統計と確率 - 確率分布 (離散、連続) | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

1 の数字を書いたカードを 3 枚， 2 の数字を書いたカードを 3 枚, 3 の数字を書いたカードを 3 枚, 計 9 枚用意する。この中から無作為に,一度に 3 枚のカードを選んだとき, カードに書かれた数の和が 3 の倍数 となる確率を求めよ。

事象 B を「(3)の玉゙出る」という事象に変えた場合、事象 A と事象 B は排反事象となることを示しなさい。

「少なくとも2人の女子が連続して並ぶ」という事象は、「女子が隣り合わない」という事象Aの余事象である。 女子が隣り合わないのは、3人の女子が男子の間に並ぶ場合である。男子10人の円順列の総数は (10-1)!=9!（通り）。そのどの場合に対しても、女子3人が男子の間の10箇所の内の3箇所に座る並び方は 10P3 通り。 ゆえに、女子が隣り合わない並び方は 9! × 10P3（通り）。 よって、求める確率は P(̅A) = 1 - P(A) = 1 - (9!×10P3/12!) = 1 - 10×9×8/12×11×10 = 5/11。

ゆがんださいころがあり，1，2，3，4，5，6の出る確率がそれぞれ $\frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}$ であるとする。このさいころを続けて 3 回投げるとき, 出る目の和が 6 となる確率を求めよ。[東京電機大]

第 1 四分位数より小さい観測値と, 第 3 四分位数より大き い観測値とをすべて削除すると, 残りの観測値からなるデー 夕の最大値, 最小値は, それぞれもとのデータの第 3 四分位数，第 1 四分位数に等しい。ゆえに，残りの観測値からなるデータの範囲は，もとのデー 夕の四分位範囲に等しい。よって, 正しい。

（2）ある意見に対する賛成率は約 60% と予想されている。この意見に対する賛成率を，信頼度 95% で信頼区間の幅が 8% 以下になるように推定したい。何人以上抽出して調べればよいか。

526 問題に挑戦 3 以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて巻末の正規分布表を用いてもよ い。 $\mathrm{Q}$ 高校の校長先生は，ある日，新聞で高校生の読書に関する記事を読んだ。そこで，Q 高校の生徒全員を対象に, 直前の 1 週間の読書時間に関して, 100 人の生徒を無作為に 抽出して調査を行った。その結果, 100 人の生徒のうち, この 1 週間に全く読書をしな かった生徒が 36 人であり, 100 人の生徒のこの 1 週間の読書時間 (分) の平均値は 204 であった。Ｑ高校の生徒全員のこの 1 週間の読書時間の母平均を $m$, 母標準偏差を 150 とする。 （1）全く読書をしなかった生徒の母比率を0.5とする。このとき，100人の無作為標本のうちで全く読書をしなかった生徒の数を表す確率変数を $X$ とすると，Xは アに従う。また, $X$ の平均 (期待値)はエウ, 標準偏差は土 である。 アについては，最も適当なものを，次の（）（5)のうちから１つ選べ。 (0) 正規分布 \( N(0,1) \) (1) 二項分布 \( B(0,1) \) (2) 正規分布 \( N(100,0.5) \) (3) 二項分布 \( B(100,0.5) \) (4) 正規分布 \( N(100,36) \) (5) 二項分布 \( B(100,36) \) （2）標本の大きさ 100 は十分に大きいので, 100 人のうち全く読書をしなかった生徒 の数は近似的に正規分布に従う。 全く読書をしなかった生徒の母比率を0.5とするとき, 全く読書をしなかった生徒 が 36 人以下となる確率を $p_{5}$ とおく。 $p_{5}$ の近似値を求めると， $p_{5}=$ オ である。 また，全く読書をしなかった生徒の母比率を 0.4 とするとき, 全く読書をしなかっ た生徒が 36 人以下となる確率を $p_{4}$ とおくと, カ である。 オについては, 最も適当なものを, 次の（０５）のうちから１つ選べ。 (0) 0.001 (1) 0.003 (2) 0.026 (3) 0.050 (4) 0.133 (5) 0.497 カ の解答群 (0) $p_{4}<p_{5}$ (1) $p_{4}=p_{5}$ (2) $p_{4}>p_{5}$

確率分布A 44 $a, b, c, d$ の 4 名が $\{a, b\}$ と $\{c, d\}$ の 2 班に分かれ，各人は他の班の 1 人を等確率で必ず指名するものとする。ただし，各人の指名は互いに独立であるとする。互いに指名し合った対の個数を $X$ とするとき (1) 確率変数 $X$ の分布を求めよ。 (2) $X$ の期待値を求めよ。[熊本大]

基 本例題 62 二項分布の平均, 分散\n赤球が 6 個, 白球が 4 個入った袋から 1 球を取り出し，色を調べてからもと に戻す。これを6 回繰り返して, 赤球の出た回数を $X$ とするとき, $X$ の期待値 \( E(X) \), 分散 \( V(X) \), 標準偏差 \( \sigma(X) \) を求めよ。

成績が正規分布に従うものとして $m = 62, \sigma = 20$ のとき, 成績 85 の生徒にはどんな評点がつくか。

項目: 統計的な推測 トピック: 確率分布 問題番号: 6 問題内容: 確率分布について説明せよ。

ある学校で 1000 人の生徒に数学のテストを行ったところ, その成績は, 平均点 48 点, 標準偏差 15 点の正規分布になったという。成績の良い方から 30 番目の生徒の点数は約何点か。小数第 1 位を四捨五入して求めよ。

Q高校の生徒全員を母集団とし、全く読書をしなかった生徒の母比率が0.5、無作為標本の大きさが100である。確率変数Xは二項分布B(100, 0.5)に従うとき、Xの平均（期待値）と標準偏差を求めよ。また、全く読書をしなかった生徒の母比率が0.5とするとき、Xが正規分布に近似的に従う場合の確率を示せ。

2 個のさいころを同時に投げて, 出た目の最小値を X とするき, X の確率分布を求めよ。また、P(X \leqq 3) を求めよ。

（2）さいころを1回投げて１の目が出る確率は $\frac{1}{6}$。\\n1の目が出る個数を $X$ とすると $X=0,1,2, \cdots, n$。\\n$X=r$ となる確率 \( P(X=r) \) は\\n \( P(X=r)={ }_{n} \mathrm{C}_{r}\left(\frac{1}{6}\right)^{r}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-r}(r=0,1,2, \cdots, n)\\n よって, $X$ は二項分布 \( B(n, 1/6) に従う。

平均値が6, 分散が2の二項分布に従う確率変数を $X$ とする。 $X = k$ となる確率を $P_{k}$ とおく。 $\frac{P_{4}}{P_{3}}$ の値を求めよ。

確率変数 $X$ の確率密度関数が右の \(f(x)\) で与えられているとき, 正の定数 $a$ の値を求めよ。\n\(f(x)=\\left\\{\\begin{array}{lr}a x(2-x) & (0 \\leqq x \\leqq 2) \\\\ 0 & (x<0,2<x)\\end{array}\\right.\)

基 本 例題 68 正規分布の利用\nある高校における男子の身長 $X$ が, 平均 $170.9 \mathrm{~cm}$, 標準偏差 $5.4 \mathrm{~cm}$ の正規分布に従うものとする。次の問いに答えよ。ただし，小数第 2 位を四捨五入 して小数第 1 位まで求めよ。\n（1）身長 $175 \mathrm{~cm}$ 以上の生徒は約何％いるか。\n（2）身長の高い方から $4 \%$ の中に入るのは，約何 $\mathrm{cm}$ 以上の生徒か。

項目: 統計的な推測 トピック: 正規分布 問題番号: 8 問題内容: 正規分布について説明せよ。

EX（1）ある新しい薬を 400 人の患者に用いたら，8人に副作用が発生した。従来から用いていた薬 970 の副作用の発生する割合を 4 % とするとき, この新しい薬の副作用が発生する割合は 4 % で ないといえるか。危険率 5 % で検定せよ。また，危険率1%ではどうか。ただし，400人の患者は無作為に抽出されたものとする。

PR確率変数 $X$ が正規分布 \(N(15,3^2)\) に従うとき, 次の確率を求めよ。\n(1) \(P(X \leqq 18)\)\n(2) \(P(6 \leqq X \leqq 21)\)

大学Aでは, 全学生の 64% が事柄Xについて賛成した。別の大学Bでは, 無作為抽出した 400 人のうち, 274 人の学生が Xに賛成した。B の学生の Xに対する賛成の割合 は,A の学生の賛成の割合と差異があるといえるか。有意水準 5% で検定せよ。

ある製品 1 万個の長さは平均 69 cm, 標準偏差 0.4 cm の正規分布に従っている。長さが 70 cm 以上の製品は不良品とされるとき，この１万個の製品の中には何%の不良品が含まれると予想されるか。

標準正規分布に従う確率変数 $Z$ を求める方法を説明しなさい。

母平均 120 ，母標準偏差 30 をもつ母集団から，大きさ 100 の無作為標本を抽出するとき、その標本平均 $\\bar{X}$ が 123 より大きい値をとる確率を求めよ。

(2) ある試験の成績の分布は, 平均点 58.4 点, 標準偏差 25 点の正規分布に従うものとする。この試験を受けた人から無作為抽出した 100 人の平均点が 62 点以上である確率を求めよ。

二項分布の正規分布による近似

193 このコインは裏が出やすいと判断してよい

右の表は, ある年の 9 県の 年少人口 ( 0 歳〜 14 歳 ) x (千人) と小児科医師数 y (人) のデータである。 (1) x と y の相関係数を r とする。 r の範囲として適切なものを，次の (1) 〜 (4) から選べ。 (1) -1 <= r <=-0.7 (2) -0.3 <= r <=-0.1 (3) 0.1 <= r <= 0.3 (4) 0.7 <= r <= 1 （2）傾向として適切なものを，次の (1)～(3) から選べ。 (1) 年少人口が増加するとき，小児科医師数が増加する傾向が認められる。 (2) 年少人口が増加するとき, 小児科医師数が増加する傾向も減少する傾向も認められない。 (3) 年少人口が増加するとき，小児科医師数が減少する傾向が認められる。

33. 確率分布の計算

ある国では、その国民の血液型の割合はO型 30%、A型 35%、B型 25%、AB 型 10%であるといわれている。いま、無作為に400人を選ぶとき、AB型の人が37人以上49人以下となる確率を求めよ。

2枚のコインを投げたときの表の数 X の確率分布、期待値 E(X)、分散 V(X)、標準偏差 σ(X) を求める。

練習 えんどう豆の交配で， 2 代雑種において黄色の豆と緑色の豆のできる割合は, メンデルの法則に従えば $3: 1$ である。ある実験で黄色の豆が 428 個, 緑色の豆が 132 個得られたという。この結果はメンデルの法則に反するといえるか。有意水準 $5 \%$ で検定せよ。ただし， $\sqrt{105}=10.25$ とする。

河 $15 \Rightarrow$ 本冊 $p .437$\n\( P(X=i, Y=j)=p_{i j} \quad(i=1,2,3 ; j=1,2,3) \) とすると\n\(\begin{array}{ll}\np_{11}=\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{36}, & p_{12}=\frac{2}{9} \cdot \frac{3}{8}=\frac{1}{12}, \\\np_{13}=\frac{2}{9} \cdot \frac{4}{8}=\frac{1}{9}, & p_{21}=\frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8}=\frac{1}{12}, \\\np_{22}=\frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8}=\frac{1}{12}, & p_{23}=\frac{3}{9} \cdot \frac{4}{8}=\frac{1}{6}, \\\np_{31}=\frac{4}{9} \cdot \frac{2}{8}=\frac{1}{9}, & p_{32}=\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8}=\frac{1}{6}, \\\np_{33}=\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8}=\frac{1}{6} &\n\end{array}\n\)\n\nよって, $X, Y$ の同時分布は, 右の表のようになる。

確率変数 Xが区間 $[0,10]$ の任意の値をとることができ，その確率密度関数は \( f(x)=k x(10-x)(k \) は定数) で与えられている。このとき\n$k=$ ア $\square$, 確率 \( P(3 \leqq X \leqq 7)=\uparrow \square \)\n平均値 \( E(X)= \)\( \square,\quad\mathrm{標準偏差} \sigma(X)= \) I $\square$\n[旭川医大]

第1種の過誤と第2種の過誤について説明しなさい。

標本平均の分布\n母平均 m, 母標準偏差 \\sigma の母集団から大きさ n の 無作為標本を抽出するとき, 標本平均 \\bar{X} は, n が大きいとき，近似的に正規分布 N\\left(m, \\frac{\\sigma^{2}}{n}\\right) に従う。

例 22 | 正規分布と確率\n（1）確率変数 $Z$ が標準正規分布 \( N(0,1) \) に従うとき, 次の確率を求めよ。\n(ア) \( P(0.8 \leqq Z \leqq 2.5) \)\n(イ) \( P(-2.7 \leqq Z \leqq -1.3) \)\n(ウ) \( P(Z \geqq -0.6) \)\n\n（2）確率変数 $X$ が正規分布 \( N\left(12,4^{2}\right) \) に従うとき，次の確率を求めよ。\n(ア) \( P(14 \leqq X \leqq 22) \)\n(イ) \( P(X \leqq 18) \)\n(ウ) \( P(6 \leqq X \leqq 15) \)

確率変数 $X$ が正規分布 \( N\left(m, \sigma^{2}\right) \) に従うとき, \( P\left(|X-m| \geqq \frac{\sigma}{4}\right) \) を求めよ。た だし，小数第 4 位を四捨五入せよ。\n(2) 母平均 $m$, 母標準偏差 $\sigma$ の正規分布に従う母集団から大きさ $n$ の無作為標本を 抽出するとき，その標本平均 $\bar{X}$ について， \( P\left(|\bar{X}-m| \geqq \frac{\sigma}{4}\right) \leqq 0.02 \) を満たす最小 の $n$ を求めよ。

問題: 1回の試行で事象Aの起こる確率がpである。この試行をn回繰り返すとき、事象Aの起こる回数Xが二項分布に従うことを証明し、平均、分散、標準偏差を求めなさい。

母集団の中である特性 $A$ をもつものの割合 (母比率) が $p$ であるとき、標本比率 $R$ はどのような分布に従うとみなすことができますか？

3. 二項分布について理解を深めましょう。 確率変数 X=k(k=0,1,2,...,n) となる確率 P(X=k) の数式を示して下さい。また、二項分布 B(n,p) における X の期待値、分散、標準偏差の数式を示して下さい。

正の実数 $a$ を設定し、連続型確率変数 $X$ の取り得る値 $x$ の範囲は $(-a \leqq x \leqq 2a$ である。確率密度関数 \( f(x) \) は次の通りです。\n\[\n f(x)=\left\{\n \begin{array}{ll}\n \frac{2}{3a^2}(x+a) & (-a \leqq x \leqq 0 のとき) \\\n \frac{1}{3a^2}(2a-x) & (0 \leqq x \leqq 2a のとき)\n \end{array}\n\]\n\nする。このとき、$a \leqq X \leqq \frac{3}{2} a$ となる確率はア $\square$ である。また、$X$ の平均はイ $\square$ である。さらに、$Y = 2X + 7$ とおくと、$Y$ の平均はウ $\square$ である。

二項分布 B(n, p) に従う確率変数 X が n が大きいときに従う近似的な正規分布の式を示しなさい。ただし、q = 1 - p とする。

確率変数 X が正規分布 N(m, σ^2) に従うとき、標準正規分布 Z を求めるための変換式を示しなさい。

(1) 確率変数 Z が標準正規分布 N(0,1) に従うとき, 確率 P(-1.98 ≤ Z ≤ -0.5) を求めよ。\n(2) 確率変数 X が正規分布 N(30,4²) に従うとき, 確率 P(22 ≤ X ≤ 32) を求めよ。

正規分布表を用いて、以下の問題を解いてください。 u = 0.4 で z = 0.73 の場合の確率を求めよ。

(1) Xのとりうる値は 0,1,2,3,4,5 である。 X=0 となるのは，2つの目が同じになるときで 6 通り X=1 となるのは，2つの目の組合せが (1,2),(2,3), (3, 4), (4, 5), (5, 6) で 5×2=10 (通り) 同様にして， X=2 ， 3 ， 4 ， 5 となる場合の数は，順に 4×2=8, 3×2=6 2×2=4, 1×2=2 よって, X の確率分布は右 の表のようになる。

TRAINING 61 (4)\nある製品の不良率は約 7 \% であるという。不良率に対する信頼度 $95 \%$ の信頼区間の幅 が $4 \%$ 以下, $2 \%$ 以下であるようにするには，それぞれ何個以上を抽出すればよいか。

以下の問いには，本書巻末の正規分布表を用いよ。\n（1）確率変数 $Z$ が標準正規分布 \( N(0,1) \) に従うとき, 確率 \( P(1 \leqq Z \leqq 2.42) \) を求めよ。\n（2）確率変数 $X$ が正規分布 \( N\left(15,3^{2}\right) \) に従うとき, 確率\n解説動画へGO!!\n\( P(6 \leqq X \leqq 21) \) を求めよ。

偏差値 y が 65 以上となる割合（％）を求めてください。 y の平均値は 50 , 標準偏差は 10 であるので、z=(y-50)/10 とすると z は標準正規分布 N(0,1) に従います。

選挙における議席配分

標本の大きさ n は 400 であるから，母平均 m に対する信頼度 95 % の信頼区間は 51.0-1.96*(9.5 / sqrt(400)) <= m <= 51.0 + 1.96*(9.5 / sqrt(400)) よって 50.069 <= m <= 51.931

確率分布, 二項分布

2 個のさいころを同時に投げるとき, 次の確率変数 $X$ の確率分布を求めよ。ただし，\n(2) では同じ目が出たときはその目を $X$ とする。\n(1) 2 つのさいころの目の差 $X$\n（2）出る目の最小値 $X$

確率変数Xの確率密度関数 f(x) が次の式で与えられるとき, 指定された確率をそれぞれ求めよ。\n(1) f(x)=0.2 x(0 ≤ x ≤ √10) 2 ≤ X ≤ 3 である確率\n(2) f(x)=x²/8(-2 ≤ x ≤ √³16) -2 ≤ X ≤ 1 である確率

二項分布について振り返ろう！

（5）この実験の結果から考えられることや推測できることとして適するものを，次より２つ選び，記号を答えなさい。ア働きバチは、えさ場までの距離を、自身がどれだけ羽ばたいたかをもとに測っている。イ働きバチは、えさ場までの距離を、自身の周りの景色がどれだけ流れたかをもとに測って いる。ウ働きバチは、えさ場までの距離を、自身にどれだけの強さで風が吹いたかをもとに測って いる。エaのトンネルを10mにすると，働きバチは8の字ダンスを行うようになる。オ bのトンネルを10mこすると，働きバチが行う15秒あたりのダンス回数は減る。