Funções Avançadas - Funções Exponenciais e Logarítmicas

'Para um polinômio f(x), a identidade f(f(x))={f(x)}^{2} é verdadeira. Encontre todos os f(x) que satisfaçam essa condição, com f(x) sempre diferente de zero.'

'(3) Seja o primeiro termo $a$ e a razão comum $r(r>0)$. De acordo com as condições\n\\n\egin{\overlineray}{l}\na+a r+a r^{2}=21 \\\\ \\cdots \\\\ \\cdots \\\\ a r^{3}+a r^{4}+a r^{5}+a r^{6}+a r^{7}+a r^{8}=1512\n\\end{\overlineray}\n\\nDe (2) temos $\\left(a+a r+a r^{2}\\right)r^{3}+\\left(a+a r+a r^{2}\\right)r^{6}=1512$\nSubstituindo (1) obtemos $21 r^{3}+21 r^{6}=1512$\n\nPortanto\n\\nr^{6}+r^{3}-72=0\n\\n\nA fatoração resulta em $\\left(r^{3}+9\\right)\\left(r^{3}-8\\right)=0$\n\nAssim, $r^{3}+9=0, r^{3}-8=0$\n\nComo $r>0$, temos que $r^{3}=8$, logo $r=2$\nSubstituindo $r=2$ em (1) obtemos $7 a=21$, então $a=3$\nPortanto, o primeiro termo é 3, e a soma dos 5 primeiros termos é $\\frac{3\\left(2^{5}-1\\right)}{2-1}=93$'

'Identifique as características do gráfico da função logarítmica y=log_a x.'

'A equação da reta tangente no ponto (2, -2) é y - (-2) = -3(x - 2), que simplifica para y = -3x + 4. O valor de x da interseção das retas (1) e (2) é encontrado como x = 1 a partir de x = -3x + 4, logo, a área a ser determinada é designada como S, onde S = ∫_{0}^{1}(x - (-x² + x)) dx + ∫_{1}^{2}((-3x + 4) - (-x² + x)) dx = ∫_{0}^{1} x³ / 3 + ∫_{1}^{2}(x - 2)³ / 3 = [x³/3]_{0}^{1} + [(x-2)³/3]_{1}^{2} = 1/3 + 1/3 = 2/3.'

'A função atinge o valor máximo de 2a√a + b quando x = -√a, e o valor mínimo de -2a√a + b quando x = √a.'

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'A coordenada x do ponto de interseção de 2 curvas é a solução para x^3-3x^2+2x=ax(x-2). Como x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2), temos x(x-1)(x-2)=ax(x-2). Portanto x(x-2)(x-1-a)=0. Portanto x= 0,2, a+1. Como a>1, a forma geral das duas curvas é como mostrado na figura à direita, e a condição para as duas áreas S1, S2 serem iguais é S1=S2, o que significa S1-S2=0. Portanto'

'Encontre o valor mínimo da função y=log _{3} x+3 log _{x} 3(x>1).'

'Resolver a equação logarítmica \ \\log_{a} x = b \. Aqui, \ a \ e \ b \ são constantes, e \ x \ é a variável.'

'Considere a função de 4º grau de x, f(x)=x^{4}-a x^{2}+b x, onde a e b são números reais.'

'Encontre os valores máximo e mínimo da função y = (log_2(x/4))^2 - log_2(x^2) + 6 para 2 ≤ x ≤ 16, e os valores correspondentes de x.'

'Exemplo 152 Máximo e mínimo de várias funções (utilizando diferenciação 2) (1) Encontre o valor mínimo da função f(x)=2^{3x}-3*2^{x} e o valor correspondente de x. (2) Encontre o valor máximo da função f(x)=log_{2} x+2 log_{2}(6-x) e o valor correspondente de x.'

'Cálculo de juros compostos\nConsiderando uma taxa de juros anual de r, utilizando o cálculo de juros compostos a cada ano, encontre o seguinte:\n(1) O principal T em ienes para fazer o valor total após n anos S ienes\n(2) Poupe P ienes no início de cada ano, e o total do principal após n anos é Sn ienes'

'Encontre o valor mínimo da função f(x).'

'Exemplo 31 | Relação de recorrência envolvendo produto e potências (usando logaritmos)'

'Desenhe os gráficos das seguintes funções. Além disso, descreva a relação entre as funções e \ y=\\log _{4} x \.'

"(1) f'(x)=x^2-s^2=(x+s)(x-s) f'(x)=0 quando x=-s, s [1] s>0 a tabela de incrementos e decréscimos de f(x) é como se segue à direita. (i) quando 0<s<2 f'(x) = + 0 - 0 + f(x) = incremento máximo & decréscimo mínimo & incremento f(x) é o valor mínimo em x=s portanto g(s)=f(s)=s^3 / 3-s^2 * s+2 s^2=-2 / 3 s^3+2 s^2 (ii) quando s ≥ 2 f(x) é o valor mínimo em x=2 portanto g(s)=f(2)=2^3 / 3-s^2 * 2+2 s^2=8 / 3 [2] quando s=0 f(x)=x^3 / 3, f'(x)=x^2 ≥ 0 portanto 0 ≤ x ≤ 2 f(x) é o valor mínimo em x=0 portanto g(0)=f(0)=0"

'Expresse o tamanho relativo de cada conjunto de números usando desigualdades.'

'Resolver a equação (1), 2(log_{2}x)^{2}+3log_{2}4x=8'

'Resolver as seguintes equações e desigualdades.'

'Fórmula de conversão de base'

'Propriedades de Funções Logarítmicas\nPropriedades e gráfico da função logarítmica \ y=\\log _{a} x \ onde \ a>0, a \\neq 1 \.\n(1) Domínio são todos os números positivos, alcance são todos os números reais.\n(2) Passa pelos pontos \\( (1,0),(a,1) \\), com o eixo \ y \ como sua assíntota.\n(3) Quando \ a>1 \, à medida que \ x \ aumenta, \ y \ também aumenta.\n\\n0<p<q \\Longleftrightarrow \\log _{a} p<\\log _{a} q\n\\nQuando \ 0<a<1 \, à medida que \ x \ aumenta, \ y \ diminui.\n\\n0<p<q \\Longleftrightarrow \\log _{a} p>\\log _{a} q\n\'

'Simplifique as seguintes expressões.'

'Simplifique as seguintes expressões:\n1. \ \\log_{4} 8 + \\log_{4} 2 \\n2. \ \\log_{5} 75 - \\log_{5} 15 \\n3. \ \\log_{8} 64^{3} \\n4. \ \\log_{3} \\sqrt[4]{3^{5}} \\n5. \ \\log_{\\sqrt{3}} 27 \\n6. \ \\log_{2} 8 + \\log_{3} \\frac{1}{81} \'

'Encontre os valores máximo e mínimo da função y = 9^x - 2 \\ cdot 3^{x+1} + 81 (-3≤x≤3).'

'Indique a definição de logaritmo comum.'

'Simplifique as seguintes expressões.'

'Simplifique as seguintes expressões.'

'Função Exponencial\nPropriedades e Gráfico da Função Exponencial \ y=a^{x} \\nSeja \ a>0, a \\neq 1 \.\n(1) O domínio são todos os números reais, o contradomínio são todos os números positivos.\n(2) Passa pelos pontos \\( (0,1),(1, a) \\) e o eixo x é a sua assíntota.\n(3) Quando \ a>1 \, conforme \ x \ aumenta, \ y \ também aumenta.\n\\np<q \\Longleftrightarrow a^{p}<a^{q}\n\\nQuando \ 0<a<1 \, conforme \ x \ aumenta, \ y \ diminui.\n\\np<q \\Longleftrightarrow a^{p}>a^{q}\n\'

'Resolver as seguintes equações e desigualdades.'

'Simplifique as seguintes expressões.'

'Encontre a função f(x) que satisfaz a equação f(x)=1+2 \\int\\_{0}\\^{1}(x t+1) f(t) d t. Ao rearranjar o lado direito, obtemos f(x)=1+2 x \\int\\_{0}\\^{1} t f(t) d t+2 \\int\\_{0}\\^{1} f(t) d t \\int\\_{0}\\^{1} t f(t) d t=a. Considerando a e b como constantes, então a=\\int\\_{0}\\^{1} t(x)=2 a x+2 b+1 =\\left[\\frac{2}{3} a t\\^{3}+\\frac{2 b+1}{2} t\\^{2}\\right]\\_{0}\\^{1}=\\frac{2}{3} a+\\frac{2 b+1}{2}. Portanto, a=\\int\\_{0}\\^{1} t(2 a t+2 b+1) d t=\\int\\_{0}\\^{1}\\left\\{2 a t\\^{2}+(2 b+1) t\\right\\} d t implica 2 a-6 b-3=0. Por outro lado, b=\\int\\_{0}\\^{1}(2 a t+2 b+1) d t=\\left[a t\\^{2}+(2 b+1) t\\right]\\_{0}\\^{1} =a+2 b+1, então a+b+1=0 (1), resolver o sistema de equações dá a=-\\frac{3}{8}, b=-\\frac{5}{8}, assim f(x)=2\\left(-\\frac{3}{8}\\right) x+2\\left(-\\frac{5}{8}\\right)+1=-\\frac{3}{4} x-\\frac{1}{4} x pode ser tratado como uma constante.'

'Por favor, descreva o domínio e o alcance da função exponencial y=a^{x}.'

'Função logarítmica'

'Encontre os seguintes valores.'

'Encontre os valores máximo e mínimo das seguintes funções.'

'Investigue a relação entre o gráfico básico de y=a^x e os gráficos de y=3^x e y=3^{-x}.'

'Simplifique as seguintes expressões.'

'Logaritmos e Suas Propriedades\nDefinição de Logaritmos\n\ a>0, \\quad a \\neq 1, \\quad M>0 \\text { são valores dados. } \\n\ M=a^{p} \\Longleftrightarrow \\log _{a} M=p \'

'Encontre as integraisindefinidas a seguir.'

'Considere as curvas C1: y=a e^{x}, C2: y=e^{-x}. Quando a constante a varia no intervalo 1≤a≤4, seja D1 a região cercada por C1, C2 e o eixo y, e seja D2 a região cercada por C1, C2 e a reta x=log 1/2. (1) Encontre o valor de a quando a área de D1 for 1. (2) Encontre o valor mínimo da soma das áreas de D1 e D2 e o valor correspondente de a.'

'Prove a desigualdade (1) usando diferenciação (básico)'

"Para a função f(x)=A e^x cos x + B e^x sin x (onde A, B são constantes), responda às seguintes perguntas: (1) Encontre f'(x). (2) Expresse f''(x) em termos de f(x) e f'(x). (3) Encontre ∫ f(x) dx."

'Encontre as seguintes integrais indefinidas.'

'Função famosa e seu limite associado\nO limite da função \ y=\\frac{\\log x}{x} \ é \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log x}{x}=0 \.'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas. (3) 136\n(1) \ \\int x^{2} \\cos x d x \\n(2) \ \\int x^{2} e^{-x} d x \\n(3) \ \\int x \\tan ^{2} x d x \'

'Prove que a desigualdade b log (a/b) ≤ a - b ≤ a log (a/b) é válida quando a > 0, b > 0.'

'Seja \\( f(x)=-e^{x} \\). Para um número real \ b \, encontre a quantidade de retas tangentes à curva \\( y=f(x) \\) que passam pelo ponto \\( (0, b) \\). Pode-se usar \ \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} x e^{x}=0 \.'

'Encontre a seguinte integral definida. $$ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} dx $$'

'Para números reais a, b, c, seja F(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + a x + 1, f(x) = x^2 + c x + 1. Além disso, deixe T ser o conjunto obtido removendo os pontos 1 e -1 do círculo unitário no plano complexo.'

'Para uma constante k, determine o número de soluções reais para a equação log(sin x+2)-k=0 para 0<x<2π.'

'Como desenhar um gráfico de reflexão As expressões de função no problema de desenhar um gráfico usando métodos diferenciais eram nos seguintes 3 padrões:'

'Encontre a função inversa e a área.'

'Seja n um inteiro positivo arbitrário, e sejam duas funções f(x), g(x) ambas funções diferenciáveis n vezes. [Bastante grande] (1) Encontre a quarta derivada do produto f(x)g(x) d^4/dx^4{f(x)g(x)}. (2) Inferir o coeficiente de f^(n-r)(x)g^(r)(x) na enésima derivada d^n/dx^n{f(x)g(x)} do produto f(x)g(x), e provar que a inferência está correta usando indução matemática. Aqui, r é um inteiro não negativo não maior que n, e f^(0)(x)=f(x), g^(0)(x)=g(x). (3) Encontre a enésima derivada h^(n)(x) do função h(x)=x^3e^x, onde n≥4.'

'Dado a > 0, b > 0 e f(x) = log ((x + a) / (b - x)), prove que a curva y = f(x) é simétrica em relação ao seu ponto de inflexão.'

'Encontre as integrais indefinidas a seguir.'

'Encontre as funções inversas das seguintes funções. Além disso, plote seus gráficos.'

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'Variação dos valores da função, máximo e mínimo, gráfico da função'

'Seja n um número inteiro. Prove que as seguintes equações são verdadeiras: onde, \ \\cos ^{0} x = 1 \, (4) \\( 138(\\log x)^{0} = 1 \\).\n (1) \\( \\int \\cos ^{n} x d x = \\frac{1}{n}\\{ \\sin x \\cos ^{n-1} x + (n-1) \\int \\cos ^{n-2} x d x \\} (n \\geqq 2) \\)\n (2) \\( \\int(\\log x)^{n} d x = x(\\log x)^{n} - n \\int(\\log x)^{n-1} d x \\) (n \\geqq 1)\n (3) \ \\int x^{n} \\sin x d x = -x^{n} \\cos x + n \\int x^{n-1} \\cos x d x \ (n \\geqq 1)'

'Como podemos resolver o problema embaraçoso \ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x \ de várias formas? No exemplo importante 141 (1), resolvemos assumindo \ x+\\sqrt{x^{2}+1}=t \, mas também existem muitos outros métodos. Primeiramente, vamos analisar o método de substituir \ x=\\tan \\theta \ como indicado na página anterior.'

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'Sendo \ a \ uma constante diferente de zero e \ A = \\int_{0}^{\\pi} e^{-a x} \\sin 2 x d x, B = \\int_{0}^{\\pi} e^{-a x} \\cos 2 x d x \. Encontre os valores de \ A, B \.'

'Dadas as constantes a, b, com ab ≠ 1. Encontre a condição em que a função inversa de y = (bx + 1) / (x + a) coincide com a função original.'

'Básico 11: Condição para a função inversa ser igual à função original'

'Seja n um número natural maior ou igual a 2. Prove a seguinte desigualdade:'

'Encontre a integral indefinida de \\\int e^{2x+e^x} dx\.'

'Provar que existe uma sequência de pontos Pₙ(xₙ, yₙ) satisfazendo P₁(1,1), xₙ₊₁=1/4 xₙ + 4/5 yₙ, yₙ₊₁=3/4 xₙ + 1/5 yₙ (n=1,2, ...) em um plano, e a sequência P₁, P₂, ... se aproxima infinitamente de um ponto fixo.'

'Prove a desigualdade \\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t<x-\\frac{x^{3}}{3}+\\frac{x^{5}}{10} para x>0.'

'Integração por substituição e integração por partes'

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'Encontre o intervalo da constante a quando uma reta tangente pode ser traçada do ponto (a, 0) no eixo x para o gráfico da função y=\\frac{x+3}{\\sqrt{x+1}}.'

'Encontre a integral da função f(x)=3 cos 2x+7 cos x sobre o intervalo [0, π] na forma de \\( \\int_{0}^{\\pi}|f(x)| dx \\).'

'Encontre as equações das linhas e parábolas obtidas movendo a seguinte linha e parábola paralelamente ao eixo x por -3 e ao eixo y por 1.'

'O custo total de vender y chocolates, representado como c(y), é dado por c(y)=y^{2}. Encontre os valores do preço de venda p e da quantidade y nos quais o lucro da Empresa A (a diferença entre a receita e o custo total) é maximizado.'

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'Transformação de variáveis'

'Expandir 159 Usando Transformação de Variáveis'

'No Exemplo 30, racionalizamos os denominadores de cada termo antes de realizar os cálculos. No entanto, no Exemplo 31 (1), seguimos com os cálculos sem racionalizar os denominadores. Vamos pensar na razão para essa abordagem.'

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'Seja S(a) a área cercada pela reta que passa pelo ponto (1,2) com inclinação a e a parábola y=x^2. Encontre o valor de a que minimiza S(a) à medida que a varia no intervalo 0 ≤ a ≤ 6.'

'Desenhe os gráficos das seguintes funções e descreva suas relações de posição com a função y=3^x.'

'Resolver as seguintes equações:'

'Desenhe os gráficos das seguintes funções e descreva sua relação posicional com a função y=log_{2} x.'

'Simplifique as seguintes expressões.'

'Máximo e Mínimo da Função Logarítmica (1): Encontre o máximo e o mínimo da seguinte função logarítmica.'

'Simplifique as seguintes expressões:'

'Sobre cálculos de logaritmos'

'Encontre o valor máximo, mínimo e os valores correspondentes de x para a função y = log_2(x/2)log_2(x/8) (1/2 ≤ x ≤ 8).'

'Dada a função f(x) = a x^{2}(x-3) + b(a≠0) com um valor máximo de 5 e um valor mínimo de -7 no intervalo -1 ≤ x ≤ 1, determine os valores das constantes a e b.'

'Calcule o logaritmo comum de 1,95 a partir dos dados 1.'

'Resolver as seguintes equações.'

'Prove que o valor de \\[P(m-kσ ≤ X ≤ m+kσ)\\] se torna uma função apenas de k, independentemente dos valores de m e σ, quando a variável aleatória X segue a distribuição normal N(m, σ^2).'

'Descreva o gráfico e as propriedades das seguintes funções logarítmicas.'

'Considere a função y = -2(log₃(3x))³ + 3(log₃(x+1))² + 1, definida para 1550 1/3 ≤ x ≤ 3. Encontre o valor máximo e mínimo da função y, e os valores correspondentes de x.'

'Descreva as propriedades da função logarítmica.'

'Para o gráfico da função y = x ^ 2 (x > 0), utilize escalas logarítmicas para ambos os eixos, horizontal e vertical.'

'Fórmula de conversão de base: Converta as bases dos seguintes logaritmos.'

'Encontre a área cercada por duas parábolas denominada como S(a). Seja a coordenada x dos pontos de interseção das duas parábolas α e β (α < β), então a partir da figura à direita:\n\nS(a) = ∫_{α}^{β} { -2(x - a)^2 + 3a - x^2 } dx\n\n= -3 ∫_{α}^{β} (x - α)(x - β) dx\n\n= -3・( -(1/6) ) (β - α)^3\n\n= (1/2)(β - α)^3\n\nAs soluções da equação quadrática (1) são x = (2a ± √(-2a^2 + 9a))/3. Uma vez que α e β são as soluções de (1),\nβ - α = (2a + √(-2a^2 + 9a))/3 - (2a - √(-2a^2 + 9a))/3\n= (2/3) √(-2a^2 + 9a)\nPortanto, S(a) = (1/2)((2/3)√(-2a^2 + 9a))^3 = (4/27)(-2a^2 + 9a)^(3/2)\n\nUma vez que -2a^2 + 9a = -2(a - (9/4))^2 + (81/8), no intervalo 0 < a < 9/2, -2a^2 + 9a é máximo em a = 9/4, e neste ponto S(a) também é máximo.\nLogo, S(a) é máximo em a = 9/4\nS(9/4) = (4/27)((81/8))^(3/2) = (4/27) ・ (81/8) √(81/8) = 27√2/8.'

'Responda às seguintes perguntas sobre conceitos básicos de logaritmo. Calcule o logaritmo com base nas equações fornecidas.'

'Desenhe os gráficos das seguintes funções e descreva sua relação com a função y=log_{2} x.'

'Condições para a existência de soluções de equações logarítmicas: Determine as condições para a existência de soluções da seguinte equação logarítmica.'

'O número de soluções reais distintas n da equação f(x)=0 é igual ao número de pontos de interseção entre a curva y=f(x) e o eixo x. A partir de (1), quando a≤0, n=1, e a partir de (2), quando a>0, o valor mínimo -4√2a3/2+16 depende do valor de a e pode ser positivo, 0, ou negativo, logo n=1,2,3. Portanto, resumindo (1) e (2), se n=1, então a<0, a=0, a>0 são todos possíveis; se n=2, apenas a>0 é possível; se n=3, apenas a>0 é possível.'

'Qual é a razão da inclusão de um grande número de problemas no gráfico azul?'

'Como você pode aprofundar ainda mais seu aprendizado, utilizando conteúdo digital?'

'Resposta do exercício 67 (2) \\frac{\\pi \\sqrt{1+\\pi^{2}}+\\log \\left(\\pi+\\sqrt{1+\\pi^{2}}\\right)}{2}'

'Encontre integrais indefinidas. Em (3), (4), onde (a≠0, b≠0). (1) ∫e^{-x}cosxdx (2) ∫sin(logx)dx (3) ∫e^{ax}sinbxdx (4) ∫e^{ax}cosbxdx'

'Traduza o texto dado para vários idiomas.'

'Encontre a integral indefinida \ \\int e^{x} \\cos x dx \.'

'Seja y = \\log_{ \\frac{1}{2} }(x).'

'Considere a função 47 f(x)=2 \\log(1+e^{x})-x-\\log 2. (1) Definindo a segunda derivada de f(x) como f^{\\prime \\prime}(x), mostre que a equação \\log f^{\\prime \\prime}(x)=-f(x) é válida. (2) Encontre a integral definida \\int_{0}^{\\log 2}(x-\\log 2) e^{-f(x)} d x.'

'Investigue o comportamento crescente e decrescente da função f(x)=x-1-log x e prove a desigualdade log x ≤ x-1 para x>0.'

"f'(x) = 1/ log x^3 (x^3 )' - 1/ log x^2 (x^2 )' = 1/(3 log x) * 3 x^2 - 1/(2 log x) * 2 x = ( x^2 - x ) / log x"

'Usando as fórmulas acima [4] [6], vamos tentar encontrar a integral definida a seguir.'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas. (1) \ \\int x \\cos 2 x \\, dx \ (2) \\( \\int(x+1)^{2} \\log x \\, dx \\) (3) \ \\int e^{\\sqrt{x}} \\, dx \'

'(8) \\( y^{\\prime}=\\frac{(\\log x)^{\\prime} \\cdot x-\\log x \\cdot(x)^{\\prime}}{x^{2}}=\\frac{\\frac{1}{x} \\cdot x-\\log x \\cdot 1}{x^{2}} \\)\\n\\\n=\\frac{1-\\log x}{x^{2}}\\n\'

'Exemplo importante 165) Quantidade e Integração Rodeando uma parte da curva y = e^x em torno do eixo y de 0 ≤ x ≤ 2 cria um recipiente, no qual a água é vertida a uma taxa de a (uma constante positiva) por unidade de tempo. Considerando V como o volume de água quando a profundidade é h, e S como a área da superfície da água. (1) Determine ∫(log y)^{2} dy. (2) Expresse V em termos de S. (3) Descubra a taxa de expansão da superfície da água quando S se torna π. [Instituto de Tecnologia de Shibaura] Orientação (3) A taxa de expansão da superfície da água é dS/dt, mas parece difícil expressar S em termos de t. Portanto, utilizando a dica (2), utilize dV/dt = dV/dS * dS/dt para encontrar a solução.'

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'Encontre a seguinte integral indefinida.'

'(1) Encontre a derivada da função $F(x)=\\frac{1}{2}\\left\\{x \\sqrt{x^{2}+1}+\\log \\left(x+\\sqrt{x^{2}+1}\\right)\\right\\}, x>0$. (2) No plano $x y$, o ponto $P$ está na curva $C$ representada pela equação $x^{2}-y^{2}=1$ e está no primeiro quadrante. Se a área cercada pelo segmento de linha $OP$ que conecta a origem $O$ e o ponto $P$, o eixo $x$ e a curva $C$ é $\\frac{s}{2}$, expresse as coordenadas do ponto $P$ em termos de $s$.'

'(2)\n\\[\egin{aligned}\n\\frac{\\cos x+\\sin 2 x}{\\sin ^{2} x}= & \\frac{\\cos x+2 \\sin x \\cos x}{\\sin ^{2} x}=\\frac{1+2 \\sin x}{\\sin ^{2} x} \\cdot \\cos x \\\\\n\\sin x=t \\text { e } & \\cos x d x=d t \\\\\n\\int \\frac{\\cos x+\\sin 2 x}{\\sin ^{2} x} d x & =\\int \\frac{1+2 \\sin x}{\\sin ^{2} x} \\cdot \\cos x d x=\\int \\frac{1+2 t}{t^{2}} d t \\\\\n& =\\int\\left(\\frac{1}{t^{2}}+\\frac{2}{t}\\right) d t=-\\frac{1}{t}+2 \\log |t|+C \\\\\n& =-\\frac{1}{\\sin x}+2 \\log |\\sin x|+C\n\\end{aligned}\\]'

'Como encontrar a inversa de uma função?'

'Prove que a desigualdade é válida quando x > 0.'

'Use a equação (1) do exercício 152 na página 530, onde (1) é V=2π∫₀ᴨx{cosx-(-1)}dx.'

'(2) \\\\ Vamos assumir que \ e^{x}+1=t \, então \ e^{x}=t-1, e^{x} dx = dt \\\\n\\[ \\int \\frac{e^{2x}}{(e^{x} + 1)^2} \\, dx = \\int \\frac{e^{x}}{(e^{x} + 1)^2} \\, e^{x} \\, dx= \\int \\frac{t-1}{t^2} \\, dt \\\\)\n\\ = \\int \\left( \\frac{1}{t} - \\frac{1}{t^2} \\right) \\, dt \\\\)\n\\ = \\log |t| + \\frac{1}{t} + C \\\\)\n\\ = \\log (e^{x}+1) + \\frac{1}{e^{x}+1} + C \\]'

'Usando a fórmula de integração por substituição (2), encontre a integral a seguir.'

'(2) Seja a sequência \ \\left\\{I_{n}\\right\\} \ definida por \\( I_{n}=\\int_{0}^{n} f_{n}(x) d x \\). Usando o fato de que \ 0 \\leqq x \\leqq 1 \ implica \\( \\log (1+x) \\leqq \\log 2 \\), prove que a sequência \ \\left\\{I_{n}\\right\\} \ converge e encontre seu limite. Você pode usar o fato de que \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log x}{x}=0 \.'

'Portanto \\[ \\int_{0}^{1} t f(t) d t = \\int_{0}^{1}(t \\sin \\pi t + a t) d t \\]\n\\[ = \\int_{0}^{1} t\\left(-\\frac{\\cos \\pi t}{\\pi}\\right)^{\\prime} d t + a \\int_{0}^{1} t d t \\]\n\ =\\left[-\\frac{t \\cos \\pi t}{\\pi}\\right]_{0}^{1} + \\int_{0}^{1} \\frac{\\cos \\pi t}{\\pi} d t + a\\left[\\frac{t^{2}}{2}\\right]_{0}^{1} \\]\n\\[ = \\frac{1}{\\pi} + \\left[\\frac{\\sin \\pi t}{\\pi^{2}}\\right]_{0}^{1} + \\frac{a}{2} = \\frac{1}{\\pi} + \\frac{a}{2} \\]\nLogo \\[ \\frac{1}{\\pi} + \\frac{a}{2} = a \\] Resolvendo isso temos \\[ a = \\frac{2}{\\pi} \\nAssim \\[ f(x) = \\sin \\pi x + \\frac{2}{\\pi} \\]'

'Prove a seguinte desigualdade.'

'Questão importante 115 Funções Inversas e Integral Definida\nSeja a função inversa da função y=e^{x}+e^{-x}, definida para x≥0, como y=g(x). Encontre ∫_{2}^{4} g(x) dx.'

'Exercício 102 \\Rightarrow Página 453\n(1) \ x+\\sqrt{x^{2}+1}=t \ Assumindo \\( \\left(1+\\frac{x}{\\sqrt{x^{2}+1}}\\right) d x=d t \\)\nPortanto, \ \\quad \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}+x}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = d t \\nAssim, \ \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = \\frac{1}{t} d t \\nPortanto, \ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = \\int \\frac{1}{t} d t=\\log |t|+C \\n\\[ =\\log \\left( x+\\sqrt{x^{2}+1} \\right)+C \\]'

'Dado que (2) (-x) e^((-x)^2) = -x e^(x^2), conclui-se que x e^(x^2) é uma função ímpar.'

'Traduza o texto fornecido para vários idiomas.'

'Determine o intervalo de números reais para os quais a sequência {((x^2+2x-5)/(x^2-x+2))^n} converge. Também encontre o valor limite nesse ponto.'

'Como esta linha passa pelo ponto (0, Y(a)), Y(a) = (a^2 + 1)e^(-a^2/2)'

'Encontre os vetores v e α.'

'Prática 163'

''

'(1) Encontre o volume $V$ do sólido formado pela rotação da região cercada pelas curvas $y=x^{2}, y=\\sqrt{x}$ ao redor do eixo $y$.\n(2) Seja a curva $y=\\log 3x$ denotada por $C$. Encontre o volume $V$ do sólido formado pela rotação da região cercada por $C$, a reta tangente que passa pela origem $O$ e o eixo $x$ ao redor do eixo $y$.'

'Matemática II\n407\n[2] Quando \ p>2 \\n\\[\\frac{d S}{d p}=p \\log p+\\frac{p}{2}=\\frac{p}{2}(2 \\log p+1)>0\\]\nDe [1], [2], a tabela mostrando a mudança em S é como segue.\nPortanto, \ S \ é mínimo em \ p=\\frac{4}{3} \, e seu valor mínimo é\n\egin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c}\n\\hline\ p \ & 1 & \ \\cdots \ & \ \\frac{4}{3} \ & \ \\cdots \ & 2 & \ \\cdots \ \\\\\n\\hline\ \\frac{d S}{d p} \ & & - & 0 & + & & + \\\\\n\\hline\ S \ & & \ \\searrow \ & Mínimo local & \ \\nearrow \ & 1 & \ \\nearrow \ \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\egin{\overlineray}{l}\n\\text { p= } \\frac{4}{3} \\text { quando } \\\\\na=\\frac{16}{9} \\log \\frac{4}{3}\n\\end{\overlineray}\\n\\[\egin{aligned}\n& \\frac{8}{3} \\log \\frac{4}{3}-\\frac{16}{3} \\log \\frac{4}{3}+\\frac{8}{3}+2 \\log 2-3 \\\\\n= & \\frac{1}{3}(8 \\log 3-10 \\log 2-1)\n\\end{aligned}\\]'

'Diferencie as seguintes funções.'

'(5) Se \ \\log x=t \, então \ \\quad x=e^{t}, d x=e^{t} d t \'

'Encontre as integrais definidas a seguir.'

'Exemplo 143 Determinando Coeficientes a partir da Área'

'Encontre a função que satisfaz as seguintes condições.'

'Usando o teorema do valor médio, prove as seguintes proposições:'

'Traduzir o texto dado para vários idiomas.'

'Utilize a fórmula (4) para avaliar a integral seguinte.'

'Encontre o valor extremo da função em x=1/√e. \n(1) Em x=1/√e, a função tem um valor mínimo de -1/(2e) \n(2) Em x=-4/3, a função tem um valor máximo de 4√6/9 e, em x=0, a função tem um valor mínimo de 0'

'Exemplo 163 Ponto em Movimento em uma Curva a Velocidade Constante\n547\nHá um ponto P se movendo no plano de coordenadas. O ponto P parte de (0,1) e se move ao longo da curva y=(e^x+e^{-x})/2 (x≥0) a uma velocidade de 1 unidade por segundo. Seja (f(t), g(t)) as coordenadas do ponto P após t segundos. Encontre f(t), g(t).\n[Shinkei]\nConsidere duas maneiras de expressar a distância l de 0 segundos a t segundos.\n[1] Desde que se mova a uma velocidade de 1 unidade por segundo, l=t\n[2] Visto que se move na curva y=(e^x+e^{-x})/2 (x≥0), seja p a coordenada x do ponto P após t segundos, então\nl=∫_{0}^{p}√(1+(dy/dx)^2)dx'

'166 (2) y=x e^{1-x}'

"No caso de x>0, se f'(x)=0, então x+π/4=kπ, o que significa x=kπ-π/4 (k=1,2,3, ...). Uma vez que f''(x)=√2 e^(-x){sin(x+π/4)-cos(x+π/4)}"

'Traduzir o texto dado para várias línguas.'

'Encontre a derivada da função logarítmica log_a x em relação a qualquer base a.'

''

'Resolver a seguinte integral.'

'Encontre a condição necessária e suficiente que q deve satisfazer para que a reta y = px + q não tenha nenhum ponto em comum com o gráfico da função y = log x.'

'Encontre as funções inversas das seguintes funções.'

'(2) \ \\int 3^{1-2 x} d x=-\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3^{1-2 x}}{\\log 3}+C = -\\frac{3^{1-2 x}}{2 \\log 3}+C \'

'Exercício 97 \\Rightarrow Livro p.447\n (3) \\(\\int \\log(x+3) d x\\)'

'A integral \ \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{-x^{2}} d x \ é conhecida como a integral Gaussiana e é igual a \ \\sqrt{\\pi} \.'

'170 (2) (ウ) f(x)=-e^{-x}+1'

'Prove usando indução matemática a n-ésima derivada e a fórmula de recorrência para f(x) = 1 / (1 + x^2).'

'Prática (1) Encontre a coordenada x da interseção de duas curvas y=logx e y=a/x^{2} (a>0), denotada por p, expresse a em termos de 144p.'

'(7)\\\\n\\\\[\\\\n\\\egin{aligned}\\\\n y^{\\\\prime} & =\\\\left(e^{x}\\\\right)^{\\\\prime} \\\\sin x+e^{x}(\\\\sin x)^{\\\\prime}=e^{x} \\\\sin x+e^{x} \\\\cos x \\\\n\\\\ & =e^{x}(\\\\sin x+\\\\cos x)\\\\n\\\\end{aligned}\\\\n\\\\]'

'Expressão dada em matemática \ \\mathbb{I} \\\n(4) \\( y^{\\prime}=\\frac{1-\\sin x}{1+\\sin x} \\cdot \\frac{\\cos x(1-\\sin x)-(1+\\sin x)(-\\cos x)}{(1-\\sin x)^{2}} \\)\\n\\[\\n=\\frac{2 \\cos x}{(1+\\sin x)(1-\\sin x)}=\\frac{2 \\cos x}{\\cos ^{2} x}=\\frac{2}{\\cos x}\\n\\]\\nOutra solução é \\( y=\\log (1+\\sin x)-\\log (1-\\sin x) \\), portanto\\n\\[\\n y^{\\prime}=\\frac{\\cos x}{1+\\sin x}-\\frac{-\\cos x}{1-\\sin x}=\\frac{2 \\cos x}{(1+\\sin x)(1-\\sin x)}=\\frac{2}{\\cos x}\\n\\]'

'(3) Prove a desigualdade \\( \\sqrt{\\pi\\left(1-e^{-a^{2}}\\right)} \\leqq \\int_{-a}^{a} e^{-x^{2}} d x \\).'

'Encontre os valores máximo e mínimo das seguintes funções:'

'Existem dois pontos P e Q movendo-se no eixo x. No momento t=0, os dois pontos estão na origem O, e as velocidades de P e Q em um determinado momento t são respectivamente v_P(t)=a t (0 ≤ t) e v_Q(t)= {0 (0 ≤ t < 1), t log t (1 ≤ t). (1) Prove que Q sempre ultrapassará P. (2) Encontre o tempo em que Q alcança P e a distância máxima entre P e Q dentro desse tempo.'

'O texto fornecido é traduzido para vários idiomas.'

'Seja n um inteiro positivo arbitrário, e as duas funções f(x) e g(x) sejam funções ambas diferenciáveis n vezes.'

'Para quaisquer números inteiros não negativos m e n, seja Iₘ,ₙ = ∫₀^(π/2) sin^m x cos^n x dx.'

'(1) $8\\log 2-1$ (2) $\\frac{1}{\\log 2}$ (3) $\\sqrt{3}-1-\\frac{\\pi}{12}$ (4) $\\frac{4\\sqrt{2}-2}{3}$ (5) $2\\sqrt{3}-\\frac{\\pi}{3}$'

''

"(1) Encontre a derivada f'(x) da função f(x) = log(x+√(1+x^2)) definida para x ≥ 0. (2) Encontre o comprimento da parte da curva definida pela equação polar r=θ(θ ≥ 0) para 0 ≤ θ ≤ π."

''

'143 (1) x=0, π/2 para valor máximo 1; x=π, 3π/2 para valor mínimo -1\n(2) x=log_{2} (fração) √5 ± 1/2 para valor mínimo 1-10 √5'

'Ilustre o intervalo de pontos $(x, y)$ que satisfazem a desigualdade $\\log _{x} y+2 \\log _{y} x-3>0$.'

"Encontre os valores das constantes a, b e c de modo que a função cúbica f(x)=2x^{3} + a x^{2} + b x + c satisfaça a condição 6 f(x) = (2 x - 1) f'(x) + 6."

'Máximo e mínimo da função logarítmica'

'Simplifique as seguintes expressões.'

'Número de soluções de uma equação logarítmica'

'Máximo e mínimo de funções exponenciais'

'Encontre os valores máximo e mínimo das seguintes funções. (1) y=4^{x}-2^{x+2}(-1 \\leqq x \\leqq 3) (2) Deixe a>0, a \\neq 1. Para a função y=a^{2 x}+a^{-2 x}-2\\left(a^{x}+a^{-x}\\right)+2, deixe a^{x}+a^{-x}=t. Expresse y em termos de t e encontre o valor mínimo de y. (3) y=\\left(\\frac{3}{4}\\right)^{x}(-1 \\leqq x \\leqq 2)'

'Encontre as funções f(x) e g(x) que satisfazem as condições dadas.'

'Encontre o valor máximo da função y = log_4(x+2) + log_2(1-x) e o valor correspondente de x.'

'Questão 2: Função logarítmica'

'Dado que F(x) assume um valor máximo de 5 em x=1 e um valor mínimo de 4 em x=2, encontre os valores de f(t) e α quando α é uma constante real e f(t) é uma função de segundo grau.'

'Encontre os valores dos seguintes logaritmos.'

''

'(1) Encontre o valor mínimo de x^{2} + y^{2} quando \\log _{2} x + \\log _{2} y = 3.\n(2) Para números reais positivos x, y que satisfaçam xy=100, encontre o valor mínimo de (\\log _{10} x)^{3} + (\\log _{10} y)^{3}, e os valores de x e y nesse mínimo.\n(3) Seja f(x) = (\\log _{2} \\frac{x}{a})(\\log _{2} \\frac{x}{b}) (onde ab = 8, a>b>0). Se o valor mínimo de f(x) for -1, encontre o valor de a^{2}. [Universidade de Waseda]'

'Simplifique as seguintes expressões.'

'Seja a, b constantes. Prove a seguinte desigualdade.'

'Deixe a>0, a≠1, b>0. Ilustre todos os pontos (a, b) no plano de coordenadas onde a equação quadrática 4x²+4xlogₐb+1=0 tem uma solução única no intervalo 0<x<1/2.'

'Resolver as seguintes equações, equações simultâneas. Em (3), assume-se 0<x<1, 0<y<1.'

None

'Função inversa e seu gráfico'

"A partir da condição de g(x), examine o sinal de g(x) ou f'(x) e crie uma tabela de aumentos e diminuições de f(x)."

'Duas funções diferenciáveis, f(x) e g(x), definidas em todo o conjunto de números reais, satisfazem as seguintes condições.'

'Seja n um inteiro positivo, e defina I_{n} = \\int_{2}^{3} \\frac{(x-3)^{n}}{n x^{n}} dx. (1) Encontre I_{1}. (2) Encontre o intervalo de valores de \\left|\\frac{x-3}{x}\\right| para 2 \\leqq x \\leqq 3. Além disso, encontre \\lim _{n \\rightarrow \\infty} I_{n}. (3) Expresse I_{n+1} em termos de I_{n}. (4) Encontre \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n(n+1)}\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{n}. 〔Universidade de Kwansei Gakuin〕'

'Prática Deixe \ n \ ser um número inteiro. Prove as seguintes igualdades. Onde, \ \\cos ^{0} x=1 \, \\( 203(\\log x)^{0}=1 \\).\n(1) \\( \\int \\cos ^{n} x d x=\\frac{1}{n}\\left\\{\\sin x \\cos ^{n-1} x+(n-1) \\int \\cos ^{n-2} x d x\\right\\}(n \\geqq 2) \\)\n(2) \\( \\int(\\log x)^{n} d x=x(\\log x)^{n}-n \\int(\\log x)^{n-1} d x \\quad(n \\geqq 1) \\)\n(3) \\( \\int x^{n} \\sin x d x=-x^{n} \\cos x+n \\int x^{n-1} \\cos x d x(n \\geqq 1) \\)'

'Encontre o intervalo de valores para a constante a de modo que uma reta tangente possa ser desenhada a partir do ponto (a, 0) para a curva y=e^{-x^{2}}.'

'(6) \ \\frac{7^{2 x-3}}{2 \\log 7}+C \'

'Encontre o volume do sólido obtido girando a região cercada pela parábola y = 2 x - x^{2} e pelo eixo x em torno do eixo y uma vez.'

'Encontre as funções inversas das seguintes funções. Além disso, plote seus gráficos.'

"Seja a função inversa da função f(x) como g(x). Quando f(1)=2 e f'(1)=2, encontre os valores de g(2) e g'(2) respectivamente."

'Prove que \\( \\int x^{n} e^{-x} d x=-\\left(\\sum_{k=0}^{n} n \\mathrm{P}_{k} x^{n-k}\\right) e^{-x}+C(n é um número natural, C é uma constante de integração ) \\).'

"Quando f(x) é uma função que é duas vezes diferenciável, expresse \\frac{d^{2}}{d x^{2}} f(\\tan x) em termos de f'(\\tan x) e f''(\\tan x)."

'Pratique com a função f(x)=e^(kx)/(x^2+1) (k é uma constante): (1) Encontre o valor de k quando f(x) tem um extremo local em x=-2. (2) Determine o intervalo de valores possíveis de k para os quais f(x) tem um extremo local.'

'Diferencie as seguintes funções. Em (6), a é uma constante.'

'Traduzir o texto fornecido para vários idiomas.'

''

'Encontre o intervalo de valores para a constante a de forma que uma reta tangente possa ser traçada do ponto (a, 0) para a curva y=xe^x.'

'Encontre a integral indefinida \ \\int e^{2 x+e^{x}} d x \.'

'Pratique para n sendo um número natural. Encontre a derivada n-ésima das seguintes funções.'

'Pratique a prova das seguintes desigualdades:\n(1) \\(\\sqrt{1+x} < 1 + \\frac{x}{2} (x>0)\\)\n(2) \\(e^{x} < 1 + x + \\frac{e}{2} x^{2} (0<x<1)\\)\n(3) \\(e^{x} > x^{2} (x>0)\\)\n(4) \\(\\sin x > x - \\frac{x^{3}}{6} \\quad(x>0)\\)'

'Usando o número natural n, encontre a derivada n-ésima y^{(n)} da função y=(1-7x)^{-1}.'

'Encontre a parte de f(x) que é igual a 3/1x3 + 2log|x|.'

'Seja \n$n$ um número natural maior ou igual a 2. Considere as funções $y=e^{x}$\n(1) e $y=e^{nx}-1$\n(2).\n(1) Mostre que os gráficos de (1) e (2) têm exatamente um ponto de interseção no primeiro quadrante.\n(2) Sejam as coordenadas do ponto de interseção obtido em (1) $(a_{n}, b_{n})$. Encontre $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}$ e $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} na_{n}$.\n(3) Seja $S_{n}$ a área envolvida pelos gráficos de (1) e (2) no primeiro quadrante e pelo eixo $y$. Encontre $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} n S_{n}$.'

'(2) \\( \\frac{1}{4}(3 x+2) \\sqrt[3]{3 x+2}+C \\)'

''

'Para a função f(x)=e^(kx)/(x²+1) (onde k é uma constante), responda às seguintes perguntas.'

'Prove que a função f(x) = ax + xcosx - 2sinx tem apenas um extremo entre π/2 e π. Onde -1 < a < 1.'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas.'

'Seja n um número natural. Encontre a derivada de ordem n da função y=\\frac{1}{1-7x}.'

"Considere uma função diferenciável $f(x)$ que satisfaça a relação $f(x)+\\int_{0}^{x} f(t) e^{x-t} d t=\\sin x$. Encontre a derivada $f'(x)$ de $f(x)$, então $f'(x)= \\square$. Além disso, como $f(0)=1$, temos que $f(x)= \\square$."

'(1) Existe um ponto P viajando na reta numérica a partir do ponto 1 com uma velocidade de $v=t(t-1)(t-2)$ após t segundos. A posição de P após 3 segundos desde o início é A, e a distância percorrida por P é B.\n\n(2) Deixe g ser a aceleração devida à gravidade. Um foguete com uma aceleração de $\x0crac{1}{1+t}$ em t segundos após o lançamento do solo verticalmente com uma velocidade inicial $v_{0}$. Encontre a velocidade e a altura do foguete após t segundos.'

'Esboce a forma geral do gráfico da função y=(-x+1) e^{-x+1}. Dado que lim _{x → ∞} x e^{-x}=0.'

'Encontre o valor de a e as coordenadas do ponto de tangência quando a reta y=x é tangente à curva y=a^x. Aqui, a>0 e a não é igual a 1.'

'Prove as seguintes desigualdades, onde n é um número natural. [Universidade de Tohoku]'

'(2) Fazendo o mesmo que (1)'

'Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas\nSeja \a>0, a \\neq 1\.\n\\[ \egin{array}{l}\n\\cdot \\lim _{h \\rightarrow 0}(1+h)^{\\frac{1}{h}}=\\lim _{x \\rightarrow \\pm \\infty}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^{x}=e \\quad(e=2.71828 \\cdots \\cdots) \\\\\n\\cdot\\left(e^{x}\\right)^{\\prime}=e^{x}, \\quad\\left(a^{x}\\right)^{\\prime}=a^{x} \\log a \\\\\n(\\log |x|)^{\\prime}=\\frac{1}{x}, \\quad\\left(\\log _{a}|x|\\right)^{\\prime}=\\frac{1}{x \\log a}\n\\end{array} \\]'

'Prove a seguinte desigualdade'

''

''

'Encontre a derivada das seguintes funções.'

'Prática (2) Para qualquer número natural n, prove que (2nlogn)^{n}<e^{2nlogn} é verdadeiro.'

'Encontre o valor da constante a quando as curvas y = x^2 - 2x e y = log x + a são tangentes. Além disso, encontre a equação da reta tangente no ponto de tangência.'

''

'Transforme o exemplo (1) racionalizando o denominador e então integre.'

'(3) \x \\tan x+\\log|\\cos x|-\\frac{x^{2}}{2}+C\'

'\ I_{n} = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin ^{n} x d x, J_{n} = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\cos ^{n} x d x \\left(n\\right. \ é um inteiro maior ou igual a 0). Provar que \\( I_{n}=J_{n} (n \\geqq 0) \\). Onde \ \\sin ^{0} x = \\cos ^{0} x = 1 \.'

'Dada uma função y=f(x) definida em todos os números reais, que é diferenciável duas vezes e sempre satisfaz f’’(x)=-2 f’(x)-2 f(x), responda às seguintes perguntas: (1) Defina uma função F(x) como F(x)=e^x f(x), mostre que F’’(x)=-F(x). (2) Mostre que uma função F(x) que satisfaça F’’(x)=-F(x) levará a {F’(x)}^{2}+{F(x)}^{2} ser uma constante, e encontre lim_{x -> ∞} f(x). [Universidade de Mulheres de Kochi]'

'Prove a equação \\( \\left(\\cos \\frac{t}{2}\\right)\\left(\\cos \\frac{t}{4}\\right)\\left(\\cos \\frac{t}{8}\\right)=\\frac{\\sin t}{8 \\sin \\frac{t}{8}} \\).'

'Se cada lado de um cubo com comprimento de borda a aumenta a uma taxa de b por segundo, então seja V o volume do cubo após t segundos, onde V=(a+bt)^3. Qual é a taxa de mudança do volume do cubo t segundos após começar a aumentar?'

'Traduza o texto dado para vários idiomas.'

'Encontre a equação da reta tangente desenhada a partir do ponto P dado para as seguintes curvas, e determine as coordenadas do ponto de contato.'

None

'Por favor, compare a taxa de aumento das funções \\( x^{q}(q>0) \\) e \ e^{x} \.'

''

'Encontre a derivada da função inversa.'

'Encontre os valores extremos da função f(x) = x e^{-2x} e as coordenadas dos pontos de inflexão da curva y=f(x).'

'Investigue o aumento e a diminuição da seguinte função.'

'Duas funções diferenciáveis $f(x), g(x)$ definidas sobre todos os números reais satisfazem as seguintes condições:'

'Dado a>0, b>0 e f(x)=log((x+a)/(b-x)), prove que a curva y=f(x) é simétrica em relação ao seu ponto de inflexão.'

'Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções: (1) y = x - 2√x (2) y = x³ / (x - 2) (3) y = 2x - log x'

"Seja F(x) a função primitiva de f(x), as seguintes condições [1], [2] valem. Encontrar f'(x) e calcular 175f(x). É dado que x > 0. \n[1] F(x) = xf(x) - 1/x \n[2] F(1/sqrt{2}) = sqrt{2}"

'Por favor, compare a taxa com que as funções \ \\log x \ e \\( x^{p}(p>0) \\) aumentam.'

'Calcule f(x) com base nas seguintes condições'

'Quando os números reais a, b satisfazem 0 < a < b < 1, compare os valores de 2^a - 2a/(a-1) e 2^b - 2b/(b-1).'

'A região D é a área sombreada em vermelho no diagrama à direita, portanto, V1 = π∫1e a²(log x)² dx resulta em [cálculo detalhado omitido] π(e-2)a². Além disso, a partir de y= a log x, temos log x = y/a, portanto x = e^(y/a), assim, V2 = πe²a - π∫0a (e^(y/a))² dy = πe²a - π[(a/2)e^(2y/a)]0a = πe²a - π/2 a(e²-1) = π/2 a{2e²-(e²-1)} = π/2 (e²+1)a. Combinando todos os cálculos, chegamos ao resultado π(e-2) a² = π(e²+1)/2 a, uma vez que a > 0, então 2(e-2)a = e²+1, portanto a = (e²+1)/2(e-2)'

'Encontre as integrais indefinidas a seguir.'

'Resposta à pergunta (2):'

'Encontre a área S cercada pela seguinte curva e segmentos de linha:'

'Prática - Encontre os valores máximos e mínimos nas seguintes funções: (1) \ y=\\frac{x^{2}-3 x}{x^{2}+3} \ [Semelhante à Universidade de Kansai] (2) \ y=e^{-x}+x-1 \ [Semelhante à Universidade da Cidade de Nagoya]'

''

'Para a curva C: x=\\frac{e^{t}+3 e^{-t}}{2}, y=e^{t}-2 e^{-t},\n(1) A equação da curva C é x^{2}+1 x y- y^{2}=25.\n(2) Expresse \\frac{d y}{d x} em termos de x e y.\n(3) No ponto na curva C correspondente a t= , \\frac{d y}{d x}=-2.'

'Prove que, para qualquer número real x, a desigualdade e^(-x^2) ≤ 1 / (1+x^2) é válida.'

'(1) Encontre a integral indefinida \ \\int e^{2 x+e^{x}} d x \.'

'y = (x^2−1)e^x'

'De g′(x)=d/dx g(x)=dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/f′(y) f(1)=2, obtemos g(2)=1 a partir de (1) e g′(2)=1/f′(1)=1/2'

'Descreva as características das hipérboles e sua forma geral.'

'Encontre todas as funções lineares g(x) que satisfaçam a condição g(f(x))=f(g(x)) para a função cúbica f(x)=x³+bx+c.'

'Para constantes $a>0, b$, considere a equação em termos do número real $t$'

'Encontre as funções inversas.'

'Usando o teorema do valor médio, prove o seguinte:\n\\nPara e^{-2}<a<b<1, \\quad a-b<b \\log b-a \\log a<b-a\n\'

'Considere a integral definida e a relação de recorrência 122'

'Seja e uma constante e seja a curva 2x^{2}+y^{2}+8x+ey+6=0 denotada por C. Quais das seguintes afirmações sobre a curva C, quando o valor de e é variado, estão corretas?'

'Encontre a seguinte integral indefinida.'

None

'Encontre as seguintes integrais indefinidas:'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas. (1) $\\int \\frac{\\log x}{x(\\log x+1)^{2}} dx$ (2) $\\int \\frac{e^{3 x}}{(e^{x}+1)^{2}} dx$'

'Encontre as funções inversas das seguintes funções e plote seus gráficos.'

'Diferencie as seguintes funções.'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas.'

'Encontre as integrais definidas a seguir.'

''

'Investigar se a função f(x) é contínua ou descontínua. Onde [x] representa o maior inteiro que não excede o número real x.'

'Prove que as seguintes equações são verdadeiras quando PR n é um número inteiro maior ou igual a 2. Onde, \ \\cos ^{0} x=1, \\tan ^{0} x=1 \.'

'Prove que quando a função y=log x, a n-ésima derivada de y é (-1)^(n-1) * (n-1)! / x^n.'

'Pergunta 99\n(1) x=e resulta no valor máximo de e^{1/e}'

'(2) \ \\log \\left|\\frac{x}{x+1}\\right| - \\frac{1}{x} + C \'

'Traduza o texto dado para vários idiomas.'

''

'Encontre a equação da reta tangente à curva y=log(log x) em x=e^{2}.'

'Usando o teorema de Taylor, mostre a expansão de Taylor de terceira ordem da função f(x) = e^x em torno de x = 0.'

'Diferencie a função f(x)=1/x log(1+x).'

'\\( \\frac{x\\left(x^{2}+3 x+3\\right)}{3} \\log x - \\frac{x^{3}}{9} - \\frac{x^{2}}{2} - x + C \\)'

'Encontre a área S cercada pela curva y=(3-x)e^{x} e o eixo x, e as retas x=0, x=2.'

'Encontre a seguinte integral indefinida: \n\\( \\int_{e}^{e^e} \\frac{\\log (\\log x)}{x \\log x} dx \\)'

'Encontre a derivada das seguintes funções.'

'Encontre as integrais indefinidas seguintes.'

'Quando os números reais a, b, c e d satisfazem ad-bc≠0, para a função f(x)=\\frac{a x+b}{c x+d}, responda às seguintes perguntas. (1) Encontre a função inversa f^{-1}(x) de f(x). (2) Encontre a relação entre a, b, c, e d que satisfaça f^{-1}(x)=f(x) e f(x)≠x.'

''

"No intervalo de $0<x<2\\pi$, quando $y'=0$, temos que $x=\\frac{\\pi}{2}$ a partir de $\\sin x-1=0$; e $x=\\frac{7}{6}\\pi, \\frac{11}{6}\\pi$ a partir de $2\\sin x+1=0$. Portanto, a tabela de aumento e diminuição de $y$ é a seguinte."

'Encontre a integral indefinida \ \\int \\log \\frac{1}{1+x} dx \.'

'Diferencie a seguinte função.'

'(4) \\( f(x)=e^{(x+1)^{2}}-e^{x^{2}+1} \\)'

'Encontre a função inversa de uma função dada e verifique as condições para a existência dessa função inversa. Por exemplo, encontre a inversa da função y=\x0crac{a x+b}{c x+d}. Verifique a condição a d-b c \neq 0.'

'Encontre o intervalo de números reais x para o qual a sequência {[(x^2-3x-1)/(x^2+x+1)]^n} converge. Além disso, encontre o valor limite nesse ponto.'

'Prove que o gráfico da função f(x)=log((x+a)/(3a-x)) (a>0) é simétrico em relação aos pontos de inflexão.'

'Prove que as seguintes equações são válidas quando n é um inteiro maior ou igual a 2. Onde cos^0x=1 e tan^0x=1.'

'Quando a função contínua f(x) satisfaz a relação f(x)=e^{x} \\int_{0}^{1} \\frac{1}{e^{t}+1} d t+\\int_{0}^{1} \\frac{f(t)}{e^{t}+1} d t, encontre f(x).'

'(1) Encontre o valor da integral definida $\\int_{0}^{\\frac{1}{\\sqrt{2}}} \\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}} d x$.'

''

'Encontre a seguinte integral indefinida.'

'96 \\( \\frac{1}{a^{2}+1} e^{a x}(\\sin x + a \\cos x) + C \\)'

'Prove que a desigualdade a^b > b^a é verdadeira quando e<a<b.'

'Encontre a integral definida \ \\int_{0}^{\\pi}|\\sin x-\\sqrt{3} \\cos x| d x \.'

'15\n(1) \\( y^{\\prime}=2(\\log x)^{\\prime}=\\frac{2}{x} \\)'

'Quando -\\ frac {\\ pi} {2} \\ leqq \\ theta \\ leqq \\ frac {\\ pi} {3}, \\ cos \\ theta \\ geqq 0, então'

'Encontre os valores extremos da função f(x)=x^{1/x}(x>0).'

'(6) Funções famosas e limites'

'(4) \ y^{\\prime}=2^{x} \\log2 \'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas.'

'Para um número natural n, considere S_{n}(x)=x+x ⋅ (1-3x)/(1-2x) + x ⋅ ((1-3x)/(1-2x))^2 + … + x ⋅ ((1-3x)/(1-2x))^(n-1).'

"(1) y' = 3^x * log3 + 1\nUma vez que 3^x > 0 e log 3 > 0, y' é sempre maior que 0\nPortanto, aumenta sobre todo o conjunto de números reais."

'Encontre as integrais definidas a seguir.'

'Prove que e^3 > 3^e.'

'Portanto, (1) y=√[5]{(x+3)/(x+1)³} tem y′=-{2(x+4)}/{5(x+1)(x+3)}=-{2(x+4)}/{5(x+1)√[5]{(x+1)³(x+3)⁴}} e (2) y=x^{x+1}(x>0) tem y′=(log x + {1}/{x} + 1)x^{x+1}'

'Diferencie as seguintes funções.'

'Para um número real positivo a, seja a curva y=e^{ax} como C. Uma reta que passa pela origem e é tangente à curva C no ponto P. Seja D a região delimitada por C, a reta e pelo eixo y.'

'Sobre funções famosas e limites'

'Encontre as funções inversas dos seguintes dois functões. E também, plote seus gráficos.\n(1) y=-2x+3\n(2) y=log_{2}x\n(3) y=log_{\x0crac{1}{2}}x'

'Para a função exponencial y=a^{x} e a função logarítmica y=\\log_{a} x, os limites podem ser entendidos a partir do gráfico da seguinte forma.'

'Encontre a integral indefinida.'

'Encontre a função inversa das funções dadas.'

'Na sociedade de consumo atual, por que os produtos prontos são mais escolhidos do que os personalizados?'

'Avalie a integral indefinida de uma função irracional (2) (integral de substituição especial)'

'Um ponto P movendo-se no plano de coordenadas com coordenadas (x, y) dadas por x = 6e^{t}, y = e^{3t} + 3e^{-t}, onde t é qualquer número real.\n1. Eliminar t das equações dadas e derivar a equação y = f(x) que x e y satisfazem.\n2. Ilustrar a trajetória do ponto P.\n3. Encontrar a velocidade v do ponto P no tempo t.\n4. Determinar a distância percorrida pelo ponto P de t = 0 a t = 3.'

'Para a função f(x)=(ax+b)/(cx+d) (c≠0, ad-bc≠0), responda às seguintes perguntas.'

'Seja N um número natural e defina a função f(x) como f(x)=\\sum_{k=1}^{N} \\cos (2 k \\pi x). (1) Para inteiros m, n, encontre \\int_{0}^{2 \\pi} \\cos (m x) \\cos (n x) d x. (2) Encontre \\int_{0}^{1} \\cos (4 \\pi x) f(x) d x.'

'Encontre o intervalo de números reais x para os quais as sequências dadas convergem. Além disso, determine o valor de convergência nesse momento.'

'Integral de (1)-(1+x)\\log(1+x)+x+C'

'95 (3) \ -x - \\sin x - \\frac{1}{\\tan x} - \\frac{1}{\\sin x} + C \'

'Encontre as seguintes integrais indefinidas:\n(1) \ \\int x \\cos 3 x d x \\n(2) \\( \\int \\log (x+2) d x \\)'

'Encontre as integraisindefinidasseguintes.'

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'Pela desigualdade do triângulo'

'Exemplo 121 Integral indefinida por integração por partes (3) (mesma forma ocorre)'

'Encontre as seguintes integrais definidas:\n1. $\\int_{2}^{4} \\sqrt{x} d x$\n2. $\\int_{-1}^{1} e^{x} d x$\n3. $\\int_{1}^{3} \\frac{d x}{x}$\n4. $\\int_{0}^{\\pi} \\cos t d t$\n5. $\\int_{0}^{2 \\pi} \\sin 2 x d x$'

Padrão 70 | Translação de Parábola (2)

Como pode a parábola $y=x^{2}+4x+5$ ser transladada para coincidir com a parábola $y=x^{2}-6x+8$?

Encontre a equação da parábola obtida refletindo a parábola $y=-2 x^{2}+4 x-4$ sobre o eixo $x$, e depois transladando-a 8 unidades na direção $x$ e 4 unidades na direção $y$.