Funções Básicas - Funções Polinomiais

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'Examine a taxa de variação das seguintes funções e encontre os extremos. (1) $y=\x0crac{1}{3} x^{3}-9 x$ (2) $y=-x^{3}+x^{2}-x+1$'

'Encontre a equação da reta tangente desenhada a partir do ponto (0,4) para a curva y=x^3+2.'

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'Para a curva C: y=x^{3}+3 x^{2}+x, quando existirem 3 tangentes passando pelo ponto A(1, a), encontre o intervalo da constante a.'

'(2) 2-c ≤ 2 ≤ 2+c (1) é. Portanto\n \\[ \egin{aligned} P(2-c ≤ X ≤ 2+c) & =\\int_{2-c}^{2+c} f(x) d x \\ & =\\int_{2-c}^{2}(x-1) d x-\\int_{2}^{2+c}(x-3) d x \\ & =\\left[\\frac{(x-1)^{2}}{2}\\right]_{2-c}^{2}-\\left[\\frac{(x-3)^{2}}{2}\\right]_{2}^{2+c} \\ & =-(c-1)^{2}+1 \\end{aligned} \\] \n Portanto, quando P(2-c ≤ X ≤ 2+c)=0.5\n \\[ -(c-1)^{2}+1=0.5 \\text{ ou seja } \\quad(c-1)^{2}=\\frac{1}{2} \\] \n Resolvendo isso, c-1= \\pm \\frac{1}{\\sqrt{2}} o que leva a \\quad c=\\frac{2 \\pm \\sqrt{2}}{2} \n Quando c=\\frac{2+\\sqrt{2}}{2}, (1) se torna, 1-\\frac{\\sqrt{2}}{2} ≤ X ≤ 3+\\frac{\\sqrt{2}}{2}, contradizendo 1 ≤ X ≤ 3. Quando c=\\frac{2-\\sqrt{2}}{2}, (1) se torna, 1+\\frac{\\sqrt{2}}{2} ≤ X ≤ 3-\\frac{\\sqrt{2}}{2}, satisfazendo 1 ≤ X ≤ 3. Portanto \\quad c=\\frac{2-\\sqrt{2}}{2}'

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"Exemplo 74\n(1) A partir da condição f(x) = ∫(2x^2 - 3x) dx = (2/3)x^3 - (3/2)x^2 + C\nDado f(0) = 2, C = 2\nPortanto, f(x) = (2/3)x^3 - (3/2)x^2 + 2\n(2) A inclinação da reta tangente no ponto (x, f(x)) na curva y = f(x) é f'(x)\nAssim, f'(x) = x^2 - 1\nPortanto, f(x) = ∫(x^2 - 1) dx = (1/3)x^3 - x + C\n(C é a constante de integração)\nA curva y = f(x) passa pelo ponto (1,0) então f(1) = 0\nAssim, (1/3) - 1 + C = 0\nPortanto, C = 2/3\nPortanto, f(x) = (1/3)x^3 - x + (2/3)"

"Resolva a equação f(x)=0 para obter as soluções reais x=-1 e x>2, assim há 1 solução positiva e 1 solução negativa. Inclina 72, ver este livro p.293. Rearranje a equação f(x)=-2x^3+6x para obter -2x^3+6x=a, f'(x)=-6x^2+6=-6(x+1)(x-1). Resolver f'(x)=0 dá x=±1, e a tabela de crescimento e decrescimento de f(x) é mostrada na tabela abaixo. Portanto, o gráfico de y=f(x) é como mostrado à direita. O número de soluções reais da equação f(x)=a é determinado pelo número de pontos de interseção entre o gráfico de y=f(x) e a reta y=a, resultando em 1 solução quando a<-4 ou a>4, 2 soluções quando a=-4 ou a=4, e 0 soluções quando -4<a<4. O ponto (-1,0) é o ponto tangente do gráfico e o eixo x. O valor de a quando a linha y=a passa pelos pontos máximo e mínimo da função é o limite para o número de soluções reais. Exemplo"

'Prática 175 → este caderno p .324\n(1) Quando a curva y=f(x) e a linha y=mx+n são tangentes em dois pontos x=a, b(a<b), a seguinte identidade é verdadeira.'

'Pratique, onde a, b são constantes, 0<a<1. Encontre os valores de a e b de forma que a função f(x)=x^{3}+3 a x^{2}+b (-2 ≤ x ≤ 1) tenha um valor máximo de 153 e um valor mínimo de -5.'

'Matemática II'

'Por favor, trace os gráficos das seguintes funções.'

'Resolver a equação $x+2 \\underset{2^{\x0crac{1}{2}} x^{-\x0crac{1}{2}}}{\\hookrightarrow 1} + x^{-1}=5$'

'Seja 72a um número real. Duas retas com inclinação m são tangentes à curva y=x^{3}-3 a x^{2} nos pontos A e B, respectivamente.'

'−8 − 6√2 ≤ x²y + xy² − x² − 2xy − y² + x + y ≤ 3'

'Matemática II'

'Crie uma tabela de intervalos de aumento e diminuição para f(x) = x^{4} - 6 x^{2} - 8 x - 3 e determine o número de soluções reais.'

'O termo geral da expansão é'

'As coordenadas x dos pontos de interseção da curva y=f(x) e da parábola y=h(x) são obtidas ao resolver a equação x^4 - 2x^2 + 4x = -x^2 + 4x, simplificando para x^4 - x^2 = 0, resultando em x = 0, ±1.'

'Encontre os valores extremos da função f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x.'

'Encontre os valores máximo e mínimo da função g(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2.'

'Dado que os números reais α, β e γ satisfazem α+β+γ=3, seja p=αβ+ βγ+ γα, q=αβγ. Provar: (1) Quando p=q+2, pelo menos um dos α, β e γ é 1. (2) Quando p=3, provar que α, β e γ são todos 1.'

'Encontre as seguintes integrais definidas. (1) $\\int_{0}^{2}\\left|x^{2}-4 x+3\\right| d x$(2) $\\int_{0}^{\\frac{\\sqrt{5}-1}{2}}\\left(x^{2}+x-1\\right) d x$'

'Exercício 74 \ \\triangle OPQ = \\frac{1}{2}|\\cos \\theta \\cdot 3 \\sin 2 \\theta - \\sin \\theta \\cdot 1|\ \\( \egin{aligned} &=\\frac{1}{2}|\\cos \\theta \\cdot 6 \\sin \\theta \\cos \\theta - \\sin \\theta| &=\\frac{1}{2}\\left|6 \\sin \\theta\\left(1-\\sin ^{2} \\theta\\right)-\\sin \\theta\\right| &=\\frac{1}{2}\\left|-6 \\sin ^{3} \\theta + 5 \\sin \\theta\\right| \\end{aligned} \\) Se tomarmos \ \\sin \\theta = t \ então, para \ 0 \\leq \\theta < 2 \\pi \ encontramos \ \\left|-3 t^{3} + \\frac{5}{2} t\\right| \ Se definirmos \\( f(t) = -3 t^{3} + \\frac{5}{2} t \\) Então, para \ -1 \\leqq t \\leqq 1 \ a tabela de variação de \\( f(t) \\) é a seguinte.'

'Encontre a coordenada x do ponto de tangência onde a inclinação da tangente à curva y = x^{3} - 3x^{2} é 9.'

'Encontre o número de soluções reais de f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x-5.'

'Prática: Dois pontos distintos P, Q na curva C: y=x^{3}-mx estão na curva com relação à origem O. Se a tangente no ponto Q na curva é paralela à reta OP, então: (1) Se a coordenada x de P for a, expresse a coordenada x de Q usando a. (2) Encontre o intervalo de valores para m para que o ângulo POQ seja reto. [Universidade de Shimane] => p. 300 Exercícios 69'

'Seja a uma constante, onde a>1. Para a função y=2x^3-9x^2+12x com 1 ≤ x ≤ a, encontre os seguintes valores: (1) valor mínimo (2) valor máximo'

'Quando 0<a<2, a partir do gráfico à direita, o valor máximo de f(a)=-a^{3}+3a^{2} é alcançado em x=a. Quando 2 ≤ a, a partir do gráfico à direita, o valor máximo de f(2)=4 é alcançado em x=2. Quando 0<a<2, o valor máximo é alcançado em x=a para -a^{3}+3a^{2}, e quando 2 ≤ a, o valor máximo de 4 é alcançado em x=2.'

'(3) \\( (x+2 y-4)\\left(x^{2}+y^{2}-2 x-8\\right)<0 \\)'

'Encontre o valor da constante $a$ quando as curvas $y=x^{3}-2 x+1$ e $y=x^{2}+2 a x+1$ são tangentes. Além disso, determine a equação da reta tangente comum no ponto de tangência.'

'Encontre o valor da constante a quando a diferença entre os valores máximo e mínimo da função f(x)=x^{3}-3 x^{2}+3 a x-2 for 32.'

'Encontre o intervalo da constante $k$ para a qual a equação $x^{3}+5 x^{2}+3 x+k=0$ tem uma raiz positiva e duas raízes negativas distintas.'

'Problema de prática 8 Encontre a área entre os gráficos de duas funções cúbicas'

'Fórmula do produto e da soma'

'Do exemplo básico 190, da seleção de valores máximo e mínimo, a, b são constantes, e a>0. Para a função f(x) = a x^{3} - 9 a x^{2} + b, (1) determine os valores máximo e mínimo no intervalo -1 ≤ x ≤ 3 em termos de a, b. (2) Determine os valores de a, b de forma que o valor máximo em (1) seja 10 e o valor mínimo seja -44.'

'Para a curva TR y=x^{2}-3 x+2, encontre as equações das seguintes tangentes:\n(1) Tangente no ponto (3,2) na curva\n(2) Tangente com uma inclinação de -1'

'Seja l a reta 2x+y+2=0 e P um ponto na parábola y=x^2. Encontre as coordenadas de P quando a distância entre P e l é minimizada. Além disso, calcule a distância de Pl nesse momento.'

'Máximo e mínimo de uma função cúbica que contém 189 caracteres'

'103(x, y)=(8,16),(16,8)'

'Encontre os valores máximos e mínimos das funções dadas.'

'Encontre a inclinação da reta que forma um ângulo de π/4 com a reta x - √3 y = 0.'

'Esboce a região representada pelas seguintes desigualdades: (1) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x-3 y-9<0 \\\\ 2 x+3 y-6>0\\end{\overlineray}\\right. (2) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}+y^{2} \\leqq 9 \\\\ x-y<2\\end{\overlineray}\\right. (3) $1<x^{2}+y^{2} \\leqq 4$'

'37 Crescimento e Decréscimo de Funções · Aplicação de Gráficos Padrão 183 Número de Soluções Reais de Equações Cúbicas (2) f(x) = constante'

'Forneça um exemplo de uma curva que passe pelo ponto (0,1).'

'Determine o intervalo de valores para a constante a de modo que a função f(x)=x^{3}+ax^{2}+(3a-6)x+5 tenha valores máximo e mínimo.'

'Dado que 189 é uma constante e a>0. Encontre o valor máximo da função f(x)=-x^{3}+3ax(0 ≤ x ≤ 1).'

'Padrão 64: Determinação dos coeficientes de equações de ordem superior (1) - Condições para soluções reais'

'Prove as seguintes desigualdades'

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'Encontre a integral definida a seguir. (1) $\\int_{-1}^{2}\\left(2 x^{2}-x+3\\right) d x$'

'Se x+y+z=1/x+1/y+1/z=1, prove que pelo menos um dos valores de x, y, z é 1.'

'Seja a uma constante, onde a>0. Para a função f(x)=x^{3}-3 a^{2} x (0 ≤ x ≤ 1):\n(1) Encontre o valor mínimo.\n(2) Encontre o valor máximo.'

'Básico 3: Termo geral de uma sequência aritmética'

'A função cúbica f(x)=a x^{3}+b x+3 tem um mínimo local de 1 em x=-1. Determine os valores das constantes a e b. Além disso, encontre o valor máximo.'

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'Prove que a equação (a+b)(b+c)(c+a)+abc=0 é válida quando (2) a+b+c=0.'

'Determinação dos coeficientes de uma função cúbica a partir das condições de extremos'

'Encontre a soma das áreas das duas formas cercadas pelas curvas y=x^3-4x e y=3x^2.'

'Assumindo que a é uma constante, onde a>0. Encontre o valor máximo da função f(x)=-x^{3}+3ax(0 ≤ x ≤ 1).'

"Pergunta 8: O contraste entre a atmosfera sombria da casa de tábuas durante o dia e a rosa brilhante em cores vivas, bem como a escuridão da noite em Tsujido em contraste com a areia iluminada pela luz da lua, representa uma beleza marcante, tornando a opção E a melhor escolha. A rosa murcha não simboliza a vida restante da irmã, por isso não é adequada. Concentrar-se na aparência é uma ação oposta à 'falta de motivação', portanto, está incorreta. A razão pela qual o pai corajosamente pisou na poça profunda após repreender foi porque ele mostrou o seu amor. A intenção de expressar 'a mesquinhez de Senichi após perder o orgulho humano' não é evidente nisso. A menção de passar pelo caminho do cemitério não é apropriada."

'(6) O brilho de uma estrela não é determinado apenas pelas diferenças de cor, mesmo estrelas frias e vermelhas, se forem grandes em tamanho, parecerão brilhantes.'

'Se os números reais x, y satisfazem 2x^{2}+3y^{2}=1, encontre os valores máximo e mínimo de x^{2}-y^{2}+xy.'

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'Desenhe o gráfico da seguinte função e determine seu domínio.'

'Número de soluções reais de uma equação'

'Um ponto móvel P na curva xy = 4, quando se traça uma linha perpendicular PQ ao eixo y, o ponto Q move-se ao longo da direção positiva do eixo y com uma velocidade de 2 unidades por segundo. Encontre a velocidade e a aceleração quando o ponto P passa pelo ponto (2,2).'

'Calcule a área da curva representada pela equação polar.'

'Integrais definidas de funções pares e ímpares'

'Prove a continuidade da função f(x)=\\left\\{\egin{\overlineray}{ll}x^{2} & (x \\neq 0) \\\\ 1 & (x=0)\\end{\overlineray}\\right.'

'Encontre a função composta f(g(x)) para f(x)=x^{2}+x+2 e g(x)=x-1.'

'Expressar a e b em termos de n quando g(x)=a x^(n+1)+b x^n+1 (onde n é um número natural maior ou igual a 2) é divisível por (x-1)^2.'

'Uma esfera com uma taxa constante de aumento na área da superfície de 4πcm^2/s. Determine o seguinte quando o raio se torna 10cm:'

'Como desenhar um gráfico dobrado'

'Trace o gráfico das seguintes funções para praticar 101 vezes. (1) y=x^{2}-3|x|+2 (2) y=|2 x^{2}-4 x-6| (3) y=|x+1|(x-2)'

'Trace o gráfico das seguintes funções: (1) y=x^{2}-4|x|+2 (2) y=|x^{2}-4|'

'Translação e Transformação de Simetria'

'Encontre os valores máximo e mínimo da função y=(x^2-2x)(6-x^2+2x) quando -1 ≤ x ≤ 3.'

'Um número inteiro positivo representado em decimal é convertido para quaternário, resultando em um número de 3 dígitos abc; convertê-lo para senário resulta em um número de 3 dígitos pqr. Supondo que a + b + c = p + q + r. Escreva este número em decimal.'

'Máximo e mínimo de uma função de 4º grau'

'Encontre os valores máximo e mínimo da função y=x^4-8x^2+1.'

'Quando a é igual a 1, f(x) atinge um mínimo em x=1. Portanto, f(1)=-3a+7≥0, o que implica a≤7/3. A faixa comum entre 1<a e 1<a≤7/3 é 1<a≤7/3.'

'Compreenda o domínio de uma função e conquiste o Exemplo 64!'

'Trace os gráficos das seguintes funções e determine seus intervalos.'

'Explique a razão pela qual a mesma expressão relacional é derivada nas Palestras [1] e [3].'

'Traduza o texto dado para várias línguas.'

'Vamos resolver essas duas desigualdades quadráticas usando gráficos. Aqui, estamos lidando com desigualdades em termos de m, não x, então o gráfico será no eixo m.'

'Quando 59(a, b) = (9,8), (12,6), o valor máximo é 72'

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'Seja $0 \\leq t \\leq 1$. Encontre os valores de $t$ que maximizam e minimizam a integral definida $\\int_{0}^{1}\\left|x^{2}-t^{2}\\right|dx$.'

'Ponto de interseção entre o gráfico de uma função e sua tangente\n(1)\nNa curva C: y=x^{3}-x, há um ponto A com coordenada x igual a 1. Encontre a coordenada x do outro ponto onde a tangente no ponto A se intersecta com C.'

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'Quando a equação $f(x)=a$ tem três soluções reais diferentes, a curva $y=f(x)$ e a reta $y=a$ possuem três pontos de interseção diferentes.'

'Encontre o intervalo de valores para a constante m para que a função f(x)=x^3-3mx^2+6mx tenha valores extremos.'

'Encontre os valores extremos das seguintes funções e plote seus gráficos. (1) y=x^{3}-3 x (2) y=x^{3}+3 x^{2}+3 x+3'

'Encontre o intervalo de valores da constante $a$ de modo que a função $f(x)=x^{3}+ax^{2}+(3a-6)x+5$ tenha pontos críticos.'

'Escolha um que se encaixe no (4) E a partir dos seguintes 0-2.'

'Encontre o valor mínimo de 4x^2 + 1/((x + 1)(x - 1)) quando x > 1.'

'Investigue o comportamento crescente e decrescente da função f(x)=|x|(x^2-5x+3) e esboce a forma geral do gráfico de y=f(x).'

'(1) Represente graficamente a região descrita pelo sistema de desigualdades {x^2 + y^2 - 2x + 2y - 7 ≥ 0, x ≥ y}. (2) Dado r > 0. Encontre o valor máximo de r para o qual as condições (x-4)^2 + (y-2)^2 ≤ r^2 são atendidas.'

'Considere a reta lt que passa pelo ponto P: y = 2tx + t^2. Encontre a equação da trajetória do ponto P. Além disso, quando t varia sobre todos os valores reais, ilustre o conjunto de todos os pontos (x, y) pelos quais a reta lt passa.'

'Encontre a taxa de variação média quando x varia dentro de [ ]. (a) f(x)=-3 x^{2}+2 x de -2 a b (b) f(x)=x^{3}-x de a a a+h'

'Encontre o número de tangentes traçadas a partir do ponto (0, k) para a curva C: y=-x^3+3x^2.'

'Encontre o termo geral da sequência definida pelas seguintes condições: \ a_{1}=3, a_{n+1}=2 a_{n}-n \'

'Prova de equações e desigualdades Princípios básicos 1. Prova da equação A=B 1. Transformar um de A ou B para derivar o outro. É um princípio transformar a expressão mais complexa. 2. Transformar A, B respectivamente para derivar a mesma expressão. 3. Transformar A-B para mostrar que se torna 0. A=B ⇔ A-B=0'

'Seja a, b números reais. A função de 3º grau f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x tem um máximo em x=α e um mínimo em x=β. Aqui, α<β.'

'Prove que para números reais x e y, se x^{2}+y^{2}<1, então x^{2}+y^{2}<2 x+3.'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas.'

'Quando o gráfico da função cúbica y=ax^3+bx^2+cx+d se parece com o da direita, determine os sinais de a, b, c e d.'

'Encontre a equação da reta tangente à curva y=x^{3} traçada a partir do ponto (1,0).'

'Quando a < 0, g(a) = 2a^3 - 3a^2 + 3\nQuando 0 ≤ a < 1, g(a) = 3\nQuando 1 ≤ a < (6+√6)/6, g(a) = 2a^3 - 9a^2 + 12a - 2\nQuando (6+√6)/6 ≤ a, g(a) = 2a^3 - 3a^2 + 3'

'Valor mínimo da integral definida'

'Portanto, o gráfico da função (1) é como mostrado à direita, com 3 pontos de interseção com o eixo x. Portanto, a equação x^{3}-3 x^{2}+1=0 tem 3 soluções reais.'

'Passando pelo ponto (6,3)'

'Calcular a área cercada pelas curvas $y=x^{3}-4 x$ e $y=3 x^{2}$'

'Encontre a área cercada pelas seguintes curvas, linhas e eixo x.'

'Encontre os valores máximo e mínimo das funções dadas.'

'Prove a seguinte desigualdade'

'Encontre o valor mínimo da função P=x^{2}+3y^{2}+4x-6y+2 para x e y.'

'Responda às seguintes perguntas sobre o gráfico da função y=|x^2-2mx|-m. Aqui, m é um número real.'

'Encontre os valores máximo e mínimo das seguintes funções.'

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'Ao definir a função f(x) (0 ≤ x < 1), trace o gráfico das seguintes funções. (1) y=f(x) (2) y=f(f(x))'

'Funções que variam dependendo do domínio'

'(2) \ \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}-y^{2}+x+y=0 \\\\ x^{2}-3 x+2 y^{2}+3 y=9\\end{\overlineray}\\right. \'

'Para a função f(x)=x^2-2x-3, responda às seguintes perguntas.'

'Encontre os valores máximo e mínimo da função f(x) = |x² - 1| - x para -1 ≤ x ≤ 2.'

'Encontre os valores máximo e mínimo da função y = (x ^ 2 - 2x - 1) ^ 2 - 6(x ^ 2 - 2x - 1) + 5 para -1 ≤ x ≤ 2.'

'Determinar se a função f(x) tem um valor máximo para o intervalo dado de a.'

'Na função y=f(x), como é a escrita da função quando o domínio é a ≤ x ≤ b?'

'Por favor, faça o gráfico das seguintes funções. (1) y=x^{2}-4|x|+2 (2) y=\\left|x^{2}-4\\right|'

'Desenhe o gráfico da função y = |x^{2} - x - 2| - 2x.'

'Desenhe os gráficos das seguintes funções e encontre seus intervalos.'

'Matemática I'

'Calcule f(1-a).'

'Provar proposições usando o contrapositivo'

'Como desenhar um gráfico dobrando'

'Considere as condições necessárias e suficientes.'

'Encontre os valores máximo e mínimo da função y=x^{4}-8x^{2}+1.'

'Quando \ 1 < a \, a função \\( f(x) \\) atinge seu mínimo em \ x = 1 \. Portanto, \\( \\quad f(1) = -3a + 7 \\geqq 0 \\), o que implica que \ a \\leqq \\frac{7}{3} \'

'Encontre os valores máximo e mínimo da função y = (x² - 6x)² + 12(x² - 6x) + 30 quando 1 ≤ x ≤ 5.'

'Por favor, explique o domínio e imagem da função y = f(x).'

'Selecione duas funções entre as seguintes (1) a (4) que têm valores máximos em x=2 e encontre os valores máximo e mínimo dessas funções.'

'Converter a equação polar para coordenadas retangulares:\nA partir da equação polar $r=\\frac{3}{1+2 \\cos \\theta}$ obtemos $r+2r \\cos \\theta=3$\nComo $r \\cos \\theta=x$, então $r+2x=3$ \nPortanto, $r=3-2x$, o que implica $r^{2}=(3-2x)^{2}$\nJá que $r^{2}=x^{2}+y^{2}$, nós temos $x^{2}+y^{2}=(3-2x)^{2}$\nResolvendo essa equação obtemos $3x^{2}-12x-y^{2}+9=0$\nAssim, $3(x-2)^{2}-y^{2}=3$'

'Encontre as coordenadas polares do centro e do raio do círculo representado pelas seguintes equações polares:'

'Quando uma função \ f \ mapeia um conjunto \ A \ para um conjunto \ B \, chamamos o conjunto \ A \ de domínio.'

'Usando indução matemática, prove que esta equação é válida para todos os números naturais n.'

'Seja P o ponto móvel na curva xy=4. Uma linha perpendicular PQ é desenhada de P para o eixo y de forma que Q se mova ao longo do eixo y a uma velocidade de 2 unidades por segundo. Encontre a velocidade e aceleração de P quando passa pelo ponto (2,2).'

'A função inversa de uma função, f^{-1}(x) = f(x)'

'(1) Resumo\n(1) S(a)=\\frac{1}{2}\\sqrt{5a^{2}+6a+90}=\\frac{1}{2}\\sqrt{5\\left(a+\\frac{3}{5}\\right)^{2}+\\frac{441}{5}}\nAssim, S(a) assume o valor mínimo de \\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{441}{5}}=\\frac{21\\sqrt{5}}{10} quando a=-\\frac{3}{5}.'

'Encontre as equações das retas tangente e normal no ponto P na seguinte curva.'

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'\\n(1)\\\ y^{\\prime}=4 x^{3}-2 \\cdot 3 x^{2}+3 \\cdot 1-0=4 x^{3}-6 x^{2}+3 \'

'Encontre a seguinte integral definida. \\[ \\int_{a}^{b}(x-a)^{2}(x-b)^{2} \\,dx \\]'

'Encontre a área cercada pela seguinte curva.'

'O gráfico da função y=√(1+x^2) passa pelos dois pontos A(0,1) e B(1,√2). A equação da reta AB é y=(√2-1)x+1. No intervalo 0≤x≤1, 1≤√(1+x^2)≤(√2-1)x+1 sempre é válido, e a igualdade geralmente não é verdadeira.'

'As funções f(x) e g(x) são contínuas no intervalo [a, b], com o valor máximo de f(x) maior que o valor máximo de g(x), e o valor mínimo de f(x) menor que o valor mínimo de g(x). Mostre que a equação f(x)=g(x) tem uma solução numérica real no intervalo a ≤ x ≤ b.'

'Encontre as retas tangentes e normais na curva y^2=4px.'

'Função composta e intervalo'

'Pontos comuns nos gráficos de uma função e sua função inversa'

'Prática: Encontre o valor da constante a quando a soma do máximo local e do mínimo local da função f(x)=2x^3+ax^2+(a-4)x+2 for 6.'

'Trace o gráfico das seguintes funções.'

"Use a, f(a) e f'(a) para expressar o resto quando o polinômio f(x) é dividido por (x-a)^{2}."

'Encontre os valores máximos e mínimos da função y = x^3 - 3x + 1.'

'Determine os valores das constantes a e b para satisfazer as seguintes condições:'

'Cálculo diferencial'

'Complete a tabela para mostrar o aumento e a diminuição da função y=-x^3+9x, e encontre o extremo e seus pontos'

'Dada a curva C: y = x^{3} + 3x^{2} + x e um ponto A(1, a). Se existirem 3 tangentes que possam ser desenhadas através de A e tocar C, encontre o intervalo de valores para a constante a.'

'Encontre os valores das constantes a e b para a função f(x)=x^{3}-a x^{2}+b de modo que o valor máximo seja 5 e o valor mínimo seja 1.'

'Seja a um número real e seja a curva C dada por y=x^3+(a-4)x^2+(-4a+2)x-2.'

'Divisão polinomial'

'Para a parábola y = 2x^2 + a e o círculo x^2 + (y - 2) ^2 = 1, encontre o seguinte: (1) O valor da constante a quando a parábola e o círculo são tangentes (2) O intervalo de valores da constante a que têm quatro pontos de interseção distintos'

'Quando o intervalo for $-\\frac{1}{2} \\leqq t \\leqq 2$, encontre os valores máximo e mínimo de $F(t)=\\int_{0}^{1} x|x-t| d x$.'

'Prove que o ponto médio M do segmento de reta que une os pontos (α, f(α)) e (β, f(β)) está na curva y=f(x), onde a função y=f(x) tem um máximo em x=α e um mínimo em x=β.'

'Encontre os valores máximo e mínimo da função dada. Além disso, determine os valores correspondentes de x.'

'O problema dado trata de encontrar condições e ilustrar a região onde os pontos que satisfazem essas condições existem.'

'Pratique encontrando as seguintes integrais definidas.'

'Encontre os valores das constantes a, b e c quando as curvas y=x^{3}+a x e y=b x^{2}+c passam pelo ponto (-1,0) e têm uma tangente comum nesse ponto. Além disso, determine a equação da tangente comum nesse ponto.'

'Prova omitida, quando x=y=z; a=3'

'Dicas para desenhar o gráfico de uma função cúbica'

'Mostre a condição em que as equações g(x)=0 e h(x)=0 têm duas soluções reais diferentes cada uma e nenhuma solução em comum. Aqui g(x)=f(x)-x=a x^{2}-x-b, h(x)=a f(x)+a x+1=a^{2} x^{2}+a x-a b+1, e quando f(f(x))-x=0, g(x) h(x)=0 tem quatro soluções reais diferentes.'

'Quando a função $f(x)=4x^3-3(2a+1)x^2+6ax$ tem máximos e mínimos locais, encontre a condição que a constante $a$ deve satisfazer.'

'Considere o Exercício Básico 120. Examine as mudanças de sinal dos seguintes polinômios $f(x, y)$ e determine os sinais em cada região.'

'Qual é a tradução chinesa do texto fornecido?'

'Encontre as integrais definidas a seguir.'

'Simetria do gráfico de uma função cúbica'

'Prática: Desenhe o gráfico da função y=| -x^3 + 9x |.'

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'Quando o ponto P(x, y) se move ao longo do círculo unitário no plano, encontre o valor máximo de 15x^2 + 10xy - 9y^2 e as coordenadas do ponto P que dão o valor máximo.'

'Seja a uma constante positiva. Encontre o valor mínimo da função f(x) no intervalo 0 ≤ x ≤ 2. Onde: f(x) = -\\frac{x^{3}}{3} + \\frac{3}{2}ax^{2} - 2a^{2}x + a^{3}'

'Pontos a considerar ao desenhar o gráfico de uma função cúbica'

'Pratique traçar o gráfico das seguintes funções.'

'Encontre todas as funções f(x) que assumem valores extremos quando x = 1 e x = 3, para a função f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d. Além disso, forneça os valores máximo e mínimo.'

'Encontre o valor da constante a quando as curvas y=x^{3}-x^{2}-12 x-1, y=-x^{3}+2 x^{2}+a são tangentes. Além disso, encontre a equação da reta tangente nesse ponto.'

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'Encontre os valores máximo e mínimo da função. Além disso, determine os valores correspondentes de x. (219 (1) y=-x^{3}+12x+15 (-3 ≤ x ≤ 5))'

'Função cúbica e valores extremos'

'O número de soluções reais da equação f(t)=b é determinado pelo número de interseções entre o gráfico de y=f(t) e a reta y=b: 1 interseção quando b<2a e b>e^{a}-e^{-a}; 2 interseções quando b=2a ou b=e^{a}-e^{-a}; 3 interseções quando 2a<b<e^{a}-e^{-a}'

'Traduzir o texto dado para vários idiomas.'

'Usando as funções f(x)=x^{2}+1 e g(x)=2x-1, encontre a função composta (g ∘ f)(x).'

'Expresse o círculo (1) em coordenadas polares.'

'Trace os gráficos das seguintes funções e encontre seus intervalos de valores:\n(1) y=\\sqrt{3 x-4}\n(2) y=\\sqrt{-2 x+4}(-2 \\leqq x \\leqq 1)\n(3) y=\\sqrt{2-x}-1'

'Determine os valores das constantes a e b, de modo que a função y = √(4-x) assuma valores entre 1 e 2 para a ≤ x ≤ b.'

'Por favor, esboce o gráfico da função $y$ determinada pela equação $y^{2}=x^{2}(8-x^{2})$ em relação a $x$.'

'Uma função f(x) é chamada de função contínua quando é contínua para todos os valores de x em seu domínio. Funções representadas por polinômios, frações, funções irracionais, funções trigonométricas, funções exponenciais e funções logarítmicas são todas funções contínuas.\nPor favor, prove que a função f(x)=√x é contínua em seu domínio.'

"Prova que uma função quadrática g(x) que satisfaz f(a)=g(a), f'(a)=g'(a) e f''(a)=g''(a) é g(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(f''(a)/2)(x-a)^2 (1)."

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'1) O valor mínimo quando t=2 é -\\frac{512 \\sqrt{2}}{15}'

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'Por favor, investigue a função y = x sqrt(x + 1) onde x > -1.'

'Para o número real x, [x] representa o inteiro n que satisfaz n ≤ x < n+1, determine os valores das constantes a e b de modo que a função f(x) = ([x]+a)(b x-[x]) seja contínua em x = 1 e x = 2.'

'(1) Represente I como uma função de a. (2) Encontre o valor mínimo de I e o valor correspondente de a.'

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'Encontre os valores máximo e mínimo de x^2 - y^2 + xy quando os números reais x e y satisfazem 2x^2 + 3y^2 = 1.'

'(6) Em x=-4/5, o valor máximo é 12√[3]{10}/25, em x=0, o valor mínimo é 0'

'(2) x=1 resulta em um valor máximo de 1'

'Encontre a distância mínima entre um ponto $P$ na elipse $\\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ e o ponto fixo $A(a, 0)$. Aqui, $a$ é uma constante real.'

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'Quando um ponto (x, y) se move no plano de coordenadas no conjunto definido por (x^2 + y^2)^2 - (3x^2 - y^2)y = 0, x ≥ 0, y ≥ 0, encontre o valor máximo de x^2 + y^2 e os valores de x, y que dão esse valor máximo.'

'Encontre o intervalo de x para o Capítulo 1 Funções - PRÁTICA, problema 4.'

'Encontre a área entre y = x^2 e y = x.'

'Por favor, esboce o gráfico aproximado da função de x determinada pela equação y^2 = x^2(x+1) (não é necessário considerar a convexidade/concavidade).'

'Encontre o ponto do Exercício 11 no Capítulo 1 Funções.'

'Encontre a integral indefinida seguinte.'

'Pergunta 66\n(1) Encontre a solução para a equação (x-3)² + y² + (z-2)² = 13.\n(2) Encontre a solução para a equação (x-2)² + (y-4)² + (z+1)² = 27.\n(3) Encontre a solução para a equação (x-2)² + (y+3)² + (z-1)² = 9.'

'(2) O ponto B é um ponto obtido girando o ponto A em torno da origem O por π/4 ou -π/4 e aumentando a distância da origem em um fator de √2.'

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'A posição x de um ponto P se movendo ao longo de uma linha no tempo t é dada por x=-2t^3+3t^2+8(t≥0). Encontre a velocidade e a aceleração de P quando ele está mais distante da origem O na direção positiva.'

'Trace os gráficos das seguintes funções. Além disso, encontre seus domínios e intervalos.'

'Investigue se a função f(x) é contínua ou descontínua em x=0. Onde [x] denota o maior inteiro que não excede o número real x.'

'Dados os conjuntos A e B, quando um elemento de A é determinado, o elemento correspondente de B também é determinado como um. Essa correspondência é chamada de uma aplicação de A para B. As aplicações são denotadas por símbolos como f, g. É representada como f: A→B, para representar uma aplicação de A para B. Para uma aplicação f de A para B, o elemento de B correspondente a um elemento a de A é chamado de imagem de a em f, denotado por f(a). Por exemplo, seja A={a, b, c, d}, B={1, 2, 3, 4}. Se f(a)=f(b)=1, f(c)=3, f(d)=2, então f é uma aplicação de A para B.'

'Usar rotação para encontrar a área'

'Encontre a equação da reta tangente no ponto dado nas seguintes elipses e hipérboles.'

'Calcular a área usando uma transformação de rotação'

'Esboce o contorno do gráfico da função y determinada pelas seguintes equações (também examine a concavidade e convexidade):'

'No momento t = 2, é necessário determinar a aceleração de P, α, onde α = dv/dt = 6t.'

'Por favor, resolva o problema relacionado às equações de função.'

'Por favor encontre o número de pontos compartilhados nos gráficos de duas funções.'

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'Encontre o valor mínimo da função y=x^4-6x^2+10.'

'\\[f(f(x))=2 f(x)-1=2 \\cdot(2 x-1)-1=4 x-3\\]\nPortanto, o gráfico de \\( y=f(f(x)) \\) é como mostrado na Figura (2).'

'Para todos os números reais x1 e x2 que satisfazem 0 ≤ x ≤ 4, a condição para que f(x1) < g(x2) seja verdade é que o valor máximo de f(x) seja menor que o valor mínimo de g(x) para 0 ≤ x ≤ 4. Portanto, -a^2 + 8 < -3a - 10. Simplificando, obtemos a^2 - 3a - 18 > 0. Assim, (a + 3)(a - 6) > 0. Portanto, a < -3, 6 < a.'

'Desenhe o gráfico das seguintes funções: (1) y=x^{2}-4|x-1| (2) y=\\left|\\frac{1}{3} x^{2}+2 x-9\\right|'

'Para alguns números reais x1, x2 que satisfazem 0 ≤ x ≤ 4, a condição para que f(x1) < g(x2) seja válida é que o valor mínimo de f(x) < o valor máximo de g(x) seja válido para 0 ≤ x ≤ 4. Portanto, -a^2 - 1 < -3a - 1 pode ser simplificado para a^2 - 3a > 0.'

(2) Desenhe o gráfico da função \( y=M(a) \).

Encontre a equação da hipérbole de 100° grau. (1) rac{x^{2}}{9}-rac{y^{2}}{9}=1 (2) rac{x^{2}}{8}-rac{y^{2}}{18}=-1

Para as coordenadas \( (x, y) \) de um ponto na curva $C$, que são expressas usando a variável $t$ como \( \left\{egin{array}{ll}x=t \\ y=t^{2}\end{array} \cdots \cdots \cdots(A)\right. \), investigue os valores de $x$ e $y$ correspondentes ao valor de $t$, plote os pontos no plano cartesiano e conecte-os com uma linha suave. Que tipo de curva se obterá?

A equação de x, y e a equação polar

Que tipo de figura é representada por todos os pontos $z$ que satisfazem as seguintes equações. (1) $|2 z-1+2 i|=6$ (2) $|z+3 i|=|z+1|$

Quando o ponto EX ponto \( \mathrm{P}(x, y) \) se move sobre a elipse rac{x^{2}}{4}+y^{2}=1 , encontre os valores máximo e mínimo de $3 x^{2}-16 x y-12 y^{2}$.[Referência: Universidade Médica de Fukushima]

Quando o ponto \( \mathrm{P}(x, y) \) se move na elipse $\frac{x^2}{4}+y^2=1$, encontre os valores máximos e mínimos de $3x^2-16xy-12y^2$.

Expresse as curvas representadas pelas seguintes equações em coordenadas polares. (a) 2x^2 + y^2 = 3 (b) y = x (c) x^2 + (y - 1)^2 = 1