Geometria Plana - Propriedades de Formas Básicas (Pontos, Retas, Ângulos, Triângulos, Quadriláteros, Círculos)

'Encontre o valor de k que representa um círculo passando pela origem (0,0).'

'Entenda a explicação da distância entre 1 ponto. Encontre as fórmulas para a distância entre a origem O e o ponto P(a), e entre os pontos A(a) e B(b).'

'(1) Que tipo de forma a equação $x^{2}+y^{2}+4x-6y+4=0$ representa?\n(2) Para que a equação $x^{2}+y^{2}+2px+3py+13=0$ represente um círculo, determine o intervalo de valores para a constante $p$.'

'(1) Encontre as coordenadas do ponto médio da corda formada pela interseção da reta x+y=1 e do círculo x^{2}+y^{2}=4, e determine o comprimento da corda.'

'(1) Passando pelo eixo x e pelo eixo y, e passando pelo ponto A(-4,2). (2) Passando pelo ponto (3,4), tocando o eixo x, e tendo seu centro na reta y=x-1.'

'Desenhe a região que satisfaz as desigualdades $x^{2}+y^{2}>1$ e $|x| + |y| > 1$, e explique sua relação.'

'Exemplo 29 | Forma de um triângulo Para 4 pontos A(4,0), B(0,2), C(3,3), D, responda às seguintes questões.'

'Encontre as coordenadas dos pontos de divisão interna, pontos de divisão externa e centroide no Exemplo 30'

'Prática (63 => Este Livro p.137) (2) Sejam as coordenadas do ponto P (x, y), então de AP^2+BP^2=18 obtemos {(x-1)^2+(y-4)^2}+{(x+1)^2+y^2}=18, simplificando obtemos x^2+y^2-4y=0, o que implica x^2+(y-2)^2=2^2. Portanto, os pontos que satisfazem a condição estão no círculo (1). Inversamente, qualquer ponto no círculo (1) satisfaz a condição. Assim, a trajetória desejada é um círculo com centro em (0,2) e raio 2.'

'Para o segmento de linha que conecta A (-3) e B (6), encontre as coordenadas dos seguintes pontos: (1) Ponto que divide internamente na proporção 2:1 (2) Ponto que divide externamente na proporção 2:1 (3) Ponto que divide externamente na proporção 1:2 (4) Ponto médio'

'Tomando a reta BC como o eixo x e o ponto P como a origem, as coordenadas dos vértices do triângulo ABC podem ser expressas como: \nA(a, b), B(-c, 0), C(2c, 0)\nonde b ≠ 0, c > 0. Verifique a equação 2AB² + AC² = 3(AP² + 2BP²).'

'O que é um diâmetro?'

'Encontre a equação de um círculo que toca tanto o eixo x quanto o eixo y.'

'Encontre as trajetórias dos seguintes pontos Q e R com relação ao ponto P se movendo na parábola y=x^2 e os dois pontos A(3,-1), B(0,2).'

'Uma vez que o ponto (3,4) está sobre a linha 3x-2y-1=0, a reta desejada passa pelos pontos (-7,-11) e (-1,6).'

'Prática (2) Parábola y=x^2 e linha y=m(x+2) se intersectam em dois pontos diferentes A e B. Encontre a trajetória do ponto médio do segmento AB à medida que o valor de m varia.'

'Encontre a equação padrão de um círculo.'

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'Quando o capítulo 3 (28 t) assume todos os valores reais, para os três pontos A(t, t^{2}), B(t, t-2), C(t+√3, t^{2}-t-1), responda às seguintes perguntas:\n(1) Prove que para cada número real t, A e B são pontos distintos.\n(2) Encontre todos os valores de t que fazem o triângulo ABC ser um triângulo retângulo.\n(3) Determine o intervalo de valores de t que fazem o triângulo ABC ser um triângulo agudo.'

'A equação do bissectriz perpendicular do segmento de linha BC é y-0=-2(x-5), que simplifica para y=-2x+10. Ao resolver as equações (4) e (5) simultaneamente, obtemos x=4, y=2. Portanto, o centro do círculo circunscrito está no ponto (4,2) e o raio é sqrt{(8-4)^{2}+(5-2)^{2}}=5. Assim, a equação que estamos procurando é (x-4)^{2}+(y-2)^{2}=25.'

'Círculo com centro (-2, 3) e raio 3'

'Quando os pontos de interseção de 22 círculos, um círculo que passa pelos pontos de interseção de um círculo e uma linha, e as equações das retas em termos de x, y são escritas como f(x, y), a curva representada pela equação f(x, y) = 0 (incluindo os casos em que representa uma reta) é chamada de curva f(x, y) = 0 e a equação é chamada de equação da curva.'

'Encontre a equação da reta tangente no ponto P(4,6) no círculo.'

'Encontre os valores da constante k para os quais as retas não formam um triângulo.'

'Os resultados de (1) a (3) indicam que as coordenadas do centroide G de △PQR mudam de $\\left(\\frac{3-8+2}{3}, \\frac{3+1+1}{3}\\right)$ para $\\left(-1, \\frac{5}{3}\\right)$.'

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'Dado que o comprimento da perpendicular traçada do ponto (2,1) para a reta kx + y + 1 = 0 é √3, encontre o valor da constante k.'

'Encontre as equações das retas paralelas e perpendiculares à reta 4x+3y-6=0 que passam pelo ponto de interseção das retas 2x-y-1=0 e x+5y-17=0.'

'Intersecta nos pontos (-1, 3) e (3, -1)'

'Encontre a distância entre os seguintes dois pontos.'

'(2) (1) De (1), no triângulo △AOB onde ∠AOB = 90°, o círculo que passa pelos pontos A, B, O tem AB como seu diâmetro.'

'Exemplo de exercício 17 Área de um setor'

'Encontre o comprimento do arco e a área de um setor com um raio de 4 e um ângulo central de 150°.'

'Problema (1) No plano cartesiano, quando os pontos A(a, 2), B(5, 1), C(-4, 2a) estão alinhados, encontre o valor da constante a.'

'(1) Toca tanto no eixo x quanto no eixo y, passando pelo ponto A(-4,2). (2) Passando pelo ponto (3,4), tocando no eixo x, com centro na linha y=x-1.'

'Problema para encontrar as coordenadas do ponto P. Encontre as coordenadas do ponto P (x, y) que está na linha que conecta os pontos A (6, -3) e B (1, 7).'

'Fora do círculo (x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5. Incluindo a fronteira.'

'As coordenadas do centróide G do triângulo ABC com vértices A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3) são (\\frac{x1+x2+x3}{3}, \\frac{y1+y2+y3}{3})'

'Matemática II rio 36 livros p.119\n(1) O raio r é a distância entre o centro (-5,4) e a origem, logo r^2=(-5)^2+4^2=41\nAssim, a equação do círculo que procuramos é (x+5)^2+(y-4)^2=41\n(2) O centro é o ponto médio do diâmetro, portanto suas coordenadas são (-3+3)/2, (6+(-2))/2 que é (0,2)\nO raio r é a distância entre o centro (0,2) e o ponto A(-3,6), então r^2=(-3-0)^2+(6-2)^2=25\nAssim, a equação do círculo que procuramos é x^2+(y-2)^2=25\nOutra solução (2) Na circunferência, seja P(x, y) um ponto diferente de A, B, então AP ⊥ BP assim, quando x ≠ -3, x ≠ 3, (y-6) / (x-(-3)) * (y-(-2)) / (x-3) = -1\nPortanto, (x+3)(x-3)+(y-6)(y+2)=0 que é x^2+(y-2)^2=25\nEsta equação é válida quando x=-3, x=3, ou seja, os pontos (-3,6), (-3,-2), (3,6), (3,-2) a satisfazem, então esta é a equação do círculo que procuramos.'

'Para um ângulo padrão, determine se a seguinte proposição é verdadeira e explique o motivo.\n"Não existem ângulos maiores que 360 graus"'

'Tomando OP como o raio.'

'(5) Uma reta paralela ao eixo y é perpendicular ao eixo x. Uma vez que a coordenada x do ponto pelo qual passa é 5, temos x=5'

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'Exemplo Importante 58: Pontos de Interseção da Parábola e do Círculo\nSeja r uma constante positiva. Considere a parábola y=x^{2} e o círculo x^{2}+(y-2)^{2}=r^{2}, e responda às seguintes perguntas:\n(1) Quando r=2, encontre todas as coordenadas dos pontos de interseção entre a parábola e o círculo.\n(2) Investigue como o número de pontos de interseção entre a parábola e o círculo muda conforme r varia sobre todos os valores reais positivos.'

'Encontre os valores de a quando as retas (a-2)x+ay+2=0 e x+(a-2)y+1=0 são paralelas, coincidentes ou perpendiculares.'

'Compreender a fórmula para a distância entre 2 pontos em um plano. Encontre a fórmula para a distância entre os pontos O(0; 0), A(x_{1}, y_{1}), B(x_{2}, y_{2}).'

'Para os dois círculos \ x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+1=0, x^{2}+y^{2}=5 \:\n(1) Encontre a equação da reta que passa pelos dois pontos de interseção dos dois círculos.\n(2) Encontre o centro e o raio do círculo que passa pelos dois pontos de interseção dos dois círculos e o ponto (1,3).'

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'(1) Encontre a equação de um círculo com centro (-5,4) passando pela origem.\n(2) Encontre a equação de um círculo com diâmetro AB onde A(-3,6) e B(3,-2).'

'Dado os círculos, designados como C_1 e C_2, respectivamente. (1) Deixe as coordenadas do ponto de tangência no círculo C_1 serem (x_1, y_1) de forma que x_1^2 + y_1^2 = 9'

'Exemplo importante 49 Distância entre um ponto em uma parábola e uma linha\nDado dois pontos A(0,1) e B(2,5) e a parábola y=x^{2}+4x+7. Há um ponto P movendo-se sobre a parábola.\n\nEncontre o valor mínimo da área S do triângulo PAB.'

'Desenhe o intervalo de existência do ponto (a, b) no plano ab quando o segmento de linha que conecta os pontos A(1,-2) e B(-2,1) intersecta a parábola y=x^{2}+ax+b em apenas um ponto que não seja A ou B.'

'Calcular a distância entre dois pontos em um plano.'

'A equação da reta AB é x/a + y/b = 1. Considerando o ponto P(a, b) e a distância entre o ponto P e a reta AB como d, encontre o valor máximo de d.'

'Número de pontos da grade'

'Seja a equação do círculo requerido (x-1)^(2)+(y+√3)^(2)=r^(2) (r>0). A condição para o círculo (2) ser tangente ao círculo C é 0<r<5 e √((1-0)^(2)+(-√3-0)^(2))=5-r, portanto r=5-√4=3. Assim, a equação necessária é (x-1)^(2)+(y+√3)^(2)=9'

'Encontre as coordenadas do ponto Q:\n\nSejam as coordenadas do ponto Q (x, y).\n(1) Seja OP=r e seja o ângulo entre OP e a direção positiva do eixo x α, então r cosα=-2, r sinα=3.\nPortanto, x=r cos(α+5/6π)=r cosα cos5/6π-r sinα sin5/6π.'

'Coordenadas dos pontos\nSejam os pontos A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) dados.\nEncontre a distância entre dois pontos.\nAB=√((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)\nEm particular, a distância entre a origem O e A é OA=√(x₁² + y₁²)'

'Exemplo 55 Condições de tangência e equações de círculos e retas'

'Tomando o ponto B como a origem e a aresta BC como o eixo x, as coordenadas de cada vértice podem ser representadas como A(0, a), B(0, 0), C(b, 0), D(b, a). Prove que PA² + PC² = PB² + PD².'

'Num plano, existem n círculos de tal forma que quaisquer dois círculos se intersectam e nenhum trio ou mais de círculos se intersectam no mesmo ponto. Em quantas partes o plano é dividido por esses círculos?'

'Intervalo de passagem de pontos e curvas'

'Questão semelhante Pegando um ponto P(1/2, 1/4) no plano de coordenadas. Quando dois pontos Q(α, α^2) e R(β, β^2) na parábola y=x^2 se movem de forma que os três pontos P, Q, R formam um triângulo isósceles com QR como base, encontre a trajetória do baricentro G(X, Y) do triângulo PQR. [Universidade de Tóquio]'

'A parábola e o círculo têm 4 pontos compartilhados quando o vértice da parábola está no segmento de linha que conecta o ponto (0, -37/4) e o ponto (0, -3) (excluindo os pontos finais) conforme mostrado na figura. Portanto, -37/4 < a < -3.'

'Dois círculos tangentes aos eixos de coordenadas e uma reta'

'Tomando a reta BC como o eixo x e o bissetor perpendicular do lado BC como o eixo y, o ponto médio L do lado BC torna-se a origem O, e as coordenadas de cada vértice podem ser representadas como A(a, b), B(-c, 0), C(c, 0). Neste caso, L(0,0), M((a+c)/2, b/2), N((a-c)/2, b/2), portanto, as coordenadas dos pontos de interseção que dividem as três medianas AL, BM, CN na proporção de 2:1 são ((a/3), (b/3)), ((-c+(a+c))/(2+1), (0+b)/(2+1)), ((c+(a-c))/(2+1), (0+b)/(2+1)), todos os quais são ((a/3), (b/3)), então as três medianas AL, BM, CN se intersectam neste ponto.'

'Exercício 1: Encontre o raio e a área total dos incírculos de triângulos equiláteros'

'Ilustre o raio dos seguintes ângulos. Além disso, identifique em qual quadrante eles se encontram.'

'(1)\n{% raw %}\\(\\mathrm{AB}^{2}=(0-4)^{2}+(2-0)^{2}=20\\)\\(\\mathrm{BC}^{2}=(3-0)^{2}+(3-2)^{2}=10\\)\\(\\mathrm{CA}^{2}=(4-3)^{2}+(0-3)^{2}=10\\)\\{% endraw %}\nPortanto, BC=CA, BC^2 + CA^2 = AB^2, logo, ΔABC é um triângulo isósceles retângulo com ∠C=90∘.'

'Encontre a equação de uma reta'

'Prática Deixe o número real t satisfazer 0<t<1, considere os 4 pontos O(0,0), A(0,1), B(1,0), C(t,0) no plano de coordenadas. Além disso, defina o ponto D no segmento AB de forma que ∠ACO=∠BCD. Encontre a área máxima do triângulo ACD. [Universidade de Tóquio]'

'Quando o ponto (x, y) se move dentro de um círculo com raio 1 centrado na origem, represente a faixa de movimento do ponto (x+y, x y).'

'Para o círculo $C: x^{2}+y^{2}=25$, responda às seguintes perguntas:\n1. Encontre a equação de um círculo com centro em $(12,5)$ que é tangente externamente ao círculo $C$.\n2. Encontre a equação de um círculo com centro em $(1,-\\sqrt{3})$ que é tangente internamente ao círculo $C$.'

'Encontre o comprimento do arco e a área de um setor com raio 4 e ângulo central de 150 graus.'

'Seja a e b números reais positivos. As parábolas C1: y = x^2 - a e C2: y = -b(x - 2)^2 são tangentes à reta ℓ no ponto P(x0, y0). Defina S1 como a área entre a reta x = 0, a parábola C1 e a reta tangente ℓ, e S2 como a área entre a reta x = 2, a parábola C2 e a reta tangente ℓ. Responda às seguintes perguntas:\n(1) Expresse a, x0, y0.\n(2) Expresse a relação de áreas S1 : S2 em termos de b.'

'Distância entre um ponto e uma reta'

'Represente no gráfico o conjunto de pontos (x, y) que satisfazem y=x+1 com uma linha reta como limite. Além disso, represente no gráfico as regiões de pontos que satisfazem y>x+1 e y<x+1.'

'Encontre as coordenadas de um ponto P no eixo x equidistante dos pontos A(-1,2) e B(3,4).'

'Encontre a equação de um círculo que passa pelo ponto (2,1) e é tangente ao eixo x e ao eixo y.'

'Exemplo básico 70: Dado A(-2,1), B(6,-3), C(1,7), encontre as coordenadas dos seguintes pontos.'

'Considere o seguinte problema.'

'Investigue como o número de pontos de interseção entre o círculo (x-1)^2+(y-1)^2=r^2 e a reta y=2x-3 muda dependendo do raio r.'

'Exemplo padrão 103'

'Dado os três vértices A(5,-2), B(1,5), C(-1,2), encontre os comprimentos dos três lados do triângulo ABC e determine que tipo de triângulo é.'

'Desenhe a região representada pelas seguintes desigualdades.'

'Encontre a equação da reta tangente traçada a partir do ponto A(3,1) para o círculo x^2+y^2=2 e as coordenadas do ponto de tangência.'

'Sejam A e B os pontos de interseção da parábola y = 9-x^{2} com o eixo x. Quando um trapézio é inscrito na área contida por esta parábola e o eixo x, com o segmento AB como base, determine a área máxima deste trapézio.'

'Encontre o número de pontos da grade dentro da área cercada por y = -x^2 + 8x e y = x (incluindo a fronteira).'

'Um círculo com centro C(a, b) e uma distância constante r(>0) de C é uma coleção de pontos com C como centro e raio r. O círculo com centro em C é simplesmente chamado de círculo C, e a equação satisfeita por qualquer ponto (x, y) no círculo é chamada de sua equação. Vamos tentar encontrar a equação deste círculo. A condição para um ponto P(x, y) estar no círculo C é CP = r, expresso em coordenadas como √((x-a)^2 + (y-b)^2) = r, ao elevar ambos os lados ao quadrado obtemos (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. Como ambos os lados de (2) são positivos, (1)⇔(2)⇔(3), portanto (3) é a equação do círculo desejado. A forma da equação (3) com o conhecimento do centro (a, b) e raio r é chamada de forma básica da equação do círculo. A equação de um círculo com raio r e centro (a, b) é (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. A equação de um círculo com raio r e centro na origem é x^2 + y^2 = r^2. Observa-se que a configuração a=b=0 em 1 resulta em 2. Quando r=1, é chamado de círculo unitário. Além disso, o 1 pode ser considerado como uma tradução do 2 paralela a a ao longo do eixo x e b ao longo do eixo y.'

'Seja o círculo (x-1)^2 + (y+2)^2 = 9 C.\n(1) Quando o círculo (x+1)^2 + (y-1)^2 = 4 for C₁, determine a relação de posição entre C e C₁.'

'O ponto D está no quarto quadrante, o Círculo D é tangente ao eixo x e ao eixo y, então as coordenadas do ponto D podem ser assumidas como (d, -d) e o raio é d. Como o ponto D está abaixo da reta l, temos 3d - 4d - 12 < 0. A distância entre o ponto D e a reta l é |3d - 4d - 12| /√(3^2+4^2) = (d + 12) / 5. Como o Círculo D é tangente à reta l, a distância entre o ponto D e a reta l é (d + 12) / 5 = d. Portanto, d = 3.'

'Encontre a equação da reta tangente no ponto A no círculo com A(0,3) e B(8,9) como diâmetro.'

'Existem pontos A(-1,3) e B(5,11).'

'Encontre o valor de a quando os dois círculos se tocam.'

'Encontre a equação de uma reta tangente ao círculo x^2 + y^2 = 9 e paralela à reta 4x + 3y - 5 = 0.'

'Para os pontos A(0,1) e B(4,-1): (1) Encontre a equação de um círculo C1 com centro na reta y=x-1 que passa pelos pontos A e B. (2) Encontre a equação de um círculo C2 simétrico ao círculo C1 encontrado em (1) com respeito à reta AB. (3) Seja P e Q pontos nos círculos C1 e C2, respectivamente. Encontre o comprimento máximo do segmento de linha PQ. [Universidade de Gunma]'

'Existe um paralelogramo ABCD com vértices A(-2,3), B(5,4) e C(3,-1). Encontre as coordenadas do vértice D e o ponto de interseção P das diagonais.'

'Encontre a equação do círculo a seguir:\n(1) Um círculo com centro em (1,1) tangente à reta 2x-y-11=0'

'Dado os pontos A(6,0) e B(3,3), quando o ponto P se move no círculo x^2 + y^2 = 9, encontre o locus do centroide G do triângulo ABP.'

"Sejam C e C' os dois pontos de interseção A, B, e o ponto médio do segmento de linha AB seja M. Portanto, o comprimento do segmento OM é igual à distância entre a origem O e a linha ℓ."

'Usando as coordenadas (p, q) do ponto B, determine a condição para a linha AB ser perpendicular à linha ℓ quando a inclinação de ℓ é 2.'

'Quando exatamente 2 linhas tangentes podem ser desenhadas do ponto P(1, ) para a curva C, responda às seguintes perguntas. (i) Encontre as equações das 2 linhas tangentes. (ii) Deixe Q e R serem os pontos de tangência entre as linhas encontradas no item (i) e a curva C. Assuma que a coordenada x de Q é menor que a coordenada x de R. Encontre a área S da figura delimitada pelo segmento de linha PQ, pelo segmento de linha PR e pela curva C.'

'Investigue a relação posicional entre os seguintes círculos e linhas, e encontre as coordenadas dos pontos de intersecção, se existirem.'

'Que tipo de formas representam as seguintes equações?'

'Suponha que existam quatro círculos no plano cartesiano que tocam o eixo x, o eixo y e a reta 3x + 4y - 12 = 0. Ordene os raios desses círculos em ordem crescente e explique a relação entre o centro de cada círculo e a reta.'

'Calcule a inclinação da reta que forma um ângulo de \\frac{\\pi}{4} com a reta x-\\sqrt{3}y=0.'

'Para o ponto A(-2, -3), encontre as coordenadas do ponto Q que é simétrico ao ponto P(3, 7).'

'Encontre a equação da reta tangente no ponto P no círculo seguinte.'

'Seja A a interseção dos dois retas \ 3 x+2 y-4=0 \ (1) e \ x+y+2=0 \ (2). Determine a equação da reta que passa pelo ponto A e B(3,-2) para (1). Determine a equação da reta que passa pelo ponto A e é paralela à reta \ x-2 y+3=0 \ para (2).'

'Dado A(-2,-3), B(3,7), C(5,2), encontre as coordenadas dos seguintes pontos.'

'Vamos encontrar a equação da reta tangente no ponto (a, b) no círculo x^2 + y^2 = r^2.'

'Seja a linha 3x+2y-4=0 como (1) e x+y+2=0 como (2), com A como ponto de interseção das duas linhas. Encontre a equação da linha que passa por A e pelo ponto B(3,-2).'

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'Qual é a forma do triângulo ABC formado pelos seguintes 3 pontos?'

'Encontre as equações dos seguintes círculos:\n1. Círculo com centro em (2, -3) e raio 1\n2. Círculo com centro em (3, 4) passando pelo origem\n3. Círculo com diâmetro definido pelos pontos (3, 1) e (-5, 7)\n4. Círculo com centro em (5, 2) tangente ao eixo y'

'Encontre o centro e o raio do círculo que passa pelos dois pontos de interseção dos dois círculos \\( x^{2}+y^{2}=2,(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=1 \\) e é tangente à reta \ y=x \.'

'O ponto A está no primeiro quadrante, o Círculo A é tangente aos eixos x e y, então as coordenadas do ponto A podem ser assumidas como (a, a), com o raio sendo a. Uma vez que o ponto A está abaixo da reta l, temos 3a + 4a - 12 < 0. A distância entre o ponto A e a reta l é |3a + 4a - 12| / √(3^2 + 4^2) = (-7a + 12) / 5. Uma vez que o círculo A é tangente à reta l, a distância entre o ponto A e a reta l é a, portanto, (-7a + 12) / 5 = a, levando a a = 1.'

'Domine as fórmulas para as coordenadas de pontos de divisão interna e externa e conquiste o exemplo 74!'

'Círculo e linha'

'Para quais valores da constante k o círculo C: x^2+y^2+(k-2)x-ky+2k-16=0 passará pelos pontos A(x, y) e B(x, y)? Aqui, . O segmento de linha AB será um diâmetro do círculo C somente quando k=.'

'Explique o que é o terceiro quadrante.'

'Mostrar os limites da região representados pelas desigualdades.'

'Problema para encontrar a relação de posição entre uma linha e um círculo, juntamente com as coordenadas de seus pontos de interseção.'

'Encontre as equações dos seguintes círculos.'

"A equação da reta que passa pelos dois pontos de interseção C e C' é \\square x+\\square y=15. Além disso, a área S do triângulo com os dois pontos de interseção e a origem O como vértices é S=\\square."

'Que tipo de formas essas equações representam?'

'As duas retas a seguir são paralelas ou perpendiculares?'

'Domine a fórmula para calcular a distância entre um ponto e uma reta, conquiste o exemplo 83!'

'Ilustre o raio do ângulo θ e especifique em qual quadrante o ângulo se encontra'

'Quando o triângulo ABC é um triângulo retângulo com vértices A(1,1), B(2,4) e C(a,0), encontre o valor da constante a.'

'Encontre as coordenadas do ponto P na circunferência do círculo com a equação x^2-2x+y^2-4y+4=0 que está mais próxima do ponto A(-1,1). Além disso, encontre a distância entre os pontos A e P.'

'Ponto em um plano'

'(2) Triângulo isósceles retângulo onde \ \\angle \\mathrm{A}=90^{\\circ} \'

'Em relação aos pontos A(0,1) e B(4,-1)'

'Capítulo 4: Figuras e Equações'

'Problema de encontrar a distância entre dois pontos em um plano.'

'Encontre as coordenadas dos seguintes pontos.'

'Dado o círculo TR: x^{2}+y^{2}=1, designado como C_{0}, e seja C_{1} o círculo obtido ao transladar o C_{0} 2a unidades na direção positiva do eixo x, onde a está entre 0 e a<1. Além disso, sejam A e B os dois pontos de interseção de C_{0} e C_{1} no primeiro quadrante, e seja P(s, t) um ponto em C_{0} diferente dos pontos A e B. Encontre o trajeto do centroide G do triângulo PAB à medida que P se move na parte de C_{0} excluindo os dois pontos A e B.'

'73 (1) $\\mathrm{AB}=\\mathrm{CA}$ é um triângulo isósceles'

'Neste caso, a distância entre o centro (0,0) do círculo (1) e a linha (2) é igual ao raio do círculo √k, então'

'Descubra quantas tangentes podem ser desenhadas do ponto P(1, ) para a curva C: y=x^3-x.'

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'Dado o centro e o raio de um círculo, encontre a equação do círculo.'

'Encontre a equação de um círculo com centro (a, b) e raio r.'

'Encontre o círculo que passa pela interseção de 2 círculos'

'Prove que, para um triângulo agudo ABC, a seguinte equação é verdadeira: tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C.'

'Encontre o local geométrico do ponto médio P do segmento de linha que conecta o ponto A(2,0) e o ponto Q à medida que o ponto Q se move ao longo do círculo x^2 + y^2 = 1.'

'Examine as relações de posição entre os seguintes círculos e linhas e, se houver pontos comuns, encontre suas coordenadas.'

'Uma vez que o centro do círculo C3 é a origem O, a distância entre o círculo C e o círculo C3 é PO=√(1^2+(-2)^2)=√5\nSeja r3 o raio do círculo C3, como o círculo C3 está inscrito no círculo C, temos r3 < 3 e √5 = 3 - r3\nPortanto, r3 = 3 - √5\nAssim, a equação do círculo C3 é x^2 + y^2 = (3 - √5)^2'

'Desenhe as regiões representadas pelas seguintes desigualdades.'

'Existe um paralelogramo ABCD com vértices em A(-2,3), B(5,4) e C(3,-1). Encontre as coordenadas do vértice D e do ponto de interseção P das diagonais.'

'Encontre as coordenadas do ponto médio e o comprimento do segmento cortado pelo círculo com centro em (2, 1) e raio 2 da reta y=-2x+3.'

'Encontre a equação da reta tangente desenhada do ponto A(7,1) para o círculo x^2+y^2=25.'

'Encontre a equação de um círculo que passa pelos pontos (0,2) e (-1,1) com seu centro na reta y=2x-8.'

'Quando uma parábola (1) e um círculo (2) têm 4 pontos em comum, encontre o intervalo de r.'

'Encontre o centro e o raio do círculo que passa pelos dois pontos de interseção dos dois círculos x^2+y^2=2 e (x-1)^2+(y+1)^2=1, e que é tangente à reta y=x.'

'Na Figura 6, qual é o comprimento que pode ser lido com o paquímetro em incrementos de quantos milímetros?'

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'Quais são os valores no eixo vertical para os pontos (2) e (3)?'

'2021 Academia Shibuya da Escola Intermediária de Makuhari (1ª vez) (4)\nComo mostrado na Figura 5-1, há um prisma retangular $ABCD-EFGH$ com uma base de losango e todas as faces laterais retangulares. Os pontos $K, L, M, N$ estão localizados nas bordas $AB, BC, CD, DA$ respectivamente, com $AK: KB = AN: ND = 1: 1$, $BL: LC = DM: MC = 2: 1$.\nAlém disso, o ponto O está localizado na diagonal $EG$ do losango $EFGH$, com $EO: OG = 1: 5$.\nConectando cada vértice do quadrilátero $KLMN$ ao ponto O cria uma pirâmide O-KLMN. Responda às seguintes perguntas. O volume da pirâmide pode ser calculado como (área da base) x (altura ÷ 3).'

'Explique a diferença entre uma estrela vermelha brilhante e uma estrela vermelha escura.'

'Existe um triângulo retângulo ABC conforme mostrado na figura 2, e quadrados com os lados AD, BD e CD respectivamente. Nesse caso, qual é a área do quadrado com CD como um dos lados em centímetros quadrados?'

'Qual é o tamanho da célula A na figura 12 (comprimento entre PQ) em micrômetros? Use o valor obtido em (5) e responda em inteiros.'

'península'

'(3) Como mostrado no gráfico à direita, o penhasco B está a 48m acima do nível do mar e a uma distância de 70m ao norte do ponto A, o penhasco C está a 53m acima do nível do mar e a uma distância de 70m ao sul do ponto A, basta anotar suas respectivas posições.'

'(2) A linha desenhada pelo ponto O torna-se como uma linha grossa. Primeiramente, o ângulo central de um semicírculo com raio de 6 cm está entre (2) e (3). Ao adicionar a parte entre 8 e 9 (que é igual ao comprimento de um arco de 60 graus), obtém-se um total de 180×3+90+60×2 = 750 graus. Além disso, o arco entre 3 e 4 tem um raio de 12+6=18 cm e um ângulo central de 30 graus. Portanto, o comprimento da linha desenhada pelo ponto O é calculado como 6×2×3.14×750/360+18×2×3.14×30/360=(25+3)×3.14=87.92 cm.'

'Na figura 5-1, há um triângulo retângulo com o ângulo A, onde AB=3 cm e AC=6 cm, e um triângulo isósceles retângulo com o ângulo D, onde DE e DF têm ambos 6 cm. Responda às seguintes questões sobre a forma geométrica formada pela combinação desses triângulos retângulos. Considere o valor de Pi como 3.14. Além disso, observe que o volume de um cone pode ser calculado multiplicando a área da base pela altura e dividindo por 3.'

'A altura acima do nível do mar da camada de cinzas vulcânicas X é de 53 metros no penhasco A e 44 metros no penhasco B. Quando marcados com círculos em um gráfico, parece como mostrado no gráfico à direita.'

'(4) Um conjunto de pontos onde a diferença de distância de A para a fonte de som e de B para a fonte de som é constante em 350m forma uma linha, indicando a presença da fonte de som. Isso é representado por (I). Uma curva onde a diferença de distância de dois pontos para a fonte de som é constante é chamada de hipérbole.'

'Não cabe no papel A3'

'Os cometas são corpos celestes no sistema solar que orbitam ao redor do sol como planetas. Cometas apresentam a característica distintiva de repentinamente brilharem ao se aproximarem do sol vindo de longe no sistema solar e de escurecerem abruptamente e desaparecerem à medida que se afastam. Além disso, como mostrado na Figura 6, os cometas apresentam uma aparência diferente com uma longa cauda ondulando, ao contrário de outros corpos celestes. A cauda de um cometa se estende na direção oposta ao sol. (5) Suponha que um novo cometa seja descoberto e seja visível imediatamente após o pôr do sol daquele dia. Descreva a aparência da cauda do cometa como uma linha reta.'

'(3) A fonte sonora A está na posição alcançada dentro de 1 segundo, e B está na posição alcançada dentro de 2 segundos. Portanto, desenhando um círculo com um raio de 350 × 1 = 350 metros centrado em A, e um círculo com um raio de 350 × 2 = 700 metros centrado em B, os dois pontos de interseção desses dois círculos indicarão a posição da fonte de som.'

'Escolha uma afirmação correta que possa ser inferida do gráfico na Figura 4.'

'Encontre o comprimento de cada lado do triângulo a seguir.'

'Equação de um plano perpendicular a dois eixos de coordenadas'

'Triângulo retângulo com ângulo C igual a 90 graus'

'Considerando as coordenadas polares do ponto A como (r₁, θ₁) e as do ponto B como (r₂, θ₂). Encontre a área do triângulo OAB, denotada por S.'

'No paralelogramo ABCD, seja M o ponto médio do lado AB, E o ponto que divide o lado BC em 1:2 e F o ponto que divide o lado CD em 3:1. Se →AB=b e →AD=d'

'É dado um hexágono regular ABCDEF com comprimento do lado 1. Quando o ponto P se move ao longo do lado AB e o ponto Q se move ao longo do lado CD independentemente, encontrar a área pela qual o ponto R, que divide o segmento PQ na proporção 2:1, pode passar.'

'Embora seja possível substituir z=x+yi diretamente na equação (3)(2) e calculá-la, o cálculo se torna muito complicado (consulte a primeira consideração após a resposta). Portanto, primeiro consideramos a equação de uma elipse com congruência à forma C e tendo o foco no eixo x, então a giramos para encontrar a equação de C. (1) K: \\frac{x^{2}}{2^{2}}+\\frac{y^{2}}{1^{2}}=1 As coordenadas dos focos são, \\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\\sqrt{3}, então são (\\sqrt{3}, 0),(-\\sqrt{3}, 0). O comprimento do eixo maior é 2\\cdot2 e o comprimento do eixo menor é 2\\cdot1, portanto, a área a ser encontrada é \\pi\\cdot2\\cdot1=2\\pi.'

'A tangente em qualquer ponto da curva C no primeiro quadrante sempre intersecta as partes positivas dos eixos x e y, e os pontos de interseção são denominados Q e R, respectivamente. O ponto P divide o segmento QR internamente na proporção de 2:1.'

'Para coordenadas polares, encontre as equações do círculo e da linha a seguir: (1) Um círculo com centro no ponto A(3, π/3) e raio 2. (2) Uma linha que passa pelo ponto A(2, π/4) e é perpendicular a OA (O é o polo).'

'(2) 128\nNo trapézio isósceles \ \\mathrm{ABCD} \ onde \ \\mathrm{AB}=2 \\mathrm{~cm}, \\mathrm{BC}=4 \\mathrm{~cm}, \\angle \\mathrm{B}=60^{\\circ} \, quando \ \\angle \\mathrm{B} \ aumenta em \ 1^{\\circ} \, em quanto a área \ S \ do trapézio \ \\mathrm{ABCD} \ aumenta? Assuma que \ \\pi=3.14 \.'

'Encontre a distância entre dois pontos.'

'Encontre o vetor de posição do ortocentro de um triângulo.'

'No espaço de coordenadas, considere A(1,0,2) e B(0,1,1). Quando o ponto P se move ao longo do eixo x, encontre o valor mínimo de AP+PB.'

'No plano de coordenadas, o círculo C passa pelo ponto (0,0), seu centro está na linha x+y=0 e é tangente à hipérbole xy=1. Encontre a equação do círculo C. Aqui, diz-se que círculos e hipérboles tocam em um ponto se as tangentes do círculo e da hipérbole coincidirem nesse ponto.'

'Para a elipse $x^{2}+4 y^{2}=4$, encontre a trajetória do ponto $P(a, b)$ fora da elipse de onde duas tangentes desenhadas na elipse se interceptam em ângulo reto.\n[Tipo Universidade de Tóquio]\nBásico 155'

'Curva representada por variáveis paramétricas'

'Encontre a figura geométrica representada por todos os pontos P(z) que satisfazem a equação $|z-\\alpha|=r(r>0)$.'

'Na curva \\sqrt[3]{x}+\\sqrt[3]{y}=1, deixe \\mathrm{P} ser o ponto no primeiro quadrante onde a tangente intercepta o eixo x e o eixo y nos pontos \\mathrm{A}, \\mathrm{B} respectivamente. Se a origem for \\mathrm{O}, encontre o valor mínimo de \\mathrm{OA}+\\mathrm{OB}.'

'Encontre as coordenadas e o comprimento da corda formada pela interseção da linha e da curva a seguir.'

'Conceitos Básicos 1 Equações Polares e Retas (1) Equação polar de um círculo com centro no polo O e raio a r=a r=2a cos θ r^2-2r r₀ cos(θ-θ₀)+r₀^2=a^2 θ=α r cos (θ-α)=a (a>0) (2) Círculo com centro em (a, 0) e raio a r=2a cos θ (3) Círculo com centro em (r₀, θ₀) e raio a r^2-2r r₀ cos(θ-θ₀)+r₀^2=a^2 (4) Linha que passa pelo polo O e forma um ângulo α com a linha inicial θ=α (5) Linha que passa pelo ponto A(a, α) e é perpendicular a OA'

'(4) Para o plano PQR e a aresta OD, as situações são as seguintes. Quando q = 1/4, o plano PQR é . Quando q = 1/5, o plano PQR é 又. Quando q = 1/6, o plano PQR é ネ. Escolha o que se encaixa em dois 〜 ネ, um de 0 a 5, você pode escolher a mesma opção repetidamente.'

'Encontre a trajetória do centro P de um círculo tangente tanto ao círculo $(x-4)^{2}+y^{2}=1$ quanto à linha $x=-3$.'

'Para a elipse \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0) \\), as coordenadas dos focos são \\(\\left(\\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0\\right),\\left(-\\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0\\right)\\). Os focos estão no eixo x, com o comprimento do eixo maior sendo 2a e o comprimento do eixo menor sendo 2b.'

'Prove que a diferença de distância de qualquer ponto na hipérbole para seus dois focos é constante.'

'Indique a condição para que três pontos distintos A(α), B(β), C(γ) estejam alinhados.'

'Suponha que os dois extremos A e B de um segmento de linha de comprimento 2 se movam ao longo do eixo x e do eixo y, respectivamente. Quando $\\mathrm{BP}=1$, encontre a trajetória do ponto P.'

'Passando pelo ponto A(3, -4), encontre a reta paralela à reta l: 2x-3y+6=0 e chame-a de g. Determine a equação da reta g.'

'No hexágono regular ABCDEF, com centro O, o ponto P divide o lado CD internamente na razão 2:1, e o ponto Q é o ponto médio do lado EF. Se o vetor AB é a e o vetor AF é b, expresse os vetores BC, EF, CE, AC, BD e QP em termos dos vetores a e b.'

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'Quando um ponto P(z) se move ao longo do perímetro de um círculo centrado em -i com raio 1 (excluindo a origem), que tipo de forma o ponto Q(w) representado por (3) 114 w=1/z traça?'

"Tópico: Investigação de quadráticas representadas por equações de números complexos e movimento de rotação Matemática No Capítulo 3 de matemática C, aprendemos sobre formas geométricas no plano complexo, e no Capítulo 4 aprendemos sobre as propriedades das quadráticas. Aqui, investigaremos casos em que a forma representada pela equação do número complexo z é uma quadrática. Primeiro, vamos confirmar os conceitos básicos das quadráticas com o seguinte problema. CHECK 3-A A equação da trajetória do ponto P com uma distância total de 6 dos pontos F(√5, 0) e F'(-√5, 0) deve ser encontrada."

'Encontre a equação vetorial de um círculo.'

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'Supondo que △ABC é um triângulo equilátero com vértices A(-1), B(1) e C(√3 i). Prove que quando △PQR com vértices P(α), Q(β), R(γ) também é um triângulo equilátero, a equação α² + β² + γ² - αβ - βγ - γα = 0 é válida.'

'Prove a equação da reta tangente no ponto (x0, y0) no círculo usando vetores.'

'(2) A soma das distâncias do ponto z para os 2 pontos (√3+3i)/2 e -(√3+3i)/2 é constante em 4, portanto, a figura C é uma elipse com os 2 focos em (√3+3i)/2 e -(√3+3i)/2. Seja c a distância da origem, que é o centro dessa elipse, para os focos. As coordenadas dos focos no plano XY são (c, 0) e (-c, 0). Esta elipse é congruente com uma elipse onde a soma das distâncias dos pontos na elipse para os 2 focos também é 4.'

'Considere um círculo C com raio a no primeiro quadrante do plano xy, que é tangente tanto à reta l: y=mx(m>0) quanto ao eixo x. Além disso, considere círculos tangentes à reta l, ao eixo x e ao círculo C em um ponto cada um com raio b, onde b>a. (1) Expresse t em termos de m. (2) Expresse b/a em termos de t. (3) Encontre o limite lim_{m \to +0} 1/m(b/a-1).'

'(1) Deixe os comprimentos dos três lados do triângulo ABC serem AB=8, BC=7, CA=9. Deixe o vetor AB=b e o vetor AC=c, e deixe P ser o incentro do triângulo ABC. Expresse o vetor AP em termos de b e c.'

'Teorema do ponto médio: No triângulo ABC, sejam M e N os pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente. Então MN // BC e MN = 1/2 BC'

'Existe um quadrilátero ABCD inscrito em um círculo. Quando AB=4, BC=5, CD=7, DA=10, encontre a área S do quadrilátero ABCD.'

'Circuncentro de um triângulo'

'Determine o intervalo de valores para x para que um triângulo com comprimentos de lado 3, 5 e x se torne um triângulo agudo.'

'É dado um tetraedro regular OABC com comprimento de aresta igual a 6. Seja L o ponto médio da aresta OA, M o ponto que divide a aresta OB em 2:1 e N o ponto que divide a aresta OC em 1:2. Calcular a área do triângulo LMN.'

'No triângulo ABC, se B=30°, b=√2, e c=2, encontre os valores de A, C e a.'

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'O centro do círculo que passa pelos pontos A, P e Q é o ponto de interseção dos bissetores perpendiculares de duas cordas.'

'(2) ângulo agudo'

'Usando o teorema da potência de um ponto, mostre as propriedades das tangentes desenhadas a partir do ponto P para um círculo.'

'Para um octógono regular, encontre os seguintes números.\n(1) O número de quadriláteros que podem ser formados conectando 4 vértices\n(2) O número de triângulos formados conectando 3 vértices que compartilham uma aresta com o octógono regular'

'Na reta x=1, o ponto T está localizado onde a coordenada y é √3. O ponto P é a interseção da reta OT e de um semicírculo com raio 1. O ângulo que procuramos é ∠AOP.'

'Em um piso retangular com dimensões de 240 cm por 396 cm, queremos cobri-lo com azulejos quadrados de lado a cm sem lacunas. Encontre o valor máximo de a nesse caso. Além disso, determine a quantidade de azulejos que podem ser colocados.'

'Explique e prove as propriedades do circuncentro, incentro e baricentro de um triângulo.'

'Determine se os quatro pontos A, B, C, D à direita do diagrama estão no mesmo círculo.'

'O raio do círculo circunscrito é \ \\frac{85}{8} \, e o raio do círculo inscrito é 2'

'Num quadrilátero ABCD inscrito em um círculo, com AB = 8, BC = 10 e CD = DA = 3. Encontre a área S do quadrilátero ABCD.'

'79. No triângulo ABC, AB=2, BC=4, CA=2√3. Seja AD a altura do vértice A ao lado BC, e sejam E e F os pontos de interseção do círculo com diâmetro AD e os lados AB e CA, respectivamente. E e F são diferentes de A. [Universidade Médica de Tóquio Jikeikai]\n(1) Prove que os pontos E, B, C e F estão na mesma circunferência.\n(2) Encontre a área do triângulo EBF.'

'Como mostrado no diagrama, rotule todos os vértices de um triângulo equilátero com lado 2 e cada ponto médio dos lados de 1 a 6. Combine o resultado do primeiro lançamento de dado com esse número. Conecte os pontos correspondentes aos números sorteados nos dados três vezes para criar uma forma. Encontre o valor esperado da área da forma resultante.'

'Teorema 25 Teorema da Potência de um Ponto II'

'\ \\triangle ABC \ é um triângulo retângulo com \ \\angle A=90^{\\circ}, \\angle B=60^{\\circ}, \\angle C=30^{\\circ} \ e com \ AD \ como diâmetro de um círculo. Trace as linhas auxiliares \ AD, ED, EF, DF \.'

'Considerando os comprimentos p e q das diagonais AC e BD do quadrilátero ABCD, e considerando θ como um dos ângulos formados pelas diagonais, expresse a área S do quadrilátero ABCD em termos de p, q e θ.'

'Por favor, explique sobre pontos dentro e fora de um círculo e os tamanhos dos ângulos.'

'No triângulo ABC, O é o circuncentro. Encontre os ângulos α e β na figura à direita.'

'Condições para um paralelogramo: Um quadrilátero é um paralelogramo se alguma das seguintes condições forem cumpridas. [1] Dois pares de lados opostos são paralelos. [2] Dois pares de lados opostos são iguais. [3] Dois pares de ângulos opostos são iguais. [4] Um par de lados opostos é paralelo e tem o mesmo comprimento. [5] As diagonais se interceptam em seus pontos médios respectivos.'

'No quadrilátero ABCD inscrito em um círculo, onde AB = BC = 1, BD = √7 e DA = 2, encontre:\n1. A posição do ponto A\n2. O comprimento do lado CD\n3. A área do quadrilátero ABCD S'

'Encontre o circuncentro O do triângulo ABC.'

'Dado um quadrilátero ABCD inscrito no círculo PR com AB = 4, BC = 5, CD = 7, DA = 10, encontrar a área S do quadrilátero ABCD.'

'Determine o comprimento mínimo da diagonal em um retângulo com um comprimento de 40 cm. Além disso, descreva a forma do retângulo nesse mínimo. Supondo que o comprimento vertical do retângulo seja x cm, então o comprimento horizontal é (20-x) cm. Como x>0 e 20-x>0, temos 0<x<20. Denotando o comprimento da diagonal como l cm, l^2 =x^2+(20-x)^2 =2 x^2-40 x+400 =2(x-10)^2+200 (1) onde l^2 atinge o valor mínimo de 200 em x=10. Já que l>0, quando l^2 é minimizado, l também é minimizado. Assim, o valor mínimo do comprimento da diagonal l é sqrt(200)=10 sqrt(2)(cm). Neste ponto, o comprimento horizontal também é de 10 cm, fazendo com que o retângulo se torne um quadrado.'

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'Leve o ponto O no plano e defina duas linhas perpendiculares no ponto O, conforme mostrado no diagrama à direita. Estas são chamadas de eixo x e eixo y, respectivamente. O ponto O é chamado de origem. Neste caso, se o ponto A estiver localizado nas coordenadas (3, 2), forneça sua coordenada x e coordenada y.'

'Em um plano, existem 10 linhas que não se intersectam, e nenhuma passa pelo mesmo ponto. Se duas das 10 linhas são paralelas, determine o número de pontos de interseção e triângulos formados por essas 10 linhas.'

'Exemplo 4: Antena parabólica\nUma parábola é chamada de parabola em inglês. A superfície de uma antena parabólica usada para recepção de transmissão via satélite é em forma da superfície que é formada ao girar uma parábola ao redor de seu eixo.'

"Os círculos O e O' com raios 5 e 8, respectivamente, são tangentes externamente no ponto A. Sejam B e C os pontos onde a tangente externa comum desses dois círculos toca nos círculos O e O'. Estenda BA para intersectar no círculo O' no ponto D.\n(2) Prove que os pontos C, O' e D são colineares.\n(3) Encontre as razões de AB:AC:BC."

'Calcule o número de paralelogramos formados por 3 linhas paralelas e 5 linhas que as interceptam.'

'Distância entre dois pontos\n(1) A distância entre dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) no plano de coordenadas é\nAB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)\nEm particular, a distância entre a origem O e o ponto A(x1, y1) é OA=√(x1^2+y1^2)\n(2) A distância entre dois pontos A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) no espaço de coordenadas é\nAB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)\nEm particular, a distância entre a origem O e o ponto A(x1, y1, z1) é OA=√(x1^2+y1^2+z1^2)'

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'Encontre a distância entre A e P.'

'Prove que os baricentros dos triângulos ABC e DEF coincidem.'

'O valor mínimo é de 10√2 cm, quadrado'

'Para o segmento de linha AB dado, desenhe os seguintes pontos.'

'Matemática I\nAssim, a área do triângulo (ABC) é\n\nEX 1 Um pedaço de papel em forma de triângulo equilátero com um lado de (10 cm) é dado. Vamos considerar os vértices deste triângulo equilátero como (A, B, C) e o ponto (P) no lado (BC) a uma distância de (2 cm) do ponto (B). Ao dobrar este papel de triângulo equilátero de forma que o ponto (A) coincida com o ponto (P), os pontos de interseção das dobras com os lados (AB, AC) são (D, E) respectivamente. Neste momento, se (AD=) for A (cm), (AE=) for B (cm), e a área de △ADE for C (cm^{2}).\n[Da Universidade de Quimono Makie]'

'No triângulo ABC, onde BC = 17, CA=10, AB=9. Encontre o valor de sinA, a área do triângulo ABC, e os raios do círculo circunscrito e do círculo inscrito.'

'Exemplo básico 85 Comprimento do segmento cortado pela parábola a partir do eixo x\n(1) Encontre o comprimento do segmento cortado pelo gráfico da função quadrática y=-x^{2}+3x+3 a partir do eixo x.\n(2) Prove que o comprimento do segmento cortado pelo gráfico da função quadrática y=x^{2}-2ax+a^{2}-3 a partir do eixo x é constante independentemente do valor da constante a.'

'Dado que AB=2√2, BC=4√2, CA=2√6, encontrar os comprimentos dos lados do triângulo.'

'(2) No triângulo ABC, se BC = 5, CA = 3, AB = 7. Seja D e E os pontos onde o ângulo A e sua bissetriz exterior cruzam a linha BC, respectivamente. Encontre o comprimento do segmento DE.'

'Em um plano, existem 10 linhas de tal forma que nenhuma delas se intersecta no mesmo ponto. Quando exatamente 2 das 10 linhas são paralelas, determine o número de pontos de interseção formados por essas 10 linhas e o número de triângulos formados.'

'Desenhe os seguintes pontos:\n(1) Ponto P equidistante dos lados AB, BC, CA\n(2) Ponto Q equidistante dos pontos A, B, C'

'Desenhe os círculos seguintes com base no círculo O e no cordão AB mostrados à direita. Note que os pontos P e Q são diferentes de A e B, e não se encontram no bissectriz perpendicular do cordão AB.'

'Para um triângulo retângulo com os comprimentos dos lados a, b, c, onde o raio circunscrito é 3/2 e o raio inscrito é 1/2, responda às seguintes perguntas. Assuma que a ≥ b ≥ c:'

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'Escreva os seguintes termos matemáticos e suas definições correspondentes em japonês.'

'O comprimento do lado mais curto é de pelo menos 1 metro e no máximo 3 metros'

'Encontre a equação da parábola obtida movendo simetricamente a parábola y=-2x^2+3x-5 em relação às seguintes retas ou pontos.'

'Encontre o ângulo θ formado pelas seguintes duas linhas. Assuma 0° ≤ θ ≤ 90°. (1) AB e FG (2) AE e BG (3) AF e CD'

'Em um triângulo equilátero ABC com comprimento lateral 1, divida BC na proporção 1:2 em D, divida CA na proporção 1:2 em E, e divida AB na proporção 1:2 em F. Defina P como a interseção de BE e CF, Q como a interseção de CF e AD e R como a interseção de AD e BE. Encontre a área do triângulo PQR.'

'No triângulo ABC, se AB = 6, BC = 7, CA = 5, encontre os raios da circunferência circunscrita R e do círculo inscrito r.'

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'Na semi-circunferência com um raio de 1, o ponto cuja coordenada x é 1/2 é o ponto P. O ângulo que estamos procurando é ∠AOP.'

'Encontre as coordenadas do ponto Q, que é simétrico ao ponto P(3, 4) em relação à reta y = 2x + 1.'

'Sejam a, b, c os comprimentos dos lados do triângulo ABC. Se (a+b):(b+c):(c+a)=4:5:6 e a área é 15√3, então encontre o raio da circunferência circunscrita R e o raio da circunferência inscrita r do triângulo ABC.'

'Incentro de um triângulo'

'No triângulo ABC, com o raio do círculo circunscrito denotado como R. Quando A=30 graus, B=105 graus, e a=5, encontre R e c.'

'Quando movido simetricamente em relação à origem, o vértice está no ponto \\( \\left(-\\frac{3}{4}, \\frac{31}{8}\\right) \\), formando uma parábola côncava,\n\\[ y=2\\left(x+\\frac{3}{4}\\right)^{2}+\\frac{31}{8} \\quad\\left(y=2 x^{2}+3 x+5 \\text { também válido }\\right) \\]'

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'Encontre a distância entre os dois pontos a seguir.'

'Existe um papel de triângulo equilátero com um lado de comprimento 10 cm. Vamos chamar de A, B e C os vértices desse triângulo equilátero, e o ponto P um ponto na aresta BC tal que BP=2 cm. Ao dobrar este papel de triângulo equilátero de forma que o vértice A coincida com o ponto P, vamos chamar as interseções das arestas AB, AC e a dobra de D e E, respectivamente. Nesse ponto, AD= cm, AE= cm, e a área do triângulo ADE é cm².'

'Para um triângulo ABC que não é equilátero, com circuncentro O, centróide G, e ortocentro H, prove o seguinte: (1) Seja L o ponto médio do lado BC, e M, N sejam os pontos médios dos segmentos GH e AG respectivamente. Prove que o quadrilátero OLMN é um paralelogramo. Pode-se usar o fato de que AH=2OL. (2) Prove que o ponto G está sobre o segmento OH. (3) Prove que OG:GH=1:2.'

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'Relação posicional entre uma parábola e o eixo x'

'Resumo da Determinação da Forma de um Triângulo'

"Existem dois círculos P e Q que se intersectam com dois círculos O e O'. Como mostrado na figura à direita, desenhe uma linha a partir do ponto A, que está além de P do segmento QP, tangente ao círculo O e intersecante com o círculo O', com os pontos de tangência sendo C, e os pontos de intersecção sendo B e D. Se AB=a, BC=b, CD=c, exprima c em termos de a e b."

'Prove o seguinte utilizando o inverso do teorema de Ceva:\n1. As três medianas de um triângulo intersectam-se em um ponto.\n2. Os três bissetores dos ângulos de um triângulo intersectam-se em um ponto.'

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'O quadrilátero ABCD está inscrito em um círculo O, com AB=3, BC=CD=√3, e cos ∠ABC=√3/6. Encontre: (1) O comprimento do segmento AC (2) O comprimento do lado AD (3) O raio R do círculo O'

'Encontre a área dos seguintes formas.\n1. Paralelogramo ABCD com AB=2, BC=3 e ∠ABC=60 graus\n2. Octógono regular circunscrito em torno de um círculo com raio 10'

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'No triângulo ABC, quando a=13, b=7, e c=15, encontre A.'

'Qual a forma que maximiza a área de um triângulo retângulo cujo somatório dos dois lados é 16? Também, calcule o valor máximo.'

'Existem três casos para a relação de posição entre um círculo e uma reta. Aqui, r é o raio do círculo, e d é a distância entre o centro do círculo e a reta. [1] Interseção em 2 pontos (2 pontos compartilhados) 0 ≤ d < r [2] Tangente (1 ponto compartilhado) 0 ≤ d < r [3] Disjuntos (sem pontos compartilhados) 0 ≤ d < r Quando há apenas um ponto compartilhado, o círculo e a reta são tangentes, e essa reta é chamada de tangente, com o ponto compartilhado sendo o ponto de tangência. Vamos primeiro investigar as propriedades das tangentes de um círculo.'

'Determinar as condições para que os triângulos existam'

'No triângulo ABC, onde AB=6, BC=a e CA=4, deixe M e N serem os pontos médios de BC e CA, respectivamente. (1) Encontre o valor de a quando AM=√10. (2) Quando a é o valor de (1), encontre o comprimento do segmento BN.'

'(2) O lado mais longo é CA, então AB + BC = 18, CA < AB + BC, portanto o triângulo ABC existe.'

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'TREINO 112 (1)\nTomando o ponto O na praça plana como origem, considere o plano de coordenadas com a direção leste como a direção positiva do eixo x e a direção norte como a direção positiva do eixo y.\nO ponto A está localizado a 28 unidades a leste do ponto O. Além disso, o ponto P está ao sul da linha que conecta os pontos O e A.\nO ponto P está a uma distância de 25 de O e a 17 de A.\n(1) Encontre as coordenadas do ponto A.\n(2) Encontre as coordenadas do ponto P.'

'Prática 3: Incentro, Circuncentro, Baricentro de um Triângulo'

''

'Calcular os valores das funções trigonométricas em um triângulo retângulo'

'Prova de que existem quatro pontos em um círculo'

'Um dos pontos de interseção de dois gráficos é o ponto (-1,0)'

'Prove que os pontos B, C, F, E estão em um único círculo quando uma linha perpendicular AD é desenhada do vértice A do triângulo agudo ABC para o lado BC, e linhas perpendiculares DE, DF são desenhadas de D para os lados AB e AC, respectivamente.'

'No triângulo retângulo ABC, com AB > AC e ∠A = 90°, desenhe a perpendicular AD do vértice A para a aresta BC.'

'No pentágono ABCDE circunscrito a um círculo, onde AB = 7, BC = 3, CD = 5, DE = 6, ∠BCD = 120° e ∠A = 82°, encontre:\n(1) O comprimento do segmento BD\n(2) O comprimento do segmento AD\n(3) O comprimento do lado AE\n(4) A área do quadrilátero ABDE'

''

'(1) \\\\( \\theta=30^{\\circ}, \\\\ 150^{\\circ} \\\\\\\n(2) \\\\( \\theta=45^{\\circ} \\\\\\\n(3) \\\\( \\theta=120^{\\circ} \\\\\\\n'

''

'Capítulo 7 Aplicações a Triângulos'

'Em △ABC, suponha que AB = 7√3 e ∠ACB = 60°. Qual é o raio da circunferência O de △ABC? Deixe o ponto P se mover no arco AB, contendo o ponto C da circunferência O.'

'(1) Encontre as medidas dos três ângulos do triângulo ABC onde ∠A=90°, AB=2, e BC=3.\n(2) Encontre os comprimentos dos três lados do triângulo ABC onde ∠A=70° e ∠B=∠C.'

'(1) ∠C<∠B<∠A\n(2) CA=AB<BC'

'No diagrama à direita, o ponto I é o incentro do triângulo ABC. Encontre o seguinte: (1) 𝛼 (2) AI:ID'

'Considere um plano de coordenadas com o ponto O como origem, orientado para leste como a direção positiva do eixo x e orientado para norte como a direção positiva do eixo y.'

'O gráfico da função quadrática y = ax^2 +2ax + a + 6 (a≠0) intersecta o eixo x em dois pontos P e Q, e o comprimento do segmento de linha PQ é 2√6. Determine o valor da constante a.'

'(1) 60°\n(2) 50°\n(3) 140°'

None

'Usando o resultado da pergunta anterior, encontre o comprimento de um lado do próximo polígono regular inscrito em um círculo com um raio de 10. Além disso, encontre o comprimento da perpendicular traçada do centro O do círculo a um lado do polígono regular. Você pode usar tabelas trigonométricas. Arredonde o resultado para duas casas decimais.'

'Na figura dada, encontre o valor de x. Aqui, PT é a tangente ao círculo, e T é o ponto de contato.'

'PRÁTICA 4 (3) Em △ABC, BC=a, CA=b, AB=c, o raio do círculo circunscrito é 3 e a área é S. Neste caso, S=ABc. As opções de resposta são (0) 1/2 (1) 1/3 (2) 1/6 (3) 1/8 (4) 1/12'

''

'(1) No triângulo ABC, se a=1, b=√3, e A=30°, encontre os comprimentos do lado restante e o tamanho do ângulo.'

'Encontre a área do quadrilátero ABCD, onde 77^{3} AB =5, BC=6, CD=5, DA=3, e ∠ADC=120^{\\circ}.'

'Dentro do ângulo XOY, há um ponto A tal que ∠XOA=30° e OA=3. Quando os pontos P e Q são tomados em OX e OY, respectivamente, encontre o valor mínimo de AP+PQ+QA.'

'Num piso retangular de 2m 40cm por 3m 72cm, você deseja colocar azulejos quadrados de lado a cm sem nenhum intervalo. Encontre o valor máximo de a. Além disso, determine a quantidade de azulejos que podem ser colocados.'

'Explique os problemas relacionados aos lados e ângulos de um triângulo e prove os seguintes teoremas:\n1. A soma dos comprimentos de quaisquer dois lados de um triângulo é maior que o comprimento do terceiro lado.\n2. A diferença entre os comprimentos de quaisquer dois lados de um triângulo é menor que o comprimento do terceiro lado.'

'ângulo entre duas linhas'

"Prove que quando um círculo O passa pela corda comum AB de dois círculos que se cruzam O e O' e a corda CD do círculo O e a corda EF do círculo O', os quatro pontos C, D, E, F são cíclicos. É dado que os quatro pontos C, D, E, F não são colineares."

'No triângulo △ABC, onde o raio da circunferência circunscrita é R. Encontre o seguinte: (1) quando a=10, A=30°, B=45°, encontre C, b, R (2) quando b=3, B=60°, C=75°, encontre A, a, R (3) quando c=2, R=√2, encontre C'

'Triângulo isósceles de 74 graus, o valor máximo é 32'

'(1) Qual dos seguintes quadriláteros está inscrito em um círculo?\n(2) No triângulo acutângulo ABC, o ponto D é colocado na lateral BC (diferente de B e C), e perpendiculares DE e DF são desenhadas a partir do ponto D para os lados AB e AC, respectivamente. Prove que o quadrilátero AEDF está inscrito em um círculo.'

'Em uma cidade onde as estradas são como um tabuleiro de xadrez, encontre o caminho mais curto do ponto A para o ponto B.\n(1) Quantas rotas possíveis existem?\n(2) Quantas das rotas passam pelo ponto C a partir do (1)?\n(3) Quantas das rotas do (1) não passam pelo ponto C?'

'Explicação usando a condição de um quadrilátero inscrito em um círculo\n(1) Qual dos quadriláteros certos ABCD pode ser inscrito em um círculo?\n(2) Existe um quadrilátero inscrito em um círculo ABCD, e uma linha paralela ao lado AD intersecciona os lados AB, DC nos pontos E, F respectivamente. Prove que o quadrilátero BCFE também está inscrito no círculo.'

''

'Encontre as equações da parábola quando a parábola dada no exemplo (1) é movida simetricamente em torno do eixo (1) (2) em relação à origem.'

'■Circuncentro…Ponto de interseção das bissetrizes perpendiculares dos lados de um triângulo\nEnsino médio\nBissetriz perpendicular de um segmento de linha\nPonto P está na bissetriz perpendicular do segmento de linha AB ⇔ PA=PB\nNa mesma linha\nEm outras palavras\n“A bissetriz perpendicular do segmento de linha AB é uma coleção de pontos equidistantes dos pontos A e B”'

'Quantos triângulos podem ser formados conectando 3 vértices de um pentágono regular? Quantos desses triângulos compartilham 2 lados com o pentágono regular? (2) Quantos segmentos de linha podem ser formados conectando 2 vértices de um pentágono regular?'

'O ponto P está na semicircunferência com um raio de √5, então OP = √5\nNo triângulo retângulo OPQ, OQ² + 2² = (√5)², portanto OQ² = 1 e OQ = 1\nPortanto, as coordenadas do ponto P são (-1,2)\n\nPortanto, sin θ = 2/√5, cos θ = -1/√5, tan θ = 2/-1 = -2'

'Quando a soma dos comprimentos dos dois lados que formam um triângulo retângulo é 16, qual é a forma que maximiza a área do triângulo? Também determinar o valor máximo.'

'Resumo da determinação da forma de um triângulo'

'No tetraedro ABCD com comprimento lateral 4, deixe M ser o ponto médio do lado CD e deixe o ângulo AMB ser θ'

'Um ângulo ∠XOY=30° com um ponto A onde OA=3 dentro do ângulo. Pontos P e Q são tomados em OX e OY respectivamente. Encontre o valor mínimo de AP+PQ+QA.'

"Na figura à direita, os dois círculos O e O' são tangentes externamente. A e B são os pontos onde a tangente comum dos círculos O e O' intersecta os círculos. Se os raios dos círculos O e O' são respectivamente 6 e 4, encontre o comprimento do segmento AB."

'No triângulo 128 (3), quando á=√6+√2, b=2, e C=45°, encontre o comprimento do lado restante e o tamanho do ângulo.'

'Há um quadrilátero ABCD inscrito em um círculo com raio TR, onde os comprimentos dos lados são AB=√7, BC=2√7, CD=√3 e 141DA=2√3. Encontrar: (1) o valor de cos B (2) o comprimento da diagonal AC (3) a área S do quadrilátero ABCD'

'Existem 4 estradas que correm de leste a oeste e 4 estradas que correm de norte a sul. Quantos caminhos mais curtos existem para os seguintes destinos: (1) De ponto A a ponto B. (2) Do ponto A, passando pelos pontos C e D, até o ponto B. (3) Dos caminhos mais curtos do ponto A ao ponto B, aqueles que passam por pelo menos um dos pontos C ou D.'

'Uma parábola y = x² e um círculo x² + (y - 5/4)² = 1 tocam em dois pontos diferentes. Encontre a área S da região delimitada pelo arco mais curto do círculo com os dois pontos de tangência como pontos finais e a parábola.'

'(1) Distância entre o ponto A e a reta BC\n(2) Área do triângulo ABC'

'Dada a curva y=9-x^2 que intersecta o eixo x nos pontos A e B, e um trapézio ABCD está inscrito na região cercada pela curva e o segmento de linha AB. Encontre a área máxima deste trapézio. Além disso, determine as coordenadas do ponto C nesse momento.'

'Encontre o comprimento do arco e a área do seguinte setor:'

'Exemplo básico 69 Coordenadas do baricentro de um triângulo'

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'Encontre a área do triângulo com os vértices O(0,0), A(x1, y1), e B(x2, y2).'

'Encontre a equação de um círculo que passa pelo ponto (4,2) e é tangente ao eixo x e y.'

'Encontre a distância entre dois pontos A(a) e B(b) em uma reta numérica.'

'Encontre as coordenadas do ponto Q após girar o ponto P(4, 2√3) em torno da origem por π/6.'

'Encontre as coordenadas dos seguintes pontos: (5, 1), (9, 5), (3, 9)'

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'Seja a uma constante que satisfaz a > 1. Há um ponto M(2, -1) no plano de coordenadas. Para um ponto P(s, t) diferente de M, o ponto Q é tomado de forma que os três pontos M, P, Q sejam colineares nessa ordem e o comprimento do segmento MQ seja a vezes o comprimento do segmento MP.'

'Considere um círculo com raio r e centro C, e uma reta ℓ com distância d de C. Determine o relacionamento de posição entre o círculo e a reta com base na relação entre d e r.'

'Qual será a forma dos pontos de interseção P(x, y) das duas retas l: tx-y=t e m: x+ty=2t+1 à medida que t varia em valores reais? Encontre suas equações e trace um gráfico.'

'Quando a linha (3) compartilha um ponto com a região D, a inclinação m é maximizada quando a linha é tangente ao círculo C. Calcule a inclinação máxima m neste ponto.'

'Encontre a equação dos seguintes círculos.'

'Distância entre um ponto e uma reta'

'Encontre as coordenadas de um ponto equidistante dos três pontos A(1,5), B(0,2) e C(-1,3).'

'Que desigualdade representa a área sombreada na figura? Excluir a linha de fronteira.'

'Considere dois pontos A(-1,2) e B(4,2) no plano de coordenadas. Seja t um número real tal que 0 < t < 1. O ponto P divide o segmento de reta OA na proporção t:(1-t) e o ponto Q divide o segmento de reta OB na proporção (1-t):t. Encontre o comprimento mínimo do segmento de reta PQ e o valor correspondente de t.'

'Encontre a equação de uma reta tangente ao círculo x^2+y^2=8 e perpendicular à linha 7x+y=0.'

'Quando a linha com inclinação -1 intersecta a região D, e o círculo com centro (3,2) tem uma distância para a linha menor ou igual ao raio 1. Encontre o valor máximo de n nesse caso.'

'Passando pelo ponto A(3,1), deixe P e Q serem os pontos de contato das duas retas tangentes que tocam o círculo x^{2}+y^{2}=5. Encontre a equação da reta PQ.'

'Para os círculos \\( (x-5)^{2}+y^{2}=1 \\) e \ x^{2}+y^{2}=4 \, descubra: (1) Quantas tangentes comuns têm os dois círculos? (2) Determine as equações de todas as tangentes comuns para os dois círculos.'

'Encontre a faixa de constante k, de modo que o círculo x ^ 2 + y ^ 2 - 4x - 6y + 9 = 0 (1) e a linha y = kx + 2 tenham um ponto em comum.'

'O círculo e a linha dados têm algum ponto em comum? Se sim, encontre as coordenadas desse ponto.'

'Dado o raio e o raio representando um ângulo, seja P o ponto de interseção com um círculo de raio r.'

'Reduza o ângulo de 42140° para um ângulo no círculo unitário em posição padrão.'

'O centróide do triângulo formado pelo ponto móvel de distância 2 a partir da origem com os pontos fixos (5,0) e (0,3) está na curva x^{2}+y^{2}-Ax-By+C=0.'

'Encontre as seguintes coordenadas: (\x0crac{3}{14}, 0) e (0,-\x0crac{3}{4}).'

'Para que o triângulo ABC com vértices A(1,1), B(2,4) e C(a, 0) seja um triângulo retângulo, encontre o valor de a.'

'Formas e Equações\nPara os três pontos A(0,0), B(2,5), C(6,0), encontre as coordenadas do ponto P quando PA² + PB² + PC² é minimizado.'

'Encontre a equação da reta tangente ao círculo no ponto A (4,6) no círculo x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0.'

'No plano de coordenadas, encontre as equações das duas retas que passam pelo ponto (-2, -2) e são tangentes à parábola y=1/4 x^{2}.'

'Quando as 3 linhas 2x-y-1=0, 3x+2y-2=0, y=1/2x+k se intersectam no ponto A, qual é o valor de k e quais são as coordenadas do ponto A?'

'Encontre a situação dos três pontos A(-2, -2), B(2, 6), C(5, -3) no plano de coordenadas.\n(1) Encontre a equação do bissetor perpendicular do segmento AB.\n(2) Encontre as coordenadas do circuncentro do triângulo ABC.'

'Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (7,1) e é tangente ao círculo x^2+y^2=25, e encontre as coordenadas do ponto de tangência.'

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'Encontre a equação de um círculo com seu centro na reta y = -4x + 5 e tangente tanto ao eixo x quanto ao eixo y.'

'Encontre a equação do círculo que passa pelos pontos (4, -1), (6, 3) e (-3, 0).'

'Investigue a forma do triângulo ABC com vértices A(2a, a+√3a), B(3a, a), C(4a, a+√3a). Aqui, a>0.'

'Encontre as coordenadas do ponto que divide o segmento de linha AB entre os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) internamente na razão m:n.'

'Encontre a equação da reta tangente no ponto dado no círculo dado.'

'Encontre as coordenadas do vértice restante D do paralelogramo com os vértices A(4,5), B(6,7), C(7,3).'

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'Na reta numérica, existem 3 pontos A(3), B(-3), C(5). O ponto D divide o segmento da linha AB internamente na proporção 2:1, o ponto E divide o segmento da linha AC externamente na proporção 3:1, encontre as coordenadas do ponto que divide o segmento de linha DE internamente na proporção 3:4.'

'Seja n ≥ 2. Existem n círculos em um plano, onde nenhum par de círculos se intersecta e três ou mais círculos não se intersectam no mesmo ponto. Quantos pontos de interseção são formados por esses círculos?'

'Encontre o comprimento do segmento de linha AB onde A e B são os pontos de interseção da parábola y=x^{2} (1) e da reta y=x+3(2).'

'Por outro lado, o ponto P(x, y) na reta x+y=2 satisfaz AP^2-BP^2=4. Portanto, a trajetória requerida é a linha x+y=2.'

'Encontre o comprimento do arco e a área.\n(1) Raio é 10 com ângulo π/5\n(2) Raio é 3 com ângulo 15°'

'Encontre as coordenadas do vértice restante D de um paralelogramo com vértices A(5,-1), B(3,3) e C(-1,-3).'

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'Encontre a loca dos pontos P que satisfazem as seguintes condições:\n(1) Pontos P equidistantes dos pontos O(0,0) e A(3,2)\n(2) Pontos P tal que o ângulo OPA = 90 graus, onde O(0,0) e A(6,0)\n(3) Pontos P tal que AP^2 - BP^2 = 4, onde A(3,2) e B(1,0)'

'Existem n círculos em um plano, onde quaisquer dois círculos se cruzam, e não há três ou mais círculos que cruzam no mesmo ponto. Em quantas partes esses círculos dividem o plano?'

'Encontre a distância entre os seguintes dois pontos: (1) A(-3), B(2) (2) A(-2), B(-5)'

'Portanto, as coordenadas do ponto C são $\\mathrm{C}\\left(-\\frac{2}{3}, \\frac{1}{3}\\right)$, e assim $\\mathrm{BC}=\\sqrt{\\left(-\\frac{2}{3}-\\frac{4}{3}\\right)^{2}+\\left\\{\\frac{1}{3}-\\left(-\\frac{2}{3}\\right)\\right\\}^{2}}=\\sqrt{5}$. Além disso, a distância entre o ponto A e a linha (3) é $\\frac{\\left|\\frac{1}{3}+2 \\cdot \\frac{4}{3}\\right|}{\\sqrt{1^{2}+2^{2}}} = \\frac{3}{\\sqrt{5}}$. Portanto, a área do triângulo que procuramos é $\\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{2} \\cdot \\sqrt{5} \\cdot \\frac{3}{\\sqrt{5}} = \\frac{3}{2}$.'

'No plano xy, considerando as retas l: x+t(y-3)=0 e m: tx-(y+3)=0 à medida que t varia sobre todos os números reais, que tipo de forma os pontos de interseção das retas l e m formam? [Gifu]'

'Sobre o triângulo ABC com vértices A(1,1), B(2,4), e C(a,0)'

'Represente graficamente as seguintes equações que representam linhas no plano de coordenadas.'

'Encontre a equação da reta tangente que satisfaça as seguintes condições.'

'Capítulo 3: Formas e Equações'

'Dadas três vértices A(4,5), B(6,7), C(7,3) de um paralelogramo, encontre as coordenadas do vértice restante D.'

'Determine a forma do triângulo ABC com vértices em A(2a, a+√3a), B(3a, a), e C(4a, a+√3a). Assuma que a>0.'

'Que tipo de triângulo é o triângulo ABC com vértices A(1, -1), B(4, 1) e C(-1, 2)?'

'Encontre as coordenadas do ponto $Q$ que é simétrico ao ponto $P(3,2)$ em relação à reta $\\ell: x+y+1=0$.'

'Questão 84'

'Encontre a equação do círculo PR. (1) Passando pelos pontos (0,2), (-1,1) e com o centro na reta y=2x-8.'

'Encontre as condições para a forma geral de uma equação de círculo x^{2}+y^{2}+l x+m y+n=0 representar um círculo. Também encontre o centro e o raio.'

'Encontre as equações dos seguintes círculos'

'Encontre as coordenadas dos seguintes pontos. (1) Ponto que divide o segmento de linha 3:1 internamente (2) Ponto que divide o segmento de linha 3:1 externamente (3) Ponto que divide o segmento de linha 1:3 externamente (4) Ponto médio'

'Quando os pontos A(a,-2), B(3,2), C(-1,4) são colineares, encontre o valor da constante a.'

'Encontre a tangente em um ponto na circunferência de um círculo.'

'Para os pontos A(7,6), B(-3,1) e C(8,1) no PR 3, seja P o ponto médio de BC, Q o ponto que divide CA externamente na proporção 3:2 e R o ponto que divide AB internamente na proporção 3:2. Encontre as coordenadas do baricentro do triângulo PQR.'

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'Encontre o valor máximo de k, de modo que a condição x^{2}+y^{2} ≤ 1 implica 3 x+y ≥ k.'

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'Encontre as equações de 4 retas.'

'Encontre a trajetória dos pontos P que satisfazem as seguintes condições:'

'Encontre a escala do ponto médio do segmento de linha que conecta o ponto 4 na escala e o ponto 9 na escala.'

'(1) No plano de coordenadas, encontre todas as equações das retas que são paralelas à reta y=-2x e a uma distância de √5 da origem. [Universidade de Tóquio Denki] (2) Encontre a distância entre as retas paralelas 2x-3y=1 e 2x-3y=-6.'

'Trace as regiões representadas pelas seguintes desigualdades.'

'Encontre as condições de a e b para que a reta y = ax + b tenha um ponto em comum com o segmento de linha conectando dois pontos A(-1,5) e B(2,-1), e plotá-lo no plano ab.'

'Encontre todos os valores de a que dividem o plano em 6 partes.'

'Encontre as coordenadas dos dois pontos de interseção dos dois círculos x^2 + y^2 = 10 e x^2 + y^2 - 2x + 6y + 2 = 0.'

'1. Encontre a equação de um círculo com centro em (0,0) e raio √2.'

'Encontre a equação do círculo que tem centro em (1,1) e é tangente à reta 4x+3y-12=0.'

'No plano de coordenadas, supondo que A seja o ponto (-3,2) e B seja o ponto (4,0). Encontre as coordenadas dos pontos que estão equidistantes do eixo x e do eixo y, respectivamente.'

'Encontre as coordenadas do ponto que divide externamente o ponto A (x1, y1) e o ponto B (x2, y2). A razão de divisão externa é m:n.'

'Encontre a equação de um círculo que passa pelo ponto (2,3), é tangente ao eixo y e tem seu centro na reta y=x+2.'

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'Determine o número de pontos de interseção entre uma reta e um círculo na geometria e equações.'

'Encontre as equações dos círculos seguintes:'

'Problema de descrição sobre as linhas polares de um círculo em relação ao ponto A. Dado um ponto A(p, q) fora do círculo x^2+y^2=r^2, encontrar a equação da linha β que passa pelas tangentes P, Q dos dois raios traçados do ponto A para o círculo. Usando a equação p x+q y=r^2, prove que a linha polar do ponto A que passa por outro ponto B implica que a linha polar do ponto B passa pelo ponto A.'

'Seja S a área de um pentágono regular inscrito em um círculo de raio 1'

'No tetraedro regular OABC com comprimento lateral a, os pontos P, Q, R são tomados nas arestas AB, BC e OC, respectivamente. Começando do vértice O, passando pelos pontos P, Q, R em sequência, qual é o comprimento do caminho mais curto até o vértice A?'

'No quadrilátero ABCD, AB=4, BC=5, CD=t, DA=3-t (0<t<3). Além disso, assume-se que o quadrilátero ABCD possui um círculo circunscrito.'

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'Para um tetraedro regular ABCD com comprimento de aresta de 6, seja E o ponto na aresta BC tal que 2BE=EC, e seja M o ponto médio da aresta CD.'

'Considere um triângulo com comprimentos de lado a, a+2, a+4.'

'No triângulo ABC, AB = 8, AC = 5 e ∠A = 120°. Seja D a interseção do bissectriz do ângulo ∠A e o lado BC. Encontre o comprimento do segmento AD.'

'Um cone com raio de 2 e altura inclinada de 6 está tangente a uma esfera O tanto em sua superfície lateral como no centro da base. Determine o raio, volume e área superficial desta esfera.'

'(2) BD=3, AD=3 \\sqrt{7}'

'Escolha o termo mais apropriado de (A) a (E) para preencher o espaço em branco.'

'Seja S a área do hexágono ABCDEF'

'Prática 1: Nos lados AB, BC, CA de um triângulo equilátero ABC com comprimento do lado 1, pontos D, E, F são tomados de forma que AD=x, BE=2x, CF=3x. (1) Expressar a área do triângulo DEF, S, em termos de x. (2) Encontrar o valor de x que minimiza S em (1) e o valor mínimo.'

'Em △ABC, onde a=2, b=√2, c=1. Encontre:\n(1) cos B, sin B\n(2) A área de △ABC, S\n(3) O raio do círculo inscrito de △ABC, r\n(4) O raio do círculo circunscrito de △ABC, R\nConsulte a pág. 265, Conceito Básico 3, Básico 162.'

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'188\nMatemática I\n(1) Como mostrado na figura, tome os vértices A, B, C do triângulo T para serem AB=5, BC=6, CA=7.'

'Dado b=4, c=4√3, e B=30°, encontre a, A, C e R.'

'Em um triângulo retângulo onde a soma dos comprimentos dos dois lados é 20, encontre o triângulo com o menor comprimento da hipotenusa, e determine o comprimento da hipotenusa.'

'No triângulo ABC, seja R o raio do círculo circunscrito. Encontre os seguintes valores: (1) Quando A=60°, C=45°, a=3, encontre c e R'

'Prática (1) No diagrama à direita, encontre os comprimentos dos segmentos de reta DE e AE.\n(2) Usando o diagrama à direita, encontre os seguintes valores: sin 15°, cos 15°, tan 15°'

'Por favor, explique o Teorema do Círculo.'

'Considere um triângulo equilátero ABC com lado de comprimento 1. Pontos D, E, F são tomados nos lados AB, BC, CA, respectivamente, de modo que AD=x, BE=2x, CF=3x. (1) Expresse a área do triângulo DEF, representada por S, em termos de x. (2) Encontre o valor de x que minimiza S e o valor mínimo.'

'Por favor, explique o que é um gráfico com base no texto a seguir: No Dicionário Oxford Concise (C.O.D.), um gráfico é descrito como um mapa marítimo do CHARTNavigator, incluindo contornos de costa, rochas, bancos de areia, etc.'

'No triângulo ABC, seja D o ponto de interseção do bissectriz do ângulo A e da aresta BC. Encontre os comprimentos dos segmentos BD e AD nos seguintes casos:'

'Encontre a área S de um octógono regular inscrito em um círculo de raio a.'

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'Em △ABC, seja R o raio da circunferência circunscrita. Encontre o seguinte: (2) Quando a=√2, B=50°, R=1, encontre os valores de A e C'

'Como representar as coordenadas do ponto P(a, b) no plano de coordenadas?'

'Para verificar se é possível desenhar mais de quatro conjuntos usando círculos, vamos tentar representar quatro conjuntos A, B, C, D com círculos. Primeiro, desenhe os diagramas de Venn para os conjuntos A, B, C e depois tente adicionar o diagrama de Venn para o conjunto D para observar o resultado.\n\nEm seguida, para verificar se é possível desenhar quatro conjuntos usando círculos, desenhe quatro círculos diferentes em um plano e conte as intersecções. Neste caso, os quatro círculos devem seguir as seguintes regras:\n- Qualquer par de círculos se intersecta em dois pontos\n- Qualquer trio de círculos não se intersecta no mesmo ponto\n\nCalcule o número de regiões criadas pelas interseções dos quatro círculos e verifique se este número coincide com o número de partes comuns formadas pelos quatro conjuntos e seus complementos.'

'Por favor, explique o teorema de Pitágoras.'

'No plano de coordenadas, há uma reta e duas parábolas, Reta L: y=ax+b, Curva C_{1}: y=-2x^{2}, Curva C_{2}: y=x^{2}-12x+33. Quando a Reta L intersecta a Curva C_{1} e a Curva C_{2} em dois pontos cada, a desigualdade a^{2}-a<b<a^{2} é válida, onde a>0.'

'No triângulo ABC, encontrar o seguinte.'

'Encontre a área da figura a seguir. (2) \ \\mathrm{AB}=3, \\mathrm{AC}=3 \\sqrt{3}, \\angle \\mathrm{B}=60^{\\circ} \ paralelogramo \ \\mathrm{ABCD} \'

'Solução do triângulo (1)'

'Calcule os valores das funções trigonométricas a partir das coordenadas dadas. (1) P(-1,1) (2) P(-√3, 1)'

'No triângulo ABC, quando b=2, c=√5+1, e A=60 graus, determine se C é um ângulo agudo, reto ou obtuso.'

"Defina as condições p, q, r relativas a triângulos da seguinte forma: p: todos os três ângulos internos são diferentes q: não é um triângulo retângulo r: nenhum ângulo interno é de 45 graus Escolha as opções corretas de cada escolha: : (1) A contrapositiva da proposição 'r implica (p ou q)' é 'a _______ implica não r'. [Opções] 0 (força e q) (1) (não p e não q) (2) (ser como q) (2) Qual triângulo serve como contraexemplo para a proposição '(p ou q) implica r'? [Opções] Triângulo isósceles retângulo (1) Um triângulo com ângulos internos de 30 graus, 45 graus, 105 graus (2) Triângulo equilátero (3) Triângulo com comprimentos laterais de 3, 4, 5 (4) Triângulo isósceles com um ângulo de vértice de 45 graus (3) r é a relação causal para (p ou q) como um _______. [Opções] (0) Condição necessária e suficiente (1) Apenas necessária, mas não suficiente condição (2) Apenas suficiente, mas não necessária condição (3) Nem condição necessária nem suficiente"

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'Antena parabólica'

'Em um triângulo acutângulo ABC, deixe BD e CE serem as perpendiculares traçadas dos vértices B e C para seus respectivos lados opostos. Se BC=a e a medida do ângulo A é representada por A, expresse o comprimento do segmento DE em termos de a e A. Além disso, você pode usar a propriedade de que se o ângulo PRQ=90 graus para o segmento PQ, então o ponto R está na circunferência do círculo com o segmento PQ como seu diâmetro.'

'Existe um quadrilátero ABCD inscrito em um círculo. Se AB=4, BC=5, CD=7, DA=10, encontre a área S do quadrilátero ABCD.'

'No quadrilátero ABCD inscrito em um círculo, com AB = BC = 1, BD = √7, DA = 2, encontrar: (1) A (2) O comprimento do lado CD (3) A área do quadrilátero ABCD'

'Área mínima de um triângulo'

'Ângulo máximo de um triângulo'

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'Área de um retângulo inscrito em um círculo (1)'

'Determine o intervalo de valores para x de modo que o triângulo com comprimentos de lado 3, 5 e x forme um triângulo agudo.'

'Dobrou-se um pedaço de origami no formato de um triângulo equilátero com comprimento do lado de 10 cm, denominado ABC.'

'Em um quadrilátero ABCD inscrito em um círculo, com AB=8, BC=10 e CD=DA=3. Encontre a área S do quadrilátero ABCD.'

'No triângulo ABC, se B=30°, b=√2, e c=2, encontre os valores de A, C e a.'

'No triângulo ABC onde AB=6, BC=4 e CA=5, encontre o comprimento do segmento BD onde a bissetriz do ângulo B intercepta o lado AC no ponto D.'

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'Na reta x=1, vamos chamar de T o ponto com coordenada y igual a sqrt{3}. O ponto P onde a reta OT intersecta o semicírculo com raio 1 é o ponto na figura. O ângulo θ que procuramos é ∠AOP.'

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'No triângulo ABC, onde b=3, c=√2, e A=45°, encontre o comprimento do lado a.'

'No diagrama à direita, encontre os comprimentos dos segmentos de linha AB, BC e CA.'

'Por favor, explique os teoremas e fórmulas relacionados com o triângulo seguinte.'

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'(1)\\[ \egin{aligned} A & =180^{\\circ}-(B+C) \\\\ & =180^{\\circ}-(30^{\\circ}+105^{\\circ}) \\\\ & =45^{\\circ} \\end{aligned} \\] Portanto, a área do triângulo ABC é \\[ \egin{aligned} \\frac{1}{2} b c \\sin 45^{\\circ} & =\\frac{1}{2}(\\sqrt{6}-\\sqrt{2}) \\cdot 2 \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\ & =\\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} \\\\ & =\\frac{\\sqrt{2}(\\sqrt{3}-1)}{\\sqrt{2}} \\\\ & =\\sqrt{3}-1 \\end{aligned} \\]'

'Num quadrilátero inscrito numa circunferência, com AB=2, BC=1, CD=3, e cos ∠BCD=-1/6. Determinar AD e a área do quadrilátero ABCD.'

'Num retângulo com um comprimento de 40 cm, qual é o comprimento mínimo da diagonal? Além disso, como é o retângulo nesse momento? Se o comprimento vertical do retângulo for x cm, então o comprimento horizontal é (20-x) cm. Além disso, x>0 e 20-x>0, portanto 0<x<20. Seja l cm o comprimento da diagonal do retângulo. l^2 = x^2+(20-x)^2 = 2x^2-40x+400 = 2(x-10)^2+200. O valor mínimo de l^2 ocorre em x=10 com um valor de 200. Como l>0, quando l^2 é mínimo, l também é mínimo. Portanto, o comprimento mínimo da diagonal é sqrt(200)=10 sqrt(2) cm. Nesse ponto, o comprimento horizontal é 20-x=10 cm, fazendo com que o comprimento da diagonal seja mínimo quando o retângulo é um quadrado.'

'Explique sobre os quadrantes em um plano de coordenadas e dê um exemplo do segundo quadrante.'

'Raio do círculo circunscrito e inscrito de um triângulo'

'203 Condições básicas do triângulo triângulo obtuso'

'No quadrilátero ABCD, se AB=8, BC=5, CD=DA=3, e A=60 graus, qual é o comprimento da diagonal BD?'

'O diagrama à direita é um boxplot das notas de 30 estudantes em um teste de ciências. Quando as notas que formaram este boxplot são representadas em um histograma, qual dos números de 0 a 2 corresponde a ele?'

'Num retângulo com um perímetro de 40 cm, encontre o comprimento mínimo da diagonal. Além disso, determine as características do retângulo nesse momento.'

'É dado um tetraedro regular OABC com comprimento da aresta 6. Seja L o ponto médio da aresta OA, M o ponto que divide a aresta OB em 2:1, e N o ponto que divide a aresta OC em 1:2. Encontre a área do triângulo LMN.'

'Há um quadrilátero ABCD inscrito em um círculo. Se AB = 4, BC = 5, CD = 7, DA = 10, encontre a área S do quadrilátero ABCD.'

'Quando os comprimentos dos três lados de ∆ABC são os seguintes, determine se o ângulo A é agudo, reto ou obtuso.'

'No semicírculo com raio 1, o ponto onde a coordenada x é 1/2 é o ponto P. O ângulo que procuramos é ∠AOP.'

'No triângulo ABC, onde AB=3, AC=2, e ∠BAC=60°, se o ângulo A bissecta BC em D, encontre o comprimento do segmento AD.'

'Dadas as medidas das diagonais AC e BD do quadrilátero ABCD como p e q, e um dos ângulos que elas formam como θ, expresse a área S do quadrilátero ABCD em termos de p, q e θ.'

'No quadrilátero ABCD, que não é um paralelogramo, AD=BC. Sejam P e Q os pontos médios de AB e CD, respectivamente, e M e N os pontos médios de AC e BD, respectivamente. (1) Expresse →PQ, →MN em termos de →AD, →BC. (2) Prove que PQ é perpendicular a MN.'

'Equação polar de uma linha reta (1)'

'Um círculo que passa pelo ponto A(-3,0) e é tangente à reta x=3 tem centro em P(x, y). Encontre o locus do ponto P.'

'Equação polar de um círculo (2)'

'Encontre as coordenadas do ponto R'

'(1) Elipse $\\frac{x^{2}}{4}+\\frac{y^{2}}{9}=1$ (2) Círculo $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=1$ (3) Hipérbole $\\frac{(x-2)^{2}}{16}-\\frac{(y+1)^{2}}{9}=1$'

'Considere a elipse $x^{2}+4 y^{2}=4$ e a reta $y=t(x+2)$ e seu ponto de interseção $P(x, y)$. Expresse a elipse excluindo o ponto $(-2, 0)$ usando o parâmetro $t$.'

"Elipse\nNesta seção, aprenderemos sobre o locus de pontos onde a soma das distâncias a partir de dois pontos fixos permanece constante.\nEquação de uma elipse\nNum plano, o locus de pontos onde a soma das distâncias a partir de dois pontos fixos F e F' permanece constante. Os dois pontos fixos, F(c, 0) e F'(-c, 0) [c>0], são chamados de focos da elipse. Vamos encontrar a equação de uma elipse C com uma soma de distâncias 2a a partir desses dois pontos usando o conceito de locus."

'Equação polar de uma trajetória'

'Seja k uma constante. Determine o número de pontos de interseção entre a elipse x^{2}+4y^{2}=20 e a reta y=(1/2)x+k.'

'O que é a espiral de Arquimedes?'

'Encontre a trajetória do ponto P, de modo que a razão das distâncias do ponto TR (F(0,1)) e da linha l: y=-1 seja dada. 107 (1) 1: 1 (2) 1: 2 (3) 2: 1 Deixe P(x, y), e deixe PH ser a perpendicular de P para a linha l, então PH=|y-(-1)|=|y+1|'

'No incentro de um triângulo\n(1) No triângulo ABC, onde AB = 6, BC = 3, CA = 4, e o incentro é I. Expressar AI em termos de AB e AC.'

'Se um círculo com raio 2, x^2+y^2=25, é escalado por 3/5 na direção do eixo x em relação ao eixo y, que tipo de curva ele se tornará?'

'Círculo com centro em -2i e raio 2 (1) Círculo com centro em -1/2i e raio 3/2'

'Que tipo de forma a representação paramétrica representa?'

'Encontre a distância mínima entre um ponto P na elipse x^2+4y^2=4 e um ponto Q na reta x+2y=3.'

'Encontre a parte obtida removendo o ponto 2 de um círculo com centro no ponto 1 e raio 1.'

'Capítulo 4 Forma e Curva - Simplificando para y^{2} = -12x, portanto, o ponto P está na parábola y^{2} = -12x. Por outro lado, todos os pontos P(x, y) nesta parábola satisfazem a condição. Assim, a trajetória requerida é a parábola y^{2} = -12x.'

'O que é o círculo de Apolônio?'

'(1) Bissetriz perpendicular do segmento de reta que une os pontos 0 e 1 (2) Círculo com raio 2 centrado no ponto 3'

'Encontre a distância mínima entre o ponto P na elipse $x^{2} + 4y^{2} = 4$ e o ponto Q na reta $x + 2y = 3$.'

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'Seja TR uma constante. Encontre o número de pontos de interseção entre a elipse x^2 + 4y^2 = 20 e a reta y = \\frac{1}{2}x + k.'

'Prove que quando uma reta que passa pelo foco \ \\mathrm{F} \ da parábola \\( y^{2}=4 p x(p \\neq 0) \\) intersecta a parábola nos pontos \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \, o produto das coordenadas \ y \ dos pontos \ \\mathrm{A} \ e \ \\mathrm{B} \ permanece constante.'

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'Encontre a trajetória do ponto P de modo que a proporção das distâncias do ponto F(1,0) e da reta ℓ: x=-2 ao ponto P seja de 1:2.'

'Encontre o foco e a reta diretriz da parábola $y^{2}=3 x$. Além disso, esboce sua forma geral.'

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'Encontre o locus do centro P(x, y) de um círculo que passa pelo ponto A(4,0) e é tangente à reta x = -4.'

'Dado três pontos diferentes A(α), B(β), C(γ) e a seguinte relação entre eles, encontre as medidas dos 86 ângulos no triângulo ABC com esses três pontos como vértices.'

'TREINAMENTO 41\nA partir do ponto P(1,3), desenhe uma linha perpendicular à linha ℓ: 2x-3y+4=0, com o ponto de interseção sendo H.\n(1) Encontre as coordenadas do ponto H usando vetores.\n(2) Encontre a distância entre o ponto P e a linha ℓ.'

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'Encontre o triângulo OAB.'

'No pentágono regular ABCDE com comprimento lateral de 1, seja AB = b e AE = e.'

'Represente os pontos A, B em coordenadas cartesianas como A(2 cos π / 6, 2 sin π / 6), B(4 cos π / 3, 4 sin π / 3)\nOu seja, A(√3, 1), B(2, 2√3)\nPortanto, a equação cartesiana da reta AB é (2√3 - 1)(x - √3) - (2 - √3)(y - 1) = 0'

'Prática 109 (1) As assíntotas são as duas retas y=1/2x, y=-1/2x que se intersectam na origem, logo a equação da hipérbole a ser determinada é, onde a>0, b>0,'

'Encontre a forma padrão da parábola com o foco em F(p, 0) (p ≠ 0) e a linha diretriz ℓ: x = -p.'

'Encontre as equações polares do círculo e da linha a seguir em relação às coordenadas polares. 135\n1) Círculo com centro em (1, 3/4π) e raio 1\n2) Linha que passa pelo ponto A(2, π/4) e é perpendicular à linha OA (O é o polo)\n3) Linha que passa pelos pontos A(2, π/6) e B(4, π/3)'

'No plano de coordenadas, com a origem O como o pólo, e a parte positiva do eixo x como a linha inicial. Neste momento, explique a relação entre as coordenadas polares (r, θ) e as coordenadas cartesianas (x, y) do mesmo ponto P.'

'Encontre a equação polar de um círculo com coordenadas polares (a, 0) e raio a.'

'Portanto, a equação da trajetória do ponto P é x^{2}+y^{2}=a^{2}-1, representando um círculo com raio \\sqrt{a^{2}-1} centrado na origem. No entanto, é necessário excluir os 4 pontos de interseção com as linhas assintóticas y=\\pm a x, que são (\\pm \\sqrt{\\frac{a^{2}-1}{a^{2}+1}}, \\pm a \\sqrt{\\frac{a^{2}-1}{a^{2}+1}}) (com sinais arbitrários).'

'Exemplo Importante 139 Utilização de coordenadas polares\nProve que quando as duas extremidades de uma corda que passa por um foco \ \\mathrm{F} \ de uma elipse são \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} \, \ \\frac{1}{\\mathrm{FP}} + \\frac{1}{\\mathrm{FQ}} \ é constante independentemente da direção da corda.'

'A equação polar com um foco F de uma determinada cónica é representada da seguinte forma, com a como uma constante positiva e e como excentricidade.'

'Traduzir o texto dado para várias línguas.'

'Exemplo 90 | Movimento Circular Uniforme'

'Seja P(z) o incentro do triângulo OAB com vértices em três pontos distintos: O(0), A(α) e B(β), então mostre que z satisfaz a seguinte equação.'

'(1) \ y^2 = 12x \, Figura omitida'

'Traduza o texto dado para vários idiomas.'

'Por favor, expresse a condição para os pontos A, B e C serem colineares matematicamente.'

"O lugar geométrico de um ponto P, onde a diferença de distâncias de dois pontos fixos F e F' diferentes é uma constante não nula, é chamado de hipérbole, com os pontos F e F' como focos. A diferença de distância deve ser menor que o comprimento do segmento FF'. Vamos encontrar a equação de uma hipérbole com focos nos pontos F(c, 0) e F'(-c, 0) e uma diferença de distância de 2a desses dois pontos. Aqui, c > a > 0."

'Encontre as coordenadas do ponto médio e o comprimento da corda formada pela interseção da reta y=x+2 e a elipse x^{2}+3y^{2}=15.'

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'Exemplo 137 Coordenadas polares e trajetória Vamos considerar as coordenadas polares do ponto A como (2,0). Seja Q um ponto qualquer na circunferência do círculo C, cujo diâmetro é o segmento de linha OA que conecta o pólo O e o ponto A. No ponto Q, desenhe a linha tangente do círculo C e desça uma perpendicular OP do pólo O para o ponto P. Vamos considerar as coordenadas polares do ponto P como (r,θ). Encontre a equação polar da trajetória do ponto P, onde 0 ≤ θ < π.'

'(1) Encontre as equações das retas que passam pelo ponto A(-2,3) e são paralelas e perpendiculares à reta ℓ: 5x+4y-20=0.'

'(a) Foco: ponto (-1/2, 0), Diretriz: linha x = 1/2, diagrama omitido'

'Exemplo 1 | Vetores Básicos\nDetermine os seguintes vetores usando os vértices do hexágono regular ABCDEF com comprimento lateral 1 conforme mostrado na figura e o ponto de interseção O das diagonais AD, BE:\n(1) Vetor igual a AB\n(2) Vetor com a mesma direção que OA\n(3) Vetor inverso de AC\n(4) Vetor paralelo a AF e de magnitude 2'

'Prática Para um triângulo ABC e qualquer ponto P no plano, a seguinte equação vetorial representa um círculo. Que tipo de círculo é?\n(1) |→BP+→CP|=|→AB+→AC|\n(2) 2→PA⋅→PB=3→PA⋅→PC'

'Considere um segmento de linha AB de comprimento 2, onde o ponto A está no eixo x e o ponto B se move ao longo do eixo y. Encontre o locus do ponto P de modo que, ao estender o segmento de linha AB, BP = 1.'

'Encontre a equação polar de um círculo com centro no polo e raio a.'

'Provar que quando a tangente no ponto P(x1, y1) na curva parabólica y^2=4px(p>0) intersecta o eixo x em T e o foco da parábola está em F, então ∠PTF=∠TPF. Dado que x1>0, y1>0.'

'Exemplo 104 Trajetória e Parábola'