Funções Básicas - Funções Lineares e Seus Gráficos

'Se o gráfico de y = f(x) na página 278 do livro 146 for simétrico em relação ao ponto (2,1), encontre a equação do gráfico após movê-lo paralelamente -2 na direção x e -1 na direção y.'

'Tabela de mudanças: uma tabela que mostra o aumento ou diminuição de variáveis.'

'(3) (1) A prova é omitida, a condição para a equação ser verdadeira é x=y'

'Resolver os seguintes problemas.'

'Quando o ponto (x, y) se move 79, encontre a região representada pelo sistema de desigualdades y ≤ 1/2x + 3, y ≤ -5x + 25, x ≥ 0, y ≥ 0. Encontre os valores máximo e mínimo das seguintes expressões:\n(1) x²+y²\n(2) x²+y²-2(x+6y)\n[Universidade de Ciências de Tóquio]'

'A condição para as retas (2) e (3) serem paralelas é'

'Represente a relação de recorrência an+1=ran em um gráfico e explique suas características.'

'(1) Para a reta y=2x+3, encontre as coordenadas do ponto P(3,4) e seu ponto simétrico.'

"A equação da tangente no ponto (a, a²) em C₁ é y' = 2a, o que leva a y - a² = 2a(x - a) assim, y = 2a x - a². A equação da tangente no ponto (b, 4b² + 12b) em C₂ é y' = 8x + 12, o que leva a y - (4b² + 12b) = (8b + 12)(x - b) assim, y = (8b + 12)x - 4b². A linha l coincide quando (1) e (2) são iguais, então 2a = 8b + 12, -a² = -4b² o que resulta em a = 4b + 6 b² + 4b + 3 = 0 resolvendo para b resulta em b = -1, -3 desde que a inclinação da linha l seja positiva, 8b + 12 > 0 portanto b = -1 a = 2. Portanto, a equação da linha l é y = 4x - 4."

'Encontre o intervalo da função y=-2x+3 (-3 ≤ x ≤ 2).'

'Encontre a equação das seguintes linhas:'

'Derive a equação de uma reta.'

'Trace a equação de recorrência an+1=an+d em um gráfico e descreva suas características.'

'Encontre a equação das seguintes linhas.'

'A reta y = mx (m > 0) bisecta a área da forma T. Encontre o valor de m.'

'Quando m = -4, é 3,5; quando m = 4, é -5,-3 (2) Quando m = -2√5, é √5, 3√5; quando m = 2√5, é -√5, -3√5'

'Encontre a equação da reta que é simétrica à reta y=2x+3 em relação à reta 3x+y-1=0.'

'Encontre a equação de uma reta que passa pelo ponto (x_1, y_1) com inclinação m.'

'Encontre a equação da reta que passa pelos seguintes dois pontos: (1) (2,-3),(-1,1) (2) (3,4),(3,1) (3) (a, 0),(0, b) A equação da reta que passa por pontos diferentes (x1, y1),(x2, y2) é y-y1=\x0crac{y2-y1}{x2-x1}(x-x1) quando as coordenadas x de dois pontos são diferentes x1≠x2 quando as coordenadas x de dois pontos são iguais x1=x2 a equação da reta é x=x1'

'Seja a e b números reais, quando a + b = 2 e a ≠ b, determine a ordem de 1, ab e (a² + b²) / 2.'

'Como é que a área sombreada à direita é representada por um sistema de desigualdades? Note que as linhas de fronteira não estão incluídas na região.'

'Encontre as integrais definidas. (1) $\\int_{0}^{3}|x-2| dx$ (2) $\\int_{-2}^{3}\\left|x^{2}-2x\\right| dx$'

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'Encontre as equações das seguintes retas:\n(1) A inclinação é -2, a interseção em y é 3.\n(2) Passa pelo ponto (4,2) com uma inclinação de 3.\n(3) Passa pelo ponto (-3,0) com uma inclinação de -5.\n(4) Passa pelo ponto (2,-1) com uma inclinação de 1/2.\n(5) Passa pelo ponto (-2,7) e é perpendicular ao eixo x.\n(6) Passa pelo ponto (3,2) e é paralela ao eixo x.'

'Resumo das progressões aritmética e geométrica'

'Crescente quando x ≤ 2 e decrescente quando 2 ≤ x. Sempre crescente. Decrescente quando x ≤ -2/√3 ou 2/√3 ≤ x, crescente quando -2/√3 ≤ x ≤ 2/√3.'

'Se a velocidade mudar conforme mostrado na Figura 3, qual a distância percorrida em 5 horas?'

'À medida que os intervalos de tempo do gráfico na Figura 5 são encurtados ainda mais, em que parte do gráfico a distância percorrida dentro de 5 horas irá cair?'

'Pergunta 2: No contexto da vida imaginada como uma linha que vai do nascimento até a morte, onde você se vê atualmente posicionado?'

'O que é um vetor normal?'

'Expressar a equação da reta que passa pelos pontos (-3,2) e (2,-4) usando o parâmetro t.'

'(1) \ y = x - 2\\sqrt{x} \'

'Expresse a equação da reta que passa pelos pontos (-3,2) e (2,-4) usando o parâmetro t.'

'Encontre o intervalo das funções dadas. Além disso, determine os valores máximo e mínimo, se existirem.'

'A gama da função y=ax+b (1≤x≤2) é 3≤y≤4.'

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'Por favor, explique como utilizar a lista de exemplos.'

'De forma geral, o seguinte é válido. Quando a variável x é transformada por y=ax+b (a, b são constantes), média: ȳ=ax̄+b, variância: s_y^2=a^2s_x^2, desvio padrão: s_y=|a|s_x'

'Investigue as funções F(a) e G(a) no seguinte domínio:'

'Quais são o máximo e o mínimo de uma função quando um extremo do domínio se move?'

'Encontre o domínio das seguintes funções. Além disso, determine os valores máximo e mínimo.'

'Quando x + 3y = k, o valor mínimo de x^2 + y^2 é 4. Encontre o valor da constante k.'

"Por favor, forneça a página da 'função linear'."

'O que é CHART (チャート)?'

'Encontre o intervalo das seguintes funções. Além disso, determine os valores máximos e mínimos das funções.'

'(1) Encontre o valor máximo de xy quando x + y = 4.'

'Quando o domínio de uma função linear y=ax+b é -3 ≤ x ≤ 1, o intervalo é -1 ≤ y ≤ 3. Aqui, a>0.'

'Encontre o intervalo da função y=x-3 (1 ≤ x < 5).'

'Quando x=0, o valor mínimo é -1 e não há um valor máximo.'

'Pontos de interseção do gráfico e eixo x e soluções de números reais da equação'

'Mostre a forma geral de uma função linear e uma função quadrática: onde a, b, c são constantes.'

'O valor mínimo é -1 quando x=2, e não há valor máximo.'

'Desenhe o gráfico das seguintes funções e determine seu intervalo.'

'Para x ≥ 0, y ≥ 0 e 3x + 2y = 1, encontre os valores máximo e mínimo de 3x^2 + 4y^2.'

'64 (1) O intervalo é -5 ≤ y ≤ 4, o valor máximo é 4 quando x=-1, e o valor mínimo é -5 quando x=2'

'Encontre o intervalo das seguintes funções. Também, determine os valores máximo e mínimo das funções.'

'Determine os valores das constantes a e b de modo que o intervalo da função linear y=ax+b (-2 ≤ x ≤ 1) seja -1 ≤ y ≤ 5. É dado que a<0.'

'Encontre o intervalo das seguintes funções. Além disso, encontre os valores máximo e mínimo das funções. (1) y=-3 x+1 (-1 ≤ x ≤ 2)(2) y=\\frac{1}{2} x+2 (-2<x ≤ 4)(3) y=-2 x^{2} (-1<x<1)'

'64 (2) O intervalo é 1 < y ≤ 4, o valor máximo é 4 quando x=4, não há valor mínimo'

'Encontre o valor mínimo de x^2 + y^2 quando 2x + y = 3.'

'Na expressão x+y=k, onde tentamos encontrar os valores máximo e mínimo, assumimos x+y=k e resolvemos como mostrado no exemplo 106. A ideia é a seguinte: Para todos os valores de (x, y) incluídos no domínio D, calcular o valor de x+y e encontrar os valores máximo e mínimo de x+y é impossível. Portanto...'

'Exemplo básico 73\nInterseção de 2 retas e soluções para um sistema de equações lineares\nEncontre as condições para o sistema de equações ax+3y-1=0,3x-2y+c=0 ter o seguinte:\n(1) Uma solução única\n(2) Sem solução\n(3) Soluções infinitas'

'(2) Se f(x) for uma função de primeira ordem de x e \\int_{0}^{1} f(x) d x = 1, então \\int_{0}^{1}\\{f(x)\\}^{2} d x > 1.'

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'(1) $y = - \\frac{1}{2a} x - \\frac{1}{16 a^{2}}$\\n(2) O valor mínimo é $\\frac{1}{12}$ quando $a = \\frac{1}{2}$'

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'Desenhe as regiões representadas pelas seguintes desigualdades no plano xy.'

'Em matemática, um problema para encontrar a equação da linha PQ que passa pelos pontos de contato P, Q de duas tangentes.'

"(1) y' = -2x + 4 = -2(x - 2) Quando y' = 0, x = 2 a tabela de aumento e diminuição de y está como segue à direita. Portanto, aumento para x <= 2 e diminuição para x >= 2."

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'Qual é a melhor maneira de proceder ao trabalhar em problemas de exemplo na etapa 2?'

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'No plano xy, seja D a região definida pelo sistema de desigualdades x ≥ 0, y ≥ 0, x+2y ≤ 30, 5x+2y ≤ 66. Encontre o valor máximo de kx+y à medida que o ponto (x, y) se move dentro da região D, onde k é um número real satisfazendo 1 ≤ k ≤ 3.'

'Encontre a equação da reta paralela à reta ℓ: 2x+3y=4 que passa pelo ponto (1,2). Além disso, encontre a equação da reta perpendicular à reta ℓ e que passa pelo ponto (2,3).'

'Em uma fábrica, existem dois tipos de produtos, X e Y. Para produzir 1kg de X, são necessários 1kg de matéria-prima A e 3kg de matéria-prima B, enquanto 2kg de matéria-prima A e 1kg de matéria-prima B são necessários para 1kg de Y. Os limites máximos de matéria-prima disponíveis são 10kg para matéria-prima A e 15kg para matéria-prima B. Se o lucro por 1kg é de 50.000 ienes para X e 40.000 ienes para Y, quantos quilogramas de X e Y devem ser produzidos para maximizar o lucro?'

'Encontre a equação da reta que passa por dois pontos diferentes $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$.'

'Em t = 1, o valor máximo é 2/3, em t = 1/2, o valor mínimo é 1/4'

'(2) A partir de $x-y=\\sqrt{2}$, temos $y=x-\\sqrt{2}$. Substituindo isso em $x^{2}+y^{2}=1$, obtemos \\[ x^{2}+(x-\\sqrt{2})^{2}=1 \\] Simplificando, obtemos $2x^{2}-2\\sqrt{2}x+1=0$. Vamos denotar o discriminante desta equação quadrática como $D$, então \\[ \\frac{D}{4}=(-\\sqrt{2})^{2}-2 \\cdot 1=0 \\] Como $D=0$, há 1 ponto de interseção (tangente).'

"(1) Dado y' = 6x -4 = 2(3x - 2), y'=0, quando x=2/3, a tabela para o aumento e diminuição de y é como mostrada à direita. Portanto, y atinge um valor mínimo de -1/3 em x=2/3."

'Resolva a desigualdade 2|x+1|-|x-1|>x+2 usando métodos gráficos.'

'Encontre os valores das constantes a e b de modo que o intervalo da função y = ax + b (-2 ≤ x < 1) seja 1 < y ≤ 7.'

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'Encontre os valores das constantes a e b de forma que o intervalo da função y = ax + b (2≤x≤5) seja -1≤y≤5.'

'O complemento de um conjunto vazio \ \\overline{A}=\\{x \\mid x \\in U \ e \ x \\notin A\\} \, as leis de De Morgan declaram que \ \\overline{A \\cup B}=\\overline{A} \\cap \\overline{B} \\quad \\overline{A {cap B}=\\overline{A} \\cup \\overline{B} \'

'Quando o valor máximo da função y = -x + 1 (a ≤ x ≤ b) é 2, e o valor mínimo é -2, encontre os valores das constantes a e b.'

'No gráfico da função linear y=ax+b, ele inclina para cima à direita quando a é positivo ou negativo?'

'Encontre a amplitude das seguintes funções. Além disso, se disponível, encontre o valor máximo e mínimo.'

'Encontre os valores das constantes a e b de modo que o intervalo da função y = ax + b (1 ≤ x ≤ 2) seja 3 ≤ y ≤ 5.'

'Por favor, descreva as características do gráfico da função y = b.'

'Quando o valor máximo da função y = -x + 1 (a ≤ x ≤ b) é 2 e o valor mínimo é -2, encontre os valores das constantes a e b. É conhecido que a < b.'

'Determinar os coeficientes de uma função linear com base nas condições de gama'

'Pratique traçar os gráficos das seguintes funções.'

'Gráfico do valor absoluto de uma função linear (2)'

'Por favor, descreva a forma geral de uma função linear e sua forma em um gráfico.'

'Quais são as condições que são cumpridas quando a proposição p → q é verdadeira?'

'Seja x uma variável com dados que consistem em n números reais x_1, x_2, ..., x_n. Seja x̄ a média de x_1, x_2, ..., x_n e s_x o desvio padrão. Quando uma nova variável y e seus dados y_1, y_2, ..., y_n são definidos pela expressão y=4x-2, expresse a média 𝑦̄ e o desvio padrão s_y de y_1, y_2, ..., y_n usando x̄ e s_x.'

'Encontre os valores das constantes a e b de forma que o intervalo da função y = ax + b (2 ≤ x ≤ 5) seja -1 ≤ y ≤ 5.'

'Uma função que inclui valor absoluto trata o caso em que a expressão dentro do valor absoluto se torna 0 como um ponto de divisão, e considera a remoção do símbolo de valor absoluto. Em tais casos de pontos de divisão, aprendemos no exemplo 67 de matemática que o gráfico da função se curvará. Aqui, examinaremos como os gráficos dessas funções mudam ao incluir valores absolutos e constantes de caracteres.'

'Gráfico de uma função de primeiro grau com valor absoluto (1)'

'Quando a=1, o gráfico torna-se uma linha com inclinação de 0 em x ≤ 1 e x ≥ 2.'

'Seja x uma variável com média x̄ e desvio padrão s_x. Quando uma nova variável u é obtida por u=ax+b (onde a e b são constantes), e os dados de u têm um desvio padrão s_u, então s_u=|a|s_x se mantém.'

'Seja θ (0° < θ < 180°) o ângulo a ser encontrado. (1) Dado que a inclinação da reta é -1, encontre θ. (2) Dado que a inclinação da reta é √3, encontre θ. (3) Dado que a inclinação da reta é -1/√3, encontre θ.'

'Determine os valores das constantes a e b para satisfazer as seguintes condições: (1) Para a função linear f(x)=ax+b, f(0)=-1 e f(2)=0. (2) O gráfico da função linear y=ax+b passa pelos pontos (-1,2) e (3,6). (3) Quando o domínio da função y=ax+b é -3≤x≤1, a amplitude é 1≤y≤3. Aqui, a>0.'

'A pontuação X é calculada com base na distância D.'

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'A relação entre gráficos e desigualdades\nGeralmente, quando \\( f(x) > g(x) \\), significa que o gráfico da função \\( y = f(x) \\) está acima do gráfico da função \\( y = g(x) \\). Por exemplo, na desigualdade \ x+2 > |2x+1| \, é necessário determinar o intervalo de valores de \ x \ para os quais o gráfico da função \ y = x+2 \ está acima do gráfico da função \ y = |2x+1| \. No diagrama à direita, a região destacada em vermelho representa esse intervalo, então a solução para a desigualdade é \ -1 < x < 1 \. Este método pode ser eficaz em situações que exigem uma análise complexa.'

'Encontre o ângulo agudo θ formado pelas seguintes duas linhas.'

'No plano de coordenadas, o ponto P parte da origem O e move-se ao longo do eixo x até ao ponto (6,0) a uma velocidade de 1 unidade por segundo, enquanto o ponto Q parte simultaneamente do ponto (0,-6) e move-se em direção à origem O a uma velocidade de 1 unidade por segundo. A que momento após a partida a distância entre o ponto P e o ponto Q será minimizada? Além disso, determina a distância mínima.'

'Encontre uma função linear com domínio de \-2 \\leqq x \\leqq 2\ e alcance de \-2 \\leqq y \\leqq 4\.'

'Tente traçar o gráfico da função y=x-[x](-2≤x≤3).'

'Linha de Regressão'

'Determine os valores das constantes a e b para que o intervalo da função y = ax + b (2 ≤ x ≤ 5) seja -1 ≤ y ≤ 5. É dado que a < 0.'

'Para a função f(x)=-2x+1, encontre os seguintes valores.'

'A seguinte tabela resume a relação entre o preço por peça de onigiri A e o volume de vendas em uma empresa que fabrica e vende pratos prontos.'

'Qual é a parte principal deste livro?'

'Que tipo de forma representa o conjunto de todos os pontos que satisfazem a equação |z+2|=2|z-1|?'

'Encontre os dois pontos de interseção entre a reta (1) e a elipse (2).'

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'(1) (A) f(x)=k x ( k é uma constante )'

"O que significa engenharia reversa a partir de 'o eu que você deseja se tornar'?"

'Encontre o intervalo de \ x \.'

'Encontre o ângulo θ entre os seguintes dois planos. Deixe 0° ≤ θ ≤ 90°.'

'Encontre as soluções para o seguinte:\n(1) Dado y1 = 2p (x+x1), encontrar y = -y1/(2p)(x-x1) + y1\n(2) Dado y = 2/√3 x -1/√3, y = -√3/2 x + 2√3'

'Mapeamento Inverso\nPara um mapeamento f: A -> B, se f(A) = B e para cada b em B existe um único a em A tal que f(a) = b, então um mapeamento f^{-1}(b) = a pode ser definido de B para A. Em outras palavras, f(a) = b se e somente se a = f^{-1}(b). f^{-1} é conhecido como o mapeamento inverso de f. Quando o domínio e o contradomínio são ambos números (subconjuntos de números reais), o mapeamento é chamado de função. Em resumo, um mapeamento é uma generalização de uma função.'

'Exemplo 9 | Funções compostas e determinação de funções'

'Encontre as equações das retas tangente e normal.'

'(2) y = (6-x)/(x-2) = -1 + 4/(x-2) (1) y = (1/2)x + 1 O intervalo de valores de x onde o gráfico da função (1) está acima da linha (2), ou onde o gráfico da função (1) se intersecta com a linha (2) é x ≤ -1 - √17, 2 < x ≤ -1 + √17'

'Questão 92 Taxa de Variação Geral de Volume Há um recipiente em forma de um frusto de cabeça para baixo como mostrado na figura à direita. A uma altura de 4 cm, o corte transversal horizontal é um quadrado com lado de 3 cm. Quando a água é adicionada suavemente ao recipiente a uma taxa de 9 cm³ por segundo, no momento em que a profundidade da água é de 2 cm, qual é a velocidade com que a superfície da água sobe em centímetros por segundo? [Universidade Médica de Jichi]'

'Encontre a equação da reta tangente no ponto dado na curva a seguir.'

'Por favor, prove a seguinte equação: \n\\[\\alpha \ar{z}-\ar{\\alpha} z =(a+b i)(x-y i)-(a-b i)(x+y i) =2(b x-a y) i\\]\nEm particular, note que \\(\ar{\\alpha} z=(a x+b y)+(a y-b x) i\\) não é um número real, portanto, dado que \ a y-b x \\neq 0 \, mostre que \ \\alpha \\overline{z}-\\overline{\\alpha} z \ é puramente imaginário.'

'Considere a esfera S com pontos finais do diâmetro nos dois pontos A(0,3,0) e B(0,-3,0) no espaço de coordenadas. Encontre o valor máximo de 3x + 4y + 5z à medida que o ponto P(x, y, z) se move na esfera S. Além disso, determine as coordenadas de P nesse ponto.'

'Quando as duas desigualdades x+y-2 ≤ 0 e x^2+4x-y+2 ≤ 0 são satisfeitas, encontre os valores máximos e mínimos de (y-5)/(x-2), bem como os valores de x e y nesse momento.'

'Encontre a área da região representada pelo sistema de desigualdades 2y-x^2≥0, 5x-4y+7≥0, x+y-4≤0.'

'Trace a região representada pelas seguintes desigualdades.'

'Encontre as condições para as constantes a, b, de modo que f(x) <= 1 seja válido para todos os números reais x, e plote o intervalo de pontos (a, b) que satisfaçam essas condições.'

'Encontre as condições para números reais a, b de forma que a reta y = ax + b tenha um ponto em comum com o segmento de reta que une os 2 pontos A(-3,2) e B(2,-3), e represente-a como uma região no plano ab.'

'Encontre o intervalo da função y = -2x + 1 (-1 ≤ x ≤ 2).'

"Dadas as funções f(x), g(x), e suas derivadas f'(x), g'(x), satisfazendo f(x)+g(x)=-2 x+5, f'(x)-g'(x)=-4 x+4, f(0)=5. Determine f(x) e g(x) neste caso."

'Determine a equação de uma reta com inclinação m e intercepto no eixo y n, dada por y = mx + n.'

'As retas (a-1)x-4y+2=0 e x+(a-5)y+3=0 se intersectam perpendicularmente quando a=〇 e são paralelas quando 80a=〇.'

'(1) Expresse S como uma função de a quando f(0)=0, f(2)=2.\n(2) Encontre o valor mínimo de S enquanto satisfaz f(0)=0, f(2)=2 à medida que f varia.'

'Substituindo (1) em $y = x + 2$ em (3) e simplificando, obtemos $x^2 + x - 6 = 0$ Portanto, $(x - 2)(x + 3) = 0$ assim $x = 2, -3$ De (3) chegamos em $x = 2$ quando $y = 4$, e $x = -3$ quando $y = -1$ Portanto, as coordenadas dos dois pontos são $(2, 4), (-3, -1)$'

'Exemplo (13) Equação de uma reta'

'Equação de uma reta, relação entre 2 retas'

'Assumindo que a função y=f(x) é contínua e a é uma constante real. Para todos os números reais x, se a desigualdade |f(x)-f(a)|≤2/3|x-a| for verdadeira, prove usando o teorema do valor intermediário que a curva y=f(x) deve intersectar a linha y=x.'

'Encontre o limite da sequência {an} definida pelas seguintes condições.'

'Que tipo de curva é representado pelo ponto P(x, y) nas seguintes equações?'

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"Na página 'Resumo', são sumarizados de forma clara e concisa várias áreas de estudo em um única página."

'Por favor, forneça a equação de um círculo com centro α e raio r.'

'Encontre as coordenadas dos pontos de interseção dos gráficos da reta y = 8x-2 e da função y = √(16x-1).'

'Encontre todas as funções lineares g(x) que satisfaçam as condições.'

'(1) O valor máximo é 3/2 em x=-3, o valor mínimo é -1/2 em x=1'

'1ª independente e 1ª dependente'

'Encontre o valor de $x$ no Exercício 9 do Capítulo 1 - Funções.'

'Para as funções f(x)=1-2x, g(x)=1/(1-x), h(x)=x(1-x), encontre as seguintes funções compostas.'

'Gráfico de uma função representativa'

'(1) Mostrar que f(0)=1.'

'Encontre os valores máximo e mínimo de 3x + 2y quando os números reais x e y satisfazem as duas desigualdades y ≤ 2x + 1, 9x² + 4y² ≤ 72.'

'Como desenhar um gráfico'

'Como você pode utilizar a lista de exemplos fornecida em cada capítulo?'

'Prática (1) Quando a reta x-4=y-3=\\frac{z+2}{4} intercepta o plano 2x+2y+z-2=0, sendo o menor dos dois ângulos formados seja θ, encontre o valor de cosθ.'

'Encontre o domínio e o alcance do problema de Prática 1 no Capítulo 1 de Funções.'

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'45 (1) \\ (4 \\cdot y=2 \\cdot 2(x+2) \\) ou seja, \\ (y=x+2 \\) (2) \\ (\\frac{1 \\cdot x}{3}+\\frac{2 \\cdot y}{6}=1\\) ou seja, \\ (x+y-3=0 \\) (3) \\ ( 2 \\cdot \\sqrt{2} \\cdot x-(-\\sqrt{3}) \\cdot y=1 \\) ou seja, \\ (2 \\sqrt{2} x+\\sqrt{3} y-1=0 \\)'

'Encontre os valores de a, b e c no Capítulo 1 Funções - EXERCÍCIOS, problema 2.'

'Resolver y=-2 x+3 para x dá x=-\\frac{1}{2} y+\\frac{3}{2}, trocando x e y, a função inversa é y=-\\frac{1}{2} x+\\frac{3}{2}'

'Um mapeamento é chamado de função quando tanto o domínio quanto o alcance são números (subconjuntos de números reais). Em outras palavras, um mapeamento é uma generalização de uma função.'

'68 (1) \\( y=\\frac{\\sqrt{2}}{4} x+\\frac{\\sqrt{2}}{2},(2, \\sqrt{2}) \\)'

'O que o CHART & THINKING indica principalmente?'

'Determinando os coeficientes a partir do intervalo'

'Por favor, liste as funcionalidades básicas incluídas na programação de materiais educativos da Suken Shuppan.'

'Valores das funções'

'Quando x=\\frac{5}{4}, y=-\\frac{1}{4}, o valor máximo é \\frac{9}{8}; Quando x=0, y=1, o valor mínimo é -2'

'Seja [a] o maior inteiro que não excede o número real a. Desenhe o gráfico das seguintes funções: (1) y=-[x] (-3 ≤ x ≤ 2) (2) y=[2 x-1] (0 ≤ x ≤ 2)'

'Quando as variáveis x, y satisfazem a condição x+2y=1, encontre o seguinte: (1) O valor mínimo de x^2+y^2. (2) O valor máximo de x^2+y^2 quando x≥0, y≥0'

'Represente o maior inteiro que não excede um número real a como [a]. Desenhe o gráfico das seguintes funções: (1) y=2[x] (-2 ≤ x ≤ 1) (2) y=[2 x] (-2 ≤ x ≤ 1)'

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'O que é um gráfico da função y = f(x)?'

'Quando a linha x=a está no intervalo x<0, ou seja, quando a<0, atinge o mínimo em x=0 no gráfico à direita. O valor mínimo é f(0)=-4a'

'\\[\egin{array}{c}f(x)=2 x \\\\ f(x) \\text{do gráfico de} \\\\ 0 \\leqq f(x)<\\frac{1}{2} \\\\\n\\text{Portanto, } \\\\\nf(f(x))=2 f(x)=2 \\cdot 2 x\\end{array}\\]\nPortanto\n• é o gráfico de (1).\nO linha—abaixo da equação \ y=\\frac{1}{2} \ dobra as partes abaixo dele, e as partes acima (ou na linha) dobram e depois subtraem 1.'

'Encontre os valores máximo e mínimo de P quando x está entre 0 e 3 e y está entre 0 e 3.'

'Encontre os pontos de interseção entre o gráfico de uma função com valor absoluto e uma linha reta.'

'Exercício 35→Livro p.92\nSeja f(x)=1/2 x-|x-|x-1||. A equação f(x)=a tem três soluções diferentes quando o gráfico de y=f(x) e a linha y=a têm três pontos de interseção diferentes. Seja g(x)=|x-|x-1||.\n[1] Quando x>=1, g(x)=|x-(x-1)|=1, logo f(x)=1/2 x-g(x)=1/2 x-1.\n[2] Quando x<1, g(x)=|x+(x-1)|=|2x-1|\n(i) Quando x<1/2, g(x)=-2x+1, então f(x)=1/2 x-g(x)=1/2 x-(-2x+1)=5/2 x-1.\n(ii) Quando 1/2 <= x < 1, g(x)=2x-1, logo f(x)=1/2 x-g(x)=1/2 x-(2x-1)=-3/2 x+1.\nPortanto, o gráfico de y=f(x) é conforme mostrado na figura à direita. O intervalo de valores de a para os quais o gráfico e a linha y=a têm três pontos de interseção diferentes é -1/2<a<1/4.'

'Quando x = 1, y = 0, o valor máximo é 2; quando x = -1, y = 0, o valor mínimo é -2'

'Quando a=1, (0,1), quando a=5, (-2,-1)'

'Encontre o intervalo e os valores máximo e mínimo'

'Por favor, faça o gráfico da função y=|x+1|+|x-3|.'

Determine o intervalo das funções a seguir. Além disso, encontre os valores máximos e mínimos das funções. (1) y=-3x+1 \quad (-1 \leqq x \leqq 2) (2) y=\frac{1}{2}x+2 \quad (-2<x \leqq 4) (3) y=-2x^{2} \quad (-1<x<1)

Dado $x \geq 0, y \geq 0, x + y = 2$, encontre os valores máximo e mínimo de $x^2 + y^2$.

Desenvolvimento 78 | Gráfico de uma função linear envolvendo valor absoluto

Máximo e Mínimo com Condições (1) Dado $x \geqq 1, y \geqq -1, 2 x + y = 5$, encontre os valores máximo e mínimo de $x y$.

Para a função linear \( f(x)=a x+b \), dado que \( f(1)=2 \) e \( f(3)=8 \), encontre os valores das constantes $a$ e $b$.

Padrão 65 | Determinação dos coeficientes de uma função linear a partir de condições como o intervalo

Ao comprar itens que custam 100 ienes cada, o custo total depende da quantidade comprada. Da mesma forma, quando um carro viaja a 60 km/h, o tempo de viagem determina a distância total. Vamos aprender sobre tais relações onde 'uma quantidade determina outra quantidade'. Definição de função: Por exemplo, quando você compra x itens que custam 100 ienes cada, o custo total y em ienes pode ser expresso como y=100x. Desta forma, quando há duas variáveis x e y, se determinar um valor de x determina unicamente o valor de y, dizemos que y é uma função de x. Uma função é como uma fábrica que pega a quantidade de entrada x, processa 'multiplicando x por 100' e produz o resultado de saída y.

Encontre o intervalo da função y=x−3 \quad(1 \leqq x<5).

Encontre o valor mínimo de $x^{2} + y^{2}$ quando $2x + y = 3$.

(2) Para a função linear $y=ax+b$ com o domínio $-3 \leqq x \leqq 1$, o intervalo é $-1 \leqq y \leqq 3$. Suponha $a>0$.

Quando o domínio da função \( y=f(x) \) é $1 \leqq x \leqq 5$, é mostrado da seguinte forma. \[ y=f(x) \quad(1 \leqq x \leqq 5) \] Nesse ponto, qual é o intervalo da função?

Determine os valores das constantes $a$ e $b$ de modo que o intervalo da função linear $y = ax + b$ seja $-1 \leqq y \leqq 5$. Presuma que $a < 0$.

Há um retângulo com um perímetro de 20 cm. Se o comprimento do retângulo é x cm e a área é y cm², então y é uma função de x. Responda as seguintes perguntas. (1) Expresse y em termos de x e declare o domínio desta função. (2) Quando esta função é f(x), encontre f(3), f(1/2) e f(a+1).

Encontre as coordenadas do ponto médio e o comprimento do segmento cortado pela elipse (x-2)^2 + 4(y-4)^2 = 4 da linha x+2y=11.

Quando o plano de coordenadas é considerado como o plano complexo, pontos no plano correspondem a números complexos. Além disso, vários cálculos entre números complexos podem ser ilustrados no plano. Portanto, entre os problemas relacionados a figuras planas, alguns podem ser resolvidos de forma mais fácil e clara usando as propriedades ou cálculos dos números complexos. Aqui, resumimos o básico de usar números complexos em problemas relacionados a figuras planas. Pontos de divisão interna e externa de um segmento de reta Sejam α = x1 + y1i, β = x2 + y2i, z = x + yi, e se o ponto P(z) divide internamente o segmento de reta AB na razão m:n, então (x - x1) : (x2 - x) = (y - y1) : (y2 - y) = m:n Assim, x = (nx1 + mx2) / (m + n), y = (ny1 + my2) / (m + n) Portanto, z = x + yi = (nx1 + mx2) / (m + n) + (ny1 + my2) / (m + n)i = (n(x1 + y1i) + m(x2 + y2i)) / (m + n) = (nα + mβ) / (m + n) Da mesma forma, a divisão externa também pode ser considerada. Portanto, o seguinte se aplica: se o ponto C(γ) divide internamente o segmento de reta AB na razão m:n e o ponto D(δ) o divide externamente na razão m:n, então Ponto de divisão interna γ = (nα + mβ) / (m + n) Ponto de divisão externa δ = (-nα + mβ) / (m - n) Especificamente, o número complexo que representa o ponto médio do segmento de reta AB é (α + β) / 2.

Considere que a reta $y=2x+k$ intersecta a hipérbole $x^{2}-y^{2}=1$ em dois pontos distintos $P$ e $Q$. (1) Determine o intervalo dos possíveis valores da constante $k$. (2) Quando $k$ varia dentro do intervalo encontrado em (1), determine o lugar geométrico do ponto médio $M$ do segmento $PQ$.