Geometria Plana - Provas Geométricas

'Dado que ambos os lados são positivos, ao elevar ao quadrado obtemos (mb+1)² = m²+1. Portanto, m{(b²-1)m+2b}=0. Como m≠0, m=2b/(1-b²). Assim, a equação da reta QR é y=2b/(1-b²)(x-b).'

'[1] Quando b ≠ 1, a equação da reta QR é, com a inclinação m, y=m(x-b), que é equivalente a mx-y-mb=0'

'O procedimento para encontrar uma trajetória [1] Representar as coordenadas de qualquer ponto na trajetória como (x, y), e expressar as condições dadas em termos de x, y. [2] Derivar a equação da trajetória e determinar a forma geométrica representada por essa equação. [3] Verificar se qualquer ponto na forma geométrica satisfaz as condições. Excluir quaisquer pontos na forma que não satisfaçam as condições.'

'(2) Seja o ponto P(x, y), uma vez que AP=BP implica AP^2=BP^2,\n{% raw %}\\((x-9)^{2}+(y-10)^{2}={(x-(-5))}^{2}+(y-8)^{2}{% endraw %}\nAlém disso, uma vez que AP=CP implica AP^2=CP^2,\n{% raw %}\\((x-9)^{2}+(y-10)^{2}={(x-(-7))}^{2}+(y-2)^{2}{% endraw %}\nResolvendo isso, temos P(3, 2)'

'Considere uma solução alternativa, ou seja, quando o ponto B está fixo, o triângulo ABD está fixo, então só precisamos considerar o caso em que a área do triângulo BCD é máxima.'

'A tangente requerida passa pelo ponto A e não é perpendicular ao eixo x, então pode ser expressa como y=m(x-6)+8, o que equivale a mx-y-6m+8=0.'

'Exemplo importante 179 Igualdade de áreas e determinação de funções\nEncontre o valor da constante m para o qual as áreas de duas figuras cercadas pela curva y=x^{3}-6 x^{2}+9 x e pela reta y=m x são iguais. Aqui, 0<m<9.'

'Geralmente, a curva $f(x, y)=0$ divide o plano de coordenadas em várias regiões (blocos). Quando $f(x, y)$ é um polinômio em $x, y$, o sinal de $f(x, y)$ permanece constante dentro dos blocos divididos.'

'Seja m um número real. Seja A, B os pontos de interseção da parábola y=x^{2} e da reta y=mx+1 no plano de coordenadas, e O seja a origem.'

'Encontre a trajetória do ponto P onde a soma dos quadrados das distâncias de pontos fixos A e B é um valor constante k. Assuma que k é maior que 0.'

'Seja a reta que passa pelo ponto P denotada por ℓ, que intersecta a curva C em três pontos distintos, com coordenadas-x dos pontos de interseção sendo α, β, γ (α<β<γ). Prove que quando as áreas das duas regiões delimitadas pela reta ℓ e pela curva C são iguais, a reta ℓ passa pelo ponto de origem.'

'Encontre a trajetória dos pontos P que satisfazem a condição onde a diferença entre os quadrados das distâncias dos pontos fixos A e B é um valor constante k. Assumindo k > 0.'

'266 Problema de matemática 182 => este livro p. 333\n(1) A equação da linha AP é\n\ny = -3px + 3p\n\nA coordenada x da interseção da linha e da parábola é dada por -3px + 3p = -3x^2 + 3.\nResolvendo, obtemos x^2 - px + p - 1 = 0\nPortanto, (x - 1)(x - (p - 1)) = 0\nAssim, x = 1, p - 1\nA condição para o segmento de linha AP e C compartilharem um ponto Q diferente de A é que a coordenada x de Q seja p - 1.\n\n*Portanto*\n0 ≤ p - 1 < 1\n1 ≤ p < 2'

'Encontre o comprimento da corda cortada pela linha y = -x + 6 no círculo x^2 + y^2 = 25 para a corda de 53 ienes dada.'

'Seja t um número real positivo. No plano xy, existem dois pontos P(t, t^{2}) e Q(-t, t^{2} + 1), e uma parábola C: y=x^{2}. Seja f(t) a área da região delimitada pela linha PQ e pela curva C. Encontre o valor mínimo de f(t) e o valor correspondente de t.'

'A trajetória dos pontos que satisfazem as condições dadas ao se mover forma uma forma, que é chamada de trajetória dos pontos que satisfazem as condições dadas. Para demonstrar que a trajetória dos pontos P que satisfazem as condições dadas é a forma F, é necessário provar duas coisas: 1. Qualquer ponto P que satisfaça as condições dadas está na forma F. 2. Qualquer ponto P na forma F satisfaz as condições dadas.'

'Na parábola y=x^2 que se move no plano xy, dois pontos A e B e a origem O são conectados por um segmento de linha para formar o triângulo AOB, onde ∠AOB=90°. Encontre a trajetória do centroide G do triângulo AOB.'

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'Exemplo 51 | Área máxima e mínima de um triângulo Para 0 < a < sqrt{3}, existem três linhas: l: y = 1-x, m: y = sqrt{3}x + 1, n: y = ax. Seja A a interseção de l e m, B a interseção de m e n, e C a interseção de n e l. Encontre o valor de a que minimiza a área S do triângulo ABC. Além disso, encontre o valor de S nesse momento.'

'A linha AC é perpendicular a l, então (q-1)/(p-7) * 1/2 = -1'

'Pratique (64 => Livro p.138) (1) Deixe a > 0, e defina o eixo de coordenadas para que A(-a, 0), B(a, 0). Deixe as coordenadas do ponto P serem (x, y), a condição dada é AP^2 + BP^2 = k, portanto, {(x+a)^2+y^2} + {(x-a)^2+y^2} = k, 4x=1 é a tangente interna comum, Capítulo 3 Prática de Equações de Geometria'

'(2) Quando o triângulo PAB é formado, o ponto P não está na linha AB. A equação da linha AB é y=-x+2. Eliminando y dessa equação e de y=x^2, resolvemos para obter x=1,-2. Portanto, para formar o triângulo PAB, é necessário que s≠1, s≠-2. Sejam as coordenadas de R (x, y). Dado que R é o centroide do triângulo PAB, temos x=\\frac{s+3+0}{3} e y=\\frac{t-1+2}{3}, o que leva a s=3x-3, t=3y-1. Substituindo em (1) obtemos 3y-1=(3x-3)^2, ou seja, y=3(x-1)^2+\\frac{1}{3}. A partir de (3) e (4) temos que x≠\\frac{4}{3}, x≠\\frac{1}{3}. Portanto, a trajetória desejada é a parábola y=3(x-1)^2+\\frac{1}{3}, exceto pelos pontos (\\frac{4}{3}, \\frac{2}{3}) e (\\frac{1}{3}, \\frac{5}{3}).'

'Quando duas tangentes podem ser traçadas do ponto P para a parábola y = \x0crac{1}{2} x^2$, chamemos os dois pontos de contacto de A e B, e a área cercada pelos segmentos PA, PB e a parábola de S. Encontre o valor mínimo de S quando PA e PB são perpendiculares entre si.'

'Problemas de aplicação em geometria'

'Exemplo Importante 182 Área Máxima e Mínima (3)\nQuando a curva y = | x ^ 2-x | e a reta y = mx têm três pontos de interseção diferentes, encontre o valor de m no qual a soma das áreas das duas partes cercadas por essa curva e reta, S, é minimizada.\n[Pergunta semelhante Universidade de Yamagata] <Exemplo 169'

'Intervalo de passagem de pontos e curvas \ a, b \ como números reais. A parábola no plano de coordenadas é a parábola \ C: y=x^{2}+a x+b \ tendo a parábola \ y=-x^{2} \ e dois pontos compartilhados, um dos pontos compartilhados com coordenada \ x \ satisfazendo \ -1<x<0 \, e o outro ponto compartilhado com coordenada \ x \ satisfazendo \ 0<x<1 \. (1) Trace o intervalo possível do ponto \\( (a, b) \\) no plano de coordenadas. (2) Trace o intervalo possível da parábola \ C \ no plano de coordenadas. [Univ. de Tóquio]'

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'Seja a uma constante positiva. Prove que a área contida pela reta tangente em qualquer ponto P na parábola y=x^{2}+a e a parábola y=x^{2} é constante independentemente da posição do ponto P, e encontre o valor dessa constante.'

'Encontre as coordenadas do ponto Q que é simétrico ao ponto P(3,7) em relação ao ponto A(-2,-3).'

'Encontre a trajetória do ponto P de modo que a razão das distâncias dos pontos A(-4,0) e B(2,0) até o ponto P seja 2:1.'

'Traduzir o texto dado em múltiplos idiomas.'

'Encontre a equação da reta que bissecta perpendicularmente o segmento de reta que une os pontos A(0,6) e B(4,4).'

'O ponto P está na reta \ y=-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} x+\\frac{5}{2} \, então vamos considerar suas coordenadas como \\( \\left(t,-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} t+\\frac{5}{2}\\right) \\), onde t>0\nDe acordo com \\( \\mathrm{RP}^{2}=(t-\\sqrt{2})^{2}+\\left(-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} t+\\frac{1}{2}\\right)^{2}=\\frac{9}{8}(t-\\sqrt{2})^{2} \\),\n\ \\mathrm{RP}=\\mathrm{PQ} \ implica \ \\mathrm{RP}^{2}=\\mathrm{PQ}^{2} \, logo\n\\( \\frac{9}{8}(t-\\sqrt{2})^{2}=\\left(-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} t+\\frac{5}{2}\\right)^{2} \\)\nSimplificando, obtemos\n\ t^{2}-\\sqrt{2} t-4=0 \\nResolvendo isso, obtemos t=2 \\sqrt{2},-\\sqrt{2} t>0, então t=2 \\sqrt{2}\nPortanto, as coordenadas do ponto P são \2 \\sqrt{2}, \\frac{3}{2}\\n\\( \\triangle \\mathrm{PQR}=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3}{2}(2 \\sqrt{2}-\\sqrt{2})=\\frac{3 \\sqrt{2}}{4} \\)'

'Usando a distância entre um ponto e uma linha'

'No triângulo ABC, deixe D ser o ponto que divide o lado BC na proporção 1:2. Prove que: 2AB² + AC² = 3AD² + 6BD².'

'A região D representada pelas inequações simultâneas (1) a (4) é a parte sombreada no diagrama. A região D inclui as linhas de fronteira. Seja k a quantidade total de produção, então x+y=k. A inequação (5) representa uma linha com uma inclinação de -1 e uma interseção y de k. Para encontrar o valor máximo de k quando essa linha (5) intercepta com a região D, podemos determinar que quando a linha (5) passa pelo ponto (10,4), o valor de k é maximizado. Nesse caso, k=10+4=14, portanto, a quantidade total máxima de produção é de 14 unidades.'

'Prove que as três perpendiculares traçadas a partir dos três vértices do triângulo ABC para os lados opostos ou suas extensões se intersectam em um ponto.'

'Encontre o lugar geométrico de um ponto P que está a equidistância dos pontos A(-1,-2) e B(-3,2).'

'Prove as seguintes desigualdades. Além disso, determine quando a igualdade é verdadeira.'

'Equação de uma reta que passa pela interseção de duas retas'

'No diagrama E, os dois triângulos com linhas inclinadas são congruentes, então a soma dos ângulos a e b é 90 graus. Portanto, o ângulo RPQ também é de 90 graus, então o triângulo PQR é um triângulo retângulo isósceles. Assim, a soma dos ângulos x e y no diagrama W é 45 ✕ 2 = 90 graus.'

'Das figuras 2, 3 e 4, selecione todas as frases corretas para descrever o clima na região de Kanto e responda com símbolos.'

'A figura 7 é um diagrama visto de cima mostrando Tetsuo estendendo sua mão direita em direção a um espelho. Ao ficar em pé para alinhar a linha que conecta o olho direito, olho esquerdo e a ponta da mão direita H paralela ao espelho, considere observar a ponta refletida da mão H no espelho. Marque o ponto R na superfície do espelho para que H coincida com a imagem refletida ao olhar para o espelho apenas com o olho direito, e marque o ponto L de maneira semelhante ao olhar para o espelho apenas com o olho esquerdo. (1) Desenhe os pontos R e L no diagrama na folha de respostas sem apagar as linhas usadas para desenhar. (2) Depois de marcar R e L na superfície do espelho, dê um passo mais perto do espelho perpendicularmente ao espelho (direção da seta) mantendo a mesma postura para observar a ponta refletida da mão H. Quando olhando para o espelho apenas com o olho direito, como o H refletido aparece em relação ao ponto R? Escolha a resposta mais apropriada. Da mesma forma, ao olhar para o espelho apenas com o olho esquerdo, como o H refletido aparece em relação ao ponto L? Escolha a opção mais apropriada e responda.'

"(6) A escala vernier do paquímetro na Figura 6, como em (1), tem um intervalo mínimo de 1,95 mm. Na Figura 6, a linha da escala correspondente a P na Figura 3 está ligeiramente além dos 20 mm da escala principal (correspondente à posição P' na Figura 3). Além disso, onde Q corresponde à Figura 3, a escala vernier lê 3,5 e a escala principal lê 34 mm. Por um raciocínio semelhante ao de (4), o comprimento de PP' é calculado como 34 - 20 - 1,95 × 3,5 × 2 = 0,35 mm. Portanto, o diâmetro do botão é determinado como 20 + 0,35 = 20,35 mm."

'Escolha a resposta correta para a direção da linha desenhada no bloco B e o ângulo em que o bloco B girou, e forneça o símbolo. No diagrama, a linha tracejada representa a direção da linha original do bloco e o arco de linha dupla representa o ângulo de rotação do bloco B.'

'Para as seguintes declarações sobre o item 11k, X e Y, escolha a combinação correta de verdadeiro e falso nas opções abaixo e responda com o número correspondente.'

'Problema sobre o alongamento de uma barra de metal e sua medição.'

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'Realizamos um experimento sobre a geração e propriedades da amônia. Responda a cada uma das seguintes perguntas.'

'A partir da forma como o gráfico se dobra no texto, ao desenhar o gráfico de C na Fig. 3, pode-se ver que ele forma uma linha pontilhada grossa. A partir da Fig. 3, pode-se compreender que a combinação de (maior, menor) em relação ao comprimento antes de acender é (B, A). Além disso, a partir da inclinação do gráfico, a combinação de (maior, menor) para o comprimento que queima em um minuto é encontrada em (C, A). Portanto, ① é (ウ), e ② é (オ).'

'No diagrama à direita, quando é colocada uma cor azul na posição a, não é possível colocar azul na posição 1 <wide> (3). Portanto, quando o azul é colocado na posição b, não pode ser colocado nas posições (4) a (6). Da mesma forma, ao considerar mais adiante, é possível colocar azul nas posições c→d→e→f, e é possível ver que no máximo 6 azuis podem ser colocados. A partir deste estado, é possível mover o azul da posição b para a posição (5), e ao mesmo tempo, também é possível mover o azul da posição a para a posição (2). Em outras palavras, entre os 4 azuis na coluna I, existem 3 maneiras de tornar 2 deles azuis, ou seja, (a e b), (a e (5), (2) e (5)). O mesmo se aplica à coluna I e à coluna positiva, então existe um total de 3 × 3 × 3 = 27 maneiras de colocar 6 azuis. Além disso, em todos os casos, há 2 possibilidades para o padrão restante, então o total é calculado como 27 × 2 = 54 maneiras.'

'Problema sobre a propagação da luz'

'Para desenhar a figura plana 1, na linha estendida de OD por um comprimento de (1) na figura(1), pegue o ponto L de modo que O D seja igual a DL, desenhe o bissectrix perpendicular de OL. Para isso, pegue o ponto M no lado esquerdo de OL de modo que OM seja igual a LM, e o ponto N no lado direito de OL de modo que ON seja igual a LN, e conecte M e N. Em seguida, conecte os pontos P e D, e desenhe o bisectriz perpendicular de PD. Para isso, pegue o ponto Q no lado esquerdo de PD de modo que PQ seja igual a DQ, e o ponto R no lado direito de PD de modo que PR seja igual a DR, e conecte Q e R. Além disso, permita que a interseção das linhas MN e QR seja S. Finalmente, desenhe uma parte de um círculo com centro em S passando por D e P, onde o ponto de interseção do círculo com centro em O, excluindo D, é E.'

'(1) Considere os casos das figuras A (azul no meio), B (azul nos cantos) e C (azul no meio das bordas). Em cada caso, as partes restantes só podem ser coladas de uma única maneira para garantir que não sejam iguais quando giradas. Nesta situação, se uma metade for amarela e a outra metade for vermelha, ou se uma metade for vermelha e a outra metade for amarela, pode haver dois padrões em todos os casos. Em seguida, ao considerar a localização das áreas azuis, há uma possibilidade no caso da figura A e, nos casos das figuras B e C, quando rotacionadas 90 graus, há 4 possibilidades cada. Portanto, há um total de (1+4+4)×2=18 possibilidades.'

'Considerando a parte d sublinhada, explique em 20-30 palavras as vantagens das tabuas de madeira em comparação ao papel.'

'Encontre o ângulo entre a reta $\\ell: \\frac{x-2}{4}=\\frac{y+1}{-1}=z-3$ e o plano $\\alpha: x-4 y+z=0$.'

'Prove que o incentro P(z) do triângulo OAB com vértices O(0), A(α), B(β) satisfaz a equação dada.'

'Quando o ponto P(z) se move ao longo da reta que passa por -1/2 e é perpendicular ao eixo real, que tipo de forma o ponto Q(w) representado por w=1/z desenha?'

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'Encontre a equação do plano que passa pelo ponto A(1,1,0) e é perpendicular à reta $\\frac{x-6}{3}=y-2=\\frac{1-z}{2}$.'

'No paralelogramo ABCD, seja o ponto P a divisão interna da diagonal AC na proporção 3:1 e o ponto Q a divisão interna do lado BC na proporção 2:1. Prove que os pontos D, P, Q são colineares.'

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'Descreva as condições necessárias para atender às condições colineares, convergentes e coplanares.'

'Pergunta: Prove o Teorema do Ponto Médio, que afirma que no triângulo ABC, se D e E são os pontos médios dos lados AB e AC respectivamente, então BC // DE e BC = 2DE.'

'Em coordenadas polares, permita que o ponto A(3, π) esteja em uma linha g que é perpendicular à linha inicial. Encontre a equação polar da trajetória onde a razão das distâncias do polo O e da linha g ao ponto P é constante. (A) 1:2 (B) 1:1'

'Encontre o ângulo agudo formado pelas duas retas.'

'Pratique para provar que no triângulo OAB com três pontos diferentes O(0), A(α), B(β) como vértices, o incentro do vértice O como P(z), então z satisfaz a seguinte equação.'

'Provar a condição de colinearidade.'

'Encontre a forma geométrica representada por todos os pontos $P(z)$ que satisfazem a equação $|z-\\alpha|=|z-\eta|.'

"Prova por geometria elementar para o Exemplo 123\n1. A estratégia de estender a mediana para criar um paralelogramo pode ser usada para provar o enunciado, mas requer pontos adicionais e linhas auxiliares, tornando-a menos intuitiva. Estendendo o ponto M no segmento AM de forma que AM = MH, e como EM = GM, pode ser deduzido que o quadrilátero AGHE é um paralelogramo. Portanto, AE = GH, e a partir de AB = AE, obtemos AB = GH. Além disso, AC = AG e AE // GH, levando a ∠EAG + ∠AGH = π, portanto ∠AGH = π - ∠EAG = ∠BAC. Consequentemente, ∠AGH = ∠BAC (1) - (3), e a partir de ∠AGH = ∠BAC, segue-se que o triângulo ABC ≡ triângulo GHA, então BC = AH = 2AM. Introduza o ponto B' de forma que BC // B'A, o que implica que ∠MAE = ∠GHA = ∠ABC = ∠BAB'. Assim, ∠MAB' = ∠MAE + ∠EAB' = ∠BAB' + ∠EAB' = π/2, mostrando que AE // GH e os ângulos entre os dois lados são iguais. Portanto, AM ⊥ B'A e BC // B'A levam a que AM ⊥ BC e BC // B'A."

'Exemplo Básico 121 Aplicação da Regra do Cosseno'

'Por favor, explique a versão contrária do teorema de Pitágoras.'

'(2) Prove que a equação (1 + tan^2(A/2))sin^2((B+C)/2) = 1 é verdadeira quando os tamanhos dos ângulos A, B e C do triângulo ABC são representados por A, B e C, respectivamente.'

'A partir do resultado de (2), pode-se observar que, uma vez que o ponto X divide o lado AC externamente em uma proporção específica, e o ponto Y também divide o lado AC externamente em uma proporção igual, os pontos X e Y coincidem. Portanto, podemos concluir que as três linhas AC, PQ e RS se intersectam em um único ponto.\n\nVamos confirmar isso usando um software de desenho geométrico. Independentemente das alterações feitas na forma do quadrilátero ABCD, as três linhas AC, PQ e RS se intersectarão em um único ponto. Por favor, mova as posições dos pontos P, Q, R e S no software.'

'Qual é a equação da parábola obtida ao deslocar a parábola y=2x^{2} paralelamente ao eixo x por -2 unidades e paralelamente ao eixo y por 3 unidades?'

'Em um tetraedro ABCD com BC=BD, seja AO a perpendicular do ponto A ao plano BCD. Se o ponto O estiver no bissectriz do ângulo ∠CBD no ponto E, prove que AE é perpendicular a CD.'

'Prova: Para qualquer ponto P que não esteja no triângulo ABC e em seus lados e medianas, a seguinte equação é válida: \AP^{2}+BP^{2}+CP^{2}=AG^{2}+BG^{2}+CG^{2}+3 GP^{2}\'

"Em relação à semi-reta OX a 80 graus, simétrico ao ponto A é A', e em relação à semi-reta OY, simétrico ao ponto B é B'. Deixe a interseção da linha A'B' e da semi-reta OX ser P, e a interseção da linha A'B' e da semi-reta OY ser Q."

'Prove que no triângulo ABC, se O é o circuncentro e P, Q, R são os pontos simétricos dos lados BC, CA, AB respectivamente, então O é o ortocentro do triângulo PQR.'

'Considere um cubo conforme mostrado na figura, desenhe linhas espaçadas uniformemente nas três faces adjacentes ABCD, BEFC e CFGD, e assuma que é possível mover-se ao longo dessas linhas. Em cada um dos casos a seguir, determine o número de possíveis caminhos de menor distância: (1) Ir de A para C na face ABCD (2) Ir de A para F nas faces ABCD e BEFC (3) Ir de A para F nas faces ABCD, BEFC e CFGD'

'No diagrama à direita, ao usar tintas vermelha, azul, amarela e branca para delinear claramente A, B, C e D'

'Existem dois círculos tangentes no ponto A. Quando uma tangente no ponto B em um círculo intersecta o outro círculo nos pontos C e D, prove que AB bissecta o ângulo exterior de ∠CAD.'

'Prove que as seguintes equações são válidas no triângulo ABC.'

'Por favor, explique o teorema do ângulo inscrito.'

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'Capítulo 3 Propriedades das Formas'

'Dado três pontos A, Q, B na circunferência de um círculo, e um ponto P na reta AB tal que P está do mesmo lado de Q, prove a seguinte proposição usando o método da prova por contradição: ∠APB > ∠AQB ⇒ O ponto P está dentro do círculo.'

'Construa um quadrado PQRS com base nos vértices do triângulo ABC.'

'Prove que o bissetor do ângulo no ponto A, o bissetor do ângulo de 60 graus no ponto B e o bissetor do ângulo no ponto C no triângulo ABC se intersectam em um único ponto.'

'A linha AG é o bissetor do ângulo externo BAC. Seja H o ponto na extensão do raio BA, prove a seguinte equação:'

'Dado o segmento de linha AB e o ponto P nele. Construir um triângulo retângulo ABC com AB como a hipotenusa, tomar o ponto Q no segmento AC, e o ponto R no segmento BC de modo que o quadrilátero PQCR se torne um quadrado. Desenhe o quadrado PQCR.'

'Na figura, seja E o ponto onde a bissetriz do ângulo exterior CAD do triângulo ABC, inscrito em um círculo, intersecta o círculo novamente, e seja F o ponto onde ele intersecta a extensão do lado BC. Se AE = AC, prove que BE = CF.'

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'Em um trapézio ABCD, onde PR / / BC, PR ≠ BC, deixe os pontos P e Q dividirem os lados PR e BC na proporção m: n. Prove que as retas AB, CD e PQ se intersectam em um ponto.'

'No tetraedro ABCD com BC=BD conforme mostrado na figura à direita, deixe AO ser a perpendicular do ponto A ao plano BCD. Se o ponto O está sobre o bissectriz do ângulo BE do ângulo CBD, prove que AE é perpendicular a CD.'

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'Pontos-chave de problemas envolvendo comprimentos'

'Prove que, como mostrado no diagrama à direita, para um triângulo retângulo ABC onde ∠B=90 graus, um ponto D é tomado no lado BC (com D diferente de B e C). Em seguida, um ponto E é tomado de forma que ∠ADE=90 graus e ∠DAE=∠BAC. Prove que os quatro pontos A, D, C, E estão na mesma circunferência.'

'Prove que o bissetor do ângulo A no triângulo ABC intersecta o lado BC no ponto D, dividindo BC internamente na proporção de AB:AC. Prove isso das duas seguintes maneiras:\n(1) Foque nos triângulos ABD e ECD quando uma linha paralela a AB passando pelo ponto C intersecta com a linha AD.\n(2) Foque nas áreas dos triângulos ABD e ACD ao traçar perpendiculares do ponto D para as linhas AB e AC.'

'Em relação às escolhas que não sejam 1 e 3 na referência (5). Primeiramente, uma vez que os pontos D, A, P estão na mesma linha, não podem estar no mesmo círculo. Portanto, as opções que contêm os pontos A e P não são aplicáveis. Em seguida, conforme as respostas, os quatro pontos D, A, C, E estão no mesmo círculo (diagrama superior à direita). Assim, o círculo circunscrito ao triângulo DAE deve passar pelo ponto C, portanto, não passará pelo ponto F. Portanto, a opção 3 não é aplicável. Da mesma forma, o círculo circunscrito ao triângulo DCE deve passar pelo ponto A, portanto, não passará pelo ponto F. Portanto, a opção 4 não é aplicável. Da mesma forma, ao considerar o círculo que passa pelos quatro pontos D, C, P, Q (diagrama inferior à direita), é evidente que a opção 5 também não é aplicável.'

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'Prove que a seguinte equação é válida para qualquer ponto P que não esteja nos lados, medianas, ou extensões do triângulo ABC, com o seu centroide designado por G:'

'Prove que no triângulo ABC, quando o circuncentro é O e os pontos simétricos em relação aos lados BC, CA, AB são P, Q, R respectivamente, O é o ortocentro do triângulo PQR.'

'Prove que no triângulo ABC com ∠B=90°, quando o ponto P está no lado BC, temos AB < AP < AC.'

'Exemplo Básico 67 Circuncentro e Ortocentro de um Triângulo'

'Quer colorir as regiões A, B, C, D, E no diagrama à direita. Cores diferentes devem ser usadas para regiões adjacentes, e todas as cores especificadas devem ser usadas. Quantas maneiras existem de colorir? (1) Usando 5 cores (2) Usando 4 cores (3) Usando 3 cores'

'Usando o teorema de Tales, prove que se o círculo circunscrito do triângulo ABC intersecta o bissetor do ângulo ∠BAC no ponto M, então MA = MB + MC implica AB + AC = 2BC.'

'Como mostrado na figura à direita, três pontos D, E, F são escolhidos fora do triângulo ABC de forma que os triângulos ABD, BCE e CAF formem cada um um triângulo equilátero.'

'No trapézio ABCD onde AD // BC, deixe os pontos P e Q serem onde os lados BC e DA são divididos internamente na razão m:n. Prove que as retas AC, BD e PQ se intersectam em um único ponto.'

'Dado um triângulo retângulo ABC com ∠A=90°, construa triângulos equiláteros BAD e ACE no exterior. Seja P a interseção dos segmentos CD e BE. Prove que os pontos C, E, A, P estão na mesma circunferência.'

'Encontre o número total de caminhos que satisfazem as seguintes condições para o caminho mais curto do ponto P para o ponto Q no lado direito do diagrama PR:'

'Utilizando diagramas de árvore'

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{'title': 'Portuguese', 'type': 'string'}

'Usando o teorema de Menelau, prove o seguinte quando os lados BC, CA, AB do triângulo ABC ou suas extensões se cruzam com uma linha l que não passa pelos vértices do triângulo nos pontos P, Q, R, respectivamente.'

'Vamos pensar sobre um problema relacionado às propriedades das formas geométricas. Ao usar as propriedades das formas a seguir, iremos fornecer uma prova para o problema especificado.'

'Exemplo Básico 82 O Inverso do Teorema do Círculo\nNo diagrama à direita, L, M, N são pontos médios dos lados \ \\mathrm{AB}, \\mathrm{BC}, \\mathrm{AD} \ do quadrilátero \ \\mathrm{ABCD} \ inscrito em um círculo. Além disso, a interseção da linha ML e da linha DA é P, e a interseção da linha NL e da linha CB é Q. Prova que estes 4 pontos M, N, P, Q estão na mesma circunferência.'

'No triângulo ABC, se o incentro I é simétrico em relação aos lados BC, CA e AB e denotado como P, Q, R respectivamente, que tipo de ponto é I em relação ao triângulo PQR?'

'Bissetriz perpendicular: O ponto P está sobre a bissetriz perpendicular do segmento de reta AB. \ \\Leftrightarrow \ O ponto P está equidistante dos pontos A e B.'

'Prove que os comprimentos das duas tangentes desenhadas a um círculo a partir de um ponto fora do círculo são iguais.'

'Prove que o triângulo ABC é equilátero se o baricentro e ortocentro coincidirem.'

'Dado o triângulo ABC conforme mostrado à direita. Construa um quadrado PQRS de forma que o lado QR esteja no segmento BC, o vértice P esteja no segmento AB e o vértice S esteja no segmento AC.'

'Prove que a linha AB é tangente ao círculo circunscrito ao triângulo BDF.'

'Prove que as três retas AB, CD, PQ se intersectam em um ponto. Sugestão: Mostre que a interseção de AB e PQ é a mesma que a interseção de CD e PQ.'

'O diagrama à direita mostra um boxplot das notas obtidas por 30 alunos em um teste de ciências. Quando as notas nas quais este boxplot foi baseado são plotadas como um histograma, qual das seguintes corresponde a ele?'

'Como mostrado no diagrama à direita, desenhe perpendiculares PD, PE, PF a partir do ponto P no círculo circunscrito ao triângulo ABC para as retas AB, BC, CA, respectivamente. Prove o seguinte.'

'Usando o teorema dos ângulos inscritos, prove a condição para que os pontos A, B, P, Q estejam em um círculo.'

'Bissetriz do ângulo: O ponto P está na bissetriz do ângulo ABC.'

'Prova de quadrilátero inscrito em um círculo - Exemplo básico 83'

'Prática 68\nSeja H o ortocentro do triângulo agudo ABC, O o circuncentro, M o ponto médio do lado BC e N o ponto médio do segmento AH. Prove que o comprimento do segmento MN é igual ao raio do círculo circunscrito do triângulo ABC usando o fato de que AH=2OM.'

'Usando o teorema de Tales, prove que se a circunferência circunscrita ao triângulo ABC intersectar o bissetor do ângulo ∠BAC em M, então quando MA = MB + MC, temos 84AB + AC = 2BC.'

'Prove que a seguinte equação é verdadeira no triângulo ABC com o centróide G: AB² + BC² + CA² = 3(AG² + BG² + CG²)'

'Em um triângulo isósceles ABC onde AB=AC, tome dois pontos F e G na base BC, desenhe as cordas AFD e AGE do círculo circunscrito do triângulo ABC. Prove o seguinte: (1) AB² = AF * AD (2) Os quatro pontos D, E, F, G são concíclicos.'

'Prove que no triângulo ABC, quando o ponto médio do lado BC é M, a equação AB²+AC²=2(AM²+BM²) é verdadeira (Teorema da mediana).'

'Provar que no trapézio ABCD, onde AD//BC, AD≠BC, os lados AD e BC são divididos nos pontos P e Q na mesma proporção de m:n. Então, demonstrar que as retas AB, CD e PQ irão se intersectar em um ponto.'

'Teorema de Menelau'

'Problema de prova usando o teorema da tangente'

'Desenhe um setor OAB com O como centro conforme mostrado à direita. Na reta OA, desenhe um quadrado PQRS onde o lado QR coincide com OA, e o vértice P está na reta OB, enquanto o vértice S está no arco AB.'

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'Como abordar o cálculo da área de figuras geométricas'

'Pontos-chave para resolver problemas de ângulo'

'No círculo O, desenhe tangentes PA e PB a partir de um ponto externo P, e desenhe a corda CD que passa pelo ponto M onde o segmento de linha AB intersecta o segmento de linha PO. Prove que os pontos P, C, O e D estão na mesma circunferência. Aqui, C e D não estão na linha PO.'

'Dado os pontos A e M dentro e na circunferência do círculo O. Agora, desenhe uma corda PQ passando por M de forma que AM divida ∠PAQ ao meio. Faça o desenho dessa corda PQ.'

"Prove que se os dois círculos O e O' que passam por um ponto P possuem tangentes externas comuns C e D, e se a linha que passa pelo ponto P intersecta os dois círculos nos pontos A e B, então AC é perpendicular a BD."

'Dado o círculo O com os pontos fixos A e M no seu interior. Desenhe uma corda PQ passando por M de forma que AM divida ∠PAQ ao meio. Construa essa corda PQ.'

'Domine o uso de diagramas de Venn para conquistar o Exemplo 49!'

'Dado o segmento de reta AB com um comprimento de 1 e segmentos de reta com comprimentos de a e b, desenhe um segmento de reta com um comprimento de b/3a.'

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'TREINAMENTO 25'

'Desenhe um retângulo PQRS dentro do triângulo acutângulo ABC como mostrado à direita, de forma que 2PQ=QR, o lado QR esteja sobre o lado BC, o vértice P esteja sobre o lado AB e o vértice S esteja sobre o lado CA. (Descreva apenas o método de desenho)'

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'Traduza o texto fornecido para múltiplos idiomas.'

'Na figura à direita, △ABC e △CDE são ambos triângulos equiláteros, e os vértices B, C, D são colineares. Seja F a interseção de AD e BE, prove que os pontos A, B, C, F estão todos na mesma circunferência.'

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'Deseja colorir as regiões A, B, C, D, E na figura à direita. Quando colorir áreas adjacentes com cores diferentes, quantas maneiras existem de colorir com três cores?'

'Problema: Comprimento em proporção, representado como o produto de segmentos\nDado um segmento AB de comprimento 1 e segmentos de comprimento a, b:\n(1) Desenhe um segmento de comprimento a/b.\n(2) Desenhe um segmento de comprimento 2ab.'

'Vamos rever o comprimento da tangente e o teorema da tangente!'

'Prove que em um triângulo agudo ABC, onde a perpendicular dos vértices B e C aos lados opostos são BE e CF, respectivamente, com seu ponto de interseção como H. Se o ponto de interseção da linha AH e o lado BC é D, prove que AD é perpendicular a BC.'

'Provar que no triângulo ABC, os bissetores dos ângulos B e C se encontram no ponto I. Vamos desenhar linhas perpendiculares a partir do ponto I para os lados BC, CA e AB, denominadas IP, IQ, IR, respectivamente. Temos que IR=IP, IP=IQ, portanto IR=IQ, o que significa que IP=IQ=IR. Assim, o ponto I está no bissetor do ângulo A. Portanto, os bissetores dos três ângulos internos do triângulo ABC se intersectam em um ponto I. Esse ponto onde os bissetores se intersectam é chamado de incentro do triângulo e o círculo com o incentro como centro e tangente aos três lados é chamado círculo inscrito.'

'Desenhe um quadrado PQRS dentro do setor OAB com centro em O, de modo que o lado QR fique sobre o segmento OA, o vértice P fique sobre o segmento OB e o vértice S fique sobre o arco AB, de acordo com o diagrama à direita. (Forneça apenas o método de desenho).'

'Colorir (plano).'

'Desenhe o ponto que divide o segmento de linha AB dado internamente na proporção 3:2.'

'Desenhe a bissectriz perpendicular do segmento de linha AB (1) Desenhe dois círculos com os pontos A e B como centros, cada um com raio igual, e marque os pontos de interseção dos dois círculos como C e D. (2) Desenhe a linha CD.'

'Para (1) e (2), encontre o comprimento do segmento AD de acordo com as instruções.'

'Como mostrado na figura à direita, dois círculos com raios diferentes são tangentes no ponto A. Desenhe uma linha tangente ao círculo interno no ponto D e permita que B e C sejam os pontos de interseção com o círculo externo. Prove que AD bisecta ∠BAC.'

'Exemplo dado de como separar 25 regiões (planas):'

'Para os subconjuntos A, B do conjunto universal TR, verifique se a seguinte equação é verdadeira usando diagramas.'

'No triângulo ABC com sua circunferência, o ponto D é tomado no lado BC de tal forma que ∠BAD=∠CAD. Além disso, seja P a interseção da tangente ao círculo no ponto A e da linha BC. Prove que PA=PD.'

'Desenhe um quadrado PQRS dentro do setor OAB com O como centro, de forma que o lado QR esteja na linha OA, o vértice P esteja na linha OB e o vértice S esteja no arco AB (fornecer apenas o método de desenho).'

'Quero colorir as áreas A, B, C, D e E no diagrama à direita. Quando colorir áreas adjacentes com cores diferentes usando no máximo 4 cores, quantas maneiras existem para colorir as áreas?'

"Prove que quando dois círculos O e O' se intersectam têm um cordão comum AB que passa pelo ponto P, o cordão do círculo O passando pelo P é CD e o cordão do círculo O' passando pelo P é EF, então os quatro pontos C, D, E, F estão na mesma circunferência. No entanto, observe que os quatro pontos C, D, E, F não são colineares."

'Prove o seguinte no tetraedro ABCD: (a) Seja M o ponto médio da aresta AD, então AD é perpendicular ao plano MBC; (b) AD é perpendicular a BC.'

'Existe uma linha ℓ no plano α. O ponto A não está em α, o ponto B está em ℓ e o ponto O está em α, mas não em ℓ. Prove o seguinte: OB é perpendicular a ℓ, AB é perpendicular a ℓ, OA é perpendicular a OB implica que OA é perpendicular a α.'

"Existem dois círculos O e O' que se interceptam nos pontos P e Q. A reta que passa pelo ponto P intersecta os círculos O e O' nos pontos A e B, e a reta que passa pelos pontos A e Q intercepta o círculo O' no ponto C. Seja AD a tangente ao círculo O no ponto A, então prove que AD // BC."

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'Na figura à direita, encontre x, y, z. Aqui, ℓ é a tangente ao círculo O, e o ponto A é o ponto de contato. Além disso, em (2), ∠ABD=∠CBD.'

"Na figura à direita, existem dois círculos O e O' que se intersectam nos pontos P e Q. Seja A a interseção da reta tangente ao círculo O no ponto P e o círculo O', B a interseção da reta AQ e o círculo O, e C a interseção da reta BP e o círculo O'. Prove que AC=AP."

"Dadas duas circunferências O e O' que se intersectam em dois pontos P e Q como mostrado no diagrama. Vamos denotar a tangente do ponto P à circunferência O que intersecta a circunferência O' no ponto A, a interseção da linha AQ e a circunferência O no ponto B e a interseção da linha BP e a circunferência O' no ponto C. Provar que AC = AP."

'Converso do Teorema de Ceva'

'Dado três pontos A, B, Q na circunferência de um círculo, e um ponto P tal que está no mesmo lado da reta AB que o ponto Q, prove as seguintes afirmações: \n1. Se o ponto P está no círculo ⇒ ∠APB = ∠AQB \n2. Se o ponto P está dentro do círculo ⇒ ∠APB > ∠AQB \n3. Se o ponto P está fora do círculo ⇒ ∠APB < ∠AQB'

'Construção do bissetor do ângulo AOB (1) Desenhe um círculo com centro em O e um raio adequado, e marque as interseções com as semirretas OA e OB como C e D, respectivamente. (2) Desenhe círculos com centros nos pontos C e D e raios iguais, e marque um dos pontos de interseção dos dois círculos como E. (3) Trace a semirreta OE.'

'Na figura dada, encontre os valores de α e β. Onde ℓ é a tangente ao círculo O, e o ponto A é o ponto de tangência. Além disso, em (3) é dito que PQ // CB.\n(1)\n(2)\n(3)\nConcentre-se na tangente e no triângulo usando o teorema da tangência.\n(2) O valor de ∠CAB pode ser encontrado usando o teorema do ângulo inscrito.\n(3) De PQ // CB, ∠ABC=∠BAQ\nNo (1), deixe o ponto D estar na linha ℓ conforme mostrado na figura.\n\n∠BAD =∠OAD-∠OAB\n=90°-20°=70°\n\nPortanto, α=∠BAD=70°'

'Após desenhar linhas paralelas (*), ao desenhar uma linha perpendicular a PQ, é possível criar uma linha paralela a l.'

'Prove a propriedade dos bissetores de ângulos'

'Construindo a linha perpendicular ao segmento de linha PQ: (1) Desenhe um círculo com centro no ponto P e qualquer raio, interseccionando com a linha l nos pontos A e B. (2) Desenhe círculos com centros nos pontos A e B, cada um com raio igual, e defina um dos pontos de interseção desses dois círculos como Q. (3) Trace a linha PQ.'

'Prove o seguinte usando o inverso do teorema de Ceva: (1) As três medianas de um triângulo se intersectam em um ponto. (2) Os três bissetores dos ângulos de um triângulo se intersectam em um ponto.'

'Como mostrado na figura à direita, dois círculos com raios diferentes são tangentes ao ponto A. Trace uma linha passando pelo ponto D no círculo interno, com os pontos B e C como pontos de interseção com o círculo externo. Prove que AD bisecta o ângulo BAC.'

'Seja P(2,3,1) um ponto. Seja D, E, e F pontos simétricos a P em relação ao plano xy, plano yz, e plano zx, respectivamente. Determine as coordenadas dos pontos D, E, e F.'

'Prove que o comprimento do arco é igual para ângulos centrais iguais em um círculo.'

'Desenhe o segmento de reta AB dado e marque o ponto que o divide externamente na proporção 5:1.'

'Existem dois círculos tangentes ao ponto P. Como mostrado no diagrama à direita, se duas linhas que passam pelo ponto P se interceptam com o círculo externo nos pontos A, B e com o círculo interno nos pontos C, D. Prove que AB e CD são paralelos.'

'(1) Qual dos retângulos à direita, ABCD, está circunscrito por um círculo?\n(2) No triângulo acutângulo ABC, na aresta BC, é tomado o ponto D (diferente dos pontos B e C), e são traçadas perpendiculares DE e DF a partir do ponto D para as arestas AB e AC, respectivamente. Prove que o quadrilátero AEDF está inscrito em um círculo.'

'Prove o Teorema 17: Se dois segmentos de linha AB e CD, ou as extensões de AB e CD intersectam no ponto P, e PA * PB = PC * PD, então os pontos A, B, C, D estão na mesma circunferência.'

'Provar que $\\angle BAT = \\angle ACB$.'

'No diagrama à direita, uma vez que ∠CAD=∠EBC, o quadrilátero ABDE está circunscrito no círculo. Portanto, pelo teorema dos ângulos inscritos, ∠ADE=∠ABE. Além disso, uma vez que ∠BEC=90 graus e ∠ADC=90 graus, o quadrilátero CEHD está circunscrito no círculo. ∠HEC + ∠HDC = 180 graus. Como a soma dos ângulos opostos é 180 graus, o quadrilátero CEHD está circunscrito no círculo.'

'Prove que para quaisquer três retas distintas l, m, n, se l // m e m // n, então l // n.'

'No triângulo ABC, se o ponto médio do lado AB for D e o ponto médio do lado AC for E, então DE // BC e DE = 1/2 BC. Os segmentos de linha que conectam os vértices do triângulo aos pontos médios dos lados opostos são chamados de medianas do triângulo. Ao observar as três medianas de um triângulo, existe a seguinte propriedade. Teorema 5: As três medianas de um triângulo se intersectam em um único ponto, o qual divide cada mediana na proporção de 2:1.'

'Desenhe o ponto que divide o segmento de linha AB dado internamente na proporção de 1:4.'

'Prove que em um triângulo escaleno ABC, com o incentro I e as retas BI, CI intersectando os lados AC, AB nos pontos E, D, respectivamente, se DE // BC, então AB=AC.'

'426'

'Teorema de Ceva'

'Capítulo 3 Figuras e Equações 97 (2) A reta BC é feita no eixo x, e uma reta perpendicular à reta BC que passa pelo ponto D é feita no eixo y, onde o ponto D se torna a origem O, que pode ser representado como A(a, b), B(-3c, 0), C(2c, 0). Neste caso, 2AB² + 3AC² = 2{(-3c-a)²+(-b)²} + 3{(2c-a)²+(-b)²} = 5a² + 5b² + 30c² = 5(a² + b² + 6c²) Além disso, 3AD² + 2BD² = 3{(-a)²+(-b)²} + 2(3c)² = 3(a² + b² + 6c²) ...(2) A partir de (1) e (2), temos 3(2AB² + 3AC²) = 5(3AD² + 2BD²)'

'Resumiu alguns teoremas, fórmulas e propriedades importantes.'

'Como pode ser representada a parte sombreada da figura por meio de desigualdades? Mostre passo a passo.'

'No plano xy, existem três pontos A(2, -2), B(5, 7), C(6, 0). Prova-se que os bissetores perpendiculares de cada lado do triângulo ABC se interceptam em um ponto (este ponto de interseção é o centro da circunferência circunscrita do triângulo ABC, também conhecido como circuncentro).'

'Em um plano, existem três pontos A(2,-2), B(5,7), C(6,0). Prove que os bissetores perpendiculares de cada lado do triângulo ABC se intersectam em um ponto (esse ponto de interseção é o circuncentro do triângulo ABC, também conhecido como circuncentro). DICA: Prove que o ponto de interseção dos bissetores perpendiculares do segmento AC e do segmento AB está no bissetor perpendicular do segmento BC.'

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'Trace a região representada pelas seguintes desigualdades.'

'Encontre a equação da reta que passa através da origem quando as distâncias perpendiculares dos pontos (5,0) e (3,6) para a reta l são iguais.'

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'Prove: No triângulo ABC, sendo M o ponto médio do lado BC, então AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2) (Teorema da mediana).'

'Provar que os centróides do triângulo DEF e do triângulo ABC coincidem quando os pontos D, E, F são tomados sobre os lados BC, CA, AB do triângulo ABC de forma que BD:DC=CE:EA=AF:FB.'

'Como encontrar a equação de uma tangente a um círculo'

'Capítulo 3 Formas e Equações\nA condição para duas retas (1), (2) serem perpendiculares é\n-3⋅(-\\frac{1}{a})=-1, resolvendo para a, obtemos a=\\uparrow-3\nDe outra forma, a condição para duas retas (1), (2) serem paralelas é\n\3⋅a-1⋅1=0, logo a=\\frac{1}{3}\\nA condição para duas retas (1), (2) serem perpendiculares é\n\3⋅1+1⋅a=0, logo a=\\uparrow-3\\nPerpendicular ⇔ Produto dos declives é -1 ⇽ 2 retas\na_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0 e\na_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0\nParalelo ⇔ a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}=0\nPerpendicular ⇔ a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}=0'

'Prove que no triângulo ABC, quando G é o baricentro, a equação AB^2 + BC^2 + CA^2 = 3(GA^2 + GB^2 + GC^2) é verdadeira.'

'Capítulo 3 Geometria e Equações\n121\nConsidere a reta 2x - y + 3 = 0, seja Q um ponto e P o seu ponto simétrico. Encontre a trajetória do ponto P à medida que o ponto Q se move ao longo da reta 3x + y - 1 = 0.'

'Determine o valor da constante positiva a para que as áreas cercadas pelas curvas y=x^{3}-(2 a+1) x^{2}+a(a+1) x e y=x^{2}-a x sejam iguais.'

'Encontre as coordenadas do ponto Q após rodar o ponto P(4,2) em torno do ponto A(2,5) por π/3.'

'Linha passando pelo ponto de interseção de duas linhas'

'Encontre a área do triângulo formado pelas retas x - y + 1 = 0, 2x + y - 2 = 0, x + 2y = 0.'

'Prove a seguinte equação no triângulo ABC'

'A relação entre os comprimentos dos lados de um triângulo e as funções trigonométricas é a seguinte.'

'Prove a igualdade que mostra os tamanhos dos ângulos internos A, B e C do triângulo ABC.'

'Por favor, indique as páginas relacionadas para os seguintes termos: ① condição ② lei transitiva (desigualdade) ③ tangente'

'Prove que a equação (1+tan²(A/2))sin²((B+C)/2)=1 é válida quando os ângulos internos ∠A, ∠B, ∠C do triângulo ABC são denotados como A, B, C, respectivamente.'

'Questão 3 Geometria Espacial e Agrimensura'

'Como mostrado no diagrama à direita, um dodecágono regular é dividido em 12 triângulos congruentes por diagonais. Tomando os pontos O, A, B, temos ∠AOB=360°÷12=30°, OA=OB=a. Aplicando o teorema do cosseno ao triângulo OAB, obtemos 1=(2-√3)a², portanto, a²=1/(2-√3)= (2+√3)/((2-√3)(2+√3))=2+√3. Assim, S=12 triângulos OAB=12×1/2a²sin30°=3(2+√3)'

'72 (2) movido paralelo ao eixo x por 1, o eixo é a linha x=1, o vértice está no ponto (1,0)'

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'Expressar a quantidade de uma figura de duas maneiras'

'Ao resumir a solução para triângulos, dos seis elementos de um triângulo (3 lados a, b, c e 3 ângulos A, B, C), para determinar de forma única um triângulo, é necessário que pelo menos um dos seguintes três elementos contenha pelo menos um lado como condição: [1] um lado e seus ângulos adjacentes [2] dois lados e o ângulo entre eles [3] três lados. Com base nessas condições, ao determinar os outros três elementos, explicamos o uso do teorema de acordo com as condições.'

'No triângulo ABC, prove que a seguinte equação é válida:\n\\[\\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\\right) \\tan A=\\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\\right) \\tan B\\]'

'Comprimento do bissetor do ângulo de um triângulo (2)'

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'Há uma folha em forma de triângulo equilátero com um lado de 10 cm. Os vértices deste triângulo equilátero são rotulados como A, B, C, e o ponto P está no lado BC de modo que BP = 2 cm. Ao dobrar esta folha de triângulo equilátero para que o vértice A coincida com o ponto P, e a interseção da dobra com os lados AB, AC são rotulados como D, E respectivamente. Neste momento, AD = 2 cm², AE = 1 cm², e a área do triângulo ADE é 3 cm².'

'Solução do triângulo (2)'

'Podem ser traçadas duas retas que passam pelo origem e formam um ângulo de 15 graus com a linha y=x. Encontre as equações destas retas.'

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'Ao ser movido simetricamente em relação à origem, o vértice torna-se \\( \\left(-\\frac{3}{4}, \\frac{31}{8}\\right) \\) e forma uma parábola côncava para baixo\n\\[ y=2\\left(x+\\frac{3}{4}\\right)^{2}+\\frac{31}{8} \\quad\\left(y=2 x^{2}+3 x+5 \\text { também é aceitável }\\right)\\]\nAo trocar as coordenadas \ x \ e \ y \ de sinal, passa de côncava para cima para côncava para baixo.'

'Encontre a equação da parábola após deslocar a parábola y = -2x^2 + 3 paralelamente ao eixo x por -2 e paralelamente ao eixo y por 1.'

'No triângulo retângulo ABC, com BC=18 e CA=6, o ponto D é tomado na hipotenusa AB. Perpendiculares DE e DF são desenhadas de D para BC e CA, respectivamente. Encontre o comprimento do segmento DE e a área quando a soma das áreas dos triângulos ADF e DBE é minimizada.'

'Considerando as coordenadas polares do ponto A como (3,0). Encontre a equação polar da trajetória dos pontos P onde a distância ao pólo O é igual à distância até a reta l passando pelo ponto A e perpendicular à linha inicial.'

'No tetraedro ABCD com comprimento do lado 1, vamos chamar os pontos médios das arestas AB e CD de E e F, respectivamente, e o centróide do triângulo BCD é denotado como G.'

'Prove que para uma elipse que passa pelos focos e tem uma corda AB paralela ao eixo menor, o quadrado do comprimento do eixo menor é igual ao produto do comprimento do eixo maior e do comprimento da corda AB, que é 120. DICA: Considere a equação da elipse como x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0).'

'No plano de coordenadas, quando o comprimento do segmento de reta AB é 9 e seus extremos A, B movem-se ao longo do eixo x e do eixo y, respetivamente, encontrar a trajetória do ponto P que divide o segmento de reta AB na proporção de 1:2.'

'Prove que os pontos médios dos lados AB, BC, CD, DA do quadrilátero ABCD são P, Q, R, S respectivamente, e os pontos médios das diagonais AC, BD são T, U. Mostre que os pontos médios dos segmentos PR, QS e TU são todos iguais.'

'Determinar a equação de um plano'

'Prove que, no tetraedro OABC, se o centróide de ∆OAB é G1 e o centróide de ∆OBC é G2, então G1G2 é paralelo a AC.'

'Exercício 67 -> Livreto p.134\n(1) Sejam as equações de dois planos α e β, respectivamente (1) e (2). Subtraindo (1) de (2) temos'

'Intervalo de existência de pontos em um plano\nPara o triângulo OAB, quando \ \\overrightarrow{OP} = s \\overrightarrow{OA} + t \\overrightarrow{OB} \, o intervalo de existência do ponto P é\n(1) Linha AB \ \\Leftrightarrow s + t = 1 \\nEm particular, segmento de linha AB \ \\Leftrightarrow s + t = 1, s \\geqq 0, t \\geqq 0 \\n(2) Circunferência e interior do triângulo OAB\n\ \\Leftrightarrow 0 \\leqq s + t \\leqq 1, \\quad s \\geqq 0, \\quad t \\geqq 0 \\n(3) Circunferência e interior do paralelogramo OACB\n\ \\Leftrightarrow 0 \\leqq s \\leqq 1, \\quad 0 \\leqq t \\leqq 1 \'

'(1) O ponto F é simétrico ao ponto C em relação ao segmento de linha OA, portanto, o triângulo ADF ≡ triângulo ADC. Dessa forma, o triângulo ADF = 1/6 triângulo OAB implica que o triângulo ADC = 1/6 triângulo OAB. Além disso, uma vez que o triângulo ADC = 1/3(1-α) triângulo OAB, resolver para α resulta em α = 1/2, o que satisfaz 0 < α < 1.'

'Encontre a equação do plano que passa pelos seguintes 3 pontos.'

'Resolva o seguinte problema de vetores: Deixe as áreas de \ \\triangle \\mathrm{PBC}, \\triangle \\mathrm{PCA}, \\triangle \\mathrm{PAB} \ serem representadas por S, onde \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ representa a área.'

'Encontre a equação de uma hipérbole com assíntotas sendo as duas linhas y=√3x, y=-√3x e uma distância de 4 entre os dois focos.'

'Exemplo Importante 57 | Equação de um Plano\nEncontre a equação do plano que passa pelos pontos A(0,1,-1), B(4,-1,-1), C(3,2,1).'

'Prove que o seguinte teorema é válido:\nTeorema 1: A transformação linear fracionária transforma um círculo no plano complexo em um círculo.'

'Considere o inteiro positivo 42k e as duas curvas definidas no intervalo 2kπ≤x≤(2k+1)π: C₁: y=cos x e C₂: y=(1-x²)/(1+x²).'

'Encontre a equação da reta tangente no ponto P, determine as assíntotas e coordenadas de sua intersecção, e prove que a área do triângulo OQR é independente da escolha do ponto P.'

'Encontre a equação polar da reta com coordenadas polares (p, α) do pé H da perpendicular traçada do polo O para a reta.'

'Das condições'

'Exemplo importante 67 Equações da interseção de planos, incluindo a equação do plano. Que a interseção de planos seja ℓ com as equações (1) α: 3x-2y+6z-6=0 ⋯ ⋯ (1) β: 3x+4y-3z+12=0 ⋯ ⋯ (2). Expressar a equação da interseção ℓ na forma x-x₁/l=y-y₁/m=z-z₁/n. (2) Determinar a equação do plano γ que inclui a linha ℓ e passa pelo ponto P(1,-9,2).'

'Prove o seguinte teorema usando o plano complexo. Para um quadrilátero ABCD inscrito em um círculo de raio 100, a equação AB⋅CD+AD⋅BC=AC⋅BD é válida (teorema de Ptolomeu).'

'Prática (2) Prove que quando duas cordas PQ e RS passam por um dos focos F de uma cônica e se intersectam em ângulos retos, então 1/PF*QF + 1/RF*SF é constante.'

'Existe um espelho côncavo em forma de hemisfério. Seja O o centro da esfera, r o raio e AB o diâmetro. Se um raio de luz forma um ângulo θ com o diâmetro AB começando no ponto A e refletindo no ponto P no espelho, intersectando o diâmetro AB no ponto Q, então ∠APO=∠OPQ. À medida que o ponto P se aproxima infinitamente do ponto B, para onde o ponto Q se aproxima?'

'Prove que entre quadriláteros inscritos em um círculo, o que possui a maior área é um quadrado.'

'Investigue como expressar os vetores de posição dos cinco centros (baricentro, incentro, ortocentro, circuncentro e excentro) de um triângulo com vértices nos pontos A(𝐚), B(𝐛) e C(𝐜) usando 𝐚, 𝐛 e 𝐜.'

'Tópico Importante 40 | Comparação de Magnitudes de Vetores'

'Quando a equação é transformada,'

'Especifique a condição para o segmento de linha AB ser perpendicular a CD.'

'Estude a representação paramétrica de uma elipse, expressando-a apenas com x e y ao eliminar t.'

'Seja o quadrilátero ABPC inscrito em um círculo que satisfaz as seguintes condições (a), (b):\n(a) O triângulo ABC é equilátero.\n(b) A interseção de AP e BC divide o segmento de reta BC em p:(1-p) [0<p<1].\nExpresse o vetor AP em termos dos vetores AB, AC e p.'

'Explique sobre os matemáticos que utilizavam métodos gregos antigos para calcular áreas e volumes.'

'Exemplo importante 57 | Equação de um plano\nEncontre a equação de um plano que passa pelos pontos A(0,1,-1), B(4,-1,-1) e C(3,2,1).'

'Prove que o hexágono está inscrito numa secção cónica.'

'Quando um ponto z se move ao longo do círculo com raio 1 centrado na origem O, que tipo de figura o ponto w representado por w=(1-i) z-2 i desenha?'

'Encontre a equação do plano que passa pelos seguintes três pontos:\n57 (1) A(1,0,2), B(0,1,0), C(2,1,-3)\n(2) A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,1)'

'Para |x - π/2|, quando a parte cercada for a área cinzenta na figura à direita e for simétrica em relação à linha x = π/2, encontre o volume V.'

'Seja ABCD um quadrilátero no plano. Se as diagonais AC e BD são perpendiculares, prove o seguinte:\n(1) Se $\\overrightarrow{AB}=\\vec{b}$, $\\overrightarrow{AC}=\\vec{c}$, $\\overrightarrow{AD}=\\vec{d}$, então $\\vec{b} \\cdot \\vec{c}-\\vec{c} \\cdot \\vec{d}=0$.\n(2) $AB^{2}+CD^{2}=AD^{2}+BC^{2}$. '

'Seja ABCD um quadrilátero com diagonais AC e BD e um círculo com centro O circunscrito ao redor do quadrilátero ABCD. Sejam os vetores OA, OB, OC, OD denotados por a, b, c, d.'

'Prove que se o segmento de linha $PO$ e $QO$ que passa pelas extremidades da corda $PQ$ na parábola $y^{2}=4 p x(p>0)$ e a origem $O$ forem ortogonais, então a corda $PQ$ passa por um ponto fixo.'

'Se a curva $f(x, y)=0$ satisfaz $f(x,-y)=f(x, y)$, ela é simétrica em relação ao eixo x, e se $f(-x, y)=f(x, y)$, é simétrica em relação ao eixo y. \nDado que as coordenadas do ponto Q na curva são $(x, y)$, vamos derivar a relação entre x e y.'

'Capítulo 3 Reflexão sobre Geometria e Equações Método para encontrar a tangente de um círculo'

'Dada uma linha AB de comprimento 4. Encontre o locus do ponto P movendo-se enquanto satisfaz a equação 2AP² - BP² = 17 com os pontos A, B e movendo-se 71.'

'Dado que o comprimento da perpendicular traçada do ponto (1,1) para a reta ax - 2y - 1 = 0 é √2, encontre o valor da constante a.'

'Encontre o ângulo agudo θ formado pelas duas retas x+3y-6=0 e x-2y+2=0.'

'Simetria de reflexão, distância entre um ponto e uma reta'

'Prática (4) 127 Para a reta y = a x+1-a^2/4. (1), quando a varia sobre todos os valores reais, ilustre a região por onde a reta (1) pode passar.'

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'No plano xy, considere três pontos distintos P1(a1, b1), P2(a2, b2), P3(a3, b3), excluindo a origem. Além disso, considere três linhas l1: a1x+b1y=1, l2: a2x+b2y=1, l3: a3x+b3y=1.'

'Vamos pensar em como provar a teorema da adição e as fórmulas do dobro do ângulo usando figuras geométricas. Embora o alcance de α, β e θ seja limitado, é interessante ver o significado geométrico do teorema da adição.'

'Desenhe o domínio do ponto (x+y, x-y) à medida que os números reais x, y mudam satisfazendo as seguintes condições: (1) -1 ≤ x ≤ 0, -1 ≤ y ≤ 1'

'Para o triângulo ABC com vértices A(6,13), B(1,2), C(9,10): (1) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto A e divide a área do triângulo ABC em duas partes iguais. (2) Encontre a equação da reta que passa por um ponto P que divide o lado BC internamente numa razão de 1:3 e divide a área do triângulo ABC em duas partes iguais.'

'Substituindo x=3 na equação 3x-4y+11=0 para obter y=5, e substituindo y=2 na equação 3x-4y+11=0 para obter x=-1. Portanto, as coordenadas dos vértices do triângulo são (-1,2),(3,2),(3,5). Seja r o raio do círculo a ser encontrado, e as coordenadas do centro são representadas como (3-r,r+2), satisfazendo -1<3-r<3 e 2<r+2<5, o que resulta em 0<r<3. A distância entre a linha 3x-4y+11=0 e o centro do círculo é igual ao raio do círculo, o que dá a equação |3(3-r)-4(r+2)+11|/√(3^2+(-4)^2)=r. Resolvendo isso, obtemos |12-7r|=5r, então 12-7r=±5r, resultando em r=1. Quando r=1, as coordenadas do centro são (2,3), e a equação do círculo é (x-2)^2+(y-3)^2=1'

'Relação entre duas linhas'

'Considere a solução para encontrar a equação de um círculo.'

'Tomando o ponto A(-3,0) e considerando dois pontos B e C que satisfazem as seguintes condições para 0°<θ<120°.'

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'Encontre a equação da seguinte linha.'

'Prove que as três medianas do triângulo ABC se intersectam em um ponto. Mostre que no triângulo ABC, 2AB^2 < (2 + AC^2)(2 + BC^2) é válido.'

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'(1) Encontre o ângulo agudo \ \\theta \ formado pelas duas retas \ x+3 y-6=0, x-2 y+2=0 \. \n(2) A reta \ y=-x+1 \ forma um ângulo de \ \\frac{\\pi}{3} \ e passa pelo ponto \\( (1, \\sqrt{3}) \\). Encontre a equação desta reta.'

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'Encontre a trajetória de pontos para os quais o ângulo APB que passa pelos pontos A, B é um valor constante α.'

'Prove que as perpendiculares traçadas a partir de cada um dos três vértices do triângulo ABC para o lado oposto ou sua extensão se intersectam em um ponto (este ponto de interseção das três perpendiculares é chamado de ortocentro do triângulo).'

None

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'(1) Prove que as três medianas do triângulo ABC se intersectam em um ponto. (2) No triângulo ABC, prove que 2AB²<(2+AC²)(2+BC²) é verdade.'

'Prove a seguinte desigualdade em relação ao valor da constante matemática π. Não use π=3.14…… . [Universidade de Oita]'

'Mostre que a curva C é uma hipérbole encontrando a equação da curva obtida girando C: x^2 + 6xy + y^2 = 4 em torno da origem por π/4.'

'Ao encontrar a equação da curva obtida pela rotação da origem como centro em π/4, prove que a curva C é uma hipérbole.'

'Prove que no quadrilátero OABC, se o quadrado de OA mais o quadrado de BC for igual ao quadrado de OC mais o quadrado de BA, então OB é perpendicular a AC.'

'Prove que no triângulo ABC, quando os pontos médios dos lados AB e AC são D e E respectivamente, BC é paralelo a DE e BC=2DE (Teorema do Ponto Médio).'

'Encontre a equação da curva que passa pelo ponto (1,1) onde a tangente no ponto P da curva passando por (1,1) intersecta o eixo x e o eixo y nos pontos Q, R respectivamente, com O como a origem. Dado que a curva está no primeiro quadrante e sempre satisfaz △ORP = 2△OPQ.'

'Sobre a simetria das curvas.'

'Prove que a soma das distâncias OA + OB a partir da origem O para os pontos A, B onde as tangentes traçadas ao ponto P (não nos eixos de coordenadas) na curva \\sqrt{x} + \\sqrt{y} = \\sqrt{a} (a > 0) intersectam o eixo x e y respectivamente, permanece constante.'

'Prove que no quadrilátero OABC, se OA^2 + BC^2 = OC^2 + BA^2, então OB é perpendicular a AC.'

'Encontre a trajetória de pontos que satisfaçam a seguinte condição: a distância do ponto F é igual à distância da linha l. Aqui, F está em (c, 0), e l é o eixo y (x=0).'

'Desenhe um cordão AB paralelo ao eixo menor passando pelos focos da elipse. Prove que o quadrado do comprimento do eixo menor é igual ao produto do comprimento do eixo maior e do cordão AB.'

'Prove que quando três pontos distintos A(α), B(β), C(γ) no círculo unitário e um ponto H(z) que não está no círculo satisfazem a equação z=α+β+γ, então H é o ortocentro do △ABC.'

'(1) Deixe a curva C ser representada pelas equações paramétricas x=2(t+1/t+1) e y=t-1/t. Encontre a equação da curva C e esboce sua forma geral. [Universidade de Tsukuba]'

'Prove que a soma de 1/FP e 1/FQ passando por um dos focos F de uma curva quadrática é constante, independentemente da direção da corda.'

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'Desenhe uma corda AB paralela ao eixo menor que passa pelos focos de uma elipse. Prove que o quadrado do comprimento do eixo menor é igual ao produto do comprimento do eixo maior e o comprimento da corda AB, que é 49.'

'＜Teorema de Ptolomeu＞ Para um quadrilátero inscrito em um círculo, a seguinte equação é válida:\n\\n\\mathrm{AB} \\cdot \\mathrm{CD}+\\mathrm{AD} \\cdot \\mathrm{BC}=\\mathrm{AC} \\cdot \\mathrm{BD}\n\'

'Numa circunferência de raio a, estão dois pontos móveis P, Q na sua circunferência. P, Q partem simultaneamente de um ponto fixo A na circunferência e movem-se em direções opostas ao sentido dos ponteiros do relógio. Seja O o centro da circunferência. Quando a razão das velocidades angulares dos raios OP e OQ é constante em 1:k (k > 0, k ≠ 1), encontrar a equação polar da trajetória do ponto médio M do segmento PQ. Quando P e Q coincidem, o ponto M representa o ponto P (Q).'

'Escolha o ponto Pn(xn, yn) (n=0,1,2, …) no plano de coordenadas bidimensional que satisfaz as seguintes condições (A), (B). 90(A) (x0, y0)=(0,0), (x1, y1)=(1,0) (B) Para n ≥ 1, o vetor PnPn+1 tem um comprimento que é metade do vetor Pn-1Pn e aponta na direção obtida girando Pn-1Pn no sentido anti-horário por 90 graus. Nesse caso, os limites de xn e yn à medida que n se aproxima do infinito são lim{n→∞}xn= A, lim{n→∞}yn= B. [Universidade Meiji]'

'Sejam dois pontos distintos A(α) e B(β). Quando m>0, n>0 e m≠n, o conjunto de todos os pontos P(z) que satisfazem a equação n|z-α|=m|z-β| consiste em pontos que dividem interna ou externamente o segmento de linha AB na proporção m:n, com esses pontos como extremidades do diâmetro de um círculo (círculo de Apolônio). Prove essa afirmação.'

'Encontre a trajetória do ponto $Q$ quando duas tangentes traçadas a partir de um ponto externo $C_1$ se intersectam perpendicularmente.'

'Prove que o triângulo OAB com vértices O(0), A(1) e B(i), onde o ângulo O é reto, e o triângulo PQR com vértices P(α), Q(β), R(γ), onde o ângulo P é reto, satisfaz a equação 2α²+β²+γ²-2αβ-2αγ=0.'

'Seja a uma constante maior que 1. Encontre a área S da região delimitada pela curva x^2-y^2=2 e a reta x=\\sqrt{2} a considerando uma rotação de \\frac{\\pi}{4} centrada na origem.'

'No triângulo ABC, seja M o ponto médio do lado BC. A seguinte equação é válida.'

'Considere a reta $\\ell: \\frac{x}{a}+\\frac{y}{b}=1$ e a curva $C: \\sqrt[3]{\\frac{x}{a}}+\\sqrt[3]{\\frac{y}{b}}=1$, onde $a$ e $b$ são constantes positivas.'

'Além disso, o ponto R está no círculo com diâmetro PQ, então ∠PRQ = π/2'

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"Numa elipse com o comprimento do eixo principal igual a 2a, centro O e eixo menor BB', seja P um ponto na elipse que não seja B nem B'. Deixe BP e B'P intersectar o eixo principal ou sua extensão nos pontos Q e R, respetivamente, de modo que OQ・OR=a². Prove isso usando círculos."

'Encontre a equação do plano que passa pelos três pontos A(0,1,-1), B(4,-1,-1) e C(3,2,1).'

'Encontre a equação do plano que passa pela origem O e é perpendicular ao eixo z.'

'No plano xy, considere a curva \ C \ dada pela equação polar \ r=\\frac{1}{1+\\cos \\theta} \.'

'Prove que a tangente em um ponto $\\mathrm{P}(x_{1}, y_{1})$ na hipérbole $\\frac{x^{2}}{16}-\\frac{y^{2}}{9}=1$ bissecta o ângulo $\\angle \\mathrm{FPF}^{\\prime}$ formado pelo ponto $\\mathrm{P}$ e os dois focos $\\mathrm{F}, \\mathrm{F}^{\\prime}$. Aqui, $x_{1}>0, y_{1}>0$.'

'(1) O ponto z é o bissetor perpendicular do segmento de linha que une os pontos 1 e i. (2) O ponto z é um círculo com centro no ponto 1-i e raio 2.'

'Usando o plano complexo, prove o seguinte teorema. Para um quadrilátero ABCD inscrito em um círculo com raio de 100 unidades, a equação AB·CD+AD·BC=AC·BD é válida (Teorema de Ptolomeu).'

'Encontre a equação de um plano que passa pelo ponto C(0,3,-2) e é perpendicular ao eixo z.'

'Exemplo 46 | Condição coplanar Determine o valor de x para que os seguintes 4 pontos sejam coplanares: A(1,3,3), B(1,1,2), C(2,3,2), P(x, x, x) [Similar à Universidade Keio] A condição para que o ponto P esteja no plano de ABC para três pontos não colineares A, B, C é que uma das seguintes condições seja verdadeira: No caso da origem ser O, [1] existem números reais s, t tais que \\\overrightarrow{AP}=s\\overrightarrow{AB}+t\\overrightarrow{AC}\ [2] existem números reais s, t, u tais que \\\overrightarrow{OP}=s\\overrightarrow{OA}+t\\overrightarrow{OB}+u\\overrightarrow{OC}, s+t+u=1\ Representar [1] ou [2] com componentes e reduzir a um problema de equação.'

'Seja \ \\mathrm{O} \ a origem. No eixo \ x \ há um ponto fixo \\( \\mathrm{A}(k, 0)(k>0) \\). Agora, considere um ponto móvel \ \\mathrm{P} \ no plano tal que \\( \\overrightarrow{\\mathrm{OP}} \\neq \\overrightarrow{0}, \\overrightarrow{\\mathrm{OP}} \\cdot(\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}-\\overrightarrow{\\mathrm{OP}})=0,0^{\\circ} \\leqq \\angle \\mathrm{POA}<90^{\\circ} \\) . Encontre (1) a equação que representa a trajetória do ponto \\( \\mathrm{P}(x, y) \\) usando \ x, y \. (2) Determine o valor máximo de \ |\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}||\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}-\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}| \ e o valor correspondente de \ \\angle \\mathrm{POA} \. [Instituto de Tecnologia de Saitama]'

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'Prove que quando três pontos distintos A(α), B(β) e C(γ) no círculo unitário e um ponto H(z) que não está no círculo satisfazem a equação z=α+β+γ, então H é o ortocentro de △ABC.'

'Prove o ortocentro de um triângulo\nDado três pontos distintos A(α), B(β), C(γ) na circunferência unitária e um ponto H(z) que não está na circunferência, quando a equação z = α + β + γ é verdadeira, prove que H é o ortocentro do triângulo ABC.'

'Encontre a equação da curva obtida movendo a hipérbole $x^{2}-2 y^{2}=-4$ simetricamente em torno do ponto (-3,1).'

'Escolha um ponto O no segmento de linha AB (excluindo as duas extremidades), construa os quadrados AOCD e OBEF com os lados AO, OB no mesmo lado do segmento de linha AB. Prove que AF⊥BC usando o plano de números complexos.'

'Prove que a área do triângulo $\\triangle \\mathrm{OQR}$ formado pelos pontos de interseção $\\mathrm{Q}, \\mathrm{R}$ da reta tangente no ponto $\\mathrm{P}(x_{0}, y_{0})$ na hipérbole $b^{2} x^{2}-a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2}(a>0, b>0)$ e a assíntota, com a origem como $\\mathrm{O},$ é independente da escolha do ponto $\\mathrm{P}.$'

'Equação de um plano\n(1) A equação de um plano que passa por um ponto \\( \\mathrm{A}\\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\\right) \\) e é perpendicular a um vetor não nulo \\( \\vec{n}=(a, b, c) \\) é \\( a\\left(x-x_{1}\\right)+b\\left(y-y_{1}\\right)+c\\left(z-z_{1}\\right)=0 \\)\n(2) A forma geral é \ a x+b y+c z+d=0 \ onde \\( (a, b, c) \\neq(0,0,0) \\)'

'(2) Encontre a equação de uma hipérbole com assíntotas das duas linhas $y=\\frac{\\sqrt{7}}{3} x, y=-\\frac{\\sqrt{7}}{3} x$ e focos nos pontos $(0,4),(0,-4)$.'

'Para um número positivo a, considere a reta tangente à parábola y=x^{2} no ponto A(a, a^{2}), que é obtida rotacionando o ponto A por -30°. Vamos chamar essa reta de l. Vamos chamar de B o ponto de interseção da reta l e da parábola y=x^{2} que não é A. Além disso, vamos chamar de C(a, 0) e O a origem. Encontre a equação da reta l. Além disso, seja S(a) a área delimitada pelos segmentos de reta OC, CA e a parábola y=x^{2}, e seja T(a) a área delimitada pelo segmento de reta AB e a parábola y=x^{2}. Encontre c=lim_{a→∞} (T(a)/S(a)).'

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'Exemplo-chave 139 O uso de coordenadas polares'

'Como encontrar o vetor de posição do ponto S'

'Aprenda sobre a prova da correspondência de pontos.'

'Dado o quadrilátero ABCD com diagonais AC e BD, e um círculo com centro O circunscrito em torno do quadrilátero ABCD. Sejam a, b, c, d os vetores OA, OB, OC, OD, respectivamente.\n(1) Se as magnitudes dos vetores a+b+c e a+b+d forem iguais, prove que os lados AB e CD são paralelos ou que o ponto O está sobre o lado AB.\n(2) Se os baricentros dos triângulos ABC, BCD, CDA, DAB estiverem equidistantes do ponto O, prove que o quadrilátero ABCD é um retângulo.'

'Considere um círculo com centro em O. Na circunferência deste círculo, existem 3 pontos A, B, C de forma que OA+OB+OC=0. A tarefa é provar que o triângulo ABC é um triângulo equilátero. Seja o raio do círculo r (r>0), então |OA|=|OB|=|OC|=r. De OA+OB+OC=0, temos OA+OB=-OC. Portanto, |OA+OB|^{2}=|-OC|^{2}, o que se simplifica para |OA|^{2}+2OA·OB+|OB|^{2}=|OC|^{2}. Portanto, r^{2}+2OA·OB+r^{2}=r^{2}, o que leva a OA·OB=-r^{2}/2. Neste caso, |AB|^{2}=|OB-OA|^{2}=|OB|^{2}-2OA·OB+|OA|^{2}=r^{2}-2(-r^{2}/2)+r^{2}=3r^{2}. Como |AB|>0, |AB|=sqrt{3}r. Da mesma forma, |BC|=|CA|=sqrt{3}r. Portanto, AB=BC=CA. Assim, o triângulo ABC é um triângulo equilátero.'

'Expressar as seguintes equações em forma polar: (1) x+y+2=0 (2) x²+y²-4 y=0 (3) x²-y²=-4'

'Aplicação do Teorema de Ceva'

'Num hexágono regular ABCDEF, sendo M o ponto médio do lado DE. Sendo O o ponto de interseção das diagonais AD, BE, e CF, as seguintes relações vetoriais são verdadeiras:'

'A distância entre o ponto A(x₁, y₁) e a reta ax + by + c = 0 é |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²). O vetor 𝑛 perpendicular à reta ax + by + c = 0 é 𝑛 = (a, b). p.343 Conceitos básicos 1.'

'Determinar as condições para provar AB ⊥ CD.'

'Equações de um plano, equações de uma reta'

'Coordenadas polares e trajetórias'

'Encontre a equação da curva obtida pela ampliação do círculo original por um fator de 5/2 na direção x em relação ao eixo y.'

'Prove que os pontos médios dos lados AB, BC, CD, DA do quadrilátero ABCD representados por P, Q, R, S respectivamente, e os pontos médios das diagonais AC, BD representados por T, U coincidem para os segmentos de linha PR, QS, TU.'

'Prove que 1/PF*QF + 1/RF*SF é constante quando dois cordões PQ e RS passando por um dos focos F de uma cônica se intersectam em ângulos retos.'

'Encontre a equação da curva formada ao ampliar o círculo x^2+y^2=4 por um fator de 5/2 ao longo do eixo x, tendo o eixo y como referência.'

'Pelo teorema da corda'

'Prove as seguintes propriedades geométricas:\n1) Prove que os ângulos verticais são congruentes.\n2) Quando a linha $\\ell$ e m se intersectam com a linha $n$, se $\\ell \\parallel m$, então os ângulos correspondentes e os ângulos alternados internos são congruentes.\n3) Em relação às linhas $\\ell$ e $m$, se um par de ângulos correspondentes ou ângulos alternados internos forem congruentes, então prove que $\\ell \\parallel m$.'

'Exemplo 47 | Centroide de um triângulo'

'Quando tomado na aresta x, as coordenadas de cada vértice podem ser representadas como A(a, b), B(-c, 0), C(c, 0).\n(1)\n\\[\n\egin{aligned}\n\\mathrm{AB}^{2}+\\mathrm{AC}^{2} & =\\left\\{(a+c)^{2}+b^{2}\\right\\}+\\left\\{(a-c)^{2}+b^{2}\\right\\} \\\\\n& =2 a^{2}+2 c^{2}+2 b^{2} \\\\\n& =2\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right) \\\\\n2\\left(\\mathrm{AM}^{2}+\\mathrm{BM}^{2}\\right) & =2\\left\\{\\left(a^{2}+b^{2}\\right)+c^{2}\\right\\} \\\\\n& =2\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right)\n\\end{aligned}\n\\]\nPortanto \\( \\quad \\mathrm{AB}^{2}+\\mathrm{AC}^{2}=2\\left(\\mathrm{AM}^{2}+\\mathrm{BM}^{2}\\right) \\)'

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'No diagrama à direita, um quadrado é dividido em 5 regiões conectando os pontos médios de cada lado, totalizando 14 regiões menores. Quando as regiões adjacentes são coloridas com cores diferentes, quantas maneiras diferentes existem para colorir nos seguintes cenários? Assume-se que esquemas de coloração idênticos após rotação são considerados os mesmos. (1) Selecionar 2 cores entre 4 cores diferentes para colorir. (2) Selecionar 3 cores entre 4 cores diferentes e usar todas as 3 cores para colorir.'

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'Prática 43: Na página 339 deste livro, sobre a área, uma vez que △ABP=¼△ABC, então BP:BC=1:3. Portanto, BP:PC=1:2. Além disso, dado que AB:AC=1:2 das condições. Assim, AP é o ângulo bissetor de ∠BAC. Portanto, ∠BAP=½∠BAC=½ × 90°=45°.'

'Prove que se a interseção dos dois bissetores dos dois vértices ∠A e ∠C do quadrilátero ABCD estiver na diagonal BD, então a interseção dos dois bissetores dos dois vértices ∠B e ∠D estará na diagonal AC.'

'Exemplo 48 Relacionamento dos cinco centros Em um triângulo acutângulo ABC, o circuncentro é O, o ortocentro é H e o baricentro é G. (1) Sejam OM e ON as perpendiculares traçadas de O para os lados AB e BC, respectivamente. Seja L o ponto médio do segmento BH. Prove o seguinte: (a) O quadrilátero MLNO é um paralelogramo. (b) AH = 2ON (2) Se o triângulo ABC não for equilátero, prove que os pontos G, O, H são colineares, e que G divide internamente o segmento OH na razão 1:2.'

'Quais são as possíveis relações de posição entre uma reta ℓ e um plano α?'

"Prove que na figura à direita, com o ponto P como ponto de tangência, os pontos de interseção dos dois círculos O e O' com a tangente externa comum são C e D. Sejam A e B os pontos de interseção da linha que passa pelo ponto P com os dois círculos O e O' que não são P, então AC ⊥ BD."

'Exercício 19 ⇒ Este livro p.282 Deixe um lado de um cubo ser definido como uma grade, mova uma grade para a direita, para trás e para cima respectivamente representada por →, ↗, ↑. (1) Como mostrado na figura da direita, supondo que haja um caminho no canto superior esquerdo, o caminho de A para B é uma permutação de → 3 e ↗ 2, então é 5!/(3!2!)=10. Entre eles, o caminho que passa pela marca × na figura é 1, então o número de caminhos a serem encontrados é 10-1=9 (formas). (2) Tenha cuidado para não contar os casos em que ambos os pontos C e D passam duas vezes. (Total)-(Passar ponto C ou ponto D) Pode ser resolvido da mesma forma (1) e (2). Considere os caminhos para B passando pela parte diagonal da Figura 2. É possível criar um caminho virtual ou usar outros métodos como uma solução alternativa.'

'Utilização de um quadrilátero inscrito em um círculo de raio 36'

'O valor mínimo de AC+BC ocorre quando os pontos A, B, C estão alinhados no diagrama esquematizado de um octaedro regular representado na figura da direita [3]. Neste caso, ∠ACB é igual a ∠PRQ na figura [2]. Portanto, no triângulo PQR, de acordo com a fórmula do cosseno'

'Prática: Prove a seguinte afirmação.'

'Prove que FG = FE ao desenhar a tangente FG a partir do ponto F para o círculo.'

'Teorema da Potência de um Ponto'

'No triângulo ABC, vamos chamar de D a interseção da bissetriz do ângulo ∠B com o lado AC, e chamar de E a interseção da bissetriz do ângulo ∠C com o lado AB.'

'Área de um quadrilátero inscrito em um círculo\nAo buscar a área de um quadrilátero inscrito em um círculo, existe uma fórmula semelhante à fórmula de Herão. Vamos considerar essa fórmula com base na última pergunta do exame.\nSeja o quadrilátero ABCD inscrito em um círculo. Denotando os comprimentos dos lados DA, AB, BC e CD como a, b, c, d, respectivamente, e seja ∠DAB=θ. Além disso, seja T a área do quadrilátero ABCD.\n(1) Prove que a²+b²-c²-d²=2(ab+cd)cosθ.\n(2) Prove que T=√[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)]. Onde s=(a+b+c+d)/2.\n[Universidade de Yamaguchi]'

'[2] Quando $AP = PQ$, se considerarmos mover o ponto $P$ no sentido horário a partir do ponto $A$, existem 5 maneiras de escolher o ponto $P$ de forma que $AP = PQ$.'

'98 Teorema da mediana'

'Em △ABC, se o ponto médio do lado BC for M, então a seguinte equação é válida: \n\nAB^{2}+AC^{2}=2(AM^{2}+BM^{2}) (Teorema da Mediana)'

'A partir do teorema de intersecção de cordas e BC=BD, temos ∠CBT=∠BDC=∠BCD=68°. Além disso, ∠DBC=180°-(68°+68°)=44°, ∠ACB=∠ADB=115°-68°=47°. Portanto, θ=180°-(44°+47°)=89°.'

'Dadas duas retas paralelas ℓ e m, uma reta n intersectando-as e dois pontos A e B. Seja C um ponto na reta ℓ e D um ponto na reta m, de modo que CD seja paralelo a n e AC seja perpendicular a BD. Construa os pontos C e D.'

'Para entender intuitivamente a relação entre os conjuntos de irmãos, é melhor desenhar um diagrama. Deixe o conjunto universal ser U, e os conjuntos de irmãos, irmãs, irmãos mais novos e irmãs mais novas serem P, Q, R e S respectivamente.'

'Exemplo 49 Teorema de Menelaus e Área do Triângulo'

'Para um triângulo ABC, o seguinte é válido:'

'Teorema de Menelau'

'(3) Prove a congruência do triângulo DAE e do triângulo CAB.'

'(3) Se a interseção da linha AH e o lado BC for D, e a interseção da linha CH e o lado AB for E, então'

'No triângulo ABC, seja D o ponto de interseção do bissetor do ângulo A com o lado BC e sejam E e F os pontos de interseção dos bissetores dos ângulos ADB e ADC com os lados AB e AC, respectivamente. Prove o seguinte: (1) Triângulo BEF: Triângulo AEF = BD: AD (2) Triângulo BEF: Triângulo CEF = AB: AC'

'Exemplo importante 57 | Teorema de Simpson'

'Prova usando o teorema da secante'

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'Prova do exemplo importante 101 Igualdade de lados e ângulos\nNo triângulo ABC, prove que a seguinte equação é verdadeira:\n\\[\n(a-b \\cos C) \\sin A=(c-b \\cos A) \\sin C\n\\]\nExemplos 62, 63\nComo mencionado na orientação D.172 e no exemplo 55, para provar a equação P=Q, podem ser usados os seguintes métodos:\n[1] Transformar P ou Q para derivar o outro.\n[2] Transformar tanto P quanto Q para derivar a mesma expressão.\n[3] Transformar P-Q para mostrar que é igual a 0.\nA escolha do método depende do problema dado, mas aqui demonstramos a abordagem [3]. Assim, para simplificar P-Q, consideramos reduzir os caracteres, o que envolve\nEliminar ângulos e converter o problema em um que envolva apenas lados\nPara isso, podemos usar fórmulas como \ \\sin A=\\frac{a}{2 R}, \\cos A=\\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} \.'

'Os seguintes (1), (2), (3) são conhecidos como os três grandes problemas geométricos da Grécia. (1) Problema da trisseção de um ângulo: Dividir um ângulo dado em três partes iguais (2) Problema da duplicação do cubo: Construir um cubo com o dobro do volume do cubo dado (3) Problema da quadratura do círculo: Construir um quadrado com a mesma área que o círculo dado.'

'Capítulo 3 Propriedades Geométricas Verificar Questões'

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'Prove que a linha que conecta o ponto de interseção O de BE e CD passa pelo ponto médio do lado BC no triângulo ABC, onde a linha BC é paralela à linha AB e AC interseptam nos pontos D e E.'

'Teorema do perpendicular'

'Provar que quando o quadrilátero ABCD está inscrito em um círculo, existe um ponto E na diagonal BD tal que ∠BAE=∠CAD.'

'Exercício (1) Prove que quando um ponto arbitrário O é tomado dentro do ΔABC, e os bissetores dos ângulos ∠BOC, ∠COA, ∠AOB intersectam os lados BC, CA, AB nos pontos P, Q, R respectivamente, então AP, BQ, CR se interceptam em um único ponto.\n(2) Seja D o ponto de interseção quando o bissetor do ângulo externo de ∠A em ΔABC se estende pelo lado BC. Sejam E, F as interseções dos bissetores dos ângulos ∠B, ∠C com os lados AC, AB, respectivamente. Mostre que os três pontos D, E, F são colineares.'

'Prove que a linha l é perpendicular ao plano OAB quando a linha OA é perpendicular ao plano alfa e a linha l está no plano alfa.'

'Portanto, pelo teorema do poder de um ponto, AB²=AD×AE'

'Encontre as coordenadas do ponto simétrico a (2, 3) em relação à reta x = 1 e a nova equação.'

'Por favor, explique como desenhar 6 segmentos de linha entre linhas paralelas.'

'Por favor, explique os diagramas de Venn de 4 conjuntos dos exercícios do Capítulo 2 sobre conjuntos e proposições.'

'Prova: Se a linha l é perpendicular às duas linhas m e n que se intersectam no plano α, então a linha l é perpendicular ao plano α.'

'Prova da proporção do bissetor do ângulo 42 e do segmento'

'No quadrilátero ABCD, seja P o ponto de interseção de AC e BD. Dado que ∠APB=∠CPD=90° e AB//DC. Prove que os círculos circunscritos de △PAB e △PCD tangenciam mutuamente.'

'Exemplo 53 | Caminho mais curto da linha quebrada\nUm ponto P está dentro do ângulo agudo ∠XOY. São tomados os pontos Q e R nas semirretas OX e OY (excluindo O), respectivamente. Como posicionar Q e R para minimizar PQ+QR+RP?'

'Por favor, resolva os seguintes problemas:\n(1) Usando a lei do cosseno, encontre o comprimento de BD.\n Valores dados: BC = 4, CD = 3√2, ∠BCD = 45°\n\n(2) Encontre a área do quadrilátero ABCD. Dado que o quadrilátero ABCD está inscrito em um círculo e ∠BAD = 135°.'

'Os cinco centros de um triângulo e o inverso do teorema de Ceva'

'Por translação, este ponto mover-se-á para o ponto (2+2, -4-1) que é o ponto (4, -5), portanto, a equação da parábola requerida é y=(x-4)^2-5 ou y=x^2-8x+11.'

'No triângulo ABC, seja D o ponto de interseção do ângulo B e do lado AC, e seja E o ponto de interseção do ângulo C e do lado AB. Prove que se o ângulo B é menor que o ângulo C, então BD > CE.'

'Portanto, as diagonais AF, DE do quadrilátero ADFE se intersectam perpendicularmente e se dividem ao meio. Assim, o quadrilátero ADFE é um losango.'

'Prove o seguinte.'

'Ângulo de circunferência, quadrado inscrito em um círculo'

'Na Figura 1, quantas maneiras diferentes existem de ir do ponto A ao ponto B através do caminho mais curto sem passar por nem pelo ponto C nem pelo ponto D?'

'Prove que uma linha perpendicular a uma das duas linhas paralelas também é perpendicular à outra.'

'Exemplo 41 Tradução e Movimento Simétrico\nMova uma parábola por simetria em torno da origem, então mova em paralelo -2 na direção do eixo x e 3 na direção do eixo y, a parábola se moverá para y=3x^2-6x+5. Encontre a equação da parábola original.'

As leis de De Morgan Para os subconjuntos A e B do conjunto universal U \overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}, \quad \overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B} \quad (as leis de De Morgan) são válidas. Verifique isso usando um diagrama.

Encontre as equações polares das seguintes linhas. (1) A reta que passa pelo ponto A(3/2, 0) na linha inicial OX e perpendicular à linha inicial. (2) A reta que passa pelo polo O e forma um ângulo de -π/4 com a linha inicial.

Trajetória e elipse

Dado três pontos distintos \( \mathrm{A}(lpha), \mathrm{B}(eta), \mathrm{C}(\gamma) \) no círculo unitário e um ponto \( \mathrm{H}(z) \) fora deste círculo, prove que $\mathrm{H}$ é o ortocentro de $riangle \mathrm{ABC}$ quando a equação z=lpha+eta+\gamma é satisfeita.

Estudamos as equações vetoriais no plano nas páginas 55 e 56. Aqui, vamos considerar as equações do plano e as equações vetoriais no espaço. 1 Equação do plano Como mencionado na referência da página 78, um plano que passa por três pontos não colineares é unicamente determinado. Isso também pode ser definido usando um ponto A e um vetor n diferente de zero. Existem inúmeras linhas que passam pelo ponto A e são perpendiculares ao vetor n. Essas inúmeras linhas formam o plano. Vamos derivar a equação do plano. Seja P(x, y, z) um ponto no plano que passa por A(x1, y1, z1) e é perpendicular ao vetor não nulo n(a, b, c). (1) Quando A e P não coincidem, a partir de n⊥AP, temos n·AP=0. Como AP=(x-x1, y-y1, z-z1), segue-se que n·AP=0 dá a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0 (* Quando A e P coincidem, a partir de AP=0, temos n·AP=0, portanto, (*) é válido. (*) é a equação do plano que passa pelo ponto A e é perpendicular ao vetor n. O vetor n é chamado de vetor normal ao plano. (2) Reorganizando (*) de (1) a*x+b*y+c*z - a*x1 - b*y1 - c*z1 = 0 Deixe -a*x1 - b*y1 - c*z1 = d a*x+b*y+c*z+d=0 \longleftarrow -a*x1 - b*y1 - c*z1 é uma constante. Isso às vezes é chamado de forma geral da equação do plano.

[Prova do vetor de posição do ponto de divisão externa] Mostraremos o caso onde $m > n$. O caso onde $m < n$ é análogo. Seja o ponto \( \mathrm{P}(\vec{p}) \) que divide o segmento $\mathrm{AB}$ externamente na razão $m$. Como \( \mathrm{AP}: \mathrm{AB} = m:(m-n) \), temos $\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \frac{m}{m-n} \overrightarrow{\mathrm{AB}}$. Portanto, \( \vec{p} - \vec{a} = \frac{m}{m-n} (\vec{b} - \vec{a}) \). A fórmula para o ponto de divisão externa é obtida substituindo-se $n$ por $-n$ na fórmula para o ponto de divisão interna.

No plano xy, quando a elipse x²/4 + y² = 1 é transladada 1 unidade na direção x e a unidades na direção y, e a elipse resultante passa pela origem, a=.

Encontre o ângulo agudo formado pelas linhas x-√3y+3=0 e √3x+3y+1=0.

De qualquer ponto P em uma hipérbole, desenhe linhas perpendiculares PQ e PR para as duas assíntotas. Prove que o produto dos comprimentos desses segmentos de linha PQ · PR é uma constante.

Coloque um ponto P no segmento de linha BF, dado o seu coordenada y como a. Seja H a interseção da perpendicular traçada de P à linha CE e da perpendicular traçada do ponto C à linha EP. Expresse o vetor EP usando a, e também expresse as coordenadas do ponto H usando a.

Representação paramétrica de uma seção cônica (1)

Capítulo 4 Formas e Curvas- 99 (2) A linha tangente que passa pelo ponto \( (2,1) \) não é perpendicular ao eixo $x$, então sua equação é \( \quad y=m(x-2)+1 \), ou seja, $y=m x-2 m+1$. Portanto, na equação da linha em (1), quando $n=-2 m+1$, \[m^{2}-(-2 m+1)^{2}+4=0\] isso é $3 m^{2}-4 m-3=0$. Se lpha e eta forem as duas soluções desta equação quadrática, lpha e eta representam as inclinações das duas tangentes. De acordo com a relação entre raízes e coeficientes \quad lpha eta=rac{-3}{3}=-1 . Portanto, as duas tangentes são perpendiculares. O resultado de (1) pode ser utilizado. Duas linhas são perpendiculares $\Longleftrightarrow$ o produto de suas inclinações é -1.

Capítulo 1 Vetores no Plano (3) Os pontos C, E e F são simétricos em relação ao ponto B no eixo y, origem e eixo x, respectivamente, então as coordenadas dos pontos C, E e F são \[ \mathrm{C}(-1, \sqrt{3}), \mathrm{E}(-1,-\sqrt{3}), \mathrm{F}(1,-\sqrt{3}) \] Além disso, as coordenadas do ponto \mathrm{P} são \( (1, a) \) Portanto $\overrightarrow{\mathrm{EP}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OE}}$ \[ egin{array}{l} (1-(-1), a-(-\sqrt{3})) = (2, a+\sqrt{3}) \end{array} \] Em seguida, como o ponto \mathrm{H} está na perpendicular traçada do ponto \mathrm{P} à linha \mathrm{CE}, então podemos denotar \mathrm{H}(x, a). Nesse momento \( \overrightarrow{\mathrm{CH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(x-(-1), a-\sqrt{3}) \) \[ (x+1, a-\sqrt{3}) \] Já que $\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{EP}}$, então $\overrightarrow{\mathrm{CH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EP}}=0$ Aqui, \( \overrightarrow{\mathrm{CH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EP}}=2(x+1)+(a-\sqrt{3})(a+\sqrt{3}) \) $2 x+a^{2}-1$ Portanto $2 x+a^{2}-1=0$ Logo x=rac{1-a^{2}}{2} Assim, as coordenadas do ponto \mathrm{H} são \( \left(rac{1-a^{2}}{2}, a ight) \)

Encontre a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições: (1) os focos estão nos pontos (3√2, 0) e (-3√2, 0), e a diferença nas distâncias dos focos é 6, (2) os focos estão nos pontos (0, √26) e (0, -√26), e a diferença nas distâncias dos focos é 6√2

Portanto, se o ponto D divide o lado BC na proporção 5:3, então o ponto P está na posição que divide o segmento AD na proporção 4:1. (2) ΔPBC = (1/5)ΔABC = (2/10)ΔABC \[ egin{array}{l} ΔPCA = (4/5)ΔADC = (4/5) × (3/8)ΔABC = (3/10)ΔABC \\ ΔPAB = (4/5)ΔABD = (4/5) × (5/8)ΔABC = (5/10)ΔABC Portanto, ΔPBC:ΔPCA:ΔPAB = 2:3:5 \end{array} \]

De modo geral, prove a distância $d$ do ponto \( \mathrm{P}(x_{1}, y_{1}) \) até a linha $\ell: a x + b y + c = 0$ usando vetores.

No plano cartesiano, quando as extremidades A e B de um segmento de reta AB de comprimento 6 se movem no eixo y e no eixo x, respectivamente, determine o lugar geométrico do ponto P que divide externamente o segmento de reta AB na razão 3:1.

Qual é a equação da linha tangente no ponto \( \left(3, rac{16}{5} ight) \) na elipse $C^{\prime}$?

Deixe o segmento AB passar pelo foco da elipse e ser paralelo ao eixo menor. Prove que o quadrado do comprimento do eixo menor é igual ao produto do comprimento do eixo maior e do comprimento do segmento AB.

No tetraedro OABC, sejam L e M os pontos médios das arestas OA e OC, respectivamente. Seja P o ponto que divide o segmento ML internamente na razão de 2:1, e Q o ponto que divide a aresta AB na mesma razão. Seja N o ponto que divide externamente a aresta OB na razão de 2:1, e R o ponto de interseção da linha BC com a linha MN. (1) Expresse OR em termos dos vetores \vec{a}, \vec{b} e \vec{c} quando \overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}, \overrightarrow{OC} = \vec{c}. (2) Prove que o quadrilátero PQRM é um paralelogramo.

Seja $\mathrm{M}$ o ponto médio do segmento $\mathrm{BD}$ e $\mathrm{N}$ o ponto de intersecção da reta $\mathrm{AM}$ com a reta $\mathrm{CD}$. Utilize as duas expressões de $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$ usando os números reais $r$ e $s$, ou seja, $\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+r \overrightarrow{\mathrm{AM}}$, $\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+s \overrightarrow{\mathrm{DC}}$, para encontrar $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$.

TRAINING 29 (3) Dado um triângulo não retângulo $\mathrm{ABC}$ com circuncentro $\mathrm{O}$. Seja $\mathrm{H}$ o ponto que satisfaz $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$. Mostre que $\mathrm{BH} \perp \mathrm{CA}$.

Em coordenadas polares com O como o polo, encontre as equações polares das seguintes linhas. (1) A linha que passa pelo ponto A(2,0) na linha inicial OX e perpendicular à linha inicial. (2) A linha que passa pelo polo O e forma um ângulo de π/3 com a linha inicial. GUIA: Quando uma curva no plano é expressa em coordenadas polares (r, θ) com a equação r=f(θ) ou F(r, θ)=0, essa equação é a equação polar da curva. 1. Suponha que as coordenadas polares do ponto P na figura sejam (r, θ). 2. Expresse as condições que o ponto P satisfaz para a figura na forma de uma equação. (1) Concentre-se no triângulo retângulo OAP.

Quando o ponto $z$ se move em um círculo com centro em $i$ e raio 2, que tipo de figura o ponto w=rac{z-i}{z+i} representará? Observe que $z eq-i$.

116 (1) (a) r²(1+cos² θ)=3 (1) θ=π/4 (b) r=2 sin θ (2) (a) x²+y²-√3x-y=0 (1) 4x²+y²=4