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Funções e Análise
Funções Avançadas - Funções Trigonométricas e Suas Aplicações
Q.02
'\ \\sin \\theta=x \ e \ -1 \\leqq x \\leqq 1 \, a equação é \ 1-2 x^{2}+2 k x+k-5=0 \ ou \ 2 x^{2}-2 k x-k+4=0 \ A condição requerida é que a equação quadrática \\( (*) \\) tenha pelo menos uma solução real no intervalo \ -1 \\leqq x \\leqq 1 \. Deixe \\( f(x)=2 x^{2}-2 k x-k+4 \\), e deixe o discriminante de \\( f(x)=0 \\) ser \ D \. 1] A condição para ambas as soluções estarem no intervalo \ -1<x<1 \ é que o gráfico de \\( y=f(x) \\) intersecte (incluindo o caso de tangência) com a parte do eixo \ x \ entre \ -1<x<1 \, e as seguintes condições (i)---(iv) ocorrem simultaneamente. (i) \ D \\geqq 0 \ (ii) \\( f(-1)>0 \\) (iii)\\( f(1)>0 \\) (iv) \ -1< \ eixo \ <1 \'
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'Condições para a existência de soluções de equações trigonométricas'
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'VERIFICAR 39 ⇒ Página 187 neste livro. (1) \\sin 105^\\circ=\\sin \\left(60^\\circ+45^\\circ\\right)=\\sin 60^\\circ \\cos 45^\\circ+\\cos 60^\\circ \\sin 45^\\circ=\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}+\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}\\cos 105^\\circ=\\cos \\left(60^\\circ+45^\\circ\\right)=\\cos 60^\\circ \\cos 45^\\circ-\\sin 60^\\circ \\sin 45^\\circ=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{6}}{4}\\tan 105^\\circ=\\tan \\left(60^\\circ+45^\\circ\\right)=\\frac{\\tan 60^\\circ+\\tan 45^\\circ}{1-\\tan 60^\\circ \\tan 45^\\circ}=\\frac{\\sqrt{3}+1}{1-\\sqrt{3} \\cdot 1}=\\frac{(\\sqrt{3}+1)^{2}}{1-3}=-2-\\sqrt{3}'
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'Encontre os valores máximo e mínimo das seguintes funções. Note que o intervalo de θ é 0≤θ≤π. (1) y=sin 2θ+√3 cos 2θ (2) y=-4 sinθ+3 cosθ'
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'Expressar y = 4sin²θ - 4cosθ + 1 em termos de cosθ.'
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'(2) \\\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta=1 \ portanto, de \ 1-\\cos ^{2} \\theta=\\cos \\theta \ obtemos \\\sin ^{2} \\theta=\\cos \\theta\. \\[ \egin{array}{l} \\frac{\\sin ^{4} \\theta+\\cos ^{3} \\theta}{2 \\cos \\theta}=\\frac{(\\sin ^{2} \\theta)^{2}+\\cos ^{3} \\theta}{2 \\cos \\theta}=\\frac{\\cos ^{2} \\theta+\\cos ^{3} \\theta}{2 \\cos \\theta} \\\\=\\frac{\\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta}{2}=\\frac{1}{2} \\end{array} \\]'
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'Dado f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x e g(x)=a x(x-2) (sendo a>1).'
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'(1) Encontre todos os valores de que satisfazem a equação .'
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'Descubra o número de soluções reais de f(x)=x^{3}-3 x+1.'
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'Exemplo de exercício 10 Funções trigonométricas e polinômios de Chebyshev'
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'Assuma que a função f satisfaça f((x+y)/2) ≤ (1/2){ f(x)+f(y)} para números reais x, y. Prove que a função f satisfaz f((x1+x2+...+xn)/n) ≤ (1/n){ f(x1)+f(x2)+...+f(xn)} para n números reais x1, x2, ..., xn.'
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'Usando a medida em radianos, converta os seguintes ângulos para radianos.'
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'(2) 1 + tan^2 θ = 1/cos^2 θ leva a cos^2 θ = 1/(1+2^2) = 1/5 portanto cos θ = ±1/√5'
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'Calcular funções trigonométricas com base nas seguintes condições. (1) π<θ<2π, portanto sin θ<0, assim sin^2 θ+cos^2 θ=1, então sin θ=-√(1-cos^2 θ)=-√(1-(12/13)^2)=-5/13 também, tan θ=sin θ/cos θ=(-5/13)÷(12/13)=-5/12'
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'(1) A partir de sin3x = -sinx, temos 3sinx - 4sin^3x = -sinx, que simplifica para 4sinx(1+sinx)(1-sinx) = 0. Portanto, sinx = 0, ±1. Dado que 0 ≤ x ≤ 2π, obtemos x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π.'
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'Questão 2: \\\sin x+ \\sin 2 x+\\sin 3 x+\\sin 4 x = \\text{O que}\'
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'Usando radianos, converta os seguintes radianos para graus.'
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'Radianos e Funções Trigonométricas\nEncontre o comprimento do arco e a área de um setor com raio r e ângulo central θ radianos.\nComprimento do arco: rθ\nÁrea: 12r^{2}θ'
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'Prove as propriedades da integral definida de funções ímpares e pares:'
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'Exemplo 47 | Gráficos de Funções Trigonométricas (1)\\nDesenhe os gráficos das seguintes funções.\\n(1) y=sin(θ-π/2)\\n(2) y=sinθ+1\\n(3) y=tan(θ+π/2)'
A. ...
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'Exemplo 98 | Equações e Desigualdades Trigonométricas (4)'
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'Usando a fórmula de adição, encontre os seguintes valores.'
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'Defina as funções trigonométricas sen θ, cos θ, tan θ de um ângulo geral θ no plano de coordenadas.'
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'Exemplo de exercício 3 10 Funções Trigonométricas e Polinômios de Chebyshev (continuação)'
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'Exemplo 55 | Fórmula de Adição de Tangentes de Três Ângulos'
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'Resolver problemas envolvendo equações trigonométricas, desigualdades trigonométricas e encontrar valores máximos e mínimos de funções trigonométricas.'
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'Exemplo 54 | Valores das Funções Trigonométricas (Teorema da Adição)'
A. ...
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'Ocurreu-me a ideia de usar coordenadas para representar formas num plano.'
A. ...
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'Encontre os valores máximo e mínimo de y=2sin ^{2}θ+3sinθcosθ+6cos ^{2}θ quando 0≤θ<2π.'
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'Exemplo de exercício 10 Funções trigonométricas e polinômios de Chebyshev (continuação) Para encontrar o polinômio de 5º grau de cos 5θ'
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'Exemplo 97 | Equação trigonométrica (usando fórmulas de soma e produto)'
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'Prove a seguinte identidade trigonométrica:\n\n(4) \\\cos 20^\\circ \\cos 40^\\circ \\cos 80^\\circ\'
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'Considerei usar um número infinito de funções trigonométricas para representar uma função periódica.'
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'(1) Para qualquer ângulo θ, traçar a região no plano xy consistindo de pontos (x, y) que satisfazem -2≤xcosθ+ysinθ≤y+1, e determinar sua área. (2) Para quaisquer ângulos α, β, traçar a região no plano xy consistindo de pontos (x, y) que satisfazem -1≤x²cosα+ysinβ≤1, e determinar sua área. [Universidade Hitotsubashi]'
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'Investigue o máximo e o mínimo das funções trigonométricas na equação dada e resolva os problemas, incluindo aplicações à geometria.'
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'Funções trigonométricas e polinômios de Chebyshev'
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'(3) A partir de , temos , portanto . Substituindo na equação . A partir de , obtemos , ao resolver, obtemos . Dado que , encontramos (1), substituindo encontramos .'
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'(2) \\sin 15 ^ {\\circ} = \\sin \\left(60 ^ {\\circ} -45 ^ {\\circ} \\right) = \\sin 60 ^ {\\circ} \\cos 45 ^ {\\circ} - \\cos 60 ^ {\\circ} \\sin 45 ^ {\\circ} = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} - \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{2}}{4} \\cos 15 ^ {\\circ} = \\cos \\left(60 ^ {\\circ} -45 ^ {\\circ} \\right) = \\cos 60 ^ {\\circ} \\cos 45 ^ {\\circ} + \\sin 60 ^ {\\circ} \\sin 45 ^ {\\circ} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4} \\tan 15 ^ {\\circ} = \\tan \\left(60 ^ {\\circ} -45 ^ {\\circ} \\right) = \\frac{\\tan 60 ^ {\\circ} - \\tan 45 ^ {\\circ}}{1+\\tan 60 ^ {\\circ} \\tan 45 ^ {\\circ}} = \\frac{\\sqrt{3}-1}{1+\\sqrt{3} \\cdot 1} = \\frac{(\\sqrt{3}-1)^{2}}{\\sqrt{3}+1)(\\sqrt{3}-1)} = \\frac{3-2\\sqrt{3}+1}{3-1} = 2-\\sqrt{3}'
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Join our DiscordQ.45
'Exemplo de exercício 10 Funções trigonométricas e polinômios de Chebyshev (continuação)'
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'Exemplo 50 => Página 180\n(1) é o gráfico de y=cosθ traduzido simetricamente sobre o eixo θ. O gráfico é mostrado à direita. Além disso, o período é 2π.'
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Join our DiscordQ.47
'A partir da condição, tan𝛼+tan𝛽+tan𝛾=tan𝛼tan𝛽tan𝛾'
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'Seja α e β os ângulos formados entre as duas retas e a direção positiva do eixo x, respectivamente. O ângulo agudo θ que procuramos é quando tanα=√3/2 e tanβ=-3√3. Portanto, tanθ=tan(β-α)=(-3√3-√3/2)÷{1+(-3√3)∙√3/2}=√3. Como 0<θ<π/2, então θ=π/3'
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'124\n—Matemática II\n(2) Lado esquerdo = \\ frac {\\ cos \\ theta(1- \\ sin \\ theta) + \\ cos \\ theta(1+ \\ sin \\ theta)}{(1+ \\ sin \\ theta)(1- \\ sin \\ theta)}=\\ frac {2\\ cos \\ theta}{1- \\ sin ^{2} \\ theta} \\ frac {2\\ cos \\ theta}{\\ cos ^{2} \\ theta}=\\ frac {2}{\\ cos \\ theta} Portanto, \\ frac {\\ cos \\ theta}{1+ \\ sin \\ theta}+\\ frac {\\ cos \\ theta}{1- \\ sin \\ theta}=\\ frac {2}{\\ cos \\ theta}'
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'(1) f(θ)=\\frac{1}{2} \\sin θ=\\frac{1}{2} \\sin (θ+2 \\pi)=f(θ+2 \\pi)\nPortanto, o período fundamental é 2 \\pi\n(2) f(θ)=\\cos (-2 θ)=\\cos (-2 θ-2 \\pi)=\\cos \\{-2(θ+ \\pi)\\}=f(θ+\\pi)\nPortanto, o período fundamental é \\pi'
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'(4) \\[ \egin{aligned} \\sin x+\\sin 2 x+\\sin 3 x & =(\\sin 3 x+\\sin x)+\\sin 2 x \\\\ & =2 \\sin 2 x \\cos x+\\sin 2 x \\\\ & =\\sin 2 x(2 \\cos x+1) \\\\ \\cos x+\\cos 2 x+\\cos 3 x & =(\\cos 3 x+\\cos x)+\\cos 2 x \\\\ & =2 \\cos 2 x \\cos x+\\cos 2 x \\\\ & =\\cos 2 x(2 \\cos x+1) \\end{aligned} \\]'
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'Questão 145 Condições para uma função ter um extremo em um intervalo'
A. ...
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'Dada a equação \\[ \egin{array}{l} 2 \\cdot 2 \\sin \\theta \\cos \\theta-2 \\sin \\theta+2 \\sqrt{3} \\cos \\theta-\\sqrt{3}=0 \\\\ 2 \\sin \\theta(2 \\cos \\theta-1)+\\sqrt{3}(2 \\cos \\theta-1)=0 \\end{array} \\] Portanto, \\( (2 \\sin \\theta+\\sqrt{3})(2 \\cos \\theta-1)=0 \\) o que implica em \ \\sin \\theta=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\cos \\theta=\\frac{1}{2} \ Considerando \ 0 \\leqq \\theta<2 \\pi \, a partir de \ \\sin \\theta=-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \ obtemos \ \\theta=\\frac{4}{3} \\pi, \\frac{5}{3} \\pi \ e a partir de \ \\cos \\theta=\\frac{1}{2} \ obtemos \ \\theta=\\frac{\\pi}{3}, \\frac{5}{3} \\pi \\] Logo, as soluções são \\[ \\theta=\\frac{\\pi}{3}, \\frac{4}{3} \\pi, \\frac{5}{3} \\pi \'
A. ...
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Join our DiscordQ.56
'Uma desigualdade que envolve funções trigonométricas é chamada de desigualdade trigonométrica, e resolver uma desigualdade trigonométrica envolve encontrar o intervalo de ângulos (solução) que satisfazem a desigualdade.'
A. ...
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'O gráfico é uma contração vertical pela metade da função y=tanθ. O gráfico à direita é a versão contraída. O período é π e a assíntota é a linha θ=π/2+nπ (n é um número inteiro).'
A. ...
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'Usando as fórmulas de soma e de angulo duplo, prove as seguintes equações (fórmula do triplo ângulo).'
A. ...
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Join our DiscordQ.60
'Encontre os valores de θ que satisfazem as seguintes equações para 0≤θ<2π:'
A. ...
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'Resolver as seguintes equações e desigualdades para \0 \\leqq \\theta<2 \\pi\.'
A. ...
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'Explique as definições das funções trigonométricas seno, coseno e tangente.'
A. ...
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'Prove as seguintes relações trigonométricas com base na definição de -sin(θ): (i) tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) (ii) sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1 (iii) 1 + tan^2(θ) = 1 / cos^2(θ)'
A. ...
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Join our DiscordQ.65
'Como memorizar a fórmula de adição, ângulo duplo e fórmulas do meio ângulo'
A. ...
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Join our DiscordQ.66
'Domine as equações trigonométricas e conquiste o exemplo 123!'
A. ...
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'(1) \ \\cos \\theta=\\frac{12}{13} \\quad \ [Quadrante 4 \ ] \\n(2) \ \\tan \\theta=2 \\sqrt{2} \\quad \ [Quadrante 3]'
A. ...
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Join our DiscordQ.68
'Exemplo 5: Máximo e mínimo práticos de funções trigonométricas'
A. ...
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Join our DiscordQ.69
'Dado que α é um ângulo no segundo quadrante com sinα=3/5 e β é um ângulo no terceiro quadrante com cosβ=-4/5, encontre os valores de sin(α-β) e cos(α-β).'
A. ...
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Join our DiscordQ.70
'Prove a equação \\\frac{\\sin \\alpha+\\sin 2 \\alpha}{1+\\cos \\alpha+\\cos 2 \\alpha}=\\tan \\alpha\.'
A. ...
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Join our DiscordQ.71
'Domine o princípio da adição e conquiste o exemplo 130!'
A. ...
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Join our DiscordQ.72
'Ao substituir \2\\sin x=t\, obtemos \0 \\leq x<2 \\pi\, logo \-1 \\leq t \\leq 1\. Além disso, a partir da equação (1), temos \\ny = 2 t^2 + t - 1 = 2 (t^2 + \\frac{1}{2}t) - 1 = 2 (t + \\frac{1}{4})^2 - 2 (\\frac{1}{4})^2 - 1 = 2 (t + \\frac{1}{4})^2 - \\frac{9}{8}\\n\ =t\. Preste atenção à gama de variação de \t\. Converta a equação quadrática para a forma padrão. Portanto, \y\ assume o valor máximo de 2 quando \t=1\ e o valor mínimo de \-\\frac{9}{8}\ quando \t=-\\frac{1}{4}\.'
A. ...
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Join our DiscordQ.73
'Resolver as seguintes equações e desigualdades para 0≤θ<2π. (1) sin(2θ-π/3) = √3/2 (2) sin(2θ-π/3) < √3/2'
A. ...
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Join our DiscordQ.74
'Equações que são verdadeiras para funções trigonométricas, onde n é um número inteiro.'
A. ...
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Join our DiscordQ.75
'Encontre os valores máximo e mínimo das seguintes funções.'
A. ...
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Join our DiscordQ.76
'Máximo e mínimo de funções trigonométricas (usando t=sinθ+cosθ)'
A. ...
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Join our DiscordQ.77
'Resolva as seguintes equações e desigualdades para 0 ≤ θ < 2π.'
A. ...
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Join our DiscordQ.78
'Encontre os valores máximo e mínimo das funções e seus respectivos valores de θ. (1) y=sin ^{2}θ+cosθ+1 (0≤θ<2π) (2) y=3sin^{2}θ-4sinθcosθ-1/cos^{2}θ (0≤θ≤π/3)'
A. ...
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Join our DiscordQ.79
'Gráfico de Funções Trigonométricas (3) ... Escala e Translação'
A. ...
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Join our DiscordQ.80
'Encontre o valor máximo, o valor mínimo e os valores correspondentes de θ da função y=7sin^2θ-4sinθcosθ+3cos^2θ(0 ≤ θ ≤ π/2).'
A. ...
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Join our DiscordQ.81
'Equações e desigualdades envolvendo funções trigonométricas (substituição)'
A. ...
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Join our DiscordQ.82
'Explique a extensão das razões trigonométricas para as funções trigonométricas, e forneça as definições do senoθ, cossenoθ, tangenteθ para um ângulo geral θ.'
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Join our DiscordQ.83
'Encontre o ângulo formado por duas linhas usando a fórmula de adição de tangente (tan)'
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Join our DiscordQ.84
'A figura acima mostra os gráficos de (1) y=a sin bθ e (2) y=a cos bθ. Encontre os valores das constantes a e b. Note que a>0, b>0.'
A. ...
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Join our DiscordQ.85
'Relações interpessoais das funções trigonométricas'
A. ...
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Join our DiscordQ.86
'Fórmulas de ângulo duplo e metade do ângulo juntamente com valores trigonométricos'
A. ...
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Join our DiscordQ.87
'Encontre os valores máximos e mínimos da função y = 3sinθ-2sin³θ (0 ≤ θ ≤ 7/6π), e os valores correspondentes de θ.'
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Join our DiscordQ.88
'Encontre os valores de theta que satisfazem as seguintes equações.'
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Join our DiscordQ.89
'Encontre os valores de θ que satisfazem as seguintes equações para 0 ≤ θ < 2π.'
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Join our DiscordQ.90
'Equações e desigualdades envolvendo funções trigonométricas (usando composição)'
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Join our DiscordQ.91
'Usando as três fórmulas de adição com β=α: (1) Calcule o seguinte usando as fórmulas: (a) sin 2α (b) Fornecer outra expressão para cos 2α: cos^2α - sin^2α, 2 cos^2α - 1, 1 - 2 sin^2α (c) tan 2α (2) Substituir todos os valores por θ/2 e calcular: (a) sin^2(θ/2) (b) cos^2(θ/2) (c) tan^2(θ/2)'
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'Encontre os valores máximo e mínimo da função y=√3sinθ-cosθ (0≤θ<2π) e seus valores correspondentes de θ. Além disso, faça o gráfico da função.'
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Join our DiscordQ.93
'Máximo e mínimo de funções trigonométricas (utilizando composição)'
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Join our DiscordQ.94
'Equação envolvendo funções trigonométricas (usando sin^2θ + cos^2θ = 1)'
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Join our DiscordQ.95
'Os tamanhos dos ângulos das funções trigonométricas aprendidas até agora, como \ \\sin \\theta, \\cos \\theta \, são representados usando unidades de graus como \ 30^{\\circ}, 360^{\\circ} \. Isso é conhecido como o sistema de graus onde 1 grau é igual a \ \\frac{1}{90} \ de um ângulo reto.'
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'Na trigonometria, existem fórmulas para transformar o produto do seno e cosseno em soma e diferença, e vice-versa.'
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'Sistema de desigualdades envolvendo funções trigonométricas'
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'Derive a expressão após dividir 3 sin² θ - 4 sin θ cos θ - 1 por cos² θ, e encontre os valores máximo e mínimo no intervalo 0 ≤ θ ≤ π/3.'
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'Para a função f(x) = sin(2x) − 2 sin(x) − 2 cos(x) + 1 (0 ≤ x ≤ π)'
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'Quando x > 1, visto que 4(x²-1) > 0 e 1/(x²-1) > 0, podemos concluir a seguinte desigualdade com base na média aritmética ser maior ou igual à média geométrica. 4(x²-1)+1/(x²-1)+4 ≥ 2√(4(x²-1)・1/(x²-1))+4 = 8. Portanto, 4x² +1/((x+1)(x-1)) ≥ 8, com igualdade quando 4(x²-1)=1/(x²-1). Nesse caso, (x²-1)²=1/4. Como x > 1, x²-1=1/2, o que significa que x²=3/2, então x=√(3/2)=√6/2. Assim, o valor mínimo de 4x² + 1/((x+1)(x-1)) é 8, com x igual a 2√(3/2) = √(6)/2.'
A. ...
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'Resolver as seguintes desigualdades para 0 ≤ θ < 2π.'
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Join our DiscordQ.02
'Exemplo básico 124 Resolva a seguinte equação para 0 ≤ θ < 2π: 2sin²θ + cosθ - 1 = 0'
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Join our DiscordQ.04
'Usando a fórmula de adição, encontre os seguintes valores.'
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Join our DiscordQ.05
'Se a função tem um valor máximo de 0 em e o gráfico da curva se assemelha à figura à direita,'
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'(1) \\( \\cos \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{4}\\right)=-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\)\\n(2) \2 \\sin 2 \\theta>\\sqrt{3} \'
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'Gráfico de funções trigonométricas e translação/escala'
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Join our DiscordQ.11
'Encontre os valores máximos e mínimos das seguintes funções e os valores correspondentes de θ.'
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Join our DiscordQ.13
'Sistema de desigualdades envolvendo funções trigonométricas'
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'Qual dos seguintes gráficos não coincide com o gráfico de !ν dentro do intervalo de 0 a π? As opções de resposta são: (0) y = sin(2θ + π/2) (1) y = sin(2θ - π/2) (2) y = cos{2(θ + π)} (3) y = cos{2(θ - π)}'
A. ...
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Join our DiscordQ.16
'Máximo e mínimo das funções trigonométricas (reduzindo a funções quadráticas)'
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Join our DiscordQ.17
'Fundamentos dos radianos, comprimento do arco e área de um setor'
A. ...
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Join our DiscordQ.18
'Encontre os valores máximos e mínimos da função y=3sinθ+4cosθ.'
A. ...
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Join our DiscordQ.19
'Gráfico da Função Trigonométrica (1) - Ampliar/Reduzir'
A. ...
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Join our DiscordQ.20
'Quando 0 ≤ θ ≤ π e sinθ+cosθ=√3/2, encontre o valor da seguinte expressão.'
A. ...
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Join our DiscordQ.21
'Desigualdade envolvendo funções trigonométricas (usando sin^2θ + cos^2θ = 1)'
A. ...
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Join our DiscordQ.23
'Calcular a área cercada pela curva y=|x^2-1| e a reta y=3.'
A. ...
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Join our DiscordQ.24
'Prove que \ \\sin 3 \\alpha = 3 \\sin \\alpha - 4 \\sin ^{3} \\alpha \.'
A. ...
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Join our DiscordQ.25
'Diz-se que sentir que estudar é divertido é importante, mas por que essa mentalidade afeta a memória?'
A. ...
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Join our DiscordQ.26
'Explique a diferença entre mudança física e mudança química.'
A. ...
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Join our DiscordQ.28
'(1) No exemplo acima, calcule a magnitude da aceleração do ponto P.'
A. ...
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Join our DiscordQ.29
'Encontre a equação polar da curva \\( \\left(x^{2}+y^{2}\\right)^{3}=4 x^{2} y^{2} \\). Além disso, esboce a forma geral dessa curva, considerando a origem \ \\mathrm{O} \ como o polo e a parte positiva do eixo \ x \ como a linha inicial.'
A. ...
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Join our DiscordQ.30
'Por favor descreva as características do gráfico de y=√(ax) (onde a ≠ 0).'
A. ...
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Join our DiscordQ.31
'Pontos a considerar ao esboçar o contorno de um gráfico de função'
A. ...
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Join our DiscordQ.32
'\\[\\left(\\sin ^{-1} x\\right)^{\\prime}=\\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}}(-1<x<1)\\]'
A. ...
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Join our DiscordQ.33
'Dado que a>0, seja f(x)=\\sqrt{a x-2}-1 (x \\geqq \\frac{2}{a}) a função. Encontre o intervalo de valores de a quando o gráfico da função y=f(x) e seu inverso y=f^{-1}(x) compartilham dois pontos distintos.'
A. ...
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Join our DiscordQ.34
'Pontos chave no método de integração por substituição'
A. ...
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Join our DiscordQ.35
'Encontre a equação da curva C2 obtida rotacionando a curva C1: 3x^2+2\\sqrt{3}xy+5y^2=24 no sentido anti-horário por π/6 radianos em torno da origem.'
A. ...
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Join our DiscordQ.36
'Considere a mudança nos valores da função, máximo e mínimo, curva C: {x=sin(θ) cos(θ), y=sin^3(θ) + cos^3(θ)} (-π / 4 ≤ θ ≤ π / 4).'
A. ...
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Join our DiscordQ.37
'Por que é possível calcular as integrais definidas e com sucesso ao substituir e ?'
A. ...
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Join our DiscordQ.38
'Encontre as assíntotas da função y = x + 1 + 1 / (x - 1).'
A. ...
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Join our DiscordQ.39
'Encontre o volume V do sólido obtido ao girar a área fechada pela curva x=tanθ, y=cos2θ (-π/2<θ<π/2) e o eixo x em torno do eixo x uma vez.'
A. ...
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Join our DiscordQ.40
'Usando a fórmula de Euler, expresse as funções trigonométricas como funções exponenciais e derive as seguintes equações.'
A. ...
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Join our DiscordQ.42
'Expresse as curvas representadas pelas seguintes equações polares em coordenadas retangulares.'
A. ...
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Join our DiscordQ.43
'\\(\\left(\\cos ^{-1} x\\right)^{\\prime}=-\\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}}(-1<x<1)\\)'
A. ...
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Join our DiscordQ.44
'Básico 2: Translação e Determinação de Funções Fracionárias'
A. ...
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Join our DiscordQ.45
'Quando o gráfico da função passa pelo ponto e tem as duas retas , como assíntotas, encontre os valores das constantes .'
A. ...
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Join our DiscordQ.46
'Prove que, para um ponto P(x, y) que se move na circunferência de uma elipse A x^{2}+B y^{2}=1 (A>0, B>0) com velocidade 1, as seguintes declarações são verdadeiras.'
A. ...
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Join our DiscordQ.47
'Quando as coordenadas de um ponto P se movendo em um plano de coordenadas no tempo t são dadas pelas seguintes expressões, encontre a magnitude da velocidade e aceleração do ponto P.'
A. ...
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Join our DiscordQ.48
'Quando as coordenadas (x, y) do ponto móvel P no plano de coordenadas no tempo t são representadas como {x=sin t y=12 cos 2 t}, encontre o valor máximo da magnitude da velocidade de P.'
A. ...
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Join our DiscordQ.49
'Prove que a desigualdade \ b \\sin \\frac{a}{2}>a \\sin \\frac{b}{2} \ é válida quando \ 0<a<b<2\\pi \.'
A. ...
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Join our DiscordQ.50
'Quando o ponto P se move ao longo da reta numérica, sua coordenada x como função do tempo t é dada por x=2cos(πt+π/6), encontre a velocidade v e a aceleração α em t=2/3.'
A. ...
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Join our DiscordQ.51
'No plano de coordenadas com a origem O, considere a curva onde o ponto P(1, ) é tomado.'
A. ...
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Join our DiscordQ.52
'Prove que a equação f(x)=x^{2} tem pelo menos 2 soluções reais no intervalo 0<x<2 quando a função f(x) é contínua e f(0)=-1, f(1)=2, f(2)=3.'
A. ...
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Join our DiscordQ.53
'(1) \ \\sin 175^{\\circ} < \\sin 35^{\\circ} < \\sin 140^{\\circ} \'
A. ...
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Join our DiscordQ.58
'Encontre o seno, cosseno e tangente dos seguintes ângulos.'
A. ...
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Join our DiscordQ.59
'Usando a tabela de razões trigonométricas no final, encontre os seguintes valores de θ.'
A. ...
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Join our DiscordQ.61
'No triângulo ABC, se sin A: sin B: sin C = 5: 16: 19, encontre a medida do maior ângulo neste triângulo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.63
'Encontre as funções quadráticas representadas pelos seguintes gráficos.'
A. ...
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Join our DiscordQ.64
'Expresse as seguintes funções trigonométricas em termos de ângulos entre 0 graus e 90 graus. Além disso, encontre seus valores usando a tabela trigonométrica no final.'
A. ...
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Join our DiscordQ.65
'Usando a lei dos cossenos, encontramos o valor de a.'
A. ...
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Join our DiscordQ.67
'No triângulo ABC, se sinA: sinB: sinC = 3: 5: 7, encontre a razão de cosA: cosB: cosC. (Universidade Tohoku Gakuin)'
A. ...
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Join our DiscordQ.68
'Calcule as funções trigonométricas e mostre os resultados.'
A. ...
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Join our DiscordQ.69
'(1) \\sin 111^{\\circ}\\n(2) \\cos 155^{\\circ}\\n(3) \\tan 173^{\\circ}'
A. ...
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Join our DiscordQ.70
'Para 0° ≤ θ ≤ 180°, encontre o intervalo de θ que satisfaz as seguintes desigualdades.'
A. ...
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Join our DiscordQ.71
'No triângulo ABC, se pecado A: pecado B: pecado C = 5: 7: 8, então cos C = __.'
A. ...
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Join our DiscordQ.73
'De 2sinθ = sqrt(2) para sinθ = 1 / sqrt(2). Os pontos P e Q no semicírculo com raio 1, onde a coordenada y é 1 / sqrt(2), são os pontos a considerar. O θ necessário é ∠AOP e ∠AOQ.'
A. ...
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Join our DiscordQ.74
'Extensão das razões trigonométricas: Encontre as razões trigonométricas quando o ângulo está no intervalo de 0° a 360°.'
A. ...
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Join our DiscordQ.75
'(4) Resolver a equação. Dado 0 ≤ θ ≤ 180°. Resolver a equação: √2 sinθ = tanθ'
A. ...
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Join our DiscordQ.76
'No triângulo ABC, se sin A:sin B:sin C = 3:5:7, encontre a proporção de cos A:cos B:cos C.'
A. ...
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Join our DiscordQ.77
'Explique a definição e as relações das razões trigonométricas. (1) Definição das razões trigonométricas (2) Relações das razões trigonométricas (3) Razões trigonométricas em ângulos especiais'
A. ...
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Join our DiscordQ.78
'Quando você usaria a página de Exemplos Extendidos e Exercícios?'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.80
'Em exemplos que analisam o movimento de gráficos de funções e formas geométricas, que conteúdo digital pode ser usado para conectar imagens visuais com equações matemáticas para fins de aprendizado?'
A. ...
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Join our DiscordQ.83
'Vamos rever a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos!'
A. ...
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Join our DiscordQ.84
'Em ordem, \\\\( \\cos 20^{\\circ}, \\\\ \\sin 10^{\\circ}, \\\\ \\frac{1}{\\tan 35^{\\circ}} \\\\\\\n'
A. ...
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Join our DiscordQ.85
'Explique a relação entre as condições necessárias e suficientes.'
A. ...
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Join our DiscordQ.87
'Suplemento para o seno, cosseno e tangente de 0°, 90° e 180°\n\nQuando θ=0°, na fórmula de definição das razões trigonométricas com r=1 e o ponto P₀ com coordenadas (1,0),\nseno 0°=0, \ncosseno 0°=1, \ntangente 0°=0\n\nQuando θ=90°, na fórmula de definição das razões trigonométricas com r=1 e o ponto P₁ com coordenadas (0,1),\nseno 90°=1, \ncosseno 90°=0\n\nQuando θ=180°, na fórmula de definição das razões trigonométricas com r=1 e o ponto P₂ com coordenadas (-1,0),\nseno 180°=0, \ncosseno 180°=-1, \ntangente 180°=0'
A. ...
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Join our DiscordQ.88
'Usar tabelas trigonométricas para encontrar ângulos'
A. ...
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Join our DiscordQ.90
'θ é a relação mútua das razões trigonométricas de 0° a 180°'
A. ...
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Join our DiscordQ.92
'Encontre o valor do cosseno a partir da fórmula da razão do seno'
A. ...
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Join our DiscordQ.93
'A solução desejada é que uma vez que o gráfico da função y=|x^2-6x-7| intersecta ou está completamente acima do gráfico de y=2x+2,'
A. ...
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Join our DiscordQ.94
'Usando a Lei de De Morgan, forneça um exemplo específico com os conjuntos A, B e C.'
A. ...
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Join our DiscordQ.97
'No triângulo ABC, se sinA/sqrt(3)=sinB/sqrt(7)=sinC for verdadeiro, encontre a medida do maior ângulo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.00
'(1) Usando a tabela trigonométrica, encontre os valores do seno, cosseno e tangente para 128°.\n(2) Seja sin 27° = a. Expresse o cosseno de 117° em termos de a.'
A. ...
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Join our DiscordQ.01
'θ (equação trigonométrica) que satisfaz a identidade trigonométrica'
A. ...
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Join our DiscordQ.02
'Prove que, para um triângulo ABC com os ângulos A, B e C, denominados como A, B e C, as seguintes equações são verdadeiras.'
A. ...
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Join our DiscordQ.04
'Relações trigonométricas quando θ é um ângulo agudo'
A. ...
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Join our DiscordQ.05
'As duas seguintes equações também são válidas. \ \egin{\overlineray}{l} b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \\cos B \\\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \\cos C \\ \\end{\overlineray} \\] Resumindo isso como a regra do cosseno: \\[ \egin{\overlineray}{l} a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \\cos A \\\\ b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \\cos B \\\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \\cos C \\ \\end{\overlineray} \\] Prove as seguintes igualdades no triângulo ABC a partir da regra do cosseno. \\[ \\cos A = \\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} , \\quad \\cos B = \\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2 c a}, \\quad \\cosC = \\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b} \'
A. ...
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Join our DiscordQ.06
'Prove que as seguintes equações valem para os ângulos internos A, B, C do triângulo ABC:'
A. ...
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Join our DiscordQ.07
'Vamos rever o teorema do seno e o teorema do cosseno!'
A. ...
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Join our DiscordQ.08
'Encontre os valores das funções trigonométricas para ângulos obtusos'
A. ...
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Join our DiscordQ.09
'Resolver as equações: sen aθ = sen bθ, sen aθ = cos bθ'
A. ...
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Join our DiscordQ.10
'Explique como usar o livro para encontrar soluções.'
A. ...
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Join our DiscordQ.11
'Uma vez que , então . Portanto, o valor positivo mínimo em é , e o valor máximo é .'
A. ...
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Join our DiscordQ.14
'Vamos considerar a relação entre o movimento (trajetória) das xícaras de café em um parque de diversões e as funções trigonométricas. Quando o disco 1 completa uma rotação completa no sentido horário, enquanto o disco 2 com metade do raio completa duas rotações no sentido anti-horário, que tipo de trajetória o ponto C no disco 2 descreve?'
A. ...
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Join our DiscordQ.15
'Resolver as seguintes equações e desigualdades para 0 ≤ θ < 2π. (1) cos 2θ = √3 cosθ + 2 (2) sin 2θ < sinθ'
A. ...
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Join our DiscordQ.16
'Como desenhar o gráfico de uma função cúbica - criando uma tabela de crescimento e decrescimento'
A. ...
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Join our DiscordQ.19
'Prove a equação 1 + sin θ - cos θ / 1 + sin θ + cos θ = tan(θ/2).'
A. ...
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Join our DiscordQ.21
'Usando a fórmula de adição, encontre os seguintes valores.'
A. ...
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Join our DiscordQ.24
'Encontre os valores máximo e mínimo da equação homogénea 1372 𝑓(𝜃)=sin^{2}𝜃+sin𝜃cos𝜃+2cos^{2}𝜃 (0≤𝜃≤𝜋/2).'
A. ...
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Join our DiscordQ.26
'Encontre o intervalo da constante k para o qual a curva y=x^3-2x+1 e a reta y=x+k compartilham 3 pontos distintos.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.28
'A soma e a diferença de dois ângulos α e β, representadas em termos das funções trigonométricas de α e β, são conhecidas como a fórmula de adição trigonométrica.'
A. ...
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Join our DiscordQ.29
'Resolva a seguinte equação ou desigualdade quando 0 ≤ θ < 2π. 2) sin 2θ + sin θ - cos θ > 1/2'
A. ...
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Join our DiscordQ.30
'Encontre os valores de e de forma que o valor máximo da função seja e o valor mínimo seja .'
A. ...
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Join our DiscordQ.34
'Por que o gráfico de y=sinθ no Exemplo 118(3) não é reduzido pela metade na direção do eixo θ?'
A. ...
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Join our DiscordQ.35
'Calcule os valores das seguintes funções trigonométricas.'
A. ...
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Join our DiscordQ.36
'Para a função \ y=\\sin 2 \\theta+\\sin \\theta+\\cos \\theta \:'
A. ...
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Join our DiscordQ.38
'A seguir estão os gráficos das funções (1) e (2). Calcule os valores de A a H. (1) y=sin θ (2) y=cos θ'
A. ...
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Join our DiscordQ.40
'Desenhe os gráficos das seguintes funções e determine seus períodos:'
A. ...
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Join our DiscordQ.42
'Entre sin 1, sin 2, sin 3, sin 4, o valor negativo é A. O valor mínimo dos valores positivos é B, e o valor máximo é C.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.46
'Seja a>1 o ângulo de prática de 190°. Para a função y=2x^{3}-9x^{2}+12x onde 1≤x≤a, (1) encontre o valor mínimo. (2) encontre o valor máximo.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.48
'No plano , a curva sempre passa por dois pontos fixos, independentemente do valor de . Quais são as coordenadas desses dois pontos fixos? Determine o intervalo de valores de para os quais não tem extremos.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.49
'Por favor, explique a periodicidade das funções trigonométricas.'
A. ...
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Join our DiscordQ.50
'Para os ângulos internos A, B e C de um triângulo ABC com ângulos de 120 graus, responda às seguintes perguntas:'
A. ...
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Join our DiscordQ.51
'Encontre os valores do seno, cosseno e tangente de 195 graus.'
A. ...
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Join our DiscordQ.52
'Encontre o termo geral da sequência {an} definida pelas seguintes condições usando as substituições entre parênteses.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.53
'Calcule os valores das seguintes funções trigonométricas.'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.54
'Prove as fórmulas de produto para soma e de soma para produto'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.55
'Encontre os valores máximo e mínimo da função y=2sinθ+2cos²θ-1 (-π/2 ≤ θ ≤ π/2), e os valores de θ que dão os valores máximo e mínimo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.57
'Encontre os valores máximo e mínimo das funções dadas. Além disso, determine os valores de θ nesse momento.'
A. ...
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Join our DiscordQ.58
'Usando a fórmula da metade do arco, encontre os seguintes valores. (1) (2) (3) '
A. ...
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Join our DiscordQ.59
'Vamos pensar sobre o método de solução para equações e desigualdades trigonométricas (equações quadráticas). Existe uma forma de resolver equações e desigualdades trigonométricas que envolvem múltiplas funções trigonométricas, como no exemplo básico 124.'
A. ...
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Join our DiscordQ.60
'Resolva as seguintes equações e desigualdades para 0 ≤ θ < 2π. (1) cos 2θ - 3cosθ + 2 = 0 (2) sin 2θ > cosθ'
A. ...
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Join our DiscordQ.61
'(2) \ \\sin \\theta=\\frac{\\sqrt{6} \\pm \\sqrt{2}}{4} \,\\n\ \\cos \\theta=\\frac{-\\sqrt{6} \\pm \\sqrt{2}}{4} \ (conjugado complexo na mesma ordem)'
A. ...
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Join our DiscordQ.63
'Expresse os valores dados em termos de funções trigonométricas de ângulos de 0 a . (1) (2) (3) '
A. ...
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Join our DiscordQ.64
'Seja f(x)=3x^3+ax^2+(3a+4)x. (1) No plano xy, a curva y=f(x) sempre passa por dois pontos fixos. Encontre as coordenadas desses dois pontos fixos. (2) Determine o intervalo de valores de a para que f(x) não tenha extremos.'
A. ...
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Join our DiscordQ.66
'140 \\quad \\n¥( \\theta=\\frac{\\pi}{4}, \\frac{\\pi}{3}, \\frac{3}{4} \\pi, \\frac{5}{4} \\pi, \\frac{5}{3} \\pi, \\frac{7}{4} \\pi )'
A. ...
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Join our DiscordQ.68
'Exprima as seguintes expressões na forma de . Dado que .\n(1) \n(2) '
A. ...
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Join our DiscordQ.69
"OB'=r, e seja α o ângulo entre OB' e a direção positiva do eixo x"
A. ...
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Join our DiscordQ.70
'Prove que as seguintes equações são verdadeiras quando t = tan(θ/2) (t ≠ ±1).'
A. ...
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Join our DiscordQ.73
'Por favor, forneça uma descrição detalhada dos pontos importantes a serem considerados ao trabalhar em estudos de caso importantes.'
A. ...
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Join our DiscordQ.74
'Escolha o apropriado para cada um dos seguintes grupos de respostas: A e C. A ordem das opções não é relevante.'
A. ...
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Join our DiscordQ.76
'Expresse as seguintes razões trigonométricas em termos de ângulos inferiores a 45°.'
A. ...
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Join our DiscordQ.77
'Na figura (a), encontre os valores de \ \\sin \\theta, \\cos \\theta, \\tan \\theta \.'
A. ...
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Join our DiscordQ.78
'Encontre o intervalo de valores para θ que satisfaz as seguintes desigualdades quando 0° ≤ θ ≤ 180°.'
A. ...
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Join our DiscordQ.79
'(1) \ \\sin \\theta = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\\nNo semicírculo com raio 1, os pontos P e Q são os pontos onde a coordenada y é \ \\frac{\\sqrt{3}}{2} \, conforme mostrado na figura à direita. Os ângulos a serem determinados são \ \\angle AOP \\text { e } \\angle AOQ\\\nPortanto\\n\ \\theta = 60^{\\circ}, 120^{\\circ} \'
A. ...
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Join our DiscordQ.80
'Seja θ um ângulo agudo. Quando sin θ = 12/13, encontre os valores de cos θ e tan θ.'
A. ...
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Join our DiscordQ.81
'Usando o diagrama à direita, encontre os valores de pecado 15°, cosseno 15°, tangente 15°.'
A. ...
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Join our DiscordQ.82
'Seja 0°<θ<180°. Quando 4cosθ+2sinθ=√2, encontre o valor de tanθ.'
A. ...
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Join our DiscordQ.83
'Tomamos 0°≤θ≤180°. Quando um dos sinθ, cosθ, tanθ assume um valor específico, encontre os outros 2 valores.'
A. ...
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Join our DiscordQ.85
'Seja θ entre 0° e 180°. Encontre o intervalo de valores de θ para os quais a equação quadrática x^2-(cosθ)x+cosθ=0 tem duas soluções reais distintas, ambas dentro do intervalo -1<x<2.'
A. ...
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Join our DiscordQ.86
'Vamos considerar θ como um ângulo agudo. Encontre o valor de (sinθ+cosθ) ² quando tanθ=√7.'
A. ...
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Join our DiscordQ.88
'Qual é o valor de sin 140 graus + cos 130 graus + tan 120 graus?'
A. ...
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Join our DiscordQ.89
'A trigonometria é um método desenvolvido para medir coisas como a distância para objetos distantes e alturas que não podem ser medidas diretamente, e sua história remonta à antiguidade. Aqui discutiremos o método de cálculo da altura de uma montanha usando trigonometria.'
A. ...
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Join our DiscordQ.90
'Encontre o intervalo de valores de θ que satisfazem as seguintes desigualdades quando 0° ≤ θ ≤ 180°: (1) sin θ > 1/2 (2) cos θ ≤ 1/√2 (3) tan θ < √3'
A. ...
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Join our DiscordQ.91
'Para 0° < θ < 90°, y = 2 tan^2(θ) - 4 tan(θ) + 3'
A. ...
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Join our DiscordQ.92
'Encontre o valor de cos²20°+cos²35°+cos²45°+cos²55°+cos²70°.'
A. ...
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Join our DiscordQ.93
'\\Portanto\\cos ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 45^{\\circ}+\\cos ^{2} 55^{\\circ}+\\cos ^{2} 70^{\\circ} \\ = \\cos ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 45^{\\circ}+\\sin ^{2} 35^{\\circ}+\\sin ^{2} 20^{\\circ} \\ = \\left(\\sin ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 20^{\\circ}\\right)+\\left(\\sin ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}\\right)+\\cos ^{2} 45^{\\circ} \\ = 1+1+\\left(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^{2}=\\frac{5}{2}'
A. ...
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Join our DiscordQ.95
'Encontre os valores máximo e mínimo da seguinte função, bem como os valores correspondentes de θ.'
A. ...
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Join our DiscordQ.98
'Consulte a tabela trigonométrica e responda à seguinte pergunta. Quando θ = 37°, encontre os valores de sin θ, cos θ, tan θ.'
A. ...
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Join our DiscordQ.99
'Usando o diagrama à direita, encontre os valores de sen 22,5 graus, cos 22,5 graus e tan 22,5 graus.'
A. ...
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Join our DiscordQ.00
'Encontre o valor de θ que satisfaz a seguinte equação quando 0° ≤ θ ≤ 180°: (6) √3 tanθ + 1 = 0'
A. ...
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.01
'Encontre os valores máximos e mínimos de y = sin^2θ + cosθ - 1 para 0° ≤ θ ≤ 180°. Além disso, determine os valores de θ nesses pontos.'
A. ...
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Join our DiscordQ.02
'Na proposição "se p então q", vamos considerar o conjunto de elementos que satisfazem a condição p como P, e o conjunto de elementos que satisfazem a condição q como Q. Quando a proposição "se q então p" é verdadeira, em relação à sua contrapositiva, ∎ é verdadeiro. Escolha a opção correta para preencher o espaço em branco.'
A. ...
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Join our DiscordQ.06
'Valores e transformações das funções trigonométricas para ângulos obtusos'
A. ...
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Join our DiscordQ.07
'Para PR 0° ≤ θ ≤ 180°, encontre os valores de θ que satisfazem a seguinte equação: (6)√3 tan θ + 1 = 0'
A. ...
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Join our DiscordQ.08
'Relações trigonométricas básicas 108 Vamos considerar θ como um ângulo agudo. (1) Quando sin θ = 2/√13, encontrar os valores de cos θ e tan θ. (2) Quando tan θ = √5/2, encontrar os valores de sin θ e cos θ.'
A. ...
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Join our DiscordQ.11
'Expresse as seguintes razões trigonométricas como razões trigonométricas de ângulos entre 0° e 90°, e encontre seus valores usando a tabela trigonométrica. (1) sin 111° (2) cos 155° (3) tan 173°'
A. ...
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Join our DiscordQ.12
'Pergunta 5 (2) Encontre a tangente do segundo maior ângulo no triângulo ABC.'
A. ...
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Join our DiscordQ.17
'No triângulo ABC, se pecado A: sin B: sin C = 5:16:19, encontre o tamanho do maior ângulo neste triângulo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.19
'Encontre o seno, cosseno e tangente dos seguintes ângulos. (1) 135 graus (2) 150 graus (3) 1'
A. ...
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Join our DiscordQ.20
'No triângulo ABC, se ∠A=α, ∠B=β, ∠C=90 graus, prove que as seguintes desigualdades são verdadeiras: (1) sinα+sinβ>1 (2) cosα+cosβ>1'
A. ...
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Join our DiscordQ.22
'Prove as inter-relações das seguintes identidades trigonométricas: .'
A. ...
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Join our DiscordQ.23
'Escolha duas opções que sejam iguais a sin 44° pelas seguintes escolhas. (1) sin 46° (2) cos 46° (3) sin 136° (4) cos 136°'
A. ...
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Join our DiscordQ.24
'Encontre os valores de θ que satisfazem a seguinte equação quando 0° ≤ θ ≤ 180°: 2sinθ = √2'
A. ...
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Join our DiscordQ.26
'Prove a desigualdade sin 29 graus < tan 29 graus < cos 29 graus.'
A. ...
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Join our DiscordQ.27
'Vamos considerar 0° ≤ θ ≤ 180°. Se sinθ+cosθ = 1/√5, encontre os valores das seguintes expressões: (1) tan^3θ+1/tan^3θ (2) sin^3θ-cos^3θ'
A. ...
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Join our DiscordQ.28
'Por favor, explique como converter as razões trigonométricas de ângulos obtusos em razões trigonométricas de ângulos agudos usando fórmulas.'
A. ...
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Join our DiscordQ.29
'Encontre o seno, cosseno e tangente dos seguintes ângulos.\n1. 25°\n2. 45°\n3. 75°\n4. 89°'
A. ...
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Join our DiscordQ.30
'Que curva representa a representação paramétrica dada?'
A. ...
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Join our DiscordQ.32
"Engenharia reversa a partir do 'eu que você deseja se tornar'."
A. ...
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Join our DiscordQ.33
'Encontre a curva da equação x = t + \\frac{1}{t}, y = t^{2} + \\frac{1}{t^{2}}, t > 0.'
A. ...
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Join our DiscordQ.34
'Capítulo 4 Equações e Curvas\n17 Parábolas\n18 Elipses\n19 Hipérboles\n20 Translação de Curvas Quadráticas\n21 Curvas Quadráticas e Retas\n22 Representações Paramétricas de Curvas\n23 Coordenadas Polares e Equações Polares'
A. ...
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Join our DiscordQ.35
'O que são boas coisas para trabalhar após resolver exemplos básicos e exemplos padrão?'
A. ...
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Join our DiscordQ.37
"Como é útil a matemática na sociedade? As formas como a matemática é 'útil' também mudaram ao longo do tempo. No passado, ao discutir a aplicação da matemática, ela frequentemente era associada à palavra-chave 'ciência e tecnologia de ponta'. A importância da ciência e tecnologia de ponta na sociedade não se discute, no entanto, não era algo familiar em nossa vida diária. Nos últimos anos, a situação mudou. Isso ocorre porque a matemática começou a se infiltrar em vários aspectos de nossa vida diária."
A. ...
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Join our DiscordQ.38
'(1) Como cos(-x) = cos x e (-x)^2 sin(-x) = -x^2 sin x, cos x é uma função par e x^2 sin x é uma função ímpar. Portanto, ∫_(-π/3)^(π/3) ( cos x + x^2 sin x ) dx = 2 ∫_0^(π/3) cos x dx = 2 [ sin x ]_0^(π/3) = √3'
A. ...
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Join our DiscordQ.39
'Descreva as curvas representadas pelas seguintes equações polares em coordenadas retangulares.'
A. ...
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Join our DiscordQ.41
'Em (1), se o intervalo da função for 1 ≤ y < 3/2, encontre o domínio.'
A. ...
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Join our DiscordQ.42
'Para um número positivo a, considere o ponto A(a, a^{2}) na parábola y=x^{2}, e deixe l ser a reta girada -30 graus em torno do ponto A. Deixe B ser o ponto de interseção da reta l e da parábola y=x^{2} que não é A. Além disso, deixe (a, 0) ser C e a origem ser O. Encontre a equação da reta l. Além disso, deixe S(a) ser a área cercada pelos segmentos de linha OC e CA e pela parábola y=x^{2}, e deixe T(a) ser a área cercada pelos segmentos de linha AB e CA e pela parábola y=x^{2}. Encontre c=lim_{a→∞} T(a)/S(a).'
A. ...
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Join our DiscordQ.43
'Para números reais que satisfazem (3) 0 ≤ θ < 2π, seja z = cosθ + i sinθ. Prove que a equação |1 - z| = 2 sin (θ/2) é válida.'
A. ...
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Join our DiscordQ.44
'Mostre a concavidade e convexidade da função que atende às seguintes condições.'
A. ...
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Join our DiscordQ.45
'4 (cos^2 x)’ = 2 cos x (cos x)’ = -2 sin x cos x'
A. ...
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Join our DiscordQ.46
'Exemplo Importante\nMáximo e mínimo de 13|ux + vy|\nQuando os números reais x, y, u, v satisfazem as equações x^2 + y^2 = 1 e (u-2)^2 + (v-2√3)^2 = 1, encontre os valores máximo e mínimo de ux + vy.'
A. ...
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Join our DiscordQ.48
'Encontre o ponto de inflexão da função nos seguintes valores de x.'
A. ...
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Join our DiscordQ.49
'\\( 134\\left\\{\egin{array}{l}x=(a+b) \\cos \\theta-b \\cos \\frac{a+b}{b} \\theta \\\\ y=(a+b) \\sin \\theta-b \\sin \\frac{a+b}{b} \\theta\\end{array}\\right. \\)'
A. ...
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Join our DiscordQ.50
'Seja a curva representada pelas variáveis de parâmetro \\( x=\\sin t, y=\\cos \\left(t-\\frac{\\pi}{6}\\right) \\sin t(0 \\leqq t \\leqq \\pi) \\) denotada por \ C \.'
A. ...
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Join our DiscordQ.51
'Para a equação r=\\frac{1}{1+a \\cos θ}, (1) prove que quando a= ±1, ela representa uma parábola e quando |a|<1, representa uma elipse. (2) Prove que a curva representada pela equação acima intersecta o eixo y em y= ±1 independentemente do valor de a. (3) Quando |a|<1, deixe a parte no primeiro quadrante da elipse e contornada pelos eixos x e y ser denominada D. Encontre o volume do sólido obtido ao girar a figura D em torno do eixo x.'
A. ...
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Join our DiscordQ.52
'(2) Continuação do (1): Portanto, o ângulo formado entre \\overrightarrow{AB} e \\overrightarrow{AC} é θ. Então, \\cos \\theta=\\frac{\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC}}{\\left|\\overrightarrow{AB}\\right|\\left|\\overrightarrow{AC}\\right|}=\\frac{-2a+6}{3\\sqrt{a^{2}-2a+14}}. Como \\sin \\theta>0, temos \\sin \\theta=\\sqrt{1-\\cos ^{2} \\theta}=\\sqrt{1-\\frac{(-2a+6)^{2}}{9(a^{2}-2a+14)}}=\\frac{1}{3}\\sqrt{\\frac{5a^{2}+6a+90}{a^{2}-2a+14}}'
A. ...
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Join our DiscordQ.53
'No caso de 0<θ<π/2, se dL/dθ=0, então cosθ=1/√3. Seja α o valor de θ que satisfaz essa condição, então tanα=√(1/cos²α-1)=√2. A partir de (3-√7)/√2<2/√2<(3+√7)/√2, obtemos que tanθ₁<tanα<tanθ₂. Assim, θ₁<α<θ₂. Portanto, a tabela de aumento e diminuição de L é como mostrado à direita para θ₁<θ<θ₂. Assim, L atinge seu valor máximo quando θ=α. Dado que sinα=√(1-cos²α)=√6/3, o valor máximo desejado é 2sinα-√2/(3cosα)=√6/3. Neste caso, cosθ=1/√3.'
A. ...
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Join our DiscordQ.54
"Problema 94 Respondendo a pequenas mudanças\n(1) Quanto aumentará a área S do ΔABC?\n(2) Quanto aumentará o comprimento y do lado CA?\nUsando a seguinte fórmula.\nFórmula para pequenas mudanças Δy≒y'Δx\nResposta: Quando o ângulo B aumenta 1 grau\nComeçando de S≒√3sin(x)."
A. ...
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Join our DiscordQ.55
'Encontre as coordenadas de um ponto obtido refletindo sobre o eixo real e girando -π/2 em torno da origem.'
A. ...
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Join our DiscordQ.56
'Exemplo 41 | Cálculo de Integrais Definidas (2)\nEncontre a integral definida ∫_{0}^{π} sin(mx)cos(nx)dx. Aqui, m e n são números naturais.'
A. ...
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Join our DiscordQ.59
'Pratique as propriedades da função f(x) = x sin(1/x) (x > 0) 134'
A. ...
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Join our DiscordQ.60
'Prove que para a função inversa y=g(x) de y=tan x (-π/2<x<π/2), g(1/2)+g(1/3)=π/4.'
A. ...
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Join our DiscordQ.61
'Verifique o comportamento crescente e decrescente da função a partir da tabela abaixo e encontre os valores extremos.'
A. ...
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Join our DiscordQ.63
'Encontre as condições sob as quais a curva y=x^4+ax^3+bx^2+cx+d tem uma linha tangente múltipla.'
A. ...
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Join our DiscordQ.65
'Calcule o valor de sin(π/5) sin(2π/5) sin(3π/5) sin(4π/5).'
A. ...
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Join our DiscordQ.66
'Encontrando a soma de uma série infinita usando uma relação de recorrência'
A. ...
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Join our DiscordQ.67
'A resolver um problema de matemática é comparado a quê?'
A. ...
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Join our DiscordQ.68
'O que irá aprender neste capítulo é construído com base no que aprendeu até agora. Usando esse conhecimento, é essencial analisar a geometria das formas mais aprofundadamente. Neste capítulo, iremos aplicar métodos de geometria analítica para estudar as propriedades de formas não abordadas anteriormente, focando principalmente nas características de seções cônicas como elipses, hipérboles e parábolas. Além disso, iremos abordar brevemente métodos para representar curvas com equações, incluindo representações paramétricas e coordenadas polares, bem como equações polares.'
A. ...
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Join our DiscordQ.69
'(1) As coordenadas de um ponto Q na curva C são dadas pelas equações paramétricas, onde o parâmetro t varia de -π/2 a 0, como (√2/cos t, √2 tan t). A equação da reta tangente l no ponto Q é [√2/cos t x-√2 tan t y=2], que é equivalente a [x-sin t y=√2 cos t]'
A. ...
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Join our DiscordQ.70
'Encontre o valor máximo, valor mínimo e o valor correspondente de x para a função dada.'
A. ...
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Join our DiscordQ.71
'À medida que o ponto na curva se afasta infinitamente, a curva se aproxima de uma linha reta específica, que é chamada de assíntota da curva.'
A. ...
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Join our DiscordQ.72
'À medida que fica infinitamente grande, para qual valor se aproxima?'
A. ...
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Join our DiscordQ.73
'Quando S=4, \2 \\sqrt{k^{2}+1}=4\ é resolvido como \k=\\sqrt{3}\. Portanto, \\\cos \\alpha=\\frac{1}{2}, \\sin \\alpha=\\frac{\\sqrt{3}}{2}\. Como \0<\\alpha<\\frac{\\pi}{2}\, temos \\\alpha=\\frac{\\pi}{3}\. Logo, \\eta=\\frac{4}{3} \\pi\. No intervalo onde \\\frac{\\pi}{3} \\leqq x \\leqq \\theta\, a área cercada pelas curvas \y=\\sin x\, \y=\\sqrt{3} \\cos x\, e a linha \x=\\theta\ é denominada \T\. Para que \T<4\ seja verdade, deve ser que \\\frac{\\pi}{3}<\\theta<\\frac{4}{3} \\pi\.'
A. ...
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Join our DiscordQ.74
'Transforme a função irracional dada para a forma de uma função de raiz quadrada.'
A. ...
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Join our DiscordQ.76
'Explique por que a função f(x) é descontínua: f(x)={ x^2 + 1 (x ≠ 0), 0 (x = 0) }'
A. ...
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Join our DiscordQ.77
'As derivadas das funções trigonométricas são as seguintes. Note que os ângulos estão em radianos.'
A. ...
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Join our DiscordQ.78
'Encontre todas as retas tangentes da curva y = x cos x que passam pelo origem.'
A. ...
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Join our DiscordQ.79
'O termo n-ésimo a_{n} é dado por a_{n} = \\cos n \\pi. Seja k um número natural. Quando n=2k-1, \\cos n \\pi = \\cos (2k-1) \\pi = \\cos (-\\pi) = -1. Quando n=2k, \\cos n \\pi = \\cos 2k \\pi = 1. Portanto, a sequência \\{a_{n}\\} oscila. Logo, o termo n-ésimo da sequência \\{a_{n}\\} é a_{n}=(-1)^{n}, que não converge para 0, portanto, essa série infinita diverge.'
A. ...
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Join our DiscordQ.80
'No plano XY, com a origem como polo e a parte positiva do eixo x como a linha de início em coordenadas polares, deixe a curva representada pela equação polar r=2+cosθ(0 ≤ θ ≤ π) ser denotada como C. Encontre o volume do sólido obtido ao girar a região cercada por C e o eixo x em torno do eixo x uma revolução completa.'
A. ...
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Join our DiscordQ.81
'Prática Que tipo de curva as seguintes equações polares representam? Responda em coordenadas retangulares.'
A. ...
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Join our DiscordQ.82
'Resolver a função trigonométrica composta. Quando 42sin(x-π/6)-1=0 (0≤x≤π), as soluções são x=π/3, π'
A. ...
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Join our DiscordQ.83
'A região representada pelas desigualdades simultâneas dadas é tal que a coordenada x dos pontos de interseção da curva y=sin x e da reta y=t-x é denominada α, onde sin α=t-α e 0<α<t. Neste caso, V(t)=π ∫_{0}^{α} sin^2 x dx+1/3 π sin^2 α·(t-α). A partir de (1), temos V(t)=π ∫_{0}^{α} sin^2 x dx + 1/3 π sin^3 α。'
A. ...
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Join our DiscordQ.84
'Seja 33θ um número real e n um inteiro. Se z=sinθ+i*cosθ, expresse a parte real e a parte imaginária do número complexo zn em termos de cos(nθ) e sin(nθ).'
A. ...
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Join our DiscordQ.85
'(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = 12 - 3 ⋅ (-1)^2 = 9, portanto (f ∘ g)(x) = \egin{cases} -3x^2 + 12x & (x ≥ 0) \\\\ 9 & (x < 0) \\end{cases}'
A. ...
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Join our DiscordQ.86
'A partir de cos 2θ = cos^2 θ − sin^2 θ, expresse a equação r^2 (cos^2 θ − sin^2 θ) = r sin θ(1 − r sin θ) + 1 usando x = r cos θ, y = r sin θ'
A. ...
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Join our DiscordQ.87
'(1) f′(t)=−e^(−t)sin(t)+e^(−t)cos(t)=−e^(−t)(sin(t)−cos(t)) = −√2 e^(−t)sin(t−π/4) Se f′(t)=0, então sin(t−π/4)=0. Como t−π/4>−π/4, então t=π/4+(n−1)π (n=1,2, ...)'
A. ...
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Join our DiscordQ.88
'Quando uma função y é representada usando o parâmetro θ como x=1-cosθ, y=θ-sinθ'
A. ...
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Join our DiscordQ.89
'Para 0 ≤ θ ≤ π, cos(θ/2) ≥ 0. Para 0 ≤ θ ≤ π/2, cos(θ) ≥ 0. Para π/2 ≤ θ ≤ π, cos(θ) ≤ 0. Além disso, cos(θ) * cos(θ/2) = 1/2 * (cos(3/2 * θ) + cos(θ/2)).'
A. ...
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Join our DiscordQ.92
'Resolver a seguinte equação para 0 ≤ θ < 2π. Além disso, encontrar sua solução geral. (1) sin θ = √3/2'
A. ...
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Join our DiscordQ.93
'Mostre que as seguintes condições são atendidas e encontre o valor de cos 36 graus: (1) Quando θ = 36 graus, sin 3θ = sin 2θ'
A. ...
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Join our DiscordQ.95
'Exercício Integrado Parte 2 Matemática II Capítulo 4 Funções Trigonométricas'
A. ...
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Join our DiscordQ.96
'Encontre os valores máximo e mínimo nos [ ] e os valores correspondentes de x.'
A. ...
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Join our DiscordQ.97
'Encontre os valores máximos e mínimos das funções dadas. Adicionalmente, determine os valores de θ nesses pontos. Considere 1620 ≤ θ ≤ π. (1) y=sinθ−√3 cosθ (2) y=sin(θ−π/3)+sinθ'
A. ...
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Join our DiscordQ.99
'Prove a equação \ \\frac{\\cos \\theta}{1+\\sin \\theta}+\\tan \\theta=\\frac{1}{\\cos \\theta} \.'
A. ...
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Join our DiscordQ.01
'Determine o valor da constante a de modo que o valor absoluto do mínimo da função y=2sin3x+cos2x-2sinx+a seja igual ao valor máximo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.02
'Usando a fórmula de adição, encontre os seguintes valores.'
A. ...
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Join our DiscordQ.03
'(1) \ \\sin 2 \\theta=\\cos 3 \\theta \ [Prática \\( 156(2) \\) ] A solução geral é'
A. ...
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Join our DiscordQ.06
'(1) A função y=f(x) assume um valor máximo em x=α e um valor mínimo em x=β. Mostrar que o ponto médio M do segmento de linha que conecta os pontos (α, f(α)) e (β, f(β)) está na curva y=f(x).'
A. ...
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Join our DiscordQ.07
'Como memorizar o teorema da adição e as fórmulas de ângulo duplo/meio ângulo?'
A. ...
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Join our DiscordQ.08
'Pratique traçar os gráficos das seguintes funções e encontre seus períodos.'
A. ...
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Join our DiscordQ.09
'Prove que o valor de é constante quando os números reais positivos satisfazem .'
A. ...
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Join our DiscordQ.10
'Solução para as equações sin aθ=sin bθ, sin aθ=cos bθ'
A. ...
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Join our DiscordQ.11
'1. Fórmula de adição do seno: \\( \\sin (\\alpha \\pm \eta)=\\sin \\alpha \\cos \eta \\pm \\cos \\alpha \\sin \eta \\)\n2. Fórmula de adição do cosseno: \\( \\cos (\\alpha \\pm \eta)=\\cos \\alpha \\cos \eta \\mp \\sin \\alpha \\sin \eta \\)\n3. Fórmula de adição da tangente: \\( \\tan (\\alpha \\pm \eta)=\\frac{\\tan \\alpha \\pm \\tan \eta}{1 \\mp \\tan \\alpha \\tan β} \\)'
A. ...
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Join our DiscordQ.12
'(2) Se \ \\tan \\frac{\\theta}{2}=\\frac{1}{2} \, encontre os valores de \ \\cos \\theta, \\tan \\theta, \\tan 2 \\theta \.'
A. ...
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Join our DiscordQ.15
'Usando o teorema da adição, encontre os seguintes valores.'
A. ...
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Join our DiscordQ.16
'Resolvendo a equação sin aθ=sin bθ, sin aθ=cos bθ'
A. ...
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Join our DiscordQ.17
'Encontre os valores de sin θ, cos θ, tan θ quando θ é os seguintes valores.'
A. ...
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Join our DiscordQ.18
'(3) Prove que o valor de é constante quando os números reais positivos satisfazem .'
A. ...
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Join our DiscordQ.19
'Medida do radiano e funções trigonométricas radiano'
A. ...
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Join our DiscordQ.21
'Resolva a seguinte equação para 0 ≤ θ < 2π. Encontre também a sua solução geral.'
A. ...
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Join our DiscordQ.22
'Quando n é um número natural e θ é um número real, responda à seguinte pergunta. (1) Prove cos(n+2)θ-2cosθcos(n+1)θ+cosnθ=0.'
A. ...
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Join our DiscordQ.23
'Explique as propriedades das integrais definidas de funções pares e ímpares.'
A. ...
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Join our DiscordQ.25
'Função Periódica com Período 4\nPara uma função \\( f(x) \\), se existe uma constante não nula \ p \ tal que a equação \\( f(x+p)=f(x) \\) é verdadeira para todos os valores de \ x \, então \\( f(x) \\) é chamada de função periódica com período \ p \. Neste caso, uma vez que \\( f(x+2p)=f(x+3p)=\\cdots =f(x) \\), os períodos \ 2p, 3p, \\cdots \ também são períodos válidos, e existem infinitos períodos para uma função periódica.\n\nProblema: Calcular o período da função \\( y = \\cos(5\\theta) \\).'
A. ...
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Join our DiscordQ.27
'Problema para encontrar a solução da desigualdade do triângulo'
A. ...
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Join our DiscordQ.28
'Resolva a seguinte equação. Além disso, encontre a solução geral. (4) sinθ=-1'
A. ...
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Join our DiscordQ.29
'Propriedades e gráficos das funções trigonométricas'
A. ...
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Join our DiscordQ.31
'Pratique desenhar os gráficos das seguintes funções. Além disso, determine seus períodos.'
A. ...
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Join our DiscordQ.32
'(4) Dada a equação , temos , e . Portanto, , que simplifica para . Isso nos dá . Como , sempre temos . Assim, , significando que . Como , temos '
A. ...
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Join our DiscordQ.33
'Encontre o valor de uma constante m de forma que as áreas das duas formas cercadas pela curva y=x^{3}-6x^{2}+9x e pela linha y=mx sejam iguais. Aqui, 0<m<9.'
A. ...
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Join our DiscordQ.35
'Reflexão... explica horizontalmente as características das soluções aprendidas em vários exemplos. Ao entender os pontos-chave para julgar as soluções, pode aprofundar a compreensão.'
A. ...
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Join our DiscordQ.36
'Quando \ \\theta=\\frac{\\pi}{6}, \\frac{5}{6} \\pi \, o valor máximo é \ \\frac{1}{4} \; quando \ \\theta=\\frac{3}{2} \\pi \, o valor mínimo é -2'
A. ...
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Join our DiscordQ.37
'Expressar o valor máximo de ¥( y=cos ^{2} θ+a sin θ(−π/3 ≤ θ ≤ π/4 )) ¥ em termos de ¥( a) ¥.'
A. ...
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Join our DiscordQ.38
'Encontre os valores máximo e mínimo da função y=2\\tan^{2}\\theta+4\\tan\\theta+1 (-\\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\frac{\\pi}{2}). Além disso, encontre o valor de θ nesse momento.'
A. ...
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Join our DiscordQ.39
'Mantendo l constante, varie θ. Assumindo que tan θ = t, expresse a expressão r / (1 + cos 2θ) como uma função de t e encontre seu valor máximo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.40
'O valor máximo é \\frac{5}{3} em x=-1, e o valor mínimo é -9 em x=3'
A. ...
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Join our DiscordQ.42
'Gráficos de várias funções trigonométricas\nNas funções trigonométricas, considere a relação entre as formas básicas y=sinθ, y=cosθ, y=tanθ.\n\nQuestão: Explique como o gráfico da função y=2sin(3θ) é ampliado ou comprimido ao longo do eixo θ e transformado ao longo do eixo y.'
A. ...
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Join our DiscordQ.43
'Assuntos Básicos\n1. Gráficos de Funções Trigonométricas\n(1) Gráfico de y=sin θ\n(2) Gráfico de y=cos θ\nθ é um número real, -1 ≤ y ≤ 1\n\n(3) Gráfico de y=tan θ\nθ ≠ π/2+nπ (n é um inteiro), y assume todos os valores reais. A linha θ=π/2+nπ (n é um inteiro) é uma assíntota.\n\nComo aprendido em D. 216, considerando um ponto P(x, y) na circunferência do círculo unitário e o ponto de interseção da reta x=1 e a reta OP como T(1, m). Deixe o ângulo que representa o raio OP ser θ\n\nsin θ=y, cos θ=x, tan θ=m\n\nAo utilizar isso, é possível traçar os gráficos das funções y=sin θ, y=cos θ, y=tan θ. Os gráficos de y=sin θ e y=cos θ são chamados de curvas senoidais, e o gráfico de y=tan θ é chamado de curva tangente. Além disso, com relação ao eixo vertical (eixo y), no gráfico de y=f(θ), o eixo horizontal é referido como eixo θ. Além disso, quando uma curva se aproxima de uma linha reta, essa linha é conhecida como a assíntota da curva.'
A. ...
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'Exemplo 164 y=\\sqrt{3} \\sin \\theta \\cos \\theta + \\cos ^{2} \\theta \\rightarrow y=\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sin 2\\theta}{2} + \\frac{1+\\cos 2\\theta}{2} = \\frac{1}{2} \\left(\\sqrt{3} \\sin 2 \\theta + \\cos 2 \\theta\\right)+\\frac{1}{2}\\'
A. ...
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'Encontre o valor máximo, mínimo e os valores correspondentes de x para a função y = 2sin² xcosx - cosx cos2x + 6cosx quando 0 ≤ x ≤ 3/4π.'
A. ...
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'Encontre o valor mínimo de tan(x + y) + tan(x - y). [Condições] [0 < x < π/2, 0 < y < π/2].'
A. ...
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Join our DiscordQ.51
'Exemplo 159 \\sin 2 \\theta+\\sin 3 \\θ \\theta=0 \\rightarrow 2 \\sin 3 \\θ+\\sin 3 \\theta=0 \\rightarrow \\sin 3 \\theta \\left(2 \\cos \\theta+1 \\right)=0'
A. ...
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'Encontre os valores específicos das soluções para a equação f(x) = cos 2x (0 ≤ x ≤ π)'
A. ...
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Join our DiscordQ.54
'Prove a seguinte equação seguindo os mesmos passos.'
A. ...
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Join our DiscordQ.57
'Prática (1) Encontre a equação da reta tangente desenhada do ponto (3,4) para a parábola y=-x^{2}+4x-3.'
A. ...
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'Quando a inclinação da tangente no ponto (a, b) na hipérbole x^2-4y^2=4 é m, responda às seguintes perguntas. Assuma que b ≠ 0.'
A. ...
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Join our DiscordQ.60
'Encontre a primeira e segunda derivada da função inversa g(x) de (2) y=cos(x)(π<x<2π).'
A. ...
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Join our DiscordQ.61
'Encontre a magnitude da velocidade e aceleração do ponto P, cujas coordenadas no plano cartesiano no tempo t são dadas pelas seguintes equações: x=3sin(t)+4cos(t), y=4sin(t)-3cos(t)'
A. ...
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Join our DiscordQ.62
'Determine o valor da constante a de modo que o valor máximo da função f(x)=\\frac{a \\sin x}{\\cos x+2}(0 \\leqq x \\leqq \\pi) seja \\sqrt{3}.'
A. ...
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Join our DiscordQ.64
'Para (0<x<π), as curvas C1: y=2sinx e C2: y=k-cos2x têm uma reta tangente comum ℓ no ponto P. Encontre o valor da constante k e as coordenadas do ponto P.'
A. ...
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'Para coordenadas polares, encontre as equações do seguinte círculo e linha. ②67\n(1) Um círculo com centro no ponto A(3, π/3) e raio 2\n(2) Passando pelo ponto A(2, π/4), e a linha OA perpendicular ao polo O, com as coordenadas polares do ponto P na figura como (r, θ).\n(1) Em △OAP, aplicando a regra do cosseno obtemos AP²=OP²+OA²-2OP⋅OA⋅cos∠AOP\nOP=r, OA=3, AP=2\n∠AOP=|θ-π/3|\nPortanto, r²+9-2⋅r⋅3⋅cos(θ-π/3)=4\nque simplifica para r²-6⋅r⋅cos(θ-π/3)+5=0\n(2) Como △OAP é um triângulo retângulo, OP⋅cos∠AOP=OA\nOP=r, OA=2, ∠AOP=|θ-π/4|'
A. ...
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'A curva C é representada usando o parâmetro t como x=2(t+1/t+1), y=t-1/t. Encontre a equação da curva C e esboce sua forma aproximada. [Universidade de Tsukuba] DICA: Concentre-se em (t+1/t)^2-(t-1/t)^2=(constante).'
A. ...
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Join our DiscordQ.69
'Prove as seguintes propriedades das funções trigonométricas: \\(\\sin(-\\theta) = -\\sin\\theta \\), \\( \\cos(-\\theta) = \\cos\\theta \\), \\( \\tan(-\\theta) = -\\tan\\theta \\)'
A. ...
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Join our DiscordQ.71
'Encontre os valores ou intervalos de a que satisfazem as seguintes condições para a função f(x) = (x+1)/(x^2+2x+a):\n1) f(x) tem um extremo local em x=1.\n2) f(x) tem um extremo local.'
A. ...
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Join our DiscordQ.73
'Para a>0, seja V(a) o volume do sólido formado pela rotação da região cercada pela curva y=a^2 x+1/a sin x e a reta y=a^2 x em torno do eixo x no intervalo 0 ≤ x ≤ π. (1) Expressar V(a) em termos de a. (2) Determinar o valor de a que minimiza V(a).'
A. ...
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Join our DiscordQ.74
'Pratique encontrar a derivada parcial dy/dx como uma função de t e θ quando a função x de y é representada pelas seguintes equações: (1) {x=2t^3+1, y=t^2+t}, (2) {x=sqrt(1-t^2), y=t^2+2}, (3) {x=2cosθ, y=3sinθ}, (4) {x=3cos^3θ, y=2sin^3θ}'
A. ...
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Join our DiscordQ.76
'Prática: Investigar a continuidade das seguintes funções.'
A. ...
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Join our DiscordQ.77
'Seja a e b números reais positivos. Seja o gráfico y=a cos(x)(0≤x≤π/2) C_1, e o gráfico y=b sin(x)(0≤x≤π/2) C_2, com a interseção de C_1 e C_2 denotada como P.'
A. ...
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Join our DiscordQ.78
'Prova da fórmula de recorrência para a integral indefinida de \ \\sin ^{n} x \'
A. ...
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Join our DiscordQ.79
'Prove que a equação f(x)=x^{2} tem pelo menos 2 soluções de números reais no intervalo 0<x<2 quando a função f(x) é contínua e f(0)=-1, f(1)=2, f(2)=3.'
A. ...
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Join our DiscordQ.80
'Prove que a função f(x) = ax + x cos x - 2 sin x tem exatamente um valor extremo entre π/2 e π. Dado que -1 < a < 1.'
A. ...
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Join our DiscordQ.81
'Passando pelo ponto (2,2), deixe ℓ ser uma linha com inclinação m (m ≠ 0) e a curva y=1/x ter dois pontos de interseção P(α, 1/α) e Q(β, 1/β), com o ponto médio de PQ como R(u, v). Deixe C ser a curva formada à medida que o ponto R se move com a mudança de m. (1) Encontre a equação da linha ℓ. (2) Expresse u e v em termos de m. (3) Determine a equação da curva C e esboce sua forma aproximada.'
A. ...
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Join our DiscordQ.82
'Os valores de x onde y^{\\prime}=0 dentro do intervalo de 0 \\leqq x \\leqq 2 \\pi são x=1 a partir de x-1=0 e x=0, \\pi, 2 \\pi a partir de \\sin x=0'
A. ...
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Join our DiscordQ.83
'Quais são as condições para uma função ter inversa? Que condições são necessárias para uma função fracionária?'
A. ...
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Join our DiscordQ.85
'Prove que para uma função contínua f(x) satisfazendo f(π-x)=f(x) para todos os números reais x, a equação ∫_{0}^{π}(x-π/2)f(x)dx=0 é válida. Além disso, use este resultado para encontrar a integral definida ∫_{0}^{π} x sin^3x/(4-cos^2x)dx.'
A. ...
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Join our DiscordQ.86
'Que tipo de curva é representada pelas seguintes equações para o ponto P(x, y)?'
A. ...
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'Utilize o teorema de De Moivre para provar as seguintes equações.'
A. ...
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Join our DiscordQ.88
'No triângulo ABC, deixe os tamanhos dos ângulos A e B serem denotados como α e β, e deixe os comprimentos dos lados opostos serem denotados como a e b, respectivamente. Prove que a desigualdade (b^2/a^2)<(1-cosβ)/(1-cosα)<(β^2/α^2) é válida quando 0<α<β<π.'
A. ...
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'Expresse a coordenada x da interseção de C₁ e C₂ como a e b em termos de sen t e cos t.'
A. ...
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'Seja a > 0. Considere uma catenária y=\\frac{a}{2}\\left(e^{\\frac{x}{a}}+e^{-\\frac{x}{a}}\\right). Seja A(0, a) um ponto fixo nessa curva, e seja P(p, q) um ponto na curva. Seja l o comprimento do arco de A para P, e seja S a área contida por essa curva, o eixo x, o eixo y e a linha x=p. Prove que S = al.'
A. ...
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'Matemática positiva 219 (1)\\[\egin{aligned} y^{\\prime} & =2 \\cos 2 x+2 \\cos x=2\\left(2 \\cos ^{2} x-1\\right)+2 \\cos x \\\\ & =2\\left(2 \\cos ^{2} x+\\cos x-1\\right)=2(\\cos x+1)(2 \\cos x-1) \\end{aligned}\\] Para 0 \\leqq x \\leqq 2 \\pi, os valores de x onde y^{\\prime}=0 são x=\\pi quando \\cos x=-1, x=\\frac{\\pi}{3} quando \\cos x=\\frac{1}{2}, e \\frac{5}{3} \\pi. A tabela de aumento e diminuição de y para 0 \\leqq x \\leqq 2 \\pi é a seguinte.'
A. ...
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'Que tipo de curva a equação polar representa? Responda em coordenadas retangulares. (a) '
A. ...
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Join our DiscordQ.93
'(1) \\( r^{2}-6 r \\cos \\left(\\theta-\\frac{\\pi}{3}\\right)+5=0 \\)'
A. ...
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'Pratique encontrar os comprimentos das seguintes curvas.'
A. ...
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Join our DiscordQ.95
'Encontre as equações das retas tangentes nos pontos P e Q nas seguintes curvas:'
A. ...
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"1. Movimento de um ponto em uma reta Um ponto P movendo-se na reta numérica, com sua coordenada no tempo t como x, é uma função de t. Seja essa função x=f(t): (1) Velocidade v = dx/dt = f'(t), aceleração α = dv/dt = d^2x/dt^2 = f''(t) (2) Velocidade |v|, magnitude da aceleração |α|"
A. ...
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'Para qualquer número real x, se x=a tan y é válido, onde y (-π/2 < y < π/2), e deixe y corresponder à função y=f(x), encontrar ∫[0, a] f(x) dx.'
A. ...
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'Por favor, explique a translação do gráfico da função radical y=√(a(x-p)) e y=√(ax+b).'
A. ...
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Join our DiscordQ.02
'Seja a um número real. Determine o intervalo de valores de a para que a função f(x) = ax + cos(x) + 1/2 sin(2x) não tenha nenhum valor extremo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.04
'Para a seguinte função definida para -1<x<1, responda às seguintes perguntas.'
A. ...
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Join our DiscordQ.11
'Sejam a, b, c, k constantes reais, onde a ≠ 0 e k ≠ 0. Para as duas funções f(x) = ax³ + bx + c e g(x) = 2x² + k, suponha que a equação da função composta g(f(x)) = f(g(x)) seja válida para todos os x. Encontre os valores de a, b, c e k.'
A. ...
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'Encontre a equação da reta tangente no ponto correspondente a θ=θ1 na curva representada pelas equações paramétricas x=f(t), y=g(t).'
A. ...
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'Seja a um número real positivo. No plano de coordenadas, seja S a área cercada pela curva y=sin x (0 ≤ x ≤ π) e pelo eixo x, e seja T a área cercada pela curva y=sin x (0 ≤ x ≤ π/2), pela curva y=a cos x (0 ≤ x ≤ π/2) e pelo eixo x. Encontre o valor de a de modo que S:T=3:1.'
A. ...
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'Determine o valor da constante a para que o valor máximo da função f(x)=\\frac{a \\sin x}{\\cos x+2}(0 \\leqq x \\leqq \\pi) seja \\sqrt{3}.'
A. ...
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Join our DiscordQ.15
'Encontre a equação da reta tangente à curva y=x+\\sqrt{x} com uma inclinação de \\frac{3}{2}.'
A. ...
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'Encontre a magnitude da velocidade e aceleração do ponto P no tempo t, quando as coordenadas do ponto P se movem no plano de coordenadas são dadas por x=4cos t, y=sin 2t e t=π/3.'
A. ...
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Join our DiscordQ.17
'Trace o contorno da curva representada pelas seguintes equações (não é necessário investigar a concavidade). (1) x=sin θ, y=cos 3 θ (2) x=(1+cos θ) cos θ, y=(1+cos θ) sin θ'
A. ...
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Join our DiscordQ.18
'Integrais definidas de funções pares e ímpares: Se \\( f(x) \\) é uma função par, então \\( \\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \\int_{0}^{a} f(x) dx \\). Se \\( f(x) \\) é uma função ímpar, então \\( \\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0 \\). As funções representadas por integrais definidas têm constantes \ a, b \.'
A. ...
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Join our DiscordQ.19
'Para a função y=|x|√(4−x), explique como y muda quando x<0 seguindo y=−x√(4−x). Além disso, crie uma tabela de variações.'
A. ...
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Join our DiscordQ.20
'Este é um problema sobre a taxa de variação de órbitas e ângulos.\nConsidere um círculo centrado na origem O com raio 5, o ponto Q roda ao longo da sua circunferência, e além disso, o ponto P roda ao longo de um círculo centrado em Q com raio 1. No tempo t, os ângulos formados por OQ, QP com a direção positiva do eixo x são t e 15t, respectivamente. Encontre \\frac{dω}{dt} para o ângulo ω entre OP e a direção positiva do eixo x.'
A. ...
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Join our DiscordQ.22
'Encontre o valor máximo do tamanho no tempo t quando as coordenadas (x, y) de um ponto móvel P no plano de coordenadas são { x=sin t y=(1/2)cos 2 t }.'
A. ...
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Join our DiscordQ.23
'Prove as seguintes equações usando o teorema de De Moivre.'
A. ...
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Join our DiscordQ.25
'Para o número real x e o número natural n que satisfazem 0 ≤ x ≤ 2π, seja Sn = ∑ (cos x - sin x)^k (k de 1 a n). Encontre o intervalo de x para o qual a sequência {Sn} converge e encontre o limite lim n→∞ Sn quando x está dentro desse intervalo.'
A. ...
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Join our DiscordQ.27
'Que tipo de curvas as seguintes equações polares representam? Responda usando equações de coordenadas cartesianas.'
A. ...
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Join our DiscordQ.28
'Encontre os valores máximos e mínimos das seguintes funções:'
A. ...
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Join our DiscordQ.29
'Esboce o contorno da curva PR (não é necessário considerar a concavidade).'
A. ...
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Join our DiscordQ.30
'Usando o teorema da adição, derive as seguintes fórmulas de ângulo duplo: 1. 2. 3. '
A. ...
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Join our DiscordQ.31
'Converter a equação dada em uma equação em coordenadas cartesianas e ilustrá-la.'
A. ...
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Join our DiscordQ.32
'Por favor, desenhe o gráfico de funções implícitas.'
A. ...
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Join our DiscordQ.33
'Encontre o intervalo de valores para k onde os gráficos das funções y=1/(x-1) e y=-|x|+k compartilham 2 ou mais pontos.'
A. ...
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Join our DiscordQ.34
'Qual é a curva representada pela equação polar r^2=a^2 cos 2θ (a>0)? Além disso, forneça a equação que representa essa curva em coordenadas retangulares.'
A. ...
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Join our DiscordQ.36
'(2) Encontre todas as retas tangentes da curva y=x*cos(x) que passam pelo ponto de origem.'
A. ...
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Join our DiscordQ.37
'Encontre a equação polar da 72ª curva\nPassando pelo ponto A com coordenadas polares (a, 0) e uma linha l perpendicular à linha inicial OX. Deixe a linha perpendicular do ponto P para l ser PH, onde a excentricidade é e = OP/PH\n(1) A locação de pontos P onde o valor é constante é uma curva de segunda ordem com O como um foco. Sua equação polar é r = ea/(1+e*cosθ)\nDeixe as coordenadas polares do ponto P na curva ser (r, θ), com OP = r\nDe (1) nós temos PH = r/e, e PH = a - r*cosθ\nPortanto r/e = a - r*cosθ, levando a (*)\n(*) representa elipses quando 0 < e < 1, parábolas quando e = 1, e hipérboles quando e > 1'
A. ...
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Join our DiscordQ.38
'16\n(1)\n\\[\n\egin{array}{l}\ny^{\\prime}=\\cos 2 x \\cdot(2 x)^{\\prime}=2 \\cos 2 x \\\\\ny^{\\prime \\prime}=2(-\\sin 2 x) \\cdot(2 x)^{\\prime} \\\\\n=-4 \\sin 2 x \\\\\n\\text { Portanto } y^{\\prime \\prime \\prime}=-4 \\cos 2 x \\cdot(2 x)^{\\prime} \\\\\n=-8 \\cos 2 x \\\\\n\\end{array}\n\\]'
A. ...
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'Exemplo básico 145 Equações polares → Equações cartesianas'
A. ...
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Join our DiscordQ.41
'Com base na equação polar da elipse (1), prove que os pontos R e S estão na elipse.'
A. ...
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Join our DiscordQ.42
'Encontre a área S cercada pelas seguintes curvas e linhas. (1) y=sin x, y=sin 3 x (0 ≤ x ≤ π)'
A. ...
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Join our DiscordQ.44
'Exemplo 53 | Curvas na Representação Paramétrica (1) Investigar que tipo de curva é desenhada pelo ponto P(x, y) quando as coordenadas são representadas pelas seguintes equações.'
A. ...
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Join our DiscordQ.45
'Encontre a equação da reta tangente no ponto correspondente aos valores dados de t nas seguintes curvas.'
A. ...
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'Encontre a representação paramétrica de um cicloide.'
A. ...
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Join our DiscordQ.47
'As coordenadas do ponto Q são (α+1/2sin2α, 0), representadas pelo ponto P(πt, 0). Se definirmos Q(X, 0), encontrar a fórmula para X. Além disso, mostre a fórmula para a velocidade v(t).'
A. ...
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Join our DiscordQ.49
'Utilize derivadas para aproximar os seguintes ângulos ou valores.'
A. ...
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Join our DiscordQ.50
'Quando as coordenadas (x, y) de um ponto P se movendo no plano de coordenadas como uma função do tempo t são dadas por x=\\frac{1}{2} \\sin 2t e y=\\sqrt{2} \\cos t, encontre o vetor de velocidade v, vetor de aceleração α e o valor mínimo de |v|.'
A. ...
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'Gráfico, domínio e alcance de funções irracionais'
A. ...
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Join our DiscordQ.52
'Investigue o aumento e a diminuição das seguintes funções, determine a concavidade e convexidade dos gráficos, analise as assíntotas e esboce o formato geral dos gráficos. (1) (2) (3) (4) '
A. ...
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'Um ponto P se move no plano de coordenadas PR com coordenadas (x, y), onde x = ωt - sinωt e y = 1 - cosωt como funções do tempo t (expressas como 2103). Encontre a velocidade do ponto P. Além disso, encontre a velocidade com que o ponto P se move mais rapidamente.'
A. ...
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'Procedimento para desenhar o contorno geral de vários gráficos'
A. ...
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'Determinando coeficientes de uma função a partir do tópico de área 157\nSeja r uma constante positiva. A coordenada x da interseção das duas curvas y=r sin x e y=cos x (0 ≤ x ≤ π/2) é denotada como α, e a área da figura envolvida por essas duas curvas e o eixo y é denominada como S.\n(1) Expressar S em termos de α.\n(2) Expressar sin^2α em termos de r sem usar α.\n(3) Encontrar o valor de r para o qual S=1/2.\n[Semelhante ao Instituto de Tecnologia de Osaka]\nBásico 152'
A. ...
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'Que curva a forma representada pelas seguintes equações desenha?'
A. ...
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'Quando A e B são intercambiáveis, AB=BA, então (AB)B=(BA)B=B(AB)\\ nPortanto, AB e B são intercambiáveis.'
A. ...
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'Prove que o bissetor do ângulo APB é perpendicular ao vetor de velocidade v, onde o ponto P(x, y) se move no plano xy no tempo t com coordenadas x=5cos(t), y=4sin(t) e velocidade v, e os pontos A(3, 0) e B(-3, 0) são tomados.'
A. ...
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Join our DiscordQ.61
'Exemplo 160 Curvas e Áreas com Variáveis Paramétricas (2)\nPela variável paramétrica t, x=2cos t-cos 2t, y=2sin t-sin 2t (0≤t≤π) representa a curva na figura à direita e a área S cercada pelo eixo x.'
A. ...
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Join our DiscordQ.63
'Encontre os números de página que contenham informações sobre o plano de coordenadas.'
A. ...
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Join our DiscordQ.66
'Prove que a equação x + sinx + 1 = 0 tem exatamente uma raiz real no intervalo (-π/2, 0).'
A. ...
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Join our DiscordQ.68
'Encontre a representação paramétrica da hipérbole.'
A. ...
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Join our DiscordQ.69
'(1) Investigar o comportamento crescente e decrescente de \\( f(x)=\\sin x-\\frac{2}{\\pi} x \\). (2) Utilizar o teorema do sanduíche. (3) Tomar o logaritmo natural.'
A. ...
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Join our DiscordQ.70
'Usando os vetores OA=(1,0), OB=(0,1) para representar o vetor OP.'
A. ...
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'Derivadas das funções trigonométricas, logarítmicas e exponenciais'
A. ...
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Join our DiscordQ.72
'Determine o valor da constante a para que o valor máximo da função f(x)=\\frac{a \\sin x}{\\cos x+2}(0 \\leqq x \\leqq \\pi) seja \\sqrt{3}.'
A. ...
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Join our DiscordQ.75
'Qual é o nome da curva representada pela equação polar r=αθ (θ≥0) quando a>0? Além disso, quais são as características dessa curva?'
A. ...
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Join our DiscordQ.76
'Como é chamada a curva representada por x = sin a t, y = sin b t, onde a e b são números racionais?'
A. ...
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Join our DiscordQ.78
'65 (1) \ \\frac{d y}{d x}=-\\tan \\theta \\\n(2) \ \\frac{d y}{d x}=\\frac{1+t^{2}}{2 t} \'
A. ...
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'Por favor, descreva as características da série de gráficos amarelos.'
A. ...
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Join our DiscordQ.80
'\ \\cos x=u \ , então, \ -\\sin x d x=d u \ , portanto'
A. ...
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'Como é chamada a curva representada pela equação polar r=a+b cos θ? Além disso, qual é o nome específico da curva quando a=b?'
A. ...
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'(3) \\( \\frac{\\sin \\left(\\sin \\frac{x}{\\pi}\\right)}{x}=\\frac{\\sin \\left(\\sin \\frac{x}{\\pi}\\right)}{\\sin \\frac{x}{\\pi}} \\cdot \\frac{\\sin \\frac{x}{\\pi}}{\\frac{x}{\\pi}} \\cdot \\frac{1}{\\pi} \\)\\nAqui, se \ \\sin \\frac{x}{\\pi}=t \, então quando \ x \\longrightarrow 0 \, \ t \\longrightarrow 0 \. Logo, \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin \\left(\\sin \\frac{x}{\\pi}\\right)}{\\sin \\frac{x}{\\pi}}=\\lim _{t \\rightarrow 0} \\frac{\\sin t}{t}=1 \\)'
A. ...
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"(1) Se então , portanto, a tabela de aumento/diminuição de y é a seguinte: \n x & \\cdots & -1 & \\cdots & 0 & \\cdots & 1 & \\cdots y' & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\hline y & \\searrow undefined \\nearrow & Máximo local & \\searrow undefined \\nearrow \nPortanto, tem um mínimo local de 0 em , um máximo local de 1 em e um mínimo local de 0 em ."
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'Portanto, deve ser satisfeito que \ \\sqrt{a^{2}+b^{2}}>1 \. Por outro lado, se \ \\sqrt{a^{2}+b^{2}}>1 \, então a curva \\( y=\\sqrt{a^{2}+b^{2}} \\sin (x+\\alpha) \\) e a reta \ y=1 \ se intersectam, e o sinal de \\( f^{\\prime}(x) \\) muda ao redor desses pontos de interseção. Assim, \\( f(x) \\) tem extremos. Portanto, a condição necessária é\n\\\sqrt{a^{2}+b^{2}}>1\\no que é equivalente a \ \\quad a^{2}+b^{2}>1 \'
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'Como encontrar o vetor de posição do ponto de interseção'
A. ...
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'Usando o teorema de De Moivre, prove as seguintes equações.'
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'Encontre o formato geral de uma hipérbole e derive a sua equação.'
A. ...
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'2π quando m=n=0, π quando m≠0 e m=-n, π quando m=n≠0, 0 quando m≠±n'
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'O gráfico de uma função fornece uma representação visual de suas características, então ao desenhar o contorno de um gráfico, é importante capturar suas características. Vamos considerar alguns pontos a serem observados ao desenhar gráficos, como pontos de inflexão e assíntotas, que não foram abordados em Matemática II.'
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'Prove as seguintes equações usando as fórmulas de adição:'
A. ...
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'Elimine o parâmetro t e expresse a representação paramétrica da elipse apenas em termos de x e y como x= a(1-t^2)/(1+t^2), y= 2 b t/(1+t^2) (a>0, b>0).'
A. ...
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'No plano de coordenadas x e y, em relação à reta y=x, vamos chamar a curva y=2/(x+1) de curva simétrica C1, e em relação à reta y=-1, vamos chamar a curva y=2/(x+1) de curva simétrica C2. Encontre todas as coordenadas dos pontos de interseção entre a assíntota da curva C2 e a curva C1 para ser □.'
A. ...
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'Considere a seguinte curva no plano de coordenadas representada pelo parâmetro t.'
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'Para as curvas representadas em forma paramétrica, elimine t e encontre as equações de x e y. (1) x=3t+1, y=2t-1 (2) x=t-1, y=t^{2}-2t'
A. ...
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'Movimento de um ponto e distância percorrida no plano de coordenadas\nO ponto P se move no plano xy, com suas coordenadas no tempo t representadas por x=t-sint, y=1-cost. Encontre a distância percorrida pelo ponto P de t=0 a t=π.'
A. ...
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'Quando o ponto P se move no plano de coordenadas, suas coordenadas (x, y) são representadas como funções do tempo t, onde x=sin(t) e y=1/2cos(2t). Encontre o vetor de velocidade v, vetor de aceleração α de P e o valor máximo de |v|.'
A. ...
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'Valores das funções trigonométricas num ângulo de 58 graus'
A. ...
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'Por favor, fale sobre a definição e inter-relação das funções trigonométricas.'
A. ...
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'Resolva a equação |x+1|+|x-3|=5 usando gráficos.'
A. ...
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'Qual é a condição para a seguinte equação quadrática ter duas soluções reais distintas? \\[\\sin^{2} \\theta-1 \\cdot(\\cos^{2} \\theta-\\sin \\theta)=0\\]'
A. ...
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'Exemplo Importante 94 | Teoria de Equações Envolvendo Razões Trigonométricas\nEncontre o intervalo de valores para a constante p para que a equação sin²θ - p cosθ - 2 = 0 tenha soluções no intervalo de 90° ≤ θ ≤ 180°. [Universidade de Soka]'
A. ...
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"120\nMatemática I\n(1) (Equação) \ =\\cos ^{2} \\theta+4 \\cos \\theta \\sin \\theta+4 \\sin ^{2} \\theta \\n\\[ \egin{aligned}\n& \\quad 4 \\cos ^{2} \\theta-4 \\cos \\theta \\sin \\theta+\\sin ^{2} \\theta \\\\= & 5 \\cos ^{2} \\theta+5 \\sin ^{2} \\theta=5\\left(\\sin ^{2} \\theta+\\cos ^{2} \\theta\\right) \\\\= & 5 \\cdot 1=5\n \\end{aligned} \\]\n(2) ' \\quad' (Equação) = \\( \\left(1+\\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}+\\frac{1}{\\cos \\theta}\\right) \\left(1+\\frac{\\cos \\theta}{\\sin \\theta}-\\frac{1}{\\sin \\theta}\\right) \\)\n\\[ \egin{array}{l}\n=\\frac{\\cos \\theta+\\sin \\theta+1}{\\cos \\theta} \\cdot \\frac{\\sin \\theta+\\cos \\theta-1}{\\sin \\theta} \\\n=\\frac{(\\sin \\theta+\\cos \\theta)^{2}-1}{\\sin \\theta \\cos \\theta} \\\n=\\frac{\\left(\\sin ^{2} \\theta+\\cos ^{2} \\theta+2 \\sin \\theta \\cos \\theta\\right)-1}{\\sin \\theta \\cos \\theta} \\\n=\\frac{2 \\sin \\theta \\cos \\theta}{\\sin \\theta \\cos \\theta}=2\n \\end{array} \\]"
A. ...
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'Usando o diagrama à direita, encontre os seguintes valores.'
A. ...
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'Encontre os valores máximo e mínimo da função y=sin²θ-cosθ quando 0° ≤ θ ≤ 180°. Também, determine os valores de θ correspondentes.'
A. ...
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'90 cadernos p.181 (1) sin^2θ=1−cos^2θ, então 4(1−cos^2θ)−4cosθ−1=0. Simplificando, obtemos 4cos^2θ+4 cosθ−3=0. Portanto, (2cosθ−1)(2cosθ+3)=0, no intervalo 0°<θ<90°, onde 0<cosθ<1, assim 2cosθ+3 ≠ 0. Logo, 2cosθ−1=0, o que implica cosθ=1/2. Resolvendo para θ, obtemos θ=60°. (2) A partir de 3 tanθ=2cosθ, temos 3•sinθ/cosθ=2cosθ, o que resulta em 2cos^2θ−3sinθ=0. Dado que cos^2θ=1−sin^2θ, temos 2(1−sin^2θ)−3sinθ=0. Eliminando cosθ e expressando em termos de sinθ. Preste atenção ao intervalo de t. Expressar em um único sin. Neste ponto, cosθ≠0, então multiplicamos ambos os lados por cosθ para simplificar. Expressar em um único sin.'
A. ...
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Encontre a equação polar do círculo cujo centro A tem coordenadas polares \( \left(2, rac{\pi}{2}
ight) \) e raio 3.
A. ...
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Elimine o parâmetro e derive a equação padrão do círculo dado em forma paramétrica .
A. ...
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Encontre a equação polar de um círculo com centro em \( \left(3, rac{\pi}{6}
ight) \) e raio 2.
1. Seja \( (r, heta) \) as coordenadas polares de um ponto na figura.
2. Expresse a condição que o ponto P satisfaz em relação à figura como uma equação. Foque em usar a regra do cosseno em .
A. ...
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Que tipo de curva é representada pelas seguintes equações polares?
(1)
(2) heta=-rac{\pi}{6}
(3)
(4) \( r(\cos heta+\sqrt{3} \sin heta)=4 \)
A. ...
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Usando o teorema de De Moivre, derive as seguintes fórmulas de ângulo triplo relacionadas ao cosseno e ao seno. Fórmulas de ângulo triplo:
\cos 3 heta = 4 \cos ^{3} heta - 3 \cos heta
\sin 3 heta = 3 \sin heta - 4 \sin ^{3} heta
A. ...
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Converta a curva representada pela equação polar r=rac{3}{1+2 \cos heta} em coordenadas cartesianas na forma de uma equação em e .
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(1) \( \left(\cos \frac{\pi}{12}+i \sin \frac{\pi}{12}\right)^{6} \)
\[
egin{aligned}
\left(\cos \frac{\pi}{12}+i \sin \frac{\pi}{12}\right)^{6} & =\cos \left(6 \times \frac{\pi}{12}\right)+i \sin \left(6 \times \frac{\pi}{12}\right) \& =\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2} \& =i\n\end\n\]
A. ...
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Que tipo de curvas são representadas pelas seguintes equações paramétricas?
(1) x=rac{2}{1+t^{2}}, \quad y=rac{2 t}{1+t^{2}}
(2) x=t+rac{1}{t}, y=t^{2}+rac{1}{t^{2}}, \quad t > 0
A. ...
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Converta as curvas expressas pelas seguintes equações polares para equações em coordenadas cartesianas e responda.
(1) r=rac{4}{1-\cos heta}
(2) r=rac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3} \cos heta}
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Expresse as curvas representadas pelas seguintes equações polares em coordenadas cartesianas .
(a)
(b) \( r^{2}\left(1+3 \cos ^{2} heta
ight)=4 \)
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(6) Seja \( x=\sin heta+\cos heta \cdots \cdots (1) \), \( y=\sin heta-\cos heta \cdots \cdots (2) \).
De (1)+(2) , temos \sin heta=rac{x+y}{2} , e de (1)-(2) , temos \cos heta=rac{x-y}{2} .
Substituindo estes em , temos
\[\left(rac{x+y}{2}
ight)^{2}+\left(rac{x-y}{2}
ight)^{2}=1\]
Simplificando, obtemos , portanto, o círculo .
A. ...
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Encontre a representação paramétrica da hipérbole. Expresse os pontos da hipérbole rac{x^{2}}{a^{2}}-rac{y^{2}}{b^{2}}=1 em forma paramétrica.
A. ...
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Resuma as representações paramétricas das seções cônicas e explique como eliminar os parâmetros para cada tipo de curva.
A. ...
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Quais formas são representadas pelas seguintes equações paramétricas? (1) (2) (3)
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Que tipo de transformação representa multiplicar pelo número complexo \( r(\cos heta+i \sin heta) \)?
A. ...
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Um matemático \n(2) de \nSubstituindo em (1) obtemos \( \quad y^{2}=6(2 y-6) \)\nAssim \nAssim, de \( (y-6)^{2}=0 \) \nNeste ponto, de (4), \nPortanto, tem um ponto de contato \( (6,6) \).\n(3) Substituir (2) em 11\n4 x^{2}-(2 x+1)^{2}=4\nAssim, de \nx=-\frac{5}{4}\nNeste ponto, de (2), \nPortanto, tem um ponto de interseção \( \left(-\frac{5}{4},-\frac{3}{2}\right) \).\n- Prosseguir com o método para eliminar pode evitar frações.\n também tem uma solução dupla.\nEliminar y de (1) e (2) deriva uma equação linear em termos de x.\n\longrightarrow (1) e (2) têm um ponto de interseção que não é um ponto de contato. Note que a linha (2) é uma das assíntotas da hipérbole (1), paralela à linha .
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Usando o teorema de De Moivre, derive as seguintes fórmulas de ângulo triplo para cosseno e seno.
Fórmulas de ângulo triplo
\cos 3 \theta=4 \cos ^{3} \theta-3 \cos \theta\]
\[\sin 3 \theta=3 \sin \theta-4 \sin ^{3} \theta