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'Encontre as integrais definidas a seguir.'

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'Prova das Propriedades das Integrais Definidas (A), (B), (C)'

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'A coordenada x da interseção das duas parábolas é a solução para a equação x^{2}+x+2=x^{2}-7x+10. Portanto, x=1'

'Prove a proposição sobre condição e conjunto.'

'Prove que a equação diferencial pode ser transformada na seguinte forma e encontre a solução. Ao definir y = uv, temos du/dx * v + u * dv/dx - uv/x = x'

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'Prove o seguinte teorema: Para todos os números naturais n, se as funções derivadas de n-ésima ordem f^{(n)}(x) e g^{(n)}(x) de f(x) e g(x) existem, então a derivada de n-ésima ordem do produto f(x) g(x) pode ser expressa conforme indicado no teorema de Leibniz.'

'Prova de desigualdade usando o teorema do valor médio para integrais'

"Segunda derivada e extremos: Quando $f'(a)=0$, se $f''(a)$ existir, pode ser usada para determinar os extremos."

'Prove usando indução matemática que a equação (1) é válida para todos os números naturais n.'

'A derivada em x=a da função y=f(x) é definida da seguinte forma.'

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'Substituição e Integração por Partes para Integrais Indefinidas'

'Prova de que (média aritmética) ≥ (média geométrica) por formas geométricas'

'Integral definida e volume'

'Há um problema com a prova da integral definida de Iₙ em matemática (1).'

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'Encontre a área $S$ cercada pela curva \\left\\{\egin{\overlineray}{l} x=t-\\sin t \\\\ y=1-\\cos t \\end{\overlineray} (0 \\leq t \\leq \\pi)\\right., pelo eixo $x$, e pela reta $x=\\pi$.'

'Use integração por partes para encontrar a seguinte integral.'

"Encontre f(x) quando a função diferenciável f(x) (x>0) satisfaz a equação f(x)=x log x + ∫1^e t f'(t) dt."

'Supondo que $\\frac{dy}{dx}=-2$, a partir de (*) obtemos $-\\frac{8x+y}{x-3y}=-2$, assim $6x+7y=0$. Substituindo $x=\\frac{e^{t}+3e^{-t}}{2}$ e $y=e^{t}-2e^{-t}$ em (6) e simplificando, obtemos $2e^{t}-e^{-t}=0$. Portanto, $e^{-t}(2e^{2t}-1)=0$, e como $e^{-t}>0$, temos $e^{2t}=\\frac{1}{2}$, o que leva a $2t=-\\log 2$. Portanto, $t=-\\frac{1}{2}\\log 2$.'

'(1) No exemplo importante 220, seja Jₙ=∫0π/2 cosⁿxdx (onde n é um inteiro não negativo), prove que Iₙ=Jₙ quando n é maior ou igual a 0.'

'Encontre as seguintes integrais definidas.'

'Teorema do Valor Médio'

'Encontre a função f(x) que satisfaz a seguinte equação: (3) f(x)=1/2 x+∫[0, x](t-x) sin t d t'

'Por favor, explique integrais definidas e limites de somas.'

'Encontre a seguinte integral indefinida.'

'Aplicações da integração'

'Encontre a integral definida: \\\int_{0}^{1} \\frac{1}{x^{3}+8} d x\'

"Resolva a seguinte equação diferencial e encontre o valor máximo. Considerando f'(x)=0, temos x / sqrt(4-x²)=1. Portanto, sqrt(4-x²)=x. Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos 4-x²=x². Assim, x²=2, logo x=±sqrt(2). Entre estes, x>0 então x=sqrt(2). Em seguida, f''(sqrt(2))=-4/(2*sqrt(2))=-sqrt(2)<0 então x=sqrt(2) tem um valor máximo. Portanto, o valor máximo é f(sqrt(2))=sqrt(2)-2+sqrt(4-2)=2(sqrt(2)-1)."

Verifique a seguinte equação para subconjuntos $A, B$ do conjunto universal $U$ usando um diagrama: \( \overline{(ar{A} \cap B)}=A \cup ar{B} \)