Análise - Limites e Continuidade

'(1) Encontre \\(\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+2 h)-f(a-h)}{h}\\).\n(2) Seja x-a=h, então x=a+h, à medida que x \\longrightarrow a, h \\longrightarrow 0. Encontre a seguinte expressão:\n\\[\egin{aligned}\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{x^{2} f(a)-a^{2} f(x)}{x^{2}-a^{2}}\\end{aligned}\\]'

'Encontre os seguintes limites.'

''

'Encontre os seguintes limites. Note que \ a \ em (3) é uma constante.'

'Encontre os seguintes limites, onde (a) é uma constante.'

'Explique os métodos de prova de equações e desigualdades.'

'Derivada e seu cálculo: Explique a definição para encontrar a derivada.'

'(20) Determinar coeficientes de sequências a partir de condições de limite\nDetermine os coeficientes da sequência a partir das condições de limite.\nExemplo: Para que a sequência {an} convirja, é necessário determinar previamente um certo coeficiente a. Encontre este coeficiente.'

'Encontre o seguinte limite.'

'Função famosa e o limite associado'

'Encontre o limite seguinte.'

'Encontre os seguintes limites.'

'Prática: Vamos considerar a curva y=√(4-x) como C. Para t (2≤t≤3), considere os pontos (t,√(4-t)) na curva C, a origem e o ponto (t,0) para formar um triângulo com uma área denominada S(t). Divida o intervalo [2,3] em n partes iguais, onde os pontos finais e de divisão são representados em ordem crescente como t₀=2, t₁, t₂, ⋯, tₙ₋₁, tₙ=3, então encontre o valor limite de limₙ→∞(1/n ∑ₖ=1ⁿ S(tₖ)).'

'Vamos aprender sobre integrais definidas e limites de somas, e desigualdades.'

'Encontre os seguintes limites: (1) $\\lim _{x \\rightarrow \\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\cos x}{2 x-\\pi}$ (2) $\\lim _{x \\rightarrow \\infty} x \\sin \\frac{1}{x}$ (3) $\\lim _{x \\rightarrow 0} x^{2} \\sin \\frac{1}{x}$'

'Quando a sequência {an}(n=1,2,3,⋯⋯) satisfaz lim_{n→∞}((3n-1)an)=-6, então lim_{n→∞}nan= \\ quadrado.'

'Limite da função: Encontre a função f(x) sob as seguintes condições:\n1. \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f(x)-2 x^{3}+3}{x^{2}}=4 \\).\n2. \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{f(x)-5}{x}=3 \\).'

'Encontre o limite da sequência definida pelo termo n com as seguintes expressões:'

'Encontre os seguintes limites:\n(1) \\(\\lim_{n \\to \\infty}\\frac{3+7+11+\\cdots+(4n-1)}{3+5+7+\\cdots+(2n+1)}\\)\n(2) \\(\\lim_{n \\to \\infty}\\left\\{\\log_{3}\\left(1^{2}+2^{2}+\\cdots+n^{2}\\right)-\\log_{3}n^{3}\\right\\}\\)\n(2) Universidade de Tóquio Denki'

'Encontre o seguinte limite.'

'Considere a sequência {an(x)}, onde an(x)=sin^{2n+1} x/sin^{2n} x+cos^{2n} x (0≤x≤π).'

'Encontre o limite das sequências (2)...expressões irracionais, etc.'

''

'O limite da função \ y=x e^{-x} \ é \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x e^{-x}=0 \.'

'Encontre o limite relacionado à área.'

'Encontre o limite da sequência {an}.'

'Seja { an(x)} uma sequência definida por an(x)=sin ^{2 n+1} x / (sin ^{2 n} x +cos ^{2 n} x) (0 ≤ x ≤π).'

'Qual é o limite de \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log \\left(1^{1} \\cdot 2^{2} \\cdot 3^{3} \\cdots \\cdots \\cdot n^{n}\\right)}{n^{2} \\log n} \\)?'

'Explique a continuidade e diferenciabilidade das funções.'

'Encontre os seguintes limites.'

'Encontre os limites da sequência {an}'

'Se o coeficiente diferencial existir, \\( f(x) \\) é diferenciável em \ x=a \'

'Investigue o limite da sequência 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ...'

'Encontre os limites da seguinte sequência:\n\nPara a sequência { n^k }, encontre os limites quando k é um inteiro positivo, um número racional positivo e um número irracional positivo, respectivamente.'

'Encontre o limite da sequência representada pelo termo n-ésimo.'

'Encontre o limite da sequência representada pelas seguintes expressões para o termo n-ésimo.'

'Encontre os seguintes limites.'

'Encontre o seguinte limite.'

'Encontre o limite de \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\cos n \\pi}{n} \.'

'Encontre o limite da sequência representada pelo termo n com as seguintes expressões.'

'Por favor, resolva o problema de encontrar o limite de: \\( \\lim_{{x \\to a}} f(x) = \\alpha \\)'

''

'Encontre o limite da sequência representada pelas seguintes expressões para o termo n.'

'Encontre o seguinte limite.'

'Encontre os seguintes limites.'

'Encontre o limite das seguintes sequências:'

'Encontre os seguintes limites.'

'(2) Seja $S_n = \\frac{1}{\\sqrt{n}} \\sum_{k=n+1}^{2n} \\frac{1}{\\sqrt{k}}$, então $S_n = \\sum_{k=n+1}^{2n} \\frac{1}{\\sqrt{\\frac{k}{n}}} \\cdot \\frac{1}{n}$. Como $S_n$ representa a soma das áreas dos retângulos, temos que $S = \\lim_{n \\to \\infty} S_n = \\int_{1}^{2} \\frac{dx}{\\sqrt{x}} = [2 \\sqrt{x}]_{1}^{2} = 2(\\sqrt{2}-1)$. Uma abordagem alternativa é $S = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{\\sqrt{1+\\frac{k}{n}}} = \\int_{0}^{1} \\frac{dx}{\\sqrt{1+x}} = [2 \\sqrt{1+x}]_{0}^{1} = 2(\\sqrt{2}-1)$.'

'(2) Seja {an} uma sequência de inteiros positivos com n dígitos. Encontre o limite lim(n→∞) (log10an)/n. [Universidade da Cidade de Hiroshima]'

'Por favor, verifique a convergência da sequência dada {n^k} (k>0).'

'Limite de um lado de uma função'

'De que forma os gráficos vermelhos podem ajudar a solidificar as habilidades matemáticas?'

'Encontre o limite de 62.'

'64\n\\[\n\\text { (1) } \egin{array}{ll}\nf^{\\prime}(x)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\\\\n= & \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{\\{2(x+h)-3\\}-(2 x-3)}{h} \\\\\n=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{2 h}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} 2=2\n\\end{array}\n\\]'

"Derivadas e Funções Derivadas\nDerivadas\nD Taxa de variação média ( f(b)-f(a) / b-a )(a ≠ b)\nD Derivada (Taxa de variação)\nf'(a)=lim(b → a) (f(b)-f(a))/(b-a)=lim(h → 0) (f(a+h)-f(a))/h"

'Traduza o texto dado para várias línguas.'

'(4) É permitido usar $\\lim _{x \\rightarrow+0} x \\log x(\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log x}{x}=0)$.'

'Explique a definição de continuidade de uma função.'

'Ao repetir, temos $a_{n}=1-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2 n-1}$. Portanto, $\\lim_{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=1$.'

'Encontre o limite das funções representadas por integrais definidas'

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'Quando as sequências {a_n} e {b_n} convergem, o seguinte é válido:'

"Encontre os seguintes limites. Onde 'a' é uma constante."

'Encontre os limites das seguintes sequências: (1) {2^{n} / n} (2) {n^{2} / 3^{n}}'

'Se a assíntota for representada pela reta y=ax+b, então o limite de f(x)/x conforme x se aproxima de mais ou menos infinito é a, e o limite de f(x)-ax é b.'

'Encontre os seguintes limites.'

'Prove as seguintes propriedades para sequências convergentes {an},{bn} onde lim(n→∞)an=α e lim(n→∞)bn=β:\n1. Múltiplo constante lim(n→∞)k an=kα\n2. Soma - Diferença lim(n→∞)(an+bn)=α+β, lim(n→∞)(an-bn)=α-β'

'Prove a seguinte equação. \\[ \\lim_{b \\to a} \\frac{c-a}{b-a} = \\lim_{b \\to a} \\frac{b+2a}{\\sqrt{3}(\\sqrt{a^2+ab+b^2} + \\sqrt{3}a)} = \\frac{1}{2} \\]'

'Prove que o limite da sequência {r^{n} / n^{k}},{n^{k} / r^{n} } quando r>1, lim _{n へ ∞} r^{n} / n^{2}=∞。'

'Matemática III\n251\n\\\lim _{\\frac{\\pi}{n} \\rightarrow 0} \\frac{\\sin \\frac{\\pi}{n}}{\\frac{\\pi}{n}}=1, \\quad \\lim _{\\frac{\\pi}{n} \\rightarrow 0} \\frac{1}{\\cos \\frac{\\pi}{n}}=1\\n\nAssim, à medida que \ n \\longrightarrow \\infty \, a convergência para um valor não nulo de \\( n^{k}\\left(b_{n}-a_{n}\\right) \\) ocorre quando \ k-2=0 \ ou seja, quando \ k=2 \ e \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n^{2}\\left(b_{n}-a_{n}\\right)=\\pi \\)'

'Matemática III'

'Exemplo 329 | Limites unilaterais e existência de limites'

'\n(2)\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\lim _{h \\rightarrow+0} \\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow+0} \\frac{\\sin h-0}{h}=\\lim _{h \\rightarrow+0} \\frac{\\sin h}{h}=1 \\\\\n\\lim _{h \\rightarrow-0} \\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow-0} \\frac{\\left(h^{2}+h\\right)-0}{h}=\\lim _{h \\rightarrow-0}(h+1)=1\n\\end{array}\n\\]\n\h \\longrightarrow+0\ e \h \\longrightarrow-0\ têm o mesmo valor limite, e \\(f^{\\prime}(0)=1\\) o que significa que \\(f(x)\\) é diferenciável em \x=0\.\nPortanto, \\(f(x)\\) é contínua em \x=0\.'

"Usando a Regra de L'Hôpital, encontre os seguintes limites."

'Quando as sequências {a_{n}}, {b_{n}} convergem, o seguinte é verdadeiro:'

'Encontre os seguintes limites.'

'Uma vez que $\\lim _{x \\rightarrow \\infty} y=\\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(\\sqrt{x^{2}+1}-x\\right)=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}+x}=0$, a linha $y=0$ é uma assíntota.'

'Exemplo 19 | Fórmula Recursiva e Limite (3)'

'O termo n-ésimo a_{n} é a_{n} = \\frac{3n-2}{n+1}, Portanto, \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n} = \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3n-2}{n+1} = \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3-\\frac{2}{n}}{1+\\frac{1}{n}} = 3 \\neq 0, Logo, esta série infinita diverge.'

'Considere a sequência {an}, onde o termo de ordem n an é um inteiro positivo de n dígitos. Encontre o limite lim (n→∞) (log10 an)/n.'

'Encontre lim_{n → ∞} Σ_{k=1}^{2n} (1 + k/n)^p * 1/n e lim_{n → ∞} Σ_{k=1}^{2n} (k/n)^p * 1/n.'

'Encontre os seguintes limites.'

'Encontre o limite da sequência {r^n}.'

'Prove que se uma curva tem no máximo 1 ponto de inflexão, então a curva não tem um cúspide.'

'Encontre o seguinte limite. (a) lim_{x \\rightarrow -\\infty} \\frac{4^x}{3^x - 2^x}'

'Exercício Integrado'

'Prove que quando o número do termo n da sequência infinita {an} se aproxima do infinito, se a_n se aproxima de um valor constante α, então lim{n -> ∞} a_n=α, ou conforme n se aproxima do infinito, a_n se aproxima de α, e denote α como o valor limite da sequência {an}. Prove esta afirmação.'

'Encontre os limites das sequências {r^n / n^k}, {n^k / r^n}.'

'Se uma função f(x) é contínua para todos os valores de x em seu domínio, como é expressa?'

'Quando x > 1, a desigualdade 0 < log x < x é válida. Usando essa desigualdade, encontre o limite lim _{x \\rightarrow ∞} \\\frac{\\log x}{x}\. Aqui, log x é o logaritmo natural com base e = 2.71828....'

'Encontre os seguintes limites.'

''

'Encontre o seguinte limite.'

'Investigar se as seguintes funções são contínuas e diferenciáveis em x = 0:'

'Encontre o limite de (3) lim _{x \\rightarrow 0} x^{2} \\sin \\frac{1}{x}'

'Problema de exercício 22 Prove a Fórmula de Wallis, a Fórmula de Stirling'

'(1) Calcular $\\lim_{x \\to -\\infty} \\frac{3^{x}+5^{x}}{3^{x}-5^{x}}$'

'Para um número real x, deixe [x] ser o número inteiro m que satisfaz m ≤ x < m+1. Encontre o limite conforme n tende ao infinito de [10^(2n)π] / 10^(2n).'

'Encontre os limites das seguintes sequências. (A) \ -2 n^{2}+3 n+1 \ (B) \ \\frac{-5 n+3}{3 n^{2}-1} \ (C) \ \\frac{2 n^{2}-3 n}{4 n^{2}+2} \'

'Explique sobre o limite de um lado de uma função.'

'Encontre o seguinte limite.'

'Encontre os seguintes limites.'

'Encontre os seguintes limites. Onde α é uma constante.'

'Encontre o limite dado.'

'(1) Encontre os valores das constantes \ a, b \ que satisfazem a equação \ \\lim _{x \\rightarrow 3} \\frac{a x^{2}+b x+3}{x^{2}-2 x-3}=\\frac{5}{4} \.\n(2) Expresse \\( \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+2 h)-f(a-h)}{h} \\) em termos de \\( f^{\\prime}(a) \\).'

'(1) Encontre os valores das constantes a, b que satisfazem a equação \ \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{x^{2}+a x+b}{x-1}=3 \. (2) Expresse \\( \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a-3 h)-f(a)}{h} \\) usando \\( f^{\\prime}(a) \\).'

'Encontre os seguintes limites.'

'Encontre os seguintes limites.'

'Encontre os seguintes limites.'

'Encontre os seguintes limites.'

'Pratique encontrar os seguintes limites.'

'Encontre os seguintes limites.'

'Prove a desigualdade da soma da série e encontre o limite (1) Para números naturais n maiores ou iguais a 2, prove a seguinte desigualdade.'

'Para o termo geral an e a soma Sn do primeiro termo ao enésimo termo:'

'Encontre o seguinte limite.'

'(4) O limite pela direita é 0, pela esquerda é 1; o limite não existe'

'Para um número real x, seja [x] o inteiro m que satisfaz m≤x<m+1. Encontre o valor de lim n→∞ [10^2nπ]/10^2n à medida que n se aproxima do infinito.'

'(3) (A) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{2^{x}a-2^{-x}}{2^{x+1}-2^{-x-1}} =\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{a-\\frac{1}{2^{2 x}}}{2-\\frac{1}{2^{2 x+1}}} =\\frac{a}{2} \ Portanto, \ \\quad \\frac{a}{2} =\\frac{3}{4} \ logo \ \\quad a=\\frac{3}{2} \'

'Encontre \\( f(x) \\) quando a função \\( f(x) \\) satisfaz \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f(x)-2 x^{3}+3}{x^{2}}=4, \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{f(x)-5}{x}=3 \\).'

'Encontre os seguintes limites. Onde a é uma constante.'

'Encontre o valor de \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log \\left(1^{1} \\cdot 2^{2} \\cdot 3^{3} \\cdots \\cdots \\cdot n^{n}\\right)}{n^{2} \\log n} \\).'

'Encontre o seguinte limite. $\\ lim _ {n \\ para \\ infty} \\ frac {1} {n ^ {2}} \\ left(e ^ { \\ frac {1} {n}} + 2 e ^ { \\ frac {2} {n}} + 3 e ^ { \\ frac {3} {n}} + \\ cdots \\ cdots + n e ^ { \\ frac {n} {n}} \\ right)$'

'Encontre o limite de \ S_{n} \ à medida que \ n \ se aproxima do infinito.'

'Encontre os valores máximos e mínimos das seguintes funções. Se necessário, você pode usar \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x e^{-x}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} x^{2} e^{-x}=0 \ em (2).'

'Encontre os seguintes limites.'

'Encontre o seguinte limite.'

'Portanto, $\\quad a_{n+1}-a_{n}=2\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}$, $\\quad a_{n+1}-\\frac{1}{4} a_{n}=\\frac{11}{4}$ Subtraindo as duas equações obtemos $a_{n}=\\frac{11}{3}-\\frac{8}{3}\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}$, eliminando $a_{n+1}$. Assim, $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left\\{\\frac{11}{3}-\\frac{8}{3}\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}\\right\\}=\\frac{11}{3}-0=\\frac{11}{3}$'

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'Encontre os seguintes limites.'

'Encontre os seguintes limites. (2) onde \ p>0 \.\n(1) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n}\\left\\{\\left(\\frac{1}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{2}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{3}{n}\\right)^{2}+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{3 n}{n}\\right)^{2}\\right\\} \\)\n(2) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(n+1)^{p}+(n+2)^{p}+\\cdots \\cdots+(n+2 n)^{p}}{1^{p}+2^{p}+\\cdots \\cdots+(2 n)^{p}} \\)'

'Encontre o limite.'

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'Determine o valor da constante a de modo que a equação $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}-(a x+1)}{x}=3$ seja válida.'

'Encontre os seguintes limites.'

'Encontre o seguinte limite (1) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{\\pi}{n} \\sin ^{2} \\frac{k \\pi}{n} \'

'Resolva o seguinte problema:'

'(1) Seja \\( \\left\\{a_{n}\\right\\}(n=1,2,3, \\cdots \\cdots) \\) uma sequência tal que \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}(3 n-1) a_{n}=-6 \\), então\n\ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n a_{n}=\\square \\text{ é } \'

'(1) Calcular $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n}\\left\\{\\left(\\frac{1}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{2}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{3}{n}\\right)^{2}+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{3 n}{n}\\right)^{2}\\right\\}$'

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'Explique a relação entre diferenciabilidade e continuidade.'

'Investigar se a função é contínua e diferenciável em x=0. (2) f(x)=\\left\\{\egin{array}{ll}0 & (x=0) \\\\ \\frac{x}{1+2^{\\frac{1}{x}}} & (x \\neq 0)\\end{array}\\right\\}'

'Determine os valores das constantes a e b para que a equação seja verdadeira. \\\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{a \\sqrt{x+1}-b}{x-1}=\\sqrt{2}\'

'Determine os valores das constantes a e b para que as seguintes equações sejam verdadeiras.'

'Explique os conceitos de convergência e divergência em limites, e descreva as propriedades básicas de como as sequências se comportam.'

'Encontre os seguintes limites.'

'Encontre a função f(x) quando esta satisfaz lim_{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f(x)-2 x^{3}+3}{x^{2}}=4, lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{f(x)-5}{x}=3.'

'Limite de uma função'

'Limites das funções trigonométricas\nQuando a unidade do ângulo está em radianos \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin x}{x}=1, \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{x}{\\sin x}=1 \'

'(1) O limite existe tanto do lado direito quanto do lado esquerdo;'

'Encontre o limite da sequência representada pelo termo n-ésimo.'

'Explique o significado de x se aproximando de a+0 e x se aproximando de a-0 na função f(x), e se o limite da função existe quando esses são iguais ou diferentes.'

'Explique a relação entre as sequências {a_n} e {b_n} quando convergem e seus limites conforme n se aproxima do infinito são a_n = α, b_n = β.'

"Usando a regra de L'Hopital, encontre os seguintes limites."

'Encontre o seguinte limite. (4): $\\lim_{x \\to \\infty} (\\sqrt{x^{2} + 2x} - x)$'

'Avalie o seguinte limite.'

'Seja \\( \\left\\{a_{n}(x)\\right\\} \\) a sequência definida por \\( a_{n}(x)=\\frac{\\sin ^{2 n+1} x}{\\sin ^{2 n} x+\\cos ^{2 n} x}(0 \\leqq x \\leqq \\pi) \\). (1) Encontre o limite \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) desta sequência. (2) Deixe \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) ser denotado por \\( A(x) \\), trace o gráfico da função \\( y=A(x) \\).'

'Para uma função contínua em um intervalo fechado, vale o teorema do valor médio. Isto é, para uma função contínua f(x) em um intervalo fechado [a, b], para qualquer valor k entre f(a) e f(b), existe um c tal que f(c) = k. Quando esta condição não é atendida, considere a função f(x) = sin(1/x) assumida como contínua no intervalo (0, 1], e explique o cenário em que não existe um c tal que f(c) = k para certo k.'

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'Pressupondo que, no futuro, a cada ano, um terço das pessoas que moram fora de Tóquio se mudam para a cidade, e um terço das pessoas que moram na cidade se mudam para fora. Seja a população de pessoas fora da cidade no ano n an e dentro da cidade bn. Encontre lim n→∞ an/bn. Supõe-se que a população total dentro e fora da cidade permaneça constante, independentemente do ano.'

'Defina S como o seguinte limite e encontre o valor de S.'

'102 a=4, b=-1, limite -\\frac{15}{8}'

'Dadas as seguintes condições, encontre as coordenadas e a trajetória de velocidade do ponto Q. Quando o ponto P se move ao longo do eixo x a partir da origem (0,0) para (π,0) a uma velocidade de π por segundo, encontre a velocidade v(t) do ponto Q após t segundos.'

'Encontre os seguintes limites.'

'Exercícios de Limites do Capítulo 4'

'Continuidade de uma função'

'Prove que para uma sequência infinita {an} (n=1,2,⋯⋯), o limite quando n tende ao infinito de 1/n^k é 0.'

'Investigue o limite da sequência \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ dada por \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{2}+a_{4}+\\cdots \\cdots+a_{2 n}}{a_{1}+a_{2}+\\cdots \\cdots+a_{n}} \.'

'Encontre o seguinte limite.'

'Matemática \nAo limpar o denominador, temos (c^{2}-1)(x+1)=c^{2}(x-1) assim 2 c^{2}=x+1 logo c^{2}=\\frac{x+1}{2} \nx>1, c>1 portanto c=\\sqrt{\\frac{x+1}{2}} \n\\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{c-1}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{\\sqrt{\\frac{x+1}{2}}-1}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{\\frac{x+1}{2}-1}{(x-1)\\left(\\sqrt{\\frac{x+1}{2}}+1\\right)} =\\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{1}{2\\left(\\sqrt{\\frac{x+1}{2}}+1\\right)}=\\frac{1}{2(\\sqrt{1}+1)}=\\frac{1}{4} \n\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{c-1}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\sqrt{\\frac{x+1}{2}}-1}{x-1}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\sqrt{\\frac{1}{2}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)}-\\frac{1}{\\sqrt{x}}}{\\sqrt{x}-\\frac{1}{\\sqrt{x}}}=0'

'Encontre o limite da sequência representada pelo termo n-ésimo.'

'Para fazer com que o limite \\(\\lim_ {x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{9-8 x+7 \\cos 2 x}-(a+b x)}{x^{2}}\\) tenha um valor finito, determine os valores das constantes \a, \\quad b\ e encontre o valor do limite.'

'Encontre o seguinte limite.'

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'Encontre o limite da sequência representada pelo termo n-ésimo.'

'Exercício Integrado'

'Encontre \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1}{x^{3}}\\left\\{\\sqrt{1+2 x}-\\left(1+x-\\frac{x^{2}}{2}\\right)\\right\\} \\).'

'Encontre os seguintes limites.\n\n(1) lim_{n→∞} \\frac{1}{n^{2}} \\left\\{ \\sqrt{(2 n)^{2}-1^{2}}+\\sqrt{(2 n)^{2}-2^{2}}+\\cdots \\cdots+\\sqrt{(2 n)^{2}-(2 n-1)^{2}} \\right\\} \n(2) lim_{n→∞} sum_{k=1}^{2 n} \\frac{n}{2 n^{2}+3 n k+k^{2}}\n\n〔(1) Universidade de Yamaguchi, (2) Instituto de Tecnologia de Shibaura〕'

'Sequência \\( \\left\\{a_{n}(x)\\right\\} \\) seja definida como \\( a_{n}(x)=\\frac{\\sin ^{2 n+1} x}{\\sin ^{2 n} x+\\cos ^{2 n} x}(0 \\leqq x \\leqq \\pi) \\).\n(1) Encontre o limite dessa sequência, \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\).\n(2) Seja \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) denominado como \\( A(x) \\). Trace o gráfico da função \\( y=A(x) \\).\n〔Universidade Meijo〕'

'Encontre o valor da constante \ a \ de modo que a equação \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}-(a x+1)}{x}=3 \\) seja satisfeita.'

'Investigue o limite da sequência 1/2, 2/3, 3/4, 4/5.'

'Encontre os seguintes limites.'

'Encontre o limite a seguir.'

'Encontre os seguintes limites. (1) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{\\cos 5 x}-\\sqrt{\\cos 3 x}}{x^{2}}$(2) $\\lim _{x \\rightarrow \\frac{1}{4}} \\frac{\\tan \\pi x-1}{4 x-1}$'

'Limite de uma sequência'

'Encontre o limite \\lim _{n \\rightarrow \\infty} T_{n}.'

'As seguintes proposições sobre limites podem parecer ambíguas, mas na realidade, são todas falsas. Vamos descobrir quando elas não se sustentam ao examinar contraexemplos.'

'(1) À medida que \ x \\rightarrow \\infty \, \\( \\{ \\log _{\\frac{3}{2}}(2 x)-\\log _{\\frac{3}{2}}(3 x+2) \\} =\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\log _{\\frac{3}{2}} \\frac{2 x}{3 x+2} \\) = \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\log \\frac{3}{2} \\frac{2}{3+\\frac{2}{x}}=\\log _{\\frac{3}{2}} \\frac{2}{3}=\\log _{\\frac{3}{2}}(\\frac{3}{2})^{-1}=-1 \\) \ \\leftarrow \ Divida o numerador e o denominador por \ 2^{x} \.'

'Encontre os seguintes limites.'

'(2) \ \\quad( \ E a expressão \\()=\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left\\{\\log _{2} \\frac{1}{4} n^{2}(n+1)^{2}-\\log _{2}\\left(n^{4}+1\\right)\\right\\} \\)'

'Coeficiente de diferenciação'

'(2) O limite pela direita é \ \\infty \, pela esquerda é \ -\\infty \; o limite não existe'

'Encontre os valores dos 3 limites. onde $a$ é uma constante.\n(1) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{a^{x}-1}{x}(a>1)$\n(2) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\log (a+x)-\\log a}{x}(a>0)$\n(3) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\log (1+a x)}{x}$\n(4) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos 2 x}{x \\log (1+x)}$'

'Encontre os limites das seguintes sequências. (A) 1, \\frac{1}{2^{2}}, \\frac{1}{3^{2}}, \\frac{1}{4^{2}}, (B) \\sqrt{2}, \\sqrt{5}, \\sqrt{8}, \\sqrt{11}, \\cdots \\cdots'

'Pratique encontrar o limite das seguintes sequências.'

'Encontre os seguintes limites. Note que a e b são constantes. (1) Universidade de Otaru, (2) Universidade de Tóquio Denki'

'(2) Calcular \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\left[ \\sqrt{x+x^{2}} \\right] - \\sqrt{x}}{x} \.'

'Encontre o limite de $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n} \\sin \\frac{n \\pi}{4}$.'

'Para a sequência dada {a_n}, encontre o limite \\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{2}+a_{4}+\\cdots \\cdots+a_{2 n}}{a_{1}+a_{2}+\\cdots \\cdots+a_{n}} \。'

'Calcule o seguinte valor limite de S.'

'(1) Para a sequência {an} que satisfaz a seguinte relação, encontre lim(n→∞)an e lim(n→∞)nan. 30(a): lim(n→∞)(2n-1)an=1'

'Encontre os seguintes limites.'

'Prove que a função f(x) não é diferenciável em x=π/2.'

'Resolva o seguinte problema:'

'Encontre o limite da equação \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1}{x^{3}}\\left\\{\\sqrt{1+2 x}-\\left(1+x-\\frac{x^{2}}{2}\\right)\\right\\} \\).'

'Encontre os seguintes limites.'

'Encontre os seguintes limites.'

'Encontre o limite.'

'(1) Contínuo mas não diferenciável\n(2) Contínuo e diferenciável'

'\\[f(x)=\\tan (\\pi x) \\text { então } \\lim _{x \\rightarrow \\frac{1}{4}} \\frac{\\tan (\\pi x)-1}{4 x-1}=\\lim _{x-\\frac{1}{4}} \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{f(x)-f\\left(\\frac{1}{4}\\right)}{x-\\frac{1}{4}}=\\frac{1}{4} f^{\\prime}\\left(\\frac{1}{4}\\right) f^{\\prime}(x)=\\frac{\\pi}{\\cos ^{2}(\\pi x)} \\text { assim, } \\quad f^{\\prime}\\left(\\frac{1}{4}\\right)=\\frac{\\pi}{\\cos ^{2} \\frac{\\pi}{4}}=2 \\pi \\text { portanto } \\quad \\lim _{x \\rightarrow \\frac{1}{4}} \\frac{\\tan (\\pi x)-1}{4 x-1}=\\frac{1}{4} \\cdot 2 \\pi=\\frac{\\pi}{2}\\]'

'Investigar os limites para x se aproximando de 1-0, x se aproximando de 1+0 e x se aproximando de 1, respectivamente.'

'Exemplo 16 | Limites de Funções (2)'

'Encontre o limite. \\( \\lim _{x \\rightarrow-\\infty}(\\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x) \\)'

'Exemplo (41) Limites e Derivadas'

'Sobre o limite da sequência \ \\left\\{n^{k}\\right\\} \, o seguinte é verdadeiro.'

'Exemplo [2] $\\ lim_{n \\rightarrow \\infty}(\\sqrt{n^{2}+2 n-1}-n)=lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(\\sqrt{n^{2}+2 n-1}-n)(\\sqrt{n^{2}+2 n-1}+n)}{\\sqrt{n^{2}+2 n-1}+n}$'

'Encontre o limite. Sem usar a fórmula acima (1). (2) \ \\lim _{x \\rightarrow \\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin ^{2} x-1}{\\cos x} \'

''

'Como encontrar o limite de uma função'

'Encontre os seguintes limites. [(1) Universidade de Quioto, (2) Instituto de Tecnologia de Tóquio] (1) \ \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{\\sqrt[3]{x}-1}{x-1} \ (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{x^{2}-x+1}-1}{\\sqrt{1+x}-\\sqrt{1-x}} \'

'Encontre os seguintes limites.'

'Usando a definição de \ e \ para calcular limites\n\\( \\lim _{h \\rightarrow 0}(1+h)^{\\frac{1}{h}}=e \\), encontre os seguintes limites:\n(1) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0}(1+2 x)^{\\frac{1}{x}} \\)\n(2) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0}(1-2 x)^{\\frac{1}{x}} \\)\n(3) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(1+\\frac{4}{x}\\right)^{x} \\)'

'Encontre os seguintes limites. (1) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin 3 x}{x} \ (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan x^{\\circ}}{x} \ (3) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin ^{2} 2 x}{1-\\cos x} \'

'Determine o número da página relacionado aos limites das funções trigonométricas a partir da tabela fornecida.'

'Encontre o seguinte limite. (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos 2 x}{x \\tan \\frac{x}{2}} \[Instituto de Tecnologia de Osaka]'

'\ \\lim_ {n \\rightarrow \\infty} \\ frac {1} {\\ sqrt {n}} = 0 \ então \\[ \\lim_ {n \\rightarrow \\infty} \\ frac {(-1) ^ {n}} {\\ sqrt {n}} = 0 \\]'

'Responda às seguintes perguntas.'

'(1) Como a base é \\\sqrt{2}>1\,\n\\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty}(\\sqrt{2})^{x}=\\infty \\]\n(2) Como a base é \0<\\frac{2}{3}<1\,\n\\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{x}=0 \\]'

'Encontre o limite lim (n→∞) (r^n)/(2+r^(n+1)) quando r>-1.'

'Encontre o seguinte limite:\n\ \n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n+1} \\cos \\frac{n \\pi}{3} \n\'

'Exemplo 15 | Limite de uma Função (1)'

'Máximo e mínimo de uma função\nPara uma função contínua f(x) em um intervalo [a, b], os valores máximo e mínimo são determinados por\n[1] Os valores máximo e mínimo de f(x) em a ≤ x ≤ b\n[2] Comparando os valores nas extremidades do intervalo, f(a) e f(b)\nNota: Para encontrar os valores máximo e mínimo de f(x) em um intervalo (a, b), é necessário comparar os valores extremos de f(x) e os valores de lim x→a+0 f(x) e lim x→b-0 f(x). Além disso, no caso do intervalo (a, ∞), é requerida uma comparação com lim x→∞ f(x).\nDeve-se observar que em intervalos abertos, os valores máximo e mínimo nem sempre podem existir.'

'Examine se as seguintes funções são contínuas e diferenciáveis em x=0:\n(1) f(x)=√|x|\n(2) f(x)={sin x (x ≥ 0), x^{2}+x (x<0)}'

'Encontre o limite das seguintes sequências. 17 (1) {2^n / n} (2) {n^2 / 3^n}'

None

'Prove o seguinte usando o teorema binomial:\n\\(\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(1+h)^{n}}{n}=\\infty \\)'

''

'Quais são os pontos-chave na transformação de expressões em limites?'

'Usando o teorema do valor médio, encontre os seguintes limites.'

'Definição do limite de uma sequência'

'Resolver problemas relacionados com o limite de sequências (usando desigualdades).'

'Capítulo 2 Limite 69 Solução Alternativa'

'Investigue o limite nos seguintes casos.'

"Usando a regra de L'Hopital, encontre o seguinte limite."

'Encontre o limite da sequência representada pelo termo n-ésimo.\n(1) n²-n\n(2) (n+1)/(3n²-2)\n(3) 5n²/(-2n²+1)'

'Limite de uma sequência'

'Exemplo 15 | Princípio da tesoura (2) (2) Se {a_{n}} for uma sequência onde o termo n-ésimo a_{n} é um inteiro positivo de n dígitos. Encontre o limite lim _{n → ∞} log _{10} a_{n} / n.'

'Capítulo 6 Aplicação da Integral'

'Determine os valores das constantes a, b para que a equação seja válida.'

'Exemplo 17 Mostrar que lim_{n→∞} (r^n / n^2) = ∞ para a sequência {r^n / n^k}, {n^k / r^n} com r > 1.'

'Encontre os seguintes limites.'

'Explica o que é o limite de um lado de uma função e representa de forma simbólica o limite à direita de f(x) à medida que x se aproxima de a no intervalo x > a.'

'Prove que (1), (2) são verdadeiros.'

'(1) Quando a sequência {an} (n=1,2,3,⋯⋯) satisfaz lim_{n→∞}(2n-1)an=1, encontre lim_{n→∞}an e 13lim_{n→∞}nan.\n(2) Encontre os valores das constantes a, b quando lim_{n→∞}1/(an+b-√{3n^2+2n})=5.'

'Aplicações do cálculo diferencial'

'Encontre o limite sem usar a fórmula dada (1).'

'Encontre o seguinte limite:\n\\(\n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} n\\left(\\sqrt{4+\\frac{1}{n}}-2\\right)\n\\)'

'Seja f(x)=-log x. Para um número real a, encontre o número de retas tangentes da curva y=f(x) que passam pelo ponto (a, 0). Você pode usar lim_{x→+0} x log x=0.'

'Exemplo 35 | Problema de texto sobre o limite das funções trigonométricas'

'Este é um problema de encontrar o limite de uma função. Por favor, determine o valor limite da função f(x) à medida que x se aproxima de a. Em particular, considere o limite da direita \\lim _{x \\rightarrow a+0} f(x) e o limite da esquerda \\lim _{x \\rightarrow a-0} f(x).'

'Encontre os seguintes limites.'

''

'Encontre \ \\lim _{x \\rightarrow 0} x^{3} \\sin \\frac{1}{x} \.'

'Examine o limite de assíntotas paralelas ao eixo y (x=a).'

'Encontre o seguinte limite:\n\\(\n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\{(n+2)-(n-2)\\}(\\sqrt{n+1}+\\sqrt{n-1})}{\\{(n+1)-(n-1)\\}(\\sqrt{n+2}+\\sqrt{n-2})} \n\\)'

''

'Resolver problemas relacionados com limites de sequências (polinómios e frações).'

'Encontre o limite.\\n(2) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\pi}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\cos \\frac{k \\pi}{2 n} \'

'(1) Encontre \\( \\lim_{n \\to -2} (-2)\\). \n(2) Encontre \ \\lim_{n \\to \\infty} n^2\'

'Encontre os seguintes limites.'

'(3) Sobre números reais'

'Vamos resumir os pontos-chave dos métodos que aprendemos até agora para calcular os limites das sequências. Formas de encontrar o limite de uma sequência'

'Encontre o limite.'

'Encontre o seguinte limite.'

"Se f(x) é uma função diferenciável em x=a, então os seguintes valores podem ser expressos usando a, f(a), f'(a), etc.:\n(1) lim₍ ₕ → 0₎ ( f(a + 3h) - f(a + h) ) / h \n(2) lim₍ ₓ → a₎ 1 / (x² - a²) { f(a) / x - f(x) / a }"

'Encontre os seguintes limites. (1) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\frac{\\pi}{2}} \\frac{1-\\sin x}{(2 x-\\pi)^{2}} \\) (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{\\sin \\pi x}{x-1} \ (3) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x \\sin \\frac{1}{x} \'

'Seja f(x) uma função diferenciável para todos os números reais x que satisfaz as seguintes duas condições.'

'Encontre o seguinte limite'

'Encontre o limite das seguintes sequências'

'(1) Encontre os seguintes limites: (a) $\\lim _{x \\to-\\infty} \\frac{4^{x}}{3^{x}-2^{x}}$ (b) $\\lim _{x \\to \\infty}(3^{x}+2^{x})^{\\frac{1}{x}}$ (c) $\\lim _{x \\to \\infty}\\left\\{\\frac{1}{2} \\log _{3} x+\\log _{3}(\\sqrt{2 x+1}-\\sqrt{2 x-1})\\right\\}$ (2) Para $x>1$, a desigualdade $0<\\log x<x$ é válida. Usando essa desigualdade, encontre o limite $\\lim _{x \\to \\infty}\\frac{\\log x}{x}$. onde $\\log x$ é o logaritmo com base $e=2.71828 ....$.'

'Encontre os seguintes limites.'

'Para uma série de termos positivos $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}$, se $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=k$, então se $k<1$ a série $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}$ converge, e se $k>1$ a série $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}$ diverge.'

'Encontre os seguintes limites.'

'Resolver problemas relacionados com o limite de expressões irracionais.'

"Usando a regra de L'Hopital, encontre os seguintes limites."

'Condições para a Existência do Limite'

'Encontre os seguintes limites.'

'Encontre os limites a seguir:'

'Encontre o limite da sequência representada pelas seguintes expressões.'

'Encontre o limite das seguintes sequências'

'Encontre os seguintes limites.'

''

'Encontre os seguintes limites.'

'(2) Calcular \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{3 x^{2}}{\\sin ^{2} x}=\\lim _{x \\rightarrow 0} 3\\left(\\frac{x}{\\sin x}\\right)^{2} \n\\[=3 \\lim _{x \\rightarrow 0}\\left(\\frac{x}{\\sin x}\\right)^{2}=3 \\cdot 1^{2}=3\\]'

'Dentro de um círculo C com raio 1 centrado em O, existe um ponto único A que não está no centro. Permita que o ponto de interseção da semirreta OA e C seja P0 e que P0 seja o ponto de partida para dividir a circunferência de C em n partes iguais no sentido anti-horário, seguindo a ordem P0, P1, P2, ..., Pn=P0. Defina a distância entre A e Pk como APk. Encontre o limite conforme n se aproxima do infinito de 1/n * Σ(k=1 até n)(APk^2)^2. Dado que OA=a. [Universidade de Gunma]'

'Encontre o limite da sequência {r^n / n^k}.'

'Descubra o seguinte limite.'

'Seja {an} uma sequência infinita. Um valor convergente α converge (não converge) para a divergência infinita \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\alpha_{n}=\\infty \ ou menos infinito \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\alpha_{n}=-\\infty \, oscila. Quando o limite da sequência é \ \\infty \ ou \ -\\infty \, não é chamado de valor limite.'

'(3) Encontre \\( \\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin \\left(x^{2}\\right)}{1-\\cos x} \\).'

'Quando r é um número real, encontre o limite lim(n→∞) (r^(2n+1))/(2+r^(2n)).'

'Encontre o limite da sequência { r^n }.'

''

'(1) Prove $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n}\\left(\\sum_{k=n+1}^{2 n} \\log k-n \\log n\\right)=\\int_{1}^{2} \\log x dx$. (2) Encontre $\\lim_{n \\to \\infty}\\left\\{\\frac{(2 n)!}{n!n^{n}}\\right\\}^{\\frac{1}{n}}$.'

'Encontre o seguinte limite.'

'Encontre o seguinte limite. (3) $\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{1}{n^{2}+1^{2}}+\\frac{2}{n^{2}+2^{2}}+\\frac{3}{n^{2}+3^{2}}+\\cdots \\cdots+\\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\\right)$'

'Encontre o limite da expressão para o termo n-ésimo.'

'Considerando as sequências {an}, {bn}, a seguinte afirmação é verdadeira? Prove se for verdadeira, ou forneça um contraexemplo se for falsa. Onde α, β são constantes.'

'Se a_{n}=∫_{n}^{n+1} 1/x dx, então lim_{n→∞} e^{n a_{n}} = .'

"Seja a uma constante, e a função f(x) seja diferenciável em x=a. Expresse os seguintes limites usando a e f'(a)."

'(3) Conforme \ x \\longrightarrow \\infty \, \ \\frac{1}{x} \\longrightarrow 0 \, então \\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\tan \\frac{1}{x}=0\'

'Encontre o próximo limite de PR.'

'Encontre os seguintes limites.\n1) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{n}{k^{2}+n^{2}} \\n2) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\pi}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\cos ^{2} \\frac{k \\pi}{6 n} \\n3) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{n^{2}}{(k+n)^{2}(k+2 n)} \\)\n4) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=n+1}^{2 n} \\frac{n}{k^{2}+3 k n+2 n^{2}} \'

'Encontre o limite a seguir: \\(\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\sqrt{n^{2}+2 n+2}-\\sqrt{n^{2}-n}\\right)\\)'

'Encontre o limite da função trigonométrica sin(x)/x à medida que x se aproxima de 0.'

'Quando r>-1, encontre o limite lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{2+r^{n+1}. (2) Quando r é um número real, encontre o limite lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{2 n+1}}{2+r^{2 n}}. DICA (2) Quando r=-1, r^{2 n}=(-1)^{2 n}=\\left\\{(-1)^{2}\\right\\}^{n}=1^{n}=1. (1) Quando |r|<1, lim_{n \\rightarrow \\infty} r^{n}=0, lim_{n \\rightarrow \\infty} r^{n+1}=0, portanto lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}=\\frac{0}{2+0}=0. Quando r=1, r^{n}=r^{n+1}=1, portanto lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}=\\frac{1}{2+1}=\\frac{1}{3}. Quando r>1, \\left|\\frac{1}{r}\\right|<1, então lim_{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{1}{r}\\right)^{n+1}=0, portanto lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}=lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\frac{1}{r}}{2\\left(\\frac{1}{r}\\right)^{n+1}+1}=\\frac{\\frac{1}{r}}{2 \\cdot 0+1}=\\frac{1}{r}'

'Encontre o limite da sequência representada pelas seguintes expressões:'

'Limite da sequência {r ^ n}'

'Encontre o limite do exemplo básico dado 35 (3).'

'Capítulo 2\nLimite\nEX Sequência \ \\{a_{n}\\} \ satisfaz \\( a_{n}>0(n=1,2, \\cdots) \\), \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{-5a_{n}+3}{2a_{n}+1}=-1 \, encontre \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} a_{n} \'

'Encontre o seguinte limite. \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{1-\\cos x}}{x} \'

'Por favor, forneça uma prova usando o método da descida infinita.'