AIチューター | ヤロウゼ、宿題!
数と代数
基礎代数 - 不等式の解法
Q.01
次の不等式を解け。\n(1) \( 5(x-3)<3(2 x-5) \)\n(2) \( 0.2 x-7.1>-0.5(x+3) \)\n(3) \( \left\\{\begin{array}\\{l}\frac{3 x+4}{3}-\frac{x-2}{2}>x-\frac{1}{6} \\ -2(x-2)<x-5\end\\{array}\right\\} \)\n(4) \n(5) \n(6) \( \sqrt{(x-2)^{2}}>4 \)
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次の不等式を解きなさい。(6) \\sqrt{(x-2)^{2}}=|x-2| であるから、与えられた不等式 |x-2|>4 の x の範囲を求めなさい。
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次の不等式を解け。(1) 4 x + 5 > 3 x - 2 (2) 9 - x ≤ 2 x - 3 (3) \frac{4 - x}{2} > 7 + 2 x
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(3) [1] のとき \( \quad-3(x-3)-x<7 \)\nよって \nこれを解いて \nこれと の共通範囲はない。\n[2] のとき \( \quad-3(x-3)+x<7 \)\nよって \nこれを解いて \nこれと の共通範囲は \n[3] のとき\n\( 3(x-3)+x<7 \)\nよって \n\nこれを解いて \nこれと の共通範囲は \n不等式の解は(1) と(2)を合わせた範囲であるから\n\n
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花子さんのクラスでは, 数学の授業で次の不等式について考えた。\n|3 x-6|<a x+b \nただし, a, b は定数とする。\nまず, a=2, b=1 のときの不等式 (1) の解を求めよう。\n花子さんは, ノートに次のように解いた。
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不等式 の解は何ですか? のグラフが のグラフの上側にある場合、どのような の範囲になりますか? のときについて説明してください。
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数学 I
inf. α<β のとき (x−α)(x−β)<0 の解は α<x<β が成り立つことは既に学んでいるが,逆に
α<x<β のとき α<x から x−α>0
x<β から x−β<0
よって (x−α)(x−β)<0
すなわち
α<x<β を解とする 2 次不等式の 1 つは
(x−α)(x−β)<0
である。結局, a>0 として
a(x−α)(x−β)<0 ⟺ α<x<β
が成り立つ。同様に,以下の関係も成り立つ。
a(x−α)(x−β) ≤ 0 ⟺ α ≤ x ≤ β
a(x−α)(x−β)>0 ⟺ x<α, β<x
a(x−α)(x−β) ≥ 0 ⟺ x ≤ α, β ≤ x
正と負の積は負。
PR すべての実数 x について, 不等式 (a-1) x^{2}-2(a-1) x+3 ≥ 0 が成り立つように, 定数 a の值 91 の範囲を定めよ。
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PRACTICE 34^2 次の方程式・不等式を解け。
(1) |2 x-3|=5
(2) |x-3|>2
(3) 3|1-x| ≤ 2
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(4) のとき, の値を変化させて, \( f(x) \) に関する不等式を考える。不等式 \( f(x)<0 \) を満たす実数 が存在するのは, タ タ ときである。また, すべての実数 が不等式 \( f(x)>0 \) を満たすのは, ツ テチ, テ に当てはまる数を答えよ。また, タ, タ, ツについては, 当てはまるものを次の 0〜4 のうちから 1 つずつ選べ。 (0) = (1) > (2) < (3) ≥ (4) ≤
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次の 2 次不等式を解け。\n(1) (x-1)(x-2)>0\n(2) (2 x+3)(x-4) \leqq 0\n(3) (x+3)^{2} \geqq 0\n(4) (x-2)^{2} \leqq 0
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PRACTICE x についての 2 次不等式 a x^{2}+9 x+2 b > 0 の解が 4 < x < 5 となるように, 定数 a, b の値を定めよ。
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基本例題 902 次不等式の解から係数決定
(1) x についての 2 次不等式 x^{2}+a x+b ≥ 0 の解が x ≤ -1, 3 ≤ x となる ように,定数 a, b の値を定めよ。
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次の不等式を解け。(1) { 4 x + 1 < 3 x - 1 \\ 2 x - 1 ≥ 5 x + 6 } (2) { 2 x + 3 > x + 2 \\ 3 x > 4 x + 2 } (3) 2(x - 3) + 5 < 5 x - 6 ≤ \frac{3 x + 4}{3}
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次の(1), (2)における不等式(A)を、順に(1), (2), (3)の式に変形し、(3)を(A)の解として導いた。解(3)が正しいか正しくないかを答えよ。正しくない場合は、(A)→(1)、(1)→(2)、(2)→(3)のうちどの変形が正しくないかをいえ。ただし,a は実数の定数とする。 (1) (A): \\sqrt{2} x+3>2 x+1 、 (1): (\\sqrt{2}-2) x>-2 、 (2): x>\\frac{-2}{\\sqrt{2}-2} 、 (3) : x>\\sqrt{2}+2 (2) (A): a^{2}|x|-1<a^{2}-|x| 、 (1): (a^{2}+1)|x|<a^{2}+1 、 (2): |x|<1 、 (3): -1<x<1
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次の 2 次不等式が, すべての実数 x について常に成り立つかどうか調べよ。\n(1) 2 x^{2}-3 x+1<0\n(2) 2 x^{2}-4 x+2 \geqq 0\n(3) 2 x^{2}-5 x+4 \leqq 0\n(4) 2 x^{2}-6 x+4>0
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PRACTICE\nすべての実数 について, 不等式 \( (a-1) x^{2}-2(a-1) x+3 \geqq 0 \) が成り立つように, 定数 の値の範囲を定めよ。
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(4) のとき, の値を変化させて, \( f(x) \) に関する不等式を考える。不等式 \( f(x)<0 \) を満たす実数 が存在するのは, タ チ のとである。また,すべての実数 が不等式 \( f(x)>0 \) を満たすのは, テ ある。チ, テ に当てはまる数を答えよ。また, タ, ツ については, 当てはまるものを次の()~4)のうちから1つずつ選べ。\n(0) =\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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次の不等式を解け。\n(1) \\\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x^{2}>1+x \\\\ x \\leqq 15-6 x^{2}\\end{\overlineray}\\right.\\n(2) \2 \\leqq x^{2}-x \\leqq 4 x-4\\n(3) \\\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x^{2}+3 x+2 \\leqq 0 \\\\ x^{2}-x-2<0\\end{\overlineray}\\right.\
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花子さんのクラスでは,数学の授業で次の不等式について考えた。|3x-6|<ax+b ただし,a, b は定数とする。まず, a=2, b=1 のときの不等式 (1) の解を求めよう。
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例題 36 は, 「共通範囲」を求める場面と「合わせた範囲」を求める場面があって複雑です。例題 36 (1) をもとに, その違いについて見てみましょう。\n\n(1)と(2)の範囲を合わせる\n\nまず,絶対値記号をはずすために,実数全体を2つの場合(1)と(2)に分ける。\n(1)と (2)は、それぞれAを満たす範囲である。このAの範囲において絶対値記号をはず した不等式を解いて,解 \\mathrm{B} \ を得る。\nAとBは「Aの条件を満たす範囲内で考えた解がB」の関係であり,AとBがともに成立 (すなわち「AかつB」が成立)しなければならない。い共通範囲を求める。\n一方,1)と(2)は「実数全体を2つに分けた」のだから,1)と2)のいずれか一方が成立 (すなわち「(1) または(2)」が成立)すればよい。い合わせた範囲を求める。\n絶対値を含む方程式・不等式は,次の流れで解きましょう。\n場合分けをして解く \\longrightarrow \ その解のうち, 場合分けの条件を\n満たすものを求める \\longrightarrow \ 各場合の解を最後に合わせる
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次の方程式・不等式を解け。
(1) |2-x|=4
(2) |2 x+1|=7
(3) |x-2|<4
(4) |x-2|>4
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次の 2 数の大小関係を調べて, 不等式で表せ。
(1) a+3, b+3
(2) a-2, b-2
(3) 5a, 5b
(4) -4a, -4b
(5) 2a, a+b
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次の不等式を解け。\n(1) \n(2) \n(3) \( 3(1-2 x)>\frac{1-3 x}{2} \)\n(4)
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次の命題の真偽を調べよ。ただし, (2), (3) は集合を用いて調べよ。\n(2) 実数 について, ならば \n(3)実数 について, ならば
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次の連立不等式を解け。(1) \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}3 x+1>0 \\\\ 3 x^{2}+x-10 \\leqq 0\\end{\overlineray}\\right.\\n(2) \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x^{2}-4 x+1 \\geqq 0 \\\\ -x^{2}-x+12>0\\end{\overlineray}\\right.\
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次の不等式を解きなさい。\ \\frac{x+1}{2}<\\frac{1}{4} x+\\frac{1}{3} \ を解く。
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次の不等式を解け。(3) 3(x+4)/3 - (x-2)/2 > x - 1/6, -2(x-2) < x-5
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基本例題 43 対偶を利用した命題の証明\n文字はすべて実数とする。対偶を考えて, 次の命題を証明せよ。\n(1) ならば「 または \( y \leqq 1 」\n(2) ならば「 または \( |a-b|>3 」
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次の不等式を解け。
(1) \( \left\{\begin{array}{l}2 x+3<3 x+5 \\ 2(x+3) \leqq-x+9\end{array}\right. \)
(2)
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命題の真偊を判定。 は実数, は整数とする。集合を用いて,次の命題の真偽を調べよ。\n(1) \n(2) は 18 の正の約数 は 24 の正の約数
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連立不等式 \( \left\{\begin{array}{l}x>3 a+1 \\ 2 x-1>6(x-2)\end{array}\right. \) の解について, 次の条件を満たす定数 の 値の範囲を求めよ。\n(1) 解が存在しない。\n(2) 解に 2 が含まれる。\n(3) 解に含まれる整数が 3 つだけとなる。
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基本 32 不等式の性質の利用 (1)\n標準 33 不等式の性質の利用 (2)\n基本 34 1 次不等式の解法\n基本 35 連立不等式の解法\n標準 36 不等式の整数解\n標準 37 不等式の文章題\n基本 38 絶対値を含む方程式,不等式…基本\n標準 39 場合分けによって絶対値を含む方程式を解く
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次の方程式,不等式を解け。\n(1) \( |(\sqrt{14}-2) x+2|=4 \)\n(2) \n(3)
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次の不等式を解け。\n(1) \n(2) \( 3(x-2) \geqq 2(2 x+1) \)\n(3) \n(4)
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次の不等式を解け。\n(1) \n(2) \( 3(x-3) \geqq 5(x+1) \)\n(3) \n(4) \( \frac{1}{2}(1-3 x) \geqq \frac{2}{3}(x+7)-5 \)\n(5) \( 0.2 x-7.1 \leqq-0.5(x+3) \)
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連立不等式 \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}3 x-7 \\leqq 5 x-3 \\\\ 2 x-6 < 3 a-x\\end{\overlineray}\\right. \ の解について, 次の条件を満たす定数 a \ の値の範囲を求めよ。\n(1)解をもつ。\n(2)解に整数がちょうど 3 個含まれる。
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2次不等式の解き方をフローチャート形式で整理しましょう。基本例題93〜96で、いろいろなタイプの2次不等式を解きました。ここで、それらを整理してみます。\n\n を考えます。まず、因数分解できるかどうかを調べます。因数分解できる場合、 \( a(x-\alpha)(x-\beta) \) または \( a(x-\alpha)^{2} \) の形になります。\n\n次に、グラフ を描きます。ただし、 とします。\n\n以下の表にまとめました:\n\n\(\begin{array}{c}\n\text{不等式の種類} & \text{解の範囲} \\\hline\(\ a x^{2}+b x+c>0 \) & \\\hline & \\\hline & \\\hline & \\\hline\end{array}\)\n\nこの表を暗記するのではなく、解の理由を理解することが重要です。
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連立不等式 \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x<6 \\\\ 2 x+3 \\geqq x+a\\end{\overlineray}\\right. \ の解について, 次の条件を満たす定数 a \ の\n値の範囲を求めよ。\n(1)解をもつ。\n(2)解に整数がちょうど 2 個含まれる。
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(2)連立不等式 \( \left\\{\begin{array}{l}2(x+1) \\geqq 5x-2 \\ -5x<-3x+4\end{array}\right\\} \) を満たす整数 の値をすべて求めよ。
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次の 2 次不等式を解け。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \( 2(x+2)(x-2) \leqq(x+1)^{2} \)\n(5) \n
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不等式のすべての項を左辺に移項して整理したとき, , は定数,ただし などのように,左辺が の 2 次式になる不等式を の 2 次不等式という。そして,2 次不等式を成り立たせる の値を, その不等式の解 といい, 解のすべてを求めることを 2 次不等式を解 くという。\nこの節では, 2 次関数のグラフを利用して 2 次不等式を解く方法を学び ましょう。前節で学んだ, 2 次関数のグラフと 軸の位置関係を積極的 に活用します。\n\n■ 2 次不等式の解と 2 次関数のグラフ\n注意 以下では, の係数 の符号を正として話を進めても不都合はな い。なぜなら, の符号が負のときは,両辺に -1 を掛けて の係数を正にして解けばよいからである。\n2 次不等式 \( a x^{2}+b x+c>0(a>0) \) の解を求めることは, とおくとき, となる の値の範囲,すなわ ち, のグラフが 軸より上側にあるような の値 の範囲を求めることである。\n\n具体的な例として, 2 次不等式 \n(1) について 説明しよう。
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発 例 題《標準例題 39 44場合分けによって絶対値を含む不等式を解く不等式 2|x+4|<x+10 を解け。
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次の不等式を解け。
(1) \( \left\{\begin{array}{l}4 x-1<3 x+5 \\ 5-3 x<1-x\end{array}\right. \)
(2) \( \left\{\begin{array}{l}3 x-5<1 \\ \frac{3 x}{2}-\frac{x-4}{3} \leqq \frac{1}{6}\end{array}\right. \)
(3)
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次の 2 次不等式を解け。\n(1) (x+2)(x+3)<0\n(2) (2x+1)(3x-5)>0\n(3) x^{2}-2x<0\n(4) x^{2}+6x+8 \geqq 0\n(5) x^{2}>9\n(6) x^{2}+x \leqq 6
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不等式 \n(1)について考える。\n(1) が不等式 (1)の解であるかどうかを調べてみよう。\n(1)の左辺に を代入すると, その値は である。 したがって, は不等式 (1)の イ。\nア の解答群\n(0) \n(1) \n(2) \n(3) \n\nイ の解答群\n(0) 解である\n(1) 解でない
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1次不等式についての基本的な性質を説明せよ。\n のとき:\n(1) \n(2) \n(3) ならば , \n(4) ならば ,
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次の2次不等式を解け。(1) x^2 + 2x + 1 > 0 (2) x^2 + 4x + 4 ≥ 0 (3) 1/4 x^2 - x + 1 < 0 (4) -9x^2 + 12x - 4 ≥ 0
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次の 2 次不等式が,常に成り立つような定数 の値の範囲を求めよ。\n(1) \( x^{2}+2(m+1)x+2(m^{2}-1)>0 \)\n(2)
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不等式 (1) の解は, (2) のグラフの となる の値の範囲です。(2)のグラフを利用して,(1)の解を求めてみましょう。\n(i) を解くと ウ, を解くと ウ よって, のとき, (2) は \n のとき, (2) は オです。
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連立不等式 \( \left\{\begin{array}{l}2 x-1 < 3(x+1) \\ x-4 ≤ -2 x+3\end{array}\right. \) を満たす整数 x の値をすべて求めよ。
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次の2次不等式を解け。
(1) (x+2)(x+3)<0
(2) (2x+1)(3x-5)>0
(3) x^2-2x<0
(4) x^2+6x+8≧0
(5) x^2>9
(6) x^2+x≦6
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次の 2 次不等式を解け。\n(1) x^{2}-4 x+5<0\n(2) 2 x^{2}-8 x+13>0\n(3) 3 x^{2}-6 x+6 \leqq 0\n(4) x^{2}+3 \geqq 0
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次の不等式を解け。
(1) \( \left\{\begin{array}{l}x^{2}-2 x-8<0 \\ x^{2}-x-2>0\end{array}\right. \)
(2) \( \left\{\begin{array}{l}x^{2}+2 x+1>0 \\ x^{2}-x-6<0\end{array}\right. \)
(3) \( \left\{\begin{array}{l}2 x^{2}+5 x \leqq 3 \\ 3\left(x^{2}-1\right)<1-11 x\end{array}\right. \)
(4)
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次の2次不等式を解け。
(1) (x+1)(x-2)>0
(2) (x+1)(x-2)<0
(3) x^2-3x-10≦0
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次の条件を満たすように, 定数 の値を定めよ。\n(1)2 次不等式 の解が である。\n(2) 2 次不等式 の解が である。
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次の不等式を解け。
(1) \( \left\{\begin{array}{l}4 x-1<3 x+5 \\ 5-3 x<1-x\end{array}\right. \)
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次の不等式を解け。
(1) \( \left\{\begin{array}{l}x^{2}+3 x+2>0 \\ x^{2}+2 x-3<0\end{array}\right. \)
(2)
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2次不等式の解法のまとめ
基本例題 93〜96で, いろいろなタイプの2次不等式を解いてきました。ここで, 2次不等式の解き方をフローチャート(流れ図)の形にまとめておきましょう。
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連立不等式 \\( \\left\\{\\begin{array}{l}x>3a+1 \\ 2x-1>6(x-2)\\end{array}\\right. \\) の解について, 次の条件を満たす定数 \ a \ の値の範囲を求めよ。\n(1)解が存在しない。\n(2)解に 2 が含まれる。\n(3)解に含まれる整数が 3 つだけとなる。
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次の不等式を解け。
(1) \( \left\{\begin{array}{l}x^{2}-2 x-8<0 \\ x^{2}-x-2>0\end{array}\right. \)
(2) \( \left\{\begin{array}{l}x^{2}+2 x+1>0 \\ x^{2}-x-6<0\end{array}\right. \)
(3) \( \left\{\begin{array}{l}2 x^{2}+5 x \leqq 3 \\ 3\left(x^{2}-1\right)<1-11 x\end{array}\right. \)
(4)
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連立不等式 \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}3 x-7 \\leqq 5 x-3 \\\\ 2 x-6<3 a-x\\end{\overlineray}\\right. \ の解について, 次の条件を満たす定数 a \ の値の範囲を求めよ。 (1)解をもつ。 (2)解に整数がちょうど 3 個含まれる。
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連立不等式 \( \left\{\begin{array}{l}2(x+1) \geqq 5 x-2 \\ -5 x<-3 x+4\end{array}\right. \) を満たす整数 の値をすべて求めよ。
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次の不等式を解け。
(1) 4x + 5 > 2x - 3
(2) 3(x - 2) ≥ 2(2x + 1)
(3) 1 / 2x > 4 / 5x - 3
(4) 0.1 x + 0.06 < 0.02 x + 0.1
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2 次不等式は, グラフを用いて解きましょう。\n\( y=(x+2)(x+1) \) のグラフで となる の値の範囲\nを求めて
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TRAINING : 35 (2)
次の不等式を解け。
(1) \( \left\{\begin{array}{l}4 x-1<3 x+5 \\ 5-3 x<1-x\end{array}\right. \)
(2) \( \left\{\begin{array}{l}3 x-5<1 \\ \frac{3 x}{2}-\frac{x-4}{3} \leqq \frac{1}{6}\end{array}\right. \)
(3)
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TRAINING 32\n のとき, 次の に不等号 またはくを入れ, 正しい不等式にせよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \n(6)
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9. (1) x>1 のとき, 3x+1>x+3 であることを証明せよ。 (2) 不等式 a^2-2ab+3b^2 ≥ 0 を証明せよ。また, 等号が成り立つのはどのようなときか。
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次の不等式を解け。[(3) 神戸薬大 (4) 福井工大] (1) \( \\log _{\\frac{1}{2}}(1-x)>2 \) (2) \( 2 \\log _{0.5}(x-2)>\\log _{0.5}(x+4) \) (3) \( \\log _{2}(x-2)<1+\\log \\frac{1}{2}(x-4) \) (4) \( 2\\left(\\log _{2} x\\right)^{2}+3 \\log _{2} 4 x<8 \)
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次の不等式を解け。\n(1) \n(2) \( 9^{x}>\left(\frac{1}{3}\right)^{1-x} \)\n(3) \( \left(\frac{1}{4}\right)^{x}-9\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}+32 \leqq 0 \)
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次の不等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) のとき \n(2) のとき \( x^{3}+1>6 x(x-2) \)
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次の不等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) のとき \n(2) のとき\n\( x^{3}+1>6 x(x-2) \)
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次の不等式を証明せよ。
(2) \( \sqrt{2\left(a^{2}+b^{2}\right)} \geqq|a|+|b| \)
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次の不等式を解け。(1) \( \\log _{2}(x+3)<3 \) (2) \( 2 \\log _{\\frac{1}{3}} x<\\log _{\\frac{1}{3}}(2 x+3) \) (3) \( \\left(\\log _{3} x\\right)^{2}+\\log _{3} x-6 \\geqq 0 \)
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次の不等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) のとき \( (a+b)(x+y) \leqq 2(a x+b y) \)\n(2) のとき \( (a+b+c)(x+y+z) \leqq 3(a x+b y+c z) \)
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次の不等式を解け。
(1) \( \left(\frac{1}{3}\right)^{x}<9 \)
(2)
(3)
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3 種類の材料 A, B, C から 2 種類の製品 P, Q を作っている工場がある。製品 P を 1 kg 作るには、材料 A, B, C をそれぞれ 1 kg, 3 kg, 5 kg 必要とし, 製品 Q を 1 kg 作るには, 材料 A, B, C をそれぞれ 5 kg, 4 kg, 2 kg 必要とする。また,1日に仕入れることができる材料 A,B,C の量の上限はそれぞれ 260 kg , 230 kg, 290 kg である。この工場で1日に製品Pを x kg ,製品 Q を y kg 作るとするとき,次の問いに答えよ。ただし, x ≥ 0, y ≥ 0 とする。(1) x, y が満たすべき条件について考える。材料Aの使用量の条件から材料Bの使用量の条件から y ≤ (アイ)/(ウ) x+ エオ.材料Cの使用量の条件から y ≤ (スセ)/(ソ) x+ タチツ である。アイ タタツにに当てはまる数をそれぞれ答えよ。
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x, y が 4 つの不等式 x >= 0, y >= 0, x-2 y+8 >= 0,3 x+y-18 <= 0 を満たすとき, x-4 y のとる値の最大値および最小値を求めよ。
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次の不等式の表す領域を図示せよ。\n(2)\n\( \left\{\begin{array}{l}y \leqq-x^{2}+4 x+1 \\ y \leqq x+1\end{array}\right. \)
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太郎さんの解答が間違っている理由として最も適切なものを次の( )〜(4)のうちから1つ選べ。
(0) a>0 のとき、不等式(*)は成り立たないから。
(1) 不等式(*)の等号が成り立つのは, a>0 かつ 2a+1=3/(a+1) のときではないから。
(2) a>0 かつ 2a+1=3/(a+1) を満たす a の値が a=1/2 ではないから。
(3) a=1/2 のときの 2a+1+3/(a+1) の値が 4 ではないから。
(4) 2a+1+3/(a+1) が最小になるのは, 不等式(*)の等号が成り立つときではないから。
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PR のとき, 次の不等式が成り立つことを証明せよ。また,等号が成り立つのはどのようなときか。\n(1) \ \\sqrt{a}+2 \\geqq \\sqrt{a+4} \\n(2) \\( \\sqrt{2(a+b)} \\geqq \\sqrt{a}+\\sqrt{b} \\)
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次の不等式を解け。
(1)
(2) \(9^{x}>\left(\frac{1}{3}\right)^{1-x}\)
(3) \(\left(\frac{1}{4}\right)^{x}-9\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}+32 \leq 0\)
(4)
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EX 数\n\nEX 連立不等式 \( \left\{\begin{array}{l}x>3 a+1 \\ 2 x-1>6(x-2)\end{array}\right. \) の解について, 次の条件を满たす定数 の値の範囲を求めよ。\n(1) 解が存在しない。\n(2)解に 2 が含まれる。\n(3)解に含まれる整数が 3 つだけとなる。\n[神戸学院大]
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条件の否定
条件 を満たすもの全体の集合をそれぞれ とする。
(1) かつ \( q(P \cap Q) \cdots \cdots p, q \) がともに成り立つ。
または \( q(P \cup Q) \cdots \cdots, p, q \) の少なくとも一方が成り立つ。
(2) 否定 条件 の否定( でない)を で表す。
かつ の否定 \) \Leftrightarrow または
または の否定 \) \Leftrightarrow かつ
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次の方程式・不等式を解け。\n(1) ||\ x-1|-2|-3=0 \\n(2) \ |x-5| \leqq \frac{2}{3}|x|+1 \
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まず, 2 次の係数を正に。 なお,不等号の向きが変 わる。\n2 次不等式を解く上でのポイント\n2 次不等式を解く際のポイントは簡単な図をかいて確認する(グラフをイメージする)ことである。また,慣れないうちは,次のようなミスをしやすい。最初は図をかいて考えるの が確実である。以下,間違いやすい具体例をあげておこう。\n㽝1 \( x(x+1)>0 \) を解け。\n右の図からもわかるように, \( x(x+1)>0 \) の解は であるが, 次のようなミスをしやすいので注意が必要。\n(1) \( x(x+1)>0 \) の両辺を で割って \nよって, 解は \n【誤り!】 であると勝手に決めつけて, 両辺を で割っているのが最大のミス。\n(2) \( x(x+1)>0 \) から \n【誤り!】右の図のように, これは \( x(x+1)<0 \) の範囲。\n(3) \( x(x+1)>0 \) から \n【誤り!】右の図のように, 0 と -1 の位置関係が逆。\n(4) \( x(x+1)>0 \) から \n【誤り!】方程式 \( x(x+1)=0 \) の解 と同じように考えている。
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常に成り立つ不等式(絶対不等式) (1)すべての実数 に対して,2 次不等式 \( x^{2}+(k+3) x-k>0 \) が成り立つよう な定数 の値の範囲を求めよ。 (2)任意の実数 に対して, 不等式 が成り立つような定数 の値の範囲を求めよ。
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0 ≤ x ≤ 8 のすべての x の値に対して, 不等式 x^2 - 2mx + m + 6 > 0 が成り立つような定数 m の値の範囲を求めよ。
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すべての実数 に対して, 不等式 \( a\left(x^{2}+x-1\right)<x^{2}+x \) が成り立つような, 定数 の値の範囲を求めよ。
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次の不等式を解け。\n(1) \( \left\{\begin{array}{l}6(x+1) > 2x - 5 \\ 25 - \frac{6 - x}{2} \leqq 3x\end{array}\right. \)\n(2) \( \frac{5(x-1)}{2} \leqq 2(2x + 1) < \frac{7(x-1)}{4} \)
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[1] \ x \\leqq-1,7 \\leqq x \ のとき,不等式は\n\\nx^{2}-6 x-7 \\geqq 2 x+2\n\\nよって \ \\quad x^{2}-8 x-9 \\geqq 0 \ ゆえに \\( (x+1)(x-9) \\geqq 0 \\)\nしたがって \ \\quad x \\leqq-1,9 \\leqq x \
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2次不等式の解 (1)
a>0 かつ D>0 のとき, 2次方程式 ax^2 + bx + c = 0 の異なる 2つの実数解を α, β(α<β) とすると
a x^2 + b x + c > 0 の解は x < α, β < x
a x^2 + b x + c < 0 の解は α < x < β
a x^2 + b x + c ≥ 0 の解は x ≤ α, β ≤ x
a x^2 + b x + c ≤ 0 の解は α ≤ x ≤ β
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2 次不等式 \( a(x-3 a)\left(x-a^{2}\right)<0 \) を解け。ただし, は 0 でない定数とする。[広島工大]
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2次不等式の解 (2) α<β のとき =(イコール)がつくと解にも=がつく
(x-α)(x-β) > 0 の解は x < α, β < x
(x-α)(x-β) ≥ 0 の解は x ≤ α, β ≤ x
(x-α)(x-β) < 0 の解は α < x < β
(x-α)(x-β) ≤ 0 の解は α ≤ x ≤ β
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次の方程式・不等式を解け。\n(1) \ |x-1|=2 \\n(2) \ |2-3 x|=4 \\n(3) \ |x-2|<3 \\n(4) \ |x-2|>3 \\n
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1 次不等式 不等式の性質\ 1 a<b \ ならば \ a+c<b+c, \\quad a-c<b-c \\ 2 a<b, c>0 \ ならば \ a c<b c, \\quad \\frac{a}{c}<\\frac{b}{c} \\ a<b, c<0 \ ならば \ a c>b c, \\frac{a}{c}>\\frac{b}{c} \\\- \ a<b, \\quad b<c \ ならば \ a<c \
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連立不等式 (1) \( \left\{\begin{array}{l}2(1-x)>-6-x \\ 2 x-3>-9\end{array}\right. \) (2) \( \left\{\begin{array}{l}3(x-4) \leqq x-3 \\ 6 x-2(x+1)<10\end{array}\right. \) を解け。
(3) 不等式 \( x+9 \leqq 3-5 x \leqq 2(x-2) \) を解け。
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絶対値を含む方程式や不等式では、絶対値記号内の式が0となる值を分かれ目として、場合に分けて絶対値をはずし方程式や不等式を解く。\n\n例題:以下の不等式を解け。\n\begin{aligned}\n&|x-1| + |x-3| \leq 5\n\end{aligned}
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次の 1 次不等式を解け。\n(1) \n(2) \n(3) \( 3(x-1) \geqq 2(5 x+4) \)\n(4)
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連立不等式 x > 3a + 1 2x - 1 > 6(x - 2) の解について, 次の条件を満たす定数 a の値の範囲 を求めよ。
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次の 2 次不等式を解け。\n(1) \n(2) \n(3) \( 3\left(x^{2}+4 x\right)>-11 \)\n(4) \n(5) \( 5 x>3\left(4 x^{2}-1\right) \)\n(6)
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次の不等式が成り立つか確認しなさい: 1 < 2 において,すべての両辺に負の数 -1 を掛けた場合。結果の不等式がどうなるかを説明しなさい。
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次の方程式・不等式を解け。
(1) ||(x-4) - 3| = 2
(2) |x-7| + |x-8| < 3
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練習 次の方程式・不等式を解け。\n(1) \ |x+5|=3 \\n(2) \ |1-3 x|=5 \\n(3) \ |x+2|<5 \\n(4) \ |2 x-1| \\geqq 3 \\n
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数学 I
-219
総合 8
a, b, c, d を定数とする。また, w は x, y, z から w=a x+b y+c z+d によって定まるものとする。以下の命題を考える。
命題 1: x ≥ 0 かつ y ≥ 0 かつ z ≥ 0 → w ≥ 0
命題 2 : ⌈ x ≥ 0 かつ z ≥ 0 」 または ⌈ y ≥ 0 かつ z ≥ 0 」 → w ≥ 0
命題 3: z ≥ 0 → w ≥ 0
(1) b=0 かつ c=0 のとき, 命題 1 が真であれば, a ≥ 0 かつ d ≥ 0 であることを示せ。
(2) 命題 1 が真であれば, a, b, c, d はすべて0以上であることを示せ。
(3) 命題 2 が真であれば, 命題 3 も真であることを示せ。
[お茶の水大]
→ 本冊 数学 I 例題 61
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次の不等式を解け。\n(1) \ \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}6 x^{2}-7 x-3>0 \\\\ 15 x^{2}-2 x-8 \\leqq 0\\end{\overlineray}\\right. \\n(2) \ \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x^{2}-6 x+5 \\leqq 0 \\\\ -3 x^{2}+11 x-6 \\geqq 0\\end{\overlineray}\\right. \
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(1) x^{2}-a x \leqq 5(a-x)
(2) a x^{2}>x
(3) x^{2}-a(a+1) x+a^{3}<0
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xについての不等式 \( x^{2}-(a+1) x+a \leqq 0,3 x^{2}+2 x-1 \geqq 0 \) を同時に満たす整数 がちょうど 3 つ存在す るような定数 の値の範囲を求めよ。\n[類 摂南大]\n\( x^{2}-(a+1) x+a \leqq 0 \) を解くと, \( (x-a)(x-1) \) から\n のとき \n のとき \n のとき \n を解くと, \( (x+1)(3 x-1) \geqq 0 \) から\nx \leqq-1, \quad \n(1), (2) を同時に満たす整数 がちょうど 3 つ存在するのは, または の場合である。\n[1] のとき\n3 つの整数 は\n のとき\n\n[2] のとき\n3 つの整数 は よって \n \n[1], [2] から, 求める の値の範囲は\n
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次の事柄が成り立つように,定数 の値を定めよ。\n(1) 2 次不等式 の解が である。\n(2) 2 次不等式 の解が である。
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EX 不等式 が任意の実数 に対して成り立つような定数 の範囲を求めよ。 [滋賀県大]\n与えられた不等式を について整理すると\n\\[\ny^{2} - (z + x) y + a(z^{2} + x^{2}) - z x \\geqq 0\n\\]
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練習 次の命題の否定を述べよ。また,もとの命題とその否定の真偽を調べよ。\n(1)少なくとも 1 つの自然数 にいて \n(2) すべての実数 について \n(3) ある自然数 について
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練習 次の命題の否定を述べよ。\n(1) が実数のとき, ならば である。\n(2) が実数のとき, ならば かつ である。
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[1] \ x \\leqq-1, \\frac{5}{2} \\leqq x \ のとき, 不等式は \ 2 x^{2}-3 x-5<x+1 \\n 整理して \ \\quad x^{2}-2 x-3<0 \ よって \\( \\quad(x+1)(x-3)<0 \\)\n したがって \ \\quad-1<x<3 \\n \ x \\leqq-1, \\quad \\frac{5}{2} \\leqq x \ との共通範囲は \ \\quad \\frac{5}{2} \\leqq x<3 \
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次の 2 次不等式を解け。\n(1) \( x(x-3)<0 \)\n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \n
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例1 |x-4|<3x を示す。
|x-4|<3 x ⇔ -3x < x - 4 < 3x を示す。
1. 両辺に |x-4| を使った max 関数を適用することで、以下のように解く。
問題: |x-4|<3x かつ 3x ≤ 0 のとき、x の集合は空集合であることを証明しなさい。
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次の不等式を解け。
(1) \( \left\{\begin{array}{l}2 x^{2}-5 x-3<0 \\ 3 x^{2}-4 x-4 \leqq 0\end{array}\right. \)
(2)
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次の不等式を解け。\n(1) \n(2) \( x|x|<(3 x+2)|3 x+2| \)\n[(1) 類 名城大, (2) 類 岡山理科大]
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次の不等式を解け。
(1) 6(x+1) > 2x - 5 と 25 - (6 - x)/2 ≤ 3x
(2) 5(x-1)/2 ≤ 2(2x+1) < 7(x-1)/4 の連立不等式
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xは実数とする。集合を利用して, 次の命題の真偽を調べよ。
(1) |x|<2 ならば -3<x<3
(2) |x-1|>1 ならば 2|x-2|≥1
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20 a, b, c, p を実数とする。不等式 a x^2+b x+c>0, b x^2+c x+a>0, c x^2+a x+b>0 をすべて満たす実数 x の集合と, x>p を満たす実数 x の集合が一致しているとする。
(1) a, b, c はすべて0以上であることを示せ。
(2) a, b, c のうち少なくとも 1 個は 0 であることを示せ。
(3) p=0 であることを示せ。
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練習 次の2次不等式を解け。\n(1) \n(2) \n(3) \( 3\left(x^{2}+4 x\right)>-11 \)\n(4) \n(5) \( 5 x>3\left(4 x^{2}-1\right) \)\n(6)
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次の 1 次不等式を解け。
(1) 2(x-3) ≤ -x + 8
(2) 1/3 x > 3/5 x - 2
(3) (5x + 1)/3 - (3 + 2x)/4 ≥ (1/6)(x - 5)
(4) 0.3x - 7.2 > 0.5(x - 2)
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練習問題 x についての 2 つの 2 次不等式 x^{2}-2 x-8<0, x^{2}+(a-3) x-3 a ≥ 0 を同時に満たす整数がただ 1 つ存在するように, 定数 a の値の範囲を定めよ。
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練習 次の 1 次不等式を解け。\n(2) 34 (1) \( 5 x-7>3(x+1) \)\n[図]\n(3) \n(2) \( 4(3-2 x) \leqq 5(x+2) \)\n(4) \n(5) \( x+\frac{1}{3}\left\{x-\frac{1}{4}(x+1)\right\}>2 x-\frac{1}{2} \)
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次の不等式を解け。\n342\n(1) \n(2) \n(1) [1] のとき, 不等式は \( \\quad 3(x+1)<x+5 \) これを解いて \n\n との共通範囲は \n[2] のとき,不等式は \( \\quad-3(x+1)<x+5 \)\nこれを解いて \n\n との共通範囲は \n\n求める解は, (1) と (2) を合わせた範囲で\n\n\n\n\n(2) [1] のとき, 不等式は \( \\quad-(x+2)+(x-1)>x \) よって \n\n との共通範囲は \n[2] のとき, 不等式は \( \\quad(x+2)+(x-1)>x \) よって \n\n との共通範囲は \n[3] のとき, 不等式は \( \\quad(x+2)-(x-1)>x \) よって \n\n との共通範囲は \n\n求める解は, (1)〜(3) を合わせた範囲で\n\n\n\n[1]\n[2]\n[1]\n[2]\n[3]
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次の方程式・不等式を解け。
(1) |x-3| + |2x-3| = 9
(2) ||x-2|-4| = 3x
(3) |2x-3| ≤ |3x+2|
(4) 2|x+2| + |x-4| < 15
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すべての実数 について, 不等式 \( (a-1) x^{2}-2(a-1) x+3 \geqq 0 \) が成り立つように, 定数 の値の範囲を定めよ。
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次の不等式を解け。
(1) |3x-4| < 2x
(2) 3|x+1| ≥ x+5
(3) 3|x-3| + |x| < 7
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次の不等式を解け。\n(1) \( 5(x-3)<3(2 x-5) \)\n(2) \( 0.2 x-7.1>-0.5(x+3) \)\n(3) \( \left\{\begin{array}{l}\frac{3 x+4}{3}-\frac{x-2}{2}>x-\frac{1}{6} \\ -2(x-2)<x-5\end{array}\right. \)\n(4) \n(5) \n(6) \( \sqrt{(x-2)^{2}}>4 \)
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次の 2 次不等式を解け。\n(1) \( (x-1)(x-2)>0 \)\n(2) \( (2 x+3)(x-4) \leqq 0 \)\n(3) \( (x+3)^{2} \geqq 0 \)\n(4) \( (x-2)^{2} \leqq 0 \)
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次の不等式を解け。\n(1) \( 5(x-3)<3(2 x-5) \)\n(2) \( 0.2 x-7.1>-0.5(x+3) \)\n(3) \( \left\{\begin{array}{l}\frac{3 x+4}{3}-\frac{x-2}{2}>x-\frac{1}{6} \\ -2(x-2)<x-5\end{array}\right. \)\n(4) \n(5) \n(6) \( \sqrt{(x-2)^{2}}>4 \)
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x についての 2 次不等式 a x^{2}+9 x+2 b>0 の解が 4<x<5 となるように, 定数 a, b の値を求めよ。
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兄が弟に 3 本あげると弟の方が多くなるから\n\[ x-\frac{1}{3} x-3<(52-x)+\frac{1}{3} x+3 \]\n整理して よって \n(1) と (2)の共通範囲を求めて\n\[ \begin{array}{l}39<x<43.5 \\x=42 \end{array} \]\n は 3 で割り切れる整数であるから したがって, 兄が初めに持っていた鉛筆は 42 本
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次の連立不等式を解け。
(1) \( \left\{\begin{array}{l}3 x+1>0 \\ 3 x^{2}+x-10 \leqq 0\end{array}\right. \)
(2) \( \left\{\begin{array}{l}x^{2}-4 x+1 \geqq 0 \\ -x^{2}-x+12>0\end{array}\right. \)
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(4) b=-6, c=3 のとき, a の値を変化させて, f(x) に関する不等式を考える。不等式 f(x)<0 を満たす実数 x が存在するのは, a □ タ チ また, すべての実数 x が不等式 f(x)>0 を満たすのは, a ツ口品のきである。 のを次の(0~)のうちから1つずつ選べ。 (0) = (1) > (2) < (3) ≥ (4) ≤)
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a, b を定数とし, (1), (2) とする。(1), (2) を同時に満たす の値がなく, (1) または (2) を満たす の値の範囲が であるとき, と の値を求めよ。
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次の についての不等式を解け。ただし, は定数とする。\nx^{2}-\left(a^{2}+a\right) x+a^{3} \leqq 0
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絶対値記号を含む方程式や不等式の問題を解く際に、「共通範囲」を求める場合と、「合わせた範囲」を求める場合の違いを説明してください。例題 36 (1) を基にして説明しなさい。
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基本例題 902 次不等式の解から係数決定\n(1) についての 2 次不等式 の解が となる ように,定数 の値を定めよ。\n(2) についての 2 次不等式 の解が となるよ うに, 定数 の値を定めよ。
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命題の真偽を判定せよ。
例:"x > 2" が真であると、"x は偶数である" が偽なら、"x > 2 かつ x は偶数である" は偽である。
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次の連立不等式を解け。
(1) \( \left\{\begin{array}{l}3 x+1>0 \\ 3 x^{2}+x-10 \leqq 0\end{array}\right. \)
(2) \( \left\{\begin{array}{l}x^{2}-4 x+1 \geqq 0 \\ -x^{2}-x+12>0\end{array}\right. \)
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次の不等式を解け。
(1) 4x + 5 > 3x - 2
(2) 9 - x <= 2x - 3
(3) (4-x)/2 > 7 + 2x
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-\frac{2 x+1}{6}<\frac{x+1}{2} の両辺に6を掛けて -(2 x+1)<3(x+1) よって -5 x<4 ゆえに x>-rac{4}{5} \frac{x+1}{2}<\frac{1}{4} x+\frac{1}{3} の両辺に 12 を掛けて 6(x+1)<3 x+4 よって 3 x<-2 ゆえに x<-rac{2}{3} (1)と(2)の共通範囲を求めて -\frac{4}{5}<x<-rac{2}{3}
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[(2) 千葉工大]\\r\\n次の不等式を解け。\\r\\n1. \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x^{2}>1+x \\\\ x \\leqq 15-6 x^{2}\\end{\overlineray}\\right. \\\r\\n2. 2 \\leqq x^{2}-x \\leqq 4 x-4 \\\r\\n3. \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x^{2}+3 x+2 \\leqq 0 \\\\ x^{2}-x-2<0\\end{\overlineray}\\right. \
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不等式 を満たし、同時に、不等式 \( x^{2}+(a-3)x-2a+2<0 \) を満たす の整数値がただ1つであるように定数の条件を定めよ。
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CHECW\n8. CHECK\n10a < b のとき, 次の 2 数の大小関係を調べて, 不等式で表せ。\n(1) a+3, b+3\n(2) a-2, b-2\n(3) 5a, 5b\n(4) -4a, -4b\n(5) 2a, a+b
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次の不等式を解け。
(1) 3 x<12-x
(2) 2 x-7 <= 4 x-1
(3) 3(1-2 x)>rac{1-3 x}{2}
(4) x+0.6 >= 0.2 x-1
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EX 4 次不等式 を解け。
とおくと
また,不等式は
よって
\[ \begin{array}{l} 2 t^{2}-11 t+5>0 \ (t-5)(2 t-1)>0 \end{array} \]
これを解くと
(1)から
すなわち 次不等式を解く。
『 に戻す。
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a^{2}|x|-1<a^{2}-|x| の -1 を右辺に, -|x| を左辺に移項すると (a^{2}+1)|x|<a^{2}+1 より |x|<1 したがって -1<x<1
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(2) すべての正の数 に対して, 不等式 \( x(\log x-\log y) \geqq x-y \) が成り立つこと を証明せよ。また,等号が成り立つのは の場合に限ることを示せ。
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例題 1 において, 不等式から
(5x-6-(x+1)(x-2))/(x-2) ≤ 0 つまり (x^2 - 6x + 4)/(x-2) ≥ 0
両辺に (x-2)^2 (>0) を掛ける。よって (x-2)(x^2-6x+4) ≥ 0 かつ x-2 ≠ 0
(x-2){x-(3+√5)}{x-(3-√5)} ≥ 0 かつ x-2 ≠ 0
ここで, α = 3-√5, β = 3+√5 とおくと, α < 2 < β です。したがって, P = (x-2)(x-α)(x-β) の解の符号の変化は
α ≤ x < 2, x ≥ β すなわち 3-√5 ≤ x < 2, 3+√5 ≤ x
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次の不等式が( )の任意の実数 x に対して成り立つ a の値の範囲を求めよ。
88 (1) a x ≥ log x (x > 0)
(2) a^x ≥ x^a (x ≥ a > 0)
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(2) 不等式 √(a x + b) > x-2(a ≠ 0) を満たす x の範囲が, 3 < x < 6 になるとき, |a+b| の値を求めよ。\n[自治医大]
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複素数と不等式\n\ \\alpha \ は複素数で \ |\\alpha|<1 \ とする。複素数 \ z \ が不等式 \ \\left|\\frac{\\alpha+z}{1+\\bar{\\alpha} z}\\right|<1 \ を満たすとき, \ |z|<1 \ が成り立つことを証明せよ。
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綀習次の不等式を解け。 184 (1) \( \log _{2}(x-1) + \log _{\frac{1}{2}}(3-x) \leqq 0 \) (2) \( \log _{3}(x-1) + \log _{3}(x+2) \leqq 2 \) (3) \(2 - \log _{\frac{1}{3}} x > (\log _{3} x)^{2}\)
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[2] すなわち のとき, \( f(x) \) は で最大となり\n\[ M(a)=f\left(\frac{a}{3}\right) \]\n[3] すなわち のとき, \( f(x) \) は で最大となり\n\[ M(a)=f(1) \]\n[2] は区間に極大値をとる の値を含み,極大値が最大値となる場合。\n[3] は区間に極大値をとる の値を含むが,区間の右端の方が極大値よりも大きな値をとり,区間の右端で最大となる場合。\n\n以上から のとき\n\[ \begin{array}{c} M(a)=f(1)=a^{2}-2a+1 \\ \frac{3}{4} \leqq a \leqq 3 のとき \quad M(a)=\frac{4}{27}a^{3} \end{array} \]\n\[ \varangle \begin{aligned} f(1) & =1^{3}-2a \cdot 1^{2}+a^{2} \cdot 1 \\ & =a^{2}-2a+1 \end{aligned} \]\n6 章 31) 最値最不値方程页等式 3 次関数の対称性の利用 p. 344 の参考事項で紹介した性質 1 , 3 を用いて, \( f(x)=\frac{4}{27}a^{3} \) を満たす 以外の の値を調べることもできる。\n2 つの極值をとる点を結ぶ線分の中点(つまり,変曲点)の 座標は \nよって, で, から, \( f\left(\frac{4}{3}a\right)=\frac{4}{27}a^{3} \) となる。なお, で紹介した性質を用いる方法は, 検算で使う程度としておきたい。棶習 (3223
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EX (2) のとき, \( 4 x^{2}+\frac{1}{(x+1)(x-1)} \) の最小値はア で, そのときの の値はイ である。
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0 ≤ θ < 2π のとき,次の不等式を解け。
(1) √2 cosθ > -1
(2) 1/2 ≤ sinθ ≤ √3/2
(3) tanθ ≤ √3
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次の不等式を解け。ただし, は正の定数とする。\n\\[\nx^{3}-(a+1) x^{2}+(a-2) x+2 a \leqq 0\n\\]
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次の不等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) のとき \n(2) のとき \( x^{4}-16 \geqq 32(x-2) \)
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練習 次の不等式を証明せよ。また, 等号が成り立つのはどのようなときか。\n(1) \n(2) \( 2\left(x^{2}+y^{2}\right) \geqq(x+y)^{2} \)
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次の不等式の表す領域を図示せよ。\n(1) (y-x)(x+y-2)>0 \n(2) ( y-x^{2})(x-y+2) \geqq 0 \n(3) (x+2 y-4)(x^{2}+y^{2}-2 x-8)<0
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次の不等式を証明せよ。\n(ア) \n(1) \( a^{4}+b^{4}+c^{4} \geqq a b c(a+b+c) \)
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次の不等式を解け。
(1) \( \left(\frac{1}{2}\right)^{2 x+2}<\left(\frac{1}{16}\right)^{x-1} \)
(2)
(3)
基本 172, 173
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練習 次の不等式を解け。
(1) \( \frac{1}{\sqrt{3}}<\left(\frac{1}{3}\right)^{x}<9 \)
(2)
(3) \( \left(\frac{1}{4}\right)^{x}-9\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}+32 \leqq 0 \)
p. 288 EX 109
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不等式 \(0<\sin \left(2 \theta+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{1}{2}<1\) を解き、その解を求めよ。
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次の各組の数の大小を不等号で表せ。
[(1) 九州東海大, (2) 神戸薬大, (3) 類 横浜国大]
(1) -1, 2 \log_{0.1} 3, \log_{0.1} \sqrt[3]{512}
(2) \log_{3} 2, \log_{6} 4, \log_{4} 2, 0.6
(3) x>2, y>2 のとき, \log_{a} \frac{x+y}{2}, \frac{\log_{a}(x+y)}{2}, \frac{\log_{a} x+\log_{a} y}{2}
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x, y が 2 つの不等式 x-2 y+1 \leqq 0, x^{2}-6 x+2 y+3 \leqq 0 を満たすとき, の 最大値と最小値,およびそのときの x, y の値を求めよ。
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a, bは正の数とする。次の不等式が成り立つことを証明せよ。また, 等号が成り立つのはどのようなときか。\n(1) \n(2) \( \\left(a+\\frac{2}{b}\\right)\\left(b+\\frac{8}{a}\\right) \\geqq 18 \)
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次の不等式の表す領域を図示せよ。
(1) \( \left\{\begin{array}{l}x-2 y-2<0 \\ 3 x+y-5<0\end{array}\right. \)
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連立不等式の表す領域について説明しなさい。特に、連立不等式が直線の共通部分や複数の領域を含む場合について述べなさい。
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次の不等式が成り立つことを証明せよ。また,等号が成り立つのはどのようなときか。\n(1) \n(2) \( \left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{4}{a}\right) \geqq 9 \)
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195\n基本的遇 122 領域と 1 次式の最大・最小 (1)\n が 3 つの不等式 を満たすとき, の最大値および最小値を求めよ。
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Join our DiscordQ.78
3225 不等式 -sin x ≤ y ≤ cos 2 x, 0 ≤ x ≤ π/2 で定義される領域を K とする。(1) K の面積を求めよ。(2) K を x 軸の周りに回転して得られる回転体の体積を求めよ。〔神戸大〕
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不等式 \( f(x)>g(x) \) の証明\n\( F(x)=f(x)-g(x) \) として, 関数 \( F(x) \) の増減を調べて証明する。\n(1) \( F(x) \) の最小値を求め, [F(x) の ( 最小値 )>0] を示す。\n(2) \( F(x) が単調に増加 \( \left[F^{\prime}(x)>0\right] \) して \( F(a) \geqq 0 \) ならば, のとき \( f(x)>g(x) \) であることを利用する。
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Join our DiscordQ.84
不等式 \\left|S_{n}-\\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x} d x\\right| \\leqq \\frac{1}{n+1} を示せ。
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Join our DiscordQ.86
2^x^2+x-6 ≥ 0 であるから (x+2)(2x-3) ≥ 0 よって x ≤ -2, 3/2 ≤ x また, x+2 > √2x^2+x-6 ≥ 0 から x+2 > 0 よって x > -2 (1), (2) から x ≥ 3/2。このとき,不等式の両辺はともに 0 以上であるから,両辺を 2乗して (x+2)(2x-3) < (x+2)^2 より x+2 > 0 であるから 2x-3 < x+2。ゆえに x < 5。求める解は, (3), (4) の共通範囲であるから 3/2 ≤ x < 5。
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数学III「微分法の応用」では, 方程式や不等式に関するさまざまな解法を学んだ。 どの解法においても, 関数を導入して増減やグラフを考えることが重要になる。 例えば, 不等式 \( f(x)>g(x) \) の証明問題では, 次のことがポイントとなる。\n大小比較 差を作る (2) 数学逐例题 92\n1. \( \{f(x)-g(x) \) の最小値 を示す\n2. 常に増加ならば出発点で \n関数 \( F(x)=f(x)-g(x) \) を導入し, \( F(x) \) の増減を調べる。グラフを用いると, 関数 \( F(x) \) のグラフと直線 ( 軸)の上下関係について考えることになる。このポイントをふまえて, 次の「確認」に取り組んでみよう。\n\nQ1: のとき, が成り立つことを示せ。
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PRACTICE 146° 不等式 \ \\frac{1}{n}+\\log n \\leqq \\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{k} \\leqq 1+\\log n \ を証明せよ。
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不等式 \( \\left|\\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}-\\sqrt{y^{2}+(x+1)^{2}}\\right| \\leqq \\sqrt{2}|x-y| \\) を証明せよ。
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例題 130 領域における最大・最小 (2)\n連立不等式 の表す領域を とする。点 \( (x, y) \) が領域 を動くとき, の最大値と最小値を求めよ。
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次の不等式を解け。\n(1) \(2 \sin ^{2} \theta+3 \cos \theta<0\left(0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}\right)\)\n(2) \(2 \cos \theta>3 \tan \theta\left(0^{\circ} \leqq \theta<90^{\circ}\right)\)
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(2) 不等式 \( x^{2}-10 x-24>0,(x+1)\\left(x-a^{2}+a\\right)<0 \) が同時に成り立つ が存在し ないとき, 定数 の値の範囲を求めよ。\n[慶応大]
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練習(2)不等式 7 x-7 ≤ x-6 ≤ 3 x+a を満たす x の整数値が 6 個のとき, 定数 a の値の 範囲を求めよ。
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次の命題とその否定の真偽をそれぞれ調べよ。\n(1) すべての実数 について \n(2) 任意の実数 に対して \n(3) である自然数 が存在する。
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次の方程式,不等式を解け。
(1) |x-3|=2 x
(2) 3|x+1|<x+5
(3) ||x-1|-2|=3
(4) |x-2|+|x-5| <= 5
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次の不等式を解き、 の範囲における を求めなさい。
1. \(2(1-\sin ^{2} \theta)+5 \sin \theta-4 > 0\)
2.
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以下の不等式を解く。\n12-2 x^{2} \\leqq 5 x \\\5 x<x^{2}-x+7\\( 1) から 2 x^{2}+5 x-12 \geqq 0 よって \uquad(x+4) (2 x-3) \geqq 0 ゆえに \uquad x \\leqq-4, \\frac{3}{2} \\leqq x \\( 2) から \\quad x^{2}-6 x+7>0 x^{2}-6 x+7=0 を解くと \\quad x=3 \\pm \\sqrt{2} よって, (2) の解は x < 3- \\sqrt{2}, 3+ \\sqrt{2} < x であるから \\frac{3}{2} < 3- \\sqrt{2} ゆえに, (3), (4) の共通範囲を求めて x \\leqq -4, \\frac{3}{2} \\leqq x < 3- \\sqrt{2}, 3+ \\sqrt{2} < x
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不等式の両辺に -1 を掛けて、 を解く。2 次方程式 の判別式を とすると、 である。したがって、与えられた不等式の解はない。別解として平方完成を行い、解がないことを確認する。
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86 —数学 I
(1) x ≥ 2 を満たすものは x = 3 グラフから (*) を求める解は x < 2 - √11, 3 < x
(2) x² - 6x - 7 ≥ 0 の解は, (x + 1)(x - 7) ≥ 0 から x ≤ -1, 7 ≤ x x² - 6x - 7 < 0 の解は, (x + 1)(x - 7) < 0 から -1 < x < 7
[1] x ≤ -1, 7 ≤ x のとき,不等式は x² - 6x - 7 > 2x + 2
よって x² - 8x - 9 > 0 ゆえに (x + 1)(x - 9) > 0 よって x < -1, 9 < x これは x ≤ -1, 7 ≤ x を満たす。
[2] -1 < x < 7 のとき, 不等式は -(x² - 6x - 7) > 2x + 2
ゆえに x² - 4x - 5 < 0 よって (x + 1)(x - 5) < 0 ゆえに -1 < x < 5 これは -1 < x < 7 を満たす。
求める解は, (1), (2) を合わせた範囲で x < -1, -1 < x < 5, 9 < x
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買う商品の個数が 10 個以下のときは A 店の方が B 店より安いから, 求める個数を x 個とすると x>10 である。
このとき,条件から 100(1-8/100)x>100・10+100(1-15/100)(x-10)
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練習\n86\n(1) \ 2 \\sin \\theta>\\sqrt{2} \ から \ \\quad \\sin \\theta>\\frac{1}{\\sqrt{2}} \ \ \\sin \\theta=\\frac{1}{\\sqrt{2}} \ を解くと \ \\quad \\theta=45^{\\circ}, 135^{\\circ} \\n\n不等式の解は, 半円の周上にある点で, \ y \ 座標が \ \\frac{1}{\\sqrt{2}} \ より大きくなる \ \\theta \ の值の範囲であるから \ 45^{\\circ}<\\theta<135^{\\circ} \\n\n(2) \ 2 \\cos \\theta<\\sqrt{3} \ から\n\n\ \\cos \\theta<-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\n\n\ \\cos \\theta=-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \ を解くと \ \\quad \\theta=150^{\\circ} \\n不等式の解は, 半円の周上にある点で, \ x \ 座標が \ -\\frac{\\sqrt{3}}{2} \ より小さくなる \ \\theta \\n1三平方の定理。\n別解 Dから辺 \ \\mathrm{AB} \ に垂線 DE を下ろすと, Eは 辺 \ \\mathrm{AB} \ の中点であり\n\n\ \\begin{aligned}\n\\mathrm{AE} & =\\frac{\\sqrt{4+2 \\sqrt{2}}}{2} \\\\\n\\mathrm{DE} & =\\sqrt{\\mathrm{AD}^{2}-\\mathrm{AE}^{2}} \\\\\n& =\\frac{\\sqrt{4-2 \\sqrt{2}}}{2}\n\\end{aligned} \\n\nよって\n\ \\sin 22.5^{\\circ}=\\frac{\\mathrm{DE}}{\\mathrm{AD}} \,\n\ \\cos 22.5^{\\circ}=\\frac{\\mathrm{AE}}{\\mathrm{AD}} \\nとしても求められる。\n4 孪\n練習\n図\n形\n計\n諻\n1三角比を含む不等式で は, まず, 不等号を = と おいた三角方程式を解く。\n\ \\leqq 180^{\\circ} \ を書き落とさ の値の範囲であるから \ 150^{\\circ}<\\theta \\leqq 180^{\\circ} \ ないように。
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次の方程式,不等式を解け。 (1) |x-4|=3x (2) 2|x-1|=x+2 (3) 2|x|+|2x+3|=7 (4) |3x-4|<2x (5) 3|x-1|>=x+3 (6) 3|x-2|-2|x|<=3
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a は定数とする。次の 2 つの不等式を同時に満たす整数が存在し,かつそれが自然数のみになるとき, a の値の範囲を求めよ。
[広島工大]
3 x+5 > 5 x-1
5 x+2 a > 4-x
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a は定数とする。次の x についての不等式を解け。\n(1) \( x^{2}-2 x<a(a-2) \)\n(2) \( a x^{2}-(2 a+1) x+a+1<0 \)\n(3) \( x^{2)-\left(a^{2}+a-2\right} x+a^{3}-2 a<0 \)
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練習69 本冊 p.146 (1) 不等式から 2(x-1/2)(x-(a+1))<0 [1] 1/2<a+1 すなわち a>-1/2 のとき 不等式の解は 1/2<x<a+1 これを満たす整数 x がただ 1 つ 存在するための条件は 1<a+1 ≤ 2 よって 0<a≤ 1 [2] 1/2=a+1 すなわち a=-1/2 のとき 不等式は 2(x-1/2)^{2}<0 となり, これを満たす整数 x は存在し ない。 [3] a+1<1/2 すなわち a<-1/2 のとき 不等式の解は a+1<x<1/2 これを満たす整数 x がただ 1 つ 存在するための条件は -1 ≤ a+1 <0 よって -2≤ a<-1 以上から, 求める a の値の範囲は, (1), (2) を合わせて -2 ≤ a<-1, 0<a ≤ 1
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(2) x^2-10x-24>0 (x+1)(x-a^2+a)<0 (1) から (x+2)(x-12)>0 よって x<-2,12<x (2) について, 方程式 (x+1)(x-a^2+a)=0 の解は x=-1, a^2-a ここで a^2-a-(-1)=a^2-a+1 2次方程式 a^2-a+1=0 の判別式を D とすると D=(-1)^2-4・1・1=-3<0 また, a^2-a+1 の a^2 の係数は正である。よって, a^2-a+1>0 すなわち a^2-a>-1 は常に成り立つ。したがって, (2) の解は -1<x<a^2-a ③, (4) が同時に成り立つ x が存在しない条件は a^2-a ≤ 12 a^2-a-12 ≤ 0 ゆえに (a+3)(a-4) ≤ 0 よって -3≤ a ≤ 4
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(2) 1/p + 1/q + 1/r \geqq 1
2 \leqq p < q < r から 1/r < 1/q < 1/p \leqq 1/2 ゆえに 1 \leqq 1/p + 1/q + 1/r < 3/p
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類題 を実数とする。不等式 , をすべて満たす実数 の集合と, を満たす実数 の集合が一致しているとする。\n (1) はすべて 0 以上であることを示せ。\n (2) のうち少なくとも 1 個は 0 であることを示せ。\n (3) であることを示せ。\n [東京大]
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-3(x-2) + 2x \\leqq 3 および 3(x-2) - 2x \\leqq 3 を解き、解の範囲を求めなさい。
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次の不等式の共通範囲を求めよ。\n(ア):6x+5 \geqq 2x-3 と x+13 > 7x-5\n(イ):2x+8 > x+7 と 3x-3 > 4x-1
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練習 18
本冊 p 53
1. x ≥ 4/3 のとき, 不等式は 3x-4<2x
よって x<4 これは共通範囲
2. x<4/3 のとき, 不等式は -(3x-4)<2x
整理すると -5 x <-4 よって x<4/5
結論, 求める解は 4/5 < x < 4
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定数 を次の条件が成り立つように定めよ。\n(1) 2 次不等式 の解が である。\n(2) 2 次不等式 の解が である。
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次の 2 次不等式を解け。\n(1) \( x(x+2)>0 \)\n(2) \n(3) \n(4) \n(5)
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2つの不等式 || (1), (2) について, 次の問いに答えよ。ただし, は正の定数とする。\n(1) (1) を解け。\n(2) 1,2をともに満たす実数 が存在するように,定数 の値の範囲を定めよ。\n(3) 1)の解が(2)の解に含まれるように,定数kの値の範囲を定めよ。
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次の命題の否定を述べよ。\n(1) が実数のとき, ならば である。\n(2) が実数のとき, ならば または である。\n(3) すべての正の数 に対して ならば, である。
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(1) x^2 >= 0 であるから 2x^2 + 1 > 0\n△ A ∩ B ⊂ A\ △ 2 ∈ A であるから 7 ∈ A となるような場合を 考える。 2 ∈ B, 7 ∉ B\n(2) A = B を示すには, A ⊂ B かつ B ⊂ A を示す。
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[3] -a/2 > 1 すなわち a < -2 のとき
右のグラフから, x = 1 のとき最大値 f(1)=2a^2-a-1 をとる。よって 2a^2-a-1=5
ゆえに 2a^2-a-6=0
よって (a-2)(2a+3)=0
ゆえに a=2,-3/2
これらは a <-2 を満たさないから不適。
以上から a=√10/2,-2√5/3
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侧 17 | 連立不等式の解法\n(1) 次の連立不等式を解け。\n(ア) \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}6 x+5 \\geqq 2 x-3 \\\\ x+13>7 x-5\\end{\overlineray}\\right. \n(イ) \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}2 x+8>x+7 \\\\ 3 x-3>4 x-1\\end{\overlineray}\\right. \n(2) 不等式 を解け。
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|3 x-4| < 2 x から -2 x < 3 x - 4 < 2 x すなわち \ \left\{ \\begin{array}{l}-2 x < 3 x - 4 \\ 3 x - 4 < 2 x \\end{array} \\right. から解を求めなさい。
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次の命題の否定を述べよ。\n26 (1) が実数のとき, ならば である。\n(2) が実数のとき, ならば かつ である。\n(3) が実数のとき, ある正の数 に対して ならば, または である。
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練習 任意の正の実数 に対して, 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 12 また, 等号が成り立つ条件を求めよ。\n(1) \ \\sqrt{a x+b y} \\sqrt{x+y} \\geqq \\sqrt{a} x+\\sqrt{b} y \\n[甲南大]\n(2) \ \\frac{\\sqrt{x}+\\sqrt{y}+\\sqrt{z}}{3} \\leqq \\sqrt{\\frac{x+y+z}{3}} \\n[類 岐阜聖德学園大]
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[4] すなわち のとき のとりうる値の範囲は\n\\n2 X<k<-2 X\n\\nよって, の満たすべき条件は\n\\nX^{2}+2 X<Y<X^{2}-2 X\n\
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不等式から log_{x} y+2・rac{1}{log_{x} y}<3 を解きます。まず log_{x} y=t と置きます。すると、 rac{t^{2}-3t+2}{t}<0 となります。さらに、 rac{(t-1)(t-2)}{t}<0 となり、 t>0 の場合と t<0 の場合に分けて解きます。
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与えられた不等式から
\[
\left\{\begin{array} { l }
{ y - x > 0 } \\
{ x + y - 2 < 0 }
\end{array} \text { または } \left\{\begin{array}{l}
y-x<0 \\
x+y-2>0
\end{array}\right.\right.
\]
すなわち \( \left\{\begin{array}{l}y>x \\ y<-x+2\end{array}\right. \) または \( \left\{\begin{array}{l}y<x \\ y>-x+2\end{array}\right. \)
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次の不等式を証明せよ。\n\n\[ f\left(\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{k-1}}{k-1}\right) \leqq \frac{1}{k}\left\{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+\cdots+f\left(x_{k-1}\right)+f\left(\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{k-1}}{k-1}\right)\right\} \]\n\nゆえに \( \quad k f\left(\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots \cdots+x_{k-1}}{k-1}\right) \)\n\[ \leqq f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+\cdots+f\left(x_{k-1}\right)+f\left(\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{k-1}}{k-1}\right) \]\n\nよって\n\[ (k-1) f\left(\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{k-1}}{k-1}\right) \leqq f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+\cdots+f\left(x_{k-1}\right) \]\n より, であるから\n\[ f\left(\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{k-1}}{k-1}\right) \leqq \frac{1}{k-1}\left\{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+\cdots+f\left(x_{k-1}\right)\right\} \]\n\n参考 \(f(x)=-\\log _{2} x\) とし, に対し次の不等式を示せ。\n\n\nよって全ての自然数 に対し次の不等式が成り立つことを示せ。\n\[ \\log _{2} \\frac{x_{1}+x_{2}+\\cdots+x_{n}}{n} \geqq \\log _{2}\left(x_{1} x_{2} \cdots \\cdots x_{n}\right)^{\\frac{1}{n}} \]\n
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次の不等式が成り立つことを証明せよ。(2) で は自然数とする。\n(1) のとき \n(2) のとき \( x^{n+1}+n>(n+1) x \)
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29をもつときである。すなわち, (2) の不等式の等号を成り立たせるような が存在する 条件を求めればよい。よって, (2)から かつ 演習 9 |II| 本冊
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練習 の解答 1 (1) 順に 等差数列となることができる,第 146 項 (2) 初項は , 公差は 2 (1) (2) (3) (4) 3 (1) 999 (2) 3285 のとき最大値 650 \( 5 \frac{1}{2} p^{3}(p-1) \) 6 順に 12 個, 6132 7 (1) (2) のとき \( \frac{(x+1)^{n+1}-1}{x} \), のとき (3) 初項は 3 , 和は 93 8 (1) (ア) 6 (イ) 3 (2) 9 (ア) -2 (イ) -180 11 (1) 1709820 円 (2) 9 万円 12 (1) (2) (3) 13 (1) \( \frac{1}{6} n(2 n+1)(7 n+1) \)
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次の不等式を解け。\n(1) \( \\left(\\frac{1}{9}\\right)^{x+2}>\\left(\\frac{1}{27}\\right)^{x} \)\n[信州大]\n(2)
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次の不等式を解きなさい。(1) 2 \sin \theta-\sqrt{2} \geq 0 (2) 2 \cos \theta-1<0 (3) \sqrt{3} \tan \theta-1<0
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演習例題 5 次方程式の解法
4 次方程式 のある解を見つけたい。
(1) 方程式 (1) は区間 に解をもつことを示せ。
(2) (1) での解をオイラー(Leonhard Euler)の方法で求めよう。 を正の 実数として \( x=\sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{r}(p, q, r>0) \) とおく。まず補助変数
を導入する。 を計算して
としたとき, A, B, C を f, g, h を用いて表せ。次に (1) と (2) が同じ式と仮定して を求めよ。
(3) 等式 \( (X-p)(X-q)(X-r)=X^{3}-f X^{2}+g X-h \) と(2) で得られた を用いて 3 次方程式 の 3 つの解 を求めよ。
(4) 方程式 (1) の解 を等式
\( \alpha+\beta \pm 2 \sqrt{\alpha \beta}=(\sqrt{\alpha} \pm \sqrt{\beta})^{2} \quad(\alpha, \beta>0 ; 複号同順 )\)
を用いて簡略化し,それが区間 にあることを示せ。[横浜市大]
指針(3) 3 次方程式の解と係数の関係を利用。
3 次方程式 の 3 つの解を とすると
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次の不等式を証明せよ。また, 等号が成り立つのはどのようなときか。\n(1) \n(2) \( a^{4}+b^{4}+c^{4} \geqq a b c(a+b+c) \)
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[1] のとき \( f^{\prime}(x) \geqq 0 \) であるから, \( f(x) \) は で最小となる。 よって, (1)を満たす条件は \( \quad f(0)=6 k-2 \geqq 0 \) ゆえに これは に適さない。\n\nしたがって, のとき (1) は成り立たない。
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次の不等式を解け。\n(1) \( \log _{\frac{1}{3}}(-x) \geqq 2 \)\n(2) \( \log _{2} x-\log _{\frac{1}{2}}(4-x)<1 \)\n(3) \( \left(\log _{2} x\right)^{2}-2 \log _{2} x-4<0 \)\n(4)
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数学 I
[3] すなわち のとき 図 [3-3] から f(a) ≤ y ≤ f(a-1/2) f(a)=-a^2+(2a-1)a+a=a^2 から, のとりうる 値の範囲は a^2 ≤ y ≤ a^2+1/4
[4]すなわち 図 [3-4] から f(a) ≤ y ≤ f(-1)
y のとりうる値の範囲は a^2 ≤ y ≤ -a
[1]〜[4] から,a を x におき換えて, 線分 PQ が通過してできる図形は,次の不等式が表す領域である。
{x^2 ≤ y ≤ x (1/2 < x ≤ 1) x^2 ≤ y ≤ x^2+1/4 (-1/2 < x ≤ 1/2) x^2 ≤ y ≤ -x (-1 ≤ x ≤ -1/2)}
これを図示すると,右の図の黒い部分である。ただし,境界線を含む。
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このとき, 不等式から \( \log _{2} x+\log _{2}(4-x)<1 \)\nすなわち \( \quad \log _{2} x(4-x)<\log _{2} 2 \)\n底 2 は 1 より大きいから \( \quad x(4-x)<2 \)\n整理すると\n\nこれを解くと \n(1), (2) の共通範囲を求めて \n(3) 真数は正であるから\nx>0\n\]\nこのとき,不等式から\n\[1-\sqrt{5}<\log _{2} x<1+\sqrt{5}\n\n底 2 は 1 より大きいから \nこれは 11 を満たすから, 求める解である。\n(4) 底と真数の条件から かつ
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重要例題 118 対数不等式の表す領域
次の不等式の表す領域を図示せよ。
\[ 2 - \log _{y}(1+x)<\log _{y}(1-x) \]
[山梨大]
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4x + 2/y ≥ 2√(2x/y) を証明する。
また、
y + 3/x ≥ 2√(3y/x) を証明する。
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a>0, b>0, c>0, d>0 のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ。また,等号が成り立つときを調べよ。
(1) a+b+\frac{1}{a+b} \geqq 2
(2) a+\frac{4}{a+1} \geqq 3
(3) \left(\frac{b}{a}+\frac{d}{c}\right)\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right) \geqq 4
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次の不等式を証明せよ。また,等号が成り立つときを調べよ。\na^{2}+b^{2}+c^{2} \geqq a b+b c+c a
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2次不等式の基本(数学 I )を振り返ろう!2次不等式は, グラフを用いて解きましょう。ここでは, x についての 2 次不等式ではなく, k につての 2 次不等式ですから, グラフは x 軸ではなく k 軸になることに注意しましょう。 y=(k+1)(k-2) 範囲を求めてのグラフで y<0 となる k の値の -1<k<2
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0 ≤ x < 2π のとき, 次の不等式を満たす x の値の範囲を求めよ。
cos²x − 2cosx − sin²x + 2sinx ≥ 0
cos²x − 2cosx − sin²x + 2sinx
= cos²x − sin²x − 2cosx + 2sinx
= (cosx + sinx)(cosx − sinx) − 2(cosx − sinx)
= (cosx − sinx)(cosx + sinx − 2)
= (sinx − cosx){2 − (sinx + cosx)}
= √2 sin(x − π/4){2 − √2 sin(x + π/4)}
不等式は √2 sin(x − π/4){2 − √2 sin(x + π/4)} ≥ 0
ここで,0 ≤ x < 2π から π/4 ≤ x + π/4 < 2π + π/4
このとき −1 ≤ sin(x + π/4) ≤ 1
よって −√2 ≤ √2 sin(x + π/4) ≤ √2
ゆえに 2 − √2 sin(x + π/4) > 0
したがって,与えられた不等式は, √2 sin(x − π/4) ≥ 0 と同値である。 0 ≤ x < 2π から −π/4 ≤ x − π/4 < 2π − π/4 であり, この範囲で sin(x − π/4) ≥ 0 を解くと 0 ≤ x − π/4 ≤ π すなわち π/4 ≤ x ≤ 5π/4.
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x, y が 3 つの不等式 4x + y <= 9, x + 2y >= 4, 2x - 3y >= -6 を同時に満たすとき, x^2 + y^2 の最大値と最小値を求めよ。
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次の不等式を解け: \( \frac{1}{3^{2 x}} \leqq 3\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{x}{2}} \)
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TRAINING:x, y が 3 つの不等式 x - y ≥ -2, x - 4y ≤ 1, 2x + y ≤ 5 を同時に満たすとき、x + y のとりうる値の範囲を求めよ。
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EX 68\n が不等式 を満たすとき, の最大値, 最小値と,それらを与える の値をそれぞれ求めよ。\n不等式 は\n のとき, であるから \n のとき, であるから \nしたがって, 与えられた不等式の表す 領域 は図の斜線部分。ただし, 境界線を含む。\n\nとおくと, これは傾き 切片 の直線を表す。\nこの直線 (1) が領域 と共有点をもつときの の値の最大値, 最小値を求めればよい。\n図から, 直線 (1)が点 \( (6,0) \) を通るとき の値は最大になり, 点 \( (-6,0) \) を通るとき の値は最小になる。\nよって, は のとき最大値 6, のとき最小値 -6 をとる。
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TRAINING 25 (2)
a > 0, b > 0 のとき, 次の不等式が成り立つことを証明せよ。また, 等号が成立する時を調べよ。(1) a+\frac{9}{a} \geqq 6 (2) \frac{6 b}{a} + \frac{2 a}{3 b} \geqq 4
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発展例題 31
a>0 のとき, 不等式 a+\frac{1}{4 a} \geqq 1 が成り立つことを証明せよ。また, 等号が成立する時を調べよ。
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次の不等式を解け。
(1) であるから, 不等式より \( 2(x-1) \geqq 0 \)。
(2) であるから, \((x+2)(x-2) \leqq 0\) より 。
(3) であるから \( x(x-4) \leqq 0 \) より 。
参考: を考え、さらに与えられた連立不等式を解け。
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以下の方程式を解いて,aの値域を求めなさい。 \n1. \( (2-a)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 > 0 \)\n2. 軸が直線 である条件 \n3. \( g(-1) \geqq 0 \) から \( (-1)^{2} + (2-a)(-1) + 3 \geqq 0 \)
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連立不等式 の表す領域を とする。点 \( (x, y) \) が領域 を動くとき, の最大値と最小値を求めよ。