Geometria Sólida - Volume e Área de Superfície

'Vamos considerar o eixo x e o ponto P no eixo x. A secção transversal por um plano perpendicular ao eixo x que passa pelo ponto P forma um triângulo retângulo isósceles PQR. Seja x a coordenada do ponto P, então PQ=QR=√(r^{2}-x^{2)}. Assim, vamos denotar a área do triângulo PQR como S(x), então S(x)=1/2 * PQ * QR = 1/2(r^{2}-x^{2}). Com base nessa área do triângulo, vamos encontrar o volume V.'

'Considere uma caixa retangular com comprimentos laterais a, b e c. Quando o lado de comprimento b é usado como eixo de rotação e a caixa é girada em 90 graus, o sólido formado por todos os pontos pelos quais a caixa passa é denominado V. (1) Expresse o volume de V em termos de a, b e c. (2) Quando a+b+c=1, encontre o intervalo de valores possíveis para o volume de V. [Universidade de Tóquio]'

'Corte este sólido com um plano perpendicular à base que passa pelos pontos Q e S, e corte ainda com um plano perpendicular à base que passa pelos pontos T e R, e pinte apenas as faces criadas pelos cortes. Denomine o sólido que contém os pontos A, B, C como sólido X, Y, Z, respectivamente. Se a proporção de volume do sólido Y para o sólido Z for de 4:1, responda às seguintes perguntas.'

'Qual é o volume do tetraedro O-KLMN em comparação com o volume do prisma retangular ABCD-EFGH?'

'(3) Pontos P, Q, R são colocados nos lados AE, BF, CG de forma que AP: PE = 2: 1, BQ: QF = 1: 1, CR: RG = 1: 2. A Figura 2 mostra a adição dos pontos P, Q, R à Figura 1. Quando um sólido é formado cortando a pirâmide OKLMN com um plano que passa pelos pontos P, Q, R, qual é o múltiplo do volume da pirâmide OKLMN que é o volume do sólido que inclui o ponto O?'

'(2) Se um cubo é cortado simultaneamente por um plano que passa pelos pontos P, R e T, e por um plano que passa pelos pontos Q, R e T, encontre a proporção dos volumes do sólido formado pelo ponto B e do sólido formado pelo ponto E, na razão mais simples de números inteiros.'

'Responda às seguintes perguntas. O volume de um cone é calculado como (área da base) × (altura).\n(1) Ao montar este diagrama dobrável, quais arestas tocam a aresta A? Por favor, responda usando símbolos das arestas I a K.\n(2) Quantas arestas tem o sólido C?\n(3) Vamos chamar de D um cubo com uma aresta medindo 6 cm.\nExpresse a relação de volume entre o sólido C e o cubo D na forma mais simples de inteiros.'

'Quando um plano passando pelos pontos P, Q, e F corta esse sólido, o plano intersecciona a aresta AE no ponto R.'

'Qual é a área inferior do tanque de água A em comparação com a área inferior do tanque de água B?'

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'Na geometria tridimensional Z, se a proporção entre a área da parte colorida e a área da parte não colorida for 1:4, qual é a proporção mais simples das áreas de superfície do sólido X e do sólido Z?'

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'Num problema de encontrar o volume de uma figura sólida, calcule os volumes das seguintes formas geométricas.'

'Quando um plano que passa pelos pontos médios das arestas AE, BF, CG, DH corta a pirâmide O-KLMN, qual é a proporção da área da seção de corte para a área do losango ABCD?'

'Conforme mostrado no diagrama, há um sólido com todas as faces planas, em que a aresta AB é paralela à aresta EF, a aresta BC é paralela à FG, a aresta CD é paralela à GH e a aresta DA é paralela à HE.'

'Sejam p, q números reais positivos. Dados no espaço de coordenadas com a origem O, três pontos P(p, 0, 0), Q(0, q, 0), R(0, 0, 1) que satisfazem ∠PRQ=π/6'

'Dado os pontos A(1, -2, -3), B(2, 1, 1), C(-1, -3, 2), D(3, -4, -1). Determine as coordenadas dos outros vértices do paralelepípedo com os segmentos de linha AB, AC e AD como três arestas.'

'Há um recipiente em forma de hemisfério com um raio de 2 cheio de água. Quando é inclinado suavemente por um ângulo α, o nível da água diminui em 197h(2) e a proporção de água derramada para água restante no recipiente torna-se 11:5. Encontre os valores de h e α. Forneça a resposta para α em radianos.'

'Calcule o volume V do sólido obtido ao girar a forma a seguir ao redor do eixo x uma vez. (2) O círculo x^{2}+(y-2)^{2}=4 e seu interior'

'Calcule o volume do sólido de revolução formado pela rotação em torno da linha y=x. Considere as seguintes condições: o sistema de desigualdades 0 <= x <= t, x² - x <= y <= x, 0 <= t <= 2.'

'Quando o volume de uma esfera aumenta em 1%, em que percentual aproximado o raio r e a área de superfície S da esfera aumentam?'

'Volume de uma tetraedra'

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'Calcule o volume da curva representada pelas equações paramétricas e o sólido de revolução.'

'No espaço tridimensional, o triângulo OAB com vértices O(0,0,0), A(1,0,0) e B(1,1,0) é rotacionado em torno do eixo x para formar um cone V. Calcule o volume do sólido formado ao girar o cone V em torno do eixo y.'

'Existem dois cilindros circulares infinitamente estendidos com secções transversais que são círculos de raio a. Agora, suponha que esses dois cilindros se intersectam com seus eixos centrais formando um ângulo de π/4. Calcule o volume da interseção (parte comum).'

'Seja r um número real positivo. No espaço xyz, considere o conjunto de pontos que satisfazem o seguinte sistema de desigualdades: x^{2} + y^{2} \\le r^{2}, y^{2} + z^{2} \\ge r^{2}, z^{2} + x^{2} \\le r^{2}. Encontre o volume do sólido considerando a seção transversal pelo plano x = t (0 \\le t \\le r).'

'Calcule o volume de um sólido de revolução no espaço de coordenadas (2).'

'Encontre o volume de um sólido representado por um sistema de desigualdades.'

'Revisão'

'Pinte cada face de um tetraedro e de um octaedro com cores. Cada face é pintada com apenas uma cor. Além disso, padrões de rotação e combinação de cores são considerados iguais. Quando há 12 cores, o número de maneiras de pintar um tetraedro de forma que todas as faces tenham cores diferentes é A [ ]. Além disso, quando há 8 cores, o número de maneiras de pintar um octaedro de forma que todas as faces tenham cores diferentes é B [ ].'

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'Quantas maneiras diferentes existem para colorir as faces dos poliedros dados? Supondo que as colorações equivalentes por rotação são consideradas as mesmas. (1) Método de colorir cada face de uma pirâmide quadrada com 5 cores diferentes (2) Método de colorir cada face de um prisma triangular com 5 cores diferentes'

'Exemplo Básico 138 Altura e Volume de um Tetraedro Regular\nSeja ABCD um tetraedro regular com comprimento de aresta a.\n(1) Expresse a altura deste tetraedro em termos de a.\n(2) Expresse o volume deste tetraedro em termos de a.'

'Existe um cubo com um lado de 6 cm. Determine o volume de um octaedro regular formado pela interseção das diagonais de cada face deste cubo.'

'A partir de \ \\sqrt{2} \\cos \\theta+1=0 \, podemos deduzir que \ \\cos \\theta=-\\frac{1}{\\sqrt{2}} \. O ponto na semicircunferência com raio 1, onde a coordenada x é \ -\\frac{1}{\\sqrt{2}} \, é o ponto \ \\mathrm{P} \ na figura. O ângulo \ \\theta \ que estamos procurando é \ \\angle \\mathrm{AOP} \.'

'Um cone com altura 4 e raio da base √2 é tangente a uma esfera O em seu lado e também no centro M de sua base. Encontre o volume V e a área superficial S da esfera O.'

'Razão de volume entre cubo e tetraedro número 102'

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'No tetraedro ABCD mostrado à direita, AD=2, BD=4, CD=6, ângulos ADB=ADC=BDC=90 graus, encontre os seguintes valores.'

'No tetraedro ABCD, onde AD=2, BD=4, CD=6, ∠ADB=∠ADC=∠BDC=90°, encontre os seguintes valores:\n(1) Volume V do tetraedro ABCD\n(2) Área S do △ABC\n(3) Comprimento d da perpendicular caída do vértice D ao plano ABC'

'Existe uma folha fina de metal em forma de retângulo onde o comprimento é o dobro da largura. A partir dos cantos desta folha, são cortados quadrados com um lado de 1 cm para criar uma caixa retangular sem tampa. Para que o volume da caixa esteja entre 4 cm³ e 24 cm³, em que faixa a altura deve estar?'

'Encontre o seguinte para o tetraedro OABC:'

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'Encontre o volume máximo de um cilindro circular reto inscrito em uma esfera de raio 6. Além disso, determine a altura do cilindro nesse momento.'

'Calcular o volume de um tetraedro regular'

'Responda às seguintes perguntas quando cada vértice do icosaedro regular W com comprimento de aresta 1 está na superfície de uma esfera S. O icosaedro tem todas as faces congruentes de triângulos equiláteros, e cada vértice é compartilhado por 5 desses triângulos.'

'Dado um cubo com aresta de comprimento 1, ABCD-EFGH, um plano contendo os pontos A, C, F, e interceptando a linha BH nos pontos P, e uma linha perpendicular descida do ponto P para o plano ABCD interseccionando no ponto Q.'

'Encontre o volume de um cilindro e um cone quando a área da base é S e a altura é h. Além disso, encontre o volume e a área de superfície de uma esfera com raio r.'

'Construa o tetraedro PABC com o triângulo equilátero ABC de lado 3 como base, onde PA=PB=PC=2. Deixe cair uma perpendicular PH do vértice P para a base ABC.'

'No tetraedro ABCD, onde AB=3, BC=√13, CA=4, DA=DB=DC=3, trace uma perpendicular DH desde o vértice D até o triângulo ABC. Encontre o comprimento do segmento DH e o volume do tetraedro ABCD.'

'Se ABC for um triângulo equilátero com comprimento lateral 3 e PABC for um tetraedro com PA=PB=PC=2. Uma linha perpendicular PH é traçada do ponto P para a base ABC.'

'Calcular a altura e o volume de um tetraedro regular\nNum tetraedro regular ABCD com comprimento de aresta a, traçar uma linha perpendicular AH do vértice A para o triângulo BCD.\n(1) Expressar o comprimento h de AH em termos de a.\n(2) Expressar o volume V do tetraedro regular ABCD em termos de a.\n(3) Expressar o comprimento da linha perpendicular traçada a partir do ponto H para o triângulo ABC em termos de a.'

'Seja I o centro da esfera inscrita. Os quatro tetraedros IABC, IACD, IABD, IBCD são congruentes, então'

'Calcular o volume de um tetraedro regular'

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'Existe um cubo A. Reduza A verticalmente por 1 cm, horizontalmente por 2 cm e estenda a altura por 4 cm para criar um prisma retangular B. Além disso, estenda A verticalmente por 1 cm, horizontalmente por 2 cm e reduza a altura por 2 cm para criar um prisma retangular C. Quando o volume de A é maior do que o volume de B, mas não é maior do que o volume de C, encontre o intervalo do comprimento de um lado de A.'

'Por favor, calcule o volume do icosaedro regular W.'

'Altura e volume de um tetraedro regular'

'No tetraedro ABCD, AB = AC = 3, ∠BAC = 90°, AD = 2, BD = CD = √7, e o ponto médio de BC é M. Nesse caso, BC = quadrado, DM = triângulo, ∠DAM = graus de retângulo e o volume do tetraedro ABCD é trapézio.'

'Encontre a área de um triângulo e sua aplicação na geometria sólida'

'Encontre o volume do tetraedro ABCD.'

'No tetraedro regular ABCD com comprimento lateral 3, é traçada uma perpendicular AH do vértice A para a base BCD. Dado que o ponto E na aresta AB tem AE=1, encontre:\n(1) pecado∠ABH\n(2) O volume do tetraedro EBCD'

'Encontre o volume do tetraedro OABC. Além disso, encontre a distância entre o ponto O e o plano ABC.'

'Quando o volume de uma esfera aumenta em 1%, qual é a porcentagem de aumento do raio?'

'(2) Seja o volume do recipiente $Q$ igual a $V_{1}$. Para o tetraedro $ABCD$ com comprimento de aresta $b$...'

'No intervalo de 0 ≤ x ≤ π, qual é o volume V do sólido formado pela rotação da forma fechada pelas curvas y=sin x, y=sin 2x em torno do eixo x?'

'(2) No espaço, quando o centro de uma esfera com raio 1 se move ao longo de um lado de um quadrado com lado de comprimento 4 por uma volta, encontre o volume V da parte da esfera que passa por.'

'No espaço de coordenadas, considere um quadrado S com vértices A(-1,1,0), B(1,1,0), C(1,-1,0), e D(-1,-1,0) determinados pelas desigualdades |x| ≤ 1, |y| ≤ 1 no plano xy. Deixe V1 ser o sólido formado ao girar o quadrado S em torno da linha BD e V2 ser o sólido formado ao girar o quadrado S em torno da linha AC.'

''

'Exemplo prático 20: Volume do sólido de revolução em torno da diagonal de um cubo'

'Considere um cone circular reto com a origem como centro e um círculo com o raio como base, que inclui um prisma triangular com os vértices A(1,1,0), B(1,-1,0), C(-1,-1,0), D(-1,1,0), E(1,0,1), F(-1,0,1). Encontre o volume mínimo deste cone e o raio r de sua base nesse momento.'

None

'Seja S uma esfera com raio 1 centrada na origem O no espaço de coordenadas. Para pontos A, B, C, D movendo-se em S, seja F=2(AB^2+BC^2+CA^2)-3(AD^2+BD^2+CD^2).(1) Seja →OA= a, →OB= b, →OC= c, →OD = d, onde existe uma constante k diferente de a, b, c, d, de modo que F=k( a+ b+ c)·( a+b+c-3d). Encontre o valor da constante k.(2) Encontre o valor máximo M de F quando os pontos A, B, C, D se movem em S.(3) Quando as coordenadas do ponto C são (-1/4, √15/4, 0) e as coordenadas do ponto D são (1, 0, 0), determine todos os pares de pontos A e B em S onde F=M.'

'Encontre o raio r de um cone que minimize o volume de um cone circular reto.'

'O tetraedro ABCD e o ponto P satisfazem a equação AP+3BP+2CP+6DP=0.'

'Exercício 3 Volume máximo de um tetraedro\nNo tetraedro OABC, onde |OA|=a, |OB|=b, |OC|=c, ∠AOB=90°, ∠AOC=α, ∠BOC=β. É dado que 0°<α<90°, 0°<β<90°, e α+β>90°.\n(1) Expresse os produtos escalares OA⋅OC, OB⋅OC em termos de a, b, c, α, β.\n(2) Seja CH a perpendicular traçada do ponto C ao plano que contém △OAB.\nSe OH=kOA+lOB (onde k, l são números reais), expresse k, l em termos de a, b, c, α, β.\n(3) Expresse o volume V do tetraedro OABC em termos de a, b, c, α, β.\n(4) Quando a, b, c são constantes e α, β satisfazem α+β=120°, encontre o valor máximo de V.'

'Exemplo de Problema 20 Volume do sólido de rotação em torno da diagonal de um cubo'

None

'Encontre o volume V do sólido obtido ao girar a elipse $\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(x \\geqq 0)$ e a região limitada pelo eixo y ao redor do eixo y uma vez. Aqui, $a>0, b>0$.'

'(3) Encontrar o valor absoluto da coordenada $x$ do ponto A. Os pontos B e P estão no plano $yz$. Encontrar a altura do tetraedro POAB e calcular o seu volume.'

''

'Encontre o volume do sólido obtido ao girar a região circundada pela reta y=x e a parábola y=x^2-x ao redor da linha OA como eixo, onde A é o ponto de interseção entre a reta e a parábola (excluindo a origem O).'

''

'Volume do Sólido de Revolução: Encontre o volume do sólido obtido ao rotacionar a curva y = √x em torno do eixo x de x = 0 a x = 1.'

'Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da área delimitada pela curva y=-2x^2-1, o eixo x e as duas retas x=-1 e x=2 em torno do eixo x.'

'Um paralelepípedo ABCDEFGH com comprimentos das arestas AB=x, AD=y, e AE=z está no espaço. Se o comprimento da diagonal AG é 3 e a área de superfície S é 16, então'

'Encontre o volume do sólido formado por um tetraedro regular desenhado quando os pontos P(x, 0) e Q(x, 4-x^2) são conectados como um lado em um plano perpendicular ao eixo x. À medida que P se move ao longo do eixo x do origem O até o ponto (2,0).'

'Com AB=x, AD=y, AE=z, um paralelepípedo retangular ABCD-EFGH está no espaço. Se o comprimento da diagonal AG é 3 e a área da superfície S é 16'

''

'Um recipiente em forma de cone circular reto invertido com raio de 5 cm e altura de 10 cm. Água está sendo despejada suavemente no recipiente a uma taxa de 2 cm³/s. Determine o seguinte quando a profundidade da água atingir 4 cm:\n(1) A velocidade com que o nível da água está subindo\n(2) O aumento percentual na área da superfície da água'

'Volume do sólido obtido ao rodar S1 em torno do eixo x uma vez'

'Encontre o volume V do seguinte sólido de revolução.'

'O ponto A no segmento de linha PQ é dado por OA = OP + sPQ (0 <= s <= 1)'

'Em um espaço tridimensional, existem três pontos O(0,0,0), A(1,0,1), B(0,√3,1). Eles estão no plano z=0, e um círculo com centro em O e raio 1 como W. Quando o ponto P se move ao longo do segmento de linha OA e o ponto Q se move ao redor ou dentro do círculo W, satisfazendo ⃗OR=⃗OP+⃗OQ, todos os pontos R formam um sólido V_A. Da mesma forma, quando o ponto P se move ao longo do segmento de linha OB e o ponto Q se move ao redor ou dentro do círculo W, satisfazendo ⃗OR=⃗OP+⃗OQ, todos os pontos R formam um sólido V_B. Além disso, a parte de sobreposição de V_A e V_B é denotada como V. (1) Expresse a área da seção transversal do sólido V cortado pelo plano z=cosθ(0≤θ≤π/2) usando θ. (2) Determine o volume do sólido V.'

'Encontre o volume $V$ do sólido obtido girando a região cercada pela curva $x=\\tan \\theta, y=\\cos 2 \\theta$ (para $-\\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\frac{\\pi}{2}$) em torno do eixo $x$ uma vez.'

'Encontre o volume de uma forma tridimensional \ V \.'

'Existem dois cilindros infinitamente estendidos em ambos os lados, com seções cortadas formando círculos de raio a. Agora, assuma que esses cilindros se intersectam para formar um eixo central com um ângulo de π/4. Encontre o volume da parte de interseção (parte comum). [Fonte: Universidade de Mulheres Japonesas]'

'Volume de um sólido formado pela rotação de uma linha no espaço de coordenadas'

''

'Encontre o volume V do sólido obtido ao girar a região envolvida pela parábola y=x^{2}-2 x e a reta y=-x+2 em torno do eixo x uma vez.'

'Considere um prisma triangular com vértices A(1,1,0), B(1,-1,0), C(-1,-1,0), D(-1,1,0), E(1,0,1) e F(-1,0,1) e um cone circular reto com o círculo no plano xy centrado na origem como a base. Encontre o volume mínimo desse cone e o raio r da base nesse momento.'

'Problemas de aplicação de máximo e mínimo (2) ... O tema são figuras espaciais'

'Quando o volume V de uma esfera aumenta em 1%, em aproximadamente que porcentagem o raio r e a área de superfície S da esfera aumentam?'

'Encontre o volume V do sólido obtido girando as seguintes formas em torno da linha y=x: (1) A área contida pela parábola y=x^2 e a reta y=x. (2) A área contida pela curva y=sin x (0 <= x <= pi) e pelas duas retas y=x e x+y=pi.'

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'Desafio da questão'

'Exemplo básico 171 Quantidade de água derramada de um recipiente'

'Curva C: y=x^3 passa por 2 pontos O(0,0) e A(1,1). Encontre o volume V do sólido obtido girando a região cercada pela curva C e o segmento de linha OA ao redor da linha OA.'

'Volume de um tetraedro regular'

'Existe um cilindro com raio da base a e altura também a. Quando o plano que contém o diâmetro AB da base e inclinado a 30 graus com relação à base divide o cilindro em dois sólidos, encontre o volume V do sólido menor.'

'No espaço de coordenadas EX, existe um cilindro que satisfaz simultaneamente as desigualdades $x^{2}+y^{2} \\leqq 1$ e $0 \\leqq z \\leqq 3$. Quando este cilindro é dividido em dois sólidos por um plano que passa pelo ponto $(1,0,1)$ e contém o eixo y (formando um ângulo de $\\frac{\\pi}{4}$ com o plano 2133), encontre o volume $V$ do sólido que contém o ponto $(1,0,0)$.'

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'Como calcular o volume'

'Ao diminuir cada lado de um cubo com um comprimento de lado de 5 cm em 0,02 cm, quanto a área superficial e o volume do cubo diminuirão? Por favor, calcule até duas casas decimais.'

'No espaço com o ponto O(0, 0, 0) como origem, existem três pontos A(1, 2, 0), B(0, 2, 3), C(1, 0, 3). Encontre o volume do tetraedro OABC.'

'394 Exemplo 62 Equação de Vetor e Proporção de Volume do Tetraedro'

'Considere os pontos P(u, u, 0) e Q(u, 0, √(1-u^2)) no espaço 3D. Conforme u varia de 0 a 1, a superfície formada pelo segmento de linha PQ é denominada S.'

'Seja V o volume do tetraedro OABC,'

'Encontre o volume V do sólido obtido ao girar a área envolvida pela curva y = f(x), eixo y e a reta y = f(1) em torno do eixo y, onde f(x)=xe^x+e/2.'

'Resolver o problema matemático: Seja y = cos x (0 ≤ x ≤ π/2) representando uma curva. O volume do sólido formado ao girar a região fechada pela curva, o eixo x e o eixo y em torno do eixo x é denominado V1. O volume de um cone circular reto com raio de base 1 e altura de π/2 é denominado V2. Calcular o valor de V = V1 - V2.'

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'Resolver problemas de máximo e mínimo relacionados com geometria sólida.'

'Encontre o volume V do sólido gerado pela rotação da região cercada por duas curvas em torno do eixo x. As curvas são definidas por y = f(x) e y = g(x) (a <= x <= b, onde f(x) >= g(x) >= 0).'

'Encontre o volume gerado pela rotação em torno do eixo y.'

'Encontre o volume V do sólido obtido ao girar a região delimitada pela curva x=f(θ), y=g(θ), o eixo x e as duas retas x=a, x=b (a < b) em torno do eixo x usando o método dos cilindros concêntricos.'

'Encontre o volume V do sólido obtido ao girar a região cercada pela curva y=cosx (0 ≤ x ≤ π), y=-1, e o eixo y em torno do eixo y uma vez.'

'No espaço com a origem O como centro, há três pontos A(1,2,0), B(0,2,3), C(1,0,3). Encontre o volume do tetraedro OABC.'

'Calcule o volume do sólido obtido ao girar a forma considerada em (2) (1) em torno do eixo y uma vez.'

'Encontre o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y. Explique usando a função g(y).'

'Encontre o volume V do sólido de revolução obtido girando a região delimitada por curvas ou linhas de PR em torno do eixo y uma vez.'

'Traduza a pergunta dada para vários idiomas.'

'Encontre o volume V do sólido obtido ao girar a região fechada pela curva x=tanθ, y=cos2θ (-π/2<θ<π/2), e o eixo x ao redor do eixo x.'

'Explique como encontrar a altura de um cone circular reto.'

'Quero colorir cada face de um tetraedro regular. No entanto, girar o tetraedro para combinar a coloração é considerado o mesmo.\n(1) Quantas formas existem de colorir usando as quatro cores diferentes.\n(2) Entre as diferentes formas de colorir com três cores, quantas formas existem de colorir usando as três cores. Além disso, se houver uma cor entre as três que não é usada, quantas formas existem de colorir.'

'Exemplo 73 | Volume de um poliedro\nUm poliedro com 6 quadrados de lado 3 e 8 triângulos equiláteros como faces está inscrito em um cubo como mostrado na figura. Encontre o volume deste poliedro. [Universidade de Setsunan] Guia Focar em estar inscrito em um cubo. Considere um poliedro formado cortando todos os cantos do cubo por um plano que passa pelos pontos médios de cada aresta do cubo.'

'Uma chapa fina de metal tem um comprimento que é o dobro da sua largura. A partir dos quatro cantos desta chapa, são cortados quadrados com um lado de 5 cm, como mostrado no diagrama e dobrados para criar um recipiente retangular aberto. Quando o volume deste recipiente é de 1,5 L, quais são as dimensões originais da chapa em centímetros?'

'Matemática I'

'Existe um tetraedro PABC com arestas de comprimento 3. Encontre o volume da forma restante após remover 4 tetraedros de comprimento 1 de dentro.'