Funções Básicas - Funções e Desigualdades Racionais

'Pratique traçar o região representada pela seguinte desigualdade.'

'Encontre o valor mínimo de x+\\frac{9}{x} quando x>0.'

'Alterando as posições das fontes de som, medimos a diferença no tempo em que o som foi ouvido em A e B, e descobrimos que há um máximo nesse momento.'

'Trace os gráficos das funções (1) $y=\\frac{1}{2x}$, (2) $y=\\frac{3}{x}-1$ e (3) $y=\\frac{-2}{x-1}$.'

'Determinação de coeficientes de uma função a partir dos valores máximo e mínimo (2)'

'Básico 1: Gráfico de uma função racional, assíntotas e alcance'

'Seja C1 a curva simétrica em relação à reta y=x para a curva y=2/(x+1), e seja C2 a curva simétrica em relação à reta y=-1 para a curva y=2/(x+1). Encontre todas as coordenadas dos pontos de interseção entre a assíntota da curva C2 e a curva C1.'

'Ao estudar a existência de soluções reais da equação $f(x)=g(x)$,\ne ao investigar as mudanças de valor da função $F(x)=f(x)-g(x)$, o teorema do valor intermédio é utilizado.\n(1) Se $F(x)$ for contínua no intervalo fechado $[a, b]$, e $F(a)F(b)<0$ [$F(a)$ e $F(b)$ têm sinais opostos], então há pelo menos uma solução real para a equação $F(x)=0$ no intervalo aberto $(a, b)$.\n(2) Em (1), em particular, se $F(x)$ for monotonicamente crescente [$F^{\\prime}(x)>0$] ou monotonicamente decrescente [$F^{\\prime}(x)<0$], então a solução real é única.'

'Por favor, esboce o gráfico da função y=(1-log x)/x^2. É importante notar que lim(x→∞) de log x/x^2 é igual a 0.'

'Resolva as seguintes equações e desigualdades:'

'Básico 3: Interseção dos gráficos de uma função de fração e uma linha, desigualdades de fração'

'Como o gráfico da função y =\\ frac {-6 x +21} {2 x-5} é movido em paralelo ao gráfico da função y =\\ frac {8 x +2} {2 x-1}?'

'O gráfico da função y = (ax + b) / (x + 2) (b ≠ 2a) passa pelo ponto (1,1), e a função inversa desta função é a mesma que a função original. Encontre os valores das constantes a, b.'

'Seja z um número complexo não nulo. Quando a desigualdade 2 ≤ z + 16/z ≤ 10 é satisfeita, trace a região onde o ponto z existe no plano complexo.'

'(3) r é uma condição necessária para (p ou q)'

'Compreenda o intervalo de uma função e conquiste o exemplo 64!'

'Explique o cálculo de expressões envolvendo raízes quadradas.'

'Quando x=\\frac{6}{5}, y=\\frac{3}{5}, o valor mínimo é \\frac{9}{5}.'

'Explique a conversa, contraposição e inversão de uma proposição.'

'Encontre o valor mínimo de x+\\frac{16}{x} quando x>0.'

'Prove que, para números positivos a, b, x, y com a+b=1, √(ax+by) ≥ a√(x)+b√(y). Além disso, determine quando a igualdade é válida.'

'Explique a relação entre conjuntos e as condições necessárias e suficientes.'

'Prove que a proposição é verdadeira.'

'Por favor, explique conjuntos e termos relacionados (subconjunto, igual, interseção, união, complemento).'

'(4) Escolha um dos seguintes números de 0 a 7, assumindo que os gráficos de y=|3x-6| e y=2x+1 estão representados no mesmo plano de coordenadas, qual é a opção mais adequada para os pontos de interseção.'

'A expressão da função pode ser transformada na forma y=k/(x-2)+1 e, como o gráfico passa pelo ponto (1,2), a partir de 2=-k+1, obtemos k=-1'

'Encontre o valor da seguinte integral definida.\ \\int_{0}^{1} \\frac{1}{x^{2}+x+1} d x \'

'Se as funções f(x) e g(x) são contínuas no valor α em seu domínio, prove que as seguintes funções também são contínuas em x=α: 1. k f(x) + l g(x) (onde k, l são constantes) 2. f(x) g(x) 3. f(x)/g(x) (onde g(α) ≠ 0)'

'164 (1) u = \\frac{V}{2 \\pi} \\cdot \\frac{1-2 h+\\sqrt{1-4 h}}{h^{2}}'

'Gráficos, domínios e intervalos de 3 funções irracionais'

'Considere g(1/2) = α, g(1/3) = β e prove que α + β = π/4.'

'Encontre os valores das constantes $a, b, c$ quando a função $f(x)=\\frac{a x+b}{x+c}$ satisfaz as seguintes condições (A), (B).\n(A) A curva $y=f(x)$ intersecta a reta $y=x+1$ em dois pontos, e os valores absolutos das coordenadas $x$ desses dois pontos de interseção são iguais.\n(B) A curva $y=f(x)$ e as interseções com o eixo $x$ e o eixo $y$ estão ambos na reta $y=\\frac{3}{2} x+\\frac{11}{2}$.\n[Universidade Keio]'

'Desenhe o gráfico da função y = \\frac{9x - 10}{6x - 4} e encontre as assíntotas.'

'Função composta f_{n}(x)'

'y = \\frac{9x-10}{6x-4} = \\frac{9x-10}{2(3x-2)} = \\frac{3(3x-2)-4}{2(3x-2)} = \\frac{3}{2} - \\frac{2}{3x-2}. Portanto, o gráfico que procuramos é obtido traduzindo o gráfico de y = \\frac{-2/3}{x} 2/3 unidades ao longo do eixo x e 3/2 unidades ao longo do eixo y para a direita. O gráfico é mostrado no diagrama à direita. As linhas assintóticas são as duas linhas x=2/3, y=3/2.'

'Exercício 12: Prove as seguintes desigualdades.'

'Exemplo 36: Fórmulas de Aproximação e Valores Aproximados\n(1) Crie a fórmula de aproximação de primeira ordem e segunda ordem de f(x)=\\frac{1}{1+x} quando |x| é suficientemente pequeno.\n(2) Usando a fórmula de aproximação de primeira ordem de \\cos(a+h), encontre o valor aproximado de \\cos 61 graus. Considere \\sqrt{3}=1.732, \\pi=3.142, e calcule até a terceira casa decimal.'

'Dada a função fracionária f(x) = \\frac{a x-b}{x-2}, onde b \\neq 2 a. Para todos os valores de x que satisfazem 0 \\leqq x \\leqq 1, é requerido que 0 \\leqq f(x) \\leqq 1 e que f(f(x))=x. Encontre os valores das constantes a, b.'

'Integral definida e desigualdade'

'Matemática II'

'Gráfico, assíntota e intervalo da função racional.'

'Aproxime as seguintes funções.\n(1) Calcular 1/(1+x) ≈ 1-x, 1/(1+x) ≈ 1-x+x^2 em ordem\n(2) 0.485'

'Simplifique as seguintes expressões.'

'Encontre o intervalo da constante a quando é possível traçar uma linha tangente a partir do ponto (a, 0) para o gráfico da função y=(x+3)/(√(x+1)).'

'(1) Como o gráfico da função y = \\frac{3 x+17}{x+4} está relacionado ao gráfico da função y = \\frac{x+8}{x+3} após um deslocamento paralelo? (2) Determine os valores das constantes a, b, c quando o gráfico da função y = \\frac{a x+b}{x+c} tem as assíntotas x = 3 e y = 1, e passa pelo ponto (2, 2).'

'Para um número real x, [x] representa o inteiro n que satisfaz n ≤ x < n+1, determine os valores das constantes a e b para que a função f(x)=( [x] + a)( b x - [x] ) seja contínua em x=1 e x=2.'

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'Encontre a equação das assíntotas de y = \\frac{x^{3}}{x^{2}-4}.'

'Trace os gráficos das seguintes funções e determine suas assíntotas.'

'Desenhe os gráficos das seguintes funções e encontre suas assíntotas. (a) y=(3x+5)/(x+1) (b) y=(-2x+5)/(x-3) (c) y=(x-2)/(2x+1) (2) Encontre o intervalo de valores para as funções (a) e (b) quando o domínio é 2 ≤ x ≤ 4.'

'Investigue a continuidade das seguintes funções e especifique seus domínios.'

'A seguir, investigamos o número de soluções reais da equação com base nas interseções do gráfico de y=f(x) e da linha y=k.'

'(1) y=\\frac{4x-3}{x-2} y=5x-6 De (1) e (2) obtemos \\frac{4x-3}{x-2}=5x-6 Multiplicando ambos os lados por x-2 temos 4x-3=(5x-6)(x-2) Simplificando obtemos x^2-4x+3=0 Portanto (x-1)(x-3)=0 Assim x=1,3 Substituindo em (2) temos y=-1 quando x=1 e y=9 quando x=3 Portanto, as coordenadas dos pontos de interseção são (1, -1), (3, 9)'

'Encontre as integraisindefinidas a seguir.'

'Encontre as coordenadas dos pontos onde o gráfico da função f(x) = 1/6x³ + 1/2x + 1/3 se intersecta com o gráfico de sua função inversa f^{-1}(x).'

'Encontre as equações das assíntotas para as equações (1) y=\\frac{2 x^{2}+3}{x-1} (2) y=x-\\sqrt{x^{2}-9}'

'Quando a função é y=(2x+c)/(ax+b), passa pelo ponto (-2, 9/5), e tem como assíntotas x=-1/3, y=2/3, descubra os valores das constantes a, b, c.'

'Seja C: y = 1/x (x > 0) a curva. Considere a reta tangente ao ponto P(t, 1/t) na curva C como lt. Além disso, sejam α, β constantes que satisfazem 0 < α < β, e seja D a região delimitada pelas duas retas tangentes lα, lβ, e a curva C. (1) Encontre a área de D. (2) Para α < t < β, encontre o valor de t que minimiza a área S(t) acima da reta tangente lt em D.'

'Investigue se as seguintes funções são contínuas e diferenciáveis nos pontos especificados dentro de [ ].'

'No intervalo \ 0 \\leqq x \\leqq 2 \\pi \, a função \\( f(x) \\) é definida como \\( f(x)=\\frac{2 a(\\sin x+\\cos x)}{2+2 \\sin x \\cos x-a(\\sin x+\\cos x)} \\). Aqui, \ a \ é uma constante que satisfaz \ 0<a<2 \.'

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'Para o intervalo \ [a, b] \ onde \ a < b \, se \\( f(x) \\neq g(x) \\) e \\( f(x) \\geqq g(x) \\) para todo \ x \, então \\( \\int_{a}^{b} f(x) dx > \\int_{a}^{b} g(x) dx \\)'

'Desenhe o gráfico da função de fração e da linha assintótica, além de resolver o exemplo básico 73 (1) função y = 3x / (x-2). Também, encontrar a linha assintótica. (2) Em (1), quando o domínio é 4 ≤ x ≤ 8, encontrar o intervalo.'

'Encontre a área S cercada pelos gráficos y=1/x, y=ax, y=bx no plano xy. Aqui, x>0, a>b>0.'

'Determinando uma função de fração'

'Investigue o aumento e a diminuição da função y=(x²-x+2)/(x+1), a concavidade do gráfico, as assíntotas e faça um esboço aproximado do gráfico.'

'Quando os números reais a, b, c, d satisfazem ad-bc≠0, responda às seguintes perguntas sobre a função f(x)=\\frac{ax+b}{cx+d}:'

'Investigar o aumento e a diminuição, a concavidade e convexidade, as linhas assintóticas da função y=(x+1)^{3}/x^{2}, e esboçar o contorno do gráfico.'

'A partir das condições das assíntotas, a função desejada pode ser expressa como $y = \\frac{k}{x+3} + q (k \\neq 0)$. Como o gráfico passa pelos pontos $(-2,3)$ e $(1,6)$, temos as equações $3=k+q, 6=\\frac{k}{4}+q$. Resolvendo essas equações, obtemos $k=-4, q=7$. Substituindo esses valores, obtemos $y=\\frac{-4}{x+3}+7$, que simplifica para $y=\\frac{7x+17}{x+3}$. As assíntotas do gráfico de $y=\\frac{k}{x-p}+q$ são duas linhas $x=p, y=q$.'

'Hipérbole x^2-y^2/4=1, excluindo o ponto (-1,0)'

'Linhas assintóticas não paralelas a ambos os eixos (y = ax + b)'

'Prove que a função f(x)=\\frac{x}{1+2^{\\frac{1}{x}}} quando A 46^{\\ominus} x \\neq 0 e f(x)=0 quando x=0 é contínua em x=0, mas não é diferenciável.'

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

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'Trace os gráficos das seguintes funções.'

'Trace os gráficos das seguintes funções e encontre seus domínios e intervalos de valores.'

'Examine os intervalos de aumento e diminuição, a concavidade do gráfico, assíntotas, e esboce o contorno geral do gráfico.'

'Área entre a linha e a curva'

'Encontre o valor da constante a de forma que a função inversa da função y=(a x-a+3)/(x+2) seja igual à função original (a não igual a 1)'

'Determine os valores das constantes p, q para que a função f(x) = (px + q)/(x^2 + 3x) atinja um máximo local de -9 em x = -1/3.'

'Que curva representa a representação paramétrica dada?'

'Determine se as seguintes funções f(x) são contínuas ou descontínuas. Onde [x] denota o maior inteiro que não excede o número real x.'

'Explique a relação entre a função inversa g(y) e a função original f(x).'

'Encontre a equação da reta tangente quando um ponto (x₁, y₁) está na curva da elipse $\\frac{x²}{a²} + \\frac{y²}{b²} = 1$.'

'Gráfico de uma função racional, assíntotas e intervalo'

'O domínio da função (1) é x ≠ -2, o alcance é y ≠ a, portanto o domínio da função inversa de (1) é x ≠ a, para que a função (1) e sua função inversa coincidam\na=-2\nNeste caso, a função inversa de (1) é y = \\frac{-2x+5}{x+2}, que coincide com a função (1). Portanto, o valor da constante a procurada é a=-2'

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'Encontre o domínio das seguintes funções.'

'Trace o gráfico da função y=(9x-10)/(6x-4) e encontre as assíntotas.'

'Prove que a função $f(x)=\\frac{x}{1+2^{\\frac{1}{x}}}$ quando $x \\neq 0$ e $f(x)=0$ quando $x=0$ é contínua em $x=0$ mas não é diferenciável.'

'Encontre o domínio das seguintes funções.'

'Determine os valores das constantes a, b para que a função f(x)=\\frac{a x+b}{x^{2}+1} atinja um valor máximo de \\frac{1}{2} em x=\\sqrt{3}.'

'Exemplo de exercício 4 Equação da função'

Básico 64 | Intervalo de funções, valores máximos e mínimos de funções (Básico)

Por favor, explique as propriedades da seguinte hipérbola: x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)