統計と確率 - 標準偏差と分散 | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

次のデータは, ある年の札幌と那覇の降雨 (雪) がなかった日数を月別に並べたものである。それぞれのデータの範囲を求め, データの散らばりの度合いを比較せよ。 札幌: 3, 1, 3, 13, 17, 8, 4, 11, 11, 13, 6, 2 那覇: 9, 8, 6, 7, 12, 10, 8, 7, 5, 5, 3, 8

(2) 次の０～③のうち, 漁獲量の変動の度合いを判断するものとして最も適当なものを 1 つ選べ。 (0) 平均値 (1) 中央値 (3) 標準偏差 (2) 最頻値

変量 x のデータの平均値を x̄, 標準偏差を sx とする。u=ax+b(a, b は定数)によって新しい変量 u のデータが得られるとき, uのデータの標準偏差を su とすると su=|a| sx が成り立つ。

例2 25 人の生徒に対する 6 点満点の小テストの結果が次の表の 1 ， 2 列目のように 度数分布表で与えられた場合、分散を求めなさい。\n| 得点 x | 人数 f | x f | x^2 f |\n| 1 | 1 | 1 | 1 |\n| 2 | 3 | 6 | 12 |\n| 3 | 4 | 12 | 36 |\n| 4 | 7 | 28 | 112 |\n| 5 | 8 | 40 | 200 |\n| 6 | 2 | 12 | 72 |\n計 | 25 | 99 | 433 |

(2) 生徒 (8) の理科の得点, および, 理科の得点の分散を求めよ。

239\nx-LOP 分散を求める計算方法の工夫\n分散の2つの計算式は, どのように使い分けたらよいのですか？

数学 I PR 右の変量 $x, y$ のデータについて, 次の問い 148 に答えよ。\n(1) 変量 $x$ の分散 $s_{x}{ }^{2}$ と変量 $y$ の分散 $s_{y}{ }^{2}$ を求めよ。\n\\begin{tabular}{l||l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l}\\hline$x$ & 25 & 21 & 18 & 17 & 21 & 26 & 23 & 21 & 20 & 18 \\ \\hline$y$ & 28 & 19 & 30 & 13 & 27 & 12 & 30 & 13 & 15 & 23 \\ \\hline \\end{tabular}\n(2) 変量 $x, y$ のデータについて, 標準偏差によってデータの平均值からの散らばりの度合いを 比較せよ。

（4）次の（a）～(c)は，2つの海産物の漁獲量のデータにある変換を行ったときの標準偏差について述べた文章である。\n(a) 各データをすべて 1000 で割ったとき, 標準偏差はもとのデータのときと変わら ない。\n(b) 各データからその海産物の漁獲量の平均値を引いたとき，標準偏差はもとのデ 一夕のときと変わらない。\n(c) 各データからその海産物の漁獲量の平均値を引いた値を 1000 で割ったとき，標準偏差はもとのデータのときと変わらない。\n(a)〜 (c)の正誤の組み合わせとして正しいものは，ケ である。

(4) 次の (a)〜(c) は、2つの海産物の漁獲量のデータにある変換を行ったときの標準偏差について述べた文章である。 (a) 各データをすべて 1000 で割ったとき、標準偏差はもとのデータのときと変わらない。 (b) 各データからその海産物の漁獲量の平均値を引いたとき、標準偏差はもとのデータのときと変わらない。 (c) 各データからその海産物の漁獲量の平均値を引いた値を1000で割ったとき、標準偏差はもとのデータのときと変わらない。 (a)〜(c)の正誤の組み合わせとして正しいものは、ケである。ケに当てはまるものを、次の０〜７のうちから１つ選べ。 | | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |----|----|----|----|----|----|----|----|----| | (a)| 正 | 正 | 正 | 誤 | 正 | 誤 | 誤 | 誤 | | (b)| 正 | 正 | 誤 | 正 | 䛊 | 正 | 䛊 | 誤 | | (c)| 正 | 誤 | 正 | 正 | 誤 | 誤 | 正 | 誤 |

次の表は, あるクラスの生徒 10 人に対して行われた, 理科と社会のテスト （各 100 点満点）の得点等の一覧である。空欄の値はわかっていないものとして, (1)〜(3)に答えよ。\n[類 慶応大]\n\\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||c|c|c|}\n\\hline 生徒番号 & (1) & (2) & (3) & (4) & (5) & (6) & 77 & 8 & (9) & (10 & 平均 & 分散 & 共分散 \\\n\\hline 理科 & 10 & 30 & 40 & 90 & 70 & 60 & 70 & & 50 & 80 & 50 & & \\( \\\mathbf{- 2 7 0} \\\n\\hline 社会 & 100 & 70 & 60 & & 40 & 50 & 20 & 50 & & 70 & 60 & 500 & \\\n\\hline\n\\end{tabular}\n(1) このデータの散布図として適切なものを, 次の図 (A)〜 (C) のうちから 1 つ選べ。\n理科\n理科\n理科\n(C)\n(2) 生徒 (8) の理科の得点, および, 理科の得点の分散を求めよ。\n(3) 理科と社会の得点の相関係数を求めよ。

標準例題がよくわからないときはどうしたらよいですか？

基本152 分散と平均値の関係式

下の [図 1] ～[図 3]は, 1955 年, 1985 年, 2015 年の 3 つの年について, 東京における 8 月の 日最高気温(各日における最高気温)をヒストグラムにしたものである。\n次の0～6の中に, 1955 年, 1985 年, 2015 年のデータの分散が含まれているとする。\nこのとき, 1955 年のデータの分散はア,1985年のデータの分散はイ,2015 年のデータの分散はウとなる。\n(0) -22.1\n(1) -6.12\n(2) -2.10\n(3) 0\n(4) 2.10\n(5) 6.12\n(6) 22.1

6個の値10,7,8,0,4,2からなるデータの分散を求めよ。ただし, 小数第2位を四捨五入せよ。

生徒30人の身長の散らばり具合を調べる。

下の [図 1 ] [図 3 ] は, 1955 年, 1985 年, 2015 年の 3 つの年について, 東京における 8 月の日最高気温(各日における最高気温)をヒストグラムにしたものである。[図 1 ] 1955 年 8 月\n[図 2 ] 1985 年 8 月\n[図 3 ] 2015 年 8 月\n次の０～の中に, 1955 年, 1985 年, 2015 年のデータの分散が含まれているとする。このとき, 1955 年のデータの分散はア，1985 年のデータの分散はＹ，2015 年のデータの分散はワウとなる。 $\qquad$ , イ , $\square$ に当てはまるものを，次の０～のうちから１つずつ選べ。(0) -22.1\n(1) -6.12\n(2) -2.10\n(4) 2.10\n(5) 6.12\n(6) 22.1\n(3) 0

(1) 2 つの変量 $x, y$ について, $x$ の標準偏差が $1.2, y$ の標準偏差が $2.5, x$ と $y$ の共分散が 1.08 であるとき, $x$ と $y$ の相関係数を求めよ。\n（2）下の表は，10人の生徒に 10 点満点のテスト A, B を行った結果である。A，B の 得点の相関係数を求めよ。必要ならば小数第 3 位を四捨五入せよ。\n\\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\n\\hline 生徒の番号 & (1) & (2) & (3) & (4) & (5) & (6) & 77 & 8 & (9) & (10) \\\\\n\\hline テスト A & 8 & 9 & 6 & 2 & 10 & 3 & 8 & 4 & 1 & 9 \\\\\n\\hline テスト B & 2 & 2 & 5 & 5 & 2 & 5 & 4 & 4 & 7 & 4 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}

あるテストの、クラスごとの得点の散らばり具合を調べる。

基本151 分散,標準偏差を求める

偏差、分散、標準偏差に関連する問題: 変量 x の各値が以下のとき、 1. 偏差を求めよ 2. 分散を求めよ 3. 標準偏差を求めよ

2つの変量 $x, y$ について， $x$ の標準偏差が 1.2 , $y$ の標準偏差が $2.5, x$ と $y$ の共分散が 1.08 であるとき, $x$ と $y$ の相関係数を求めよ。

海外の 8 つの都市について, 成田空港からのおよその飛行時間 x を調べたところ, 次のようなデータが得られた。 7,5,7,6,8,7,10,6 (時間) このデータの分散と標準偏差を求めよ。ただし，必要ならば小数第 2 位を四捨五入せよ。

EXある学校で 1000 人の生徒に数学のテストを行ったところ, その成績は, 平均点 48 点, 標準偏差 15 点の正規分布になったという。成績の良い方から 30 番目の生徒の点数は約何点か。小数第 1 位を四捨五入して求めよ。

PRACTICE 68\nある製品 1 万個の長さは平均 $69 \mathrm{~cm}$, 標準偏差 $0.4 \mathrm{~cm}$ の正規分布に従っている。長さが $70 \mathrm{~cm}$ 以上の製品は不良品とされるとき, この 1 万個の製品の中には何 $\%$ の不良品が含まれると予想されるか。

学科の成績 $x$ を記録するのに, 平均が $m$, 標準偏差が $\\sigma$ のとき, 下の表に従って, 1 から 5 までの評点で表す。成績が正規分布に従うものとして\n(1) 45 人の学級で, 評点 $1,2,3,4,5$ の 生徒の数は，それぞれ何人くらいずつ になるか。\n(2) $m=62, \\sigma=20$ のとき, 成績 85 の生徒にはどんな評点がつくか。\n\\begin{tabular}{c|c}\n\\hline 成 績 & 評点 \\\n\\hline\ x<m-1.5 \\sigma \ & 1 \\\n\ m-1.5 \\sigma \\leqq x<m-0.5 \\sigma \ & 2 \\\n\ m-0.5 \\sigma \\leqq x \\leqq m+0.5 \\sigma \ & 3 \\\n\ m+0.5 \\sigma<x \\leqq m+1.5 \\sigma \ & 4 \\\n\ m+1.5 \\sigma<x \ & 5 \\\n\\hline\n\\end{tabular}

分散 平均 分散過 平均値の付近にデータが集まっておらず, 平均値から離れたデータが多い。→ 散らばりが大きい 平均値の付近にデータが集まり, 平均値から離れたデータが少ない。 → 散らばりが小さい このヒストグラムを用いて，平均値が同じ集団を合わせた場合と，分散が同じ集団を合わせた場合についてのヒストグラムを考えると，次のようになる。 〈平均値が同じ集団を合わせた場合〉 〈分散が同じ集団を合わせた場合〉 2 つのデータの間くらいの散らばりになる → 分散は 2 つのデータの間になる 散らばりが大きくなる → 分散は大きくなる

これまでに学んだ平均値, 標準偏差を用いて求められる値の中で, 代表的なものとして偏差値があげられる。複数教科の試験を受けた場合，平均点が異なる場合が多いため，得点 のみで各教科の実力の差を見極めることは難しい。偏差値を用いれば平均点が異なってい ても各教科の実力の差を比較しやすい。偏差値は, 平均値と標準偏差を用いて, 次のよう に定義される。 データの変量 $x$ に対し， $x$ の平均値を $\\bar{x}$, 標準偏差を $s_{x}$ で表すとき $y=50+\\frac{x-\\bar{x}}{S_{x}} \\times 10$ によって得られる $y$ を $x$ の偏差値という。\n例: ある生徒の大学入試センター試験の国語・数学 I A・英語の得点の結果は次の表の 通りであった。\n\\begin{tabular}{c||c|c|c|c}\n\\hline 大学入試センター試験 & 得点 & 得点率 & 平均点 & 標準偏差 \\\n\\hline 国語（200 点） & 150 & 75 & 98.67 & 26.83 \\\n\\hline 数学 I A（100 点） & 85 & 85 & 62.08 & 21.85 \\\n\\hline 英語（200 点） & 170 & 85 & 118.87 & 41.06 \\\n\\hline\n\\end{tabular}\n3 教科の偏差値を求めると\n国語 $50+\\frac{150-98.67}{26.83} \\times 10 \\fallingdotseq 69.13$\n数学 $50+\\frac{85-62.08}{21.85} \\times 10 \\doteqdot 60.49$\n英語 $50+\\frac{170-118.87}{41.06} \\times 10 \\fallingdotseq 62.45$

182 (1) A 工場: 平均値 3.90 g, 標準偏差 0.17 g B 工場: 平均値 4.00 g, 標準偏差 0.11 g （2）Ａ工場の方が散らばりの度合いが大きい

(2) 両工場のデータについて, 標準偏差によってデータの平均値からの散らばりの度合いを比較せよ。

数学 I\n$x, y$ の標準偏差をそれぞれ $s_{x}, s_{y}$ とすると\n\[\n\\begin{array}{l}\ns_{x}{ }^{2}=\\overline{x^{2}}-(\\bar{x})^{2}=3-1^{2}=2 \\\ns_{y}{ }^{2}=\\overline{y^{2}}-(\\bar{y})^{2}=10-2^{2}=6 \\\ns_{x}=\\sqrt{2}, \quad s_{y}=\\sqrt{6}\ns\\end{array}\n\]\n\nよって $s_{x}=\\sqrt{2}, s_{y}=\\sqrt{6}$\nゆえに $\quad r_{x y}=\\frac{s_{x y}}{s_{x} s_{y}}=\\frac{2}{\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{6}}=\\frac{1}{\\sqrt{3}} \\fallingdotseq 0.6$\n(2) (1) から $s_{y z}=\\overline{y z}-\\bar{y} \\cdot \\bar{z}$\nここで， \( z_{k}=-2 x_{k}+1(k=1,2,3) \) とすると\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\\overline{y z}=\\frac{1}{3}\\left(y_{1} z_{1}+y_{2} z_{2}+y_{3} z_{3}\\right) \\\n=\\frac{1}{3}\\left\\{y_{1}\\left(-2 x_{1}+1\\right)+y_{2}\\left(-2 x_{2}+1\\right)+y_{3}\\left(-2 x_{3}+1\\right)\\right\\} \\\n=-2 \\cdot \\frac{1}{3}\\left(x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3}\\right)+\\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3} \\\n=-2 \\overline{x y}+\\bar{y} \\\n=-2 \\overline{x y}+2 \\bar{x} \\cdot \\bar{y} \\\n=-2 \\cdot 4+2 \\cdot 1 \\cdot 2=-4 \\\n\\end{array}\n\\]\n\nよって \( s_{y z}=-2 \\overline{x y}+\\bar{y}-\\bar{y}(-2 \\bar{x}+1) \)\n\nまた，zの標準偏差を $s_{z}$ とすると\n\\ns_{z}=|-2| s_{x}=2 \\sqrt{2}\n\\n\nゆえに $\quad r_{y z}=\\frac{s_{y z}}{s_{y} s_{z}}=\\frac{-4}{\\sqrt{6} \\cdot 2 \\sqrt{2}}=-\\frac{1}{\\sqrt{3}} \\fallingdotseq-0.6$\n参考 $z=a x+b$ のとき, $a>0$ ならば $r_{y z}=r_{x y}$ であり, $a<0$ なら ば $r_{y z}=-r_{x y}$ である。\n\\\begin{\overlineray}{l}\n\\leftarrow \\frac{1}{\\sqrt{3}}=\\frac{\\sqrt{3}}{3} \\\n=\\frac{1.73}{3}=0.57 \\cdots\n\\end{\overlineray}\\]\n\\[\\leftarrow \\bar{z}=-2 \\bar{x}+1\\n \\leftarrow z=a x+b(a, b \ は定数) のとき\n\s_{z}=|a| s_{x}\\n\n本冊 p .319 \ では, 「(1) $x, y$ の平均による点 \( (\\bar{x}, \\bar{y}) \\) を通る」かつ「(2) L \ が最小となる」を仮定して回帰直線の式を導いたが，(1)を仮定せず（2) のみを仮定しても導くことができる。\n\n大きさがnの 2 つの変量 $x, y$ のデータを x_{1}, x_{2}, \\cdots \\cdots, x_{n} ; y_{1}, y_{2}, \\cdots \\cdots, y_{n} \ とし, x, y \ のデータの平均値をそれぞれ \\bar{x}, \\bar{y} \, 標準偏差をそれぞれ s_{x}, s_{y} \ とし，xとyの共分散を s_{x y} \ とする。\nまた， x^{2}, y^{2}, x y \ のデータの平均値をそれぞれ \\overline{x^{2}}, \\overline{y^{2}}, \\overline{x y} \ とする。\n\nここで，回帰直線の式を y=a x+b \ とし,\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\\mathrm{P}_{1}\\left(x_{1}, \quad y_{1}\\right), \quad \\mathrm{P}_{2}\\left(x_{2}, y_{2}\\right), \\cdots \\cdots, \quad \\mathrm{P}_{n}\\left(x_{n}, y_{n}\\right) \\\n\\mathrm{Q}_{1}\\left(x_{1}, a x_{1}+b\\right), \quad \\mathrm{Q}_{2}\\left(x_{2}, a x_{2}+b\\right), \\cdots \\cdots, \\\n\\mathrm{Q}_{n}\\left(x_{n}, a x_{n}+b\\right)\n\\end{array}\n\\]\n\nとする。このとき,\n\L=\\mathrm{P}_{1} \\mathrm{Q}_{1}{ }^{2}+\\mathrm{P}_{2} \\mathrm{Q}_{2}{ }^{2}+\\cdots \\cdots+\\mathrm{P}_{n} \\mathrm{Q}_{n}{ }^{2} \\text { が最小となる }\\n\nという条件を満たす a, b \ の値を求めてみよう。\n補足散布図における 2 点 \\mathrm{P}_{k}, \\mathrm{Q}_{k} \ 間の距離を残差という。

【問題1】 $\bar{y}=20, s_{y}{ }^{2}=32$ のとき、以下を求めなさい。\n\( \begin{aligned} \bar{z} & =\frac{3}{4} \bar{y}+4 \\ s_{z}{ }^{2} & =\frac{3}{4}\left\{s_{y}{ }^{2}+(\bar{y})^{2}\right\}+70-(\bar{z})^{2} \end{aligned} \)

185 平均値は 55, 標準偏差は 18

あ而変量のデータがあり，その平均值は 50 , 標準偏差は 15 である。そのデータを 修正して, 各データの値を 1.2 倍して 5 を引いたとき, 修正後の平均値と標準偏差 を求めよ。

変量 $x$ についてのデータの値が,$n$ 個の値 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ であるとし, $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ の平均値を文とする。(1) 偏差変量 $x$ の $n$ 個の各値 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ と平均値 $\bar{x}$ の差 $x_{1}-\bar{x}, x_{2}-\bar{x}, \cdots, x_{n}-\bar{x}$ をそれぞれ $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ の平均値からの偏差 という。(2) 分散: $s^{2}$偏差の 2 乗の平均値であり,s^{2}=\frac{1}{n}\left\{\left(x_{1}-\bar{x}\right)^{2}+\left(x_{2}-\bar{x}\right)^{2}+\cdots \cdots+\left(x_{n}-\bar{x}\right)^{2}\right\}また, \( s^{2}=\overline{x^{2}}-(\bar{x})^{2} \) で計算できる。 \((x^{2} のデータの平均値 )-(x のデータの平均値 )^{2}\)(3) 標準偏差 $: s$分散の正の平方根であり,\begin{aligned}s & =\sqrt{\frac{1}{n}\left\{\left(x_{1}-\bar{x}\right)^{2}+\left(x_{2}-\bar{x}\right)^{2}+\cdots \cdots+\left(x_{n}-\bar{x}\right)^{2}\right\}} &=\sqrt{\overline{x^{2}}-(\bar{x})^{2}}\end{aligned}

分散と標準偏差 次のデータセットの分散と標準偏差を計算しなさい。 データセット: 4, 8, 6, 5, 3, 7, 7

変量 $x$ のデータの平均値 $\bar{x}$ が $\bar{x}=21$, 分散 $s_{x}^{2}$ が $s_{x}^{2}=12$ であるとする。このと き, 次の式によって得られる新しい変量 $y$ のデータについて, 平均値 $\bar{y}$, 分散 $s_{y}{ }^{2}$,標準偏差 $s_{y}$ を求めよ。ただし， $\sqrt{3}=1.73$ とし，標準偏差は小数第 2 位を四捨五入して，小数第 1 位ま で求めよ。\n(1) $y=x-5$\n(2) $y=3 x$\n(3) $y=-2 x+3$\n(4) $y=\frac{x-21}{2 \sqrt{3}}$\n\n指針 $a, b$ は定数とする。変量 $x$ のデータから $y=a x+b$ によって新しい変量 $y$ のデータが得られるとき， $x, y$ のデータの平均値をそれぞれ $\bar{x}, \bar{y}$, 分散をそれぞれ $s_{x}{ }^{2}, s_{y}{ }^{2}$, 標準偏差をそれぞれ $s_{x}, s_{y}$ とすると\n(1) $\bar{y}=a \bar{x}+b$\n(2) $s_{y}{ }^{2}=a^{2} s_{x}{ }^{2}$\n(3) $s_{y}=|a| s_{x}$\nが成り立つ。この (1), ②，３）を利用すればよい。

次の (a)〜(c) は、2つの海産物の漁獲量のデータにある変換を行ったときの標準偏差について述べた文章である。 (a) 各データをすべて1000で割ったとき、標準偏差はもとのデータのときと変わらない。 (b) 各データからその海産物の漁獲量の平均値を引いたとき、標準偏差はもとのデータのときと変わらない。 (c) 各データからその海産物の漁獲量の平均值を引いた値を1000で割ったとき、標準偏差はもとのデータのときと変わらない。 (a)〜(c)の正誤の組み合わせとして正しいものをケケである。ケに当てはまるものを、次の０～７のうちから１つ選べ。

例2 25 人の生徒に対する 6 点満点の小テストの結果が次の表の $1 , 2$ 列目のように度数分布表で与えられた場合、分散を計算してください。\n\begin{tabular}{c|c|c|c} \n得点 $x$ & 人数 $f$ & $x f$ & $x^{2} f$ \n\hline 1 & 1 & 1 & 1 \n2 & 3 & 6 & 12 \n3 & 4 & 12 & 36 \n4 & 7 & 28 & 112 \n5 & 8 & 40 & 200 \n6 & 2 & 12 & 72 \n\hline 計 & 25 & 99 & 433 \n\end{tabular}

149 平均値 13 , 分散 30

3 つの正の数 $a, b, c$ の平均値が 14 、標準偏差が 8 であるとき, $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ と $a b+b c+c a$ を求めよ。

例1 基本例題 148 (1)\n次のデータに基づいて分散を計算してください。\nデータ: 5, 4, 8, 12, 6

（2）次の０～３のうち, 漁獲量の変動の度合いを判断するも のとして最も適当なものを1つ選べ。ウ (0) 平均値 (1) 中央値 (3) 標準偏差

分散, 標準偏差

漁獲量の変動の度合いは、漁獲量のデータの散らばりの度合いのことである。選択肢のうち、データの散らばりの度合いを表すものは、標準偏差（户３）である。漁獲量が安定しているということは、データの散らばりの度合いが小さいということ、すなわち標準偏差の値が小さいということである。標準偏差は０以上の値をとるから、標準偏差がより0に近い方が、漁獲量がより安定しているといえる。

データの散らばりと四分位数について説明し、四分位数を求める手順を示しなさい。

分散の 2 つの計算式は, どのように使い分けたらよいのですか？

変量の変換と平均値，分散，標準偏差 平均を求めるためにデータの総和を計算したり, 分散を求めるために 2 乗の値を計算し たりすることは非常に煩雑になる場合がある。ここでは，変量を変換することによって，平均値や分散, 標準偏差がどのように変化するかを考えてみよう。 例えば，変量 x のデータが 1 ，2，4，4，8の5個であるとき 平均は x̄= (1+2+4+4+8)/5 = 19/5 = 3.8 分散は s_x^2 = (1^2+2^2+4^2+4^2+8^2)/5 - 3.8^2 = 5.76 標準偏差は s_x = √5.76 = 2.4 1. 変量 x に 3 を加えた変量を y とする。すなわち y=x+3 により変換すると 平均は ȳ = ((1+3)+(2+3)+(4+3)+(4+3)+(8+3))/5 = (19+3*5)/5 = x̄+3 = 6.8 分散は S_y^2 = ((1+3)^2+(2+3)^2+(4+3)^2+(4+3)^2+(8+3)^2)/5 - (3.8+3)^2 = s_x^2 = 5.76 標準偏差は s_y = √s_x^2 = s_x = 2.4 3 を加える変換を行うと, 平均も +3 だけ増加するが,偏差には影響を与えないので, 散らばり具合を表す分散,標準偏差には変化がない。 2. 変量 x を 2 倍した変量を u とする。すなわち y=2x により変換すると 平均は ȳ = (2*(1+2+4+4+8))/5 = 2*(19/5) = 2* x̄ = 7.6 分散は S_y^2 = ((2*1)^2+(2*2)^2+(2*4)^2+(2*4)^2+(2*8)^2)/5 - (2*3.8)^2 = 2^2*S_x^2 = 23.04 標準偏差は s_y = √(2^2 * s_x^2) = 2*s_x = 4.8 2 倍する変換を行うと, 平均も 2 倍され, 偏差も 2 倍になる。また, 分散は偏差の 2 乗であるから, もとの分散 の 2^2倍となる。更に, 標準偏差は分散の正の平方根であるから，２倍の変換によって，標準偏差も２倍される。 一般に, 次のことが成り立つ。 変量 x を y=ax+b (a, b は定数）により変換すると 平均: ȳ = a x̄ + b, 分散: s_y^2 = a^2 s_x^2, 標準偏差: s_y =|a| s_x

右の変量 $x, y$ のデータについて, 次の問い に答えよ。\n（1）変量 $x$ の分散 $s_{x}{ }^{2}$ と変量 $y$ の分散 $s_{y}{ }^{2}$ を求めよ。\n(2) 変量 $x, y$ のデータについて, 標準偏差によってデータの平均値からの散らばりの度合いを 比較せよ。

6 次の表は, 2006 年から 2016 年の 11 年間について, 全国における海産物の総漁獲量 を年ごとにまとめたものである。ただし，表中の数字の単位はすべてt（トン）であり，表中の平均値は小数点以下を四捨五入してある。\begin{tabular}{|c|r|r|r|r|r|} \hline \multicolumn{1}{|c|}{ 年 } & \multicolumn{1}{|c|}{ イワシ } & \multicolumn{1}{|c|}{ サンマ } & \multicolumn{1}{|c|}{ ホタテ } & \multicolumn{1}{|c|}{ タラ } & \multicolumn{1}{|c|}{ サケ } \hline 2006 年 & 52,503 & 244,586 & 271,928 & 206,794 & 218,907 \hline 2007 年 & 79,099 & 296,521 & 258,303 & 216,636 & 210,416 \hline 2008 年 & 34,857 & 354,727 & 310,205 & 211,038 & 167,497 \hline 2009 年 & 57,429 & 310,744 & 319,638 & 227,261 & 205,742 \hline 2010 年 & 70,159 & 207,488 & 327,087 & 251,166 & 164,616 \hline 2011 年 & 175,781 & 215,353 & 302,990 & 238,920 & 136,638 \hline 2012 年 & 135,236 & 221,470 & 315,387 & 229,823 & 128,502 \hline 2013 年 & 215,004 & 149,853 & 347,541 & 229,577 & 160,902 \hline 2014 年 & 195,726 & 228,647 & 358,982 & 194,920 & 146,641 \hline 2015 年 & 311,054 & 116,243 & 233,885 & 180,349 & 135,876 \hline 2016 年 & 378,142 & 113,828 & 213,710 & 134,236 & 96,360 \hline 平均値 & 154,999 & 223,587 & 296,332 & 210,975 & 161,100 \hline \end{tabular} 魚種別漁獲量調査結果（総務省統計局）(https://www.e-stat.go.jp）により作成。 イワシはマイワシのみ, タラはスケトウダラのみを計上している。 （1）右の図の中で, イワシの漁獲量のデータの箱ひげ図を表すものは，ア，サンマの漁獲量の データの箱ひげ図を表すものはイである。 ア, イに当てはまるものを右の図の )～(5)のちから1つずつ選べ。 （2）次の（）３のうち，漁獲量の変動の度合いを判断するものとして最も適当なもの を1つ選べ。ウ (0) 平均値 (1) 中央値 (2) 最頻値 (3) 標準偏差 また，ウの値がよりエに近いほど，漁獲量がより安定していると言える。 エに当てはまる数値を，次の（）～２）のうちから１つ選べ。 (0) -1 (1) 0 (2) 1 （3）図 1 は，ある 2 つの海産物の漁獲量のデータに関する散布図である。縦軸のデー 夕は、オであり，横軸のデータはカである。オ，，カ に当てはまる ものを，次の（0～（4)のうちから1つずつ選べ。 (0) イワシ (1) サンマ (2) ホタテ (3) タラ (4) サケ

73 (1) x, y の順に平均値 5 個, 6 個 ; 分散 2,5.2 ; 標準偏差 1.4 個, 2.3 個 (2) yのデータの方が平均值からの散らばりの度合いが大きい

244 (51 a, b, c) は異なる 3 つの正の整数とする。次のデータは 2 つの科目 X と Y の試験を受けた 10 人の得点をまとめたものである。\n\\begin{tabular}{l||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\n\\hline & (1) & (2) & (3) & (4) & (5) & (6) & (7) & (8) & (9) & (10) \\\\ \\\hline 科目Xの得点 & a & c & a & b & b & a & c & c & b & c \\\\\nhline 科目 Yの得点 & a & b & b & b & a & a & b & a & b & a \\\\\nhline\n\\end{tabular}\n\n科目 Xの得点の平均値と科目 Y の得点の平均値とは等しいとする。\n(1) 科目 X の得点の分散を sX^{2}, 科目 Y の得点の分散を sY^{2} とする。 \\frac{s_{X}{ }^{2}}{s_{Y}{ }^{2}} を求めよ。\n(2) 科目 X の得点と科目 Y の得点の相関係数を, 四捨五入して小数第 1 位まで求めよ。\n(3) 科目 X の得点の中央値が 65 , 科目 Y の得点の標準偏差が 11 であるとき, a, b , cの組を求めよ。\n[一橋大]

次のデータセットの標準偏差を計算しなさい: [2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9]

分散と標準偏差について教えてください。

uのデータの分散は \\( \\overline{u^{2}}-(\\bar{u})^{2}=\\frac{78}{6}-\\left(\\frac{-12}{6}\\right)^{2}=9 \\) よって, uのデータの標準偏差は \\( \\sqrt{9}=3(\\mathrm{~m}) \\) ゆえに, \ x \ のデータの標準偏差は \\( 4 \\times 3=12(\\mathrm{~m}) \\) したがって, \ x \ のデータの分散は \ 12^{2}=144 \

ある高校の 2 年男子 500 人の身長は, 平均 $170.1 \mathrm{~cm}$, 標準偏差 $5.6 \mathrm{~cm}$ の正規分布に従うものとする。\n（1）身長が $165 \mathrm{~cm}$ から $175 \mathrm{~cm}$ までの生徒は約何人いるか。\n(2) 高い方から 100 人の中に入るのは, 約何 $\mathrm{cm}$ 以上の生徒か。

A君は平均点 57.2 点, 標準偏差 5.2 点の試験を, B 君は平均点 52.5 点, 標準偏差 9.5 点の試験を受けたところ, 2 人の得点はともに 66 点であった。それぞれ の試験を受けた全員の得点は正規分布に従うものとして，次の問いに答えよ。\n（1）偏差値を求めることにより，Ａ君，B君どちらの方が全体における相対的な順位が高いと考えられるかを調べよ。\n(2) 2 つの試験の受験者はともに 2000 人であったという。A君，B君はそれぞれ 上位から約何位であるか調べることにより，(1)の結果が正しいことを確かめよ。

正規分布表から0.5の値を探しなさい。 u = 0.5に対する値を提供してください。

（2）（ii） 人数を 400 人から 900 人に増やして得点を抽出したところ, 標本の標準偏差 $S$ は 9.8 点であった。この標本から得られる母平均 $m$ に対する信頼度 95 \%の信頼区間 $C \leqq m \leqq D$ は, (i)の信頼区間 $A \leqq m \leqq B$ に比べると, その範囲の幅は ク。 $\qquad$ の解答群) 同じである (1) より狭くなる (2) より広くなる

ある中学校の 3 年生の身長 $X$ の平均は $160.0 \mathrm{~cm}$、標準偏差は $5.0 \mathrm{~cm}$ である。身長の分布を正規分布とみなして以下の問いに答えよ。\n（1）低い方から $7 \%$ 以内の位置にいる人の最高身長はおよそ $\qquad$ である。 $\qquad$ に当てはまる最も適当なものを、次の０～⑤のちから 1つ選べ。\n(0) $145.1 \mathrm{~cm}$\n(1) $149.2 \mathrm{~cm}$\n(2) $152.6 \mathrm{~cm}$\n(3) $155.9 \mathrm{~cm}$\n(4) $158.0 \mathrm{~cm}$\n(5) $159.5 \mathrm{~cm}$

標準偏差の計算方法を説明しなさい。

ある学年で行われた国語, 数学, 英語の試験において, 平均点, 標準偏差, およびAさんの得点, 得点率は次の表の通りであった。 | 教科 | 得点(点) | 得点率(%) | 平均点(点) | 標準偏差(点) | |--------|----------|------------|------------|--------------| | 国語 | 150 | 75 | 100 | 30 | | 数学 | 80 | 80 | 60 | 20 | | 英語 | 120 | 80 | 90 | 40 | この情報を使用して,Aさんの3教科の偏差値を求めてください。 偏差値の定義は次の通りです。 データの変量 x に対し, x の平均値を ̅x, 標準偏差を sx とすると, 偏差値 y は y=10 * (x - ̅x) / sx + 50

全国規模の検定試験が毎年度行われており、この試験の満点は200点で、点数が100点以上の人が合格となる。今年度行われた試験については、受験者全体での平均点が95点、標準偏差が20点であることだけが公表されている。受験者全体での点数の分布を正規分布とみなして、次の問いに答えよ。 (1) 今年度行われた試験の合格率はア ◻︎% である。 (2) 今年度行われた試験において、点数が受験者全体の上位10%の中に入る受験者の最低点はおよそイ ◻︎ である。イ ◻︎ に当てはまる最も適当なものを次の0～5のうちから1つ選べ。 (0) 116点 (1) 121点 (2) 126点 (3) 129点 (4) 134点 (5) 142点