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'Exemplo Importante 79 | Máximo e Mínimo em uma Região (3)\nEncontre os valores máximo e mínimo de x²+(y-3)² quando os números reais x, y satisfazem as três desigualdades y ≥ 2x-5, y ≤ x-1, y ≥ 0.\n[Universidade de Economia de Tóquio]\nExemplo 76'

'Método de diferenciação'

'Calcular a integral definida da seguinte expressão.'

'Pratique encontrar as seguintes integrais definidas.\\n(1) \\( \\int_{-1}^{2}(x+1)(x-2) d x \\)\\n(2) \\( \\int_{-\\frac{1}{2}}^{3}(2 x+1)(x-3) d x \\)\\n(3) \\( \\int_{2-\\sqrt{7}}^{2+\\sqrt{7}}\\left(x^{2}-4 x-3\\right) d x \\)'

'Da mesma forma, considere o valor mínimo. Encontre esse valor mínimo.'

'Encontre as seguintes integrais definidas.'

'Encontre a área entre a parábola e o eixo x. (1) Básico'

'Encontre o valor das integrais definidas a seguir.'

'Calcular a derivada usando limites'

'Encontre as seguintes integrais definidas. (1) \\( \\int_{1}^{2}(2 x-1) d x \\) (2) \\( \\int_{0}^{-1}\\left(3 x^{2}+6 x+1\\right) d x \\) (3) \\( \\int_{-1}^{3}(x+1)(x-3) d x \\) (4) \\( \\int_{-1}^{2}\\left(x^{3}-6 x-4\\right) d x \\) (5) \\( \\int_{-2}^{1}(2 t+1)^{2} d t+\\int_{-2}^{1} 2(t-1)^{2} d t \\)'

'TREINAMENTO 197 (1) Encontre a seguinte integral definida. (1) \\( \\int_{-1}^{2}\\left(2 x^{2}-x+3\\right) d x \\)'

'Encontre a integral definida de \\( \\int_{-3}^{3}(x+1)(2 x-3) d x \\).'

'Avalie as integrais definidas a seguir.'

'Encontre a integral definida \\( \\int_{-3}^{3}(x+1)(2 x-3) d x \\).'

'Encontre o valor mínimo de S(m), a soma das áreas cercadas pela curva y=x^2 e a linha y=mx para 0<m<1, onde 0 ≤ x ≤ 1.'

'Avalie as integrais definidas a seguir.'

'Encontre a área S entre a curva y = f(x) e o eixo x.'

'Usando as propriedades das integrais definidas, encontre os resultados das seguintes integrais definidas:'

'Encontre as seguintes integrais definidas.'

'Domine as propriedades das integrais definidas para conquistar o exemplo 198!'

'Integral definida e diferenciação'

'O que fazer quando os exemplos básicos não estão claros?'

None

'Encontre a integral indefinida de ∫ 1/x dx.'

'Encontre as seguintes integrais definidas. Em (4), \ a, b \ são constantes. (1) \ \\int_{0}^{\\frac{1}{3}} x e^{3 x} d x \ (2) \ \\int_{1}^{e} x^{2} \\log x d x \ (3) \\( \\int_{1}^{e}(\\log x)^{2} d x \\) (4) \\( \\int_{a}^{b}(x-a)^{2}(x-b) d x \\) (5) \ \\int_{0}^{2 \\pi}\\left|x \\cos \\frac{x}{3}\\right| d x \'

'Encontre as integrais definidas a seguir. (1) \ \\int_{0}^{2} \\frac{2x+1}{\\sqrt{x^2+4}} dx \(2) \ \\int_{\\frac{1}{2} a}^{\\frac{\\sqrt{3}}{2} a} \\frac{ \\sqrt{a^2-x^2 }}{x} dx \ (a > 0)'

None

'O termo inclui explicações de conceitos, provas de teoremas e fórmulas, facilitando a compreensão mesmo de tópicos não abordados nos livros didáticos.'

'Defina as condições necessárias e suficientes, e explique usando o exemplo a seguir.'

'Encontre a área cercada pelas seguintes curvas, linha e eixo x.\n(1) y=x^{2}-x-2\n(2) y=-x^{2}+3 x\n(-1 ≤ x ≤ 2),\nx=-1, x=2'

'Encontre as seguintes integrais definidas.\n(1) \\( \\int_{-1}^{1}\\left(2 x^{3}-4 x^{2}+7 x+5\\right) d x \\)\n(2) \\( \\int_{-2}^{2}(x-1)\\left(2 x^{2}-3 x+1\\right) d x \\)'

'Prove o seguinte sobre as soluções α, β da equação quadrática\nax^2 + bx + c = 0\n1. Condição para ter duas soluções distintas de números reais.\n2. Quando a desigualdade at^2 + 2bt + c > 0 é válida para todos os números reais t, implica ter apenas soluções positivas.'

'Calcule as seguintes integrais definidas.'

'Encontre a área delimitada pelas curvas e linhas dadas.'

'Encontre as seguintes integrais definidas.'

"Derivada A definição da derivada de uma função f(x) f'(x) é f'(x)=lim_{h→0}frac{f(x+h)-f(x)}{h}"

'Calcule as seguintes integrais definidas usando as fórmulas.'

'Calcule $\\int_{2}^{2}(x+1)(x-3)dx$.'

"Assim, para todos os números reais x, y'>0, portanto, a função dada sempre aumenta"

'Prove a seguinte condição. Vamos considerar os valores da variável x como x1, x2, ..., xn. Para um determinado valor t, considere a soma dos quadrados dos desvios de cada valor em relação a t, t-xk (k=1, 2, ..., n) como y. Ou seja, y=(t-x1)^2+(t-x2)^2+...+(t-xn)^2. Prove que y é minimizado quando t=𝑥¯ (a média de x).'

'Por favor, explique o que são as condições necessárias e suficientes.'

'Explique as semelhanças e diferenças entre os exemplos de 3 a 8 e os exemplos de 9 a 12.'

'Equação e curva'

'Explique a concavidade e pontos de inflexão de um gráfico de função.'

'(2) $\\int t \\sqrt[4]{t^{3}} d t=\\int t^{\\frac{7}{4}} d t=\\frac{t^{\\frac{7}{4}+1}}{\\frac{7}{4}+1}+C=\\frac{4}{11} t^{\\frac{11}{4}}+C=\\frac{4}{11} t^{2} \\sqrt[4]{t^{3}}+C$'

'(2)\\\\n\\\\[\\\egin{array}{l}\\\\n0 \\leqq|\\cos x| \\leqq 1, e^{-x}>0 \\text { assim } \\quad e^{-x} \\geqq e^{-x}|\\cos x| \\\\\\\\n\\text { Portanto } \\quad a_{1}=\\int_{0}^{\\\\pi}\\left(e^{-x}-e^{-x}|\\cos x|\\right) d x \\\\\\\\n=\\left[-e^{-x}\\right]_{0}^{\\\\pi}-\\int_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{2}} e^{-x} \\cos x d x+\\int_{\\\\frac{\\\\pi}{2}}^{\\\\pi} e^{-x} \\cos x d x \\\\\\\\n=1-e^{-\\\\pi}-\\\\frac{1}{2}\\left[e^{-x}(\\\\sin x-\\\\cos x)\\right]_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{2}} \\\\\\\\n\\quad+\\\\frac{1}{2}\\left[e^{-x}(\\\\sin x-\\\\cos x)\\right]_{\\\\frac{\\\\pi}{2}}^{\\\\pi} \\\\\\\\n=\\\\frac{1}{2}\\left(1-2 e^{-\\\\frac{\\\\pi}{2}}-e^{-\\\\pi}\\right)\n\\end{array}\\\\]'

'169 (2) (ア) x y^{′}-2 y=0'

'Declare o Teorema de Rolle e prove'

'Teorema de Hamilton-Cayley'

'O que é o Teorema do Valor Médio?'

'Pratique encontrar a seguinte integral definida.'

''

'Investigue o comportamento crescente e decrescente da função diferenciável f(x) e encontre seus valores extremos.'

'Usando a segunda derivada, encontre os valores extremos da seguinte função.'

'Seja a função y=f(x) contínua.\n(1) Seja a uma constante real. Para todos os números reais x, se a desigualdade |f(x)-f(a)| ≤ 2/3|x-a| for verdadeira, prove usando o teorema do valor intermediário que a curva y=f(x) intersecta a linha y=x.\n(2) Além disso, se para todos os números reais x1, x2, a desigualdade |f(x1)-f(x2)| ≤ 2/3|x1-x2| for verdadeira, prove que há apenas um ponto de interseção para (1).'

'Aprender a resolver problemas relacionados com encontrar a área e o volume de formas, comprimento de curvas e a resolver equações diferenciais simples.'

'Encontre a integral definida a seguir.\\( \\int_{-1-\\sqrt{5}}^{-1+\\sqrt{5}}\\left(2 x^{2}+4 x-8\\right) d x \\)'

'Encontre a seguinte integral definida.\n(3) \\( \\int_{1}^{2}(x-1)^{3}(x-2) d x \\)'

'Encontre as seguintes integrais definidas.'

''

'Encontre a área da figura cercada pela curva y=x^{3}-5 x^{2}+2 x+6 e a reta tangente no ponto (3,-6) na curva.'

'(2) Calcular a seguinte integral definida:\n(a) \\( \\int_{2}^{3}(x-2)(x-3) d x \\)'

'Primeiramente, vamos revisar o método de usar cálculo diferencial para determinar o número de soluções reais de uma equação.'

'Encontre as integrais definidas a seguir.'

'Pratique encontrar as seguintes integrais definidas.'

'Defina o coeficiente de derivação da função f(x) em x=a.'

'Encontre a integral definida \ \\int_{1}^{n} x \\log x d x \.'

'Encontre o valor da seguinte integral definida.'

'Encontre as integrais definidas a seguir.'

'Calcular a área entre duas curvas.'

'Seja a área cercada pelas curvas C1, C2 e a reta x=π/2 denominada por T. Exprese as condições para T=2S em termos de a e b.'

'Seja f(x) e g(x) funções contínuas no intervalo [a, b]. Se f(a)>g(a) e f(b)<g(b), então prove que a equação f(x)=g(x) tem pelo menos uma solução real no intervalo a<x<b.'

' (1) Encontre o valor de c que satisfaz as condições do Teorema do Valor Médio para a função f(x) e intervalos: (a) f(x)=\\log x [1, e] (b) f(x)=e^{-x} [0,1]'

'(208 A função f(x) é contínua no intervalo a ≤ x ≤ b (a < b)\nquando int_{a}^{b} f(x) dx = (b-a) f(c), onde a < c < b\ndemonstre que existe o valor de c. (teorema do valor médio para integrais)'

"Quando a função y de x é representada como variáveis intermediárias t, θ, encontre a derivada dy/dx como uma função de t, θ de acordo com a seguinte equação. Aqui, o 'a' em (2) é uma constante positiva. (1) {x=t^3+2, y=t^2-1}, (2) {x=a(θ- sin θ), y=a(1- cos θ)}"

'Encontre a função f(x) que satisfaz a equação (1).'

'Máximo e mínimo de uma função'

'Capítulo 8: Aplicações da Integração'

'(1) Considere um ponto P se movendo em uma reta numérica com sua velocidade v como uma função do tempo v=f(t). Além disso, deixe a coordenada de P no tempo a ser k.\n[1] A coordenada x de P no tempo b é x=k+∫[a,b] f(t) dt\n[2] A mudança de posição de P do tempo a até o tempo b é s=∫[a,b] f(t) dt\n[3] A distância percorrida por P do tempo a até o tempo b é l=∫[a,b]|f(t)| dt'

'Encontre a área cercada pela curva y = f(x) e pelo eixo x entre as retas x = a e x = b.'

'(1) Para uma função contínua f(x), prove a equação \\( \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} f(\\sin x) d x = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} f(\\cos x) d x \\). \n(2) Encontre a integral definida \ I=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin x}{\\sin x + \\cos x} d x \.'

'Teorema do Valor Extremo'

'Expressar a área S da região delimitada pelas curvas \ C_{1}, C_{2} \ e o eixo y em termos de a e b.'

'Calcular o volume entre a curva y=f(x) e o eixo x'

"Usando integração definida, desenhamos o contorno da curva C na forma de 'y como função de x' conforme (1)."

'Encontre as seguintes integrais definidas.'

"Para uma quantidade f(t) que muda ao longo do tempo (como o volume de um sólido em expansão), a taxa de variação dessa quantidade no tempo t é representada por f'(t), semelhante à velocidade de 1."

'Prática: Encontre as integrais definidas a seguir.'

'Prove que quando a função $f(x)$ é contínua no intervalo $a \\leqq x \\leqq b(a<b)$, temos $\\int_{a}^{b} f(x) d x=(b-a) f(c)$, onde $a<c<b$, de acordo com o Teorema do Valor Médio para Integrais.'

'Utilize o Teorema do Valor Médio para provar uma desigualdade. Por exemplo, considere a aplicação do Teorema do Valor Médio para a função f(x) = x^3 - 3x + 2 no intervalo [0,1].'

'\nIntegral definida e limite de soma (método de partição)\\( f(x) \\) é contínua no intervalo \ [a, b] \, dividindo este intervalo em \ n \ partes com extremos e pontos de divisão como \ a=x_{0}, x_{1}, x_{2}, … x_{n}=b \ e \ \\frac{b-a}{n}=\\Delta x \\n'

'Encontre as integrais definidas a seguir. Em (2), \ a \ é uma constante.'

'Tangente e Normal Básicos'

'Encontre o comprimento das seguintes curvas.'

''

'Prove que se \\( f(x) \\) é diferenciável em \ x=a \, então é também contínua. No entanto, explique por que a recíproca (funções contínuas não necessariamente são diferenciáveis) não é verdadeira.'

'No espaço de coordenadas, existe uma origem O e pontos A(1,-2,3), B(2,0,4), C(3,-1,5). Encontre a magnitude mínima do vetor OA+x*AB+y*AC e os valores dos números reais x e y nesse momento.'

'Fórmula de integração por partes'

'Encontre as seguintes integrais definidas: (1) $\\int_{-1}^{\\sqrt{3}} \\frac{d x}{x^{2}+1}$ (2) $\\int_{0}^{1} \\frac{d x}{x^{2}+x+1}$'

'Calcular a integral definida \\( \\int_{1}^{3} \\frac{\\left(x^{2}-1\\right)^{2}}{x^{4}} dx \\).'

'Avalie as seguintes integrais definidas.'

'Contribuiu para o desenvolvimento rigoroso do cálculo através de conceitos como a continuidade dos números reais.'

'Encontre as seguintes integrais definidas:\n(1) \\( \\int_{1}^{3} \\frac{\\left(x^{2}-1\\right)^{2}}{x^{4}} d x \\)\n(2) \ \\int_{1}^{3} \\frac{d x}{x^{2}-4 x} \\n(3) \ \\int_{0}^{1} \\frac{x^{2}+2}{x+2} d x \\n(4) \\( \\int_{0}^{1}\\left(e^{2 x}-e^{-x}\\right)^{2} d x \\)\n(5) \ \\int_{0}^{2 \\pi} \\cos ^{4} x d x \\n(6) \ \\int_{\\frac{\\pi}{6}}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin x \\sin 3 x d x \'

'Avalie as integrais definidas a seguir.'

'Prove y^(n)=a^(n-1)(n+ax)e^(ax) usando indução matemática.'

'A equação da esfera é quando as coordenadas do centro são (0, b, 0), o raio r (r>0)'

'Prova do Teorema do Valor Médio'

'Por favor, resolva um problema de cálculo de integrais definidas.'

'Determine o intervalo de valores para a constante a para que a curva y=(x^2+ax+3)e^x tenha pontos de inflexão. Além disso, quantos pontos de inflexão podem ser criados nesse momento.'

'Sejam f(x) e g(x) funções contínuas no intervalo [a, b]. Se f(a) > g(a) e f(b) < g(b), prove que a equação f(x) = g(x) tem pelo menos uma solução real no intervalo a < x < b.'

"Comprimento da Curva\nO comprimento de uma curva \\( x = f(t), y = g(t) (\\alpha \\leqq t \\leqq \eta) \\) é\n\\[\\int_{\\alpha}^{\eta} \\sqrt{\\left(\\frac{dx}{dt}\\right)^{2} + \\left(\\frac{dy}{dt}\\right)^{2}} dt = \\int_{\\alpha}^{\eta} \\sqrt{\\left\\{f'(t)\\right\\}^{2} + \\left\\{g'(t)\\right\\}^{2}} dt\\n\\]"

'Limite das funções trigonométricas\nHá um ponto O no centro e um ponto P se movendo na circunferência de um círculo com o diâmetro AB de comprimento 2r. Seja a área do △ABP S1 e a área do setor OPB seja S2. Responda às seguintes perguntas.\n(1) Quando ∠PAB=θ (0<θ<π/2), encontre S1 e S2.\n(2) Conforme P se aproxima de B, encontre o limite de S1/S2.'

'Encontre as integrais definidas seguintes.'

'Encontre o valor de c que satisfaz as condições do teorema do valor médio para as seguintes funções e intervalos: (1) f(x)=2 x^{2}-3 [a, b] (2) f(x)=e^{-x} [0,1] (3) f(x)=\\frac{1}{x} [2,4] (4) f(x)=\\sin x [0,2 \\pi]'

''

'Considerando que a, b são constantes e m, n são inteiros não negativos, define-se \\( I(m, n)=\\int_{a}^{b}(x-a)^{m}(x-b)^{n} d x \\).'

'Uma vez que 17 \ \\frac{d x}{d t}=1, \\frac{d y}{d t}=2 t-2 \, então\\n\\\frac{d \oldsymbol{y}}{d x}=\\frac{\\frac{d y}{d t}}{\\frac{d x}{d t}}=\\frac{2 t-2}{1}=2 t-2\'

'Encontre o valor das seguintes integrais definidas. (1) \\int_{0}^{1} \\frac{x}{\\sqrt{2-x^{2}}} dx (2) \\int_{1}^{e} 5^{\\log x} dx (3) \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin 2 x}{3+\\cos^2 x} dx (4) \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^2 x \\cos^3 x dx'

'Encontre as integrais definidas a seguir.'

''

'Encontre a seguinte integral definida: \n\\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} x^{2} \\cos ^{2} x d x \'

'Área Máxima e Mínima'

'Calcular a seguinte integral definida:\n∫_0^1 sqrt(1 - x^2) dx'

'Calcule a integral definida de \\( \\int_{0}^{2} (x^3 + 2x^2 + x + 1) \\,dx \\)'

'Explique a diferença entre condições necessárias e suficientes.'

'Encontre o número de soluções reais da função f(x) definida da seguinte forma. f(0)=-1/2, f(1/3)=1/2, f(1/2)=1/3, f(2/3)=3/4, f(3/4)=4/5, f(1)=5/6, quando f(x) é contínuo, quantas soluções reais f(x)-x=0 tem pelo menos para 0 ≤ x ≤ 1.'

'Calcule a área entre a curva y = x^2 e x = 1.'

"No teorema do valor médio (1), uma vez que c está entre a e b, temos b-a=h, ao definir (c-a)/(b-a)=θ, obtemos b=a+h, c=a+θh. Por conseguinte, o teorema do valor médio (1) também pode ser expresso do seguinte modo. Teorema do Valor Médio (2): Se a função f(x) é contínua no intervalo [a, a+h] e diferenciável no intervalo (a, a+h), então existe um número real θ que satisfaz 0<θ<1, tal que f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh)."

''

'Encontre a seguinte integral definida. (3) $\\int_{-\\sqrt{2}}^{\\sqrt{2}}\\left(x^{5}-4 x^{3}+3 x^{2}-x+2\\right) d x$'

'Como encontrar o volume de um sólido usando a área da secção transversal. Quando a área da secção transversal ao ser cortada por um plano perpendicular ao eixo x é representada por uma função S(x) em relação a x, encontre o volume V. Considere o intervalo de a a b.'

'Encontre a área da forma circunscrita pela curva C e pelos eixos x e y.'