AIチューター | ヤロウゼ､宿題！

次の不等式を解け。\n(1) \( 5(x-3)<3(2 x-5) \)\n(2) \( 0.2 x-7.1>-0.5(x+3) \)\n(3) \( \left\\{\begin{array}\\{l}\frac{3 x+4}{3}-\frac{x-2}{2}>x-\frac{1}{6} \\ -2(x-2)<x-5\end\\{array}\right\\} \)\n(4) $-\frac{2 x+1}{6}<\frac{x+1}{2}<\frac{1}{4} x+\frac{1}{3}$\n(5) $|5 x-9| \leqq 3$\n(6) \( \sqrt{(x-2)^{2}}>4 \)

次の不等式を解きなさい。(6) \\sqrt{(x-2)^{2}}=|x-2| であるから、与えられた不等式 |x-2|＞4 の x の範囲を求めなさい。

次の不等式を解け。(1) 4 x + 5 > 3 x - 2 (2) 9 - x ≤ 2 x - 3 (3) \frac{4 - x}{2} > 7 + 2 x

自分の帽子は何色?——背理法の活用—

䋟対値を含む 2 次不等式

次の不等式を解け。\n(1) $4 x+5>3 x-2$\n(2) $9-x \leqq 2 x-3$\n(3) $\\frac{4-x}{2}>7+2 x$

不等式が常に成り立つ条件

2次不等式の解法(1)

(3) [1] $\quad x<0$ のとき \( \quad-3(x-3)-x<7 \)\nよって $\quad-4 x<-2$\nこれを解いて $\quad x>\frac{1}{2}$\nこれと $x<0$ の共通範囲はない。\n[2] $0 \leqq x<3$ のとき \( \quad-3(x-3)+x<7 \)\nよって $\quad-2 x<-2$\nこれを解いて $\quad x>1$\nこれと $0 \leqq x<3$ の共通範囲は $\quad 1<x<3$\n[3] $3 \leqq x$ のとき\n\( 3(x-3)+x<7 \)\nよって $4 x<16$\n\nこれを解いて $\quad x<4$\nこれと $3 \leqq x$ の共通範囲は $\quad 3 \leqq x<4$\n不等式の解は(1) と（2)を合わせた範囲であるから\n$1<x<4$\n

次の不等式を解け。(2) 0.2x - 7.1 > -0.5(x+3)

花子さんのクラスでは, 数学の授業で次の不等式について考えた。\n|3 x-6|<a x+b \nただし, a, b は定数とする。\nまず, a=2, b=1 のときの不等式 (1) の解を求めよう。\n花子さんは, ノートに次のように解いた。

不等式 $|3 x-6|<b$ の解は何ですか？ $y=b$ のグラフが $y=|3 x-6|$ のグラフの上側にある場合、どのような $x$ の範囲になりますか？ $b>0$ のときについて説明してください。

数学 I inf. α<β のとき (x−α)(x−β)<0 の解は α<x<β が成り立つことは既に学んでいるが，逆に α<x<β のとき α<x から x−α>0 x<β から x−β<0 よって (x−α)(x−β)<0 すなわち α<x<β を解とする 2 次不等式の 1 つは (x−α)(x−β)<0 である。結局, a>0 として a(x−α)(x−β)<0 ⟺ α<x<β が成り立つ。同様に,以下の関係も成り立つ。 a(x−α)(x−β) ≤ 0 ⟺ α ≤ x ≤ β a(x−α)(x−β)>0 ⟺ x<α, β<x a(x−α)(x−β) ≥ 0 ⟺ x ≤ α, β ≤ x 正と負の積は負。 PR すべての実数 x について, 不等式 (a-1) x^{2}-2(a-1) x+3 ≥ 0 が成り立つように, 定数 a の值 91 の範囲を定めよ。

PRACTICE 34^2 次の方程式・不等式を解け。 (1) |2 x-3|=5 (2) |x-3|>2 (3) 3|1-x| ≤ 2

次の不等式を解け。\n\n(1) $ax-1>0$\n(2) $x-2>2a-ax$

次の 2 次不等式を解け。\n(1) $x^{2}-8 x+16>0$\n(2) $4 x^{2}+4 x+1 \leqq 0$\n(3) $x^{2}-4 x+8 \geqq 0$\n(4) $-3 x^{2}+12 x-13 \geqq 0$

不等式 $|3 x-6|<a x$ の解は何ですか？ $y=a x$ のグラフが $y=|3 x-6|$ のグラフの上側にある場合、どのような $x$ の範囲になりますか？

次の方程式・不等式を解け。(1) $|2 x-3|=5$\n(2) $|x-3|>2$\n(3) $3|1-x| \leqq 2$

ある変域で不等式が常に成り立つ今

(4) $b=-6, c=3$ のとき, $a$ の値を変化させて, \( f(x) \) に関する不等式を考える。不等式 \( f(x)<0 \) を満たす実数 $x$ が存在するのは, $a$ タ タ ときである。また, すべての実数 $x$ が不等式 \( f(x)>0 \) を満たすのは, $a \square$ ツ テチ, テ に当てはまる数を答えよ。また, タ, タ, ツについては, 当てはまるものを次の 0〜4 のうちから 1 つずつ選べ。 (0) = (1) > (2) < (3) ≥ (4) ≤

次の 2 次不等式を解け。\n(1) (x-1)(x-2)>0\n(2) (2 x+3)(x-4) \leqq 0\n(3) (x+3)^{2} \geqq 0\n(4) (x-2)^{2} \leqq 0

連立不等式の応用 (解の判

PRACTICE x についての 2 次不等式 a x^{2}+9 x+2 b > 0 の解が 4 < x < 5 となるように, 定数 a, b の値を定めよ。

基本例題 902 次不等式の解から係数決定 (1) x についての 2 次不等式 x^{2}+a x+b ≥ 0 の解が x ≤ -1, 3 ≤ x となる ように，定数 a, b の値を定めよ。

次の 2 次不等式を解け。\n(6) 2 x-3>-x^{2}

不等式と文章題

次の不等式を解け。(1) { 4 x + 1 < 3 x - 1 \\ 2 x - 1 ≥ 5 x + 6 } (2) { 2 x + 3 > x + 2 \\ 3 x > 4 x + 2 } (3) 2(x - 3) + 5 < 5 x - 6 ≤ \frac{3 x + 4}{3}

文字係数の２次不等式の解

次の 2 次不等式を解け。\n(5) 4 x^{2}-5 x-3<0

2次不等式の解法 (2)

次の 2 次不等式を解け。\n(1) $x^{2}+2>2 \sqrt{2} x$\n(2) $-2 x^{2}+12 x-18 \geqq 0$\n(3) $2 x^{2}-8 x+13>0$\n(4) $-2 x^{2}+3 x-6>0$

次の 2 次不等式を解け。\n(2) 6 x^{2}-5 x+1>0

次の不等式を解け。(6) √(x-2)^2 > 4

次の(1), (2)における不等式(A)を、順に(1), (2), (3)の式に変形し、(3)を(A)の解として導いた。解(3)が正しいか正しくないかを答えよ。正しくない場合は、(A)→(1)、(1)→(2)、(2)→(3)のうちどの変形が正しくないかをいえ。ただし，a は実数の定数とする。 (1) (A): \\sqrt{2} x+3＞2 x+1 、 (1): (\\sqrt{2}-2) x＞-2 、 (2): x＞\\frac{-2}{\\sqrt{2}-2} 、 (3) : x＞\\sqrt{2}+2 (2) (A): a^{2}|x|-1＜a^{2}-|x| 、 (1): (a^{2}+1)|x|＜a^{2}+1 、 (2): |x|＜1 、 (3): -1＜x＜1

次の不等式を解きなさい。(4) $-\\frac{2 x+1}{6}<\\frac{x+1}{2}$ を解く。

x(x-1)<0 を解け。

不等式を解きなさい。\n(1) $x + 3 < 2$\n(2) $2x \geqq 5$\n(3) $-3x \leqq 4$

次の不等式を解け。 (1) x + 3 < 2 (2) 2x >= 5 (3) -3x <= 4

次の 2 次不等式が, すべての実数 x について常に成り立つかどうか調べよ。\n(1) 2 x^{2}-3 x+1<0\n(2) 2 x^{2}-4 x+2 \geqq 0\n(3) 2 x^{2}-5 x+4 \leqq 0\n(4) 2 x^{2}-6 x+4>0

PRACTICE\nすべての実数 $x$ について, 不等式 \( (a-1) x^{2}-2(a-1) x+3 \geqq 0 \) が成り立つように, 定数 $a$ の値の範囲を定めよ。

(4) $b=-6, c=3$ のとき, $a$ の値を変化させて, \( f(x) \) に関する不等式を考える。不等式 \( f(x)<0 \) を満たす実数 $x$ が存在するのは, $a$ タ チ のとである。また，すべての実数 $x$ が不等式 \( f(x)>0 \) を満たすのは， $a \square$ テ ある。チ, テ に当てはまる数を答えよ。また, タ, ツ については, 当てはまるものを次の（）～４）のうちから1つずつ選べ。\n(0) =\n(1) $>$\n(2) $<$\n(3) $\geqq$\n(4) $\leqq$

2 次不等式の応用（解の:

次の不等式を解け。\n(1) \\\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x^{2}>1+x \\\\ x \\leqq 15-6 x^{2}\\end{\overlineray}\\right.\\n(2) \2 \\leqq x^{2}-x \\leqq 4 x-4\\n(3) \\\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x^{2}+3 x+2 \\leqq 0 \\\\ x^{2}-x-2<0\\end{\overlineray}\\right.\

次の命題の逆, 対偶, 裏を述べよ。\n$x + y \leqq 4$ ならば $x \leqq 2$ または $y \leqq 2$ である。

花子さんのクラスでは，数学の授業で次の不等式について考えた。|3x-6|<ax+b ただし，a, b は定数とする。まず, a=2, b=1 のときの不等式 (1) の解を求めよう。

連立不等式の応用 (2 次)

次の $x$ についての不等式を解け。ただし， $a$ は定数とする。\n\n$x^{2}-3 a x+2 a^{2}+a-1>0$

次の不等式を解け。(4) -(2x+1)/6 < (x+1)/2 < (1/4)x + 1/3

x^{2}-x-6 \\geqq 0 を解け。

次の不等式を解け。(1) 5(x-3) < 3(2x-5)

次の方程式を解け。\n(1) $|3 x+8|=5 x$\n(2) $|x+1|+|x-1|=2 x+8$

例題 36 は, 「共通範囲」を求める場面と「合わせた範囲」を求める場面があって複雑です。例題 36 (1) をもとに, その違いについて見てみましょう。\n\n(1)と(2)の範囲を合わせる\n\nまず，絶対値記号をはずすために，実数全体を２つの場合（1)と（2)に分ける。\n(1)と (2)は、それぞれAを満たす範囲である。このAの範囲において絶対値記号をはず した不等式を解いて，解 \\mathrm{B} \ を得る。\nAとBは「Aの条件を満たす範囲内で考えた解がB」の関係であり，AとBがともに成立 （すなわち「AかつB」が成立）しなければならない。い共通範囲を求める。\n一方，１）と（2)は「実数全体を2つに分けた」のだから，１）と２）のいずれか一方が成立 （すなわち「(1) または(2)」が成立)すればよい。い合わせた範囲を求める。\n絶対値を含む方程式・不等式は，次の流れで解きましょう。\n場合分けをして解く \\longrightarrow \ その解のうち, 場合分けの条件を\n満たすものを求める \\longrightarrow \ 各場合の解を最後に合わせる

PR $x$ についての 2 次不等式 $a x^{2}+9 x+2 b>0$ の解が $4<x<5$ となるように, 定数 $a, b$ の値を定めよ。

次の不等式を解け。\n(1) $a x-1>0$\n(2) $x-2>2 a-a x$

次の不等式を解きなさい。(5) |5 x-9| ≤ 3 から x の範囲を求めなさい。

次の不等式を解け。(5) |5x-9| ≤ 3

次の 2 次不等式を解け。\n(4) x^{2}-2 x-2 \\leqq 0

次の 2 次不等式を解け。\n(1) x^{2}-4 x-12 \geqq 0

次の方程式・不等式を解け。 (1) |2-x|=4 (2) |2 x+1|=7 (3) |x-2|<4 (4) |x-2|>4

次の 2 数の大小関係を調べて, 不等式で表せ。 (1) a+3, b+3 (2) a-2, b-2 (3) 5a, 5b (4) -4a, -4b (5) 2a, a+b

2次不等式の解から係孛

次の不等式を解け。\n(1) $3 x<12-x$\n(2) $2 x-7 \leqq 4 x-1$\n(3) \( 3(1-2 x)>\frac{1-3 x}{2} \)\n(4) $x+0.6 \geqq 0.2 x-1$

不等式 $10a < b$ の各操作を示しなさい。

次の命題の真偽を調べよ。ただし, (2), (3) は集合を用いて調べよ。\n(2) 実数 $x$ について, $|x|>2$ ならば $x>2$\n（3）実数 $x$ について, $|x+2|<1$ ならば $|x|<3$

（5）$a = 4, b = 6$ のとき、不等式 (1) は $|3x - 6| < 4x + 6$ を満たす$x$の範囲を求めなさい。

次の連立不等式を解け。(1) \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}3 x+1>0 \\\\ 3 x^{2}+x-10 \\leqq 0\\end{\overlineray}\\right.\\n(2) \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x^{2}-4 x+1 \\geqq 0 \\\\ -x^{2}-x+12>0\\end{\overlineray}\\right.\

次の不等式を解きなさい。\ \\frac{x+1}{2}<\\frac{1}{4} x+\\frac{1}{3} \ を解く。

次の不等式を解け。(3) 3(x+4)/3 - (x-2)/2 > x - 1/6, -2(x-2) < x-5

次の 2 次不等式を解け。\n(3) -x^{2}-x+2 \\geqq 0

基本例題 43 対偶を利用した命題の証明\n文字はすべて実数とする。対偶を考えて, 次の命題を証明せよ。\n(1) $x+y=2$ ならば「 $x \leqq 1$ または \( y \leqq 1 」\n(2) $a^{2}+b^{2} \geqq 6$ ならば「 $|a+b|>1$ または \( |a-b|>3 」

次の不等式を解け。 (1) \( \left\{\begin{array}{l}2 x+3<3 x+5 \\ 2(x+3) \leqq-x+9\end{array}\right. \) (2) $-4 x+1<7-3 x<x-1$

不等式の性質をマスターして, 例題 34 を攻略！

練習問題 93 - 次の 2 次不等式を解け。(6) $x^{2}+x \leqq 6$

命題の真偊を判定。 $x$ は実数， $n$ は整数とする。集合を用いて，次の命題の真偽を調べよ。\n(1) $x<-3 \Longrightarrow 2 x+4 \leqq 0$\n(2) $n$ は 18 の正の約数 $\Longrightarrow n$ は 24 の正の約数

次の 2 次不等式を解け。\n(1) $x^{2}-8 x+16>0$\n(2) $x^{2}-8 x+16<0$\n(3) $x^{2}-8 x+16 \geqq 0$\n(4) $x^{2}-8 x+16 \leqq 0$

2次不等式 基本 93 2 次不等式の解法 (1)

練習問題 93 - 次の 2 次不等式を解け。(4) $x^{2}+6x+8 \geqq 0$

連立不等式 \( \left\{\begin{array}{l}x>3 a+1 \\ 2 x-1>6(x-2)\end{array}\right. \) の解について, 次の条件を満たす定数 $a$ の 値の範囲を求めよ。\n(1) 解が存在しない。\n(2) 解に 2 が含まれる。\n(3) 解に含まれる整数が 3 つだけとなる。

連立不等式, 2 次不等式の基本を振り返ろう！

基本 32 不等式の性質の利用 (1)\n標準 33 不等式の性質の利用 (2)\n基本 34 1 次不等式の解法\n基本 35 連立不等式の解法\n標準 36 不等式の整数解\n標準 37 不等式の文章題\n基本 38 絶対値を含む方程式，不等式…基本\n標準 39 場合分けによって絶対値を含む方程式を解く

次の 2 次不等式を解け。\n(1) $2 x^{2}-5 x+2<0$\n(2) $-4 x^{2}+4 x+1 \leqq 0$\n

次の 2 次不等式を解け。(3) $x^{2}-3 x-10 \leqq 0$

次の方程式，不等式を解け。\n(1) \( |(\sqrt{14}-2) x+2|=4 \)\n(2) $3|x-1| \leqq 4$\n(3) $x+|3 x-2|=3$

次の 2 次不等式を解け。\n(1) $x^{2}+4 x+6>0$\n(2) $x^{2}+4 x+6<0$\n(3) $x^{2}+4 x+6 \geqq 0$\n(4) $x^{2}+4 x+6 \leqq 0$

第 2 章 実数, 1 次不等式: 61 次不等式

2次不等式 基本 94 2 次不等式の解法 (2)

次の不等式を解け。\n(1) $4 x+5>2 x-3$\n(2) \( 3(x-2) \geqq 2(2 x+1) \)\n(3) $\frac{1}{2} x>\frac{4}{5} x-3$\n(4) $0.1 x+0.06<0.02 x+0.1$

3. $\mathbf{4 3}^{\Perp}-\frac{5}{2} \leqq x \leqq 2$ のとき, 関数 \( f(x)=(1-x)|x+2| \) の最大値を求めよ。

次の不等式を解け。\n(1) $8 x+13>5 x-8$\n(2) \( 3(x-3) \geqq 5(x+1) \)\n(3) $\frac{4-x}{2}<7+2 x$\n(4) \( \frac{1}{2}(1-3 x) \geqq \frac{2}{3}(x+7)-5 \)\n(5) \( 0.2 x-7.1 \leqq-0.5(x+3) \)

練習問題 93 - 次の 2 次不等式を解け。(3) $x^{2}-2x < 0$

連立不等式 \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}3 x-7 \\leqq 5 x-3 \\\\ 2 x-6 < 3 a-x\\end{\overlineray}\\right. \ の解について, 次の条件を満たす定数 a \ の値の範囲を求めよ。\n（1）解をもつ。\n（2）解に整数がちょうど 3 個含まれる。

2次不等式の解き方をフローチャート形式で整理しましょう。基本例題93〜96で、いろいろなタイプの2次不等式を解きました。ここで、それらを整理してみます。\n\n $ax^{2} + bx + c$ を考えます。まず、因数分解できるかどうかを調べます。因数分解できる場合、 \( a(x-\alpha)(x-\beta) \) または \( a(x-\alpha)^{2} \) の形になります。\n\n次に、グラフ $y = ax^{2} + bx + c$ を描きます。ただし、 $a > 0$ とします。\n\n以下の表にまとめました：\n\n\(\begin{array}{c}\n\text{不等式の種類} & \text{解の範囲} \\\hline\(\ a x^{2}+b x+c>0 \) & $x<\alpha, \beta<x$ \\\hline$\ a x^{2}+b x+c \geqq 0$ & $x \leqq \alpha, \quad \beta \leqq x$ \\\hline$\ a x^{2}+b x+c<0$ & $\alpha<x<\beta$ \\\hline$\ a x^{2}+b x+c \leqq 0$ & $\alpha \leqq x \leqq \beta$ \\\hline\end{array}\)\n\nこの表を暗記するのではなく、解の理由を理解することが重要です。

連立不等式 \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x<6 \\\\ 2 x+3 \\geqq x+a\\end{\overlineray}\\right. \ の解について, 次の条件を満たす定数 a \ の\n値の範囲を求めよ。\n（1）解をもつ。\n（2）解に整数がちょうど 2 個含まれる。

$x$ は実数とする。集合を用いて, 次の命題の真偽を調べよ。\n(1) $-1<x<1 \Longrightarrow 2 x-2<0$\n(2) $|x|>2 \Longrightarrow 3 x+1 \leqq 0$

（2）連立不等式 \( \left\\{\begin{array}{l}2(x+1) \\geqq 5x-2 \\ -5x<-3x+4\end{array}\right\\} \) を満たす整数 $x$ の値をすべて求めよ。

判別式, 2 次不等式の基本を振り返ろう！

練習問題 93 - 次の 2 次不等式を解け。(5) $x^{2} > 9$

次の 2 次不等式を解け。\n(1) $x^{2}-4 x+5<0$\n(2) $2 x^{2}-8 x+13>0$\n(3) $3 x^{2}-6 x+6 \leqq 0$\n(4) $x^{2}+3 \geqq 0$

練習問題 93 - 次の 2 次不等式を解け。(2) \( (2x+1)(3x-5) > 0 \)

練習問題 93 - 次の 2 次不等式を解け。(1) \( (x+2)(x+3) < 0 \)

2 次不等式の解法のまとめ

次の 2 次不等式を解け。(2) \( (x+1)(x-2) < 0 \)

不等式 $x^2-4x+3<0$ を解け。

次の 2 次不等式を解け。\n(1) $3 x^{2}+10 x-8>0$\n(2) $6 x^{2}+x-12 \leqq 0$\n(3) $5 x^{2}+6 x-1 \geqq 0$\n(4) \( 2(x+2)(x-2) \leqq(x+1)^{2} \)\n(5) $-x^{2}+3 x+2>0$\n

絶対不等式

「10からある数xの3倍を引いた数は-5より大きい」を不等式で表しなさい。

次の 2 次不等式を解け。\n(1) $x^{2}+2 x+1>0$\n(2) $x^{2}+4 x+4 \geqq 0$\n(3) $\frac{1}{4} x^{2}-x+1<0$\n(4) $-9 x^{2}+12 x-4 \geqq 0$

不等式 3|x+1| $\geqq x+5$ を解け。

次の 2 次不等式を解け。(1) \( (x+1)(x-2) > 0 \)

不等式のすべての項を左辺に移項して整理したとき, $a x^{2}+b x+c>0$, $a x^{2}+b x+c \leqq 0 （ a, b, c$ は定数，ただし $a \neq 0 ）$ などのように，左辺が $x$ の 2 次式になる不等式を $x$ の 2 次不等式という。そして，2 次不等式を成り立たせる $x$ の値を, その不等式の解 といい, 解のすべてを求めることを 2 次不等式を解 くという。\nこの節では, 2 次関数のグラフを利用して 2 次不等式を解く方法を学び ましょう。前節で学んだ, 2 次関数のグラフと $x$ 軸の位置関係を積極的 に活用します。\n\n■ 2 次不等式の解と 2 次関数のグラフ\n注意 以下では, $x^{2}$ の係数 $a$ の符号を正として話を進めても不都合はな い。なぜなら， $a$ の符号が負のときは，両辺に -1 を掛けて $x^{2}$ の係数を正にして解けばよいからである。\n2 次不等式 \( a x^{2}+b x+c>0(a>0) \) の解を求めることは, $y=a x^{2}+b x+c$ とおくとき, $y>0$ となる $x$ の値の範囲，すなわ ち, $y=a x^{2}+b x+c$ のグラフが $x$ 軸より上側にあるような $x$ の値 の範囲を求めることである。\n\n具体的な例として, 2 次不等式 $x^{2}-4 x+3>0$\n(1) について 説明しよう。

一次不等式の性質を説明せよ。

発 例 題《標準例題 39 44場合分けによって絶対値を含む不等式を解く不等式 2|x+4|<x+10 を解け。

不等式 2x-5<9 を解け。

次の方程式、不等式を解け。 (1) $|2 x-1|=7$ (2) $|2 x+5| \leqq 2$ (3) $|3-x|>4$

次の不等式を解け。 (1) \( \left\{\begin{array}{l}4 x-1<3 x+5 \\ 5-3 x<1-x\end{array}\right. \) (2) \( \left\{\begin{array}{l}3 x-5<1 \\ \frac{3 x}{2}-\frac{x-4}{3} \leqq \frac{1}{6}\end{array}\right. \) (3) $\frac{2 x+5}{4}<x+2 \leqq 17-2 x$

不等式 $x^2-4x+3>0$ を解け。

不等式 $|2 x|+|x-5| \geqq 8$ を解け。

次の不等式を解け。 $2 x-3<x^{2}-4 x \leqq 4 x-7$

次の 2 次不等式を解け。\n(1) (x+2)(x+3)<0\n(2) (2x+1)(3x-5)>0\n(3) x^{2}-2x<0\n(4) x^{2}+6x+8 \geqq 0\n(5) x^{2}>9\n(6) x^{2}+x \leqq 6

次の 2 次不等式を解け。\n(1) $x^{2}+4 x+6>0$\n(2) $x^{2}+4 x+6<0$\n(3) $x^{2}+4 x+6 \geqq 0$\n(4) $x^{2}+4 x+6 \leqq 0$

連立不等式, 2 次不等式の基本を振り返ろう！

不等式 $|2 x-6|<x$\n(1)について考える。\n(1) $x=\sqrt{5}$ が不等式 (1)の解であるかどうかを調べてみよう。\n(1)の左辺に $x=\sqrt{5}$ を代入すると, その値は $ア$ である。 したがって, $x=\sqrt{5}$ は不等式 (1)の イ。\nア の解答群\n(0) $2 \sqrt{5}-6$\n(1) $2 \sqrt{5}+6$\n(2) $6-2 \sqrt{5}$\n(3) $-6-2 \sqrt{5}$\n\nイ の解答群\n(0) 解である\n(1) 解でない

1次不等式についての基本的な性質を説明せよ。\n$A < B$ のとき:\n(1) $A + C < B + C$\n(2) $A - C < B - C$\n(3) $C > 0$ ならば $AC < BC$, $\frac{A}{C} < \frac{B}{C}$\n(4) $C < 0$ ならば $AC > BC$, $\frac{A}{C} > \frac{B}{C}$

不等式の性質をマスターして, 例題 34 を攻略！

実践 3: 連立 2 次不等式の応用

判別式, 2 次不等式の基本を振り返ろう！

2 数 x, y の和は正で, かつ 6 以下である」を不等式で表すと?

次の2次不等式を解け。(1) x^2 + 2x + 1 > 0 (2) x^2 + 4x + 4 ≥ 0 (3) 1/4 x^2 - x + 1 < 0 (4) -9x^2 + 12x - 4 ≥ 0

(2) \\left|x^{2}-6 x-7\\right| \\geqq 2 x+2 \

次の 2 次不等式が，常に成り立つような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。\n(1) \( x^{2}+2(m+1)x+2(m^{2}-1)>0 \)\n(2) $mx^{2}+3mx+m-1<0$

2 次不等式の解法のまとめ

不等式 $3|x+1| \geqq x+5$ を解け。

ある範囲で2次不等式が常に成り立つ条件\n$0 \leqq x \leqq 2$ の範囲において、常に $x^{2}-2 a x+3 a>0$ が成り立つように、定数 $a$ の値の範囲を定めよ。

不等式 (1) の解は, $y=|2 x-6|-x \cdots$ (2) のグラフの $y<0$ となる $x$ の値の範囲です。（2)のグラフを利用して，(1)の解を求めてみましょう。\n(i) $2 x-6 \geqq 0$ を解くと $x \geqq \square$ ウ, $2 x-6<0$ を解くと $x<\square$ ウ よって, $x \geqq \square$ のとき, (2) は $y=\square 工$\n $x<\square$ のとき, (2) は $y=\square$ オです。

TR $x$ は実数とする。集合を用いて，次の命題の真偽を調べよ。\n53\n(1) $-1<x<1 \Longrightarrow 2 x-2<0$\n(2) $|x|>2 \Longrightarrow 3 x+1 \leqq 0$

連立不等式 \( \left\{\begin{array}{l}2 x-1 < 3(x+1) \\ x-4 ≤ -2 x+3\end{array}\right. \) を満たす整数 x の値をすべて求めよ。

(3) $\frac{4-x}{2}<7+2 x$

次の2次不等式を解け。 (1) (x+2)(x+3)＜0 (2) (2x+1)(3x-5)＞0 (3) x^2-2x＜0 (4) x^2+6x+8≧0 (5) x^2＞9 (6) x^2+x≦6

次の不等式を解け。(2) $|x+2|+|2x-3|<10$

次の不等式を，上の例題と同じように 2 通りの方法で解け。\n(1) $x^{2}-7<3|x-1|$\n(2) $\left|x^{2}-6 x-7\right| \geqq 2 x+2$

連立不等式 $\left\{ |x+1|<\frac{3}{2}, \\ x^{2}-2 x-3>0 \right\}$ を解け。

次の 2 次不等式を解け。\n(1) x^{2}-4 x+5<0\n(2) 2 x^{2}-8 x+13>0\n(3) 3 x^{2}-6 x+6 \leqq 0\n(4) x^{2}+3 \geqq 0

次の不等式を解け。 (1) \( \left\{\begin{array}{l}x^{2}-2 x-8<0 \\ x^{2}-x-2>0\end{array}\right. \) (2) \( \left\{\begin{array}{l}x^{2}+2 x+1>0 \\ x^{2}-x-6<0\end{array}\right. \) (3) \( \left\{\begin{array}{l}2 x^{2}+5 x \leqq 3 \\ 3\left(x^{2}-1\right)<1-11 x\end{array}\right. \) (4) $2-x<x^{2}<x+3$

実践 1: 絶対値を含む不等式とグラフ

次の2次不等式を解け。 (1) (x+1)(x-2)＞0 (2) (x+1)(x-2)＜0 (3) x^2-3x-10≦0

次の条件を満たすように, 定数 $a, b$ の値を定めよ。\n（1）2 次不等式 $x^2 + ax + b < 0$ の解が $-\frac{1}{2} < x < 3$ である。\n(2) 2 次不等式 $ax^2 + x + b \leq 0$ の解が $x \leq -1, 2 \leq x$ である。

不等式 $3|x+1| \geqq x+5$ を解け。

絶対不等式

不等式 $|2 x|+|x-5| \geqq 8$ を解け。

次の方程式を解け。(1) $|x+4|-2|x|=2$

次の不等式を解け。 (1) \( \left\{\begin{array}{l}4 x-1<3 x+5 \\ 5-3 x<1-x\end{array}\right. \)

(5) \( 0.2 x-7.1 \leqq-0.5(x+3) \)

TRAINING 実践 1\n不等式 $|x|+1>2 x$ の解は $\square$ である。

次の不等式を解け。 (1) \( \left\{\begin{array}{l}x^{2}+3 x+2>0 \\ x^{2}+2 x-3<0\end{array}\right. \) (2) $2 x-3<x^{2}-4 x \leqq 4 x-7$

2次不等式の解法のまとめ 基本例題 93〜96で, いろいろなタイプの2次不等式を解いてきました。ここで, 2次不等式の解き方をフローチャート(流れ図)の形にまとめておきましょう。

連立不等式 \\( \\left\\{\\begin{array}{l}x>3a+1 \\ 2x-1>6(x-2)\\end{array}\\right. \\) の解について, 次の条件を満たす定数 \ a \ の値の範囲を求めよ。\n（1）解が存在しない。\n（2）解に 2 が含まれる。\n（3）解に含まれる整数が 3 つだけとなる。

定数 $p$ とするとき, $x$ の不等式 $p x \geqq 2 x-3$ を解け。

次の不等式を解け。 (1) \( \left\{\begin{array}{l}x^{2}-2 x-8<0 \\ x^{2}-x-2>0\end{array}\right. \) (2) \( \left\{\begin{array}{l}x^{2}+2 x+1>0 \\ x^{2}-x-6<0\end{array}\right. \) (3) \( \left\{\begin{array}{l}2 x^{2}+5 x \leqq 3 \\ 3\left(x^{2}-1\right)<1-11 x\end{array}\right. \) (4) $2-x<x^{2}<x+3$

次の 2 次不等式を解け。\n(1) $x^{2}+2 x+1>0$\n(2) $x^{2}+4 x+4 \geqq 0$\n(3) $\frac{1}{4} x^{2}-x+1<0$\n(4) $-9 x^{2}+12 x-4 \geqq 0$

連立不等式 \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}3 x-7 \\leqq 5 x-3 \\\\ 2 x-6<3 a-x\\end{\overlineray}\\right. \ の解について, 次の条件を満たす定数 a \ の値の範囲を求めよ。 （1）解をもつ。 （2）解に整数がちょうど 3 個含まれる。

連立不等式 \( \left\{\begin{array}{l}2(x+1) \geqq 5 x-2 \\ -5 x<-3 x+4\end{array}\right. \) を満たす整数 $x$ の値をすべて求めよ。

不等式 $A < B ≤ C$ について示せ。

次の不等式を解け。 (1) 4x + 5 > 2x - 3 (2) 3(x - 2) ≥ 2(2x + 1) (3) 1 / 2x > 4 / 5x - 3 (4) 0.1 x + 0.06 < 0.02 x + 0.1

2 次不等式は, グラフを用いて解きましょう。\n\( y=(x+2)(x+1) \) のグラフで $y>0$ となる $x$ の値の範囲\nを求めて $x<-2,-1<x$

TRAINING : 35 (2) 次の不等式を解け。 (1) \( \left\{\begin{array}{l}4 x-1<3 x+5 \\ 5-3 x<1-x\end{array}\right. \) (2) \( \left\{\begin{array}{l}3 x-5<1 \\ \frac{3 x}{2}-\frac{x-4}{3} \leqq \frac{1}{6}\end{array}\right. \) (3) $\frac{2 x+5}{4}<x+2 \leqq 17-2 x$

TRAINING 32\n$a<b$ のとき, 次の $\square$ に不等号 $>$ またはくを入れ, 正しい不等式にせよ。\n(1) $a+3 \square$ $\square$ $b+3$\n(2) $0.3 a$ $\square$ $0.3 b$\n(3) $-\frac{2}{5} a$ $\square$ $-\frac{2}{5} b$\n(4) $2 a-3$ $\square$ $2 b-3$\n(5) $6-a$ $\square$ $6-b$\n(6) $\frac{a+5}{3}$ $\square$ $\frac{b+5}{3}$

(1) $y \geqq 0$\n(2) $y \leqq 0$\n(3) $0 \leqq y \leqq 6$\n(4) $-1 \leqq y<1$

[1] $x \leqq-1,7 \leqq x$ のとき, 不等式は $x^{2}-6 x-7 \geqq 2 x+2$

9. (1) x>1 のとき, 3x+1>x+3 であることを証明せよ。 (2) 不等式 a^2-2ab+3b^2 ≥ 0 を証明せよ。また, 等号が成り立つのはどのようなときか。

不等式 \ \\log _{2} x-6 \\log _{x} 2 \\geqq 1 \ を解け。

次の不等式を解け。[(3) 神戸薬大 (4) 福井工大] (1) \( \\log _{\\frac{1}{2}}(1-x)>2 \) (2) \( 2 \\log _{0.5}(x-2)>\\log _{0.5}(x+4) \) (3) \( \\log _{2}(x-2)<1+\\log \\frac{1}{2}(x-4) \) (4) \( 2\\left(\\log _{2} x\\right)^{2}+3 \\log _{2} 4 x<8 \)

次の不等式を解け。\n(1) $2^{x}>\frac{1}{4}$\n(2) \( 9^{x}>\left(\frac{1}{3}\right)^{1-x} \)\n(3) \( \left(\frac{1}{4}\right)^{x}-9\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}+32 \leqq 0 \)

次の不等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) $x>0$ のとき $\frac{1}{4} x^{3}-x+1>0$\n(2) $x \geqq 0$ のとき \( x^{3}+1>6 x(x-2) \)

(1) x+y>0 かつ x-y>0 ならば 2 x+y>0 であることを証明せよ。

次の不等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) $x>0$ のとき $\\frac{1}{4} x^{3}-x+1>0$\n(2) $x \geqq 0$ のとき\n\( x^{3}+1>6 x(x-2) \)

(2105 次の不等式の表す領域を図示せよ。\n(1) \( (x - 1)(x - 2y) < 0 \)

次の不等式を証明せよ。 (2) \( \sqrt{2\left(a^{2}+b^{2}\right)} \geqq|a|+|b| \)

次の不等式を解け。(1) \( \\log _{2}(x+3)<3 \) (2) \( 2 \\log _{\\frac{1}{3}} x<\\log _{\\frac{1}{3}}(2 x+3) \) (3) \( \\left(\\log _{3} x\\right)^{2}+\\log _{3} x-6 \\geqq 0 \)

次の不等式を証明せよ。 (1) $|a-b| \leqq|a|+|b|$ (2) $|a-c| \leqq|a-b|+|b-c|$ (3) $|a+b+c| \leqq|a|+|b|+|c|$

次の不等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) $a \geqq b, x \geqq y$ のとき \( (a+b)(x+y) \leqq 2(a x+b y) \)\n(2) $a \geqq b \geqq c, x \geqq y \geqq z$ のとき \( (a+b+c)(x+y+z) \leqq 3(a x+b y+c z) \)

不等式 \ 2 \\log _{3} x-4 \\log _{x} 27 \\leqq 5 \ を解け。

不等式の表す領域 A 右の図の斜線部分は, どのような不等式で表されるか。ただし，境界線を含まないものとする。

次の不等式を求めよ：\n32. a b<a^{2}+b^{2}<a+b<\sqrt{a}+\sqrt{b}

指数不等式の解法: 次の指数不等式を解きなさい。

三角方程式・不等式の解法 (角のおき換え)

(1) $x<-1, \quad 1<x$

不等式 $2 \log _{3} x-4 \log _{x} 27 \leqq 5$ を解け。

次の不等式を解け。 (1) \( \left(\frac{1}{3}\right)^{x}<9 \) (2) $9^{x+1}-28 \cdot 3^{x}+3<0$ (3) $4^{x}-2^{x+2}-32>0$

次の不等式を証明せよ。また, 等号が成り立つのはどのようなときか。\n(1) $a^{2}+b^{2}+c^{2}+a b+b c+c a \geqq 0$\n(2) $a+b+c>0$ のとき $a^{3}+b^{3}+c^{3} \geqq 3 a b c$

3 種類の材料 A, B, C から 2 種類の製品 P, Q を作っている工場がある。製品 P を 1 kg 作るには、材料 A, B, C をそれぞれ 1 kg, 3 kg, 5 kg 必要とし, 製品 Q を 1 kg 作るには, 材料 A, B, C をそれぞれ 5 kg, 4 kg, 2 kg 必要とする。また，1日に仕入れることができる材料 A，B，C の量の上限はそれぞれ 260 kg ， 230 kg, 290 kg である。この工場で1日に製品Pを x kg ，製品 Q を y kg 作るとするとき，次の問いに答えよ。ただし， x ≥ 0, y ≥ 0 とする。(1) x, y が満たすべき条件について考える。材料Aの使用量の条件から材料Bの使用量の条件から y ≤ (アイ)/(ウ) x+ エオ.材料Cの使用量の条件から y ≤ (スセ)/(ソ) x+ タチツ である。アイ タタツにに当てはまる数をそれぞれ答えよ。

対数不等式の解法 (2): 次の対数不等式を解きなさい。

x, y が 4 つの不等式 x >= 0, y >= 0, x-2 y+8 >= 0,3 x+y-18 <= 0 を満たすとき, x-4 y のとる値の最大値および最小値を求めよ。

EX $\log _{10} 2=0.3010 \cdots \cdots$ を用いずに, 不等式 $\frac{3}{10}<\log _{10} 2<\frac{4}{13}$ を示せ。$2^{10}=1024,2^{13}=8192$ であるから $\quad 10^{3}<2^{10}, 2^{13}<10^{4}$ それぞれの不等式で, 両辺の常用対数をとると

不等式を解け：\n$9^x < 27^{5-x} < 81^{2x+1}$

次の不等式の表す領域を図示せよ。\n(2)\n\( \left\{\begin{array}{l}y \leqq-x^{2}+4 x+1 \\ y \leqq x+1\end{array}\right. \)

太郎さんの解答が間違っている理由として最も適切なものを次の（ ）〜（4）のうちから1つ選べ。 (0) a>0 のとき、不等式(*)は成り立たないから。 (1) 不等式(*)の等号が成り立つのは, a>0 かつ 2a+1=3/(a+1) のときではないから。 (2) a>0 かつ 2a+1=3/(a+1) を満たす a の値が a=1/2 ではないから。 (3) a=1/2 のときの 2a+1+3/(a+1) の値が 4 ではないから。 (4) 2a+1+3/(a+1) が最小になるのは, 不等式(*)の等号が成り立つときではないから。

不等式 $a \sin ^{2} x+6 \sin x+1 \geqq 0$ が常に成り立つような $a$ の最小値を求めよ。

PR $x, y$ が 4 つの不等式 $x \geqq 0, y \geqq 0, x-2 y+8 \geqq 0,3 x+y-18 \leqq 0$ を満たすとき, $x-4 y$ のとる 106 値の最大値および最小値を求めよ。

STEP UP 教科書で扱われていない内容のうち，特に注意すべき事柄を扱った。

PR $a \\geqq 0, b \\geqq 0$ のとき, 次の不等式が成り立つことを証明せよ。また，等号が成り立つのはどのようなときか。\n(1) \ \\sqrt{a}+2 \\geqq \\sqrt{a+4} \\n(2) \\( \\sqrt{2(a+b)} \\geqq \\sqrt{a}+\\sqrt{b} \\)

次の不等式を解け。 (1) $2^{x}>\frac{1}{4}$ (2) \(9^{x}>\left(\frac{1}{3}\right)^{1-x}\) (3) \(\left(\frac{1}{4}\right)^{x}-9\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}+32 \leq 0\) (4) $4^{x}+3 \cdot 2^{x}-4 \leq 0$

次の不等式を解け。\n(1) $x>-2$\n(2) $x>-1$\n(3) $-4 \leqq x \leqq-1$\n(4) $x \leqq 0$

不等式 2-ログ_y(1+x) < ログ_y(1-x) の表す領域を図示せよ。

対数不等式の解法 (1): 次の対数不等式を解きなさい。

EX 数\n\nEX 連立不等式 \( \left\{\begin{array}{l}x>3 a+1 \\ 2 x-1>6(x-2)\end{array}\right. \) の解について, 次の条件を满たす定数 $a$ の値の範囲を求めよ。\n(1) 解が存在しない。\n（2）解に 2 が含まれる。\n（3）解に含まれる整数が 3 つだけとなる。\n[神戸学院大]

次の方程式・不等式を解け。\n(1) $|x+5|=3$\n(2) $|1-3 x|=5$\n(3) $|x+2|<5$\n(4) $|2 x-1| \\geqq 3$

条件の否定 条件 $p, q$ を満たすもの全体の集合をそれぞれ $P, Q$ とする。 (1) $p$ かつ \( q(P \cap Q) \cdots \cdots p, q \) がともに成り立つ。 $p$ または \( q(P \cup Q) \cdots \cdots, p, q \) の少なくとも一方が成り立つ。 (2) 否定 条件 $p$ の否定（ $p$ でない）を $\bar{p}$ で表す。 $\overline{p \text { かつ } q}($ かつ $q$ の否定 \) \Leftrightarrow $\bar{p}$ または $\bar{q}$ $\overline{p \text { または } q}($ または $q$ の否定 \) \Leftrightarrow $\bar{p}$ かつ $\bar{q}$

次の方程式・不等式を解け。\n(1) ||\ x-1|-2|-3=0 \\n(2) \ |x-5| \leqq \frac{2}{3}|x|+1 \

不等式 $a x>x+a^{2}+a-2$ を解け。ただし， $a$ は定数とする。

まず, 2 次の係数を正に。 なお，不等号の向きが変 わる。\n2 次不等式を解く上でのポイント\n2 次不等式を解く際のポイントは簡単な図をかいて確認する（グラフをイメージする）ことである。また，慣れないうちは，次のようなミスをしやすい。最初は図をかいて考えるの が確実である。以下，間違いやすい具体例をあげておこう。\n㽝1 \( x(x+1)>0 \) を解け。\n右の図からもわかるように, \( x(x+1)>0 \) の解は $x<-1,0<x$ であるが, 次のようなミスをしやすいので注意が必要。\n(1) \( x(x+1)>0 \) の両辺を $x$ で割って $x+1>0$\nよって, 解は $x>-1$\n【誤り!】 $x>0$ であると勝手に決めつけて, 両辺を $x$ で割っているのが最大のミス。\n(2) \( x(x+1)>0 \) から $-1<x<0$\n【誤り！】右の図のように, これは \( x(x+1)<0 \) の範囲。\n(3) \( x(x+1)>0 \) から $x<0,-1<x$\n【誤り！】右の図のように, 0 と -1 の位置関係が逆。\n(4) \( x(x+1)>0 \) から $x>0,-1$\n【誤り!】方程式 \( x(x+1)=0 \) の解 $x=0,-1$ と同じように考えている。

常に成り立つ不等式(絶対不等式) （1）すべての実数 $x$ に対して，2 次不等式 \( x^{2}+(k+3) x-k>0 \) が成り立つよう な定数 $k$ の値の範囲を求めよ。 （2）任意の実数 $x$ に対して, 不等式 $a x^{2}-2 \sqrt{3} x+a+2 \leqq 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

次の方程式を解け。\n(1) $|x-2|=3 x$\n(2) $|x-1|+|x-2|=x$

(3) $2 x^{2}-x-4 \geqq 0$

不等式 \( a(x+1)>x+a^{2} \) を解け。ただし， $a$ は定数とする。

0 ≤ x ≤ 8 のすべての x の値に対して, 不等式 x^2 - 2mx + m + 6 > 0 が成り立つような定数 m の値の範囲を求めよ。

すべての実数 $x$ に対して, 不等式 \( a\left(x^{2}+x-1\right)<x^{2}+x \) が成り立つような, 定数 $a$ の値の範囲を求めよ。