Funções Avançadas - Fundamentos de Derivação e Integração

"Qual é o objetivo do curso universitário do primeiro ano sobre 'Cálculo'?"

'O ponto médio é a média de 2 pontos, o centróide é a média de 3 pontos. S pode ser considerado como o ponto que divide o segmento de linha AB em uma proporção de 1:2.'

'Exercício 82\nEncontre as funções p(x) e q(x) que satisfazem as seguintes condições.\n- A derivada de p(x) é 3\n- p(0) = 3\n- A derivada de q(x) é 4x + k\n- q(0) = 2\nAlém disso, encontre as funções f(x) e g(x) que satisfaçam q(x) = f(x)g(x) como uma função quadrática, e p(x) = f(x) + g(x) como uma função linear. Determine o valor de k correspondente.'

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'[2] Dado que $2-x<x<2+x$, ou seja, quando $x>1$,'

'Para dois polinômios f(x) e g(x) que satisfazem f(0)=1, g(0)=2, vamos definir p(x)=f(x)+g(x), q(x)=f(x)g(x).'

'Investigue os extremos da função. Determine o valor máximo ou mínimo de acordo com as seguintes definições: 1. Se f(x) atinge um valor máximo em torno de x=a, e 2. Se f(x) atinge um valor mínimo em torno de x=a.'

'Encontre o valor da seguinte expressão.'

"(2) A partir de y = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2, obtemos y' = 3 x^{2} - 4 x - 1. Quando x = 1, y' = -2. Portanto, a equação da reta tangente l é y = -2(x - 1). Dado x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 = -2(x - 1), temos x(x - 1)^{2}=0, logo x=0,1"

'Encontre os valores máximo e mínimo da função $f(x)=\\int_{0}^{1}\\left|t^{2}-x^{2}\\right| d t$ para $0 \\leqq x \\leqq 2$.'

'Expresse a integral definida \\( \\int_{-1}^{1}\\left(9 x t^{2}+2 x^{2} t-x^{3}\\right) d t \\) em termos de x.'

'Encontre a primeira derivada da função h(x) = 2x^2 - x + 3.'

'Integral definida e volume\nSeja V o volume de um sólido envolvido entre dois planos paralelos \\\alpha, \eta\. Tome uma linha perpendicular a \\\alpha, \eta\ como o eixo \x\, com coordenadas de interseção com \\\alpha, \eta\ sendo \a, b\ respectivamente. Além disso, considere \a \\leqq x \\leqq b\, e quando esse sólido é cortado por um plano perpendicular ao eixo \x\ e com coordenada de interseção \x\ com o eixo \x\, a área da seção transversal é denominada por \\(S(x)\\). Então, o volume \V\ é dado pela seguinte integral definida.\n\n\\[ V=\\int_{a}^{b} S(x) d x \\quad \\text{onde} a < b \\]'

'Existe um balão de borracha esférico que está sendo inflado a uma taxa de 0,1 cm por segundo em termos de seu raio r. Começando com um raio de 1 cm, encontre a taxa de mudança do volume V do balão em relação ao tempo t quando o raio atinge 3 cm.'

'Determinando a função a partir de condições de valor extremo'

'Exercício 85 | II | \ \\Rightarrow \ Livro \ p.340 \'

'Encontre a taxa de variação da área superficial da esfera. Seja o raio da esfera após t minutos r cm. A partir da condição, r=t+10, então S=4πr^2=4π(t+10)^2. Portanto, dS/dt=4π×2(t+10)×1=8π(t+10)'

'(2) $f(x)=2 x+\\int_{0}^{1}(x+t) f(t) d t$'

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'Aumentando ou diminuindo funções ou utilizando gráficos, podemos encontrar os valores máximos e mínimos, ou determinar o número de soluções reais de equações.'

'Encontre a função $f(x)$ e o valor da constante $a$ que satisfaz a equação $\\int_{a}^{x} f(t) d t=3 x^{2}-2 x-1$.'

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'Seja a e b constantes. Prove a seguinte desigualdade:\n\n\\[\n\\int_{0}^{1}(ax+b)^{2}dx \\geqq\\left\\{\\int_{0}^{1}(ax+b)dx\\right\\}^{2}\n\\]'

'Diferencie as seguintes funções em relação às variáveis fornecidas.'

'Exemplo: Encontre o valor máximo e mínimo de x + y, bem como os valores de x, y que satisfazem simultaneamente as quatro desigualdades x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 6, 3x + 2y ≤ 10.'

'Aprendizagem de desenvolvimento Desenvolvimento 187 Extremos e Gráfico de uma função de quarto grau'

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'Diferencie as seguintes funções em relação às variáveis dadas em []:'

'Vamos aprofundar nosso entendimento sobre valor esperado, variância e desvio padrão.'

'Cálculo diferencial'

'Encontre a derivada da função f(x)=x^{2}-6 x+7 em x=a usando a definição. Além disso, determine o valor de a de modo que a derivada seja 2.'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas.'

'Encontre a função \\( f(x) \\) e o valor da constante \ a \ que satisfaçam a equação \\( \\int_{a}^{x} f(t) d t=3 x^{2}-2 x-1 \\).'

'Encontre as derivadas das seguintes funções. (1) y=(2 x^{2}-3)(x+5) (2) y=(x+2)^{3}'

'Encontre a função quadrática f(x) que satisfaça as seguintes condições.'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas. Em (3), α é uma constante.'

'Equação da Tangente: Encontre a equação da tangente. Qual é a equação da reta tangente no ponto A(a, f(a)) na curva y=f(x)?'

'De acordo com a definição, encontre as derivadas das seguintes funções. (1) f(x)=-5x (2) f(x)=2x^{2}+5 (3) f(x)=x^{3}-x'

'Diferencie as seguintes funções e encontre a derivada em x=2.'

'Determinação dos coeficientes de uma função cúbica com base em condições de valores máximos e mínimos'

"Resuma de forma clara como distinguir e usar teoremas, fórmulas, etc., com base no tipo de problema em 'STEP into Sorting here'. Pode ser usado para confirmar e organizar fórmulas."

"Explica detalhadamente a abordagem para resolver problemas que requerem mais poder de pensamento chamado 'Zoom UP'."

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'Defina a função S(t) como S(t)=\\int_{0}^{1}\\left|x^{2}-t^{2}\\right| d x. Encontre o valor máximo e mínimo de S(t) para 0 ≤ t ≤ 1, e os valores correspondentes de t.'

'Encontre as integrais definidas a seguir.'

'Método de integração'

'Estudo de desenvolvimento Desenvolvimento 185 A tangente do gráfico de uma função quadrática'

'Seja V o volume de um cone com raio r e altura h. Considerando V como uma função de h, encontre a derivada em h=3.'

'Diferencie as seguintes funções em relação às variáveis indicadas dentro [ ].'

'Após resolver problemas de exemplos básicos e padrão, como se aprofundar na compreensão?'

"Suponha que o polinômio f(x) satisfaça a equação f(x)f'(x)=∫[0,x]f(t)dt+49⋯⋯(1). Responda as seguintes perguntas."

'Diferenciação de funções e seu cálculo básico 173 diferenciado com variáveis diferentes de x'

'Estudo de desenvolvimento Desenvolvimento 188 Condições para uma função cúbica ter valores extremos'

'Encontre a função f(x) que satisfaz a equação f(x)=1+2 \\int_{0}^{1}(x t+1) f(t) d t.'

'Aplicação de aumento e diminuição de funções, Padrão 184, Prova de desigualdades (Usando diferenciação)'

'Calcular a área entre duas curvas.'

'Encontre as seguintes integrais definidas.'

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"Seja F(x) a função primitiva de f(x). As seguintes condições [1], [2] são verdadeiras. Encontre f'(x) e f(x) sob a condição de que x > 0. [1] F(x) = x f(x) - 1/x [2] F(1/√2) = √2"

'Domínio e análise de aumento e decrescimento de uma função'

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'Encontre as seguintes integrais indefinidas.'

"A função f(x) tem uma segunda derivada contínua f''(x) para x > -2. Além disso, para x > 0, temos que f(x) > 0 e f'(x) > 0, e para qualquer número positivo t, a coordenada x do ponto de interseção P entre a reta tangente no ponto (t, f(t)) da curva y=f(x) e o eixo x é igual a -∫0^t f(x) dx."

'Determine os coeficientes da função a partir da área.'

'Avalie as seguintes integrais indefinidas.'

'Indique a definição de a função f(x) sendo diferenciável em x=a.'

"Seja f(x) = x^(1/3) (x>0). Encontre a derivada f'(x) usando os seguintes dois métodos."

"Quando a função f(x) satisfaz f(0)=0, f'(x)=x cos x, responda às seguintes perguntas: (1) Encontre f(x). (2) Encontre o valor máximo de f(x) para 0 <= x <= π."

'Encontre os valores máximo e mínimo da função f(x)=∫₀ˣ (1-t²)eᵗ dt dentro do intervalo -2≤x≤2 e determine os valores correspondentes de x.'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas.\\n(1) \ \\int \\frac{x^{3}+x}{x^{2}-1} d x \\\n(2) \ \\int \\frac{x+5}{x^{2}+x-2} d x \\\n(3) \\( \\int \\frac{x}{(2 x-1)^{4}} d x \\)'

"(1) Prove por contradição que para todos os números reais x, f(x)>0. (2) Mostre que para todos os números reais x, f'(x)=f(x) f'(0). (3) Expresse f(x) usando k quando f'(0) = k."

'Encontre o termo geral da seguinte relação de recorrência.'

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'Para lidar com a desigualdade de duas variáveis a, b, os seguintes métodos podem ser considerados.'

'Encontre a derivada da função y=x/√(4+3x^2). [Universidade de Miyazaki]'

'Num cone com um volume de √2/3, encontre a área lateral mínima do cone. Além disso, determine o raio da base circular e a altura do cone neste mínimo.'

'Encontre as integrais indefinidas a seguir.'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas.'

'Expresse a coordenada x do ponto P movendo-se ao longo de uma linha reta como uma função do tempo t, x = f(t). Depois responda às seguintes perguntas:'

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'Calcule o volume de um sólido de revolução no espaço de coordenadas (1).'

'Para uma função y=f(x) que é diferenciável em um determinado intervalo, quando o valor de x aumenta, se a inclinação da reta tangente aumenta, a curva y=f(x) nesse intervalo é definida como côncava para baixo; quando a inclinação da reta tangente diminui, a curva y=f(x) nesse intervalo é definida como côncava para cima; mas a definição real é a seguinte: uma função f(x) é côncava para baixo se para qualquer par de números reais diferentes x_{1}, x_{2} contidos em um determinado intervalo e qualquer par de números reais s, t onde s+t=1, s ≥ 0, t ≥ 0, a desigualdade f(s x_{1}+t x_{2}) ≤ s f(x_{1})+t f(x_{2}) é verdadeira, e f(x) é côncava para cima se a desigualdade f(s x_{1}+t x_{2}) ≥ s f(x_{1})+t f(x_{2}) for verdadeira. Uma função que é côncava para baixo em seu domínio é chamada de função convexa, e uma função que é côncava para cima é chamada de função côncava.'

'Calcular a quantidade e a integral do escoamento da água.'

'Diferencie a seguinte função. (1) y = (x^2 + 1)^3'

'Explique o método de cálculo de derivadas por definição.'

'Por favor, explique as regras do produto e quociente da diferenciação.'

'Usando o método de integração por partes, encontre a integral definida abaixo.'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas.'

'(1) ∫ 1/√(x^2+1) dx'

'Encontre a tangente da curva e o volume do sólido de revolução.'

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'Diferencie as seguintes funções.'

'Encontre as integrais indefinidas seguintes.'

"Prove que f'(x) é divisível por x=1 quando f(x)=(x-1)^2 Q(x) onde Q(x) é um polinômio."

"Explique a definição e características das derivadas. Além disso, forneça a fórmula para a derivada f'(x) da função f(x)."

'Encontre as seguintes integrais indefinidas.'

'Encontre as integrais indefinidas a seguir.'

'Diferencie as seguintes funções de acordo com a definição de derivadas. (Questão adicional)'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas.'

'Para números reais x e y, encontre o valor mínimo de x^{2}-4 x y+7 y^{2}-4 y+3 e determine os valores de x e y nesse momento.'

'Permutações circulares e permutações com repetição do mesmo item'

'Determine o valor da constante a para que a parábola y=x^{2}-ax+a+1 seja tangente ao eixo x. Além disso, encontre as coordenadas do ponto de tangência.'

'Revisão das condições necessárias e suficientes'

'Como a parábola y=3x^2-6x+5 deve ser traduzida para se sobrepor à parábola y=3x^2+9x?'

'Máximo e mínimo de uma função quando o gráfico se move'

'Quais são os valores máximo e mínimo de uma função quando consideramos todo o domínio?'

'Máximos e Mínimos de uma Função de Duas Variáveis'

'Valor máximo é 0 em x=0, valor mínimo é 8(a+1) em x=2'

'Considerando a como uma constante, encontre o valor mínimo m(a) da função f(x)=(1+2a)(1-x)+(2-a)x.'

'[3] O gráfico passa por 3 pontos (1,3), (2,5), (3,9)\nVamos considerar a função do segundo grau y=ax^{2}+bx+c\nComo passa por (1,3), temos 3=a*1^{2}+b*1+c\nComo passa por (2,5), temos 5=a*2^{2}+b*2+c\nComo passa por (3,9), temos 9=a*3^{2}+b*3+c\nResolvendo este sistema de equações, podemos encontrar os valores de a, b, c e determinar a função do segundo grau.'

"Explique as relações entre uma proposição, sua inversa, contrapositiva e contraditória, e encontre as inversas, contrapositivas e contraditórias da seguinte proposição S: Proposição S: 'Se x for par, então x é divisível por 2.'"

'Encontre os valores extremos das seguintes funções.'

"(2) Se y' = -4x - 8 = -4(x + 2), y' = 0, então quando x = -2, a tabela de aumento e diminuição de y é como segue à direita. Portanto, y atinge o valor máximo de -4 em x = -2."

'Para a função $f(x)=x^{3}+\x0crac{3}{2} x^{2}-6 x$, responda às seguintes perguntas.'

'Intervalo de valores para a constante k quando f(x)=x^{4}-8 x^{3}+18 k x^{2} não tem um valor máximo.'

'Seja f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 1. Prove que a curva y = f(x) é simétrica em relação ao ponto A(2,3) na curva.'

'Encontre o valor da constante a de modo que as áreas delimitadas pela curva y=x^{3}+x^{2} e pela linha y=a^{2}(x+1) sejam iguais. É dado que 0<a<1.'

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"(2) y' = 3x^2 + 2x - 1 = (x + 1)(3x - 1) quando y' = 0, x = -1, 1/3, a tabela de aumento e diminuição de y é a seguinte. Portanto, y atinge um máximo em x = -1 e um mínimo em x = 1/3."

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'Encontre a equação do círculo que passa pelos pontos (4,-1), (6,3), (-3,0).'

'Um cubo com um lado de 1 cm está aumentando a uma taxa de 1 mm por segundo. Encontre as taxas de variação da sua área de superfície e volume após 10 segundos (cm²/s, cm³/s).'

'A coordenada x dos pontos de interseção da curva y = 2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2 e o eixo x são as soluções para a equação 2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2 = 0. Seja P(x) = 2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2; assim, P(1) = 2-5 + 1 + 2 = 0. Portanto, P(x) = (x-1)(2x ^ 2-3x-2) = (x-1)(x-2)(2x + 1). As soluções para P(x) = 0 são x = 1, 2, -1/2. Portanto, a curva parece como mostrado na figura à direita, e a área S a ser encontrada é S = ∫(-1/2 a 1)(2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2) dx + ∫(1 a 2)(-(2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2)) dx = [x ^ 4/2 - 5/3 x ^ 3 + x ^ 2/2 + 2x](-1/2 a 1) - [x ^ 4/2 - 5/3 x ^ 3 + x ^ 2/2 + 2x](1 a 2) = 2(1/2 - 5/3 + 1/2 + 2) - (2 ^ 4/2 - 5/3 * 2 ^ 3 + 2 ^ 2/2 + 2 * 2) - (1/2(-1/2) ^ 4 - 5/3(-1/2) ^ 3 + 1/2(-1/2) ^ 2 + 2 * (-1/2)) = 8/3 - 2/3 - (- 61/96) = 253/96'

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'Matemática II'

'Encontre os valores extremos da função dada. Além disso, trace o seu gráfico. (1) y=x^{4}-2 x^{3}-2 x^{2}'

'65\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\text { (1) } \oldsymbol{y}^{\\prime}=2(x)^{\\prime}+(1)^{\\prime}=2 \\cdot 1=2 \\\\\n\oldsymbol{y}^{\\prime}=3\\left(x^{2}\\right)^{\\prime}-6(x)^{\\prime}+(2)^{\\prime}=3 \\cdot 2 x-6 \\cdot 1 \\\\\n=6 \oldsymbol{x}-6\n\\end{array}\n\\]'

'Encontre o intervalo de valores possíveis da função f(x)=∫(t^2-2t-3)dt quando -3≤x≤3.'

'Encontre as retas tangentes da curva y=x^{3}-4x com uma inclinação de -1.'

'Para o problema de exemplo 190 envolvendo o movimento de uma extremidade de um intervalo, supondo que a > 0. Para a função y=-x³+3x² com 0≤x≤a, encontre:\n(1) O valor máximo.\n(2) O valor mínimo.'

'Na função dada, determine o valor de h para que a taxa de variação média seja 4 à medida que x varia de 1 para 1+h na função f(x)=x^3-x^2.'

"Exemplo adicional 178: Calcular Derivadas (2)\nUsando a fórmula da página 278, encontre as derivadas das seguintes funções:\n(1) y=(2x-1)(x+1)\n(2) y=(x^2+2x+3)(x-1)\n(3) y=(2x-1)^3\n(4) y=(x-2)^2(x-3)\nPágina 278 'STEP UP'"

'Usando a fórmula da página 278, diferencie as seguintes funções.'

'Encontre o intervalo de valores que a função f(x) = ∫[−3, x](t^2−2t−3)dt pode assumir quando x está no intervalo [-3, 3].'

'Encontre as derivadas das seguintes funções e calcule a derivada em x=0,1 para cada uma.(1) y=5 x^{2}-6 x+4 (2) y=x^{3}-3 x^{2}-1 (3) y=x^{2}(2 x+1) (4) y=(x-1)(x^{2}+x+1)'

'Dada a sequência {an}, onde a1=2 e an+1=3an-n^2+2n. Ao considerar uma função quadrática g(n) de modo que a sequência {an}-g(n) forme uma sequência geométrica com uma razão comum de 3, encontre uma expressão para an em termos de n.'

'Determine os valores das constantes a, b, c de modo que a função f(x) = ax^2 + bx + c satisfaça as seguintes 3 condições.'

'Encontre uma função f(n) que satisfaça a seguinte condição: b_{n+1}+f(n+1)=-2(b_{n}+f(n))'

'297 Exemplo básico 189 Determinar coeficientes a partir dos valores máximo e mínimo'

None

'Problema de busca de soluções comuns'

'Encontre o valor mínimo da função f(x, y) = x^2 - 4xy + 5y^2 + 2y + 2 quando x ≥ 0, y ≥ 0. Além disso, determine os valores de x e y nesse ponto.'

'Encontre a seguinte integral indefinida: \\[\\int (x-\\sin x) \\cos x \\,dx\\]'

'Calcule a seguinte integral definida:\n\n\\[\n\\int_{\\frac{a}{2}}^{a} \\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)} dx \n\\]\nTomando x = a - t, então -dx = dt. A correspondência entre x e t é a seguinte:\n \ x \\frac{a}{2} \\longrightarrow a \\n \ t \\frac{a}{2} \\longrightarrow 0 \\n Portanto,\n\\[ I = \\int_{\\frac{a}{2}}^{a} \\frac{f(a-t)}{f(a-t)+f(t)} (-1) dt = \\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\frac{f(a-t)}{f(t)+f(a-t)} dt = \\int_{0}^{\\frac{a}{2}}\\left\\{1 - \\frac{f(t)}{f(t)+f(a-t)}\\right\\} dt = [t]_{0}^{\\frac{a}{2}} - \\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\frac{f(t)}{f(t)+f(a-t)} dt = \\frac{a}{2} - b \\]'

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'Encontre o máximo e o mínimo da função representada por uma integral definida (1)\n Para os números reais a, b, encontre o valor mínimo da integral definida $\\int_{-\\pi}^{\\pi} (x-a \\sin x - b \\cos x)^{2} dx$. Além disso, determine os valores de a e b nesse momento.\n[Universidade de Shinshu]'

'Prática 101 ⇒ Livro p.452 (1) ∫ 1 / (√(x + 2) - √(x)) dx = ∫ (√(x + 2) + √(x)) / (x + 2 - x) dx (2) ∫ 2x / (√(x^2 + 1) + x) dx = ∫ 2x (√(x^2 + 1) - x) / ((x^2 + 1) - x^2) dx'

'Encontre os valores extremos das seguintes funções.'

'O que aprender neste capítulo》 De um modo geral, as funções que não são expressas por polinômios muitas vezes não são fáceis de integrar, embora possam ser diferenciadas. Neste capítulo, aprenderemos mais sobre os métodos de integração para uma variedade maior de funções com base nas fórmulas de diferenciação do Capítulo 3. Nos métodos de integração, mesmo as integrais indefinidas de funções racionais podem ultrapassar o escopo da matemática do ensino médio, portanto, nem todas as funções podem sempre ser integradas. No entanto, o alcance das funções integráveis é muito mais amplo do que em Matemática II.'

'Calcular a seguinte integral indefinida.'

'Diferencie as seguintes funções.'

'\\[\egin{array}{l}\\int \\sqrt{x^{2}+1} d x=x \\sqrt{x^{2}+1}-\\left(\\int \\sqrt{x^{2}+1} d x-\\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x\\right) \\\\\\text { Portanto, } \\quad 2 \\int \\sqrt{x^{2}+1} d x=x \\sqrt{x^{2}+1}+\\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x\\end{array}\\]'

'Avalie as seguintes integrais indefinidas.'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas.'

'(2) Calcular \\int_{0}^{1} \\frac{x^{2}}{1+x^{2}} dx = \\int_{0}^{1}(1-\\frac{1}{1+x^{2}}) dx = \\int_{0}^{1} dx - \\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x^{2}} dx = 1 - \\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x^{2}} dx \\quad \\cdots \\cdots \\text{ (3) } \egin{\overlineray}{rl||l}x & 0 \\longrightarrow 1 \\hline\\=\\tan \\theta \\text{ Assumindo} \\\\dx & =\\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} d \\theta \\quad 0 \\longrightarrow \\frac{\\pi}{4}\\end{\overlineray} \\text{ Portanto, } \\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x^{2}} dx = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\frac{1}{1+\\tan ^{2} \\theta} \\cdot \\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} d \\theta = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\cos ^{2} \\theta \\cdot \\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} d \\theta = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} d \\theta = \\frac{\\pi}{4}.'

'Desigualdade de Schwarz'

"(x é uma variável não relacionada a t) ∫_(h(x))^(g(x)) f(t) dt = f(g(x)) g'(x) - f(h(x)) h'(x)"

'Capítulo 4 Aplicações da Derivação\n19 Velocidade e Aceleração, Aproximação\nEstudo/Expansão de MacLaurin, Fórmula de Euler\nExercícios'

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'Encontre a integral indefinida a seguir.'

'Assumindo que o ponto P se move ao longo da reta numérica e sua velocidade no tempo t é 12-6t. Calcular a distância percorrida pelo ponto P de t=0 a t=5.'

'Pratique diferenciar as seguintes funções.'

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'Calcular as integrais definidas na coluna 40'

"Aumento e Diminuição de Funções\nNa Matemática II, consideramos de forma intuitiva uma curva y=f(x) aproximando-a com sua reta tangente. Na Matemática II, podemos provar teoricamente usando o teorema do valor médio.\nA função f(x) é contínua no intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b).\n1. Se f'(x) > 0 para todo x no intervalo aberto (a, b), então f(x) é monotonamente crescente no intervalo fechado [a, b].\n2. Se f'(x) < 0 para todo x no intervalo aberto (a, b), então f(x) é monotonamente decrescente no intervalo fechado [a, b].\n3. Se f'(x) = 0 para todo x no intervalo aberto (a, b), então f(x) é constante no intervalo fechado [a, b]."

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'Explique como encontrar a derivada de uma função representada por variáveis paramétricas.'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas.'

'Capítulo 6: Aplicações da Integração'

'Encontre a seguinte integral indefinida'

"Quando as coordenadas (x, y) do ponto P são dadas como uma função do tempo t, desenhando linhas perpendiculares PQ e PR de P para os eixos x e y, respetivamente, a velocidade de Q no tempo t é dx/dt=f'(t), e a velocidade de R é dy/dt=g'(t). Um vetor v composto por essas velocidades é chamado de velocidade ou vetor de velocidade do ponto P no tempo t. A magnitude de v, |v|, é chamada de velocidade."

"Dado que a função cúbica f(x) tem extremos locais em x = 1 e x = 2, ela pode ser expressa como f'(x) = a(x-1)(x-2)(a≠0). Além disso, se g(x) = 3x/(2√(x^2+1))+1, então g'(x) = 3/2 * ((x^2+1)-x^2) / ((x^2+1)√(x^2+1)) = 3 / (2(x^2+1)√(x^2+1)). A condição para as curvas y=f(x) e y=g(x) terem uma reta tangente comum no ponto (0,1) é f'(0)=g'(0)."

'Calcule a integral definida de uma função f(x) que satisfaz as seguintes condições:\n\n1. f(x) é uma função ímpar y onde f(-x)=-f(x) sempre se mantém.\n2. O intervalo da integral definida é [-a, a].'

'( )'

'Calcular a seguinte integral definida. \\[ \\int_{0}^{1} x^{2}(x-1)^{2} e^{2 x} \\,dx \\]'

'Exercício 38 ↠ Este livro p.341 Seja h(x)=f(x)-g(x). Considere funções contínuas f(x), g(x) no intervalo [a, b]. Por exemplo, suponhamos que f(x) é máximo em x=x e mínimo em x=x^2, e g(x) é máximo em x=x^3 e mínimo em x=x^4.'

'Encontre o valor da seguinte integral definida \\ (2) \\\ \\int_ {0} ^ {9} \\ frac {1} {\\ sqrt {x +16} + \\ sqrt {x}} dx \'

'Matemática II\n\n[Pergunta 1]\nSeja I = ∫[0, π] sin(mx) cos(nx) dx.\n(1) Quando m - n ≠ 0, ou seja, m ≠ n\n\nResolva o problema transformando sin(mx)cos(nx):\n\nCalcule I = ∫[0, π] (1/2) {sin((m+n)x) + sin((m-n)x)} dx.\n\nO que é I quando m+n é par?\nO que é I quando m+n é ímpar?\n\n(2) Quando m - n = 0, ou seja, m = n\n\nO que é I neste caso?'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas.'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas.'

'Considerando a transformação de variáveis x, y, mostre a seguinte equação: \\( \\left(\\frac{d x}{d \\theta}\\right)^{2} + \\left(\\frac{d y}{d \\theta}\\right)^{2} \\)'

'Dado \\( y=(x-1)^{2}(x-2)^{3}(x-3)^{-5} \\), temos\n\\[\n\egin{aligned}\ny^{\\prime}= & 2(x-1)(x-2)^{3}(x-3)^{-5}+(x-1)^{2} \\cdot 3(x-2)^{2}(x-3)^{-5} \\\\\n& +(x-1)^{2}(x-2)^{3} \\cdot(-5)(x-3)^{-6} \\\\\n= & (x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{-6} \\\\\n& \\times\\{2(x-2)(x-3)+3(x-1)(x-3)-5(x-1)(x-2)\\} \\\\\n= & (x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{-6}(-7 x+11)\n\\end{aligned}\n\\]'

'Examine a concavidade da curva y=\\frac{4x}{x^{2}+1} e encontre os pontos de inflexão.'

'(2) \ \\int \\sin \\theta \\cos \\theta d \\theta = \\int \\frac{1}{2} \\sin 2 \\theta d \\theta\'

''

'Seja V(t) o volume do sólido obtido ao girar a região representada pelo sistema de desigualdades {0 ≤ y ≤ sin x, 0 ≤ x ≤ t - y} em torno do eixo x quando 660<t<3. Encontre o valor de t onde dV(t)/dt=π/4 e o valor correspondente de V(t).'

'Encontre a seguinte integral.'

'Teorema de Taylor'

'Usando a fórmula (5), encontre a integral a seguir.'

'Matemática I'

'Livro de exercícios 65 p.394'

'Encontre as integrais definidas a seguir.'

'Calcular a área envolvida pela curva de distribuição normal (integral gaussiana)'

''

'Avalie as seguintes integrais indefinidas. Aqui, a é uma constante.'

'Encontre as integraisindefinidas a seguir. Note que o x em (4) é independente de t.'

''

'No intervalo c ≤ y ≤ d, a função f(y) é sempre maior ou igual a 0.'

'Encontre o intervalo de valores para a constante a de modo que a função f(x)=x^{3}+a x^{2}+(3 a-6) x+5 tenha valores extremos.'

'Encontre os valores extremos das seguintes funções e esboce o formato geral de seus gráficos. (1) y=3 x^{4}-16 x^{3}+18 x^{2}+5 (2) y=x^{4}-8 x^{3}+18 x^{2}-11'

'Encontre os valores das constantes $\\alpha, \eta(\\alpha<\eta)$ para as quais a equação $\\int_{0}^{1} f(x) dx=\\frac{1}{2}\\{f(\\alpha)+f(\eta)\\}$ é válida para qualquer função quadrática $f(x)$.'

'Desigualdade de Schwarz'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas.'

'Explique sobre o aumento e diminuição de uma função e o conceito de máximo e mínimo.'

'Seja a uma constante positiva. Provar que a área cercada pela tangente em qualquer ponto P na parábola y=x^{2}+a e a parábola y=x^{2} é constante, independentemente da posição do ponto P, e encontrar o valor constante.'

''

'Encontre os extremos das seguintes funções e esboce seus gráficos.'

'Começando da equação matemática \ \\Pi \, temos (2) \\( \\int_{x}^{a} f(t) d t=-x^{3}+2 x-1 \\) o que nos dá \\[ \\int_{a}^{x} f(t) d t=x^{3}-2 x+1 \\], e diferenciando ambos os lados de (2) em relação a \ x \ nos dá \\( f(x)=3 x^{2}-2 \\). Além disso, ao substituir \ x=a \ em (2), o lado esquerdo se torna 0, portanto \ 0=a^{3}-2 a+1 \, portanto \\( (a-1)\\left(a^{2}+a-1\\right)=0 \\), então \ a=1, \\frac{-1 \\pm \\sqrt{5}}{2} \, assim \\( f(x)=3 x^{2}-2 ; a=1, \\frac{-1 \\pm \\sqrt{5}}{2} \\) . \\[ \egin{array}{l}\\leftarrow \\int_{x}^{a} f(t) d t=-\\int_{a}^{x} f(t) d t \\leftarrow \\frac{d}{d x} \\int_{a}^{x} f(t) d t=f(x) \\leftarrow \\int_{a}^{a} f(t) d t=0\\end{array} \\] \ \\leftarrow \ Usando o teorema do fator.'

''

'Encontre a função f(x) e o valor da constante a que satisfazem as seguintes equações: (1) ∫_{a}^{x} f(t) d t=2 x^{2}-9 x+4 (2) ∫_{x}^{a} f(t) d t=-x^{3}+2 x-1'

'Encontre a função f(x) que satisfaça as seguintes equações:'

'Encontre os valores máximos e mínimos das seguintes funções. Além disso, encontre os valores correspondentes de x.'

'Explique as propriedades de integrais indefinidas usando as constantes k e l.'

'Determinação de coeficientes indeterminados no conjunto 16 (2) [Método de Substituição Numérica]'

'Explique como encontrar valores extremos.'

'Encontre a derivada da função y=2x^{3}-3x^{2}-12x+5 em x=1.'

'Traduza o texto dado para vários idiomas.'

'A integral indefinida de 2x^n é ∫ x^n dx= (1/(n+1)) x^(n+1) + C (onde n é 0 ou um inteiro positivo)'

'Encontre a área entre as curvas y = x^2 e y = 2x.'

'Portanto, quando a reta (2) passa pelo ponto (10, 50), o valor da interseção y l/3 da reta (2) será máximo. Neste ponto, l também será máximo. Assim, o lucro x+3y será máximo em (x, y) = (10, 50).'

'Encontre f(x) e g(x) que satisfaçam as funções dadas f(x) e g(x)'

'Encontre as seguintes integrais definidas.'

''

'Encontre os valores extremos das seguintes funções e esboce o gráfico.'

"Encontre uma função cúbica f(x) que satisfaça as seguintes condições: f'(1)=f'(-1)=1, f(1)=0, f(-1)=2."

''

'Se a for uma constante não nula, seja A = ∫_{0}^{π} e^{-a x} sin 2x dx e B = ∫_{0}^{π} e^{-a x} cos 2x dx. Encontre os valores de A e B.'

'Prove a desigualdade e o limite (usando o teorema do sanduíche)'

'Integração por substituição e integração por partes para integrais indefinidas'

'Encontre a função diferenciável f(x) tal que a inclinação da reta tangente no ponto (x, y) na curva que passa por (1,0) é x√x.'

'Para a função y de x definida pela seguinte equação, expresse dy/dx e d^2y/dx^2 em termos de x e y, respectivamente.'

'Sejam a e b números reais. Encontre o valor mínimo da integral ∫{0}{1}{cosπx-(ax+b)2}dx à medida que os valores de a e b variam e determine os valores de a e b nesse momento.'

'Diferencie as seguintes funções.'

'Explique as seguintes fórmulas aproximadas:'

'(2) Seja Iₙ=∫0π/4 tanⁿxdx (onde n é um número natural). Expresse Iₙ para n >= 3 em termos de n e Iₙ-2. Além disso, encontre os valores de I₃, I₄. [Similar à Universidade Nacional de Yokohama]'

'(3) Resolver usando a fórmula da soma de produtos: $\\int \\sin 3x \\sin 2x dx = -\\frac{1}{2} \\int (\\cos 5x - \\cos x) dx$.'

'Encontre os extremos das seguintes funções.'

'Encontre a segunda derivada e a terceira derivada das seguintes funções.'

'Encontre a integral indefinida de f(ax+b).'

'Encontre a antiderivada de funções básicas'

'Diferencie as seguintes funções.'

'Por favor, calcule a derivada.'

''

'Encontre as integrais indefinidas das seguintes funções.'

''

"Seja a função inversa da função f(x) como g(x). Quando f(1)=2, f'(1)=2, f''(1)=3, encontre o valor de g''(2)."

'Examine o aumento e a diminuição da função. (2) $$ y=\\frac{x^{3}}{x-2} $$'

'Diferencie a função y=x^{3}sqrt{1+x^{2}}.'

'Diferencie as seguintes funções.'

"A partir da matemática (4) (1), temos f(x+y)-f(x)=f(y)+8xy. Portanto, f'(x)=lim _{y \\rightarrow 0} \\frac{f(x+y)-f(x)}{y}=lim _{y \\rightarrow 0} \\frac{f(y)+ 8xy}{y}=lim _{y \\rightarrow 0}\\left\\{\\frac{f(y)}{y}+8 x\\right\\}=3+8 x"

'Encontre os pontos de inflexão da curva y=x^{3}+3 x^{2}-24 x+1.'

'Defina a derivada de uma função.'

'Usando o exemplo acima, calcule as seguintes integrais definidas:\n1. \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{6} x \\cos^{3} x d x \\n2. \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{5} x \\cos^{7} x d x \'

'Usando o método de integração por partes, avalie a seguinte integral definida. \\\int_{0}^{1} x^n e^{-x} dx\ (onde n é um inteiro não negativo)'

'Encontre a integral definida \ \\int_{0}^{1} \\frac{1}{x^{3}+1} dx \.'

'Encontre as integrais indefinidas.'

'Para uma função par $f(x)$, encontrar $\\int_{-a}^{a} f(x) dx$. Aqui, uma função par é uma função que satisfaz $f(-x) = f(x)$.'

'Explique a fórmula de aproximação de segunda ordem.'

'Diferencie as seguintes funções de acordo com a definição de derivadas: (1) y=\\frac{1}{x^{2}} (2) y=\\sqrt{4 x+3} (3) y=\\sqrt[4]{x}'

'Equações de Tangente e Normal\nNum ponto \\( \\mathrm{A}(a, f(a)) \\) na curva \\( y=f(x) \\)\n[1] A equação da tangente é \\( y-f(a)=f^{\\prime}(a)(x-a) \\)\n[2] A equação da normal é, quando \\( f^{\\prime}(a) \\neq 0 \\)\n\\[ y-f(a)=-\\frac{1}{f^{\\prime}(a)}(x-a) \\]'

'Usando indução matemática, prove que a sequência $a_{n}$ satisfaz $0<a_{n}<2 (n=1,2,3, \\cdots \\cdots)$.'

'Diferenciar as seguintes funções.'

'Avalie `∫_{0}^{π} e^{-x} sin x dx`.'

''

'Teorema do valor médio'

'Diferencie as seguintes funções.'

'Encontre a derivada das seguintes funções.'

'Encontre o valor máximo de f(x) = ∫₀ˣ eˣᶜᵒˢᵗ dt (0 ≤ x ≤ 2π) e o valor correspondente de x.'

'Por favor, compare as taxas de crescimento das funções \ x^{p} \ e \\( x^{q}(0<p<q) \\).'

'Usando integração definida e relação de recorrência, encontre a integral definida a seguir.'

'Encontre as integrais indefinidas a seguir.'

'Para uma curva com a equação F(x, y) = 0 ou parametrizada como x = f(t), y = g(t), a equação da reta tangente em um ponto (x1, y1) na curva é y - y1 = m(x - x1), onde m é a inclinação obtida ao substituir x = x1, y = y1 na derivada dy/dx.'

'(3) \\( V = \\pi \\int_{1}^{4}\\left(x+\\frac{1}{\\sqrt{x}}\\right)^{2} d x \\)'

"Prove que se a função f(x) é contínua no intervalo [a, b] e diferenciável no intervalo (a, b), então existe um número real c tal que [f(b) - f(a)] / (b - a) = f'(c) com a < c < b."

'Encontre a seguinte integral definida. (2) \ \\int_{0}^{2} \\frac{d x}{\\sqrt{16-x^{2}}} \'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas.'

'Explique como encontrar integrais usando as regras de diferenciação.'

'Movimento de pontos em um plano'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas.'

'Diferencie as seguintes funções. Nesta questão, (6) onde a é uma constante.'

'Encontre a integral indefinida \ \\int e^{x} \\sin x \\, d x \.'

'Prove que quando a função contínua f(x) satisfaz f(π-x)=f(x) para todos os números reais x, então a integral de 0 a π de (x-π/2)f(x)dx=0. Além disso, usando isso, encontre a integral definida ∫₀ᵠ de xsin³x / 4-cos²x dx.'

'Encontre a segunda derivada da seguinte função: (1) y=x^3−3x^2+2x−1'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas.'

'Utilize o método de substituição para resolver as seguintes integrais.'

'Para um número natural n, seja S_n=∫[0,1] (1-(-x)^n)/(1+x) dx, T_n=Σ[k=1,n] (-1)^(k-1)/k(k+1).'

'Encontre a área delimitada pela curva y=f(x) e y=g(x) entre as retas x=a e x=b.'

'(1) Resolver usando a fórmula do semi-ângulo $\\int \\cos^{2} 2x dx=\\int \\frac{1+\\cos 4x}{2} dx$.'

'Examine o aumento e a diminuição da seguinte função:'

'Supondo que um terço das pessoas que vivem fora de Tóquio se mudem para Tóquio a cada ano, e um terço das pessoas que vivem em Tóquio se mudem para fora de Tóquio. Seja an a população fora de Tóquio e bn a população dentro de Tóquio no enésimo ano, encontre lim(n→∞)an/bn. Supõe-se que a soma total da população de Tóquio dentro e fora seja constante, independentemente do ano.'

'(2) Encontre a integral definida \\( \\int_{0}^{1}\\{x(1-x)\\}^{\\frac{3}{2}} d x \\).'

'(2) \ \\int \\sin^{3} x dx=\\int \\frac{3 \\sin x-\\sin 3x}{4} dx \ Resolver usando a fórmula do triplo ângulo.'

'Encontre y^{\\prime \\prime}(0) quando a função y(x) tem uma segunda derivada y^{\\prime \\prime}(x) e satisfaz x^{3}+(x+1)\\{y(x)\\}^{3}=1.'

'(4) $\\int_{1}^{e} \\frac{\\log x}{x} d x$'

'Diferencie as seguintes funções de acordo com a definição de derivadas.'

'Diferencie a função y=x^3√(1+x^2).'

'Prática: Encontre o volume V do sólido obtido ao girar a região fechada pelas seguintes curvas ou linhas em torno do eixo y.'

'A condição para a função inversa ser igual à função original é $f^{-1}(x)=f(x)$'

'Avalie as integrais definidas a seguir.'

'Encontre a segunda derivada da seguinte função. (1) y=√[3]{x}'

'A função composta \\( f(x) \\) satisfaz a condição \\( f(x+y)+f(x) f(y)=f(x)+f(y) \\) para quaisquer números reais \ x, y \, e é diferenciável em \ x=0 \ com \\( f^{\\prime}(0)=1 \\).'

'Matemática (2) ∫ 1 / (x^2 - 4) dx = 1 / 4 ∫ [ 1 / (x - 2) - 1 / (x + 2) ] dx Quando os denominadores são cancelados dessa forma...'

'Encontre os valores extremos das seguintes funções.'

'Encontre a integral definida \ \\int_{0}^{1} \\frac{x^2+2}{x+2} dx \.'

'Prove a seguinte equação: \ \\int_{-1}^{0} \\frac{x^{2}}{1+e^{x}} d x=\\int_{0}^{1} \\frac{x^{2}}{1+e^{-x}} d x \'

'Encontre os valores extremos da função f(x) = ∫₀ˣ(1-t²) eˣᵗ dt. [Universidade Marítima de Tóquio]'

'Encontre a integral definida \\( \\int_{0}^{1} \\frac{2 x+1}{(x+1)^{2}(x-2)} d x \\).'

"Se considerarmos F'(t) = 1/(t²+1) "

'Suponha que a função f(x) seja contínua no intervalo [a, b] e diferenciável no intervalo (a, b).'

'Quem descobriu o cálculo?'

'Encontre a área da região cercada por duas curvas e uma reta: Calcule a área S cercada pelas duas curvas y=e^x, y=1/(x+1) e pela reta x=1.'

'Vamos tentar calcular o volume cortando com um plano perpendicular ao eixo y. Pegue o ponto Q no eixo y, onde OQ=y, deixe a área da seção transversal ser S(y) e então calcule V= \\int_{0}^{a} S(y) dy.'

'Encontre as derivadas das seguintes funções de acordo com as definições dadas.'

'Encontre os valores extremos das seguintes funções.'

'(2) Considerando o resultado obtido em (1) como uma função de x e diferenciando-a, encontre a soma 1+2x+3x^2+...+nx^(n-1) quando x não é igual a 1.'

'Encontre a integral indefinida de f(ax+b).'

'Como encontrar a função inversa?'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas.'

'(1) Usando (1), encontre a seguinte integral definida.\n(a) \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{7} x dx \'

''

''

''

'Encontre a derivada das seguintes funções de acordo com a definição.'

''

'Encontre a integral indefinida: \ \\int_{0}^{1} \\frac{dx}{2+3e^x+e^{2x}} \'

'Encontre as integrais indefinidas a seguir.'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas.'

''

'Diferencie as seguintes funções. Onde a é uma constante.'

"Encontre a integral definida ∫[a,b] f(g(x)) g'(x) dx usando o método de substituição para integrais."

"Exemplo Básico 53 Derivadas e Identidades\nSeja f(x) um polinômio de grau 2 ou superior.\n(1) Expresse o resto da divisão de f(x) por (x-a)^2 em termos de a, f(a), f'(a).\n(2) Encontre a condição para f(x) ser divisível por (x-a)^2."

'Encontre a seguinte integral definida: \ \\int_{-1}^{1} \\frac{x^{2}}{1+e^{x}} d x \'

'13 \\n(1)\\n\\\y^{\\prime} =3 \\cdot 4 x^{3}+2 \\cdot 3 x^{2}-1 \\\\ =12 x^{3}+6 x^{2}-1\\\'

'Diferenciar as seguintes funções.'

'Encontre a derivada da função composta h(x) = f(g(x)).'

'Encontre os valores extremos das seguintes funções. (1), (3) Nihon Joshi Daigaku'

"Comece com o seu 'eu desejado' e trabalhe retroativamente."

'Curvas côncavas e convexas, Pontos de inflexão'

'(1) Encontre a integral definida \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}\\left|\\cos x-\\frac{1}{2}\\right| dx \.'

'Encontre as integrais indefinidas a seguir.'

'Usando (1), encontre a integral definida a seguir.'

'Calcular as integrais definidas seguintes.'

'Encontre os valores extremos das seguintes funções.'

''

'Encontre a integral indefinida a seguir.'

'Encontre o número real \ k \ que minimiza o valor da integral \\( \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}(\\sin x-k x)^{2} d x \\) e o valor da integral nesse ponto.'

'Calcule dy/dx utilizando o método de diferenciação paramétrica.'

''

'Diferencie as seguintes funções.'

"Para as constantes a, b, c, considere f(x)=(a x^{2}+b x+c) e^{-x}. Encontre os valores de a, b, c quando f'(x)=f(x)+x e^{-x} é válido para todos os números reais x."

'Quando a série infinita converge, seja a sua soma f(x). Desenhe o gráfico da função y=f(x) e examine a sua continuidade.'

'Ao definir 1+x^{2}=u, então 2 x d x=d u, logo, ∫ x cos(1+x^{2}) d x=1/2 ∫ cos u d u=1/2 sin u + C=1/2 sin(1+x^{2}) + C'

'Diferencie as seguintes funções.'

'Por que o cálculo não foi descoberto na Grécia antiga?'

'Usando a segunda derivada, encontre os valores extremos das seguintes funções.'

'Prove que quando y=cos x, a enésima derivada de y é cos(x+nπ/2).'

'Ao procurar o integral indefinido de uma função racional, como devemos proceder se o grau do numerador for maior que o denominador ou se o denominador estiver na forma de um produto de múltiplos fatores?'

'Diferencie as seguintes funções.'

'Diferencie a seguinte função. (1) y=\\sqrt[3]{x^{2}(x+1)}'

'Usando as regras de derivadas, calcule as derivadas das seguintes funções.'

'Resolva o seguinte problema: Encontre a integral definida do valor absoluto de t^3 no intervalo de 0 a 2.'

'Diferencie as seguintes funções.'

'Encontre a seguinte integral indefinida: \n\ \\int_{1}^{4} \\frac{d x}{\\sqrt{3-\\sqrt{x}}} \'

'As sequências {an},{bn} convergem, com lim{n→∞} an=α, lim{n→∞} bn=β. Explique as seguintes propriedades: 1) Múltiplo constante lim{n→∞} k an=k α, onde k é uma constante 2) Soma lim{n→∞}(an+bn)=α+β; Diferença lim{n→∞}(an-bn)=α-β 3) lim{n→∞}(k an+l bn)=k α+l β, onde k, l são constantes 4) Produto lim{n→∞} αn bn=α β 5) Quociente lim{n→∞} an/bn=α/β, onde β ≠ 0.'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas.'

'Encontre a derivada das seguintes funções.\n(1) y=\\left(x^{2}-2\\right)^{3}\n(2) y=(1+x)^{3}(3-2 x)^{4}\n(3) y=\\sqrt{\\frac{x+1}{x-3}}\n(4) y=\\frac{\\sqrt{x+1}-\\sqrt{x-1}}{\\sqrt{x+1}+\\sqrt{x-1}}'

'Calcule o exemplo 134 da integral definida (usando equações)'

'Crie uma aproximação de primeira ordem para as seguintes funções.'

'Explique as condições para uma função ter um extremo.'

'Diferencie as seguintes funções em relação a x:'

'Encontre a derivada das seguintes funções.'

'Encontre a integral definida.'

'A integral definida de uma função par ou ímpar f(x) é'

'Diferencie as seguintes funções.'

'Traduza o texto dado para vários idiomas.'

None

'Encontre o valor de c para o qual as condições do teorema do valor médio são satisfeitas para a função f(x) dada e intervalo.'

'Diferenciar as seguintes funções.'

'Encontre as seguintes integrais definidas.'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas.'

'Examine a concavidade das seguintes curvas e encontre quaisquer pontos de inflexão.'

'Liste os exercícios das aplicações do método de integração no Capítulo 6 na seguinte ordem: 28 Área 29 Volume 30 Comprimento de uma curva 31 Velocidade e distância 32 Equações diferenciais avançadas Use a integração gaussiana para encontrar a área delimitada pela curva da distribuição normal.'

'Seja a um número real. Determine o intervalo de valores para a de forma que a função f(x)=ax+cosx+12sin2x não tenha nenhum extremo.'

'Usando a segunda derivada, encontre os valores extremos da função y=x^{3}-3 x+1.'

'Encontre a terceira derivada das seguintes funções:\n(1) y = sin 2x\n(2) y = sqrt(x)\n(3) y = e^(3x)'

'Como você pode utilizar vídeos explicativos?'

'Encontre a integral indefinida seguinte.'

'Determine os valores das constantes a, b e c, quando a função inversa de f(x)=a+\\frac{b}{2x-1} é g(x)=c+\\frac{2}{x-1}.'

'(1) Usando (1), encontre a seguinte integral definida. (イ) \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{3} x \\cos^{2} x dx \'

'Encontre os valores extremos das seguintes funções.'

'Calcule a seguinte integral indefinida. \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin 2x}{3+\\cos^2 x} dx \'

'Expresse \ \\frac{d^{2} y}{d x^{2}} \ em termos de \ x \ e \ y \ quando \ x^{2}-y^{2}=a^{2} \. Aqui, \ a \ é uma constante.'

'Encontre a seguinte integral indefinida.'

'Quais são algumas maneiras úteis de pensar ao resolver problemas difíceis? Como isso beneficia a aprendizagem?'

A proposição 'Viver em Tóquio $\Longrightarrow$ Viver no Japão' é verdadeira, mas neste caso, como pode a relação entre 'Viver em Tóquio' e 'Viver no Japão' ser expressa em termos de condições suficientes e necessárias?

Avançado 85 | Máximo e Mínimo Condicional (1)

Dado $x \geqq 0, y \geqq 0, 3x + 2y = 1$, encontre os valores máximo e mínimo de $3x^2 + 4y^2$.

Quando a parábola $y=3 x^{2}+6 x+2$ é transladada 2 unidades na direção do eixo $x$ e -1 unidade na direção do eixo $y$, expressar a equação da parábola transladada na forma $y=a x^{2}+b x+c$.

Exemplo padrão: Problemas que requerem algumas habilidades aplicadas, como usar vários conhecimentos.