統計と確率 - 確率の和 (加法則) | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

確率の加法定理 (順列): 順列の方法を用いた確率の加法定理について述べよ。

和の法則の利用

6 確率の基本性質 次の問題に答えよ。 3. 確率の加法定理を用いて、2つの排他的事象 A と B の確率を求めよ。事象 A の確率は 0.3、事象 B の確率は 0.4 である。

一般に、次の和の法則が成り立つ。\n和の法則\n2 つの事柄 \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ は同時には起こらないとする。Aの起こり方が a \ 通りあり, Bの起こり方が b \ 通りあれば\n \\mathrm{A} \ または \\mathrm{B} \ の起こる場合は \\quad a + b \ 通り\n和の法則は，3 つ以上の事柄についても、同じように成り立つ。

次の関係を満たす公式を示しなさい。 \[ n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \]

ある地方 A で 15 歳の男子 400 人の身長を測り, 平均値 168.4cm, 標準偏差 5.7cm を得た。A の 15 歳の男子の身長の平均値 m cm に対して, 信頼度 95 % の信頼区間を求めよ。

項目: 統計的な推測 トピック: 確率変数の和と積, 二項分布 問題番号: 7 問題内容: 確率変数の和と積、そして二項分布について説明せよ。

228\n一一 数学 $A$\n\\[\n\\begin{aligned}\nP(E \\cup F \\cup G)= & P(E)+P(F)+P(G) \\\\\n& -P(E \\cap F)-P(F \\cap G)-P(G \\cap E)\n\\end{aligned}\n\\]\n\nここで, $E \\cap F$ は箱Cにのみコインが入る事象, $F \\cap G$ は箱Aに のみコインが入る事象, $G \\cap E$ は箱Bにのみコインが入る事象を 表すから\n\\[\n\\begin{aligned}\n& P(E \\cup F \\cup G) \\\\\n= & \\left(1-\\frac{1}{6}\\right)^{5}+\\left(1-\\frac{1}{3}\\right)^{5}+\\left(1-\\frac{1}{2}\\right)^{5}-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{5}-\\left(\\frac{1}{6}\\right)^{5}-\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{5} \\\\\n= & \\frac{5^{5}+4^{5}-1^{5}-2^{5}}{6^{5}}=\\frac{4116}{6^{5}}=\\frac{343}{648}\n\\end{aligned}\n\\]

A の余事象 \bar{A} は, 2枚ともハートでないという事象であるから P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{_{39} \mathrm{C}_{2}}{_{52} \mathrm{C}_{2}}=1-\frac{19}{34}=\frac{15}{34} です。事象 B について, 異なる 2 つの絵柄の選び方は _{4} \mathrm{C}_{2} 通りあり, そのおのおのについて, 13 通りずつのカードの選び方があるから P(B)=\frac{_{4} \mathrm{C}_{2} \times 13^{2}}{_{52} \mathrm{C}_{2}}=\frac{6 \cdot 13^{2}}{26 \cdot 51}=\frac{26}{34}(=\frac{13}{17}) です。さらに, 事象 A \cap B は1枚がハート, もう1枚がハート以外の絵柄となる場合であるから P(A \cap B)=\frac{_{13} \mathrm{C}_{1} \times_{39} \mathrm{C}_{1}}{_{52} \mathrm{C}_{2}}=\frac{13 \cdot 39}{26 \cdot 51}=\frac{13}{34} です。よって, 求める確率は P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=\frac{15}{34}+\frac{26}{34}-\frac{13}{34}=\frac{14}{17} です。

和の法則が成り立つことを例を挙げて説明してください。

例 15 同時分布\n袋の中に 1 ，2，3 の数字を書いたカードがそれぞれ 2 枚，3枚，4枚の計 9 枚入っ ている。これらのカードをもとに戻さずに 1 枚ずつ 2 回取り出すとき, 1 回目のカードの数字を $X, 2$ 回目のカードの数字を $Y$ とする。\nこのとき, $X, Y$ の同時分布を求めよ。