統計と確率 - 中央値、平均、最頻値、範囲 | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

次の表は, 2 つの店舗で 1 週間に売れた, 婦人服のサイズ別の販売数である。それぞれの最頻値を求めよ。 | サイズ (号) | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 計 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 販売数 | 4 | 65 | 92 | 98 | 18 | 10 | 287 | | サイズ (号) | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 計 | | 販売数 | 2 | 32 | 88 | 67 | 52 | 8 | 249 |

基 本例題 143 度数分布表と代表値\n右の表は，ある店の 1 日の弁当の販売個数を 30 日間調べた結果の度数分布表である。\n（1）データの最頻値はア \\square \ 個である。\n（2）この表から階級値を用いて，データの平均値を 求めると, イ \ \\square \ 個である。\n（3）階級値を用いないで平均値を求めると，データ\n\n| 階級（個） | 度数 |\n|------------|------|\n| 100 以上 120 未満 | 3 |\n| 120 以上 140 未満 | 5 |\n| 140 以上 160 未満 | 11 |\n| 160 以上 180 未満 | 8 |\n| 180 以上 200 未満 | 3 |\n| 計 | 30 |\n\nの平均値は \\qquad \個以上，工 \\square \個未満の範囲に入る。

右の表は, 変量 $x, y$ のデータである。（1）変量 $x, y$ のデータのそれぞれについて，四分位範囲を求めよ。また, データの散らばりの度合いが大きいのはどちらのデータか。得られた四分位範囲によって比較せよ。

データの代表値について説明せよ。具体的には、平均値、最頻値、中央値について述べよ。

次のデータの平均を求めなさい: 2, 9, 6, -9, 1

次のデータの平均を求めなさい: 45, 38, 52, 54, 73, 27, 25, 42

四分位範囲と外れ値について説明し、例を挙げてください。

例えば，変量 $x$ のデータが 1 ，2，4，4，8の 5 個であるとき 平均は $\bar{x}=\frac{1+2+4+4+8}{5}=\frac{19}{5}=3.8$ 分散は $s_{x}{ }^{2}=\frac{1^{2}+2^{2}+4^{2}+4^{2}+8^{2}}{5}-3.8^{2}=5.76$ 標準偏差は $s_{x}=\sqrt{5.76}=2.4$ 変量 $x$ に 3 を加えた変量を $y$ とする。すなわち $y=x+3$ により変換すると 平均は \( \bar{y}=\frac{(1+3)+(2+3)+(4+3)+(4+3)+(8+3)}{5}=\frac{19+3 \cdot 5}{5}=\bar{x}+3=6.8 \)

偏差値

右の表は, ある都市の 1 日の最低気温を 30 日間測定した結果の度数分布表である。\n（1）データの最頻値はア \\square{ }^{\\circ} \\mathrm{C} \ である。\n（2）この表から階級値を用いて，データの平均値を求めると， イ \\square{ }^{\\circ} \\mathrm{C} \ である。\n（3）階級値を用いないで平均値を求めると，データの平均値 はウ \\square{ }^{\\circ} \\mathrm{C} \ 以上，エ \\square{ }^{\\circ} \\mathrm{C} \ 未満の範囲に入る。\n\n| 階級（°C） | 度数 |\n|------------|------|\n| 6 <= 8 | 7 |\n| 8 <= 10 | 9 |\n| 10 <= 12 | 7 |\n| 12 <= 14 | 6 |\n| 14 <= 16 | 1 |\n| 計 | 30 |

次のデータの平均値を求めよ。 (1) 15,21,13,19,20 (2) 45,38,52,54,73,27,25,42 (3) 2,9,6,-9,1,-5,6,1,2,-3

次のデータの平均を求めなさい: 15, 21, 13, 19, 20

次のデータは, 8 人の高校生の通学時間を調べたものである。 49, 52, 44, 50, 41, 43, 40, 49 (単位は分) (1) このデータの平均値を求めよ。 (2) このデータの一部に誤りがあり, 52 分は正しくは 54 分, 40 分は正しくは 38 分で あった。この誤りを修正したとき, このデータの平均値, 分散は修正前と比べて増加するか, 減少するか, 変化しないかを答えよ。

EX 99 個の観測値からなるデータがある。四分位数について述べた次の0～3の記述のうち、どのようなデータでも成り立つものを2つ選べ。 (0) 平均値は第 1 四分位数と第 3 四分位数の間にある。 (1) 四分位範囲は標準偏差より大きい。 (2) 中央値より小さい観測値の個数は 49 個である。 (3) 最大値に等しい観測値を 1 個削除しても第 1 四分位数は変わらない。 (4) 第 1 四分位数より小さい観測値と、第 3 四分位数より大きい観測値とをすべて削除すると、残りの観測値の個数は 51 個である。 (5) 第 1 四分位数より小さい観測値と、第 3 四分位数より大きい観測値とをすべて削除すると、残りの観測値からなるデータの範囲はもとのデータの四分位範囲に等しい。

次のデータの中央値を求めなさい: 8, 14, 22, 48, 97

98 個の観測値が 0 で，残りの 1 個の観測値が 99 であるデータをAとする。データAにおいて次の問いに答えなさい。

数学 I 次のデータは、ある学校の生徒 10 人の英語のテストの得点である。ただし， a の値は 0 以上の整数である。 （1） a の値がわからないとき, 10 人の得点の中央値として, 何通りの値がありうるか。 (2) 10 人の得点の平均値が 54.0 点のとき, a の値を求めよ。

データを大きさの順に並べると5,9,10,11,12,14,15,17,20第 2 四分位数は Q₂ = 12第 1 四分位数 は Q₁ = (9+10)/2 = 9.5第 3 四分位数 は Q₃ = (15+17)/2 = 16

問6 ある 40 人のクラスで試験が行われ，39人が受験して 1 人が欠席した。受験した 39 人の平均値は 60 点, 分散は 20 であった。後日，欠席した 1 人が同じ試験を受験して, 得点は 60 点であった。この点数を含めて計算し直した 40 人の平均值と分散は,計算し直す前の値と比べてどうなるか。空欄に当てはまるものを，次の（1)〜（3)のうちからそれぞれ 1 つ選べ。 平均値：ア \\square \ \ \\square \　分散：イ \\square \ (1) 変化しない (2) 大きくなる (3) 小さくなる

次のデータセットの範囲、四分位数、第1四分位範囲、第3四分位範囲、四分位偏差を求めなさい。 データセット: [3, 7, 8, 12, 13, 14, 18, 21, 23, 24]

次のデータの中央値を求めなさい: 11, 20, 20, 38, 39, 50, 51

代表値とは何か、またその種類について説明してください。

右の表は，ある製品を成型できる 2 台の工作機械 X, $\mathrm{Y}$ の 1 時間あたりのそれぞれの不良品の数 $x, y$ を 5 時間にわたって調べたものである。(単位は個)\n\\begin{tabular}{l||c|c|c|c|c}\n\\hline\ x \ & 5 & 4 & 8 & 12 & 6 \\\n\\hline\ y \ & 6 & 9 & 8 & 5 & 7 \\\n\\hline\n\\end{tabular}\n(1) $x, y$ のデータの平均値, 分散, 標準偏差をそれぞれ求めよ。ただし，小数第 2 位を四捨五入せよ。\n(2) $x, y$ のデータについて, 標準偏差によってデータの平均値からの散らばりの度合いを比較せよ。

次のデータは，高校 1 年生 6 人の 1 年間の身長の伸びを記録したものである。 20，28，19，24，21，26 (単位は mm) (1) このデータの平均値を求めよ。 (2) このデータの一部に誤りがあり, 28 mm は正しくは 26 mm, 19 mm は 正しくは 20 mm, 21 mm は正しくは 22 mm であった。この誤りを修正したとき, このデータの平均値, 分散は修正前と比べて増加するか, 減少するか，変化しないかを答えよ。

データの分析 185 EX: データ 1.61, 4.12,3.71,2.87,2.48,2.13（単位はt）は，ある町の6月から 11 月の間にゴミ集積場に集められたペットボトルのゴミの量である。 (1) 中央値と平均値を求めよ。 (2) 上記の 6 個の数值のうち 1 個が誤りであることがわかった。正しい数值に基づく中央值 と平均值は, それぞれ 2.84 t と 3.02 t であるという。誤っている数值を選び, 正しい数値 を求めよ。

問題に挑戦 6 次の表は, 2006 年から 2016 年の 11 年間について, 全国における海産物の総漁獲量 を年ごとにまとめたものである。ただし，表中の数字の単位はすべてt（トン）であり，表中の平均値は小数点以下を四捨五入してある。 \begin{tabular}{|c|r|r|r|r|r|} \hline \multicolumn{1}{|c|}{ 年 } & \multicolumn{1}{|c|}{ イワシ } & \multicolumn{1}{|c|}{ サンマ } & \multicolumn{1}{|c|}{ ホタテ } & \multicolumn{1}{|c|}{ タラ } & \multicolumn{1}{|c|}{ サケ } \\ \hline 2006 年 & 52,503 & 244,586 & 271,928 & 206,794 & 218,907 \\ \hline 2007 年 & 79,099 & 296,521 & 258,303 & 216,636 & 210,416 \\ \hline 2008 年 & 34,857 & 354,727 & 310,205 & 211,038 & 167,497 \\ \hline 2009 年 & 57,429 & 310,744 & 319,638 & 227,261 & 205,742 \\ \hline 2010 年 & 70,159 & 207,488 & 327,087 & 251,166 & 164,616 \\ \hline 2011 年 & 175,781 & 215,353 & 302,990 & 238,920 & 136,638 \\ \hline 2012 年 & 135,236 & 221,470 & 315,387 & 229,823 & 128,502 \\ \hline 2013 年 & 215,004 & 149,853 & 347,541 & 229,577 & 160,902 \\ \hline 2014 年 & 195,726 & 228,647 & 358,982 & 194,920 & 146,641 \\ \hline 2015 年 & 311,054 & 116,243 & 233,885 & 180,349 & 135,876 \\ \hline 2016 年 & 378,142 & 113,828 & 213,710 & 134,236 & 96,360 \\ \hline 平均値 & 154,999 & 223,587 & 296,332 & 210,975 & 161,100 \\ \hline \end{tabular} 魚種別漁獲量調査結果 (総務省統計局)（https://www.e-stat.go.jp）により作成。 イワシはマイワシのみ, タラはスケトウダラのみを計上している。 （1）右の図の中で,イワシの漁獲量のデータの箱 ひげ図を表すものは，ア , サンマの漁獲量の データの箱ひげ図を表すものはイである。 ア，イに当てはまるものを右の図の (0)〜(5)のうから 1 つずつ選べ。 (t) (0) (1) (2) (3) (4) （2）次の０～③のうち, 漁獲量の変動の度合いを判断するものとして最も適当なもの を1つ選べ。 (0) 平均値 (1) 中央値 (2) 最頻値 (3) 標準偏差 また，ウの值がよりエに近いほど，漁獲量がより安定していると言える。 エ消てはまる数値を，次の（）～（2)のうちから1つ選べ。 (0) -1 (1) 0 (2) 1 （3）図 1 は，ある 2 つの海産物の漁獲量のデータに関する散布図である。縦軸のデー 夕は、オ であり, 横軸のデータはカである。才，，カ に当てはまる ものを，次の００（4)のうちから１つずつ選べ。 (0) イワシ (1) サンマ (2) ホタテ (3) タラ (4) サケ

データを大きさの順に並べると46,48,49,50,50,51,51,52, 52,53,54,54,55,57,58 このデータの最小値, 第 1 四分位数, 中央値, 第 3 四分位数, 最大値は, 順に46,50,52,54,58

5つの数1, 3, 4, 10, 12の平均値, 標準偏差, 分散を求めよ。ただし、小数第2位を四捨五入せよ。

稘本例題 145 四分位範囲, 外れ值 次のデータは，野球選手 2 人について 15 年間のホームランの本数を調べたも のである。(単位は本) A選手 17,13,38,40,55,42,48,47,49,44,47,39,48,51,49 B選手 7,30,21,21,29,29,44,52,41,42,34,35,38,22,42 （1）A 選手，B 選手のデー夕のそれぞれについて，四分位範囲を求めよ。また，データの散らばりの度合いが大きいのはどちらの選手か。得られた四分位範囲によって比較せよ。 （2）A選手のデータについて，外れ値の個数を求めよ。

次のデータの中央値を求めよ。 (1) 22,14,97,48,8 (2) 51,39,20,11,38,50,20 (3) 33,40,64,59,60,62,20,91

次のデータの第1四分位数, 第2四分位数, 第3四分位数を求めよ。 5, 14, 17, 9, 10, 20, 12, 11, 15

データを小さい順に並べると20，33，40，59，60，62，64，91データの大きさは 8 であるから, 中央値は 4 番目の値と 5 番目の値の平均値である。

次のデータは, A 市と B 市における，ある10 日間の降雪量である。A市 3,10,8,25,7,2,12,35,5,18 (cm) B市 5,20,16,34,10,3,12,52,6,23 (cm) (1) A 市のデータの第 1 四分位数, 第 2 四分位数, 第 3 四分位数を求めよ。 (2) A 市のデータの四分位範囲と四分位偏差を求めよ。 (3) A 市のデータと B市のデータでは, どちらの方がデータの散らばりの度合いが大きいか。四分位範囲を利用して判断せよ。

右の表は, A 市の 1 日の平均気温を 1 か月間測定した結果の度数分布表である。このデータの最頻値を求めよ。\n\\begin{tabular}{c|c}\n\\hline 階級 ( \\( \\left.{ }^{\\circ} \\mathrm{C}\\right) \\) & 度数 \\\n\\hline 14 以上 16 未満 & 2 \\\n\\hline \ 16 \\sim 18 \ & 6 \\\n\\hline \ 18 \\sim 20 \ & 16 \\\n\\hline \ 20 \\sim 22 \ & 5 \\\n\\hline \ 22 \\sim 24 \ & 2 \\\n\\hline 計 & 31 \\\n\\hline\n\\end{tabular}

次のデータは，10 人の高校生について，ある問題を解くのに何分かかったかを 調べた結果である。 10,7,9,8,9,10,12,11,13,11 (分)(1) このデータの平均値を求めよ。（2）このデータの一部に誤りがあり，正しくは，2人いた9 分のうちの 1 人は 10 分であり， 7 分，12 分はそれぞれ 10 分， 8 分であった。この誤りを修正 したとき, このデータの平均値, 中央値, 分散は修正前より増加するか, 減少するか，一致するかそれぞれ答えよ。

データの分析 (2) データの散らばりと四分位数に関連する問題: データを大きさの順に並べたとき、以下を求めよ。 1. 第1四分位数 2. 第2四分位数 3. 第3四分位数 4. 四分位範囲 5. 四分位偏差 6. 外れ値の基準

基本145 データの平均値

右の表は、A 市の 1 日の平均気温を 1 か月間測定した結果の度数分布表である。このデータの最頻値を求めよ。

中央値について考えよう。テストAの箱ひげ図から、中央値は60点である。また、30人の得点のデータであるから、中央値は小さい方から15番目と16番目の得点の平均である。60点は小さい方から15番目と16番目の得点の平均であることを説明しなさい。

次のデータは，ある遊園地の「迷路」に挑戦した 8 人の高校生について，何分で抜け出すことができたかを調べたものである。\n7,16,11,8,12,15,10,9 (分)\n(1) このデータの平均値を求めよ。\n(2) このデータの一部に記録ミスがあり, 正しくは 16 分が 15 分, 11 分が 8 分, 9 分は 13 分であった。この誤りを修正したときのデータの平均値, 中央値, 分散は修正前より増加するか, 減少するか，一致するかそれぞれ答えよ。

データの四分位範囲について説明しなさい。データに外れ値が含まれている場合、どのように影響を受けにくいかを示しなさい。

右のヒストグラムは, ある高校の生徒 25 人について, この 1 週間における路線バスの利用日数を調査した結果である。 （1）利用日数の最頻値, 中央値を求めよ。 (2) 利用日数の平均値を求めよ。

基本154 相関係数の計算

（2）右の表は，ある高校のクラス 40 人について通学時間を調査した結果の度数分布表である。このデータの最頻値を求めよ。\n\\begin{tabular}{c|c}\n\\hline 階級（分） & 度数 \\\n\\hline 0 以上 20 未満 & 5 \\\n\\hline $20 \\sim 40$ & 16 \\\n\\hline $40 \\sim 60$ & 11 \\\n\\hline $60 \\sim 80$ & 7 \\\n\\hline $80 \\sim 100$ & 1 \\\n\\hline 計 & 40 \\\n\\hline\n\\end{tabular}

85 個の観測値からなるデータがある。四分位数について述べた記述で, どのようなデータでも成り立つものを次の０～⑤のうちから2つ選べ。\n(0) 平均値は第 1 四分位数と第 3 四分位数の間にある。\n(1) 四分位範囲は標準偏差より大きい。\n(2) 中央値より小さい観測値の個数は 49 個である。\n(3) 最大値に等しい観測値を 1 個削除しても第 1 四分位数は変わらない。\n(4) 第 1 四分位数より小さい観測値と, 第 3 四分位数より大きい観測値とをすべて削除すると, 残りの観測値の個数は 51 個である。\n(5) 第 1 四分位数より小さい観測値と, 第 3 四分位数より大きい観測値とをすべて削除すると, 残りの観測値からなるデータの範囲はもとのデータの四分位範囲に等しい。

次のデータ (1) は, 生徒 7 人のある日曜日の睡眠時間である。 (1): 410, 360, 440, 420, 390, 450, 400 (分) （1）データ(1)の中央値を求めよ。 （2）データ (1) に, 右の 3 人分の睡眠時間の値を加えた データを (2)とするとき、データ (2)の中央値を求めよ。 420, 360, 430 (分)

次のデータは，ある遊園地の「迷路」に挑戦した 8 人の高校生について, 何分で抜け出 すことができたかを調べたものである。 7,16,11,8,12,15,10,9 (分)(1) このデータの平均値を求めよ。（2）このデータの一部に記録ミスがあり, 正しくは 16 分が 15 分, 11 分が 8 分, 9 分 は13 分であった。この誤りを修正したときのデータの平均値, 中央値, 分散は修正前より増加するか, 減少するか，一致するかそれぞれ答えよ。

発展156 中央値のとりうる値

以下の数学用語の中で、四分位数に関連するものをすべて挙げなさい。

あるクラスの生徒 10 人について行われた 50 点満点の漢字の「読み」と「書き取り」のテストの得点を, それぞれ変量 $x$, 変量 $y$ とする。右の図は, 変量 $x$ と変量 $y$ の散布図である。また, 生徒 10 人の変量 $x$ のデータは次の通りであった(単位は点)。 $13,17,20,23,28,34,36,40,44,45$ (1) 変量 $x$ のデータの平均値と中央値を求めよ。 (2) 変量 $x$ の値が 40 点, 変量 $y$ の値が 13 点となっている生徒の変量 $y$ の値は誤りであることがわかり, 正しい値 32 点に修正した。修正前, 修正後の変量 $y$ のデータの中央値をそれぞれ求めよ。 (3) (2)のとき, 修正前の $x$ と $y$ の相関係数を $r_{1}$, 修正後の $x$ と $y$ の相関係数を $r_{2}$ とする。値の組 \( \left(r_{1}, r_{2}\right) \) として正しいものを次の (1)〜 (4) から選べ。\n(1) (0.82,0.98)\n(2) (0.98,0.82)\n(3) (-0.98,-0.82)

問題 145 (1): 次のデータの中央値を求めなさい。9, 16, 12, 14, 13, 15, 11

右のヒストグラムは、ある高校の生徒25人について、この1週間における路線バスの利用日数を調査した結果である。 （1）利用日数の最頻値、中央値を求めよ。 (2) 利用日数の平均値を求めよ。

データの代表値について、それぞれの定義を説明し、それぞれの場合に適用する例を挙げなさい。平均値、最頻値、中央値。

次のデータの平均値を求めよ。\n6,8,22,18,2,6,11,0,17,7,2,14,8,11,4,8

次のデータは， A 市と B市における，ある 10 日間の降雪量である。 A市: 3,10,8,25,7,2,12,35,5,18 (cm) B市: 5,20,16,34,10,3,12,52,6,23 (cm) (1) A市のデータの第 1 四分位数, 第 2 四分位数, 第 3 四分位数を求めよ。 (2) A市のデータの四分位範囲と四分位偏差を求めよ。 （3）A市のデータとB市のデータでは, どちらの方がデータの散らばりの度合いが大き いか。四分位範囲を利用して判断せよ。

ああるクラスの生徒 10 人について行われた 50 点満点の漢字の「読み」と「書き取り」のテストの得点を，それぞれ変量 $x$, 変量 $y$ とする。右の図は, 変量 $x$ と変量 $y$ の散布図で ある。また, 生徒 10 人の変量 $x$ のデータは次の通りであっ た(単位は点)。\n13,17,20,23,28,34,36,40,44,45\n（1）変量 $x$ のデータの平均値と中央値を求めよ。\n(2) 変量 $x$ の値が 40 点, 変量 $y$ の値が 13 点となっている生徒の変量 $y$ の値は誤りであることがわかり, 正しい値 32 点に修正した。修正前, 修正後の変量 $y$ のデータの中央値 をそれぞれ求めよ。\n（3）（2）のとき, 修正前の $x$ と $y$ の相関係数を $r_{1}$, 修正後の $x$ と $y$ の相関係数を $r_{2}$ とする。値の 組 \( \left(r_{1}, r_{2}\right) \) として正しいものを，次の(1)〜(4)から選べ。\n(1) \( (0.82,0.98) \)\n(2) \( (0.98,0.82) \)\n(3) \( (-0.82,-0.98) \)\n(4) \( (-0.98 , -0.82) \)

ある集団は AとBの 2 つのグループで構成される。データを集計したところ、そ れぞれのグループについて, 個数, 平均 \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline グループ & 個数 & 平均値 & 分散 \ \hline $\mathrm{A}$ & 20 & 16 & 24 \ \hline $\mathrm{B}$ & 60 & 12 & 28 \ \hline \end{tabular} 値，分散は右の表のようになった。この とき，集団全体の平均値はア $\qquad$ ，分散はイ $\square$ である。 [立命館大]

TRAINING 156 次のデータはある 8 店舗での, $1 \mathrm{~kg}$ あたりのみかんの価格である。ただし， $a$ の値は 自然数である。 530, 550, 499, 560, 550, 555, 500, a (円) $a$ の値がわからないとき, 8 店舗の価格の中央値として何通りの値がありうるか。

（1）40 人の生徒が 10 点満点のテストを受けたところ，その結果は次の通りであ った。\n\\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\n\\hline 得点(点) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\\n\\hline 人数(人) & 0 & 0 & 4 & 6 & 0 & 6 & 14 & 4 & 3 & 2 & 1 \\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\nこのデータの最頻値を求めよ。

次のデータ (1) は, 生徒 9 人の身長を調べた結果である。 (1):172, 155, 187, 169, 163, 150, 167, 159, 177 (cm) （1）データ (1)の中央値を求めよ。 （2）データ (1) に身長 160 cm の生徒 1 人分の値が加わったデータを (2) とすると き, データ (2) の中央値を求めよ。

基本147 データの中央値

次のデータ (1) は, 生徒 7 人のある日曜日の睡眠時間である。(1): 410,360,440,420,390,450,400 (分) （1）データ (1)の中央値を求めよ。 （2）データ(1)に，右の 3 人分の睡眠時間の値を加えたデータを (2) と するとき, データ (2)の中央値を求めよ。420, 360,430 （分）

問題 148 (1): 次のデータの四分位数を求めなさい。5 cm, 9 cm, 18 cm

右の表は, 8 人の生徒について行われたテストの得点の度数分布表である。得点はすべて整数とする。 (1)このデータの平均値のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) 8 人の得点の平均点は 52 点であり, 各得点は 34,42,43,46,57,58,65,x であった。 x の値を求めよ。

次のデータは，ある都市のある年の月ごとの最高気温を並べたものである。 $5,4,8,12,17,24,27,28,22,30,9,6$ (単位は ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ) (1) このデータの平均値を求めよ。 (2) このデータの中で入力ミスが見つかった。 $30^{\circ} \mathrm{C}$ となっている月の最高気温 は正しくは $18{ }^{\circ} \mathrm{C}$ であった。この入力ミスを修正すると, このデータの平均値 は修正前より何 ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ 減少するか。 （3）このデータの中で入力ミスが見つかった。正しくは $6^{\circ} \mathrm{C}$ が $10^{\circ} \mathrm{C}, 30^{\circ} \mathrm{C}$ が $26^{\circ} \mathrm{C}$ であった。この入力ミスを修正すると, このデータの平均値はア $\square$,分散はイ $\square$ する。 ア $\square$ ，イ $\square$ に当てはまるものを次の（1，２，３）から選べ。 (1) 修正前より増加 (2) 修正前より減少 (3) 修正前と一致 $\angle$ 基本 182 （3）(イ）分散 $=\frac{\text { 偏差の } 2 \text { 乗の総和 }}{\text { データのきさ }}$ 分散の変化は偏差の 2 乗の総和の変化に注目。 5 22 分 散 標 集 揙 差 (3) (ア) $6+30=10+26$ であるから，データの総和は変化 せず，平均値は修正前と一致する。よって (イ) (1),(ア)より, 修正後のデータの平均値は $16^{\circ} \mathrm{C}$ であ るから，修正した 2 つのデータの平均値からの偏差の 2 乗の和は 修正前: \( (6-16)^{2}+(30-16)^{2}=296 \) 修正後 : \( (10-16)^{2}+(26-16)^{2}=136 \) ゆえに, 偏差の 2 乗の総和は減少するから，分散は修正前より減少する。よって \( \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) \) 4修正前のデータの総和を $X$ とすると, 修正前の平均值は $\frac{X}{12}{ }^{\circ} \mathrm{C}$ で, 修正後 の平均値は \( \frac{X-12}{12}=\frac{X}{12}-1\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) \) 1平均值が修正前と修正後 で一致しているから,修正していない 10 個の データについては、平均値からの偏差の 2 乗の値 に変化はない。

加重平均に関する問い: 次の式が成り立つ。 \bar{z}=\frac{m \bar{x}+n \bar{y}}{m+n} \] 個数の異なる2つのグループのデータを合わせる場合、その平均値がどのようになるかを考える。例えば、m=100, n=10とすると、 \[ \bar{z}=\frac{100 \bar{x}+10 \bar{y}}{110}=\frac{10}{11} \bar{x}+\frac{1}{11} \bar{y} であり、$\bar{z}$の値は$\bar{x}$の値に近くなる。この考え方を利用して、個数が異なるデータを合わせたときの平均値を「加重平均」という。

データの代表値 平均値と中央値を求める方法について説明し、次のデータセットの平均値と中央値を計算しなさい。 データセット: 5, 7, 3, 9, 12, 3, 6

大きさ $n$ のデータの値を $x_{1}, x_{2}, \cdots \cdots, x_{n}$ とするとき, それらの総和を $n$ で割ったものを, データの 平均値 といい, $\bar{x}$ で表す。例: データ $2,3,5,6$ の平均値を求めなさい。

データ $1,3,6,7,8$ の中央値を求めなさい。

次のデータは10人の生徒の 20 点満点のテストの結果である。 6, 5, 20, 11, 9, 8, 15, 12, 7, 17 （単位は点） （1）このデータの平均値を求めよ。 （2）このデータの中央値を求めよ。

次のデータは 10 人の生徒の 20 点満点のテストの結果である。 6,5,20,11,9,8,15,12,7,17 (単位は点) (1)このデータの平均値を求めよ。 (2) このデータの中央値を求めよ。

データ 1 , 2, 3, 6, 7,8 の中央値を求めなさい。

練習 次のデータは，ある都市のある年の月ごとの最低気温を並べたものである。 (3) 184 $-12,-9,-3,3,10,17,20,19,15,7,1,-8 \quad\left(\right.$ 単位は ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ) (1) このデータの平均値を求めよ。 (2) このデータの中で入力ミスが見つかった。正しくは $-3{ }^{\circ} \mathrm{C}$ が $-1^{\circ} \mathrm{C}, 3^{\circ} \mathrm{C}$ が $2^{\circ} \mathrm{C}, 19^{\circ} \mathrm{C}$ が $18^{\circ} \mathrm{C}$ であった。この入力ミスを修正すると, このデータの平均値 ア $\square$ ，イ $\square$ に当てはまるものを上の例題の（1，２，３）から選べ。

179 範囲は 20 時間，四分位範囲は 10 時間

データ $1,2,3,3,3,3,4,4$ の最頻値を求めなさい。

データの散らばりと四分位範囲に関する問題 1. 次のデータセットについて四分位数と四分位範囲を求めなさい。 例: 3,4,4,5,6,7,8,8,8,9,10

次のデータは、A 班 5 人、B 班 6 人の、10 点満点のテストの結果である。A 班: 5, 7, 8, 4, 9 B 班：7, 10, 9, 4, 8, 6 (単位は点) （1） A 班のデータの平均値と B 班のデータの平均値をそれぞれ求めよ。ただし、小数第2位を四捨五入せよ。 (2) A 班と B 班を合わせた 11 人のデータの平均値を求めよ。 (3) A 班のデータの中央値と B 班のデータの中央値をそれぞれ求めよ。

（3）それぞれのデータの四分位範囲を求め，四分位範囲によってデータの散ら ばりの度合いを比較せよ。

ある変量のデータがあり, その平均値は 50 , 標準偏差は 15 である。そのデータを修正して, 各 185 データの値を 1.2 倍して 5 を引いたとき, 修正後の平均値と標準偏差を求めよ。

第5章 データの分析\n20 データの整理, データの代表値\n問題\n次のデータセットの平均、中央値、最頻値を求めよ。\nデータセット: 2, 4, 4, 5, 7, 9\n

〔表 1]では, 度数が最も大きい階級は 55〜60であるから，最頻値を求めなさい。

次のデータは、ある都市のある年の月ごとの最低気温を並べたものである。 $-12, -9, -3, 3, 10, 17, 20, 19, 15, 7, 1, -8$ （単位は $°\mathrm{C}$） （1）このデータの平均値を求めよ。 （2）このデータの中で入力ミスが見つかった。正しくは $-3$℃ が $-1$℃、 3℃ が 2℃、 19℃ が 18℃ であった。この入力ミスを修正すると、このデータの平均値はア $\square$ し、分散は イ $\square$ する。 ア $\square$、 イ $\square$ に当てはまるものを次の（1，（2，3）から選べ。

次の変量 $x$ のデータについて, 以下の問いに答えよ。\n186 \quad 514,584,598,521,605,612,577 \n(1) $y=x-570$ とおくことにより, 変量 $x$ のデータの平均値 $\\bar{x}$ を求めよ。\n(2) $u=\\frac{x-570}{7}$ とおくことにより, 変量 $x$ のデータの分散を求めよ。

相関係数と外れ値の関係を考えるために、次のデータセットを使用して計算を行ってください。\n1. 元のデータセット：\n(x,y) = {(1,2), (3,2), (8,6), (5,7), (4,3), (6,5), (2,3), (9,8)}\n2. 外れ値を追加したデータセット：\n(x,y) = {(1,2), (3,2), (8,6), (5,7), (4,3), (6,5), (2,3), (9,8), (1,15)}\n\nこのデータを基に相関係数を計算し、外れ値がある場合とない場合の相関係数の変化を比較してください。

次に，データを1つ追加することによる，平均値や分散への影響を考察してみましょう。 CHECK 4-A ではテストの受験者が 39 人と少なく, データを1つ追加することによる影響が 大きいため, 平均値と分散を計算し直す必要があります。しかし, 受験者数が十分に多い場合 は，データを１つ追加することによる影響は非常に小さいため，平均値も分散も計算し直して も値はほとんど変化しません。

ある集団は $\mathrm{A} と \mathrm{~B}$ の 2 つのグループで構成される。データ を集計したところ, それぞれのグループの個数, 平均値,分散は右の表のようになった。このとき, 集団全体の平均値と分散を求めよ。

次のデータの平均値を求めよ。\n(1) $15,21,13,19,20$\n(2) $45,38,52,54,73,27,25,42$\n(3) $2,9,6,-9,1,-5,6,1,2,-3$

次のデータは, 8 人の高校生の通学時間を調べたものである。49,52,44,50,41,43,40,49 (単位は分) （1）このデータの平均値を求めよ。 (2) このデータの一部に誤りがあり, 52 分は正しくは 54 分, 40 分は正しくは 38 分で あった。この誤りを修正したとき, このデータの平均値, 分散は修正前と比べて増加するか，減少するか，変化しないかを答えよ。

縦軸のデータについて，値が小さい方から５番目を表す 点は, 図 2 の (3) の点線内の点であり, この点の横軸のデー タの値は 20 万 t 未満である。ここで, 問題文の表から，横軸（タラ）のデータの平均値は 210,975tで, これは 20 万tより大きい。よって, 正しい。

次の表は，2つの店舗で1週間に売れた，婦人服のサイズ別の販売数である。それぞれの最頻値を求めよ。\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\n\\hline サイズ (号) & 5 & 7 & 9 & 11 & 13 & 15 & 計 \\\\\n\\hline 販売数 & 4 & 65 & 92 & 98 & 18 & 10 & 287 \\\\\n\\hline サイズ (号) & 5 & 7 & 9 & 11 & 13 & 15 & 計 \\\\\n\\hline 販売数 & 2 & 32 & 88 & 67 & 52 & 8 & 249 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}

11月の間にゴミ集積場に集められたぺットボトルのゴミの量である。（1）中央値と平均値を求めよ。 (2) 上記の6個の数値のうち1個が誤りであることがわかった。正しい数値に基づく中央値と平均値は、それぞれ2.84 t と 3.02 t であるという。誤っている数値を選び，正しい数値を求めよ。

145 (1) $x$ のデータの四分位範囲 5 , $y$ のデータの四分位範囲 3 ; $x$ の方がデータの散らばりの度合 いが大きい (2) 1 個

98 個の観測値が 0 で, 残りの 1 個の観測値が 99 であるデータAについて以下の問題に答えなさい。\n1. 第1四分位数が0の理由を説明してください。\n2. 第3四分位数が0の理由を説明してください。\n3. 四分位範囲が標準偏差より小さい場合について説明してください。

EX 99 個の観測値からなるデータがある。四分位数について述べた次の０～５）記述のうち，どの\n(3) 127\nようなデータでも成り立つものを 2 つ選べ。\n(0) 平均値は第 1 四分位数と第 3 四分位数の間にある。\n(1) 四分位範囲は標準偏差より大きい。\n(2) 中央値より小さい観測値の個数は 49 個である。\n(3) 最大値に等しい観測値を 1 個削除しても第 1 四分位数は変わらない。\n(4) 第 1 四分位数より小さい観測値と, 第 3 四分位数より大きい観測値とをすべて削除すると,残りの観測値の個数は 51 個である。\n(5) 第 1 四分位数より小さい観測値と, 第 3 四分位数より大きい観測値とをすべて削除すると,残りの観測値からなるデータの範囲はもとのデータの四分位範囲に等しい。

数学 I EX 大豆を 1 粒ずつ箸でつかみ 30 秒間で隣の器へ移す個数を競う大会が行われた。以下のデータは、 128 A 〜 J の 10 選手が, 30 秒間で隣の器へ移した大豆の個数 x (個)である。ただし， x のデータの 平均値を文で表し， x<25 とする。 (1) x̄ の値を求めよ。 (2) a, b, c, d の値を求めよ。 （3） x の分散と標準偏差を求めよ。ただし，小数第 2 位を四捨五入せよ。

データの散らばりの度合いは、一般には中央値や最頻値からはわからない。

個人の複数の種目の体力テストの結果と平均を比較するにはどのグラフが適していますか？

次のデータの中央値を求めよ。\n(1) $22,14,97,48,8$\n(2) $51,39,20,11,38,50,20$\n(3) $33,40,64,59,60,62,20,91$

98 個の観測値が 0 で, 残りの 1 個の観測値が 99 であるデータAについて以下の問題に答えなさい。\n1. データAの平均値はどうなりますか？\n2. データAの四分位範囲はどうなりますか？\n3. データAの標準偏差はどうなりますか？

右の表は, ある都市の1日の最低気温を30日間測定した結果の度数分布表である。 (1)データの最頻値を求める。 （2）この表から階級値を用いてデータの平均値を求める。 （3）階級値を用いないで平均値を求めると，データの平均値はどの範囲に入るか。

中央値のとりうる値, 代表値からデータの決定

次のデータは，ある学校の生徒 10 人の英語のテストの得点である。ただし， $a$ の値は 0 以上の 整数である。 （1） $a$ の値がわからないとき, 10 人の得点の中央値として, 何通りの値がありうるか。 （2） 10 人の得点の平均値が 54.0 点のとき， $a$ の値を求めよ。

図 2 の (1) の点線内の点は, 横軸,縦軸のどちらもデータ の最小値になっている。つまり, この年にどちらも最低の 漁獲量であったことがわかるから，正しい。

標準例題がわからないときにはどのページを参照すればいいですか？

最大・最小の調べ方について説明しなさい。

71 (1) A：53 本，B：51 本; A選手の方が散らばりの度合いが大きい (2) A: Q1=38 本, Q2=44 本, Q3=48 本 B : Q1=22 本, Q2=32 本, Q3=41 本 （3）A：順に10本，5本；B：順に19本，9.5本; B選手の方が散らばりの度合いが大きい

数学 I A選手について Q1=38 (本), Q2=44 (本), Q3=48 (本) B選手について Q1=22 (本), Q2=32 (本), Q3=41 (本) 四分位範囲と四分位偏差を求めなさい。

例 76\n1. $\\bar{x}$ を求める。\n生徒 1 の生徒について $y$ の偏差を求める。\n2. $A$ と $B$ を計算する。\n3. 共分散と相関係数 $r$ を求める。\n\n \\[ \n\\bar{x} = \\frac{660}{20} = 33 \\text{ (点)}\n\\text{生徒 1 について} y = 18, y - \\bar{y} = 1 \\text{ だ から} \\bar{y} = 17 \\text{(点)}\n\\]\n\n\ s_{xy} \ と相関係数 $r$ は次のように計算します。

例 70 | 平均値, 中央値の求め方\nA班: \ 4,7,8,6,9 \\nB班: \ 6,9,10,5,7,6 \ （単位は点）\n(1) A 班のデータの平均值と B班のデータの平均値をそれぞれ求めよ。ただし,小数第 2 位を四捨五入せよ。\n(2) A 班と B班を合わせた 11 人のデータの平均値を求めよ。\n（3）Ａ班のデータの中央値とB班のデータの中央値をそれぞれ求めよ。

データの代表値について教えてください。

練習 右の表は, 8 人の生徒について行われたテストの得点の 113 度数分布表である。得点はすべて整数とする。 (1) このデータの平均値のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) 8 人の得点の平均点は 52 点であり, 各得点は 34,42,43,46,57,58,65, x (単位は点) であった。 x の値を求めよ。 \begin{tabular}{c|c} \hline 得点の階級(点) & 人数 \ \hline 20 以上 40 未満 & 1 \ \hline 40 \sim 60 & 5 \ \hline 60 \sim 80 & 2 \ \hline 計 & 8 \ \hline \end{tabular}

次のデータは，6人で行ったあるゲームの得点である。ただし， $a$ の値は正の整数。 138, 79, 123, 185, 151, a (単位は点)\n（1）中央値は $a$ の値によってどのように変わるか調べよ。\n（2） $a$ の値がわからないとき，このデータの中央値として，何通りの値がありうるか。

データの平均値が最小となるのは、データの各値が各階級の値の最小の値となるときであるから\n\n\\[\n\\frac{1}{8}(20 \\times 1+40 \\times 5+60 \\times 2)=\\frac{340}{8}=42.5\n\\]\n\nデータの平均値が最大となるのは、データの各値が各階級の値の最大の値となるときであるから\n\n\\[\n\\frac{1}{8}(39 \\times 1+59 \\times 5+79 \\times 2)=\\frac{492}{8}=61.5\n\\]\n\nよって \ \\quad 42.5 \ 点以上 61.5 点以下\n別解 [データの平均値の最小値を求めるまでは同じ]\nデータの平均值が最大となるのは、データの各値が最小の値よりそれぞれ19点高いときであるから、平均点も19点高くなり\n\n\\n42.5+19=61.5\n\\n\nよって \ \\quad 42.5 \ 点以上 61.5 点以下。

データ $1,3,4,10,12$ について, 以下の問いに答えよ。\n(1) このデータの平均値を求めよ。 (2) このデータの分散を次の 2 つの方法でそれぞれ求めよ。 （ア）偏差の 2 乗の平均値から求める。 （イ）データの各値の 2 乗の平均値を利用。 (3) このデータの標準偏差を求めよ。ただし，小数第 2 位を四捨五入せよ。

練習 §p.237\n x,yの平均値を求めよ。

与えられたデータセット {2, 9, 2, -9, 1, -5, 6, 1, 2, -3} について、以下の統計量を求めなさい: 1. 平均値 2. 中央値 3. 最頻値

データ整理と代表値について理解を深めるために、次のデータセットの平均値と中央値を計算しなさい: [5, 8, 6, 9, 7]

データセット {1, 3, 4, 10, 12} について、以下の統計量を求めなさい: 1. 平均値 2. 分散 3. 標準偏差

（3）A〜Dのとき，データの最大値，最小値などがどう変化するのかを考える。

例題 $117 \mid 2$ つの集団と平均値, 分散\n20 個の値からなるデータがある。そのうちの 15 個の値の平均値は 10 で分散は 5 であり, 残りの 5 個の値の平均値は 14 で分散は 13 である。このデータの平均値 と分散を求めよ。\n[信州大]

例 19 二項分布の平均, 分散\n赤球 5 個, 白球 3 個, 青球 2 個が入っている箱から任意に 1 球を取り出し, 色を調 べてもとに戻す試行を 5 回繰り返す。このとき，赤球または白球が出る回数を $X$ とする。 $X$ の期待値 \( E(X) \) と分散 \( V(X) \) を求めよ。

母集団における変量 $x$ の平均値 $m$ は何という名称で呼ばれるか。

相加平均: 一群の数値の平均を計算する方法。

偏差値

母平均と母標準偏差をそれぞれどのように表すか。

各問題の配点を求めなさい。\n[国語] 100 点（推定配点）\n\n問 1 各 3 点 $\times 3$ \n問 2 , 問 3 各 4 点 $\times 2$ \n問 4 7 点 \n問 5 5 点 \n問 6 10 点 \n問 7 各 4 点 $\times 2$\n\n甘問 1 各 3 点 $\times 4$ \n問 2 5 点 \n問 3 7 点 \n問 4 5 点 \n問 5 10 点 \n問 6 , 問 7 各 5 点 $\times 2$ \n問 8 4 点