Funções Básicas - Funções Quadráticas e Seus Gráficos

'(1)\\[\n\egin{aligned}\ny^{\\prime} & =-3 x^{2}+12 x-9 \\\\\n& =-3\\left(x^{2}-4 x+3\\right) \\\\\n& =-3(x-1)(x-3)\n\\end{aligned}\n\\]\nQuando \ y^{\\prime}=0 \, \ x=1,3 \\nA tabela para o aumento e diminuição de \ y \ é conforme mostrado à direita. Portanto, o gráfico é como na Figura(1)\n\n(2) \\( y^{\\prime}=x^{2}+2 x+1=(x+1)^{2} \\)Quando \ y^{\\prime}=0 \, \ x=-1 \A tabela para o aumento e diminuição de \ y \ é conforme mostrado à direita. Portanto, aumenta sempre de forma monótona. Portanto, o gráfico é como na Figura(2)\n\n\\n\egin{\overlineray}{c||c|c|c|c|c}\n\\hline x & \\cdots & 1 & \\cdots & 3 & \\cdots \\\\\n\\hline y^{\\prime} & - & 0 & + & 0 & - \\\\\n\\hline y & \\searrow & \\text{min -2} & \\nearrow & \\text{max 2} & \\searrow \n\\hline\n\\end{\overlineray}\n\'

'Desenhe a região representada pela desigualdade y > x^{2}-3 x.'

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"Qual é a condição para que f(x)=6x^2-6x+3a, onde f'(x)=6x^2-6x+3a, tenha duas soluções reais distintas?"

'Para a função quadrática de x, encontre todas as funções quadráticas que se cruzam com o gráfico de y=x^2 em dois pontos de forma ortogonal. Dois gráficos são ditos ortogonais em um ponto se compartilham esse ponto e suas tangentes são perpendiculares entre si.'

'x^{2}+y^{2}=10\n(1) y=-x+2\nx^{2}-2 x-3=0\n(x+1)(x-3)=0\nPortanto, quando x=-1 ou x=3, y=3 ou y=-1\nPortanto, o círculo (A) e a reta (1) intersectam em dois pontos (-1,3),(3,-1).'

'54 (1) f(x) = t^2 + at + b - 1'

'Quando o ponto P(x, y) se move na circunferência unitária, encontre o valor máximo de 15x^2+10xy-9y^2 e as coordenadas do ponto P que dão o valor máximo.'

'O valor máximo em x=1,4 é \\frac{4}{3}; o valor mínimo em x=0 é -\\frac{16}{3}'

'Vamos revisar os valores máximo e mínimo de uma função quadrática, bem como equações envolvendo funções trigonométricas! Vamos revisitar o Exemplo 72 em Matemática I! Lembre-se de como encontramos os valores máximo e mínimo de uma função quadrática. Primeiramente, completamos o quadrado e traçamos o gráfico. Para traçar o gráfico da função quadrática y=4t^{2}+4t+6, completamos o quadrado do lado direito para colocá-lo na forma padrão.'

'Para as duas parábolas y=x^{2} (1) y=-x^{2}+x-a (2), responda às seguintes perguntas.'

'Vamos rever equações envolvendo funções quadráticas, máximos, mínimos e funções trigonométricas!'

"(2) Se y' = 12x - 3x^2 = -3x(x-4) e y' = 0, então a tabela de aumento e diminuição de y em x = 0,4 é como segue. Portanto, em x = 4 ele atinge um valor máximo de 32 e em x = 0 ele atinge um valor mínimo de 0."

'Encontre a taxa de variação média quando o valor de x muda da seguinte forma na função f(x)=x^{2}+2x-1.'

'A região representada pela desigualdade y>x^{2} está acima da parábola y=x^{2}. Usando isso como referência, ilustre as regiões representadas pelas seguintes desigualdades:'

'Desenhe a região representada pelas seguintes desigualdades. (1) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x-3 y-9<0 \\\\ 2 x+3 y-6>0\\end{\overlineray}\\right. (2) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}+y^{2} \\leqq 9 \\\\ x-y<2\\end{\overlineray}\\right. (3) $1<x^{2}+y^{2} \\leqq 4$'

'Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função y=x^{2}-x traçada a partir do ponto C(1,-1).'

'Encontre a área cercada pelas seguintes parábolas e pelo eixo x.\n(1) y=1-x^{2}\n(2) y=x^{2}+x-2\n(3) y=2x^{2}+x-1'

'Gráfico de uma função cúbica e seus pontos de interseção com o eixo x'

'Encontre as equações das duas tangentes nos pontos (-1,1) e (2,4) na parábola y=x^{2}, e calcule a área cercada por essa parábola.'

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'Encontre a equação da reta tangente no ponto (-1,0) no círculo.'

'Encontre o máximo e o mínimo de uma função cúbica'

'Encontre a equação da reta tangente no ponto P(1, -2) no círculo x^2 + y^2 = 5.'

'Seja r>0. Encontre o intervalo de valores de r quando a parábola y=x^{2}-1 e o círculo x^{2}+y^{2}=r^{2} têm 4 pontos em comum.'

'Qual é a equação da reta tangente no ponto (t, t^{2}+1) na parábola C: y=x^{2}+1? Há duas retas tangentes a C, quais são suas equações?'

'Quando x = 3, o valor máximo é 648, e quando x = 1, o valor mínimo é 72.'

'Em x = -1, há um máximo local de 5, em x = 3, há um mínimo local de -27. Em x = 4, há um máximo local de 32, em x = 0, há um mínimo local de 0. Sem extremos, sem extremos.'

'Quais são as estratégias para passar na prova? Por favor, forneça sugestões específicas.'

'Quando o ponto \\((x, y)\\) se move no conjunto determinado por \\((x^{2}+y^{2})^{2}-\\left(3 x^{2}-y^{2}\\right) y=0, x \\geqq 0, y \\geqq 0\\) no plano de coordenadas, encontre o valor máximo de \x^{2}+y^{2}\ e os valores de \x, y\ que dão este valor máximo. [Universidade de Chiba]'

'Seja a parábola y² = 4x C. \n(1) Encontre a equação da normal à parábola C com inclinação m. \n(2) Quantas normais podem ser traçadas a partir do ponto (a, 0) no eixo x para a parábola C? Dado que a ≠ 0.'

'Responda qual o tipo de seção cônica é representado pelas seguintes equações quadráticas:'

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'Gráfico de uma Função Quadrática e x'

'Encontre os valores máximo e mínimo da função. (3) y=x^2-4x+2 (-2 < x ≤ 4)'

'Trace o gráfico das seguintes funções:'

'Encontre a função quadrática que passa pelos três pontos dados.'

'Determine o número de pontos de interseção entre a parábola y=x^{2}-2x+2k-4 e o eixo x considerando diferentes casos com base no valor de k.'

'Como é que a parábola y=-x^{2}+3x-1 foi deslocada paralelamente para obter a parábola y=-x^{2}-5x+2.'

'Encontre a equação de uma parábola que se sobrepõe com a parábola y=-2x^2+3 quando deslocada 2 unidades ao longo do eixo x e -1 unidades ao longo do eixo y.'

'Prove que o gráfico da função $y = mx^2 - 4(m+1)x + m+3$ sempre tem um ponto de interseção com o eixo x, independentemente do valor da constante $m$.'

'Encontre os valores máximo e mínimo da função f(x) = -x^2 + 2ax (0 ≤ x ≤ 4) onde a é uma constante.'

'Encontre os valores máximo e mínimo da função. (2) y=2x^2-4x+3 (x ≥ 2)'

'Dado segmentos de linha de comprimento a e b, desenhe um segmento de linha com a raiz positiva como comprimento que satisfaça a equação quadrática x^2 - ax - b^2 = 0.'

'Pontos de interseção de parábola e reta'

'Para a função f(x)=x^{2}-2 a x-a+6, encontre o intervalo de valores para a constante a tal que f(x) ≥ 0 sempre se mantenha para -1 ≤ x ≤ 1.'

'Determine os valores das constantes a e b para que o gráfico da função quadrática y = ax^{2} + bx - 1 passe pelos pontos (1, 0) e (-2, -15).'

'Quando a função f(x)=ax^{2}-2ax+a+b tem um valor máximo de 3 e um valor mínimo de -5, encontre os valores das constantes a e b.'

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'Exemplo Básico 86 Pontos de Interseção de uma Parábola e uma Reta\nHá uma parábola y=x^{2}-3 x+3 e uma reta y=2 x-a.\n(1) Encontre as coordenadas dos pontos de interseção dos dois gráficos quando a=1.\n(2) Determine o valor da constante a para que os dois gráficos tenham apenas um ponto de interseção.\n(3) Determine o intervalo de valores da constante a para que os dois gráficos não tenham nenhum ponto de interseção.'

'Encontre as equações das parábolas que satisfazem as seguintes condições.'

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'Encontre a função quadrática com um vértice em (2,-3) e um segmento de linha de comprimento 6 cortado do eixo x.'

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'A empresa A vende chocolates. O número de chocolates vendidos, denominado como y (onde y é um inteiro maior ou igual a 1), está relacionado com o preço de venda p ienes por chocolate da seguinte forma:\ny = 10 - p\n(1) Encontre os valores do preço de venda p e do número de chocolates vendidos y que maximizam a receita da Empresa A. A receita é definida como o produto do preço de venda e da quantidade vendida.\n(2) O custo total c(y) de vender y chocolates é dado por c(y) = y^2. Determine os valores do preço de venda p e do número de chocolates vendidos y que maximizam o lucro da Empresa A (receita menos custo total).\n(3) Em (2), se o custo total c(y) mudar para c(y) = y^2 + 20y - 20, encontre os valores do preço de venda p e do número de chocolates vendidos y que maximizam o lucro da Empresa A.'

'Selecione duas funções dentre as seguintes (1)~(4) que tenham um valor máximo em x = 2, e encontre o valor máximo e mínimo dessas funções.'

'Determinação de Funções Quadráticas (2)'

'Para o gráfico C da função quadrática y = x^2 - 4x + 3 e o ponto A(0, -1), encontre o seguinte: (1) Mova o gráfico C paralelo ao eixo x para que ele passe pelo ponto A'

'Determine o valor da constante a de forma que a parábola y=x^{2}-a x+a+1 seja tangente ao eixo x. Além disso, encontre as coordenadas do ponto de tangência.'

'Trace o gráfico de uma função quadrática y=ax^{2}+bx+c usando software de plotagem de gráficos de computador. Neste software, ao inserir valores para os coeficientes a, b e c nos campos A, B, C na tela, o gráfico correspondente a esses valores será exibido.'

'Encontre a função quadrática que satisfaça as seguintes condições para seu gráfico:'

'Translade a parábola y=x^{2}-3x-1 de modo que passe pelos pontos (1,-1),(2,0), encontrando o vértice da parábola.'

'Gráfico de uma função quadrática com valor absoluto'

'Determine o valor da constante c para que a função tenha um valor máximo de 7. Além disso, encontre o valor mínimo nesse ponto.'

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'Este é um problema para encontrar o máximo e o mínimo de uma função quadrática. Por favor, encontre o vértice da função quadrática fornecida abaixo e determine o máximo ou mínimo com base nesse valor.'

'Funções quadráticas e gráficos\n\nGráfico de funções quadráticas\nGráfico de $\\ Delta y=a(x-p)^{2}+q(a \\ neq 0)$: Vértice $(p, q)$, eixo é a linha $x=p$\nSe $a>0$, a parábola é côncava para baixo; Se $a<0$, a parábola é côncava para cima\n\nGráfico de $D y=a x^{2}+b x+c(a \\ neq 0)$: Completando o quadrado\n\\[ y=a\\left(x+\\frac{b}{2 a}\\right)^{2}-\\frac{b^{2}-4 a c}{4 a} \\]\nVértice $\\left(-\\frac{b}{2 a},-\\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}\\right)$, eixo é a linha $x=-\\frac{b}{2 a}$\nSe $a>0$, a parábola é côncava para baixo; Se $a<0$, a parábola é côncava para cima'

'Encontre o comprimento do segmento cortado pelo gráfico das seguintes funções quadráticas a partir do eixo x.'

'Encontre o intervalo de valores para a constante $a$ de modo que a equação do 2º grau $x^{2}-2(a-1)x+(a-2)^{2}=0$ tenha duas soluções reais distintas $\\alpha, \eta$ satisfazendo $0<\\alpha<1<\eta<2$.'

'Encontre a função quadrática que satisfaça as seguintes condições: (1) O vértice do gráfico está em (1,3) e passa pelo ponto (-1,4). (2) O eixo do gráfico é a reta x=4 e passa pelos pontos (2,1) e (5,-2). (3) Tem um valor máximo de 10 em x=3 e y=-6 quando x=-1.'

'Explique como mover a parábola y=-2x^2+3 paralelamente ao eixo x por -2 unidades e paralelamente ao eixo y por 1 unidade, e encontre a equação da parábola resultante.'

'Uma parábola y=2 x^{2}+a x+b é traduzida 2 unidades ao longo do eixo x e -3 unidades ao longo do eixo y, coincidindo com a parábola y=2 x^{2}. Encontre os valores das constantes a e b.'

'Traduzir o texto dado para várias línguas.'

'60 (1) Quando \ x= \\pm 2 \ tem um valor máximo de 8, um valor mínimo de -4 em \ x=0 \\n(2) Quando \ x=2 \ tem um valor mínimo de 3, sem valor máximo\n(3) Quando \ x=2 \ tem um valor mínimo de -2, sem valor máximo\n(4) Quando \ x=0 \ tem um valor máximo de 1, sem valor mínimo'

'Quando 64 (1) \ a<2 \, para \ x=4 \ o valor máximo é \ -24 a+53 \; quando \ a=2 \, para \ x=0,4 \ o valor máximo é 5; quando \ a>2 \, para \ x=0 \ o valor máximo é 5; (2) quando \ a<0 \, para \ x=0 \ o valor mínimo é 5; para \ 0 \\leqq a \\leqq 4 \, para \ x=a \ o valor mínimo é \ -3 a^{2}+5 \; quando \ a>4 \, para \ x=4 \ o valor mínimo é \ -24 a+53 \'

'Encontre a equação da parábola obtida pela translação da parábola y=x^2-4x paralela ao eixo x por 2 unidades e paralela ao eixo y por -1 unidade.'

'Existem três formas de uma função quadrática: forma padrão, forma geral e forma fatorada. Por favor, explique as características e situações em que cada forma deve ser usada.'

'Encontre o intervalo de valores para a constante $a$ de modo que as duas raízes reais distintas da equação $a x^{2}+(a+7) x+2 a-7=0$ estejam dentro do intervalo $-3<x<3$.'

'Encontre o número de pontos de interseção entre os gráficos das seguintes duas funções quadráticas e o eixo x.'

'Encontre os valores máximo e mínimo da seguinte função: (4) y=-x^2-6x+1 (0 ≤ x < 2)'

'Encontre os valores máximo e mínimo da função. (1) y=3x^2-4 (-2 ≤ x ≤ 2)'

'Desenhe o gráfico das seguintes funções quadráticas. Encontre também seus vértices e eixos.'

'Máximo e mínimo de uma função quadrática'

'Funções Quadráticas do Capítulo 4: Resolvendo 132 Funções Quadráticas'

'Quando a parábola y=x^{2}-(k+2)x+2k intersecta o eixo x e corta um segmento de linha de comprimento 3, encontre o valor da constante k.'

'Capítulo 4 Funções Quadráticas: Gráfico de uma função de grau 112'

'Desenhe o gráfico de uma função quadrática y=ax^2+bx+c usando o método de completar o quadrado.'

'Encontre o valor da constante a quando o vértice da parábola y=x^{2}+a x-2 se encontra na reta y=2 x-1.'

'Quando uma bola é lançada verticalmente para cima a partir do solo e a altura após t segundos é y metros, y se torna uma função quadrática de t. Se a altura da bola atinge um máximo de 176,4 metros após 6 segundos, como y pode ser expresso como uma função de t?'

'Encontre o valor da constante a quando o vértice da parábola y=x^2+ax-2 está na reta y=2x-1.'

'Encontre os valores máximo e mínimo de 2x^{2}+3y^{2} quando x^{2}+2(y-2)^{2}=18. Além disso, determine os valores de x e y nesse momento.'

'Encontre os valores máximos e mínimos para as seguintes funções quadráticas:'

'Calcule o número de pontos de intersecção entre o gráfico das seguintes funções quadráticas e o eixo x.'

'Para os casos em que a é uma constante, encontre os valores máximo e mínimo da função f(x)=3 x^{2}-6 a x+2 dentro do intervalo 0 ≤ x ≤ 2.'

'Determine se o seguinte exemplo é uma função: "Para a raiz quadrada de x, x = 16, portanto y = 4 e y = -4, então y não é uma função de x"'

'Suponha que o gráfico da função quadrática $y=-2x^{2}+ax+b$ passe pelo ponto $(3,-8)$. Encontre o valor da constante $a$ quando o gráfico tocar o eixo $x$.'

'Encontre a equação da parábola obtida movendo simetricamente a parábola y=-2x^{2}+4x-4 em relação ao eixo x e então movendo-a paralelamente 8 unidades na direção do eixo x e 4 unidades na direção do eixo y.'

'Como determinar uma função quadrática que satisfaça as condições dadas'

'Encontre os valores máximo e mínimo, se houver, das seguintes funções quadráticas.'

'Encontre as coordenadas dos pontos de interseção entre as seguintes parábolas e retas.'

'Máximo e mínimo de uma função quadrática'

'Quando x^{2}+y^{2}=4, encontre os valores máximo e mínimo de 2 y+x^{2}. Também determine os valores de x e y nesse momento.'

'Para o gráfico da função quadrática $y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3$, responda à seguinte pergunta: (1) Encontre o intervalo de valores para a constante $k$ quando ele não tem nenhum ponto em comum com o eixo x.'

'Trace os gráficos das seguintes equações: (1) y=2x^2-4x-1 (2) y=-x^2-2x+4 (3) y=-x^2+4x-3'

'Encontre uma função quadrática em que o coeficiente do termo quadrático é -1, o gráfico passa pelo ponto (1,1) e o vértice está na reta y=x.'

'Encontre os valores máximo e mínimo para as seguintes funções:'

'Encontre as coordenadas dos pontos em que o gráfico da função quadrática y = x^2 - 6x + 6 intersecta o eixo x.'

'Desenhe o gráfico da seguinte função quadrática.'

'O gráfico da função quadrática y = mx^2 + 3x + m está sempre acima do eixo x'

'Explique a relação entre o gráfico das seguintes funções e o eixo x.'

'Encontre uma função quadrática que satisfaça as seguintes condições.'

'Sobre o gráfico da função quadrática y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3, responda as seguintes perguntas:'

'Máximos e mínimos de uma função quadrática...... a posição do eixo é crucial. Ao rever a solução do exemplo 83 novamente, podemos ver que existem casos diferentes para considerar, mas o ponto-chave é onde o eixo (vértice) está localizado em relação ao domínio. Por exemplo, para um gráfico côncavo para baixo de uma função quadrática, pode ser dividido da seguinte forma: 1. O eixo (vértice) está dentro do domínio. 2. O eixo (vértice) está fora do domínio. No caso de um gráfico côncavo para cima, é assim. Isso mesmo. A magnitude será invertida. Seja côncavo para cima ou côncavo para baixo, existem vários casos dependendo se o eixo (vértice) está dentro ou fora do domínio, e se o eixo (vértice) está à esquerda ou à direita da posição intermediária do domínio. No exemplo 83, embora tanto os valores máximos quanto mínimos sejam considerados simultaneamente, o que acontece se considerarmos os valores máximos e mínimos separadamente?'

'Desenhe os gráficos das seguintes duas funções quadráticas e encontre seus vértices e eixos.'

'(1) y=-(x-1)^{2}+1, \\quad y=-(x-2)^{2}+2 \\\\ \\left[y=-x^{2}+2 x, \\quad y=-x^{2}+4 x-2\\right]'

'(1) Uma vez que o eixo é a reta x=4, a função quadrática a ser determinada pode ser expressa como y=a(x-4)^{2}+q. Uma vez que o gráfico passa pelos pontos (2,1),(5,-2), temos 1=a(2-4)^{2}+q, -2=a(5-4)^{2}+q. Organizando essas equações, obtemos 4a + q = 1 e a + q = -2. Resolva essas equações simultâneas para encontrar a função quadrática.'

'(1) Mostre que a parábola y = x^2 + ax + a-4 sempre tem dois pontos de interseção distintos com o eixo x, independentemente do valor da constante a.'

'Encontre a função do segundo grau que assume um valor máximo de 1 em x=3 e y=-1 em x=5.'

'Determine o intervalo de valores para a constante a de forma que a parábola y=x^{2}-8ax-8a+24 intersecta a parte positiva do eixo x em dois pontos distintos.'

'Encontre os valores máximos e mínimos das seguintes funções quadráticas.'

'Para investigar a relação entre o gráfico de uma função quadrática e o eixo x, é necessário compreender o seguinte. Como a coordenada y dos pontos de interseção entre o gráfico de uma função quadrática e o eixo x é sempre 0, a coordenada x dos pontos de interseção onde y = 0 é o valor de x. Em outras palavras, resolver os seguintes problemas é crucial.\n1. Encontre a coordenada x do ponto de interseção entre o gráfico da função quadrática y=ax^2+bx+c e o eixo x.\n2. Qual é o termo para um único ponto de interseção? Qual é aquele ponto?'

'Encontre o número de pontos de interseção dos gráficos das seguintes funções quadráticas com o eixo x.'

'Quando uma bola é lançada verticalmente para cima a partir do chão e a altura após t segundos é y metros, y se torna uma função quadrática de t. Se a altura da bola atingir o máximo de 176.4m após 6 segundos do lançamento, como é que y é expresso como uma função de t?'

'Transforme a função quadrática y=ax^{2}+bx+c na forma de máximo e mínimo y=a(x-p)^{2}+q (completando o quadrado). Quando a>0, o valor mínimo está em x=p, que é q. Quando a<0, o valor máximo está em x=p, que é q.'

'Vamos tentar fazer uma parábola!'

'Desenhe os gráficos das seguintes funções.'

'Encontre as funções quadráticas para as seguintes parábolas: (1) Parábola com vértice em (2,-3) passando pelo ponto (3,-1) (2) Parábola com eixo na reta x=4 passando pelos pontos (2,1) e (5,-2)'

'Desenhe o gráfico de uma função quadrática y=ax^2+bx+c (2)'

'Por favor, encontre o valor máximo da seguinte função quadrática: f(x) = -2x^2 + 4x'

'O valor máximo é 21 quando x=-4, e o valor mínimo é -3 quando x=0'

'Reescreva as seguintes condições (a), (b), (c) para que todas se tornem equivalentes à condição (d).'

'Sejam a e b constantes, e seja F o gráfico da função quadrática y=x^{2}+ax+b. Escolha duas afirmações corretas sobre F a partir das seguintes (1) a (6).'

'Ao transladar a parábola (2) de forma paralela ao eixo x por -3 e ao eixo y por -6, e em seguida refleti-la em relação à origem, ela retorna à parábola ①. Durante esse movimento, o vértice (2, -3) é movido pela translação paralela para o ponto (2-3, -3-6) que é o ponto (-1, -9) e posteriormente movido pela translação simétrica em relação à origem para o ponto (1, 9). Portanto, a equação de (1) é y=(x-1)^{2}+9 que é equivalente a y=x^{2}-2x+10, logo a=-2, b=10.'

'Encontre uma função quadrática que tenha um mínimo em x=-2 e passe pelos pontos (-1,2) e (0,11).'

'Qual é a equação da parábola obtida ao mover simetricamente a parábola y = -2x^2 + 4x - 4 em relação ao eixo x e depois deslocá-la paralelamente 8 unidades na direção x e 4 unidades na direção y?'

'Desenhe o gráfico da seguinte função quadrática e encontre o vértice e o eixo. (1) y=5 x^{2}+3 x+4'

'Encontre uma função quadrática que satisfaça as seguintes condições.'

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'Encontre a função quadrática que passa pelos seguintes 3 pontos.'

'Encontre a função quadrática que passa pelos seguintes 3 pontos:\n(1) (-1,7),(0,-2),(1,-5)\n(2) (-1,0),(3,0),(1,8)'

'Seja P o vértice da parábola y=x^{2}+2 x-1. Responda às seguintes perguntas: (1) Encontre as coordenadas do ponto Q que é simétrico ao ponto P em relação ao eixo x. (2) Encontre a equação da parábola que é simétrica a esta parábola em relação ao eixo x.'

'(1) y=2(x-2)^2-3[y=2x^2-8x+5] (2) y=(x-4)^2-3[y=x^2-8x+13]'

'Passos para determinar uma função quadrática'

'À medida que o ponto P se move na parábola y=x², são desenhadas linhas perpendiculares PQ e PR para as linhas y=x-1, y=5x-7, respectivamente. Encontre o valor mínimo do produto PQ・PR. Além disso, determine as coordenadas do ponto P nesse momento.'

'Passando pelo ponto A(-1,0), seja ℓ a reta com inclinação a. A parábola y = 1/2 x^2 intercepta a reta ℓ em dois pontos distintos P e Q.'

'Encontre a equação da reta tangente desenhada no gráfico da função y=x^{2}-x que passa pelo ponto C(1,-1).'

'Considerando 99a como uma constante. Para a parábola y=x^{2}+ax+3-a, quando a varia sobre todos os valores reais, encontre o locus do vértice.'

'Encontre a área cercada pelas retas tangentes à curva y=-x²+1 nos pontos (0,0) e (2,-2).'

'Dada a parábola y=x^{2} e o círculo x^{2}+(y-4)^{2}=r^{2}(r>0), encontre o intervalo de r para o qual a parábola e o círculo têm 4 pontos de interseção.'

'Calcular a taxa média de variação para os problemas básicos dados 169'

'Quando os números reais positivos x e y satisfazem 9x^2 + 16y^2 = 144, encontre o valor máximo de xy.'

'Encontre a equação da reta tangente com uma inclinação de -1 na parábola y=x^{2}-5 x+4.'

'Encontre o valor máximo de y=-x^{2}+2x+3 e o valor correspondente de x.'

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'Encontrar a área máxima e mínima'

'Após preencher a terceira linha da tabela de aumento e diminuição, faça o gráfico. Quando preencher o valor de y correspondente ao valor de x na primeira linha, faça o gráfico de acordo com o conteúdo. Neste caso, ao desenhar o gráfico de uma função quadrática, é recomendável primeiro encontrar o vértice para que y seja um valor máximo ou mínimo. Além disso, também é importante encontrar as coordenadas da interseção com o eixo y (substituir x=0 na expressão de y).'

'Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (2, -4) e é tangente à curva y=x^{2}-2 x.'

'Seja a>0, considere a reta tangente m no ponto (a, a^{2}) na parábola E: y=x^{2}. Encontre a área limitada por E, m e o eixo y, expressa em termos de a.'

'A partir do ponto (3,4), encontre a equação da reta tangente desenhada na curva y=-x^{2}+4x-3.'

'Encontre o valor mínimo para o seguinte:\n31. (1) x=4 com valor mínimo de 8\n(2) x=2 com valor mínimo de 3'

'(1) Quando x=-\\frac{1}{2}, o valor mínimo é -\\frac{3}{16}. Quando x=0, o valor máximo é 0. Quando x=2, o valor mínimo é -8. (2) Quando x=1, o valor mínimo é 0'

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'Vamos examinar mais de perto o conteúdo do exemplo básico 214. Deve-se notar que na resposta real, os cálculos devem ser feitos como na solução do exemplo, sem usar o seguinte como uma fórmula.'

'As coordenadas x dos pontos de interseção da curva y=-2x^{2}+4x+6 e o eixo x são obtidas resolvendo a equação -2x^{2}+4x+6=0, ou seja, x^{2}-2x-3=0, que resulta em (x+1)(x-3)=0, assim -1 ≤ x ≤ 3 e y ≥ 0, então a área requerida S é'

'Existem as duas funções quadráticas f(x)=-\\frac{1}{2}x^2+\\frac{3}{2} e g(x)=x^2+ax+3.'

"Quando a função quadrática $f(x)$ satisfaz $f'(0)=1, f'(1)=2$, encontre o valor de $f'(2)$."

'Encontre a equação da reta que passa pelo círculo x^2 + y^2 = 8 e é perpendicular à reta 7x + y = 0.'

'No ponto P(a, a^2) na parábola C: y = x^2, onde a > 0, encontre a reta tangente l1. Se a reta tangente l2 em um ponto Q em C diferente do ponto P é perpendicular a l1, encontre a equação de l2.'

"A segunda linha é preenchida usando o gráfico de y'"

'Seja a uma constante, e considere a função f(x)=-2x^{2}+6x+1 no intervalo a ≤ x ≤ a+1. Responda às seguintes perguntas.'

'Encontre a função quadrática quando o gráfico da prática atende às seguintes condições:'

'Encontre o máximo e o mínimo da função quadrática y=ax^{2}+bx+c.'

'Encontre o valor mínimo.'

'Encontre o valor da constante a quando a parábola y=x^{2}+3x+a e a reta y=x+4 são tangentes.'

'Encontre a função quadrática que passa pelos pontos (1,0), (3,0) e (4,2).'

'Encontre a função quadrática que satisfaça as seguintes condições: Passando pelos pontos (1,8), (-2,2), (-3,4).'

'Determine o intervalo da constante m para que o gráfico da função quadrática y=-x^{2}+(m-10)x-m-14 satisfaça as seguintes condições: (1) Interseção com as partes positiva e negativa do eixo x. (2) Compartilhe pontos apenas com a parte negativa do eixo x.'

'Explique como resolver os problemas de máximo e mínimo de uma função quadrática e descreva suas características.'

'Como o número de pontos de interseção entre o gráfico da função quadrática y=x^{2}-2x+2k-4 e o eixo x muda com diferentes valores da constante k?'

'Encontre a função quadrática que satisfaça as seguintes condições: passando pelos pontos (-1,16), (4,-14), (5,-8).'

'Pratique Determinar os valores das constantes a e b para a função f(x) = a x^2 + 4ax + b, com o domínio -1 <= x <= 2, quando o valor máximo é 5 e o valor mínimo é 1.'

'Encontre a equação de uma função quadrática y = ax^2 + bx + c. O gráfico passa pelos pontos (-1, 22), (5, 22) e (1, -2).'

'Para as seguintes funções quadráticas, se existirem valores máximos ou mínimos, por favor encontre-os. (1) y=x^{2}-2 x-3 (2) y=-2 x^{2}+3 x-5 (3) y=-2 x^{2}+6 x+1 (4) y=3 x^{2}-5 x+8'

'Seja a uma constante, e f(x) = x^2 - 2ax + a + 2. Encontre o intervalo de valores para a de modo que f(x) > 0 seja verdadeiro para todos os valores de x no intervalo 0 ≤ x ≤ 3.'

'Encontre o intervalo de valores de a quando o gráfico da função y=ax^2+4x+2 tem 2 pontos de interseção diferentes com o eixo x. Além disso, determine o valor de a quando o gráfico se intersecta com o eixo x em apenas um ponto.'

'Determine o número de pontos de interseção entre o gráfico da função quadrática y=-x^{2} e a reta y=-2x+k. Onde k é uma constante.'

''

'Utilize um software de visualização gráfica em um computador para exibir o gráfico de uma função quadrática y=ax^{2}+bx+c. Neste software, insira os valores dos coeficientes a, b e c nas posições A, AB e C na tela, e o gráfico correspondente a esses valores será exibido. Agora, após inserir os valores em A, B e C, um gráfico semelhante ao da direita foi exibido. (1) Escolha uma combinação apropriada de 11 a 8 na tabela à direita como os valores de entrada nas posições A, B e C. (2) Para exibir uma curva simétrica à origem do gráfico atualmente exibido, quais valores devem ser inseridos em A, B e C? Escolha a combinação apropriada de 1 a 8 na tabela (1).'

'Por favor, explique como utilizar de forma eficaz gráficos e análises para resolver problemas de exemplo.'

'Encontre os valores das constantes a e b quando a função quadrática y=3x^2-(3a-6)x+b obtém um valor mínimo de -2 em x=1.'

'Encontre a função quadrática quando as seguintes condições são atendidas.'

'Transforme o gráfico da função quadrática y = ax^{2} + bx + c na forma a(x-p)^{2} + q completando o quadrado.'

'Determine o intervalo de valores para a constante m de modo que o gráfico da função quadrática y=-x^{2}+(m-10)x-m-14 satisfaça as seguintes condições: (1) Intersecta as partes positiva e negativa do eixo x. (2) Compartilha apenas um ponto com a parte negativa do eixo x.'

'Normalmente, quando duas parábolas têm dois pontos em comum, encontre a equação da reta que passa por eles.'

'Usando software de gráficos, você pode observar como o gráfico muda com base no valor de a.'

'Capítulo 3: Funções Quadráticas\nSeção 8: Funções e Gráficos\nProblema\nDesenhe os gráficos das seguintes funções:\n(a) $y = x^2$\n(b) $y = -x^2$'

'Encontre o comprimento do segmento cortado pelo gráfico da função quadrática y=-3x^{2}-4x+2 a partir do eixo x.'

'Determine o intervalo da constante m para que o gráfico da função quadrática y=x^{2}-m x+m^{2}-3 m satisfaça as seguintes condições:'

'Encontre a função quadrática que passa pelos pontos (1,1), (3,5) e (4,4).'

'A solução desejada está no intervalo combinado de \ -1<x<-1+2 \\sqrt{3} \\n(2) \\( x^{2}-6 x-7=(x+1)(x-7) \\) então\n\ x^{2}-6 x-7 \\geqq 0 \ a solução é \ x \\leqq-1,7 \\leqq x \\n\ x^{2}-6 x-7<0 \ a solução é \ \\quad-1<x<7 \'

'Matemática II\n(1) Determine o valor da constante a de forma que o gráfico da função y=x^{2}+ax+a seja tangente à reta y=x+1. Encontre as coordenadas do ponto de tangência.\n(2) Seja k uma constante. Investigue a quantidade de pontos de interseção entre o gráfico da função y=x^{2}-2kx e a reta y=2x-k^{2}.'

''

'Como o número de pontos de intersecção entre o gráfico da função quadrática y=x^{2}-2 x+2 k-4 e o eixo x varia com o valor da constante k?'

'Para a função quadrática y=ax^2+bx+c, passando pelos pontos (-1,0) e (3,8), e tangente à reta y=2x+6, quais são os valores de a, b, e c?'

'Estas duas parábolas têm pontos de interseção? Se sim, encontre suas coordenadas.'

'Intervalo de existência de soluções da equação'

'Vamos considerar a posição dos pontos de interseção entre uma parábola e o eixo x. Desenhe um gráfico parabólico que satisfaça as seguintes condições.\n\nCondições:\n1. O gráfico intersecta a parte positiva do eixo x em dois pontos diferentes.\n2. A posição do eixo é positiva.\n3. f(0) > 0.\n\nExplique que características um gráfico que satisfaz essas condições teria.'

'Prática: No seguinte gráfico de funções quadráticas, quanto foram deslocados os gráficos dentro dos colchetes paralelamente? Além disso, desenhe cada gráfico e encontre seus eixos e vértices.'

'Como é que o gráfico da função quadrática y=2x^{2}+6x+7 é movido para obter o gráfico da função quadrática y=2x^{2}-4x+1?'

'O formato do gráfico da função f(x) muda dependendo do valor de a, mas explique para quais valores de a f(x) não tem um valor máximo.'

'Encontre o valor da constante k quando o comprimento do segmento cortado pela parábola y=x^{2}-(k+2)x+2k do eixo x for 4.'

'Para [5], [6], [7], y é mínimo em x=2.'

'Matemática I\nAs seguintes parábolas e retas têm pontos em comum? Se sim, encontre as coordenadas.\n(1) \\ left\\ { \\ begin {\overlineray} {l} y=x^{2}-2 x+3\\ y=x+6 \\ end {\overlineray} \\ right. \n(2) \\ left\\ { \\ begin {\overlineray} {l} y=x^{2}-4 x\\ y=2 x-9 \\ end {\overlineray} \\ right. \n(3) \\ left\\ { \\ begin {\overlineray} {l} y=-x^{2}+4 x-3\\ y=2 x \\ end {\overlineray} \\ right. '

'Ao procurar as coordenadas de A e B, é como se segue.'

'O gráfico da função quadrática y=x^{2}+ax-a+3 tem pontos de interseção com o eixo x, mas não tem pontos de interseção com a reta y=4x-5. Aqui, a é uma constante.\n(1) Determine o intervalo de valores para a.\n(2) Seja m o valor mínimo da função quadrática y=x^{2}+ax-a+3, encontre o intervalo de valores para m. [Universidade de Informação de Hokkaido]'

'Encontre os valores de a, b e c para a função quadrática y=a x^{2}+b x+c que passa pelos pontos (-1,0) e (3,8) e é tangente à reta y=2 x+6.'

'Os gráficos dessas duas funções quadráticas se intersectam com o eixo x? Se sim, encontre as coordenadas dos pontos de interseção.'

'Prática: Encontre os valores máximo e mínimo das seguintes funções.'

'Encontre as coordenadas x dos pontos de interseção do gráfico da função y=x^{2}-2ax+a^{2}-3 com o eixo x.'

'Encontre as coordenadas dos pontos de interseção das seguintes funções quadráticas com o eixo x.'

'Encontre os valores das constantes a, b quando a função quadrática y=x^{2}+ax+b atinge um valor máximo de 1 no intervalo 0 ≤ x ≤ 3 e um valor máximo de 9 no intervalo 0 ≤ x ≤ 6.'

'Determine o sinal (positivo, 0, negativo) dos seguintes valores para o gráfico de uma função quadrática conforme mostrado à direita:'

'Encontre as condições para o gráfico da função quadrática y = ax^2 + bx - 1 passar pelos pontos (1,0) e (-2,-15).'

'Encontre o número de pontos de interseção entre os gráficos das funções y = x^2 - 4 e y = a(x + 1)^2.'

'Encontre a função quadrática representada pelos gráficos (1) e (2) do gráfico C da função y=x^{2}-4 x+3 e ponto A(0,-1), onde (1) é um gráfico obtido ao traduzir C paralelamente ao eixo x passando pelo ponto A e (2) é um gráfico obtido ao traduzir C paralelamente ao eixo y passando pelo ponto A.'

'Capítulo 3 Funções Quadráticas\n[1] $a+\\frac{1}{2}<5$ ou seja quando $a<\\frac{9}{2}$\nPela figura [1], o máximo ocorre em $x=a$.\nO valor máximo é $f(a)=a^{2}-9 a$\n[2] $a+\\frac{1}{2}=5$ significando $a=\\frac{9}{2}$\n[1] $x=a+\\frac{1}{2}$\nPela figura [2], o máximo ocorre em $x=\\frac{9}{2}, \\frac{11}{2}$.\nO valor máximo é $f\\left(\\frac{9}{2}\\right)=f\\left(\\frac{11}{2}\\right)=-\\frac{81}{4}$\n[3] $5<a+\\frac{1}{2}$ significando $\\frac{9}{2}<a$\nPela figura [3], o máximo ocorre em $x=a+1$. O valor máximo é\n$f(a+1) =(a+1)^{2}-10(a+1)+a =a^{2}-7 a-9$'

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'Encontre os valores máximos e mínimos das seguintes funções quadráticas:'

'Encontre os valores das constantes a e b quando a função quadrática y = x^2 + a x + b atinge o valor máximo de 1 no intervalo 0 ≤ x ≤ 3 e o valor máximo de 9 no intervalo 0 ≤ x ≤ 6.'

'Os valores máximo e mínimo da função quadrática f(x)=-x^{2}+2x para a ≤ x ≤ a+2 são funções de a, denotadas por F(a) e G(a) respectivamente. Trace os gráficos das funções F(a) e G(a).'

'Dado que x e y satisfazem x^2 + 2y^2 = 1, encontre os valores máximo e mínimo de 2x + 3y^2.'

'O gráfico de uma função quadrática é uma parábola, e os valores de a, b, c determinam se abre para baixo ou para cima, o grau de abertura, a posição do eixo e do vértice, etc. Aqui, vamos pensar sobre como o gráfico muda ao variar os valores de a, b e c.'

'Encontre a função quadrática que passa pelos seguintes três pontos.'

'Encontre a função quadrática que satisfaz as seguintes condições: (1) O vértice está no ponto (1,3), e passa pelo ponto (0,5).'

'Encontre a função quadrática que passa por (-1,7), (0,-2), (1,-5).'

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'Usando o gráfico de uma função quadrática e sua relação com o eixo x, encontre as soluções reais da seguinte equação.'

'Capítulo 3 Funções Quadráticas'

'Quando $5 < \\alpha$, a partir da figura [6], pode-se observar que $x=a$ resulta no valor mínimo. O valor mínimo é $ f(a)=a^{2}-9 a'

'Encontre uma função quadrática que satisfaça as seguintes condições: (2) O eixo do gráfico é a reta x=4, e passa pelos pontos (2,1) e (5,-2).'

'Exemplo Básico 84: Encontre o número de pontos de interseção entre a parábola y=x^{2}-2 x+2 k-4 e o eixo x considerando diferentes casos da constante k.'

'Encontre a função quadrática com vértice no ponto (2, -3) e um comprimento de 6 para o segmento cortado do eixo x.'

'Pontos a observar ao completar o quadrado'

'Determine o valor da constante a, para que a parábola y=x^{2}-ax+a+1 seja tangente ao eixo x. Além disso, encontre as coordenadas do ponto de tangência.'

'Para -4 <= x <= 0, a partir da figura (1), pode-se observar que o valor máximo é obtido em x=-1 com f(-1)=3, e o valor mínimo é obtido em x=-4 com f(-4)=-15.'

'Encontre os valores máximos e mínimos das seguintes funções quadráticas:\n(1) y=2 x^{2}+4 x+1\n(2) y=-x^{2}+2 x+3'

'Encontre uma função quadrática que satisfaça as seguintes condições: (2) O eixo do gráfico é a linha x=-1 e passa pelos pontos (-2,9) e (1,3).'

'Encontre os valores máximos e mínimos das seguintes funções quadráticas: (1) y=x^{2}-2 x-3 (2) y=-2 x^{2}+x (3) y=3 x^{2}+4 x-1 (4) y=-2 x^{2}+3 x-5'

'Prove que o comprimento do segmento de reta cortado do eixo x pelo gráfico da função quadrática y=x^{2}-2ax+a^{2}-3 é constante, independentemente do valor da constante a.'

'Descreva o gráfico das seguintes funções quadráticas.'

'Encontre a função quadrática que satisfaça as seguintes condições: Em x=-3, ela assume o valor mínimo de -1 e em x=1, y=31.'

'Encontre o comprimento do segmento de reta cortado pelo gráfico da função quadrática y=-x^{2}+3x+3 do eixo x.'

'Capítulo 3 Funções Quadráticas\n(2) Uma vez que o vértice da parábola a ser determinada está na reta y=-x+2, as coordenadas do vértice são representadas como (p,-p+2). Portanto, a equação necessária é y=\\frac{1}{2}(x-p)^{2}-p+2. Uma vez que a parábola passa pelo ponto (1,5), temos 5=\\frac{1}{2}(1-p)^{2}-p+2, que se simplifica para p^{2}-4 p-5=0. Portanto, (p+1)(p-5)=0, logo p=-1,5. Quando p=-1, (1) torna-se y=\\frac{1}{2}(x+1)^{2}+3 (ou y=\\frac{1}{2} x^{2}+x+\\frac{7}{2}). Quando p=5, (1) torna-se y=\\frac{1}{2}(x-5)^{2}-3 (ou y=\\frac{1}{2} x^{2}-5 x+\\frac{19}{2}).'

'Seja x, y números reais. Encontre o valor mínimo de 6 x^{2}+6 x y+3 y^{2}-6 x-4 y+3 e os valores correspondentes de x, y.'

'Encontre a função quadrática que passa pelos seguintes 3 pontos.'

'Como deve ser feito o movimento paralelo da parábola y = 3x^2-6x+5 para que ela se sobreponha à parábola y = 3x^2+9x?'

'Determine o número de pontos de interseção do gráfico das seguintes funções quadráticas com o eixo x.'

'Encontre a equação de uma parábola que se sobrepõe à parábola y=-2 x^{2}+3 depois de ser traduzida 2 unidades ao longo do eixo x e -1 unidade ao longo do eixo y.'

'Trace os gráficos das seguintes duas funções quadráticas e encontre seus eixos e vértices. (1) y=x^{2}+4 x+3 (2) y=-2 x^{2}+6 x-1'

'Encontre uma função quadrática que satisfaça as seguintes condições: Alcança um valor máximo de 10 em x=3 e é -6 quando x=-1.'

'Em que medida a parábola y=-x^2+3x-1 deve ser transladada para obter a parábola y=-x^2-5x+2.'

'Encontre as coordenadas dos dois pontos de interseção das parábolas y = x^2 - x + 1 e y = -x^2 - x + 3.'

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'Gráfico da Função de Exemplo Básico 832 e Pontos de Interseção com o eixo x'

'Determinar o máximo e o mínimo de uma função quadrática'

'Seja o gráfico G de y=2x^{2}-4x+5 deslocado paralelamente ao eixo y por k para obter o gráfico H. Quando o gráfico H intercepta o eixo x em dois pontos diferentes, e intercepta em dois pontos diferentes dentro do intervalo de 2≦ x≦6, o intervalo de valores possíveis para k de modo que o gráfico intercepte o eixo x em dois pontos diferentes é ≦ k< .'

'Encontre a equação da parábola após deslocar a parábola y = -x^2 + x - 2 paralelamente ao eixo x por -3 e paralelamente ao eixo y por 1.'

'Ao deslocar a parábola y=x^2-3x-1 de forma paralela para passar pelos pontos (1,-1) e (2,0), encontre o vértice da parábola.'

'Encontre a função quadrática que passa pelos seguintes 3 pontos.'

'A parábola y=2x^2-4x+1 foi deslocada paralelamente por duas unidades da parábola y=2x^2+6x+7.'

'Encontre a função quadrática que satisfaz as seguintes condições: (1) O vértice do gráfico está no ponto (1,3) e passa pelo ponto (-1,4).'

'Encontre o comprimento do segmento de reta cortado pelo gráfico das seguintes funções quadráticas a partir do eixo x. (1) y=4 x^{2}-7 x-11 (2) y=-4 x^{2}+4 a x-a^{2}+9'

"Em relação a 'a', o sinal e o valor absoluto do coeficiente 'a' dependem se a parábola é côncava para baixo ou para cima, bem como o grau de abertura da parábola."

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'Suponha que PR seja uma constante. Para a função f(x)=3 x^{2}-6 a x+5 (0 ≤ x ≤ 4), encontre:\n(1) O valor máximo.\n(2) O valor mínimo.\nf(x)=3 x^{2}-6 a x+5=3(x-a)^{2}-3 a^{2}+5\nO gráfico desta função é uma parábola côncava, com o eixo sendo a linha x=a.'

'Quando x e y satisfazem 2x^{2}+y^{2}-4y-5=0, encontre os valores máximo e mínimo de x^{2}+2y.'

'Encontre os valores máximo e mínimo da função f(x) sob as seguintes condições.\n(2) -2<x≤1\n(3) 0≤x≤3\nEncontre o x ótimo com base no diagrama e em cada condição.'

'Vamos considerar a como uma constante. Encontre o valor mínimo da função f(x) = x^2 - 2x + 2 no intervalo a ≤ x ≤ a + 2.'

'Investigue o número e a natureza das soluções da função f(x) sob as seguintes condições:'

'Encontre os valores máximo e mínimo da função f(x)=-x^2+2ax+a+b.'

'(1) Após inserir 1 em A e valores em B e C, um gráfico como o da Figura 1 foi exibido. Qual das seguintes combinações de valores de b e c é a mais apropriada?'

'Forma representada por ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0'

'Encontre a equação da reta tangente desenhada a partir do ponto dado para a seguinte parábola.'

'Coordenadas dos pontos de interseção de uma curva quadrática e uma linha reta'

'Encontre a equação da reta tangente no ponto $(-1, \\frac{1}{5})$ na elipse $\\frac{(x+4)^{2}}{25}+\\frac{(y+3)^{2}}{16}=1$.'

'32 Curvas e Regiões'

'(2) A partir de $\\sin ^{2} \\theta+\\cos ^{2} \\theta=1$, temos $\\sin ^{2} \\theta=1-\\cos ^{2} \\theta$'

'Encontre as equações das seguintes seções cônicas. Supondo que p≠0, a>0, b>0. (1) Uma parábola obtida ao traduzir a parábola y^{2}=4 p x, com a diretriz como a linha x=-1 e o foco no ponto (3,4). (2) Uma hipérbole obtida ao traduzir a hipérbole x^{2}/a^{2}-y^{2}/b^{2}=1, com as assíntotas sendo as linhas y=x+1 e y=-x+1 e passando pelo ponto (3,3).'

'Encontre a coordenada x do ponto de interseção da parábola C₁ e do eixo x.'

'Equação que passa pela interseção de duas curvas'

'Quando a função \\( f(x)=x^{2}-2 a|x|+a^{2}-1 \\) é dada, encontre a área \ S \ cercada pelo gráfico de \\( y=f(x) \\) e o eixo x. Aqui, \ a \ é uma constante positiva.'

'Se f(x) = x^{2} - 2a|x| + a^{2} - 1, encontre a área S cercada pelo gráfico de y = f(x) e o eixo x. Aqui, a é uma constante positiva.'

'Encontre o vértice da parábola y=x^{2}+px+p(|p| ≠ 2).'

'Encontre a trajetória do vértice da parábola y = x^{2}+px+p(p ≠ 2).'

'Dado que y=(x^{2}+x-1)(-2x-1)+5x+8, quando x=(-1 \\pm \\sqrt{5})/2, y^{\\prime}=0. Portanto, a partir de x^{2}+x-1=0, podemos provar que quando x=(-1-\\sqrt{5})/2, y=(11-5 \\sqrt{5})/2. Da mesma forma, mostre que quando x=(-1+\\sqrt{5})/2, y=5(-1+\\sqrt{5})/2+8.'

'A distância entre o ponto P na parábola y = -x^2 + x + 2 e um ponto na reta y = -2x + 6 assume o valor mínimo quando as coordenadas de P são α.'

'Seja o vértice da parábola $y=x^{2}+(2 t-10) x-4 t+16$ seja $P$. Encontre a trajetória do vértice $P$ à medida que $t$ varia sobre valores não negativos.'

"(1) y'=4x+1\n(2) y'=3x^2-5\n(3) y'=-24x^2+24x-6\n(4) y'=6x^5-16x^3+8x\n(5) y'=27x^2+6x-8"

'Quando uma parábola e um círculo têm quatro pontos comuns distintos, significa que a equação quadrática (1) tem duas soluções reais diferentes no intervalo 1<y<3. Portanto, é necessário determinar o intervalo de valores de a que satisfaça simultaneamente as condições [1] a [3]. Seja f(y)=2y^{2}-7y-a+6.\n[1] Seja D o discriminante da equação (1), é necessário que D>0, o que implica 8a+1>0, levando a a>-−1/8.\n[2] Em relação ao eixo, é sempre verdade que 1<\\frac{7}{4}<3.\n[3] Partindo de f(3)=3-a>0, conclui-se que a<3, e de f(1)=1-a>0, conclui-se que a<1. O intervalo comum de (3) a (5) é determinado como -\\frac{1}{8}<\\alpha<1.'

'Quando x = \\frac{-1+\\sqrt{5}}{2}, o valor máximo é \\frac{11+5 \\sqrt{5}}{2} e quando x = 2, o valor mínimo é -7.'

'Sejam a e b números reais. Ilustre a região de pontos (a, b) tal que a curva y = ax^2 + bx + 1 não compartilhe nenhum ponto com a parte positiva do eixo x.'

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'74 Parabólica y=3 x ^{2}+\\frac{2}{3}'

'Seja m uma constante. A parábola y=f(x) passa pelo origem, e a inclinação da tangente no ponto (x, f(x)) é 2x + m. Seja S a área da região delimitada pelas parábolas y=f(x) e y=-x^{2}+4x+5. Encontre o valor mínimo de S.'

'Em ambos os casos, x = 0 é um mínimo.'

'Encontre a coordenada x dos pontos de interseção entre a curva C e o eixo x. Além disso, encontre a coordenada x dos pontos de interseção entre a curva C e a curva y=-x^{2}+2x.'

'Encontre a parte da parábola y=2x^{2}-3x onde x<0 e 2<x'

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'Seja D a região representada pelo sistema de desigualdades x²+(y-4)²≥4 e y≥-2/3x². Encontre a reta com intersecção em y entre 0 e 2 que está contida em D e tem a maior inclinação.'

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'110 (2) Parábola y=3x^2-6x+2'

'101 (2) \ y=-x \\pm \\sqrt{2} \'

'Desenhe a região representada pelas seguintes desigualdades.'

'Quando os números reais x, y satisfazem x²+y²=2, encontre o valor máximo e mínimo de 2x+y. Além disso, determine os valores de x e y nesse caso.'

'Por favor, verifique a simetria da seguinte função: f(x) = x^2 + 3x + 2'

'(2) Seja m uma constante. Encontre o número de pontos de interseção entre a parábola y^2=-8x e a reta x+my=2.'

'A inclinação da normal à parábola C no ponto (x₁, y₁) em C (x₁ ≠ 0, y₁ ≠ 0) é -1 / (2 / y₁) = -y₁ / 2. Se y₁ / 2 = m, então y₁² = 4x₁. Assim, x₁ = m². Portanto, a equação da normal requerida é y = mx - m³ - 2m.'

'Seja a parábola $y^{2}=4 x$ denotada como curva C.\n(1) Encontre a equação da normal para a curva $C$ com inclinação $m$.\n(2) Quantas normais podem ser traçadas a partir do ponto $(a, 0)$ no eixo x para a curva $C$? Onde $a \neq 0$.'

'(3) tem um mínimo local em x=-2 de -1/3 e um máximo local em x=0 de 1'

'(3) O domínio é 1-4 x^{2} \\geqq 0 com \\quad-\\frac{1}{2} \\leqq x \\leqq \\frac{1}{2}'

'(1) x=-a ± √(a²+1)'

'Pratique se o seguinte par de curvas quadráticas e linhas têm pontos de interseção. Se eles se cruzarem, determine se é um ponto de interseção ou de tangência e encontre as coordenadas desse ponto.'

'Para f(x) = 2 sqrt{x} e o intervalo [1,4], encontre o valor de c que satisfaça as condições do Teorema do Valor Médio.'

'Encontre a equação da reta tangente desenhada a partir do ponto dado para a seguinte curva quadrática: (a) \ x^{2}-4y^{2}=4 \, ponto \\( (2,3) \\)'

'Quando os números reais x, y satisfazem as duas desigualdades x^2 + 9y^2 ≤ 9 e y ≥ x, encontre o valor máximo e mínimo de x + 3y.'

'Determinar a curva desenhada pelo vértice de uma parábola.'

'As funções f(x) e g(x) são contínuas no intervalo [a, b], com o valor máximo de f(x) maior que o valor máximo de g(x) e o valor mínimo de f(x) menor que o valor mínimo de g(x). Mostre que a equação f(x) = g(x) tem uma solução no intervalo a ≤ x ≤ b.'

'Usando as fórmulas dos conceitos básicos da página anterior, encontre a equação da reta tangente nos pontos dados nas seguintes curvas quadráticas.'

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'Encontre os valores das constantes a e b quando o intervalo da função y = √(2x + 4) (a ≤ x ≤ b) for 1 ≤ y ≤ 3.'

'Valor máximo é 18 quando x=4, y=0'

None

'Encontre as equações das retas tangentes a ambas as curvas y=-x^{2}, y=\\frac{1}{x}.'

'Encontre a área da curva representada por x=2t+t^2, y=t+2t^2 (-2 ≤ t ≤ 0) e cercada pelo eixo Y, através do parâmetro t.'

'Encontre a equação da reta tangente traçada a partir do ponto A(1,4) para a hipérbole 4 x^{2}-y^{2}=4. Além disso, encontre as coordenadas do ponto de tangência.'

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"Capítulo 4 Aplicações da diferenciação\n117\nComo 2x^2+x+1=2(x+\\frac{1}{4})^2+\\frac{7}{8)>0, sendo y'=0, então x=1\nA tabela de aumento e diminuição de y é a seguinte.\n\nQuestão: Encontre o ponto em que y alcança um valor máximo de 1."

'Valor máximo de 1 em x=0, valor mínimo de 17/9 em x=4'

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'Tangente de uma Curva de Segundo Grau\nA equação da tangente em um ponto \\( \\left(\oldsymbol{x}_{1}, \oldsymbol{y}_{1}\\right) \\) na curva \ p \\neq 0, a>0, \\quad b>0 \\n1 Parábola\n\\[ \egin{array}{lll} y^{2}=4 p x \\\\ x^{2}=4 p y \\end{array} \\quad \\longrightarrow \\quad \egin{array}{l} y_{1} y=2 p\\left(x+x_{1}\\right) \\\\ x_{1} x=2 p\\left(y+y_{1}\\right) \\end{array} \\]\n2 Elipse \ \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\quad \\longrightarrow \\quad \\frac{x_{1} x}{a^{2}}+\\frac{y_{1} y}{b^{2}}=1 \\n3 Hipérbole \ \\quad \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}= \\pm 1 \\quad \\longrightarrow \\quad \\frac{x_{1} x}{a^{2}}-\\frac{y_{1} y}{b^{2}}= \\pm 1 \ (mesma sequência de sinais)'

'Explique a definição e propriedades de uma parábola.'

'Encontre o número de pontos de interseção entre as seguintes 2 curvas e uma linha.'

'Encontre a equação da reta tangente quando o ponto (x₁, y₁) está sobre a curva da parábola y²=4px.'

'Curva de segundo grau e excentricidade e\nElipses, hipérboles e parábolas também podem ser definidas como a locação de pontos onde a razão entre a distância de um ponto fixo F e uma linha fixa ℓ é constante, da mesma forma que na parábola. Ou seja, quando é traçada uma perpendicular PH do ponto P à linha ℓ, de modo que PF:PH = e:1 (e é uma constante positiva), a locação dos pontos P que satisfazem essa condição é uma curva de segundo grau com F como um foco, ℓ como uma diretriz, e e como a excentricidade. Neste caso, a curva de segundo grau é classificada de acordo com o valor de e da seguinte forma.\nQuando 0<e<1 Elipse Quando e=1 Parábola Quando e>1 Hipérbole'

'Encontre a equação das retas tangentes desenhadas a partir dos pontos dados para as seguintes curvas quadráticas.'

'Resolver considerando o significado geométrico da equação'

'Encontre a equação da reta tangente no ponto dado nas seguintes curvas.'

'Que tipo de forma a seguinte equação representa?'

'Considere a seguinte equação:\n2. Equação: y^2 + x - 4y + 8 = 0'

'Desenhe os gráficos das seguintes duas funções quadráticas e encontre seus eixos e vértices.'

'Determine o valor da constante a para que o gráfico da função quadrática y=x^{2}+a x+a seja tangente à reta y=x+1. Além disso, encontre as coordenadas do ponto de tangência.'

'A parábola y=4x^{2}+ax+b passa pelo ponto (1,1) e toca o eixo x. Encontre todas as combinações de a e b que satisfaçam essa condição.'

''

'Encontre os valores máximo e mínimo das seguintes funções quadráticas.'

'Os gráficos dessas duas funções quadráticas têm algum ponto em comum? Se sim, encontre as coordenadas desses pontos.'

'Determine o valor da constante c de modo que o valor mínimo da função y=-x^2+6x+c (1≤x≤4) seja 1. Além disso, encontre o valor máximo nesse ponto.'

'Em matemática, exercício 87, livro 66, página 143, seja f(x) = x^2-ax+a+8. O valor mínimo de f(x) para 0 ≤ x ≤ 5 deve ser maior ou igual a 0. A transformação de f(x) é'

'Dado o acima, quando a<-\\frac{2}{3}, m(a)=2 a^{2}+3 a+2; quando -\\frac{2}{3} \\leqq a \\leqq \\frac{2}{3}, m(a)=-\\frac{a^{2}}{4}+1; quando \\frac{2}{3}<a, m(a)=2 a^{2}-3 a+2'

'Encontre a função quadrática que satisfaz as seguintes condições: (1) O vértice está no eixo x e passa pelos pontos (0,4), (-4,36). (2) É uma tradução paralela da parábola y=2x^2 passando pelo ponto (2,3) e com o vértice na reta y=6x-5.'

'Quando a equação quadrática $x^{2}-ax+2a=0$ tem duas soluções reais distintas, e apenas uma delas está dentro do intervalo $-1<x<1$, encontre o intervalo de valores para a constante $a$.'

'Dos problemas de exercícios do Capítulo 3 sobre funções quadráticas, por favor encontre os valores máximos e mínimos do gráfico da função quadrática.'

'Exemplo importante 93 O coeficiente é uma equação trigonométrica (2) A equação quadrática em \ x \ \\( x^{2}-(\\cos \\theta) x+\\cos \\theta=0\\left(0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}\\right) \\) possui duas soluções reais distintas, o intervalo de valores de \ \\theta \ de forma que ambas as soluções estejam contidas no intervalo \ -1<x<2 \. [Universidade de Akita] <Exemplo 75'

'Encontre as funções quadráticas que têm curvas com movimentos simétricos em relação ao seguinte: (1) eixo x (2) eixo y (3) origem.'

'A partir do gráfico, pode-se ver que quando x=1, o valor mínimo de y=3(x-1)^{2}+2 é 2, e não há valor máximo.'

''

'Encontre a parábola y=2(x-p)^{2}-p+3.'

'A função dada é uma função quadrática, então a ≠ 0.'

'Considerando um círculo com diâmetro AC, seja x o raio, então os seguintes pontos podem ser feitos.'

'Responda à pergunta 45.'

'Exemplo 46 O comprimento do segmento que uma parábola corta do eixo x é uma constante k. Deixe que a parábola y=x^{2}-kx-18 corte um segmento de comprimento l do eixo x.'

'Encontre a função quadrática y=a(x-p)^2+1.'

'(1) Gráfico de y=2x^2+3.\\n(2) Gráfico de y=2(x-1)^2.\\n(3) Gráfico de y=2(x+1)^2-4.'

'Ao mover de forma simétrica um ponto P(x, y) na parábola C_{1} em relação à linha y=1 para um novo ponto P^{\\prime}(x^{\\prime}, y^{\\prime}), onde x^{\\prime}=x e \\frac{y+y^{\\prime}}{2}=1. Portanto, x=x^{\\prime}, y=2-y^{\\prime}, substituindo isso em y=ax^{2}+bx+4 obtém-se 2-y^{\\prime}=ax^{\\prime 2}+bx^{\\prime}+4, então a equação da parábola C_{2} é 2-y=ax^{2}+bx+4. De forma semelhante, ao encontrar a equação da parábola C_{3} como 2-y=a(2-x)^{2}+b(2-x)+4. Como C_{2} e C_{3} passam pelos pontos (-2,-10) e (3,-2) respectivamente, obtém-se um sistema de equações para a e b, e resolvendo-o se obtêm os valores de a e b.'

'Encontre as coordenadas dos pontos de interseção da seguinte parábola e da linha.'

'Quando o eixo x = a está dentro do intervalo 0 ≤ x ≤ 2, ou seja, quando 0 ≤ a ≤ 2, fica claro a partir do gráfico à direita que x = a produz o valor mínimo. O valor mínimo é\n \\[ f(a) = -a^{2} - 4a\\]'

'Encontre os valores máximo e mínimo de x^{2}+y^{2}-6x e os valores correspondentes de x e y quando os números reais x, y satisfazem 2x^{2}+y^{2}=8.'

'Como os gráficos dessas duas funções quadráticas são deslocados da função y=2x^{2}?'

'Encontre uma função quadrática que satisfaça as seguintes condições.'

'Quando os números reais x, y satisfazem x^2 + (y-1)^2 = 5, encontre os valores máximo e mínimo de 2x-y, e os valores de x, y nesse momento.'

'Encontre as coordenadas do vértice para a equação y=x^{2}-3x+6 [y=(x-3/2)^{2}+15/4].'

'Pratique se as seguintes parábolas e linhas têm pontos de interseção. Se tiverem, encontre suas coordenadas.'

'Encontre o ponto de interseção do seguinte sistema de equações.'

'Determine o valor da constante c que atende às seguintes condições: (1) O valor máximo da função y=x^{2}-10x+c (3 ≤ x ≤ 8) é 10. (2) O valor mínimo da função y=-x^{2}+4x+c (-1 ≤ x ≤ 1) é -10. Primeiro, complete o quadrado e converta para a forma padrão. Embora um gráfico preciso não seja desenhado, deve ser descrito de forma a mostrar a posição do eixo e a relação com as extremidades do intervalo.'

'Encontre a equação da parábola obtida ao mover a parábola y=x^{2}-4 x 2 unidades na direção do eixo x e -1 unidade na direção do eixo y.'

'Encontre uma função quadrática que satisfaça as seguintes condições.'

'Exemplo: 1. Encontre as coordenadas do vértice e do eixo da seguinte função quadrática: y = 2x^2 - 4x + 1 2. Encontre o valor máximo e mínimo da seguinte função quadrática: y = -3x^2 + 6x - 2'

'Qual é a equação da parábola obtida ao traduzir a parábola y=-2 x^{2}+4 x-4 na direção x por -3 e na direção y por 1?'

Para o gráfico da função quadrática $y=x^{2}-2 k x+k^{2}-k+3$, responda à seguinte pergunta: (2) Quando ele é tangente ao eixo $x$, encontre o valor da constante $k$ e as coordenadas do ponto de tangência.

O gráfico passa pelos pontos (1,3), (2,5) e (3,9). A função quadrática a ser encontrada é $y = a x^{2} + b x + c$.

Básicos 76 | Determinando uma função quadrática a partir das condições máximas e mínimas

Considere a parábola $y = x^{2} + 2x - 1 \cdots \cdots$ (1) com vértice $\mathrm{P}$. Responda às seguintes perguntas: (1) Encontre as coordenadas do ponto $\mathrm{Q}$ que é simétrico a $\mathrm{P}$ em relação ao eixo $x$. (2) Encontre a equação da parábola que é simétrica a esta parábola em relação ao eixo $x$.

Desenhe o gráfico da função quadrática oldsymbol{y}=a x^{2}+b x+c (2)

Sobre o gráfico da função quadrática \( y=x^{2}+2(k-1)x+k^{2}-3 \), responda à seguinte pergunta: (2) Quando ele é tangente ao eixo x, encontre o valor da constante $k$ e as coordenadas do ponto de tangência.

Encontre uma função quadrática que passe pelos pontos (1,3), (2,5) e (3,9).

Aprendemos sobre o gráfico da função quadrática $y=a x^{2}$. Aqui, vamos aprender sobre o gráfico de $y=a x^{2}+b x+c$, que está relacionado a $y=a x^{2}$. Para isso, entender o gráfico da função quadrática na forma \( y=a(x-p)^{2}+q \) é importante, então vamos dar uma olhada mais de perto.

Encontre as funções quadráticas que satisfaçam as seguintes condições. (1) Uma curva obtida ao transladar a parábola $y=-x^{2}-2x$ que passa pelos pontos (-1, -2, 2, 1). (2) Quando transladada 2 unidades na direção $x$ e -3 unidades na direção $y$, ela passa pelos pontos (1, 2), (2, -2) e (3, -4).

A relação entre o gráfico de uma função quadrática e o eixo x Básico 90 O número de pontos de interseção entre o gráfico de uma função quadrática e o eixo

Encontre as coordenadas dos pontos de interseção da função quadrática $y=x^{2}-6x+6$ com o eixo x.

Dado os números reais a e b, encontre os valores das constantes a e b quando os vértices das parábolas representadas pelas funções quadráticas y=4x^{2}-8x+5 e y=-2(x+a)^{2}+b coincidirem.

Desenhe o gráfico da função quadrática $y=ax^{2}+bx+c$ (1)

Encontre as funções quadráticas que atendam às seguintes condições: (1) A curva obtida ao transladar a parábola $y=-2 x^{2}$ de tal maneira que seu vértice esteja no ponto (-3,1). (2) A curva obtida ao transladar a parábola $y=x^{2}+2 x-3$ de tal maneira que passa pelos pontos \( (-1,6),(3,2) \).

Encontre as funções quadráticas que satisfazem as seguintes condições. (1) Assume um valor máximo de 1 em $x=3$, e $y=-1$ quando $x=5$. (2) Assume um valor mínimo em $x=-2$, e o gráfico passa pelos pontos \( (-1,2) \) e \( (0,11) \).

Padrão 73 | Determinar coeficientes a partir do valor máximo da função quadrática

Básico 72 | Valores Máximos e Mínimos de uma Função Quadrática (2)

Encontre a função quadrática que tem um mínimo em oldsymbol{x}=1 e passa pelos pontos \( (0,3) \) e \( (3,6) \).

Desenhe o gráfico da função quadrática \( oldsymbol{y}=a(x-p)^{2}+q \)

Função quadrática y=α(x-p)²+q valores máximos e mínimos ① Quando o domínio não está restrito (quando o domínio é o conjunto de todos os números reais) Existem dois casos, dependendo do sinal de a. Quando a>0 O valor mínimo q é obtido em x=p Não há valor máximo Quando a<0 O valor máximo q é obtido em x=p Não há valor mínimo

Encontre o número de pontos de interseção entre os gráficos das seguintes funções quadráticas e o eixo $x$. (1) $y=3 x^{2}+x-2$ (2) $y=-5 x^{2}+3 x-1$ (3) $y=2 x^{2}-16 x+32$

Determine o valor da constante $c$ de modo que o valor máximo da função \( f(x) = x^2 - 10x + c (3 \leqq x \leqq 8)\) seja 10.

Se o vértice da parábola $y = x^{2} + a x - 2$ está na linha $y = 2 x - 1$, encontre o valor da constante $a$.

Para a função quadrática \( y=(x-3)^{2}+1 \) 1) $1 \leqq x \leqq 4$ 2) $2 \leqq x \leqq 5$ 3) $4 \leqq x \leqq 5$ 4) $2 \leqq x$

Encontre a função quadrática que tem seu vértice no ponto (2,1) e passa pelo ponto (4,9).

Encontre as coordenadas dos pontos onde o gráfico de cada equação quadrática intersecta o eixo x. (1) y=x^2-6x-4 (2) y=-4x^2+4x-1

Vamos organizar os passos para desenhar o gráfico da função quadrática $y=ax^{2}+bx+c$. Siga estes passos: (1) Complete o quadrado. (2) Escreva na forma \( y=a(x-p)^{2}+q \). (3) Leia as características do gráfico. (4) Se $a > 0$ é côncavo para cima (abre para cima), se $a < 0$ é côncavo para baixo (abre para baixo). (5) Determine as coordenadas do vértice \( (p,q) \). (6) O eixo é a linha $x=p$. (7) Desenhe realmente o gráfico de $y=x^{2}-6x+10$.

Gráfico da função quadrática e sua relação com o eixo x Básico 91 Condições para o gráfico da função quadrática compartilhar pontos com o eixo

Determine os valores máximos e mínimos, se existirem, para as seguintes funções quadráticas: (1) $y=x^{2}-6 x+3$ (2) $y=-2 x^{2}+8 x-3$

Básico 71 | Valores Máximos e Mínimos de Funções Quadráticas (1)

Para a função $y=x^{2}+2 x-1$, encontre os valores máximo e mínimo (se existirem) dentro dos seguintes intervalos. (1) $-3 \leqq x \leqq 0$ (2) $-2<x<1$ (3) $0 \leqq x \leqq 2$

Encontre os valores máximos e mínimos das seguintes funções, se existirem. (1) \( y=x^{2}-2x-3(-4 \leqq x \leqq 0) \) (2) \( y=2x^{2}-4x-6 \quad(0 \leqq x \leqq 3) \) (3) \( y=-x^{2}-4x+1(0 \leqq x \leqq 2) \) (4) \( y=x^{2}-4x+3(0<x<3) \)

Desenhe os gráficos das seguintes funções quadráticas e encontre seus vértices e eixos de simetria. (1) \( y=3(x+1)^{2}-2 \) (2) \( y=-rac{1}{2}(x-1)^{2}+2 \)

Encontre o número de pontos de interseção entre os gráficos das seguintes funções quadráticas e o eixo x. (1) $y=x^{2}-x-3$ (2) $y=4 x^{2}+12 x+9$ (3) $y=-x^{2}+2 x-3$

Encontre a função quadrática que passa pelos seguintes pontos: (1) (-1,7),(0,-2),(1,-5) (2) (-1,0),(3,0),(1,8)

Encontre os valores máximo e mínimo da função \( f(x)=(x-2)^{2} \) no domínio $0 \leqq x \leqq a$. Suponha que $a$ é uma constante positiva. (1) $0<a<2$ (2) $2 \leqq a<4$ (3) $a=4$ (4) $4<a$

Para a função quadrática \( f(x) = -x^2 + 6x - 7 \), o valor máximo no intervalo $a \leq x \leq a+1$ é \( M(a) \).

Encontre os valores máximo e mínimo da função \( f(x)=-(x-3)^{2} \) no domínio $1 \leqq x \leqq a$, para os seguintes casos. Aqui, $a$ é uma constante que satisfaz $a>1$. (1) $1<a<3$ (2) $3 \leqq a<5$ (3) $a=5$ (4) $5<a$

Determinar uma função quadrática a partir das condições de passar por 3 pontos

Desenvolvimento 81 | Máximos e mínimos de funções quadráticas e problemas de palavras (2)

Básicos 75 | Determinação de funções quadráticas a partir de condições como vértices

4. O gráfico da função quadrática $y=6 x^{2}+11 x-10$ é transladado $a$ unidades na direção do eixo $x$ e $b$ unidades na direção do eixo $y$ para obter o gráfico $F$. Quando $F$ passa pela origem (0,0), responda às seguintes perguntas: (1) Expresse $b$ em termos de $a$. (2) Quando a função quadrática \( f(x) \) que representa $F$ assume o mesmo valor em $x=-2$ e $x=3$, encontre o valor de $a$ e os valores máximos e mínimos de \( f(x) \) no intervalo $-2 \leqq x \leqq 3$.

Sobre o gráfico da função quadrática \( y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3 \), responda às seguintes perguntas. (1) Quando ele não se intersecta com o eixo $x$, encontre o intervalo do valor da constante $k$.

Encontre uma função quadrática tal que seu gráfico forme uma parábola conforme segue. (1) Uma parábola com vértice no ponto (-1,3) e que passe pelo ponto (1,7) (2) Uma parábola com seu eixo na linha $x=1$ e que passe pelos pontos (3,-6) e (0,-3)

Encontre as coordenadas dos pontos de interseção entre o gráfico das seguintes funções quadráticas e o eixo x. (1) y=x^2+7x-18 (2) y=3x^2+8x+2 (3) y=x^2-6x+2 (4) y=-6x^2-5x+6 (5) y=9x^2-24x+16

Encontre a equação da reta tangente à parábola $y^{2}=8 x$ no ponto \( (2,4) \).

Encontre a equação da linha tangente no ponto \( (\sqrt{2}, 1) \) na elipse rac{x^{2}}{4}+rac{y^{2}}{2}=1 .

111 x=p t^{2}, y=2 p t \quad(p ≠ 0)

Expressar as coordenadas do vértice da parábola $y=x^{2}-2tx+2$ (A) em termos de t.

109 Parábola $y=x^{2}-5 x+3$

Exemplo 1. O gráfico da equação $9 x^{2}+4 y^{2}+54 x-16 y+61=0$.

Equação polar de uma seção cônica (1)

Encontre a equação da parábola que satisfaz as seguintes condições: (1) Vértice na origem, foco no eixo y, e a diretriz passa pelo ponto (3,2) (2) Vértice na origem, foco no eixo x, e passa pelo ponto (-2, √6)

Equação polar de uma seção cônica (2)

Encontre a equação da linha tangente no ponto \( \left(-1, rac{1}{5} ight) \) na elipse \( rac{(x+4)^{2}}{25}+rac{(y+3)^{2}}{16}=1 \).

A equação da linha tangente em um ponto em uma curva quadrática

Encontre as equações das parábolas que satisfazem as seguintes condições. (1) Vértice na origem, foco no eixo y e a diretriz passa pelo ponto (3,2). (2) Vértice na origem, foco no eixo x e passa pelo ponto (-2, √6).

Vamos investigar mais detalhadamente que tipo de forma é representada pela equação $a x^{2}+b y^{2}+c x+d y+e=0$.