統計と確率 - 基本的な確率 | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

PRACTICE 46（1枚のコインを8回投げるとき, 表が5回以上続けて出る確率を求めよ。 (2) 1回の試行で事象Aの起こる確率をpとする。この試行を独立に10回行ったと き, Aが続けて8回以上起こる確率を求めよ。

点 P は初め数直線上の原点 O にあり, さいころを 1 回投げるごとに, 偶数の目が出たら数直線上を正の方向に 3 , 奇数の目が出たら負の方向に 2 だけ進む。10 回さいころを投げたとき, 点 P が原点 O にある確率はア である。

2つのさいころの目の数の積が24以下となる確率を求めよ。

赤玉 5 個と白玉 10 個が入っている袋から無作為に玉を 1 個ずつ取り出す操作を続ける。ただし，取り出した玉は袋には戻さないものとする。このとき，次の確率を求めよ。 （1）赤玉が先に袋の中からなくなる確率 （2）ちょうど赤玉が袋の中からなくなって, かつ, 袋の中に白玉 5 個だけが 残っている確率

2 個のさいころを同時に投げるとき, 目の和が 10 以上になる確率を求めよ。

3 つの箱 A，B，C には, それぞれに赤玉, 白玉, 黒玉が入っ ている。それらの個数は右の表の通りである。無作為に1箱選んで1個の玉を取り出す。このとき, 次の確率を求めよ。\n(1) 取り出した玉が白玉である確率\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\\hline & A & B & C \\\\\\hline 赤玉 & 2 & 3 & 4 \\\\\\hline 白玉 & 3 & 3 & 3 \\\\\\hline 黒玉 & 3 & 2 & 3 \\\\\\hline\\end{tabular}\n（2）取り出した玉が白玉のときに，それが箱Bから取り出された確率

2個のさいころを同時に投げるとき、出た目の数の積が24以下になる確率を求めよ。

1 から 9 までの番号札が各数字 3 枚ずつ計 27 枚ある。札をよくかき混ぜて から 2 枚取り出すとき, 次の確率を求めよ。\n(1) 2 枚が同じ数字である確率\n(2) 2 枚が同じ数字であるか，2 枚の数字の和が 5 以下である確率

3 回の操作終了後に赤玉が 0 個となる確率を求める問題です。

（2） 3 人でじゃんけんを 1 回するとき，ただ 1 人の勝者が決まる確率を求めよ。

1 から 6 までの番号札がそれぞれ番号の数だけ用意されている。この中から 1 枚を取り出すとき，次のどちらが有利か。\n(1) 出た番号と同じ枚数の 100 円硬貨をもらう。\n(2) 偶数の番号が出たときだけ一律に 700 円をもらう。

基本 例題 47 反復試行の確率の基本\n当たりくじ 2 本を含む 8 本のくじがある。引いたくじはもとに戻して 1 本ずつ 5 回引くとき, 次の確率を求めよ。\n（1） 2 回だけ当たる確率\n(2) 4 回以上当たる確率

AとBが試合をして, 先に3勝した方を優勝とする。1回の試合でAが勝つ確率を1/3とする。以下の問いに答えよ。ただし,引き分けはないものとする。(1) Aが3試合目で優勝する確率を求めよ。

91 から 50 までの番号の札から 1 枚引くとき, 3 の倍数でない番号の札を引く確率を求めよ。

3 個のさいころを同時に投げる。(1) 3 個のうち,いずれか 2 個のさいころの目の和が 5 になる確率を求めよ。(2) 3 個のうち,いずれか 2 個のさいころの目の和が 10 になる確率を求めよ。（3）どの 2 個のさいころの目の和も 5 の倍数でない確率を求めよ。

PR1から 9 までの番号を書いた札が 1 枚ずつ合計 9 枚ある。この中から 3 枚取り出すとき, 札の番号がすべて奇数である確率はア である。また, 3 枚の札の番号の和が奇数となる確率はイ である。

2 個のさいころを同時に投げるとき, 出る目の最小値が 3 となるか, または, 出る目 の最大值が 4 となる確率を求めよ。

箱の中に, 1 から 9 までの赤色の番号札 9 枚と, 1 から 6 までの白色の番号札 6 枚が入っている。この箱から番号札を 1 枚引くとき, それが偶数の札であるという事象を $A$, 赤色の札であるという事象を $B$ とする。このとき, 次の確率を求めよ。\n(1) \(P(A \\cap B)\)\n(2) \(P_{B}(A)\)

101個のさいころを投げる試行で、1回目に偶数の目が出て、2回目に4以下の目が出る確率を計算してください。

（1）aが当たり，cも当たる確率

２個のさいころを同時に投げるとき，２個とも同じ目が出る確率と，2 個の目の和が奇数になる確率を，それぞれ求めよ。

3 回の操作終了後に赤玉が 2 個以上となる確率を求める問題です。

（1）各回とも，袋 $\mathrm{A}$ から白玉，袋 Bから赤玉を取り出す場合で あるから，求める確率は \[ 1^{2} \times\left(\frac{3}{4}\right)^{2} \times\left(\frac{2}{4}\right)^{2} \times\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{1024} \]

3枚の硬貨を同時に投げるとき，2枚は表，1枚は裏が出る確率を求めよ。

3 人でじゃんけんを繰り返し行う。ただし，負けた人は次の回から参加できない。次の問題に答えよ。 (1) 2 回行って 2 回とも勝者が決まらない確率を求めよ。 (2) 2 回行って, 初めて勝者が 2 人決まり, 3 回目で 1 人の勝者が決まる確率を求めよ。

1個のさいころを繰り返し3回投げるとき、目の最大値が6である確率を求めよ。

1回目に赤玉が出る確率と、2回目に白玉が出る条件付き確率を計算してください。

硬貨を9回投げ，ちょうど9回目に点Qに到達できる確率を求めよ。

PRAとBがあるゲームを10回行ったところ, Aが7回勝った。この結果から，ＡはBより強いと判断してよいか。仮説検定の考え方を用い，基準となる確率を0.05として考察せよ。ただし，ゲームに引き分けはないものとする。

PR 3つの箱A, B, Cには、それぞれに赤玉, 白玉, 黒玉が入っている。それらの個数は右の表の通りである。無作為に1箱選んで1個の玉を取り出す。このとき, 次の確率を求めよ。 (1) 取り出した玉が白玉である確率 (2) 取り出した玉が白玉のときに, それが箱Bから取り出された確率

EX A, B の 2 人が次のようなゲームを行う。赤玉 2 個，白玉 1 個が入っている袋から玉を 1 個取り ③４〜出し，色を調べてからもとに戻す。取り出した玉の色により、赤玉のときはAが1点を得て，白玉のときはBが2点を得る。

1回の試行で事象 $A$ の起こる確率を続けて8回以上起こる確率を求めよ。表が5回以上続けて出るのは、次のような場合である。

3の倍数でない番号の札を引く確率を計算してください。

4枚の硬貨を1回投げるとき、表が出る確率を求め、Xの期待値を計算してください。

10 本のうち当たりが 3 本入ったくじから同時に 2 本引くとき, 少なくとも 1 本は当たりくじを引く確率を求めよ。

さいころの出る目の積が奇数もしくは12の倍数になる場合の確率を求める

EX 3 個のさいころを同時に投げる。\n\n(1) 3 個のうち, いずれか 2 個のさいころの目の和が 5 になる確率を求めよ。\n\n(2) 3 個のうち, いずれか 2 個のさいころの目の和が 10 になる確率を求めよ。\n\n(3）どの 2 個のさいころの目の和も 5 の倍数でない確率を求めよ。

（2）aがはずれ，ｃが当たる確率

34・1 から 20 までの整数が 1 つずつ書かれた 20 枚のカードがある。（1） 2 枚のカードを同時に取り出すとき, 取り出した 2 枚のカードの整数 の和が 3 の倍数になる確率を求めよ。(2) 17 枚のカードを同時に取り出すとき, 取り出した 17 枚のカードの整数の和が 3 の倍数になる確率を求めよ。

PRACTICE 53\n当たりくじ 3 本を含む 20 本のくじがある。引いたくじはもとに戻さないものとして,次の確率を求めよ。\n(1) A，Bの２人がこの順に1本ずつ引くとき，Aがはずれ，B が当たる確率\n(2) A，B，Cの 3 人がこの順に 1 本ずつ引くとき，Ｃだけが当たる確率

AとBが試合をして, 先に3勝した方を優勝とする。1回の試合でAが勝つ確率を1/3とする。以下の問いに答えよ。ただし,引き分けはないものとする。(2) Aが4試合目で優勝する確率を求めよ。

AとBが試合をして, 先に3勝した方を優勝とする。1回の試合でAが勝つ確率を1/3とする。以下の問いに答えよ。ただし,引き分けはないものとする。(3) Aが優勝する確率を求めよ。

A，Bの２人があるゲームを繰り返し行う。１回のゲームでAがBに勝つ 確率は 2/3, BがA に勝つ確率は 1/3 であるとする。\n1. 先に 3 回勝った者を優勝とするとき，A が優勝する確率を求めよ。\n2. 一方の勝った回数が他方の勝った回数より 2 回多くなった時点で勝っ た回数の多い者を優勝とするとき, 4 回目までにAの優勝する確率を求 めよ。

1000 から 9999 までの 4 桁の整数の中から, その 1 つを無作為に選んだと き, 同じ数字が 2 つ以上現れる確率を求めよ。

PR箱の中に, 1 から9 までの赤色の番号札 9 枚と, 1 から 6 までの白色の番号札 6枚が入っている。この箱から番号札を 1 枚引くとき, それが偶数の札であるという事象を A, 赤色の札であるという事象を B とする。このとき, 次の確率を求めよ。 (1) P(A ∩ B) (2) P_B(A) 全事象を U とする。箱の中の札の数は,右の表のようになる。よって

3 人でじゃんけんを 1 回するとき，あいこにならない確率を求めよ。

15個の電球の中に3個の不良品が入っている。この中から同時に3個の電球を取り出すとき、少なくとも1個の不良品が含まれる確率を求めよ。

対戦ゲームの優勝確率: ある対戦ゲームにおける各プレイヤーの優勝確率を求める方法について説明せよ。

ある企業Xが，自社製品の鉛筆Aと，他社Yの鉛筆Bのうちどちらの方が書きやすい かを調査するアンケートを実施したところ，回答者全員のうち $\frac{2}{3}$ の人が，「Aの方が 書きやすい」と回答した。その後, 他社YがBを改良したため, 改めてアンケートを 実施したところ, 30 人中 14 人が「Aの方が書きやすい」と回答した。Bに比べて, A の書きやすさが下がったと判断してよいか。仮説検定の考え方を用い, 次の各場合に ついて考察せよ。ただし，上の例題のさいころ投げの実験結果を用いよ。 (1) 基準となる確率を 0.05 とする。 (2) 基準となる確率を 0.01 とする。

2個のさいころを同時に投げるとき、X>4となる確率を求めよ。

円周上に点 A, B, C, D, E, F が時計回りに並んでいる。さいこ ろを投げ, 出た目が 1 または 2 のときは動点 P が時計回りに 2 つ隣の点に 進み, 出た目が 3,4,5,6 のときは, 反時計回りに1つ隣の点に進む。点 PがAを出発点として, さいころを 5 回投げて移動するとき, Bにいる確率を求めよ。

2 つの事象 A, B が決して同時に起こらない場合の、確率の加法定理を示しなさい。

（2）ちょうど 2 回目で優勝者が決まる確率を求めよ。

1個のさいころを繰り返し3回投げるとき、目の最大値が4である確率を求めよ。

3 個のさいころを同時に投げるとき，目の和が 5 になる確率を求めよ。

基本例題 57 原因の確率\nある部品を製造する機械 A, B があり，不良品の発生する割合は，A では $3 \\%$, B では 5 \\% であるという。A からの部品と Bからの部品が 7: 3 の割合で大量に混ざっている中から 1 個を選び出すとき，それが不良品であるという事象を $E$ とする。このとき, 次の確率を求めよ。\n(1) 確率 \( P(E) \)\n(2) 事象 $E$ が起こった原因が，機械Aにある確率

1 個のさいころを繰り返し 3 回投げるとき，次の確率を求めよ。\n(1) 目の最小値が 2 以下である確率\n(2) 目の最小値が 2 である確率

3 個のさいころを同時に投げるとき，目の和が 5 になる確率を求めよ。

箱 Aの中には赤玉 3 個, 白玉 2 個の合計 5 個の玉があり, 箱 Bの中には赤玉 3 個, 白玉 4 個の合計 7 個の玉がある。A，Bからそれぞれ 2 個ずつ玉 を取り出すとき, 取り出した 4 個がすべて赤玉である確率はア であり,取り出した 4 個のうち, 赤玉が 2 個, 白玉が 2 個である確率はイである。

1 辺の長さが 1 の正六角形 $\mathrm{OABCDE}$ がある。 5 つの頂点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}$ か ら無作為に選んだ異なる 2 つの頂点と, 頂点 $\mathrm{O}$ で三角形 $T$ を作るとき, $T$ の 周の長さの期待値を求めよ。

（3） 3 人でじゃんけんを 1 回するとき，あいこになる確率を求めよ。

2789枚のカードがあり，そのおのおのには，，，D，A，I，G，A，K，U という文字が1つずつ書かれている。これら 9 枚のカードをよく混ぜて横 1 列に並べる。 D, G, K, U のカードだけを見たとき, 左から右へこの順序 で並んでいる確率はア $\square$ である。また，Ｉのカードが３枚続いて並ぶ確率はイ $\square$ である。

数学A (イ) 3 枚の札の番号の和が奇数となるのは, 次の 2 つの場合が ある。 A: 3 枚すべてが奇数 B: 2 枚が偶数で 1 枚が奇数 A が起こる確率は, (ア)から P(A) = 10 / 84 B が起こる確率は P(B) = (4C2 × 5C1) / 84 = 30 / 84 A, B は互いに排反であるから, 求める確率は P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 10 / 84 + 30 / 84 = 40 / 84 = 10 / 21

1 から 9 までの番号を書いた札が 1 枚ずつ合計 9 枚ある。 この中から 3 枚取り出すとき，札の番号がすべて奇数である確率はア $\square$ である。 また, 3 枚の札の番号の和が奇数となる確率はイ $\square$ である。

確率とその基本性質 確率の定義 事象 A の起こる確率 P(A) は P(A)=\frac{n(A)}{n(U)}=\frac{事象 A の起こる場合の数}{削除て場合の数} 基本性質 0 \leqq P(A) \leqq 1, P(\varnothing)=0, P(U)=1 加法定理 事象 A, B が互いに排反のとき P(A \cup B)=P(A)+P(B)

EX大・中・小 3 個のさいころを同時に投げて, 出た目の数をそれぞれ $a, b, c$ とする。このとき, 次の問いに答えよ。\n(1) $\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b} \\geqq 1$ となる確率を求めよ。\n(2) $\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b} \\geqq \\frac{1}{c}$ となる確率を求めよ。

PRACTICE 152\n次のような 2 つの変量 $x, y$ のデータがある。これらについて, 散布図をかき, $x$ と $y$ の間に相関があるかどうかを調べよ。また，相関がある場合には，正か負のどちらの相関であるかをいえ。\n(1)\n\\begin{tabular}{l||l|l|l|l|l|l|l|l|l|l}\n\\hline\ x \ & 6 & 7 & 4 & 8 & 2 & 9 & 1 & 7 & 3 & 3 \\\n\\hline\ y \ & 4 & 5 & 6 & 1 & 9 & 2 & 7 & 3 & 8 & 5 \\\n\\hline\n\\end{tabular}\n(2)\n\\begin{tabular}{l||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\n\\hline\ x \ & 59 & 76 & 67 & 77 & 63 & 58 & 72 & 61 & 74 & 65 \\\n\\hline\ y \ & 418 & 789 & 325 & 666 & 543 & 733 & 475 & 529 & 365 & 650 \\\n\\hline\n\\end{tabular}\n(3)\n\\begin{tabular}{l||l|l|l|l|l|l|l|l|l|l}\n\\hline\ x \ & 7.7 & 6.8 & 8.2 & 5.9 & 9.1 & 5.6 & 9.4 & 6.3 & 8.7 & 7.5 \\\n\\hline\ y \ & 3.4 & 2.7 & 4.2 & 0.8 & 3.5 & 1.3 & 4.1 & 0.9 & 2.5 & 1.6 \\\n\\hline\n\\end{tabular}

3 人の受験生 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ がいる。おのおのの志望校に合格する確率を，それぞれ $\frac{4}{5}, \frac{3}{4} , \frac{2}{3}$ とするとき，次の確率を求めよ。 (1) 3 人とも合格する確率 (2) 2 人だけ合格する確率

（1）２人でじゃんけんを 1 回するとき，勝負が決まる確率を求めよ。

2 個のさいころを同時に投げて, 出る 2 つの目の数のうち, 小さい方（両者 が等しいときはその数)を $X$, 大きい方（両者が等しいときはその数）を $Y$ とする。定数 $a$ が 1 から 6 までのある整数とするとき, 次のようになる確率を求めよ。(1) $X>a$(2) $X \leqq a$(3) $X=a$(4) $Y=a$

ある試行において、どの根元事象が起こることも同程度に期待できるとき、これらの根元事象は同様に確からしいといいます。このような試行で、起こりうるすべての場合の数を N 、事象 A の起こる場合の数を a とするとき、事象 A の起こる確率 P(A) を求めなさい。

EX 1 から 20 までの整数が 1 つずつ書かれた 20 枚のカードがある。\n（1) 2 枚のカードを同時に取り出すとき, 取り出した 2 枚のカードの整数の和が 3 の倍数にな る確率を求めよ。\n（2) 17 枚のカードを同時に取り出すとき, 取り出した 17 枚のカードの整数の和が 3 の倍数にな る確率を求めよ。

基 本 列題 44 独立な試行の確率\n（1）１個のさいころと 1 枚の硬貨を同時に投げるとき，さいころは 4 以下の 目が出て，硬貨は表が出る確率を求めよ。\n（2）A の袋には白玉 6 個, 黒玉 4 個, また, B の袋には白玉 8 個, 黒玉 2 個 が入っている。A の袋から 3 個, B の袋から 2 個の玉を取り出すとき, 全部白玉である確率を求めよ。\np. 329 基本事項 11\nC. HART \\& SOLUTION

n 人でじゃんけんをした場合のあいこになる確率を求めよ。

PR 2 個のさいころを同時に投げるとき, 出る目の最小值が 3 となるか, または, 出る目の最大值が 4 となる確率を求めよ。目の出方は, 全部で 6^2 = 36 (通り)

「共通範囲」か？「合わせた範囲」か？ 前ページの例題 44 の解答の中には, 「共通範囲」を求める場面と「合わせた範囲」 を求める場面があります。例題 44 の解答をもとに, その違いについて詳しく見て みましょう。

袋の中に白玉 3 個，黒玉 6 個が入っている。この袋の中から同時に 4 個の玉を取り出すとき，次の場合が起こる確率を求めよ。\n（1）白玉が 1 個，黒玉が 3 個出る。\n(2) 4 個とも同じ色の玉が出る。

5 事象と確率 次の状況下での事象の確率を求めよ。 1. 公平なコインを 1 回投げたとき、表が出る確率 2. 6 面体のサイコロを 1 回振ったとき、奇数が出る確率

基 例 題\n35 和事鿇の維泽(一般の場合)\n1 から 100 までの番号をつけた 100 枚の札の中から 1 枚を引くとき, その番号 が 3 の倍数または 4 の倍数である確率を求めよ。

事象と確率の基本的な性質について説明し、それらの式を用いて次の問題を解いてください。\n\n1. 事象Aの起こる確率P(A)が0.3であるとき、事象Aの余事象の確率を求めなさい。\n2. 事象Aと事象Bが互いに排反であるとき、P(A)=0.4, P(B)=0.5であるとすると、P(A ∪ B)を求めなさい。

ある会社では，既に販売しているボールペンＡを改良したボールペンBを開発した。書きやすさを評価してもらうために，無作為に選んだ20人に，AとBのどちらが書きやすいかのアンケートを行った結果，15人がBと回答した。このアンケート結果から，Bの方が書きやすいと消費者から評価されていると判断してよいか。基準となる確率を0.05とし, 次のコイン投げの実験の結果を利用して考察せよ。実験 公正な1枚のコインを投げる。そして, コイン投げを20回行うことを1セットとし, 1セットで表の出た枚数を記録する。この実験を200セット繰り返したところ, 次の表のような結果となった。

2 個のさいころ X, Y を同時に 1 回投げるとき，次の確率を求めよ。（1）さいころXの出た目が 5 以上のとき，2 個のさいころの出た目の和が 8 になる確率 (2) 2 個のさいころの出た目の和が 8 のとき, さいころXの出た目が 5 以上である確率

4 個とも同じ色の玉が出る場合の確率を求めよ。

袋の中に白玉 3 個，黒玉 6 個が入っている。この袋の中から同時に 4 個の玉を取り出すとき，次の場合が起こる確率を求めよ。（1）白玉が 1 個，黒玉が 3 個出る。(2) 4 個とも同じ色の玉が出る。\n

TRAINING 43 (2)\nジョーカーを含まない 1 組 52 枚のトランプから，A，B の 2 人がこの順に 1 枚ずつカ 一ドを取り出す。取り出したカードはもとに戻さないとき，次の確率を求めよ。\n(1) A，B の 2 人がハートのカードを取り出す確率\n(2) B がハートのカードを取り出す確率

組合せの基本。 基本 16 組合せの基本。

確率とその基本性質について説明し、以下のケースについての確率を計算しなさい。 1. 全事象 U の中で事象 A が起こる確率 P(A) を計算しなさい。 2. 事象 A の余事象が起こる確率 P(Ā) を求めなさい。 3. 事象 A と B が互いに排反であるとき、和事象 A ∪ B の確率 P(A ∪ B) を求めなさい。 4. 事象 A と B が排反でないとき、和事象 A ∪ B の確率 P(A ∪ B) を求めなさい。

DREAM の 5 文字を任意に 1 列に並べるとき, 次の場合の確率を求めよ。\n(1) 右端が E である。\n(2) A と D が隣り合う。

（1）大小 2 個のさいころを同時に投げるとき，目の和が 4 になる確率を求めよ。

（2）赤玉 5 個, 白玉 4 個が入っている袋から，4個の玉を同時に取り出すとき, 取り出 した玉の色が２種類である確率を求めよ。

番号が 1 から 9 までの札が 1 枚ずつ合計 9 枚ある。この中から同時に 3 枚取り出すとき, 3 枚の札の番号の和が奇数となる確率を求めよ。

3 個のさいころを同時に投げるとき、次の確率を求めよ。(1) 奇数の目が少なくとも1つ出る確率 (2) 3 つの目の和が 4 にはならない確率

3 個のさいころを同時に投げるとき, 次の確率を求めよ。\n（1）奇数の目が少なくとも1つ出る確率\n(2) 3 つの目の和が 4 にはならない確率

1 枚の硬貨を 6 回投げたとき, 次の確率を求めよ。\n(1) 4 回以上表が出る確率\n（2）表が少なくとも 1 回出る確率

（1）大小２個のさいころを同時に投げるとき，出る目の積が 10 の倍数となる確率を求 めよ。

袋の中に赤玉 6 個, 白玉 4 個が入っている。この中から同時に 3 個を取り出す とき，赤玉，白玉がともに取り出される確率を求めよ。

仮説検定とは，母集団に関するある仮説が統計学的に正しいかどう かを，得られた標本のデータを用いて判断することである。\nAさんがさいころを 15 回投げたところ奇数の目が 12 回出た。この 結果からAさんは次のような主張をしているが, この主張は正しい と判断できるだろうか。\nAさんの主張:\nこのさいころは奇数の目が出やすい。\n\n12 回出たのは単なる偶然かもしれない。そこで, Aさんの主張に 対する次の仮説を立てる。\n仮説：さいころの出る目は同様に確からしい。すなわち,さいころを1 回投げたときに奇数の目が出る確率は $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ である。\n\nこの仮説が正しいとして，さいころを 15 回投げたときに，奇数の 目の出る回数が 12 回以上である確率を $P$ とすると, 次の表から

3 個のさいころを同時に投げるとき, 次の確率を求めよ。 (1) どの目も 3 以上になる確率 (2) 出る目の最小値が 3 である確率

10 本のうち, 当たりが 2 本入っているくじがある。くじを 1 本ずつ引いてはもとに戻すことにして 4 回引いたとき，当たりとはずれが同数になる確率を求めよ。

選択式のアンケートの年代ごとの回答の割合を調べる。

優勝者が決まるまでの勝敗

袋の中に赤玉 5 個, 黒玉 4 個が入っている。この袋の中から同時に 3 個の玉 を取り出すとき, 次の確率を求めよ。\n(1) 3 個とも同じ色である確率\n(2) 2 個だけが同じ色である確率

1 枚の硬貨を 3 回投げたとき，表が少なくとも 1 回出る確率を求めよ。

前の問題における「偶数または素数の玉が出る」という事象を求めなさい。

次の確率を求めよ。\n（1） 1 枚の硬貨を 3 回投げたとき，表が１回だけ出る確率\n（2） 1 枚の硬貨を 3 回投げたとき，表が少なくとも 1 回出る確率\n（3） 1 枚の硬貨を 4 回投げたとき，表が続けて 2 回以上出る確率\n（4）１枚の硬貨を 5 回投げたとき，表が続けて 2 回以上出ることがない確率

一つのサイコロを3回投げる。出る目の和が6となる確率を求めよ。

7 独立な試行と確率 次の問題に答えよ。 4. 2 つの独立な試行 A と B の確率を求めよ。事象 A の確率は 0.5、事象 B の確率は 0.6 である。

1個のさいころを 4 回投げるとき, 次の確率を求めよ。 (1) 出る目の最小値が 1 である確率 (2) 出る目の最小値が 1 で, かつ最大值が 6 である確率

白玉 3 個と赤玉 6 個の入った袋から玉を 1 個取り出し，色を 見てから袋に戻す。この試行を 4 回続けて行うとき, 白玉が 3 回以上出る確率を求めよ。

ある会社では、既に販売しているボールペンAを改良したボールペンBを開発した。書きやすさ を評価してもらうために, 無作為に選んだ 20 人に, AとBのどちらが書きやすいかのアンケー トを行った結果， 12 人がBと回答した。このアンケート結果から，B の方が書きやすいと消費者から評価されていると判断してよいか。基準となる確率を 0.05 とし，次のコイン投げの実験 の結果を利用して考察せよ。 実験 公正な1枚のコインを投げ，そして，コイン投げを 20 回行うことを 1 セットとし, 1 セ ットで表の出た枚数を記録する。 この実験を 200 セット繰り返したところ，次の表のような結果となった。 ``` 表の枚数 | 度数 ---|--- 5 | 4 6 | 10 7 | 15 8 | 19 9 | 27 10 | 33 11 | 29 12 | 26 13 | 21 14 | 12 15 | 3 16 | 1 合計 | 200 ``` 「主張：Bの方が書きやすい」に対する次の仮説を立てる。 仮説：AとBの書きやすさに差はない。 つまり, A と回答する場合と B と回答する場合 が半々の確率で起こる。 ここで, コインの表が出る場合を，Bと回答する場合とする。 コイン投げの実験結果において, 12 枚以上表が出たのは, 200 セットのうち, 63 セットであり, 相対度数は 0.315 これは基準の確率 0.05 より大きい。 したがって, 仮説は正しくない, とは判断できない。 よって, 最初の主張が正しいとは判断できない。つまり,「B の方が書きやすい」と評価されているとは判断できない。

さいころを 4 回投げるとき, 次の確率を求めよ。 (1) 出る目の最小値が 1 である確率 (2) 出る目の最小値が 1 で, かつ最大值が 6 である確率

Aには 4，6，6の数字が書かれたカードを，Bには1，3，5，7，7 の数字が書 かれたカードを，それぞれ１枚ずつ配る。A，B が自分に配られたカードの中 から無作為に 1 枚取り出すとき, 取り出したカードに書かれている数字をそれ ぞれ $a, b$ とする。 $a$ が $b$ より小さい確率を求めよ。

1 から 9 までの番号を書いた札が 1 枚ずつ合計 9 枚ある。この中から同時に 3 枚取り出 すとき, 3 枚の札の番号の和が奇数となる確率を求めよ。

次の’口に当てはまるものを，下の０～～２）のうちから１つ選べ。\n昭和 25 年の変動係数 V と平成 27 年の変動係数との大小関係は》 V である。\n(0) V<0.509\n(1) V=0.509\n(2) V>0.509

3枚の硬貨を同時に投げるとき、3枚とも表が出る確率を求めよ。

（1）大小２個のさいころを同時に投げるとき，出る目の積が 10 の倍数となる確率を求めよ。

赤，青，黄，白の玉が 1 個ずつ，合計 4 個が入った袋から 1 個を取り出すとき，赤玉が取り出される確率を求めなさい。

30 (1) の確率を求めなさい。

34 (1) の確率を求めなさい。

1 枚の硬貨を 5 回投げて, 表がちょうど 3 回出る確率を求めよ。

赤玉 4 個と白玉 3 個が入っている袋の中から，同時に 2 個の玉を取り出すとき,次の確率を求めよ。（1）２個とも赤玉が出る確率（2）異なる色の玉が出る確率\n

次のような確率の性質について説明しなさい: 1. 任意の事象 A について 0 ≤ P(A) ≤ 1 が成り立つ。 2. 空事象に対して P(∅)=0。 3. 全事象 U について P(U)=1。 4. 事象 A, B が互いに排反であるとき P(A ∪ B)=P(A)+P(B)。 5. 3つ以上の事象について、どの 2 つの事象も互いに排反であるとき、例えば 3 つの事象 A, B, C が互いに排反であるとき P(A ∪ B ∪ C)=P(A)+P(B)+P(C)。 6. 余事象について A と Ā が互いに排反であり、Ā はAの起こらない事象である。P(A ∪ Ā)=P(A)+P(Ā) であり、P(A ∪ Ā)=P(U)=1 から 1=P(A)+P(Ā)。ゆえに P(Ā)=1-P(A)。

発 例 題 《基本例題 38 0000 当たりくじとはずれくじの入った 3 つの箱 A ， B ， C の中からくじを 1 本引く とき，当たりくじを引く確率はそれぞれ 1/4 ， 2/3 ， 1/2 である。各箱の中からく じを 1 本ずつ引くとき, 次の確率を求めよ。 （1）当たりくじを 2 本引く確率 （2）少なくとも 1 本当たりくじを引く確率

TR12本のくじの中に当たりくじが２本ある。 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ の人がこの順に1本ずつくじを引く。 ${ }^{3} 44$ 次の場合に, A とCだけが当たる確率を求めよ。\n(1) 引いたくじを戻す\n(2) 引いたくじを戻さない\n(1) A，B，Cがそれぞれくじを引く試行は独立である。 A，B，Cは，それぞれ当たりくじ 2 本を含む 12 本のくじか ら1本ずつ引く。A，C が当たり，B ははずれるから，求める 確率は $\quad \frac{2}{12} \times \frac{10}{12} \times \frac{2}{12}=\frac{5}{216}$ «復元抽出独立な事象の確率を考 える。

正しいものには○印を，正しくないものには×印をつける，○×形式の問題が 8 題ある。この問題において，○印と×印をでたらめにつけるとき，2 題だけ正解する確率を求めよ。

(2) A，B，Cの 3 人がじゃんけんを 1 回行う。AとBの 2 人が勝つ確率を求めよ。

1 個のさいころと 1 枚の硬貨を同時に投げるとき，さいころは奇数の目が出て，硬貨は裏が出る確率を求めよ。

TRAINING 35 (1)\n1 から 6 までの番号をつけた赤玉 6 個と, 1 から 5 までの番号をつけた青玉 5 個を入れ た袋がある。この袋の中から玉を1個取り出すとき，その玉の番号が奇数または青玉で ある確率を求めよ。

次に示される試行について考えなさい。「大小2個のさいころを同時に投げる」という試行において、「少なくとも1つは6の目が出る」確率を計算しなさい。

1 から 6 までの番号をつけた赤玉 6 個と, 1 から 5 までの番号をつけた青玉 5 個を入れた袋がある。この袋の中から玉を 1 個取り出すとき, その玉の番号が奇数または青玉である確率を求めよ。

少なくとも1つは6の目が出る確率を求めなさい。

1 枚の硬貨を 3 回投げたとき，表が 1 回だけ出る確率を求めよ。

赤玉 5 個, 白玉 4 個が入っている袋から，4個の玉を同時に取り出すとき，取り出した玉の 色が 2 種類である確率を求めよ。

1 枚の硬貨を 4 回投げたとき，表が続けて 2 回以上出る確率を求めよ。

TRAINING 47\n3 個のさいころを同時に投げるとき, 次の確率を求めよ。\n（1）どの目も 3 以上になる確率\n(2) 出る目の最小値が 3 である確率\n[類 滋賀大]

プレゼント交換がうまくいく確率は？

（2） 3 人でじゃんけんを 1 回するとき，あいことなる確率を求めよ。

2 個のさいころを同時に投げるとき，次の確率を求めよ。\n（1）同じ目が出ない確率\n（2）偶数の目が少なくとも1つ出る確率

確率とその基本性質

n を自然数とし，0,1,2, ⋯ , 2n の数が 1 つずつ書かれたカードが合計 (2n+1) 枚ある。この中から無作為にカードを 1 枚取り出し，そこに書かれた数を $X$ とする。 $Y$ を次の (a), (b) により定めるとき, k=0,1,2, ⋯ , 2n として $Y=k$ となる確率を求めよ。また, $Y$ の分散を求めよ。(a) $X$ が奇数ならば $Y=X$ とする。(b) $X$ が偶数（０も含む）ならば，そのカードを戻して新たにすべてのカードの中から無作為に1枚取り出し，そこに書かれた数を $Y$ とする。

ある地方の小学校 6 年生から無作為抽出した 600 人について調査したら, 262 人が虫歯であった。全国の小学校 6 年生の虫歯をもつ比率は $40 \%$ であるという。この地方の小学校 6 年生の虫歯をもつものの割合は全国より大きいといえるか。次の有意水準で検定せよ。\n（1）有意水準 $5 \%$\n（2）有意水準 $1 \%$

PR1から 9 までの番号を書いた 9 枚のカードがある。この中から, カードを戻さずに, 次々と 4 枚 361 のカードを取り出す。こうして得られたカードの番号を, 取り出された順に a, b, c, d とする。(1) 積 a b c d が偶数となる碓率を求めよ。(2) 千の位を a, 百の位を b, 十の位を c, 一の位を d とおいて得られる 4 析の数 N の期待値 を求めよ。[秋田大]

（1） 1 から 9 までの整数から 1 つの整数を選ぶとき，それが奇数である事象 $A$ と 5 以下である事象 $B$ は独立であるか，従属であるか。

671 の目が出る確率は $\frac{1}{6}$ でないと判断で きない。

以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて巻末の正規分布表を用いてもよい。\nQ 高校の校長先生は, ある日, 新聞で高校生の読書に関する記事を読んだ。そこで, Q 高校の生 3 徒全員を対象に, 直前の 1 週間の読書時間に関して, 100 人の生徒を無作為に抽出して調査を行った。その結果, 100 人の生徒のうち, この 1 週間に全く読書をしなかった生徒が 36 人であり, 100 人の生徒のこの 1 週間の読書時間 (分)の平均値は 204 であった。 Q 高校の生徒全員のこの 1 週間の読書時間の母平均を m, 母標準偏差を 150 とする。

デジタル教材を購入する際に確認すべき点は何ですか？

EX ある地方の小学校 6 年生から無作為抽出した 600 人について調査したら, 262 人が虫歯であった。全国の小学校 6 年生の虫歯をもつ比率は $40 \%$ であるという。この地方の小学校 6 年生の虫歯をもつものの割合は全国より大きいといえるか。次の有意水準で検定せよ。\n（1）有意水準 $5 \%$\n（2）有意水準 $1 \%$

確率変数 $X$ の確率密度関数 \( f(x) \) が \( f(x)=1-\frac{1}{2} x(0 \leqq x \leqq 2) \) で与えられるとき，指定された確率を求めよ。\n(1) \( P(0.4 \leqq X \leqq 1.2) \)\n(2) \( P(0 \leqq X \leqq 1.8) \)

標本平均はX̄=6.5, 母標準偏差はσ, 標本の大きさはn=250である。 よって, 母平均mに対する信頼度95％の信頼区間は [6.5-1.96⋅σ/√250, 6.5+1.96⋅σ/√250]

PRACTICE $67^{\circ}$\n確率変数 $X$ が正規分布 \( N\left(15,3^{2}\right) \) に従うとき, 次の確率を求めよ。\n(1) \( P(X \leqq 18) \)\n(2) \( P(6 \leqq X \leqq 21) \)

ある試行において, 試行の結果によってその値が定まり, 各値に対応して確率が定まるような変数を確率変数という。一般に，確率変数Xのとりうる値が $x_{1}, x_{2}, \cdots \cdots, x_{n}$ であり，それぞれの値をとる確率が $p_{1}, p_{2}, \cdots \cdots, p_{n}$ であるとき，次が成り立つ。\n\n| $X$ | $x_{1}$ | $x_{2}$ | $\cdots \cdots$ | $x_{n}$ | 計 |\n| - | - | - | - | - | - |\n| $P$ | $p_{1}$ | $p_{2}$ | $\cdots \cdots$ | $p_{n}$ | 1 |\n\n下記の条件が成り立つように, 確率変数 X のとりうる値とその値をとる確率を決定しなさい。\n\n$p_{1} \geqq 0, \quad p_{2} \geqq 0, \quad \cdots \cdots, \quad p_{n} \geqq 0$\n\n$p_{1} + p_{2} + \cdots \cdots + p_{n} = 1$

データの変量 x に対し、x の平均値を ̅x, 標準偏差を sx で表すとき、次の式で変量 y を定める。\n$y = 10 \times \frac{x - \bar{x}}{s_x} + 50$\nそして、x = xk のときの y の値 y_k を、xk の偏差値という。偏差値の分布では、常に平均値が 50 、標準偏差が 10 になることを証明せよ。

PR $n$ 枚のカードに、 $1, 2, 3, \cdots, n$ の数字が1つずつ記入されている。このカードの中から無作為に2枚のカードを抜き取ったとき、カードの数字のうち小さい方を $X$、大きい方を $Y$ とする。ただし、 $n \geqq 2$ とする。\n(1) $X = k$ となる確率を求めよ。ただし、 $k = 1, 2, 3, \cdots, n$ とする。\n(2) $X$ の期待値を求めよ。\n(3) $Y$ の分散を求めよ。

基本 列題 75 大数の法則\n母平均 0 , 母標準偏差 1 をもつ集団から抽出した大きさ $n$ の標本の標本平均 $\bar{X}$ が -0.1 以上 0.1 以下である確率 \( P(|\bar{X}| \leqq 0.1) \) を $n=100,400,900$ の 各場合について求めよ。

PRある地方 $\mathrm{A}$ で 15 歳の男子 400 人の身長を測り, 平均値 $168.4 \mathrm{~cm}$, 標準偏差 $5.7 \mathrm{~cm}$ を得た。A の 15 歳の男子の身長の平均値 $m \mathrm{~cm}$ に対して, 信頼度 $95 \%$ の信頼区間を求めよ。\n\n標本平均は $\bar{X}=168.4$, 標本標準偏差は $S=5.7$, 標本の大きさは $n=400$ である。\n\nよって, 求める信頼区間は\n\\left[168.4-1.96 \cdot \frac{5.7}{\sqrt{400}}, 168.4+1.96 \cdot \frac{5.7}{\sqrt{400}}\right]\\n\nゆえに $\quad[167.8414,168.9586]$\nすなわち [167.8, 169.0] ただし，単位は $\mathrm{cm}$

（1）このゲームを6回行ったところ，A がＢに4 回勝った。この結果から，A は以前より強いと判断してよいか。

問䞟4 2つのグループのデータを合わせたときの平均値と分散ある集団はXとＹの2つのグループで構成されている。データを集計したところ、それぞれのグループの個数、平均値、分散は右の表のようになった。 \begin{tabular}{c||c|c|c}\hline グループ & 個数 & 平均値 & 分散 \\ \hline $\mathrm{X}$ & 20 & 16 & 24 \\ \hline $\mathrm{Y}$ & 60 & $\bar{y}$ & $s_{y}{ }^{2}$ \\ \hline\end{tabular} 集団全体の平均値を $\bar{z}$ ，分散を $s_{z}^{2}$ とするとき，次の問いに答えよ。 (1) $\bar{y}=20, s_{y}{ }^{2}=32$ のとき, $\bar{z}$ および $s_{z}{ }^{2}$ の値を求めよ。 (2) $\bar{y}=16, s_{y}{ }^{2}<24$ のとき, $s_{z}{ }^{2}$ はアを満たす。 $$アに当てはまる式を次の（0～（4)から 1つ選べ。 (0) $s_{z}{ }^{2}<s_{y}{ }^{2}$ (1) $s_{z}{ }^{2}=s_{y}{ }^{2}$ (2) $s_{y}{ }^{2}<s_{z}{ }^{2}<24$ (3) $s_{z}{ }^{2}=24$ (4) $s_{z}{ }^{2}>24$ (3) $\bar{y}<16, s_{y}{ }^{2}=24$ のとき, $s_{z}{ }^{2}$ はイを満たす。 イに当てはまる式を次の（0～～２）ら1つ選べ。 (0) $s_{z}{ }^{2}<24$ (1) $s_{z}{ }^{2}=24$ (2) $s_{z}{ }^{2}>24$

$\\mathrm{Y}$ 地区における政党 B の支持率は \ \\frac{1}{3} \ であった。政党 B がある政策を掲げたとこ ろ，支持率が変化したのではないかと考え，アンケート調査を行うことにした。 30 人に対しアンケートをとったところ，15 人が政党Bを支持すると回答した。こ の結果から, 政党 B の支持率は上昇したと判断してよいか。仮説検定の考え方を用 い, 次の各場合について考察せよ。ただし，公正なさいころを 30 個投げて, 1 から 4 までのいずれかの目が出た個数を記録する実験を 200 回行ったところ，次の表の ようになったとし，この結果を用いよ。\n\[ \\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \\hline 1 〜 4 の個数 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 計 \\\\ \\hline 度数 & 1 & 0 & 2 & 5 & 9 & 14 & 22 & 27 & 32 & 29 & 24 & 17 & 11 & 4 & 2 & 1 & 200 \\\\ \\hline \\end{tabular}\n\n（1）基準となる確率を 0.05 とする。\n(2) 基準となる確率を 0.01 とする。

右の散布図は, 30 人のクラスの漢字と英単 187 語の 100 点満点で実施したテストの得点の 散布図である。 (1) この散布図をもとにして，漢字と英単語の得点の間に相関関係があるかどうか を調べよ。また, 相関関係がある場合に は，正・負のどちらであるかをいえ。 (2) この散布図をもとにして，英単語の度数分布表を作成せよ。ただし，階級は 満」とする。

134 (1) このさいころは1の目が出やすいと判断してよい (2) このさいころは1の目が出やすいとは判断できない

データの相関 相関関係があるデータセットを用いて相関係数を計算し、その解釈について述べなさい。 データセット: {(1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 4), (5, 7)}

A と B があるゲームを 9 回行ったところ，A が 7 回勝った。この結果から，A はBより強いと判断してよいか。仮説検定の考え方を用い，基準となる確率を 0.05 として考察せよ。ただし，ゲームに引き分けはないものとする。

99 個の観測値からなるデータがある。四分位数について述べた次の０～(5)の記述のうち, どのようなデータでも成り立つものを 2 つ選べ。\n(0)平均値は第 1 四分位数と第 3 四分位数の間にある。\n(1) 四分位範囲は標準偏差より大きい。\n(2) 中央値より小さい観測値の個数は 49 個である。\n(3) 最大値に等しい観測値を 1 個削除しても第 1 四分位数は変わらない。\n(4) 第 1 四分位数より小さい観測値と，第 3 四分位数より大きい観測値と をすべて削除すると，残りの観測値の個数は 51 個である。\n(5) 第 1 四分位数より小さい観測値と, 第 3 四分位数より大きい観測値と をすべて削除すると，残りの観測値からなるデータの範囲はもとのデー 夕の四分位範囲に等しい。

データの統合による平均値と分散

あるゲームを10回行ったところ，Aが7回勝った。この結果から，AはBより強いと判断してよいか。仮説検定の考え方を用い，基準となる確率を0.05として考察せよ。ただし，ゲームに引き分けはないものとする。

データの分析の問題 Q9 データの大きさが 30 であるから, $Q_{1}$ は小さい方から 8 番目の値 $Q_{2}$ は小さい方から 15 番目と 16 番目の 値の平均 $Q_{3}$ は大きい方から 8 番目の値 である。ヒストグラムから, $Q_{1}$ は 40 以上 50 未満の階級 $Q_{2}$ は 60 以上 70 未満の階級 $Q_{3}$ は 80 以上 90 未満の階級 にある。これらを同時に満たす箱ひげ図は

ある企業がイメージキャラクターを作成し，20人にアンケートを実施したところ，13人が「企業の印象が良くなった」と回答した。この結果から，企業の印象が良くなったと判断してよいか。仮説検定の考え方を用い，基準となる確率を 0.05 として考察せよ。ただし，公正なコインを 20 枚投げて表が出た枚数を記録する実験を 200 回行ったところ，次の表のようになったとし，この結果を用いよ。

1次独立の意味を説明してください。

練習22\n(1) 1 回目の操作後, 印のついた面は必ず側面にくるから, 次の 2 回目の操作後に印のついた面が続けて側面にくる確率は\n\\n\\frac{2}{4}=\\frac{1}{2}\n\

この 4 段階中、成功不成功の分かれるのは主に第2段階の指針であろう。その具体的な立て方は、本文のチャートでお目にかけるが、その前に一般的な注意を述べておこう。

最高位の数が $k$ となる確率を導くために, $n$ が含まれる範囲の幅 $L_{k}$ を計算せよ。

さいころを 2 n 回振った後, 動点 P は A または C にいるという命題 (1) を証明せよ。

12 (1) 2 個のさいころを同時に投げるとき，目の和が素数である確率を求めよ。

例題 23 | 組合せと確率\n赤, 青, 黄の札が 4 枚ずつあり, どの色の札にも 1 から 4 までの番号が 1 つずつ書 かれている。この 12 枚の札から無作為に 3 枚取り出したとき，次のことが起こる 確率を求めよ。\n(1) 全部同じ色になる。\n(2) 番号が全部異なる。\n（3）色も番号も全部異なる。\n[埼玉医大]

21. 確率の計算

30. 確率の計算

14. 確率の計算

硬貨を 6 回投げたとき，表が3回出る確率を求めなさい。

さいころを 1 回投げるとき，それが素数の目である確率は \ \\frac{3}{6} \, 素数以外の目である確率は \ \\frac{3}{6} \ である。\\( { }_{5} \\mathrm{C}_{4}\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{4}\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{1}=5 \\times\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{5}=\\frac{5}{32} \\)\n(イ) 素数の目が 4 回以上出るのは、素数の目が 4 回または 5 回出 る場合であるから、その確率は\n\\( \\frac{5}{32}+\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{5}=\\frac{5}{32}+\\frac{1}{32}=\\frac{3}{16} \\)

37. 確率の計算

20. 確率の計算

取り出したカードがすべて 7 以下であるという事象からすべて 6 以下であるという事象を除いた場合、カードを 1 枚取り出すときの最大値 7 の確率を求めよ

31 図形の周上を動く点の確率

例題 24 | じゃんけんの確率\n4 人がじゃんけんを 1 回するとき, 次の確率を求めよ。\n(1) 1 人だけが勝つ確率\n(2) 2 人が勝つ確率\n(3) あいこになる確率

25 繰り返しの試合で優勝する確率

15. 確率の計算

19. 確率の計算

x 軸上を動く点 A があり, 最初は原点にある。硬貨を投げて表が出たら正 の方向に 1 だけ進み, 裏が出たら負の方向に 1 だけ進む。硬貨を 6 回投げるものとして,次の確率を求めよ。(1) 点 A が原点に戻る確率 (2) 点 A が 2 回目に原点に戻り, かつ 6 回目に原点に戻る確率

12. 確率の計算

40. 確率の計算

１回シュートをしてゴールを決める確率は \ \\frac{2}{3} \\n2 回以上ゴールが決まるという事象は、0 回または 1 回だけゴールが決まるという事象の余事象であるから\n\\( \n\\begin{aligned}\n1-\\left\\{\\left(1-\\frac{2}{3}\\right)^{6}+{ }_{6} \\mathrm{C}_{1}\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{1}\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{5}\\right\\} & =1-\\left(\\frac{1}{3^{6}}+\\frac{12}{3^{6}}\\right) \\\\\n& =\\frac{3^{6}-13}{3^{6}}=\\frac{716}{729}\n\\end{aligned}\n\\)

赤球が 3 個，青球が 3 個入った袋の中から，よくかき混ぜてから同時に 2 個取り出し, 色を確認してもとに戻す。この試行を 2 回繰り返すとき, 取り出される 4 個のうち 2 個が赤球, 2 個が青球である確率を求めよ。

25. 確率の計算

練習あるさいころを 8 回投げたところ，偶数の目が 7 回出た。この結果から，このさいころは偶数の目が出やすいと判断してよいか。仮説検定の考え方を用い，基準となる確率を 0.05 として考察せよ。

数学 I $\frac{4}{200}=0.02$ すなわち, 仮説 $\mathrm{H}_{0}$ のもとでは, 21 人以上が「以前よりよく眠れた」と回答する確率は 0.02 程度であると考えられる。これは基準の 0.05 より小さいから, 仮説 $\mathrm{H}_{0}$ は正しくなかったと考えられ，仮説 $\mathrm{H}_{1}$ は正しいと判断してよい。したがって，以前よりよく眠ることができると判断してよい。 次に, さいころを 30 回投げて 1 から 4 までのいずれかの目が 25 回以上出る場合の相対度数を考察する。 $\frac{4+2+1}{200}=\frac{7}{200}=0.035$ すなわち, 仮説 $\mathrm{H}_{0}$ のもとでは, 25 人以上が「満足である」と回答する確率は 0.035 程度であると考えられる。試験の基準に基づいて以下の判断を行う: (1) 0.035 は基準の 0.05 より小さい場合 → 仮説 $\mathrm{H}_{0}$ は正しくなかった考えられ, 仮説 $\mathrm{H}_{1}$ が正しいと判断する。つまり, 満足度が高まったと判断する。 (2) 0.035 は基準の 0.01 より大きい場合 → 仮説 $\mathrm{H}_{0}$ は否定できず, 仮説 $\mathrm{H}_{1}$ が正しいとは判断できない。つまり, 満足度が高まったとは判断できない。

(2) 1 回の試行で，石を反時計回りに動かすことを +\n時計回りに動かすことを -\n動かさないことを 0 で表すと， 4 回の試行後に石が $C$ にある, +-， 0 の組合せは 場合\n[1] \( (+,+, 0,0) \)\n[2] \( (+,+,+,-) \)\n[3] \( (-, 0,0,0) \)\n[4] \( (-,-,+, 0) \)\n[5] (-,-,-,-)\n1反復試行の確率

31. 確率の計算

26. 確率の計算

17. 確率の計算

数学の勉強法にはどのような特徴があるのか、他の教科と比較して説明せよ。

（2）赤玉 5 個, 白玉 4 個, 青玉 3 個が入っている袋から玉を 1 個取り出すとき, 赤玉が出る確率を求めよ。

12 (2) 3 枚の硬貨を同時に投げるとき, 表が 1 枚, 裏が 2 枚出る確率を求めよ。

以下の確率を求めよ。 1. A, B, C がそれぞれ球を投げる試行について、 (a) P(A ∪ B ∪ C) の確率を計算せよ。 (b) 2 枚のカードから 2 枚を取り出す試行に関して、同じ番号の 2 枚を取り出す確率を求めよ。 2. A, B, C がそれぞれ独立して球を的に投げる試行について、次の確率を求めよ。 (a) 奇数の目または 5 以上の目が出る確率を求めよ。 (b) A が的に当たり、B と C が当たらない確率を求めよ。 (c) 少なくとも 1人 が的に当たる確率を求めよ。

数学A\n201\n$C$ ：目の和が 2 である $D$ : 目の和が 3 である\n目の和が 6 の約数になるという事象は, 事象 $A, C, D$ の和事象 であり, この 3 つの事象は互いに排反である。\n\( C=\{(1,1)\}, D=\{(1,2),(2,1)\}\n\nであるから \( \quad P(C)=\frac{1}{36}, P(D)=\frac{2}{36} \)\nよって, 求める確率は\n\(\begin{aligned}P(A \cup C \cup D) & =P(A)+P(C)+P(D) \\& =\frac{5}{36}+\frac{1}{36}+\frac{2}{36}=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}\n\end{aligned}\)

なぜ数学を学ぶのか

（1）大小２個のさいころを投げるとき，大きいさいころは奇数の目，小さいさい ころは 5 以上の目が出る確率を求めよ。

4. n回目に勝者が1人決まる場合の確率を求めよ。

各試合で \ \\mathrm{A} \ が勝つ確率は \ \\frac{1}{3} \、B が勝つ確率は \ \\frac{2}{3} \ である。\nAが優勝するのには、次の 3 つの場合がある。\n12 回の試行は独立 \ \\longrightarrow \ 確率を掛ける。\n加法定理（確率を加える）\n素数以外 1 回 \$\u2714$\n\\( { }_{5} \\mathrm{C}_{4}\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{4}\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{1} \\)\n5 回中, 素数 4 回\n5 回中, 素数 4 回\\\n【加法定理を利用。\n3 回のうち2 回決まる。\n求めにくい確率は見方を変える(余事象)。\n\ \\triangle_{6} \\mathrm{C}_{3} \\times{ }_{3} \\mathrm{C}_{1} \\times{ }_{2} \\mathrm{C}_{2} \ でもよい。\n場合の数 60 に, Xが 3 回, Yが 1 回, Zが 2 回起こる確率を掛ける。\nＢが勝つ確率は\ 1-\\frac{1}{3} \

141 から 9 までの番号が1つずつ書かれた 9 枚のカードの中から，3枚のカードを同時に引く。このとき, 3 枚のカードの番号の積が 24 以下になる確率を求めよ。

問題13 ジョーカーを除く 52 枚のトランプから 1 枚取り出すとき, A ：エースが出る B : ハートが出る C : 絵札が出る の事象のうち，互いに排反であるものはどれとどれか。

袋に 1 から 10 までの自然数を書いた玉が 1 個ずつ，合計 10 個入っている。この袋から 3 つの玉を同時に取り出し，書いてある数を a, b, c とする。 a^{2}+b^{2}+c^{2} が 11 で割り切れる確率を求めよ。

1 から 9 までの番号を付けたカードが各番号 3 枚ずつ計 27 枚ある。カードをよくかき混ぜてから 2 枚を取り出すとき，次の確率を求めよ。\n(1) 2 枚が同じ番号である確率\n(2) 2 枚が同じ番号であるか，2 枚の番号の和が 5 以下である確率

問題の方針についてはどのようにすれば良いか？

32 最大値・最小値の確率

11. 確率の計算

27. 確率の計算

AとBがあるゲームを 10 回行ったところ, Aが 8 回勝った。この結果から, Aは Bより強いと判断してよいか。仮説検定の考え方を用い, 基準となる確率を 0.05 として考察せよ。ただし，ゲームに引き分けはないものとする。

（2）さいころを 3 回投げて，出た目の数全部の積を $X$ とする。このとき， $X>2$ と なる確率を求めよ。

24. 確率の計算

38. 確率の計算

ある事柄が起こる醀からしさの割合を数値で表すことがある。そ の数値が「踓率」である。この章では，睢率の定義に基づいて，確率に関する定理や性質（璀率の加法定理・乗法定理，独立な試行の確率など) を導き、これらと前章で学んだ順列・組合せなど を利用して、確率を計算することを学ぶ。更に、試行の結果とし て得られる数值の平均值一期待值——いいても学ぶ。

練習 アーチェリーの選手 \\mathrm{A} , \\mathrm{~B} , \\mathrm{C}\ の 3 人が的に矢を 1 回射るとき，的に当たる確率は， 29 順に \\frac{1}{2}, \\frac{1}{3}, \\frac{1}{4}\ であるという。このとき \\Gamma \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{4} = \\frac{13}{12} >1 \ であるから, 少 なくとも1人は的に当てる」という考え方は正しいかどうかを判定し，正しい場合 も正しくない場合もその理由を示せ。

CHECK 3 ⇒ 本冊 p.255 目の和が 10 以上になるのは，和が 10 または 11 または 12 になる 場合である。 1. 和が 10 になる場合は 3 通り 2. 和が 11 になる場合は 2 通り 3. 和が 12 になる場合は 1 通り これらは同時に起こらないから，求める場合の数は 3 + 2 + 1 = 6 (通り)

23. 確率の計算

35. 確率の計算

例題 32 最大値・最小値の確率\n1 個のさいころを 4 回投げるとき, 次の確率を求めよ。\n(1) 出る目の最小値が 3 である確率。\n(2) 出る目の最小値が 1 で, かつ最大値が 6 である確率。

36. 確率の計算

佃説検定による判断 (2)\nある薬の効果について調査を行ったところ， \\frac{2}{3} \ にあたる人が「満足である」と回答した。その後, この薬の効果を高めるために改良を行い，改めて調査を行った ところ，30人中 25 人が「満足である」と回答した。このとき，この薬の満足度は 高まったと考えてよいか。仮説検定の考え方を用いて, 次の各場合について考察 せよ。ただし，公正なさいころを 30 回投げて，1 から 4 までのいずれかの目が出 た回数を記録する実験を 200 セット行ったところ，次の表のようになったとして， この結果を用いよ。\n(1) 基準となる確率を 0.05 とする。\n(2) 基準となる確率を 0.01 とする。\n\n1 から 4 の回数 & 度数 \n13 & 1\n14 & 3\n15 & 4\n16 & 9\n17 & 14\n18 & 21\n19 & 28\n20 & 33\n21 & 27\n22 & 25\n23 & 17\n24 & 11\n25 & 4\n26 & 2\n27 & 1

2 試合目以降, Aが 4 連勝して優勝が決まる場合, その確率 を求めなさい。

[1] 〜 [3] の事象は互いに排反であるから, 求める確率を求めなさい。

34. 確率の計算

28. 確率の計算

1 個のさいころを 6 回続けて投げるとき, 3 の倍数の目がちょうど 3 回出る確率を求めよ。

和が 0 になる 3 つの数字の組み合わせについて、玉の取り出し方の総数と確率を求めよ。

2 個のさいころの目の出方は 6 × 6 = 36 通り (通り) 目の和が 6 の倍数になる事象は、目の和が 6 である事象と目の和が 12 である事象のどちらかであり、 この場合、A と B の事象は互いに排反です。 A = {(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}, B = {(6,6)} したがって、求める確率は、 \[ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = \frac{5}{36} + \frac{1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \]

22. 確率の計算

32. 確率の計算

n人のじゃんけんであいこになる確率を求めよ。

16. 確率の計算

2人のじゃんけんであいこになる確率を求めよ。

例題 71 | 母平均の推定 \( (2) \) ある高校で 100 人の生徒を無作為に抽出して調べたところ, 本人を含む兄弟の数 Xは下の表のようであった。1人当たりの本人を含む兄弟の数の平均値を信頼度 99 \% で推定せよ。 \begin{tabular}{c|ccccc|c} \hline 本人を含む兄弟の数 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 計 \\ \hline 度 数 & 36 & 40 & 16 & 7 & 1 & 100 \\ \hline \end{tabular} 例題 70 （注）開平が必要なときは電卓を用いてよい。その場合は, 小数第 3 位を四捨五入して小数第 2 位まで表せ。

砂糖の袋の山から 100 個を無作為に抽出して, 重さを量ったところ, 平均値 $300.4 \mathrm{~g}$ を得た。重さの母標準偏差を $7.5 \mathrm{~g}$ として, 1 袋あたりの重さの平均値を 信頼度 95 \% で推定せよ。

仮説検定の手順\n(1) 事象が起こった状況や原因を推測し，仮説を立てる。\n(2) 有意水準 \\alpha を定め, 仮説に基づいて棄却域を求める。\n(3) 標本から得られた確率変数の値が棄却域に 入れば仮説を棄却し, 棄却域に入らなければ仮説を棄却しない。

X のと Y の同時分布を求め、 X と Y が独立であるかを確認しなさい。

ある工程で製造された製品の重さの平均値が $8.62 \mathrm{~kg}$, 標準偏差が $0.25 \mathrm{~kg}$ であることが，過去のデータからわかっている。ある期間に製造された製品からいくつか抽出して重さを調べたところ，次のようになった。\n$8.41,7.97,8.68,9.30,9.05,7.85,8.89$ （単位は $\mathrm{kg}$ ）ただし，この製品の重さを表す確率変数は正規分布に従うものとする。\n\n平均値と標準偏差から，上方管理限界と下方管理限界を求め，その範囲から外れるデータがあるかどうか調べる。

ベルヌーイ試行とは何ですか？

例題 62 二項分布と確率変数の変換 甲，乙のさいころを同時に振る試行Aにおいて，甲の出た目が乙の出た目より大 きいときにのみ, 動点 $\mathrm{P}$ は原点 $\mathrm{O}$ を出発し， $x$ 軸上の正の方向に 1 だけ進むもの とする。試行 $\mathrm{A}$ と $n$ 回 $(n$ は正の整数) 繰り返した後の動点 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標を $X$ で表す。 また, $x y$ 平面上で定点 \( \mathrm{Q}(n, 2), \mathrm{R}(-1,0) \) と動点 $\mathrm{P}$ とを頂点とする三角形の面積をYで表す。次のものを求めよ。 [新潟大] (1) 試行Aにおいて，甲の出た目が乙の出た目より大きくなる確率 $p$ (2) Xの確率分布 (3) $Y$ の期待値 \( E(Y) \) と分散 \( V(Y) \)

あるイベントで賞金をまったくもらえない確率を求めなさい。

数列の和と期待値, 分散\n1,2, \\cdots \\cdots, n の番号のついたカードが，それぞれ n 枚, n-1 枚, \\cdots \\cdots, 1 枚ある。 このカードを袋の中に入れる。袋の中をよく混ぜてから 1 枚のカードを取り出し， それに書いてある番号を確率変数 X とする。\n(1) X=k となる確率 p_{k} を求めよ。\n(2) X の期待値 E(X) と分散 V(X) を求めよ。

2個のさいころを振ったときの目の合計 X の確率分布と、X が特定の範囲にある確率を求める。

一般に, 確率変数 $X$ のとりうる値が $x_{1}, x_{2}, \cdots \cdots, x_{n}$ であり, それぞれの値を取る確率が $p_{1}, p_{2}, \cdots \cdots, p_{n}$ であるとき, 確率 $P$ が満たす条件を示せ。

毎回もとに戻しながら個体を1個ずつ抽出する方法を何というか。

数学的な問題として、選挙における議席配分を数理的に考察します。具体的には、一般的な選挙システム（例: ドント方式や修正サンラグ方式）を使って、与えられた票数に基づいて各政党に配分される議席数を計算してください。以下に政党ごとの票数が与えられます。各政党に配分される議席数を計算してください。 政党A: 120,000票 政党B: 90,000票 政党C: 60,000票 政党D: 40,000票 全体の議席数: 10

平均 120, 母標準偏差 30 をもつ正規分布に従う母集団から、大きさ 100 の無作為標本を抽出するとき、次の確率を求めよ。 (1) 標本平均 $\bar{X}$ が 123 より大きい値をとる確率 （2）標本平均 $\bar{X}$ が 114 以上 126 以下である確率$\bar{X}$ は正規分布 \( N\left(120, \frac{30^{2}}{100}\right) \) に従い、$\frac{30}{\sqrt{100}}=\frac{30}{10}=3$ であるから、$Z=\frac{\bar{X}-120}{3}$ は標準正規分布 \( N(0,1) \) に従う。

n 枚のカードに, 1,2,3,...,n の数字が 1 つずつ記入されている。このカードの 中から無作為に 2 枚のカードを抜き取ったとき, カードの数字のうち小さい方を X,大きい方を Y とする。ただし， n ≥ 2 とする。(1) X=k となる確率を求めよ。ただし， k=1,2,3,...,n とする。(2) X の期待値を求めよ。(3) Y の分散を求めよ。

ある商品 A について 300 人にアンケート調査をしたところ,商品 A を支持する人が 210 人いた。商品 A の支持者の母比率かに対して, 信頼度 95 % の信頼区間を求めよ。ただし, √7=2.65 で計算し, 小数第 4 位を四捨五入して小数第 3 位 まで答えよ。 母比率 p に対する信頼度 95 % の信頼区間 [R - 1.96 √(R(1 - R) / n), R + 1.96 √(R(1 - R) / n)] R は標本比率, n は標本の大きさ

赤玉 2 個と白玉 1 個が入った袋から，玉を 2 個同時に取り出すとき,玉の出方は 2 個の赤玉を赤 ${ }_{1}$, 赤 2 と区別すると $\left(\right.$ 赤 $_{1}$, 赤 \( \left._{2}\right),\left(\right. \) 赤 $_{1}$, 白), $\left(\right.$ 赤 $_{2}$, 白) の 3 通りである。この試行において, 出る赤玉の個数を $X$ とすると, $X$ のとりうる値は 1, 2 であり, $X$ がこれらの各値をとる確率を求めよ。

ある薬の副作用の発生率は従来 4 % であったが，改良した新しい薬を 400 人の患者に用いたら，8 人に副作用が発生した。改良によって, 副作用の発生率が下がったと判断してよいか。有意水準 5 % で検定せよ。ただし，400 人の患者は無作為に抽出されたものとする。

仮説検定において, 正しいかどうかを判断したい主張 [1] に反する仮定として立て た主張 [2] を帰無仮説といい，主張［1］を対立仮説という。\n\n仮説検定では，どの程度小さい確率の事象が起こると仮説を棄却するか， という基準をあ らかじめ定めておく。この基準となる確率 $\\alpha$ を有意水準という。有意水準 $\\alpha$ は, 0.05 (5％)または0.01(1\\%)と定めることが多い。\n有意水準 $\\alpha$ に対して，仮説が棄却されるような 確率変数の値の範囲が定まる。この範囲を，有意水準 $\\alpha$ の 棄却域という。\nまた，棄却域を両側にとる検定を両側検定，片側にとる検定を片側検定という。\n\n仮説検定の手崸:\n(1) ある事象が起こった状況や原因を推測し，仮説を立てる。\n(2) 有意水準 $\\alpha$ を定め, 仮説にもとづいて棄却域を求める。\n(3) 標本から得られた確率変数の値が棄却域に入れば仮説を育却し, 育却域に入らな ければ仮説を棄却しない。

ある薬の副作用の発生率は従来 4 % であったが, 改良した新しい薬を 400 人の患者に用いたら，8 人に副作用が発生した。改良によって，副作用の発生率が下がったと判断 してよいか。有意水準 5 % で検定せよ。ただし， 400 人の患者は無作為に抽出されたものとする。

TR 次の事象 A, B は互いに独立であるか従属であるかを判定せよ。(1) 1 枚の硬貨を 3 回投げる試行で, 1 回目に表が出る事象 A と, 3 回とも同じ面が出る事象 B (2) P(A)=0.4, P(A ∪ B)=0.5, P(Ā ∪ B̄)=0.8 である事象 A, B

\n表には、2022年から2019年までの科学分野ごとに行われたテストの1次と2次の合格基準を示しています。縦軸は分野を示し、横軸は年度と試験の種類（1次、2次）を示します。各セルに記載されている記号は、\n\n- $\\star$ = その年度のその試験の主要分野。\n- O = その年度のその試験でカバーされた分野。\n\nこの表を見て、以下の質問に答えてください。\n\n1) 2020年の2次試験で主要分野だった分野はどれですか？\n2) 2019年の1次試験で主要分野だった分野は何ですか？\n3) 2021年の1次試験でカバーされた分野はどれですか？\n

下線部hに関して, 以下の問いに答えなさい。\n（1）インターネットでの取引によって、外国から直接商品を購入することが可能になりました。しかし、商品が届かない、破損していたなどのトラブルも発生しています。このような場合の相談窓口が国民生活センターの中に設置されています。この機関を所管している官庁を下記より1つ選び番号で答えなさい。\n1 金融庁 2 国税庁\n3 消費者庁 4 公正取引委員会

問 2 下線部aについて, Z市とその周辺の市などの沿岸部に広がるZ港は日本で最も輸出量の 多い港です（2018年）。Z港の輸出品目のうち，その割合が最大となるものを，下記より1つ 選び番号で答えなさい。 (データはZ港ウェブサイトより) 1 石炭 2 集積回路 3 自動車 4 プラスチック

問11 下線部 j に関する次の文X・Yについて, その正誤の組合せとして正しいものを，下記より1つ選び番号で答えなさい。 X 取引のさいに, 暗証番号やパスワードを入力することで、ペーパーレス化を進めています。 Y 紙の通帳の発行をやめ, インターネットで取引の記録を確認できるようにしています。 1. X 正 Y 正 2. X 正 Y 誤 3. X 誤 Y 正 4. X 誤 Y 誤

例題の解説動画を活用するシチュエーションを2つ挙げてください。