Funções Avançadas - Funções Trigonométricas e Suas Aplicações

'Exercício 8 III (2)'

'\ \\sin \\theta=x \ e \ -1 \\leqq x \\leqq 1 \, a equação é \ 1-2 x^{2}+2 k x+k-5=0 \ ou \ 2 x^{2}-2 k x-k+4=0 \ A condição requerida é que a equação quadrática \\( (*) \\) tenha pelo menos uma solução real no intervalo \ -1 \\leqq x \\leqq 1 \. Deixe \\( f(x)=2 x^{2}-2 k x-k+4 \\), e deixe o discriminante de \\( f(x)=0 \\) ser \ D \. 1] A condição para ambas as soluções estarem no intervalo \ -1<x<1 \ é que o gráfico de \\( y=f(x) \\) intersecte (incluindo o caso de tangência) com a parte do eixo \ x \ entre \ -1<x<1 \, e as seguintes condições (i)---(iv) ocorrem simultaneamente. (i) \ D \\geqq 0 \ (ii) \\( f(-1)>0 \\) (iii)\\( f(1)>0 \\) (iv) \ -1< \ eixo \ <1 \'

'Condições para a existência de soluções de equações trigonométricas'

'Encontre o período de y = \\sin k \\theta.'

'VERIFICAR 39 ⇒ Página 187 neste livro. (1) \\sin 105^\\circ=\\sin \\left(60^\\circ+45^\\circ\\right)=\\sin 60^\\circ \\cos 45^\\circ+\\cos 60^\\circ \\sin 45^\\circ=\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}+\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}\\cos 105^\\circ=\\cos \\left(60^\\circ+45^\\circ\\right)=\\cos 60^\\circ \\cos 45^\\circ-\\sin 60^\\circ \\sin 45^\\circ=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{6}}{4}\\tan 105^\\circ=\\tan \\left(60^\\circ+45^\\circ\\right)=\\frac{\\tan 60^\\circ+\\tan 45^\\circ}{1-\\tan 60^\\circ \\tan 45^\\circ}=\\frac{\\sqrt{3}+1}{1-\\sqrt{3} \\cdot 1}=\\frac{(\\sqrt{3}+1)^{2}}{1-3}=-2-\\sqrt{3}'

'Encontre os valores máximo e mínimo das seguintes funções. Note que o intervalo de θ é 0≤θ≤π. (1) y=sin 2θ+√3 cos 2θ (2) y=-4 sinθ+3 cosθ'

'Expressar y = 4sin²θ - 4cosθ + 1 em termos de cosθ.'

'(2) \\\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta=1 \ portanto, de \ 1-\\cos ^{2} \\theta=\\cos \\theta \ obtemos \\\sin ^{2} \\theta=\\cos \\theta\. \\[ \egin{array}{l} \\frac{\\sin ^{4} \\theta+\\cos ^{3} \\theta}{2 \\cos \\theta}=\\frac{(\\sin ^{2} \\theta)^{2}+\\cos ^{3} \\theta}{2 \\cos \\theta}=\\frac{\\cos ^{2} \\theta+\\cos ^{3} \\theta}{2 \\cos \\theta} \\\\=\\frac{\\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta}{2}=\\frac{1}{2} \\end{array} \\]'

'Dado f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x e g(x)=a x(x-2) (sendo a>1).'

'(1) Encontre todos os valores de $x$ que satisfazem a equação $\\sin 3 x=-\\sin x$.'

'Descubra o número de soluções reais de f(x)=x^{3}-3 x+1.'

'Exemplo de exercício 10 Funções trigonométricas e polinômios de Chebyshev'

'106 4 sin^4 α'

'Assuma que a função f satisfaça f((x+y)/2) ≤ (1/2){ f(x)+f(y)} para números reais x, y. Prove que a função f satisfaz f((x1+x2+...+xn)/n) ≤ (1/n){ f(x1)+f(x2)+...+f(xn)} para n números reais x1, x2, ..., xn.'

'Usando a medida em radianos, converta os seguintes ângulos para radianos.'

'Encontre o período da função y = tan kθ.'

'(2) 1 + tan^2 θ = 1/cos^2 θ leva a cos^2 θ = 1/(1+2^2) = 1/5 portanto cos θ = ±1/√5'

'Calcular funções trigonométricas com base nas seguintes condições. (1) π<θ<2π, portanto sin θ<0, assim sin^2 θ+cos^2 θ=1, então sin θ=-√(1-cos^2 θ)=-√(1-(12/13)^2)=-5/13 também, tan θ=sin θ/cos θ=(-5/13)÷(12/13)=-5/12'

'(1) A partir de sin3x = -sinx, temos 3sinx - 4sin^3x = -sinx, que simplifica para 4sinx(1+sinx)(1-sinx) = 0. Portanto, sinx = 0, ±1. Dado que 0 ≤ x ≤ 2π, obtemos x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π.'

'Questão 2: \\\sin x+ \\sin 2 x+\\sin 3 x+\\sin 4 x = \\text{O que}\'

'Usando radianos, converta os seguintes radianos para graus.'

'Radianos e Funções Trigonométricas\nEncontre o comprimento do arco e a área de um setor com raio r e ângulo central θ radianos.\nComprimento do arco: rθ\nÁrea: 12r^{2}θ'

'Prove as propriedades da integral definida de funções ímpares e pares:'

'Exemplo 47 | Gráficos de Funções Trigonométricas (1)\\nDesenhe os gráficos das seguintes funções.\\n(1) y=sin(θ-π/2)\\n(2) y=sinθ+1\\n(3) y=tan(θ+π/2)'

'Exemplo 98 | Equações e Desigualdades Trigonométricas (4)'

'Usando a fórmula de adição, encontre os seguintes valores.'

'Defina as funções trigonométricas sen θ, cos θ, tan θ de um ângulo geral θ no plano de coordenadas.'

'Exemplo de exercício 3 10 Funções Trigonométricas e Polinômios de Chebyshev (continuação)'

'Exemplo 55 | Fórmula de Adição de Tangentes de Três Ângulos'

'Resolver problemas envolvendo equações trigonométricas, desigualdades trigonométricas e encontrar valores máximos e mínimos de funções trigonométricas.'

'Exemplo 54 | Valores das Funções Trigonométricas (Teorema da Adição)'

'Ocurreu-me a ideia de usar coordenadas para representar formas num plano.'

'Encontre os valores máximo e mínimo de y=2sin ^{2}θ+3sinθcosθ+6cos ^{2}θ quando 0≤θ<2π.'

'O que é movimento circular uniforme?'

'Exemplo de exercício 10 Funções trigonométricas e polinômios de Chebyshev (continuação) Para encontrar o polinômio de 5º grau de cos 5θ'

'Exemplo 97 | Equação trigonométrica (usando fórmulas de soma e produto)'

'Prove a seguinte identidade trigonométrica:\n\n(4) \\\cos 20^\\circ \\cos 40^\\circ \\cos 80^\\circ\'

'Considerei usar um número infinito de funções trigonométricas para representar uma função periódica.'

'(1) Para qualquer ângulo θ, traçar a região no plano xy consistindo de pontos (x, y) que satisfazem -2≤xcosθ+ysinθ≤y+1, e determinar sua área. (2) Para quaisquer ângulos α, β, traçar a região no plano xy consistindo de pontos (x, y) que satisfazem -1≤x²cosα+ysinβ≤1, e determinar sua área. [Universidade Hitotsubashi]'

'Investigue o máximo e o mínimo das funções trigonométricas na equação dada e resolva os problemas, incluindo aplicações à geometria.'

'Funções trigonométricas e polinômios de Chebyshev'

'(3) A partir de $\\sin \\theta +\\sin ^{2} \\theta=1$, temos $1-\\sin ^{2} \\theta=\\sin \\theta$, portanto $\\cos ^{2} \\theta=\\sin \\theta$. Substituindo na equação $\\cos ^{2} \\theta+2 \\cos ^{4} \\theta=\\cos ^{2} \\theta+2(\\cos ^{2} \\theta)^{2}=\\sin \\theta+2 \\sin ^{2} \\theta=\\sin \\theta+2(1-\\sin \\theta)=2-\\sin \\theta \\ldots 1$. A partir de $\\sin \\theta +\\sin ^{2} \\theta=1$, obtemos $\\sin ^{2} \\theta+\\sin \\theta-1=0$, ao resolver, obtemos $\\sin \\theta=\\frac{-1 \\pm \\sqrt{5}}{2}$. Dado que $-1 \\leq \\sin \\theta \\leq 1$, encontramos $\\sin \\theta=\\frac{-1+\\sqrt{5}}{2}$ (1), substituindo encontramos $\\cos ^{2} \\theta+2 \\cos ^{4} \\theta=2-\\frac{-1+\\sqrt{5}}{2}=\\frac{5-\\sqrt{5}}{2}$.'

None

'(2) \\sin 15 ^ {\\circ} = \\sin \\left(60 ^ {\\circ} -45 ^ {\\circ} \\right) = \\sin 60 ^ {\\circ} \\cos 45 ^ {\\circ} - \\cos 60 ^ {\\circ} \\sin 45 ^ {\\circ} = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} - \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{2}}{4} \\cos 15 ^ {\\circ} = \\cos \\left(60 ^ {\\circ} -45 ^ {\\circ} \\right) = \\cos 60 ^ {\\circ} \\cos 45 ^ {\\circ} + \\sin 60 ^ {\\circ} \\sin 45 ^ {\\circ} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4} \\tan 15 ^ {\\circ} = \\tan \\left(60 ^ {\\circ} -45 ^ {\\circ} \\right) = \\frac{\\tan 60 ^ {\\circ} - \\tan 45 ^ {\\circ}}{1+\\tan 60 ^ {\\circ} \\tan 45 ^ {\\circ}} = \\frac{\\sqrt{3}-1}{1+\\sqrt{3} \\cdot 1} = \\frac{(\\sqrt{3}-1)^{2}}{\\sqrt{3}+1)(\\sqrt{3}-1)} = \\frac{3-2\\sqrt{3}+1}{3-1} = 2-\\sqrt{3}'

'Exemplo de exercício 10 Funções trigonométricas e polinômios de Chebyshev (continuação)'

'Exemplo 50 => Página 180\n(1) é o gráfico de y=cosθ traduzido simetricamente sobre o eixo θ. O gráfico é mostrado à direita. Além disso, o período é 2π.'

'A partir da condição, tan𝛼+tan𝛽+tan𝛾=tan𝛼tan𝛽tan𝛾'

'Seja α e β os ângulos formados entre as duas retas e a direção positiva do eixo x, respectivamente. O ângulo agudo θ que procuramos é quando tanα=√3/2 e tanβ=-3√3. Portanto, tanθ=tan(β-α)=(-3√3-√3/2)÷{1+(-3√3)∙√3/2}=√3. Como 0<θ<π/2, então θ=π/3'

'124\n—Matemática II\n(2) Lado esquerdo = \\ frac {\\ cos \\ theta(1- \\ sin \\ theta) + \\ cos \\ theta(1+ \\ sin \\ theta)}{(1+ \\ sin \\ theta)(1- \\ sin \\ theta)}=\\ frac {2\\ cos \\ theta}{1- \\ sin ^{2} \\ theta} \\ frac {2\\ cos \\ theta}{\\ cos ^{2} \\ theta}=\\ frac {2}{\\ cos \\ theta} Portanto, \\ frac {\\ cos \\ theta}{1+ \\ sin \\ theta}+\\ frac {\\ cos \\ theta}{1- \\ sin \\ theta}=\\ frac {2}{\\ cos \\ theta}'

'(1) f(θ)=\\frac{1}{2} \\sin θ=\\frac{1}{2} \\sin (θ+2 \\pi)=f(θ+2 \\pi)\nPortanto, o período fundamental é 2 \\pi\n(2) f(θ)=\\cos (-2 θ)=\\cos (-2 θ-2 \\pi)=\\cos \\{-2(θ+ \\pi)\\}=f(θ+\\pi)\nPortanto, o período fundamental é \\pi'

'(4) \\[ \egin{aligned} \\sin x+\\sin 2 x+\\sin 3 x & =(\\sin 3 x+\\sin x)+\\sin 2 x \\\\ & =2 \\sin 2 x \\cos x+\\sin 2 x \\\\ & =\\sin 2 x(2 \\cos x+1) \\\\ \\cos x+\\cos 2 x+\\cos 3 x & =(\\cos 3 x+\\cos x)+\\cos 2 x \\\\ & =2 \\cos 2 x \\cos x+\\cos 2 x \\\\ & =\\cos 2 x(2 \\cos x+1) \\end{aligned} \\]'

'Traduzir o texto fornecido em vários idiomas.'

'Questão 145 Condições para uma função ter um extremo em um intervalo'

'Dada a equação \\[ \egin{array}{l} 2 \\cdot 2 \\sin \\theta \\cos \\theta-2 \\sin \\theta+2 \\sqrt{3} \\cos \\theta-\\sqrt{3}=0 \\\\ 2 \\sin \\theta(2 \\cos \\theta-1)+\\sqrt{3}(2 \\cos \\theta-1)=0 \\end{array} \\] Portanto, \\( (2 \\sin \\theta+\\sqrt{3})(2 \\cos \\theta-1)=0 \\) o que implica em \ \\sin \\theta=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\cos \\theta=\\frac{1}{2} \ Considerando \ 0 \\leqq \\theta<2 \\pi \, a partir de \ \\sin \\theta=-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \ obtemos \ \\theta=\\frac{4}{3} \\pi, \\frac{5}{3} \\pi \ e a partir de \ \\cos \\theta=\\frac{1}{2} \ obtemos \ \\theta=\\frac{\\pi}{3}, \\frac{5}{3} \\pi \\] Logo, as soluções são \\[ \\theta=\\frac{\\pi}{3}, \\frac{4}{3} \\pi, \\frac{5}{3} \\pi \'

'Resolver as seguintes equações e desigualdades.'

'Uma desigualdade que envolve funções trigonométricas é chamada de desigualdade trigonométrica, e resolver uma desigualdade trigonométrica envolve encontrar o intervalo de ângulos (solução) que satisfazem a desigualdade.'

'O gráfico é uma contração vertical pela metade da função y=tanθ. O gráfico à direita é a versão contraída. O período é π e a assíntota é a linha θ=π/2+nπ (n é um número inteiro).'

'Relações das funções trigonométricas'

'Usando as fórmulas de soma e de angulo duplo, prove as seguintes equações (fórmula do triplo ângulo).'

'Encontre os valores de θ que satisfazem as seguintes equações para 0≤θ<2π:'

'Resolver as seguintes equações e desigualdades para \0 \\leqq \\theta<2 \\pi\.'

'Explique as definições das funções trigonométricas seno, coseno e tangente.'

'Prove as seguintes relações trigonométricas com base na definição de -sin(θ): (i) tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) (ii) sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1 (iii) 1 + tan^2(θ) = 1 / cos^2(θ)'

'Considere a função y=sin x-cos 2 x(0 ≤ x <2π).'

'Como memorizar a fórmula de adição, ângulo duplo e fórmulas do meio ângulo'

'Domine as equações trigonométricas e conquiste o exemplo 123!'

'(1) \ \\cos \\theta=\\frac{12}{13} \\quad \ [Quadrante 4 \ ] \\n(2) \ \\tan \\theta=2 \\sqrt{2} \\quad \ [Quadrante 3]'

'Exemplo 5: Máximo e mínimo práticos de funções trigonométricas'

'Dado que α é um ângulo no segundo quadrante com sinα=3/5 e β é um ângulo no terceiro quadrante com cosβ=-4/5, encontre os valores de sin(α-β) e cos(α-β).'

'Prove a equação \\\frac{\\sin \\alpha+\\sin 2 \\alpha}{1+\\cos \\alpha+\\cos 2 \\alpha}=\\tan \\alpha\.'

'Domine o princípio da adição e conquiste o exemplo 130!'

'Ao substituir \2\\sin x=t\, obtemos \0 \\leq x<2 \\pi\, logo \-1 \\leq t \\leq 1\. Além disso, a partir da equação (1), temos \\ny = 2 t^2 + t - 1 = 2 (t^2 + \\frac{1}{2}t) - 1 = 2 (t + \\frac{1}{4})^2 - 2 (\\frac{1}{4})^2 - 1 = 2 (t + \\frac{1}{4})^2 - \\frac{9}{8}\\n\ =t\. Preste atenção à gama de variação de \t\. Converta a equação quadrática para a forma padrão. Portanto, \y\ assume o valor máximo de 2 quando \t=1\ e o valor mínimo de \-\\frac{9}{8}\ quando \t=-\\frac{1}{4}\.'

'Resolver as seguintes equações e desigualdades para 0≤θ<2π. (1) sin(2θ-π/3) = √3/2 (2) sin(2θ-π/3) < √3/2'

'Equações que são verdadeiras para funções trigonométricas, onde n é um número inteiro.'

'Encontre os valores máximo e mínimo das seguintes funções.'

'Máximo e mínimo de funções trigonométricas (usando t=sinθ+cosθ)'

'Resolva as seguintes equações e desigualdades para 0 ≤ θ < 2π.'

'Encontre os valores máximo e mínimo das funções e seus respectivos valores de θ. (1) y=sin ^{2}θ+cosθ+1 (0≤θ<2π) (2) y=3sin^{2}θ-4sinθcosθ-1/cos^{2}θ (0≤θ≤π/3)'

'Gráfico de Funções Trigonométricas (3) ... Escala e Translação'

'Encontre o valor máximo, o valor mínimo e os valores correspondentes de θ da função y=7sin^2θ-4sinθcosθ+3cos^2θ(0 ≤ θ ≤ π/2).'

'Equações e desigualdades envolvendo funções trigonométricas (substituição)'

'Explique a extensão das razões trigonométricas para as funções trigonométricas, e forneça as definições do senoθ, cossenoθ, tangenteθ para um ângulo geral θ.'

'Encontre o ângulo formado por duas linhas usando a fórmula de adição de tangente (tan)'

'A figura acima mostra os gráficos de (1) y=a sin bθ e (2) y=a cos bθ. Encontre os valores das constantes a e b. Note que a>0, b>0.'

'Relações interpessoais das funções trigonométricas'

'Fórmulas de ângulo duplo e metade do ângulo juntamente com valores trigonométricos'

'Encontre os valores máximos e mínimos da função y = 3sinθ-2sin³θ (0 ≤ θ ≤ 7/6π), e os valores correspondentes de θ.'

'Encontre os valores de theta que satisfazem as seguintes equações.'

'Encontre os valores de θ que satisfazem as seguintes equações para 0 ≤ θ < 2π.'

'Equações e desigualdades envolvendo funções trigonométricas (usando composição)'

'Usando as três fórmulas de adição com β=α: (1) Calcule o seguinte usando as fórmulas: (a) sin 2α (b) Fornecer outra expressão para cos 2α: cos^2α - sin^2α, 2 cos^2α - 1, 1 - 2 sin^2α (c) tan 2α (2) Substituir todos os valores por θ/2 e calcular: (a) sin^2(θ/2) (b) cos^2(θ/2) (c) tan^2(θ/2)'

'Encontre os valores máximo e mínimo da função y=√3sinθ-cosθ (0≤θ<2π) e seus valores correspondentes de θ. Além disso, faça o gráfico da função.'

'Máximo e mínimo de funções trigonométricas (utilizando composição)'

'Equação envolvendo funções trigonométricas (usando sin^2θ + cos^2θ = 1)'

'Os tamanhos dos ângulos das funções trigonométricas aprendidas até agora, como \ \\sin \\theta, \\cos \\theta \, são representados usando unidades de graus como \ 30^{\\circ}, 360^{\\circ} \. Isso é conhecido como o sistema de graus onde 1 grau é igual a \ \\frac{1}{90} \ de um ângulo reto.'

'Na trigonometria, existem fórmulas para transformar o produto do seno e cosseno em soma e diferença, e vice-versa.'

'Sistema de desigualdades envolvendo funções trigonométricas'

'Derive a expressão após dividir 3 sin² θ - 4 sin θ cos θ - 1 por cos² θ, e encontre os valores máximo e mínimo no intervalo 0 ≤ θ ≤ π/3.'

'Para a função f(x) = sin(2x) − 2 sin(x) − 2 cos(x) + 1 (0 ≤ x ≤ π)'

'Quando x > 1, visto que 4(x²-1) > 0 e 1/(x²-1) > 0, podemos concluir a seguinte desigualdade com base na média aritmética ser maior ou igual à média geométrica. 4(x²-1)+1/(x²-1)+4 ≥ 2√(4(x²-1)・1/(x²-1))+4 = 8. Portanto, 4x² +1/((x+1)(x-1)) ≥ 8, com igualdade quando 4(x²-1)=1/(x²-1). Nesse caso, (x²-1)²=1/4. Como x > 1, x²-1=1/2, o que significa que x²=3/2, então x=√(3/2)=√6/2. Assim, o valor mínimo de 4x² + 1/((x+1)(x-1)) é 8, com x igual a 2√(3/2) = √(6)/2.'

'Resolver as seguintes desigualdades para 0 ≤ θ < 2π.'

'Exemplo básico 124 Resolva a seguinte equação para 0 ≤ θ < 2π: 2sin²θ + cosθ - 1 = 0'

'Prove as seguintes equações.'

'Usando a fórmula de adição, encontre os seguintes valores.'

'Se a função $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ tem um valor máximo de 0 em $x=1$ e o gráfico da curva $y=f(x)$ se assemelha à figura à direita,'

'(1) \\( \\cos \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{4}\\right)=-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\)\\n(2) \2 \\sin 2 \\theta>\\sqrt{3} \'

'Gráfico de funções trigonométricas e translação/escala'

'Resolver as seguintes equações trigonométricas.'

'Prove a seguinte equação.'

'Funções trigonométricas ao seu redor'

'Encontre os valores máximos e mínimos das seguintes funções e os valores correspondentes de θ.'

'Encontre os seguintes valores.'

'Sistema de desigualdades envolvendo funções trigonométricas'

'Qual dos seguintes gráficos não coincide com o gráfico de !ν dentro do intervalo de 0 a π? As opções de resposta são: (0) y = sin(2θ + π/2) (1) y = sin(2θ - π/2) (2) y = cos{2(θ + π)} (3) y = cos{2(θ - π)}'

'Transformação de expressões trigonométricas'

'Máximo e mínimo das funções trigonométricas (reduzindo a funções quadráticas)'

'Fundamentos dos radianos, comprimento do arco e área de um setor'

'Encontre os valores máximos e mínimos da função y=3sinθ+4cosθ.'

'Gráfico da Função Trigonométrica (1) - Ampliar/Reduzir'

'Quando 0 ≤ θ ≤ π e sinθ+cosθ=√3/2, encontre o valor da seguinte expressão.'

'Desigualdade envolvendo funções trigonométricas (usando sin^2θ + cos^2θ = 1)'

'Prove as fórmulas de duplo ângulo.'

'Calcular a área cercada pela curva y=|x^2-1| e a reta y=3.'

'Prove que \ \\sin 3 \\alpha = 3 \\sin \\alpha - 4 \\sin ^{3} \\alpha \.'

'Diz-se que sentir que estudar é divertido é importante, mas por que essa mentalidade afeta a memória?'

'Explique a diferença entre mudança física e mudança química.'

'Encontre o valor de sin(45 graus).'

'(1) No exemplo acima, calcule a magnitude da aceleração do ponto P.'

'Encontre a equação polar da curva \\( \\left(x^{2}+y^{2}\\right)^{3}=4 x^{2} y^{2} \\). Além disso, esboce a forma geral dessa curva, considerando a origem \ \\mathrm{O} \ como o polo e a parte positiva do eixo \ x \ como a linha inicial.'

'Por favor descreva as características do gráfico de y=√(ax) (onde a ≠ 0).'

'Pontos a considerar ao esboçar o contorno de um gráfico de função'

'\\[\\left(\\sin ^{-1} x\\right)^{\\prime}=\\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}}(-1<x<1)\\]'

'Dado que a>0, seja f(x)=\\sqrt{a x-2}-1 (x \\geqq \\frac{2}{a}) a função. Encontre o intervalo de valores de a quando o gráfico da função y=f(x) e seu inverso y=f^{-1}(x) compartilham dois pontos distintos.'

'Pontos chave no método de integração por substituição'

'Encontre a equação da curva C2 obtida rotacionando a curva C1: 3x^2+2\\sqrt{3}xy+5y^2=24 no sentido anti-horário por π/6 radianos em torno da origem.'

'Considere a mudança nos valores da função, máximo e mínimo, curva C: {x=sin(θ) cos(θ), y=sin^3(θ) + cos^3(θ)} (-π / 4 ≤ θ ≤ π / 4).'

'Por que é possível calcular as integrais definidas $\\int_{0}^{\\sqrt{2}} \\frac{d x}{x^{2}+2}$ e $\\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\sqrt{a^{2}-x^{2}} d x$ com sucesso ao substituir $x=\\sqrt{2} \\tan \\theta$ e $x=a \\sin \\theta$?'

'Encontre as assíntotas da função y = x + 1 + 1 / (x - 1).'

'Encontre o volume V do sólido obtido ao girar a área fechada pela curva x=tanθ, y=cos2θ (-π/2<θ<π/2) e o eixo x em torno do eixo x uma vez.'

'Usando a fórmula de Euler, expresse as funções trigonométricas como funções exponenciais e derive as seguintes equações.'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas.'

'Expresse as curvas representadas pelas seguintes equações polares em coordenadas retangulares.'

'\\(\\left(\\cos ^{-1} x\\right)^{\\prime}=-\\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}}(-1<x<1)\\)'

'Básico 2: Translação e Determinação de Funções Fracionárias'

'Quando o gráfico da função $y=\x0crac{2 x+c}{a x+b}$ passa pelo ponto $(-2, \x0crac{9}{5})$ e tem as duas retas $x=-\x0crac{1}{3}$, $y=\x0crac{2}{3}$ como assíntotas, encontre os valores das constantes $a, b, c$.'

'Prove que, para um ponto P(x, y) que se move na circunferência de uma elipse A x^{2}+B y^{2}=1 (A>0, B>0) com velocidade 1, as seguintes declarações são verdadeiras.'

'Quando as coordenadas de um ponto P se movendo em um plano de coordenadas no tempo t são dadas pelas seguintes expressões, encontre a magnitude da velocidade e aceleração do ponto P.'

'Quando as coordenadas (x, y) do ponto móvel P no plano de coordenadas no tempo t são representadas como {x=sin t y=12 cos 2 t}, encontre o valor máximo da magnitude da velocidade de P.'

'Prove que a desigualdade \ b \\sin \\frac{a}{2}>a \\sin \\frac{b}{2} \ é válida quando \ 0<a<b<2\\pi \.'

'Quando o ponto P se move ao longo da reta numérica, sua coordenada x como função do tempo t é dada por x=2cos(πt+π/6), encontre a velocidade v e a aceleração α em t=2/3.'

'No plano de coordenadas com a origem O, considere a curva $C: \\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ onde o ponto P(1, $\\frac{\\sqrt{3}}{2}$) é tomado.'

'Prove que a equação f(x)=x^{2} tem pelo menos 2 soluções reais no intervalo 0<x<2 quando a função f(x) é contínua e f(0)=-1, f(1)=2, f(2)=3.'

'(1) \ \\sin 175^{\\circ} < \\sin 35^{\\circ} < \\sin 140^{\\circ} \'

'Seja 0°≤θ≤180°. Resolva a seguinte equação.'

''

'Seja 0° ≤ θ ≤ 180°. Resolva a seguinte equação.'

''

'Encontre o seno, cosseno e tangente dos seguintes ângulos.'

'Usando a tabela de razões trigonométricas no final, encontre os seguintes valores de θ.'

''

'No triângulo ABC, se sin A: sin B: sin C = 5: 16: 19, encontre a medida do maior ângulo neste triângulo.'

''

'Encontre as funções quadráticas representadas pelos seguintes gráficos.'

'Expresse as seguintes funções trigonométricas em termos de ângulos entre 0 graus e 90 graus. Além disso, encontre seus valores usando a tabela trigonométrica no final.'

'Usando a lei dos cossenos, encontramos o valor de a.'

''

'No triângulo ABC, se sinA: sinB: sinC = 3: 5: 7, encontre a razão de cosA: cosB: cosC. (Universidade Tohoku Gakuin)'

'Calcule as funções trigonométricas e mostre os resultados.'

'(1) \\sin 111^{\\circ}\\n(2) \\cos 155^{\\circ}\\n(3) \\tan 173^{\\circ}'

'Para 0° ≤ θ ≤ 180°, encontre o intervalo de θ que satisfaz as seguintes desigualdades.'

'No triângulo ABC, se pecado A: pecado B: pecado C = 5: 7: 8, então cos C = __.'

'Da figura (1) para P(-1, 1)'

'De 2sinθ = sqrt(2) para sinθ = 1 / sqrt(2). Os pontos P e Q no semicírculo com raio 1, onde a coordenada y é 1 / sqrt(2), são os pontos a considerar. O θ necessário é ∠AOP e ∠AOQ.'

'Extensão das razões trigonométricas: Encontre as razões trigonométricas quando o ângulo está no intervalo de 0° a 360°.'

'(4) Resolver a equação. Dado 0 ≤ θ ≤ 180°. Resolver a equação: √2 sinθ = tanθ'

'No triângulo ABC, se sin A:sin B:sin C = 3:5:7, encontre a proporção de cos A:cos B:cos C.'

'Explique a definição e as relações das razões trigonométricas. (1) Definição das razões trigonométricas (2) Relações das razões trigonométricas (3) Razões trigonométricas em ângulos especiais'

'Quando você usaria a página de Exemplos Extendidos e Exercícios?'

'Transformação de variáveis'

'Em exemplos que analisam o movimento de gráficos de funções e formas geométricas, que conteúdo digital pode ser usado para conectar imagens visuais com equações matemáticas para fins de aprendizado?'

'Resumo das funções trigonométricas'

'Regra do seno ou regra do cosseno?'

'Vamos rever a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos!'

'Em ordem, \\\\( \\cos 20^{\\circ}, \\\\ \\sin 10^{\\circ}, \\\\ \\frac{1}{\\tan 35^{\\circ}} \\\\\\\n'

'Explique a relação entre as condições necessárias e suficientes.'

'Aplicações de triângulos'

'Suplemento para o seno, cosseno e tangente de 0°, 90° e 180°\n\nQuando θ=0°, na fórmula de definição das razões trigonométricas com r=1 e o ponto P₀ com coordenadas (1,0),\nseno 0°=0, \ncosseno 0°=1, \ntangente 0°=0\n\nQuando θ=90°, na fórmula de definição das razões trigonométricas com r=1 e o ponto P₁ com coordenadas (0,1),\nseno 90°=1, \ncosseno 90°=0\n\nQuando θ=180°, na fórmula de definição das razões trigonométricas com r=1 e o ponto P₂ com coordenadas (-1,0),\nseno 180°=0, \ncosseno 180°=-1, \ntangente 180°=0'

'Usar tabelas trigonométricas para encontrar ângulos'

'Encontre o pecado θ do triângulo AED.'

'θ é a relação mútua das razões trigonométricas de 0° a 180°'

'Resolver o problema matemático'

'Encontre o valor do cosseno a partir da fórmula da razão do seno'

'A solução desejada é que uma vez que o gráfico da função y=|x^2-6x-7| intersecta ou está completamente acima do gráfico de y=2x+2,'

'Usando a Lei de De Morgan, forneça um exemplo específico com os conjuntos A, B e C.'

'(6) Razões trigonométricas-117'

'Traduza o texto dado para várias línguas.'

'No triângulo ABC, se sinA/sqrt(3)=sinB/sqrt(7)=sinC for verdadeiro, encontre a medida do maior ângulo.'

'Valor da identidade de simetria trigonométrica'

'Razões trigonométricas de 15 graus'

'(1) Usando a tabela trigonométrica, encontre os valores do seno, cosseno e tangente para 128°.\n(2) Seja sin 27° = a. Expresse o cosseno de 117° em termos de a.'

'θ (equação trigonométrica) que satisfaz a identidade trigonométrica'

'Prove que, para um triângulo ABC com os ângulos A, B e C, denominados como A, B e C, as seguintes equações são verdadeiras.'

'Regra do seno ou regra do cosseno?'

'Relações trigonométricas quando θ é um ângulo agudo'

'As duas seguintes equações também são válidas. \ \egin{\overlineray}{l} b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \\cos B \\\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \\cos C \\ \\end{\overlineray} \\] Resumindo isso como a regra do cosseno: \\[ \egin{\overlineray}{l} a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \\cos A \\\\ b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \\cos B \\\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \\cos C \\ \\end{\overlineray} \\] Prove as seguintes igualdades no triângulo ABC a partir da regra do cosseno. \\[ \\cos A = \\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} , \\quad \\cos B = \\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2 c a}, \\quad \\cosC = \\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b} \'

'Prove que as seguintes equações valem para os ângulos internos A, B, C do triângulo ABC:'

'Vamos rever o teorema do seno e o teorema do cosseno!'

'Encontre os valores das funções trigonométricas para ângulos obtusos'

'Resolver as equações: sen aθ = sen bθ, sen aθ = cos bθ'

'Explique como usar o livro para encontrar soluções.'

'Uma vez que $\\ frac { \\ pi} {6} <1 < \\ frac { \\ pi} {3}, \\ frac { \\ pi} {2} <2 < \\ frac {2} {3} \\ pi, \\ frac {5} {6} \\ pi <3 < \\ pi$, então $\\ frac {1} {2} < \\ sin 1 < \\ frac {\\ sqrt {3}} {2}, \\ frac {\\ sqrt {3}} {2} < \\ sin 2 <1,0 < \\ sin 3 < \\ frac {1} {2}$. Portanto, o valor positivo mínimo em $\\ sin 1, \\ sin 2, \\ sin 3, \\ sin 4$ é $\\ sin 3$, e o valor máximo é $\\ sin 2$.'

'Encontre os seguintes valores.'

''

'Vamos considerar a relação entre o movimento (trajetória) das xícaras de café em um parque de diversões e as funções trigonométricas. Quando o disco 1 completa uma rotação completa no sentido horário, enquanto o disco 2 com metade do raio completa duas rotações no sentido anti-horário, que tipo de trajetória o ponto C no disco 2 descreve?'

'Resolver as seguintes equações e desigualdades para 0 ≤ θ < 2π. (1) cos 2θ = √3 cosθ + 2 (2) sin 2θ < sinθ'

'Como desenhar o gráfico de uma função cúbica - criando uma tabela de crescimento e decrescimento'

'Máximo e mínimo das funções trigonométricas (1)'

''

'Prove a equação 1 + sin θ - cos θ / 1 + sin θ + cos θ = tan(θ/2).'

'Valor da função trigonométrica (1)'

'Usando a fórmula de adição, encontre os seguintes valores.'

'Capítulo 4 Funções Trigonométricas 195'

'Exemplo 128 Usando o Teorema da Adição'

'Encontre os valores máximo e mínimo da equação homogénea 1372 𝑓(𝜃)=sin^{2}𝜃+sin𝜃cos𝜃+2cos^{2}𝜃 (0≤𝜃≤𝜋/2).'

'Traduzir o texto fornecido para vários idiomas.'

'Encontre o intervalo da constante k para o qual a curva y=x^3-2x+1 e a reta y=x+k compartilham 3 pontos distintos.'

''

'A soma e a diferença de dois ângulos α e β, representadas em termos das funções trigonométricas de α e β, são conhecidas como a fórmula de adição trigonométrica.'

'Resolva a seguinte equação ou desigualdade quando 0 ≤ θ < 2π. 2) sin 2θ + sin θ - cos θ > 1/2'

'Encontre os valores de $a$ e $b$ de forma que o valor máximo da função $f(\\theta)=a \\cos ^{2} \\theta+(a-b) \\sin \\theta \\cos \\theta+b \\sin ^{2} \\theta$ seja $3+\\sqrt{7}$ e o valor mínimo seja $3-\\sqrt{7}$.'

None

'\ \\sin 15^{\\circ} \'

'Período das funções trigonométricas'

'Por que o gráfico de y=sinθ no Exemplo 118(3) não é reduzido pela metade na direção do eixo θ?'

'Calcule os valores das seguintes funções trigonométricas.'

'Para a função \ y=\\sin 2 \\theta+\\sin \\theta+\\cos \\theta \:'

''

'A seguir estão os gráficos das funções (1) e (2). Calcule os valores de A a H. (1) y=sin θ (2) y=cos θ'

'Prove as seguintes equações.'

'Desenhe os gráficos das seguintes funções e determine seus períodos:'

'Gráfico de funções trigonométricas (1)'

'Entre sin 1, sin 2, sin 3, sin 4, o valor negativo é A. O valor mínimo dos valores positivos é B, e o valor máximo é C.'

'Relações das funções trigonométricas'

'(1) \\sin \\frac{13}{4} \\pi'

''

'Seja a>1 o ângulo de prática de 190°. Para a função y=2x^{3}-9x^{2}+12x onde 1≤x≤a, (1) encontre o valor mínimo. (2) encontre o valor máximo.'

''

'No plano $x y$, a curva $y=f(x)$ sempre passa por dois pontos fixos, independentemente do valor de $a$. Quais são as coordenadas desses dois pontos fixos? Determine o intervalo de valores de $a$ para os quais $f(x)$ não tem extremos.'

'Por favor, explique a periodicidade das funções trigonométricas.'

'Para os ângulos internos A, B e C de um triângulo ABC com ângulos de 120 graus, responda às seguintes perguntas:'

'Encontre os valores do seno, cosseno e tangente de 195 graus.'

'Encontre o termo geral da sequência {an} definida pelas seguintes condições usando as substituições entre parênteses.'

'Calcule os valores das seguintes funções trigonométricas.'

'Prove as fórmulas de produto para soma e de soma para produto'

'Encontre os valores máximo e mínimo da função y=2sinθ+2cos²θ-1 (-π/2 ≤ θ ≤ π/2), e os valores de θ que dão os valores máximo e mínimo.'

''

'Encontre os valores máximo e mínimo das funções dadas. Além disso, determine os valores de θ nesse momento.'

'Usando a fórmula da metade do arco, encontre os seguintes valores. (1) $\\sin \\frac{3}{8} \\pi$ (2) $\\cos \\frac{3}{8} \\pi$ (3) $\\tan \\frac{3}{8} \\pi$'

'Vamos pensar sobre o método de solução para equações e desigualdades trigonométricas (equações quadráticas). Existe uma forma de resolver equações e desigualdades trigonométricas que envolvem múltiplas funções trigonométricas, como no exemplo básico 124.'

'Resolva as seguintes equações e desigualdades para 0 ≤ θ < 2π. (1) cos 2θ - 3cosθ + 2 = 0 (2) sin 2θ > cosθ'

'(2) \ \\sin \\theta=\\frac{\\sqrt{6} \\pm \\sqrt{2}}{4} \,\\n\ \\cos \\theta=\\frac{-\\sqrt{6} \\pm \\sqrt{2}}{4} \ (conjugado complexo na mesma ordem)'

'Gráficos de Funções Trigonométricas (2)'

'Expresse os valores dados em termos de funções trigonométricas de ângulos de 0 a $\\ frac {\\ pi} {4}$. (1) $\\ sin \\ frac {5} {9} \\ pi$ (2) $\\ cos \\frac {7} {5} \\ pi$ (3) $\\ tan \\ left(- \\ frac {10} {7} \\ pi \\ right)$'

'Seja f(x)=3x^3+ax^2+(3a+4)x. (1) No plano xy, a curva y=f(x) sempre passa por dois pontos fixos. Encontre as coordenadas desses dois pontos fixos. (2) Determine o intervalo de valores de a para que f(x) não tenha extremos.'

'Prove as seguintes identidades trigonométricas.'

'140 \\quad \\n¥( \\theta=\\frac{\\pi}{4}, \\frac{\\pi}{3}, \\frac{3}{4} \\pi, \\frac{5}{4} \\pi, \\frac{5}{3} \\pi, \\frac{7}{4} \\pi )'

'Fórmulas de adição'

'Exprima as seguintes expressões na forma de $r \\sin(\\theta+\\alpha)$. Dado que $r>0,-\\pi<\\alpha \\leqq \\pi$.\n(1) $\\cos \\theta-\\sqrt{3} \\sin \\theta$\n(2) $3 \\sin \\theta+2 \\cos \\theta$'

"OB'=r, e seja α o ângulo entre OB' e a direção positiva do eixo x"

'Prove que as seguintes equações são verdadeiras quando t = tan(θ/2) (t ≠ ±1).'

'Prova de identidades trigonométricas'

'Converter os ângulos dados para radianos.'

'Por favor, forneça uma descrição detalhada dos pontos importantes a serem considerados ao trabalhar em estudos de caso importantes.'

'Escolha o apropriado para cada um dos seguintes grupos de respostas: A e C. A ordem das opções não é relevante.'

'Vamos traçar a curva de crescimento.'

'Expresse as seguintes razões trigonométricas em termos de ângulos inferiores a 45°.'

'Na figura (a), encontre os valores de \ \\sin \\theta, \\cos \\theta, \\tan \\theta \.'

'Encontre o intervalo de valores para θ que satisfaz as seguintes desigualdades quando 0° ≤ θ ≤ 180°.'

'(1) \ \\sin \\theta = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\\nNo semicírculo com raio 1, os pontos P e Q são os pontos onde a coordenada y é \ \\frac{\\sqrt{3}}{2} \, conforme mostrado na figura à direita. Os ângulos a serem determinados são \ \\angle AOP \\text { e } \\angle AOQ\\\nPortanto\\n\ \\theta = 60^{\\circ}, 120^{\\circ} \'

'Seja θ um ângulo agudo. Quando sin θ = 12/13, encontre os valores de cos θ e tan θ.'

'Usando o diagrama à direita, encontre os valores de pecado 15°, cosseno 15°, tangente 15°.'

'Seja 0°<θ<180°. Quando 4cosθ+2sinθ=√2, encontre o valor de tanθ.'

'Tomamos 0°≤θ≤180°. Quando um dos sinθ, cosθ, tanθ assume um valor específico, encontre os outros 2 valores.'

'Relações entre funções trigonométricas (1)'

'Seja θ entre 0° e 180°. Encontre o intervalo de valores de θ para os quais a equação quadrática x^2-(cosθ)x+cosθ=0 tem duas soluções reais distintas, ambas dentro do intervalo -1<x<2.'

'Vamos considerar θ como um ângulo agudo. Encontre o valor de (sinθ+cosθ) ² quando tanθ=√7.'

'Desenhe o gráfico das seguintes funções.'

'Qual é o valor de sin 140 graus + cos 130 graus + tan 120 graus?'

'A trigonometria é um método desenvolvido para medir coisas como a distância para objetos distantes e alturas que não podem ser medidas diretamente, e sua história remonta à antiguidade. Aqui discutiremos o método de cálculo da altura de uma montanha usando trigonometria.'

'Encontre o intervalo de valores de θ que satisfazem as seguintes desigualdades quando 0° ≤ θ ≤ 180°: (1) sin θ > 1/2 (2) cos θ ≤ 1/√2 (3) tan θ < √3'

'Para 0° < θ < 90°, y = 2 tan^2(θ) - 4 tan(θ) + 3'

'Encontre o valor de cos²20°+cos²35°+cos²45°+cos²55°+cos²70°.'

'\\Portanto\\cos ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 45^{\\circ}+\\cos ^{2} 55^{\\circ}+\\cos ^{2} 70^{\\circ} \\ = \\cos ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 45^{\\circ}+\\sin ^{2} 35^{\\circ}+\\sin ^{2} 20^{\\circ} \\ = \\left(\\sin ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 20^{\\circ}\\right)+\\left(\\sin ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}\\right)+\\cos ^{2} 45^{\\circ} \\ = 1+1+\\left(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^{2}=\\frac{5}{2}'

''

'Encontre os valores máximo e mínimo da seguinte função, bem como os valores correspondentes de θ.'

''

'Pelo teorema do cosseno'

'Consulte a tabela trigonométrica e responda à seguinte pergunta. Quando θ = 37°, encontre os valores de sin θ, cos θ, tan θ.'

'Usando o diagrama à direita, encontre os valores de sen 22,5 graus, cos 22,5 graus e tan 22,5 graus.'

'Encontre o valor de θ que satisfaz a seguinte equação quando 0° ≤ θ ≤ 180°: (6) √3 tanθ + 1 = 0'

'Encontre os valores máximos e mínimos de y = sin^2θ + cosθ - 1 para 0° ≤ θ ≤ 180°. Além disso, determine os valores de θ nesses pontos.'

'Na proposição "se p então q", vamos considerar o conjunto de elementos que satisfazem a condição p como P, e o conjunto de elementos que satisfazem a condição q como Q. Quando a proposição "se q então p" é verdadeira, em relação à sua contrapositiva, ∎ é verdadeiro. Escolha a opção correta para preencher o espaço em branco.'

'Encontre as seguintes razões trigonométricas.'

'Valor da função simétrica trigonométrica'

''

'Valores e transformações das funções trigonométricas para ângulos obtusos'

'Para PR 0° ≤ θ ≤ 180°, encontre os valores de θ que satisfazem a seguinte equação: (6)√3 tan θ + 1 = 0'

'Relações trigonométricas básicas 108 Vamos considerar θ como um ângulo agudo. (1) Quando sin θ = 2/√13, encontrar os valores de cos θ e tan θ. (2) Quando tan θ = √5/2, encontrar os valores de sin θ e cos θ.'

'Funções trigonométricas de ângulos especiais'

'Aplicações da Trigonometria'

'Expresse as seguintes razões trigonométricas como razões trigonométricas de ângulos entre 0° e 90°, e encontre seus valores usando a tabela trigonométrica. (1) sin 111° (2) cos 155° (3) tan 173°'

'Pergunta 5 (2) Encontre a tangente do segundo maior ângulo no triângulo ABC.'

'Relações trigonométricas (0° <= θ <= 180°)'

'Criar Função de Exemplo 57'

'Identidades e valores trigonométricos'

'Quando θ é 75°, encontre o valor de tan θ.'

'No triângulo ABC, se pecado A: sin B: sin C = 5:16:19, encontre o tamanho do maior ângulo neste triângulo.'

'Questão 10'

'Encontre o seno, cosseno e tangente dos seguintes ângulos. (1) 135 graus (2) 150 graus (3) 1'

'No triângulo ABC, se ∠A=α, ∠B=β, ∠C=90 graus, prove que as seguintes desigualdades são verdadeiras: (1) sinα+sinβ>1 (2) cosα+cosβ>1'

'Solução de equações trigonométricas'

'Prove as inter-relações das seguintes identidades trigonométricas: $\\sin^2 \\theta + \\cos^2 \\theta = 1, \\tan \\theta = \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}, 1 + \\tan^2 \\theta = \\frac{1}{\\cos^2 \\theta}$.'

'Escolha duas opções que sejam iguais a sin 44° pelas seguintes escolhas. (1) sin 46° (2) cos 46° (3) sin 136° (4) cos 136°'

'Encontre os valores de θ que satisfazem a seguinte equação quando 0° ≤ θ ≤ 180°: 2sinθ = √2'

''

'Prove a desigualdade sin 29 graus < tan 29 graus < cos 29 graus.'

'Vamos considerar 0° ≤ θ ≤ 180°. Se sinθ+cosθ = 1/√5, encontre os valores das seguintes expressões: (1) tan^3θ+1/tan^3θ (2) sin^3θ-cos^3θ'

'Por favor, explique como converter as razões trigonométricas de ângulos obtusos em razões trigonométricas de ângulos agudos usando fórmulas.'

'Encontre o seno, cosseno e tangente dos seguintes ângulos.\n1. 25°\n2. 45°\n3. 75°\n4. 89°'

'Que curva representa a representação paramétrica dada?'

''

"Engenharia reversa a partir do 'eu que você deseja se tornar'."

'Encontre a curva da equação x = t + \\frac{1}{t}, y = t^{2} + \\frac{1}{t^{2}}, t > 0.'

'Capítulo 4 Equações e Curvas\n17 Parábolas\n18 Elipses\n19 Hipérboles\n20 Translação de Curvas Quadráticas\n21 Curvas Quadráticas e Retas\n22 Representações Paramétricas de Curvas\n23 Coordenadas Polares e Equações Polares'

'O que são boas coisas para trabalhar após resolver exemplos básicos e exemplos padrão?'

''

"Como é útil a matemática na sociedade? As formas como a matemática é 'útil' também mudaram ao longo do tempo. No passado, ao discutir a aplicação da matemática, ela frequentemente era associada à palavra-chave 'ciência e tecnologia de ponta'. A importância da ciência e tecnologia de ponta na sociedade não se discute, no entanto, não era algo familiar em nossa vida diária. Nos últimos anos, a situação mudou. Isso ocorre porque a matemática começou a se infiltrar em vários aspectos de nossa vida diária."

'(1) Como cos(-x) = cos x e (-x)^2 sin(-x) = -x^2 sin x, cos x é uma função par e x^2 sin x é uma função ímpar. Portanto, ∫_(-π/3)^(π/3) ( cos x + x^2 sin x ) dx = 2 ∫_0^(π/3) cos x dx = 2 [ sin x ]_0^(π/3) = √3'

'Descreva as curvas representadas pelas seguintes equações polares em coordenadas retangulares.'

'(50)(2) Quando n é ímpar, $\\int_{-1}^{1} T_{n}(x) d x=0$, e quando n é par, $\\int_{-1}^{1} T_{n}(x) d x=\\frac{1}{n+1}-\\frac{1}{n-1}$'

'Em (1), se o intervalo da função for 1 ≤ y < 3/2, encontre o domínio.'

'Para um número positivo a, considere o ponto A(a, a^{2}) na parábola y=x^{2}, e deixe l ser a reta girada -30 graus em torno do ponto A. Deixe B ser o ponto de interseção da reta l e da parábola y=x^{2} que não é A. Além disso, deixe (a, 0) ser C e a origem ser O. Encontre a equação da reta l. Além disso, deixe S(a) ser a área cercada pelos segmentos de linha OC e CA e pela parábola y=x^{2}, e deixe T(a) ser a área cercada pelos segmentos de linha AB e CA e pela parábola y=x^{2}. Encontre c=lim_{a→∞} T(a)/S(a).'

'Para números reais que satisfazem (3) 0 ≤ θ < 2π, seja z = cosθ + i sinθ. Prove que a equação |1 - z| = 2 sin (θ/2) é válida.'

'Mostre a concavidade e convexidade da função que atende às seguintes condições.'

'4 (cos^2 x)’ = 2 cos x (cos x)’ = -2 sin x cos x'

'Exemplo Importante\nMáximo e mínimo de 13|ux + vy|\nQuando os números reais x, y, u, v satisfazem as equações x^2 + y^2 = 1 e (u-2)^2 + (v-2√3)^2 = 1, encontre os valores máximo e mínimo de ux + vy.'

''

'Encontre o ponto de inflexão da função nos seguintes valores de x.'

'\\( 134\\left\\{\egin{array}{l}x=(a+b) \\cos \\theta-b \\cos \\frac{a+b}{b} \\theta \\\\ y=(a+b) \\sin \\theta-b \\sin \\frac{a+b}{b} \\theta\\end{array}\\right. \\)'

'Seja a curva representada pelas variáveis de parâmetro \\( x=\\sin t, y=\\cos \\left(t-\\frac{\\pi}{6}\\right) \\sin t(0 \\leqq t \\leqq \\pi) \\) denotada por \ C \.'

'Para a equação r=\\frac{1}{1+a \\cos θ}, (1) prove que quando a= ±1, ela representa uma parábola e quando |a|<1, representa uma elipse. (2) Prove que a curva representada pela equação acima intersecta o eixo y em y= ±1 independentemente do valor de a. (3) Quando |a|<1, deixe a parte no primeiro quadrante da elipse e contornada pelos eixos x e y ser denominada D. Encontre o volume do sólido obtido ao girar a figura D em torno do eixo x.'

'(2) Continuação do (1): Portanto, o ângulo formado entre \\overrightarrow{AB} e \\overrightarrow{AC} é θ. Então, \\cos \\theta=\\frac{\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC}}{\\left|\\overrightarrow{AB}\\right|\\left|\\overrightarrow{AC}\\right|}=\\frac{-2a+6}{3\\sqrt{a^{2}-2a+14}}. Como \\sin \\theta>0, temos \\sin \\theta=\\sqrt{1-\\cos ^{2} \\theta}=\\sqrt{1-\\frac{(-2a+6)^{2}}{9(a^{2}-2a+14)}}=\\frac{1}{3}\\sqrt{\\frac{5a^{2}+6a+90}{a^{2}-2a+14}}'

'No caso de 0<θ<π/2, se dL/dθ=0, então cosθ=1/√3. Seja α o valor de θ que satisfaz essa condição, então tanα=√(1/cos²α-1)=√2. A partir de (3-√7)/√2<2/√2<(3+√7)/√2, obtemos que tanθ₁<tanα<tanθ₂. Assim, θ₁<α<θ₂. Portanto, a tabela de aumento e diminuição de L é como mostrado à direita para θ₁<θ<θ₂. Assim, L atinge seu valor máximo quando θ=α. Dado que sinα=√(1-cos²α)=√6/3, o valor máximo desejado é 2sinα-√2/(3cosα)=√6/3. Neste caso, cosθ=1/√3.'

"Problema 94 Respondendo a pequenas mudanças\n(1) Quanto aumentará a área S do ΔABC?\n(2) Quanto aumentará o comprimento y do lado CA?\nUsando a seguinte fórmula.\nFórmula para pequenas mudanças Δy≒y'Δx\nResposta: Quando o ângulo B aumenta 1 grau\nComeçando de S≒√3sin(x)."

'Encontre as coordenadas de um ponto obtido refletindo sobre o eixo real e girando -π/2 em torno da origem.'

'Exemplo 41 | Cálculo de Integrais Definidas (2)\nEncontre a integral definida ∫_{0}^{π} sin(mx)cos(nx)dx. Aqui, m e n são números naturais.'

''

'Funções trigonométricas inversas'

'Pratique as propriedades da função f(x) = x sin(1/x) (x > 0) 134'

'Prove que para a função inversa y=g(x) de y=tan x (-π/2<x<π/2), g(1/2)+g(1/3)=π/4.'

'Verifique o comportamento crescente e decrescente da função $y = f(x)$ a partir da tabela abaixo e encontre os valores extremos.'

'Encontre a seguinte integral indefinida.'

'Encontre as condições sob as quais a curva y=x^4+ax^3+bx^2+cx+d tem uma linha tangente múltipla.'

None

'Calcule o valor de sin(π/5) sin(2π/5) sin(3π/5) sin(4π/5).'

'Encontrando a soma de uma série infinita usando uma relação de recorrência'

'A resolver um problema de matemática é comparado a quê?'

'O que irá aprender neste capítulo é construído com base no que aprendeu até agora. Usando esse conhecimento, é essencial analisar a geometria das formas mais aprofundadamente. Neste capítulo, iremos aplicar métodos de geometria analítica para estudar as propriedades de formas não abordadas anteriormente, focando principalmente nas características de seções cônicas como elipses, hipérboles e parábolas. Além disso, iremos abordar brevemente métodos para representar curvas com equações, incluindo representações paramétricas e coordenadas polares, bem como equações polares.'

'(1) As coordenadas de um ponto Q na curva C são dadas pelas equações paramétricas, onde o parâmetro t varia de -π/2 a 0, como (√2/cos t, √2 tan t). A equação da reta tangente l no ponto Q é [√2/cos t x-√2 tan t y=2], que é equivalente a [x-sin t y=√2 cos t]'

'Encontre o valor máximo, valor mínimo e o valor correspondente de x para a função dada.'

'À medida que o ponto na curva se afasta infinitamente, a curva se aproxima de uma linha reta específica, que é chamada de assíntota da curva.'

'À medida que $x$ fica infinitamente grande, para qual valor $y$ se aproxima?'

'Quando S=4, \2 \\sqrt{k^{2}+1}=4\ é resolvido como \k=\\sqrt{3}\. Portanto, \\\cos \\alpha=\\frac{1}{2}, \\sin \\alpha=\\frac{\\sqrt{3}}{2}\. Como \0<\\alpha<\\frac{\\pi}{2}\, temos \\\alpha=\\frac{\\pi}{3}\. Logo, \\eta=\\frac{4}{3} \\pi\. No intervalo onde \\\frac{\\pi}{3} \\leqq x \\leqq \\theta\, a área cercada pelas curvas \y=\\sin x\, \y=\\sqrt{3} \\cos x\, e a linha \x=\\theta\ é denominada \T\. Para que \T<4\ seja verdade, deve ser que \\\frac{\\pi}{3}<\\theta<\\frac{4}{3} \\pi\.'

'Transforme a função irracional dada para a forma de uma função de raiz quadrada.'

'Exemplo 35 | Movimento de um ponto no plano'

'Explique por que a função f(x) é descontínua: f(x)={ x^2 + 1 (x ≠ 0), 0 (x = 0) }'

'As derivadas das funções trigonométricas são as seguintes. Note que os ângulos estão em radianos.'

'Encontre todas as retas tangentes da curva y = x cos x que passam pelo origem.'

'O termo n-ésimo a_{n} é dado por a_{n} = \\cos n \\pi. Seja k um número natural. Quando n=2k-1, \\cos n \\pi = \\cos (2k-1) \\pi = \\cos (-\\pi) = -1. Quando n=2k, \\cos n \\pi = \\cos 2k \\pi = 1. Portanto, a sequência \\{a_{n}\\} oscila. Logo, o termo n-ésimo da sequência \\{a_{n}\\} é a_{n}=(-1)^{n}, que não converge para 0, portanto, essa série infinita diverge.'

'No plano XY, com a origem como polo e a parte positiva do eixo x como a linha de início em coordenadas polares, deixe a curva representada pela equação polar r=2+cosθ(0 ≤ θ ≤ π) ser denotada como C. Encontre o volume do sólido obtido ao girar a região cercada por C e o eixo x em torno do eixo x uma revolução completa.'

'Prática Que tipo de curva as seguintes equações polares representam? Responda em coordenadas retangulares.'

'Resolver a função trigonométrica composta. Quando 42sin(x-π/6)-1=0 (0≤x≤π), as soluções são x=π/3, π'

'A região representada pelas desigualdades simultâneas dadas é tal que a coordenada x dos pontos de interseção da curva y=sin x e da reta y=t-x é denominada α, onde sin α=t-α e 0<α<t. Neste caso, V(t)=π ∫_{0}^{α} sin^2 x dx+1/3 π sin^2 α·(t-α). A partir de (1), temos V(t)=π ∫_{0}^{α} sin^2 x dx + 1/3 π sin^3 α。'

'Seja 33θ um número real e n um inteiro. Se z=sinθ+i*cosθ, expresse a parte real e a parte imaginária do número complexo zn em termos de cos(nθ) e sin(nθ).'

'(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = 12 - 3 ⋅ (-1)^2 = 9, portanto (f ∘ g)(x) = \egin{cases} -3x^2 + 12x & (x ≥ 0) \\\\ 9 & (x < 0) \\end{cases}'

'A partir de cos 2θ = cos^2 θ − sin^2 θ, expresse a equação r^2 (cos^2 θ − sin^2 θ) = r sin θ(1 − r sin θ) + 1 usando x = r cos θ, y = r sin θ'

'(1) f′(t)=−e^(−t)sin(t)+e^(−t)cos(t)=−e^(−t)(sin(t)−cos(t)) = −√2 e^(−t)sin(t−π/4) Se f′(t)=0, então sin(t−π/4)=0. Como t−π/4>−π/4, então t=π/4+(n−1)π (n=1,2, ...)'

'Quando uma função y é representada usando o parâmetro θ como x=1-cosθ, y=θ-sinθ'

'Para 0 ≤ θ ≤ π, cos(θ/2) ≥ 0. Para 0 ≤ θ ≤ π/2, cos(θ) ≥ 0. Para π/2 ≤ θ ≤ π, cos(θ) ≤ 0. Além disso, cos(θ) * cos(θ/2) = 1/2 * (cos(3/2 * θ) + cos(θ/2)).'

'Funções trigonométricas'

'Encontre os seguintes valores.'

'Resolver a seguinte equação para 0 ≤ θ < 2π. Além disso, encontrar sua solução geral. (1) sin θ = √3/2'

'Mostre que as seguintes condições são atendidas e encontre o valor de cos 36 graus: (1) Quando θ = 36 graus, sin 3θ = sin 2θ'

'Prove a seguinte igualdade.'

'Exercício Integrado Parte 2 Matemática II Capítulo 4 Funções Trigonométricas'

'Encontre os valores máximo e mínimo nos [ ] e os valores correspondentes de x.'

'Encontre os valores máximos e mínimos das funções dadas. Adicionalmente, determine os valores de θ nesses pontos. Considere 1620 ≤ θ ≤ π. (1) y=sinθ−√3 cosθ (2) y=sin(θ−π/3)+sinθ'

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'Prove a equação \ \\frac{\\cos \\theta}{1+\\sin \\theta}+\\tan \\theta=\\frac{1}{\\cos \\theta} \.'

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'Determine o valor da constante a de modo que o valor absoluto do mínimo da função y=2sin3x+cos2x-2sinx+a seja igual ao valor máximo.'

'Usando a fórmula de adição, encontre os seguintes valores.'

'(1) \ \\sin 2 \\theta=\\cos 3 \\theta \ [Prática \\( 156(2) \\) ] A solução geral é'

'(1) \ \\sqrt{3} \\cos \\theta-\\sin \\theta \'

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'(1) A função y=f(x) assume um valor máximo em x=α e um valor mínimo em x=β. Mostrar que o ponto médio M do segmento de linha que conecta os pontos (α, f(α)) e (β, f(β)) está na curva y=f(x).'

'Como memorizar o teorema da adição e as fórmulas de ângulo duplo/meio ângulo?'

'Pratique traçar os gráficos das seguintes funções e encontre seus períodos.'

'Prove que o valor de $\\tan \\alpha \\tan \eta+\\tan \eta \\tan \\gamma+\\tan \\gamma \\tan \\alpha$ é constante quando os números reais positivos $\\alpha, \eta, \\gamma$ satisfazem $\\alpha+\eta+\\gamma=\\frac{\\pi}{2}$.'

'Solução para as equações sin aθ=sin bθ, sin aθ=cos bθ'

'1. Fórmula de adição do seno: \\( \\sin (\\alpha \\pm \eta)=\\sin \\alpha \\cos \eta \\pm \\cos \\alpha \\sin \eta \\)\n2. Fórmula de adição do cosseno: \\( \\cos (\\alpha \\pm \eta)=\\cos \\alpha \\cos \eta \\mp \\sin \\alpha \\sin \eta \\)\n3. Fórmula de adição da tangente: \\( \\tan (\\alpha \\pm \eta)=\\frac{\\tan \\alpha \\pm \\tan \eta}{1 \\mp \\tan \\alpha \\tan β} \\)'

'(2) Se \ \\tan \\frac{\\theta}{2}=\\frac{1}{2} \, encontre os valores de \ \\cos \\theta, \\tan \\theta, \\tan 2 \\theta \.'

'Encontre as funções trigonométricas do ângulo $\\theta$.'

'Calcular a seguinte expressão.'

'Usando o teorema da adição, encontre os seguintes valores.'

'Resolvendo a equação sin aθ=sin bθ, sin aθ=cos bθ'

'Encontre os valores de sin θ, cos θ, tan θ quando θ é os seguintes valores.'

'(3) Prove que o valor de $\\tan \\alpha \\tan \eta + \\tan \eta \\tan \\gamma + \\tan \\gamma \\tan \\alpha$ é constante quando os números reais positivos $\\alpha, \eta, \\gamma$ satisfazem $\\alpha+\eta+\\gamma=\\frac{\\pi}{2}$.'

'Medida do radiano e funções trigonométricas radiano'

'Pratique encontrando os seguintes valores.'

'Resolva a seguinte equação para 0 ≤ θ < 2π. Encontre também a sua solução geral.'

'Quando n é um número natural e θ é um número real, responda à seguinte pergunta. (1) Prove cos(n+2)θ-2cosθcos(n+1)θ+cosnθ=0.'

'Explique as propriedades das integrais definidas de funções pares e ímpares.'

'27 Funções trigonométricas compostas'

'Função Periódica com Período 4\nPara uma função \\( f(x) \\), se existe uma constante não nula \ p \ tal que a equação \\( f(x+p)=f(x) \\) é verdadeira para todos os valores de \ x \, então \\( f(x) \\) é chamada de função periódica com período \ p \. Neste caso, uma vez que \\( f(x+2p)=f(x+3p)=\\cdots =f(x) \\), os períodos \ 2p, 3p, \\cdots \ também são períodos válidos, e existem infinitos períodos para uma função periódica.\n\nProblema: Calcular o período da função \\( y = \\cos(5\\theta) \\).'

'Resolver as seguintes equações e desigualdades.'

'Problema para encontrar a solução da desigualdade do triângulo'

'Resolva a seguinte equação. Além disso, encontre a solução geral. (4) sinθ=-1'

'Propriedades e gráficos das funções trigonométricas'

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'Pratique desenhar os gráficos das seguintes funções. Além disso, determine seus períodos.'

'(4) Dada a equação $2 \\sin \\theta \\cdot \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}=-3$, temos $2 \\sin ^{2} \\theta=-3 \\cos \\theta \\quad$, e $\\cos \\theta \\neq 0$. Portanto, $2\\left(1-\\cos ^{2} \\theta\\right)=-3 \\cos \\theta$, que simplifica para $2 \\cos ^{2} \\theta-3 \\cos \\theta-2=0$. Isso nos dá $(\\cos \\theta-2)(2 \\cos \\theta+1)=0$. Como $-1 \\leqq \\cos \\theta \\leqq 1$, sempre temos $\\cos \\theta-2<0$. Assim, $2 \\cos \\theta+1=0$, significando que $\\cos \\theta=-\\frac{1}{2}$. Como $0 \\leqq \\theta<2 \\pi$, temos $\\theta=\\frac{2}{3} \\pi, \\frac{4}{3} \\pi$'

'Encontre o valor de uma constante m de forma que as áreas das duas formas cercadas pela curva y=x^{3}-6x^{2}+9x e pela linha y=mx sejam iguais. Aqui, 0<m<9.'

'[Valor máximo e mínimo]'

'Reflexão... explica horizontalmente as características das soluções aprendidas em vários exemplos. Ao entender os pontos-chave para julgar as soluções, pode aprofundar a compreensão.'

'Quando \ \\theta=\\frac{\\pi}{6}, \\frac{5}{6} \\pi \, o valor máximo é \ \\frac{1}{4} \; quando \ \\theta=\\frac{3}{2} \\pi \, o valor mínimo é -2'

'Expressar o valor máximo de ¥( y=cos ^{2} θ+a sin θ(−π/3 ≤ θ ≤ π/4 )) ¥ em termos de ¥( a) ¥.'

'Encontre os valores máximo e mínimo da função y=2\\tan^{2}\\theta+4\\tan\\theta+1 (-\\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\frac{\\pi}{2}). Além disso, encontre o valor de θ nesse momento.'

'Mantendo l constante, varie θ. Assumindo que tan θ = t, expresse a expressão r / (1 + cos 2θ) como uma função de t e encontre seu valor máximo.'

'O valor máximo é \\frac{5}{3} em x=-1, e o valor mínimo é -9 em x=3'

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'Gráficos de várias funções trigonométricas\nNas funções trigonométricas, considere a relação entre as formas básicas y=sinθ, y=cosθ, y=tanθ.\n\nQuestão: Explique como o gráfico da função y=2sin(3θ) é ampliado ou comprimido ao longo do eixo θ e transformado ao longo do eixo y.'

'Assuntos Básicos\n1. Gráficos de Funções Trigonométricas\n(1) Gráfico de y=sin θ\n(2) Gráfico de y=cos θ\nθ é um número real, -1 ≤ y ≤ 1\n\n(3) Gráfico de y=tan θ\nθ ≠ π/2+nπ (n é um inteiro), y assume todos os valores reais. A linha θ=π/2+nπ (n é um inteiro) é uma assíntota.\n\nComo aprendido em D. 216, considerando um ponto P(x, y) na circunferência do círculo unitário e o ponto de interseção da reta x=1 e a reta OP como T(1, m). Deixe o ângulo que representa o raio OP ser θ\n\nsin θ=y, cos θ=x, tan θ=m\n\nAo utilizar isso, é possível traçar os gráficos das funções y=sin θ, y=cos θ, y=tan θ. Os gráficos de y=sin θ e y=cos θ são chamados de curvas senoidais, e o gráfico de y=tan θ é chamado de curva tangente. Além disso, com relação ao eixo vertical (eixo y), no gráfico de y=f(θ), o eixo horizontal é referido como eixo θ. Além disso, quando uma curva se aproxima de uma linha reta, essa linha é conhecida como a assíntota da curva.'

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'Exemplo 164 y=\\sqrt{3} \\sin \\theta \\cos \\theta + \\cos ^{2} \\theta \\rightarrow y=\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sin 2\\theta}{2} + \\frac{1+\\cos 2\\theta}{2} = \\frac{1}{2} \\left(\\sqrt{3} \\sin 2 \\theta + \\cos 2 \\theta\\right)+\\frac{1}{2}\\'

'Calcule a seguinte expressão.'

'Encontre o valor máximo, mínimo e os valores correspondentes de x para a função y = 2sin² xcosx - cosx cos2x + 6cosx quando 0 ≤ x ≤ 3/4π.'

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'(2) (a) P = 3sin2θ + 4cos2θ + 3'

'Encontre o valor mínimo de tan(x + y) + tan(x - y). [Condições] [0 < x < π/2, 0 < y < π/2].'

'Exemplo 159 \\sin 2 \\theta+\\sin 3 \\θ \\theta=0 \\rightarrow 2 \\sin 3 \\θ+\\sin 3 \\theta=0 \\rightarrow \\sin 3 \\theta \\left(2 \\cos \\theta+1 \\right)=0'

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'Encontre os valores específicos das soluções para a equação f(x) = cos 2x (0 ≤ x ≤ π)'

'Prove a seguinte equação seguindo os mesmos passos.'

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'Prática (1) Encontre a equação da reta tangente desenhada do ponto (3,4) para a parábola y=-x^{2}+4x-3.'

'Quando a inclinação da tangente no ponto (a, b) na hipérbole x^2-4y^2=4 é m, responda às seguintes perguntas. Assuma que b ≠ 0.'

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'Encontre a primeira e segunda derivada da função inversa g(x) de (2) y=cos(x)(π<x<2π).'

'Encontre a magnitude da velocidade e aceleração do ponto P, cujas coordenadas no plano cartesiano no tempo t são dadas pelas seguintes equações: x=3sin(t)+4cos(t), y=4sin(t)-3cos(t)'