Geometria Plana - Semelhança e Congruência

'No triângulo ABC, onde 43AB=6, AC=4 e cosB=3/4, responda às seguintes perguntas: (1) Encontre o comprimento do lado BC. (2) Quando o ângulo C é agudo, encontre a área do triângulo ABC. (3) Para o triângulo ABC da questão (2), determine os raios de sua circunferência e círculo inscrito.'

'Ilustre as regiões representadas pelas seguintes desigualdades.'

'Seja o raio do círculo inscrito r, o raio do círculo circunscrito R, e h=r/R. Além disso, ∠A=2α, ∠B=2β, ∠C=2γ.'

'Pontos de Divisão Interna e Externa\nEncontre as coordenadas dos pontos que dividem interna e externamente o segmento de linha AB na proporção de m para n.\nPonto de divisão interna $\\left(\\frac{n x_{1}+m x_{2}}{m+n}, \\frac{n y_{1}+m y_{2}}{m+n}\\right)$\nPonto de divisão externa $\\left(\\frac{-n x_{1}+m x_{2}}{m-n}, \\frac{-n y_{1}+m y_{2}}{m-n}\\right)$'

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'Prática (1) Quando o triângulo PAB com os pontos A(0, -2), B(0, 6) e o ponto P como vértices se move de forma que AP:BP=1:3, encontre a trajetória do ponto P.'

'Compreender as coordenadas dos pontos de divisão interna e externa entre dois pontos.'

'Ao reduzir a figura A para 1/4, obtém-se uma figura semelhante, que quando colocada em (1) a (3) da figura A, resulta na figura B. Em seguida, ao reduzir a figura B para 1/4, obtém-se uma figura semelhante, que ao ser colocada novamente em (1) a (3) da figura A, resulta em uma forma auto-similar. Aplique essa forma auto-similar ao padrão do triângulo de Pascal.'

'Encontre o ângulo agudo formado pelas duas retas y=5x(1) e y=\\frac{2}{3}x(2).'

'Converta os seguintes ângulos de graus para radianos e de radianos para graus.'

'TR 132\nEncontre o ângulo formado pelas linhas 2 \ y=-\\frac{2}{5} x \ (1) e \ y=\\frac{3}{7}x \ (2).\nPressupondo que o ângulo formado pelas duas linhas é agudo.\nDeixe que o ângulo formado pelas linhas (1) e (2) com a direção positiva do eixo \ x \ seja denotado por \ \\alpha, \eta \'

'Encontre a trajetória de um ponto P equidistante dos pontos A(-1,-2) e B(-3,2).'

'DAR um passo em frente'

'Utilize a fórmula de adição para encontrar os valores de sin 75° e tan 15°. Como 75° não é um ângulo padrão no transferidor, não pode ser calculado diretamente usando as definições trigonométricas. Ao expressar 75° em termos da soma ou diferença de ângulos como 30°, 45°, 60°, etc., você pode usar a fórmula de adição para determinar as funções trigonométricas de 75°.'

'As duas linhas a seguir são paralelas ou perpendiculares?'

'(1) A coordenada x dos pontos de interseção das parábolas P₁ e P₂ é dada pela equação x² - 2tx + 2t = -x² + 2x, que simplifica para x² - (t+1)x + t = 0. Resolvendo isso, obtemos (x-1)(x-t) = 0, o que leva a x=1, t. Quando 0<t<1, S é a área da região vermelha no diagrama, dada por'

'Condição para duas retas serem perpendiculares\nPara duas retas y=m_{1} x+n_{1} e y=m_{2} x+n_{2}, as retas são perpendiculares quando o produto de suas inclinações é -1.'

'Quando o tamanho de um ângulo representado por um raio é especificado, a posição do raio é determinada, mas, inversamente, mesmo que a posição do raio seja determinada, há inúmeros ângulos que ele pode representar, não apenas um. Isso ocorre porque o raio retorna à sua posição original após uma rotação completa.\\n\\nO ângulo formado pelo raio OP e a linha inicial OX é denotado por $\\alpha$, então o ângulo representado pelo raio OP é $\\quad \\alpha+360^{\\circ} \\times n \\quad (n$ é um inteiro $) \\) \\( \\cdots,-300^{\\circ}, 60^{\\circ}, 60^{\\circ}+360^{\\circ}=420^{\\circ}, \\cdots$ que é o mesmo para raios'

'O ponto de divisão e o ponto de divisão externo m, n são números positivos. Quando um ponto P no segmento de linha AB satisfaz AP: PB = m: n, diz-se que o ponto P divide o segmento de linha AB na proporção m: n, e o ponto P é chamado de ponto interno do segmento de linha AB. Além disso, quando um ponto Q na extensão do segmento de linha AB satisfaz AQ: QB = m: n (m≠n), diz-se que o ponto Q divide o segmento de linha AB na proporção m: n, e o ponto Q é chamado de ponto externo do segmento de linha AB. Geralmente, o seguinte é válido:\nDivisão interna\nDivisão externa quando m>n'

'Encontre a trajetória do ponto P de modo que a razão de suas distâncias dos pontos O(0,0) e A(3,6) seja 1:2.'

'Encontre as coordenadas dos seguintes pontos.'

'Minha casa está mais perto da casa do Sr. A.'

'Escolha uma camada dos pontos A a F no ponto Y que seja igual à camada e no ponto X na Figura 2, e forneça o símbolo.'

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'A área sombreada do triângulo na figura à direita (4) é denominada de K. Supondo que a área do quadrilátero ABCD seja 1, a área do retângulo BCQP também é 1, então a área do retângulo RPQS também é 1. A área do triângulo RPQ é 1/2. Além disso, os triângulos RBU e QSU são semelhantes, com uma razão de semelhança de RB: QS = 2:1, logo RU: UQ = 2:1. Adicionalmente, os triângulos PBT e QST são congruentes, então sabe-se que PT = TQ. Portanto, K é 1/2 vezes a área do triângulo RPQ, que é 1/6 vezes, logo K = 1/2 * 1/6 = 1/12. Logo, a área do quadrilátero ABCD é 12 vezes K.'

'4 Figuras Planas - Proporções de Lados e Áreas (1) Como mostrado no diagrama à direita, marque o centro do círculo como O e una O com os pontos E, F, G e H na circunferência. Além disso, uma vez que o triângulo ABD é equilátero, os ângulos marcados com símbolos são de 60 graus, e os ângulos marcados com • são de 60 ÷ 2 = 30 graus. Assim, todos os triângulos retângulos com ○ e são a metade de triângulos equiláteros. Portanto, focando no triângulo ODH, HD:OD = 1:2, e focando no triângulo AOD, OD:AD = 1:2, então se o comprimento de HD for considerado como 1, o comprimento de OD é 1 × 2/1 = 2 e o comprimento de AD é 2 × 2/1 = 4. Logo, AH:HD = (4-1):1 = 3:1.'

'Responda às seguintes perguntas.'

'Problema sobre medição de comprimento e precisão (1) A escala divide 39 mm em 20 partes iguais e tem a linha graduada mais fina desenhada nela, então o intervalo de uma graduação é de 39 ÷ 20 = 1,95 (mm).'

'Na Figura 10, a distância entre XY é de 65-30=35 (incrementos) como medido pelo micrômetro do ocular, e são 50 incrementos como medidos pelo micrômetro do objetivo. Um incremento no micrômetro do objetivo é de 10 micrômetros, então com 50 incrementos, ele se torna 10 x 50 = 500 micrômetros. Portanto, o comprimento visível para cada incremento no micrômetro do ocular é de 500 ÷ 35 = 14.28..., que é igual a 14,3 micrômetros.'

'Em relação à parte sublinhada na linha 4, as frases A a C descrevem qual dos montes Rausudake, Iwakisan ou Choukaisan. Escolha a combinação correta de frase e montanha nas opções seguintes e responda com o número correspondente.'

'Ao investigar esta terra, descobriu-se que o comprimento de AC é de 15 metros, o comprimento de BC é de 18 metros e o tamanho do ângulo B é exatamente o dobro do tamanho do ângulo C. Neste caso, a que distância está T de B?'

'Ao cortar este sólido com um plano que passa pelos pontos P, Q e F, o plano intersectou a aresta AE no ponto R.'

'A seguir, desenhe uma linha perpendicular à linha que une o centro O e o ponto B, passando pelo ponto B. O ponto onde as duas linhas se cruzam é o ponto C. Como os comprimentos de CA e CB são sempre iguais, um círculo pode ser desenhado com o ponto C como centro e passando pelos pontos A e B. O arco deste círculo é o caminho percorrido pelo alienígena Poan.'

'Considerando a mesma abordagem do (2)(1), temos OI:ID=3:1, o que significa que se a área do triângulo HID for tomada como 1, então a área do triângulo HOI é 1 × 3/1 = 3. Portanto, a área do quadrilátero EFGH é 3 × 8 = 24. Além disso, a área do triângulo HOD é 1 + 3 = 4, então a área do triângulo AOH é 4 × 3/1 = 12, e a área do triângulo AOD é 4 + 12 = 16. Logo, a área do quadrilátero ABCD é 16 × 4 = 64, e a proporção das áreas do quadrilátero EFGH para o quadrilátero ABCD é 24:64 = 3:8.'

'(2) Se o triângulo CDB for congruente ao triângulo FDE na figura acima (3), encontre a medida do ângulo FED.'

'A área do triângulo AFC é igual à área do triângulo AEC. Além disso, quando ambos os triângulos são adicionados ao triângulo ADC, as áreas dos triângulos CDF e AED também são iguais. Portanto, a área do triângulo AED é 3 × 1 ÷ 2 = 1,5 (cm^2), então a área do triângulo CDF também é de 1,5 cm^2 e a área do quadrado com CD como um lado é o dobro da área do triângulo CDF, que é 1,5 × 2 = 3 (cm^2).'

'Sobre dois micrômetros, escolha uma das opções para a visibilidade quando a ampliação da lente ocular é aumentada de 10x para 40x, e forneça o símbolo.'

'No triângulo ABC, o ângulo B é reto e no triângulo ACD, o ângulo C também é reto, e os ângulos marcados com pontos são iguais. O ponto E é a interseção das extensões dos lados BC e AD. O comprimento do lado AB é de 2 cm e o comprimento do lado BC é de 1 cm. (2) Qual é o comprimento de CE em cm?'

'(1) À medida que o valor da distância aumenta na Figura 2, o valor da iluminância diminui. Em outras palavras, à medida que a distância entre a lâmpada e o medidor de iluminância aumenta, a iluminância diminui.'

'Na figura (2), Mark se move ao longo da circunferência com X como centro inicialmente, enquanto Harry se move ao longo da circunferência com Y como centro. Na figura (2), o triângulo OFX e o triângulo YOX são ambos triângulos que são a metade de um triângulo equilátero, então se estabelecermos XF=1, então OX=1×2=2, e XY=2×2=4. Portanto, a razão dos raios das circunferências que Mark e Harry se movem é XF:YF=1:(4-1)=1:3. Em seguida, o ângulo central da parte em que Mark se move é de 120 graus, e há um total de 6 dessas partes. Além disso, o ângulo central da parte em que Harry se move é de 60 graus, e há um total de 3 dessas partes. Portanto, a razão das distâncias que Mark e Harry percorrem é {1×2×π×120/360×6}:{3×2×π×60/360×3}=4:3, então podemos determinar que a velocidade de Mark é 4/3=1 1/3 vezes a velocidade de Harry.'

'Em outro método de resolução, na figura 4, os triângulos DBG e DCG são congruentes, sendo o ângulo BDG θ e o ângulo CDG φ, então θ + φ = 90 graus, de modo que a soma de 2θ e 2φ seja 180 graus. Portanto, o tamanho do ângulo ADB é 2θ. Além disso, ao tomar o ponto H em BD de modo que AD = AH, os triângulos ATH e ATD são congruentes, o que implica que o tamanho do ângulo AHT também é 2θ. Consequentemente, a partir dos ângulos exteriores do triângulo ABH, descobrimos que o tamanho do ângulo HAB é θ, como mostrado na figura 5. Na figura 5, AC tem um comprimento de 15 metros, e os comprimentos de DB e DC são iguais, fazendo com que o comprimento do segmento de linha em negrito seja de 15 metros. Além disso, dado que AD = BH e DT = HT, o comprimento de BT é metade do comprimento do segmento de linha em negrito, ou seja, 15 ÷ 2 = 7,5 metros. Vale ressaltar que o comprimento de BT é independente do comprimento de BC.'

'Uma vez que o triângulo ADC e o triângulo CDB são semelhantes, CD=cm, o que pode ser expresso como 1:=:3. Além disso, quando P:Q=R:S, Q × R=P × S, então × =1 × 3=3. Portanto, a área do quadrado com CD como um lado também pode ser calculada como 3 cm^2.'

'Determine o valor de p, para que os dois vetores m=(1, p) e n=(p+3, 4) se tornem paralelos.'

'Prove: No triângulo ABC, se os lados BC, CA e AB forem divididos internamente pelos pontos P, Q e R na proporção m:n (m>0, n>0), e se 24R, então os baricentros dos triângulos ABC e PQR coincidem.'

'Indique as condições para que o segmento de reta AB e CD sejam paralelos, bem como as condições para que sejam perpendiculares, para diferentes pontos A (α), B(β), C (γ), D (δ).'

'Para o intervalo de existência do ponto P no triângulo OAB no plano, se OP = sOA + tOB, então o intervalo de existência do ponto P é o seguinte: (1) Linha AB se e somente se s + t = 1; em particular, segmento de linha AB se e somente se s + t = 1, s ≥ 0, t ≥ 0. (2) O perímetro e o interior do triângulo OAB se e somente se 0 ≤ s + t ≤ 1, s ≥ 0, t ≥ 0. (3) O perímetro e o interior do paralelogramo OACB se e somente se 0 ≤ s ≤ 1 e 0 ≤ t ≤ 1.'

'No plano xy, considere os pontos \\( \\mathrm{F}_1(a, a), \\mathrm{F}_2(-a,-a) \\) e seja \ \\mathrm{P} \ um ponto cujo produto de distâncias desses pontos é um valor constante de \ 2 a^2 \. Denomine a trajetória do ponto \ \\mathrm{P} \ como \ C \. É dado que \ a>0 \.\n(1) Encontre a equação de \ C \ em termos das coordenadas cartesianas \\( (x, y) \\).\n(2) Encontre a equação polar de \ C \ com a origem como polo e o eixo x positivo como a linha inicial, em coordenadas polares \\( (r, \\theta) \\).\n(3) Prove que a porção de \ C \ excluindo a origem encontra-se no intervalo combinado do primeiro e terceiro quadrante no plano.'

'Converta coordenadas cartesianas (x, y) em coordenadas polares (r, θ).'

'Num exercício prático, 3 pontos A, B, C estão localizados em um círculo com centro O e raio 1, de modo que (3) 3213OA + 12OB + 5OC = 0. Seja o ângulo AOB α e o ângulo AOC β. Determine: (1) Prove que OB é perpendicular a OC. (2) Encontre o coseno de α e o coseno de β.'

'Em um triângulo equilátero ABC com lado a, seja P₁ o pé da perpendicular do vértice A ao lado BC. Seja Q₁ o pé da perpendicular de P₁ ao lado AB; R₁ o pé da perpendicular de Q₁ ao lado CA; e P₂ o pé da perpendicular de R₁ ao lado BC. Ao repetir esse processo, os pontos P₁, P₂, ..., Pn, ... estarão localizados no lado BC. Determine a posição limite do ponto Pn. O ângulo é basicamente 26°.'

'(4) Ortocentro (no caso de um triângulo agudo \ \\triangle \\mathrm{ABC} \) o ponto de interseção de três altitudes \\( \\mathrm{H}(\\vec{h}) \\)\nSejam \ \\mathrm{D}, \\mathrm{E} \ os pontos de interseção da linha \ \\mathrm{AH} \ com o lado \ \\mathrm{BC} \ e da linha \ \\mathrm{CH} \ com o lado \ \\mathrm{AB} \ respectivamente, então \ \\mathrm{BD}=\\frac{\\mathrm{AD}}{\\tan B}, \\mathrm{DC}=\\frac{\\mathrm{AD}}{\\tan C} \ resulta em\n\\\mathrm{BD}: \\mathrm{DC}=\\tan C: \\tan B\\nDa mesma forma, \ \\mathrm{AE}: \\mathrm{EB}=\\tan B: \\tan A \\nPortanto, a partir de (*) obtemos \ \\triangle \\mathrm{BCH}: \\triangle \\mathrm{CAH}: \\triangle \\mathrm{ABH}=\\tan A: \\tan B: \\tan C \\nAssim, de \\left( ** \\) temos que \\( \\quad \\vec{h}=\\frac{(\\tan A) \\vec{a}+(\\tan B) \\vec{b}+(\\tan C) \\vec{c}}{\\tan A+\\tan B+\\tan C} \\)'

'Encontre as equações polares do círculo e da linha a seguir em coordenadas polares. Assuma que a>0.'

'Seja s diferente de 0. Para 3 pontos distintos O(0,0), P(s, t), Q(s+6t, s+2t), onde os pontos P, Q estão no mesmo quadrante e OP // OQ, seja α o ângulo entre a reta OP e a direção positiva do eixo x. Encontre o valor de tan α.'

'Problema 107: Aplicações da trigonometria\nPara medir a altura de um edifício, foi medido o ângulo de elevação para o ponto P mais alto do edifício a partir de um ponto a 10 metros de distância e a uma altura de 1,5 metros, resultando em 65 graus.\nUsando a tabela trigonométrica no final do livro, responda às seguintes perguntas:\n(1) Determine a altura deste edifício. Arredonde para o metro mais próximo.\n(2) A partir de um ponto a 15 metros do edifício, determine o ângulo de elevação para o ponto P, seguindo o mesmo procedimento.'

'No triângulo ABC, ∠C=90°, AB:AC=5:4. Na extensão do lado BC além do ponto C, tome CD=376. Seja E o ponto médio do lado AB e seja BF a perpendicular traçada do ponto B à linha AD. Responda às seguintes perguntas: (1) Prove que EF=EC. (2) Encontre a razão das áreas do triângulo ABC para o triângulo CEF.'

'Provar que em um triângulo não equilátero ABC, quando O é o circuncentro, G é o baricentro e H é o ortocentro, G está sobre o segmento OH e OG:GH=1:2.'

'Usando a regra do seno e a regra do cosseno: Encontre os lados e ângulos do triângulo.'

'Exemplo Básico 131 Área de um Triângulo'

'Ângulo circunferencial: O tamanho do ângulo circunferencial para um arco é constante, metade do tamanho do ângulo central para esse arco.'

'Há uma piscina circular em um parque próximo. Um dia, eu e meu amigo decidimos medir a área desta piscina, então saímos com uma fita métrica e giz. Marcamos os pontos A, B e C em três lugares na borda da piscina. Quando medimos as distâncias horizontais AB, BC, CA, elas foram 9m, 6m, 12m respectivamente. 1. Encontre o seno, coseno e tangente do ângulo ABC. 2. Encontre a área desta piscina.'

'Seja θ um ângulo agudo. Quando um dos sin θ, cos θ, tan θ assume um valor específico, encontre os valores dos outros 2 rácios trigonométricos em cada caso.'

'Em ABC, onde AB = 3, AC = 2 e ∠BAC = 60°, seja D o ponto de interseção entre o bissetor do ângulo A e BC. Encontre o comprimento do segmento AD.'

'Matemática I'

'Prove que no triângulo ABC, quando os tamanhos dos ângulos A, B, C são representados respectivamente por A, B, C, a equação cos((A+B)/2) = sin(C/2) é verdadeira.'

'Teorema de Ceva\nQuando uma linha conectando os 3 vértices A, B e C do triângulo ABC ou pontos em ou estendidos a partir dos lados BC, CA, AB se intersecta com os lados ou suas extensões, e os pontos de interseção são P, Q, R, então\n\ \\frac{BP}{PC} \\cdot \\frac{CQ}{QA} \\cdot \\frac{AR}{RB} = 1 \'

'No triângulo ABC, senA:senB:senC=5:7:8. Portanto, cosC é (preencha o espaço em branco). Além disso, se o comprimento do lado BC for 1, a área do triângulo ABC é (preencha o espaço em branco).'

'365'

'Relação entre os lados e ângulos de um triângulo\nTeorema\n14\n1. Em um triângulo\n 1. Em um triângulo, o ângulo oposto ao lado maior é maior do que o ângulo oposto ao lado menor.\n 2. Em um triângulo, o lado oposto ao ângulo maior é maior do que o lado oposto ao ângulo menor.\nOu seja, \ \\mathrm{AB}<\\mathrm{AC} \\Leftrightarrow \\angle \\mathrm{C}<\\angle \\mathrm{B} \'

"Quando os círculos O e O' com raios 5 e 8 respectivamente são tangentes externamente no ponto A, e a linha tangente externa comum desses dois círculos intersecta os círculos O e O' nos pontos B e C, respecivamente, sendo a interseção da extensão de BA e do círculo O' o ponto D. Provar: (1) AB é perpendicular a AC. (2) Provar que os pontos C, O', D são colineares. (3) Encontrar a razão de AB:AC:BC."

'No triângulo ABC, seja R o raio da circunferência circunscrita. Se A=30°, B=105°, a=5, encontre os valores de R e c.'

'Número de retângulos (incluindo quadrados) formados pela interseção de 7 linhas x=k(k=0,1,2,⋯6) e 5 linhas y=l(l=0,1,2,3,4) no plano de coordenadas. Além disso, número de retângulos com área de 4.'

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'Exemplo básico 70 Proporção entre áreas do centróide e triângulo'

'Lei dos cossenos'

'Exemplo 124 Ângulo máximo de um triângulo Num triângulo ABC, encontre a medida do maior ângulo deste triângulo sob as seguintes condições. (1) a/13=b/8=c/7 (2) sinA: sinB: sinC=1: √2: √5'

'Usando a regra do seno, encontre os comprimentos dos outros lados do triângulo a seguir: A é de 45° e o comprimento do lado oposto a é 2.'

'Existe uma peça de origami em forma de triângulo equilátero ABC com um lado de 10 cm. Pontos D no lado AB e E no lado AC são escolhidos de forma que o segmento DE seja paralelo ao lado BC. Ao dobrar o papel ao longo do segmento DE, seja S a área da sobreposição entre o triângulo ADE e o quadrilátero BCED. O valor máximo de S ocorre quando o comprimento do segmento DE é x cm, e neste ponto, S = y cm².'

'Traduza o texto dado para vários idiomas.'

'(2) No triângulo ABC, onde AB=4, BC=3 e CA=2, deixe D e E serem os pontos onde o ângulo A e seus bissetores do ângulo exterior intersectam a linha BC. Determine o comprimento do segmento DE.'

'Dentro do ângulo agudo PR XOY, 2 pontos A e B são fornecidos conforme mostrado na figura à direita. Nas semirretas 480 X e OY, pontos P e Q são tomados respectivamente para minimizar AP + PQ + QB, onde os pontos P e Q devem ser colocados respectivamente?'

'No triângulo ABC à direita, G é o baricentro do triângulo ABC, e o segmento GD é paralelo ao lado BC. Encontre a proporção das áreas dos triângulos DBC e ABC.'

'Comprimento do bissetor de um ângulo em um triângulo'

'No triângulo ABC, pelo teorema do cosseno\n\n\\[\n\egin{array}{l} \\cos \\angle \\mathrm{ACB}=\\frac{(\\sqrt{3}+1)^{2}+(\\sqrt{6})^{2}-2^{2}}{2(\\sqrt{3}+1) \\cdot \\sqrt{6}} \\\\\n=\\frac{2 \\sqrt{3}+6}{2 \\sqrt{6}(\\sqrt{3}+1)} \\\\\n=\\frac{2 \\sqrt{3}(1+\\sqrt{3})}{2 \\sqrt{6}(\\sqrt{3}+1)} \\\\\n=\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\\n\\text { Portanto } \\quad \\angle \\mathrm{ACB}=45^{\\circ} \\\\\n\\text { Logo } \\quad \\angle \\mathrm{ACD}=75^{\\circ}-45^{\\circ}=30^{\\circ} \\\\n\\text { Assim }\n\\end{array}\n\\]\n'

'A partir das condições dadas, ao determinar os outros três elementos de um triângulo, os métodos para usar os teoremas com base nas condições são os seguintes: 1. 1 lado e seus ângulos adjacentes (obter b, c, A a partir das condições de a, B, C) A = 180° - (B + C); Teorema do seno: a / sinA = b / sinB = c / sinC; 2. 2 lados e o ângulo incluso (obter a, B, C a partir das condições de b, c, A) Teorema do cosseno a² = b² + c² - 2bc cosA para encontrar a; Teorema do cosseno cosB = (c² + a² - b²) / (2ca) para encontrar B; C = 180° - (A+B); 3. 3 lados (obter A, B, C a partir das condições de a, b, c) Teorema do cosseno cosA = (b² + c² - a²) / (2bc) para encontrar A; Teorema do cosseno cosB = (c² + a² - b²) / (2ca) para encontrar B; C = 180° - (A + B).'

'No triângulo ABC, quando sin A: sin B: sin C = 5: 16: 19, encontre a medida do maior ângulo neste triângulo.'

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'Prove o seguinte num triângulo ABC com um ângulo agudo (AB > AC) com o bissetor do ângulo A AD, mediana AM, perpendicular AH:'

'Há um quadrilátero ABCD inscrito em um círculo. Se AB=8, BC=3, BD=7, e AD=5, encontre o comprimento de A e do lado CD. Além disso, encontre a área S do quadrilátero ABCD.'

'No triângulo ABC, se C é 45 graus, b é a raiz quadrada de 3, e c é a raiz quadrada de 2, encontre A, B e a.'

'(3) Como $\\mathrm{EQ} / / \\mathrm{BD}$, temos que $\\mathrm{EQ}: \\mathrm{BD} = \\mathrm{AE}: \\mathrm{AB} = 1:(1+k)$, portanto $\\mathrm{EQ} = \\frac{\\mathrm{BD}}{1+k}$. Além disso, $\\mathrm{QF} / / \\mathrm{DC}$, então $\\mathrm{QF}: \\mathrm{DC} = \\mathrm{AF}: \\mathrm{AC} = 1:(1+k)$, assim $\\mathrm{QF} = \\frac{\\mathrm{DC}}{1+k}$. Logo, $\\frac{\\mathrm{EQ}}{\\mathrm{QF}} = \\frac{\\mathrm{BD}}{\\mathrm{DC}} = 1$.'

'O quadrilátero ABCD está circunscrito ao círculo O. Vamos considerar os pontos de interseção dos lados AB, BC, CD, DA com o círculo O respectivamente como P, Q, R, S, e vamos considerar as medidas dos segmentos de linha AP, BQ, CR, DS como a, b, c, d. Quando nenhum dos três raios AC, PQ, RS são paralelos entre si:\n(1) Supondo que o ponto de interseção de AC e PQ é X, prove que AX: XC = a: c.\n(2) Supondo que o ponto de interseção de AC e RS é Y, prove que AY: YC = AX: XC.'

'Descreva as propriedades do triângulo A: a^2 = 64, b^2 + c^2 = 61'

'Num triângulo isósceles, os dois ângulos da base são iguais. Além disso, o bissetor do ângulo do vértice de um triângulo isósceles bissecta a base perpendicularmente. Usando essa informação, resolva o seguinte problema: No triângulo isósceles ABC, se o ângulo do vértice ∠A = 100 graus, qual é a medida do ângulo da base ∠B?'

'No triângulo ABC, um ponto O dentro do triângulo está conectado aos três vértices, intersecando os lados BC, CA e AB nos pontos D, E, F, e a extensão de FE passa pelo ponto E para intersecar com a extensão do lado BC no ponto G.'

'Problema 381. Comparação de perímetro de um triângulo'

'No triângulo ABC, cada lado é tangente a um círculo nos pontos P, Q, R conforme mostrado na figura abaixo. Encontre os comprimentos do segmento AQ e BC.'

'Exemplo básico 133: Comprimento do bissectriz do ângulo em um triângulo (2)'

'Inverso do Teorema de Ceva'

'No triângulo ABC, se o ponto P divide o lado BC na razão m:n, o ponto Q divide o lado CA na razão l:m, e o ponto R divide o lado AB na razão n:l, então as retas AP, BQ e CR se intersectam em um ponto. Prove isso usando a versão reversa do teorema de Ceva.'

'Prove que a seguinte igualdade é verdadeira no triângulo ABC: \\[ \\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\\right) \\\\tan A=\\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\\right) \\\\tan B \\]'

'No triângulo ABC, seja D o ponto onde a bissetriz do ângulo B intersecta o lado AC. Encontre o comprimento do segmento BD.'

'Pontos-chave para resolver problemas de ângulo'

'Exemplo básico 68: Utilização do centro de circunferência e do ortocentro\nSeja H o ortocentro do triângulo ABC, O o centro de circunferência e OM a linha perpendicular de O para o lado BC. Além disso, tome o ponto K no círculo circunscrito ao triângulo ABC de forma que o segmento CK se torne um diâmetro do círculo. Prove o seguinte:\n1. BK = 2OM\n2. O quadrilátero AKBH é um paralelogramo\n3. AH = 2OM'

'Quadrilátero inscrito em um círculo'

'Usando a inversa do teorema de Ceva, prove que as três medianas de um triângulo se interceptam em um ponto.'

'Prove a inversão do teorema básico 90 da figura'

'No triângulo ABC, com AB=8, BC=3, CA=6, seja D o ponto onde a bissetriz do ângulo A intersecciona a reta BC. Encontre o comprimento do segmento CD.'

'Em um triângulo acutângulo ABC, sejam BD e CE as alturas traçadas dos vértices B e C para seus respectivos lados opostos. Se BC=a, expresse o ângulo A em termos dos ângulos. Pode usar a propriedade que se em um segmento de linha PQ o ângulo PRQ=90°, o ponto R está sobre o círculo com PQ como diâmetro.'

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'Provar que no triângulo acutângulo ABC, com ortocentro H e circuncentro O, ponto médio do lado BC como M e ponto médio do segmento AH como N, o comprimento do segmento MN é igual ao raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC, usando o fato de que AH=2OM.'

'No diagrama, se AR:RB=3:4 e BP=PC, encontre AQ:QC.'

'Dado o segmento de reta AB de comprimento a e dois segmentos de reta de comprimentos b e c, desenhe um segmento de reta de comprimento \ \\frac{a c}{b} \.'

'Quando aplicar o teorema do seno e o teorema do cosseno? Tanto o teorema do seno quanto o teorema do cosseno podem ser usados para encontrar comprimentos de lados e tamanhos de ângulos e, às vezes, pode ser confuso qual usar. Existe um método para determinar isso?'

'Encontre o comprimento do segmento de linha BF.'

'Prove que quando o comprimento da diagonal AC do quadrilátero ABCD é menor do que qualquer um de seus lados, o comprimento da diagonal BD é maior do que qualquer um de seus lados.'

'No ponto H no terreno nivelado PR, um poste está em pé perpendicular ao solo. Ao ver o topo do poste a partir dos pontos A e B, os ângulos de elevação são de 30 graus e 60 graus, respectivamente. Além disso, na medição do terreno, sabe-se que a distância entre A e B é de 20 metros e ∠AHB=60 graus. Determine a altura do poste. Suponha que a altura dos olhos não seja considerada.'

'Capítulo 4: Geometria e Medida EX No quadrilátero ABCD inscrito em um círculo, onde DA = 2AB e ∠BAD = 120°, e E é a interseção das diagonais BD e AC, E divide o segmento BD em 3:4.\n(1) BD = ?AB, AE = 1 ?AB.\n(2) CE = ? ?AB, BC = I? ?AB.\n(3) AB:BC:CD:DA = 1: ? : potência : 2.\n(4) Se o raio do círculo for 1, então AB = ?, e a área do quadrilátero ABCD é S = ?.'

'No quadrilátero ABCD inscrito em um círculo, com AB=2, BC=1, CD=3 e cos∠BCD=-1/6. Descubra o comprimento de AD e a área do quadrilátero ABCD.'

'Para o segmento de linha AB fornecido, trace os seguintes pontos. (1) Ponto E dividindo o segmento de linha AB internamente na proporção 3:2 (2) Ponto F dividindo o segmento de linha AB externamente na proporção 3:1'

'No triângulo ABC, onde AB=3, BC=4 e CA=6, seja D o ponto onde a bissetriz do ângulo externo de A intersecta a linha BC. Encontre o comprimento do segmento BD.'

'Encontre as áreas do triângulo ABC e do paralelogramo ABCD na figura dada.'

'Exercício Básico 122 Solução de Triângulos (1) Para cada caso, encontre os comprimentos dos lados restantes e os ângulos do triângulo ABC. (1) a = √3, B = 45 °, C = 15 ° (2) b = 2, c = √3 + 1, A = 30 °'

'Regra do seno'

'Hanako e Taro decidiram trabalhar juntos no seguinte [problema] e tentar pensar usando software de desenho gráfico.'

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'Prove que no triângulo ABC, se os ângulos ∠A, ∠B, ∠C forem denotados por A, B, C respectivamente, então a equação (1+tan^2(A/2))sin^2((B+C)/2)=1 é verdadeira.'

'(4) Encontre o triângulo com o menor raio de circunferência circunscrito.'

'O termo gradiente é usado para descrever a inclinação de estradas e ferrovias. Usando as razões trigonométricas, responda às seguintes perguntas. (1) A inclinação de uma estrada é frequentemente expressa em percentagens (%). A percentagem indica quantos metros a elevação aumenta ao mover-se 100 metros horizontalmente. Em uma determinada estrada, há uma placa indicando 23%. Qual é o ângulo aproximado da inclinação desta estrada? (2) A inclinação de uma ferrovia é frequentemente expressa em permilles (‰). O permille indica quantos metros a elevação aumenta ao mover-se 1000 metros horizontalmente. Em uma determinada linha ferroviária, há uma placa indicando 18‰. Qual é o ângulo aproximado da inclinação desta linha ferroviária?'

'Relação entre os lados e ângulos de um triângulo'

'Em \ \\triangle ABC \, onde \ \\angle C=90^\\circ \ e \ AB:AC=5:4 \, é construído um ponto \ D \ na extensão do lado \ BC \ de tal forma que \ CA=CD \. Seja \ E \ o ponto médio do lado \ AB \ e seja \ BF \ a perpendicular do ponto \ B \ para a linha \ AD \. Responda às seguintes perguntas: ［Universidade de Miyazaki］\n(1) Prove que \ EF=EC \.\n(2) Encontre a proporção das áreas de \ \\triangle ABC \ e \ \\triangle CEF \.'

'A partir de (5) BC = 9, BD: DC = 4: 5, temos BD=\\frac{4}{9} BC=\\frac{4}{9} \\cdot 9=4. Portanto, BD \\cdot BC =4 \\cdot 9 = 36'

'(2) Pela lei dos cossenos'

'No triângulo ABC, mostre a relação entre a², b² e c² com base no intervalo do ângulo A.'

'Por favor, explique os significados dos seguintes termos: ângulos correspondentes, ângulos verticais, ângulos agudos, ângulos obtusos, ângulos internos, ângulos externos, congruentes, semelhantes, bissetriz perpendicular, bissetriz de ângulo, triângulo acutângulo, triângulo retângulo, triângulo obtusângulo, corda, arco, ângulo central, ângulo inscrito, tangente a um círculo, lado oposto, diagonal, paralelogramo.'

'Prove que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo AEF.'

'No triângulo ABC, com BC=5, CA=3, AB=7. Sejam D e E os pontos onde o ângulo A e sua bissetriz do ângulo exterior intersectam a linha BC, o comprimento do segmento DE deve ser encontrado.'

'Por favor, use as propriedades e definições do circuncentro, incentro, ortocentro e baricentro para responder às seguintes questões sobre triângulos.'

'Solução alternativa (Igual até a etapa 11)\n (1) De \ \\triangle \\mathrm{AQC}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{ADC}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \ da mesma forma\n\n \\triangle \\mathrm{BRA}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{BEA}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{BCA}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \\ \\triangle \\mathrm{CPB}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{CFB}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{CAB}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \n \n Assim, \\triangle \\mathrm{PQR}=\\triangle \\mathrm{ABC}-(\\triangle \\mathrm{AQC}+\\triangle \\mathrm{BRA}+\\triangle \\mathrm{CPB}) \\=\n \\triangle \\mathrm{ABC}-3 \\cdot \\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \n \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{2} \\cdot 1 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{\\sqrt{3}}{4} portanto \\ \n \\triangle \\mathrm{PQR}=\\frac{1}{7} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{4}=\\frac{\\sqrt{3}}{28}'

'Converso do Teorema de Menelaus'

'Dado um quadrilátero ABCD inscrito em um círculo, onde AB=8, BC=3, BD=7 e AD=5, encontre o comprimento de CD. Além disso, calcule a área S do quadrilátero ABCD.'

'Exemplo Básico 1142 Ângulos Formados por Linhas\n(1) Encontre o ângulo α formado pela reta y=-1/√3x e a direção positiva do eixo x, e o ângulo β formado pela reta y=1/√3x e a direção positiva do eixo x. Também, encontre o ângulo agudo formado pelas duas retas. Assuma que 0° < α < 180°, 0° < β < 180°.\n(2) Encontre o ângulo agudo θ formado pelas duas retas y=-√3x e y=x+1.'

'No triângulo ABC isósceles retângulo, onde AC = BC e AB = 6, dois retângulos com comprimentos verticais iguais são construídos conforme mostrado no diagrama à direita. Qual é o valor máximo da soma das áreas dos dois retângulos quando construídos para obter a soma máxima?\nA partir das condições dadas, AC = BC = 6 / √2 = 3√2.\n\nConforme mostrado no diagrama, seja D, E, F, G os pontos, e seja x o comprimento vertical dos retângulos:\n\nDE = AE = AC - CE = 3√2 - 2x\nFG = AG = AC - GC = 3√2 - x\n\nAlém disso, uma vez que 0 < CE < AC\n0 < 2x < 3√2, o que implica 0 < x < 3√2 / 2\n\nSeja y a soma das áreas dos dois retângulos:\n\ny = x(3√2 - 2x) + x(3√2 - x)\n = -3x^2 + 6√2x\n = -3(x - √2)^2 + 6\n\nEm (1), y alcança seu valor máximo de 6 em x = √2.'

'Usando o teorema de Menelau no triângulo ABC e na reta DF'

'Condição de semelhança de triângulos: Dois triângulos são semelhantes se uma das seguintes condições for satisfeita. [1] A razão dos três lados é igual. [2] Dois pares de lados são proporcionais e os ângulos entre eles são iguais. [3] Dois pares de ângulos são iguais.'

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'Prove que no triângulo ABC, se M é o ponto médio do lado BC e os bissetores dos ângulos ∠AMB e ∠AMC encontram os lados AB e AC nos pontos D e E, respectivamente, então DE // BC.'

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'Sobre um losango com uma soma de comprimentos de diagonais de 10 cm:\n(1) Encontre a área máxima.\n(2) Encontre o perímetro mínimo.'

'Teorema 2: No triângulo ABC com AB ≠ AC, a interseção do bissetor do ângulo externo de ∠A e a extensão do lado BC divide o lado BC na proporção de AB:AC.'

'No triângulo ABC, seja D o ponto médio do lado AB, E o ponto médio do segmento CD e F o ponto de interseção de AE e BC. Encontre a razão de AE para EF.'

'Resolva o seguinte problema sobre um triângulo.'

'Domine o uso dos diagramas de Venn e conquiste o exemplo 49!'

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'O quadrilátero ABCD está inscrito em um círculo, com AB=4, BC=2, e DA=DC.'

'Exemplo 378\nNo triângulo ABC com AB=10, BC=5, CA=6, deixe ∠A e seus bissetores de ângulo externos intersectarem o lado BC ou sua extensão nos pontos D e E. Encontre o comprimento do segmento DE.'

'Domine a Regra do Seno e conquiste o Exemplo 126!'

'Encontre cosA usando a regra do cosseno e, em seguida, calcule a área e a altura do triângulo usando o resultado.'

'Ao caminhar 80 metros em uma estrada em declive com uma inclinação de 8° a partir da horizontal, quantos metros você avançou na direção horizontal? Além disso, quantos metros você desceu na direção vertical?'

'Quando dois lados e o ângulo entre eles são dados, podemos usar a regra do cosseno.'

'Dado um triângulo equilátero ABC com comprimento lateral 1. Um ponto P é tomado no arco BC que não inclui o vértice A, de modo que PA=a, PB=b, PC=c (b>c). Vamos calcular o valor de a²+b²+c². Como ∠APB=∠APC=α graus, a regra do cosseno pode ser aplicada no triângulo ABP.'

'A partir de dois pontos A e B, que estão a 1 km de distância no mar, ambos os pontos veem o mesmo topo da montanha C. A partir do ponto A, o ângulo de elevação para o leste é de 30 graus, enquanto do ponto B, o ângulo para o nordeste é de 45 graus. Encontre a altura CD da montanha. Suponha que o ponto D está diretamente abaixo de C e os pontos A, B, D estão no mesmo plano horizontal. Além disso, assuma que sqrt(6) = 2,45.'

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'Se 90° < A < 180°, no diagrama à direita, o segmento BD é o diâmetro do círculo circunscrito ao triângulo ABC. Neste caso, \ \\angle BAC + \\angle BDC = 180° \ o que significa que \ \\angle BDC = 180° - A \, logo \ a = \\mathrm{BD} \\sin \\angle \\mathrm{BDC} \ \\( = \\mathrm{BD} \\sin (180° - A) \\) \ = \\mathrm{BD} \\sin A \ \ \\mathrm{BD} = 2 R \, portanto \ \\quad a = 2 R \\sin A \'

'Existem três casos para a relação posicional entre a reta `ℓ` e o plano `α`.'

'Determinar a forma de um triângulo a partir da igualdade de lados e ângulos'

'O ponto H é o incentro do triângulo DEF porque é a interseção dos bissetores dos ângulos DFE e FDE.'

'Por favor, explique as propriedades dos bissetores de ângulos e proporções em um triângulo.'

'No triângulo ABC, se a²cosA sinB=b²cosB sinA for verdadeiro, qual é a forma do triângulo ABC?'

'No triângulo ABC, se a²cosA sinB = b²cosB sinA for verdadeiro, que forma tem o triângulo ABC?'

'Seja O o circuncentro do triângulo acutângulo ABC. Se o bissectriz do ângulo BAO interseccionar o círculo circunscrito ao triângulo ABC no ponto D, prove que AB é paralelo a OD.'

'Desenhe uma perpendicular a partir do ponto D até o lado AB, chamando a interseção de H, então AH=BH=\\frac{1}{2}. Portanto, usando (2), \\cos 36^{\\circ} =\\frac{AH}{AD}=\\frac{\\frac{1}{2}}{\\frac{\\sqrt{5}-1}{2}}=\\frac{1}{\\sqrt{5}-1} \\ =\\frac{\\sqrt{5}+1}{(\\sqrt{5}-1)(\\sqrt{5}+1)}=\\frac{\\sqrt{5}+1}{4}. Vamos focar no triângulo DAH.\n\nReferindo-se a isso, desenhe uma perpendicular a partir do vértice A até o lado BC, chamando a interseção de E, então BE=\\frac{1}{2} BC=\\frac{\\sqrt{5}-1}{4}.\n\nPortanto, \\cos 72^{\\circ}=\\frac{BE}{AB}=\\frac{\\sqrt{5}-1}{4}. O bissetor do ângulo de um triângulo isósceles bissecta a base perpendicularmente.'

'Existem dois círculos tangentes no ponto P. Como mostrado na figura à direita, duas linhas que passam pelo ponto P intersectam o círculo externo nos pontos A e B, e o círculo interno nos pontos C e D. Prove que AB é paralelo a CD.'

'No diagrama à direita, L, M, N são os pontos de tangência dos lados do △ABC com o círculo inscrito, ∠C=90°, AL=3, BM=10. (1) Seja r o raio do círculo inscrito, expresse os comprimentos de AC e BC como r. (2) Encontre o valor de r.'

'No triângulo ABC, quando b=2√6, c=3√2+√6, e A=60°, encontre o comprimento do lado restante e o tamanho do outro ângulo.'

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'No trapézio ABCD, onde AD // BC, AB=5, BC=7, CD=6, DA=3. Seja E a interseção da reta que passa por D paralela a AB e o lado BC, e seja ∠DEC=θ. Encontre os seguintes valores.'

'Capítulo 7: Aplicações em Triângulos\n135\nNo triângulo ABC, onde AB = 7, BC = 4√2 e ∠ABC = 45°, com o centro do círculo circunscrito do triângulo ABC designado como O.\n(1) CA = $é um quadrado, e o raio do círculo circunscrito O é$.\n(2) Sobre o arco BC do círculo circunscrito O, excluindo o ponto A, um ponto D é tomado tal que CD = √10. Neste caso, dado que ∠ADC = $, deixe AD = x, então x = √.'

'No triângulo ABC, permita que o ponto D divida o lado AB na proporção 3:2, e o ponto E divida o lado AC na proporção 4:3. Sendo P a interseção de BE e CD, e F a interseção da linha AF e BC. Encontrar a proporção BF:FC.'

'Dado que L, M, N são os pontos de tangência dos lados do triângulo ABC com o incírculo, ∠C=90°, AL=3, BM=10. (1) Expresse os comprimentos de AC e BC em termos de r, o raio do incírculo. (2) Encontre o valor de r.'

'A partir dos pontos A e B, os pontos C e D do lado oposto do curso de água foram observados como mostrado no mapa à direita. Pressupõe-se que os pontos A, B, C e D estão à mesma altura.\n(1) Encontre os comprimentos de BD e BC (metros).\n(2) Encontre o comprimento de CD (metros).\n\nAs respostas podem permanecer na forma de raiz quadrada.\n& 〜GUIA Use o teorema do seno e o teorema do cosseno para encontrar triângulos aplicáveis.\n(1) No triângulo ABD, um lado e dois ângulos são conhecidos, permitindo o uso do teorema do seno.\n(2) No triângulo BDC, dois lados e o ângulo entre eles são conhecidos, permitindo o uso do teorema do cosseno.'

'Exemplo 123: Triângulo retângulo e valores trigonométricos'

'Prove que no triângulo ABC, se ∠B > ∠C, então b > c.'

'Capítulo 3 Propriedades das Figuras\nAlém disso, em ∆AFE e ∆ABC\n∠A é comum, ∠AFE=∠ABC\nPortanto, uma vez que dois conjuntos de ângulos são iguais, ∆AFE ∝ ∆ABC\nAF:AB=1:2\n∆AFE:∆ABC=1²:2²=1:4\nPortanto, ∆AFE=1/4 ∆ABC=1/4⋅12S=3S\n(2) De (1), seja a área do quadrilátero AFGE T\nT=∆EFG+∆AFE=S+3S=4S\nPortanto, de (1) e (2), ∆ABC/T=12S/4S=3\nPortanto 3 vezes'

'Na figura à direita, calcule os valores do seno, cosseno e tangente do ângulo θ.'

'Usando o triângulo retângulo ABC à direita, encontre os valores do seno, cosseno e tangente de 15 graus.'

'Na figura à direita, o ponto I é o incentro do triângulo ABC. Calcule o seguinte: (1) α (2) CI: ID'

'(1) Dado α=90°, AB=2, BC=3, encontre os tamanhos dos três ângulos do △ABC.\n(2) Dado α=70°, β=γ, encontre os comprimentos dos três lados do △ABC.'

'Na figura dada, encontre o valor de α. Aqui, (1) afirma que BC = DC e (3) menciona que o ponto O é o centro do círculo.'

'Expressar em termos de razões trigonométricas de ângulos agudos'

'Teorema 1: A interseção do bissector interno do ângulo A do triângulo ABC com o lado BC divide o lado BC na proporção de AB : AC.'

'Seja o quadrilátero ABCD inscrito no círculo O, onde AB=2, BC=3, CD=1 e ∠ABC=60°. Encontre:\n(1) O comprimento do segmento AC\n(2) O comprimento do lado AD\n(3) O raio R do círculo O'

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"Em matemática, prove o seguinte: No diagrama acima, a reta AB toca os círculos O e O' nos pontos A e B, respectivamente. Se os raios são r e r' (r < r'), e a distância entre os centros dos dois círculos é d, então prove que AB é igual a sqrt(d^2 - (r'-r)^2)."

'A área de um triângulo pode ser calculada como a metade da base multiplicada pela altura. Vamos expressar essa fórmula usando trigonometria.'

'Há uma rampa reta com 125 metros de comprimento. Subindo esta rampa, a altura aumenta em 21,7 metros. Qual é o ângulo de inclinação aproximado desta rampa? Além disso, qual é a distância horizontal desta rampa em metros? Considere usar razões trigonométricas.'

'Raio e Área do Incírculo de um Triângulo'

'Responda à seguinte pergunta. Encontre os outros elementos do triângulo quando a=√3+1, A=75°, C=60°, ou quando a=√3-1, A=15°, C=120°.'

'(2) Quando o circuncentro e incentro do triângulo ABC coincidem, vamos chamar esse ponto de O. Sendo O o circuncentro, OB=OC. Portanto, ∠OBC=∠OCB. Além disso, o ponto O também é o incentro do triângulo ABC.\n\n[\nIniciando conjunto de equações\n\\angle B=2\\angle OBC\n\\angle C=2\\angle OCB\nTerminando conjunto de equações\n\\]\n\nDa mesma forma, podemos derivar que\nincentro\n\n\\angle A=\\angle C\n\nPortanto, \\\angle A=\\angle B=\\angle C\\nAssim, o triângulo ABC é equilátero.'

'Do topo do prédio de 20m de altura, olhando para baixo em um ponto específico, o ângulo formado com o plano horizontal é de 32°. Encontre a distância entre esse ponto e o prédio. Além disso, encontre a distância entre esse ponto e a borda do telhado do prédio. Arredonde para duas casas decimais.'

'Utilize o teorema dos ângulos em um círculo para derivar os ângulos interiores de cada triângulo e utilize a lei dos cossenos e a lei dos senos.'

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'No triângulo ABC, onde AB=4, BC=5, e CA=6, sejam D e E os pontos onde o ângulo A e sua bissetriz do ângulo externo interceptam a linha BC. Encontre o comprimento do segmento DE.'

'65 \\\\mathrm{AB}=2 r \\\\sin \\theta, \\\\mathrm{OH}=r \\\\cos \\theta'

'No triângulo ABC, AB=AC=1, ∠ABC=72°. Ponto D é tomado no lado AC de forma que ∠ABD=∠CBD.\n(1) Encontre a medida de ∠BDC.\n(2) Encontre o comprimento do lado BC.\n(3) Encontre o valor de cos 36°.'

'No triângulo ABC, os pontos D e E são os pontos médios dos lados BC e AC, respectivamente. Além disso, seja AD e BE se encontram em F, o ponto médio do segmento AF em G e a interseção de CG e BE em H. (1) Se BE=6, encontre os comprimentos dos segmentos FE e FH. (2) Encontre a razão das áreas do triângulo EHC para o triângulo ABC.'

'■ Incentro ...... Ponto de interseção dos bissetores dos ângulos internos do triângulo\nBissetores de ângulos\nO ponto P está no bissetriz do ∠ ABC P está na bissetriz de duas linhas ⇔ Está equidistante de BA e BC - Em outras palavras, O bissetor de ∠ ABC é um conjunto de pontos equidistantes das duas linhas BA e BC.'

"Dadas duas circunferências O e O' tangentes externamente no ponto A. Se a tangente à circunferência O' no ponto B intersecta a circunferência O em dois pontos C e D, como mostrado no diagrama, prove que AB bissecta o ângulo externo de ∠CAD."

'Na figura da direita, suponha que ambas as hipotenusas têm comprimento de 1. Encontre os comprimentos dos lados restantes e preencha os espaços em branco. Em seguida, verifique os valores do seno, cosseno e tangente para 30, 45, 60 graus.'

'Encontrar o comprimento do lado restante com 2 lados e 1 diagonal dados'

'Em △ABC, com o raio da circunferência circunscrita sendo R, encontre o seguinte: (1) Quando a=10, A=30°, B=45°, encontre C, b, R. (2) Quando b=3, B=60°, C=75°, encontre A, a, R. (3) Quando c=2, R=√2, encontre C.'

'Em △ABC, onde o raio do círculo circunscrito é R, encontre o seguinte.'

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'No triângulo ABC, deixe D ser o ponto que divide o lado BC na proporção 3:2, e deixe E ser o ponto que divide o lado AB na proporção 4:1. Deixe P ser a interseção dos segmentos de linha AD e CE, e deixe F ser a interseção da linha BF e do lado CA.'

'Teorema do Quadrilátero Cíclico\nO tamanho do ângulo cíclico correspondente a um arco é constante, sendo a metade do ângulo central correspondente a esse arco. Em outras palavras, na figura à direita, $\\angle \\mathrm{APB}=\\frac{1}{2} \\angle \\mathrm{AOB}$ Em particular, quando $\\mathrm{AB}$ é um diâmetro, $\\angle \\mathrm{APB}=90^{\\circ}$\n\nConversa do Teorema do Quadrilátero Cíclico\nPara 4 pontos $\\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}$, se os pontos $\\mathrm{P}, \\mathrm{Q}$ estiverem do mesmo lado da linha $\\mathrm{AB}$\n\n\\n\\angle \\mathrm{APB}=\\angle \\mathrm{AQB}\n\\n\nentão os 4 pontos $\\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}$ estão no mesmo círculo.'

'Capítulo 6 Razões Trigonométricas - 115 TR 121'

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"Existem três triângulos retângulos semelhantes ABC e A'B'C'. Uma vez que as razões dos lados correspondentes são iguais, surgem as seguintes três equações em relação às proporções. Vamos considerar essas três proporções: (1) BC/AB = B'C'/A'B', (2) AC/AB = A'C'/A'B', (3) BC/AC = B'C'/A'C'"

'Capítulo 3 Propriedades das Figuras Geométricas - 195\n(2) O ponto E é o ponto médio do lado AC, então o triângulo ABC = 2 triângulo EBC\nAlém disso, como BF:FE = 2:1, BE:FE = 3:1\n\n\triângulo EBC = 3 triângulo EFC\\]\nAlém disso, FH:HE = 2:1, então FE:HE = 3:1, assim o triângulo EFC = 3 triângulo EHC\nAssim\n\\[\egin{aligned}\ntriângulo ABC & = 2 triângulo EBC = 2 \\cdot 3 triângulo EFC \\\\\n& = 6 triângulo EFC = 6 \\cdot 3 triângulo EHC \\\\\n& = 18 triângulo EHC\n\\end{aligned}\\nConsequentemente triângulo EHC: triângulo ABC = 1:18\n- devido a terem uma altura comum\n\ triângulo ABC: triângulo EBC = AC:EC \\n\ triângulo EBC: triângulo EFC = BE:FE \\n\ triângulo EFC: triângulo EHC = FE:HE \'

'No diagrama à direita, seja ∠A = α, ∠B = β. Encontre os valores do seno, cosseno e tangente de α e β.'

'(1) Como mostrado na figura, para um pentágono regular e os pontos A, B, H, quando ∠AOB = 360° / 5 = 72°, r = 10, e θ = 1/2 × 72° = 36°, usando o resultado da questão anterior, o comprimento de um lado é\nAB = 2 × 10 × sin 36°\n= 20 × 0.5878\n= 11.756, arredondando para AB = 11.8. O comprimento da perpendicular é OH = 10 × cos 36° = 10 × 0.8090 = 8.090, arredondando para OH = 8.1.'

'No triângulo ABC, encontre o seguinte. Onde a área do triângulo ABC é denotada como S. 76 (1) Quando A=120°, c=8, S=14√3, encontre a, b (2) Quando b=3, c=2.0°<A<90°, S=√5, encontre sinA, a (3) Quando a=13, b=14, c=15, e o comprimento da linha perpendicular do vértice A até o lado BC é denotado como h, encontre S, h'

'Prove que quando três linhas diferentes x+y=1 (1), 4x+5y=1 (2), ax+by=1 se intersectam em um ponto, os três pontos (1,1), (4,5), (a,b) estão na mesma linha.'

'Encontre a trajetória do ponto P tal que a razão de suas distâncias dos pontos A(0,0) e B(5,0) seja de 2:3.'

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'Encontre o valor de a quando o triângulo ABC é um triângulo isósceles.'

'(1) Como as inclinações das duas retas são iguais, as duas retas são paralelas.\n(2) De y=2x+4, y=-\\frac{1}{2}x+3, podemos determinar que as inclinações das duas retas são 2 \\cdot\\left(-\\frac{1}{2}\\right)=-1, portanto, as duas retas são perpendiculares.'

'O que é um radiano?'

'Encontre o locus do ponto P que satisfaz as seguintes condições: (1) A soma dos quadrados das distâncias dos pontos A(-4,0) e B(4,0) ao ponto P é 36. (2) A proporção das distâncias dos pontos A(0,0) e B(9,0) ao ponto P é PA: PB=2:1. (3) O ponto P varia de forma que o triângulo PAB com os pontos A(3,0) e B(-1,0) como vértices satisfaça PA: PB=3:1.'

'Quando o ponto P está na reta x+y=5, encontre as coordenadas do ponto P que minimizam o comprimento da linha quebrada AP + PB que conecta os pontos A(2,5) e B(9,0).'

"As coordenadas do ponto de interseção de duas retas dadas pelas equações (1) ax + by + c = 0 e (2) a'x + b'y + c' = 0 são obtidas como as soluções das equações simultâneas (1) e (2)"

'Quando o ponto P satisfaz a condição AP:BP = 2:3 e o segmento de linha AB conecta A(0,0) e B(5,0), encontre o locus do ponto P.'

'Para a forma A_{n+1}, concentre-se na coluna mais à direita. Ao colocar um azulejo na horizontal no canto inferior direito, são obtidas três configurações possíveis, conforme mostrado na Figura 3, em que a parte restante corresponde a A_{n}, e duas configurações possíveis, conforme mostrado na Figura 4, em que a parte restante corresponde a B_{n}.'

'Encontre o ângulo formado por 2 retas (1) Encontre o ângulo θ (0<θ<π/2) formado pelas retas y=3x+1 e y=1/2x+2. (2) Encontre a inclinação da reta que forma um ângulo com y=2x-1 de π/4.'

'No (2) 0 < α < π/2, o raio que representa o ângulo α é igual ao raio que representa 6α. Encontre a magnitude do ângulo α.'

'Dado três pontos A(6,1), B(2,3) e C(a,b), encontre os valores de a e b quando o triângulo ABC é equilátero.'

'Prove que o baricentro do triângulo DEF coincide com o baricentro do triângulo ABC quando os pontos D, E e F são tomados nos lados BC, CA e AB do triângulo ABC, respectivamente, de modo que BD:DC = CE:EA = AF:FB = 37. [Universidade de Kinki]'

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'Pontos simétricos em uma linha'

'Prove que no triângulo ABC, os pontos P e Q dividem o lado BC em três partes iguais, de modo que BP=PQ=QC. Prove que a seguinte relação se mantém: $$ 2AB^{2}+AC^{2}=3(AP^{2}+2BP^{2}) $$'

'No triângulo ABC, com AB=15, BC=18, AC=12, encontre o ponto de interseção D do bissetor do ângulo A e o lado BC. Determine os comprimentos dos segmentos BD e AD.'

'Explique a Regra do Seno e a Regra do Cosseno e resolva um problema de exemplo.'

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'Pela Regra do Seno e a Regra do Cosseno'

'Por favor, explique a relação de ângulos correspondentes quando duas linhas são paralelas.'

'Quando c=√6, encontre os ângulos do triângulo. Os resultados obtidos usando a lei do cosseno são A=75°, C=60°.'

'Traçando a perpendicular OI a partir do vértice O para o triângulo DEG, descobrimos que I é o centro do círculo circunscrito do triângulo DEG. Uma vez que GI é o raio do círculo circunscrito do triângulo DEG, pela lei dos senos, temos GI=\ \\frac{1}{2 \\sin 60^\\circ} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} \. Portanto, OG=\ \\frac{1}{2} \\mathrm{BG} = \\frac{\\sqrt{10+2 \\sqrt{5}}}{4} \. Por favor, realize os seguintes cálculos.'

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'Prática No ponto A, que está à mesma altitude que uma determinada torre, foi medido que o ângulo de elevação até o topo da torre era de 30 graus. Além disso, no ponto A, a uma distância de 114m, há um ponto B onde o ângulo KAB é de 75 graus e o ângulo KBA é de 60 graus. Neste momento, a distância entre A e K é de x metros, e a altura da torre é de y metros.'

'No quadrilátero ABCD inscrito em um círculo, com AD // BC, AB=3, BC=5 e ∠ABC=60 graus, encontre o seguinte:\n(1) O comprimento de AC\n(2) O comprimento de CD\n(3) O comprimento de AD\n(4) A área do quadrilátero ABCD'

'Pelo teorema do seno, \ \\frac{a}{\\sin A}=2R \, portanto \ \\frac{\\sqrt{2}}{\\sin A}=2 \\cdot 1 \, logo \ \\sin A=\\frac{\\sqrt{2}}{2} \'

'No triângulo △ABC, seja M o ponto médio do lado BC.'

'Teorema do seno\nEm \ \\triangle \\mathrm{ABC} \, sendo o raio do círculo circunscrito \ R \, então\n\\\frac{a}{\\sin A}=\\frac{b}{\\sin B}=\\frac{c}{\\sin C}=2 R\'

'Na reta de comprimento 6 AB, são tomados dois pontos C e D de modo que AC=BD. É dado que 0<AC<3. Encontre o valor mínimo da soma S das áreas de três círculos com diâmetros AC, CD e DB, e o comprimento do segmento AC nesse momento.'

'De um local no mar a um farol situado no topo de um penhasco com uma altura de 30 metros, o ângulo zenital é de 60 graus, e do mesmo local para o ângulo zenital da parte inferior do farol é de 30 graus, encontrar a altura do penhasco.'

'A área do triângulo ABC é 12√6, e a razão de seus comprimentos de lado é AB:BC:CA = 5:6:7. Nesse caso, qual é o valor de sin∠ABC, representado como , e qual é o raio do círculo inscrito do triângulo ABC, representado como .'

'Como mostrado na figura, observando os pontos P e Q na margem oposta do rio a partir dos pontos A e B separados por 100 metros, os seguintes valores foram obtidos: ∠PAB=75°, ∠QAB=45°, ∠PBA=60°, ∠QBA=90°. Responda às seguintes perguntas neste caso.'

'Os vértices B, E, G estão todos na superfície da esfera S, e BG é o diâmetro da esfera S, portanto, o triângulo EBG é um triângulo retângulo com ∠BEG = 90°. Começando de EG = 1, realize os cálculos a seguir.'

'No triângulo ABC, se ∠A = 60 graus, AB = 7, AC = 5, então seja D o ponto onde a bissetriz de ∠A intersecta o lado BC. Encontre o comprimento de AD.'

'De um local na superfície do mar até o topo de um farol com altura de 30 metros, o ângulo de elevação para a ponta é de 60 graus, e o ângulo de elevação para a parte inferior do farol é de 30 graus. Encontre a altura do penhasco.'

'Por favor, liste três condições para a congruência de triângulos.'

'Determinar as condições para o triângulo existir.'

'No triângulo ABC, que tipo de triângulo é quando as seguintes equações são verdadeiras?'

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'(1) c=\\sqrt{2}, A=105^{\\circ}, C=30^{\\circ} ou c=\\sqrt{6}, A=75^{\\circ}, C=60^{\\circ}'

'Uma pessoa com 1,5 metros de altura em pé em terreno plano queria saber a altura de uma árvore. O ângulo de elevação do ponto A até o topo da árvore era de 30°, e o ângulo de elevação do ponto B, que estava a 10 metros mais perto da árvore, era de 45°. Calcule a altura da árvore.'

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'Razão da distância entre o Sol e a Lua'

'No triângulo ABC, quando a=1+√3, b=2, C=60°, encontre:\n(1) O comprimento do lado AB\n(2) A medida do ∠B\n(3) A área de △ABC\n(4) O raio do circuncentro\n(5) O raio do incírculo'

'Na Grécia antiga, o estudo da trigonometria avançou juntamente com a astronomia. O astrônomo grego Aristarco utilizou a seguinte relação para buscar a proporção de distância aproximada entre o Sol e a Lua.'

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'Considere um triângulo escaleno ABC, com o lado mais longo sendo BC e o lado mais curto sendo AB, onde AB=c, BC=a, CA=b (a≥b≥c). Seja S a área do triângulo ABC.'

'Traduza a pergunta dada para vários idiomas.'

'Regra do seno e regra do cosseno'

'Quando m>0, n>0, o ponto P está no segmento AB, e AP: PB=m: n, diz-se que o ponto P divide internamente o segmento AB na proporção m: n [Para mais detalhes, consulte Matemática A]. Vamos considerar AB=k, representando o comprimento do outro lado como k. Utilize a similaridade dos triângulos formados pelas diagonais de um quadrilátero inscrito.'

'No triângulo ABC, seja S a área. Encontre o seguinte. Assume-se que o triângulo (2) não é um triângulo obtuso.'

'Sejam as áreas dos triângulos AID, BEF e CGH denominadas como T1, T2 e T3, respectivamente. Neste caso, qual das seguintes opções se encaixa no lugar de S?'

'No triângulo ABC, seja R o raio do círculo circunscrito. Quando A=30°, B=105°, a=5, encontre os valores de R e c.'

'Prove as seguintes equações no triângulo ABC'

'No quadrilátero ABCD inscrito em um círculo com DA=2AB, ∠BAD=120°, (1) BD = raiz quadrada de 3 vezes AB, AE = AB, (3) AB:BC:CD:DA=1:raiz quadrada de 3:2, (4) Se o raio do círculo for 1, então AB = raiz quadrada de 3 e a área do quadrilátero ABCD é S=3.'

'Como mostrado na figura à direita, desenhe os quadrados ADEB, BFGC e CHIA com os lados AB, BC e CA como um lado de cada quadrado, e então conecte os pontos E e F, G e H, I e D.'

'Calcule o declive desta linha ferroviária. O declive da linha ferroviária é de 18%, e ao mover-se 1000m horizontalmente, a elevação aumenta em 18m. Calcule o ângulo de inclinação θ usando trigonometria.'

'ângulo entre duas retas'

'Questão básica 124 Ângulo máximo de um triângulo'

'Por favor, explique a diferença entre a regra do seno e a regra do cosseno.'

'Dado \2 \\sin \\theta = \\sqrt{2}\, podemos descobrir que \\\sin \\theta = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\. Na circunferência de raio 1, os pontos onde a coordenada \y\ é \\\frac{1}{\\sqrt{2}}\ são \\\mathrm{P}\ e \\\mathrm{Q}\. Portanto, o \\\theta\ desejado corresponde a \\\angle \\mathrm{AOP}\ e \\\angle \\mathrm{AOQ}\.'

'Geometria e Medição\n157\nEX 394\n(1) Utilizando o diagrama à direita, encontre o valor de \ \\sin 18^{\\circ} \. (2) Utilizando o diagrama à direita, encontre os valores de \ \\sin 22.5^{\\circ}, \\cos 22.5^{\\circ} \ e \ \\tan 22.5^{\\circ} \.\nDICA: Para encontrar as razões trigonométricas de ângulos especiais, você pode criar um triângulo retângulo que inclua esse ângulo.'

'Problema 218 Exemplo Básico 136 Raio do Circuncentro e Incircuncentro de um Triângulo\nEm △ABC, onde AB=6, BC=7, CA=5, encontrar o raio R do circuncentro e o raio r do incircuncentro.'

'Fundamentos da Trigonometria'

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'Matemática I'

'Prove que a igualdade cos (A+B)/2 = sin (C/2) é verdadeira quando os tamanhos dos ângulos A, B e C do triângulo ABC são representados como A, B e C, respectivamente.'

'Qual aplicar, regra do seno ou regra do cosseno?'

'No triângulo ABC, seja R o raio da circunferência circunscrita. Se A=30°, B=105°, e a=5, encontre os valores de R e c.'

'No triângulo ABC com AB=6, BC=4, CA=5, seja D o ponto onde a bissetriz do ângulo B intersecta o lado AC. Encontre o comprimento do segmento BD.'

'No triângulo ABC, em que AB = 3, AC = 2 e ∠BAC = 60°, seja D o ponto de interseção entre o bissetor do ângulo A e BC. Encontre o comprimento do segmento AD.'

'Problema de medir 126 (Plano) (1) (1) (0) A partir de dois pontos A e B separados por 100 metros, foram feitas medições para identificar dois pontos P e Q na margem oposta de um rio, com os valores obtidos como mostrado na figura. (1) Encontre a distância entre A e P. (2) Encontre a distância entre P e Q. Conceitos básicos 107, 120, 121 As distâncias e direções (segmentos e ângulos) podem ser considerados como lados e ângulos de triângulos. Considere em qual triângulo no diagrama focar e pense em quando aplicar a regra seno ou cosseno.'

'No triângulo ABC, se sin A: sin B: sin C = 3: 5: 7, encontre a proporção de cos A: cos B: cos C.'

'Exemplo básico 133 Comprimento do bissetor de ângulo no triângulo (2)'

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'Exemplo Básico 106 Triângulo Retângulo e Razões Trigonométricas\nNo triângulo ABC mostrado na figura, encontre o seguinte:\n(1) Os valores de sinθ, cosθ, tanθ\n(2) Os comprimentos dos segmentos AD e CD'

'(2) No triângulo ABC, pela lei do cosseno'

'Foram feitas medições dos pontos A e B, que estão separados por 50 metros, até os pontos P e Q na margem oposta do rio, resultando nos valores mostrados no diagrama. Calcule a distância entre os pontos P e Q.'

'No triângulo ABC, se 7/sin A=5/sin B=3/sin C for verdadeiro, encontre a medida do maior ângulo no triângulo ABC.'

'Comprimento do bissetor do ângulo num triângulo'

'Em um triângulo isósceles ABC, onde o ângulo A é de 36 graus e BC = 1, a interseção do bissectriz do ângulo C e o lado AB é chamada D.\n(1) Encontre os comprimentos dos segmentos DB e AC.\n(2) Encontre novamente os comprimentos dos segmentos DB e AC. Usando o resultado do item (1), determine o valor do cosseno de 36 graus.\n[Fonte: Universidade de Kobe Gakuin]\nBásico 106'

'Exemplo Problema 140 Área Mínima de um Triângulo\nUm triângulo equilátero ABC com lado de comprimento 2 é dado. Pontos D no lado AB e E no lado CA são tais que AD=CE. Seja S a área do quadrilátero DBCE.\n(1) Encontre o comprimento mínimo do segmento DE e o comprimento do segmento AD nesse ponto.\n(2) Encontre o valor mínimo de S e o comprimento do segmento AD nesse ponto.\nDadas as bases 66, 121, 131'

'Tome o ponto E no lado BC de tal forma que AB // DE, então o quadrilátero ABED é um paralelogramo.'

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'Use a regra do seno para encontrar o maior ângulo do triângulo ABC. As condições dadas são as seguintes: sen A : sen B : sen C = 5 : 16 : 19.'

"A palavra usada para descrever a inclinação de estradas e ferrovias é gradiente. Usando a 'tabela de razões trigonométricas', responda à seguinte pergunta. (1) A inclinação de uma estrada é frequentemente expressa em porcentagem (%). A porcentagem representa quantos metros a elevação aumenta quando 100 metros são percorridos horizontalmente. Em uma determinada estrada, há um sinal indicando 23%. Aproximadamente quantos graus é a inclinação dessa estrada?"

'(1) No triângulo ABC, se a bissetriz do ângulo A intersecta o lado BC no ponto D, prove que BD:DC = AB:AC.'

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'Encontre os comprimentos dos lados restantes e os tamanhos dos ângulos do \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ em cada um dos seguintes casos: (1) \ A=60^{\\circ}, B=45^{\\circ}, b=\\sqrt{2} \ (2) \ a=\\sqrt{2}, b=\\sqrt{3}-1, C=135^{\\circ} \'

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'Seja D o ponto que divide o lado AB do △ABC na proporção 1:2 internamente, E o ponto que divide o lado AC na proporção 2:1 internamente, e F o ponto que divide o lado BC na proporção t:(1-t). Aqui, t é um número real que satisfaz 0<t<1.'

'No tetraedro ABCD, seja P, Q, R, S os pontos que dividem internamente as arestas AB, CB, CD, AD na proporção t:(1-t) [0<t<1].'

'No plano de coordenadas TR, quando as extremidades A e B de um segmento AB de comprimento 6 se movem ao longo dos eixos y e x, respectivamente, a trajetória do ponto P que divide o segmento AB em uma proporção de 3:1 deve ser determinada.'

'Explique as seguintes curvas:\n(1) Elipse $\\frac{x^{2}}{9}+\\frac{y^{2}}{4}=1$ deslocada paralelamente ao eixo dos x em 2 unidades e ao eixo dos y em -3 unidades; centro no ponto (2, -3); focos nos pontos (2+√5, -3), (2-√5, -3)\n(2) Hipérbole $\\frac{x^{2}}{4}-\\frac{y^{2}}{25}=1$ deslocada paralelamente ao eixo dos x em -2 unidades e ao eixo dos y em -3 unidades; vértices nos pontos (0, -3), (-4, -3); focos nos pontos (√29-2, -3), (-√29-2, -3); assíntotas nas retas $5x+2y+16=0$, $5x-2y+4=0\n(3) Parábola$y^{2}=4x$deslocada paralelamente ao eixo dos x em -2 unidades e ao eixo dos y em 1 unidade; vértice no ponto (-2, 1), foco no ponto (-1, 1); reta diretriz é a linha$x=-3"'

'Coordenadas polares e equações polares'

'(4) No plano de coordenadas, deixe a curva representada pela equação polar $r=2 \\cos \\theta$ ser designada como $C$ e os pontos em $C$ com coordenadas polares $\\left(\\sqrt{2}, \\frac{\\pi}{4}\\right)$ e $(2,0)$ serem designados como $\\mathrm{A}$ e $\\mathrm{B}$, respectivamente. Além disso, deixe $\\ell$ ser a reta que passa por $\\mathrm{A}$ e $\\mathrm{B}$, e deixe $D$ ser o círculo centrado em $A$ com raio igual ao comprimento do segmento $\\mathrm{AB}$.\n(1) Encontre a equação polar da reta $\\ell$.\n(2) Encontre a equação polar do círculo $D$.'

'Prove que os pontos médios dos diagonais AG e BH do paralelogramo ABCD-EFGH coincidem.'

'Trajetória de pontos com uma razão constante de distâncias de um ponto e uma linha'

'No triângulo OAB, deixe o ponto D dividir internamente o lado AB na proporção 2:1, o ponto E ser a imagem do ponto D sob simetria em relação à linha OA, e o ponto F ser a interseção da perpendicular do ponto B à linha OA. Seja o vetor OA como a e o vetor OB como b de modo que |a|=4 e a⋅b=6.'

'Um círculo com o ponto médio do lado BC como centro e passando pelo ponto A.'

'(2) Prove que \ \\overrightarrow{\\mathrm{GU}} \ é perpendicular ao plano QTV.'

'Tente provar as seguintes propriedades da forma usando o plano de números complexos.\nPara o quadrilátero ABCD\n(1) AB·CD+AD·BC≥AC·BD é verdade.\n(2) A igualdade ocorre em (1) quando o quadrilátero ABCD está inscrito em um círculo.'

'(1) Encontre o ângulo θ formado pelos dois planos α e β. Note que 0° ≤ θ ≤ 90°.'

'Usando o plano complexo, prove os seguintes teoremas: (1) No triângulo ABC, sejam D e E os pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente. Então, BC // DE e BC=2DE (Teorema dos Pontos Médios). (2) No triângulo ABC, seja M o ponto médio do lado BC. Então, a equação AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2) é verdadeira (Teorema da Mediana).'

'No espaço, existem quatro pontos O, A, B, C que não estão no mesmo plano. Sejam s e t números reais satisfazendo 0<s<1,0<t<1. O ponto A0 divide o segmento de linha OA em uma proporção de 1:1, o ponto B0 divide o segmento de linha OB em uma proporção de 1:2, o ponto P divide o segmento de linha AC em uma proporção de s:(1-s), e o ponto Q divide o segmento de linha BC em uma proporção de t:(1-t). Além disso, assume-se que os quatro pontos A0, B0, P, Q estão no mesmo plano. (1) Expressar t em termos de s. (2) Dado que |OA|=1, |OB|=|OC|=2, ∠AOB=120°, ∠BOC=90°, ∠COA=60° e ∠POQ=90°, encontrar o valor de s.'

'Exemplo 36 Comprimento mínimo de uma linha quebrada (espaço)\nNo espaço de coordenadas, considere os pontos A(1,0,2), B(0,1,1).\n(1) Quando o ponto P se move no plano xy, encontre o valor mínimo de AP+PB.\n(2) Quando o ponto Q se move no eixo x, encontre o valor mínimo de AQ+QB.'

'No paralelogramo ABCD, o ponto E divide o lado AB na proporção 3:2, o ponto F divide o lado BC na proporção 1:2, e o ponto médio do lado CD é M. Seja P a interseção dos segmentos CE e FM, e Q a interseção da linha AP e da diagonal BD. Se o vetor AB é representado como a e o vetor AD como b, expresse os vetores (1) AP e (2) AQ em termos de a e b.'

'Exemplo 23 Relação posicional do centróide, circuncentro e ortocentro de um triângulo\nSe o centróide do triângulo ABC for G e o circuncentro for E, prove o seguinte:\n[Universidade de Yamanashi]\n1. Vetor GA + Vetor GB + Vetor GC = Vetor 0\n2. Vetor EA + Vetor EB + Vetor EC = Vetor EH, seja H o ortocentro do triângulo ABC.\n3. Os três pontos E, G e H são colineares e EG:GH = 1:2'

'Exemplo 106 Dilatações de Elipse e Círculo'

'Encontre as coordenadas do ponto R, que está equidistante dos pontos O(0,0,0), F(0,2,0), G(-1,1,2) e H(0,1,3).'

'Encontre a equação polar de uma reta com um ângulo α com a reta inicial.'

'Exemplo 132: Usando a representação paramétrica para encontrar a área mínima do triângulo formado pela tangente da elipse e os eixos de coordenadas'

'Prove as condições quando o triângulo ABC é um triângulo isósceles com AB=BC.'

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'(3) A figura formada pelo segmento de linha AP que passa é a região preta na figura à direita, incluindo a linha de fronteira. Aqui, G e H são os pontos de interseção das duas linhas tangentes desenhadas a partir do ponto A para o círculo K. cos ∠AEH = EH / AE = a / 2a = 1/2, 0 < ∠AEH < π, portanto ∠AEH = π / 3. Além disso, ∠AEH = ∠AEG, então ∠GEH = 2/3π. Assim, a área S da figura formada pelo segmento de linha AP que passa é S = 2 * △AEH + (área do círculo K) - (área do setor EGH) = 2 * (1/2) * a * sqrt(3)a + πa^2 - (1/2) a^2 * (2/3)π = sqrt(3)a^2 + (2/3)πa^2.'

'Essas duas tangentes passam pelo ponto P(x_{0}, y_{0})'

'A equação da reta tangente no ponto P(x1, y1) é (x1 x)/a^2 - (y1 y)/b^2 = 1 (x1 > a), e x1^2/a^2 - y1^2/b^2 = 1. Quando x=a, com y1 ≠ 0, obtém-se y = b^2(x1 - a)/(a y1). Quando x=-a, com y1 ≠ 0, obtém-sey = -b^2(x1 + a)/(a y1). Assim, Q(a, b^2(x1 - a)/(a y1)), R(-a, -b^2(x1 + a)/(a y1)). Por conseguinte, o centro do círculo C1 com diâmetro QR é (0, -b^2/y1), e se o raio for r, então r^2 = a^2 + (b^2 x1/a y1)^2 = a^2 + (b^4 x1^2)/(a^2 y1^2) = a^2 + b^2 + b^4/(y1^2). Assim, a equação do círculo C1 é x^2 + (y + b^2/y1)^2 = a^2 + b^2 + b^4/(y1^2).'

'Desde que $\\mathrm{FP}: \\mathrm{PH}=e: 1$, então $\\mathrm{FP}^{2}=e^{2} \\mathrm{PH}^{2}$, assim'

'Encontre as coordenadas polares do ponto Q.'

'Se o quadrilátero ABDC for um paralelogramo, encontre os valores de a, b, c a partir do vetor AB = CD.'

'Encontre o ângulo agudo formado pelas duas seguintes linhas.'

'(1) Em um triângulo ABC onde AB=8, BC=7 e CA=5, com I sendo o incentro. Expressar o vetor AI em termos dos vetores AB e AC.'

'O ponto Q se move na circunferência com raio 5 centrado no ponto O e o ponto P se move na circunferência com raio 1 centrado no ponto Q. No tempo t, os ângulos formados por OQ e QP com a direção positiva do eixo x são respectivamente t e 15t. Se o ângulo que OP forma com a direção positiva do eixo x é ω, encontre dω/dt.'

'Num tetraedro regular ABCD com comprimento de aresta 2, encontre o produto escalar do vetor AB e do vetor AC.'

'Encontre a equação da reta que bissecta a área do triângulo ABC com vértices A(20,24), B(-4,-3) e C(10,4) e passa pelo ponto P que divide o lado BC na proporção 2:5.'

'Ponto de divisão interna e ponto de divisão externa\nAs coordenadas do ponto que divide o segmento de reta AB na proporção m:n são\nDivisão interna ... ((nx_{1}+mx_{2})/(m+n), (ny_{1}+my_{2})/(m+n))\nDivisão externa ... ((-nx_{1}+mx_{2})/(m-n), (-ny_{1}+my_{2})/(m-n))'

'No plano de coordenadas, as parábolas C₁: y=-p(x-1)²+q e C₂: y=2x² são tangentes à mesma reta no ponto (t, 2t²). Aqui, p e q são números reais positivos, e t está no intervalo 0 < t < 1.'

'Encontre as coordenadas de um ponto P que está equidistante dos pontos A(3,3), B(-4,4) e C(-1,5).'

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'Encontre as coordenadas do ponto P no eixo y equidistante dos pontos A(3,-4) e B(8,6).'

'Qual é o significado do problema dado?'

'(2) No triângulo ABC, seja D o ponto que divide o lado BC na proporção 1:3. Prove que a equação 3AB^{2}+AC^{2}=4AD^{2}+12BD^{2} é verdadeira.'

'Para um ponto P(x, y) no plano xy que não seja a origem O, permita que o ponto Q satisfaça as seguintes condições: (A) Q está na semirreta OP com O como ponto de partida. (B) O produto dos comprimentos dos segmentos de reta OP e OQ é 1. (1) Expresse as coordenadas de Q em termos de x e y. (2) Determine o lugar geométrico de Q à medida que o ponto P se move ao redor do círculo com a equação (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=2, excluindo a origem. (3) Determine o lugar geométrico de Q à medida que o ponto P se move ao redor do círculo com a equação (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=4.'

'Encontre as coordenadas de um ponto P que está equidistante dos pontos A(3,3), B(-4,4) e C(-1,5).'

'Dado três pontos distintos A, B e C na circunferência de um círculo com centro O e raio 1 no plano. Prove que o raio r do círculo inscrito no triângulo ABC é menor ou igual a 1/2.'

'No plano xy da matemática, existem dois pontos P e Q em uma semi-reta com origem O como ponto de partida, satisfazendo OP · OQ = 4. Quando o ponto P se move ao longo da curva (x-2)² + (y-3)² = 13, (x, y)≠(0,0) excluindo a origem, encontre a trajetória do ponto Q.'

'Encontre a trajetória de pontos que estão em uma proporção de distância de 2:1 dos pontos A(-4,0) e B(2,0).'

'Ilustre os raios dos seguintes ângulos. Além disso, identifique em qual quadrante eles se encontram.'

'O ângulo α é tal que 0<α<π/2 e o raio que representa α coincide com o raio que representa 6α. Encontre a magnitude do ângulo α.'

'(5) Encontre o locus de pontos onde o ângulo subtendido nos pontos fixos A e B é ângulo constante α.'

'No triângulo ABC, seja o comprimento dos lados BC, CA e AB a, b, c respectivamente. Se o triângulo ABC estiver inscrito em um círculo de raio 1 e ∠A = π/3, encontre o valor máximo de a + b + c.'

'Curva senoidal que aparece na forma formada ao cortar um cilindro'

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'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'Prove que no triângulo ABC, onde os tamanhos dos ângulos A e B são α e β, respectivamente, e os comprimentos dos seus lados opostos são denotados como a e b, a desigualdade b^2/a^2 < (1-cos β)/(1-cos α) < β^2/α^2 é válida quando 0 < α < β < π.'

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'Considere a Matemática III\nAlém disso, considere a curva cônica quando o valor de 𝑡 é a solução. Prove que é uma hipérbole ou elipse e encontre as coordenadas do foco.'

'Com base na política de edição de gráficos, por favor, resolva o seguinte problema:\n2. Encontre o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo. (Usando o teorema de Pitágoras)\nProblema: Encontre o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo com comprimentos laterais de 3 cm e 4 cm.'

'Traduza a pergunta dada para vários idiomas.'

'Expresse X, Y em termos de x, y e θ quando o ponto P(X, Y) é girado em torno da origem O por um ângulo θ para obter o ponto Q(x, y).'

'Em relação às coordenadas polares, encontre as equações polares do círculo e da linha a seguir. Suponha que a>0.'

'Sejam as coordenadas polares dos pontos A, B, C, e D respectivamente (r₁, θ+π/6), (r₂, θ), (r₃, θ), e (r₄, θ+π/3). O triângulo ABC é um triângulo isósceles com AB=AC, e o triângulo DBC é um triângulo isósceles com DB=DC.'

'Para um triângulo $\\triangle ABC$ com comprimento lateral 2 e $\\cos A=\\frac{7}{9}$, seja o comprimento do lado $AB$ igual a $x(0<x<1)$ e a área de $\\triangle ABC$ seja $S$. [Similar à Universidade de Educação de Aichi] (1) Expresse $S$ em termos de $x$. (2) Encontre o valor máximo de $S$. Além disso, determine os comprimentos dos três lados de $\\triangle ABC$.'

'Por favor, indique a condição para que os pontos A(α), B(β), C(γ), D(δ) sejam tais que AB e CD sejam perpendiculares.'

'No trapézio isósceles ABCD com AD // BC, onde AB=2 cm, BC=4 cm, e ∠B=60°. Se ∠B aumentar em 1°, em quanto a área S do trapézio ABCD aumentará? Assuma que π=3.14.'

'Em coordenadas polares, encontre a equação polar da locus de pontos P onde a razão de distância do polo O e da linha g é constante, passando pelo ponto A(3, π) e perpendicular à linha inicial.'

'Através do ponto O, encontre a equação polar de uma linha que forma um ângulo com a linha inicial e α.'

'Condições para um quadrilátero ser inscrito em um círculo'

'No plano complexo, deixe três pontos O(0), A(α), B(β) formarem um triângulo OAB, onde ∠AOB = π/6 e OA/OB = 1/√3. Então, é válido α^(2)-1 α β+β^(2)=0.'

'Dado que o triângulo ABC com vértices A(-1), B(1), C(√3i) forma um triângulo equilátero e o triângulo PQR com vértices P(α), Q(β), R(γ) forma um triângulo equilátero. Prove que a equação α²+β²+γ²-αβ-βγ-γα=0 é verdadeira.'

'Determine o valor de a para que as retas AB e AC sejam perpendiculares.'

'Como mostrado à direita, quando OP1=1, e P1P2=½OP1, P2P3=½P1P2, ... continuam indefinidamente, a que ponto os pontos P1, P2, P3, ... se aproximam infinitamente?'

'No triângulo OAB, deixe o ponto D dividir o lado AB na proporção 2:1, o ponto E seja o ponto simétrico do ponto D em relação à linha OA, e o ponto F seja a intersecção da perpendicular da ponto B para a linha OA e linha OA. Seja o vetor OA=a, o vetor OB=b, com |a|=4 e a∙b=6. (1) Expresse o vetor OF usando o vetor a. (2) Expresse o vetor OE usando os vetores a e b.'

'Em um plano, temos um triângulo OAB com OA=8, OB=7, AB=9 e um ponto P, onde OP=sOA+tOB é expresso (s, t são números reais).'

'Prove que os pontos A, B e C satisfazem AB ⊥ AC.'

'Para o intervalo de existência de pontos no plano dentro do triângulo OAB, se \ \\overrightarrow{OP} = s\\overrightarrow{OA} + t\\overrightarrow{OB} \, então o intervalo para o ponto P é'

'Quando o comprimento do segmento de linha AB é 8, em que o ponto A está no eixo x e o ponto B se move ao longo do eixo y, encontre a trajetória do ponto P que divide o segmento de linha AB em uma proporção de 3:5.'

'(2) No hexágono regular ABCDEF, expresse o vetor FB em termos do vetor AB e do vetor AC.'

'Existe um pentágono regular com um lado de comprimento 1 no plano, e seus vértices são sequencialmente A, B, C, D, E. Responda as seguintes perguntas:\n(1) Prove que a aresta BC é paralela ao segmento de linha AD.\n(2) Seja F a interseção dos segmentos de linha AC e BD. Descreva a forma do quadrilátero AFDE e forneça seu nome e raciocínio.\n(3) Encontre a proporção dos comprimentos dos segmentos de linha AF e CF.\n(4) Se o vetor AB=a e o vetor BC=b, expresse o vetor CD em termos dos vetores a e b.'

'Encontre a distância entre os pontos A e B quando as coordenadas do ponto A são (3, π/4) e as coordenadas do ponto B são (4, 3π/4) em coordenadas polares.'

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'Num triângulo equilátero ABC com lado de comprimento a, sendo P1 o pé da perpendicular do vértice A ao lado BC, Q1 o pé da perpendicular de P1 ao lado AB, R1 o pé da perpendicular de Q1 ao lado CA e P2 o pé da perpendicular de R1 ao lado BC. Ao repetir este procedimento, são determinados os pontos P1, P2, ..., Pn no lado BC. Encontre o ponto para o qual Pn se aproxima.'

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'No triângulo ABC, há um ponto P no interior. Seja Q a interseção de AP e o lado BC, tal que BQ:QC=1:2, e 24AP:PQ=3:4. Prove que a equação 4PA+2PB+PC=0 é verdadeira.'

'Vamos supor que o perímetro do triângulo ABC é 36 e que o raio do círculo inscrito no triângulo ABC é 3. Encontre a área do triângulo QBC quando o ponto Q satisfaz a condição 6→AQ+3→BQ+2→CQ=→0.'

'No triângulo OAB, deixe o ponto que divide o lado AB na proporção 2:1 ser D, deixe o ponto simétrico ao ponto D em relação à linha OA ser E e deixe F ser a interseção do perpendicular do ponto B com a linha OA. Seja →OA=a, →OB=b, |a|=4, a⋅b=6. (1) Expresse →OF em termos do vetor a. (2) Expresse →OE em termos dos vetores a e b.'

'No quadrilátero ABCD com AD // BC e BC=2AD, prove (1) que os pontos P e Q estão na linha AB. (2) Mostre que os pontos P, Q, e D são colineares.'

'O ponto Q divide internamente o lado AC do triângulo ABC na proporção 1: 2, e o ponto P divide o lado BC na proporção m: n (m>0, n>0). Seja R o ponto de interseção dos segmentos AP e BQ. Uma linha que passa pelo ponto R intercepta os lados AB e AC nos pontos D e E, respectivamente. Além disso, vamos considerar vec{b}=→AB e vec{c}=→AC.\n(1) Expresse o vetor AR em termos de m, n, vec{b}, e vec{c}.\n(2) Seja k=AB/AD+AC/AE. Mostre a relação entre m e n de modo que k seja constante independentemente da posição do ponto D no segmento AB, e encontre o valor de k nesse caso.'

'Prove que o incentro P(z) do triângulo OAB com vértices O(0), A(α) e B(β) satisfaz a equação z=|β|α+|α|β/||α|+|β|+|β-α|.'

'Passe pelo pólo O e encontre a equação polar da reta que forma um ângulo α com a linha inicial.'

'Quando o ponto z se move na figura a seguir, que tipo de figura o ponto w representado por w=(-√3+i) z+1+i desenha? (1) Um círculo com raio de 1/2 centrado em -1+√3i (2) A bissetriz perpendicular do segmento de linha que une os 2 pontos 2,1+√3i'

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'No quadrilátero ABCD, onde AD // BC e BC = 2AD. Responda as seguintes perguntas quando os pontos P e Q satisfazem as condições.'

'Prove que o incentro do triângulo OAB com pontos diferentes O(0), A(α), B(β) como vértices é P(z), onde z satisfaz a equação z = (|β|α + |α|β) / (|α| + |β| + |β-α|).'

'No triângulo OAB, vamos assumir que o ponto C divide o lado OA na proporção 2:1, e o ponto D divide o segmento BC na proporção 1:2. O ponto E é a interseção da reta OD e o lado AB. Expresse os seguintes vetores em termos do vetor OA e do vetor OB.'

'No paralelogramo ABCD, deixe E ser o ponto que divide o lado AB na proporção 3:2, F seja o ponto que divide o lado BC na proporção 1:2, e M seja o ponto médio do lado CD. Seja P a interseção da reta CE e da reta FM, e Q seja a interseção da reta AP e da diagonal BD. Se o vetor AB=a e o vetor AD=b, expresse o vetor (1) AP e (2) AQ em termos de a e b.'

'(3) Uma vez que $\\ sqrt {3} \\ cos \\ frac {\\ pi} {6} = \\ frac {3} {2}, \\ sqrt {3} \\ sin \\ frac {\\ pi} {6} = \\ frac {\\ sqrt {3}} {2}$, as coordenadas do ponto A são $\\ left (\\ frac {3} {2}, \\ frac {\\ sqrt {3}} {2} \\ right)$, portanto, a inclinação da linha OA é $\\ frac {1} {\\ sqrt {3}}$, assim, a inclinação da linha requerida é $- \\ sqrt {3}$. Portanto, a equação é\n$[y- \\ frac {\\ sqrt {3}} {2} = - \\ sqrt {3} \\ left (x- \\ frac {3} {2} \\ right)]$\nque é $\\ sqrt {3} x + y = 2 \\ sqrt {3}$\nSubstituindo $x = r \\ cos \\ \\ theta, y = r \\ sin \\ \\ theta$\n\n$[\\ sqrt {3} r \\ cos \\ theta + r \\ sin \\ theta = 2 \\ sqrt {3}]$'

'No triângulo OAB, deixe o ponto C dividir o lado OA na razão 2:3, e o ponto D dividir o lado OB na razão 4:5. A interseção dos segmentos AD e BC é o ponto P, e a interseção da linha OP com o lado AB é o ponto Q. Se \\\overrightarrow{OA}=\\vec{a}\ e \\\overrightarrow{OB}=\\vec{b}\, expresse \\\overrightarrow{OP}\ e \\\overrightarrow{OQ}\ em termos de \\\vec{a}\ e \\\vec{b}\. [Sim. Univ. Kinki]'

'Seja \ a>0 \. Considere a curva \ K \ representada pela equação polar \\( r=a(1+\\cos \\theta) (0 \\leqq \\theta<2 \\pi) \\) (cardioide). Responda às seguintes perguntas.'

'Quando uma linha que passa pelo baricentro G do triângulo ABC intersecta os lados AB e AC nos pontos 25D e E respectivamente, onde D é diferente dos pontos A e B, e E é diferente dos pontos A e C, prove que DB/AD + EC/AE = 1.'

'(4) Para o plano PQR e a aresta OD, o seguinte se aplica. Quando q=1/4, o plano PQR é? Quando q=1/5, o plano PQR é? Quando q=1/6, o plano PQR é?'

'(1) Provar: No tetraedro OABC, para t tal que 0<t<1, seja K, L, M, N os pontos onde as arestas OB, OC, AB, AC são divididas internamente na proporção 43t:(1-t). Prove que o quadrilátero KLNM é um paralelogramo.'

'Representação de componente do produto escalar'

'Resolver para y em (1), temos y = ± (b/a)√(x² - a²), então y = ± (b/a)x√(1 - a²/x²). À medida que x se aproxima do infinito, y se aproxima de ± (b/a)x. O mesmo ocorre quando x é negativo e seu valor absoluto se aproxima do infinito. Portanto, as duas linhas y = (b/a)x e y = -(b/a)x são as assíntotas da hipérbole (1) (as linhas para as quais uma curva se aproxima à medida que se aproxima). Essas assíntotas também são as duas linhas representadas por (x/a - y/b)(x/a + y/b) = 0 com 1 no lado direito de (1) substituído por 0.'

'Encontre a condição para mostrar que AB é paralelo a CD.'

'Similaridades e diferenças entre plano e espaço 2'

'Encontre as condições para o quadrilátero PQSR ser um paralelogramo.'

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'Considere um triângulo equilátero ABC com lado de comprimento 1 no plano. Para um ponto P, o vetor v(P) é dado por v(P)=→PA−3→PB+2→PC.'

'Os seguintes 4-7 são fatos básicos sobre uma elipse.'

'(2) Vamos denotar ∆ABC como S. Então'

'No plano complexo, considerando A(0), B(β), C(γ), encontre os números complexos que representam os pontos E e G.'

'Para os pontos A(1,2), B(2,3), C(-1,2), encontre a equação da reta que passa pelo ponto A e é perpendicular a BC. Encontre o ângulo agudo α formado pelas retas x-2y+3=0 e 6x-2y-5=0.'

"À medida que k varia de 1 a 2, o segmento de reta A'B' move-se paralelamente ao segmento de reta AB para CD conforme mostrado no diagrama."

'No trapézio ABCD mostrado à direita, onde AD=a e BC=b. Seja E um ponto que divide AB na razão m, e seja F a interseção de CD com a linha que passa por E paralela a AD, então EF=(na+mb)/(m+n) é válido.'

'Que curva resultará da redução ou ampliação do círculo x^2 + y^2 = 4 das seguintes maneiras?\n(1) Reduzindo pela metade ao longo do eixo y\n(2) Ampliando por um fator de 3 ao longo do eixo x'

'Seja O o centróide do triângulo ABC. Uma linha l que passa pelo ponto O, mas não pelo vértice A, intersecta os lados AB e AC nos pontos P e Q, respectivamente. Seja S a área do triângulo ABC e T a área do triângulo APQ. Determine a equação da linha l que minimiza T/S e encontre o valor mínimo de T/S.'

'(1) Círculo com raio 1 centrado no ponto que divide o segmento AB em razão de 2:3\n(2) Círculo com diâmetro AD onde o ponto D divide o lado BC em razão de 3:2'

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'Dentro do triângulo retângulo ABC0 com um ângulo interno de 90 graus, uma série infinita de quadrados B0B1C1D1, B1C2D2, e assim por diante estão sendo construídos. Deixe o comprimento de um lado do enésimo quadrado Bn-1BnCnDn ser an, e sua área ser Sn. Para cada número natural k maior que 1, vale ak=ralpha(k-1), onde a0=1.'

'Prove que no trapézio ABCD, AD // BC e AD: BC = 1:2.'

'Pontos P e Q estão nos lados OA e OB de um triângulo equilátero OAB com um lado de comprimento 1. Quando a área do triângulo OPQ é exatamente a metade da área do triângulo OAB, encontre o intervalo de valores possíveis para o comprimento de PQ.'

'Encontre as coordenadas do ponto Q, que divide o segmento de linha AB na razão m:n.'

'No hexágono regular $\\mathrm{ABCDEF}$, expresse $\\overrightarrow{\\mathrm{FB}}$ em termos de $\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}$ e $\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$.'

'Questão 62\n(1) Determine os pontos D que dividem internamente o segmento de reta BC na proporção 5:4, e os pontos E que dividem internamente o segmento de reta AD na proporção 2:1.\n(2) Encontre a proporção de V_{1} : V_{2}.'

'(1) Triângulo retângulo isósceles com BA=BC\n(2) Triângulo equilátero\n(3) Triângulo retângulo com ∠A=π/3, ∠B=π/6, ∠C=π/2'

'No plano complexo, vamos designar os pontos que representam z1, z2, z3, z4, z5 como A, B, C, D, E, respectivamente. Dos seguintes (0) a (5), os corretos são (E) e (G). (0) △ABC é um triângulo equilátero. (1) △BCD é um triângulo equilátero. (2) △OCE é um triângulo retângulo. (3) △BCE é um triângulo retângulo. (4) O quadrilátero ABDC é um paralelogramo. (5) O quadrilátero AOEC é um paralelogramo.'

'Prove os seguintes teoremas usando o plano complexo: (1) No triângulo ABC, com os pontos médios de AB e AC como D e E respectivamente, temos que BC // DE e BC = 2DE (Teorema do Ponto Médio). (2) No triângulo ABC, quando o ponto médio de BC é M, a equação AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2) é verdadeira (Teorema da Mediana).'

'Prove que no triângulo isósceles ABC, ao tomar o ponto D na base BC e desenhar a corda ADE da circunferência do triângulo ABC. Nesse ponto, o quadrado de AB é igual a AD vezes AE.'

'238'

'Desenhando similaridade com 64 métodos semelhantes'

'(2) No triângulo $ABC$, o ponto $D$ está na extensão do lado $BC$, os pontos $E$ e $F$ estão nos lados $AC$ e $AB$ respectivamente, satisfazendo as seguintes condições: $\\frac{BD}{DC}=\\frac{AB}{AC} \\cdots \\cdots \\\\ \\frac{CE}{EA}=\\frac{BC}{BA} \\cdots \\cdots \\\\ \\frac{AF}{FB}=\\frac{AC}{BC} \\cdots \\cdots$'

'Questão 51 | Tamanho dos lados e ângulos em um triângulo\nNo triângulo ABC, seja M o ponto médio do lado BC e D o ponto de interseção do bissetor do ângulo A e do lado BC.\nProve o seguinte (1), (2):\n(1) AB > BD\n(2) Se AB > AC, então ∠BAM < ∠CAM'

"Exercício 44: Seja a interseção de AB e PQ R e a interseção de PQ e CD seja R'. Como AD//BC, temos PR:RQ=AP:BQ, PR':R'Q=PD:QC, AP:PD=BQ:QC=m:n. AP:BQ=½AD:½BC=AD:BC, PD:QC=¼AD:¼BC=AD:BC. Portanto, AP:BQ=PD:QC."

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'Teorema de Pitágoras e sua inversa: No triângulo ABC, se BC=a, CA=b, AB=c, então ∠C=90° se e somente se a²+b²=c².'

'Exemplo importante 102 Forma de um triângulo'

'No triângulo ABC, de acordo com o teorema do cosseno, cos B = \\frac{144+121-100}{2 \\cdot 12 \\cdot 11} = \\frac{165}{2 \\cdot 12 \\cdot 11} = \\frac{5}{8}. A partir do (1), AD^2 = 144+36-144 \\cdot 6 \\cdot \\frac{5}{8} = 90 e como AD > 0, então AD = 3 \\sqrt{10}. Vamos chamar ∠ADB = θ. No triângulo ABD, de acordo com o teorema do cosseno, AB^2 = AD^2 + BD^2-2AD \\times BD \\cos θ. Além disso, BD:CD = 2:3, então CD = \\frac{3}{2}BD. No triângulo ADC, de acordo com o teorema do cosseno, AC^2 = AD^2 + CD^2-2AD \\times CD \\cos(180^{\\circ}-θ) = AD^2+\\left(\\frac{3}{2}BD\\right)^2+2AD \\times \\frac{3}{2}BD \\cosθ = AD^2+\\frac{9}{4}BD^2+3AD \\times BD \\cosθ. Portanto, 6AB^2 + 4AC^2 = 6(AD^2+BD^2-2AD \\times BD \\cosθ) + 4(AD^2+\\frac{9}{4}BD^2+3AD \\times BD \\cosθ) = 10AD^2+15BD^2.'

'Explique e prove as condições de semelhança de triângulos.'

'No triângulo \ \\triangle ABC \, se os pontos \ P \ e \ Q \ estão nas retas dos lados \ AB \ e \ AC \ ou sua extensão, então as seguintes propriedades são verdadeiras: \n[1] \ PQ // BC \\Leftrightarrow AP: AB=AQ: AC \\n[2] \ PQ // BC \\Leftrightarrow AP: PB=AQ: QC \\n[3] \ PQ // BC \\Longrightarrow AP: AB=PQ: BC \'

'Em △ABC, visto que OA=OC, o ângulo OCA=ângulo OAC=40°, logo α=180°-2×40°=100°. Além disso, como OA=OB, OB=OC, o ângulo OAB=ângulo OBA=β, e o ângulo OBC=ângulo OCB=25°. Portanto, em △ABC, 2×40°+2×25°+2β=180°, assim 2β=50°, dessa forma β=25°. Outra solução: Primeiro encontrar β, então, de acordo com o teorema do arco inscrito, α=2(β+25°)=2(25°+25°)=100°.'

'Se o raio do círculo circunscrito for R, conforme o teorema do seno, 6/sin C = 2R, então R = 8/√7 = 8√7/7. Se o raio do círculo inscrito for r, então △ABC = r/2(6+4+5), △ABC = 15√7/4, logo r = √7/2.'

'Problema de prática: O ponto M divide o lado AB do triângulo ABC na proporção 1:2, e o ponto N divide o lado BC na proporção 3:2. A interseção do segmento de linha AN e CM é O, e a interseção do segmento de linha BO e o lado AC é P. Se a área do triângulo AOP é 1, encontre a área do triângulo ABC.'

'Problema de encontrar os comprimentos $a, b$ ou ângulos $x, y$ no diagrama: \\n$i. Em (1)$, $DE // BC$,\\n$ii. Em (2)$, $AD // BC, AD=BC$, e $AE$ bissecta $\\angle A$,\\n$iii. Em (3)$, $\triangle ABC$ é um triângulo equilátero, com $AD=EC$.'

'Pelo teorema do cosseno'

'Os ângulos subtendidos pelos arcos PS e PT deste círculo são iguais'

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'No livro de matemática A, exemplo 29 na página 337, AD é a bissetriz do ângulo ∠A, então BD:DC=AB:AC=12:9=4:3. Portanto, DC=3 / (4+3) * BC = 3 / 7 * 6 = 18 / 7. Além disso, AE é a bissetriz do ângulo externo de ∠A, então BE:EC=AB:AC=12:9=4:3. BC:CE=(4-3):3=1:3. Logo, CE=3 * BC=3 * 6=18. Consequentemente, DE=DC+CE=18 / 7 + 18=144 / 7.'