Análise - Sequências e Séries

'Encontre a sequência p_n a partir do resultado acima.'

'Quando o termo k-ésimo de uma sequência a_k pode ser expresso como a_k=f(k+1)-f(k), encontre a fórmula para \\sum_{k=1}^{n} a_k usando a equação (*) abaixo e explique o raciocínio por trás disso.'

'Ao derivar apenas os itens (2) e (4), a partir do fato de que o termo geral da sequência diferenciada da sequência {pn} é (-1/2)^(n+1), encontre o termo geral pn, ou ao derivar apenas os itens (1) e (3), resolva a relação de recorrência entre os termos adjacentes (3).'

'Prática: Encontre o termo geral da sequência {an} determinada pelas seguintes condições. (1) a1=1, an+1=3an+2n-1 (2) a1=-30,9an+1=an+43n'

'Por favor, explique como resolver um sistema de equações de recorrência simultâneas.'

'Encontre a soma S_{n} de uma sequência aritmética {a_{n}} com o primeiro termo a, diferença comum d e número de termos n.'

'Portanto, a sequência {a_{n}+20} é uma progressão geométrica com termo inicial 2 e razão comum 5/4.'

'Encontre o termo geral da sequência $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ determinado pelas seguintes condições.'

'Encontre o termo geral de uma sequência usando a fórmula da soma'

'Exemplo Número Prático 2 Relação de Recorrência'

'Dada a soma Sn da série do primeiro termo ao enésimo termo, forneça a fórmula para encontrar o termo geral.'

'Como encontrar o termo geral'

'Como encontrar o termo geral de uma relação de recorrência'

'Exemplo de pergunta número Prática 1 Sequência aritmética, sequência geométrica'

'Explique a sequência aritmética e o termo geral, e encontre o termo geral com base em um exemplo.'

'Encontre a soma dos primeiros n termos da sequência dada.'

'Encontre o valor limite da sequência {an} determinada pelas seguintes condições. a1=0, a2=1, an+2=1/4(an+1+3an)'

'Encontre o limite da sequência \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ determinada pelas seguintes condições.'

'Encontre a série infinita relacionada à área.'

'Encontre a soma das seguintes séries infinitas.\n(1) Seja \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ uma progressão geométrica com o primeiro termo 2 e razão comum 2. Encontre \ \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{a_{n} a_{n+1}} \ (semelhante ao Instituto de Tecnologia de Aichi)\n(2) Deixe \ \\pi \ ser a constante representando a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro. Avalie \ 1+\\frac{2}{\\pi}+\\frac{3}{\\pi^{2}}+\\frac{4}{\\pi^{3}}+\\cdots \\cdots+\\frac{n+1}{\\pi^{n}}+\\cdots \\dots \\nVocê pode usar o fato de que \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n x^{n}=0(|x|<1) \\) se necessário.\n(Semelhante à Universidade Keio) \ \\rightarrow 33,35 \'

'Encontre o limite da sequência determinada pelas seguintes condições:'

'Encontre a soma da série $S_{n} = \\sum_{k=1}^{n} k\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{k-1}$.'

'Princípio da Criação de Crédito'

'Considere a seguinte série infinita:'

'Usando o resultado do exemplo acima, prove que a série infinita $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{n}}$ diverge.'

'Para séries convergentes $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}$, onde $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}=S, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}=T$, então a série $\\sum_{n=1}^{\\infty}(k a_{n}+l b_{n})$ também convergirá e $\\sum_{n=1}^{\\infty}(k a_{n}+l b_{n})=k S+l T$ (onde $k, l$ são constantes)'

'Por favor, resolva um problema relacionado à soma de uma série infinita.'

'Por favor, verifique a convergência da sequência {1/n^k} quando k>0.'

'Pratique a demonstração de que as seguintes séries infinitas divergem.'

'Número de formas e combinações.'

'Encontre a soma da seguinte série.'

'Especifique as condições para uma sequência ser uma progressão aritmética.'

'Prove por indução matemática que a fórmula do termo geral adivinhada em (2)(1) está correta.'

'Encontre a soma da série: \\(\\sum_{k=1}^n(k^2+3k+1)\\)'

'Encontre a soma do primeiro termo até o n-ésimo termo da sequência.'

'Encontre o termo geral da seguinte sequência: $c_{n+1}=-2c_{n}-18$'

'Encontre o 5º termo da sequência definida pelas seguintes condições: (1) a₁=1, aₙ₊₁=3aₙ-1, (2) a₁=0, aₙ₊₁=-3aₙ+2n'

'Encontre a seguinte soma.'

'Prove que se as séries $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}$ convergem, onde $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}=S, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}=T$, então a série $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\left(k a_{n}+l b_{n}\\right)$ também converge e encontre sua soma. Aqui, $k, l$ são constantes.'

'Mostre a condição de convergência de uma série geométrica infinita.'

'Explique e prove a convergência e divergência de uma série geométrica infinita. Determine as condições sob as quais a série infinita criada a partir da sequência geométrica infinita {ar^n-1} com termo inicial a e razão comum r \ \\sum_{n=1}^{\\infty} \overline^{n-1}=a+\overline+\overline^{2}+\\cdots \\cdots+\overline^{n-1}+\\cdots \\cdots \ converge, encontre sua soma e indique as condições sob as quais ela diverge.'

'Encontre a soma da série \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n} \\sin \\frac{n \\pi}{2} \\).'

'Investigue a convergência e divergência de uma série geométrica infinita e, se convergir, encontre a sua soma.'

'Para a série infinita $x+\\frac{x}{1+x}+\\frac{x}{(1+x)^{2}}+\\cdots \\cdots+\\frac{x}{(1+x)^{n-1}}+\\cdots \\cdots$,\n(1) Determine o intervalo de valores de $x$ para os quais esta série infinita converge.\n(2) Seja $f(x)$ a soma desta série infinita quando $x$ está no intervalo determinado em (1). Desenhe o gráfico da função $y=f(x)$ e investigue sua continuidade.'

'Prove que a série infinita Σ(1 / n) diverge.'

'Exercício Abrangente'

'Investigue o limite da série geométrica infinita {r^n}.'

'Exemplo 126 Séries Infinitas e Limites (2)'

'Exemplo 11 | Convergência e Divergência de Séries Infinitas'

'Investigue a convergência ou divergência da seguinte série infinita e, se convergir, encontre a sua soma. \n\\[\n\\left(2-\\frac{1}{2}\\right)+\\left(\\frac{2}{3}+\\frac{1}{2^{2}}\\right)+\\left(\\frac{2}{3^{2}}-\\frac{1}{2^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{2}{3^{n-1}}+\\frac{(-1)^{n}}{2^{n}}\\right)+\\cdots \\cdots\n\\]'

'Investigue a convergência e a divergência das seguintes sequências: (a) { -n^{3} + 1 } (b) { -\\frac{1}{n^{3}} + 2 } (c) { \\frac{3}{n+2} } (d) { \\frac{(-2)^{n}}{3} - 1 }'

'Convergência e Divergência de Séries Infinitas e Limite de Termos'

'Prove as seguintes desigualdades integrais.'

'Exercício 14 |II| → Livreto p.343\n(1) Supondo que a sequência {xn} converge, e seu valor limite é α\nlim_{n→∞} xn = lim_{n→∞} xn+1 = α\nPortanto, à medida que n → ∞, xn+1 = √(a + xn)\nα = √(a + α)\nAo quadrar e reorganizar ambos os lados, obtemos α² - α - a = 0\nComo α > 0, então α = (1 + √(1 + 4a)) / 2'

'Encontre a soma da série infinita ∑ de n=0 até infinito de (1/2)^n cos(nπ/6).'

'Provar a equação 22 do livro longo'

'Usar o teorema do valor intermediário para resolver a soma de séries infinitas e a integral definida'

'Explique o limite de uma série geométrica infinita e indique em quais condições ela converge.'

'Para a sequência definida por $b_{n}=(-1)^{n-1} \\log _{2} \\frac{n+2}{n}(n=1,2,3, \\ldots \\cdots)$ , seja $S_{n}=b_{1}+b_{2}+\\cdots \\cdots+b_{n}$. Encontre $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} S_{n}$ .'

'Série infinita'

'Prove que a sequência de pontos Pn(x_{n}, y_{n}) que satisfaz a relação de recorrência e limites (4) para um sistema de equações lineares P1(1, 1), x_{n+1}=\x0crac{1}{4} x_{n}+\x0crac{4}{5} y_{n}, y_{n+1}=\x0crac{3}{4} x_{n}+\x0crac{1}{5} y_{n}(n=1,2, ...) no plano. Prove que os pontos P1, P2, ... se aproximam infinitamente de um ponto fixo determinado.〔Similar à Universidade de Shinshu〕'

'Prove que para duas séries convergentes $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}$ que convergem para $S, T$ respectivamente, para constantes $k, l$, a série $\\sum_{n=1}^{\\infty}(k a_{n}+l b_{n})$ também converge e $\\sum_{n=1}^{\\infty}(k a_{n}+l b_{n})=k S+l T$.'

'Encontre a integral definida \ \\int_{0}^{1} x^{2} d x \. Primeiro, divida o intervalo \ [0, 1] \ em \ n \ partes iguais, e deixe que a área de cada retângulo com sombra azul seja \\( \\left(\\frac{1}{n}\\right) \\cdot\\left(\\frac{k}{n}\\right)^{2} \\ (k=0,1, \\cdots, n-1) \\), então a soma é\n\\[S_{n} = \\sum_{k=0}^{n-1} \\frac{1}{n} \\cdot\\left(\\frac{k}{n}\\right)^{2} = \\frac{1}{n^{3}} \\sum_{k=1}^{n-1} k^{2} = \\frac{1}{6}\\left(1 - \\frac{1}{n}\\right)\\left(2 - \\frac{1}{n}\\right)'

'Encontre o valor limite da sequência \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ determinada pelas seguintes condições.'

'(2) $\\sum_{n=2}^{\\infty} \\frac{1}{n^{2}-1}$'

'Encontre o valor limite da sequência {an} determinada pelas seguintes condições.'

'Limite da sequência geométrica infinita { r^n }'

'Investigue a convergência e a divergência da seguinte série infinita, e encontre a soma se convergir.'

'Investigue a convergência ou divergência da série infinita \ \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^{n-1} \ e encontre a soma se ela convergir. Você pode usar \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n x^{n}=0(|x|<1) \\).'

None

'Prove que a série 1+\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}+\\cdots diverge.'

'Encontre a soma desta série infinita: 1-1/3+1/5-1/7+⋯⋯'

'Pratique investigar a convergência e divergência da seguinte série infinita, e encontre a soma se convergir.'

'Um cubo com uma marca em uma das faces está colocado em um plano horizontal. Uma das quatro arestas da base do cubo é escolhida aleatoriamente com igual probabilidade, e o cubo é inclinado lateralmente ao redor dessa aresta n vezes. Seja aₙ a probabilidade da face marcada estar virada para cima e bₙ a probabilidade de estar virada para baixo. Supondo que inicialmente a face marcada esteja virada para cima. (1) Encontre a₂. (2) Expresse aₙ₊₁ em termos de aₙ. (3) Encontre limₙ→∞ aₙ.'

'Usando o resultado de (2), encontre a soma da série infinita Σ_(n=1)^∞ n/2^n. Você pode usar o fato de que lim (n→∞)(n/2^n)=0.'

'Para a série infinita $x+\\frac{x}{1+x}+\\frac{x}{(1+x)^{2}}+\\cdots \\cdots+\\frac{x}{(1+x)^{n-1}}+\\cdots \\cdots$, encontre (1) o intervalo de valores para $x$ para os quais esta série infinita converge. (2) Deixe $f(x)$ denotar a soma desta série infinita quando $x$ está no intervalo encontrado em (1). Desenhe o gráfico da função $y=f(x)$ e investigue sua continuidade.'

'Encontre o valor limite da sequência $\\{a_{n} \\}$ determinada pelas seguintes condições.'

'Encontre a soma da série infinita \\(\\left(1-\\frac{1}{2}\\right)+\\left(\\frac{1}{3}-\\frac{1}{2^{2}}\\right)+\\left(\\frac{1}{3^{2}}-\\frac{1}{2^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots \\).'

'Capítulo 3\nCálculo Diferencial - 105\nQuando n ≥ 2\n\\[\egin{aligned}b_{n} & =b_{1}+\\sum_{k=1}^{n-1} 6 k=0+6 \\cdot \\frac{1}{2}(n-1) n \\& =3 n(n-1)\\end{aligned}\\]\nIsso vale mesmo quando n=1.\n\\[\\text{Portanto,} \\quad b_{n}=3 n(n-1)\\]\n\\( \\sum_{k=1}^{n} k=\\frac{1}{2} n(n+1) \\)\nCapítulo 3\nEX'

'Encontre a soma da seguinte série infinita.\n(1) \\(\\left(1+\\frac{2}{3}\\right)+\\left(\\frac{1}{3}+\\frac{2^{2}}{3^{2}}\\right)+\\left(\\frac{1}{3^{2}}+\\frac{2^{3}}{3^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots \\)\n(2) \\\frac{3^{2}-2}{4}+\\frac{3^{3}-2^{2}}{4^{2}}+\\frac{3^{4}-2^{3}}{4^{3}}+\\cdots \\cdots \'

'Prove que a série ∑(1/n) diverge.'

'Encontre o limite das seguintes sequências.'

'Encontre a soma da seguinte série infinita.'

'Prove que a seguinte série infinita diverge. (1) 1+\\frac{2}{3}+\\frac{3}{5}+\\frac{4}{7}+\\cdots \\cdots (2) \\sin \\frac{\\pi}{2}+\\sin \\frac{3}{2} \\pi+\\sin \\frac{5}{2} \\pi+\\cdots \\cdots'

'Encontre o intervalo de números reais para os quais a série infinita converge.'

'Investigue a convergência e divergência da seguinte série infinita, e encontre a soma se convergir.'

'Investigue os limites das seguintes sequências.'

'Prove que a seguinte série infinita diverge.'

'Encontre o limite da sequência determinada pelas seguintes condições.'

'Encontre o limite da sequência {an} determinado pelas seguintes condições.'

'Encontre a soma da seguinte série infinita.'

'Encontre o comprimento das seguintes curvas \ L \. (1) \ \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x=e^{t} \\cos t \\y=e^{t} \\sin t\\end{\overlineray}\\right(0 \\leqq t \\leqq \\frac{\\pi}{2}\\\right.'

'Encontre o intervalo de números reais x que fazem as seguintes sequências convergirem. Além disso, encontre o valor limite nesse momento.'

'Série geométrica infinita'

'Encontre a soma da série infinita ∑_{n=0}^{∞}(1/2)^{n} cos (n π / 6).'

'Usando a fórmula da soma parcial, encontre a condição de convergência e a soma da série geométrica infinita a+\overline+\overline^{2}+\overline^{3}+\\cdots+\overline^{n-1}+\\cdots.'

'(1) A série infinita \ \\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n} \ converge \ \\Longrightarrow \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=0 \'

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'Encontre o limite da sequência determinada pelas seguintes condições: \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ .\a_{1}=1, \\quad a_{n+1}=\\frac{2}{3} a_{n}+1\'

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