統計と確率 - 確率変数 | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

EX n を 8 以上の自然数とする。 1,2, \u2026, n から，異なる 6 つの数を無作為に選び，それらを小さい順に並べかえたものを, X_{1}<X_{2}<X_{3}<X_{4}<X_{5}<X_{6} とする。\n(1) X_3=5 となる確率 p_{n} を求めよ。\n(2) p_n を最大にする自然数 n を求めよ。

仮説検定による判断 (2) $\mathrm{X}$ 地区における政党Aの支持率は $\frac{2}{3}$ であった。政党 Aがある政策を掲げた ところ，支持率が変化したのではないかと考え，アンケート調査を行うこと にした。 30 人に対しアンケートをとったところ， 25 人が政党Aを支持すると 回答した。この結果から, 政党Aの支持率は上昇したと判断してよいか。仮説検定の考え方を用い，次の各場合について考察せよ。ただし，公正なさい ころを 30 個投げて, 1 から 4 までのいずれかの目が出た個数を記録する実験 を200回行ったところ，次の表のようになったとし，この結果を用いよ。 \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 〜 4 の個数 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 計 \\ \hline 度数 & 1 & 0 & 2 & 5 & 9 & 14 & 22 & 27 & 32 & 29 & 24 & 17 & 11 & 4 & 2 & 1 & 200 \\ \hline \end{tabular} (1) 基準となる確率を 0.05 とする。 （2）基準となる確率を 0.01 とする。

点 P は最初数直線上の原点 O にあり, さいころを 1 回投げるごとに, 偶数 の目が出たら数直線上を正の方向に 3 , 奇数の目が出たら負の方向に 2 だ け進む。10 回さいころを投げたとき, 点Pが原点Oにある確率はア である。ま た, 10 回さいころを投げたとき，点Pの座標が 19 以下である確率はイ である。

ある高校 2 年生 20 人に対し、1 人 2 回ずつハンドボール投げの飛距離のデータを取ることにした。右の図は、1 回目のデータを横軸に、2 回目のデータを縦軸に取った散布図である。1 回目のデータと 2 回目のデータの相関係数として正しいと思われるものを，次の(1) から(4) から 1 つ選べ。\n(1) 0.29\n(2) 0.93\n(3) -0.29\n(4) -0.93

下の表は、10種類のパンに関する、定価と売上個数のデータである。これらについて、散布図をかき、定価と売上個数に相関があるかどうかを調べよ。また、相関がある場合には，正・負のどちらの相関であるかをいえ。

6 回のうち 5 回だけ表が出る確率は \[ { }_{6} \mathrm{C}_{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{5}\left(1-\frac{1}{2}\right)^{6-5}=6 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{5} \times \frac{1}{2}=\frac{6}{64} \] 6 回のうち6 回とも表が出る確率は \(\quad\left(\frac{1}{2}\right)^{6}=\frac{1}{64}\) それぞれの確率の合計は $\frac{15}{64}+\frac{6}{64}+\frac{1}{64}=\frac{22}{64}=\frac{11}{32}$

STEP forward\n和の法則の「同時には起こらない」ってどういうこと?\n和の法則を用いるときの「同時には起こらない」がよくわかりません。\nでは, 次の問題を考えてみましょう。\n\n大小 2 個のさいころを同時に投げるとき，次の 3 つの事柄 $\mathrm{A} 〜 \mathrm{C}$ を考える。\nA：目の和が 5 になる B：目の和が 6 になる C：同じ目が出る このうち, 同時には起こらないのはどれとどれか。

EX ある病気に対して投与する薬の効果の有無を調べたい。薬を投与し，効果有と判断される比率 33 63 であるとする。この病気を持った患者から無作為に n 人を選び, 薬を投与したとき, i 番目 の患者に薬の効果が認められれば1とし，認められなければ 0 とする確率変数を X_i とする。\n(1) 標本平均 \ \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} \ の平均, および分散を求めよ。\n(2) この病気を持つた患者から無作為に 400 人を選び，薬を投与したところ 320 人に薬の効果が認められた。このとき, 母比率力の信頼度 95 % の信頼区間を，小数第 3 位を四捨五入して求めよ。ただし, 標本の大きさ 400 は十分大きい数とみなせるとする。[類 鹿児島大]

ある市の有権者の A 政党の支持率は $64 \%$ である。この市の有権者の中から 無作為に 100 人を抽出するとき, $k$ 番目に抽出された人が $\mathrm{A}$ 政党支持なら 1 ,不支持なら 0 の値を対応させる確率変数を $X_{k}$ とする。\n（1）標本平均 $\bar{X}=\frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}+\cdots \cdots+X_{100}}{100}$ の期待値 \( E(\bar{X}) \) と標準偏差 \( \sigma(\bar{X}) \) を求めよ。\n（2）標本平均の標準偏差を 0.03 以下にするためには，抽出される標本の大き さは，少なくとも何人以上必要であるか。

母集団 $\\{\\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{C}, \\mathrm{D}\\}$ から，大きさ 2 の標本を次のように抽出するとき，各場合の可能な標本をすべてあげよ。\n(1) 復元抽出\n（2）非復元抽出で ［1］続けて取り出す［2］同時に取り出す\n(3) 1!

袋の中に白球が 1 個, 赤球が 2 個, 青球が 3 個入っている。この袋から, もとに戻さ ずに 1 球ずつ 2 個の球を取り出すとき, 取り出された赤球の数を $X$, 取り出された青球の数を $Y$ とする。このとき, $X, Y$ の同時分布を求めよ。

PR 確率変数 $X, Y$ の確率分布が次の表で与えられているとき, 分散 \( V(3 X+2 Y), V(6 X-4 Y) \) を求めよ。ただし， $X$ と $Y$ は互いに独立であるとする。

P大学の学生全員を母集団とし, A県出身者の母比率が0.2, 無作為標本の大きさが400であるから, 確率変数Xは二項分布B(400,0.2)に従う。よって, Xの期待値E(X)と標準偏差σ(X)はE(X)=400⋅0.2=80 σ(𝐗)=√(400⋅0.2⋅(1−0.2))=√(8^2)=8

P(190 \leqq X \leqq 220) を求める。\n\nさいころを 150 回投げるとき，出る目の平均を \ \\bar{X} \ とする。その \ \\bar{X} \ の期待値と標準偏差を求める。

Q3 (1) P大学の全学生のうち, $20 \%$ がA県出身であるという。P大学の学生から無作為抽出した 400 人のうち A県出身である者の人数を $X$ とする。$X$ の期待値, 標準偏差を求めよ。

1 個のさいころを 360 回投げるとき，6の目が出る回数を $X$ とする。 $X$ が次 の範囲の値をとる確率を求めよ。ただし， $\sqrt{2}=1.41$ とする。\n(1) $50 \leqq X \leqq 60$\n(2) \left|\\frac{X}{360}-\\frac{1}{6}\\right| \leqq 0.05

（1）全く読書をしなかった生徒の母比率を 0.5 とする。このとき, 100 人の無作為標本のうちで全く読書をしなかった生徒の数を表す確率変数を X とすと，Xは口従う。また， X の平均 (期待値)はイウ，標準偏差はエである。\nア次いては，最も適当なものを，次の０～５のうちから１つ選べ。\n(0) 正規分布 N(0,1)\n(1) 二項分布 B(0,1)\n(2) 正規分布 N(100,0.5)\n(3) 二項分布 B(100,0.5)\n(4) 正規分布 N(100,36)\n(5) 二項分布 B(100,36)

ある病気に対して投与する薬の効果の有無を調べたい。薬を投与し, 効果有と判断される比率はかであるとする。この病気を持った患者から無作為 に \ n \ 人を選び, 薬を投与したとき, \ i \ 番目の患者に薬の効果が認められれば 1 とし，認められなければ 0 とする確率変数を \ X_{i} \ とする。\n\n（1）標本平均 \ \\bar{X}=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} X_{i} \ の平均, および分散を求めよ。\n（2）この病気を持った患者から無作為に 400 人を選び，薬を投与したところ 320 人に薬の効果が認められた。このとき，母比率pの信頼度 \$95 \\% \$ の 信頼区間を，小数第 3 位を四捨五入して求めよ。ただし，標本の大きさ 400 は十分大きい数とみなせるとする。

A 市の新生児の男子と女子の割合は等しいことがわかっている。ある年において, A 市の新生児の中から無作為に $n$ 人抽出するとき, $k$ 番目に抽出された新生児が男なら 1, 女なら 0 の値を対応させる確率変数を $X_{k}$ とする。\n(1) 標本平均 $\bar{X}=\frac{X_{1}+X_{2}+\cdots \cdots+X_{n}}{n}$ の期待値 \( E(\bar{X}) \) を求めよ。\n（2）標本平均 $\bar{X}$ の標準偏差 \( \sigma(\bar{X}) \) を 0.03 以下にするためには, 抽出される標本の大 きさは, 少なくとも何人以上必要であるか。

正規分布 \( N\left(m, \sigma^{2}\right) \) に従う確率変数 $X$ について, $Z=\frac{X-3}{5}$ が標準正規分布 \( N(0,1) \) に従うとき, $m, \sigma$ の値を求めよ。

さいころを投げて, 1, 2 の目が出たら 0 点, $3,4,5$ の目が出たら 1 点, 6 の目が出 たら 100 点を得点とするゲームを考える。さいころを 80 回投げたときの合計得点を 100 で割った余りを $X$ とする。このとき, $X \leqq 46$ となる確率を求めよ。ただし， $\\sqrt{5}=2.24$ とする。

187 (1) 正の相関関係がある (2) 略

右の表は, 10 名からなるある少人数クラスで, 100 点満点で 2 回ずつ実施した数学と英語のテストの得点をまとめたものである。\n（1）数学と英語の得点の散布図を，1 回目，2 回目の各回についてかけ。\n(2) 1 回目の数学と英語の得点の相関係数を $r_{1}$, 2 回目の数学と英語の得点の相関係数を $r_{2}$ とするとき，値の組 \( \left(r_{1}, r_{2}\right) \) として正しいもの を以下の１〜(4)から1つ選べ。\n(1) \( (0.54,0.20) \)\n(2) \( (-0.54,0.20) \)\n(3) \( (0.20,0.54) \)\n(4) \( (0.20,-0.54) \)

右の表は, 2 つの変量 $x, y$ のデータである。189 (1) これらのデータについて, $0.72,-0.19,-0.85$ の うち, $x$ と $y$ の相関係数に最も近いものはどれか。\n\n\\begin{tabular}{l||l|l|l|l|l|l}\n\\hline\ x \ & 80 & 70 & 62 & 72 & 90 & 78 \\\n\\hline\ y \ & 58 & 72 & 83 & 71 & 52 & 78 \\\n\\hline\n\\end{tabular}\n（2）表の右端のデータの $y$ の值を 68 に変更すると， $x$ と $y$ の相関係数の絶対値は大きくなるか， それとも小さくなるか。

198 数学 I 練習 187 右の散布図は, 30 人のクラスの漢字と英単語の 100 点満点で実施したテストの得点の散布図である。 （1）この散布図をもとにして，漢字と英単語の得点 の間に相関関係があるかどうかを調べよ。また,相関関係がある場合には，正・負のどちらである かをいえ。 （2）この散布図をもとにして, 英単語の度数分布表 を作成せよ。ただし，階級は「 40 以上 50 未満」, …․, 「90以上 100 未満」とする。ヶ散布図の点が全体に右上がりに分布している。く英単語の 10 点刻みの 横罫線を基準にして, 数 える。

スキージャンプは, 飛距離および空中姿勢の美しさを競う競技である。選手は斜面を滑り降り, 斜面の端から空中に飛び出す。飛距離 D (単位は m ) から得点 X が決まり, 空中姿勢から得点 Y が決まる。ある大会における 58 回のジャンプについて考える。\n (1) 得点 X, 得点 Y および飛び出すときの速度 V (単位は km / h ) について,図 1 の 3 つの散布図を基に、読み取れることとして正しいものを選べ。\n(1) X と Y 間には正の相関がある。\n(2) V が最大のジャンプは，Xも最大である。\n(3) V が最大のジャンプは, Y も最大である。\n(4) Y が最小のジャンプは, X は最小ではない。\n(5) X が 80 以上のジャンプは，すべてVが 93 以上である。\n(6) Y が 55 以上かつ V が 94 以上のジャンプはない。

変量の変換（仮平均の利用）

画要例題 156 仮説検定による判断 (2) $\mathrm{X}$ 地区における政党Aの支持率は $\frac{2}{3}$ であった。政党 Aがある政策を掲げた ところ, 支持率が変化したのではないかと考え, アンケート調査を行うこと にした。 30 人に対しアンケートをとったところ, 25 人が政党Aを支持すると 回答した。この結果から, 政党Aの支持率は上昇したと判断してよいか。仮説検定の考え方を用い，次の各場合について考察せよ。ただし，公正なさい ころを 30 個投げて, 1 から 4 までのいずれかの目が出た個数を記録する実験 を200回行ったところ，次の表のようになったとし，この結果を用いよ。 \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 〜 4 の個数 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 計 \ \hline 度数 & 1 & 0 & 2 & 5 & 9 & 14 & 22 & 27 & 32 & 29 & 24 & 17 & 11 & 4 & 2 & 1 & 200 \ \hline \end{tabular} (1) 基準となる確率を 0.05 とする。 (2) 基準となる確率を 0.01 とする。

39. 確率変数の設定

例 1. 1個のさいころを投げる試行において 事象 $A$ ：奇数の目が出る 事象 $B$ ：4 以上の目が出る とすると $A=\{1,3,5\}, B=\{4,5,6\}$ と表され $A \cap B=\{5\}$ は奇数かつ 4 以上の目。 $A \cup B=\{1,3,4,5,6\}$ は奇数または 4 以上の目。

相対度数 \(R は標本比率と同じ分布に従うから，Rは近似的に正規分布 \(N\\left(\\frac{1}{6}, \\frac{1}{6}\\left(1-\\frac{1}{6}\\right) \\cdot \\frac{1}{n}\\right) すなわち \(N\\left(\\frac{1}{6}, \\frac{5}{36 n}\\right) に従う。 よって, \(Z=\\frac{R-\\frac{1}{6}}{\\frac{1}{6} \\sqrt{\\frac{5}{n}}} とおくと， \\(Z は近似的に \(N(0,1) に従う。 ゆえに \\( \\quad P\\left(\\left|R-\\frac{1}{6}\\right| ≤ \\frac{1}{60}\\right)=P\\left(\\frac{1}{6} \\sqrt{\\frac{5}{n}}|Z| ≤ \\frac{1}{60}\\right)\\]\n\\[\\begin{array}{l}=P\\left(|Z| ≤ \\frac{1}{10} \\sqrt{\\frac{n}{5}}\\right)=P\\left(-\\frac{1}{10} \\sqrt{\\frac{n}{5}} ≤ Z ≤ \\frac{1}{10} \\sqrt{\\frac{n}{5}}\\right)\\end{array}\\]\nしたがって, 求める値は \(n=500 のとき\\n\\[P(-1 ≤ Z ≤ 1)=2 p(1)=2 \\cdot 0.3413=0.6826\\]n=2000 のとき\\n\\[P(-2 ≤ Z ≤ 2)=2 p(2)=2 \\cdot 0.4772=0.9544\\]n=4500 のとき\\n\\[P(-3 ≤ Z ≤ 3)=2 p(3)=2 \\cdot 0.49865=0.9973\\]

確率変数 $X$ の確率分布を表す表を作成しなさい。

母集団の中から標本を抽出するのに, 毎回もとに戻しながら次のものを 1 個ずつ取り出 すことを復元抽出という。これに対して, 取り出したものをもとに戻さずに続けて抽出することを非復元抽出という。母集団から大きさ $n$ の標本を無作為に抽出し, その $n$ 個の要素における変量の値を $X_{1}$, $X_{2}, \cdots \cdots, X_{n}$ とする。[1]復元抽出によって抽出する場合，それは大きさ 1 の標本を無作為に抽出する試行 を $n$ 回繰り返す反復試行とみなすことができる。したがって, $X_{1}, X_{2}, \cdots \cdots, X_{n}$ は, それぞれが母集団分布に従う互いに独立な確率変数となる。

与えられたz表から学び、z = 5.93の対応点を見つけなさい。

練習 n 本 (n は 3 以上の整数 ) のくじの中に当たりくじとはずれくじがあり，そのうちの 582 本がはずれくじである。このくじを 1 本ずつ引いていき, はずれくじ 2 本を引いたとき，それまでに引いた当たりくじの本数を確率変数Xとする。ただし，引いた くじはもとに戻さないものとする。\n(1) Xの確率分布を求めよ。\n(2) X の期待値 E(X) を求めよ。

全国の有権者のA政党の支持率は 32 % である。無作為に抽出した 100 人の有権者 66 において, $k$ 番目に抽出された人が $\mathrm{A}$ 政党支持なら 1 , 不支持なら 0 の値を対応さ せる確率変数を $X_{k}$ とする。標本平均 $\bar{X}$ の期待値 \( E(\bar{X}) \) と標準偏差 \( \sigma(\bar{X}) \) を求 めよ。

(n+1) 秒後に 2 つの粒子が同じ点にいる確率 p_{n+1} を求めよ。

2 つの確率変数 X, Y の積 XY もまた確率変数であり, X と Y が互いに独立であるとき, 次の定理が成り立つ。E(XY) = E(X)E(Y)。

確率変数 $X$ が $a$ 以上 $b$ 以下の値をとる確率を表す記号を用いて表現しなさい。

例題 67 標本比率と正規分布 A市の新生児の男子と女子の割合は等しいことがわかっている。ある年のA市の 新生児の中から 250 人を無作為抽出したときの女子の割合を R とする。 (1) 標本比率 R の期待値 E(R) と標準偏差 σ(R) を求めよ。 (2) 標本比率 R が 50 % 以上， 55 % 以下である確率を求めよ。

第2章 統計的な推測 8. 確率変数と確率分布 9. 確率変数の変換 10. 確率変数の和と期待値 11. 二項分布 12. 正規分布 13. 母集団と標本, 標本平均とその分布 14. 推定 15. 仮説検定

練習 さいころを \ n \ 回投げるとき, 1 の目が出る相対度数を \ R \ とする。 \ n=500,2000 \, 4500 の各場合について, \\( P\\left(\\left|R-\\frac{1}{6}\\right| \\leqq \\frac{1}{60}\\right) \\) の値を求めよ。

連続型確率変数とは何ですか？

確率変数の変換\nX は確率変数, a, b は定数とする。\nY=a X+b のとき\nE(Y)=a E(X)+b \nV(Y)=a^{2} V(X)\\sigma(Y)=|a| \\sigma(X)

2つの確率変数 $X$ と $Y$ の同時分布が次のように与えられているとします:\n\n| \Y\ | \y_1\ | \y_2\ | \$\cdots \cdots$ | \y_m\ | 計 |\n| ------- | ------- | -------- | ---------------- | ------- | ------- |\n| \x_1\ | \p_{11}\ | \p_{12}\ | \$\cdots \cdots$ | \p_{1m}\ | \p_1\ |\n| \x_2\ | \p_{21}\ | \p_{22}\ | \$\cdots \cdots$ | \p_{2m}\ | \p_2\ |\n| \ \vdots \ | \ \cdots \cdots \cdots \cdots \ | \ \vdots \ |\n| \x_n\ | \p_{n1}\ | \p_{n2}\ | \ \cdots \cdots \ | \p_{nm}\ | \p_n\ |\n| 計 | \q_1\ | \q_2\ | \ \cdots \cdots \cdots \ | \q_m\ | 1 |\n\nこの時、次の問いに答えなさい。

2 つの確率変数 X, Y について, X と Y が互いに独立であるとき次が成り立つ。V(X+Y) = V(X) + V(Y)。

負の二項分布に関する 2 つの定義のいずれかを選び、事象 $A$ が $k$ 回起こるまでの試行回数 $X$ または失敗する回数 $Y$ の確率を求めなさい。\n\n［定義１］ベルヌーイ試行を繰り返すとき, 事象 $A$ が $k$ 回起こる（成功する）までの試行回数Xが従う確率分布を負の二項分布と定義する。\n\n$X$ が負の二項分布に従うとき, 事象 $A$ が $k$ 回起こるまでの試行回数を $r$ として, $X=r$ である確率を考えると次の式で表される。\n\\[\n\\begin{array}{l} \nP(X=r)={ }_{r-1} \mathrm{C}_{k-1} p^{k-1}(1-p)^{(r-1)-(k-1)} \cdot p={ }_{r-1} \mathrm{C}_{k-1} p^{k}(1-p)^{r-k} \\\n(k=1,2,3, \cdots \cdots)\n\\end{array}\n\\]\n\n［定義２］ベルヌーイ試行を繰り返すとき, 事象 $A$ が $k$ 回起こる（成功する）までに, 事象 $\\bar{A}$ が起こる（失敗する）試行回数 $Y$ が従う確率分布を負の二項分布と定義する。次の式で表される。\n\n\\[\n\\begin{array}{r}\nP(Y=r)={ }_{k+r-1} \mathrm{C}_{k-1} p^{k-1}(1-p)^{r} \cdot p={ }_{k+r-1} \mathrm{C}_{k-1} p^{k}(1-p)^{r} \\\n(k=1,2,3, \cdots \cdots)\n\\end{array}\n\\]

母平均 58, 母標準偏差 12 をもつ正規分布に従う母集団から, 大きさ 100 の無作為標本を抽出するとき, 次の確率を求めよ。\n（1）標本平均 \\bar{X} \ が 61 より大きい値をとる確率\n(2) 標本平均 \\bar{X} \ が 55 以上 61 以下である確率

1 回の試行で事象 $A$ の起こる確率を $p$ とする。この試行を $n$ 回行う反復試行にお いて, $A$ がちょうど $r$ 回起こる確率は ${ }_{n} \mathrm{C}_{r} p^{r} q^{n-r}$ ただし, $q=1-p$ 数学 $\mathrm{A}$ では, 反復試行の確率について学びました。反復試行において, ある事象が起こる回数を $X$ とすと， $X$ は確率変数となります。そのこ とについて考えていきましょう。

標本の大きさ n は 900 であるから，母平均 m に対する信頼度 95 % の信頼区間は X - 1.96*(9.8 / sqrt(900)) <= m <= X + 1.96*(9.8 / sqrt(900))

母平均 m に対する信頼度 95% の信頼区間を求めよ。

確率変数 $X$ のとる値の範囲が $0 \leqq X \leqq 1$ で, その確率密度関数が \( f(x)=a(2-x) \) であ る。ただし， $a$ は正の定数とする。\n（1） $a$ の値を求めよ。\n(2) 確率変数 $X$ の期待値 \( E(X) \) と分散 \( V(X) \) を求めよ。

実践例題 3(2) (i)の信頼区間を A <= m <= B とするとき, 同じ標本から得られる母平均 m に対する信頼度 99 %の信頼区間 E <= m <= F は, A <= m <= B に比べると、その範囲の幅はどうなるか。次の選択肢から選べ。 (0) 同じである (1) より狭くなる (2) より広くなる

次の問いに答えよ。\n(2) $\sigma$ を正の実数とする。確率変数 $X$ が正規分布 \( N\left(m, \sigma^{2}\right) \) に従うとき, \( P\left(|X-m| \geqq \frac{\sigma}{4}\right) \) を 求めよ。ただし，小数第 4 位を四捨五入せよ。

2 個のさいころを同時に投げるとき，次の確率変数Xの確率分布を求めよ。ただし，(2) では同 じ目が出たときはその目を X する。(1) 2 つのさいころの目の差 X (2) 出る目の最小値 X 2 個のさいころを同時に投げるときの目の出方は 6^{2}=36 (通り)

2 個のさいころを同時に投げるとき, 出た目の小さい方を $X$ とする。このとき，次のものを求めよ。ただし，同じ目が出たときは，その目を $X$ とる。\n(1) $X$ の期待値\n(2) $X$ の分散\n（3） $X$ の標準偏差

大、中、小の 3 個のさいころを同時に投げて、大、中、小のさいころの出た目をそれぞ れ百の位, 十の位, 一の位の数字とする 3 桁の整数を作る。このとき、次の期待値を求 めよ。\n（1）各位の数字の和の期待値\n(2) 3 桁の整数の期待値

ある地域では, 毎年 10 万人の生徒に対して，数学のテストを実施している。 10 万人のテス トの得点を母集団とし, 得点を表す確率変数を $X$ とするとき, $X$ は母平均 $m$ 点, 母標準偏差 $\sigma$ 点の正規分布に従うものとする。このとき, 次の問いに答えよ。ただし, 必要に応じて,正規分布表を用いてもよい。\n（1）昨年のテストの平均点は $m=52.5$, 標準偏差は $\sigma=10.0$ であった。得点の高い順に順位をつけたとき，上位 64000 位以内に入る生徒の最低点はおよそ＞＼cjkstart点である。\n(0) 39\n(1)\n44\n(2) 49\n(3) 80\n(4) 85