Geometria Sólida - Propriedades de Formas Tridimensionais (Poliedros, Cilindros, Cones, Esferas)

'Encontre a loco do centro do círculo C, que é tangente e circunscreve o círculo dado por (2) e toca o eixo x.'

'Região representada por desigualdades'

'Considere um cilindro inscrito em uma esfera com raio 2 e altura 2x. (1) Expresse o raio a da base do cilindro em termos de x. (2) Expresse o volume V do cilindro em termos de x. (3) Encontre o valor máximo de V. [Instituto de Tecnologia de Hokkaido]'

'Tentativa 1 de 2019 da Academia de Educação Shibuya Makuhari Middle School (26) O observador está de pé de frente para o penhasco. O observador está virado para sudeste no Penhasco A, sudoeste no Penhasco B e norte no Penhasco C.'

'Por que não medir a elongação de uma haste de metal com uma régua? Explique brevemente em cerca de 20 palavras.'

'De acordo com o parágrafo (1), as camadas na região estão inclinadas de sul para norte, então na direção leste-oeste, as camadas estão quase empilhadas horizontalmente. Portanto, no penhasco C voltado para sul, cada camada parece estar quase na horizontal.'

'Por que os pisos elevados são usados para evitar a umidade e inundações?'

'Prove que a forma dada pela equação polar \ r=\\frac{2}{2+\\cos \\theta} \ é a mesma que a forma dada pela equação de números complexos \ |z|+\\left|z+\\frac{4}{3}\\right|=\\frac{8}{3} \ e esboce o contorno desta forma.'

'Equações de 3 Esferas'

''

'Existem duas superfícies esféricas $S_{1}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}=5$ e $S_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=8$. Se a interseção das superfícies esféricas $S_{1}, S_{2}$ for o círculo $C$. Encontre:\n(1) As coordenadas do centro $P$ e o raio $r$ do círculo $C$\n(2) A equação do plano $α$ que contém o círculo $C$'

'Seja o ponto no círculo C com raio 1 centrado na origem como \\( (\\cos \\theta, \\sin \\theta) \\) ser P. Seja o círculo tangente ao círculo C no ponto P e também tangente ao eixo y ser S, e seja (u, v) as coordenadas de seu centro Q. (1) Expressar u e v em termos de \ \\cos \\theta \ e \ \\sin \\theta \, respectivamente. (2) Deixe a área do círculo S ser denominada por \\( D(\\theta) \\). Determine \\( \\lim_{\\theta \\to \\frac{\\pi}{2}-0} \\frac{D(\\theta)}{(\\frac{\\pi}{2}-\\theta)^{2}} \\).'

'No espaço de coordenadas com o ponto O como origem, vamos considerar A(5,4,-2).'

'Considere um cubo com vértices O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), D(0,1,1), E(1,0,1), F(1,1,0), G(1,1,1) no espaço de coordenadas. Vamos chamar o ponto P de ponto de trissecção da aresta OA na proporção 3:1, o ponto Q de ponto de divisão da aresta CE na proporção 1:2, e o ponto R de ponto de divisão da aresta BF na proporção 1:3. O plano que passa pelos pontos P, Q, R é denotado como α.'

'Encontre a equação da esfera que passa pelos pontos (1,1,1), (-1,1,-1), (-1,-1,0), (2,1,0). Além disso, determine as coordenadas do seu centro e o raio.'

'No tetraedro ABCD, AB²+CD²=BC²+AD²=AC²+BD² e ∠ADB=90°. Seja G o centróide do triângulo ABC.'

'Considerando um retângulo ABCD no espaço onde as coordenadas do ponto A são (5,0,0) e as coordenadas do ponto D são (-5,0,0), com o comprimento do lado AB sendo 5. Além disso, tanto a coordenada y quanto a coordenada z do ponto B são positivas, e o comprimento da projeção perpendicular do ponto B no plano xy é 3. Por favor, encontre as coordenadas dos pontos B e C.'

'Encontre a área pela qual o segmento de reta que conecta um ponto na curva representada pela equação polar $r=2(1+\\cos \\theta)(0 \\leq \\theta \\leq \\frac{\\pi}{2})$ e o polo $\\mathrm{O}$ passa. Básico 182, Matemática $\\mathrm{C}$ p. 303 Referência'

'Encontre a equação de uma superfície esférica que passa pelos pontos (0,0,0), (6,0,0), (0,4,0) e (0,0,-8). Além disso, determine as coordenadas de seu centro e o raio.'

'Calcule o número de faces (f), arestas (e) e vértices (v) do poliedro formado ao cortar todos os vértices de um icosaedro regular com um plano que passa pelos pontos médios de cada aresta.'

'Capítulo 3 Propriedades das Figuras EX ⊕ 91 A figura à direita [1] é um poliedro obtido cortando 8 vértices com um plano que passa pelos pontos médios de cada aresta de um hexaedro regular. Vamos chamar este poliedro de X. A figura à direita [2] é um poliedro obtido cortando vértices com um plano que passa pelos pontos médios de cada aresta do poliedro X. Vamos chamar este poliedro de Y. (1) Determine o número de faces, arestas e vértices do poliedro X, respectivamente. (2) Determine o número de faces, arestas e vértices do poliedro Y, respectivamente.'

'Encontre o comprimento do lado de um tetraedro regular inscrito em uma esfera de raio 1.'

'Encontre o comprimento de um lado de um tetraedro regular inscrito em uma esfera de raio 1.'

'Exemplo de problema 141 de encontrar o valor mínimo de uma linha quebrada em um tetraedro\nDado um tetraedro ABCD com AB=BC=CA=8, AD=7. Quando cos∠CAD=11/14, encontrar o seguinte:\n(1) O comprimento do lado CD\n(2) O tamanho de ∠ACD\n(3) Para o ponto E no lado AC, encontrar o valor mínimo de BE+ED'

'A figura à direita [1] é um poliedro obtido cortando oito vértices de um hexaedro regular com um plano que passa pelos pontos médios de cada aresta. Vamos chamar este poliedro de X. A figura à direita [2] representa o poliedro obtido cortando o poliedro [1], ao qual chamaremos de Y.'

'No cuboide na figura à direita, AD=AE=1, EF=√3. (1) Encontre a aresta perpendicular à aresta BF.'

'Considere um cone circular reto com um raio de base de 2 e uma altura de \ \\sqrt{5} \. Seja \ \\mathrm{O} \ o vértice deste cone, e seja \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ as duas extremidades do diâmetro da base. Além disso, seja \ \\mathrm{P} \ o ponto médio do segmento de linha \ \\mathrm{OB} \. Encontre a menor distância na superfície lateral do cone de A para P.'

"Na figura à direita, a linha AB é tangente aos círculos O e O' nos pontos A e B, respectivamente. Se os raios dos círculos O e O' forem 5 e 4, e a distância entre os centros O e O' for 6, encontre o comprimento do segmento AB."

'Pinte cada face de um tetraedro regular e um hexaedro regular com tinta. Apenas uma cor é pintada em cada face. Além disso, rotacioná-lo 323 graus para coincidir com a coloração é considerado o mesmo. Quando há 12 cores, existem 7 maneiras de pintar as faces do tetraedro regular de forma que cada face tenha uma cor diferente. Quando há 8 cores, existem um bilhão de maneiras de pintar as faces do hexaedro regular de forma que cada face tenha uma cor diferente.'

'O diagrama à direita mostra uma figura sólida formada ao cortar um prisma retangular em um plano que contém as arestas DH, BF.'

'Cada face de um cubo deve ser pintada de tal forma que as faces adjacentes tenham cores diferentes. No entanto, as rotações do cubo que resultam na mesma coloração são consideradas iguais. (1) Quantas formas há de pintar usando todas as 6 cores diferentes? (2) Quantas formas há de usar todas as 5 cores diferentes?'

'Por favor, encontre o número de faces f, arestas e, e vértices v do poliedro formado cortando todos os vértices de um dodecaedro regular com um plano passando pelos pontos médios de cada aresta.'

'Use a condição de que a soma dos ângulos opostos é de 180° para provar que um quadrilátero está inscrito em um círculo.'

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"Na figura à direita, a linha AB toca os círculos O e O' nos pontos A e B, respectivamente. Se os raios dos círculos O e O' forem denotados como r e r' (r < r'), e a distância entre os centros dos dois círculos for d, então prove que AB = √(d^2 - (r' - r)^2)."

'Determine o número de faces f, arestas e e vértices v para os seguintes poliedros convexos:\n(1) Um poliedro convexo composto por 12 pentágonos regulares e 20 hexágonos regulares\n(2) Um poliedro convexo formado cortando todos os cantos com um plano que passa por pontos que dividem igualmente cada aresta de um tetraedro regular, conforme mostrado na figura à direita'

'A luz emitida por lanternas e similares se espalha em formato cônico, mas quando iluminada sob o ângulo correto, a borda da área iluminada se torna uma parábola. Este fenômeno ocorre porque cortar um cone de forma paralela à sua generatriz resulta em uma parábola na borda de corte.'

'Posição dos Pontos no Espaço\nAssim como os pontos em um plano são representados por um par de números reais, os pontos no espaço também podem ser descritos usando coordenadas, que consistem em um triplo de números reais. Vamos considerar um ponto C no espaço e definir três retas numéricas mutuamente ortogonais no ponto O como mostrado no diagrama. Estas são chamadas de eixo x, eixo y e eixo z, respectivamente, conhecidos coletivamente como os eixos de coordenadas. Além disso, o ponto O é chamado de origem.\nO plano determinado pelo eixo x e eixo y é conhecido como plano xy, o plano determinado pelo eixo y e eixo z é o plano yz, e o plano determinado pelo eixo z e eixo x é o plano zx.\nEm um plano de coordenadas, existem dois eixos, o eixo x (horizontal) e o eixo y (vertical), mas no espaço de coordenadas, é adicionado o eixo z (altura). Esses três eixos juntos são referidos como o plano de coordenadas.'

'Por favor responda (A a C) que se encaixe na tabela a seguir.'

'Ao passar um plano pelos pontos médios de cada aresta do dodecaedro regular e cortar todos os vértices, determine o número de faces f, arestas e e vértices v do poliedro resultante com 21 faces.'

'Para um poliedro convexo com 8 vértices e 6 faces, vamos descobrir quantas arestas ele tem.'

'Calcular o número de faces f, arestas e e vértices v do poliedro convexo formado ao cortar todos os vértices de um octaedro regular com um plano que passa pelos pontos que trissectam cada aresta.'

'Escolha o termo matemático correspondente a um poliedro regular entre os termos matemáticos a seguir.'

'Prove que em uma pirâmide quadrada correta A-BCDE onde todas as arestas têm o mesmo comprimento, quando o ponto médio da aresta AD é denotado como M, a aresta AD é perpendicular ao plano MEC.'

'No prisma pentagonal ABCDE-FGHIJ mostrado no diagrama, responda às seguintes perguntas.'

'Em problemas relacionados com poliedros, utiliza-se o teorema dos poliedros de Euler para esclarecer a relação entre vértices, arestas e faces.'

'A Lei dos Senos é um teorema que expressa a relação entre o seno dos três ângulos internos de um triângulo e os comprimentos dos seus três lados. Para provar este teorema, utiliza-se a lei dos arcos inscritos aprendida no ensino médio.'

'Para um cone circular reto inscrito numa esfera de raio 1, encontre a altura, o raio da base e a área lateral para maximizar.'

'Imagine cortar um tubo de papel enrolado diagonalmente. Como você acha que a borda ficará quando o papel for desenrolado? Aqui, assumimos que o raio da base é 1 e que o ângulo entre a borda cortada e a base é π/4 ( = 45 graus).'

'Na pirâmide O-ABCD, com o comprimento de um lado da base sendo 2a e a altura sendo a. Encontre o seguinte:\n(1) O comprimento da linha perpendicular AE desenhada desde o vértice A até a aresta OB\n(2) Para o ponto E em (1), encontre a medida do ângulo AEC e a área do triângulo AEC'

'Para facilitar o cálculo da área dividindo'

'Quando todos os vértices de um icosaedro regular W com comprimento lateral 1 estão na superfície de uma esfera S, responda às seguintes perguntas. Um icosaedro regular possui todas as faces como triângulos equiláteros congruentes, com cada vértice compartilhado por 5 triângulos.'

'Matemática I'

'(1) Pelo teorema do cosseno'

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'Dado que a altura do prisma triangular é 4, vamos designar o raio da esfera como r, então 0 < r ≤ 2'

'Tetraedro e Esfera'

'Encontre o comprimento de um lado de um tetraedro regular inscrito em uma esfera de raio 1.'

'Existe um cone circular reto com um raio de base de 2 e uma altura de √5. Seja O o vértice deste cone, A e B sejam os extremos do diâmetro da base. Se o ponto médio do segmento OB for P, qual é a distância mais curta de A para P na superfície lateral?'

'Encontrar o valor mínimo de uma linha quebrada em um tetraedro Exemplo 141\nHá um tetraedro ABCD com AB=BC=CA=8, AD=7. Quando cos∠CAD=11/14, encontrar o seguinte:\n(1) O comprimento da aresta CD\n(2) O tamanho de ∠ACD\n(3) Para um ponto E na aresta AC, encontrar o valor mínimo de BE+ED\nFundamentos 121,137'

'Exemplo 127 Problema de Medição (Espacial)\nComo mostrado no diagrama à direita, um poste de utilidades encontra-se perpendicular a um plano que contém os pontos A, B e C. Quando visto dos pontos A e B, o topo do poste D tem ângulos de elevação de 60° e 45° respectivamente. Dada a distância entre A e B de 6m, e ∠ACB = 30°, encontre a altura do poste CD. Assuma que a altura dos olhos não é considerada.'

'Tetraedro e Esfera\nVamos considerar um tetraedro ABCD com comprimento de aresta a.\n(1) Expresse o raio R da esfera circunscrita ao tetraedro em termos de a.\n(2) Expresse o raio r da esfera inscrita no tetraedro em termos de a.'

'Descubra o comprimento da aresta de um tetraedro regular inscrito em uma esfera de raio 1.'

'Há um cone circular reto com um raio de base de 2 e uma altura de √5. Seja O o vértice deste cone, A e B sejam as duas extremidades do diâmetro da base, e P seja o ponto médio do segmento OB. Encontre a menor distância de A para P na superfície lateral.'

'No espaço, um ponto é tipicamente definido por suas coordenadas e sua distância à origem O.'

'Encontre a equação de uma superfície esférica com centro no ponto (a, b, c) e raio r.'

'Encontre as equações das seguintes esferas.'

'Traduzir as coordenadas do centro e do raio em ordem'

'Encontre o número real a e, quando o ponto P se move sobre toda a esfera S,'

'Conforme mostrado no diagrama, deixe S, T, U serem os pontos de interseção do plano z=t (0<t<2/3) com a circunferência do disco D e o segmento de linha CQ.'

'Equação de uma esfera'

'Prática: Dado o plano $\\alpha: x-2 y+2 z+3=0$ e duas esferas $S_{1}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}=5$, $S_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=8$. Encontre o seguinte. (1) A equação de uma esfera que passa pelo origen e inclui a interseção do plano $\\alpha$ e a esfera $S_{1}$ (2) A equação de um plano que contém o círculo $C$ de interseção entre as esferas $S_{1}$ e $S_{2}$, juntamente com as coordenadas do centro $P$ do círculo $C$ e o raio $r$'

'Qual é a forma do triângulo ABC formado pelos três pontos A(4,7,2), B(2,3,-2), C(6,5,-6)?'

'Supondo a>0. Encontre o seguinte para a esfera que passa pelos pontos O(0,0,0), A(0, a, a), B(a, 0, a), C(a, a, 0) com a equação 54.'

'Explique as propriedades de uma parábola e deduza as propriedades de um ponto P na parábola.'

'Dado um hexágono regular ABCDEF com comprimento lateral 1. Quando o ponto P se move na aresta AB e o ponto Q se move na aresta CD independentemente, encontre a área pela qual o ponto R, dividindo o segmento PQ na proporção 2:1, pode passar.'

'(2) Como a esfera é tangente a cada plano de coordenadas e passa pelo ponto (5, -1, 4), o raio é denotado como r, e as coordenadas do centro são (r, -r, r). Portanto, a equação da esfera é'

'Encontre a equação do plano que passa pelo ponto (-1,2,3) e é perpendicular à reta dada por (4)(x-2)=(y+1)(-3)=z-3'

'Seja a equação da esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x-4y+4z=16$ e o plano $\\alpha: 6x-2y+3z=5$ que forma um círculo $C$. Encontre as coordenadas do centro e o raio deste círculo.'

'Equação de uma esfera'

'Encontre as coordenadas dos vértices do prisma retangular OABC-DEFG à direita, exceto o ponto O.'

'No espaço de coordenadas, considere um círculo com um raio de 1 centrado na origem no plano xy. Vamos chamar de S o cone (incluindo o seu interior) com este círculo como a sua base e o ponto (0,0,2) como o seu vértice. Também, considere o ponto A(1,0,2).'

'(2) O ponto B passa através e o plano α é perpendicular ao eixo x. No plano α, com o ponto C(1,0,0) como centro e um raio CB = √(3²+4²) = 5 no círculo, deixe R ser um ponto móvel no círculo. Então, CB = CR, QB = √(QC² + CB²), QR = √(QC² + CR²). Portanto, QB = QR, então, D(1,0,-5), então AQ + QB = AQ + QD ≥ AD. Uma vez que os pontos A, Q e D estão no plano zx, o valor mínimo de AQ + QD ocorre quando Q está na linha AD. Portanto, o valor mínimo de AQ + QB é AD = √((1-2)² + (0-0)² + (-5-3)²) = √65.'

'No cuboide ABCD-EFGH, prove que os pontos médios das arestas FB, BC, CD, DH, HE e EF estão todos no mesmo plano.'

'Considere um triângulo ABC com três vértices A, B, C na curva K: y=1/x. Prove que o ortocentro H do triângulo ABC está na curva K.'

'Encontre o volume da parte no espaço de coordenadas em que a distância até o eixo x, eixo y e eixo z são todos menores ou iguais a 1.'

'No espaço de coordenadas, encontre o volume da parte em que a distância para o eixo x, eixo y e eixo z são todos menores ou iguais a 1.'

'No espaço de coordenadas, encontre o volume da região onde a distância para ambos os eixos x e y é menor ou igual a 1.'

'Encontre a área da região no plano z = t (-1 ≤ t ≤ 1) onde as distâncias ao eixo x e ao eixo y são ambas menores ou iguais a 1.'

'Dadas as coordenadas polares do ponto A como (10,0), e tomando Q como qualquer ponto no círculo C com diâmetro formado pelo segmento de linha que conecta o polo O e o ponto A. Trace uma perpendicular do polo O à tangente do círculo C no ponto Q, sendo as coordenadas polares do ponto P (r,θ), encontre a equação polar de sua trajetória. Aqui, 0 ≤ θ < π.'

'Exemplo 54: Equação de uma Esfera (2)'

'Exercício 1: Prove que a soma 1/OP^2 + 1/OQ^2 é constante ao desenhar duas semirretas perpendiculares a partir do centro O da elipse para os pontos de interseção P e Q.'

"Os pontos O, A', B' estão no plano xy, portanto, a figura formada pela interseção da superfície esférica S e do plano xy é um círculo que passa por O, A', B'."

'Equação de uma esfera - uma esfera de raio r centrada no ponto (a, b, c) (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}'

'Seja \\( \\mathrm{A}(0,2,0) \\) um ponto e \\( \\vec{d}=(1,1,-2) \\) paralelo à reta \ \\ell \.\n(1) Encontre as coordenadas do ponto de interseção da reta \ \\ell \ e o plano \ 2x-3y+z=0 \.\n(2) Encontre o comprimento do segmento cortado pela reta \ \\ell \ na esfera \\( (x-4)^{2}+(y-2)^{2}+(z+4)^{2}=14 \\).'

"(2) Quando t varia sobre todos os números reais, a reta determinada pelo ponto (t+2, t+2, t) no espaço xyz é denotada por l. Dado que a esfera S com centro em C(a, b, c) passa pelos pontos O(0,0,0), A'(2,1,0), B'(1,2,0) e compartilha um ponto com a reta l, encontre as condições para a, b, c. [Universidade de Hokkaido]"

'No espaço, o conjunto de pontos que estão a uma distância constante r de um ponto fixo C é chamado de esfera com centro C e raio r.'

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'Em um tetraedro $ABCD$, seja $G_A$, $G_B$, $G_C$, $G_D$ os centróides dos triângulos $BCD$, $ACD$, $ABD$, $ABC$ respectivamente. Prove que os pontos em que os segmentos $AG_A$, $BG_B$, $CG_C$, $DG_D$ dividem na razão $3:1$ coincidem.'

'Existem quatro pontos A(4,0,0), B(0,8,0), C(0,0,4), D(0,0,2).'

'Encontre as coordenadas dos pontos de interseção da reta que passa pelos pontos A(3,1,-1) e B(-2,-3,2) com o plano xy, plano yz e plano zx.'

'(2) O plano ax + (9-a)y - 18z + 45 = 0 toca uma superfície esférica centrada em (3, 2, 1) com raio √5. Encontre o valor da constante a.'

'Dado que o centro é (1, -3, 2) e a esfera passando pelo origem intersecta-se com o plano z=k para formar um círculo com raio de √5. Encontre o valor de k.'

'Aprendeu sobre vetores no plano, agora está a aprender os conceitos básicos de vetores no espaço e a compreender as equações das formas (linhas, esferas, etc.) nas coordenadas espaciais.'

'Encontre a equação da seguinte esfera.'

'Seja \\( \\mathrm{A}(0,3,0), \\mathrm{B}(0,-3,0) \\) os extremos de um diâmetro de uma superfície esférica \ S \ no espaço de coordenadas. Quando o ponto \\( \\mathrm{P}(x, y, z) \\) se move sobre a superfície \ S \, encontre o valor máximo de \ 3x+4y+5z \. Além disso, determine as coordenadas de P nesse ponto.'

'Para os pontos A(2,-1,3), B(5,2,3), C(2,2,0), prove que: (1) O triângulo com vértices A, B, C é um triângulo equilátero. (2) Se os três vértices de um tetraedro regular são A, B, C, encontre as coordenadas do quarto vértice D.'

'Encontre as coordenadas dos pontos de interseção entre a reta que passa pelos pontos A(2,4,0) e B(0,-5,6) e a esfera com centro em (0,2,0) e raio 2.'

'Dado que o centro da esfera é (1, -2, 3a) e o raio é √13, quando esta esfera intersecta o plano xy, ela forma um círculo com raio 2. Encontre o valor de a. Além disso, determine as coordenadas do centro deste círculo.'

'(1) Encontre as equações das formas formadas pela interseção de uma esfera com centro (-1,3,2) e raio 5 com o plano xy, o plano yz e o plano zx.'

'No pentágono regular ABCDE com lado de comprimento de 1, seja AB o vetor b e AE o vetor e.'

'No plano complexo, vamos considerar os pontos A e B como -1+2i e 3+i, respectivamente. Se AB for um lado de um quadrado, encontre os números complexos que representam os vértices C e D do quadrado ABCD.'

'Considere os 3 pontos O(0,0,0), A(2,0,1), B(0,1,2). Suponha que o ponto P(x,y,z) se mova de forma que |PO|=|PA|=|PB|.'

'(2) A esfera com centro (1,-2,3a) e raio sqrt(13) intersecta o plano xy para formar um círculo com raio 2. Encontre o valor de a. Além disso, encontre as coordenadas do centro deste círculo.'

''

'Para os pontos A(2,-1,3), B(5,2,3), C(2,2,0): (1) Prove que o triângulo ABC é equilátero. (2) Se A, B e C são os três vértices de um tetraedro regular, encontre as coordenadas do quarto vértice D.'

'Considerando a>0. Encontre o seguinte para a esfera que passa pelos pontos O(0,0,0), A(0,a,a), B(a,0,a), C(a,a,0): (1) Coordenadas do centro e raio (2) Equação da interseção com o plano zx'

'Dado que uma esfera com centro (2, -3, 4) e raio r intersecta o plano xy para formar um círculo com raio 3. Determine o valor de r.'

'Em seguida, considere um octaedro regular e uma esfera tangente a todas as suas faces, e imagine uma seção transversal cortada por um plano contendo os pontos de contato, como mostrado no diagrama à direita [2]. Se o raio da esfera for r, então a área do triângulo retângulo na parte da malha é'

'Explique como encontrar a altura de um tetraedro.'

'Supondo a existência de um cubo conforme mostrado na figura à direita, o caminho de A para D é uma permutação de 3 para a direita, 2 para cima e 1 para cima,'

'Prove o seguinte para o tetraedro ABCD:\n1. Seja M o ponto médio da aresta AB.\n(A) A aresta AB é perpendicular ao plano CDM.\n(T) A aresta AB é perpendicular à aresta CD.\n2. Sejam P, Q, R, S os pontos médios das arestas BC, AC, AD e BD, respectivamente, então o quadrilátero PQRS é um quadrado.'

'Determine o número de faces f, arestas e e vértices v do poliedro formado cortando todos os vértices de um icosaedro regular com um plano que passa pelos pontos médios de cada aresta.'

'Calcule o número mínimo de cores necessárias para um hexaedro regular.'

'Por favor, calcule a distância mais curta no diagrama desdobrado.'

'Provar: A é o pé da perpendicular do tetraedro.'

'Encontre o número de faces f, arestas e, e vértices v do poliedro formado ao cortar todos os cantos através de um plano que passa pelos pontos médios de cada aresta de um dodecaedro regular.'

'Pelo teorema secante inverso, DA é uma tangente ao círculo que passa pelos pontos A, E e F.'

'Considere o tetraedro ABCD no espaço. Prove que existe uma superfície esférica que passa por todos os 4 vértices A, B, C, D.'

'Quer-se colorir cada face de um cubo de forma que as faces vizinhas tenham cores diferentes. No entanto, rotações do cubo que resultam na mesma coloração são consideradas iguais.'

Encontre a equação da esfera com centro na origem e raio r.

Seja a um número real. No espaço xyz, considere os quatro pontos A(0, a, 4), B(-2, 0, 3), C(1, 0, 2) e D(0, 2, 3), e coloque uma fonte de luz no ponto P(1, 0, 6). (1) As coordenadas da sombra do ponto A no plano xy criada pela fonte de luz são (アイ, ウ a, 0). (2) A sombra do triângulo BCD no plano xy criada pela fonte de luz também é um triângulo. As coordenadas dos vértices desse triângulo são 力 > ク.

15 (2) \( (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=1 \), \( (x-3)^{2}+(y-3)^{2}+(z-3)^{2}=9 \)

Interseção de uma esfera com planos A interseção da esfera \( (x+1)^{2}+(y-4)^{2}+(z-2)^{2}=3^{2} \) com os seguintes planos é um círculo. Encontre as coordenadas do seu centro e raio. (1) plano $x y$ (2) plano $y z$ (3) plano $y=4$

Uma esfera centrada na origem com raio r $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$

(1) Encontre as coordenadas do centro e o raio da esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x-4 y-2 z+5=0$. (2) Encontre a equação da esfera que passa pelos pontos \( (2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,2) \).

Encontre a equação de uma esfera centrada no ponto (a, b, c) com raio r \(\ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}\)

Equação da esfera Encontre as equações das seguintes esferas. (1) Uma esfera centrada no ponto \( (3,-2,1) \) com raio 2 (2) Uma esfera centrada na origem que passa pelo ponto \( (2,1,-3) \) (3) Uma esfera com extremidades do diâmetro nos pontos \( \mathrm{A}(5,3,-2) \) e \( \mathrm{B}(-1,3,2) \)

A interseção da esfera \( (x-2)^{2}+(y+3)^{2}+(z-5)^{2}=10 \) com os seguintes planos é um círculo. Encontre as coordenadas do centro e o raio do círculo. (1) plano yz (2) plano zx (3) plano $z=3$

Equação de uma esfera (forma geral)

Encontre as equações das esferas da seguinte maneira. (1) Uma esfera centrada na origem com raio $2 \sqrt{2}$ (2) Uma esfera centrada no ponto A(6,5,-3) que passa pelo ponto B(2,4,-3) (3) Uma esfera com extremidades A(-1,4,9) e B(7,0,1) do seu diâmetro

Equação de uma esfera no espaço de coordenadas

Encontre a equação da esfera como segue.

Formas nos espaços de coordenadas: Interseção de uma esfera e um plano

Solte uma perpendicular $\mathrm{OH}$ da origem $\mathrm{O}$ até o plano $\mathrm{ABC}$ determinado pelos três pontos \( \mathrm{A}(2,0,0), \mathrm{B}(0,1,0), \mathrm{C}(0,0,-2) \). Encontre as coordenadas do ponto $\mathrm{H}$ e o comprimento do segmento $\mathrm{OH}$.