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Geometria e Medição
Geometria Plana - Semelhança e Congruência
Q.01
'No triângulo ABC, onde 43AB=6, AC=4 e cosB=3/4, responda às seguintes perguntas: (1) Encontre o comprimento do lado BC. (2) Quando o ângulo C é agudo, encontre a área do triângulo ABC. (3) Para o triângulo ABC da questão (2), determine os raios de sua circunferência e círculo inscrito.'
A. ...
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'Ilustre as regiões representadas pelas seguintes desigualdades.'
A. ...
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'Seja o raio do círculo inscrito r, o raio do círculo circunscrito R, e h=r/R. Além disso, ∠A=2α, ∠B=2β, ∠C=2γ.'
A. ...
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'Pontos de Divisão Interna e Externa\nEncontre as coordenadas dos pontos que dividem interna e externamente o segmento de linha AB na proporção de m para n.\nPonto de divisão interna \nPonto de divisão externa '
A. ...
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'Prática (1) Quando o triângulo PAB com os pontos A(0, -2), B(0, 6) e o ponto P como vértices se move de forma que AP:BP=1:3, encontre a trajetória do ponto P.'
A. ...
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'Compreender as coordenadas dos pontos de divisão interna e externa entre dois pontos.'
A. ...
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'Ao reduzir a figura A para 1/4, obtém-se uma figura semelhante, que quando colocada em (1) a (3) da figura A, resulta na figura B. Em seguida, ao reduzir a figura B para 1/4, obtém-se uma figura semelhante, que ao ser colocada novamente em (1) a (3) da figura A, resulta em uma forma auto-similar. Aplique essa forma auto-similar ao padrão do triângulo de Pascal.'
A. ...
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'Encontre o ângulo agudo formado pelas duas retas y=5x(1) e y=\\frac{2}{3}x(2).'
A. ...
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'Converta os seguintes ângulos de graus para radianos e de radianos para graus.'
A. ...
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'TR 132\nEncontre o ângulo formado pelas linhas 2 \ y=-\\frac{2}{5} x \ (1) e \ y=\\frac{3}{7}x \ (2).\nPressupondo que o ângulo formado pelas duas linhas é agudo.\nDeixe que o ângulo formado pelas linhas (1) e (2) com a direção positiva do eixo \ x \ seja denotado por \ \\alpha, \eta \'
A. ...
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'Encontre a trajetória de um ponto P equidistante dos pontos A(-1,-2) e B(-3,2).'
A. ...
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'Utilize a fórmula de adição para encontrar os valores de sin 75° e tan 15°. Como 75° não é um ângulo padrão no transferidor, não pode ser calculado diretamente usando as definições trigonométricas. Ao expressar 75° em termos da soma ou diferença de ângulos como 30°, 45°, 60°, etc., você pode usar a fórmula de adição para determinar as funções trigonométricas de 75°.'
A. ...
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'As duas linhas a seguir são paralelas ou perpendiculares?'
A. ...
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'(1) A coordenada x dos pontos de interseção das parábolas P₁ e P₂ é dada pela equação x² - 2tx + 2t = -x² + 2x, que simplifica para x² - (t+1)x + t = 0. Resolvendo isso, obtemos (x-1)(x-t) = 0, o que leva a x=1, t. Quando 0<t<1, S é a área da região vermelha no diagrama, dada por'
A. ...
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Join our DiscordQ.17
'Condição para duas retas serem perpendiculares\nPara duas retas y=m_{1} x+n_{1} e y=m_{2} x+n_{2}, as retas são perpendiculares quando o produto de suas inclinações é -1.'
A. ...
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Join our DiscordQ.18
'Quando o tamanho de um ângulo representado por um raio é especificado, a posição do raio é determinada, mas, inversamente, mesmo que a posição do raio seja determinada, há inúmeros ângulos que ele pode representar, não apenas um. Isso ocorre porque o raio retorna à sua posição original após uma rotação completa.\\n\\nO ângulo formado pelo raio OP e a linha inicial OX é denotado por , então o ângulo representado pelo raio OP é é um inteiro que é o mesmo para raios'
A. ...
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'O ponto de divisão e o ponto de divisão externo m, n são números positivos. Quando um ponto P no segmento de linha AB satisfaz AP: PB = m: n, diz-se que o ponto P divide o segmento de linha AB na proporção m: n, e o ponto P é chamado de ponto interno do segmento de linha AB. Além disso, quando um ponto Q na extensão do segmento de linha AB satisfaz AQ: QB = m: n (m≠n), diz-se que o ponto Q divide o segmento de linha AB na proporção m: n, e o ponto Q é chamado de ponto externo do segmento de linha AB. Geralmente, o seguinte é válido:\nDivisão interna\nDivisão externa quando m>n'
A. ...
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Join our DiscordQ.20
'Encontre a trajetória do ponto P de modo que a razão de suas distâncias dos pontos O(0,0) e A(3,6) seja 1:2.'
A. ...
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Join our DiscordQ.23
'Escolha uma camada dos pontos A a F no ponto Y que seja igual à camada e no ponto X na Figura 2, e forneça o símbolo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.25
'A área sombreada do triângulo na figura à direita (4) é denominada de K. Supondo que a área do quadrilátero ABCD seja 1, a área do retângulo BCQP também é 1, então a área do retângulo RPQS também é 1. A área do triângulo RPQ é 1/2. Além disso, os triângulos RBU e QSU são semelhantes, com uma razão de semelhança de RB: QS = 2:1, logo RU: UQ = 2:1. Adicionalmente, os triângulos PBT e QST são congruentes, então sabe-se que PT = TQ. Portanto, K é 1/2 vezes a área do triângulo RPQ, que é 1/6 vezes, logo K = 1/2 * 1/6 = 1/12. Logo, a área do quadrilátero ABCD é 12 vezes K.'
A. ...
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Join our DiscordQ.26
'4 Figuras Planas - Proporções de Lados e Áreas (1) Como mostrado no diagrama à direita, marque o centro do círculo como O e una O com os pontos E, F, G e H na circunferência. Além disso, uma vez que o triângulo ABD é equilátero, os ângulos marcados com símbolos são de 60 graus, e os ângulos marcados com • são de 60 ÷ 2 = 30 graus. Assim, todos os triângulos retângulos com ○ e são a metade de triângulos equiláteros. Portanto, focando no triângulo ODH, HD:OD = 1:2, e focando no triângulo AOD, OD:AD = 1:2, então se o comprimento de HD for considerado como 1, o comprimento de OD é 1 × 2/1 = 2 e o comprimento de AD é 2 × 2/1 = 4. Logo, AH:HD = (4-1):1 = 3:1.'
A. ...
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Join our DiscordQ.28
'Problema sobre medição de comprimento e precisão (1) A escala divide 39 mm em 20 partes iguais e tem a linha graduada mais fina desenhada nela, então o intervalo de uma graduação é de 39 ÷ 20 = 1,95 (mm).'
A. ...
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Join our DiscordQ.29
'Na Figura 10, a distância entre XY é de 65-30=35 (incrementos) como medido pelo micrômetro do ocular, e são 50 incrementos como medidos pelo micrômetro do objetivo. Um incremento no micrômetro do objetivo é de 10 micrômetros, então com 50 incrementos, ele se torna 10 x 50 = 500 micrômetros. Portanto, o comprimento visível para cada incremento no micrômetro do ocular é de 500 ÷ 35 = 14.28..., que é igual a 14,3 micrômetros.'
A. ...
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Join our DiscordQ.30
'Em relação à parte sublinhada na linha 4, as frases A a C descrevem qual dos montes Rausudake, Iwakisan ou Choukaisan. Escolha a combinação correta de frase e montanha nas opções seguintes e responda com o número correspondente.'
A. ...
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Join our DiscordQ.31
'Ao investigar esta terra, descobriu-se que o comprimento de AC é de 15 metros, o comprimento de BC é de 18 metros e o tamanho do ângulo B é exatamente o dobro do tamanho do ângulo C. Neste caso, a que distância está T de B?'
A. ...
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Join our DiscordQ.32
'Ao cortar este sólido com um plano que passa pelos pontos P, Q e F, o plano intersectou a aresta AE no ponto R.'
A. ...
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Join our DiscordQ.33
'A seguir, desenhe uma linha perpendicular à linha que une o centro O e o ponto B, passando pelo ponto B. O ponto onde as duas linhas se cruzam é o ponto C. Como os comprimentos de CA e CB são sempre iguais, um círculo pode ser desenhado com o ponto C como centro e passando pelos pontos A e B. O arco deste círculo é o caminho percorrido pelo alienígena Poan.'
A. ...
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Join our DiscordQ.34
'Considerando a mesma abordagem do (2)(1), temos OI:ID=3:1, o que significa que se a área do triângulo HID for tomada como 1, então a área do triângulo HOI é 1 × 3/1 = 3. Portanto, a área do quadrilátero EFGH é 3 × 8 = 24. Além disso, a área do triângulo HOD é 1 + 3 = 4, então a área do triângulo AOH é 4 × 3/1 = 12, e a área do triângulo AOD é 4 + 12 = 16. Logo, a área do quadrilátero ABCD é 16 × 4 = 64, e a proporção das áreas do quadrilátero EFGH para o quadrilátero ABCD é 24:64 = 3:8.'
A. ...
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Join our DiscordQ.35
'(2) Se o triângulo CDB for congruente ao triângulo FDE na figura acima (3), encontre a medida do ângulo FED.'
A. ...
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Join our DiscordQ.36
'A área do triângulo AFC é igual à área do triângulo AEC. Além disso, quando ambos os triângulos são adicionados ao triângulo ADC, as áreas dos triângulos CDF e AED também são iguais. Portanto, a área do triângulo AED é 3 × 1 ÷ 2 = 1,5 (cm^2), então a área do triângulo CDF também é de 1,5 cm^2 e a área do quadrado com CD como um lado é o dobro da área do triângulo CDF, que é 1,5 × 2 = 3 (cm^2).'
A. ...
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Join our DiscordQ.37
'Sobre dois micrômetros, escolha uma das opções para a visibilidade quando a ampliação da lente ocular é aumentada de 10x para 40x, e forneça o símbolo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.38
'No triângulo ABC, o ângulo B é reto e no triângulo ACD, o ângulo C também é reto, e os ângulos marcados com pontos são iguais. O ponto E é a interseção das extensões dos lados BC e AD. O comprimento do lado AB é de 2 cm e o comprimento do lado BC é de 1 cm. (2) Qual é o comprimento de CE em cm?'
A. ...
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Join our DiscordQ.39
'(1) À medida que o valor da distância aumenta na Figura 2, o valor da iluminância diminui. Em outras palavras, à medida que a distância entre a lâmpada e o medidor de iluminância aumenta, a iluminância diminui.'
A. ...
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Join our DiscordQ.40
'Na figura (2), Mark se move ao longo da circunferência com X como centro inicialmente, enquanto Harry se move ao longo da circunferência com Y como centro. Na figura (2), o triângulo OFX e o triângulo YOX são ambos triângulos que são a metade de um triângulo equilátero, então se estabelecermos XF=1, então OX=1×2=2, e XY=2×2=4. Portanto, a razão dos raios das circunferências que Mark e Harry se movem é XF:YF=1:(4-1)=1:3. Em seguida, o ângulo central da parte em que Mark se move é de 120 graus, e há um total de 6 dessas partes. Além disso, o ângulo central da parte em que Harry se move é de 60 graus, e há um total de 3 dessas partes. Portanto, a razão das distâncias que Mark e Harry percorrem é {1×2×π×120/360×6}:{3×2×π×60/360×3}=4:3, então podemos determinar que a velocidade de Mark é 4/3=1 1/3 vezes a velocidade de Harry.'
A. ...
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Join our DiscordQ.41
'Em outro método de resolução, na figura 4, os triângulos DBG e DCG são congruentes, sendo o ângulo BDG θ e o ângulo CDG φ, então θ + φ = 90 graus, de modo que a soma de 2θ e 2φ seja 180 graus. Portanto, o tamanho do ângulo ADB é 2θ. Além disso, ao tomar o ponto H em BD de modo que AD = AH, os triângulos ATH e ATD são congruentes, o que implica que o tamanho do ângulo AHT também é 2θ. Consequentemente, a partir dos ângulos exteriores do triângulo ABH, descobrimos que o tamanho do ângulo HAB é θ, como mostrado na figura 5. Na figura 5, AC tem um comprimento de 15 metros, e os comprimentos de DB e DC são iguais, fazendo com que o comprimento do segmento de linha em negrito seja de 15 metros. Além disso, dado que AD = BH e DT = HT, o comprimento de BT é metade do comprimento do segmento de linha em negrito, ou seja, 15 ÷ 2 = 7,5 metros. Vale ressaltar que o comprimento de BT é independente do comprimento de BC.'
A. ...
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Join our DiscordQ.42
'Uma vez que o triângulo ADC e o triângulo CDB são semelhantes, CD=□cm, o que pode ser expresso como 1:□=□:3. Além disso, quando P:Q=R:S, Q × R=P × S, então □ × □=1 × 3=3. Portanto, a área do quadrado com CD como um lado também pode ser calculada como 3 cm^2.'
A. ...
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Join our DiscordQ.43
'Determine o valor de p, para que os dois vetores m=(1, p) e n=(p+3, 4) se tornem paralelos.'
A. ...
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Join our DiscordQ.44
'Prove: No triângulo ABC, se os lados BC, CA e AB forem divididos internamente pelos pontos P, Q e R na proporção m:n (m>0, n>0), e se 24R, então os baricentros dos triângulos ABC e PQR coincidem.'
A. ...
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Join our DiscordQ.45
'Indique as condições para que o segmento de reta AB e CD sejam paralelos, bem como as condições para que sejam perpendiculares, para diferentes pontos A (α), B(β), C (γ), D (δ).'
A. ...
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Join our DiscordQ.46
'Para o intervalo de existência do ponto P no triângulo OAB no plano, se OP = sOA + tOB, então o intervalo de existência do ponto P é o seguinte: (1) Linha AB se e somente se s + t = 1; em particular, segmento de linha AB se e somente se s + t = 1, s ≥ 0, t ≥ 0. (2) O perímetro e o interior do triângulo OAB se e somente se 0 ≤ s + t ≤ 1, s ≥ 0, t ≥ 0. (3) O perímetro e o interior do paralelogramo OACB se e somente se 0 ≤ s ≤ 1 e 0 ≤ t ≤ 1.'
A. ...
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Join our DiscordQ.47
'No plano xy, considere os pontos \\( \\mathrm{F}_1(a, a), \\mathrm{F}_2(-a,-a) \\) e seja \ \\mathrm{P} \ um ponto cujo produto de distâncias desses pontos é um valor constante de \ 2 a^2 \. Denomine a trajetória do ponto \ \\mathrm{P} \ como \ C \. É dado que \ a>0 \.\n(1) Encontre a equação de \ C \ em termos das coordenadas cartesianas \\( (x, y) \\).\n(2) Encontre a equação polar de \ C \ com a origem como polo e o eixo x positivo como a linha inicial, em coordenadas polares \\( (r, \\theta) \\).\n(3) Prove que a porção de \ C \ excluindo a origem encontra-se no intervalo combinado do primeiro e terceiro quadrante no plano.'
A. ...
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Join our DiscordQ.48
'Converta coordenadas cartesianas (x, y) em coordenadas polares (r, θ).'
A. ...
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Join our DiscordQ.49
'Num exercício prático, 3 pontos A, B, C estão localizados em um círculo com centro O e raio 1, de modo que (3) 3213OA + 12OB + 5OC = 0. Seja o ângulo AOB α e o ângulo AOC β. Determine: (1) Prove que OB é perpendicular a OC. (2) Encontre o coseno de α e o coseno de β.'
A. ...
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Join our DiscordQ.50
'Em um triângulo equilátero ABC com lado a, seja P₁ o pé da perpendicular do vértice A ao lado BC. Seja Q₁ o pé da perpendicular de P₁ ao lado AB; R₁ o pé da perpendicular de Q₁ ao lado CA; e P₂ o pé da perpendicular de R₁ ao lado BC. Ao repetir esse processo, os pontos P₁, P₂, ..., Pn, ... estarão localizados no lado BC. Determine a posição limite do ponto Pn. O ângulo é basicamente 26°.'
A. ...
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Join our DiscordQ.51
'(4) Ortocentro (no caso de um triângulo agudo \ \\triangle \\mathrm{ABC} \) o ponto de interseção de três altitudes \\( \\mathrm{H}(\\vec{h}) \\)\nSejam \ \\mathrm{D}, \\mathrm{E} \ os pontos de interseção da linha \ \\mathrm{AH} \ com o lado \ \\mathrm{BC} \ e da linha \ \\mathrm{CH} \ com o lado \ \\mathrm{AB} \ respectivamente, então \ \\mathrm{BD}=\\frac{\\mathrm{AD}}{\\tan B}, \\mathrm{DC}=\\frac{\\mathrm{AD}}{\\tan C} \ resulta em\n\\\mathrm{BD}: \\mathrm{DC}=\\tan C: \\tan B\\nDa mesma forma, \ \\mathrm{AE}: \\mathrm{EB}=\\tan B: \\tan A \\nPortanto, a partir de (*) obtemos \ \\triangle \\mathrm{BCH}: \\triangle \\mathrm{CAH}: \\triangle \\mathrm{ABH}=\\tan A: \\tan B: \\tan C \\nAssim, de \\left( ** \\) temos que \\( \\quad \\vec{h}=\\frac{(\\tan A) \\vec{a}+(\\tan B) \\vec{b}+(\\tan C) \\vec{c}}{\\tan A+\\tan B+\\tan C} \\)'
A. ...
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Join our DiscordQ.52
'Encontre as equações polares do círculo e da linha a seguir em coordenadas polares. Assuma que a>0.'
A. ...
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Join our DiscordQ.53
'Seja s diferente de 0. Para 3 pontos distintos O(0,0), P(s, t), Q(s+6t, s+2t), onde os pontos P, Q estão no mesmo quadrante e OP // OQ, seja α o ângulo entre a reta OP e a direção positiva do eixo x. Encontre o valor de tan α.'
A. ...
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Join our DiscordQ.54
'Problema 107: Aplicações da trigonometria\nPara medir a altura de um edifício, foi medido o ângulo de elevação para o ponto P mais alto do edifício a partir de um ponto a 10 metros de distância e a uma altura de 1,5 metros, resultando em 65 graus.\nUsando a tabela trigonométrica no final do livro, responda às seguintes perguntas:\n(1) Determine a altura deste edifício. Arredonde para o metro mais próximo.\n(2) A partir de um ponto a 15 metros do edifício, determine o ângulo de elevação para o ponto P, seguindo o mesmo procedimento.'
A. ...
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Join our DiscordQ.55
'No triângulo ABC, ∠C=90°, AB:AC=5:4. Na extensão do lado BC além do ponto C, tome CD=376. Seja E o ponto médio do lado AB e seja BF a perpendicular traçada do ponto B à linha AD. Responda às seguintes perguntas: (1) Prove que EF=EC. (2) Encontre a razão das áreas do triângulo ABC para o triângulo CEF.'
A. ...
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Join our DiscordQ.56
'Provar que em um triângulo não equilátero ABC, quando O é o circuncentro, G é o baricentro e H é o ortocentro, G está sobre o segmento OH e OG:GH=1:2.'
A. ...
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Join our DiscordQ.57
'Usando a regra do seno e a regra do cosseno: Encontre os lados e ângulos do triângulo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.59
'Ângulo circunferencial: O tamanho do ângulo circunferencial para um arco é constante, metade do tamanho do ângulo central para esse arco.'
A. ...
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Join our DiscordQ.60
'Há uma piscina circular em um parque próximo. Um dia, eu e meu amigo decidimos medir a área desta piscina, então saímos com uma fita métrica e giz. Marcamos os pontos A, B e C em três lugares na borda da piscina. Quando medimos as distâncias horizontais AB, BC, CA, elas foram 9m, 6m, 12m respectivamente. 1. Encontre o seno, coseno e tangente do ângulo ABC. 2. Encontre a área desta piscina.'
A. ...
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Join our DiscordQ.61
'Seja θ um ângulo agudo. Quando um dos sin θ, cos θ, tan θ assume um valor específico, encontre os valores dos outros 2 rácios trigonométricos em cada caso.'
A. ...
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Join our DiscordQ.62
'Em ABC, onde AB = 3, AC = 2 e ∠BAC = 60°, seja D o ponto de interseção entre o bissetor do ângulo A e BC. Encontre o comprimento do segmento AD.'
A. ...
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Join our DiscordQ.64
'Prove que no triângulo ABC, quando os tamanhos dos ângulos A, B, C são representados respectivamente por A, B, C, a equação cos((A+B)/2) = sin(C/2) é verdadeira.'
A. ...
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Join our DiscordQ.65
'Teorema de Ceva\nQuando uma linha conectando os 3 vértices A, B e C do triângulo ABC ou pontos em ou estendidos a partir dos lados BC, CA, AB se intersecta com os lados ou suas extensões, e os pontos de interseção são P, Q, R, então\n\ \\frac{BP}{PC} \\cdot \\frac{CQ}{QA} \\cdot \\frac{AR}{RB} = 1 \'
A. ...
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Join our DiscordQ.66
'No triângulo ABC, senA:senB:senC=5:7:8. Portanto, cosC é (preencha o espaço em branco). Além disso, se o comprimento do lado BC for 1, a área do triângulo ABC é (preencha o espaço em branco).'
A. ...
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Join our DiscordQ.68
'Relação entre os lados e ângulos de um triângulo\nTeorema\n14\n1. Em um triângulo\n 1. Em um triângulo, o ângulo oposto ao lado maior é maior do que o ângulo oposto ao lado menor.\n 2. Em um triângulo, o lado oposto ao ângulo maior é maior do que o lado oposto ao ângulo menor.\nOu seja, \ \\mathrm{AB}<\\mathrm{AC} \\Leftrightarrow \\angle \\mathrm{C}<\\angle \\mathrm{B} \'
A. ...
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Join our DiscordQ.69
"Quando os círculos O e O' com raios 5 e 8 respectivamente são tangentes externamente no ponto A, e a linha tangente externa comum desses dois círculos intersecta os círculos O e O' nos pontos B e C, respecivamente, sendo a interseção da extensão de BA e do círculo O' o ponto D. Provar: (1) AB é perpendicular a AC. (2) Provar que os pontos C, O', D são colineares. (3) Encontrar a razão de AB:AC:BC."
A. ...
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Join our DiscordQ.70
'No triângulo ABC, seja R o raio da circunferência circunscrita. Se A=30°, B=105°, a=5, encontre os valores de R e c.'
A. ...
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Join our DiscordQ.71
'Número de retângulos (incluindo quadrados) formados pela interseção de 7 linhas x=k(k=0,1,2,⋯6) e 5 linhas y=l(l=0,1,2,3,4) no plano de coordenadas. Além disso, número de retângulos com área de 4.'
A. ...
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Join our DiscordQ.73
'Exemplo básico 70 Proporção entre áreas do centróide e triângulo'
A. ...
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Join our DiscordQ.75
'Exemplo 124 Ângulo máximo de um triângulo Num triângulo ABC, encontre a medida do maior ângulo deste triângulo sob as seguintes condições. (1) a/13=b/8=c/7 (2) sinA: sinB: sinC=1: √2: √5'
A. ...
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Join our DiscordQ.76
'Usando a regra do seno, encontre os comprimentos dos outros lados do triângulo a seguir: A é de 45° e o comprimento do lado oposto a é 2.'
A. ...
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Join our DiscordQ.77
'Existe uma peça de origami em forma de triângulo equilátero ABC com um lado de 10 cm. Pontos D no lado AB e E no lado AC são escolhidos de forma que o segmento DE seja paralelo ao lado BC. Ao dobrar o papel ao longo do segmento DE, seja S a área da sobreposição entre o triângulo ADE e o quadrilátero BCED. O valor máximo de S ocorre quando o comprimento do segmento DE é x cm, e neste ponto, S = y cm².'
A. ...
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Join our DiscordQ.79
'(2) No triângulo ABC, onde AB=4, BC=3 e CA=2, deixe D e E serem os pontos onde o ângulo A e seus bissetores do ângulo exterior intersectam a linha BC. Determine o comprimento do segmento DE.'
A. ...
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Join our DiscordQ.80
'Dentro do ângulo agudo PR XOY, 2 pontos A e B são fornecidos conforme mostrado na figura à direita. Nas semirretas 480 X e OY, pontos P e Q são tomados respectivamente para minimizar AP + PQ + QB, onde os pontos P e Q devem ser colocados respectivamente?'
A. ...
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Join our DiscordQ.81
'No triângulo ABC à direita, G é o baricentro do triângulo ABC, e o segmento GD é paralelo ao lado BC. Encontre a proporção das áreas dos triângulos DBC e ABC.'
A. ...
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Join our DiscordQ.82
'Comprimento do bissetor de um ângulo em um triângulo'
A. ...
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Join our DiscordQ.83
'No triângulo ABC, pelo teorema do cosseno\n\n\\[\n\egin{array}{l} \\cos \\angle \\mathrm{ACB}=\\frac{(\\sqrt{3}+1)^{2}+(\\sqrt{6})^{2}-2^{2}}{2(\\sqrt{3}+1) \\cdot \\sqrt{6}} \\\\\n=\\frac{2 \\sqrt{3}+6}{2 \\sqrt{6}(\\sqrt{3}+1)} \\\\\n=\\frac{2 \\sqrt{3}(1+\\sqrt{3})}{2 \\sqrt{6}(\\sqrt{3}+1)} \\\\\n=\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\\n\\text { Portanto } \\quad \\angle \\mathrm{ACB}=45^{\\circ} \\\\\n\\text { Logo } \\quad \\angle \\mathrm{ACD}=75^{\\circ}-45^{\\circ}=30^{\\circ} \\\\n\\text { Assim }\n\\end{array}\n\\]\n'
A. ...
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Join our DiscordQ.84
'A partir das condições dadas, ao determinar os outros três elementos de um triângulo, os métodos para usar os teoremas com base nas condições são os seguintes: 1. 1 lado e seus ângulos adjacentes (obter b, c, A a partir das condições de a, B, C) A = 180° - (B + C); Teorema do seno: a / sinA = b / sinB = c / sinC; 2. 2 lados e o ângulo incluso (obter a, B, C a partir das condições de b, c, A) Teorema do cosseno a² = b² + c² - 2bc cosA para encontrar a; Teorema do cosseno cosB = (c² + a² - b²) / (2ca) para encontrar B; C = 180° - (A+B); 3. 3 lados (obter A, B, C a partir das condições de a, b, c) Teorema do cosseno cosA = (b² + c² - a²) / (2bc) para encontrar A; Teorema do cosseno cosB = (c² + a² - b²) / (2ca) para encontrar B; C = 180° - (A + B).'
A. ...
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Join our DiscordQ.85
'No triângulo ABC, quando sin A: sin B: sin C = 5: 16: 19, encontre a medida do maior ângulo neste triângulo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.87
'Prove o seguinte num triângulo ABC com um ângulo agudo (AB > AC) com o bissetor do ângulo A AD, mediana AM, perpendicular AH:'
A. ...
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Join our DiscordQ.88
'Há um quadrilátero ABCD inscrito em um círculo. Se AB=8, BC=3, BD=7, e AD=5, encontre o comprimento de A e do lado CD. Além disso, encontre a área S do quadrilátero ABCD.'
A. ...
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Join our DiscordQ.89
'No triângulo ABC, se C é 45 graus, b é a raiz quadrada de 3, e c é a raiz quadrada de 2, encontre A, B e a.'
A. ...
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Join our DiscordQ.90
'(3) Como , temos que , portanto . Além disso, , então , assim . Logo, .'
A. ...
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Join our DiscordQ.91
'O quadrilátero ABCD está circunscrito ao círculo O. Vamos considerar os pontos de interseção dos lados AB, BC, CD, DA com o círculo O respectivamente como P, Q, R, S, e vamos considerar as medidas dos segmentos de linha AP, BQ, CR, DS como a, b, c, d. Quando nenhum dos três raios AC, PQ, RS são paralelos entre si:\n(1) Supondo que o ponto de interseção de AC e PQ é X, prove que AX: XC = a: c.\n(2) Supondo que o ponto de interseção de AC e RS é Y, prove que AY: YC = AX: XC.'
A. ...
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Join our DiscordQ.92
'Descreva as propriedades do triângulo A: a^2 = 64, b^2 + c^2 = 61'
A. ...
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Join our DiscordQ.93
'Num triângulo isósceles, os dois ângulos da base são iguais. Além disso, o bissetor do ângulo do vértice de um triângulo isósceles bissecta a base perpendicularmente. Usando essa informação, resolva o seguinte problema: No triângulo isósceles ABC, se o ângulo do vértice ∠A = 100 graus, qual é a medida do ângulo da base ∠B?'
A. ...
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Join our DiscordQ.94
'No triângulo ABC, um ponto O dentro do triângulo está conectado aos três vértices, intersecando os lados BC, CA e AB nos pontos D, E, F, e a extensão de FE passa pelo ponto E para intersecar com a extensão do lado BC no ponto G.'
A. ...
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Join our DiscordQ.95
'Problema 381. Comparação de perímetro de um triângulo'
A. ...
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Join our DiscordQ.96
'No triângulo ABC, cada lado é tangente a um círculo nos pontos P, Q, R conforme mostrado na figura abaixo. Encontre os comprimentos do segmento AQ e BC.'
A. ...
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Join our DiscordQ.97
'Exemplo básico 133: Comprimento do bissectriz do ângulo em um triângulo (2)'
A. ...
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Join our DiscordQ.99
'No triângulo ABC, se o ponto P divide o lado BC na razão m:n, o ponto Q divide o lado CA na razão l:m, e o ponto R divide o lado AB na razão n:l, então as retas AP, BQ e CR se intersectam em um ponto. Prove isso usando a versão reversa do teorema de Ceva.'
A. ...
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Join our DiscordQ.00
'Prove que a seguinte igualdade é verdadeira no triângulo ABC: \\[ \\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\\right) \\\\tan A=\\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\\right) \\\\tan B \\]'
A. ...
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Join our DiscordQ.01
'No triângulo ABC, seja D o ponto onde a bissetriz do ângulo B intersecta o lado AC. Encontre o comprimento do segmento BD.'
A. ...
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Join our DiscordQ.03
'Exemplo básico 68: Utilização do centro de circunferência e do ortocentro\nSeja H o ortocentro do triângulo ABC, O o centro de circunferência e OM a linha perpendicular de O para o lado BC. Além disso, tome o ponto K no círculo circunscrito ao triângulo ABC de forma que o segmento CK se torne um diâmetro do círculo. Prove o seguinte:\n1. BK = 2OM\n2. O quadrilátero AKBH é um paralelogramo\n3. AH = 2OM'
A. ...
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Join our DiscordQ.05
'Usando a inversa do teorema de Ceva, prove que as três medianas de um triângulo se interceptam em um ponto.'
A. ...
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Join our DiscordQ.07
'No triângulo ABC, com AB=8, BC=3, CA=6, seja D o ponto onde a bissetriz do ângulo A intersecciona a reta BC. Encontre o comprimento do segmento CD.'
A. ...
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Join our DiscordQ.08
'Em um triângulo acutângulo ABC, sejam BD e CE as alturas traçadas dos vértices B e C para seus respectivos lados opostos. Se BC=a, expresse o ângulo A em termos dos ângulos. Pode usar a propriedade que se em um segmento de linha PQ o ângulo PRQ=90°, o ponto R está sobre o círculo com PQ como diâmetro.'
A. ...
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Join our DiscordQ.10
'Provar que no triângulo acutângulo ABC, com ortocentro H e circuncentro O, ponto médio do lado BC como M e ponto médio do segmento AH como N, o comprimento do segmento MN é igual ao raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC, usando o fato de que AH=2OM.'
A. ...
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Join our DiscordQ.11
'No diagrama, se AR:RB=3:4 e BP=PC, encontre AQ:QC.'
A. ...
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Join our DiscordQ.12
'Dado o segmento de reta AB de comprimento a e dois segmentos de reta de comprimentos b e c, desenhe um segmento de reta de comprimento \ \\frac{a c}{b} \.'
A. ...
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Join our DiscordQ.13
'Quando aplicar o teorema do seno e o teorema do cosseno? Tanto o teorema do seno quanto o teorema do cosseno podem ser usados para encontrar comprimentos de lados e tamanhos de ângulos e, às vezes, pode ser confuso qual usar. Existe um método para determinar isso?'
A. ...
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Join our DiscordQ.15
'Prove que quando o comprimento da diagonal AC do quadrilátero ABCD é menor do que qualquer um de seus lados, o comprimento da diagonal BD é maior do que qualquer um de seus lados.'
A. ...
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Join our DiscordQ.16
'No ponto H no terreno nivelado PR, um poste está em pé perpendicular ao solo. Ao ver o topo do poste a partir dos pontos A e B, os ângulos de elevação são de 30 graus e 60 graus, respectivamente. Além disso, na medição do terreno, sabe-se que a distância entre A e B é de 20 metros e ∠AHB=60 graus. Determine a altura do poste. Suponha que a altura dos olhos não seja considerada.'
A. ...
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Join our DiscordQ.17
'Capítulo 4: Geometria e Medida EX No quadrilátero ABCD inscrito em um círculo, onde DA = 2AB e ∠BAD = 120°, e E é a interseção das diagonais BD e AC, E divide o segmento BD em 3:4.\n(1) BD = ?AB, AE = 1 ?AB.\n(2) CE = ? ?AB, BC = I? ?AB.\n(3) AB:BC:CD:DA = 1: ? : potência : 2.\n(4) Se o raio do círculo for 1, então AB = ?, e a área do quadrilátero ABCD é S = ?.'
A. ...
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Join our DiscordQ.18
'No quadrilátero ABCD inscrito em um círculo, com AB=2, BC=1, CD=3 e cos∠BCD=-1/6. Descubra o comprimento de AD e a área do quadrilátero ABCD.'
A. ...
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Join our DiscordQ.19
'Para o segmento de linha AB fornecido, trace os seguintes pontos. (1) Ponto E dividindo o segmento de linha AB internamente na proporção 3:2 (2) Ponto F dividindo o segmento de linha AB externamente na proporção 3:1'
A. ...
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Join our DiscordQ.20
'No triângulo ABC, onde AB=3, BC=4 e CA=6, seja D o ponto onde a bissetriz do ângulo externo de A intersecta a linha BC. Encontre o comprimento do segmento BD.'
A. ...
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Join our DiscordQ.21
'Encontre as áreas do triângulo ABC e do paralelogramo ABCD na figura dada.'
A. ...
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Join our DiscordQ.22
'Exercício Básico 122 Solução de Triângulos (1) Para cada caso, encontre os comprimentos dos lados restantes e os ângulos do triângulo ABC. (1) a = √3, B = 45 °, C = 15 ° (2) b = 2, c = √3 + 1, A = 30 °'
A. ...
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Join our DiscordQ.24
'Hanako e Taro decidiram trabalhar juntos no seguinte [problema] e tentar pensar usando software de desenho gráfico.'
A. ...
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Join our DiscordQ.26
'Prove que no triângulo ABC, se os ângulos ∠A, ∠B, ∠C forem denotados por A, B, C respectivamente, então a equação (1+tan^2(A/2))sin^2((B+C)/2)=1 é verdadeira.'
A. ...
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Join our DiscordQ.27
'(4) Encontre o triângulo com o menor raio de circunferência circunscrito.'
A. ...
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Join our DiscordQ.28
'O termo gradiente é usado para descrever a inclinação de estradas e ferrovias. Usando as razões trigonométricas, responda às seguintes perguntas. (1) A inclinação de uma estrada é frequentemente expressa em percentagens (%). A percentagem indica quantos metros a elevação aumenta ao mover-se 100 metros horizontalmente. Em uma determinada estrada, há uma placa indicando 23%. Qual é o ângulo aproximado da inclinação desta estrada? (2) A inclinação de uma ferrovia é frequentemente expressa em permilles (‰). O permille indica quantos metros a elevação aumenta ao mover-se 1000 metros horizontalmente. Em uma determinada linha ferroviária, há uma placa indicando 18‰. Qual é o ângulo aproximado da inclinação desta linha ferroviária?'
A. ...
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Join our DiscordQ.29
'Relação entre os lados e ângulos de um triângulo'
A. ...
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Join our DiscordQ.30
'Em \ \\triangle ABC \, onde \ \\angle C=90^\\circ \ e \ AB:AC=5:4 \, é construído um ponto \ D \ na extensão do lado \ BC \ de tal forma que \ CA=CD \. Seja \ E \ o ponto médio do lado \ AB \ e seja \ BF \ a perpendicular do ponto \ B \ para a linha \ AD \. Responda às seguintes perguntas: [Universidade de Miyazaki]\n(1) Prove que \ EF=EC \.\n(2) Encontre a proporção das áreas de \ \\triangle ABC \ e \ \\triangle CEF \.'
A. ...
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Join our DiscordQ.31
'A partir de (5) BC = 9, BD: DC = 4: 5, temos BD=\\frac{4}{9} BC=\\frac{4}{9} \\cdot 9=4. Portanto, BD \\cdot BC =4 \\cdot 9 = 36'
A. ...
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Join our DiscordQ.33
'No triângulo ABC, mostre a relação entre a², b² e c² com base no intervalo do ângulo A.'
A. ...
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Join our DiscordQ.34
'Por favor, explique os significados dos seguintes termos: ângulos correspondentes, ângulos verticais, ângulos agudos, ângulos obtusos, ângulos internos, ângulos externos, congruentes, semelhantes, bissetriz perpendicular, bissetriz de ângulo, triângulo acutângulo, triângulo retângulo, triângulo obtusângulo, corda, arco, ângulo central, ângulo inscrito, tangente a um círculo, lado oposto, diagonal, paralelogramo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.35
'Prove que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo AEF.'
A. ...
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Join our DiscordQ.36
'No triângulo ABC, com BC=5, CA=3, AB=7. Sejam D e E os pontos onde o ângulo A e sua bissetriz do ângulo exterior intersectam a linha BC, o comprimento do segmento DE deve ser encontrado.'
A. ...
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Join our DiscordQ.37
'Por favor, use as propriedades e definições do circuncentro, incentro, ortocentro e baricentro para responder às seguintes questões sobre triângulos.'
A. ...
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Join our DiscordQ.38
'Solução alternativa (Igual até a etapa 11)\n (1) De \ \\triangle \\mathrm{AQC}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{ADC}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \ da mesma forma\n\n \\triangle \\mathrm{BRA}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{BEA}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{BCA}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \\ \\triangle \\mathrm{CPB}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{CFB}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{CAB}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \n \n Assim, \\triangle \\mathrm{PQR}=\\triangle \\mathrm{ABC}-(\\triangle \\mathrm{AQC}+\\triangle \\mathrm{BRA}+\\triangle \\mathrm{CPB}) \\=\n \\triangle \\mathrm{ABC}-3 \\cdot \\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \n \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{2} \\cdot 1 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{\\sqrt{3}}{4} portanto \\ \n \\triangle \\mathrm{PQR}=\\frac{1}{7} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{4}=\\frac{\\sqrt{3}}{28}'
A. ...
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Join our DiscordQ.40
'Dado um quadrilátero ABCD inscrito em um círculo, onde AB=8, BC=3, BD=7 e AD=5, encontre o comprimento de CD. Além disso, calcule a área S do quadrilátero ABCD.'
A. ...
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Join our DiscordQ.41
'Exemplo Básico 1142 Ângulos Formados por Linhas\n(1) Encontre o ângulo α formado pela reta y=-1/√3x e a direção positiva do eixo x, e o ângulo β formado pela reta y=1/√3x e a direção positiva do eixo x. Também, encontre o ângulo agudo formado pelas duas retas. Assuma que 0° < α < 180°, 0° < β < 180°.\n(2) Encontre o ângulo agudo θ formado pelas duas retas y=-√3x e y=x+1.'
A. ...
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Join our DiscordQ.42
'No triângulo ABC isósceles retângulo, onde AC = BC e AB = 6, dois retângulos com comprimentos verticais iguais são construídos conforme mostrado no diagrama à direita. Qual é o valor máximo da soma das áreas dos dois retângulos quando construídos para obter a soma máxima?\nA partir das condições dadas, AC = BC = 6 / √2 = 3√2.\n\nConforme mostrado no diagrama, seja D, E, F, G os pontos, e seja x o comprimento vertical dos retângulos:\n\nDE = AE = AC - CE = 3√2 - 2x\nFG = AG = AC - GC = 3√2 - x\n\nAlém disso, uma vez que 0 < CE < AC\n0 < 2x < 3√2, o que implica 0 < x < 3√2 / 2\n\nSeja y a soma das áreas dos dois retângulos:\n\ny = x(3√2 - 2x) + x(3√2 - x)\n = -3x^2 + 6√2x\n = -3(x - √2)^2 + 6\n\nEm (1), y alcança seu valor máximo de 6 em x = √2.'
A. ...
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Join our DiscordQ.43
'Usando o teorema de Menelau no triângulo ABC e na reta DF'
A. ...
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Join our DiscordQ.44
'Condição de semelhança de triângulos: Dois triângulos são semelhantes se uma das seguintes condições for satisfeita. [1] A razão dos três lados é igual. [2] Dois pares de lados são proporcionais e os ângulos entre eles são iguais. [3] Dois pares de ângulos são iguais.'
A. ...
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Join our DiscordQ.47
'Prove que no triângulo ABC, se M é o ponto médio do lado BC e os bissetores dos ângulos ∠AMB e ∠AMC encontram os lados AB e AC nos pontos D e E, respectivamente, então DE // BC.'
A. ...
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Join our DiscordQ.49
'Sobre um losango com uma soma de comprimentos de diagonais de 10 cm:\n(1) Encontre a área máxima.\n(2) Encontre o perímetro mínimo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.50
'Teorema 2: No triângulo ABC com AB ≠ AC, a interseção do bissetor do ângulo externo de ∠A e a extensão do lado BC divide o lado BC na proporção de AB:AC.'
A. ...
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Join our DiscordQ.51
'No triângulo ABC, seja D o ponto médio do lado AB, E o ponto médio do segmento CD e F o ponto de interseção de AE e BC. Encontre a razão de AE para EF.'
A. ...
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Join our DiscordQ.53
'Domine o uso dos diagramas de Venn e conquiste o exemplo 49!'
A. ...
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Join our DiscordQ.55
'O quadrilátero ABCD está inscrito em um círculo, com AB=4, BC=2, e DA=DC.'
A. ...
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Join our DiscordQ.56
'Exemplo 378\nNo triângulo ABC com AB=10, BC=5, CA=6, deixe ∠A e seus bissetores de ângulo externos intersectarem o lado BC ou sua extensão nos pontos D e E. Encontre o comprimento do segmento DE.'
A. ...
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Join our DiscordQ.57
'Domine a Regra do Seno e conquiste o Exemplo 126!'
A. ...
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Join our DiscordQ.58
'Encontre cosA usando a regra do cosseno e, em seguida, calcule a área e a altura do triângulo usando o resultado.'
A. ...
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Join our DiscordQ.59
'Ao caminhar 80 metros em uma estrada em declive com uma inclinação de 8° a partir da horizontal, quantos metros você avançou na direção horizontal? Além disso, quantos metros você desceu na direção vertical?'
A. ...
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Join our DiscordQ.60
'Quando dois lados e o ângulo entre eles são dados, podemos usar a regra do cosseno.'
A. ...
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Join our DiscordQ.61
'Dado um triângulo equilátero ABC com comprimento lateral 1. Um ponto P é tomado no arco BC que não inclui o vértice A, de modo que PA=a, PB=b, PC=c (b>c). Vamos calcular o valor de a²+b²+c². Como ∠APB=∠APC=α graus, a regra do cosseno pode ser aplicada no triângulo ABP.'
A. ...
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Join our DiscordQ.62
'A partir de dois pontos A e B, que estão a 1 km de distância no mar, ambos os pontos veem o mesmo topo da montanha C. A partir do ponto A, o ângulo de elevação para o leste é de 30 graus, enquanto do ponto B, o ângulo para o nordeste é de 45 graus. Encontre a altura CD da montanha. Suponha que o ponto D está diretamente abaixo de C e os pontos A, B, D estão no mesmo plano horizontal. Além disso, assuma que sqrt(6) = 2,45.'
A. ...
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Join our DiscordQ.64
'Se 90° < A < 180°, no diagrama à direita, o segmento BD é o diâmetro do círculo circunscrito ao triângulo ABC. Neste caso, \ \\angle BAC + \\angle BDC = 180° \ o que significa que \ \\angle BDC = 180° - A \, logo \ a = \\mathrm{BD} \\sin \\angle \\mathrm{BDC} \ \\( = \\mathrm{BD} \\sin (180° - A) \\) \ = \\mathrm{BD} \\sin A \ \ \\mathrm{BD} = 2 R \, portanto \ \\quad a = 2 R \\sin A \'
A. ...
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Join our DiscordQ.65
'Existem três casos para a relação posicional entre a reta `ℓ` e o plano `α`.'
A. ...
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Join our DiscordQ.66
'Determinar a forma de um triângulo a partir da igualdade de lados e ângulos'
A. ...
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Join our DiscordQ.67
'O ponto H é o incentro do triângulo DEF porque é a interseção dos bissetores dos ângulos DFE e FDE.'
A. ...
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Join our DiscordQ.68
'Por favor, explique as propriedades dos bissetores de ângulos e proporções em um triângulo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.69
'No triângulo ABC, se a²cosA sinB=b²cosB sinA for verdadeiro, qual é a forma do triângulo ABC?'
A. ...
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Join our DiscordQ.70
'No triângulo ABC, se a²cosA sinB = b²cosB sinA for verdadeiro, que forma tem o triângulo ABC?'
A. ...
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Join our DiscordQ.71
'Seja O o circuncentro do triângulo acutângulo ABC. Se o bissectriz do ângulo BAO interseccionar o círculo circunscrito ao triângulo ABC no ponto D, prove que AB é paralelo a OD.'
A. ...
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'Desenhe uma perpendicular a partir do ponto D até o lado AB, chamando a interseção de H, então AH=BH=\\frac{1}{2}. Portanto, usando (2), \\cos 36^{\\circ} =\\frac{AH}{AD}=\\frac{\\frac{1}{2}}{\\frac{\\sqrt{5}-1}{2}}=\\frac{1}{\\sqrt{5}-1} \\ =\\frac{\\sqrt{5}+1}{(\\sqrt{5}-1)(\\sqrt{5}+1)}=\\frac{\\sqrt{5}+1}{4}. Vamos focar no triângulo DAH.\n\nReferindo-se a isso, desenhe uma perpendicular a partir do vértice A até o lado BC, chamando a interseção de E, então BE=\\frac{1}{2} BC=\\frac{\\sqrt{5}-1}{4}.\n\nPortanto, \\cos 72^{\\circ}=\\frac{BE}{AB}=\\frac{\\sqrt{5}-1}{4}. O bissetor do ângulo de um triângulo isósceles bissecta a base perpendicularmente.'
A. ...
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Join our DiscordQ.73
'Existem dois círculos tangentes no ponto P. Como mostrado na figura à direita, duas linhas que passam pelo ponto P intersectam o círculo externo nos pontos A e B, e o círculo interno nos pontos C e D. Prove que AB é paralelo a CD.'
A. ...
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Join our DiscordQ.74
'No diagrama à direita, L, M, N são os pontos de tangência dos lados do △ABC com o círculo inscrito, ∠C=90°, AL=3, BM=10. (1) Seja r o raio do círculo inscrito, expresse os comprimentos de AC e BC como r. (2) Encontre o valor de r.'
A. ...
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Join our DiscordQ.75
'No triângulo ABC, quando b=2√6, c=3√2+√6, e A=60°, encontre o comprimento do lado restante e o tamanho do outro ângulo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.77
'No trapézio ABCD, onde AD // BC, AB=5, BC=7, CD=6, DA=3. Seja E a interseção da reta que passa por D paralela a AB e o lado BC, e seja ∠DEC=θ. Encontre os seguintes valores.'
A. ...
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Join our DiscordQ.78
'Capítulo 7: Aplicações em Triângulos\n135\nNo triângulo ABC, onde AB = 7, BC = 4√2 e ∠ABC = 45°, com o centro do círculo circunscrito do triângulo ABC designado como O.\n(1) CA = .\n(2) Sobre o arco BC do círculo circunscrito O, excluindo o ponto A, um ponto D é tomado tal que CD = √10. Neste caso, dado que ∠ADC = $, deixe AD = x, então x = √.'
A. ...
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Join our DiscordQ.79
'No triângulo ABC, permita que o ponto D divida o lado AB na proporção 3:2, e o ponto E divida o lado AC na proporção 4:3. Sendo P a interseção de BE e CD, e F a interseção da linha AF e BC. Encontrar a proporção BF:FC.'
A. ...
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Join our DiscordQ.80
'Dado que L, M, N são os pontos de tangência dos lados do triângulo ABC com o incírculo, ∠C=90°, AL=3, BM=10. (1) Expresse os comprimentos de AC e BC em termos de r, o raio do incírculo. (2) Encontre o valor de r.'
A. ...
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Join our DiscordQ.81
'A partir dos pontos A e B, os pontos C e D do lado oposto do curso de água foram observados como mostrado no mapa à direita. Pressupõe-se que os pontos A, B, C e D estão à mesma altura.\n(1) Encontre os comprimentos de BD e BC (metros).\n(2) Encontre o comprimento de CD (metros).\n\nAs respostas podem permanecer na forma de raiz quadrada.\n& 〜GUIA Use o teorema do seno e o teorema do cosseno para encontrar triângulos aplicáveis.\n(1) No triângulo ABD, um lado e dois ângulos são conhecidos, permitindo o uso do teorema do seno.\n(2) No triângulo BDC, dois lados e o ângulo entre eles são conhecidos, permitindo o uso do teorema do cosseno.'
A. ...
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Join our DiscordQ.82
'Exemplo 123: Triângulo retângulo e valores trigonométricos'
A. ...
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Join our DiscordQ.83
'Prove que no triângulo ABC, se ∠B > ∠C, então b > c.'
A. ...
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Join our DiscordQ.84
'Capítulo 3 Propriedades das Figuras\nAlém disso, em ∆AFE e ∆ABC\n∠A é comum, ∠AFE=∠ABC\nPortanto, uma vez que dois conjuntos de ângulos são iguais, ∆AFE ∝ ∆ABC\nAF:AB=1:2\n∆AFE:∆ABC=1²:2²=1:4\nPortanto, ∆AFE=1/4 ∆ABC=1/4⋅12S=3S\n(2) De (1), seja a área do quadrilátero AFGE T\nT=∆EFG+∆AFE=S+3S=4S\nPortanto, de (1) e (2), ∆ABC/T=12S/4S=3\nPortanto 3 vezes'
A. ...
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Join our DiscordQ.85
'Na figura à direita, calcule os valores do seno, cosseno e tangente do ângulo θ.'
A. ...
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Join our DiscordQ.86
'Usando o triângulo retângulo ABC à direita, encontre os valores do seno, cosseno e tangente de 15 graus.'
A. ...
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Join our DiscordQ.87
'Na figura à direita, o ponto I é o incentro do triângulo ABC. Calcule o seguinte: (1) α (2) CI: ID'
A. ...
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'(1) Dado α=90°, AB=2, BC=3, encontre os tamanhos dos três ângulos do △ABC.\n(2) Dado α=70°, β=γ, encontre os comprimentos dos três lados do △ABC.'
A. ...
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'Na figura dada, encontre o valor de α. Aqui, (1) afirma que BC = DC e (3) menciona que o ponto O é o centro do círculo.'
A. ...
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'Expressar em termos de razões trigonométricas de ângulos agudos'
A. ...
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'Teorema 1: A interseção do bissector interno do ângulo A do triângulo ABC com o lado BC divide o lado BC na proporção de AB : AC.'
A. ...
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'Seja o quadrilátero ABCD inscrito no círculo O, onde AB=2, BC=3, CD=1 e ∠ABC=60°. Encontre:\n(1) O comprimento do segmento AC\n(2) O comprimento do lado AD\n(3) O raio R do círculo O'
A. ...
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"Em matemática, prove o seguinte: No diagrama acima, a reta AB toca os círculos O e O' nos pontos A e B, respectivamente. Se os raios são r e r' (r < r'), e a distância entre os centros dos dois círculos é d, então prove que AB é igual a sqrt(d^2 - (r'-r)^2)."
A. ...
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'A área de um triângulo pode ser calculada como a metade da base multiplicada pela altura. Vamos expressar essa fórmula usando trigonometria.'
A. ...
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'Há uma rampa reta com 125 metros de comprimento. Subindo esta rampa, a altura aumenta em 21,7 metros. Qual é o ângulo de inclinação aproximado desta rampa? Além disso, qual é a distância horizontal desta rampa em metros? Considere usar razões trigonométricas.'
A. ...
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Join our DiscordQ.98
'Responda à seguinte pergunta. Encontre os outros elementos do triângulo quando a=√3+1, A=75°, C=60°, ou quando a=√3-1, A=15°, C=120°.'
A. ...
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Join our DiscordQ.99
'(2) Quando o circuncentro e incentro do triângulo ABC coincidem, vamos chamar esse ponto de O. Sendo O o circuncentro, OB=OC. Portanto, ∠OBC=∠OCB. Além disso, o ponto O também é o incentro do triângulo ABC.\n\n[\nIniciando conjunto de equações\n\\angle B=2\\angle OBC\n\\angle C=2\\angle OCB\nTerminando conjunto de equações\n\\]\n\nDa mesma forma, podemos derivar que\nincentro\n\n\\angle A=\\angle C\n\nPortanto, \\\angle A=\\angle B=\\angle C\\nAssim, o triângulo ABC é equilátero.'
A. ...
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Join our DiscordQ.00
'Do topo do prédio de 20m de altura, olhando para baixo em um ponto específico, o ângulo formado com o plano horizontal é de 32°. Encontre a distância entre esse ponto e o prédio. Além disso, encontre a distância entre esse ponto e a borda do telhado do prédio. Arredonde para duas casas decimais.'
A. ...
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'Utilize o teorema dos ângulos em um círculo para derivar os ângulos interiores de cada triângulo e utilize a lei dos cossenos e a lei dos senos.'
A. ...
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Join our DiscordQ.04
'No triângulo ABC, onde AB=4, BC=5, e CA=6, sejam D e E os pontos onde o ângulo A e sua bissetriz do ângulo externo interceptam a linha BC. Encontre o comprimento do segmento DE.'
A. ...
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'65 \\\\mathrm{AB}=2 r \\\\sin \\theta, \\\\mathrm{OH}=r \\\\cos \\theta'
A. ...
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Join our DiscordQ.06
'No triângulo ABC, AB=AC=1, ∠ABC=72°. Ponto D é tomado no lado AC de forma que ∠ABD=∠CBD.\n(1) Encontre a medida de ∠BDC.\n(2) Encontre o comprimento do lado BC.\n(3) Encontre o valor de cos 36°.'
A. ...
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Join our DiscordQ.07
'No triângulo ABC, os pontos D e E são os pontos médios dos lados BC e AC, respectivamente. Além disso, seja AD e BE se encontram em F, o ponto médio do segmento AF em G e a interseção de CG e BE em H. (1) Se BE=6, encontre os comprimentos dos segmentos FE e FH. (2) Encontre a razão das áreas do triângulo EHC para o triângulo ABC.'
A. ...
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Join our DiscordQ.08
'■ Incentro ...... Ponto de interseção dos bissetores dos ângulos internos do triângulo\nBissetores de ângulos\nO ponto P está no bissetriz do ∠ ABC P está na bissetriz de duas linhas ⇔ Está equidistante de BA e BC - Em outras palavras, O bissetor de ∠ ABC é um conjunto de pontos equidistantes das duas linhas BA e BC.'
A. ...
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Join our DiscordQ.09
"Dadas duas circunferências O e O' tangentes externamente no ponto A. Se a tangente à circunferência O' no ponto B intersecta a circunferência O em dois pontos C e D, como mostrado no diagrama, prove que AB bissecta o ângulo externo de ∠CAD."
A. ...
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Join our DiscordQ.10
'Na figura da direita, suponha que ambas as hipotenusas têm comprimento de 1. Encontre os comprimentos dos lados restantes e preencha os espaços em branco. Em seguida, verifique os valores do seno, cosseno e tangente para 30, 45, 60 graus.'
A. ...
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'Encontrar o comprimento do lado restante com 2 lados e 1 diagonal dados'
A. ...
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Join our DiscordQ.12
'Em △ABC, com o raio da circunferência circunscrita sendo R, encontre o seguinte: (1) Quando a=10, A=30°, B=45°, encontre C, b, R. (2) Quando b=3, B=60°, C=75°, encontre A, a, R. (3) Quando c=2, R=√2, encontre C.'
A. ...
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Join our DiscordQ.13
'Em △ABC, onde o raio do círculo circunscrito é R, encontre o seguinte.'
A. ...
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'No triângulo ABC, deixe D ser o ponto que divide o lado BC na proporção 3:2, e deixe E ser o ponto que divide o lado AB na proporção 4:1. Deixe P ser a interseção dos segmentos de linha AD e CE, e deixe F ser a interseção da linha BF e do lado CA.'
A. ...
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'Teorema do Quadrilátero Cíclico\nO tamanho do ângulo cíclico correspondente a um arco é constante, sendo a metade do ângulo central correspondente a esse arco. Em outras palavras, na figura à direita, Em particular, quando é um diâmetro, \n\nConversa do Teorema do Quadrilátero Cíclico\nPara 4 pontos , se os pontos estiverem do mesmo lado da linha \n\n\\n\\angle \\mathrm{APB}=\\angle \\mathrm{AQB}\n\\n\nentão os 4 pontos estão no mesmo círculo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.19
"Existem três triângulos retângulos semelhantes ABC e A'B'C'. Uma vez que as razões dos lados correspondentes são iguais, surgem as seguintes três equações em relação às proporções. Vamos considerar essas três proporções: (1) BC/AB = B'C'/A'B', (2) AC/AB = A'C'/A'B', (3) BC/AC = B'C'/A'C'"
A. ...
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Join our DiscordQ.20
'Capítulo 3 Propriedades das Figuras Geométricas - 195\n(2) O ponto E é o ponto médio do lado AC, então o triângulo ABC = 2 triângulo EBC\nAlém disso, como BF:FE = 2:1, BE:FE = 3:1\n\n\triângulo EBC = 3 triângulo EFC\\]\nAlém disso, FH:HE = 2:1, então FE:HE = 3:1, assim o triângulo EFC = 3 triângulo EHC\nAssim\n\\[\egin{aligned}\ntriângulo ABC & = 2 triângulo EBC = 2 \\cdot 3 triângulo EFC \\\\\n& = 6 triângulo EFC = 6 \\cdot 3 triângulo EHC \\\\\n& = 18 triângulo EHC\n\\end{aligned}\\nConsequentemente triângulo EHC: triângulo ABC = 1:18\n- devido a terem uma altura comum\n\ triângulo ABC: triângulo EBC = AC:EC \\n\ triângulo EBC: triângulo EFC = BE:FE \\n\ triângulo EFC: triângulo EHC = FE:HE \'
A. ...
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Join our DiscordQ.21
'No diagrama à direita, seja ∠A = α, ∠B = β. Encontre os valores do seno, cosseno e tangente de α e β.'
A. ...
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'(1) Como mostrado na figura, para um pentágono regular e os pontos A, B, H, quando ∠AOB = 360° / 5 = 72°, r = 10, e θ = 1/2 × 72° = 36°, usando o resultado da questão anterior, o comprimento de um lado é\nAB = 2 × 10 × sin 36°\n= 20 × 0.5878\n= 11.756, arredondando para AB = 11.8. O comprimento da perpendicular é OH = 10 × cos 36° = 10 × 0.8090 = 8.090, arredondando para OH = 8.1.'
A. ...
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Join our DiscordQ.23
'No triângulo ABC, encontre o seguinte. Onde a área do triângulo ABC é denotada como S. 76 (1) Quando A=120°, c=8, S=14√3, encontre a, b (2) Quando b=3, c=2.0°<A<90°, S=√5, encontre sinA, a (3) Quando a=13, b=14, c=15, e o comprimento da linha perpendicular do vértice A até o lado BC é denotado como h, encontre S, h'
A. ...
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Join our DiscordQ.24
'Prove que quando três linhas diferentes x+y=1 (1), 4x+5y=1 (2), ax+by=1 se intersectam em um ponto, os três pontos (1,1), (4,5), (a,b) estão na mesma linha.'
A. ...
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Join our DiscordQ.25
'Encontre a trajetória do ponto P tal que a razão de suas distâncias dos pontos A(0,0) e B(5,0) seja de 2:3.'
A. ...
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Join our DiscordQ.27
'Encontre o valor de a quando o triângulo ABC é um triângulo isósceles.'
A. ...
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Join our DiscordQ.28
'(1) Como as inclinações das duas retas são iguais, as duas retas são paralelas.\n(2) De y=2x+4, y=-\\frac{1}{2}x+3, podemos determinar que as inclinações das duas retas são 2 \\cdot\\left(-\\frac{1}{2}\\right)=-1, portanto, as duas retas são perpendiculares.'
A. ...
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Join our DiscordQ.30
'Encontre o locus do ponto P que satisfaz as seguintes condições: (1) A soma dos quadrados das distâncias dos pontos A(-4,0) e B(4,0) ao ponto P é 36. (2) A proporção das distâncias dos pontos A(0,0) e B(9,0) ao ponto P é PA: PB=2:1. (3) O ponto P varia de forma que o triângulo PAB com os pontos A(3,0) e B(-1,0) como vértices satisfaça PA: PB=3:1.'
A. ...
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Join our DiscordQ.31
'Quando o ponto P está na reta x+y=5, encontre as coordenadas do ponto P que minimizam o comprimento da linha quebrada AP + PB que conecta os pontos A(2,5) e B(9,0).'
A. ...
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"As coordenadas do ponto de interseção de duas retas dadas pelas equações (1) ax + by + c = 0 e (2) a'x + b'y + c' = 0 são obtidas como as soluções das equações simultâneas (1) e (2)"
A. ...
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Join our DiscordQ.33
'Quando o ponto P satisfaz a condição AP:BP = 2:3 e o segmento de linha AB conecta A(0,0) e B(5,0), encontre o locus do ponto P.'
A. ...
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Join our DiscordQ.34
'Para a forma A_{n+1}, concentre-se na coluna mais à direita. Ao colocar um azulejo na horizontal no canto inferior direito, são obtidas três configurações possíveis, conforme mostrado na Figura 3, em que a parte restante corresponde a A_{n}, e duas configurações possíveis, conforme mostrado na Figura 4, em que a parte restante corresponde a B_{n}.'
A. ...
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'Encontre o ângulo formado por 2 retas (1) Encontre o ângulo θ (0<θ<π/2) formado pelas retas y=3x+1 e y=1/2x+2. (2) Encontre a inclinação da reta que forma um ângulo com y=2x-1 de π/4.'
A. ...
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Join our DiscordQ.36
'No (2) 0 < α < π/2, o raio que representa o ângulo α é igual ao raio que representa 6α. Encontre a magnitude do ângulo α.'
A. ...
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Join our DiscordQ.37
'Dado três pontos A(6,1), B(2,3) e C(a,b), encontre os valores de a e b quando o triângulo ABC é equilátero.'
A. ...
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Join our DiscordQ.38
'Prove que o baricentro do triângulo DEF coincide com o baricentro do triângulo ABC quando os pontos D, E e F são tomados nos lados BC, CA e AB do triângulo ABC, respectivamente, de modo que BD:DC = CE:EA = AF:FB = 37. [Universidade de Kinki]'
A. ...
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'Prove que no triângulo ABC, os pontos P e Q dividem o lado BC em três partes iguais, de modo que BP=PQ=QC. Prove que a seguinte relação se mantém: 2AB^{2}+AC^{2}=3(AP^{2}+2BP^{2}) '
A. ...
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'No triângulo ABC, com AB=15, BC=18, AC=12, encontre o ponto de interseção D do bissetor do ângulo A e o lado BC. Determine os comprimentos dos segmentos BD e AD.'
A. ...
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'Explique a Regra do Seno e a Regra do Cosseno e resolva um problema de exemplo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.46
'Por favor, explique a relação de ângulos correspondentes quando duas linhas são paralelas.'
A. ...
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Join our DiscordQ.47
'Quando c=√6, encontre os ângulos do triângulo. Os resultados obtidos usando a lei do cosseno são A=75°, C=60°.'
A. ...
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'Traçando a perpendicular OI a partir do vértice O para o triângulo DEG, descobrimos que I é o centro do círculo circunscrito do triângulo DEG. Uma vez que GI é o raio do círculo circunscrito do triângulo DEG, pela lei dos senos, temos GI=\ \\frac{1}{2 \\sin 60^\\circ} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} \. Portanto, OG=\ \\frac{1}{2} \\mathrm{BG} = \\frac{\\sqrt{10+2 \\sqrt{5}}}{4} \. Por favor, realize os seguintes cálculos.'
A. ...
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'Prática No ponto A, que está à mesma altitude que uma determinada torre, foi medido que o ângulo de elevação até o topo da torre era de 30 graus. Além disso, no ponto A, a uma distância de 114m, há um ponto B onde o ângulo KAB é de 75 graus e o ângulo KBA é de 60 graus. Neste momento, a distância entre A e K é de x metros, e a altura da torre é de y metros.'
A. ...
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Join our DiscordQ.51
'No quadrilátero ABCD inscrito em um círculo, com AD // BC, AB=3, BC=5 e ∠ABC=60 graus, encontre o seguinte:\n(1) O comprimento de AC\n(2) O comprimento de CD\n(3) O comprimento de AD\n(4) A área do quadrilátero ABCD'
A. ...
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Join our DiscordQ.52
'Pelo teorema do seno, \ \\frac{a}{\\sin A}=2R \, portanto \ \\frac{\\sqrt{2}}{\\sin A}=2 \\cdot 1 \, logo \ \\sin A=\\frac{\\sqrt{2}}{2} \'
A. ...
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Join our DiscordQ.53
'No triângulo △ABC, seja M o ponto médio do lado BC.'
A. ...
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Join our DiscordQ.54
'Teorema do seno\nEm \ \\triangle \\mathrm{ABC} \, sendo o raio do círculo circunscrito \ R \, então\n\\\frac{a}{\\sin A}=\\frac{b}{\\sin B}=\\frac{c}{\\sin C}=2 R\'
A. ...
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Join our DiscordQ.55
'Na reta de comprimento 6 AB, são tomados dois pontos C e D de modo que AC=BD. É dado que 0<AC<3. Encontre o valor mínimo da soma S das áreas de três círculos com diâmetros AC, CD e DB, e o comprimento do segmento AC nesse momento.'
A. ...
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Join our DiscordQ.56
'De um local no mar a um farol situado no topo de um penhasco com uma altura de 30 metros, o ângulo zenital é de 60 graus, e do mesmo local para o ângulo zenital da parte inferior do farol é de 30 graus, encontrar a altura do penhasco.'
A. ...
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Join our DiscordQ.57
'A área do triângulo ABC é 12√6, e a razão de seus comprimentos de lado é AB:BC:CA = 5:6:7. Nesse caso, qual é o valor de sin∠ABC, representado como □, e qual é o raio do círculo inscrito do triângulo ABC, representado como □.'
A. ...
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Join our DiscordQ.58
'Como mostrado na figura, observando os pontos P e Q na margem oposta do rio a partir dos pontos A e B separados por 100 metros, os seguintes valores foram obtidos: ∠PAB=75°, ∠QAB=45°, ∠PBA=60°, ∠QBA=90°. Responda às seguintes perguntas neste caso.'
A. ...
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Join our DiscordQ.59
'Os vértices B, E, G estão todos na superfície da esfera S, e BG é o diâmetro da esfera S, portanto, o triângulo EBG é um triângulo retângulo com ∠BEG = 90°. Começando de EG = 1, realize os cálculos a seguir.'
A. ...
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Join our DiscordQ.60
'No triângulo ABC, se ∠A = 60 graus, AB = 7, AC = 5, então seja D o ponto onde a bissetriz de ∠A intersecta o lado BC. Encontre o comprimento de AD.'
A. ...
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Join our DiscordQ.61
'De um local na superfície do mar até o topo de um farol com altura de 30 metros, o ângulo de elevação para a ponta é de 60 graus, e o ângulo de elevação para a parte inferior do farol é de 30 graus. Encontre a altura do penhasco.'
A. ...
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Join our DiscordQ.62
'Por favor, liste três condições para a congruência de triângulos.'
A. ...
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Join our DiscordQ.63
'Determinar as condições para o triângulo existir.'
A. ...
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Join our DiscordQ.64
'No triângulo ABC, que tipo de triângulo é quando as seguintes equações são verdadeiras?'
A. ...
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Join our DiscordQ.66
'(1) c=\\sqrt{2}, A=105^{\\circ}, C=30^{\\circ} ou c=\\sqrt{6}, A=75^{\\circ}, C=60^{\\circ}'
A. ...
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Join our DiscordQ.67
'Uma pessoa com 1,5 metros de altura em pé em terreno plano queria saber a altura de uma árvore. O ângulo de elevação do ponto A até o topo da árvore era de 30°, e o ângulo de elevação do ponto B, que estava a 10 metros mais perto da árvore, era de 45°. Calcule a altura da árvore.'
A. ...
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Join our DiscordQ.70
'No triângulo ABC, quando a=1+√3, b=2, C=60°, encontre:\n(1) O comprimento do lado AB\n(2) A medida do ∠B\n(3) A área de △ABC\n(4) O raio do circuncentro\n(5) O raio do incírculo'
A. ...
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Join our DiscordQ.71
'Na Grécia antiga, o estudo da trigonometria avançou juntamente com a astronomia. O astrônomo grego Aristarco utilizou a seguinte relação para buscar a proporção de distância aproximada entre o Sol e a Lua.'
A. ...
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Join our DiscordQ.73
'Considere um triângulo escaleno ABC, com o lado mais longo sendo BC e o lado mais curto sendo AB, onde AB=c, BC=a, CA=b (a≥b≥c). Seja S a área do triângulo ABC.'
A. ...
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'Quando m>0, n>0, o ponto P está no segmento AB, e AP: PB=m: n, diz-se que o ponto P divide internamente o segmento AB na proporção m: n [Para mais detalhes, consulte Matemática A]. Vamos considerar AB=k, representando o comprimento do outro lado como k. Utilize a similaridade dos triângulos formados pelas diagonais de um quadrilátero inscrito.'
A. ...
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Join our DiscordQ.77
'No triângulo ABC, seja S a área. Encontre o seguinte. Assume-se que o triângulo (2) não é um triângulo obtuso.'
A. ...
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Join our DiscordQ.78
'Sejam as áreas dos triângulos AID, BEF e CGH denominadas como T1, T2 e T3, respectivamente. Neste caso, qual das seguintes opções se encaixa no lugar de S?'
A. ...
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Join our DiscordQ.79
'No triângulo ABC, seja R o raio do círculo circunscrito. Quando A=30°, B=105°, a=5, encontre os valores de R e c.'
A. ...
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Join our DiscordQ.81
'No quadrilátero ABCD inscrito em um círculo com DA=2AB, ∠BAD=120°, (1) BD = raiz quadrada de 3 vezes AB, AE = AB, (3) AB:BC:CD:DA=1:raiz quadrada de 3:2, (4) Se o raio do círculo for 1, então AB = raiz quadrada de 3 e a área do quadrilátero ABCD é S=3.'
A. ...
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'Como mostrado na figura à direita, desenhe os quadrados ADEB, BFGC e CHIA com os lados AB, BC e CA como um lado de cada quadrado, e então conecte os pontos E e F, G e H, I e D.'
A. ...
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'Calcule o declive desta linha ferroviária. O declive da linha ferroviária é de 18%, e ao mover-se 1000m horizontalmente, a elevação aumenta em 18m. Calcule o ângulo de inclinação θ usando trigonometria.'
A. ...
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Join our DiscordQ.85
'Questão básica 124 Ângulo máximo de um triângulo'
A. ...
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Join our DiscordQ.86
'Por favor, explique a diferença entre a regra do seno e a regra do cosseno.'
A. ...
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Join our DiscordQ.87
'Dado \2 \\sin \\theta = \\sqrt{2}\, podemos descobrir que \\\sin \\theta = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\. Na circunferência de raio 1, os pontos onde a coordenada \y\ é \\\frac{1}{\\sqrt{2}}\ são \\\mathrm{P}\ e \\\mathrm{Q}\. Portanto, o \\\theta\ desejado corresponde a \\\angle \\mathrm{AOP}\ e \\\angle \\mathrm{AOQ}\.'
A. ...
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'Geometria e Medição\n157\nEX 394\n(1) Utilizando o diagrama à direita, encontre o valor de \ \\sin 18^{\\circ} \. (2) Utilizando o diagrama à direita, encontre os valores de \ \\sin 22.5^{\\circ}, \\cos 22.5^{\\circ} \ e \ \\tan 22.5^{\\circ} \.\nDICA: Para encontrar as razões trigonométricas de ângulos especiais, você pode criar um triângulo retângulo que inclua esse ângulo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.89
'Problema 218 Exemplo Básico 136 Raio do Circuncentro e Incircuncentro de um Triângulo\nEm △ABC, onde AB=6, BC=7, CA=5, encontrar o raio R do circuncentro e o raio r do incircuncentro.'
A. ...
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Join our DiscordQ.93
'Prove que a igualdade cos (A+B)/2 = sin (C/2) é verdadeira quando os tamanhos dos ângulos A, B e C do triângulo ABC são representados como A, B e C, respectivamente.'
A. ...
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Join our DiscordQ.94
'Qual aplicar, regra do seno ou regra do cosseno?'
A. ...
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Join our DiscordQ.95
'No triângulo ABC, seja R o raio da circunferência circunscrita. Se A=30°, B=105°, e a=5, encontre os valores de R e c.'
A. ...
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Join our DiscordQ.96
'No triângulo ABC com AB=6, BC=4, CA=5, seja D o ponto onde a bissetriz do ângulo B intersecta o lado AC. Encontre o comprimento do segmento BD.'
A. ...
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Join our DiscordQ.97
'No triângulo ABC, em que AB = 3, AC = 2 e ∠BAC = 60°, seja D o ponto de interseção entre o bissetor do ângulo A e BC. Encontre o comprimento do segmento AD.'
A. ...
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Join our DiscordQ.98
'Problema de medir 126 (Plano) (1) (1) (0) A partir de dois pontos A e B separados por 100 metros, foram feitas medições para identificar dois pontos P e Q na margem oposta de um rio, com os valores obtidos como mostrado na figura. (1) Encontre a distância entre A e P. (2) Encontre a distância entre P e Q. Conceitos básicos 107, 120, 121 As distâncias e direções (segmentos e ângulos) podem ser considerados como lados e ângulos de triângulos. Considere em qual triângulo no diagrama focar e pense em quando aplicar a regra seno ou cosseno.'
A. ...
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Join our DiscordQ.99
'No triângulo ABC, se sin A: sin B: sin C = 3: 5: 7, encontre a proporção de cos A: cos B: cos C.'
A. ...
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Join our DiscordQ.00
'Exemplo básico 133 Comprimento do bissetor de ângulo no triângulo (2)'
A. ...
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Join our DiscordQ.02
'Exemplo Básico 106 Triângulo Retângulo e Razões Trigonométricas\nNo triângulo ABC mostrado na figura, encontre o seguinte:\n(1) Os valores de sinθ, cosθ, tanθ\n(2) Os comprimentos dos segmentos AD e CD'
A. ...
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Join our DiscordQ.04
'Foram feitas medições dos pontos A e B, que estão separados por 50 metros, até os pontos P e Q na margem oposta do rio, resultando nos valores mostrados no diagrama. Calcule a distância entre os pontos P e Q.'
A. ...
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Join our DiscordQ.05
'No triângulo ABC, se 7/sin A=5/sin B=3/sin C for verdadeiro, encontre a medida do maior ângulo no triângulo ABC.'
A. ...
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Join our DiscordQ.07
'Em um triângulo isósceles ABC, onde o ângulo A é de 36 graus e BC = 1, a interseção do bissectriz do ângulo C e o lado AB é chamada D.\n(1) Encontre os comprimentos dos segmentos DB e AC.\n(2) Encontre novamente os comprimentos dos segmentos DB e AC. Usando o resultado do item (1), determine o valor do cosseno de 36 graus.\n[Fonte: Universidade de Kobe Gakuin]\nBásico 106'
A. ...
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'Exemplo Problema 140 Área Mínima de um Triângulo\nUm triângulo equilátero ABC com lado de comprimento 2 é dado. Pontos D no lado AB e E no lado CA são tais que AD=CE. Seja S a área do quadrilátero DBCE.\n(1) Encontre o comprimento mínimo do segmento DE e o comprimento do segmento AD nesse ponto.\n(2) Encontre o valor mínimo de S e o comprimento do segmento AD nesse ponto.\nDadas as bases 66, 121, 131'
A. ...
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'Tome o ponto E no lado BC de tal forma que AB // DE, então o quadrilátero ABED é um paralelogramo.'
A. ...
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'Use a regra do seno para encontrar o maior ângulo do triângulo ABC. As condições dadas são as seguintes: sen A : sen B : sen C = 5 : 16 : 19.'
A. ...
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"A palavra usada para descrever a inclinação de estradas e ferrovias é gradiente. Usando a 'tabela de razões trigonométricas', responda à seguinte pergunta. (1) A inclinação de uma estrada é frequentemente expressa em porcentagem (%). A porcentagem representa quantos metros a elevação aumenta quando 100 metros são percorridos horizontalmente. Em uma determinada estrada, há um sinal indicando 23%. Aproximadamente quantos graus é a inclinação dessa estrada?"
A. ...
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'(1) No triângulo ABC, se a bissetriz do ângulo A intersecta o lado BC no ponto D, prove que BD:DC = AB:AC.'
A. ...
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'Encontre os comprimentos dos lados restantes e os tamanhos dos ângulos do \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ em cada um dos seguintes casos: (1) \ A=60^{\\circ}, B=45^{\\circ}, b=\\sqrt{2} \ (2) \ a=\\sqrt{2}, b=\\sqrt{3}-1, C=135^{\\circ} \'
A. ...
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Join our DiscordQ.17
'Seja D o ponto que divide o lado AB do △ABC na proporção 1:2 internamente, E o ponto que divide o lado AC na proporção 2:1 internamente, e F o ponto que divide o lado BC na proporção t:(1-t). Aqui, t é um número real que satisfaz 0<t<1.'
A. ...
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Join our DiscordQ.18
'No tetraedro ABCD, seja P, Q, R, S os pontos que dividem internamente as arestas AB, CB, CD, AD na proporção t:(1-t) [0<t<1].'
A. ...
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Join our DiscordQ.19
'No plano de coordenadas TR, quando as extremidades A e B de um segmento AB de comprimento 6 se movem ao longo dos eixos y e x, respectivamente, a trajetória do ponto P que divide o segmento AB em uma proporção de 3:1 deve ser determinada.'
A. ...
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Join our DiscordQ.20
'Explique as seguintes curvas:\n(1) Elipse deslocada paralelamente ao eixo dos x em 2 unidades e ao eixo dos y em -3 unidades; centro no ponto (2, -3); focos nos pontos (2+√5, -3), (2-√5, -3)\n(2) Hipérbole deslocada paralelamente ao eixo dos x em -2 unidades e ao eixo dos y em -3 unidades; vértices nos pontos (0, -3), (-4, -3); focos nos pontos (√29-2, -3), (-√29-2, -3); assíntotas nas retas , y^{2}=4xx=-3"'
A. ...
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Join our DiscordQ.22
'(4) No plano de coordenadas, deixe a curva representada pela equação polar ser designada como e os pontos em com coordenadas polares e serem designados como e , respectivamente. Além disso, deixe ser a reta que passa por e , e deixe ser o círculo centrado em com raio igual ao comprimento do segmento .\n(1) Encontre a equação polar da reta .\n(2) Encontre a equação polar do círculo .'
A. ...
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Join our DiscordQ.23
'Prove que os pontos médios dos diagonais AG e BH do paralelogramo ABCD-EFGH coincidem.'
A. ...
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Join our DiscordQ.24
'Trajetória de pontos com uma razão constante de distâncias de um ponto e uma linha'
A. ...
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Join our DiscordQ.25
'No triângulo OAB, deixe o ponto D dividir internamente o lado AB na proporção 2:1, o ponto E ser a imagem do ponto D sob simetria em relação à linha OA, e o ponto F ser a interseção da perpendicular do ponto B à linha OA. Seja o vetor OA como a e o vetor OB como b de modo que |a|=4 e a⋅b=6.'
A. ...
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Join our DiscordQ.26
'Um círculo com o ponto médio do lado BC como centro e passando pelo ponto A.'
A. ...
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Join our DiscordQ.27
'(2) Prove que \ \\overrightarrow{\\mathrm{GU}} \ é perpendicular ao plano QTV.'
A. ...
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Join our DiscordQ.28
'Tente provar as seguintes propriedades da forma usando o plano de números complexos.\nPara o quadrilátero ABCD\n(1) AB·CD+AD·BC≥AC·BD é verdade.\n(2) A igualdade ocorre em (1) quando o quadrilátero ABCD está inscrito em um círculo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.29
'(1) Encontre o ângulo θ formado pelos dois planos α e β. Note que 0° ≤ θ ≤ 90°.'
A. ...
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Join our DiscordQ.30
'Usando o plano complexo, prove os seguintes teoremas: (1) No triângulo ABC, sejam D e E os pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente. Então, BC // DE e BC=2DE (Teorema dos Pontos Médios). (2) No triângulo ABC, seja M o ponto médio do lado BC. Então, a equação AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2) é verdadeira (Teorema da Mediana).'
A. ...
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Join our DiscordQ.31
'No espaço, existem quatro pontos O, A, B, C que não estão no mesmo plano. Sejam s e t números reais satisfazendo 0<s<1,0<t<1. O ponto A0 divide o segmento de linha OA em uma proporção de 1:1, o ponto B0 divide o segmento de linha OB em uma proporção de 1:2, o ponto P divide o segmento de linha AC em uma proporção de s:(1-s), e o ponto Q divide o segmento de linha BC em uma proporção de t:(1-t). Além disso, assume-se que os quatro pontos A0, B0, P, Q estão no mesmo plano. (1) Expressar t em termos de s. (2) Dado que |OA|=1, |OB|=|OC|=2, ∠AOB=120°, ∠BOC=90°, ∠COA=60° e ∠POQ=90°, encontrar o valor de s.'
A. ...
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Join our DiscordQ.32
'Exemplo 36 Comprimento mínimo de uma linha quebrada (espaço)\nNo espaço de coordenadas, considere os pontos A(1,0,2), B(0,1,1).\n(1) Quando o ponto P se move no plano xy, encontre o valor mínimo de AP+PB.\n(2) Quando o ponto Q se move no eixo x, encontre o valor mínimo de AQ+QB.'
A. ...
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Join our DiscordQ.33
'No paralelogramo ABCD, o ponto E divide o lado AB na proporção 3:2, o ponto F divide o lado BC na proporção 1:2, e o ponto médio do lado CD é M. Seja P a interseção dos segmentos CE e FM, e Q a interseção da linha AP e da diagonal BD. Se o vetor AB é representado como a e o vetor AD como b, expresse os vetores (1) AP e (2) AQ em termos de a e b.'
A. ...
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Join our DiscordQ.34
'Exemplo 23 Relação posicional do centróide, circuncentro e ortocentro de um triângulo\nSe o centróide do triângulo ABC for G e o circuncentro for E, prove o seguinte:\n[Universidade de Yamanashi]\n1. Vetor GA + Vetor GB + Vetor GC = Vetor 0\n2. Vetor EA + Vetor EB + Vetor EC = Vetor EH, seja H o ortocentro do triângulo ABC.\n3. Os três pontos E, G e H são colineares e EG:GH = 1:2'
A. ...
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Join our DiscordQ.36
'Encontre as coordenadas do ponto R, que está equidistante dos pontos O(0,0,0), F(0,2,0), G(-1,1,2) e H(0,1,3).'
A. ...
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Join our DiscordQ.37
'Encontre a equação polar de uma reta com um ângulo α com a reta inicial.'
A. ...
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Join our DiscordQ.38
'Exemplo 132: Usando a representação paramétrica para encontrar a área mínima do triângulo formado pela tangente da elipse e os eixos de coordenadas'
A. ...
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Join our DiscordQ.39
'Prove as condições quando o triângulo ABC é um triângulo isósceles com AB=BC.'
A. ...
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Join our DiscordQ.41
'(3) A figura formada pelo segmento de linha AP que passa é a região preta na figura à direita, incluindo a linha de fronteira. Aqui, G e H são os pontos de interseção das duas linhas tangentes desenhadas a partir do ponto A para o círculo K. cos ∠AEH = EH / AE = a / 2a = 1/2, 0 < ∠AEH < π, portanto ∠AEH = π / 3. Além disso, ∠AEH = ∠AEG, então ∠GEH = 2/3π. Assim, a área S da figura formada pelo segmento de linha AP que passa é S = 2 * △AEH + (área do círculo K) - (área do setor EGH) = 2 * (1/2) * a * sqrt(3)a + πa^2 - (1/2) a^2 * (2/3)π = sqrt(3)a^2 + (2/3)πa^2.'
A. ...
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Join our DiscordQ.42
'Essas duas tangentes passam pelo ponto P(x_{0}, y_{0})'
A. ...
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Join our DiscordQ.43
'A equação da reta tangente no ponto P(x1, y1) é (x1 x)/a^2 - (y1 y)/b^2 = 1 (x1 > a), e x1^2/a^2 - y1^2/b^2 = 1. Quando x=a, com y1 ≠ 0, obtém-se y = b^2(x1 - a)/(a y1). Quando x=-a, com y1 ≠ 0, obtém-sey = -b^2(x1 + a)/(a y1). Assim, Q(a, b^2(x1 - a)/(a y1)), R(-a, -b^2(x1 + a)/(a y1)). Por conseguinte, o centro do círculo C1 com diâmetro QR é (0, -b^2/y1), e se o raio for r, então r^2 = a^2 + (b^2 x1/a y1)^2 = a^2 + (b^4 x1^2)/(a^2 y1^2) = a^2 + b^2 + b^4/(y1^2). Assim, a equação do círculo C1 é x^2 + (y + b^2/y1)^2 = a^2 + b^2 + b^4/(y1^2).'
A. ...
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Join our DiscordQ.46
'Se o quadrilátero ABDC for um paralelogramo, encontre os valores de a, b, c a partir do vetor AB = CD.'
A. ...
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Join our DiscordQ.47
'Encontre o ângulo agudo formado pelas duas seguintes linhas.'
A. ...
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Join our DiscordQ.48
'(1) Em um triângulo ABC onde AB=8, BC=7 e CA=5, com I sendo o incentro. Expressar o vetor AI em termos dos vetores AB e AC.'
A. ...
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Join our DiscordQ.49
'O ponto Q se move na circunferência com raio 5 centrado no ponto O e o ponto P se move na circunferência com raio 1 centrado no ponto Q. No tempo t, os ângulos formados por OQ e QP com a direção positiva do eixo x são respectivamente t e 15t. Se o ângulo que OP forma com a direção positiva do eixo x é ω, encontre dω/dt.'
A. ...
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Join our DiscordQ.50
'Num tetraedro regular ABCD com comprimento de aresta 2, encontre o produto escalar do vetor AB e do vetor AC.'
A. ...
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Join our DiscordQ.51
'Encontre a equação da reta que bissecta a área do triângulo ABC com vértices A(20,24), B(-4,-3) e C(10,4) e passa pelo ponto P que divide o lado BC na proporção 2:5.'
A. ...
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Join our DiscordQ.52
'Ponto de divisão interna e ponto de divisão externa\nAs coordenadas do ponto que divide o segmento de reta AB na proporção m:n são\nDivisão interna ... ((nx_{1}+mx_{2})/(m+n), (ny_{1}+my_{2})/(m+n))\nDivisão externa ... ((-nx_{1}+mx_{2})/(m-n), (-ny_{1}+my_{2})/(m-n))'
A. ...
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Join our DiscordQ.53
'No plano de coordenadas, as parábolas C₁: y=-p(x-1)²+q e C₂: y=2x² são tangentes à mesma reta no ponto (t, 2t²). Aqui, p e q são números reais positivos, e t está no intervalo 0 < t < 1.'
A. ...
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Join our DiscordQ.54
'Encontre as coordenadas de um ponto P que está equidistante dos pontos A(3,3), B(-4,4) e C(-1,5).'
A. ...
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'Encontre as coordenadas do ponto P no eixo y equidistante dos pontos A(3,-4) e B(8,6).'
A. ...
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'(2) No triângulo ABC, seja D o ponto que divide o lado BC na proporção 1:3. Prove que a equação 3AB^{2}+AC^{2}=4AD^{2}+12BD^{2} é verdadeira.'
A. ...
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'Para um ponto P(x, y) no plano xy que não seja a origem O, permita que o ponto Q satisfaça as seguintes condições: (A) Q está na semirreta OP com O como ponto de partida. (B) O produto dos comprimentos dos segmentos de reta OP e OQ é 1. (1) Expresse as coordenadas de Q em termos de x e y. (2) Determine o lugar geométrico de Q à medida que o ponto P se move ao redor do círculo com a equação (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=2, excluindo a origem. (3) Determine o lugar geométrico de Q à medida que o ponto P se move ao redor do círculo com a equação (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=4.'
A. ...
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Join our DiscordQ.60
'Encontre as coordenadas de um ponto P que está equidistante dos pontos A(3,3), B(-4,4) e C(-1,5).'
A. ...
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'Dado três pontos distintos A, B e C na circunferência de um círculo com centro O e raio 1 no plano. Prove que o raio r do círculo inscrito no triângulo ABC é menor ou igual a 1/2.'
A. ...
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Join our DiscordQ.62
'No plano xy da matemática, existem dois pontos P e Q em uma semi-reta com origem O como ponto de partida, satisfazendo OP · OQ = 4. Quando o ponto P se move ao longo da curva (x-2)² + (y-3)² = 13, (x, y)≠(0,0) excluindo a origem, encontre a trajetória do ponto Q.'
A. ...
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Join our DiscordQ.63
'Encontre a trajetória de pontos que estão em uma proporção de distância de 2:1 dos pontos A(-4,0) e B(2,0).'
A. ...
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Join our DiscordQ.64
'Ilustre os raios dos seguintes ângulos. Além disso, identifique em qual quadrante eles se encontram.'
A. ...
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Join our DiscordQ.65
'O ângulo α é tal que 0<α<π/2 e o raio que representa α coincide com o raio que representa 6α. Encontre a magnitude do ângulo α.'
A. ...
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Join our DiscordQ.66
'(5) Encontre o locus de pontos onde o ângulo subtendido nos pontos fixos A e B é ângulo constante α.'
A. ...
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Join our DiscordQ.67
'No triângulo ABC, seja o comprimento dos lados BC, CA e AB a, b, c respectivamente. Se o triângulo ABC estiver inscrito em um círculo de raio 1 e ∠A = π/3, encontre o valor máximo de a + b + c.'
A. ...
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Join our DiscordQ.68
'Curva senoidal que aparece na forma formada ao cortar um cilindro'
A. ...
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Join our DiscordQ.71
'Prove que no triângulo ABC, onde os tamanhos dos ângulos A e B são α e β, respectivamente, e os comprimentos dos seus lados opostos são denotados como a e b, a desigualdade b^2/a^2 < (1-cos β)/(1-cos α) < β^2/α^2 é válida quando 0 < α < β < π.'
A. ...
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Join our DiscordQ.73
'Considere a Matemática III\nAlém disso, considere a curva cônica quando o valor de 𝑡 é a solução. Prove que é uma hipérbole ou elipse e encontre as coordenadas do foco.'
A. ...
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Join our DiscordQ.74
'Com base na política de edição de gráficos, por favor, resolva o seguinte problema:\n2. Encontre o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo. (Usando o teorema de Pitágoras)\nProblema: Encontre o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo com comprimentos laterais de 3 cm e 4 cm.'
A. ...
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Join our DiscordQ.76
'Expresse X, Y em termos de x, y e θ quando o ponto P(X, Y) é girado em torno da origem O por um ângulo θ para obter o ponto Q(x, y).'
A. ...
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Join our DiscordQ.77
'Em relação às coordenadas polares, encontre as equações polares do círculo e da linha a seguir. Suponha que a>0.'
A. ...
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Join our DiscordQ.78
'Sejam as coordenadas polares dos pontos A, B, C, e D respectivamente (r₁, θ+π/6), (r₂, θ), (r₃, θ), e (r₄, θ+π/3). O triângulo ABC é um triângulo isósceles com AB=AC, e o triângulo DBC é um triângulo isósceles com DB=DC.'
A. ...
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Join our DiscordQ.79
'Para um triângulo com comprimento lateral 2 e , seja o comprimento do lado igual a e a área de seja . [Similar à Universidade de Educação de Aichi] (1) Expresse em termos de . (2) Encontre o valor máximo de . Além disso, determine os comprimentos dos três lados de .'
A. ...
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Join our DiscordQ.80
'Por favor, indique a condição para que os pontos A(α), B(β), C(γ), D(δ) sejam tais que AB e CD sejam perpendiculares.'
A. ...
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'No trapézio isósceles ABCD com AD // BC, onde AB=2 cm, BC=4 cm, e ∠B=60°. Se ∠B aumentar em 1°, em quanto a área S do trapézio ABCD aumentará? Assuma que π=3.14.'
A. ...
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Join our DiscordQ.82
'Em coordenadas polares, encontre a equação polar da locus de pontos P onde a razão de distância do polo O e da linha g é constante, passando pelo ponto A(3, π) e perpendicular à linha inicial.'
A. ...
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Join our DiscordQ.83
'Através do ponto O, encontre a equação polar de uma linha que forma um ângulo com a linha inicial e α.'
A. ...
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Join our DiscordQ.84
'Condições para um quadrilátero ser inscrito em um círculo'
A. ...
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Join our DiscordQ.85
'No plano complexo, deixe três pontos O(0), A(α), B(β) formarem um triângulo OAB, onde ∠AOB = π/6 e OA/OB = 1/√3. Então, é válido α^(2)-1 α β+β^(2)=0.'
A. ...
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Join our DiscordQ.86
'Dado que o triângulo ABC com vértices A(-1), B(1), C(√3i) forma um triângulo equilátero e o triângulo PQR com vértices P(α), Q(β), R(γ) forma um triângulo equilátero. Prove que a equação α²+β²+γ²-αβ-βγ-γα=0 é verdadeira.'
A. ...
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Join our DiscordQ.87
'Determine o valor de a para que as retas AB e AC sejam perpendiculares.'
A. ...
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Join our DiscordQ.88
'Como mostrado à direita, quando OP1=1, e P1P2=½OP1, P2P3=½P1P2, ... continuam indefinidamente, a que ponto os pontos P1, P2, P3, ... se aproximam infinitamente?'
A. ...
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'No triângulo OAB, deixe o ponto D dividir o lado AB na proporção 2:1, o ponto E seja o ponto simétrico do ponto D em relação à linha OA, e o ponto F seja a intersecção da perpendicular da ponto B para a linha OA e linha OA. Seja o vetor OA=a, o vetor OB=b, com |a|=4 e a∙b=6. (1) Expresse o vetor OF usando o vetor a. (2) Expresse o vetor OE usando os vetores a e b.'
A. ...
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'Em um plano, temos um triângulo OAB com OA=8, OB=7, AB=9 e um ponto P, onde OP=sOA+tOB é expresso (s, t são números reais).'
A. ...
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Join our DiscordQ.91
'Prove que os pontos A, B e C satisfazem AB ⊥ AC.'
A. ...
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Join our DiscordQ.92
'Para o intervalo de existência de pontos no plano dentro do triângulo OAB, se \ \\overrightarrow{OP} = s\\overrightarrow{OA} + t\\overrightarrow{OB} \, então o intervalo para o ponto P é'
A. ...
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Join our DiscordQ.93
'Quando o comprimento do segmento de linha AB é 8, em que o ponto A está no eixo x e o ponto B se move ao longo do eixo y, encontre a trajetória do ponto P que divide o segmento de linha AB em uma proporção de 3:5.'
A. ...
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Join our DiscordQ.94
'(2) No hexágono regular ABCDEF, expresse o vetor FB em termos do vetor AB e do vetor AC.'
A. ...
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'Existe um pentágono regular com um lado de comprimento 1 no plano, e seus vértices são sequencialmente A, B, C, D, E. Responda as seguintes perguntas:\n(1) Prove que a aresta BC é paralela ao segmento de linha AD.\n(2) Seja F a interseção dos segmentos de linha AC e BD. Descreva a forma do quadrilátero AFDE e forneça seu nome e raciocínio.\n(3) Encontre a proporção dos comprimentos dos segmentos de linha AF e CF.\n(4) Se o vetor AB=a e o vetor BC=b, expresse o vetor CD em termos dos vetores a e b.'
A. ...
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Join our DiscordQ.96
'Encontre a distância entre os pontos A e B quando as coordenadas do ponto A são (3, π/4) e as coordenadas do ponto B são (4, 3π/4) em coordenadas polares.'
A. ...
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Join our DiscordQ.98
'Num triângulo equilátero ABC com lado de comprimento a, sendo P1 o pé da perpendicular do vértice A ao lado BC, Q1 o pé da perpendicular de P1 ao lado AB, R1 o pé da perpendicular de Q1 ao lado CA e P2 o pé da perpendicular de R1 ao lado BC. Ao repetir este procedimento, são determinados os pontos P1, P2, ..., Pn no lado BC. Encontre o ponto para o qual Pn se aproxima.'
A. ...
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Join our DiscordQ.00
'No triângulo ABC, há um ponto P no interior. Seja Q a interseção de AP e o lado BC, tal que BQ:QC=1:2, e 24AP:PQ=3:4. Prove que a equação 4PA+2PB+PC=0 é verdadeira.'
A. ...
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Join our DiscordQ.01
'Vamos supor que o perímetro do triângulo ABC é 36 e que o raio do círculo inscrito no triângulo ABC é 3. Encontre a área do triângulo QBC quando o ponto Q satisfaz a condição 6→AQ+3→BQ+2→CQ=→0.'
A. ...
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Join our DiscordQ.02
'No triângulo OAB, deixe o ponto que divide o lado AB na proporção 2:1 ser D, deixe o ponto simétrico ao ponto D em relação à linha OA ser E e deixe F ser a interseção do perpendicular do ponto B com a linha OA. Seja →OA=a, →OB=b, |a|=4, a⋅b=6. (1) Expresse →OF em termos do vetor a. (2) Expresse →OE em termos dos vetores a e b.'
A. ...
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Join our DiscordQ.03
'No quadrilátero ABCD com AD // BC e BC=2AD, prove (1) que os pontos P e Q estão na linha AB. (2) Mostre que os pontos P, Q, e D são colineares.'
A. ...
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'O ponto Q divide internamente o lado AC do triângulo ABC na proporção 1: 2, e o ponto P divide o lado BC na proporção m: n (m>0, n>0). Seja R o ponto de interseção dos segmentos AP e BQ. Uma linha que passa pelo ponto R intercepta os lados AB e AC nos pontos D e E, respectivamente. Além disso, vamos considerar vec{b}=→AB e vec{c}=→AC.\n(1) Expresse o vetor AR em termos de m, n, vec{b}, e vec{c}.\n(2) Seja k=AB/AD+AC/AE. Mostre a relação entre m e n de modo que k seja constante independentemente da posição do ponto D no segmento AB, e encontre o valor de k nesse caso.'
A. ...
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Join our DiscordQ.05
'Prove que o incentro P(z) do triângulo OAB com vértices O(0), A(α) e B(β) satisfaz a equação z=|β|α+|α|β/||α|+|β|+|β-α|.'
A. ...
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Join our DiscordQ.06
'Passe pelo pólo O e encontre a equação polar da reta que forma um ângulo α com a linha inicial.'
A. ...
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Join our DiscordQ.07
'Quando o ponto z se move na figura a seguir, que tipo de figura o ponto w representado por w=(-√3+i) z+1+i desenha? (1) Um círculo com raio de 1/2 centrado em -1+√3i (2) A bissetriz perpendicular do segmento de linha que une os 2 pontos 2,1+√3i'
A. ...
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Join our DiscordQ.09
'No quadrilátero ABCD, onde AD // BC e BC = 2AD. Responda as seguintes perguntas quando os pontos P e Q satisfazem as condições.'
A. ...
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Join our DiscordQ.10
'Prove que o incentro do triângulo OAB com pontos diferentes O(0), A(α), B(β) como vértices é P(z), onde z satisfaz a equação z = (|β|α + |α|β) / (|α| + |β| + |β-α|).'
A. ...
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Join our DiscordQ.11
'No triângulo OAB, vamos assumir que o ponto C divide o lado OA na proporção 2:1, e o ponto D divide o segmento BC na proporção 1:2. O ponto E é a interseção da reta OD e o lado AB. Expresse os seguintes vetores em termos do vetor OA e do vetor OB.'
A. ...
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Join our DiscordQ.12
'No paralelogramo ABCD, deixe E ser o ponto que divide o lado AB na proporção 3:2, F seja o ponto que divide o lado BC na proporção 1:2, e M seja o ponto médio do lado CD. Seja P a interseção da reta CE e da reta FM, e Q seja a interseção da reta AP e da diagonal BD. Se o vetor AB=a e o vetor AD=b, expresse o vetor (1) AP e (2) AQ em termos de a e b.'
A. ...
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Join our DiscordQ.13
'(3) Uma vez que , as coordenadas do ponto A são , portanto, a inclinação da linha OA é , assim, a inclinação da linha requerida é . Portanto, a equação é\n\nque é \nSubstituindo \n\n'
A. ...
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'No triângulo OAB, deixe o ponto C dividir o lado OA na razão 2:3, e o ponto D dividir o lado OB na razão 4:5. A interseção dos segmentos AD e BC é o ponto P, e a interseção da linha OP com o lado AB é o ponto Q. Se \\\overrightarrow{OA}=\\vec{a}\ e \\\overrightarrow{OB}=\\vec{b}\, expresse \\\overrightarrow{OP}\ e \\\overrightarrow{OQ}\ em termos de \\\vec{a}\ e \\\vec{b}\. [Sim. Univ. Kinki]'
A. ...
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Join our DiscordQ.15
'Seja \ a>0 \. Considere a curva \ K \ representada pela equação polar \\( r=a(1+\\cos \\theta) (0 \\leqq \\theta<2 \\pi) \\) (cardioide). Responda às seguintes perguntas.'
A. ...
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Join our DiscordQ.16
'Quando uma linha que passa pelo baricentro G do triângulo ABC intersecta os lados AB e AC nos pontos 25D e E respectivamente, onde D é diferente dos pontos A e B, e E é diferente dos pontos A e C, prove que DB/AD + EC/AE = 1.'
A. ...
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Join our DiscordQ.17
'(4) Para o plano PQR e a aresta OD, o seguinte se aplica. Quando q=1/4, o plano PQR é? Quando q=1/5, o plano PQR é? Quando q=1/6, o plano PQR é?'
A. ...
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Join our DiscordQ.18
'(1) Provar: No tetraedro OABC, para t tal que 0<t<1, seja K, L, M, N os pontos onde as arestas OB, OC, AB, AC são divididas internamente na proporção 43t:(1-t). Prove que o quadrilátero KLNM é um paralelogramo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.20
'Resolver para y em (1), temos y = ± (b/a)√(x² - a²), então y = ± (b/a)x√(1 - a²/x²). À medida que x se aproxima do infinito, y se aproxima de ± (b/a)x. O mesmo ocorre quando x é negativo e seu valor absoluto se aproxima do infinito. Portanto, as duas linhas y = (b/a)x e y = -(b/a)x são as assíntotas da hipérbole (1) (as linhas para as quais uma curva se aproxima à medida que se aproxima). Essas assíntotas também são as duas linhas representadas por (x/a - y/b)(x/a + y/b) = 0 com 1 no lado direito de (1) substituído por 0.'
A. ...
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Join our DiscordQ.21
'Encontre a condição para mostrar que AB é paralelo a CD.'
A. ...
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Join our DiscordQ.22
'Similaridades e diferenças entre plano e espaço 2'
A. ...
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Join our DiscordQ.23
'Encontre as condições para o quadrilátero PQSR ser um paralelogramo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.25
'Considere um triângulo equilátero ABC com lado de comprimento 1 no plano. Para um ponto P, o vetor v(P) é dado por v(P)=→PA−3→PB+2→PC.'
A. ...
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Join our DiscordQ.26
'Os seguintes 4-7 são fatos básicos sobre uma elipse.'
A. ...
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Join our DiscordQ.28
'No plano complexo, considerando A(0), B(β), C(γ), encontre os números complexos que representam os pontos E e G.'
A. ...
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Join our DiscordQ.29
'Para os pontos A(1,2), B(2,3), C(-1,2), encontre a equação da reta que passa pelo ponto A e é perpendicular a BC. Encontre o ângulo agudo α formado pelas retas x-2y+3=0 e 6x-2y-5=0.'
A. ...
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Join our DiscordQ.30
"À medida que k varia de 1 a 2, o segmento de reta A'B' move-se paralelamente ao segmento de reta AB para CD conforme mostrado no diagrama."
A. ...
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Join our DiscordQ.31
'No trapézio ABCD mostrado à direita, onde AD=a e BC=b. Seja E um ponto que divide AB na razão m, e seja F a interseção de CD com a linha que passa por E paralela a AD, então EF=(na+mb)/(m+n) é válido.'
A. ...
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Join our DiscordQ.32
'Que curva resultará da redução ou ampliação do círculo x^2 + y^2 = 4 das seguintes maneiras?\n(1) Reduzindo pela metade ao longo do eixo y\n(2) Ampliando por um fator de 3 ao longo do eixo x'
A. ...
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Join our DiscordQ.33
'Seja O o centróide do triângulo ABC. Uma linha l que passa pelo ponto O, mas não pelo vértice A, intersecta os lados AB e AC nos pontos P e Q, respectivamente. Seja S a área do triângulo ABC e T a área do triângulo APQ. Determine a equação da linha l que minimiza T/S e encontre o valor mínimo de T/S.'
A. ...
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Join our DiscordQ.34
'(1) Círculo com raio 1 centrado no ponto que divide o segmento AB em razão de 2:3\n(2) Círculo com diâmetro AD onde o ponto D divide o lado BC em razão de 3:2'
A. ...
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Join our DiscordQ.36
'Dentro do triângulo retângulo ABC0 com um ângulo interno de 90 graus, uma série infinita de quadrados B0B1C1D1, B1C2D2, e assim por diante estão sendo construídos. Deixe o comprimento de um lado do enésimo quadrado Bn-1BnCnDn ser an, e sua área ser Sn. Para cada número natural k maior que 1, vale ak=ralpha(k-1), onde a0=1.'
A. ...
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Join our DiscordQ.37
'Prove que no trapézio ABCD, AD // BC e AD: BC = 1:2.'
A. ...
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Join our DiscordQ.38
'Pontos P e Q estão nos lados OA e OB de um triângulo equilátero OAB com um lado de comprimento 1. Quando a área do triângulo OPQ é exatamente a metade da área do triângulo OAB, encontre o intervalo de valores possíveis para o comprimento de PQ.'
A. ...
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Join our DiscordQ.39
'Encontre as coordenadas do ponto Q, que divide o segmento de linha AB na razão m:n.'
A. ...
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Join our DiscordQ.41
'Questão 62\n(1) Determine os pontos D que dividem internamente o segmento de reta BC na proporção 5:4, e os pontos E que dividem internamente o segmento de reta AD na proporção 2:1.\n(2) Encontre a proporção de V_{1} : V_{2}.'
A. ...
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Join our DiscordQ.42
'(1) Triângulo retângulo isósceles com BA=BC\n(2) Triângulo equilátero\n(3) Triângulo retângulo com ∠A=π/3, ∠B=π/6, ∠C=π/2'
A. ...
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Join our DiscordQ.43
'No plano complexo, vamos designar os pontos que representam z1, z2, z3, z4, z5 como A, B, C, D, E, respectivamente. Dos seguintes (0) a (5), os corretos são (E) e (G). (0) △ABC é um triângulo equilátero. (1) △BCD é um triângulo equilátero. (2) △OCE é um triângulo retângulo. (3) △BCE é um triângulo retângulo. (4) O quadrilátero ABDC é um paralelogramo. (5) O quadrilátero AOEC é um paralelogramo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.44
'Prove os seguintes teoremas usando o plano complexo: (1) No triângulo ABC, com os pontos médios de AB e AC como D e E respectivamente, temos que BC // DE e BC = 2DE (Teorema do Ponto Médio). (2) No triângulo ABC, quando o ponto médio de BC é M, a equação AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2) é verdadeira (Teorema da Mediana).'
A. ...
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Join our DiscordQ.45
'Prove que no triângulo isósceles ABC, ao tomar o ponto D na base BC e desenhar a corda ADE da circunferência do triângulo ABC. Nesse ponto, o quadrado de AB é igual a AD vezes AE.'
A. ...
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Join our DiscordQ.47
'Desenhando similaridade com 64 métodos semelhantes'
A. ...
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Join our DiscordQ.48
'(2) No triângulo , o ponto está na extensão do lado , os pontos e estão nos lados e respectivamente, satisfazendo as seguintes condições: '
A. ...
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Join our DiscordQ.49
'Questão 51 | Tamanho dos lados e ângulos em um triângulo\nNo triângulo ABC, seja M o ponto médio do lado BC e D o ponto de interseção do bissetor do ângulo A e do lado BC.\nProve o seguinte (1), (2):\n(1) AB > BD\n(2) Se AB > AC, então ∠BAM < ∠CAM'
A. ...
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Join our DiscordQ.50
"Exercício 44: Seja a interseção de AB e PQ R e a interseção de PQ e CD seja R'. Como AD//BC, temos PR:RQ=AP:BQ, PR':R'Q=PD:QC, AP:PD=BQ:QC=m:n. AP:BQ=½AD:½BC=AD:BC, PD:QC=¼AD:¼BC=AD:BC. Portanto, AP:BQ=PD:QC."
A. ...
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Join our DiscordQ.52
'Teorema de Pitágoras e sua inversa: No triângulo ABC, se BC=a, CA=b, AB=c, então ∠C=90° se e somente se a²+b²=c².'
A. ...
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Join our DiscordQ.54
'No triângulo ABC, de acordo com o teorema do cosseno, cos B = \\frac{144+121-100}{2 \\cdot 12 \\cdot 11} = \\frac{165}{2 \\cdot 12 \\cdot 11} = \\frac{5}{8}. A partir do (1), AD^2 = 144+36-144 \\cdot 6 \\cdot \\frac{5}{8} = 90 e como AD > 0, então AD = 3 \\sqrt{10}. Vamos chamar ∠ADB = θ. No triângulo ABD, de acordo com o teorema do cosseno, AB^2 = AD^2 + BD^2-2AD \\times BD \\cos θ. Além disso, BD:CD = 2:3, então CD = \\frac{3}{2}BD. No triângulo ADC, de acordo com o teorema do cosseno, AC^2 = AD^2 + CD^2-2AD \\times CD \\cos(180^{\\circ}-θ) = AD^2+\\left(\\frac{3}{2}BD\\right)^2+2AD \\times \\frac{3}{2}BD \\cosθ = AD^2+\\frac{9}{4}BD^2+3AD \\times BD \\cosθ. Portanto, 6AB^2 + 4AC^2 = 6(AD^2+BD^2-2AD \\times BD \\cosθ) + 4(AD^2+\\frac{9}{4}BD^2+3AD \\times BD \\cosθ) = 10AD^2+15BD^2.'
A. ...
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Join our DiscordQ.55
'Explique e prove as condições de semelhança de triângulos.'
A. ...
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Join our DiscordQ.56
'No triângulo \ \\triangle ABC \, se os pontos \ P \ e \ Q \ estão nas retas dos lados \ AB \ e \ AC \ ou sua extensão, então as seguintes propriedades são verdadeiras: \n[1] \ PQ // BC \\Leftrightarrow AP: AB=AQ: AC \\n[2] \ PQ // BC \\Leftrightarrow AP: PB=AQ: QC \\n[3] \ PQ // BC \\Longrightarrow AP: AB=PQ: BC \'
A. ...
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Join our DiscordQ.57
'Em △ABC, visto que OA=OC, o ângulo OCA=ângulo OAC=40°, logo α=180°-2×40°=100°. Além disso, como OA=OB, OB=OC, o ângulo OAB=ângulo OBA=β, e o ângulo OBC=ângulo OCB=25°. Portanto, em △ABC, 2×40°+2×25°+2β=180°, assim 2β=50°, dessa forma β=25°. Outra solução: Primeiro encontrar β, então, de acordo com o teorema do arco inscrito, α=2(β+25°)=2(25°+25°)=100°.'
A. ...
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Join our DiscordQ.58
'Se o raio do círculo circunscrito for R, conforme o teorema do seno, 6/sin C = 2R, então R = 8/√7 = 8√7/7. Se o raio do círculo inscrito for r, então △ABC = r/2(6+4+5), △ABC = 15√7/4, logo r = √7/2.'
A. ...
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Join our DiscordQ.59
'Problema de prática: O ponto M divide o lado AB do triângulo ABC na proporção 1:2, e o ponto N divide o lado BC na proporção 3:2. A interseção do segmento de linha AN e CM é O, e a interseção do segmento de linha BO e o lado AC é P. Se a área do triângulo AOP é 1, encontre a área do triângulo ABC.'
A. ...
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Join our DiscordQ.60
'Problema de encontrar os comprimentos ou ângulos no diagrama: \\n, ,\\n, , e bissecta ,\\n, é um triângulo equilátero, com .'
A. ...
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Join our DiscordQ.62
'Os ângulos subtendidos pelos arcos PS e PT deste círculo são iguais'
A. ...
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Join our DiscordQ.64
'No livro de matemática A, exemplo 29 na página 337, AD é a bissetriz do ângulo ∠A, então BD:DC=AB:AC=12:9=4:3. Portanto, DC=3 / (4+3) * BC = 3 / 7 * 6 = 18 / 7. Além disso, AE é a bissetriz do ângulo externo de ∠A, então BE:EC=AB:AC=12:9=4:3. BC:CE=(4-3):3=1:3. Logo, CE=3 * BC=3 * 6=18. Consequentemente, DE=DC+CE=18 / 7 + 18=144 / 7.'
A. ...
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'Exemplo 53 Aplicação da Trigonometria (1) De uma altura de 20m do topo de um prédio, ao olhar para baixo em um certo ponto, o ângulo é de 30 graus. Encontre a distância entre esse ponto e o prédio. Além disso, encontre a distância entre esse ponto e a borda do telhado do prédio.'
A. ...
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'Exemplo 52 | Comparação de lados e ângulos de dois triângulos\nNos triângulos ABC e DEF, AB = DE e AC = DF. Provar que se ∠A > ∠D, então BC > EF.'
A. ...
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Join our DiscordQ.67
'De acordo com o teorema do ponto de potência, para o ponto de interseção P das duas cordas AB e CD de um círculo, PA * PB = PC * PD é válido. Além disso, quando é traçada uma tangente de um ponto externo P para o círculo com o ponto de contato T, e uma linha que passa por P intersecta o círculo nos pontos A e B, então PA * PB = PT^2 é válido.'
A. ...
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Join our DiscordQ.69
'Em um triângulo, encontre a solução quando AR, BP e CQ são iguais.'
A. ...
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Join our DiscordQ.70
'\\n O plano que passa por três pontos A, B, C é denotado como α, o plano que passa por três pontos A, C, D é denotado como β, e o plano que passa por quatro pontos P, Q, R, S é denotado como γ.\\n (1) Assumindo que PQ é paralelo a AC, PQ se intersecta com AC no ponto X no plano α.\\n O ponto X está na linha AC, porque a linha AC está no plano β, portanto o ponto X também está no plano β. Além disso, X está na linha PQ, porque a linha PQ está no plano γ, então X também está no plano γ. Portanto, X está na linha de interseção do plano β e do plano γ, que é a linha RS. No entanto, isso entra em contradição com PQ // RS. Logo, PQ // AC. De forma semelhante, RS // AC.\\n A partir de PQ // AC, temos AP:PB=CQ:QB, então AP/PB=CQ/BQ, o que implica AP/PB\\cdot BQ/QC=1. Além disso, de RS // AC, temos CR:RD=AS:SD, então CR/RD=SA/DS, o que implica CR/RD\\cdot DS/SA=1. Portanto, (1)×(2) leva a AP/PB\\cdot BQ/QC\\cdot CR/RD\\cdot DS/SA=1.'
A. ...
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Join our DiscordQ.71
'Desenho de um segmento de linha de comprimento dado Quando são dados segmentos de linha de comprimentos 1, a e b, forneça o procedimento para desenhar um segmento de linha de comprimento √(b/a).'
A. ...
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Join our DiscordQ.72
'Propriedades dos comprimentos dos lados de um triângulo'
A. ...
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Join our DiscordQ.73
'Prática 109\nSeja H o ponto médio do lado AB e M o ponto médio do lado OC.\nJá que os triângulos OAC e OBC são equiláteros, temos que AM é perpendicular a OC e BM é perpendicular a OC.\nPortanto, o plano ABM é perpendicular a OC.\nSeja V o volume a ser determinado, e a pirâmide triangular OABM.\n∠AOP=60°\n∠POM=60°\nO triângulo OAB é equilátero.\nUse o resultado de (1).\nSubstitua cosθ de (2).\nInvestigue o caso em que a raiz quadrada de 11t²-6t+3 é minimizada. Neste ponto, S também é minimizado.\nEm relação a perpendicularidade de uma linha e um plano, consulte as Informações Básicas 3 na página D.207.'
A. ...
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Join our DiscordQ.76
'Do ponto A, o ângulo de elevação até o topo da torre era de 30°. Em seguida, a partir do ponto B, que está a 100m mais perto da torre horizontalmente, o ângulo de elevação até o topo da torre era de 45°. Dada a altura dos olhos como 1,6m, e √3=1,732, determinar a altura da torre.'
A. ...
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Join our DiscordQ.77
'Teorema do Ponto Médio: No triângulo ABC, se M e N são os pontos médios dos segmentos AB e AC, então MN // BC e MN = 1/2 BC.'
A. ...
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Join our DiscordQ.79
'(1) Triângulo retângulo com B=90°\n(2) Triângulo isósceles com BC=CA\n(3) Triângulo isósceles com AB=CA ou triângulo com A=120°'
A. ...
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Join our DiscordQ.81
'Dado que AB=3 e AR:RB=1:2, temos que AR=1 e RB=2; dado que AC=7 e AQ:QC=1:6, temos que AQ=1 e QC=6. No círculo O, de acordo com o teorema da potência de um ponto, AR * AB=AQ * AP, então 1 * 3=1 * AP, o que resulta em AP=3. Logo, PC=7-3=4. Considerando o triângulo ARC e a linha PB, aplicando o teorema de Menelaus, temos que CP/PA * AB/BR * RS/SC=1, ou seja, 4/3 * 3/2 * RS/SC=1.'
A. ...
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Join our DiscordQ.82
'Em um triângulo não retângulo ABC, deixe P, Q, R serem os pontos simétricos ao circuncentro O com relação aos lados BC, CA e AB, respectivamente.'
A. ...
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Join our DiscordQ.83
'Explique a área de um triângulo com um excírculo e incírculo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.84
'(2) Pela lei do cosseno, . Como é um ângulo agudo, e porque , então . A solução é . Substituindo em (1), obtemos . Como é um ângulo agudo, . Portanto, .'
A. ...
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Join our DiscordQ.86
'Exercício 35 |III ⇒ Livro p. 390\n(1) Em △ABF e △DCF, pelo teorema dos ângulos inscritos,\n\n∠BAF=∠CDF,\n∠ABF=∠DCF\nPortanto, △ABF é semelhante a △△DCF\n\nA proporção de suas áreas é\n△ABF: △DCF=1: 4=1²: 2²\n\nAssim, a proporção de semelhança é 1: 2\nPortanto, FC=2, FB=2y, FD=2, FA=2x'
A. ...
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Join our DiscordQ.87
'Encontre o ângulo do quadrilátero inscrito em um círculo com um raio de 35'
A. ...
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Join our DiscordQ.89
'Pela regra do seno, 3/ sin 60°= b / sin 45°=2 R b=3 ⋅ (1/√2) ⋅ (2/√3)=√6 R=3/(2 sin 60°)= 3/2 ⋅ (2/√3)=√3'
A. ...
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"Prove que dois círculos O e O' se intersectam nos pontos A e B. Seja a tangente ao círculo O no ponto A como l, e a tangente ao círculo O' no ponto A como l'. Seja C o ponto de interseção de l' e do círculo O diferente de A, e seja D o ponto de interseção de l e do círculo O' diferente de A. (1) Prove que o triângulo ABC e o triângulo DBA são semelhantes. (2) Prove que quando os pontos B, C e D são colineares, o cordão AC passa pelo centro do círculo O. (3) Prove que quando os pontos B, C e D são colineares e a linha que passa pelo centro do círculo O e o ponto B interseccionam l no ponto E, (AC/AD)^2=AE/DE é válido."
A. ...
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'Ao selecionar aleatoriamente 4 pontos distintos do conjunto de 16 pontos { (x, y) | x = 0, 1, 2, 3 ; y = 0, 1, 2, 3 }, encontre as seguintes probabilidades:'
A. ...
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'Explique e prove as condições de congruência dos triângulos. 1) Prove que os triângulos são congruentes quando os seus três lados são iguais. 2) Prove que os triângulos são congruentes quando dois lados e o ângulo entre eles são iguais. 3) Prove que os triângulos são congruentes quando um lado e os ângulos nos seus extremos são iguais. 4) Explique e prove as condições de congruência dos triângulos retângulos. 5) Em particular, prove que os triângulos são congruentes quando a hipotenusa e outro lado são iguais. 6) Prove que os triângulos são congruentes quando a hipotenusa e um ângulo agudo são iguais.'
A. ...
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'Problema semelhante 9 => Página 467 deste livro Em △ABC, de acordo com a lei dos cossenos, b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cos 60° = a^2 + c^2 - ac = (a^2-2ac+c^2)+ac Portanto, ac=b^2-(a-c)^2; Portanto ac=(b+a-c)(b-a+c)'
A. ...
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Join our DiscordQ.94
'Na figura à direita, AB = BC = CD = DE = EF. O ponto C divide o segmento CD externamente em uma proporção de 3:2 no ponto A e em uma proporção de 2:3 no ponto B.'
A. ...
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Join our DiscordQ.95
'(1) Na Figura 1, quantos caminhos mais curtos diferentes existem do ponto A ao ponto B?'
A. ...
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Join our DiscordQ.96
'Exemplo 32 ⇒ Página 342 do livro\n(1) Em △ABC, uma vez que AD é a bissetriz do ângulo A,\nBD:DC=AB:AC=3:4\nPortanto, BD=3/(3+4)BC=3/7×6=18/7\nEm △ABD, uma vez que BI é a bissetriz do ângulo B,\nAI:ID=BA:BD=3:18/7=7:6'
A. ...
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Join our DiscordQ.97
'Aqui estão os problemas matemáticos com base na regra do cosseno.'
A. ...
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Join our DiscordQ.98
'Exercício 42: Livro p.338 (1) △BEF e △AEF, com BE e AE como suas bases respectivamente, têm alturas iguais, portanto △BEF: △AEF = BE: AE. Em △ABD, o segmento DE é o bissetor do ângulo ∠ADB, logo BD: AD = BE: AE. (1), (2) implica △BEF: △AEF = BD: AD. Combinando (1) e (2) obtemos △BEF: BD = △AEF: AD. Da mesma forma, △CEF: △AEF = CD: AD segue de (1). Logo, △CEF: CD = △AEF: AD. Assim, △BEF: BD = △CEF: CD. Logo, △BEF: △CEF = BD: CD. Em △ABC, o segmento AD é o bissetor do ângulo ∠BAC, então AB: AC = BD: CD. (3), (4) leva a △BEF: △CEF = AB: AC.'
A. ...
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Join our DiscordQ.99
'No triângulo ABC, com o ângulo A medindo 60 graus, encontre os comprimentos de AC (altura) e AB (hipotenusa).'
A. ...
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Join our DiscordQ.01
'Quantidades relacionadas a formas, como comprimento, ângulos, área e volume, estão interligadas devido às diversas propriedades das formas. Ao utilizar essas relações, torna-se possível calcular quantidades desconhecidas a partir de quantidades conhecidas. As razões trigonométricas são conceitos definidos usando as propriedades de similaridade dos triângulos. Este capítulo explora as relações entre as quantidades relacionadas a formas usando razões trigonométricas.'
A. ...
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Join our DiscordQ.02
'Por favor, explique a diferença entre o Teorema de Menelau e o seu recíproco.'
A. ...
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Join our DiscordQ.03
'No triângulo retângulo ABC, ∠C=90 graus, AB=1. Sejá ∠B=θ. Trace a perpendicular CD do ponto C ao lado AB, e a perpendicular DE do ponto D ao lado BC. Seja F a interseção de AE e CD.'
A. ...
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Join our DiscordQ.04
'Do topo de uma torre com 10m de altura, olhando para o topo de uma montanha do outro lado do lago, o ângulo de elevação é de 30°. Além disso, o ângulo de depressão do topo da montanha refletido na superfície da água é de 45°. Encontre a altura do topo da montanha.'
A. ...
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Join our DiscordQ.05
'A = 180°-(B+C) =180°-(110°+40°)=30° Pela regra do seno a=2R sin A =2 ⋅ 7 sin 30° =2 ⋅ 7 ⋅ (1/2)=7'
A. ...
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Join our DiscordQ.06
'Usando a regra do seno, encontre os seguintes valores.'
A. ...
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Join our DiscordQ.08
'Existe um tetraedro ABCD. Os pontos P, Q, R, S estão nos segmentos de linha AB, BC, CD, DA, respetivamente. Supondo que os pontos P, Q, R, S estão coplanares e diferentes de qualquer vértice do tetraedro. (1) Se PQ e RS forem paralelos, provar que a equação AP/PB * BQ/QC * CR/RD * DS/SA = 1 é válida. (2) Se PQ e RS não forem paralelos, provar que a equação AP/PB * BQ/QC * CR/RD * DS/SA = 1 é válida.'
A. ...
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'Em \ \\triangle POS \ e \ \\triangle PSH \, a partir da (4) temos \ \\angle POS = \\angle PSH \, e \ \\angle P \ é comum. Portanto, \ \\triangle POS \ é congruente a \ \\triangle PSH \.'
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'Prove que o quadrilátero ABCD é um quadrilátero cíclico.'
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'Triângulos equiláteros, quadrados, pentágonos e hexágonos podem ser construídos, mas heptágonos não. Entre os polígonos regulares, alguns podem ser construídos usando apenas uma régua e um compasso, enquanto outros não podem. O matemático alemão Gauss esclareceu as condições para a construção. O método para construir um heptadecágono regular, que ele descobriu aos 19 anos, foi registrado na primeira entrada de seu diário encontrada após sua morte. Diz-se que essa descoberta levou Gauss a se comprometer a viver como matemático.'
A. ...
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Para um losango onde a soma dos comprimentos das diagonais é de 10 cm:
(1) Encontre a área máxima.
(2) Encontre o perímetro mínimo.
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Em seguida, se o ponto médio do lado for , então
\[
egin{aligned}
\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2}
\text { Portanto } \quad \overrightarrow{\mathrm{OC}}=-8 \overrightarrow{\mathrm{OM}}
\text { Portanto, } \mathrm{OM}: \mathrm{CM}=1:(1+8)=1: 9 \text { Assim }
\end{aligned}
\]
Portanto, \( \mathrm{OM}: \mathrm{CM}=1:(1+8)=1: 9 \), a área é vezes.
C, O, M estão alinhados nesta ordem. e compartilham a base , então a proporção das áreas é igual à proporção das alturas.
A. ...
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No triângulo , seja o ponto que divide o lado na proporção internamente. Mostre que a equação é verdadeira. [Universidade Chuo]
A. ...
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Encontre a trajetória da seguinte curva.
(3) PF:PH = 2:1 então PF=2PH
Assim, PF²=4PH² logo x²+(y-1)²=4(y+1)²
Simplificando, x²-3y²-10y-3=0
Ou seja, x²-3(y+5/3)²=-16/3
Ou seja, 3/16x²-9/16(y+5/3)²=-1
Portanto, o ponto P está na hipérbole (1).
Inversamente, todos os pontos P(x, y) na hipérbole (1) satisfazem a condição. Portanto, a trajetória do ponto P é a hipérbole 3/16x²-9/16(y+5/3)²=-1
A. ...
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Há um quadrilátero onde e não é um paralelogramo. Seja e os pontos médios dos lados e , respectivamente, e seja e os pontos médios das diagonais e , respectivamente. (1) Expresse e em termos de e . (2) Prove que .
A. ...
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No triângulo △ABC, o ponto D divide o segmento AB na razão 3:1, e o ponto E divide o segmento AC na razão 2:3. Seja P o ponto de interseção dos segmentos BE e CD. Dados que ∠AB = ∠c, exprima ∠AP em termos de ∠b e ∠c.
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No triângulo , se o ponto divide o lado internamente na razão , mostre que a equação é verdadeira.
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No plano xy, se a elipse (x^2/4) + y^2 = 1 é transladada 1 unidade na direção x e a unidades na direção y, e a elipse resultante passa pela origem, então a= .
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Em △ABC, seja D o ponto médio do lado AC, E o ponto médio do segmento BD, e F o ponto que divide o lado BC na razão 1:2. Mostre que os três pontos A, E e F são colineares.
A. ...
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Dada a hipérbole rac{x^{2}}{4}-rac{y^{2}}{9}=1 , encontre a equação da curva, as coordenadas dos focos e as equações das assíntotas após transladá-la 2 unidades na direção x e -3 unidades na direção y.
A. ...
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No paralelogramo , seja o ponto que divide internamente na razão e seja o ponto que divide a diagonal internamente na razão . Prove que os três pontos são colineares.
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Seja o polo O. Encontre a equação polar da linha que passa pelo ponto A com coordenadas polares (√3, π/6) e é perpendicular à linha OA.
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Mostre a seguinte expressão. No triângulo , dado e o incentro é . Expresse usando e . No triângulo , o ponto de interseção da bissetriz do ângulo ngle \mathrm{A} com o lado é , então . Portanto, \overrightarrow{\mathrm{AD}}=rac{3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}+7 \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{10}. Em seguida, \mathrm{BD} = 5 imes rac{7}{10} = rac{7}{2}. Portanto, \overrightarrow{\mathrm{AI}} = rac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AD}} = rac{2}{3} imes rac{3 \overrightarrow{\mathrm{AB}} + 7 \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{10} = rac{1}{5} \overrightarrow{\mathrm{AB}} + rac{7}{15} \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
A. ...
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TREINAMENTO 25
Seja onde é o ponto médio de , é o ponto médio do segmento , e é o ponto que divide internamente na razão 1:2. Mostre que os pontos são colineares.