Tutor de IA | O Aplicativo Gratuito Nº 1 para Concluir a Lição de Casa

'Encontre o valor de k que representa um círculo passando pela origem (0,0).'

'Entenda a explicação da distância entre 1 ponto. Encontre as fórmulas para a distância entre a origem O e o ponto P(a), e entre os pontos A(a) e B(b).'

'(1) Que tipo de forma a equação $x^{2}+y^{2}+4x-6y+4=0$ representa?\n(2) Para que a equação $x^{2}+y^{2}+2px+3py+13=0$ represente um círculo, determine o intervalo de valores para a constante $p$.'

'(1) Encontre as coordenadas do ponto médio da corda formada pela interseção da reta x+y=1 e do círculo x^{2}+y^{2}=4, e determine o comprimento da corda.'

'(1) Passando pelo eixo x e pelo eixo y, e passando pelo ponto A(-4,2). (2) Passando pelo ponto (3,4), tocando o eixo x, e tendo seu centro na reta y=x-1.'

'Desenhe a região que satisfaz as desigualdades $x^{2}+y^{2}>1$ e $|x| + |y| > 1$, e explique sua relação.'

'Exemplo 29 | Forma de um triângulo Para 4 pontos A(4,0), B(0,2), C(3,3), D, responda às seguintes questões.'

'Encontre as coordenadas dos pontos de divisão interna, pontos de divisão externa e centroide no Exemplo 30'

'Prática (63 => Este Livro p.137) (2) Sejam as coordenadas do ponto P (x, y), então de AP^2+BP^2=18 obtemos {(x-1)^2+(y-4)^2}+{(x+1)^2+y^2}=18, simplificando obtemos x^2+y^2-4y=0, o que implica x^2+(y-2)^2=2^2. Portanto, os pontos que satisfazem a condição estão no círculo (1). Inversamente, qualquer ponto no círculo (1) satisfaz a condição. Assim, a trajetória desejada é um círculo com centro em (0,2) e raio 2.'

'Para o segmento de linha que conecta A (-3) e B (6), encontre as coordenadas dos seguintes pontos: (1) Ponto que divide internamente na proporção 2:1 (2) Ponto que divide externamente na proporção 2:1 (3) Ponto que divide externamente na proporção 1:2 (4) Ponto médio'

'Tomando a reta BC como o eixo x e o ponto P como a origem, as coordenadas dos vértices do triângulo ABC podem ser expressas como: \nA(a, b), B(-c, 0), C(2c, 0)\nonde b ≠ 0, c > 0. Verifique a equação 2AB² + AC² = 3(AP² + 2BP²).'

'O que é um diâmetro?'

'Encontre a equação de um círculo que toca tanto o eixo x quanto o eixo y.'

'Encontre as trajetórias dos seguintes pontos Q e R com relação ao ponto P se movendo na parábola y=x^2 e os dois pontos A(3,-1), B(0,2).'

'Uma vez que o ponto (3,4) está sobre a linha 3x-2y-1=0, a reta desejada passa pelos pontos (-7,-11) e (-1,6).'

'Prática (2) Parábola y=x^2 e linha y=m(x+2) se intersectam em dois pontos diferentes A e B. Encontre a trajetória do ponto médio do segmento AB à medida que o valor de m varia.'

'Encontre a equação padrão de um círculo.'

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'Quando o capítulo 3 (28 t) assume todos os valores reais, para os três pontos A(t, t^{2}), B(t, t-2), C(t+√3, t^{2}-t-1), responda às seguintes perguntas:\n(1) Prove que para cada número real t, A e B são pontos distintos.\n(2) Encontre todos os valores de t que fazem o triângulo ABC ser um triângulo retângulo.\n(3) Determine o intervalo de valores de t que fazem o triângulo ABC ser um triângulo agudo.'

'A equação do bissectriz perpendicular do segmento de linha BC é y-0=-2(x-5), que simplifica para y=-2x+10. Ao resolver as equações (4) e (5) simultaneamente, obtemos x=4, y=2. Portanto, o centro do círculo circunscrito está no ponto (4,2) e o raio é sqrt{(8-4)^{2}+(5-2)^{2}}=5. Assim, a equação que estamos procurando é (x-4)^{2}+(y-2)^{2}=25.'

'Círculo com centro (-2, 3) e raio 3'

'Quando os pontos de interseção de 22 círculos, um círculo que passa pelos pontos de interseção de um círculo e uma linha, e as equações das retas em termos de x, y são escritas como f(x, y), a curva representada pela equação f(x, y) = 0 (incluindo os casos em que representa uma reta) é chamada de curva f(x, y) = 0 e a equação é chamada de equação da curva.'

'Encontre a equação da reta tangente no ponto P(4,6) no círculo.'

'Encontre os valores da constante k para os quais as retas não formam um triângulo.'

'Os resultados de (1) a (3) indicam que as coordenadas do centroide G de △PQR mudam de $\\left(\\frac{3-8+2}{3}, \\frac{3+1+1}{3}\\right)$ para $\\left(-1, \\frac{5}{3}\\right)$.'

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'Dado que o comprimento da perpendicular traçada do ponto (2,1) para a reta kx + y + 1 = 0 é √3, encontre o valor da constante k.'

'Encontre as equações das retas paralelas e perpendiculares à reta 4x+3y-6=0 que passam pelo ponto de interseção das retas 2x-y-1=0 e x+5y-17=0.'

'Intersecta nos pontos (-1, 3) e (3, -1)'

'Encontre a distância entre os seguintes dois pontos.'

'(2) (1) De (1), no triângulo △AOB onde ∠AOB = 90°, o círculo que passa pelos pontos A, B, O tem AB como seu diâmetro.'

'Exemplo de exercício 17 Área de um setor'

'Encontre o comprimento do arco e a área de um setor com um raio de 4 e um ângulo central de 150°.'

'Problema (1) No plano cartesiano, quando os pontos A(a, 2), B(5, 1), C(-4, 2a) estão alinhados, encontre o valor da constante a.'

'(1) Toca tanto no eixo x quanto no eixo y, passando pelo ponto A(-4,2). (2) Passando pelo ponto (3,4), tocando no eixo x, com centro na linha y=x-1.'

'Problema para encontrar as coordenadas do ponto P. Encontre as coordenadas do ponto P (x, y) que está na linha que conecta os pontos A (6, -3) e B (1, 7).'

'Fora do círculo (x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5. Incluindo a fronteira.'

'As coordenadas do centróide G do triângulo ABC com vértices A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3) são (\\frac{x1+x2+x3}{3}, \\frac{y1+y2+y3}{3})'

'Matemática II rio 36 livros p.119\n(1) O raio r é a distância entre o centro (-5,4) e a origem, logo r^2=(-5)^2+4^2=41\nAssim, a equação do círculo que procuramos é (x+5)^2+(y-4)^2=41\n(2) O centro é o ponto médio do diâmetro, portanto suas coordenadas são (-3+3)/2, (6+(-2))/2 que é (0,2)\nO raio r é a distância entre o centro (0,2) e o ponto A(-3,6), então r^2=(-3-0)^2+(6-2)^2=25\nAssim, a equação do círculo que procuramos é x^2+(y-2)^2=25\nOutra solução (2) Na circunferência, seja P(x, y) um ponto diferente de A, B, então AP ⊥ BP assim, quando x ≠ -3, x ≠ 3, (y-6) / (x-(-3)) * (y-(-2)) / (x-3) = -1\nPortanto, (x+3)(x-3)+(y-6)(y+2)=0 que é x^2+(y-2)^2=25\nEsta equação é válida quando x=-3, x=3, ou seja, os pontos (-3,6), (-3,-2), (3,6), (3,-2) a satisfazem, então esta é a equação do círculo que procuramos.'

'Para um ângulo padrão, determine se a seguinte proposição é verdadeira e explique o motivo.\n"Não existem ângulos maiores que 360 graus"'

'Tomando OP como o raio.'

'(5) Uma reta paralela ao eixo y é perpendicular ao eixo x. Uma vez que a coordenada x do ponto pelo qual passa é 5, temos x=5'

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'Exemplo Importante 58: Pontos de Interseção da Parábola e do Círculo\nSeja r uma constante positiva. Considere a parábola y=x^{2} e o círculo x^{2}+(y-2)^{2}=r^{2}, e responda às seguintes perguntas:\n(1) Quando r=2, encontre todas as coordenadas dos pontos de interseção entre a parábola e o círculo.\n(2) Investigue como o número de pontos de interseção entre a parábola e o círculo muda conforme r varia sobre todos os valores reais positivos.'

'Encontre os valores de a quando as retas (a-2)x+ay+2=0 e x+(a-2)y+1=0 são paralelas, coincidentes ou perpendiculares.'

'Compreender a fórmula para a distância entre 2 pontos em um plano. Encontre a fórmula para a distância entre os pontos O(0; 0), A(x_{1}, y_{1}), B(x_{2}, y_{2}).'

'Para os dois círculos \ x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+1=0, x^{2}+y^{2}=5 \:\n(1) Encontre a equação da reta que passa pelos dois pontos de interseção dos dois círculos.\n(2) Encontre o centro e o raio do círculo que passa pelos dois pontos de interseção dos dois círculos e o ponto (1,3).'

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'(1) Encontre a equação de um círculo com centro (-5,4) passando pela origem.\n(2) Encontre a equação de um círculo com diâmetro AB onde A(-3,6) e B(3,-2).'

'Dado os círculos, designados como C_1 e C_2, respectivamente. (1) Deixe as coordenadas do ponto de tangência no círculo C_1 serem (x_1, y_1) de forma que x_1^2 + y_1^2 = 9'

'Exemplo importante 49 Distância entre um ponto em uma parábola e uma linha\nDado dois pontos A(0,1) e B(2,5) e a parábola y=x^{2}+4x+7. Há um ponto P movendo-se sobre a parábola.\n\nEncontre o valor mínimo da área S do triângulo PAB.'

'Desenhe o intervalo de existência do ponto (a, b) no plano ab quando o segmento de linha que conecta os pontos A(1,-2) e B(-2,1) intersecta a parábola y=x^{2}+ax+b em apenas um ponto que não seja A ou B.'

'Calcular a distância entre dois pontos em um plano.'

'A equação da reta AB é x/a + y/b = 1. Considerando o ponto P(a, b) e a distância entre o ponto P e a reta AB como d, encontre o valor máximo de d.'

'Número de pontos da grade'

'Seja a equação do círculo requerido (x-1)^(2)+(y+√3)^(2)=r^(2) (r>0). A condição para o círculo (2) ser tangente ao círculo C é 0<r<5 e √((1-0)^(2)+(-√3-0)^(2))=5-r, portanto r=5-√4=3. Assim, a equação necessária é (x-1)^(2)+(y+√3)^(2)=9'

'Encontre as coordenadas do ponto Q:\n\nSejam as coordenadas do ponto Q (x, y).\n(1) Seja OP=r e seja o ângulo entre OP e a direção positiva do eixo x α, então r cosα=-2, r sinα=3.\nPortanto, x=r cos(α+5/6π)=r cosα cos5/6π-r sinα sin5/6π.'

'Coordenadas dos pontos\nSejam os pontos A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) dados.\nEncontre a distância entre dois pontos.\nAB=√((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)\nEm particular, a distância entre a origem O e A é OA=√(x₁² + y₁²)'

'Exemplo 55 Condições de tangência e equações de círculos e retas'

'Tomando o ponto B como a origem e a aresta BC como o eixo x, as coordenadas de cada vértice podem ser representadas como A(0, a), B(0, 0), C(b, 0), D(b, a). Prove que PA² + PC² = PB² + PD².'

'Num plano, existem n círculos de tal forma que quaisquer dois círculos se intersectam e nenhum trio ou mais de círculos se intersectam no mesmo ponto. Em quantas partes o plano é dividido por esses círculos?'

'Intervalo de passagem de pontos e curvas'

'Questão semelhante Pegando um ponto P(1/2, 1/4) no plano de coordenadas. Quando dois pontos Q(α, α^2) e R(β, β^2) na parábola y=x^2 se movem de forma que os três pontos P, Q, R formam um triângulo isósceles com QR como base, encontre a trajetória do baricentro G(X, Y) do triângulo PQR. [Universidade de Tóquio]'

'A parábola e o círculo têm 4 pontos compartilhados quando o vértice da parábola está no segmento de linha que conecta o ponto (0, -37/4) e o ponto (0, -3) (excluindo os pontos finais) conforme mostrado na figura. Portanto, -37/4 < a < -3.'

'Dois círculos tangentes aos eixos de coordenadas e uma reta'

'Tomando a reta BC como o eixo x e o bissetor perpendicular do lado BC como o eixo y, o ponto médio L do lado BC torna-se a origem O, e as coordenadas de cada vértice podem ser representadas como A(a, b), B(-c, 0), C(c, 0). Neste caso, L(0,0), M((a+c)/2, b/2), N((a-c)/2, b/2), portanto, as coordenadas dos pontos de interseção que dividem as três medianas AL, BM, CN na proporção de 2:1 são ((a/3), (b/3)), ((-c+(a+c))/(2+1), (0+b)/(2+1)), ((c+(a-c))/(2+1), (0+b)/(2+1)), todos os quais são ((a/3), (b/3)), então as três medianas AL, BM, CN se intersectam neste ponto.'

'Exercício 1: Encontre o raio e a área total dos incírculos de triângulos equiláteros'

'Ilustre o raio dos seguintes ângulos. Além disso, identifique em qual quadrante eles se encontram.'

'(1)\n{% raw %}\\(\\mathrm{AB}^{2}=(0-4)^{2}+(2-0)^{2}=20\\)\\(\\mathrm{BC}^{2}=(3-0)^{2}+(3-2)^{2}=10\\)\\(\\mathrm{CA}^{2}=(4-3)^{2}+(0-3)^{2}=10\\)\\{% endraw %}\nPortanto, BC=CA, BC^2 + CA^2 = AB^2, logo, ΔABC é um triângulo isósceles retângulo com ∠C=90∘.'

'Encontre a equação de uma reta'

'Prática Deixe o número real t satisfazer 0<t<1, considere os 4 pontos O(0,0), A(0,1), B(1,0), C(t,0) no plano de coordenadas. Além disso, defina o ponto D no segmento AB de forma que ∠ACO=∠BCD. Encontre a área máxima do triângulo ACD. [Universidade de Tóquio]'

'Quando o ponto (x, y) se move dentro de um círculo com raio 1 centrado na origem, represente a faixa de movimento do ponto (x+y, x y).'

'Para o círculo $C: x^{2}+y^{2}=25$, responda às seguintes perguntas:\n1. Encontre a equação de um círculo com centro em $(12,5)$ que é tangente externamente ao círculo $C$.\n2. Encontre a equação de um círculo com centro em $(1,-\\sqrt{3})$ que é tangente internamente ao círculo $C$.'

'Encontre o comprimento do arco e a área de um setor com raio 4 e ângulo central de 150 graus.'

'Seja a e b números reais positivos. As parábolas C1: y = x^2 - a e C2: y = -b(x - 2)^2 são tangentes à reta ℓ no ponto P(x0, y0). Defina S1 como a área entre a reta x = 0, a parábola C1 e a reta tangente ℓ, e S2 como a área entre a reta x = 2, a parábola C2 e a reta tangente ℓ. Responda às seguintes perguntas:\n(1) Expresse a, x0, y0.\n(2) Expresse a relação de áreas S1 : S2 em termos de b.'

'Distância entre um ponto e uma reta'

'Represente no gráfico o conjunto de pontos (x, y) que satisfazem y=x+1 com uma linha reta como limite. Além disso, represente no gráfico as regiões de pontos que satisfazem y>x+1 e y<x+1.'

'Encontre as coordenadas de um ponto P no eixo x equidistante dos pontos A(-1,2) e B(3,4).'

'Encontre a equação de um círculo que passa pelo ponto (2,1) e é tangente ao eixo x e ao eixo y.'

'Exemplo básico 70: Dado A(-2,1), B(6,-3), C(1,7), encontre as coordenadas dos seguintes pontos.'

'Considere o seguinte problema.'

'Investigue como o número de pontos de interseção entre o círculo (x-1)^2+(y-1)^2=r^2 e a reta y=2x-3 muda dependendo do raio r.'

'Exemplo padrão 103'

'Dado os três vértices A(5,-2), B(1,5), C(-1,2), encontre os comprimentos dos três lados do triângulo ABC e determine que tipo de triângulo é.'

'Desenhe a região representada pelas seguintes desigualdades.'

'Encontre a equação da reta tangente traçada a partir do ponto A(3,1) para o círculo x^2+y^2=2 e as coordenadas do ponto de tangência.'

'Sejam A e B os pontos de interseção da parábola y = 9-x^{2} com o eixo x. Quando um trapézio é inscrito na área contida por esta parábola e o eixo x, com o segmento AB como base, determine a área máxima deste trapézio.'

'Encontre o número de pontos da grade dentro da área cercada por y = -x^2 + 8x e y = x (incluindo a fronteira).'

'Um círculo com centro C(a, b) e uma distância constante r(>0) de C é uma coleção de pontos com C como centro e raio r. O círculo com centro em C é simplesmente chamado de círculo C, e a equação satisfeita por qualquer ponto (x, y) no círculo é chamada de sua equação. Vamos tentar encontrar a equação deste círculo. A condição para um ponto P(x, y) estar no círculo C é CP = r, expresso em coordenadas como √((x-a)^2 + (y-b)^2) = r, ao elevar ambos os lados ao quadrado obtemos (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. Como ambos os lados de (2) são positivos, (1)⇔(2)⇔(3), portanto (3) é a equação do círculo desejado. A forma da equação (3) com o conhecimento do centro (a, b) e raio r é chamada de forma básica da equação do círculo. A equação de um círculo com raio r e centro (a, b) é (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. A equação de um círculo com raio r e centro na origem é x^2 + y^2 = r^2. Observa-se que a configuração a=b=0 em 1 resulta em 2. Quando r=1, é chamado de círculo unitário. Além disso, o 1 pode ser considerado como uma tradução do 2 paralela a a ao longo do eixo x e b ao longo do eixo y.'

'Seja o círculo (x-1)^2 + (y+2)^2 = 9 C.\n(1) Quando o círculo (x+1)^2 + (y-1)^2 = 4 for C₁, determine a relação de posição entre C e C₁.'

'O ponto D está no quarto quadrante, o Círculo D é tangente ao eixo x e ao eixo y, então as coordenadas do ponto D podem ser assumidas como (d, -d) e o raio é d. Como o ponto D está abaixo da reta l, temos 3d - 4d - 12 < 0. A distância entre o ponto D e a reta l é |3d - 4d - 12| /√(3^2+4^2) = (d + 12) / 5. Como o Círculo D é tangente à reta l, a distância entre o ponto D e a reta l é (d + 12) / 5 = d. Portanto, d = 3.'

'Encontre a equação da reta tangente no ponto A no círculo com A(0,3) e B(8,9) como diâmetro.'

'Existem pontos A(-1,3) e B(5,11).'

'Encontre o valor de a quando os dois círculos se tocam.'

'Encontre a equação de uma reta tangente ao círculo x^2 + y^2 = 9 e paralela à reta 4x + 3y - 5 = 0.'

'Para os pontos A(0,1) e B(4,-1): (1) Encontre a equação de um círculo C1 com centro na reta y=x-1 que passa pelos pontos A e B. (2) Encontre a equação de um círculo C2 simétrico ao círculo C1 encontrado em (1) com respeito à reta AB. (3) Seja P e Q pontos nos círculos C1 e C2, respectivamente. Encontre o comprimento máximo do segmento de linha PQ. [Universidade de Gunma]'

'Existe um paralelogramo ABCD com vértices A(-2,3), B(5,4) e C(3,-1). Encontre as coordenadas do vértice D e o ponto de interseção P das diagonais.'

'Encontre a equação do círculo a seguir:\n(1) Um círculo com centro em (1,1) tangente à reta 2x-y-11=0'

'Dado os pontos A(6,0) e B(3,3), quando o ponto P se move no círculo x^2 + y^2 = 9, encontre o locus do centroide G do triângulo ABP.'

"Sejam C e C' os dois pontos de interseção A, B, e o ponto médio do segmento de linha AB seja M. Portanto, o comprimento do segmento OM é igual à distância entre a origem O e a linha ℓ."

'Usando as coordenadas (p, q) do ponto B, determine a condição para a linha AB ser perpendicular à linha ℓ quando a inclinação de ℓ é 2.'

'Quando exatamente 2 linhas tangentes podem ser desenhadas do ponto P(1, ) para a curva C, responda às seguintes perguntas. (i) Encontre as equações das 2 linhas tangentes. (ii) Deixe Q e R serem os pontos de tangência entre as linhas encontradas no item (i) e a curva C. Assuma que a coordenada x de Q é menor que a coordenada x de R. Encontre a área S da figura delimitada pelo segmento de linha PQ, pelo segmento de linha PR e pela curva C.'

'Investigue a relação posicional entre os seguintes círculos e linhas, e encontre as coordenadas dos pontos de intersecção, se existirem.'

'Que tipo de formas representam as seguintes equações?'

'Suponha que existam quatro círculos no plano cartesiano que tocam o eixo x, o eixo y e a reta 3x + 4y - 12 = 0. Ordene os raios desses círculos em ordem crescente e explique a relação entre o centro de cada círculo e a reta.'

'Calcule a inclinação da reta que forma um ângulo de \\frac{\\pi}{4} com a reta x-\\sqrt{3}y=0.'

'Para o ponto A(-2, -3), encontre as coordenadas do ponto Q que é simétrico ao ponto P(3, 7).'

'Encontre a equação da reta tangente no ponto P no círculo seguinte.'

'Seja A a interseção dos dois retas \ 3 x+2 y-4=0 \ (1) e \ x+y+2=0 \ (2). Determine a equação da reta que passa pelo ponto A e B(3,-2) para (1). Determine a equação da reta que passa pelo ponto A e é paralela à reta \ x-2 y+3=0 \ para (2).'

'Dado A(-2,-3), B(3,7), C(5,2), encontre as coordenadas dos seguintes pontos.'

'Vamos encontrar a equação da reta tangente no ponto (a, b) no círculo x^2 + y^2 = r^2.'

'Seja a linha 3x+2y-4=0 como (1) e x+y+2=0 como (2), com A como ponto de interseção das duas linhas. Encontre a equação da linha que passa por A e pelo ponto B(3,-2).'

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'Qual é a forma do triângulo ABC formado pelos seguintes 3 pontos?'

'Encontre as equações dos seguintes círculos:\n1. Círculo com centro em (2, -3) e raio 1\n2. Círculo com centro em (3, 4) passando pelo origem\n3. Círculo com diâmetro definido pelos pontos (3, 1) e (-5, 7)\n4. Círculo com centro em (5, 2) tangente ao eixo y'

'Encontre o centro e o raio do círculo que passa pelos dois pontos de interseção dos dois círculos \\( x^{2}+y^{2}=2,(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=1 \\) e é tangente à reta \ y=x \.'

'O ponto A está no primeiro quadrante, o Círculo A é tangente aos eixos x e y, então as coordenadas do ponto A podem ser assumidas como (a, a), com o raio sendo a. Uma vez que o ponto A está abaixo da reta l, temos 3a + 4a - 12 < 0. A distância entre o ponto A e a reta l é |3a + 4a - 12| / √(3^2 + 4^2) = (-7a + 12) / 5. Uma vez que o círculo A é tangente à reta l, a distância entre o ponto A e a reta l é a, portanto, (-7a + 12) / 5 = a, levando a a = 1.'

'Domine as fórmulas para as coordenadas de pontos de divisão interna e externa e conquiste o exemplo 74!'

'Círculo e linha'

'Para quais valores da constante k o círculo C: x^2+y^2+(k-2)x-ky+2k-16=0 passará pelos pontos A(x, y) e B(x, y)? Aqui, . O segmento de linha AB será um diâmetro do círculo C somente quando k=.'

'Explique o que é o terceiro quadrante.'

'Mostrar os limites da região representados pelas desigualdades.'

'Problema para encontrar a relação de posição entre uma linha e um círculo, juntamente com as coordenadas de seus pontos de interseção.'

'Encontre as equações dos seguintes círculos.'

"A equação da reta que passa pelos dois pontos de interseção C e C' é \\square x+\\square y=15. Além disso, a área S do triângulo com os dois pontos de interseção e a origem O como vértices é S=\\square."

'Que tipo de formas essas equações representam?'

'As duas retas a seguir são paralelas ou perpendiculares?'

'Domine a fórmula para calcular a distância entre um ponto e uma reta, conquiste o exemplo 83!'

'Ilustre o raio do ângulo θ e especifique em qual quadrante o ângulo se encontra'

'Quando o triângulo ABC é um triângulo retângulo com vértices A(1,1), B(2,4) e C(a,0), encontre o valor da constante a.'

'Encontre as coordenadas do ponto P na circunferência do círculo com a equação x^2-2x+y^2-4y+4=0 que está mais próxima do ponto A(-1,1). Além disso, encontre a distância entre os pontos A e P.'

'Ponto em um plano'

'(2) Triângulo isósceles retângulo onde \ \\angle \\mathrm{A}=90^{\\circ} \'

'Em relação aos pontos A(0,1) e B(4,-1)'

'Capítulo 4: Figuras e Equações'

'Problema de encontrar a distância entre dois pontos em um plano.'

'Encontre as coordenadas dos seguintes pontos.'

'Dado o círculo TR: x^{2}+y^{2}=1, designado como C_{0}, e seja C_{1} o círculo obtido ao transladar o C_{0} 2a unidades na direção positiva do eixo x, onde a está entre 0 e a<1. Além disso, sejam A e B os dois pontos de interseção de C_{0} e C_{1} no primeiro quadrante, e seja P(s, t) um ponto em C_{0} diferente dos pontos A e B. Encontre o trajeto do centroide G do triângulo PAB à medida que P se move na parte de C_{0} excluindo os dois pontos A e B.'

'73 (1) $\\mathrm{AB}=\\mathrm{CA}$ é um triângulo isósceles'

'Neste caso, a distância entre o centro (0,0) do círculo (1) e a linha (2) é igual ao raio do círculo √k, então'

'Descubra quantas tangentes podem ser desenhadas do ponto P(1, ) para a curva C: y=x^3-x.'

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'Dado o centro e o raio de um círculo, encontre a equação do círculo.'

'Encontre a equação de um círculo com centro (a, b) e raio r.'

'Encontre o círculo que passa pela interseção de 2 círculos'

'Prove que, para um triângulo agudo ABC, a seguinte equação é verdadeira: tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C.'

'Encontre o local geométrico do ponto médio P do segmento de linha que conecta o ponto A(2,0) e o ponto Q à medida que o ponto Q se move ao longo do círculo x^2 + y^2 = 1.'

'Examine as relações de posição entre os seguintes círculos e linhas e, se houver pontos comuns, encontre suas coordenadas.'

'Uma vez que o centro do círculo C3 é a origem O, a distância entre o círculo C e o círculo C3 é PO=√(1^2+(-2)^2)=√5\nSeja r3 o raio do círculo C3, como o círculo C3 está inscrito no círculo C, temos r3 < 3 e √5 = 3 - r3\nPortanto, r3 = 3 - √5\nAssim, a equação do círculo C3 é x^2 + y^2 = (3 - √5)^2'

'Desenhe as regiões representadas pelas seguintes desigualdades.'

'Existe um paralelogramo ABCD com vértices em A(-2,3), B(5,4) e C(3,-1). Encontre as coordenadas do vértice D e do ponto de interseção P das diagonais.'

'Encontre as coordenadas do ponto médio e o comprimento do segmento cortado pelo círculo com centro em (2, 1) e raio 2 da reta y=-2x+3.'

'Encontre a equação da reta tangente desenhada do ponto A(7,1) para o círculo x^2+y^2=25.'

'Encontre a equação de um círculo que passa pelos pontos (0,2) e (-1,1) com seu centro na reta y=2x-8.'

'Quando uma parábola (1) e um círculo (2) têm 4 pontos em comum, encontre o intervalo de r.'

'Encontre o centro e o raio do círculo que passa pelos dois pontos de interseção dos dois círculos x^2+y^2=2 e (x-1)^2+(y+1)^2=1, e que é tangente à reta y=x.'

'Na Figura 6, qual é o comprimento que pode ser lido com o paquímetro em incrementos de quantos milímetros?'

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'Quais são os valores no eixo vertical para os pontos (2) e (3)?'

'2021 Academia Shibuya da Escola Intermediária de Makuhari (1ª vez) (4)\nComo mostrado na Figura 5-1, há um prisma retangular $ABCD-EFGH$ com uma base de losango e todas as faces laterais retangulares. Os pontos $K, L, M, N$ estão localizados nas bordas $AB, BC, CD, DA$ respectivamente, com $AK: KB = AN: ND = 1: 1$, $BL: LC = DM: MC = 2: 1$.\nAlém disso, o ponto O está localizado na diagonal $EG$ do losango $EFGH$, com $EO: OG = 1: 5$.\nConectando cada vértice do quadrilátero $KLMN$ ao ponto O cria uma pirâmide O-KLMN. Responda às seguintes perguntas. O volume da pirâmide pode ser calculado como (área da base) x (altura ÷ 3).'

'Explique a diferença entre uma estrela vermelha brilhante e uma estrela vermelha escura.'

'Existe um triângulo retângulo ABC conforme mostrado na figura 2, e quadrados com os lados AD, BD e CD respectivamente. Nesse caso, qual é a área do quadrado com CD como um dos lados em centímetros quadrados?'

'Qual é o tamanho da célula A na figura 12 (comprimento entre PQ) em micrômetros? Use o valor obtido em (5) e responda em inteiros.'

'península'

'(3) Como mostrado no gráfico à direita, o penhasco B está a 48m acima do nível do mar e a uma distância de 70m ao norte do ponto A, o penhasco C está a 53m acima do nível do mar e a uma distância de 70m ao sul do ponto A, basta anotar suas respectivas posições.'

'(2) A linha desenhada pelo ponto O torna-se como uma linha grossa. Primeiramente, o ângulo central de um semicírculo com raio de 6 cm está entre (2) e (3). Ao adicionar a parte entre 8 e 9 (que é igual ao comprimento de um arco de 60 graus), obtém-se um total de 180×3+90+60×2 = 750 graus. Além disso, o arco entre 3 e 4 tem um raio de 12+6=18 cm e um ângulo central de 30 graus. Portanto, o comprimento da linha desenhada pelo ponto O é calculado como 6×2×3.14×750/360+18×2×3.14×30/360=(25+3)×3.14=87.92 cm.'

'Na figura 5-1, há um triângulo retângulo com o ângulo A, onde AB=3 cm e AC=6 cm, e um triângulo isósceles retângulo com o ângulo D, onde DE e DF têm ambos 6 cm. Responda às seguintes questões sobre a forma geométrica formada pela combinação desses triângulos retângulos. Considere o valor de Pi como 3.14. Além disso, observe que o volume de um cone pode ser calculado multiplicando a área da base pela altura e dividindo por 3.'

'A altura acima do nível do mar da camada de cinzas vulcânicas X é de 53 metros no penhasco A e 44 metros no penhasco B. Quando marcados com círculos em um gráfico, parece como mostrado no gráfico à direita.'

'(4) Um conjunto de pontos onde a diferença de distância de A para a fonte de som e de B para a fonte de som é constante em 350m forma uma linha, indicando a presença da fonte de som. Isso é representado por (I). Uma curva onde a diferença de distância de dois pontos para a fonte de som é constante é chamada de hipérbole.'

'Não cabe no papel A3'

'Os cometas são corpos celestes no sistema solar que orbitam ao redor do sol como planetas. Cometas apresentam a característica distintiva de repentinamente brilharem ao se aproximarem do sol vindo de longe no sistema solar e de escurecerem abruptamente e desaparecerem à medida que se afastam. Além disso, como mostrado na Figura 6, os cometas apresentam uma aparência diferente com uma longa cauda ondulando, ao contrário de outros corpos celestes. A cauda de um cometa se estende na direção oposta ao sol. (5) Suponha que um novo cometa seja descoberto e seja visível imediatamente após o pôr do sol daquele dia. Descreva a aparência da cauda do cometa como uma linha reta.'

'(3) A fonte sonora A está na posição alcançada dentro de 1 segundo, e B está na posição alcançada dentro de 2 segundos. Portanto, desenhando um círculo com um raio de 350 × 1 = 350 metros centrado em A, e um círculo com um raio de 350 × 2 = 700 metros centrado em B, os dois pontos de interseção desses dois círculos indicarão a posição da fonte de som.'

'Escolha uma afirmação correta que possa ser inferida do gráfico na Figura 4.'

'Encontre o comprimento de cada lado do triângulo a seguir.'

'Equação de um plano perpendicular a dois eixos de coordenadas'

'Triângulo retângulo com ângulo C igual a 90 graus'

'Considerando as coordenadas polares do ponto A como (r₁, θ₁) e as do ponto B como (r₂, θ₂). Encontre a área do triângulo OAB, denotada por S.'

'No paralelogramo ABCD, seja M o ponto médio do lado AB, E o ponto que divide o lado BC em 1:2 e F o ponto que divide o lado CD em 3:1. Se →AB=b e →AD=d'

'É dado um hexágono regular ABCDEF com comprimento do lado 1. Quando o ponto P se move ao longo do lado AB e o ponto Q se move ao longo do lado CD independentemente, encontrar a área pela qual o ponto R, que divide o segmento PQ na proporção 2:1, pode passar.'

'Embora seja possível substituir z=x+yi diretamente na equação (3)(2) e calculá-la, o cálculo se torna muito complicado (consulte a primeira consideração após a resposta). Portanto, primeiro consideramos a equação de uma elipse com congruência à forma C e tendo o foco no eixo x, então a giramos para encontrar a equação de C. (1) K: \\frac{x^{2}}{2^{2}}+\\frac{y^{2}}{1^{2}}=1 As coordenadas dos focos são, \\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\\sqrt{3}, então são (\\sqrt{3}, 0),(-\\sqrt{3}, 0). O comprimento do eixo maior é 2\\cdot2 e o comprimento do eixo menor é 2\\cdot1, portanto, a área a ser encontrada é \\pi\\cdot2\\cdot1=2\\pi.'

'A tangente em qualquer ponto da curva C no primeiro quadrante sempre intersecta as partes positivas dos eixos x e y, e os pontos de interseção são denominados Q e R, respectivamente. O ponto P divide o segmento QR internamente na proporção de 2:1.'

'Para coordenadas polares, encontre as equações do círculo e da linha a seguir: (1) Um círculo com centro no ponto A(3, π/3) e raio 2. (2) Uma linha que passa pelo ponto A(2, π/4) e é perpendicular a OA (O é o polo).'

'(2) 128\nNo trapézio isósceles \ \\mathrm{ABCD} \ onde \ \\mathrm{AB}=2 \\mathrm{~cm}, \\mathrm{BC}=4 \\mathrm{~cm}, \\angle \\mathrm{B}=60^{\\circ} \, quando \ \\angle \\mathrm{B} \ aumenta em \ 1^{\\circ} \, em quanto a área \ S \ do trapézio \ \\mathrm{ABCD} \ aumenta? Assuma que \ \\pi=3.14 \.'

'Encontre a distância entre dois pontos.'

'Encontre o vetor de posição do ortocentro de um triângulo.'

'No espaço de coordenadas, considere A(1,0,2) e B(0,1,1). Quando o ponto P se move ao longo do eixo x, encontre o valor mínimo de AP+PB.'

'No plano de coordenadas, o círculo C passa pelo ponto (0,0), seu centro está na linha x+y=0 e é tangente à hipérbole xy=1. Encontre a equação do círculo C. Aqui, diz-se que círculos e hipérboles tocam em um ponto se as tangentes do círculo e da hipérbole coincidirem nesse ponto.'

'Para a elipse $x^{2}+4 y^{2}=4$, encontre a trajetória do ponto $P(a, b)$ fora da elipse de onde duas tangentes desenhadas na elipse se interceptam em ângulo reto.\n[Tipo Universidade de Tóquio]\nBásico 155'

'Curva representada por variáveis paramétricas'

'Encontre a figura geométrica representada por todos os pontos P(z) que satisfazem a equação $|z-\\alpha|=r(r>0)$.'

'Na curva \\sqrt[3]{x}+\\sqrt[3]{y}=1, deixe \\mathrm{P} ser o ponto no primeiro quadrante onde a tangente intercepta o eixo x e o eixo y nos pontos \\mathrm{A}, \\mathrm{B} respectivamente. Se a origem for \\mathrm{O}, encontre o valor mínimo de \\mathrm{OA}+\\mathrm{OB}.'

'Encontre as coordenadas e o comprimento da corda formada pela interseção da linha e da curva a seguir.'

'Conceitos Básicos 1 Equações Polares e Retas (1) Equação polar de um círculo com centro no polo O e raio a r=a r=2a cos θ r^2-2r r₀ cos(θ-θ₀)+r₀^2=a^2 θ=α r cos (θ-α)=a (a>0) (2) Círculo com centro em (a, 0) e raio a r=2a cos θ (3) Círculo com centro em (r₀, θ₀) e raio a r^2-2r r₀ cos(θ-θ₀)+r₀^2=a^2 (4) Linha que passa pelo polo O e forma um ângulo α com a linha inicial θ=α (5) Linha que passa pelo ponto A(a, α) e é perpendicular a OA'

'(4) Para o plano PQR e a aresta OD, as situações são as seguintes. Quando q = 1/4, o plano PQR é □. Quando q = 1/5, o plano PQR é 又. Quando q = 1/6, o plano PQR é ネ. Escolha o que se encaixa em dois 〜 ネ, um de 0 a 5, você pode escolher a mesma opção repetidamente.'

'Encontre a trajetória do centro P de um círculo tangente tanto ao círculo $(x-4)^{2}+y^{2}=1$ quanto à linha $x=-3$.'

'Para a elipse \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0) \\), as coordenadas dos focos são \\(\\left(\\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0\\right),\\left(-\\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0\\right)\\). Os focos estão no eixo x, com o comprimento do eixo maior sendo 2a e o comprimento do eixo menor sendo 2b.'

'Prove que a diferença de distância de qualquer ponto na hipérbole para seus dois focos é constante.'

'Indique a condição para que três pontos distintos A(α), B(β), C(γ) estejam alinhados.'

'Suponha que os dois extremos A e B de um segmento de linha de comprimento 2 se movam ao longo do eixo x e do eixo y, respectivamente. Quando $\\mathrm{BP}=1$, encontre a trajetória do ponto P.'

'Passando pelo ponto A(3, -4), encontre a reta paralela à reta l: 2x-3y+6=0 e chame-a de g. Determine a equação da reta g.'

'No hexágono regular ABCDEF, com centro O, o ponto P divide o lado CD internamente na razão 2:1, e o ponto Q é o ponto médio do lado EF. Se o vetor AB é a e o vetor AF é b, expresse os vetores BC, EF, CE, AC, BD e QP em termos dos vetores a e b.'

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'Quando um ponto P(z) se move ao longo do perímetro de um círculo centrado em -i com raio 1 (excluindo a origem), que tipo de forma o ponto Q(w) representado por (3) 114 w=1/z traça?'

"Tópico: Investigação de quadráticas representadas por equações de números complexos e movimento de rotação Matemática No Capítulo 3 de matemática C, aprendemos sobre formas geométricas no plano complexo, e no Capítulo 4 aprendemos sobre as propriedades das quadráticas. Aqui, investigaremos casos em que a forma representada pela equação do número complexo z é uma quadrática. Primeiro, vamos confirmar os conceitos básicos das quadráticas com o seguinte problema. CHECK 3-A A equação da trajetória do ponto P com uma distância total de 6 dos pontos F(√5, 0) e F'(-√5, 0) deve ser encontrada."

'Encontre a equação vetorial de um círculo.'

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'Supondo que △ABC é um triângulo equilátero com vértices A(-1), B(1) e C(√3 i). Prove que quando △PQR com vértices P(α), Q(β), R(γ) também é um triângulo equilátero, a equação α² + β² + γ² - αβ - βγ - γα = 0 é válida.'

'Prove a equação da reta tangente no ponto (x0, y0) no círculo usando vetores.'

'(2) A soma das distâncias do ponto z para os 2 pontos (√3+3i)/2 e -(√3+3i)/2 é constante em 4, portanto, a figura C é uma elipse com os 2 focos em (√3+3i)/2 e -(√3+3i)/2. Seja c a distância da origem, que é o centro dessa elipse, para os focos. As coordenadas dos focos no plano XY são (c, 0) e (-c, 0). Esta elipse é congruente com uma elipse onde a soma das distâncias dos pontos na elipse para os 2 focos também é 4.'

'Considere um círculo C com raio a no primeiro quadrante do plano xy, que é tangente tanto à reta l: y=mx(m>0) quanto ao eixo x. Além disso, considere círculos tangentes à reta l, ao eixo x e ao círculo C em um ponto cada um com raio b, onde b>a. (1) Expresse t em termos de m. (2) Expresse b/a em termos de t. (3) Encontre o limite lim_{m \to +0} 1/m(b/a-1).'

'(1) Deixe os comprimentos dos três lados do triângulo ABC serem AB=8, BC=7, CA=9. Deixe o vetor AB=b e o vetor AC=c, e deixe P ser o incentro do triângulo ABC. Expresse o vetor AP em termos de b e c.'

'Teorema do ponto médio: No triângulo ABC, sejam M e N os pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente. Então MN // BC e MN = 1/2 BC'

'Existe um quadrilátero ABCD inscrito em um círculo. Quando AB=4, BC=5, CD=7, DA=10, encontre a área S do quadrilátero ABCD.'

'Circuncentro de um triângulo'

'Determine o intervalo de valores para x para que um triângulo com comprimentos de lado 3, 5 e x se torne um triângulo agudo.'

'É dado um tetraedro regular OABC com comprimento de aresta igual a 6. Seja L o ponto médio da aresta OA, M o ponto que divide a aresta OB em 2:1 e N o ponto que divide a aresta OC em 1:2. Calcular a área do triângulo LMN.'

'No triângulo ABC, se B=30°, b=√2, e c=2, encontre os valores de A, C e a.'

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'O centro do círculo que passa pelos pontos A, P e Q é o ponto de interseção dos bissetores perpendiculares de duas cordas.'

'(2) ângulo agudo'

'Usando o teorema da potência de um ponto, mostre as propriedades das tangentes desenhadas a partir do ponto P para um círculo.'

'Para um octógono regular, encontre os seguintes números.\n(1) O número de quadriláteros que podem ser formados conectando 4 vértices\n(2) O número de triângulos formados conectando 3 vértices que compartilham uma aresta com o octógono regular'

'Na reta x=1, o ponto T está localizado onde a coordenada y é √3. O ponto P é a interseção da reta OT e de um semicírculo com raio 1. O ângulo que procuramos é ∠AOP.'

'Em um piso retangular com dimensões de 240 cm por 396 cm, queremos cobri-lo com azulejos quadrados de lado a cm sem lacunas. Encontre o valor máximo de a nesse caso. Além disso, determine a quantidade de azulejos que podem ser colocados.'

'Explique e prove as propriedades do circuncentro, incentro e baricentro de um triângulo.'

'Determine se os quatro pontos A, B, C, D à direita do diagrama estão no mesmo círculo.'

'O raio do círculo circunscrito é \ \\frac{85}{8} \, e o raio do círculo inscrito é 2'

'Num quadrilátero ABCD inscrito em um círculo, com AB = 8, BC = 10 e CD = DA = 3. Encontre a área S do quadrilátero ABCD.'

'79. No triângulo ABC, AB=2, BC=4, CA=2√3. Seja AD a altura do vértice A ao lado BC, e sejam E e F os pontos de interseção do círculo com diâmetro AD e os lados AB e CA, respectivamente. E e F são diferentes de A. [Universidade Médica de Tóquio Jikeikai]\n(1) Prove que os pontos E, B, C e F estão na mesma circunferência.\n(2) Encontre a área do triângulo EBF.'

'Como mostrado no diagrama, rotule todos os vértices de um triângulo equilátero com lado 2 e cada ponto médio dos lados de 1 a 6. Combine o resultado do primeiro lançamento de dado com esse número. Conecte os pontos correspondentes aos números sorteados nos dados três vezes para criar uma forma. Encontre o valor esperado da área da forma resultante.'

'Teorema 25 Teorema da Potência de um Ponto II'

'\ \\triangle ABC \ é um triângulo retângulo com \ \\angle A=90^{\\circ}, \\angle B=60^{\\circ}, \\angle C=30^{\\circ} \ e com \ AD \ como diâmetro de um círculo. Trace as linhas auxiliares \ AD, ED, EF, DF \.'

'Considerando os comprimentos p e q das diagonais AC e BD do quadrilátero ABCD, e considerando θ como um dos ângulos formados pelas diagonais, expresse a área S do quadrilátero ABCD em termos de p, q e θ.'

'Por favor, explique sobre pontos dentro e fora de um círculo e os tamanhos dos ângulos.'

'No triângulo ABC, O é o circuncentro. Encontre os ângulos α e β na figura à direita.'

'Condições para um paralelogramo: Um quadrilátero é um paralelogramo se alguma das seguintes condições forem cumpridas. [1] Dois pares de lados opostos são paralelos. [2] Dois pares de lados opostos são iguais. [3] Dois pares de ângulos opostos são iguais. [4] Um par de lados opostos é paralelo e tem o mesmo comprimento. [5] As diagonais se interceptam em seus pontos médios respectivos.'

'No quadrilátero ABCD inscrito em um círculo, onde AB = BC = 1, BD = √7 e DA = 2, encontre:\n1. A posição do ponto A\n2. O comprimento do lado CD\n3. A área do quadrilátero ABCD S'

'Encontre o circuncentro O do triângulo ABC.'

'Dado um quadrilátero ABCD inscrito no círculo PR com AB = 4, BC = 5, CD = 7, DA = 10, encontrar a área S do quadrilátero ABCD.'

'Determine o comprimento mínimo da diagonal em um retângulo com um comprimento de 40 cm. Além disso, descreva a forma do retângulo nesse mínimo. Supondo que o comprimento vertical do retângulo seja x cm, então o comprimento horizontal é (20-x) cm. Como x>0 e 20-x>0, temos 0<x<20. Denotando o comprimento da diagonal como l cm, l^2 =x^2+(20-x)^2 =2 x^2-40 x+400 =2(x-10)^2+200 (1) onde l^2 atinge o valor mínimo de 200 em x=10. Já que l>0, quando l^2 é minimizado, l também é minimizado. Assim, o valor mínimo do comprimento da diagonal l é sqrt(200)=10 sqrt(2)(cm). Neste ponto, o comprimento horizontal também é de 10 cm, fazendo com que o retângulo se torne um quadrado.'

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'Leve o ponto O no plano e defina duas linhas perpendiculares no ponto O, conforme mostrado no diagrama à direita. Estas são chamadas de eixo x e eixo y, respectivamente. O ponto O é chamado de origem. Neste caso, se o ponto A estiver localizado nas coordenadas (3, 2), forneça sua coordenada x e coordenada y.'

'Em um plano, existem 10 linhas que não se intersectam, e nenhuma passa pelo mesmo ponto. Se duas das 10 linhas são paralelas, determine o número de pontos de interseção e triângulos formados por essas 10 linhas.'

'Exemplo 4: Antena parabólica\nUma parábola é chamada de parabola em inglês. A superfície de uma antena parabólica usada para recepção de transmissão via satélite é em forma da superfície que é formada ao girar uma parábola ao redor de seu eixo.'

"Os círculos O e O' com raios 5 e 8, respectivamente, são tangentes externamente no ponto A. Sejam B e C os pontos onde a tangente externa comum desses dois círculos toca nos círculos O e O'. Estenda BA para intersectar no círculo O' no ponto D.\n(2) Prove que os pontos C, O' e D são colineares.\n(3) Encontre as razões de AB:AC:BC."

'Calcule o número de paralelogramos formados por 3 linhas paralelas e 5 linhas que as interceptam.'

'Distância entre dois pontos\n(1) A distância entre dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) no plano de coordenadas é\nAB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)\nEm particular, a distância entre a origem O e o ponto A(x1, y1) é OA=√(x1^2+y1^2)\n(2) A distância entre dois pontos A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) no espaço de coordenadas é\nAB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)\nEm particular, a distância entre a origem O e o ponto A(x1, y1, z1) é OA=√(x1^2+y1^2+z1^2)'

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'Encontre a distância entre A e P.'

'Prove que os baricentros dos triângulos ABC e DEF coincidem.'

'O valor mínimo é de 10√2 cm, quadrado'

'Para o segmento de linha AB dado, desenhe os seguintes pontos.'

'Matemática I\nAssim, a área do triângulo (ABC) é\n\nEX 1 Um pedaço de papel em forma de triângulo equilátero com um lado de (10 cm) é dado. Vamos considerar os vértices deste triângulo equilátero como (A, B, C) e o ponto (P) no lado (BC) a uma distância de (2 cm) do ponto (B). Ao dobrar este papel de triângulo equilátero de forma que o ponto (A) coincida com o ponto (P), os pontos de interseção das dobras com os lados (AB, AC) são (D, E) respectivamente. Neste momento, se (AD=) for A (cm), (AE=) for B (cm), e a área de △ADE for C (cm^{2}).\n[Da Universidade de Quimono Makie]'

'No triângulo ABC, onde BC = 17, CA=10, AB=9. Encontre o valor de sinA, a área do triângulo ABC, e os raios do círculo circunscrito e do círculo inscrito.'

'Exemplo básico 85 Comprimento do segmento cortado pela parábola a partir do eixo x\n(1) Encontre o comprimento do segmento cortado pelo gráfico da função quadrática y=-x^{2}+3x+3 a partir do eixo x.\n(2) Prove que o comprimento do segmento cortado pelo gráfico da função quadrática y=x^{2}-2ax+a^{2}-3 a partir do eixo x é constante independentemente do valor da constante a.'

'Dado que AB=2√2, BC=4√2, CA=2√6, encontrar os comprimentos dos lados do triângulo.'

'(2) No triângulo ABC, se BC = 5, CA = 3, AB = 7. Seja D e E os pontos onde o ângulo A e sua bissetriz exterior cruzam a linha BC, respectivamente. Encontre o comprimento do segmento DE.'

'Em um plano, existem 10 linhas de tal forma que nenhuma delas se intersecta no mesmo ponto. Quando exatamente 2 das 10 linhas são paralelas, determine o número de pontos de interseção formados por essas 10 linhas e o número de triângulos formados.'

'Desenhe os seguintes pontos:\n(1) Ponto P equidistante dos lados AB, BC, CA\n(2) Ponto Q equidistante dos pontos A, B, C'

'Desenhe os círculos seguintes com base no círculo O e no cordão AB mostrados à direita. Note que os pontos P e Q são diferentes de A e B, e não se encontram no bissectriz perpendicular do cordão AB.'

'Para um triângulo retângulo com os comprimentos dos lados a, b, c, onde o raio circunscrito é 3/2 e o raio inscrito é 1/2, responda às seguintes perguntas. Assuma que a ≥ b ≥ c:'

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'Escreva os seguintes termos matemáticos e suas definições correspondentes em japonês.'

'O comprimento do lado mais curto é de pelo menos 1 metro e no máximo 3 metros'

'Encontre a equação da parábola obtida movendo simetricamente a parábola y=-2x^2+3x-5 em relação às seguintes retas ou pontos.'

'Encontre o ângulo θ formado pelas seguintes duas linhas. Assuma 0° ≤ θ ≤ 90°. (1) AB e FG (2) AE e BG (3) AF e CD'

'Em um triângulo equilátero ABC com comprimento lateral 1, divida BC na proporção 1:2 em D, divida CA na proporção 1:2 em E, e divida AB na proporção 1:2 em F. Defina P como a interseção de BE e CF, Q como a interseção de CF e AD e R como a interseção de AD e BE. Encontre a área do triângulo PQR.'

'No triângulo ABC, se AB = 6, BC = 7, CA = 5, encontre os raios da circunferência circunscrita R e do círculo inscrito r.'

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'Na semi-circunferência com um raio de 1, o ponto cuja coordenada x é 1/2 é o ponto P. O ângulo que estamos procurando é ∠AOP.'

'Encontre as coordenadas do ponto Q, que é simétrico ao ponto P(3, 4) em relação à reta y = 2x + 1.'

'Sejam a, b, c os comprimentos dos lados do triângulo ABC. Se (a+b):(b+c):(c+a)=4:5:6 e a área é 15√3, então encontre o raio da circunferência circunscrita R e o raio da circunferência inscrita r do triângulo ABC.'

'Incentro de um triângulo'

'No triângulo ABC, com o raio do círculo circunscrito denotado como R. Quando A=30 graus, B=105 graus, e a=5, encontre R e c.'

'Quando movido simetricamente em relação à origem, o vértice está no ponto \\( \\left(-\\frac{3}{4}, \\frac{31}{8}\\right) \\), formando uma parábola côncava,\n\\[ y=2\\left(x+\\frac{3}{4}\\right)^{2}+\\frac{31}{8} \\quad\\left(y=2 x^{2}+3 x+5 \\text { também válido }\\right) \\]'

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'Encontre a distância entre os dois pontos a seguir.'

'Existe um papel de triângulo equilátero com um lado de comprimento 10 cm. Vamos chamar de A, B e C os vértices desse triângulo equilátero, e o ponto P um ponto na aresta BC tal que BP=2 cm. Ao dobrar este papel de triângulo equilátero de forma que o vértice A coincida com o ponto P, vamos chamar as interseções das arestas AB, AC e a dobra de D e E, respectivamente. Nesse ponto, AD= □ cm, AE= □ cm, e a área do triângulo ADE é □ cm².'

'Para um triângulo ABC que não é equilátero, com circuncentro O, centróide G, e ortocentro H, prove o seguinte: (1) Seja L o ponto médio do lado BC, e M, N sejam os pontos médios dos segmentos GH e AG respectivamente. Prove que o quadrilátero OLMN é um paralelogramo. Pode-se usar o fato de que AH=2OL. (2) Prove que o ponto G está sobre o segmento OH. (3) Prove que OG:GH=1:2.'

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'Relação posicional entre uma parábola e o eixo x'

'Resumo da Determinação da Forma de um Triângulo'

"Existem dois círculos P e Q que se intersectam com dois círculos O e O'. Como mostrado na figura à direita, desenhe uma linha a partir do ponto A, que está além de P do segmento QP, tangente ao círculo O e intersecante com o círculo O', com os pontos de tangência sendo C, e os pontos de intersecção sendo B e D. Se AB=a, BC=b, CD=c, exprima c em termos de a e b."

'Prove o seguinte utilizando o inverso do teorema de Ceva:\n1. As três medianas de um triângulo intersectam-se em um ponto.\n2. Os três bissetores dos ângulos de um triângulo intersectam-se em um ponto.'

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'O quadrilátero ABCD está inscrito em um círculo O, com AB=3, BC=CD=√3, e cos ∠ABC=√3/6. Encontre: (1) O comprimento do segmento AC (2) O comprimento do lado AD (3) O raio R do círculo O'

'Encontre a área dos seguintes formas.\n1. Paralelogramo ABCD com AB=2, BC=3 e ∠ABC=60 graus\n2. Octógono regular circunscrito em torno de um círculo com raio 10'

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'No triângulo ABC, quando a=13, b=7, e c=15, encontre A.'

'Qual a forma que maximiza a área de um triângulo retângulo cujo somatório dos dois lados é 16? Também, calcule o valor máximo.'

'Existem três casos para a relação de posição entre um círculo e uma reta. Aqui, r é o raio do círculo, e d é a distância entre o centro do círculo e a reta. [1] Interseção em 2 pontos (2 pontos compartilhados) 0 ≤ d < r [2] Tangente (1 ponto compartilhado) 0 ≤ d < r [3] Disjuntos (sem pontos compartilhados) 0 ≤ d < r Quando há apenas um ponto compartilhado, o círculo e a reta são tangentes, e essa reta é chamada de tangente, com o ponto compartilhado sendo o ponto de tangência. Vamos primeiro investigar as propriedades das tangentes de um círculo.'

'Determinar as condições para que os triângulos existam'

'No triângulo ABC, onde AB=6, BC=a e CA=4, deixe M e N serem os pontos médios de BC e CA, respectivamente. (1) Encontre o valor de a quando AM=√10. (2) Quando a é o valor de (1), encontre o comprimento do segmento BN.'

'(2) O lado mais longo é CA, então AB + BC = 18, CA < AB + BC, portanto o triângulo ABC existe.'

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'TREINO 112 (1)\nTomando o ponto O na praça plana como origem, considere o plano de coordenadas com a direção leste como a direção positiva do eixo x e a direção norte como a direção positiva do eixo y.\nO ponto A está localizado a 28 unidades a leste do ponto O. Além disso, o ponto P está ao sul da linha que conecta os pontos O e A.\nO ponto P está a uma distância de 25 de O e a 17 de A.\n(1) Encontre as coordenadas do ponto A.\n(2) Encontre as coordenadas do ponto P.'

'Prática 3: Incentro, Circuncentro, Baricentro de um Triângulo'

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'Calcular os valores das funções trigonométricas em um triângulo retângulo'

'Prova de que existem quatro pontos em um círculo'

'Um dos pontos de interseção de dois gráficos é o ponto (-1,0)'

'Prove que os pontos B, C, F, E estão em um único círculo quando uma linha perpendicular AD é desenhada do vértice A do triângulo agudo ABC para o lado BC, e linhas perpendiculares DE, DF são desenhadas de D para os lados AB e AC, respectivamente.'

'No triângulo retângulo ABC, com AB > AC e ∠A = 90°, desenhe a perpendicular AD do vértice A para a aresta BC.'

'No pentágono ABCDE circunscrito a um círculo, onde AB = 7, BC = 3, CD = 5, DE = 6, ∠BCD = 120° e ∠A = 82°, encontre:\n(1) O comprimento do segmento BD\n(2) O comprimento do segmento AD\n(3) O comprimento do lado AE\n(4) A área do quadrilátero ABDE'

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'(1) \\\\( \\theta=30^{\\circ}, \\\\ 150^{\\circ} \\\\\\\n(2) \\\\( \\theta=45^{\\circ} \\\\\\\n(3) \\\\( \\theta=120^{\\circ} \\\\\\\n'

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'Capítulo 7 Aplicações a Triângulos'

'Em △ABC, suponha que AB = 7√3 e ∠ACB = 60°. Qual é o raio da circunferência O de △ABC? Deixe o ponto P se mover no arco AB, contendo o ponto C da circunferência O.'

'(1) Encontre as medidas dos três ângulos do triângulo ABC onde ∠A=90°, AB=2, e BC=3.\n(2) Encontre os comprimentos dos três lados do triângulo ABC onde ∠A=70° e ∠B=∠C.'

'(1) ∠C<∠B<∠A\n(2) CA=AB<BC'

'No diagrama à direita, o ponto I é o incentro do triângulo ABC. Encontre o seguinte: (1) 𝛼 (2) AI:ID'

'Considere um plano de coordenadas com o ponto O como origem, orientado para leste como a direção positiva do eixo x e orientado para norte como a direção positiva do eixo y.'

'O gráfico da função quadrática y = ax^2 +2ax + a + 6 (a≠0) intersecta o eixo x em dois pontos P e Q, e o comprimento do segmento de linha PQ é 2√6. Determine o valor da constante a.'

'(1) 60°\n(2) 50°\n(3) 140°'

None

'Usando o resultado da pergunta anterior, encontre o comprimento de um lado do próximo polígono regular inscrito em um círculo com um raio de 10. Além disso, encontre o comprimento da perpendicular traçada do centro O do círculo a um lado do polígono regular. Você pode usar tabelas trigonométricas. Arredonde o resultado para duas casas decimais.'

'Na figura dada, encontre o valor de x. Aqui, PT é a tangente ao círculo, e T é o ponto de contato.'

'PRÁTICA 4 (3) Em △ABC, BC=a, CA=b, AB=c, o raio do círculo circunscrito é 3 e a área é S. Neste caso, S=□ABc. As opções de resposta são (0) 1/2 (1) 1/3 (2) 1/6 (3) 1/8 (4) 1/12'

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'(1) No triângulo ABC, se a=1, b=√3, e A=30°, encontre os comprimentos do lado restante e o tamanho do ângulo.'

'Encontre a área do quadrilátero ABCD, onde 77^{3} AB =5, BC=6, CD=5, DA=3, e ∠ADC=120^{\\circ}.'

'Dentro do ângulo XOY, há um ponto A tal que ∠XOA=30° e OA=3. Quando os pontos P e Q são tomados em OX e OY, respectivamente, encontre o valor mínimo de AP+PQ+QA.'

'Num piso retangular de 2m 40cm por 3m 72cm, você deseja colocar azulejos quadrados de lado a cm sem nenhum intervalo. Encontre o valor máximo de a. Além disso, determine a quantidade de azulejos que podem ser colocados.'

'Explique os problemas relacionados aos lados e ângulos de um triângulo e prove os seguintes teoremas:\n1. A soma dos comprimentos de quaisquer dois lados de um triângulo é maior que o comprimento do terceiro lado.\n2. A diferença entre os comprimentos de quaisquer dois lados de um triângulo é menor que o comprimento do terceiro lado.'

'ângulo entre duas linhas'

"Prove que quando um círculo O passa pela corda comum AB de dois círculos que se cruzam O e O' e a corda CD do círculo O e a corda EF do círculo O', os quatro pontos C, D, E, F são cíclicos. É dado que os quatro pontos C, D, E, F não são colineares."

'No triângulo △ABC, onde o raio da circunferência circunscrita é R. Encontre o seguinte: (1) quando a=10, A=30°, B=45°, encontre C, b, R (2) quando b=3, B=60°, C=75°, encontre A, a, R (3) quando c=2, R=√2, encontre C'

'Triângulo isósceles de 74 graus, o valor máximo é 32'

'(1) Qual dos seguintes quadriláteros está inscrito em um círculo?\n(2) No triângulo acutângulo ABC, o ponto D é colocado na lateral BC (diferente de B e C), e perpendiculares DE e DF são desenhadas a partir do ponto D para os lados AB e AC, respectivamente. Prove que o quadrilátero AEDF está inscrito em um círculo.'

'Em uma cidade onde as estradas são como um tabuleiro de xadrez, encontre o caminho mais curto do ponto A para o ponto B.\n(1) Quantas rotas possíveis existem?\n(2) Quantas das rotas passam pelo ponto C a partir do (1)?\n(3) Quantas das rotas do (1) não passam pelo ponto C?'

'Explicação usando a condição de um quadrilátero inscrito em um círculo\n(1) Qual dos quadriláteros certos ABCD pode ser inscrito em um círculo?\n(2) Existe um quadrilátero inscrito em um círculo ABCD, e uma linha paralela ao lado AD intersecciona os lados AB, DC nos pontos E, F respectivamente. Prove que o quadrilátero BCFE também está inscrito no círculo.'

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'Encontre as equações da parábola quando a parábola dada no exemplo (1) é movida simetricamente em torno do eixo (1) (2) em relação à origem.'

'■Circuncentro…Ponto de interseção das bissetrizes perpendiculares dos lados de um triângulo\nEnsino médio\nBissetriz perpendicular de um segmento de linha\nPonto P está na bissetriz perpendicular do segmento de linha AB ⇔ PA=PB\nNa mesma linha\nEm outras palavras\n“A bissetriz perpendicular do segmento de linha AB é uma coleção de pontos equidistantes dos pontos A e B”'

'Quantos triângulos podem ser formados conectando 3 vértices de um pentágono regular? Quantos desses triângulos compartilham 2 lados com o pentágono regular? (2) Quantos segmentos de linha podem ser formados conectando 2 vértices de um pentágono regular?'

'O ponto P está na semicircunferência com um raio de √5, então OP = √5\nNo triângulo retângulo OPQ, OQ² + 2² = (√5)², portanto OQ² = 1 e OQ = 1\nPortanto, as coordenadas do ponto P são (-1,2)\n\nPortanto, sin θ = 2/√5, cos θ = -1/√5, tan θ = 2/-1 = -2'

'Quando a soma dos comprimentos dos dois lados que formam um triângulo retângulo é 16, qual é a forma que maximiza a área do triângulo? Também determinar o valor máximo.'

'Resumo da determinação da forma de um triângulo'

'No tetraedro ABCD com comprimento lateral 4, deixe M ser o ponto médio do lado CD e deixe o ângulo AMB ser θ'

'Um ângulo ∠XOY=30° com um ponto A onde OA=3 dentro do ângulo. Pontos P e Q são tomados em OX e OY respectivamente. Encontre o valor mínimo de AP+PQ+QA.'

"Na figura à direita, os dois círculos O e O' são tangentes externamente. A e B são os pontos onde a tangente comum dos círculos O e O' intersecta os círculos. Se os raios dos círculos O e O' são respectivamente 6 e 4, encontre o comprimento do segmento AB."

'No triângulo 128 (3), quando á=√6+√2, b=2, e C=45°, encontre o comprimento do lado restante e o tamanho do ângulo.'

'Há um quadrilátero ABCD inscrito em um círculo com raio TR, onde os comprimentos dos lados são AB=√7, BC=2√7, CD=√3 e 141DA=2√3. Encontrar: (1) o valor de cos B (2) o comprimento da diagonal AC (3) a área S do quadrilátero ABCD'

'Existem 4 estradas que correm de leste a oeste e 4 estradas que correm de norte a sul. Quantos caminhos mais curtos existem para os seguintes destinos: (1) De ponto A a ponto B. (2) Do ponto A, passando pelos pontos C e D, até o ponto B. (3) Dos caminhos mais curtos do ponto A ao ponto B, aqueles que passam por pelo menos um dos pontos C ou D.'

'Uma parábola y = x² e um círculo x² + (y - 5/4)² = 1 tocam em dois pontos diferentes. Encontre a área S da região delimitada pelo arco mais curto do círculo com os dois pontos de tangência como pontos finais e a parábola.'

'(1) Distância entre o ponto A e a reta BC\n(2) Área do triângulo ABC'

'Dada a curva y=9-x^2 que intersecta o eixo x nos pontos A e B, e um trapézio ABCD está inscrito na região cercada pela curva e o segmento de linha AB. Encontre a área máxima deste trapézio. Além disso, determine as coordenadas do ponto C nesse momento.'

'Encontre o comprimento do arco e a área do seguinte setor:'

'Exemplo básico 69 Coordenadas do baricentro de um triângulo'

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'Encontre a área do triângulo com os vértices O(0,0), A(x1, y1), e B(x2, y2).'

'Encontre a equação de um círculo que passa pelo ponto (4,2) e é tangente ao eixo x e y.'

'Encontre a distância entre dois pontos A(a) e B(b) em uma reta numérica.'

'Encontre as coordenadas do ponto Q após girar o ponto P(4, 2√3) em torno da origem por π/6.'

'Encontre as coordenadas dos seguintes pontos: (5, 1), (9, 5), (3, 9)'

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'Seja a uma constante que satisfaz a > 1. Há um ponto M(2, -1) no plano de coordenadas. Para um ponto P(s, t) diferente de M, o ponto Q é tomado de forma que os três pontos M, P, Q sejam colineares nessa ordem e o comprimento do segmento MQ seja a vezes o comprimento do segmento MP.'

'Considere um círculo com raio r e centro C, e uma reta ℓ com distância d de C. Determine o relacionamento de posição entre o círculo e a reta com base na relação entre d e r.'

'Qual será a forma dos pontos de interseção P(x, y) das duas retas l: tx-y=t e m: x+ty=2t+1 à medida que t varia em valores reais? Encontre suas equações e trace um gráfico.'

'Quando a linha (3) compartilha um ponto com a região D, a inclinação m é maximizada quando a linha é tangente ao círculo C. Calcule a inclinação máxima m neste ponto.'

'Encontre a equação dos seguintes círculos.'

'Distância entre um ponto e uma reta'

'Encontre as coordenadas de um ponto equidistante dos três pontos A(1,5), B(0,2) e C(-1,3).'

'Que desigualdade representa a área sombreada na figura? Excluir a linha de fronteira.'

'Considere dois pontos A(-1,2) e B(4,2) no plano de coordenadas. Seja t um número real tal que 0 < t < 1. O ponto P divide o segmento de reta OA na proporção t:(1-t) e o ponto Q divide o segmento de reta OB na proporção (1-t):t. Encontre o comprimento mínimo do segmento de reta PQ e o valor correspondente de t.'

'Encontre a equação de uma reta tangente ao círculo x^2+y^2=8 e perpendicular à linha 7x+y=0.'

'Quando a linha com inclinação -1 intersecta a região D, e o círculo com centro (3,2) tem uma distância para a linha menor ou igual ao raio 1. Encontre o valor máximo de n nesse caso.'

'Passando pelo ponto A(3,1), deixe P e Q serem os pontos de contato das duas retas tangentes que tocam o círculo x^{2}+y^{2}=5. Encontre a equação da reta PQ.'

'Para os círculos \\( (x-5)^{2}+y^{2}=1 \\) e \ x^{2}+y^{2}=4 \, descubra: (1) Quantas tangentes comuns têm os dois círculos? (2) Determine as equações de todas as tangentes comuns para os dois círculos.'

'Encontre a faixa de constante k, de modo que o círculo x ^ 2 + y ^ 2 - 4x - 6y + 9 = 0 (1) e a linha y = kx + 2 tenham um ponto em comum.'

'O círculo e a linha dados têm algum ponto em comum? Se sim, encontre as coordenadas desse ponto.'

'Dado o raio e o raio representando um ângulo, seja P o ponto de interseção com um círculo de raio r.'

'Reduza o ângulo de 42140° para um ângulo no círculo unitário em posição padrão.'

'O centróide do triângulo formado pelo ponto móvel de distância 2 a partir da origem com os pontos fixos (5,0) e (0,3) está na curva x^{2}+y^{2}-Ax-By+C=0.'

'Encontre as seguintes coordenadas: (\x0crac{3}{14}, 0) e (0,-\x0crac{3}{4}).'

'Para que o triângulo ABC com vértices A(1,1), B(2,4) e C(a, 0) seja um triângulo retângulo, encontre o valor de a.'

'Formas e Equações\nPara os três pontos A(0,0), B(2,5), C(6,0), encontre as coordenadas do ponto P quando PA² + PB² + PC² é minimizado.'

'Encontre a equação da reta tangente ao círculo no ponto A (4,6) no círculo x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0.'

'No plano de coordenadas, encontre as equações das duas retas que passam pelo ponto (-2, -2) e são tangentes à parábola y=1/4 x^{2}.'

'Quando as 3 linhas 2x-y-1=0, 3x+2y-2=0, y=1/2x+k se intersectam no ponto A, qual é o valor de k e quais são as coordenadas do ponto A?'

'Encontre a situação dos três pontos A(-2, -2), B(2, 6), C(5, -3) no plano de coordenadas.\n(1) Encontre a equação do bissetor perpendicular do segmento AB.\n(2) Encontre as coordenadas do circuncentro do triângulo ABC.'

'Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (7,1) e é tangente ao círculo x^2+y^2=25, e encontre as coordenadas do ponto de tangência.'

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'Encontre a equação de um círculo com seu centro na reta y = -4x + 5 e tangente tanto ao eixo x quanto ao eixo y.'

'Encontre a equação do círculo que passa pelos pontos (4, -1), (6, 3) e (-3, 0).'

'Investigue a forma do triângulo ABC com vértices A(2a, a+√3a), B(3a, a), C(4a, a+√3a). Aqui, a>0.'

'Encontre as coordenadas do ponto que divide o segmento de linha AB entre os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) internamente na razão m:n.'

'Encontre a equação da reta tangente no ponto dado no círculo dado.'

'Encontre as coordenadas do vértice restante D do paralelogramo com os vértices A(4,5), B(6,7), C(7,3).'

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'Na reta numérica, existem 3 pontos A(3), B(-3), C(5). O ponto D divide o segmento da linha AB internamente na proporção 2:1, o ponto E divide o segmento da linha AC externamente na proporção 3:1, encontre as coordenadas do ponto que divide o segmento de linha DE internamente na proporção 3:4.'

'Seja n ≥ 2. Existem n círculos em um plano, onde nenhum par de círculos se intersecta e três ou mais círculos não se intersectam no mesmo ponto. Quantos pontos de interseção são formados por esses círculos?'

'Encontre o comprimento do segmento de linha AB onde A e B são os pontos de interseção da parábola y=x^{2} (1) e da reta y=x+3(2).'

'Por outro lado, o ponto P(x, y) na reta x+y=2 satisfaz AP^2-BP^2=4. Portanto, a trajetória requerida é a linha x+y=2.'

'Encontre o comprimento do arco e a área.\n(1) Raio é 10 com ângulo π/5\n(2) Raio é 3 com ângulo 15°'

'Encontre as coordenadas do vértice restante D de um paralelogramo com vértices A(5,-1), B(3,3) e C(-1,-3).'

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'Encontre a loca dos pontos P que satisfazem as seguintes condições:\n(1) Pontos P equidistantes dos pontos O(0,0) e A(3,2)\n(2) Pontos P tal que o ângulo OPA = 90 graus, onde O(0,0) e A(6,0)\n(3) Pontos P tal que AP^2 - BP^2 = 4, onde A(3,2) e B(1,0)'

'Existem n círculos em um plano, onde quaisquer dois círculos se cruzam, e não há três ou mais círculos que cruzam no mesmo ponto. Em quantas partes esses círculos dividem o plano?'

'Encontre a distância entre os seguintes dois pontos: (1) A(-3), B(2) (2) A(-2), B(-5)'

'Portanto, as coordenadas do ponto C são $\\mathrm{C}\\left(-\\frac{2}{3}, \\frac{1}{3}\\right)$, e assim $\\mathrm{BC}=\\sqrt{\\left(-\\frac{2}{3}-\\frac{4}{3}\\right)^{2}+\\left\\{\\frac{1}{3}-\\left(-\\frac{2}{3}\\right)\\right\\}^{2}}=\\sqrt{5}$. Além disso, a distância entre o ponto A e a linha (3) é $\\frac{\\left|\\frac{1}{3}+2 \\cdot \\frac{4}{3}\\right|}{\\sqrt{1^{2}+2^{2}}} = \\frac{3}{\\sqrt{5}}$. Portanto, a área do triângulo que procuramos é $\\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{2} \\cdot \\sqrt{5} \\cdot \\frac{3}{\\sqrt{5}} = \\frac{3}{2}$.'

'No plano xy, considerando as retas l: x+t(y-3)=0 e m: tx-(y+3)=0 à medida que t varia sobre todos os números reais, que tipo de forma os pontos de interseção das retas l e m formam? [Gifu]'

'Sobre o triângulo ABC com vértices A(1,1), B(2,4), e C(a,0)'

'Represente graficamente as seguintes equações que representam linhas no plano de coordenadas.'

'Encontre a equação da reta tangente que satisfaça as seguintes condições.'

'Capítulo 3: Formas e Equações'

'Dadas três vértices A(4,5), B(6,7), C(7,3) de um paralelogramo, encontre as coordenadas do vértice restante D.'

'Determine a forma do triângulo ABC com vértices em A(2a, a+√3a), B(3a, a), e C(4a, a+√3a). Assuma que a>0.'

'Que tipo de triângulo é o triângulo ABC com vértices A(1, -1), B(4, 1) e C(-1, 2)?'

'Encontre as coordenadas do ponto $Q$ que é simétrico ao ponto $P(3,2)$ em relação à reta $\\ell: x+y+1=0$.'

'Questão 84'

'Encontre a equação do círculo PR. (1) Passando pelos pontos (0,2), (-1,1) e com o centro na reta y=2x-8.'

'Encontre as condições para a forma geral de uma equação de círculo x^{2}+y^{2}+l x+m y+n=0 representar um círculo. Também encontre o centro e o raio.'

'Encontre as equações dos seguintes círculos'

'Encontre as coordenadas dos seguintes pontos. (1) Ponto que divide o segmento de linha 3:1 internamente (2) Ponto que divide o segmento de linha 3:1 externamente (3) Ponto que divide o segmento de linha 1:3 externamente (4) Ponto médio'

'Quando os pontos A(a,-2), B(3,2), C(-1,4) são colineares, encontre o valor da constante a.'

'Encontre a tangente em um ponto na circunferência de um círculo.'

'Para os pontos A(7,6), B(-3,1) e C(8,1) no PR 3, seja P o ponto médio de BC, Q o ponto que divide CA externamente na proporção 3:2 e R o ponto que divide AB internamente na proporção 3:2. Encontre as coordenadas do baricentro do triângulo PQR.'

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'Encontre o valor máximo de k, de modo que a condição x^{2}+y^{2} ≤ 1 implica 3 x+y ≥ k.'

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'Encontre as equações de 4 retas.'

'Encontre a trajetória dos pontos P que satisfazem as seguintes condições:'

'Encontre a escala do ponto médio do segmento de linha que conecta o ponto 4 na escala e o ponto 9 na escala.'

'(1) No plano de coordenadas, encontre todas as equações das retas que são paralelas à reta y=-2x e a uma distância de √5 da origem. [Universidade de Tóquio Denki] (2) Encontre a distância entre as retas paralelas 2x-3y=1 e 2x-3y=-6.'

'Trace as regiões representadas pelas seguintes desigualdades.'

'Encontre as condições de a e b para que a reta y = ax + b tenha um ponto em comum com o segmento de linha conectando dois pontos A(-1,5) e B(2,-1), e plotá-lo no plano ab.'

'Encontre todos os valores de a que dividem o plano em 6 partes.'

'Encontre as coordenadas dos dois pontos de interseção dos dois círculos x^2 + y^2 = 10 e x^2 + y^2 - 2x + 6y + 2 = 0.'

'1. Encontre a equação de um círculo com centro em (0,0) e raio √2.'

'Encontre a equação do círculo que tem centro em (1,1) e é tangente à reta 4x+3y-12=0.'

'No plano de coordenadas, supondo que A seja o ponto (-3,2) e B seja o ponto (4,0). Encontre as coordenadas dos pontos que estão equidistantes do eixo x e do eixo y, respectivamente.'

'Encontre as coordenadas do ponto que divide externamente o ponto A (x1, y1) e o ponto B (x2, y2). A razão de divisão externa é m:n.'

'Encontre a equação de um círculo que passa pelo ponto (2,3), é tangente ao eixo y e tem seu centro na reta y=x+2.'

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'Determine o número de pontos de interseção entre uma reta e um círculo na geometria e equações.'

'Encontre as equações dos círculos seguintes:'

'Problema de descrição sobre as linhas polares de um círculo em relação ao ponto A. Dado um ponto A(p, q) fora do círculo x^2+y^2=r^2, encontrar a equação da linha β que passa pelas tangentes P, Q dos dois raios traçados do ponto A para o círculo. Usando a equação p x+q y=r^2, prove que a linha polar do ponto A que passa por outro ponto B implica que a linha polar do ponto B passa pelo ponto A.'

'Seja S a área de um pentágono regular inscrito em um círculo de raio 1'

'No tetraedro regular OABC com comprimento lateral a, os pontos P, Q, R são tomados nas arestas AB, BC e OC, respectivamente. Começando do vértice O, passando pelos pontos P, Q, R em sequência, qual é o comprimento do caminho mais curto até o vértice A?'

'No quadrilátero ABCD, AB=4, BC=5, CD=t, DA=3-t (0<t<3). Além disso, assume-se que o quadrilátero ABCD possui um círculo circunscrito.'

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