2,1), encontre o seguinte:'

'Representação de curva paramétrica'

'No retângulo ABCD, AB = 3 e AD = 4. Seja o vetor AB como b e o vetor AC como c. (1) Se E for o ponto médio do lado AD, expressar o vetor DE usando b e c. (2) Expressar um vetor unitário d na mesma direção que c usando c.'

'Escreva a representação dos componentes dos vetores'

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'Relação entre pontos e vetores no espaço\nPara dois pontos \\( \\mathrm{A}(a_{1}, a_{2}, a_{3}), \\mathrm{B}(b_{1}, b_{2}, b_{3}) \\),\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\left(b_{1}-a_{1}, \\quad b_{2}-a_{2}, \\quad b_{3}-a_{3}\\right) \\\\\n|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}|=\\sqrt{\\left(b_{1}-a_{1}\\right)^{2}+\\left(b_{2}-a_{2}\\right)^{2}+\\left(b_{3}-a_{3}\\right)^{2}}\n\\end{array}\n\\]'

'Coordenadas Polares ↔ Coordenadas Cartesianas'

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'(1) Encontre a equação de uma reta que passa pelo ponto A(3,1) e é perpendicular ao vetor n=(3,-7).'

'Organize o PASSO aqui'

'(2) \ 4 \\overrightarrow{\\mathrm{AQ}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BQ}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{CQ}}=\\overrightarrow{0} \'

'Para os vetores $\\ vec a, \\ vec b$ à direita, represente os seguintes vetores:'

'No hexágono regular ABCDEF, com AB→=a e AF→=b. Represente os seguintes vetores em termos de a e b. (1) CE→ (2) EA→ (3) AD→'

'Encontre a equação da reta que passa pelo ponto C(1,-5) e é perpendicular à reta AB, onde A(3,1) e B(-2,2), usando vetores.'

'7 \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\frac{4}{9} \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\frac{1}{6} \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}'

'Vamos focar nos resultados do exemplo da página anterior.'

'Questão de exemplo'

'Explique a representação de componentes de vetores no espaço.'

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'Num tetraedro OABC, seja OA=a, OB=b e OC=c. Sendo M o ponto médio de AB, N o ponto que divide BC na razão 3:1 e G o baricentro do triângulo OAB, expresse os vetores MN e GN em termos de a, b e c.'

'Vamos considerar uma linha reta que passa por um ponto e tem uma inclinação (direção) dada. Seja g a linha que passa pelo ponto A(\\\vec{a}\) e é paralela a um vetor não nulo \\\vec{d}\. Para qualquer ponto P(\\\vec{p}\) na linha g (excluindo o ponto A), o seguinte é válido.'

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'Problema matemático: Encontrar o vetor de posição do centroide G do triângulo OAB. Uma vez que o ponto G é o centroide do triângulo, o vetor de posição do ponto G pode ser calculado da seguinte maneira.'

'Para os pontos \\( \\mathrm{A}(1,2,3), \\mathrm{B}(-3,2,-1), \\mathrm{C}(-4,2,1) \\), encontre o seguinte:\n(1) Distância entre os pontos \ \\mathrm{B}, \\mathrm{C} \\n(2) Coordenadas do ponto \ \\mathrm{P} \ que divide o segmento \ \\mathrm{BC} \ na proporção 1:3\n(3) Coordenadas do ponto \ \\mathrm{Q} \ que divide o segmento \ \\mathrm{AB} \ externamente na proporção 2:3\n(4) Coordenadas do ponto médio R do segmento CA\n(5) Coordenadas do centróide G do triângulo \ \\triangle \\mathrm{PQR} \'

'Para os pontos A(0,3,7), B(3,-3,1), C(-6,2,-1), encontre o seguinte:\n(1) Distância entre os pontos A e B\n(2) Coordenadas de um ponto que divide o segmento de linha AB na razão 2:1\n(3) Coordenadas de um ponto que divide externamente o segmento de linha AB na razão 3:2\n(4) Coordenadas do ponto médio do segmento de linha BC\n(5) Coordenadas do centróide do triângulo ABC'

'Vetor inverso'

'A reta perpendicular ao vetor \ \\vec{n} \\nPor fim, vamos considerar expressar a linha usando o produto escalar.\nPassando pelo ponto \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}) \\), e um vetor não nulo \ \\overrightarrow{0} \ perpendicular ao vetor \ \\vec{n} \ é denotado como linha \ g \, e qualquer ponto na linha \ g \ é denotado como \\( \\mathrm{P}(\\vec{p}) \\) de forma que \ \\vec{n} \\perp \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} \ ou \ \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\overrightarrow{\\mathrm{0}} \\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\Longleftrightarrow \\vec{n} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=0 \\\\\n\\Longleftrightarrow \\vec{n} \\cdot(\\vec{p}-\\vec{a})=0\n\\end{array}\n\\]\n(D) representa a equação vetorial de uma linha que passa pelo ponto \ \\mathrm{A} \ e é perpendicular ao vetor \ \\vec{n} \. Além disso, \ \\vec{n} \ é referido como o vetor normal da linha \ g \.\n\ -\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\overrightarrow{0} \ é verdadeiro apenas quando o ponto P coincide com o ponto A.\nO vetor normal da linha \ g \ é perpendicular a ela.\nAgora, vamos resolver um problema de equação vetorial.'

'Encontre os vetores de posição dos pontos de divisão internos e externos.'

'A pirâmide \\\mathrm{OABCD}\ com base \ \\mathrm{ABCD} \ satisfaz \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OD}} \, e para quatro números reais \ p, q, r, s \ diferentes de 0, definimos os quatro pontos \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S} \ como \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=p \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} \, \ \\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}=q \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OR}}=r \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OS}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OD}} \. Mostrar que se \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S} \ são coplanares, então \ \\frac{1}{p}+\\frac{1}{r}=\\frac{1}{q}+\\frac{1}{s} \.'

'Prática'

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'Dados os pontos P(5,-3,7) e Q(7,1,2), encontre os componentes e magnitude do vetor PQ.'

'Trace a posição dos seguintes pontos em coordenadas polares:'

'Descreva a gama de existência do ponto P à medida que se move satisfazendo as condições s + t ≤ 1, s ≥ 0, t ≥ 0.'

'Encontre a condição necessária e suficiente para que um ponto P (vetor 𝑝) esteja na linha reta AB que passa por dois pontos distintos A (vetor 𝑎) e B (vetor 𝑏).'

'Exemplo Importante 63 | Comprimento da Perpendicular Comum\nNo espaço de coordenadas, o ponto A(1,3,0) está em uma linha l paralela ao vetor a=(-1,1,-1), e o ponto B(-1,3,2) está em uma linha m paralela ao vetor b=(-1,2,0). Seja P um ponto na linha l e Q um ponto na linha m. Encontre o valor mínimo da magnitude |PQ| do vetor PQ, e as coordenadas dos pontos P e Q nesse instante.'

'A condição para vetores serem paralelos (\ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \) é que exista um número real \ k \ tal que \ \\vec{a} / / \\vec{b} \\Leftrightarrow \\vec{b}=k \\vec{a} \'

'Para △OAB, deixe →OP=→OA+t→OB. Encontre o intervalo de existência do ponto P quando os números reais s, t satisfazem as seguintes relações: (1) 3s+t=2 (2) 2s+t≤1, s≥0, t≥0'

'Dado o segmento de reta AB e o ponto P, quando AP + 3BP + 4AB = 0, onde está localizado o ponto P?'

'Exercício 38:\n(1) (A) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=(-2,1,2), \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=(a-1,-2,3) portanto\n\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}\\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=-2\\cdot (a-1)+1\\cdot(-2)+2\\cdot 3=-2a+6\n\\left|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}\\right|=\\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}+2^{2}}=3\n\\left|\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\\right|=\\sqrt{(a-1)^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}=\\sqrt{a^{2}-2a+14}'

'Vamos considerar o ponto médio da diagonal RT como G e tomar os vetores OP=p, OR=r e OS=s.'

'Explique as regras das operações de vetores e use essas regras para provar propriedades.'

'Encontre o vetor de posição p do ponto P, que divide o segmento de linha que conecta os pontos A(a) e B(b) em m:n.'

'Neste caso, com O como origem, $\\overrightarrow{OH} = \\overrightarrow{OP} + \\overrightarrow{PH} = (4,4,2) + (-1,-2,-4) = (3,2,-2)$ portanto $H(3,2,-2)$'

'Explique e indique as condições para que vetores sejam paralelos.'

'Encontre o vetor de posição g do centroide G do triângulo ABC, com A(a), B(b), C(c) como vértices.'

'Se \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0} \, \ \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \, e \ \\vec{a} \\times \\vec{b} \, então qualquer vetor \ \\vec{p} \ pode ser representado de forma única como \ \\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b} \, onde \ s, t \ são números reais.'

'Problema (VERIFICAÇÃO)'

'Página 15 | Equação de Vetores e Posição de Pontos (2)'

'Vetor de posição e condição de colinearidade\nPara 2 pontos \\( \\mathrm{A} (\\vec{a}), \\mathrm{B} (\\vec{b}) \\), o vetor de posição de um ponto que divide o segmento de linha \ \\mathrm{AB} \ nas proporções \ m: n \.\nDivisão interna: \ \\cdots \\cdots \\frac{n \\vec{a} + m \\vec{b}}{m + n} \, divisão externa: \ \\cdots \\cdots \\frac{-n \\vec{a} + m \\vec{b}}{m - n} \\nCondição de colinearidade\nQuando os pontos \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ são diferentes, existe um número real \ k \ tal que o ponto \ \\mathrm{P} \ está na reta \ \\mathrm{AB} \\n\ \\Leftrightarrow \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} = k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ para algum número real \ k \'

'Com base nas informações fornecidas, encontre as expressões e relações de vários vetores.'

'Explique como um vetor arbitrário p pode ser decomposto usando dois vetores não paralelos a e b.'

'Encontre as equações paramétricas para a curva seguinte.'

'Um segmento de linha direcionado AB é representado como vetor →AB. Além disso, os vetores também podem ser representados usando uma única letra com uma seta, como →a, →b. Como representamos a magnitude dos vetores →AB, →a?'

'Dadas as coordenadas de um ponto e os componentes de um vetor \\( \\mathrm{A}(a_1, a_2), \\mathrm{B}(b_1, b_2) \\)'

'Para o segmento de reta que conecta o ponto A (vetor a) e o ponto B (vetor b) como AB, expresse os vetores de posição dos seguintes pontos em termos dos vetores a e b.'

'Como se escreve o vetor OA + vetor AC?'

'Sejam as coordenadas do ponto C \\((x, y, z)\\). Usando a condição de que o quadrilátero \ \\mathrm{ABCD} \ é um paralelogramo, encontre as coordenadas de C.'

'Encontre o intervalo de movimento do ponto P sob as seguintes condições.'

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'Encontre a equação vetorial de uma reta que passa pelo ponto A(𝑎→) e é paralela ao vetor 𝑑(𝑑 ≠ 𝑎→).'

'No triângulo OAB, encontre o intervalo de pontos P que satisfazem as seguintes condições.'

'Dado o segmento de linha AB e o ponto P. Quando a seguinte equação for verdadeira, onde está localizado o ponto P?'

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'No plano XY, as coordenadas do ponto A são (1,0), as coordenadas do ponto B são (cos 𝛼, sin 𝛼) (0 ≤ 𝛼 < 2π), e as coordenadas do ponto C são (cos 𝛽, sin 𝛽) (0 ≤ 𝛽 < 2π) sem perda de generalidade. Portanto, OA=(1,0), OB=(cos 𝛼, sin 𝛼), OC=(cos 𝛽, sin 𝛽).'

'Seja p uma constante positiva e os vetores a=(1,1) e b=(1,-p). Agora, se o ângulo entre os vetores a e b for de 60 graus, encontre o valor de p.'

'Encontre os componentes de cada vetor, onde 21 \\\overrightarrow{AC}=\\vec{a}+\\vec{b}\, \\\overrightarrow{AG}=\\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c}\, \\\overrightarrow{BH}=-\\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c}\, e \\\overrightarrow{CP}=-\\frac{1}{2}\\vec{a}-\\frac{1}{2}\\vec{b}+\\frac{1}{2}\\vec{c}\。'

'Encontrar a equação de uma linha'

'Exemplo 37 | Vetores unitários perpendiculares a dois vetores'

'No triângulo acutângulo ABC, com A(→a), B(→b), C(→c), BC=a, CA=b, AB=c. Se o incentro do ângulo A for denotado como IA(→iA), expressar o vetor →iA em termos de →a, →b e →c.'

'(1) Encontre a distância entre o ponto P(0,1,4) e o ponto Q(-4,5,0).'

'Equações vetoriais'

'Derive a equação vetorial de uma reta que passa pelo ponto A (vetor a) e é perpendicular ao vetor n (n não é igual ao vetor zero).'

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'No triângulo ABC com vértices A(a), B(b) e C(c), onde o ponto P divide o lado AB na proporção 2:1, o ponto Q divide o lado BC externamente na proporção 3:2, e o ponto R divide o lado CA externamente na proporção 1:3. Seja G o centróide do triângulo PQR. Expresse os seguintes vetores em termos de a, b e c: (1) Vetores de posição dos pontos P, Q, R (2) Vetor PQ (3) Vetor de posição do ponto G'

'O ponto Q divide o segmento de reta OP externamente na proporção 4:1, assim'

'Prove que a desigualdade |vetor AP| + |vetor AQ| + |vetor AR| ≥ 3/√2 vale para os 4 pontos P(x, y), Q(y, z), R(z, x), A(0,1)(x, y, z) em números reais.'

'Verifique as coordenadas do ponto P (x, y) e pegue o ponto Q.'

'27 (1) \ \\overrightarrow{\\mathrm{OF}} = \\frac{3}{8} \\vec{a} \\n(2) \ \\overrightarrow{\\mathrm{OE}} = \\frac{5}{6} \\vec{a} - \\frac{2}{3} \\vec{b} \'

'Dados os vetores \\(\\vec{e}_1 = (1,0)\\), \\(\\vec{e}_2 = (0,1)\\), \\\vec{a} = \\overrightarrow{OA}\ e \\\vec{b} = \\overrightarrow{OB}\ (onde O é a origem), com \\\vec{a} = -3\\overrightarrow{e_1} + 2\\overrightarrow{e_2}\ e \\\vec{b} = 3\\overrightarrow{e_1} + 4\\overrightarrow{e_2}\, represente os vetores \\\vec{a}\ e \\\vec{b}\ no plano de coordenadas.'

'(1) Expressar \ \\overrightarrow{G U} \ como \ \\vec{p}, \\vec{r}, \\vec{s} \.'

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'Equação vetorial de um círculo'

'Encontre as equações das seguintes retas:'

'Considere um triângulo equilátero ABC com lado de comprimento 1 no plano. Para um ponto P, defina o vetor v(P) como v(P)=→PA−3→PB+2→PC. Prove: (1) v(P) é um vetor constante independente de P. (2) Para qual figura o ponto P se localiza quando |→PA+→PB+→PC|=|v(P)|.'

'Realize a adição de vetores, subtração, multiplicação escalar e operações de vetor entre dois pontos usando os componentes do vetor.'

'Sejam os centros dos círculos C1 e C2, O1 e O2, respectivamente. Qual é o vetor do centro O1 para o centro O2?'

'Para qualquer ponto P na linha, suponha que OP = p. Neste caso, qual é a equação vetorial da linha?'

'Traduza a expressão dada para vários idiomas.'

'Quando quatro pontos O, A, B, C não estão no mesmo plano, se $\\overrightarrow{OA}=\\vec{a}$, $\\overrightarrow{OB}=\\vec{b}$, $\\overrightarrow{OC}=\\vec{c}$, então qualquer vetor $\\vec{p}$ pode ser representado de forma única como $\\vec{p}=s\\vec{a}+t\\vec{b}+u\\vec{c}$, onde $s$, $t$, $u$ são números reais.'

'Encontre as coordenadas do ponto Q após rodar o ponto P(3, -1) em torno do ponto A(-1, 2) como centro por -π/3.'

'Por favor, forneça a fórmula para calcular a distância AB entre os pontos A(r1, θ1) e B(r2, θ2).'

'Desenhe os seguintes pontos em coordenadas polares e encontre as coordenadas cartesianas.'

'(1) Encontre as coordenadas do ponto B depois de rodar o ponto A(2,1) em torno da origem O por π/4 radianos.\n(2) O ponto P foi o centro da rotação quando o ponto A(2,1) foi girado por π/4 radianos para as coordenadas (1-√2, -2+2√2). Encontre as coordenadas do ponto P.'

'O ponto P se move ao longo da circunferência de um círculo com raio r centrado na origem O, partindo do ponto fixo P0, de modo que OP gire a uma velocidade angular constante ω por segundo.'

'Compreensão dos conceitos básicos de vetores (definição de vetores, propriedades e operações básicas).'

'No plano de coordenadas, existem três pontos fixos A, B, C e um ponto móvel P, com o vetor AB=(3,1), vetor BC=(1,2), e o vetor AP representado como (2t, 3t) usando o número real t.'

'Tópico importante 40 | Comparação de magnitudes de vetores'

'Encontre a distância entre os seguintes dois pontos.'

'Em \ \\triangle OAB \, encontre o intervalo de existência do ponto \ P \ que satisfaz as equações a seguir. \\ n(1) \ \\overrightarrow{OP}=s\\overrightarrow{OA}+t\\overrightarrow{OB}, 3s+4t=4 \\\n(2) \ \\overrightarrow{OP}=s\\overrightarrow{OA}+3t\\overrightarrow{OB}, 0\\leqq 2s+5t\\leqq 1, s\\geqq 0, t\\geqq 0 \'

'Encontre a magnitude dos seguintes vetores.'

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'Conceito de vetores posicionais no espaço'

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'Sobre as soluções para vetores de posição e condições para estar no mesmo plano'

'Capítulo 1 Vetores em um Plano - No triângulo OAB, determine o intervalo de pontos P que satisfazem as seguintes equações:\n1) OP = sOA + tOB, s + t = 1/3, s ≥ 0, t ≥ 0\n2) OP = sOA + tOB, 3s + 2t = 4, s ≥ 0, t ≥ 0'

'No espaço de coordenadas PR, existem 4 pontos O(0,0,0), A(3,-2,-1), B(1,1,1), C(-1,4,2). Encontre o vetor p que é perpendicular a ambos os vetores OA e BC, com magnitude de 3√3.'

'Encontre um vetor normal da seguinte reta.'

'Uma vez que 4|a|=3, os vetores requeridos são'

'Encontre o intervalo de existência do ponto P que satisfaz as seguintes condições.'

'O intervalo de existência dos pontos que satisfazem a equação vetorial e as coordenadas de interseção'

'Dado quatro pontos A(1,1,-2), B(-2,1,2), D(3,-1,-3), E(9, a, b).'

'Prove que as seguintes equações são verdadeiras no tetraedro ABCD: (1) $\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BD}}+\\overrightarrow{\\mathrm{DC}}+\\overrightarrow{\\mathrm{CA}}=\\overrightarrow{\\mathrm{0}}$ (2) $\\overrightarrow{\\mathrm{BC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{DA}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{DB}}$'

'Aplicação de vetores à geometria plana'

'Exemplo 21 | Representação de vetores espaciais\nNo paralelepípedo ABCD-EFGH, seja P o ponto médio da diagonal AG e seja →AB=𝑎, →AD=𝑏, →AE=𝑐. Expressar →AC, →AG, →BH, →CP em termos de 𝑎, 𝑏, 𝑐.'

'Encontre as coordenadas do ponto dado.'

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'Explique a condição para vetores serem paralelos.'

'Use as seguintes equações para demonstrar propriedades de vetores:'

'No triângulo ABC com vértices A(a), B(b) e C(c), onde o ponto P divide o lado AB internamente na proporção 2:1, o ponto Q divide o lado BC externamente na proporção 3:2 e o ponto R divide o lado CA externamente na proporção 1:3, e G é o baricentro do triângulo PQR. Expresse os seguintes vetores em termos de a, b e c: (1) Vetores de posição dos pontos P, Q e R (2) Vetor PQ (3) Vetor de posição do ponto G'

'Considere um círculo com centro em O. Existem 3 pontos A, B e C na circunferência deste círculo, de forma que o vetor OA + vetor OB + vetor OC = 0. Prove que o triângulo ABC é equilátero.'

'Decomposição de vetores No paralelogramo ABCD, o ponto E divide o lado BC internamente na proporção 2:1, o ponto F é a interseção das diagonais AC e BD, e o ponto G é a interseção dos segmentos AE e BD. Seja o vetor AB=b e o vetor AD=d. (1) Expresse os vetores AE, AF, GC em termos de b e d. (2) Se o vetor AE=e e o vetor AF=f, então expresse o vetor BD em termos de e e f.'

'Independência linear e dependência linear de vetores no espaço'

'Quando os três vetores a, b e c não são colineares, encontre a equação do plano que passa por esses três pontos.'

'Em \ \\triangle \\mathrm{OAB} \, encontre o intervalo de pontos \ \\mathrm{P} \ que satisfazem as seguintes equações:'

'Para os vetores a, b, c, trace os seguintes vetores:\n1. a + b\n2. a - c\n3. 3b\n4. -2c'

'Dado \\( \\vec{a}=(1,-1,2) \\) e \\( \\vec{b}=(1,1,-1) \\). Encontre a magnitude mínima de \ \\vec{a}+t \\vec{b} \ (onde \ t \ é um número real) e o valor correspondente de \ t \.'

'Aplicações de vetores Seja s, t, u números reais no mesmo plano. Um ponto P (p) está no plano determinado por três pontos A (a), B (b) e C (c) se e somente se ⇔CP⃗ = sCA⃗ + tCB⃗ ⇔ p⃗ = sa⃗ + tb⃗ + uc⃗, s + t + u = 1'

'Exemplo Importante 61: Equações de Retas\nEncontre as equações das seguintes retas:\n(1) Passando pelo ponto A(1,3,-2) e paralela ao vetor d=(3,2,-4)\n(2) Passando pelos pontos A(0,1,1) e B(-1,3,1)\n(3) Passando pelo ponto A(-3,5,2) e paralela ao vetor d=(0,0,1)'

'Qualquer ponto na reta é denotado como P(x, y) com t como parâmetro.'

'Encontre a equação da reta \ \\ell \ que passa pelo ponto A(\ \\vec{a} \) e é paralela ao vetor não nulo \ \\vec{d} \.'

'Qualquer vetor \ \\vec{p} \ no plano pode ser expresso em termos de dois vetores \\( \\vec{a}, \\vec{b} ( \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{a} \\times \\vec{b} ) \\), da seguinte forma:'

'Realize as seguintes operações com vetores: 1. Encontre a soma do vetor A = (3, 4) e do vetor B = (1, 2). 2. Encontre a diferença entre o vetor A = (3, 4) e o vetor B = (1, 2).'

'A equação vetorial de um plano definido por três pontos não colineares A(⃗a), B(⃗b), C(⃗c) e um ponto arbitrário P(⃗p), com s, t, u como números reais, é dada por ⃗p=s⃗a+t⃗b+u⃗c, s+t+u=1 ou ⃗p=s⃗a+t⃗b+(1-s-t)⃗c'

'Quando dois vetores a e b têm a mesma direção e magnitude, esses dois vetores são considerados iguais.'

'Encontre o valor do número real $t$ para o qual o ângulo entre os vetores $\\vec{a} + t \\vec{b}$ e $\\vec{b} + t \\vec{a}$ é de $120^{\\circ}$, dado que $\\vec{a} = (3, 4, 5)$ e $\\vec{b} = (7, 1, 0)$.'

'Encontre os números complexos que representam os seguintes pontos. (1) O ponto médio do segmento de linha AB que conecta os pontos A(-3+6i) e B(5-8i) (2) O ponto P que divide o segmento de linha AB que conecta os pontos A(2-3i) e B(-7+3i) na proporção 2:1, e o ponto Q que divide externamente.'

'Explique a adição e subtração de vetores.'

'Encontre o ângulo θ formado pelos dois planos. Onde 0° ≤ θ ≤ 90°. (1) 4x-3y+z=2, x+3y+5z=0 (2) x+y=1, x+z=1 (3) -2x+y+2z=3, x-y=5'

'Para o segmento de linha que conecta os pontos A(a) e B(b) como AB, expresse os vetores de posição dos seguintes pontos em termos de a e b.'

'Vetor de posição e pontos de divisão interna・pontos de divisão externa\nSeja o vetor de posição \ \\vec{p} \ e denotemos o ponto como \\( \\mathrm{P}(\\vec{p}) \\).\nNo espaço, assim como em um plano, o seguinte se aplica:\n\nProblema 1: Para os pontos \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}), \\mathrm{B}(\\vec{b}), \\mathrm{C}(\\vec{c}) \\), deduza as seguintes equações.\n1. \ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} = \\vec{b} - \\vec{a} \\n2. Encontre o vetor de posição de um ponto que divide o segmento de reta \ \\mathrm{AB} \ na razão \ m: n \.\n3. Encontre o vetor de posição do ponto médio do segmento de reta \ \\mathrm{AB} \ .\n4. Encontre o vetor de posição do centróide G do \ \\triangle \\mathrm{ABC} \.'

'Explique a decomposição de vetores.'

'Questão 71\n(1) Encontre o ponto (-3, -1, 7).\n(2) Encontre o ponto (18/11, 26/11, 12/11).'

'Encontre o intervalo de existência do ponto P no triângulo OAB que satisfaz as seguintes equações:\n(1) $\\overrightarrow{OP}=s \\overrightarrow{OA}+t \\overrightarrow{OB}, 1 \\leqq s+2 t \\leqq 2, s \\geqq 0, t \\geqq 0$\n(2) $\\overrightarrow{OP}=s \\overrightarrow{OA}+(s-t) \\overrightarrow{OB}, 0 \\leqq s \\leqq 1, 0 \\leqq t \\leqq 1$'

'Encontre a distância entre o ponto A(r1, θ1) e o ponto B(r2, θ2).'

'Vetores de Posição, Vetores e Formas: Explique como os vetores de posição e vetores formam formas.'

'Prática (1) Para dois vetores não nulos \ \\vec{a} \ e \ \\vec{b} \, quando \ \\vec{a}+2 \\vec{b} \ é perpendicular a \ \\vec{a}-2 \\vec{b} \, e quando \ 7|\\vec{a}+2 \\vec{b}|=2|\\vec{b}| \ é verdadeiro, encontre o ângulo \ \\theta \ formado por \ \\vec{a} \ e \ \\vec{b} \.'

'Sejam \ \\vec{a} \ e \ \\vec{b} \ dois vetores não nulos que são ortogonais. Que o ângulo entre \ \\vec{a}+\\vec{b} \ e \ \\vec{a}+3 \\vec{b} \ seja \ \\theta \ \ 0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi \ . (1) Expresse \ \\sin ^{2} \\theta \ em termos de \ x \ e \ y \ onde \ |\\vec{a}|=x,|\\vec{b}|=y \. (2) Encontre o valor máximo de \ \\theta \.'

"Um vetor é uma quantidade com magnitude e direção. Este capítulo discute vetores com base em segmentos de linha direcionados em um plano, representando vetores com pares de números (componentes), operações como 'produto escalar' e aplicando vetores à geometria. Compreender o conceito de 'independência linear' em vetores é crucial para se preparar para estudos futuros em matemática, física, economia e outros campos."

'Desenhe a posição dos seguintes pontos representados em coordenadas polares: \\(A\\left(3, \\frac{\\pi}{6}\\right)\\), \\(B\\left(2, \\frac{3}{4} \\pi\\right)\\), \\(C\\left(1,-\\frac{2}{3} \\pi\\right)\\).'

'Tomando \ 45^{\\circ} \\mathrm{O} \ como a origem, \\( \\mathrm{A}(2,1), \\mathrm{B}(1,2), \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}(s, t \\) (onde s e t são números reais).'

'Responda às seguintes perguntas.'

'No triângulo OAB, seja C o ponto médio de OA e D o ponto que divide OB em uma proporção de 1:3 externamente. Se o vetor OA é a e 35 vezes o vetor OB é b, encontre a equação vetorial da seguinte linha.'

'No paralelogramo \ABCD-EFGH\, quando \\\overrightarrow{AC}=\\vec{p}, \\overrightarrow{AF}=\\vec{q}, \\overrightarrow{AH}=\\vec{r}\, expresse \\\overrightarrow{AB}, \\overrightarrow{AD}, \\overrightarrow{AE}, \\overrightarrow{AG}\ em termos de \\\vec{p}, \\vec{q}, \\vec{r}\.'

'Encontre a representação paramétrica da seguinte reta com parâmetro t.'

'Encontre a representação paramétrica da seguinte reta com parâmetro t: passa pelo ponto B(-4,3) e é paralela ao vetor d=(5,6).'

'Equação vetorial de um círculo: A equação vetorial de um círculo com centro C(c) e raio r é |p-c|=r'

''

'Encontre a distância entre os dois pontos a seguir.'

'Encontre os componentes e a magnitude do vetor PQ para os pontos P(5,-3,7) e Q(7,1,2).'

'Neste exemplo, dados os vetores \\( \\vec{a}=(1,3,2), \\vec{b}=(0,1,-1), \\vec{c}=(5,1,3) \\), expressar o vetor \\( \\vec{d}=(7,6,8) \\) na forma \ s \\vec{a}+t \\vec{b}+u \\vec{c} (s, t, u \ números reais.'

None

'Ilustre a adição, subtração e multiplicação escalar de vetores.'

'Aprenda sobre equações vetoriais e posições de pontos (1).'

'Exemplo 14 | Igualdade de vetores e posição dos pontos (1)'

'Seja N o ponto que divide AB na proporção de 2:3. Seja P o ponto de interseção do segmento de reta LM e ON. Se a é o vetor OA e b é o vetor OB, expresse ON e OP em termos dos vetores a e b.'

'Traduza o texto dado para vários idiomas.'

'Como difere o pensamento entre a Abordagem 1 e a Abordagem 2 para o Exemplo Básico 24?'

'Considerando um círculo C com raio r e vetor de posição do centro →OA no plano de coordenadas com EXO como origem. Seja →OP o vetor de posição de um ponto P na circunferência. Além disso, considere um ponto B fora do círculo C com vetor de posição →OB. Além disso, seja Q o ponto médio dos pontos B e P, com vetor de posição →OQ. Defina D como a forma traçada pelo ponto Q à medida que o ponto P se move ao longo da circunferência.\n(1) Encontre a equação vetorial que representa o círculo C.'

'Determine o intervalo de existência de pontos que satisfazem a equação vetorial. Por favor, responda usando um exemplo de uma forma geométrica espacial.'

'Encontre o vetor normal da seguinte reta.'

'Aprenda sobre equações de vetores e posições de pontos (2).'

'Encontre a equação do plano que passa pelo ponto (-1,2,3) e é perpendicular à reta \\frac{x-2}{4}=\\frac{y+1}{-3}=z-3.'

'Prove que o ponto P está na reta AB, onde AB é determinada por dois pontos diferentes A(a) e B(b).'

'Dado os pontos A(2,1,0), B(1,0,1), C(0,1,2), D(1,3,7). Seja E o ponto simétrico de D em relação ao plano que passa pelos pontos A, B e C. Encontre as coordenadas do ponto E.'

'(1) Encontre as coordenadas do ponto simétrico ao ponto P(-3, 4, 1) em relação ao ponto A(1, -2, 3).'

'Condição de colinearidade: Quando dois pontos A, B são diferentes, o ponto P está na reta AB se e somente se o vetor AP for igual a k vezes o vetor AB, onde k é um número real.'

'Encontre a equação da reta que passa pelo ponto A e é perpendicular ao vetor n. (2) A(1,3), n=(-1,2)'

'Encontre as equações paramétricas das seguintes retas, com parâmetro t.'

'Dado dois pontos A(vetor a) e B(vetor b), encontre o vetor de posição do ponto onde o segmento AB é dividido em m:n.'

''

'No espaço de coordenadas, formas e equações vetoriais: Explique a representação de formas no espaço de coordenadas e o uso de equações vetoriais.'

'O ponto P está na reta AB se e somente se existirem números reais s e t tais que o vetor OP é igual a s vezes o vetor OA mais t vezes o vetor OB, e s + t = 1'

'Encontre a representação paramétrica das seguintes retas com o parâmetro t. Além disso, expresse-a sem o parâmetro t.'

'Descreva os componentes dos vetores no espaço, produto escalar: Explique o cálculo dos componentes dos vetores no espaço e seu produto escalar.'

'Questão 46\n(1) Encontre as coordenadas do ponto (0, 1/4, 0).\n(2) Encontre as coordenadas do ponto (0, -21, 17/2).'

'Seja a = (0,1,2), b = (2,4,6). Para números reais t, onde -1 ≤ t ≤ 1, encontrar os valores de x que maximizam e minimizam a magnitude de x quando x = a + tb.'

'Se $|\\vec{a}|=2,|\\vec{b}|=3,|2\\vec{a}-\\vec{b}|=\\sqrt{13}$, encontre o intervalo de números reais para $k$ de forma que $|k\\vec{a}+t\\vec{b}|>\\sqrt{3}$ seja verdade para todos os números reais $t$.'

'No espaço, existe um triângulo ABC com vértices A(5,0,1), B(4,2,0), C(0,1,5). (1) Encontre os comprimentos dos segmentos AB, BC e CA. (2) Encontre a área S do triângulo ABC.'

'Considere um plano α determinado por três pontos não colineares A (vetor a), B (vetor b) e C (vetor c) que não estão na mesma linha. Quando o ponto P (vetor p) está no plano α, a seguinte equação vetorial é verdadeira. Prove isso.'

'O ponto C divide o lado \\\mathrm{OA}\ do triângulo \\\triangle OAB\ na proporção de 3:1, e o ponto D divide o lado \\\mathrm{OB}\ na proporção de 4:1. Seja P a interseção dos segmentos \\\mathrm{AD}\ e \\\mathrm{BC}\, e Q a interseção dos segmentos \\\mathrm{OP}\ e \\\mathrm{AB}\. Dado que \\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\vec{a}\ e \\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\vec{b}\, expresse \\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}\ em termos de \\\vec{a}\ e \\\vec{b}\ e encontre a razão de BP para CP. Além disso, expresse \\\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}\ em termos de \\\vec{a}\ e \\\vec{b}\ e determine a razão de \\\mathrm{OP}\ para \\\mathrm{PQ}\.'

'Qual é a curva representada pela equação polar r = sin αθ chamada? Além disso, mostre a mudança no número de pétalas com base no valor de a.'

'No segmento de reta AB, quando a direção é especificada do ponto A para o ponto B, é chamado de segmento de reta direcionado AB. No segmento de reta direcionado AB, A é chamado de ponto inicial e B é chamado de ponto final. O comprimento do segmento de reta AB é chamado de magnitude ou comprimento do segmento de reta direcionado AB. Ignorando a diferença de posição, focando apenas na direção e magnitude é chamado de vetor. Escreva o vetor representado pelo segmento de reta direcionado AB.'

'Por favor, resolva o problema usando coordenadas.'

'(1) Encontre a distância entre dois pontos A(1,-1,3) e B(-1,0,1).'

A condição para que o ponto P(\vec{p}) esteja no plano definido por três pontos A(\vec{a}), B(\vec{b}) e C(\vec{c}) é $\overrightarrow{\mathrm{CP}}=s \overrightarrow{\mathrm{CA}}+t \overrightarrow{\mathrm{CB}}\ \ Longleftrightarrow \vec{p}=s \vec{a}+t \vec{b}+u \vec{c}, \ s+t+u=1$

■ O vetor posição do centróide do triângulo $\mathrm{ABC}$, o vetor posição do centróide G do triângulo ABC, é estabelecido da seguinte maneira. O vetor posição do centróide do triângulo ABC, com vértices \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}) \), é $\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

Sobre a igualdade dos coeficientes vetoriais: Se ec{a} eq \overrightarrow{0}, ec{b} eq \overrightarrow{0}, então s ec{a} + t ec{b} = s^{\prime} ec{a} + t^{\prime} ec{b} ⇔ $s = s^{\prime}, t = t^{\prime}$

Sejam lpha=x-2 i e eta=3-6 i . Quando os dois pontos \( \mathrm{A}(lpha) \) e \( \mathrm{B}(eta) \) estão na mesma linha reta com a origem $\mathrm{O}$, determine o valor do número real $x$.

Por favor, resolva o problema de vetores no plano.

Dado o triângulo $riangle \mathrm{ABC}$ com vértices \( \mathrm{A}(1,1,0), \mathrm{B}(0,2,2), \mathrm{C}(1,2,1) \), encontre a magnitude $heta$ do ângulo ngle \mathrm{BAC} .

Vetores Paralelos Dois vetores não nulos ec{a}, \ec{b} dizem-se paralelos se têm a mesma ou a direção oposta, e escreve-se $\vec{a}/\vec{b}$. Da definição de múltiplos reais de vetores, o seguinte é verdadeiro. A seguir, demonstre que os vetores de amostra ecа= лучший ), \вейвек mesmo e igual a \( 2 \vec {b}。

Encontre o ângulo $\theta$ entre os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ nos seguintes casos. (1) Quando $|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=2 \sqrt{2}, |2 \vec{a}-3 \vec{b}|=10$ (2) Quando $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=1$ e $\vec{a}-3 \vec{b}$ é perpendicular a $2 \vec{a}+ \vec{b}$

No espaço, existem os pontos \( \mathrm{A}(ec{a}) \) e \( \mathrm{B}(ec{b})\). Encontre o vetor posição do ponto que divide externamente o segmento de linha AB na razão m:n.

Dadas as componentes dos vetores \( ec{a}=(3,-4), ec{b}=(-2,1) \), expressa os seguintes vetores na forma de componentes. (1) 2 ec{a} (2) -ec{b} (3) ec{a}+2 ec{b} (4) 2 ec{a}-3 ec{b}

A faixa de existência do ponto $\mathrm{P}$ que satisfaz a equação vetorial: $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$

(4) Dado \( \vec{a}=(3,5,-8), \vec{b}=(2,4,-6) \) e um número real $t$, seja \( \vec{p}=(1-t) \vec{a}+t \vec{b} \). Encontre o valor de $t$ que minimiza $|\vec{p}|$ e o valor de $|\vec{p}|$ nesse ponto.

Para os vetores mostrados no diagrama à direita, liste todos os pares de números de vetores que atendam aos seguintes critérios: (1) Vetores com magnitude igual (2) Vetores com a mesma direção (3) Vetores iguais (4) Vetores opostos

Compreenda o significado geométrico da adição de vetores e resolva o Exemplo 2!

Existem pontos fixos O, A e um ponto móvel P. Dado \overrightarrow{\mathrm{OA}}=ec{a} e \overrightarrow{\mathrm{OP}}=ec{p} , quando |6 ec{p}-3 ec{a}|=2 , o ponto P está na circunferência de um certo círculo. Encontre o centro e o raio desse círculo. Suponha que ec{a} eq \overrightarrow{0} .

No quadrilátero $A B C D$ mostrado à direita, que é um losango, o ponto $O$ é a interseção das diagonais $A C$ e $\mathrm{BD}$. Dado que $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\vec{c}$， (1) Desenhe os vetores $\vec{a}-\vec{b}$ e $\vec{a}-\vec{c}$. (2) Que tipo de vetor é $\vec{b}+\vec{c}$?

Decomposição de um vetor ec{a} eq \overrightarrow{0}, ec{b} eq \overrightarrow{0}, ec{a} imes ec{b}. Qualquer vetor ec{p} pode ser unicamente expresso como ec{p}=s ec{a}+t ec{b} utilizando números reais $s, t$.

Em um espaço de coordenadas, encontre a distância entre dois pontos. Se o ponto A tiver coordenadas (a1, a2, a3) e o ponto B tiver coordenadas (b1, b2, b3), qual é a distância entre A e B?

Vamos pensar no significado geométrico da adição vetorial. Para os vetores $\vec{a}, \vec{b}$ à direita, desenhe $\vec{a}+\vec{b}$。

Determine o valor de $x$ tal que os seguintes dois vetores ec{a}, ec{b} sejam paralelos. (1) \( ec{a}=(3, x), ec{b}=(1,4) \) (2) \( ec{a}=(2 x, 9), ec{b}=(8, x) \)

Dentro do $riangle \mathrm{ABC}$, há um ponto $\mathrm{P}$ tal que $2 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$ é verdadeiro. (1) Onde está o ponto $\mathrm{P}$? (2) Encontre a razão da área $riangle \mathrm{PBC}: riangle \mathrm{PCA}: riangle \mathrm{PAB}$.

Exemplo de Questão 35 Mínima Magnitude do Vetor (Espaço) Seja \(ec{a}=(2,-4,-3)\) e \(ec{b}=(1,-1,1)\). Encontre a magnitude mínima de ec{a}+t ec{b} (onde $t$ é um número real) e o valor de $t$ naquele mínimo. [Instituto Tecnológico de Chiba]

A multiplicação de um vetor por um número real\ Dado um número real $k$ e um vetor \( \vec{a}(\neq \overrightarrow{0}) \), o vetor $k \vec{a}$ múltiplo de $\vec{a}$ é definido da seguinte forma: 1. Se $k > 0$, o vetor $\vec{a}$ tem a mesma direção, mas seu módulo é $k$ vezes maior. Particularmente, $1 \vec{a}=\vec{a}$ 2. Se $k < 0$, o vetor $k \vec{a}$ tem a direção oposta ao $\vec{a}$ e seu módulo é \( |k| \ ) vezes maior. Particularmente, \( \quad (-1) \vec{a}=-\vec{a} \) 3. Se $k=0$, o resultado é o vetor nulo $\overrightarrow{0}$, ou seja, $0 \vec{a}=\overrightarrow{0}$ Em seguida, verifique isso com o exemplo dado. Exemplo: Multiplicar o vetor \( \vec{a} = (3, -2) \) pelos números reais $k = 2, -3, 0$.

Método de solução alternativa para $\overrightarrow{\mathrm{DH}}$ (o mesmo até o passo 11). Com o ponto D como ponto de partida, $\vec{b} = \overrightarrow{\mathrm{DB}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}, \quad \vec{c} = \overrightarrow{\mathrm{DC}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}, \quad \vec{d} = -\overrightarrow{\mathrm{DA}}$ Portanto, a partir de (1), \[ egin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{DH}} & = \frac{1}{30} k (\overrightarrow{\mathrm{DB}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}) + \frac{1}{5} k (\overrightarrow{\mathrm{DC}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}) - \frac{9}{10} k (-\overrightarrow{\mathrm{DA}}) & = \frac{2}{3} k \overrightarrow{\mathrm{DA}} + \frac{1}{30} k \overrightarrow{\mathrm{DB}} + \frac{1}{5} k \overrightarrow{\mathrm{DC}} \end{aligned} \] $\leqslant \frac{1}{10} + \frac{3}{5} + \frac{3}{10} = 1$ Verifique isso.

Dado z=4+2i, lpha=1+3i , desenhe os pontos \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(lpha), \mathrm{A}^{\prime}(-lpha), \mathrm{B}(z+lpha), \mathrm{C}(z-lpha) \) no plano complexo.

As coordenadas do ponto A são (2,-4), as coordenadas do ponto B são (-2,2) e as coordenadas do ponto C são (0,-4). Para os vetores ec{a}, ec{b}, ec{c}, responda às seguintes perguntas: (1) Represente os vetores ec{a}, ec{b}, ec{c} na forma de componentes. (2) Calcule as magnitudes de |ec{a}|,|ec{b}|,|ec{c}|.

Prove que as seguintes equações são verdadeiras. (1) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{SP}}=\overrightarrow{0}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{DS}}-\overrightarrow{\mathrm{PS}}-\overrightarrow{\mathrm{XB}}=\overrightarrow{\mathrm{DX}}$

Vetor de posição, aplicação em formas Vetor de posição de pontos de divisão (espaço)

Encontre a equação do plano que passa pelo ponto \( \mathrm{A}(2,1,-5) \) e é perpendicular ao vetor \( ec{n}=(1,-2,3) \).

Por favor, resolva o problema relacionado a vetores no espaço.

Explique a equação vetorial de uma linha.

Em cada uma das situações a seguir, encontre o ângulo $\theta$ entre $\vec{a}$ e $\vec{b}$. (1) Quando $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3,|2 \vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{13}$ (2) Quando $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=\sqrt{3}$ e $\vec{a}-\vec{b}$ são perpendiculares a $6 \vec{a}+7 \vec{b}$

Em um plano, considere △ABC e os pontos P e Q. Responda a posição dos pontos P e Q quando as seguintes equações forem satisfeitas: (1) 3 \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0} (2) 4 \overrightarrow{AQ} + \overrightarrow{BQ} + 2 \overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{0}

Encontre as coordenadas do centróide dos pontos A, B e C. Se as coordenadas do ponto A são (a1, a2, a3), as coordenadas do ponto B são (b1, b2, b3) e as coordenadas do ponto C são (c1, c2, c3), quais são as coordenadas do centróide?

Para dois pontos \( \mathrm{A}(a_1, a_2) \) e \( \mathrm{B}(b_1, b_2) \), \[ \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \left(b_1 - a_1, b_2 - a_2 ight) \] \[ |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2} \]

No triângulo $riangle \mathrm{ABC}$ com vértices nos pontos \( \mathrm{A}(ec{a}), \mathrm{B}(ec{b}), \mathrm{C}(ec{c}) \), seja $\mathrm{P}$ o ponto médio do segmento $\mathrm{AB}$, $\mathrm{Q}$ o ponto que divide externamente o segmento $\mathrm{BC}$ na razão 1:2, e $\mathrm{R}$ o ponto que divide externamente o segmento $\mathrm{CA}$ na razão 2:1. Seja G o centróide do triângulo $\mathrm{AQR}$. Expresse os seguintes vetores usando ec{a}, ec{b}, ec{c} : (1) O vetor posição do ponto G (2) $\overrightarrow{\mathrm{PG}}$

Se o ponto P estiver no plano KLM, encontre a magnitude do vetor OP |€{ec{\mathrm{OP}}}|.

Encontre a equação do plano que passa pelo ponto \( \mathrm{A}(4,2,2) \) e é perpendicular ao vetor \( ec{n}=(2,-3,1) )。

Para $riangle \mathrm{OAB}$, seja $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$. Dados que os números reais $s$ e $t$ satisfazem s+t=rac{1}{3}, s \geqq 0, t \geqq 0 , encontre a faixa de existência do ponto $\mathrm{P}$.

Dado que \(ec{a}=(3,-4)\) e \(ec{b}=(-2,1)\), expresse os componentes dos seguintes vetores: (1) 2ec{a} (2) -ec{b} (3) ec{a}+2ec{b}

Para o triângulo OAB, seja $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$. Determine o intervalo de existência do ponto P quando os números reais $s, t$ satisfazem as seguintes equações. (1) $s+t=2$ (2) $s+t=3, \quad s \geqq 0, \quad t \geqq 0$

Capítulo 1 Vetores no Plano- 23 EX 3 pontos \( \mathrm{A}(1,1), \mathrm{B}(3,2), \mathrm{C}(5,-2) \) existem. (1) Encontre o cosseno do ângulo $\theta$ entre $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ e $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, que é $\cos \theta$. (2) Encontre a área do triângulo $\triangle \mathrm{ABC}$. (3) Encontre o número real t que minimiza a magnitude do vetor $t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ e seu valor mínimo.

Em relação aos vetores mostrados no diagrama à direita, liste todos os pares de números de vetores da seguinte forma: (1) Vetores com mesma magnitude (2) Vetores com a mesma direção (3) Vetores iguais (4) Vetores opostos

Dado \( ec{a}=(1,2,3) \) e \( ec{b}=(2,0,-1) \), encontre o valor mínimo de |ec{c}| e o valor de $t$ nesse mínimo, onde ec{c}=ec{a}+t ec{b} .

Suponha que no plano, haja $riangle \mathrm{ABC}$ e pontos $\mathrm{P}$ e $\mathrm{Q}$. Quando as seguintes equações forem verdadeiras, responda as posições dos pontos $\mathrm{P}$ e $\mathrm{Q}$. (1) $5 \overrightarrow{\mathrm{AP}}-2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}$ (2) $7 \overrightarrow{\mathrm{AQ}}+2 \overrightarrow{\mathrm{BQ}}+3 \overrightarrow{\mathrm{CQ}}=\overrightarrow{0}$

Dado os vetores \vec{a} e \vec{b}. Se |\vec{a}| = 2\sqrt{10}, |\vec{b}| = \sqrt{5} e \vec{a} \cdot \vec{b} = -10, responda às seguintes perguntas. (1) Para qualquer número real t, encontre o valor mínimo de |\vec{a} + t\vec{b}| e o valor de t nesse momento. (2) Para o valor de t obtido em (1), prove que \vec{a} + t\vec{b} é perpendicular a \vec{b}.

No espaço, um segmento de linha direcionado do ponto A ao ponto B, representado por $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, tem uma magnitude representada por $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$. Os vetores espaciais também são frequentemente representados por letras minúsculas como ec{a} e ec{b} . Os vetores no espaço são definidos exatamente da mesma forma que os vetores no plano. Por favor, responda às seguintes perguntas sobre as propriedades básicas dos vetores. 1. Se ec{a} e ec{b} têm a mesma direção e magnitude, como podem ser representados? 2. Como é representado o vetor inverso de ec{a} ? 3. Como são chamados os vetores com magnitude 0 e magnitude 1, respectivamente? 4. Dê exemplos de adição, subtração e multiplicação por um escalar de vetores.

Dado que z=3+2 i, lpha=1-i , marque os pontos \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(lpha), \mathrm{P}^{\prime}(-z), \mathrm{B}(z+lpha), \mathrm{C}(z-lpha) \) no plano complexo.

(1) Encontre o valor de $x$ tal que \( \vec{a}=(x+2,1) \) e \( \vec{b}=(1,-6) \) sejam perpendiculares. (2) Encontre o vetor $\vec{d}$, que é perpendicular a \( \vec{c}=(2,1) \) e tem uma magnitude de $2 \sqrt{5}$.

Encontre a equação de uma linha que satisfaça as seguintes condições usando vetores: (1) Passa pelo ponto \( \mathrm{A}(-2,3) \) e é paralela ao vetor \( ec{d}=(2,1) \) (2) Passa por dois pontos \( \mathrm{A}(-1,2) \) e \( \mathrm{B}(3,1) \)

Para os seguintes vetores \vec{a}, \vec{b}, ilustre \vec{a}-\vec{b}.

(1) No triângulo $riangle \mathrm{OAB}$, dado que \overrightarrow{\mathrm{OA}}=ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=ec{b} , expressa a área $S$ de $riangle \mathrm{OAB}$ usando ec{a} e ec{b} . (2) Usando (1), quando $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=3,|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=4, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-6$, encontre a área $S$ do $riangle \mathrm{OAB}$.

2 ec{a}-3 ec{b}+ec{c}

Encontre as coordenadas do ponto P que divide internamente o segmento de linha AB na razão m:n. Dado que as coordenadas do ponto A são (a1, a2, a3) e as coordenadas do ponto B são (b1, b2, b3), quais são as coordenadas do ponto P?

As coordenadas do ponto médio do segmento de linha AB $\ \ left(\rac{a_{1}+b_{1}}{2}, \rac{a_{2}+b_{2}}{2}, \rac{a_{3}+b_{3}}{2}$

(1) $3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}$