Geometria Plana - Área e Perímetro de Figuras Planas

'Encontre a área cercada pela curva y=|x^{2}-1| e a reta y=3.'

'Encontre a área S cercada pela parábola y = -2x^2 + 1 e pelo segmento de linha AB.'

'Seja 139 uma constante satisfazendo 0 ≤ a ≤ 1. Seja a parábola y = 1/2 x^2 + 1/2 representada como C1 e a parábola y = 1/4 x^2 representada como C2. Para um número real a, a região delimitada pelas retas x = a, x = a+1 e C1, C2 será representada como D, e o quadrado com vértices (a,0), (a+1,0), (a+1,1), (a,1) será representado como R.\n1. Calcular a área S da região D.\n2. Calcular a área T da interseção entre o quadrado R e a região D.\n3. Encontrar o valor de a que maximiza T.\n[Fonte: Teste Central] Exemplo Básico 204, Exemplo Avançado 216'

'Encontre o comprimento do arco e a área dos seguintes setores.'

'Encontre a área delimitada pelas seguintes curvas ou linhas.'

'Encontre a área S cercada pela parábola e pelo eixo x.'

'Encontre a soma das áreas das duas figuras cercadas pelas curvas y=x^{3}-4x e y=3x^{2}.'

'Encontre a área do triângulo OAB com vértices O(0,0), A(2,6), B(4,3).'

'Encontre a área do triângulo formado pelas retas x-y=0 (1), 2x+y=9 (2), x-4y=0 (3).'

'Encontre a área \ S \ da figura cercada pelas seguintes curvas e linhas: \ y = x^{2} - 2x, \\quad y = x^{2} + 2x - 3, \\quad x = -1, \\quad x = 0 \'

'A área total de uma figura plana com um comprimento, a área (2) de um losango é 3 × 3 × 3.14 × 840 ÷ 360=21 × 3.14=65.94(cm²). Além disso, a área total de 8 triângulos equiláteros é 3.9 × 8=31.2(cm²), por isso a área cercada pelas linhas grossas é 65.94+31.2= 97.14(cm²).'

'Qual é a área total da parte colorida na linha 2019 em centímetros quadrados?'

'(2) A área do triângulo MBP é, 6 ✕ (6+12) ÷ 2 = 54 (cm²) Portanto, o volume da pirâmide F-MBP é, 54 ✕ ÷ 3 = 18 ✕ (cm³). Além disso, a área do triângulo MAQ é, 4 ✕ 12 ÷ 2 = 24 (cm²) e a altura da pirâmide R-MAQ é, ✕'

'(1) A superfície inferior é como mostrado na figura à direita. Se a área do losango ABCD for considerada como 1, então as áreas dos 4 triângulos ABD, CDB, DAC, BCA se tornam todas 1/2. Portanto, a área do triângulo AKN é 1/8, a área do triângulo CML é 1/18, as áreas dos triângulos DNM e BLK são 1/6 cada, portanto, a área do quadrilátero KLMN é encontrada como 35/72. Portanto, quando a altura do prisma ABCD-EFGH é considerada como 1, o volume do prisma ABCD-EFGH é 1×1=1, e o volume do tronco O-KLMN é 35/72×1/3=35/216, então o volume do tronco O-KLMN é 35/216 vezes o volume do prisma ABCD-EFGH. O-KLMN também é cortado na metade da altura. Portanto, a secção transversal torna-se metade do tamanho do quadrilátero KLMN, então a área da secção transversal é 1/4 vezes a área do quadrilátero KLMN, assim a área da secção transversal é 35/72×1/4=35/288, portanto, a área da secção transversal é 35/288 vezes a área do losango ABCD.'

'(4) Para encontrar a área do lado inferior (a seção de trapézio preenchida) do gráfico desenhado em (2). Usando o valor obtido em (3) para o cálculo, a distância percorrida em 60 segundos é 20 × 60 ÷ 2 = 600 metros, de 60 segundos a 120 segundos é 20 × (120-60) = 1200 metros, e de 120 segundos a parar em 150 segundos é 20 × (150-120) ÷ 2 = 300 metros. Portanto, a distância total requerida é 600 + 1200 + 300 = 2100 metros.'

'O ângulo B do triângulo ABC e o ângulo C do triângulo ACD são retos, e os ângulos marcados com • são iguais. O ponto E é a interseção das extensões do lado BC e AD. O comprimento do lado AB é de 2 cm, e o comprimento do lado BC é de 1 cm. (1) Qual é a área do triângulo ACD em cm²?'

'Responda às seguintes 4 perguntas. No entanto, observe que o diagrama pode não ser preciso.\n(1) Desenhe dois quadrados com AC como um lado do triângulo ABC e BC como um lado de um quadrado conforme mostrado no diagrama 1 e conecte dois pontos D e E com uma linha. Neste caso, qual é a área do triângulo CDE em centímetros quadrados?'

'Em 1950, de acordo com a Tabela 2, pode-se observar que em 2020, o Colégio Educacional de Shibuya em Makuhari tem uma área menor em comparação com a Prefeitura de Kagawa, mas sua área aumentou. Além disso, aumentos significativos na área podem ser vistos na Prefeitura de Chiba, Tóquio, Prefeitura de Kanagawa, Aichi e outros. Por favor, explique as razões para o aumento da área dessas regiões na folha de respostas. No entanto, observe que as mudanças nos limites das prefeituras ou a descoberta de ilhas desabitadas não estão incluídas.'

'Calcular a área entre duas curvas.'

'Encontre a área do seguinte paralelogramo: AB = 2, CD = 2, BC = 5, ∠B = 120°'

'Ao redor de um lago circular com raio de 4m, uma cama de flores do mesmo tamanho deve ser construída. Para garantir que a área da cama de flores esteja entre 9π metros quadrados e 33π metros quadrados, qual deve ser a largura da cama de flores?'

'Encontre a área de um triângulo dadas as condições e aplique-a à geometria sólida.'

''

''

'Encontre a área do quadrilátero ABCD. Os comprimentos dos lados são AB=5, BC=6, CD=5, DA=3, e o ângulo é ∠ADC=120°.'

'No triângulo ABC, encontre o seguinte. Onde, deixe a área do triângulo ABC ser S. (1) Quando A=120 graus, c=8, S=14√3, encontre a e b. (2) Quando b=3, c=2, 0<A<90 graus, S=√5, encontre o pecado A e a. (3) Quando a=13, b=14, c=15, e o comprimento da perpendicular do vértice A ao lado BC é h, encontre S e h.'

'Fórmula de Herão (Tópicos Avançados)'

'Prática 5: Comparando a área e o perímetro de triângulos'

'Exemplo 135: Área de um Polígono\nPara encontrar a área de um polígono complexo, divida-o em triângulos simples ou quadriláteros, calcule a área de cada um e, em seguida, some-os.'

'A área do triângulo ABC é denotada por S.'

''

'Encontre a área cercada pela curva PR, a linha e o eixo x.'

'Encontre a área de (3) \ -x^{2} + 2x - 2 \.'

'Seja A(1,0). À medida que o ponto P se move ao longo da parte da parábola y=x^2 onde -1 ≤ x ≤ 1, encontre a área da figura formada pelo segmento de reta AP que a atravessa.'

'Expresse a área S da figura cercada por C e ℓ em termos de m à medida que m se move dentro do intervalo determinado em (1).'

'Encontre a área cercada pelos gráficos das duas funções y=-x^{2}+x+2 e y=|x|-1.'

'Através da matemática, a área S obtida pela figura da direita é S = S1 + S2 + S3 = 1/2 * 2 * 1 + 1/2 * 2 (sqrt(3) - 1) + ∫[-1, sqrt(3)] ([-x^2 + x + 2] - [ (2 - sqrt(3)) x + 2 - sqrt(3)]) dx = 1 + sqrt(3) - 1 - ∫[-1, sqrt(3)] (x + 1)(x - sqrt(3)) dx = sqrt(3) - (-1/6)[sqrt(3) - (-1)]^3 = sqrt(3) + 1/6 (10 + 6 sqrt(3)) = 5/3 + 2 sqrt(3)'

''

'Se S1, S2, S3 forem tomados como mostrado na figura, a área S a ser encontrada é: S = S1 - (2 S2 - S3) + S3 = S1 - 2 S2 + 2 S3 = ∫[0, 3] { 3x - (3x^2 - 6x) } dx - 2 ∫[0, 2] { - (3x^2 - 6x) } dx + 2 ∫[0, 1] { (-3x^2 + 6x) - 3x } dx = -3 ∫[0, 3] x(x-3) dx + 6 ∫[0, 2] x(x-2) dx - 6 ∫[0, 1] x(x-1) dx = -3 * (-1/6) (3 - 0)^3 + 6 * (-1/6) (2 - 0)^3 - 6 * (-1/6) (1 - 0)^3 = 27/2 - 8 + 1 = 13/2'

'Encontre a área da seguinte figura: (1) a=10, B=30°, C=105° para △ABC'

'Encontre a área do triângulo ABC. (1) a=3, c=2√2, B=45 graus (2) a=6, b=5, c=4'

'Pratique encontrando a área S do quadrilátero ABCD a seguir (O é a intersecção de AC e BD).'

'Encontre a área S do seguinte paralelogramo ABCD (O é o ponto de interseção de AC e BD).'

'Como r>0 e x>0, temos x=(\\sqrt{2}-1) r. A área do quadrilátero AMON é 2 \\triangle \\mathrm{AMO}=x r=(\\sqrt{2}-1) r^{2}. Portanto, a área do octógono que procuramos é 8(\\sqrt{2}-1) r^{2}.'

'Encontre a área da seguinte figura: (3) Quadrilátero ABCD, inscrito em uma circunferência, AB=6, BC=CD=3, ∠B=120°'

'Encontre a área do quadrilátero ABCD.'

'Encontre a área do hexágono ABCDEF.'

'Como fazer com que a área de um retângulo com perímetro de 20 cm esteja entre 9 cm² e 21 cm²?'

'Área de um triângulo'

'Se a área do triângulo ABC for 20√3, encontre o comprimento do maior lado do triângulo ABC.'

'Encontre a área das seguintes formas.'

'Quando os comprimentos dos três lados são dados, para encontrar a área S do triângulo ABC, os seguintes passos devem ser seguidos:\n(1) Usar a regra do cosseno para encontrar cos A.\n(2) A partir de sin ^ 2 A + cos ^ 2 A = 1, encontrar sin A.\n(3) Substituir na fórmula da área S = 1/2bc sin A.\nA área S, expressa em termos dos comprimentos dos três lados a, b, c, é conhecida como a fórmula de Herão.\nA área S do triângulo ABC de acordo com a fórmula de Herão é\nQuando 2s = a + b + c,\nS = √(s(s-a)(s-b)(s-c))'

'Como é possível calcular a área do quadrilátero ABCD?'

'Problema do Lago 139 Representação de Variáveis e Área (1)\nEncontre a área $S$ da região delimitada pela curva \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x=2 \\cos t \\\\ y=\\sin 2 t\\end{\overlineray}\\left(0 \\leqq t \\leqq \\frac{\\pi}{2}\\right)\\right. e o eixo $x$.'

'(1) Em um plano, quando o centro de um círculo com raio r (r ≤ 1) faz uma revolução ao longo do lado de um quadrado com lado 4, encontre a área S(r) da parte do círculo que passa por ele.'

'Encontre a área S(a) do triângulo ABC e o valor mínimo de S(a) à medida que a se move sobre todos os números reais no problema dado.'

'Portanto, uma vez que t=\\frac{1}{2}, a forma geral da curva é como mostrado na figura à direita. Portanto, a área a ser determinada é'

''

'Encontre a área S da figura delimitada pelas seguintes curvas, linhas e eixos x.'

'Na região no plano xy onde x^{2}+y^{2} ≤ 2,|x| ≤ 1, encontre a área S da parte acima da curva C: y=x^{3}+x^{2}-x.'

''

'Encontre o valor da constante a quando a área cercada pela parábola y=-x(x-2) e pelo eixo x é dividida pela reta y=ax. Dado que 0<a<2.'

''

'Pontos a ter em conta ao calcular a área'

''

'Encontre a área delimitada pelas retas tangentes no ponto $(0,0)$ e no ponto $(2,-2)$ da parábola $y=-x^{2}+x$. p. 412 EX 155'

'Encontre a área cercada pela curva $x=y^{2}$, o eixo y e a reta $y=2$.'

'Encontre a área \ S \ da curva dada pelas equações paramétricas \\( x=2 t+t^{2}, y=t+2 t^{2}(-2 \\leqq t \\leqq 0) \\) e cercada pelo eixo y.'

'Resolva o seguinte problema. Encontre a área \ S \ da curva representada por \\( x = 2t + t^2, y = t + 2t^2 (-2 ≤ t ≤ 0) \\) e a forma envolvida pelo eixo \ y \.'

'Portanto, se a área de \ \\triangle ABC \ for denotada como \ S \, então\nS = S_{1} + S_{2} - S_{3} = 6\\sqrt{3} + (\\sqrt{6} + \\sqrt{2}) - \\frac{3(\\sqrt{6} - \\sqrt{2})}{2} = \\frac{5\\sqrt{2} + 12\\sqrt{3} - \\sqrt{6}}{2}\n\nRepresentando 3 pontos \ A, B, C \ em coordenadas cartesianas,\nA(3, 3\\sqrt{3}), B(-2, 2\\sqrt{3}), C(-\\sqrt{2}, -\\sqrt{2})\n\n\\overrightarrow{AB} = (-5, -\\sqrt{3}), \\quad \\overrightarrow{AC} = (-\\sqrt{2} - 3, -\\sqrt{2} - 3\\sqrt{3})\nS = \\frac{1}{2}| -5(-\\sqrt{2} - 3\\sqrt{3}) - (-\\sqrt{3})(-\\sqrt{2} - 3) | = \\frac{5\\sqrt{2} + 12\\sqrt{3} - \\sqrt{6}}{2}'

'Encontre a área S cercada pela seguinte curva ou linha. onde a constante a em (2) satisfaz 0 < a < 1.'

'A partir da equação dada por (3), 2x ^ 2-2xy + y ^ 2 = 4, podemos concluir y ^ 2-2xy + 2x ^ 2-4 = 0. Portanto, y = x ±√(4-x ^ 2) (-2≤x≤2). A partir do diagrama, a área é calculada como S =∫_(-2) ^ 2{ x +√(4-x ^ 2)} = 2∫_(-2) ^ 2√(4-x ^ 2)dx = 2 * π * 2 ^ 2 = 4π'

'Encontre a área cercada pela curva representada por x=cos(2t) e y=t*sin(t) no plano de coordenadas usando o parâmetro t (0≤t≤2π).'

'Usando a fórmula de área dada no exemplo, encontre a área da região delimitada pela curva $C$ representada pela equação polar $r=1+\\sin \\frac{\\theta}{2}(0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi)$ e pelo eixo x.'

'Encontre a área da forma contida pela curva y² = (x + 3)x²'

'Encontre a área S cercada pela seguinte curva e linhas.'

'Encontre a área máxima S do trapézio ABCD. Onde AD // BC, AB=AD=CD=a e BC>a.'

''

'Calcule a área do triângulo formado pelos pontos P = (1, 1), Q = (4, 5) e R = (7, 2).'

'Encontre a área S cercada pela seguinte curva e retas: y=√x, eixo x, x=1, x=2.'

'Os antigos gregos usavam geometria para calcular áreas e volumes.'

'Encontre a área do triângulo OAB.'

'Por favor, calcule a área de um triângulo isósceles com um lado de 10 cm e o outro lado de 15 cm.'

'Probabilidade de uma moeda de cem ienes caber em uma telha Ao jogar uma moeda de cem ienes (diâmetro de 2,2 cm) em um grande piso coberto com telhas quadradas de 3 cm de lado, vamos considerar a probabilidade de ela se encaixar completamente em uma telha.'

'Quando os pontos P, Q, R em um plano não são colineares, a área do triângulo com eles como 3 vértices é denotada por △PQR. Além disso, quando P, Q, R são colineares, a área é definida como △PQR=0. Seja A, B, C 3 pontos no plano, com △ABC=1. Encontre a área do intervalo viável do movimento do ponto X no plano ao satisfazer 2≤△ABX+△BCX+△CAX≤3. [Universidade de Tóquio]'

'Encontre a área de um quadrilátero inscrito em um círculo com um raio de 106 (2)\nNo quadrilátero ABCD inscrito em um círculo com raio de 106, se AB=5, BC=4, CD=4, DA=2, encontre a área S do quadrilátero ABCD.'

'A área do trapézio DFGE é 479'

''

Encontre a área $S$ do triângulo $riangle \mathrm{OAB}$ em cada um dos seguintes casos. (2) Quando os vértices são os 3 pontos \( \mathrm{O}(0,0), \mathrm{A}(1,-3), \mathrm{B}(2,2) \), seja \overrightarrow{\mathrm{OA}}=ec{a} e \overrightarrow{\mathrm{OB}}=ec{b} .